Razones y Proporciones

LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICALITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICALITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICALITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICALITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICALITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA LITE CATLICA

En matemtica, generalmente usamos smbolos para representar elementos arbitrarios de un conjunto. Por tanto la notacin x ( (, significa que x es un nmero real, aunque no especifique un nmero real en particular.

Un smbolo literal que se usa para representar cualquier elemento de un conjunto dado, se llama variable. Las ltimas letras del alfabeto tales como x, y, z, w, ....., se emplean a menudo como variables. En cambio, el numeral que se utiliza para indicar un elemento fijo de un conjunto numrico se llama constante.

En una expresin matemtica las variables y constantes se diferencian al usar la notacin matemtica, lo cual consiste en indicar los smbolos que representan a las variables dentro de un parntesis.

Ejemplo:

E (x; y; z) = 5x + 3ay2 + 2bz3*las variables son:

*las constantes son:

EXPRESIN ALGEBRAICA

Es un conjunto de letras y nmeros donde las variables estn relacionadas con cualquiera de las 6 operaciones aritmticas (+ ; ; ( ; ( ; ()n; ); en un nmero limitado de veces.

Ejemplos:E(x)=x3 2x +

E(x,y) =

Q(x) =x4 sen y

P(x)=x2 + x2 + sen x

R(x)=1 + x + x2 + x3 ..

G(x)= x2 + 2x

TRMINO ALGEBRAICO

Es una expresin algebraica donde no estn presente las operaciones de adicin y sustraccin.

Ejemplo:M(x,y) = 4 x5 y3TRMINOS SEMEJANTES

Dos o ms trminos sern semejantes si a los exponentes de las respectivas variables son iguales.

Ejemplos:P(x;y) = 4x2y7 y Q(x;y) = 2x2y7(P(x;y) = 5x2y3 y S(x;y) = 2xy7(M(x;y) = y N(x) =

(POLINOMIO

Son expresiones algebraicas racionales enteras en las cuales las variables estn afectadas solo de exponentes enteros positivos.

Ejemplos:P(x;y) = 5x3y7((monomio)

R(x;z) = 2x2z + 5z5((binomio)

F(x) = 3 5x + x2((trinomio)

GRADO DE UN MONOMIO

A. Grado Relativo:

Es el grado respecto de una de sus variables y el valor es el exponente que afecta a dicha variable.

Ejemplo:Sea P(x;y;z) = x5y3z

GR(x) =

GR(y) =

GR(z) =

B. Grado Absoluto:

Es la suma de los grados relativos.

Ejemplo:Sea R(x;y;z) = 2x4y5z3GA =

GRADO DE UN POLINOMIO

A. Grado Relativo:

Es el grado del polinomio respecto de una de sus variables y el valor es el mayor de los grados relativos de la variable en cada trmino.

Ejemplo:

Sea P(x,y) = 3x3y5 7x2y9 + 5x7GR(x) =

GR(y) =

B. Grado Absoluto: (Grado del polinomio)Es el mayor de los grados absolutos de cada trmino.

Ejemplo:Si F(x;y) = 2x2y3 7x6y + 4x4y4

POLINOMIO EN UNA VARIABLE

Un polinomio en una sola variable tiene la siguiente forma general:

P(x) = b0 xn + b1 xn1 + .. + bn1x + bn

x: variable de P

b0, b1, ......, bn: coeficientes

b0: coeficiente principal (C. P.)

bn: trmino independiente (T. I.)

Nota: Trmino independiente: (T. I.)

T. I. (P) = bn = P(0) Suma de coeficientes (( coef.)

( coef. (P) = b0 + b1 + .. bn = P(1)VALOR NUMRICO (V. N.)

Es el valor que se obtiene de una expresin al realizar las operaciones que en ella se indica, luego de haber asignado a sus variables, valores determinados.

Ejemplo:Sea P(x) =

Hallar el V. N: de P(2)

1. Despus de simplificar:

; se observa que el grado absoluto de la expresin es:

2. Hallar el valor de n para que el monomio:

E = sea de primer grado

3. Si la expresin:

tiene por grado relativo a x, 12 y por grado relativo a y, 10. El grado relativo a z es:

4. Si la expresin:

es de octavo grado con respecto a x, calcular el valor de m.

5. Si el grado de la expresin:

es 256, calcular el valor de n.

6. Sabiendo que los trminos:

(a+2) x2a3 y3b1 ; (b5) xa+5 y2a+b+7 son semejantes. Calcular la suma de sus coeficientes.

7. Si el polinomio P(x) = 4xa2 yb5 + 5x3y4 + 6xm1 yp4

tiene un solo trmino, halle m + p + a + b

8. Si el grado de: , es 13 y el grado de , es 22; calcular el grado de:

E =

9. Calcular el grado absoluto del polinomio:

P(x;y) = xn3 + x4 yn+3 y5n

10. Si P(x1) = x2 4

halle:

11. Calcular:

P, siendo: P(x) = x40 3x39 + 1

12. Si P(x) = x2 2

calcular:

13. Sea: P(x) = 2x + 1

hallar: P(P(x))

14. Sea: P= 3x + 1

halle: P(4x)

15. Si: P(x+1) P(x) = 3x

halle: P(2) P(0)16. Hallar el trmino independiente y la suma de coeficientes del polinomio:

P(x1) = (2x3)2n + 4x4

17. Si la suma de los coeficientes del polinomio:

P(x) = (4x3 + 3) (5x7 3)n2 (x8 + 3)

+ (13x3 + 3)5 (x4 + 1)n20 (x5 5) + (3x2 1)n+1 es 1280

calcular el valor de n.

1. Hallar el grado de la expresin

M(x) = 3a4x7y2z

A) 14B) 7C) 10D) 11E) N.A.

2. Hallar el grado de:

P(x,y) = 5abxm+3 y2m+1 zm+3A) 3m+4

C) m+3

E) N.A.

B) 4m+7

D) 2m+1

3. Hallar el grado de: P(x,y,z) = 3x5y7z6A) 18B) 15C) 7D) 6E) 5

4. Calcular el grado absoluto de:

M(x,y) = 9x7y12 3x9y12 + 2x11y13

A) 24B) 18C) 19D) 21E) 23

5. Hallar el valor de b para que el grado de:

P(x,y) = (3abx3b+3y2) sea 20

A) 5B) 8C) 10D) 3E) 12

6. Si: P(x) = x3 2x2 + x + 5

hallar P(1)

A) 5B) 7C) 6D) 9E) 3

7. Dado el monomio:

M(x,y) = 4mnx2m+3ny5nmSe tiene: GA(M) = 10 GR(x) = 7

Sealar su coeficiente

A) 2B) 4C) 8D) 64E) 16

8. Hallar el coeficiente de:

M(x,y) =

Cuyo grado absoluto es 20 y el grado relativo a x es 14.

A) 4/625C) 2/25

E) 16/25B) 16/125D) 8/625

9. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I.R(x,y) = 3x5 + 2; es un trmino algebraico

II.H(x,y,z) = 5x2y + +log z; es un polinomio

III.T(x,y) = ax3+by4 + (a + b); es un monomio

A) FVVC) VFFE) FVF

B) FFVD) VFV

10. Si:P(x2) = x + 1

P(Q(x)) = 5x + 9

indicar Q(3)

A) 19B) 20C) 21D) 22E) 23

11. Siendo: G(x) = x

Adems: P(x) + Q(x) = 2x2 + 8

P(x) Q(x) = 8x

calcular: G(Q(P(0)))

A) 1B) 4C) 8D) 3E) 5

12. Dado el polinomio:P(x) = x3 5x2 + 4x + 1

Hallar: P(2) + P(1)A) 5B) 9C) 25 D) 16 E) 1213. Dado P(x) = ax2 + 2x 1

Si: P(2) = 7; entonces a vale

A) 1B) 3C) 7D) 2E) 1

14. Hallar el valor de n si el trmino algebraico 7xn+3 y5 zn2 es de grado 12.

A) 1B) 2C) 3D) 4E) 5

15. Si el siguiente monomio 9x3 y4n zmn tiene G.R.(y) = 16 y G.A. = 20, hallar m . n

A) 5B) 20C) 12 D) 10E) 24

16. Si P(x) = 3x3 + 2

calcular:E =

A) 20B) 22C) 26 D) 30E) 60

17. Si P(x) = x2 x + 2,

calcular: A = P {P (2 P(1)(}

A) 10B) 23C) 37 D) 58E) 77

18. Si la expresin:

, se reduce a un monomio.

halle el grado absoluto de la expresin:

A) 3B) 5C) 6D) 4E) 1

19. Hallar el valor que debe darse a m para que la expresin:

sea de 6to. grado

A) 20B) 18C) 44 D) 52E) 60

20. Si el polinomio:

P(x;y) = 7xa+5 yb1 + xa+2 yb+1 xa+3 yb+2tiene GA = 16 y GR(x) = 12, hallar a b

A) 6B) 2C) 4 D) 5E) 3

21. Indicar la suma de coeficientes del polinomio:

P(x)=(5x4 3)n +(4x53)n1 +(7x35)n2 +5(x7+1)n2(x2)

A) 1B) 2C) 3 D) 4E) 0

22. Calcular el valor de m n en el monomio:

si es de 2do. grado respecto a a y de 7mo. grado absoluto.

A) 5B) 3C) 2D) 1E) 0

23. El grado absoluto de M es 6, hallar b si:

M =

A) 2B) 6C) 4D) 3E) 5

24. Hallar el grado de:

P(x;y;z;w) =

A) aB) a2C) a 1D) a + 1E) 125. Hallar a . b si el G.A. del monomio es igual a 17, y su coeficiente tiene el mismo valor que el G.R. (x), siendo el monomio:

P(x,y) = (a + b) x2(a1) y3bA) 3B) 5C) 15D) 10E) 25

26. Si Q(x) = , calcular E donde:

E =

A) 0B) 5C) 12 D) 4E) 1

27. SiP(x) = x3 + ax2 bx + c

yP(0) = 5,P(1) = 9, P(2) = 25

hallar: a . b . c

A) 15B) 75C) 225 D) 30E) 028. Si P(x) = x (2 x) + 5, calcular:

A) 1B 2C) 3 D) 4xE) x

29. En la siguiente expresin:

tiene el grado igual a 13, hallar a.

A) 5B) 7C) 8 D) 10E) N.A.

30. Calcular: A = P(x+1) + P(x1) 2 P(x),

si: P(x) = 3x2 + 2x 4

A) 2B) 4C) 10 D) 6E) 8

31. Sea P(x) = (ax2 + 3x + b) (x + c) 2x3

Si GR (P) = 0, hallar el trmino independiente.

A) 9/4B) 27/4C) 27/4D) 9/4E) 9/2

32. Hallar el grado absoluto de:

P(x;y;z) =

Si:

A) 1B) 3C) 9D) 27E) N.A.

33. P(x) = x 1

Q(x)= 2x 4

Halle:

P(Q(P(x + 1))) Q(P(Q(x/2 + 2)))

A) 0B) 1C) 2 D) 3E) 4

34. Se definen:

P(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6Q(x) = 1 x + x2 x3 + x4 x5 + x6halle:

A) 0B) 1C) 1 D) 2E) 17

35. Calcular la sumatoria de los coeficientes del desarrollo del siguiente polinomio:

P(x1) = (3mx 4m)2 + (3x 4)2m x2 + 4 ; m ( Z

Sabiendo que es cudruplo de su trmino independiente.

A) 512B) 256C) 128D) 32E) 1/2

36. Sea la expresin:

P(x) = 1 +

Encuentre:

P(1) . P(2) . P(3) . P(20)

A) 1B) 20C) 21D) 22E) 0

37. Determinar la suma de coeficientes reales de aquel polinomio cbico P(x) de coeficientes no nulos para que la divisin P(x2) ( P(x) sea exacta y tenga por cociente a P(x).

A) 0B) 3C) 3D) 5E) 7

38. Si el polinomio:

P(x) = x3 + a1x2 + a2x +a3; es un cubo perfecto; halle el valor de:

A) 31B) 27C) 30D) 35E) 82/3

39. Dado el polinomio P tal que:

Calcular: P(P(ax + 1) P(ax 1 ))

A) 80C) 40x 5E) 40x + 5

B) 195D) 319540. Determine el valor de n para que el monomio en variable x:

Posea un grado igual a 625

A) 1B) 2C) 3D) 4E) 5

Coeficiente

Variables

Exponentes

Av. La Mar 2220 San MiguelAv. Universitaria 1875 Pueblo Libre

(Al costado de la PRE) / ( 562 - 0305(Frente a la U. Catlica) / ( 261 - 8730- 2 -

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