Estatística

Estatística para STN

Prof Vítor Menezes – Aula 00

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AULA 00: Probabilidade

1. APRESENTAÇÃO .............................................................................................................................. 2

2. CRONOGRAMA DO CURSO ............................................................................................................. 3

3. ANÁLISE COMBINATÓRIA ................................................................................................................ 4

3.1. Princípio fundamental da contagem (PFC) .......................................................................................... 5

3.2. Arranjos ................................................................................................................................................ 7

3.3. Permutação. ........................................................................................................................................ 10

3.4. Combinação ........................................................................................................................................ 11 4. PROBABILIDADE ............................................................................................................................ 14

4.1. Introdução. .......................................................................................................................................... 14

4.2. Abordagem frequentista da probabilidade .......................................................................................... 20

4.3. Probabilidade condicional .................................................................................................................. 22

4.4. Fórmula da probabilidade condicional .............................................................................................. 23

4.5. Probabilidade da união de dois eventos ............................................................................................. 31

4.6. Probabilidade do evento complementar.............................................................................................. 41

4.7. Teorema da probabilidade total .......................................................................................................... 51

4.8. Teorema de Bayes ............................................................................................................................... 59

4.9. Probabilidade e análise combinatória ................................................................................................ 66 5. RESUMO ........................................................................................................................................ 75

6. CONTEÚDO DE DESTAQUE ............................................................................................................ 75

7. QUESTÕES APRESENTADAS EM AULA........................................................................................... 76

8. GABARITO ..................................................................................................................................... 84




1. APRESENTAÇÃO

Olá pessoal!

Meu nome é Vítor Menezes, sou Auditor Federal de Controle Externo do Tribunal de Contas da União (turma de 2006), lotado na Secretaria de Controle Externo do TCU em São Paulo.

Sou um apaixonado por matemática, que certamente é a ciência mais importante do mundo. O resto é bobagem ☺

Ainda falando um pouquinho de mim. Sou formado em engenharia eletrônica pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Logo na faculdade percebi que meu negócio era fazer concurso, e saí da graduação direto para meu primeiro cargo: Auditor Fiscal do ICMS de Minas Gerais. Lá fiquei durante 1 ano e meio, e vim parar no cargo que hoje ocupo, no Tribunal de Contas.

Dou aulas para concursos públicos desde 2005, sempre na área de exatas. Hoje tenho a felicidade de ser professor do Estratégia Concursos, o melhor curso em pdf do Brasil.

Também sou professor do excelente site de vídeo-aulas “Eu Vou Passar”.

Por último, mas não menos importante: sou professor do Tec Concursos, o melhor site de questões do país. A propósito, a ferramenta se enquadra perfeitamente como complemento para qualquer curso que você fizer. Só de Exatas (RLQ+Mat Fin + Estatística) são 3.181 questões comentadas (número que aumenta frequentemente), sendo que este professor que vos fala comentou 2849. Das 3.181 questões, são 740 só de Esaf.

Bom, chega de falar do prof e vamos falar do curso.

O conteúdo previsto no edital é o seguinte:

1. Funções de distribuição e densidade de probabilidade. Momentos das distribuições. 2. Teorema de Bayes. 3. Amostragem. 4. Inferência estatística. Estimação por ponto e por intervalo. 5. Independência estatística. 6. Expectância. 7. Desvio padrão. 8. Variância. 9. Covariância. 10. Correlação. 11. Análise de variância. 12. Intervalo de confiança. 13. Teste de hipóteses. 14. Problemas com dados. 15. Regressão simples.

É curioso observar que os assuntos listados não seguem uma ordem lógica que se esperaria em um livro teórico, por exemplo.

Mais interessante ainda é notar que a redação adotada é absolutamente idêntica à do edital do Bacen /2009, feito pela Cesgranrio. Este, por sua vez, é idêntico ao módulo do curso de Estatística da Fipe.

(http://www.fipe.org.br/web/index.asp?c=4&t=342&aspx=/web/cursos/turma.aspx)

Curiosidades a parte, vamos ao cronograma do curso:




2. CRONOGRAMA DO CURSO

Aula Data Conteúdo Tópicos do edital

0 Disponível Probabilidade e análise combinatória

Pré requisito para demais tópicos. 2. Teorema de Bayes. 5. Independência estatística

1 4/1/2013 Noções de variáveis aleatórias (esperança, variância, covariância, função densidade de probabilidade, função distribuição de probabilidade)

1. Funções de distribuição e densidade de probabilidade. 5. Independência estatística 6. Expectância. 7. Desvio padrão. 8. Variância. 9. Covariância.

2 11/1/2013 Principais distribuições de probabilidade (uniforme, normal, Bernoulli, Binomial, Poisson). Amostragem.

Momentos das distribuições 3. Amostragem

3 18/1/2013 Estimadores pontuais. Distribuições amostrais. Distribuição T. Intervalos de confiança.

4. Inferência estatística. Estimação por ponto e por intervalo. 12. Intervalo de confiança.

4 25/1/2013 Testes de hipóteses (para média, proporção e variância). Distribuição de Qui-quadrado.

13. Teste de hipóteses.

5 1/2/2013 Correlação linear e Análise de Variância

10. Correlação 11. Análise de variância

6 15/2/2013 Regressão linear e Análise de Variância da Regressão. Problemas com dados

15. Regressão simples. 14. Problemas com dados

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT

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3. ANÁLISE COMBINATÓRIA

Pessoal, o objetivo aqui não é estudar tudo relacionado a Análise Combinatória. Lembrem-se de que este tópico não consta do nosso edital.

Vamos dar apenas uma passada bem rápida por alguns tópicos, ok? Apenas precisamos aprender o básico, para depois podermos usar em tópicos como “probabilidade” e “distribuição binomial”.

Tendo isso em mente, vamos à teoria.

Em análise combinatória nós vamos basicamente aprender a contar. Isso mesmo. O intuito aqui será contar de quantas formas um dado processo pode ocorrer.

Uma forma de resolver este tipo de problema é simplesmente listar todas as situações possíveis e, depois, contá-las. Vejamos um exemplo.

Considere que um guia turístico deseje colocar três pessoas em fila indiana, para percorrer uma trilha. De quantas maneiras é possível formar a tal fila?

É um problema de contagem. Precisamos contar quantas são as maneiras de executar o processo descrito, qual seja, formar a fila de três pessoas.

Chamando as pessoas de A, B e C, temos as seguintes filas possíveis:

A, B, C

A, C, B

B, A, C

B, C, A

C, A, B

C, B, A

São seis filas possíveis. Listamos todas elas e, depois, contamos. Difícil? Certamente não.

O problema começa quando o número de casos possíveis aumenta muito. Imaginem se, em vez de três pessoas na fila, fossem quinze. E aí? Listar todas as maneiras de formação da fila seria algo extremamente trabalhoso.

Nestas situações, é muito útil conhecer ferramentas de análise combinatória. São ferramentas que permitem uma contagem mais rápida.

A mais importante delas é o princípio fundamental da contagem. Ele pode ser aplicado para resolver qualquer problema de análise combinatória.

A partir do princípio fundamental da contagem, de aplicação geral, é possível chegar a fórmulas que se destinam a problemas com certas particularidades. Neste contexto, aprenderemos os casos de arranjo, permutação e combinação.

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



3.1. Princípio fundamental da contagem (PFC)

Exemplo 1:

Em um laboratório estamos fazendo um experimento que envolve o cruzamento de um macho e uma fêmea de uma mesma espécie. Temos disponíveis 3 machos e 4 fêmeas. De quantos modos podemos formar o casal para cruzamento?

Resolução.

Vamos designar os machos por letras (A, B, C) e as fêmeas por números (1, 2, 3, 4).

O esquema abaixo apresenta todas as possibilidades de casal:

O diagrama acima representa doze possíveis casais:

1A, 1B, 1C, 2A, 2B, 2C, 3A, 3B, 3C, 4A, 4B, 4C

Há 4 possibilidades para a escolha da fêmea. Escolhida a fêmea, há 3 possibilidades de macho.

E, para obter a quantidade de casais possíveis, basta multiplicar:

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



4 × 3 = 12

Este resultado decorre do princípio fundamental da contagem (PFC).

O princípio fundamental da contagem nos diz que, quando uma tarefa puder se dividida em n etapas, e cada etapa puder ser realizada de mi maneiras diferentes (com “i” variando de 1 até n), o número de maneiras pelas quais podemos concluir a tarefa é igual ao produto:

�� ×� ×� ×⋯×��

No exemplo acima, a tarefa de formar o casal podia ser dividida em duas etapas. Na primeira etapa, escolhemos a fêmea. Há 4 formas de fazer isso.

Na segunda etapa, escolhemos o macho. Há 3 formas de fazer isso.

O número de maneiras de concluirmos a tarefa como um todo é dado por:

1ª etapa 2ª etapa

4 3

4 × 3 = 12

Bastou multiplicar a quantidade de maneiras de executar cada etapa.

Na análise combinatória, nós basicamente estudamos como resolver problemas semelhantes a este, em que utilizamos o princípio fundamental da contagem para saber de quantas formas uma dada tarefa pode ser realizada.

Neste primeiro exemplo, até que não foi difícil listar todos os casos possíveis para depois contá-los. São apenas 12 casais. Fazer uma lista com todos eles não é problema.

Contudo, imagine se fossem 30 machos e 50 fêmeas. Listar todos os casais possíveis seria muito difícil. É aí que o princípio fundamental da contagem nos auxilia.

O PFC é de aplicação geral (serve para resolver qualquer problema de análise combinatória). Há problemas que apresentam certas particularidades, que fazem com que o PFC resulte em determinadas fórmulas. Neste contexto, temos as fórmulas de combinação, arranjo e permutação.

Um detalhe muito importante sobre o exemplo acima:

Observe que etapas diferentes estão relacionadas a conjuntos diferentes.

Seja A o conjunto das fêmeas {1, 2, 3, 4}. Seja B o conjunto dos machos {a, b, c}.

A primeira etapa (escolha da fêmea) pode ser executada com elementos do conjunto “A”. A segunda etapa (escolha do macho) pode ser executada com elementos do conjunto “B”.

Quando etapas diferentes estão relacionadas a conjuntos diferentes, basta aplicarmos o PFC. Certo?

De outra forma, quando mais de uma etapa estiver relacionada a um mesmo conjunto, aí precisaremos tomar alguns cuidados, que serão vistos mais adiante.

Questão 1 TCU 1999 [ESAF]

Raciocínio Lógico

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A senha para um programa de computador consiste em uma seqüência LLNNN, onde “L” representa uma letra qualquer do alfabeto normal de 26 letras e “N” é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras como algarismos podem ou não ser repetidos, mas é essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro lugar, antes dos algarismos. Sabendo que o programa não faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, o número total de diferentes senhas possíveis é dado por:

a) 226 310

b) 262 103

c) 226 210

d) 26! 10!

e) C26,2 C10,3

Resolução:

Para cada letra temos 26 opções. Para cada número temos 10 opções. Aplicando o PFC:

26 × 26 × 10 × 10 × 10 = 26 × 10

Gabarito: b

3.2. Arranjos

Questão 2 ANEEL 2006 [ESAF]

Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma probabilidade de vencer. O número de diferentes maneiras para a classificação dos 3 primeiros lugares é igual a:

a) 24.360

b) 25.240

c) 24.460

d) 4.060

e) 4.650

Resolução:

Vamos comparar esse exercício com o exemplo dado no início da aula.

No Exemplo 1:, queríamos formar casais. Para tanto, tínhamos o conjunto das fêmeas – {1, 2, 3, 4} - e o conjunto dos machos – {a, b, c }.

A primeira etapa estava relacionada ao conjunto {1, 2, 3, 4}

A segunda etapa estava relacionada ao conjunto {a, b, c}.

Ou seja, etapas diferentes estavam relacionadas a conjuntos diferentes. Quando isso ocorre, a resolução do problema é bem tranquila, não há maiores cuidados a se tomar.

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



Agora, neste exercício, temos o conjunto das duplas: {1, 2, 3, 4, 5, ..., 30}. Estamos indicando cada dupla por um número de 1 a 30.

Para escolher a primeira colocada, tomaremos um dos elementos deste conjunto. Para escolhemos a segunda colocada, novamente tomaremos um dos elementos deste conjunto. Para a terceira colocada, idem.

Agora, um mesmo conjunto está relacionado a mais de uma etapa. Quando isso ocorre, antes de fazermos qualquer conta, temos que responder a duas perguntas extremamente importantes:

1 – há reposição?

2 – a ordem de escolha dos elementos é importante?

Neste problema, não há reposição.

Serão escolhidas três duplas diferentes. Assim, se uma dupla já ocupa a primeira posição, não tem como ela também ocupar a segunda posição. Uma vez que uma dupla já foi escolhida para ocupar a posição 1, ela não é reposta no conjunto original, ela não é mais uma opção para preenchermos os demais lugares do pódio.

Dizemos que não há reposição. Uma vez escolhido um elemento, ele não é reposto ao conjunto original, ele não é mais uma opção para as próximas etapas.

Vamos dividir o problema em etapas. Em cada etapa, escolhemos uma dupla para ocupar cada uma das posições do pódio.

Para a primeira dupla (vencedora do torneio) temos 30 opções. Para a segunda colocada sobram 29 opções (pois não há reposição, não podemos mais usar a dupla que já ocupa a primeira posição). Em seguida, para a terceira colocação sobram 28 opções.

1ª etapa 2ª etapa 3ª etapa

30 29 28

Tudo bem até aqui?

Já vimos o impacto da primeira pergunta. O fato de não haver reposição faz com que o número de formas de executar cada etapa vá diminuindo. Agora vamos para a segunda pergunta.

A segunda pergunta que temos que responder é: a ordem é importante?

Ou seja, uma mera alteração na ordem de escolha dos elementos resulta em um novo caso?

Neste problema, a ordem é importante. Uma alteração na ordem de escolha muda tudo. Escolher as duplas “a”, “b” e “c” nessa ordem significa que “a” foi a vencedora do torneio, a campeã. E escolhermos “c”, “b”, “a”, agora a dupla “c” é quem foi a vencedora. Uma mera alteração na ordem muda tudo, representa um novo caso.

Raciocínio Lógico

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Dizemos que a ordem de escolha é importante.

Quando isso acontece, ou seja, quando uma alteração na ordem representa um novo caso, não temos maiores preocupações. Basta aplicar o princípio fundamental da contagem.

Aplicando o PFC:

30 × 29 × 28 = 24.360

Gabarito: A

Quando a ordem de escolha é importante e não há reposição, estamos diante de um caso particular do PFC, denominado arranjo.

Para quem gosta de fórmulas, existe uma que calcula a quantidade de arranjos.

A fórmula é:

��,� = �!�� − ��!

O sinal “!” indica “fatorial”.

Exemplos de fatorial:

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

3! = 3 × 2 × 1 = 6

2! = 2 × 1 = 2

Ou seja, para calcular o fatorial de n, basta multiplicar o número n pelos números naturais que lhe antecedem, até chegar em 1. As únicas exceções são:

1! = 1

0! = 1

É muito importante saber como fazer a divisão entre o fatorial de dois números.

Exemplo:

Vamos calcular:

6!4!

Sempre que tivermos uma divisão de fatoriais, existe uma técnica interessante que nos facilita bastante. É o seguinte.

Queremos calcular: 6! ÷ 4!

O maior fatorial é 6!

Vamos desenvolve-lo.

6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

6! = 6 × 5 × �4 × 3 × 2 × 1�

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O que é que nós temos entre parêntesis? É justamente 4!. Ou seja, na hora de desenvolver 6! nós podemos fazer assim:

6! = 6 × 5 × 4! Desta forma, temos:

6!4! =

6 × 5 × 4!4! = 6 × 5 = 30

Sabendo disso, podemos resolver esta questão da ESAF usando a fórmula.

Temos um caso em que não há reposição e a ordem importa. Assim, temos um problema de arranjo. De um total de 30 elementos �� = 30�, queremos escolher 3 �� = 3�, sem reposição, onde a ordem importa. O número de maneiras de fazer isso é:

��, = 30!�30 − 3�!

��, = 30!�27�!

Agora desenvolvemos o numerador até atingirmos 27!, para podermos simplificar.

��, = 30 × 29 × 28 × 27!�27�! = 30 × 29 × 28 = 24.360

3.3. Permutação.

Um caso particular de arranjo ocorre quando n = p. Neste caso, temos uma permutação. A fórmula fica reduzida a:

�!�� − ��! =

�!0! = �!

Assim, a permutação de n elementos é dada por:

�� = �! Exemplo 2:

Qual o número de anagramas da palavra “rato”?

Resolução:

Como a palavra RATO é pequena, podemos listar todos os anagramas. São eles:

rato raot rtao rtoa rota roat

arto arot ator atro aort aotr

trao troa Taro taor tora toar

orta orat Otar otra oart oatr

São 24 anagramas.

Observem que cada anagrama é formado pelas letras “a, o, r, t”. A partir deste conjunto de 4 elementos, queremos formar grupos, de 4 elementos, sem reposição, onde a ordem é

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importante. Ou seja, estamos permutando essas 4 letras. Assim, o número de anagramas é igual a:

� = 4! = 24

3.4. Combinação

Questão 3 CGU 2002 [ESAF]

Na Mega-Sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60 possíveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02, ... , 60). Uma aposta simples (ou aposta mínima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da Mega-Sena estarão entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O número mínimo de apostas simples para o próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter certeza matemática que será um dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto é:

a) 8

b) 28

c) 40

d) 60

e) 84

Resolução:

Pedro precisa fazer todas as combinações possíveis de 6 dezenas, a partir das 8 dezenas com que ele sonhou.

Então temos 8 dezenas de partida. Trata-se do conjunto abaixo:

{1, 2, 5, 10, 18, 32, 35, 45}

Pedro precisa preencher vários cartões de 6 dezenas (apostas simples), utilizando todas as combinações possíveis destes números.

Vamos dividir o preenchimento do cartão em etapas.

Para a primeira dezena preenchida, temos 8 opções.

Em seguida, para a segunda dezena preenchida, sobram 7 opções de números. Isso porque não há reposição. Se Pedro já preencheu o número 18, por exemplo, não faz sentido querer usar esse número novamente.

Para a terceira etapa, sobram 6 opções de números.

Para a quarta etapa, sobram 5 opções de dezenas.

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Para a quinta etapa, sobram 4 opções de dezenas.

Para a sexta e última etapa, sobram 3 opções.

Aplicando o PFC:

8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3

Essa seria a quantidade de apostas simples que Pedro deveria realizar.

Mas tem um problema nessa solução.

Na solução acima, consideramos que a ordem importa. Ou seja, a aposta {1, 2, 5, 10, 18, 32}, feita nessa ordem, seria diferente de {1, 2, 5, 10, 32, 18}, onde invertemos a ordem das duas últimas dezenas.

Mas isso está errado. No preenchimento da aposta simples, o que importa é quais dezenas foram escolhidas. Não importa a ordem.

Dizemos que a ordem não é importante.

Ou seja, no resultado acima obtido temos casos sendo contados repetidas vezes.

O caso {1, 2, 5, 10, 18, 32}, por exemplo, foi contado inúmeras vezes. Vejam:

1, 2, 5, 10, 18, 32

1, 2, 5, 10 ,32, 18

1, 2, 5, 32, 10, 18

....

Esses são só alguns exemplos de casos contados repetidamente. Na verdade, todos eles são um caso só.

Em síntese, qualquer permutação entre os elementos {1, 2, 5, 10, 18, 32} foi contada indevidamente.

Temos 6 elementos. A permutação de 6 elementos é igual a 6! = 720. Ou seja, a aposta {1, 2, 5, 10, 18, 32} foi contada 720 vezes.

E isso ocorreu com todas as demais apostas.

Temos então que dividir o resultado obtido por 720 (=6!), para eliminar as contagens repetidas.

Ficamos com:

8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 36! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3

6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 =8 × 72 × 1 = 28

São necessárias 28 apostas simples.

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Gabarito: B

Nesta questão, dizemos que a ordem de escolha dos elementos não é importante.

Quando isso ocorre, temos que eliminar as contagens repetidas. Isto é feito por uma divisão.

Assim, sempre que a ordem não for importante, após a aplicação do PFC precisamos fazer um ajuste.

Este ajuste destina-se a eliminar as contagens repetidas. Isto é feito por meio de uma divisão.

Como fazer esta divisão?

Neste exercício, a ordem de escolha das seis dezenas não é relevante. Por isso, dividimos por 6!, para eliminar as contagens repetidas.

Quando não há reposição e a ordem não é importante, temos um caso de combinação.

Se tivermos n elementos e quisermos escolher p, sem reposição, de forma que a ordem não é importante, temos um caso de combinação de n elementos, tomados p a p. A fórmula da combinação é:

!�,� = �!�� − ��! × �!

A fórmula da combinação já tem o fator que elimina as contagens repetidas.

Neste exercício da ESAF, poderíamos ter aplicado esta fórmula.

Temos um caso de combinação de 8 dezenas, tomadas 6 a 6:

!",� = 8!�8 − 6�! × 6! =

8 × 7 × 6!2! × 6! = 28

Fechando o tópico, é pertinente lembrar que existe outro símbolo para a combinação de “n” elementos, tomados “p” a “p”:

#��$ = !�,� = �!�! × �� − ��!

Fechando o assunto

!)!(

!),(

ppn

npnC

×−=

elimina as contagens repetidas

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Os exercícios de análise combinatória podem ser resumidos da seguinte forma:

Há reposição? A ordem é importante? Forma de resolução

Sim Sim PFC

Não Sim arranjos, permutações, PFC

Não Não combinações, PFC

Professor, e quando a ordem não é importante e há reposição?

Resposta: Não falaremos sobre este tópico. Em um curso completo de RLQ, as questões de prova correspondentes são resolvidas com uma ferramenta chamada de “permutação com repetição”. Como ela não será utilizada nas questões correspondentes ao nosso edital, não aboraremos tal ferramenta.

Qual é a principal mensagem que deve ficar desse trechinho inicial da aula?

É a fórmula da Combinação. Ela é bastante empregada nesta e em outras aulas.

Ok, vamos finalmente entrar no primeiro tópico previsto no edital: probabilidade. Apesar de não constar explícitamente a palavra “probabilidade”, ela entra em absolutamente tudo o que vamos fazer daqui para frente.

4. PROBABILIDADE

4.1. Introdução.

Probabilidade tem relação com a chance de um evento ocorrer.

Passaremos longe, muito longe de uma definição adequada de probabilidade. Vamos dar duas definições. A primeira nos diz que a probabilidade é a relação entre número de casos favoráveis e número de casos possíveis. Não é uma definição correta, mas nosso propósito aqui é apenas resolver questões de concurso, mesmo que para isso tenhamos que deixar um pouco de lado o rigor matemático.

Em seguida, melhoraremos um pouco nossa definição, adotando a abordagem frequentista da probabilidade.

Quando falamos em probabilidade, podemos basicamente pensar em casos favoráveis e casos possíveis. Sim, apenas isto: casos favoráveis e casos possíveis.

Vejamos o exemplo do lançamento de um dado.

Queremos calcular a probabilidade de sair um número múltiplo de três. Então a pergunta é: qual a probabilidade de sair um número múltiplo de três quando se lança um dado de seis faces?

A questão é de probabilidade. Probabilidade lembra casos favoráveis e casos possíveis.

Casos possíveis são todos aqueles que podem ocorrer. No lançamento de um dado, podemos obter os seguintes resultados:

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Casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Casos favoráveis são todos aqueles em que estamos interessados. Neste exemplo, estamos interessados nos múltiplos de três.

Casos favoráveis: 3, 6.

Para resolver o problema, primeiro contamos quantos são os casos favoráveis.

Quantos são os múltiplos de três presentes nas faces de um dado?

Resposta: são dois os múltiplos de três presentes nas faces de um dado (o número 3 e o

número 6).

Depois contamos quantos são os casos possíveis.

Quantos são os casos possíveis no lançamento de um dado?

Resposta: são seis os casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6).

A probabilidade será obtida dividindo o número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis. Ficaria assim:

6

2

_

_=⇒= P

possíveiscasos

favoráveiscasosP

Estou usando a letra P para indicar a probabilidade.

Vimos que a probabilidade de sair um número múltiplo de três em um lançamento de um dado é de dois sextos.

O conjunto com todos os casos possíveis é chamado de espaço amostral. No caso do lançamento do dado, o espaço amostral é:

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Repetindo: espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis.

Chamamos de evento a qualquer subconjunto de um espaço amostral. Geralmente os eventos servem para designar um resultado em particular.

No caso acima estávamos interessados nos resultados que são múltiplos de três. Esses eram os nossos casos favoráveis. A esse resultado em particular, qual seja, “sair múltiplo de três”, chamamos de evento.

Neste caso, o evento “sair múltiplo de três” corresponde ao seguinte conjunto:

{3, 6}

Veja como o evento é um subconjunto do espaço amostral.

Com essa noção de espaço amostral e de evento, em vez de dizermos que a probabilidade de um dado evento é a relação entre o número de casos favoráveis e o número de casos

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possíveis, podemos dizer que é a relação entre o número de elementos do evento e o número de elementos do espaço amostral.

amostralespaçodoelementosdenumero

eventodoelementosdenumero

possiveiscasosdenumero

favoraveiscasosdenumeroP

_____

____

___

___==

A probabilidade só pode ser definida como a relação entre casos favoráveis e casos possíveis (ou ainda, como a relação entre o número de elementos do evento e o número de elementos do espaço amostral) quando todos os casos têm a mesma chance de ocorrer. A resolução acima só é válida se o dado for “honesto”. Ou seja, se for um dado simétrico e de material homogêneo.

Quando dizemos que o dado é “honesto”, estamos considerando que, em um lançamento qualquer, a probabilidade de sair a face de número 1 é igual à probabilidade de sair a face de número 4, de número 6, ou qualquer outra. Costumamos dizer que todas as faces são equiprováveis (ou seja, têm a mesma chance de ocorrer).

Como já dissemos, é comum se utilizar a expressão “evento” para designar um resultado em particular. Assim, no lançamento de um dado, o evento “sair o número 1” tem a mesma probabilidade do evento “sair o número 2”, que por sua vez tem a mesma probabilidade do evento “sair o número 3”, e assim por diante. Todos esses eventos são equiprováveis.

Aí vem a pergunta: e se todos os casos não tiverem a mesma chance de ocorrer? E se o dado não for honesto? E se a probabilidade de sair “1” for diferente da probabilidade de sair “2”?

Resposta: bom, deixemos isto para depois (daqui a pouco na verdade). Para contornar este tipo de problema, utilizaremos a já mencionada abordagem frequentista da probabilidade.

Por enquanto, vamos apenas ficar com esta noção de casos favoráveis e possíveis, o que já ajuda bastante a resolvermos questões de concursos públicos.

O número de casos favoráveis, no mínimo, é igual a zero.

Quando isso ocorrer, a probabilidade fica:

� = %casosfavoráveis1%casospossíveis1 = 0

%casospossíveis1 = 0

O número de casos possíveis, no máximo, é igual ao número de casos possíveis. Quando isso ocorrer, a probabilidade fica:

� = %casosfavoráveis1%casospossíveis1 = %casospossíveis1

%casospossíveis1 = 1

Com isso, concluímos que a probabilidade de um evento qualquer está sempre entre 0 e 1.

0 ≤ � ≤ 1

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



Antes de continuarmos com a teoria, vou responder a uma pergunta em que provavelmente vocês estão pensando.

Pergunta: Mas professor, você disse que essa explicação sobre probabilidade não é

adequada. Por quê?

Resposta: Em primeiro lugar, nem todas as situações de aplicação da probabilidade podem ser resumidas a casos possíveis e casos favoráveis. Imagine que queremos calcular qual a probabilidade de, no dia 19/03/2012, a ação da empresa alfa subir. Não dá para transformar esse problema numa situação de número casos possíveis e favoráveis.

Acontece que os problemas em que dá para contar quantos são os casos possíveis e quantos são os casos favoráveis são os mais fáceis para gente começar a se acostumar com probabilidade. Por isso, de início, vamos focar apenas neles. Ou então, “dar um jeitinho” para que a questão possa ser interpretada como uma relação entre casos favoráveis e possíveis.

Outro problema da explicação dada é o que segue. Dissemos que probabilidade é igual à divisão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis quando todos os casos têm a mesma probabilidade de ocorrer.

Ou seja, na própria definição de probabilidade estamos usando o conceito de probabilidade. Que raio de definição é essa? Se utilizarmos na definição o conceito que pretendemos definir, não estamos definindo nada.

Novamente, deixemos esses problemas de lado.

Antes de passarmos para os exercícios, só um alerta. Quando usamos as expressões “casos favoráveis”/”casos desfavoráveis” (ou ainda: sucessos e fracassos), estamos apenas nos referindo aos casos em que estamos ou não interessados. Não estamos fazendo qualquer juízo de valor. Não nos preocupamos se estamos diante de algo bom ou ruim, certo ou errado.

Para melhor visualização, considere um estudo sobre a relação entre a utilização de um produto e o desenvolvimento de câncer. Queremos saber qual a probabilidade de uma cobaia que utilizou o produto por tempo prolongado ter a doença. Nessa situação, os casos favoráveis (=sucesso) seriam aqueles em que a cobaia adquiriu a doença, independentemente de se considerar que contrair câncer seja bom ou ruim. Ok?

Continuemos com a matéria.

Questão 4 SEFAZ/SP 2009 [ESAF]

Considere que numa cidade 40% da população adulta é fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos não-fumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa adulta da cidade escolhida ao acaso ser mulher?

a) 44%

b) 52%

c) 50%

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



d) 48%

e) 56%

Resolução:

Para facilitar a resolução do exercício, vamos supor que a cidade tenha 100 adultos.

fumantes não-fumantes total

Homem

Mulher

Total 100

O enunciado nos diz que 40% dos adultos são fumantes.

40100%40 =×

Logo, temos 40 fumantes.


Homem

Mulher

Total 40 100

40% dos fumantes são mulheres.

16404,0 =×

São 16 mulheres fumantes.


Homem

Mulher 16

Total 40 100

Se, das 100 pessoas, 40 são fumantes, então há 60 não-fumantes.


Homem

Mulher 16

Total 40 60 100

O enunciado informa que 60% dos não-fumantes são mulheres. Portanto, há 36 mulheres não-fumantes (=60% de 60).


Homem

Mulher 16 36

Total 40 60 100

Ao todo, temos 52 mulheres.

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT




Homem

Mulher 16 36 52

Total 40 60 100

O exercício pediu a probabilidade de, escolhendo uma pessoa adulta ao acaso, ela ser mulher.

Probabilidade tem a ver com a chance de um dado evento ocorrer. Em outras palavras, pede-se a chance de a pessoa escolhida ser uma mulher.

Neste exercício, todas as pessoas têm a mesma chance de serem escolhidas. Quando isso acontece, a probabilidade é dada pela divisão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis.

possiveiscasosnumero

favoraveiscasosnumeroP

__

__=

Os casos favoráveis são aqueles em que estamos interessados. Neste problema, estamos interessados que seja escolhida uma mulher.

Número de casos favoráveis: 52

Além disso, temos 100 casos possíveis (são 100 adultos na cidade).

Com isso, a probabilidade fica:

� = 52100 = 52%

Gabarito: B

Questão 5 MPOG 2010 [ESAF]

Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora são moradores de um bairro muito antigo que está comemorando 100 anos de existência. Dona Matilde, uma antiga moradora, ficou encarregada de formar uma comissão que será a responsável pela decoração da festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso, três pessoas entre os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora. Sabendo-se que Denílson não pertence à comissão formada, então a probabilidade de Carlão pertencer à comissão é, em termos percentuais, igual a:

a) 30 %

b) 80 %

c) 62 %

d) 25 %

e) 75 %

Resolução.

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



Vamos listar todas as comissões, representando cada pessoa pela inicial do seu nome. Comissões possíveis, excluindo Denílson:

- A, B, C

- A, B, E

- A, C, E

- B, C, E

São 4 comissões possíveis. Em três delas nós temos a participação de Carlão.

São 3 casos favoráveis em 4 possíveis.

Logo:

� = 34 = 75%

Gabarito: E

4.2. Abordagem frequentista da probabilidade

Quando um experimento pode ser repetido inúmeras vezes, dizemos que a probabilidade corresponde à frequência relativa que seria obtida com a repetição do experimento.

Exemplo: seja A o evento que ocorre quando, lançando um dado honesto, obtemos a face 2.

Queremos calcular a probabilidade de A.

�� =? Quando lançamos um dado inúmeras vezes, é razoável esperar que cada face saia em 1/6 das vezes. Quanto mais vezes lançamos, mais a frequência relativa associada à face 2 se aproxima de 1/6.

Idealmente, se lançássemos o dado infinitas vezes, a frequência relativa seria igual a 1/6.

Por isso dizemos que a probabilidade de A é 1/6.

P(A) = 1/6.

Probabilidade – abordagem frequentista.

A probabilidade corresponde à frequência relativa que seria obtida em um número muito grande de experimentos.

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT




Um viajante, a caminho de determinada cidade, deparou-se com uma bifurcação onde estão três meninos e não sabe que caminho tomar. Admita que estes três meninos, ao se lhes perguntar algo, um responde sempre falando a verdade, um sempre mente e o outro mente em 50% das vezes e consequentemente fala a verdade nas outras 50% das vezes. O viajante perguntou a um dos três meninos escolhido ao acaso qual era o caminho para a cidade e ele respondeu que era o da direita. Se ele fizer a mesma pergunta a um outro menino escolhido ao acaso entre os dois restantes, qual a probabilidade de ele também responder que é o caminho da direita?

a) 1.

b) 2/3.

c) 1/2.

d) 1/3.

e) 1/4.

Resolução.

Imagine que vários viajantes passem regularmente por esta bifurcação, e que eles nunca saibam qual o caminho correto.

Esta situação aconteceu durante 60 dias seguidos. Nestes 60 dias, vamos ver como se comportam os meninos.

Seja A o menino que sempre diz a verdade, B o menino que sempre mente e C o menino que pode tanto dizer a verdade quanto mentir.

As possíveis maneiras de escolhermos os dois meninos são: AB, AC, BA, BC, CA, CB.

Todas estas combinações são equiprováveis.

Nestes 60 dias, temos:

- AB ocorreu 10 vezes

- AC ocorreu 10 vezes

- BA ocorreu 10 vezes

- BC ocorreu 10 vezes

- CA ocorreu 10 vezes

- CB ocorreu 10 vezes

Como C pode tanto mentir quanto dizer a verdade, então, em 50% das vezes em que ele foi escolhido, ele disse a mesma coisa que o outro menino escolhido. E, nas outras 50% das vezes, ele disse o contrário do que o outro menino escolhido.

Vamos detalhar melhor então o que acontece nos dias em que C foi escolhido:

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



- AB ocorreu 10 vezes em todas as 10 vezes A e B dão respostas contrárias.

- AC ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles dão respostas iguais

- em 5 vezes eles dão respostas contrárias

- BA ocorreu 10 vezes em todas as 10 vezes A e B dão respostas contrárias.

- BC ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles dão respostas iguais


- CA ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles dão respostas iguais


- CB ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles dão respostas iguais


Assim, nestas 60 vezes, em 20 ocorrem respostas iguais. Logo, a probabilidade de duas respostas iguais é de:

3

1

60

20==P

Gabarito: D

4.3. Probabilidade condicional

Voltemos ao nosso dado de seis faces. É o mesmo dado honesto, de material homogêneo. Só que agora vamos pintar as faces. As faces terão as seguintes cores:

Cor azul: faces 1 e 2.

Cor verde: faces 3, 4, 5 e 6.

Maria lançou esse nosso dado. João não viu o resultado e quer calcular qual a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3.

Pergunta: Qual a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3?

Resposta: 6

2.

É exatamente o mesmo problema visto anteriormente. Todas as faces têm a mesma chance de sair. Os casos favoráveis são: 3 e 6. Os casos possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. A probabilidade fica:

Raciocínio Lógico

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6

2

_

_=⇒= P

possíveiscasos

favoráveiscasosP

Ok, agora vamos mudar um pouco o problema. Maria lançou esse nosso dado. João não viu o resultado. Maria fala para João: “Saiu uma face de cor verde”.

Aí está a grande diferença: agora João sabe que saiu uma face verde. É uma informação nova! Esta informação vai mudar completamente o cálculo. Isto porque já sabemos, com certeza, que não saiu uma face azul.

Queremos calcular a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3 sabendo que a face que saiu é verde. Esta questão pode ser enunciada como:

Qual a probabilidade do resultado do lançamento ser múltiplo de três dado que saiu uma

face verde?

Ou seja, a informação de que saiu uma face verde é dada, é sabida. É uma informação conhecida e que deve ser usada.

Se fôssemos escrever os casos possíveis, teríamos:

Casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Observe que mudaram os casos possíveis. Isto porque sabemos que não é possível terem saído os números 1 e 2. Temos certeza de que o resultado foi o de uma face verde.

Já os casos favoráveis são os mesmos. Continuamos interessados nas faces 3 e 6. E estas duas faces podem ter saído, dado que ambas são da cor verde.

Casos favoráveis: 3,6.

Fazendo o cálculo, temos:

Número de casos possíveis: 4

Número de casos favoráveis: 2

E a probabilidade fica:

4

2

_

_=⇒= P

possíveiscasos

favoráveiscasosP

A probabilidade agora é de dois quartos. Note como uma informação nova alterou o cálculo da probabilidade. Dizemos que a probabilidade é condicional porque teve uma condição a ser obedecida. Não era simplesmente calcular a probabilidade de sair um múltiplo de 3. Foi dada uma condição, uma informação nova. Justamente esta condição alterou o cálculo da probabilidade.

4.4. Fórmula da probabilidade condicional

Outra forma de resolver exercícios de probabilidade condicional é por meio de uma fórmula.

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



Considere o lançamento de um dado. Antes de ver o resultado, queremos calcular a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3. Qual a probabilidade deste evento?

A probabilidade é de 2/6. Certo? Temos dois casos favoráveis (3 e 6) em seis casos possíveis.

Vamos mudar um pouco o exemplo. O dado é lançado. Antes de vermos o resultado, alguém nos informa: saiu um número maior que 4.

Pronto. Agora temos uma informação nova.

Queremos calcular a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3 DADO que saiu um número maior que 4. Temos uma informação nova, que devemos utilizar.

Agora a probabilidade muda. Temos apenas dois casos possíveis (5 e 6). E, dentre os casos possíveis, apenas um nos é favorável (6). Neste segundo caso, a probabilidade é igual a 1/2.

Se fôssemos resumir isto em uma fórmula, ficaria assim:

)(

)()|(

BP

BAPBAP

∩=

Nosso espaço amostral pode ser representado pelo seguinte conjunto:

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Temos dois eventos.

Se lançarmos o dado e obtivermos uma face múltipla de 3, temos o evento ‘A’. O evento ‘A’ é um subconjunto do espaço amostral.

A = {3, 6}

Se lançarmos o dado e obtivermos uma face maior que 4, temos o evento ‘B’.

B = {5, 6}.

A intersecção dos dois conjuntos acima é dada por:

A ∩ B = {6}

O símbolo que parece um ‘U’ de cabeça para baixo indica a intersecção. Neste exemplo, está associado ao resultado do lançamento do dado que é, simultaneamente, maior que 4 e múltiplo de 3.

As probabilidades relacionadas são:

• )(AP é a probabilidade de o evento A ocorrer.

• )(BP é a probabilidade de o evento B ocorrer.

• )( BAP ∩ é a probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente. O símbolo que

parece um “U” de cabeça para baixo indica intersecção. Ou seja, estamos interessados nos casos em que os dois eventos ocorrem simultaneamente.

• )|( BAP é a probabilidade de o evento A ocorrer, DADO que o evento B ocorreu. É a

probabilidade de A, condicionada ao acontecimento de B.

No caso do lançamento do dado, ficamos com:

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



6

2)( =AP (casos favoráveis: 3, 6; casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6)

6

2)( =BP (casos favoráveis: 5, 6; casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6)

6

1)( =∩ BAP (caso favorável: 6 – só o número 6 é, ao mesmo tempo, maior que 4 e

múltiplo de 3; casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6)

Aplicando a fórmula:

)(

)()|(

BP

BAPBAP

∩=

2

1

6

2

6

1)|( =÷=BAP

Portanto, a probabilidade de sair um múltiplo de 3 dado que saiu um número maior que 4 é de 50%.

Um diagrama destes conjuntos ajuda a entender melhor a fórmula.

O nosso espaço amostral é representado pelo retângulo azul. Nele, temos todos os possíveis resultados do lançamento do dado {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Dentro do espaço amostral temos dois conjuntos destacados. O conjunto vermelho representa o evento A (múltiplos de 3). O conjunto verde representa o evento B (maiores que 4).

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



É dado que o resultado do lançamento do dado é maior que 4. Ou seja, já sabemos que o resultado, qualquer que seja, deve estar dentro do conjunto verde.

Todos os resultados fora do conjunto verde são descartados. É como se a condição estabelecida modificasse nosso espaço amostral.

Nosso espaço amostral modificado se reduziria ao conjunto verde.

Agora, a única possibilidade de o evento A ter ocorrido corresponde ao número que, além de ser múltiplo de 3, também é maior que 4. Ou seja, corresponde ao elemento que está na intersecção entre A e B.

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



Ou seja, temos uma condição (o resultado é maior que 4, ou seja, ocorreu o evento B). Graças a esta condição, os casos favoráveis estão relacionados à intersecção e os casos possíveis estão relacionados ao conjunto B.

Logo, a probabilidade fica “casos favoráveis” sobre “casos possíveis”.

Vou indicar por “n( )” o número de elementos de cada conjunto.

A probabilidade condicional fica:

)(

)()|(

Bn

BAnBAP

∩=

Dividindo o numerador e o denominador pelo número de elementos do espaço amostral (S):

)()(

)()()|(

SnBn

SnBAnBAP

÷

÷∩=

O que conduz a:

)(

)()|(

BP

BAPBAP

∩=

Dizemos que o evento ‘A’ é independente do evento ‘B’ quando )()|( APBAP = . Ou seja, o

fato de ‘B’ ter ocorrido não influi em nada na probabilidade de ‘A’.

Fórmula da probabilidade condicional.

)(

)()|(

BP

BAPBAP

∩=

Se A e B são independentes, então:

)()|( APBAP = e )()|( BPABP =

É interessante observar que, a partir da fórmula da probabilidade condicional, podemos chegar à fórmula da probabilidade da intersecção de dois eventos:

)()|()()(

)()|( BPBAPBAP

BP

BAPBAP ×=∩⇒

∩=

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



Probabilidade da intersecção de dois eventos.

�� ∩ 8� = ��|8� × ��8� Um resultado interessante para eventos independentes é o seguinte:

��|8� = �� ∩ 8��8� �I�

Mas, se os eventos são independentes, então o fato de B ocorrer não altera a probabilidade de A:

��|8� = ��II� Substituindo II em I:

��|8� = �� ∩ 8��8�

�� = �� ∩ 8��8�

�� ∩ 8� = �� × ��8� Ou seja, quando dois eventos são independentes, a probabilidade da intersecção é o produto das probabilidades.

Se A e B são independentes, então:

�� ∩ 8� = �� × ��8� Para eventos independentes, a probabilidade da intersecção é o produto das probabilidades.

Questão 7 CGU/2008 [ESAF]

A e B são eventos independentes se:

a) )()()( BPAPBAP +=∩

b) )()()( BPAPBAP ÷=∩

c) )()()( BPAPBAP −=∩

d) )()()( ABPAPBAP +=∩

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



e) )()()( BPAPBAP ×=∩

Resolução:

Aplicação direta da fórmula vista.

Gabarito: E.

Questão 8 STN 2008 [ESAF]

Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e somente se:

a) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula

b) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A.

c) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B.

d) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A.

e) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1.

Resolução:

Aplicação direta do conceito visto acima.

Gabarito: D

Questão 9 MIN 2012 [ESAF]

Se A e B são evento independentes, então:

a) �� ∩ 8� = �� − ��8� b) ��|8� = ��/��8�, se P(B)>0

c) ��|8� = �� d) ��|8� = �� ∩ 8�/��, se P(A)>0

e) �� ∪ 8� = �� + ��8�

Resolução:

Cobrança direta da definição de eventos independentes.

Gabarito: C

Questão 10 MPU 2004 [ESAF]

Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e

Raciocínio Lógico

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Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então, recebe um telefonema de Ana informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a

a) 2/3

b) 1/7

c) 1/3

d) 5/7

e) 4/7

Resolução:

Primeiro vamos resolver sem a fórmula.

Vamos imaginar a seguinte situação, bem esdrúxula.

Ana sempre vai a Paris na segunda, terça e quarta.

Beatriz sempre vai a Paris na quarta e quinta.

Carlos sabe dessas informações. Só que Carlos é concurseiro. Ficou tanto tempo estudando para concurso, sem parar, que perdeu a noção do tempo e não sabe que dia é hoje.

Para ele, a probabilidade de hoje ser segunda é de 1/7. E de ser terça também é 1/7. Idem para qualquer outro dia da semana.

E mais.

A probabilidade de Ana estar hoje em Paris é de 3/7 (casos favoráveis: segunda, terça e quarta).

A probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é de 2/7 (casos favoráveis: quarta e quinta).

A probabilidade de ambas estarem hoje em Paris é de 1/7 (caso favorável: quarta)

Ana informa a Carlos: hoje estou em Paris.

Aí Carlos conclui: com certeza hoje só pode ser ou segunda, ou terça ou quarta.

Ou seja, agora temos três casos possíveis:

Segunda, terça, quarta.

E Carlos está interessado nos dias em que Beatriz também vai estar em Paris. Só tem um caso favorável: quarta feira.

Caso favorável:

Quarta.

Raciocínio Lógico

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Logo, a probabilidade de Beatriz estar em Paris, dado que Ana está em Paris, é:

3

1=P

Gabarito: C

Agora vamos usar a fórmula.

Seja “A” o evento que ocorre quando, escolhendo-se um dia da semana ao acaso, ele é um dia em que Ana está em Paris.

Seja “B” o evento análogo, referente aos dias em que Beatriz está em Paris.

O exercício disse que:

7/3)( =AP

7/2)( =BP

7/1)( =∩ BAP

E foi pedido:

?)( =ABP

Usando a fórmula:

3

1

7/3

7/1

)(

)()( ==

∩=

AP

ABPABP

4.5. Probabilidade da união de dois eventos

Nós até já vimos alguns exercícios em que calculamos a probabilidade da união de dois eventos. Só que não usamos nenhuma fórmula. Lembram do exemplo do dado, lá do começo do tópico de probabilidades? Queríamos calcular a probabilidade de sair um múltiplo de 3. Pois bem, seja ‘A’ o evento que ocorre quando, lançando um dado honesto, obtém-se uma face múltipla de 3.

Sabemos que:

A= {3, 6}.

O espaço amostral é dado por:

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Na ocasião, para calcularmos a probabilidade de ‘A’, dividimos o número de elementos do evento (=2) pelo número de elementos do espaço amostral (=6).

Haveria outra possibilidade de realizarmos este cálculo. Observe que o conjunto ‘A’ ainda pode ser decomposto em mais conjuntos.

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



Seja ‘B’ o evento que ocorre quando, lançando o dado, obtém-se a face 3. Seja ‘C’ o evento que ocorre quando se obtém a face ‘6’.

B = {3}

C = {6}

Podemos dizer que:

CBA ∪=

O evento ‘A’ é igual à união entre os eventos ‘B e ‘C’. Ou seja, a probabilidade de sair um múltiplo de 3 (=evento A) é equivalente à probabilidade da união dos eventos “sair 3” e “sair 6”.

Assim, em vez de calcularmos diretamente a probabilidade do evento ‘A’, poderíamos ter calculado as probabilidades de ‘B’ e ‘C’ e, em seguida, usando a probabilidade da união de dois eventos, obtido a probabilidade de ‘A’.

Logo abaixo veremos que existe uma fórmula para o cálculo da união de dois eventos. Nem sempre a gente precisa dela. Aliás, em grande parte dos exercícios, dá para ir bem sem ela. Mas é bom saber que existe.

Antes de entrarmos na fórmula, alguns comentários. O evento ‘A’ pôde ser decomposto em outros dois eventos (B e C). Já os eventos ‘B’ e ‘C’ não podem mais ser decompostos. Cada um deles é formado por um único elemento. Dizemos que B e C são eventos elementares.

Exemplo 3:

Uma escola de ensino fundamental oferece cursos de idiomas. São disponibilizados cursos de inglês e espanhol. Os alunos podem optar por fazer nenhum, um ou os dois cursos.

Atualmente temos a seguinte situação:

30 alunos fazem inglês.

20 alunos fazem inglês e espanhol.

35 alunos fazem espanhol.

25 alunos não fazem nem inglês nem espanhol.

Sorteamos um aluno dessa escola. Qual a probabilidade de o aluno sorteado cursar inglês ou espanhol?

Resolução:

Sorteia-se aleatoriamente um aluno. Quando o aluno sorteado cursa inglês, temos o evento ‘I’. Quando o aluno sorteado cursa espanhol, temos o evento ‘E’.

Queremos calcular a probabilidade do aluno fazer inglês ou espanhol. Ou seja, estamos interessados naqueles alunos que fazem só inglês, que fazem só espanhol e que fazem inglês e espanhol.

Estamos interessados na união dos eventos “E” e “I”.

?)( =∪ IEP

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



Esse símbolo que parece um “U” é o símbolo de união. Indica que estamos interessados nos casos em que pelo menos um dos dois eventos ocorra. Neste exemplo, estamos interessados nos alunos que fazem pelo menos um dos dois idiomas.

Vamos representar graficamente os alunos dessa escola.

Dentro do círculo azul temos os trinta alunos que fazem inglês. Dez deles estão dentro do circulo azul, mas não estão dentro do círculo vermelho.

Dentro do círculo vermelho temos os trinta e cinco que fazem espanhol. Quinze deles estão dentro do círculo vermelho, mas não estão dentro do círculo azul.

Outros vinte estão nos dois círculos simultaneamente. São os que fazem inglês e espanhol.

E os 25 que estão de fora dos dois círculos não fazem inglês nem espanhol.

Casos favoráveis são aqueles que estão em pelo menos um dos dois círculos. Ou seja, são os alunos que fazem pelo menos um dos dois idiomas. São 45 casos favoráveis.

E casos possíveis são todos os alunos da escola. São 45, que fazem pelo menos um curso de idioma, e mais 25, que não fazem nenhum curso de idioma, totalizando 70 alunos.

A probabilidade de o aluno ser sorteado fazer inglês ou espanhol é:

70

45)( =∪ IEP

Ok, agora vejamos a fórmula para calcular a probabilidade da união de dois eventos.

A probabilidade do aluno sorteado cursar inglês é:

70

30)( =IP

A probabilidade do aluno sorteado cursar espanhol é:

70

35)( =EP

A probabilidade do aluno sorteado cursar inglês e espanhol, simultaneamente, é:

70

20)( =∩ IEP

alunos que fazem

espanholalunos que

fazem ingles

10 20 15

25

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



Para encontrar a probabilidade do aluno sorteado cursar inglês ou espanhol, precisamos saber quantos são os casos favoráveis.

São 30 alunos que fazem inglês. São 35 que fazem espanhol. Portanto, para saber quantos alunos fazem inglês ou espanhol, somamos esses dois valores.

Número de alunos que fazem inglês ou espanhol: 30 + 35 = 65

Só que tem um problema. Quando fazemos esta conta, estamos ignorando que há alunos que fazem, ao mesmo tempo, inglês e espanhol. Esses alunos foram contados duas vezes. São 20 alunos que foram contados em duplicidade. Portanto, do total acima, temos que tirar 20.

Número de alunos que fazem inglês ou espanhol: 30 + 35 – 20

Pronto. Achamos o total de casos favoráveis. Se dividirmos esse valor pelo total de casos possíveis, achamos a probabilidade procurada.

70

203530)(

−+=∪ IEP

70

20

70

35

70

30)( −+=∪ IEP

)()()()( IEPIPEPIEP ∩−+=∪

Resumindo, quando temos dois eventos quaisquer A e B, a probabilidade da união dos dois eventos é:

)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪

Quando ‘A’ e ‘B’ não têm elementos em comum, isto é, quando a intersecção entre ambos é nula, dizemos que são eventos mutuamente excludentes.

Se os dois eventos forem mutuamente excludentes, temos:

0)( =∩ BAP

Neste caso, a probabilidade da união fica:

)()()( BPAPBAP +=∪

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



Probabilidade da união de dois eventos.


Se A e B forem mutuamente excludentes, a fórmula se reduz a:

)()()( BPAPBAP +=∪

Questão 11 MPU/2004 [ESAF]

Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é 0,04.Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a

a) 0,25

b) 0,35

c) 0,45

d) 0,15

e) 0,65.

Resolução:

Primeiro vamos usar a fórmula.

Vamos calcular a probabilidade de Lígia verificar pelo menos um dos dois (óleo/pneu). Dizendo de outra forma: vamos calcular a probabilidade de Lígia verificar o óleo ou o pneu.

Lígia vai ao posto de gasolina em diversos dias. Selecionando-se ao acaso um desses dias, ocorre o evento ‘A’ quando, no dia escolhido, ela verifica o óleo. Ocorre o evento ‘B’ quando, no dia sorteado, ela verifica o pneu.

Temos:


O enunciado disse que:

28,0)( =AP

11,0)( =BP

04,0)( =∩ BAP

Portanto:

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT




35,004,011,028,0)( =−+=∪ BAP

A probabilidade de Lígia verificar pelo menos um dos dois (óleo ou pneu) é de 35%.

Concluímos que a probabilidade de ela verificar nenhum dos dois é:

%6535,01 =−=P

Gabarito: E.

Outra resolução, agora sem fórmula.

Lígia foi ao posto durante 100 dias.

Em 28 dias ela chegou o óleo. Em 11 dias ela checou os pneus. Em 4 dias ela checou os dois juntos.

Vamos representar graficamente o que ocorreu.

Em 4 dias, Lígia verifica o pneu e o óleo.

Em 28 dias ela verifica o óleo. Já assinalamos 4 desses 28 dias. Faltam 24.

Em 11 dias ela verifica os pneus. Já assinalamos 4 desses 11 dias. Faltam 7.

4

dias em que

verificou óleo dias em que

verificou pneu

24 4

dias em que


verificou pneu

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



Ao todo são 100 dias. Já assinalamos 35. Faltam 65, em que Lígia não verifica pneus nem óleo.

Em 65 dos 100 dias ela não verifica pneus nem óleo. A probabilidade procurada, portanto, é de 65%.


Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar Ricardo é 0,4; a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual a 0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e Fernando, é igual a 0,05. Assim, a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou Fernando é igual a:

a) 0,04

b) 0,40

c) 0,50

d) 0,45

e) 0,95

Resolução:

24 74

dias em que


verificou pneu

24 74

dias em que


verificou pneu

65

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



Seja A o evento que ocorre quando, escolhendo-se ao acaso um dia em que Paulo vai ao futebol, ele encontra Ricardo. Seja B o evento equivalente, quando Paulo encontra Fernando.

Temos:

4,0)( =AP

1,0)( =BP

05,0)( =∩ BAP

A pergunta é:

?)( =∪ BAP

Aplicando a fórmula:


45,005,01,04,0)( =−+=∪ BAP

Gabarito: D

Questão 13 ATA MF 2012 [ESAF]

Soretando-se um número de uma lista de 1 a 100, qual a probabilidade de o número ser divisível por 3 ou por 8?

a) 41%

b) 44%

c) 42%

d) 45%

e) 43%

Resolução:

Múltiplos de 3 menores que 100:

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ..., 99

Vamos ignorar o 3.

Partindo do 3, vamos avançando números. Avançamos 1, chegando em 4. Avançamos mais 1, chegando em 5. Avançamos mais 1, chegando em 6. E assim por diante:

4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...

De 3 a 99, nós avançamos 96 números. A cada três números, um é múltiplo de 3. Logo, de 3 a 99 temos 96/3 = 32 múltiplos de 3. Isso sem incluir o próprio 3. Somando tudo, são 33 múltiplos de 3.

Múltiplos de 8 menores que 100:

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96

Há 12 múltiplos de 8.

Múltiplos comuns de 3 e 8:

24, 42, 72, 96

Seja “A” o evento que ocorre quando o número sorteado é múltiplo de 3. Seja B o evento que ocorre quando o número sorteado é múltiplo de 8.

�� = 33100

Isso porque há 33 múltiplos de 3 em 100 números.

��8� = 12100

Isso porque há 12 múltiplos de 8 em 100 números.

�� ∩ 8� = 4100

Pois há 4 múltiplos comuns em 100 números.

A chance de o número sorteado ser múltiplo de 3 ou 8 é:

�� ∪ 8� = �� + ��8� − �� ∩ 8� = 33100 +

12100 −

4100 =

41100

Gabarito: A


Uma caixa contém 3 bolas brancas e 2 pretas. Duas bolas serão retiradas dessa caixa, uma a uma e sem reposição, qual a probabilidade de serem da mesma cor?

a) 55%

b) 50%

c) 40%

d) 45%

e) 35%

Resolução:

1º caso: duas bolas brancas.

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



A chance da primeira bola ser branca é de 3 em 5 (pois há inicialmente 3 brancas num total de 5). A chance de a segunda também ser branca, dado que a primeira branca já foi retirada, é de 2 em 4.

Logo, a chance de duas brancas é:

��>?@ABC@�D@A� = 35 ×

24 =

310

2º caso: duas bolas pretas.

A chance de a primeira bola retirada ser preta é de 2 em 5. A chance de a segunda também ser preta é de 1 em 4 (pois só sobraria 1 preta em 4 bolas restantes). Logo, a chance de duas pretas é:

��>?@A�CEF@A� = 25 ×

14 =

220 =

110

Seja o evento “A” aquele que ocorre quando as duas bolas são brancas. Seja “B” o evento análogo para duas pretas.

“A” e “B” não têm casos em comum. São mutuamente excludentes. Assim:

�� ∪ 8� = �� + ��8� − �� ∩ 8� = 310 +

110 − 0 = 4

10 = 40%

Gabarito: C


Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então pode-se afirmar que:

a) A e B são eventos independentes

b) P(A ∩ B) = P(A) + P(B)

c) P(B/A) ≠ 0

d) P(A/B) ≠ 0

e) P(A ∩ B) = 0

Resolução:

Alternativa A - INCORRETA. Dois eventos são mutuamente excludentes quando a intersecção entre ambos é nula. Por sua vez, dois eventos são independentes quando o fato de um ocorrer não afeta a probabilidade do segundo. As duas definições são completamente diferentes. Não há qualquer garantia de que dois eventos independentes também sejam mutuamente excludentes. E vice-versa.

Exemplificando, considere o lançamento de um dado. Seja "A" o evento que ocorre quando o resultado é par e "B" o evento que ocorre quando o resultado é ímpar.

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



"A" e "B" são mutuamente excludentes (intersecção nula). Mas são dependentes. Sem nada sabermos, a probabilidade de B é 50%.

No entanto, o fato de "A" ter ocorrido faz com que a probabilidade de B (dado que A ocorreu) seja nula.

Alternativa B - INCORRETA. É a probabilidade da união que pode ser escrita como soma de probabilidades. Genericamente, a probabilidade da união entre dois eventos A e B é dada por:

�� ∪ 8� = �� + ��8� − �� ∩ 8� Se eles são mutuamente excludentes, a intersecção é nula. A probabilidade da união se restringirá a:

�� ∪ 8� = �� + ��8� Alternativa C - INCORRETA. O fato de os dois eventos serem mutuamente excludentes nos diz que eles não têm intersecção. Assim, se é dado que um deles ocorreu, a chance de o outro ter ocorrido é nula. Vide exemplo dado na alternativa A. Alternativa D - INCORRETA. Análise idêntica à letra C.

Alternativa E - CORRETA. Já vimos que os eventos são independentes quando a intersecção é nula. Logo, a probabilidade da intersecção vale zero

Gabarito: E

4.6. Probabilidade do evento complementar

Quando temos um experimento, dizemos que o conjunto de todos os resultados possíveis é o espaço amostral.

Por exemplo, o lançamento de um dado pode resultar em 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.

O espaço amostral é:

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Outro exemplo. Temos um tetraedro com faces 1, 2, 3, 4. Lançamo-lo duas vezes. O espaço amostral é:

{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}

Dizemos que dois eventos são complementares quando, simultaneamente, temos:

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



• a união dos dois eventos resulta no espaço amostral

• os dois eventos são mutuamente excludentes (eles não têm elementos em comum; a intersecção entre ambos é vazia)

Ou seja, qualquer resultado possível estará contido em dos dois eventos. Os dois eventos, juntos, conseguem englobar todos os resultados possíveis. E mais que isso: não há qualquer resultado que satisfaça, simultaneamente, aos dois eventos.

Com alguns exemplos fica mais fácil.

Novamente, considere o resultado do lançamento de um dado.

Seja ‘A’ o evento “sair número par”. Seja ‘B’ o evento “sair número ímpar”.

Os eventos ‘A’ e ‘B’, unidos, englobam todas as possibilidades. Não tem como lançar um dado e dar um resultado que não seja um número par e não seja um número ímpar.

Além disso, não há intersecção entre os dois eventos. Não tem nenhum resultado de um dado que seja, ao mesmo tempo, par e ímpar.

Dizemos que os eventos ‘A’ e ‘B’ são complementares.

Ainda em relação ao lançamento do dado.

Seja ‘C’ o evento “sair um número maior ou igual a 4”. Seja ‘D’ o evento “sair um número menor que 4”.

Esses dois eventos, unidos, englobam todos casos possíveis. Não dá para lançar um dado e obter um resultado que não seja maior ou igual a 4 nem menor que 4.

Além disso, não há nenhum resultado que pertença ao mesmo tempo aos dois eventos.

Os eventos ‘C’ e ‘D’ são complementares.

Continuemos com o lançamento do dado.

Seja ‘E’ o evento “sair um número menor que 5”. Seja ‘F’ o evento “sair um número maior que 3”.

Os dois eventos, juntos, englobam todos os casos possíveis.

Mas os dois eventos não são complementares. Existe um resultado que pertence aos dois eventos. O resultado “4” é maior que 3 e também é menor que 5.

Ainda em relação ao lançamento do dado.

Seja ‘G’ o evento “sair um número menor que 4”. Seja ‘H’ o evento “sair um número maior que 4”.

‘G’ e ‘H’ não têm elementos em comum. Só que não englobam todos os casos possíveis. O resultado 4 não é nem menor que 4 nem maior que 4. Este resultado não está contemplado em nenhum dos dois eventos. ‘G’ e ‘H’ não são complementares.

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



Geralmente o evento complementar é indicado por uma barra.

Continuemos com o lançamento do dado. Seja Z o evento “sair um múltiplo de 3”. O

evento complementar de Z é indicado por: Z

Z é o evento “não sair um múltiplo de 3”.

Note que Z e Z , juntos, englobam todos os casos. Além disso, não têm elementos em comum. São eventos complementares.

Agora vem o que interessa para gente. Sejam A e A dois eventos complementares.

Vamos calcular a probabilidade da união desses dois eventos. Usando a fórmula da probabilidade da união, temos:

)()()()( AAPAPAPAAP ∩−+=∪

Mas nós vimos que a intersecção entre eventos complementares é vazia. Sua probabilidade é nula.

0)()()( −+=∪ APAPAAP

)()()( APAPAAP +=∪

E nós vimos também que a união entre eventos complementares é justamente o espaço amostral. A probabilidade de ocorrer o espaço amostral é sempre igual a 1.

Ficou em dúvida?

Considere o lançamento do dado.

O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Considere o evento que ocorre quando lançamos o dado e sai um número de 1 a 6. Qual a probabilidade deste evento? É de 100%. Com certeza, quando lançarmos o dado, vai sair um número de 1 a 6. Isto porque esse evento é simplesmente igual ao espaço amostral. A probabilidade de ocorrer o espaço amostral é de 100%.

)()()( APAPAAP +=∪

)()(1 APAP +=

E é esse resultado que nos interessa.

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



Probabilidade do evento complementar:

Sejam A e A dois eventos complementares. Então:

)()(1 APAP +=

Ou seja:

��̅� = 1 − �� A probabilidade do evento complementar é algo até bem intuitivo. Nós até já a usamos nesta aula, sem comentar. Uma das vezes em que fizemos isso foi lá na fl. 35 (Questão 11).

Sugiro que vocês parem a leitura da aula e dêem uma revisada lá naquele exercício. Era uma questão de Técnico do MPU, em que Lígia ia ao posto e poderia verificar o óleo e o pneu.

Naquela ocasião, encontramos a probabilidade de Lígia verificar pelo menos um dos dois (óleo/pneu). A probabilidade foi de 35%.

Com isso, concluímos que a probabilidade de ela não verificar nenhum dos dois era de 65%.

Ora, ou Lígia verifica alguma coisa (pneu, óleo ou ambos, pneu e óleo) ou não verifica nada. Não tem outra possibilidade. Portanto, se há 35% de chance de ela verificar alguma coisa, então há 65% de chance de ela não verificar nada.

São dois eventos complementares. Somando os dois, tem que dar 100%.

Questão 16 TRT 2ª REGIAO 2008 [FCC]

A probabilidade de que Antônio esteja vivo daqui a 10 anos é igual a 80% e de que Paulo o esteja daqui a 10 anos é 70%. Então, a probabilidade de que somente um deles esteja vivo daqui a 10 anos é igual a

(A) 30%

(B) 36%

(C) 56%

(D) 38%

(E) 44%

Resolução:

Seja A o evento que ocorre se Antônio estiver vivo daqui a 10 anos.

�� = 0,8

Logo, a probabilidade do evento complementar (Antônio estar morto daqui a 10 anos) é de:

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



��̅� = 1 − �� = 0,2

Seja B o evento que ocorre se Paulo estiver vivo daqui a 10 anos.

��8� = 0,7

Logo:

��8H� = 1 − ��8� = 1 − 0,7 = 0,3

Para que somente um dos dois esteja vivo daqui a dez anos, devemos ter:

- Antônio vivo e Paulo morto (� ∩ 8H)

ou

- Antônio morto e Paulo vivo (�̅ ∩ 8)

Logo, temos que calcular a seguinte probabilidade:

�%�� ∩ 8H� ∪ ��̅ ∩ 8�1 Entre colchetes, temos dois eventos mutuamente excludentes. A probabilidade da união é igual à soma das probabilidades.

�%�� ∩ 8H� ∪ ��̅ ∩ 8�1 = �� ∩ 8H� + ��̅ ∩ 8� Supondo que os eventos são independentes, ou seja, que o fato de Antônio viver (ou morrer) em nada influi na vida de Paulo, temos:

�%�� ∩ 8H� ∪ ��̅ ∩ 8�1 = �� ∩ 8H� + ��̅ ∩ 8� = �� × ��8H� + ��̅� × ��8�

= 0,8 × 0,3 + 0,2 × 0,7 = 0,24 + 0,14 = 0,38

Gabarito: D

A probabilidade do evento complementar é muito útil em determinados tipos de problema em que a probabilidade pedida é muito difícil de ser calculada. Nesses casos, desconfie. Às vezes é mais fácil calcular a probabilidade do evento complementar, o que nos ajuda a resolver a questão.

Segue um exemplo.

Exemplo 4:

Lançamos um dado seis vezes. Qual a probabilidade de sair pelo menos uma vez o número 5?

Resolução:

Seja A o evento que ocorre quando, em pelo menos um dos 6 lançamentos, temos o resultado 5.

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



Uma primeira forma de resolução seria listar todos os casos possíveis e todos os casos favoráveis.

Casos possíveis:

1; 1; 1; 1; 1; 1

1; 1; 1; 1; 1; 2

1; 1; 1; 1; 1; 3

[...]

E a lista continuaria com inúmeras linhas. Ficar listando todos os casos possíveis não dá.

Poderíamos tentar resolver considerando que o evento ‘A’ é, na verdade, uma união de vários eventos.

Precisaríamos calcular a probabilidade de:

Sair o número 5 exatamente 1 vez

Sair o número 5 exatamente 2 vezes





Depois fazemos a união de todos esses eventos. A probabilidade da união de todos esses eventos é o resultado procurado.

Só que isso dá um trabalhão. Só para que fique claro como os eventos acima são difíceis de lidar, tomemos o segundo deles. Trata-se do evento que ocorre quando, lançando o dado seis vezes, obtém-se o resultado 5 exatamente duas vezes. Para calcular a probabilidade relacionada, teríamos que dividir este evento em diversos outros eventos:

• Sair o número 5 apenas no primeiro e no segundo lançamento;

• Sair o número 5 apenas no primeiro e no terceiro lançamento;

• Sair o número 5 apenas no primeiro e no quarto lançamento;

• Sair o número 5 apenas no primeiro e no quinto lançamento;

• Sair o número 5 apenas no primeiro e no sexto lançamento;

• Sair o número 5 apenas no segundo e no terceiro lançamento;

• Sair o número 5 apenas no segundo e no quarto lançamento;

• Sair o número 5 apenas no segundo e no quinto lançamento;

• Sair o número 5 apenas no segundo e no sexto lançamento;

• Sair o número 5 apenas no terceiro e no quarto lançamento;

• Sair o número 5 apenas no terceiro e no quinto lançamento;

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



• Sair o número 5 apenas no terceiro e no sexto lançamento;

• Sair o número 5 apenas no quarto e no quinto lançamento;

• Sair o número 5 apenas no quarto e no sexto lançamento;

• Sair o número 5 apenas no quinto e no sexto lançamento.

Depois, teríamos que fazer um procedimento análogo para todos os outros eventos (sair 5 exatamente uma vez; sair 5 exatamente três vezes; etc).

Vamos procurar outra saída.

O evento pedido no enunciado foi “sair 5 pelo menos 1 vez”.

Qual seu evento complementar?

Em outras palavras: quando é que isso não ocorre? Quando é que não sai 5 pelo menos uma vez?

Resposta: quando, em nenhum dos lançamentos, sair o número 5.

Vamos chamar este evento de A

Ah, para esse evento complementar é bem mais fácil de calcularmos a probabilidade.

Ele é a intersecção dos seguintes eventos:

• Não sai 5 no primeiro lançamento

• Não sai 5 no segundo lançamento

• Não sai 5 no terceiro lançamento

• Não sai 5 no quarto lançamento

• Não sai 5 no quinto lançamento

• Não sai 5 no sexto lançamento

Todos os eventos acima têm probabilidade de 5/6. E todos eles são independentes. Isto porque o resultado de um lançamento não interfere em nada no resultado de qualquer outro lançamento. Vimos que, quando os eventos são independentes, a probabilidade da intersecção é igual ao produto das probabilidades.

Ficamos com:

6

6

5

6

5

6

5

6

5

6

5

6

5

6

5)(

=×××××=AP

Portanto:

6

6

51)(

−=AP

A utilização do evento complementar facilitou muito as contas.

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



O enunciado típico de utilização do evento complementar geralmente contém expressões como: “calcule a probabilidade de tal resultado ocorrer pelo menos uma vez.”

Sempre que você se deparar com algo semelhante, lembre-se de verificar se a utilização do evento complementar facilita o cálculo.

Questão 17 MINISTERIO DA SAUDE 2007 [FCC]

Sabe-se que 3/5 dos pacientes submetidos a uma determinada cirurgia sobrevivem. Se 4 pacientes realizarem a cirurgia, a probabilidade de que pelo menos um não sobreviva é de:

a) 609/625

b) 544/625

c) 96/625

d) 24/625

e) 16/625

Resolução:

Pede-se a probabilidade de que pelo menos um paciente morra.

Este é o caso clássico de utilização do evento complementar: quando temos a expressão “pelo menos um”.

Sempre que aparecer esta expressão, é mais fácil calcularmos a probabilidade do evento complementar. Ou seja, vamos pensar justamente no evento que é o contrário do que o solicitado no enunciado.

Seja A o evento “pelo menos um paciente morre”. Seja A o evento complementar, ou seja, “todos os pacientes sobrevivem”. O evento complementar é uma intersecção de 4 eventos:

• E1 – o primeiro paciente sobrevive

• E2 – o segundo paciente sobrevive

• E3 – o terceiro paciente sobrevive

• E4 – o quarto paciente sobrevive

Quando todos estes quatro eventos ocorrerem simultaneamente (intersecção), aí nós

teremos o evento A .

Todos esses eventos têm probabilidade de 3/5. E todos eles são independentes. Assim, a probabilidade da intersecção se resume ao produto das probabilidades.

4321 EEEEA ∩∩∩=

)4()3()2()1()4321( EPEPEPEPEEEEP ×××=∩∩∩

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



46,06,06,06,06,0)4321( =×××=∩∩∩ EEEEP

Ou seja:

000.10

296.16,0)(

4==AP

Já calculamos a probabilidade do evento complementar.

Agora fica bem fácil calcular a probabilidade do evento original.

A probabilidade de A fica:

625

544

000.10

704.8

000.10

296.11)( ==−=AP

Gabarito: B.

Questão 18 ATRFB 2009 [ESAF]

Três amigas participam de um campeonato de arco e flecha. Em cada tiro, a primeira das amigas tem uma probabilidade de acertar o alvo de 3/5, a segunda tem uma probabilidade de acertar o alvo de 5/6, e a terceira tem uma probabilidade de acertar o alvo de 2/3. Se cada uma das amigas der um tiro de maneira independente dos tiros das outras duas, qual a probabilidade de pelo menos dois dos três tiros acertarem o alvo?

a) 90/100

b) 50/100

c) 71/100

d) 71/90

e) 60/90

Resolução.

Seja A o evento que ocorre quando a primeira amiga acerta o tiro. Para representar o evento contrário, isto é, aquele que ocorre quando ela erra o tiro, nós colocamos um barra

sobre a letra ( A )

Sejam B e C os eventos análogos, referentes à segunda e a terceira amigas. Ou seja:

B ocorre quando a segunda amiga acerta; B ocorre quando ela erra.

C ocorre quando a terceira amiga acerta; C ocorre quando ela erra.

Vamos dividir o problema em partes.

1ª Parte: apenas a primeira amiga erra o tiro. Vamos chamar isto de evento X.

Para que X ocorra, devemos ter: a primeira erra, a segunda acerta, a terceira acerta.

CBAX ∩∩=

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



)()()()( CPBPAPXP ∩∩=

=××−=3

2

6

5)

5

31()(XP

9

2

3

2

6

5

5

2)( =××=XP

2ª Parte: apenas a segunda erra o tiro. Vamos chamar isto de evento Y.

CBAY ∩∩=

)()()()( CPBPAPYP ∩∩=

=×

−×=

3

2

6

51

5

3)(YP

30

2

3

2

6

1

5

3)( =××=YP

Terceira parte: apenas a terceira erra o tiro. Vamos chamar isso de evento Z.

CBAZ ∩∩=

)()()()( CPBPAPZP ∩∩=

=

−××=

3

21

6

5

5

3)(ZP

6

1

3

1

6

5

5

3)( =××=ZP

Quarta parte: todas as amigas acertam seus tiros. Vamos chamar isso de evento W.

CBAW ∩∩=

)()()()( CPBPAPWP ∩∩=

=××=3

2

6

5

5

3)(WP

3

1

Nos eventos X, Y, Z, W temos sempre, ao menos, dois tiros certos. Assim, quando um destes eventos ocorrer, ou seja, quando ocorrer X ou Y ou Z ou W (união destes conjuntos), atenderemos ao enunciado. Teremos pelo menos dois tiros certos.

)( WZYXP ∪∪∪ = ?

Todos estes eventos são mutuamente excludentes. A probabilidade da união é a soma das probabilidades.

)( WZYXP ∪∪∪ =

= =+++

=+++180

60301240

3

1

6

1

30

2

9

2

90

71

Gabarito: D

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



4.7. Teorema da probabilidade total

Exemplo 5:

Uma urna tem uma bola branca e uma bola preta (vamos chamá-la de primeira urna). Outra urna tem três bolas brancas e uma bola preta (vamos chamar de segunda urna). Escolhe-se uma dessas urnas ao acaso e retira-se uma bola. Qual a probabilidade da bola escolhida ser preta?

Resolução:

Seja ‘U1’ o evento que ocorre quando a bola escolhida é da primeira urna. Seja ‘U2’ o evento que ocorre quando a bola escolhida é da segunda urna.

Observe que os eventos U1 e U2 são complementares.

A probabilidade de se escolher cada uma das duas urnas é de 50%.

5,0)()( 21 == UPUP

Esses dois eventos são complementares. Abrangem todos os casos possíveis. Todas as bolas em questão pertencem a uma dessas duas urnas. E não há uma bola que pertença, simultaneamente, a ambas.

Seja ‘A’ o evento que ocorre quando a bola retirada é preta.

Suponha que escolhemos a primeira urna. A probabilidade de sair uma bola preta é de 50%. Ou seja, a probabilidade de sair bola preta, dado que escolhemos a primeira urna, é de 50%.

5,0)( 1 =UAP

Suponha agora que escolhemos a segunda urna. A probabilidade de sair uma bola preta é de 25%. Ou seja, a probabilidade de sair bola preta, dado que escolhemos a segunda urna, é de 25%.

25,0)( 2 =UAP

Mas a pergunta foi: qual a probabilidade de sair bola preta?

Para achar a probabilidade do evento ‘A’, basta somar as probabilidades acima, certo???

Errado!!!

Muita gente cai nesse erro. Cuidado para não cometê-lo.

Para checar o absurdo que seria, considere ‘B’ o evento que ocorre quando a bola sorteada é branca.

Ficaríamos com:

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



5,0)( 1 =UBP e 75,0)( 2 =UBP

Por esse raciocínio, a probabilidade de sair bola branca seria de 125%, algo absurdo.

Como fazer?

É aqui que entra o teorema da probabilidade total.

Como U1 e U2 são eventos complementares, a união de ambos é igual ao espaço amostral. Vamos chamar de S o espaço amostral.

21 UUS ∪=

A intersecção de ‘A’ com ‘S’ é igual ao próprio ‘A’. Isso porque ‘A’ é um evento, que está contido no espaço amostral.

ASA =∩

Portanto, podemos escrever:

)()( SAPAP ∩=

[ ])()( 21 UUAPAP ∪∩=

[ ])()()( 21 UAUAPAP ∩∪∩=

)()()( 21 UAPUAPAP ∩+∩=

)()()()()( 2211 UAPUPUAPUPAP ×+×=

Teorema da probabilidade total:

Se dois eventos U1 e U2 forem complementares, a probabilidade de ocorrer o evento A é dada por:

)2()2()1()1()( UAPUPUAPUPAP ×+×=

Você não precisa decorar a fórmula acima. Muito menos gravar o procedimento para chegar nela. O que importa é que você entenda a continuação do problema, que vem logo abaixo. Apenas isso. Se para você a continuação do problema fizer sentido, ok, está ótimo. Nem se preocupe com a fórmula acima.

O evento ‘A’ pode ocorrer tanto quando escolhemos a Urna 1 quanto quando escolhemos a urna 2. Temos as seguintes hipóteses:

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



• Há 50% de chances de escolhermos a urna 1. Escolhida tal urna, há 50% de chances de sair a bola preta

• Há 50% de chances de escolhermos a urna 2. escolhida tal urna, há 25% de chances de sair a bola preta

A probabilidade de sair a bola preta fica:

375,025,05,05,05,0 =×+×

Ou, aplicando a fórmula:

)()()()()( 2211 UAPUPUAPUPAP ×+×=

%5,37375,025,05,05,05,0)( ==×+×=AP

Resposta: a probabilidade de sair bola preta é de 37,5%

Muita gente, em vez de gravar a fórmula, costuma fazer um “diagrama” parecido com este:

A ideia do diagrama é a que segue. Representamos cada possível resultado por um círculo. Primeiro, temos as opções: “urna 1” e “urna 2”. A probabilidade de escolher qualquer uma delas é 50%. Por isso, escrevemos o número 0,5 em cima da seta correspondente.

Escolhida a “urna 1”, a probabilidade de escolher bola branca é 50%. Ou seja, a probabilidade de escolher bola branca dado que escolhermos a urna 1 é de 50%. Novamente, escrevemos 0,5 na seta correspondente. Isso se repete para todas as demais setas.

Feito isso, para calcular a probabilidade de um certo evento, basta multiplicar as probabilidades.

Exemplo: qual a probabilidade de escolher uma bola preta da urna 2?

Basta multiplicar as probabilidades até chegar ao círculo que representa a bola preta da urna 2. No caso, temos:

125,025,05,0 =×

Aproveitando o desenho, qual a probabilidade de escolhermos uma bola preta da urna 1? Temos:

25,05,05,0 =×

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



A probabilidade de escolher uma bola preta fica:

375,0125,025,0 =+

Este diagrama é uma forma esquemática de apresentação da fórmula que estudamos.

O diagrama e a fórmula representam o que é chamado de “teorema da probabilidade total”.

Tanto a fórmula que estudamos, como o diagrama que a representa, podem ser facilmente generalizados para casos em que há mais eventos em análise (ver Erro! Fonte de referência não encontrada.). Como nosso foco é concurso, estudar este caso em que o espaço amostral é dividido em apenas dois eventos (no nosso exemplo: urna 1 e urna 2) já é mais que suficiente.

Vejamos outra solução. Agora, uma solução ERRADA.

Vamos dar nomes às bolas:

• B11 é a bola branca da urna 1

• P11 é a bola preta da urna 1

• B21 é a primeira bola branca da urna 2

• B22 é a segunda bola branca da urna 2

• B23 é a terceira bola branca da urna 2

• P21 é a primeira bola preta da urna 2.

Seja S o espaço amostral.

S = {B11, P11, B21, B22, B23, P21}

O evento ‘A’ é dado por:

A = {P11, P21}

Se fôssemos adotar o procedimento visto desde o começo da aula, dividindo o número de elementos do evento pelo número de elementos do espaço amostral (ou ainda, dividindo o número de casos favorável pelo número de casos possível), teríamos:

3

1

6

2)( ==AP

Qual o erro desta solução? O grande problema é que os resultados não são equiprováveis. A título de exemplo, a bola preta da primeira urna tem uma chance maior de ser escolhida do que a bola preta da urna 2. Quando os eventos elementares não são equiprováveis, para achar a probabilidade, não podemos simplesmente dividir número de casos favoráveis por número de casos possíveis.

Para usar esta segunda solução, precisamos de uma pequena adaptação, que reflita as diferentes probabilidades de cada evento. Precisamos da abordagem frequentista da probabilidade, já mencionada nesta aula.

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



Podemos pensar que fazemos o tal sorteio 80 vezes. Como a chance de escolha de cada uma das urnas é de 50%, vamos supor que escolhemos a primeira urna 40 vezes e que escolhemos a segunda urna, também, 40 vezes.

Das 40 vezes em que escolhemos a primeira urna, em 20 sorteamos a bola preta (P11). Em outras 20, sorteamos a bola branca (B11).

Das 40 vezes em que escolhemos a segunda urna, em 10 sorteamos a bola preta (P21). Em 10 escolhemos a bola branca B21. Em outras 10 escolhemos a bola branca B22. E nas outras 10 escolhemos a bola branca B23.

Os oitenta sorteios estão assim distribuídos (casos possíveis):

• Em 20 vezes a bola P11 é sorteada

• Em 20 vezes a bola B11 é sorteada

• Em 10 vezes a bola P21 é sorteada




Os casos favoráveis são aqueles em que uma bola preta é sorteada:

• 20 vezes a bola P11 é sorteada

• 10 vezes a bola P21 é sorteada.

Agora sim, podemos fazer a divisão entre casos possíveis e favoráveis. Com o artifício acima, conseguimos levar em consideração que as bolas da urna 1 têm probabilidade maior de serem escolhidas que as bolas da urna 2.

375,080

30

__

__===

possivelcasosnumero

favoraveiscasosnumeroP


A probabilidade de ocorrer cara no lançamento de uma moeda viciada é igual a 2/3. Se ocorrer cara, seleciona-se aleatoriamente um número X do intervalo IJ ∈ L|1 ≤ J ≤ 3}; se ocorrer coroa, seleciona-se aleatoriamente um número Y do intervalo IN ∈ L|1 ≤ N ≤4}, onde N representa o conjunto dos números naturais. Assim, a probabilidade de ocorrer um número par é igual a:

a) 7/18

b) 1/2

c) 3/7

d) 1/27

Raciocínio Lógico

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e) 2/9

Resolução:

A probabilidade de cara é de 2/3. Obtido o resultado cara, a chance de número par é de 1/3 (um único caso favorável – o número 2, em 3 possíveis).

Assim, a probabilidade de número par nessa primeira situação é:

23 ×

13 =

29

Além disso, podemos obter coroa (probabilidade de 1/3). Se isso ocorrer, a chance de par é de 1/2 (dois números pares – 2 e 4, em quatro possíveis). Assim, a probabilidade de número par nessa segunda situação é:

13 ×

12 =

16

Somando tudo, a probabilidade de ocorrer par é:

29 +

16 =

4 + 318 = 7

18

Gabarito: A

Há alunos que preferem fazer o diagrama que representa todas as situações:

Questão 20 Câmara dos Deputados 2007 [FCC]

Uma rede local de computadores é composta por um servidor e 2 (dois) clientes (Z e Y). Registros anteriores indicam que dos pedidos de certo tipo de processamento, cerca de 30% vêm de Z e 70% de Y. Se o pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentara erro. Sabendo-se que 2% dos pedidos feitos por Z e 1% dos pedidos feitos por Y apresentam erro, a probabilidade do sistema apresentar erro é:

a) 5%

b) 4,1%

c) 3,5%

Raciocínio Lógico

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d) 3%

e) 1,3%

Resolução:

Escolhe-se um pedido ao acaso. Seja ‘Z’ o evento que ocorre quando o pedido escolhido é feito pelo cliente Z. Seja ‘Y’ o evento que ocorre quando o pedido escolhido é feito pelo cliente Y. Seja E o evento que ocorre quando o pedido escolhido apresentar erro. Foi dado que:

Há 30% de chances de o pedido vir de Z. Quando o pedido vem de Z, a probabilidade de apresentar erro é de 2%

Há 70% de chances de o pedido vir de Y. Quando o pedido vem de Y, a probabilidade de apresentar erro é de 1%

Portanto, a probabilidade de erro é:

%3,101,07,002,03,0)( =×+×=EP

Gabarito: E.

Outra opção é usar a fórmula vista. ‘Z’ e ‘Y’ são eventos complementares. Logo:

)()()()()( YAPYPZAPZPEP ×+×=

%3,101,07,002,03,0)( =×+×=EP

Uma terceira opção é usar a abordagem frequentista da probabilidade.

Podemos pensar que são feitos 1000 pedidos. São 300 do cliente Z e 700 do cliente Y.

Dos 300 pedidos do cliente Z, 6 apresentam erro (=2% de 300).

Dos 700 pedidos do cliente Y, 7 apresentam erro (=1% de 700).

Desta forma, dos 1000 pedidos, 13 apresentam erro (=6+7).

São 13 pedidos com erro num total de 1000 pedidos.

A probabilidade de erro fica:

%3,11000

13==P


- O porta-jóias de Ana é formado por duas gavetas: a gaveta A e a gaveta B. Na gaveta A, Ana guarda 1 colar de pérolas e 2 pulseiras de ouro. Na gaveta B, Ana guarda 2 colares de pérolas e 1 pulseira de ouro. Ana, ao arrumar as gavetas, retira aleatoriamente uma jóia da gaveta A e a coloca na gaveta B, misturando-a com as jóias que já estavam na gaveta B. Beatriz, amiga íntima de Ana, pede uma jóia emprestada para ir a uma festa. Ana, com

Raciocínio Lógico

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satisfação, diz para Beatriz retirar, aleatoriamente, uma jóia da gaveta B. Desse modo, a probabilidade de Beatriz retirar uma pulseira de ouro da gaveta B é igual a:

a) 2/3

b) 7/12

c) 5/12

d) 3/5

e) 1/4

Resolução

Vou representar por CP o colar de pérolas e PO a pulseira de ouro. Inicialmente, os conteúdos das gavetas são:

A: CP, PO, PO

B: CP, CP, PO.

Em seguida, uma joia é aleatoriamente retirada de A e passada para B.

Vamos representar a árvore de possibilidades:

Para melhor entendimento, vamos percorrer com calma o primeiro percurso da árvore.

Há uma chance de 1/3 de retirarmos da gaveta “A” uma CP. Isso porque são 3 joias em “A”, sendo que apenas uma delas é colar de pérola.

Raciocínio Lógico

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Em seguida, nos dirigimos à gaveta B e retiramos uma joia. Há uma chance de 3/4 de tal joia ser uma CP. Isso porque, em “B”, ficamos com 3 CP’s em um total de 4 joias.

Multiplicando as probabilidades deste caminho que percorremos, temos:

13 ×

34 =

312

Que é o valor indicado em vermelho ao final deste caminho. Abaixo destacamos o caminho percorrido:

Com este mesmo raciocínio, podemos percorrer todos os demais caminhos.

Há dois casos em que retiramos uma PO da gaveta B. O primeiro tem probabilidade 1/12 e o segundo tem probabilidade 4/12. Somando tudo, o resultado final é:

112 +

412 =

512

Gabarito: C

4.8. Teorema de Bayes

Neste tópico veremos que existe uma fórmula que serve para resolvermos alguns tipos de problema de probabilidade.

Mas já adianto: para os tipos de exercícios que caem em concurso o teorema é totalmente desnecessário. Dá para ir muito bem sem conhecê-lo. Para as questões de prova, acaba sendo muito mais rápido utilizarmos a abordagem frequentista da probabilidade.

Então a ideia é apresentar a tal da fórmula. E frisar que, para os exercícios que caem em concurso, a fórmula é completamente desnecessária.

Raciocínio Lógico

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Questão 22 MPE PE 2006 [FCC]

Uma rede local de computadores é composta por um servidor e 2 clientes (A e B). Registros anteriores indicam que, dos pedidos de certo tipo de processamento, cerca de 30% vêm de A e 70% de B. Se o pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentará erro. Sabe-se que 2% dos pedidos feitos por A e 5% dos feitos por B apresentam erro. Selecionando um pedido ao acaso, a probabilidade dele ser proveniente de A, sabendo que apresentou erro, é

(A) 5/41

(B) 6/41

(C) 3/5

(D) 2/35

(E) 1/35

Resolução.

Primeiro vamos resolver sem usar a fórmula do teorema de Bayes, para mostrar que, nas questões usualmente cobradas em prova, a fórmula é totalmente desnecessária.

Vamos considerar que são feitos 1000 pedidos. 30% é proveniente de A e 70% é proveniente de B.

- 300 pedidos de A

- 700 pedidos de B

Dos pedidos de A, 2% apresentam erro.

0,02 × 300 = 6

6 pedidos de A apresentam erro.

Dos pedidos de B, 5% apresentam erro.

0,05 × 700 = 35

Com isso, os 1.000 pedidos são assim discriminados:

- 6 são de A e apresentam erro

- 294 são de A e não apresentam erro

- 35 são de B e não apresentam erro.

- 665 são de B e não apresentam erro

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



É dado que o pedido selecionado apresentou erro. Precisamos rever nossa lista de casos possíveis:

- 6 são de A e apresentam erro

- 294 são de A e não apresentam erro

- 35 são de B e não apresentam erro.

- 665 são de B e não apresentam erro

Queremos saber a probabilidade de o pedido ter vindo de A. São 6 casos favoráveis em 41 possíveis (=35 + 6).

A probabilidade fica:

� = 641

Gabarito: B

Agora vamos resolver de outra forma, para mostrar a fórmula correspondente ao teorema de Bayes.

Seja “A” o evento que ocorre quando se seleciona aleatoriamente um pedido e verifica-se que ele provém do cliente A.

Seja “B” o evento análogo para o cliente B.

Seja “E” o evento que ocorre quando o pedido escolhido apresenta erro.

Do enunciado, temos:

�� = 0,3

��8� = 0,7

��O|�� = 0,02

��O|8� = 0,05

A pergunta é: qual a probabilidade de o pedido ter vindo de A, dado que apresenta erro? Ou seja:

��|O� =? Usando a fórmula da probabilidade condicional:

��|O� = �� ∩ O��O�

Mas sabemos que: �� ∩ O� = ��O|�� × ��. Substituindo este resultado na equação acima:

��|O� = ��O|�� × ��O�

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



Do teorema da probabilidade total, sabemos que: ��O� = ��O|�� × �� + ��O|8� ×��8� Substituindo este resultado na equação acima:

��|O� = ��O|�� × ��O�

��|O� = ��O|�� × ��O|�� × �� + ��O|8� × ��8�

Esta é a fórmula do teorema de Bayes.

Substituindo os valores:

��|O� = 0,02 × 0,30,02 × 0,3 + 0,05 × 0,7 =

66 + 35 =

641

Convenci vocês de que é melhor ficar sem a fórmula?

Resumindo: existe uma fórmula que representa o chamado “teorema de Bayes”. Para resolvermos questões de concurso (em provas abertas a candidatos de todas as áreas), a fórmula é desnecessária. Podemos ficar apenas com a abordagem frequentista da probabilidade.

Questão 23 SEFAZ MG 2005 [ESAF]

Ana precisa chegar ao aeroporto para buscar uma amiga. Ela pode escolher dois trajetos, A ou B. Devido ao intenso tráfego, se Ana escolher o trajeto A, existe uma probabilidade de 0,4 de ela se atrasar. Se Ana escolher o trajeto B, essa probabilidade passa para 0,30. As probabilidades de Ana escolher os trajetos A ou B são, respectivamente, 0,6 e 0,4. Sabendo-se que Ana não se atrasou, então a probabilidade de ela ter escolhido o trajeto B é igual a:

a) 6/25

b) 6/13

c) 7/13

d) 7/25

e) 7/16

Resolução:

Podemos pensar assim. Ana é uma mulher que vai muito ao aeroporto. Ela já foi 100 vezes, em 100 dias diferentes.

Em 60 desses dias, ela escolheu o trajeto A. E se atrasou em 40% desses dias. Ou seja, em 24 desses 60 dias ela se atrasou.

Em 40 dias ela escolheu o trajeto B. E se atrasou em 30% desses dias. Ou seja, em 12 desses 40 dias ela se atrasou.

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



Os casos possíveis são:

24 vezes ela vai pelo trajeto A e se atrasa

36 vezes ela vai pelo trajeto A e não se atrasa

12 vezes ela vai pelo trajeto B e se atrasa

28 vezes ela vai pelo trajeto B e não se atrasa.

Estamos interessados nos dias em que ela escolhe o trajeto B. Os casos favoráveis são:



Escolhemos um desses 100 dias ao acaso. Queremos calcular a probabilidade de Ana ter escolhido o trajeto B. Foi dada uma condição. A condição é ela não ter se atrasado. Vamos rever os casos possíveis e favoráveis.

Ficamos com 64 casos possíveis:

24 vezes ela vai pelo trajeto A e se atrasa

36 vezes ela vai pelo trajeto A e não se atrasa



Os casos favoráveis ficam:



A probabilidade de Ana ter escolhido o trajeto B, dado que se atrasou, é:

16

7

64

28==P

Gabarito: E.


O diagnóstico para uma grave doença que atinge 20% da população adulta em determinada região é feito por um invasivo exame que produz resultado positivo ou negativo. Pesquisas mostraram que esse exame produz um resultado falso positivo em 10% dos casos e produz um resultado falso negativo em 40% dos casos. Se uma pessoa adulta desta região fizer o exame e o resultado for negativo, indique qual a probabilidade de essa pessoa ter a doença.

a) 20%

Raciocínio Lógico

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b) 15%

c) 10%

d) 5%

e) 0%

Resolução:

Considere que a cidade tenha 1000 habitantes.

A doença atinge 20% da população. Logo, são 200 doentes.

Doente Saudável Total

Teste positivo

Teste negativo

200

Consequentemente, são 800 saudáveis


Teste positivo

Teste negativo

200 800

O teste dá falso positivo para 10% dos saudáveis.


Teste positivo 10% de 800 = 80

Teste negativo

200 800

O teste dá falso negativo para 40% dos doentes.


Teste positivo 80

Teste negativo 40% de 200 = 80

200 800

A tabela fica assim:


Teste positivo 80

Teste negativo 80

200 800

As demais células podem ser calculadas por diferença:

Raciocínio Lógico

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Teste positivo 120 80 200

Teste negativo 80 720 800

200 800 1000

É dado que uma pessoa fez o teste e deu negativo. Então estamos em um dos 800 casos em vermelho abaixo indicados:


Teste positivo 120 80 200

Teste negativo 80 720 800

200 800 1000

Estamos interessados nos 80 casos em que a pessoa de fato está doente (vide em azul). Logo, a probabilidade procurada é de:

80800 = 10%

Gabarito: C


Do total de moradores de um condomínio, 5% dos homens e 2% das mulheres tem mais do que 40 anos. Por outro lado, 60% dos moradores são homens. Em uma festa de final de ano realizada neste condomínio, um morador foi selecionado ao acaso e premiado com uma cesta de frutas. Sabendo-se que o morador que ganhou a cesta de frutas tem mais do que 40 anos, então a probabilidade de que este morador seja mulher é igual a:

a) 3/7

b) 8/15

c) 3/15

d) 1/30

e) 4/19

Resolução:

Vamos supor que são 1000 moradores. 60% deles são homens:

60% × 1.000 = 600

Mais do que 40 anos 40 anos ou menos Total

Homens 600

Mulheres

Total 1.000

5% destes 60 homens têm mais de 40 anos:

0,05 × 600 = 30

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT




Homens 30 600

Mulheres

Total 1.000

Podemos encontrar o conteúdo de diversas células por diferença:


Homens 30 600 – 30 = 570 600

Mulheres 1000 – 600 = 400

Total 1000

2% das mulheres tem mais de 40 anos:

0,02 × 400 = 8


Homens 30 570 600

Mulheres 8 400 – 8 =392 400

Total 38 1000

É dado que o sorteado em tem mais de 40 anos. São 38 casos possíveis (vide em vermelho). Queremos a probabilidade de ser uma mulher. São 8 casos favoráveis (em azul). A probabilidade fica:

� = 838 =

419

Gabarito: E

4.9. Probabilidade e análise combinatória

Em diversos exercícios anteriormente resolvidos, para cálculo da probabilidade a gente fazia assim. Contávamos quanto eram os casos possíveis. Contávamos quanto eram os casos favoráveis. E dividíamos um valor pelo outro, obtendo a probabilidade.

Pois bem, há situações em que listar todos os casos possíveis, para depois contá-los, dá muito trabalho. Em situações assim, pode ser útil utilizarmos ferramentas de análise combinatória. São ferramentas que possibilitam uma contagem com rapidez, sem que precisemos listar todos os casos.


Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4 engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando-se, ao acaso, três desses profissionais para constituírem um grupo de trabalho, a probabilidade de os três profissionais sorteados serem do mesmo sexo é igual a:

a) 0,10

b) 0,12

Raciocínio Lógico

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c) 0,15

d) 0,20

e) 0,24

Resolução:

De quantas formas podemos escolher os profissionais?

Vamos dividir em etapas.

Na primeira etapa, temos 10 opções (são 10 profissionais).

Escolhido o primeiro para entrar no grupo de trabalho, sorteamos o segundo. Nessa segunda etapa temos, portanto, 9 opções.

Escolhidos os dois primeiros, vamos ao terceiro. Para a terceira vaga do grupo de trabalho nos restam 8 opções.

Logo, o número total de formas pelas quais podemos formar o tal grupo é:

7208910 =××

São 720 casos possíveis.

Vamos ver agora quantos são os casos favoráveis.

Estamos interessados nos casos em que os três escolhidos são do mesmo sexo.

Vamos dividir em dois casos. Primeiro caso: são sorteadas três mulheres. Segundo caso: são sorteados três homens.

Vejamos de quantas formas podemos escolher três mulheres.

No primeiro sorteio, temos 4 mulheres para escolher. São 4 maneiras de completar a primeira etapa.

Escolhida a primeira mulher, vamos para a segunda etapa. No segundo sorteio, temos 3 opções de mulher.

Escolhidas a primeira e a segunda mulheres, vamos para a terceira etapa. Na terceira etapa, restaram opções de mulher.

Assim, o número de maneiras pelas quais podemos escolher três mulheres é:

24234 =××

São 24 formas de se sortearem as três mulheres.

Para os homens as contas são análogas. Temos 6 formas de realizar a primeira etapa (são 6 opções de homem para o segundo sorteio). Escolhido o primeiro homem, ficamos com 5


10 9 8


4 3 2

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



opções para o segundo sorteio. Escolhidos o primeiro e o segundo homens, ficamos com 4 opções para o terceiro sorteio.

O número de maneiras pelas quais podemos escolher três homens é:

120456 =××

São 120 formas de se escolherem os três homens.

Ao todo, são 144 casos favoráveis. São 120 casos em que temos três homens no grupo de trabalho. E 24 casos nos quais temos três mulheres no grupo de trabalho.

Além disso, são 720 casos possíveis.

A probabilidade de termos três profissionais do mesmo sexo é:

%205

1

60

12

720

144====P

Gabarito: D

Não sei se vocês notaram, mas, no exercício anterior, não nos preocupamos muito em saber se a ordem era importante ou não. Não nos preocupamos em saber se era um caso de arranjo ou combinação.

O grande detalhe é que estamos estudando probabilidades. Não se pergunta o número de formas de se executar um dado processo. Pergunta-se a probabilidade de ocorrência de um dado evento.

Para achar a probabilidade, contamos os casos possíveis e os favoráveis.

E na hora de contar quantos são os casos possíveis e favoráveis é que usamos a análise combinatória, podendo, dependendo do caso, usar a combinação ou o arranjo.

Acontece que, se considerarmos que a ordem importa, ou seja, o conjunto A,B,C é diferente do conjunto C, B, A, então o número de casos possíveis e favoráveis será bem grande.

Se considerarmos que a ordem não importa (caso de combinação), teremos que excluir as contagens repetidas. Só que fazemos isso tanto no numerador quanto no denominador. O número de casos favoráveis diminui. E o número de casos possíveis também diminui. De forma que a fração não se altera.

O que estou querendo dizer é que, para calcular a probabilidade, é muitas vezes indiferente considerar se a ordem importa ou não.

Vamos ver por que.

Vamos refazer o exercício

Na solução anterior, nós simplesmente utilizamos o princípio fundamental da contagem (supusemos, implicitamente, que a ordem de escolha era relevante; uma alteração na ordem das pessoas escolhidas implicaria em nova formação do grupo de engenheiros).


6 5 4

Raciocínio Lógico

p/ Analista do DNIT



Vamos fazer uma segunda solução, considerando que a ordem não importa (supondo um caso de combinação).

Primeiro vejamos o número de casos possíveis. Queremos escolher 3 profissionais em 10 possíveis, sendo que a ordem de escolha não é relevante. Temos uma combinação de 10 engenheiros, tomados 3 a 3. O número de casos possíveis é dado por:

( ) ( ) ( ) ( )120

123

8910

!7!3

!78910

!7!3

!103,10 =

××

××=

×

×××=

×=C

São 120 casos possíveis.

Vamos aos casos favoráveis. São duas possibilidades. Ou são escolhidas três mulheres ou são escolhidos três homens.

Vejamos de quantas formas podemos escolher três homens. Queremos formar um grupo de 3 engenheiros a partir de 6 disponíveis. Temos uma combinação de 6, tomados 3 a 3.

O número de maneiras de se escolherem os 3 engenheiros é:

20!3

456

!3!3

!3456

!3!3

!63,6

=××

=×

×××=

×=C

Analogamente, o número de maneiras de se escolherem as 3 engenheiras é:

4!1!3

!34

!1!3

!43,4

=×

×=

×=C

Temos um total de 24 casos favoráveis (=20+4). E temos 120 casos possíveis. A probabilidade procurada fica:

%20120

24==P

E, novamente, marcamos a letra D.

Note que a reposta foi a mesma, seja quando consideramos que a ordem era relevante, seja quando consideramos ser um caso de combinação.

Considerando arranjo, os casos possíveis eram 720, contra 144 casos favoráveis.

Considerando combinação, os casos possíveis foram reduzidos para 120. Em contrapartida, os casos favoráveis também foram reduzidos, na mesma proporção. Por isso a probabilidade não se altera, pois numerador e denominador foram reduzidos por um mesmo fator.

Foi por isso que não nos preocupamos muito em saber se a ordem importava ou não.

O importante é manter a coerência, do início ao fim do exercício.

Detalhe: isso só vale se não houver reposição.

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Caso haja reposição, as duas soluções darão resultados diferentes. Considerar que a ordem é importante dará um resultado diferente da solução que não considera.

Questão 27 SUSEP 2010 [ESAF]

Considere um grupo de 15 pessoas dos quais 5 são estrangeiros. Ao se escolher ao acaso 3 pessoas do grupo, sem reposição, qual a probabilidade de exatamente uma das três pessoas escolhidas ser um estrangeiro?

a) 45/91.

b) 1/3.

c) 4/9.

d) 2/9.

e) 42/81.

Resolução:

Casos possíveis:

Queremos escolher 3 pessoas dentre 15 possíveis. É um caso de combinação de 15, tomados 5 a 5:

!�P, = 15!3! × 12! =

15 × 14 × 133 × 2 = 5 × 7 × 13

Casos favoráveis:

Primeiro vamos escolher o estrangeiro. Temos que escolher 1 estrangeiro entre 5 possíveis. O número de maneiras de fazer isso é:

!P,� = 5

Em seguida, escolhemos os dois nacionais. Temos que escolher 2, entre os 10 existentes. O número de maneiras de fazer isso é:

!��, = 10!2! × 8! = 45

Aplicando o PFC:

5 × 45 Probabilidade

A probabilidade é igual à divisão entre número de casos favoráveis e possíveis:

� = �5 × 45� ÷ 5 × 7 × 13

= 5 × 455 × 7 × 13

= 4591

Gabarito: A

Raciocínio Lógico

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O Ministério da Fazenda pretende selecionar ao acaso 3 analistas para executar um trabalho na área de tributos. Esses 3 analistas serão selecionados de um grupo composto por 6 homens e 4 mulheres. A probabilidade de os 3 analistas serem do mesmo sexo é igual a:

a) 40%

b) 50%

c) 30%

d) 20%

e) 60%

Resolução:

Casos possíveis

São 10 pessoas e queremos escolher 3 sem reposição. Temos um caso de combinação de 10 elementos, tomados 3 a 3.

!��, = 10!7! × 3! =

10 × 9 × 83 × 2 × 1 = 120

Casos favoráveis

1ª situação: escolha de 3 mulheres

Temos 4 mulheres e precisamos escolher 3. É um caso de combinação de 4 elementos, tomados 3 a 3:

! , = 4!3! × 1! = 4

2ª situação: escolha de 3 homens.

Temos 6 homens e precisamos escolher 3. É um caso de combinação de 6 elementos, tomados 3 a 3:

!�, = 6!3! × 3! =

6 × 5 × 43 × 2 × 1 = 20

Somando tudo, são 20 + 4 = 24casos favoráveis.

Probabilidade

A probabilidade é dada pela relação entre número de casos favoráveis e número de casos possíveis:

� = 24120 = 0,2

Gabarito: D

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Questão 29 MDIC 2012 [ESAF]

Em uma população de 50 empresas de uma região, 20 são empresas exportadoras. Retirando-se sem reposição uma amostra aleatória de tamanho 10 desta população de empresas, qual a probabilidade de que as 5 primeiras empresas escolhidas sejam empresas exportadoras e as 5 últimas não sejam exportadoras?

a) 0,24P

b) ��!

�P!×P!� �0,4�P × �0,6�P

c) �!�P! × #�!P!$ ÷ #P�! �!$

d) ��!P!×P! × #�!�P!$ × #�!P!$ ÷ #P�! �!$

e) 0,5

Resolução

Seja A o evento que ocorre quando as 5 primeiras sorteadas são exportadoras. Seja B o evento que ocorre quando as 5 últimas sorteadas não são exportadoras.

Evento A

1) casos favoráveis: há 20 exportadoras e queremos escolher 5. A ordem importa. Temos um caso de arranjo de 20 elementos, tomados 5 a 5:

��,P = 20!�20 − 5�! =

20!15!

2) casos possíveis: há 50 empresas e vamos sortear 5. É um caso de arranjo de 50 elementos, tomados 5 a 5:

��,P = 50!�50 − 5�! =

50!45!

A probabilidade de “A” fica:

�� = 20!15! ÷

50!45! =

20!15! ×

45!50!

Evento B, dado que A ocorreu.

Sabendo que “A” ocorreu, sobram então 45 empresas, sendo 15 exportadoras e 30 não exportadoras.

1) casos favoráveis: Queremos que as 5 empresas seguintes sejam não exportadoras. Temos um arranjo de 30 elementos, tomados 5 a 5:

30!�30 − 5�! =

30!25!

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2) casos possíveis: São 45 empresas restantes e iremos escolher 5. Temos arranjo de 45 elementos, tomados 5 a 5:

45!�45 − 5�! =

45!40!

A probabilidade de B, dado A, é:

��8|�� = 30!25! ÷

45!40! =

30!25! ×

40!45!

Finalmente, a probabilidade de que A e B ocorram é:

�� ∩ 8� = �� × ��8|�� = 20!15! ×

45!50! ×

30!25! ×

40!45!

20!15! ×

30!25! ×

40!50!

= 20!15! ×

30!25! ÷

50!40!

Gabarito: C


Uma turma de uma escola de primeiro grau tem 30 alunos, dos quais 20 são meninas e 10 são meninos. Ao se escolher ao acaso três alunos da turma, sem reposição, qual a probabilidade de exatamente 2 dos 3 alunos escolhidos serem meninas?

a) ½

b) 12/27

c) 45/91

d) 95/203

e) 2/3

Resolução:

1) Casos favoráveis

Para a escolha das duas meninas, temos combinação de 20 meninas, tomadas 2 2:

!�, = 20!�20 − 2�! × 2! =

20 × 192 = 190

Para a escolha do menino, temos 10 opções.

Aplicando o PFC, o número de casos favoráveis é:

190 × 10 = 1900

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2) Casos possíveis.

Temos 30 crianças e precisamos escolher 3. O número de maneiras de fazer isso é:

!�, = 30!�30 − 3�! × 3! =

30!27! × 3! =

30 × 29 × 283 × 2 = 10 × 29 × 14

A probabilidade é dada pela relação entre casos favoráveis e possíveis:

� = 190010 × 29 × 14 =

19029 × 14 =

9529 × 7 =

95203

Gabarito: D


Considere um órgão público com 30 técnicos, sendo 20 homens e 10 mulheres. Ao se escolher aleatoriamente, sem reposição, quatro técnicos para se formar uma comissão, sendo Cn,k o número de combinações de n elementos tomados k a k, qual o valor mais próximo da probabilidade da comissão ser formada exatamente por duas mulheres, e dois homens?

a) C4,2 (1/3)2 (2/3)2

b) C4,2 (20 x 19x10x9) / (30x29x28x27)

c) C4,4 (20x19x10x9)/(30x29x28x27)

d) C4,0 (1/3)2 (2/3)2

e) C4,4 (2/9)2

Resolução:

1) Casos possíveis.

Temos 30 pessoas e queremos escolher 4. É um caso de combinação de 30 elementos, tomados 4 a 4:

!�, = 30!26! × 4! =

30 × 29 × 28 × 274 × 3 × 2

2) Casos favoráveis:

Para a escolha das mulheres, temos um caso de combinação de 10 elementos, tomados 2 a 2:

!��, = 10!8! × 2! =

10 × 92

Para a escolha dos homens, temos um caso de combinação de 20 elementos, tomados 2 a 2:

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!�, = 20!18! × 2! =

20 × 192

Aplicando o PFC, o número de casos favoráveis é:

10 × 92 × 20 × 19

2

A probabilidade fica:

� = R10 × 92 × 20 × 19

2 S ÷ R30 × 29 × 28 × 274 × 3 × 2 S

Rearranjando os termos:

� = 10 × 9 × 20 × 1930 × 29 × 28 × 27 ×

4 × 3 × 22 × 2

� = 10 × 9 × 20 × 1930 × 29 × 28 × 27 ×

4 × 32

Na última fração temos a combinação de 4 elementos, tomados 2 a 2:

� = 10 × 9 × 20 × 1930 × 29 × 28 × 27 × ! ,

Gabarito: B

5. RESUMO

Tópico Lembrete

Arranjo ��,� = �!�� − ��!

Combinação !�,� = �!�� − ��! × �!

Probabilidade – eventos equiprováveis �ºD@AUAV@WUCáWEXA�ºD@AUA�UAAíWEXA

Probabilidade condicional ��|8� = �� ∩ 8�/��8� Eventos independentes ��|8� = ��

Logo: �� ∩ 8� = �� × ��8�

Probabilidade da união �� ∪ 8� = �� + ��8� − �� ∩ 8� Eventos mutuamente excludentes �� ∩ 8� = 0 → �� ∪ 8� = �� + ��8� Probabilidade do evento complementar ��̅� = 1 − ��

6. CONTEÚDO DE DESTAQUE

Sem dúvidas, o que tem sido mais abordado nas últimas provas da Esaf, como demonstra a grande quantidade de questões de 2012, é o uso de análise combinatória para cálculo de probabilidade. É justamente o último tópico desta aula. A grande vantagem para a banca é

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que, em uma questão, ela cobra dois assuntos ao mesmo tempo – análise combinatória + probabilidade.

Recomendo que você refaça várias vezes as questões do citado tópico, porque a chance de cair algo similar na sua prova é grande.

7. QUESTÕES APRESENTADAS EM AULA

Questão 1 TCU 1999 [ESAF]

A senha para um programa de computador consiste em uma seqüência LLNNN, onde “L” representa uma letra qualquer do alfabeto normal de 26 letras e “N” é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras como algarismos podem ou não ser repetidos, mas é essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro lugar, antes dos algarismos. Sabendo que o programa não faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, o número total de diferentes senhas possíveis é dado por:

a) 226 310

b) 262 103

c) 226 210

d) 26! 10!

e) C26,2 C10,3

Questão 2 ANEEL 2006 [ESAF]

Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma probabilidade de vencer. O número de diferentes maneiras para a classificação dos 3 primeiros lugares é igual a:

a) 24.360

b) 25.240

c) 24.460

d) 4.060

e) 4.650


Na Mega-Sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60 possíveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02, ... , 60). Uma aposta simples (ou aposta mínima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da Mega-Sena estarão entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O número mínimo de apostas simples para o próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter certeza matemática que será um dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto é:

a) 8

b) 28

c) 40

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d) 60

e) 84

Questão 4 SEFAZ/SP 2009 [ESAF]

Considere que numa cidade 40% da população adulta é fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos não-fumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa adulta da cidade escolhida ao acaso ser mulher?

a) 44%

b) 52%

c) 50%

d) 48%

e) 56%


Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora são moradores de um bairro muito antigo que está comemorando 100 anos de existência. Dona Matilde, uma antiga moradora, ficou encarregada de formar uma comissão que será a responsável pela decoração da festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso, três pessoas entre os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora. Sabendo-se que Denílson não pertence à comissão formada, então a probabilidade de Carlão pertencer à comissão é, em termos percentuais, igual a:

a) 30 %

b) 80 %

c) 62 %

d) 25 %

e) 75 %


Um viajante, a caminho de determinada cidade, deparou-se com uma bifurcação onde estão três meninos e não sabe que caminho tomar. Admita que estes três meninos, ao se lhes perguntar algo, um responde sempre falando a verdade, um sempre mente e o outro mente em 50% das vezes e consequentemente fala a verdade nas outras 50% das vezes. O viajante perguntou a um dos três meninos escolhido ao acaso qual era o caminho para a cidade e ele respondeu que era o da direita. Se ele fizer a mesma pergunta a um outro menino escolhido ao acaso entre os dois restantes, qual a probabilidade de ele também responder que é o caminho da direita?

a) 1.

b) 2/3.

c) 1/2.

d) 1/3.

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e) 1/4.


A e B são eventos independentes se:

a) )()()( BPAPBAP +=∩

b) )()()( BPAPBAP ÷=∩

c) )()()( BPAPBAP −=∩

d) )()()( ABPAPBAP +=∩

e) )()()( BPAPBAP ×=∩

Questão 8 STN 2008 [ESAF]

Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e somente se:

a) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula

b) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A.

c) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B.

d) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A.

e) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1.


Se A e B são evento independentes, então:

a) �� ∩ 8� = �� − ��8� b) ��|8� = ��/��8�, se P(B)>0

c) ��|8� = �� d) ��|8� = �� ∩ 8�/��, se P(A)>0

e) �� ∪ 8� = �� + ��8� Questão 10 MPU 2004 [ESAF]

Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então, recebe um telefonema de Ana informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a

a) 2/3

b) 1/7

c) 1/3

d) 5/7

e) 4/7

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Questão 11 MPU/2004 [ESAF]

Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é 0,04.Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a

a) 0,25

b) 0,35

c) 0,45

d) 0,15

e) 0,65.


Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar Ricardo é 0,4; a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual a 0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e Fernando, é igual a 0,05. Assim, a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou Fernando é igual a:

a) 0,04

b) 0,40

c) 0,50

d) 0,45

e) 0,95


Soretando-se um número de uma lista de 1 a 100, qual a probabilidade de o número ser divisível por 3 ou por 8?

a) 41%

b) 44%

c) 42%

d) 45%

e) 43%


Uma caixa contém 3 bolas brancas e 2 pretas. Duas bolas serão retiradas dessa caixa, uma a uma e sem reposição, qual a probabilidade de serem da mesma cor?

a) 55%

b) 50%

c) 40%

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d) 45%

e) 35%


Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então pode-se afirmar que:

a) A e B são eventos independentes

b) P(A ∩ B) = P(A) + P(B)

c) P(B/A) ≠ 0

d) P(A/B) ≠ 0

e) P(A ∩ B) = 0

Questão 16 TRT 2ª REGIAO 2008 [FCC]

A probabilidade de que Antônio esteja vivo daqui a 10 anos é igual a 80% e de que Paulo o esteja daqui a 10 anos é 70%. Então, a probabilidade de que somente um deles esteja vivo daqui a 10 anos é igual a

(A) 30%

(B) 36%

(C) 56%

(D) 38%

(E) 44%

Questão 17 MINISTERIO DA SAUDE 2007 [FCC]

Sabe-se que 3/5 dos pacientes submetidos a uma determinada cirurgia sobrevivem. Se 4 pacientes realizarem a cirurgia, a probabilidade de que pelo menos um não sobreviva é de:

a) 609/625

b) 544/625

c) 96/625

d) 24/625

e) 16/625


Três amigas participam de um campeonato de arco e flecha. Em cada tiro, a primeira das amigas tem uma probabilidade de acertar o alvo de 3/5, a segunda tem uma probabilidade de acertar o alvo de 5/6, e a terceira tem uma probabilidade de acertar o alvo de 2/3. Se cada uma das amigas der um tiro de maneira independente dos tiros das outras duas, qual a probabilidade de pelo menos dois dos três tiros acertarem o alvo?

a) 90/100

b) 50/100

c) 71/100

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d) 71/90

e) 60/90


A probabilidade de ocorrer cara no lançamento de uma moeda viciada é igual a 2/3. Se ocorrer cara, seleciona-se aleatoriamente um número X do intervalo IJ ∈ L|1 ≤ J ≤ 3}; se ocorrer coroa, seleciona-se aleatoriamente um número Y do intervalo IN ∈ L|1 ≤ N ≤4}, onde N representa o conjunto dos números naturais. Assim, a probabilidade de ocorrer um número par é igual a:

a) 7/18

b) 1/2

c) 3/7

d) 1/27

e) 2/9

Questão 20 Câmara dos Deputados 2007 [FCC]

Uma rede local de computadores é composta por um servidor e 2 (dois) clientes (Z e Y). Registros anteriores indicam que dos pedidos de certo tipo de processamento, cerca de 30% vêm de Z e 70% de Y. Se o pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentara erro. Sabendo-se que 2% dos pedidos feitos por Z e 1% dos pedidos feitos por Y apresentam erro, a probabilidade do sistema apresentar erro é:

a) 5%

b) 4,1%

c) 3,5%

d) 3%

e) 1,3%


- O porta-jóias de Ana é formado por duas gavetas: a gaveta A e a gaveta B. Na gaveta A, Ana guarda 1 colar de pérolas e 2 pulseiras de ouro. Na gaveta B, Ana guarda 2 colares de pérolas e 1 pulseira de ouro. Ana, ao arrumar as gavetas, retira aleatoriamente uma jóia da gaveta A e a coloca na gaveta B, misturando-a com as jóias que já estavam na gaveta B. Beatriz, amiga íntima de Ana, pede uma jóia emprestada para ir a uma festa. Ana, com satisfação, diz para Beatriz retirar, aleatoriamente, uma jóia da gaveta B. Desse modo, a probabilidade de Beatriz retirar uma pulseira de ouro da gaveta B é igual a:

a) 2/3

b) 7/12

c) 5/12

d) 3/5

e) 1/4

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Questão 22 MPE PE 2006 [FCC]

Uma rede local de computadores é composta por um servidor e 2 clientes (A e B). Registros anteriores indicam que, dos pedidos de certo tipo de processamento, cerca de 30% vêm de A e 70% de B. Se o pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentará erro. Sabe-se que 2% dos pedidos feitos por A e 5% dos feitos por B apresentam erro. Selecionando um pedido ao acaso, a probabilidade dele ser proveniente de A, sabendo que apresentou erro, é

(A) 5/41

(B) 6/41

(C) 3/5

(D) 2/35

(E) 1/35

Questão 23 SEFAZ MG 2005 [ESAF]

Ana precisa chegar ao aeroporto para buscar uma amiga. Ela pode escolher dois trajetos, A ou B. Devido ao intenso tráfego, se Ana escolher o trajeto A, existe uma probabilidade de 0,4 de ela se atrasar. Se Ana escolher o trajeto B, essa probabilidade passa para 0,30. As probabilidades de Ana escolher os trajetos A ou B são, respectivamente, 0,6 e 0,4. Sabendo-se que Ana não se atrasou, então a probabilidade de ela ter escolhido o trajeto B é igual a:

a) 6/25

b) 6/13

c) 7/13

d) 7/25

e) 7/16


O diagnóstico para uma grave doença que atinge 20% da população adulta em determinada região é feito por um invasivo exame que produz resultado positivo ou negativo. Pesquisas mostraram que esse exame produz um resultado falso positivo em 10% dos casos e produz um resultado falso negativo em 40% dos casos. Se uma pessoa adulta desta região fizer o exame e o resultado for negativo, indique qual a probabilidade de essa pessoa ter a doença.

a) 20%

b) 15%

c) 10%

d) 5%

e) 0%


Do total de moradores de um condomínio, 5% dos homens e 2% das mulheres tem mais do que 40 anos. Por outro lado, 60% dos moradores são homens. Em uma festa de final de

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ano realizada neste condomínio, um morador foi selecionado ao acaso e premiado com uma cesta de frutas. Sabendo-se que o morador que ganhou a cesta de frutas tem mais do que 40 anos, então a probabilidade de que este morador seja mulher é igual a:

a) 3/7

b) 8/15

c) 3/15

d) 1/30

e) 4/19


Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4 engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando-se, ao acaso, três desses profissionais para constituírem um grupo de trabalho, a probabilidade de os três profissionais sorteados serem do mesmo sexo é igual a:

a) 0,10

b) 0,12

c) 0,15

d) 0,20

e) 0,24

Questão 27 SUSEP 2010 [ESAF]

Considere um grupo de 15 pessoas dos quais 5 são estrangeiros. Ao se escolher ao acaso 3 pessoas do grupo, sem reposição, qual a probabilidade de exatamente uma das três pessoas escolhidas ser um estrangeiro?

a) 45/91.

b) 1/3.

c) 4/9.

d) 2/9.

e) 42/81.


O Ministério da Fazenda pretende selecionar ao acaso 3 analistas para executar um trabalho na área de tributos. Esses 3 analistas serão selecionados de um grupo composto por 6 homens e 4 mulheres. A probabilidade de os 3 analistas serem do mesmo sexo é igual a:

a) 40%

b) 50%

c) 30%

d) 20%

e) 60%

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Questão 29 MDIC 2012 [ESAF]

Em uma população de 50 empresas de uma região, 20 são empresas exportadoras. Retirando-se sem reposição uma amostra aleatória de tamanho 10 desta população de empresas, qual a probabilidade de que as 5 primeiras empresas escolhidas sejam empresas exportadoras e as 5 últimas não sejam exportadoras?

a) 0,24P

b) ��!

�P!×P!� �0,4�P × �0,6�P

c) �!�P! × #�!P!$ ÷ #P�! �!$

d) ��!P!×P! × #�!�P!$ × #�!P!$ ÷ #P�! �!$

e) 0,5


Uma turma de uma escola de primeiro grau tem 30 alunos, dos quais 20 são meninas e 10 são meninos. Ao se escolher ao acaso três alunos da turma, sem reposição, qual a probabilidade de exatamente 2 dos 3 alunos escolhidos serem meninas?

a) ½

b) 12/27

c) 45/91

d) 95/203

e) 2/3


Considere um órgão público com 30 técnicos, sendo 20 homens e 10 mulheres. Ao se escolher aleatoriamente, sem reposição, quatro técnicos para se formar uma comissão, sendo Cn,k o número de combinações de n elementos tomados k a k, qual o valor mais próximo da probabilidade da comissão ser formada exatamente por duas mulheres, e dois homens?

a) C4,2 (1/3)2 (2/3)2

b) C4,2 (20 x 19x10x9) / (30x29x28x27)

c) C4,4 (20x19x10x9)/(30x29x28x27)

d) C4,0 (1/3)2 (2/3)2

e) C4,4 (2/9)2

8. GABARITO

1 b

2 a

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3 b

4 b

5 e

6 d

7 e

8 d

9 c

10 c

11 e

12 d

13 a

14 c

15 e

16 d

17 b

18 d

19 a

20 e

21 c

22 b

23 e

24 c

25 e

26 d

27 a

28 d

29 c

30 d

31 b

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