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2 ESPACIOS VECTORIALES
Los espacios vectoriales son muy útiles en Ingeniería y Ciencias Aplicadas debido a los siguientes factores:
- Los vectores son invariantes, es decir, no dependen de los sistemas
coordenados. Sin embargo, las componentes de un vector cambian
bajo un cambio de base.
- Las componentes de vectores iguales son iguales en todo sistema
coordenado.
- Un vector que se anula en algún sistema coordenado se anula en todo
sistema coordenado.
- Los operadores div y rot de un vector son invariantes. También lo son,
el producto escalar y vectorial de tales vectores.
- La forma de una ecuación vectorial no cambia bajo una
transformación de coordenadas cartesianas (esto hace factible la
representación geométrica de los vectores).
- El vector incluye el concepto dual de magnitud y dirección
(representación por flechas). Esto se hace especialmente conveniente
al tratar con desplazamientos, velocidades, aceleraciones y fuerzas.
Aunque la representación geométrica de los vectores es útil, la representación algebraica ofrece muchas ventajas. El álgebra de los vectores geométricos es solamente una interpretación del álgebra abstracta más general, el álgebra de los espacios vectoriales generales. Esta álgebra trata con las relaciones entre y las operaciones sobre dos clases de objetos matemáticos que están definidos, que se denominan vectores y escalares.
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
2
2.1 ESPACIOS VECTORIALES
Definición
Un conjunto V de elementos que llamamos vectores es un espacio
vectorial o espacio lineal, si:
a) Existe una operación binaria interna en V, llamada suma o adición de
vectores:
+ : V x V → V (2.1-1)
tal que se cumplen los cuatro axiomas siguientes:
a-1) u + v = v + u, ∀u, v ∈∈∈∈V (2.1-2)
denominada propiedad conmutativa de la adición de vectores.
a-2) (u + v ) + w = u + (v + w ) , ∀u, v, w ∈ V (2.1-3)
denominada propiedad asociativa de la adición de vectores.
a-3) Existe un elemento en V, denominado el vector nulo o vector cero,
que denotamos 0, tal que:
u + 0 = u , ∀u ∈V (2.1-4)
a-4) ∀u ∈∈∈∈ V existe un elemento -u ∈V, denominado el elemento
aditivo inverso, tal que:
u + (-u) = 0 (2.1-5)
Es fácil demostrar que el vector nulo y el aditivo inverso de cualquier
vector son únicos.
b) Existe una operación, llamada multiplicación por escalares:
: x V →→→→ V (2.1-6)
donde es el conjunto de los números reales y tal que se cumplen los cuatro axiomas siguientes:
b-1) α(βu) = (αβ )u , ∀α , β∈ , ∀u∈V (2.1-7)
b-2) (α+β )u = αu+βu , ∀α ,β∈ , ∀u∈V (2.1-8)
b-3) α(u+v) = αu+αv , ∀α∈ , ∀u ,v∈V (2.1-9)
b-4) 1u = u , ∀u∈V (2.1-10)
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
3
la propiedad b-1) indica que los escalares se pueden asociar, la propiedad b-2) y b-3) son propiedades distributivas, y la propiedad b-4) normaliza la multiplicación por escalares
OBSERVACIONES
Casi directamente de la definición de espacio vectorial se desprenden algunos hechos o propiedades interesantes:
1) El vector nulo 0 es único. Para demostrar esta propiedad, sea
w ∈V, de tal manera que u + w = u , " u ∈V, entonces:
(u+w )+(-u) = u+(-u)
u+[w+(-u)] = 0 ; por axioma a-2 y a-4.
u+[(-u)+w ] = 0 ; por axioma a-1.
[u+(-u)]+w = 0 ; por axioma a-2.
0 + w = 0 ; por axioma a-4.
w = 0 ; por axiomas a-1 y a-3.
luego el vector nulo es único.
2) El elemento aditivo inverso es único. Para verlo, consideremos w ∈ V tal
que u + w = 0, ∀ u ∈ V. Entonces:
(u + w) + (-u) = 0 + (-u)
u + [w + (-u)] = -u ; por axiomas a-2 y a-3.
[u + (-u)] + w = -u ; por axiomas a-1 y a-2.
w = -u ; por axioma a-3.
luego, el aditivo inverso es único.
3) α0=0 , ∀α∈ ; 0u=0, ∀u∈V. Si αu=0 , entonces α=0 ó u=0
En primer lugar, sea α ∈ , entonces:
α 0 = α (0 + 0) ; por axioma a-3.
= α 0 + α 0 ; por axioma b-3.
luego:
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
4
α 0 + [-(α 0)] = [α 0 + α 0] + [-(α 0)]
0 = α 0 + {α 0 + [-(α 0)]} ; por axiomas a-4 y a-2.
0 = α 0 + 0 ; por axioma a-4 .
0 = α 0 ; por axioma a-3.
En segundo lugar, sea ahora u ∈V, entonces:
0 u = (0 + 0) u
= 0 u + 0 u ; por axioma b-2.
luego:
0 u + [- ( 0 u )] = [0 u + 0 u ] + [- ( 0 u )]
0 = 0 u + {0 u + [- (0 u)]} ; por axiomas a-4 y a-2.
0 = 0 u + 0 ; por axioma a-4.
0 = 0 u ; por axioma a-3.
4) ∀ u ∈ V, (-1) u = -u
Para verlo, consideremos u ∈ V , entonces:
0 = 0 u
= ( 1-1 )u
= 1 u + ( -1 )u
= u + ( -1 )u
luego: ( -1 ) u = -u , el aditivo inverso.
5) Las propiedades asociativa y conmutativa de la adición vectorial implican
que la suma de varios vectores es independiente de como se combinen
estos vectores y de como se asocien. Por ejemplo, ∀u, v, w, x∈V:
(u + v)+(w + x) = [ (u + v) + w ] + x
= [ u + (v + w) ] + x
de tal manera que la suma puede escribirse sin lugar a confusión en la
forma:
u + v + w + x
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
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EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES
1) , la recta numérica, con las operaciones habituales de adición y
multiplicación.
2) Sea N el conjunto de los números naturales.
Entonces n={v=(x1, x2, . . . , xn)|x i∈ ,∀i∈[1,n]⊂N}, con la adición y
multiplicación por escalares definidas por:
(x1, x2,…, xn )+(y1,y2,…,yn ) = (x1+y1, x2+y2,…, xn+yn )
α( x1, x2,…, xn ) = (α x1 , α x2 ,…, α xn )
3) El conjunto de las funciones reales continuas definidas sobre un intervalo
[a,b]⊂ ,que denotamos por Ca b
o
,. Es decir, C
a b
o
,={f|f es continua en
[a,b]}. Las operaciones son:
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
(αf)(x)=αf(x)
∀f ,g∈Ca b
o
,,x∈[a,b],α∈ .
Este es uno de los espacios de funciones más importante en Análisis
Matemático.
4) mxn
, el espacio de las matrices reales de orden mxn, con m, n ∈ N. mxn
= { A : A es una matriz real de orden mxn}. Las operaciones son:
A+B=C,a i j+b i j=c i j ,
B=αA,b i j=αa i j ,
∀A,B,C∈ mxn ,( i , j )∈[1,m]x[1,n],α∈ .
5) El espacio de las sucesiones reales
l2 = {v = (x1, x2, .. , xn, ...): xn
n
2
1=
∞
∑ < ∞}, con las operaciones:
i) (x1 , x2 , ...,xn , ...)+(y1 , y2 , ...,yn , ...) = (x1 + y1 , x2 +y2 , ...,x + yn , ...)
ii) α (x1 , x2 , ..., xn , ...) = ( α x1 , α x2 , ... , α xn , ...)
∀(x1 ,x2 , ...,xn , ..),(y1 ,y2 , ...,ym, ..)∈l2 , α∈
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
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La verificación que todas las propiedades para la adición y multiplicación
por escalares se cumplen es bastante simple en todos los casos, excepto
quizás en el ejemplo 5. Veremos este caso como ejercicio. En realidad, la
única dificultad consiste en demostrar que la suma de dos sucesiones en l2
es también una sucesión en l2. En efecto, si (x1,x2, .., xn, ...) e (y1 , y2 , ... ,yn)
están en l2 , entonces
n=
∞
∑1
|xn|2 < ∞,
n=
∞
∑1
|yn|2
< ∞
Para la sucesión suma :
n=
∞
∑1
|xn + yn|2 ≤ x yn n
n
+=
∞
∑ 2
1
=n=
∞
∑1
|xn|2 + 2
n=
∞
∑1
|xn| |yn| +n=
∞
∑1
|yn|2
Pero: ( |xn |-|yn |)2>0, luego:
| xn |2-2|xn | |yn |+ |yn |
2 >0
∴ |xn |2+|yn |
2 >2|xn | |yn |
así: n=
∞
∑1
|xn + yn|2 ≤
n=
∞
∑1
|xn|2 + (
n=
∞
∑1
|xn|2 +
n=
∞
∑1
|yn|2 ) +
n=
∞
∑1
|yn|2
= 2 n=
∞
∑1
|xn|2 + 2
n=
∞
∑1
|yn|2 < ∞
6) El espacio de las sucesiones reales convergentes c={v=(x1,x2,...):
xxlim nn
=∞→
}, con las operaciones:
i) (x1 , x2 , .....)+(y1 , y2 , .....) = (x1 + y1 , x2 +y2 , .....)
ii) α (x1 , x2 , ..., xn , ...) = ( α x1 , α x2 , .....)
∀(x1 ,x2 , .....), (y1 ,y2 , .....)∈c, ∀α∈
7) El espacio de las sucesiones reales convergentes a cero c0={v=(x1,x2, ...):
0xlim nn
=∞→
}, con las operaciones del ejemplo 6.
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
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8) El conjunto de todas las sucesiones numéricas acotadas m={v=(x1,x2, ...):
xi< x, ∀ i=1,∞, para algún x∈ }, con las operaciones del ejemplo 6.
9) El conjunto ∞={v=(x1,x2, ...)}, de todas las sucesiones, con las
operaciones del ejemplo 6.
2.2 SUBESPACIOS VECTORIALES
Un subconjunto U de un espacio vectorial V, tal que U≠Φ , es un
subespacio vectorial si:
a) ∀u ,v∈U⇒⇒⇒⇒u+v∈U
b) ∀α∈ ,u∈U⇒αu∈U (2.2-1)
Algunos autores substituyen las condiciones a) y b) por la condición
equivalente:
∀u ,v∈U;α ,β∈ ⇒ αu+βv∈U (2.2-2)
Por cierto, todo espacio vectorial V tiene al menos dos subespacios,
denominados subespacios triviales que son el subespacio nulo U = { 0 } y
el espacio U = V. Obsérvese que 0 es un elemento común a todo
subespacio de V (¿Por qué?).
Cuando U no es trivial se dice que es un subespacio propio de V.
EJEMPLOS DE SUBESPACIOS VECTORIALES
1) Sea V un espacio vectorial (e.v.) y sea v∈∈∈∈V, fijo, v≠0 . El conjunto
U = {λv :λ∈ } es un subespacio (unidimensional) de V. Por cierto, U es
subespacio propio si la dimensión de V es mayor que 1.
La verificación de que U es subespacio es rápida. En primer lugar U≠Φ,
luego si u ,w∈U,α ,β∈ , entonces:
αu+βw =α(λ 1v)+β (λ 2v)
=(αλ 1+βλ 2)v∈U
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
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2) El espacio C,a b
o es un subespacio (de dimensión infinita), del espacio de
todas las funciones reales (es decir funciones reales continuas y
discontinuas).
3) U={v∈ n:x1=0} es un subespacio propio de
n, sin embargo,
U ={v∈ n:x1 = x2+1} no lo es (¿Por qué?).
4) Sea U = {u ∈C,a b
o: u es un polinomio de grado n} es un subespacio propio
de C a bo, y de dimensión finita.
5) l2 es un subespacio propio de c0.
6) c0 es un subespacio propio de c.
7) c es un subespacio propio de m.
8) m es un subespacio propio de ∞ .
2.3 INDEPENDENCIA LINEAL, DIMENSIÓN Y BASES
Sea V un e.v.. Decimos que un conjunto finito de n≥1 vectores
{v1, v2, ..., vn }es linealmente dependiente, l.d., si existe un conjunto de
n escalares { λ1, λ2 , ... ,λn}, no todos nulos tal que:
λ 1v1+λ 2v2+.. .+λ nvn=0 (2.3-1)
Esto significa que al menos uno de los vectores vi puede expresarse como
combinación lineal de los otros; por ejemplo: si λ1 ≠ 0, entonces:
v1= –1
1λ(λ 2v2+λ 3v3+.. .+λ
nvn) (2.3-2)
Cuando un conjunto de n ≥ 1 vectores no es l.d. decimos que es
linealmente independiente, l.i. . En otras palabras, un conjunto de n ≥ 1
vectores es l.i. si (2.3-1) implica λi = 0, ∀ i = 1,2, ... , n.
Decimos que un conjunto l.i. en un espacio vectorial es maximal si no es
subconjunto propio de todo otro conjunto l.i. Decimos que V es un e.v. de
dimensión finita si contiene al menos un conjunto l.i. maximal (finito).
Cuando no sea éste el caso, decimos que V es de dimensión infinita. Por
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
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ejemplo, es de dimensión 1 o unidimensional y C,a b
o es de dimensión
infinita.
Directamente de la definición, se obtiene las consecuencias siguientes:
a) Si el conjunto {v1, v2, v3 , ... , vn} es l.d., entonces todo otro conjunto
que lo contenga también lo es,
b) Todo conjunto que contenga al vector nulo es l.d.,
c) Todo subconjunto de un conjunto l.i. es también l.i. .
Para un espacio vectorial de dimensión finita V, se puede encontrar
infinitos conjuntos l.i. y maximales, pero no es difícil demostrar que cada
uno de ellos contiene exactamente el mismo número de vectores. Luego, el
número n de vectores en un conjunto l.i. maximal es una propiedad
intrínseca de todo espacio vectorial de dimensión finita. A este número
natural n lo llamamos dimensión del espacio vectorial V, y escribimos:
n=dimV (2.3-3)
Además, llamamos base para un espacio vectorial V a todo conjunto l.i.
maximal.
Sea ahora {e1 ,e2 , . . . ,en}una base para un espacio vectorial V, con
dimV=n. Entonces el conjunto {e1 ,e2 , . . . ,en ,v}, donde v∈V, es l.d. (si
no fuese así, el conjunto de los ei no sería una base). Luego, existen n+1
escalares α1 , α2 , ... , αn , λ , con λ≠0, tal que:
α1e1+α2 e2+.. .+αne
n+λv=0
y, por lo tanto:
v =v1e1+v
2e2+.. .+v
ne
n , vi =-
αλ
i
v =i
n
=∑
1
vie i (2.3-4)
v =vi e i
es decir, todo vector v ∈ V puede expresarse como una combinación lineal
de los vectores base ei , siendo esta combinación lineal única (¿Por qué?).
Vemos que en el lado izquierdo de (2.3-4), el vector v está escrito usando
notación simbólica (intrínseca o directa), mientras en el lado derecho lo
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
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está usando notación indicial, y donde se usó la convención de sumatoria
de Einstein (cada vez que se repite un subíndice en una expresión en
notación indicial, se subentiende sumatoria, para todo i = 1,2, ... , n).
A los escalares vi, i=1,2, . . . ,n, los llamamos componentes (contravarian-
tes) de v∈V, con respecto a la base {ei}.
Si U es subespacio de un espacio de dimensión finita V, son válidas las
siguientes proposiciones, cuya demostración dejamos como ejercicio:
a) dimU≤dimV
b) dimU=dimV⇔U=V
Una función φ: V → W, siendo V y W espacios vectoriales, es un
isomorfismo si φ es lineal y φ (u) ≠ φ (v) , si u ≠ v.
Si existe al menos un isomorfismo desde V a W, decimos que V y W son
isomorfos. Todos los espacios vectoriales de dimensión finita, con igual
dimensión, son isomorfos. Así todo espacio vectorial V, con dimV=n, es
isomorfo a n.
EJEMPLOS
1) Sea V = 3,
i) Si dimV = 0 entonces U = { 0 }.
ii) Si dimU = 1 entonces U es una línea que pasa por el origen.
iii) Si dimU = 2 entonces U es un plano que pasa por el origen.
iv) Si dimU = 3 entonces U = V.
2) Sea V = 3 y tomemos el conjunto de cuatro vectores:
S={v1 ,v2 ,v3 ,v4}:
v1=(3,0,-3)
v2=(-1,1,2)
v3= (4,2,-2)
v4=(2,1,1)
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
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S es l. d. pues 2v1+2 v2-v3=0 .
Sin embargo, el conjunto B={u1 ,u2 ,u3}, dado por:
u1=(1,0,0)
u2=(0,1,0)
u3=(0,0,1)
es l.i. y maximal; luego es una base (canónica) para 3 .
2.4 ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERIOR.
Un producto interior sobre un espacio vectorial V es una función
f :VxV→ , que satisface las siguientes leyes, reglas o axiomas:
c-1) f(u ,v)=f(v ,u) ,∀u ,v∈V ( 2.4-1)
o propiedad conmutativa,
c-2) λf(u ,v)=f(λu ,v) ,∀u ,v∈V;λ∈ (2.4-2)
c-3) f(u+v ,w )=f(u ,w )+f(v ,w ) ,∀u ,v ,w∈V (2.4-3)
es decir, el producto interior es lineal en su primer argumento. La
propiedad conmutativa además asegura que es también lineal en su
segundo argumento.
c-4) f(u ,u)≥0,∀u∈V; f(u ,u)=0 ⇔ u=0 , (2.4-4)
Esta propiedad establece el concepto de positivo definido. Como
consecuencia el producto interior es positivo definido.
Es usual llamar al producto interior producto escalar o producto punto,
siendo esta última denominación motivada por la nomenclatura más común
en Ingeniería (donde se usan vectores geométricos), por la linealidad de
que goza el producto interior, y por su conveniencia para operaciones con
bases, como veremos más adelante:
f(u ,v)=u•v (2.4-5)
Obviamente, llamamos Espacio Vectorial con Producto Interior a un
espacio vectorial V premunido de producto interior. La motivación para
introducir un producto interior es la necesidad de trabajar con el concepto
de módulo de un vector.
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
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ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS*
Sea V un espacio vectorial. Una norma sobre V es una función || ||:V→, va | | v ||, con las siguientes propiedades:
i) | |v | |≥0,∀v∈V
ii) | |v | |=0⇔v=0 (2.4-6)
iii) | |αv | |= |α | | |v | | ,∀α∈ ,∀v∈V
iv) | |u+v | |≤ | |u | |+ ||v | | ,∀u ,v∈V
Si se elimina la condición ii), la función || || es una semi norma sobre V.
Un espacio vectorial sobre el cual se ha definido una norma se denomina
Espacio Vectorial Normado o simplemente Espacio Normado. La norma
no es única; un mismo espacio vectorial puede poseer varias normas.
La magnitud, módulo o norma inducida de un vector es una función,
denotada por | | : V→ + ∪{0}, v a |v|, que asigna a todo vector v ∈ V,
v ≠ 0 , un número real positivo mediante la regla:
|v |= v v• (2.4-7)
por cierto:
|0 |=0 (2.4-8)
Llamamos vector unitario a un vector de módulo unitario, es decir, e es
unitario si |e| = 1.
(2.4-7) indica que un producto interior siempre puede ser usado para
definir una norma sobre V en una forma muy natural. La norma así
definida se dice que es inducida por el producto interior. Lo contrario no es
cierto: no toda norma es inducida o proviene de un producto interior. Sin
embargo, existe una equivalencia entre la norma inducida por el producto
interior y cualquier norma para el caso de un espacio de dimensión finita
V. Al respecto tenemos la siguiente:
Proposición.
En correspondencia a cualquier norma || || en un espacio de dimensión
finita V, existen m, M ∈ + , tal que:
m|v |≤ | |v | |≤M|v | ,∀v∈V (2.4-9)
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
13
donde | | es la norma inducida por el producto interior. Se dice que || || y | |
son equivalentes.
Demostración.
Sea B={e1 ,e2 , . . . ,en} una base para V, dimV=n , entonces:
M = n max{||e1||,||e2||,...,||en||}
Como B es una base ∀v∈V, tenemos: v=v ie i . Por lo tanto:
| |v | | = | |v i e i | |
≤ |v i | | |e i | |
≤ M
n i
n
=∑
1
|v i |
pero: |vi|≤ |v | ,∀ i=1,... ,n. Entonces: vi
i
n
=∑
1
≤ n |v |, luego:
||u|| ≤ M|v|
La desigualdad anterior implica que:
| |u-v|| ≤ M|u-v | ,∀u ,v∈V
luego || || es una función continua. Así, ella tiene un mínimo en el conjunto
(compacto) { v : |v| = 1 }, el cual llamaremos m, esto es: m|v| = 1= mín{ ||v||
}, además, por el primer axioma de norma se tiene que m > 0.
El caso v=0 no interesa pues la desigualdad propuesta se cumple
trivialmente.
Sea, entonces, v≠0 , α=1
v, entonces: |αv| = |α| |v| = α|v| = 1
por lo tanto: | |αv | |≥m. Pero, por el tercer axioma de norma:
||αv|| = |α| ||v|| = 1
v||v|| ≥ m
luego: | |v | | ≥ m|v |
lo que termina la demostración. N
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
14
*
PROPIEDADES DE UN ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERIOR
Las siguientes propiedades de un espacio V con producto interior son de
interés:
Proposiciones
a) Desigualdad de Cauchy–Schwarz–Buniakovski (C-S-B),
u•v ≤ |u • v | ≤ |u | |v | , ∀u ,v∈V (2.4-10)
b) Desigualdad triangular,
|u + v| ≤ |u| + |v|, ∀ u, v ∈ V (2.4-11)
c) u v− ≤ |u + v| ≤ |u| + |v| , ∀ u, v ∈ V (2.4-12)
Demostración
a) Desigualdad de C-S-B.
i) Si v = 0 , todos los términos en (2.4.10) son nulos y la desigualdad se
cumple en forma trivial. Por lo tanto, basta considerar el caso
v≠0 ;
ii) Sea v ≠ 0 , α ∈ , entonces:
0 ≤ (u + αv) • (u + αv ) = u • u + 2αu • v + α2 v • v
Sea f(α) = u • u + 2αu • v + α2 v • v
Esta función de clase C∞ es convexa y coerciva, luego posee un mínimo en
α = αo . Para encontrar αo se aplica el criterio:
df
do
α α=2u•v+2αv •v=0 ;
>=
α•
α02
d
fd
o
2
2
v v
es decir: αo=-u v
v v
•
•
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
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luego: 0 ≤ |u+αov|2
= |u |2
– u v
v
•2
2 (2.4-10a)
o bien: 0 ≤ |u |2
|v|2– |u •v |
2
luego: |u •v|2≤ |u |
2|v |
2
obviamente: u •v ≤ |u •v|
De las dos últimas desigualdades resulta la desigualdad de C-S-B:
u •v ≤ |u •v| ≤ |u | |v |
De la expresión (2.4-10a) vemos que la igualdad en la desigualdad de C-S-
B se produce cuando |u+αov|2=0 , es decir, u+αov=0. Por lo tanto,
como
v≠0 resulta |u •v |= |u||v | si y solo si u es un múltiplo escalar de v.
Si u •v>0, u es un múltiplo escalar no negativo de v (e inversamente).
b) Desigualdad triangular.
Se tiene |u+v |2
=(u+v) •(u+v)
=u •u+2u •v+v •v
= |u |2+2u •v+|v |
2
usando la desigualdad de C-S-B:
|u+v |2 ≤ |u |
2+2|u | |v |+ |v |
2 = ( |u |+ |v |)
2
luego: |u+v | ≤ |u |+ |v | .
c) En primer lugar demostraremos que:
| |u|- |v| | ≤ |u-v | ≤ |u |+ |v |
En efecto:
( )
( )
−+=
−+=
uvuv
vuvu
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
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⇒
−+≤
−+≤
uvuv
vuvu
⇒
−−≤−−≤−
−≤−
vuvu
vuvu
vuvu
es decir:
como además |u-v | = |u+(-v) | ≤ |u |+ |-v | = |u |+ |v |, tenemos:
| |u |- |v | | ≤ |u-v | ≤ |u |+ |v | .
Por otra parte: | |u |- |v | | ≤ |u+v | ≤ |u |+ |v | es consecuencia de la primera,
considerando v = -v . �
EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERIOR
1) La multiplicación ordinaria en satisface los axiomas de producto
interior, luego es un e.v.p.i. .
2) En n, definamos el siguiente producto interior (llamado canónico o
Euclideano), ∀ (x1 , x2 , ... , xn), (y1 , y2 , ... , yn
) ∈ n.
(x1, , x2 , ... , xn) • (y1, , y2 , ... , yn
) = xi yi
Es fácil verificar que este producto interior satisface los axiomas
correspondientes. Así n es un e.v.p.i. .
La forma más general de definir un producto interior en n es la siguiente:
se toma una matriz real de orden n, simétrica y positiva definida A = [aij].
El producto interior queda definido por : f(u ,v)=a i ju iv j ,∀u ,v∈ n ;
u=(u1 ,u2 , . . . ,un) , v=(v1 ,v2 , . . . ,v
n) . El producto interior canónico se
obtiene si consideramos A = I, la matriz identidad de orden n.
3) Sea V= C,a b
o. Entonces si f, g∈V, ∫
b
a
f(x)g(x)dx es un producto
interior.
4) En l2, sean u=(x1 , x2 , .....) y v=(y1 , y2 , .....). Entonces la operación
siguiente define un producto interior en l2:
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
17
f(u ,v)=u •v=x i y i
ANGULO ENTRE VECTORES.
La desigualdad de C-S-B nos permite definir el ángulo entre vectores, de la
siguiente manera:
cos =
=
θ u v
u v
uu
vv
•
• = eu•ev (2.4-13)
y θ es el ángulo entre los vectores u y v.
Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si u • v = 0. Así, el vector
nulo es perpendicular a cualquier vector.
2.5 ESPACIOS DE PUNTOS EUCLIDEANOS VECTORES ESPACIALES O GEOMÉTRICOS
Un espacio de puntos Euclideano E es un conjunto de elementos X, Y, ...
, llamados puntos, tal que cada par de elementos X,Y∈E definen un
segmento de línea dirigido XY→
, el cual tiene una longitud dada por el
largo del segmento y una dirección dada por la orientación desde X hacia
Y, ver figura 2.5.1.
Figura 2.5.1 Segmento de línea dirigido desde el punto X al punto Y.
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
18
En realidad, existe un número infinito de segmentos de líneas dirigidos
equivalentes al segmento XY→
, los que tienen la misma longitud y la misma
dirección. Llamamos vector espacial o vector geométrico al conjunto de
todos los segmentos de línea dirigidos con la misma longitud y dirección, y
lo designamos por {XY→
}, con su longitud denotada por |{XY→
}|, o
simplemente |XY→
|.
A continuación definiremos las operaciones de adición y multiplicación
por escalares que transformarán al conjunto de los vectores geométricos en
un espacio vectorial en el sentido abstracto.
ADICION DE VECTORES GEOMETRICOS.
La adición de segmentos de línea dirigidos queda definida por:
XY RS = XY + YZ XZ→ → → → →
+ = (2.5-1)
Donde RS→
∈{YZ→
}. Esto es, para sumar dos segmentos de línea dirigidos
debe usarse el segmento de línea dirigido equivalente al segundo segmento
de línea original y emplear la ley del paralelógramo. Geométricamente, la
adición de segmentos de líneas dirigidos se representa en la figura 2.5.2.
Obviamente, la suma definida en (2.5-1) también puede ser escrita como:
XY RS RS XY RS ST RT→ → → → → → →
+ = + = + = (2.5-2)
donde XY→
∈ {ST→
}. Geométricamente, esta operación se muestra en la
figura 2.5.3.
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
19
Figura 2.5.2. Adición de segmentos de línea dirigidos.
Figura 2.5.3 Otra forma equivalente de sumar segmentos de línea
dirigidos.
Como existen infinitas formas para efectuar la suma de segmentos de línea
dirigidos, la adición de vectores geométricos queda simbolizada por:
{ XY→
}+{ YZ→
}={ XZ→
} (2.5-3)
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
20
Evidentemente el vector geométrico nulo es {XX→
}para cualquier punto X
y el aditivo inverso de {XY→
} es {YX→
}.
Es materia fácil verificar que la adición de vectores geométricos así
definida satisface los cuatro axiomas para la adición de espacios
vectoriales abstractos.
MULTIPLICACIÓN DE VECTORES GEOMÉTRICOS POR ESCALARES
Sea α ∈ un escalar y {XY→
} un vector geométrico. El vector espacial α{XY
→
} es un vector espacial que tiene la misma dirección de {XY→
} si α >
0 y la dirección contraria si α < 0 y su longitud es |α| veces la de {XY→
}.
Nuevamente, es materia fácil ver que se verifican las propiedades para la
multiplicación por escalares en un espacio vectorial abstracto. Se puede
concluir que el conjunto de los vectores espaciales con estas operaciones
tiene la estructura algebraica de espacio vectorial y los vectores espaciales
definidos sobre un espacio de puntos Euclideano constituyen un espacio
vectorial.
PRODUCTO INTERIOR DE VECTORES GEOMÉTRICOS.
Dotamos de producto interior al espacio vectorial de los vectores
geométricos, a través de la definición del producto escalar entre dos
vectores geométricos {XY→
} y {RS→
} de la siguiente manera:
{ XY→
} •{ RS→
}=| XY→
| | RS→
|cosθ (2.5-4)
donde θ es el ángulo entre {XY→
} y {RS→
}.
Este producto escalar satisface las propiedades para producto interior en
espacios vectoriales abstractos (ver (2.4-13) para ver la coherencia de esta
afirmación).
Por lo tanto, el conjunto de los vectores geométricos es un espacio
vectorial con producto interior en el sentido abstracto. A tal tipo de espacio
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
21
lo llamamos Espacio Vectorial Euclideano o simplemente Espacio
Euclideano.
Como cada par de puntos X,Y ∈ E definen un vector en el sentido
abstracto {XY→
}= v ∈ V, la asociación entre puntos X,Y y el vector v
puede expresarse en términos de la operación diferencia de puntos:
- : E x E → V, (X,Y) av = Y – X (2.5-5)
tal que: Y=X+v (2.5-6)
De igual manera:
Y-Z=(Y-X)+(X-Z) (2.5-7)
u=v+w=w+v
Geométricamente, la operación diferencia de puntos se muestra en la figura
2.5.4.
Figura 2.5.4. Operación diferencia de puntos.
La regla (2.5-6) indica que la suma de un punto con un vector es otro
punto. Esto induce a denominar al espacio vectorial V espacio de
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
22
traslaciones subyacente al espacio de puntos E, es decir, los vectores
pueden usarse para trasladarse entre puntos de E.
El vector nulo 0 ∈ V se obtiene de:
0=X-X,∀X∈E (2.5-8)
La distancia entre los puntos X,Y ∈ E queda definida por la función
d:ExE→ +∪{0},(X,Y)ad(X,Y), dada por:
d(X,Y)=|Y-X|= (Y X) (Y X)− −•
= −(Y X)2 (2.5-9)
ESPACIOS MÉTRICOS*
Sea F un conjunto, F ≠ Φ, cuyos elementos designaremos por p, q, ... , y
que llamaremos puntos. Una distancia es una función d: F x F → + ∪{0}, tal que:
i) d(p,q)≥0 ,∀p,q∈F; d(p,q)=0⇔p=q;
ii) d(p,q)=d(q,p) ,∀p,q∈F;
iii) d(p,q)≤d(p,r)+d(r,q) ,∀p,q,r ,∈F
Si existe tal función d decimos que F es un espacio métrico.
La función distancia introducida en (2.5-9), satisface las axiomas para la
función distancia en espacios métricos abstractos, por lo tanto E es un
espacio métrico. *
En este texto trabajaremos con un espacio de puntos Euclideano
tridimensional E3, de tal manera que su espacio de traslaciones V es de
dimensión 3. Luego, cualquier base para V consiste de tres vectores
linealmente independientes.
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
23
2.6 BASES OBLICUAS Y BASES CARTESIANAS: REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA, INDICIAL Y MATRICIAL DE VECTORES
Sea V el espacio vectorial Euclideano de traslaciones subyacente al
espacio de puntos Euclideano tridimensional E3. Sabemos que una base
para V es un conjunto de tres vectores base que denotaremos por:
B = ≡
3
2
1
e
e
e
{ei} (2.6-1)
de tal manera que todo vector v ∈ V puede ser representado por la
combinación lineal única:
v=vie i (2.6-2)
donde los escalares vi, i = 1,2,3, reciben el nombre de componentes
contravariantes de v con respecto a la base B.
Al escribir a un vector de V en la forma v estamos usando la notación
intrínseca, simbólica o directa y al escribir vi ei usamos notación indicial,
la que requiere el uso de una base.
Alternativamente, podemos usar las reglas del álgebra de matrices para
denotar cualquier vector; podemos escribir:
v=[v1v
2v
3]
3
2
1
e
e
e
=[v]TB (2.6-3)
ó
v=[e1e2 e3]
3
2
1
v
v
v
=BT[v] (2.6-4)
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
24
donde: [v]=
3
2
1
v
v
v
(2.6-5)
es la matriz de componentes (contravariantes) de v con respecto a la base
B.
El producto interior, escalar o producto punto entre los vectores base lo
simbolizamos por:
e i•e j=g i j , i , j=1,2,3 (2.6-6)
Los gij se denominan coeficientes métricos. La matriz métrica queda
definida por el arreglo [gij].
Debido a la conmutatividad del producto escalar de vectores, se cumple
g ij=g ji, ∀i, j, propiedad de simetría de gij.
Decimos que la base B es ortogonal si:
gij =
≠
=≠
jsi,0
jsi,0
(2.6-7)
Decimos que la base B es ortonormal o cartesiana si:
gij = δij = [ ]
=
≠100
010
001
g,jisi,0
j= isi,1ij (2.6-8)
donde δij se denomina delta de Kronecker. Una base cartesiana consiste
solo de vectores unitarios ortogonales entre sí.
Una base B que no es ortogonal se dice que es oblicua.
Sea B = {ei} una base para V. Decimos que la base B' = {ei} es la base
dual o base recíproca de B si y solo si:
e i•e j= δ δj
i
ij= (2.6-9)
o, equivalentemente:
e i•ej= δ δi
j
ij= (2.6-10)
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
25
Por supuesto, definimos:
e i•e j=g i j , [gi j] (matriz métrica dual) (2.6-11)
Como B' es una base para V, todo vector v puede representarse por la
combinación lineal única:
v=v iei (2.6-12)
donde los escalares vi se denominan componentes covariantes de v con
respecto a la base B'.
Proposición
Los coeficientes métricos y componentes de un vector v cumplen:
i) vi=v •e
i,v j=v •e j
ii) e i=g i jej , B=[g i j]B '
iii) ei=g
i je j , B'=[g
i j]B (2.6-13)
iv) gi jg j k=δ k
i=δ i k , [g
i j][g i j]=[I]
v) v i=g i jvj
(bajar un superíndice) [v]=[g i j][v']
vi) vi=g
i jv j (subir un subíndice) [v']=[g
i j] [v]
todas fórmulas útiles al trabajar con componentes. Se dice que gij
sube
índices y gij baja índices.
Demostración.
i) v •ei = v
j e j•e
i = v
jδ j
i = v
i ⇒ v = (v •e
i)e i
v •e i = v jej•e i = v jδ i
j = v i ⇒ v = (v •e j)e
j
ii) e i=(e i•e j)ej (usando i)
=g i jej
(definición)
iii) ei=(e
i•e j)e j (usando i)
=gi je j (definición)
iv) δ k
i=e
i•ek (definición)
=ei•gk je
j (usando ii)
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
26
=ei•e
jgk j (linealidad producto escalar)
=gi jg j k (def. y simetría coef. métricos)
v) v i=v •e i (usando i2)
=vje j•e i (expansión de v en B)
=g i jvj (def.)
vi) vi=v •e
i
=v jej•e
i
=gi jv j 2
De (2.6-13)ii se observa que si la base B es ortonormal, la base dual B' es
idéntica a B, y de (2.6-13)v se observa que las componentes contravariantes
son iguales a las covariantes. De allí que para el caso de bases cartesianas
es innecesario distinguir entre la base B y su dual B', y entre las
componentes covariantes y contravariantes de un vector v. Esto nos
permite escribir para el caso en que B es una base cartesiana, ortonormal o
unitaria:
v=(v •e i)e i=v ie i (2.6-14)
A no ser que se establezca explícitamente lo contrario, cada vez que
consideremos una base, ésta será cartesiana, de manera que cualquier
vector puede ser representado en notación indicial cartesiana por:
v=v i e i (2.6-15)
o en notación matricial:
v = v v v1 2 3 [ ]
3
2
1
321
3
2
1
v
v
v
eee =
e
e
e
(2.6-16)
=[v]TB=B
T[v]
Veremos a continuación la conveniencia de usar la nomenclatura de
producto punto para el producto interior en V. Al usar bases cartesianas,
tenemos para el producto interior entre dos vectores u, v ∈ V:
u •v = u ie i•v je j
= u iv je i•e j (linealidad del p.i.)
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
27
= u iv jδ i j (la base es cartesiana) (2.6-17)
= u iv i (δ i j=0 si i≠ j )
= u1v1+u2v2+u3v3
En algunos textos se dice que el producto punto efectúa una contracción de
las direcciones ei , ej . Por otra parte, debido a (2.4-13), el ángulo entre los
vectores u y v está dado por:
cosθ =u v
u v u v u v1 1 2 2 3 3+ + (2.6-18)
Obviamente, si v = ei en (2.6-17), obtenemos:
u •e i=u je j•e i
=u jδ j i (2.6-19)
=u i=|u | |e i |cosθ
= |u |cosθ
es decir, la componente ui del vector u ∈ V es la proyección
(perpendicular) de u sobre ei.
El uso de notación indicial cartesiana es una herramienta poderosa en la
demostración de identidades en que participan vectores.
2.7 TEOREMA DE REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES LINEALES*
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita y sea f : V→ . Entonces f
es lineal si y solo si existe a∈V tal que f(v)= a • v, ∀v∈V. El vector a es
único.
Demostración.
Consideraremos una base cartesiana para V, con dimV = n. Esta base se
denotará por {ei}.
1) Existencia.
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
28
i) (⇒) Sea f : V → , lineal. Sabemos que ∀v∈V, tenemos: v = vi ei.
Sea ai = f(ei), ∀i =1,2, ... , n. Entonces, ya que f es lineal:
f(v)=f(v ie i)=v if(e i)=a iv i=a •v ;a=a ie i
ii) (⇐) sea f(v) = a • v entonces:
a) f(u+v)=a •(u+v)=a •u+a •v=f(u)+f(v)
b) f(αv)=a •(αv)=αa •v=αf(v)
luego f es lineal.
2) Unicidad.
Supongamos que existen a1 y a2, tal que f(v)=a1 •v , f(v)=a2 •v ,∀v∈V,
con a1 ≠ a2. entonces
0=f(v)-f(v) = a1 •v-a2 •v = (a1-a2) •v ,∀v∈V
luego a1 -a2 = 0, lo que implica que a1 = a2 , un absurdo.
∴ a es único. N
*
2.8 SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES PARA E3
Llamamos origen del Espacio de puntos Euclideano tridimensional E3 a un
punto simbolizado por O, donde se aplican los vectores base {ei} de V.
Luego, una base cartesiana de E3 es el conjunto {O, {ei} }. Sin embargo,
esta nomenclatura raramente se usa y el usar una base subentiende la
elección del origen. Por ello la base se indica simplemente con {ei}, o por
la nomenclatura BT = [e1 e2 e3]. Luego, es posible ubicar un punto
cualquiera
X ∈ E3 mediante su vector de posición r, representado por la diferencia de
puntos:
r=X-O=x ie i (2.8-1)
Por ejemplo, el vector de posición del origen es 0.
Las tres componentes del vector de posición xi, i =1,2,3 son las
coordenadas (rectangulares) del punto X∈E3. Formalmente, las
coordenadas del punto
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
29
X ∈ E3 son los tres campos escalares xi(X), definidos por las funciones
xi : E3 → , i = 1,2,3. Decimos que cada una de estas funciones forma un
eje de coordenadas; cada dos de ellas un plano coordenado; y las tres un
sistema de coordenadas para E3.
Existe un isomorfismo evidente entre los puntos X ∈ E3 , los vectores
r = X-O ∈ V y el triple (x1 , x2 , x3 ) ∈ 3 , que representa las coordenadas
de X con respecto a una base cartesiana dada. Esto permite representar a
los vectores libres de V mediante vectores de posición ligados al origen de
E3 o mediante tres números reales.
Figura 2.8.1. Sistema de coordenadas para el espacio E3.
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
30
Figura 2.8.2. Base cartesiana derecha en el punto 0∈ E3 .
Eligiendo un orden para el conjunto {e1 ,e2 ,e3} se determina una
orientación en E3 , V y
3 convirtiendo a éstos en espacios orientados. De
las dos orientaciones posibles para espacios tridimensionales, llamamos a
una positiva o derecha y a la otra negativa o izquierda. A no ser que se
diga otra cosa, todas las orientaciones serán derechas, tal como se muestra
en la figura 2.8.2. Una base derecha sigue la regla de la mano derecha.
2.9 PRODUCTO VECTORIAL.
El producto vectorial es una operación definida por x : V x V → V,
(u ,v)aw = uxv , que satisface los axiomas siguientes:
a) u x v = – v x u,∀u,v∈V (2.9-1)
o propiedad anticonmutativa.
b) (αu+βv)xw = αuxw+βvxw , ∀u ,v ,w∈V, (2.9-2)
∀α, β∈
o propiedad distributiva.
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
31
c) u•(uxv) = 0,∀u,v∈V (2.9-3)
que establece que el vector producto es perpendicular al primer vector.
La propiedad anticonmutativa a) implica que el vector producto es
también perpendicular al segundo vector.
d) (uxv) •(uxv) = (u •u)(v •v)-(u •v)2
(2.9-4)
que establece el módulo del producto vectorial.
Observación
En muchos textos el producto vectorial se denota usando el símbolo "^",
pero nosotros conservaremos la cruz clásica, pues el símbolo "^" lo
reservaremos para el producto antisimétrico o exterior de dos vectores.
Llamamos triple producto escalar de los vectores u, v, w ∈ V y que
denotamos por [u, v, w] a:
[u ,v ,w ]=u •(vxw ) ,∀u ,v ,w∈V (2.9-5)
Los axiomas (2.9-1) a (2.9-4) permiten obtener las siguientes propiedades
para operaciones en que intervienen productos vectoriales:
Proposición
1) uxv=0⇔u ,v son l.d., (2.9-6)
2) [u ,v ,w ]=[v ,w ,u]=[w ,u ,v]
= – [u, w, v] = – [v, u, w] = – [w,v,u] (2.9-7)
∀u, v, w ∈ V.
que dice que en el triple producto escalar, los tres vectores producto se
pueden permutar cíclicamente. Esto es, cualquier permutación par
conduce al mismo resultado. Cualquier permutación impar cambia el
signo del resultado.
3) [αu+βv ,w ,x]=α[u ,w ,x]+β [v ,w ,x] (2.9-8)
∀ u, v, w, x ∈ V, ∀ α, β∈ .
4) [u ,v ,w ]=0⇔u , v, w son l.d. (vectores coplanares). (2.9-9)
5) Sea B una base para V, entonces:
e2xe3=e1 , e3xe1=e2 , e1xe2=e3
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
32
e3xe2= –e1 , e1xe3= –e2 , e2xe1= –e3
e ixe i=0 ,∀ i=1,2,3(sin suma)
6) |uxv |= |u | |v |senθ (de 2.9-4) (2.9-10)
donde θ es el ángulo entre los vectores u y v, tomado como el menor
posible (es decir, 0 ≤ θ ≤ π).
Demostración
Solo demostramos las proposiciones 1) y 6) dejando el resto como
ejercicio.
1) uxv = 0 ⇔ u,v son l.d.
(⇒) uxv=0
Por el axioma (2.9-4),
0=|u |2|v |
2– (u •v)
2
∴(u •v)2=|u |
2|v |
2
y : (cosθ)2 =
( )u v
u v
•=
2
2 21 entonces θ=0,π y u,v son l.d.
(colineales).
(⇐) u ,v l .d.⇒ u=αv , α∈ , es decir:
|uxv |2=|u |
2|v |
2-(u •v)
2
=α2|v |
4-α2
|v |4=0
∴uxv=0
6) |uxv |2=|u |
2|v |
2 -|u |
2|v |
2cos
2 θ
= |u |2|v |
2(1-cos
2θ)
=|u |2 |v |
2sen
2θ
∴|u x v| = |u| |v| sen θ ; 0≤ θ ≤ π.
Observe que θ no puede ser mayor que π, ya que senθ < 0 para ángulos
obtusos. N
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
33
Una forma elegante y compacta de expresar el producto vectorial es a
través de la introducción del símbolo permutador o alternador ∈ijk,
definido por:
Definición
∈ijk =
− 123de impar n permutacióuna es ijk si ,1
123de par n permutacióuna es ijksi ,1
repitense índices dos menos al si ,0
(2.9-11)
Luego, todas las fórmulas que expresan el producto vectorial entre vectores
base pueden sintetizarse a:
e ixe j=∈ i j kek (2.9-12)
Así, en notación indicial cartesiana, el producto vectorial entre dos
vectores u, v, queda dado por:
uxv=u ie ixv je j
=u iv je ixe j (linealidad) (2.9-13)
=u iv j∈ i j kek
También, tenemos:
[e i ,e j ,ek]=e ixe j•ek =∈ i j le l•ek
=∈ i j lδ l k (2.9-14)
=∈ i j k
Recordemos que el determinante de una matriz A = [aij] está definido por
las expresiones equivalentes:
∈ijk∈mnp det A =
a a a
a a a
a a a
im in ip
jm jn jp
km kn kp
=
a a a
a a a
a a a
mi ni pi
mj nj pj
mk nk pk
(2.9-15)
Apliquemos esta definición a la matriz:
A=
δδδδδδδδδ
kpknkm
jpjnjm
ipinim
(2.9-16)
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
34
que representa a una matriz cuyo determinante será 1, -1, ó 0. Por ejemplo,
la forma (2.9-16) representará a las matrices:
100
010
001
,
000
101
010
,
011
101
001
, . . . (2.9-17)
(det A= 1) (det A=0) (det A= -1)
Así, aplicando (2.9-15), obtenemos:
∈ i j k ∈mnp=
δ δ δδ δ δδ δ δ
i in ip
j jn jp
k kn kp
m
m
m
(2.9-18)
=δ im(δ j nδkp-δ j pδkn
)-δ i n(δ jmδkp-δ j pδkm)
+δ i p(δ jmδkn-δ j n
δkm) (2.9-19)
Esta fórmula es importante pues conduce a la siguiente identidad
fundamental entre el símbolo alternador y el delta de Kronecker:
∈ijk∈mnk= δim(δjnδkk - δjkδkn)-δin(δjmδkk - δjkδkm)+δik(δjmδkn - δjnδkm)
= 3δimδjn - δimδjkδkn - 3δinδjm + δinδjkδkm + δikδjmδkn - δikδjnδkm
= 3δimδjn - δimδjn - 3δinδjm + δinδjm + δjmδin - δjnδim
= δimδjn - δinδjm
es decir: ∈ ∈ = −ijk mnk im jn in jmδ δ δ δ
(2.9-20)
luego, en cualquier expresión donde aparezca la multiplicación de dos
símbolos alternadores (posiblemente provenientes del producto vectorial
entre vectores base), y donde al menos un subíndice aparezca en ambos
alternadores, se puede aplicar (2.9-20) para eliminar el subíndice repetido.
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
35
Así, por ejemplo:
a) ∈ijk∈ljk=δilδjj-δijδjl
=3δil-δil (2.9-21)
=2δil
b) ∈ijk∈ijk=δiiδjj-δijδji
=3x3-δii (2.9-22)
=9-3
=6
La identidad (2.9-20) es muy útil para la demostración de identidades en
que aparecen varios productos vectoriales entre vectores, tal como veremos
un poco más adelante.
De acuerdo a (2.9-10) vemos que |uxv| representa el área del paralelógramo
cuyas aristas coinciden con los vectores u y v como se muestra en la figura
2.9.1.
Es interesante observar de (2.9-13) que:
uxv=(u2v3-u3v2)e1+(u3v1-u1v3)e2+(u1v2-u2v1)e3
= (u2v3-u3v2)e1-(u1v3-u3v1)e2+(u1v2-u2v1)e3 (2.9-23)
=e e e1 2 3
1 2 3
1 2 3
u u uv v v
Por otra parte, el producto mixto queda dado por:
u •vxw=u ie i•v jekxwkek
=u iv jwk∈ i j k
=u1(v2w3-v3w2)+u2(v3w1-v1w3)+u3(v1w2-v2w1)
[u ,v ,w ]=u1(v2w3-v3w2)-u2(v1w3-v3w1)+u3(v1w2-v2w1)
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
36
Figura 2.9.1. Interpretación geométrica del producto vectorial.
Figura 2.9.2. Interpretación geométrica del producto mixto.
=
u u u
v v v
w w w
u v w
u v w
u v w
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 1 1
2 2 2
3 3 3
= (2.9-24)
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
37
ya que el valor de un determinante no cambia si se intercambian líneas por
columnas y vice-versa.
El módulo del producto mixto entre tres vectores nos da el volumen del
paralelepípedo cuyas aristas coinciden con los vectores producto, tal como
se muestra en la figura 2.9.2.
Proposición
El producto vectorial satisface las siguientes identidades:
1) ux(vxw )=(u •w )v-(u •v)w,∀u ,v ,w∈V (2.9-25)
2) (uxv)xw=(w •u)v-(w •v)u,∀u ,v ,w∈V (2.9-26)
3) (axb)x(cxd)=(c •dxa)b-(b •cxd)a (2.9-27)
=(d •axb)c-(a •bxc)d
∀a ,b ,c ,d∈V.
Las dos primeras ecuaciones demuestran el hecho de que el producto
vectorial no es una operación asociativa. Así, en el caso del triple producto
vectorial es indispensable el uso de paréntesis, cosa que no era necesaria en
el caso del producto mixto.
El producto que aparece en el miembro izquierdo de (2.9-27) se denomina
cuádruple producto vectorial y es importante en la determinación de la
relación entre una base B y su base recíproca B'.
Demostración.
Solo demostraremos la primera identidad, pues las otras se efectúan de
manera muy similar, y las dejamos de ejercicio.
ux(vxw ) =u ie i x(v je jxwkek)
=u iv j wk∈ j k l e i xe l
=u iv j wk∈ j k l∈ i lmem
=u i v jwk∈ j k l ∈milem
=u iv jwkδ jmδk i em-u iv jwkδ j iδkm em
=u iv jw ie j-u iv iwkek
=(u iw i)(v je j)-(u iv i)(wkek)
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
38
=(u •w )v-(u •v)w �
Las relaciones entre los vectores de una base B y su base recíproca B',con
B =
3
2
1
e
e
e
y B' =
3
2
1
e
e
e
se encuentran dadas en la siguiente:
Proposición
Sea B una base y B' su base recíproca, entonces:
ei = kjieee
ee
321
k j ≠≠• x
x (2.9-28)
donde i jk es una permutación par de 123.
Demostración.
Basta considerar los dos miembros del lado derecho de (2.9-27), tomando:
a=e1 , b=e2, c=e3 , d=v
donde v ∈ V es un vector cualquiera. Tenemos:
(e3 •vxe1)e2-(e2 •e3xv)e1=(v •e1xe2)e3-(e1 •e2xe3)v
Luego:
(e1 •e2xe3)v=(v •e2xe3)e1+(v •e3xe1)e2+(v •e1xe2)e3
donde usamos (2.9-7)
Así, el vector v expresado en términos de la base B queda dado por:
[ ] [ ] [ ]
+
+
= ••• 3
321
212
321
131
321
32
,,,,,,e
eee
eeve
eee
eeve
eee
eevv
xxx
es decir:
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
39
[ ]
[ ]
[ ]321
213
321
132
321
321
,,
,,
,,
eee
eee
eee
eee
eee
eee
x
x
x
=
=
=
que escritas en forma compacta proporcionan la fórmula (2.9-28). N
Observaciones
i) Si B es cartesiana: [e1 ,e2 ,e3]= 1 y e ixe j = ek cuando ijk es permutación
par de 123. Por lo tanto, de (2.9-28):
ei=e i; i=1,2,3
y B' = B , como ya habíamos visto.
ii) Evidentemente, la relación dual a (2.9-28) es:
[ ] kji ,,
≠≠=321
kj
ieee
e ee
x, ijk permutación par de 123.
Ejemplo
Sea B =
++ kji
j
i
. Demuestre que B es una base (oblicua) para el
espacio de traslaciones V de E3. Encuentre la base dual B' y expanda el
vector v = 4i + 2j + 3k en términos de B y B'. Determine las matrices de
coeficientes métricos [gij] y [gij] y verifique todas las relaciones (2.6-13).
Solución
i) Verificación que B es una base oblicua.
e1= i , e2=j , e3= i+j+k
Sea αe1+βe2+γe3=0 , entonces:
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
40
αi+β j+γ( i+j+k)=0
como
k
j
i
es una base,
=γ=γ=β=α⇒=γ+β
=γ+α
0
00
0
y la base B es realmente una base. Como e1 • e3 = 1 ≠ 0, la base es
oblicua.
ii) Determinación de la base dual B'.
[e1 ,e2 ,e3]=e1•e2xe3
= i•jx( i+j+k)
= i•(-k+ i)
=1
∴ e1
= e2xe3 = jx( i+j+k) = i-k
e2
= e3xe1 = ( i+j+k)xi = j-k
e3
= e1xe2 = ixj = k
=
k
kj
ki
B' -
-
=======++==
•
•
••
9v
2v
4)324(v
33
22
11
ev
ev
ikjiev
==−==
==
•
•
•
3v
1v
1v
33
22
11
ev
ev
ev
∴ v = 4 i+2j+3k = e1-e2+3e3 = 4e1+2e
2+9e
3
iii) Determinación de las matrices de coeficientes métricos.
g i j = e i•e j ⇒ [g i j] =
311
110
101
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
41
g i j = e i•e j ⇒ [gi j] =
−−−−
111
121
112
luego:
[gij][gij] = [g
ij][gij] =
100
010
001
Las demás verificaciones se dejan de ejercicio al lector.
2.10 TRANSFORMACIÓN DE LAS COMPONENTES DE UN VECTOR
BAJO UN CAMBIO DE BASE (CARTESIANA)
En esta sección estamos interesados en determinar cómo se transforman las
componentes de un vector si efectuamos un cambio de base.
SeanB=
3
2
1
e
e
e
yB*=
*3
*2
*1
e
e
e
dos bases (cartesianas).
Luego, podemos expresar cada vector unitario de la base B* en términos de
los vectores unitarios de la base B:
ei* =(e
i* •e j)e j=Q i je j , i=1,2,3 (2.10-1)
Cada producto escalar ei* • ej = Qij ; i=1,2,3; j=1,2,3, representa el
coseno del ángulo entre los vectores e i
*y ej. Debido a que los vectores
bases son unitarios, a Qij lo denominamos coseno director o coseno
directriz.
Así las ecuaciones pueden escribirse en notación matricial:
*3
*2
*1
e
e
e
=
333231
232221
131211
QQQ
QQQ
QQQ
3
2
1
e
e
e
(2.10-2)
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
42
B*=[Q]B
La matriz [Q] se denomina matriz de cosenos directrices (directores) ó
matriz de transformación.
Obviamente las relaciones duales a (2.10-1) y (2.10-2) están dadas por:
e i=(e i•e j* )e j
* =Q j ie j* (2.10-3)
B=[Q]TB *
Cualquier vector v puede escribirse ahora:
v=v ie i=v j* e j
* (2.10-4)
Proposición
a) La matriz [Q] es ortogonal.
b) det[Q]=1
c) vi*=Qijvj , [v
*]=[Q][v] (2.10-5)
vi=Qjiv*j , [v]=[Q]
T[v*]
Demostración
a) B*=[Q]B
=[Q][Q]TB
*
⇒ [Q][Q]T=[I]
y : B =[Q]TB
*
=[Q]T[Q]B
⇒ [Q]T[Q]=[I]
luego [Q] es ortogonal y [Q]- 1
=[Q]T.
b) det ( )T[Q][Q] =det[I]=1
det[Q]det[Q]T=1
(det[Q])2=1
luego: det[Q]=±1
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
43
Como ambas bases son derechas (a no ser que se diga otra cosa),
debemos tener:
det[Q]=1
c) v i* =v •e i
*
=v je j•e i*
=v j e i* •e j
=v jQ i j
=Q i jv j
ó [v*]=[Q][v]
v i=v •e i
=v i* e i
* •e i
=v j *Q j i
=Q j iv j*
ó [v]=[Q]T[v*]
Ejemplo
Sean BT = [i j k] , B
*T =
+− kjiji )(
2
1)(
2
1= e e e1 2 3
* * *
a) Calcule [Q] y exprese v = 2i + 3j - k en términos de B*,
b) Verifique la ortogonalidad de [Q]
Solución
a) [Q] =
−
100
02
1
2
1
02
1
2
1
, det [Q] = 1
2
1
21+ =
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
44
(Ambas bases son derechas)
[v*]=
−
100
02
1
2
1
02
1
2
1
−1
3
2
=
−
−
1
25
2
1
,
es decir: v=-1
2
5
21 2 3e e e* * *+ −
b) [Q][Q]T=
−
100
02
1
2
1
02
1
2
1
−
100
02
1
2
1
02
1
2
1
=
100
010
001
de la misma forma:
[Q]T [Q] =
−
100
02
1
2
1
02
1
2
1
−
100
02
1
2
1
02
1
2
1
=
100
010
001
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
45
2.11 REFERENCIAS
1. Anton, H., "Elementary Linear Algebra", John Wiley and Sons,
5th. Ed. (1987).
2. Aris, R., "Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics",
Englewood Cliffs, Prentice Hall (1962).
3. Bartle, R.G., "The Elements of Real Analysis", Wiley International
Edition. (1975).
4. Chadwick, P., "Continuum Mechanics", John Wiley & Sons (1976).
5. Halmos, P.R., "Finite-dimensional Vector Spaces",2d.Ed.Van Nostrand
(1958).
6. Hoffman K. and Kunze R., "Linear Algebra", Prentice Hall, Englewood
Cliffs (1961).
7. Leigh, D.C., "Nonlinear Continuum Mechanics", Mc Graw Hill (1968).
8. Merrit, F.S., "Métodos matemáticos modernos en Ingeniería", Editorial
Labor S.A. (1976).
9. Slattery, J.C., "Momentum, Energy and Mass Transfer in Continua", Mc
Graw Hill (1972).
10. Grossman, S.I., “Algebra Lineal con Aplicaciones”. Mc Graw Hill (1992)
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
46
2.12 PROBLEMAS.
1) Sea V = 2 = {v = (x, y) : x, y ∈ ). Definimos la adición y
multiplicación por escalares en la forma siguiente:
+:VxV→V;(x,y)+(x1 ,y1)=(x+x1 ,y+y1)
: xV→V;α(x,y)=(αx,y)
∀(x,y),(x1,y1)∈V, ∀α∈
Determine si V es un espacio vectorial con estas operaciones. Fundamente
su respuesta.
2) Sea V un e.v., y sean las operaciones:
⊕ : V x V→V ; u ⊕ v= u - v (adición);
⊗ : x V→V ; α⊗u = -αu (multiplicación por escalares)
donde las operaciones del segundo miembro son las usuales. ¿Qué axiomas
para espacios vectoriales se cumplen para V con las operaciones ⊕ y ⊗?
3) Sea V = Pn el conjunto de todas las funciones f : → , definidas en la
forma:
f(x)=ao+a1x+a2x2+…+anx
n,∀x∈
donde αo, α1, α2, ..., αn son números reales arbitrarios pero fijos (no
dependen de x). Una función de este tipo se denomina polinomio (de grado
n) sobre . Establezca formalmente la adición de polinomios y la
multiplicación de polinomios por escalares para que Pn sea un espacio
vectorial. Demuestre que Pn es un subespacio vectorial de Ro .
4) Sea V= n , n ≥ 3. Cada v ∈ n podemos denotarlo por v≡(x1,x2,…,xn).
¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores en n son subespacios?:
a) U={v:x1≥0}
b) U={v :x1+3x2=x3}
c) U={v :x1=x2}
d) U={v :x1x2=0}
e) U={v :x1∈Q}, Q es el conjunto de los números racionales.
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
47
5) Sea V = R el conjunto de todas las funciones f : → , con las
operaciones usuales de adición y multiplicación por escalares.
¿Cuáles de los siguientes conjuntos de funciones son subespacios de R :
a) U={f:f(x2)=[f(x)]
2,∀x∈ }
b) U={f: f(0)=f(1)}
c) U={f:f(3)=1+f(-5)}
d) U={f: f(-1)=0}
e) U={f: f∈ Ro }(funciones continuas)
f) U={f: f∈ R1 tal que f '+2f=0,∀x∈ } (funciones continuamente
diferenciables o de clase C1).
6) Sea n ∈ N, n ≥ 2. Sea V el espacio vectorial de todas las matrices
cuadradas de orden n. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de matrices A en
el espacio V son subespacios?:
a) U = {A : A es inversible}
b) U = {A : A es no inversible}
c) U = {A : AB = BA, para alguna B ∈ V}
d) U = {A : A2 = A}
7) Sea V = P3 , el espacio vectorial de los polinomios de grado 3. ¿Cuáles de
los siguientes conjuntos de polinomios son subespacios de P3?:
a) U={f∈P3:a0=0}
b) U={f∈P3:a0+a1+a2+a3=0}
c) U={f∈P3:a0 ,a1 ,a2 ,a3∈Z},
Z es el conjunto de los números enteros.
d) U={f∈P3:a2=a3=0}
8) Considere un sistema algebraico lineal de m ecuaciones en n incógnitas:
A x = b
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
48
A =
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
m
2
1
n
2
1
mn2m1m
n22221
n11211
b
b
b
x
x
x
a aa
aaa
aaa
MMMMM =b , =x ,
A es una matriz de orden (m x n), x de (nx1) y b de (m x 1). Demuestre que
el conjunto de soluciones del sistema homogéneo A x = 0, U= {x∈ n: A x
= 0} es un subespacio de n, que denominamos espacio de soluciones de
A x = 0.
9) Sea V un espacio vectorial y U1 ,U2 dos subespacios de V.
a) Demuestre que U3 = U1 ∩U2 es también subespacio;
b) Sean U1 y U2 tales que U1 ∪ U2 es también subespacio. Demuestre que
uno de los subespacios está contenido en el otro;
c) Mostrando un contraejemplo, demuestre que la unión de dos
subespacios no es en general un subespacio.
10) Demuestre, usando un contraejemplo, que si U es un subespacio de un
espacio vectorial de dimensión infinita V, entonces no es cierto que
dimU = dimV ⇔ U= V, implicación válida si V es de dimensión finita,
como se vio en la sección 2.3.
11) Sea S = {v1, v2 , …, vr} un conjunto de r vectores en un espacio vectorial
V.
a) Demuestre que el conjunto U de todas las combinaciones lineales de
vectores en S, U = {v ∈ V; v = α1 v1 +…+ αr vr ; αi ∈ } es un
subespacio de V.
b) Demuestre que U es el subespacio más pequeño que contiene a S, pues
cualquier otro subespacio de V que contenga a S debe también
contener a U.
Simbolizamos a U ≡ < S> y decimos que S genera al subespacio U, o
que U es generado por S.
c) Sean v1 , v2 dos vectores no colineales en 3. Esquematice < S >, con
S = {v1 , v2}. ¿Qué sucede si v1 y v2 son colineales, es decir v2 = αv1,
para algún α ∈ ?.
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
49
12) Sea U cualquier plano que pasa por el origen en 3 , es decir,
U={u∈ 3,u=(x,y,z):αx+βy+γz=0;α ,β ,γ∈ }. Demuestre que U es
un subespacio de 3. Demuestre el resultado equivalente para cualquier
línea en 3 que pasa por el origen.
13) Sean u, v,w∈V, con V espacio vectorial. Demuestre que el conjunto {u-v,
v-w, w-u} es l.d..
14) Sea V = 2R (ver capítulo 4).
a) Demuestre que con las operaciones usuales de adición de funciones y
multiplicación de funciones por escalares, el conjunto V de todas las
funciones de clase 2
en , constituye un espacio vectorial, el cual es
un subespacio de R.
b) Demuestre que las funciones f, g, h ∈ R⋅2 son l.i. si el Wronskiano
W(f, g, h), definido por:
W (f,g,h) =
h''g''f''
h'g'f'
hgf
no es la función nula.
c) Demuestre que los conjuntos {1, x, ex} y {e
x , xe
x , x
2 e
x} son l.i..
15) Sea V un espacio vectorial generado por un conjunto finito de vectores
{v1 , v2 …, vm }, m ∈ N,
a) Demuestre que todo conjunto l.i. de vectores en V es finito y contiene a
lo más m elementos,
b) Demuestre que dos bases cualesquiera de V tienen el mismo número
(finito) de vectores.
16) Demuestre que el conjunto de polinomios S = {1,x,x2, . . . , x
n} forman
una base para Pn, es decir, S genera a Pn.
17) Determine una base para el espacio de soluciones del sistema:
2x1+2x2-x3+x5=0
-x1-x2+2x3-3x4+x5=0
x1+x2-2x3-x5=0
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
50
x3+x4+x5=0
Indicación: Demuestre que existen infinitas soluciones, las cuales pueden
escribirse en forma paramétrica por:
==
−==
−−=
tx
0x
tx
sx
tsx
5
4
3
2
1
∀s,t∈
18) Determine bases para los siguientes subespacios de 3:
a) El plano de ecuación 3x-2y+5z=0
b) El plano de ecuación x-y=0
c) La línea de ecuación paramétrica x=2t,y=-t ,z=4t.
d) El conjunto de todos los vectores de la forma (x,y,z), con y=x+z.
19) Sea V=Pn , con p,q ∈ Pn. Definamos:
<p,q>= dx)x(q)x(pb
a∫
a ,b,∈ fijos, a<b.
Demuestre que < , > define un producto interior para Pn.
20) Sea V=3y u=(u1 ,u2 ,u3) ,v=(v1 ,v2 ,v3)∈
3. Determine cuáles de las
siguientes funciones f:VxV→R definen un producto interior en 3:
a) f(u,v)=u1v1+u3v3
b) f(u,v)=u12v1
2+u2
2v2
2+u3
2v3
2
c) f(u,v)=2u1v1+u2v2+4u3v3
d) f(u,v)=u1v1-u2v2+u3v3
21) Sea V un e.v.p.i. Demuestre que:
a) |u-v |= 2 ,si u y v son vectores unitarios ortogonales.
b) |u+v |2+|u-v |
2=2|u |
2+2|v |
2,∀u ,v∈V
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
51
c) u •v=4
1|u+v |
2-
4
1|u-v |
2,∀u ,v∈V
22) Sea {v1, v2, v3, ... , vr} un conjunto de vectores ortogonales de a pares en un
espacio vectorial con producto interior V, es decir:
v i•v j=0 si i≠ j
Demuestre el Teorema de Pitágoras generalizado:
|v1+v2+…+v r |2=|v1 |
2+|v2 |
2+ ⋅ ⋅ ⋅+|v r |
2
23) Usando vectores geométricos en el plano, demuestre que un triángulo
inscrito en un círculo, con uno de sus catetos igual al diámetro del círculo,
debe necesariamente ser un triángulo rectángulo.
24) Sea V un e.v.p.i.. Demuestre que si w ∈V es ortogonal a cada uno de los
vectores en S = {v1, v2, …, vr}, entonces es ortogonal a todo v ∈ < S >.
25) Use las desigualdades de C-S-B y del triángulo para demostrar que:
a) (αcosθ+βsenθ)2 ≤ α2
+ β2, ∀α,β,θ∈
b) ( ) ( )[ ] ( )[ ]∫≤∫1
o
221
odxxfdxxgxf
( )[ ]∫
1
o
2 dxxg
( ) ( )[ ][ ] ( )[ ] 2/11
o
22/11
o
2dxxfdxxgxf
∫≤∫ + + ( )[ ] 2/11
o
2 dxxg
∫
∀f, g∈ º[0,1]
26) Sea V un e.v.p.i. y S = {e1, e2, ⋅ ⋅ ⋅ , er} un conjunto ortonormal de vectores
en V. Si W = < S >, demuestre que todo v ∈ V puede descomponerse en la
forma:
v=w 1+w 2
donde w1 ∈ W y w2 es ortogonal a W, esto es:
w 1= ( )v e e•
=∑ i i
i
r
1
w 2=v- ( )v e e•
=∑ i i
i
r
1
Demuestre que w1 es la mejor aproximación a v ∈ V, en el sentido que:
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
52
|v-w 1 |< |v-w | ,∀w∈W,w≠w 1
Esquematice geométricamente este resultado en E3 cuando W es un plano
pasando por el origen, usando vectores geométricos representados por
segmentos de línea dirigidos.
27) Sea V= Ro . Considere U = {sen(x), cos(x)}, el subespacio de V generado
por las funciones f = sen(x) y g = cos(x).
a) Demuestre que ∀θ∈ , f1(x)=sen(x+θ) y g1(x)=cos(x+θ) son
vectores en U,
b) Demuestre que f1 y g1 forman una base para U.
28) Sea {e1, e2, . . .,en} una base cartesiana para un e.v.p.i. V. Demuestre que si
αi es el ángulo entre un vector arbitrario v∈V y e i , i = 1,2, . . ., n,
entonces:
∑ =α=
n
1ii
2 1cos
29) Sea S = {v1, v2, ⋅⋅⋅ , vn} un conjunto ortogonal de vectores que genera un
espacio vectorial con producto interior V.
a) Demuestre que S es un conjunto l.i., luego es una base para V;
b) v= ( ) ( ) , ,v vv
vv e e e
v
vv•
=
•∑ = = ∀ ∈i
n
ii
i
i i i i
i
con V1
2
30) Sea V un e.v.p.i. y S ⊂ V, S ≠ Φ cualquier conjunto de vectores en V.
Llamamos complemento ortogonal al conjunto S⊥ de los vectores de V
ortogonales a todo vector de S. Así, por ejemplo, {0}⊥ = V.
a) Demuestre que S⊥ es un subespacio de V,
b) Demuestre que < S > ⊆ (S⊥)⊥
, es decir, (S⊥)⊥
contiene al subespacio
generado por S. Si V es de dimensión finita demuestre que
(S⊥)⊥
= < S >.
c) Sea V = º[-1,1], con el producto interior definido por:
< f, g> = ∫ −1
1f
(t) g(t) dt , ∀ f, g ∈ C
,−1 1
o
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
53
demuestre que el conjunto U de las funciones impares en [-1,1] es un
subespacio de V. Encuentre U⊥
, el complemento ortogonal de U.
31) Sea V un e.v.p.i. de dimensión finita, dimV = n. Sea {v1, v2, … , v
n} una
base para V.
a) Sean:
e1=v
v
1
1
w2=v2-(v2•e1)e1,e2=w
w
2
2
w3=v3-(v3•e1)e1 -(v3•e2)e2,e3=w
w
3
3
• •
•
en=w
w
n
n
Demuestre que el conjunto {e1,e2, … , en} es una base cartesiana para
V.
Este procedimiento, que genera una base cartesiana a partir de una base
cualquiera para un e.v.p.i. de dimensión finita, se denomina Proceso de
Ortonormalización de Gram-Schmidt, y asegura que todo e.v.p.i. de
dimensión finita tiene al menos una base ortonormal.
b) Sea V = 2 , i = (1,0) , j= (0,1). Demuestre que {2i-j , i+j} es una base
para 2. Encuentre la base cartesiana asociada por el Proceso de Gram-
Schmidt.
32) Sea V un e.v.p.i. Sean a,b,c1 ,c2 ∈ V y α1 , α2 , β1 , β2 ∈ , todos fijos.
Determine los vectores u, v ∈ V que satisfacen el sistema:
α1u+β 1(v •b)a=c1
α2(u •b)a+β 2v=c2
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
54
33) Sea V un e.v.p.i. Sean a, b ∈ V y α∈ , todos fijos y α ≠ 0. Demuestre
que el vector (único) v ∈ V que cumple la ecuación:
αv+vxa=b
está dado por:
v =α α
α α
2
2 2
b b a a b a
a
− +
+
•( ) ( )
( )
x
34) Sea S ⊂ . Si S es acotado superiormente, decimos que una cota superior
de S es un supremo ( o menor cota superior) de S si es menor que cualquier
otra cota superior de S. Es decir, x∈ es un supremo del subconjunto
propio S de si:
i) y≤x, ∀y∈S;
ii) Si z∈R, tal que y≤z, ∀y∈S ⇒ x≤z.
Considere V=n, con las funciones || ||1 y || ||∞ :
n → , definidas
por:
||u||1=|x1|+|x2|+…+|xn|
||u||∞=sup{|x1|,|x2|, …,|xn|}
∀u=(x1,x2 ,…,xn)∈
n
a) Demuestre que las funciones || • ||1 y || • ||∞ son normas para n.
b) Demuestre que:
|u •v |≤ | |u | |1 | |v | |1
|u •v |≤ | |u | |∞ | |v | |∞ , ∀u ,v∈ n
c) Si u, v ∈ Rn , entonces ¿Es verdad que
| |u+v | |= ||u | |+ ||v | |⇔ u=αv ó v=αu ,α∈ ,
para cualquiera de las dos normas definidas antes?.
35) Considere el espacio de puntos Euclideano E3, con espacio de traslaciones
V. Sea BT = [e1 e2 e3] una base cartesiana de E3
. Considere sobre V el
producto interior canónico.
Sean u=e1-e2+2e3 , v=3e1-e2+e3
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
55
a) Encuentre u+v, u-v, |u+v|, |u-v|, |u|, |v|, u•v;
b) Verifique las desigualdades de C-S-B y del triángulo para estos casos
particulares.
36) Sea E un espacio de puntos tridimensional, con V su espacio de
traslaciones con producto interior.
a) Demuestre que:
i) |u+v |2+|u-v |
2=2|u |
2+2|v |
2,∀u,v∈V
ii) |u+v| |u-v |≤ |u |2+|v |
2,∀u ,v∈V
iii) |u+v| |u-v |= |u |2+|v |
2⇔u •v=0
b) Sea E = E2 =
2. Interprete geométricamente los resultados de la parte
a). (Indicación: Considere los paralelógramos cuyas aristas coinciden
con los vectores u, v y cuyas diagonales coinciden con los vectores
u+v y u-v).
37) Sea E=E3=
3 y sean X=(1,0,1), Y=(1,1,1) y Z=(2,0,1) tres puntos de
E.
a) Encuentre los siguientes vectores geométricos:
u={XY→
}, v={YZ→
}, w={XZ→
}
b) Encuentre los vectores espaciales: u+v , w -v , w -u
c) Encuentre los puntos: X+u ,X+v ,X+w ;
d) Calcule las distancias entre puntos: d ( ) ( ) ( );Y,ZdyX,Z,dX,Y
e) Verifique las desigualdades de C-S-B y del triángulo usando los
vectores u y v;
38) Determine el ángulo entre la diagonal de un cubo y una de sus aristas.
39) Sea E = 3. Sean X=(2,1,-1) e Y=(1,2,1). Encuentre un vector
geométrico perpendicular a los vectores {OX→
} y {OY→
}.
40) Encuentre la ecuación del plano perpendicular al vector v=4 i+2j+k∈V,
V el espacio de traslaciones de E3, y que pasa por el punto P(1,2,3).
41) Sean B y B’ una base y su base recíproca, respectivamente. Demuestre que:
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
56
a) Una base tiene una única base recíproca
b) La base original es recíproca a su base recíproca
c) El volumen [a,b,c] del paralelepípedo formado por los vectores base de
la base original es el inverso del volumen [a’,b’,c’] del paralelepípedo
formado por los vectores base de la base recíproca.
42) Sea V el espacio Euclideano tridimensional, y BT = [i j k] la base canónica
para V. Considere:
B1 =
++−+
+
−
kji
ji
ji
=B y
k
ji
ji
2)(2
1
)(2
1
a) Demuestre que B1 es una base cartesiana para V (derecha), mientras B2
es una base oblicua,
b) Determine la base dual de B2 y expanda v = i+2j+k en términos de B2 y
de su base dual B2
'
c) Encuentre la matriz de transformación asociada con las bases B y B1 y
verifique su ortogonalidad,
d) Usando el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt construya
una base cartesiana a partir de B2.
43) Considere E3. Sean X = (1,1,-1), Y = (2,-1, 1) y Z = (-1,1,1).
a) Encuentre los vectores de posición de los tres puntos dados;
b) Calcule la distancia entre los puntos X e Y, X y Z, e Y y Z;
c) Calcule los ángulos del triángulo cuyos vértices están dados por X, Y,
Z, y las aristas del mismo triángulo.
44) Los vectores de posición r de los puntos ubicados sobre una recta que pasa
por el punto de vector de posición ro y orientada paralelamente al vector
unitario e están dados por la ecuación r = ro + αe , ∀ α ∈ . Demuestre
que la ecuación de la recta perpendicular a la recta anterior y que pasa por
un punto r1 no perteneciente a la primera recta, es dada por
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
57
r=r1+α[ex(r1-ro)]xe ,∀α∈ .
45) Demuestre que la distancia (menor) desde un punto X a la recta que une los
puntos Y y Z está dada por:
h=(X O) (Y O) (Y O) (Z O) (Z O) (X O)
Y Z
− − + − − + − −−
x x x
46) Verifique que r=ro+αs-β t, ∀α,β∈ y donde ro , s, t ∈V son vectores
fijos, representa un plano.
47) Determine las matrices de transformación que representan una rotación de
bases en un ángulo θ con respecto al eje x1, al eje x2 y al eje x3, en sentido
positivo (antihorario).
48) Sea V un e.v.p.i., a ∈ V, fijo , a ≠ 0 y α ∈ , fijo. Demuestre que la
solución de la ecuación vectorial:
v •a=α
está dada por:
v=αa
a b a2
+ x
siendo b un vector arbitrario. Es decir, la ecuación vectorial tiene infinitas
soluciones.
49) Sea V un e.v.p.i. y sean a, b ∈ V, fijos, a ≠ 0 . Demuestre que la solución
de la ecuación vectorial:
vxa=b
está dada por:
v=1
2a
a b a+ + α ,α ∈ arbitrario.
Es decir, la ecuación vectorial tiene infinitas soluciones.
50) Sea V un e.v.p.i.. Sean a ,b ,c ,d∈V, todos fijos y a ,b ,d≠0 . Demuestre
que la solución de la ecuación vectorial:
v xd-(b•v)a=c
está dada por:
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
58
v=
+−
•
•
•cbdba
da
dc
dbx)x(
)(
)(
1
¿Qué sucede si b • d = 0 ó a • d = 0?
51) Sea V un e.v.p.i., y sean a ,b ,c ,d∈V, a ,b ,c≠0 y α∈ , fijo, α ≠ 0.
Demuestre que la solución de la ecuación vectorial.
αv + v x a + (b • v) c = d , con v • a = 0
está dada por:
v=
−α−−α
+α •
•)(
)(
)(122
acc ac
ad add
axx
con c • a ≠ 0 . ¿Qué sucede si a y c son ortogonales? .
52) Considere la rotación un ángulo θ por la regla de la mano derecha de un
vector x a un vector y, siendo e un vector unitario en la dirección del eje de
rotación.
a) Demuestre que: y-x=-(1-cosθ)[x-(x•e)e]+senθ(exx)
b) Demuestre que para ángulos de rotación pequeños:
y-x=θθθθxx , donde θθθθ=θe
c) De acuerdo a la parte b), ¿Cuál es el resultado de dos rotaciones
sucesivas pequeñas?, ¿Qué implica esto acerca de la posibilidad de
especificar rotaciones pequeñas usando un vector?
d) ¿Cuán pequeño debe ser θ para que la fórmula de la parte b) tenga por
lo menos 10% de exactitud?.
53) Explique por qué la definición geométrica usual para el módulo del
producto vectorial entre dos vectores u y v (2.9-10) da como resultado un
vector
( |uxv |= |u | |v |senθ). Explique por qué la definición no dará un vector si la
magnitud |u x v| se substituye por |u| |v| cosθ ó |u| |v| sen 2θ. Refuerze su
discusión con cálculos detallados.
54) Demuestre que el volumen de un tetraedro (no necesariamente regular)
cuyas aristas coterminales coinciden con los vetores u, v, w es igual a
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
59
wvu •×6
1. Demuestre que las áreas vectoriales de las cuatro caras están
dadas por:
)(2
11 wvS ×= , ..... , )()(
2
14 vwvuS −×−=
Demuestre, finalmente, que S1 + S2 + S3 + S4 = 0.
55) Demuestre que nvu •× es el área del paralelogramo cuyos lados
coterminales coinciden con los vectores u y v y está proyectado sobre un
plano perpendicular a n.
56) Dados los vectores fijos a, b y c, encuentre el vector v que satisface:
0, =×=× •av bcbv
tal que 0≠•ba . ¿Es la solución encontrada única?
57) Un espacio vectorial n-dimensional V es generado por el conjunto de
vectores base {k1, k2, ..., kn} (ver problema 11). En el espacio de puntos
Euclideano correspondiente En se define el sistema de coordenadas {y
1, y
2,
..., yn}, de tal manera que el vector r que une el origen con el punto de
coordenadas (y1, y
2, ..., y
n) queda expresado por r = y
iki. Dado un nuevo
sistema de coordenadas {x1, x
2, ..., x
n}, tal que existe una única
transformación invertible:
xi = x
i (y
1, y
2, ..., y
n) , i=1, n
demuestre que los n vectores:
ii
x∂∂
=v
e
constituyen también una base para V.
58) Encuentre la solución general de las siguientes ecuaciones vectoriales,
donde x (x e y) es(son) el(los) vector(es) incógnita(s):
a) 0=γ++α •• xbxx ,
b) 0=+ •• yyxx
c) dyx =β+α , γ=• yx
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
60
d) dyx =β+α , cyx =×
donde α, β, γ son escalares (reales) fijos y b, c, d son vectores fijos.
59) Usando vectores, demuestre que:
[ ][ ]
=
•••
•••
•••
wcvcuc
wbvbub
wavaua
wvu cba det,,,,
60) Sea V el espacio Euclideano tridimensional, y BT = [i j k] la base canónica
para V. Considere:
B1 =
++−+
+−
+
kji
ji
ji
=B y
k -
ji
ji
2)3(2
1
)3(2
1
a) Demuestre que B1 es una base cartesiana para V (señale si es derecha o
izquierda), mientras B2 es una base oblicua,
b) Determine la base dual de B1 y de B2 y expanda v = i+j+2 k en
términos de B2 y de su base dual
61) Sea V el espacio Euclideano tridimensional e [i j k]T la base canónica para
V. Considere:
B =
ki
kj
ji
+−−
a) Demuestre que B es una base oblicua para V,
b) Determine la base dual de B y expanda el vector v = 3i+2j+k en
términos de B y de su base dual
c) Determine las matrices métricas [gij] y [gij]
62) Sea V el espacio Euclideano tridimensional. Considere:
MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
61
B =
*3
*2
*1
3
2
1
y
e
e
e
=B
e
e
e *
dos bases (cartesianas), donde la base B* se obtuvo a partir de la base
B,
mediante un giro de ésta de 30º, en sentido antihorario y con respecto al
eje
x3.
a) Calcule la matriz de transformación [Q] y verifique por cálculo directo
su ortogonalidad,
b) Exprese v = 3e1+5e2+6e3 en términos de B*
63) Sea V el espacio Euclideano tridimensional, y BT = [i j k] la base canónica
para V. Considere:
B1 =
++−
+−
++−
+
ki
kj
ji
=B y
kji
kji
ji
2
)(3
1
)2(6
1
)(2
1
a) Demuestre que B1 es una base cartesiana para V (señale si es derecha o
izquierda), mientras B2 es una base oblicua,
b) Determine la base dual de B2 y expanda v = i+2j+k en términos de B2
y de su base dual
c) Encuentre la matriz de transformación asociadas con las bases B y B1 y
verifique su ortogonalidad
d) Usando el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt construya
una base cartesiana a partir de B2.
64) Sea V el espacio Euclideano tridimensional y BT = [i j k] la base canónica
para V. Sean:
u = 4i - 2j + 3k, v = 2i + 7j + k y w = 5i - 2j + 7k,
MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos
62
tres vectores. Calcule los valores de las siguientes operaciones:
a) u • v, u • w y v • w,
b) u × v, u × w, v × w, v × u, w × u y w × v,
c) (u × v) × w y u × (v× w)
d) [u , v , w ], [u , w , v ], [w , v , u ], [w , u , v ] y [v , w , u ]
e) el volumen del paralelepípedo formado por u, v y w
f) el área de los paralelogramos generados por u y v, v y w, u y w
g) (u × v) × (u× w)