ESTUDIO DE LA PROPAGACIÓN DE UNA FISURA SEMIELÍPTICA

ESTUDIO DE LA PROPAGACIÓN DE UNA FISURA SEMIELÍPTICA CONTENIDA EN UN EJE

SOMETIDO A FLEXIÓN ROTATORIA CUASIESTÁTICA

P. Rubio, L. Rubio*, B. Muñoz-Abella

Departamento de Ingeniería Mecánica. Universidad Carlos III de Madrid

Avenida de la Universidad, 30, 28911 Leganés - Madrid

* E-mail: [email protected]

RESUMEN

Los fallos debidos a la propagación de fisuras de fatiga en ejes son uno de los problemas más frecuentes en máquinas

rotatorias pues pueden provocar daños irreversibles y poner en riesgo vidas humanas. Una fisura en un eje se abre y

cierra a lo largo de un giro en lo que se denomina “breathing mechanism” (mecanismo de apertura y cierre), lo que hace

que el comportamiento del eje se convierta en no lineal. En este trabajo se presenta el análisis cuasiestático de la

propagación de una fisura semielíptica contenida en un eje, sometido a flexión rotatoria, teniendo en cuenta el

comportamiento no lineal del eje. Para conseguir este objetivo se ha mejorado un algoritmo de propagación que permite

obtener la evolución de la fisura a lo largo del tiempo, basado en la ley de Paris-Erdogan. Su principal aportación radica en que los avances del frente de fisura a lo largo del tiempo han sido calculados partiendo de valores del Factor de

Intensidad de Tensiones (FIT) calculados a partir de una expresión que tiene en cuenta el “breathing mechanism” y el

comportamiento no lineal del eje.

PALABRAS CLAVE: Ejes fisurados, crecimiento de fisuras, mecanismo de apertura y cierre, fisuras semielípticas

ABSTRACT

Due to cyclic loading conditions, cracks frequently appear in rotating machines. The propagation of fatigue cracks in

shafts can cause severe accidents with high risks for people. During the rotation of the cracked shaft, the crack

contained in it opens and closes in what is called the breathing mechanism and consequently the behavior of the shaft becomes non-linear. In the present work, the propagation of a semi-elliptical crack contained in a rotating shaft has been

analyzed. To this end an integration algorithm which allows obtaining the crack front evolution has been improved.

This procedure utilizes the Paris-Erdogan law to determine the advance at a few points along the crack front and uses

the general expression that gives the Stress Intensity Factor (SIF) along the crack front of an elliptical crack in a rotating

shaft taking into account the breathing mechanism and considering the nonlinear behavior of the cracked shaft.

KEYWORDS: Cracked shafts, crack growth, breathing mechanism, semielliptical cracks

1. INTRODUCCIÓN

Una gran parte de los fallos en servicio de las máquinas

rotatorias de responsabilidad (turbinas, bombas, rotores,

compresores, etc.), se producen habitualmente por la

presencia y propagación de fisuras de fatiga en sus

componentes. Los ejes, que son uno de los componentes

principales de estas máquinas, trabajan en rotación y

están sometidos a esfuerzos de flexión y torsión que

producen tensiones variables a lo largo del tiempo, que

pueden hacer propagar la fisura como consecuencia de

la fatiga.

Un aspecto a tener en cuenta en el comportamiento de

ejes fisurados es el estado de apertura/cierre de la fisura

contenida en un eje giratorio. Este mecanismo de

apertura y cierre se ha modelado de diferentes formas, la más realista de ellas es la que considera que la fisura se

abre y se cierra de forma gradual, teniendo en cuenta

estados de apertura y cierre parciales de la misma [1].

La velocidad de crecimiento de la fisura depende de la

variación del Factor de Intensidad de Tensiones (FIT),

según describe la ley de Paris-Erdogan. Por lo tanto, a

partir del conocimiento del FIT en el frente de fisura a

lo largo de un giro del eje es posible analizar la

evolución de la misma. Diferentes autores han estudiado

la propagación de fisuras semielípticas en barras

cilíndricas sometidas a flexión tomando como base la ley de Paris-Erdogan. Entre ellos, Carpinteri [2]

propone un modelo en el que el FIT depende del grado

de apertura de la fisura durante el giro, que es similar al

Anales de Mecánica de la Fractura (Vol. 33)

411

del modelo de Línea de Cierre de Fisura (LCF) [3],

mientras que el modelo de Toribio et al. [4] ha sido

desarrollado a partir de valores del FIT únicamente para

posiciones de giro en las que la fisura está

completamente abierta.

En este trabajo se presenta el análisis cuasiestático de la

propagación de una fisura semielíptica contenida en un

eje sometido a flexión rotatoria. Para ello se ha

mejorado un algoritmo de integración basado en la ley

de Paris- Erdogan que permite obtener la evolución del frente de la fisura a lo largo del tiempo, tomando como

datos de entrada en cada paso de integración los valores

del FIT obtenidos de la expresión cerrada que se puede

encontrar en trabajos previos de los autores [5]. El

modelo de propagación propuesto tiene en cuanta el

mecanismo de apertura/cierre de la fisura a lo largo de

un giro del eje, así como el comportamiento no lineal

del mismo.

2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

2.1. Modelo de eje fisurado

Se ha considerado un eje de aluminio (E=72GPa, ν= 0.3

y ρ=2800 kg/m3) de longitud L= 900mm y diámetro

D=20mm que contiene en su sección central una fisura

transversal de frente semielíptico de profundidad a. El

eje se encuentra biapoyado y sometido a sendas cargas

puntuales F=100 N, que se aplican a una distancia d de

los extremos del mismo (figura 1) asegurando estado de

flexión pura en la sección fisurada.

Figura 1. Modelo geométrico del eje fisurado.

Los parámetros característicos que definen la fisura

elíptica son (ver figura 2):

profundidad de la fisura a

α= 0,0.5D

(1)

factor de forma a

= 0,1b

(2)

posición relativa en el frente w

= -1,1h

(3)

Figura 2. Parámetros característicos de la fisura.

La posición de la fisura a lo largo de una rotación del

eje está caracterizada por el ángulo 0,2 . Para el

valor =0 la fisura se encuentra completamente abierta

y en el caso de =π está completamente cerrada.

2.2. Factor de Intensidad de Tensiones

Los valores del FIT adimensional utilizados como datos

de entrada en el modelo propuesto se han obtenido de la

expresión cerrada, que tiene en cuenta el mecanismo de

apertura/cierre de la fisura y el comportamiento no

lineal del eje, desarrollada por los autores en trabajos previos [5]. La citada expresión permite calcular el

valor del FIT adimensional en todos los puntos del

frente de una fisura (γ) conocidos los valores de α, β y

en cada caso.

3. DESARROLLO DEL MODELO

3.1. Procedimiento de cálculo

El modelo propuesto permite conocer la evolución a lo

largo del tiempo de una fisura inicial de tamaño y forma

conocidos mediante la integración de un algoritmo

desarrollado basado en la Ley de Paris-Erdogan. De acuerdo con otros trabajos [2,4,6], se asume que el

frente de fisura avanza según la expresión (4):

m

I

da=CΔK

dN (4)

donde da/dN es la tasa de crecimiento de la fisura, ΔKI

es el incremento del FIT, C y m son constantes que

dependen del material que en este caso se han tomado

como 45·10-9 y 2.9, respectivamente.

El frente de fisura se ha dividido en 12 segmentos

iguales que se corresponden con valores de γ entre 1 y -

1. En cada uno de estos puntos se ha calculado el FIT en

modo I según la expresión (5):

I IK =F σ πa (5)

donde σ es la tensión de referencia que se ha tomado

como la máxima tensión de flexión del eje sin fisura, y

FI es el FIT adimensional en modo I calculado según se

puede encontrar en [5].

Se determina el incremento del FIT a lo largo de un giro

completo para cada punto según la ecuación (6):

I, giro completo I, max I, minK =K K (6)

KI,max y KI,min son, respectivamente, los valores máximo

y mínimo del FIT durante un giro completo. En la figura

3 se muestra una curva tipo para un valor de γ genérico.


412

Teniendo en cuenta que, independientemente del punto

en el frente que se considere, KI,min=0:

I, giro completo I, maxK =K (7)

Figura 3. FIT máximo y mínimo para un γ genérico

durante un giro completo.

El avance de la fisura Δa se obtiene integrando la ley de Paris-Erdogan, de forma que para un punto cualquiera

del frente se puede expresar según (8):

m

IΔa=ΔN C ΔK (8)

siendo ΔN el número de ciclos necesarios para alcanzar

un valor determinado de Δa.

Por otra parte, se supone que el frente de fisura se puede

modelar como una elipse de centro O situado en la

superficie del eje, con semieje menor a y semieje mayor

b, como se muestra en la figura 2. De forma que para calcular, una vez que la fisura ha propagado, el nuevo

de frente, en primer lugar, se fija el avance del punto

central del frente, Δa(A), y, posteriormente, se calculan

los avances del resto de los puntos, Δa(Pj), donde j es el

número de puntos en el frente, mediante la expresión

(9) (ver figura 4):

m

I j

j

I

ΔK PΔa P =Δa A

ΔK A

(9)

Figura 4. Avance local del frente de fisura para cada

punto del mismo.

A partir de los nuevos puntos obtenidos, A’ y Pj’,

realizando un ajuste por el método de mínimos

cuadrados, se define un nuevo frente elíptico con

semiejes a’ y b.’ El proceso se repite iterativamente

hasta alcanzar una profundidad de fisura final que se

habrá de fijar previamente.

En la figura 5 se muestra un esquema del procedimiento

seguido.

Figura 5. Diagrama de flujo del procedimiento.

3.2. Determinación del avance inicial óptimo

Según se puede ver en la figura 5, para aplicar el

algoritmo es necesario fijar un valor del avance en el

frente de fisura, Δa(A), en cada iteración, que además se

mantendrá constante para todas ellas.

Con el objeto de determinar el valor óptimo de este dato

de entrada se ha realizado un análisis de sensibilidad. En

él se ha estudiado, para una configuración inicial dada,

cómo evolucionan la forma (β) y profundidad (α) de la fisura durante la propagación para diferentes valores de

Δa(A). Se ha partido de un valor de Δa(A)=0.05D y se

ha ido disminuyendo hasta que se ha conseguido la

convergencia en los resultados. En la figura 6(a) se


413

muestra el resultado obtenido para el caso de

profundidad relativa inicial α0=0.05 y factor de forma

inicial β0=0, y en la figura 6(b) para α0=0.05 y β0=1. En

ambos casos se observa que la convergencia se logra

para Δa(A)=0.005D, valor elegido para realizar el

estudio de la propagación de la fisura. Para otros casos

de configuración inicial se han obtenido resultados

similares en el estudio de sensibilidad.

(a)

(b)

Figura 6. Análisis de sensibilidad de Δa(A).

3.3. Validación del modelo propuesto

La validación del algoritmo propuesto se ha realizado

comparando los resultados obtenidos con otros

disponibles en la literatura.

En primer lugar se ha comparado con los resultados de

Toribio et al. [4], modelo aplicable para esfuerzos de

flexión cuando la fisura se encuentra completamente abierta. En la figura 7 se muestra la comparación, entre

los datos de [4] y los resultados del modelo propuesto

en este trabajo, de la evolución del frente de fisura

(variación temporal de α y β) para las siguientes

configuraciones iniciales: α0=0.1 y β0=0; α0=0.3 y β0=0;

α0=0.5 y β0=0; α0=0.1 y β0=0.5. Los resultados de

ambos modelos presentan buena concordancia. En

ambos casos, para las geometrías iniciales estudiadas, la

fisura se hace más elíptica hasta un cierto valor de la

profundidad y, a medida que se propaga, tiende a

hacerse más recta hasta que β=0.3.

Figura 7. Comparación entre los resultados del modelo

propuesto y los de la ref. [4].

En segundo lugar, cuando el eje está sometido a flexión

rotatoria la fisura se abre y cierra continuamente con el

giro. En la figura 8 se puede ver la comparación de

ambos resultados para las siguientes configuraciones

iniciales: α0=0.1 y β0=0, α0=0.1 y β0=0.2, α0=0.1 y

β0=0.3, α0=0.1 y β0=0.4, α0=0.1 y β0=0.5.

Figura 8. Comparación entre los resultados del modelo

propuesto y los de la ref. [2].

Se puede observar en la figura 8 que las curvas correspondientes a ambos modelos siguen la misma

tendencia, inicialmente el frente de fisura se hace más

elíptico pero, a medida que la fisura progresa, se

convierte en más recto. Las discrepancias observadas

entre los dos modelos se deben a los datos de FIT

utilizados en cada uno de ellos [5]. En este sentido,

cuando la fisura está completamente abierta los datos de

FIT de partida usados en ambos modelos son similares,

sin embargo, cuando está parcialmente abierta aparecen

diferencias debido a que el porcentaje de fisura abierta

que consideran ambos modelos no es el mismo. Por último, cuando la fisura está completamente cerrada, el


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modelo [2] utiliza valores del FIT negativos mientras

que el modelo propuesto considera que estos valores

deben ser nulos.

4. RESULTADOS

4.1. Evolución del frente de fisura

En la figura 9 se puede ver la propagación de la fisura

para los casos de profundidad relativa α0=0.05 y

diferentes valores iniciales del factor de forma: β0=0, 0.5, 1. Mientras que en la figura 10 se muestra la

evolución de los valores de α frente a β para los casos

de profundidad relativa α0=0.05 y los valores iniciales

del factor de forma: β0=0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.

Figura 9. Propagación de la fisura para una

profundidad inicial de αo = 0.05 y distintos βo.

Figura 10. Evolución β y α, para una profundidad

inicial de αo = 0.05 y distintos βo.

En las figuras 9 y 10 se observa que,

independientemente de la forma inicial, las fisuras

tienden a adoptar la misma forma final, es decir, a

adoptar una forma más recta con el crecimiento. En el

caso de que la forma de partida ya sea recta (β0=0),

primero crece haciéndose elíptica y posteriormente

vuelve a tomar la forma recta. Para el caso de que la

fisura inicial sea mayor de α0=0.05 la evolución del

frente durante el crecimiento es similar.

Aunque la mayoría de los autores consideran que las fisuras tienen forma convexa, ver figura 11(a), también

se pueden encontrar trabajos en la literatura que las

consideran con forma cóncava, por ejemplo [7], ver

figura 11(b).

Figura 11. Formas típicas del frente: (a) convexa

(b) cóncava.

Cuando el FIT es mayor en el centro del frente de fisura

que en los extremos, éste tiende a hacerse más elíptico con el crecimiento, ver figura 12(a). Sin embargo,

cuando el FIT es más pequeño en el centro que en los

extremos, ver figura 12(b), la fisura tiende a hacerse

más recta hasta que llega a un valor de β=0. A partir de

ese momento se puede sospechar que el frente cambiaría

de forma y adquiriría una forma cóncava.

En la Tabla 1 se pueden ver los valores de α para los

cuales probablemente la forma del frente cambiará de

convexa a cóncava, para todas las geometrías iniciales

estudiadas.


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Figura 12. FIT máximo en el centro y el extremo del

frente para los casos de α=0.1 (a) y α=0. 5 (b).

Tabla 1. Valor de α en el que el frente de fisura pasaría

de convexo a cóncavo para diferentes configuraciones

iniciales.

β0=0 β0=0.25 β0=0.5 β0=0.75 β0=1

α0=0.05 0.42 0.44 0.45 0.45 0.45

α0=0.1 0.38 0.41 0.435 0.445 0.445

α0=0.15 0.345 0.38 0.425 0.445 0.45

α0=0.2 0.31 0.36 0.42 0.45 0.46

α0=0.25 0.27 0.36 0.43 0.465 0.475

α0=0.3 0.3 0.375 0.445 0.485 0.495

α0=0.35 0.35 0.405 0.47 >0.5 >0.5

α0=0.4 0.4 0.45 >0.5 >0.5 >0.5

α0=0.45 0.45 0.485 >0.5 >0.5 >0.5

5. CONCLUSIONES

En este trabajo se ha presentado el estudio de la

propagación de una fisura de frente semielíptico en un

eje rotatorio sometido a flexión. Con tal propósito se ha

mejorado un algoritmo basado en la ley de Paris-

Erdogan que permite obtener la evolución del frente de fisura a lo largo del tiempo así como el número de

ciclos necesarios para alcanzar una determinado

profundidad de fisura prefijada. Este algoritmo toma

como datos de partida unos valores del Factor de

Intensidad de Tensiones [5] que tienen en cuenta el

mecanismo de apertura/cierre de la fisura y el

comportamiento no lineal del eje.

El modelo propuesto ha sido validado mediante la

comparación de los resultados obtenidos con otros

disponibles en la literatura, encontrándose buena

concordancia en todos los casos. Posteriormente se ha analizado la evolución de la fisura para diferentes

configuraciones iniciales de la misma. Las conclusiones

más importantes extraídas son las siguientes:

Independientemente de la forma inicial de la

fisura, ésta tiende a hacerse recta con su

crecimiento. Si inicialmente es recta, primero

tiende a hacerse elíptica para, posteriormente,

volver a adoptar la forma recta.

Una fisura inicialmente convexa o recta,

cuando al propagase alcanza la forma recta, presumiblemente cambiará la forma del frente

y tomará una forma cóncava.

AGRADECIMIENTOS

Los autores desean agradecer al Ministerio de Ciencia e

Innovación por su financiación para la realización de

este trabajo a través del proyecto DPI2013-45406-P.

REFERENCIAS

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