Exam24h Ham... · Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB LOVEBOOK.VN | 257 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I. Nguyên hàm và các tính chất cơ bản Kí

Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB

LOVEBOOK.VN | 257

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

I. Nguyên hàm và các tính chất cơ bản Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hay một nửa khoảng

1. Định nghĩa

Cho hàm số f x xác định trên K. Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của

hàm số f x trên K nếu 'F x f x với mọi x thuộc K.

Định lý 1

1. Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì với mỗi hằng

số C, hàm G x F x C cũng là một nguyên hàm của hàm f x trên

K.

2. Đảo lại nếu F x và G x là hai nguyên hàm của hàm số f x trên K thì

tồn tại hằng số C sao cho . F x G x C

Định lý 2

Nếu F x là một nguyên hàm của f x trên K thì mọi nguyên hàm của

f x trên K đều có dạng ,F x C với C là một hằng số.

Người ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên

hàm trên K.”

Từ hai định lý trên ta có

- Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì , F x C C là

họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K. Kí hiệu

d . f x x F x C

2. Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1

d . f x x f x C

Tính chất 2

d d kf x x k f x x

Tính chất 3

d d d f x g x x f x x g x x

STUDY TIP

Từ định nghĩa nguyên hàm

ta có được:

f x dx f x

Biểu thức chính

là vi phân của nguyên

hàm của vì

Chú ý

Vấn đề cần nắm:

I. Nguyên hàm và

các tính chất cơ bản

II. Hai phương

pháp cơ bản tìm

nguyên hàm

III. Khái niệm và

tính chất cơ bản

tích phân

IV. Hai phương

pháp cơ bản tính

tích phân

V. Ứng dụng hình

học của tích phân

Chủ đề III

Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing

LOVEBOOK.VN| 258

II. Hai phương pháp cơ bản để tìm nguyên hàm 1. Phương pháp đổi biến số

Định lí 3

Cho hàm số u u x có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y f u liên

tục sao cho hàm hợp f u x xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên

hàm của f thì ' f u x u x dx F u x C

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm 10

1 dx x .

Lời giải

Theo định lý trên thì ta cần viết về dạng df u u .

Mà ' 1 ' 1u x , do vậy

10 10

1 d 1 . 1 'dx x x x x

11

10 11 d 1

11

xx x C

.

Từ ví dụ trên ta có các bước gợi ý để xử lý bài toán tìm nguyên hàm theo phương

pháp đổi biến

1. Đặt u g x .

2. Biến đổi x và dx về u và du.

3. Giải bài toán dưới dạng nguyên hàm hàm hợp df u u , sau đó thay biến x

vào nguyên hàm tìm được và kiểm tra lại kết quả.

Ta đến với ví dụ 2

Ví dụ 2: Tìm 72 1 dx x x .

Ở bài toán này, ta thấy số mũ 7 khá cao mà lại có biểu thức trong ngoặc phức

tạp hơn là 2x . Do vậy ta sẽ đặt 7

1 x để đổi biến, dưới đây là lời giải áp dụng

gợi ý các bước trên.

Lời giải

Đặt 1 d 1 'd d du x u x x u x

ta có 72 1 dx x x

2 7 7 8 91 . 1 d 2 du u u u u u u 8 9 102

8 9 10

u u uC

8 9 10

1 2 1 1.

8 9 10

x x xC

2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.

Định lý 4

Nếu u và v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì

' d . ' d u x v x x u x v x v x u x x .

Nếu nguyên hàm có dạng . dp x q x x thì ta có thể nghĩ đến phương pháp

nguyên hàm từng phần. Bảng sau gợi ý cách đặt ẩn phụ để tính nguyên hàm

. d .p x q x x

STUDY TIP

Với phương pháp đổi biến

ta cần chú trọng công thức

mà suy ra từ định lý như

sau:

Nếu u f x , khi đó

du f ' x dx

Nếu tính nguyên hàm

theo biến mới

thì sau khi

tính nguyên hàm xong,

ta phải trở lại biến x ban

đầu bằng cách thay u

bởi

Chú ý

Đẳng thức trong định lý

4 còn được viết dưới

dạng

Chú ý

Từ đây ta suy ra hệ quả

Với , 0u ax b a ta

có

d

1

f ax b x

F ax b Ca


LOVEBOOK.VN | 259

Hàm dưới dấu tích phân Cách đặt

p x là đa thức, q x là hàm lượng giác

d d

u p x

v q x x

p x là đa thức, .x xq x f e e

u p x

dv q x dx

p x là đa thức, lnq x f x

d d

u q x

v p x x

p x là hàm lượng giác, xq x f e

d d

u q x

v p x x

p x là đa thức, 1

lnq x f xx

d d

u p x

v q x x

p x là đa thức, .q x f u x u x , u x là

các hàm lượng giác sin ,cos , tan ,cotx x x x

d d

u p x

v q x x

Ví dụ 3: Thầy Điệp Châu cho bài toán “ Tìm sin cos dx x x ” thì ba bạn Huyền,

Lê và Hằng có ba cách giải khác nhau như sau

Bạn Huyền giải bằng phương

pháp đổi biến số như sau:

“Đặt sinu x , ta có:

d cos du x x

Vậy sin .cos d dx x x u u

2 2sin

2 2

u xC C ”

Bạn Lê giải bằng phương pháp lấy nguyên hàm

từng phần như sau:

“Đặt cos , ' sinu x v x .

Ta có ' sin , cosu x v x .

Công thức nguyên hàm từng phần cho ta 2sin cos d cos sin cos dx x x x x x x

Giả sử F là một nguyên hàm của sin .cosx x .

Theo đẳng thức trên ta có

2cosF x x F x C .

Suy ra 2cos

2 2

x CF x .

Điều này chứng tỏ 2cos

2

x là một nguyên

hàm của sin .cos .x x

Vậy 2cos

sin .cos d2

xx x x C .”

Bạn Minh Hằng chưa học

đến hai phương pháp trên

nên làm như sau:

“ sin .cos dx x x

sin 2 cos 2

d2 4

x xx C

.”

Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Bạn Hằng giải đúng, bạn Lê và Huyền giải sai.

B. Bạn Lê sai, Huyền và Hằng đúng.

C. Ba bạn đều giải sai.

D. Ba bạn đều giải đúng.

Đáp án D.

Nhận xét: Sau khi soát kĩ cả ba lời giải, ta thấy ba lời giải trên đều không sai ở

bước nào cả, tuy nhiên, tại sao đến cuối cùng đáp án lại khác nhau? Ta xem giải

thích ở lời giải sau

STUDY TIP

Bài toán củng cố về định

lý 1 đã nêu ở trên, và củng

cố các cách giải nguyên

hàm cơ bản.


LOVEBOOK.VN| 260

Lời giải

Cả ba đáp số đều đúng, tức là cả ba hàm số 2 2sin cos

;2 2

x x và

cos 2

4

x đều là

nguyên hàm của sin .cosx x do chúng chỉ khác nhau về một hằng số. Thật vậy 2 2sin cos 1

2 2 2

x x

;

2 22 2 sin 1 2 sinsin cos 2 1

2 4 4 4

x xx x

.

3. Bảng một số nguyên hàm mở rộng

1

d , 11

ax bax b x C

a

1cos d sinax b x ax b C

a

d 1ln

xax b C

ax b a

1

sin d cosax b x ax b Ca

1dax b ax be x e C

a

1tan d ln cosax b x ax b C

a

1

d , 0ln

ax b ax bm x m C ma m

1

cot d ln sinax b x ax b Ca

2 2

d 1arctan

x xC

a aa x

2

d 1cot

sin

xax b C

aax b

2 2

d 1ln

2

x a xC

a a xa x

2 2

d 1ln

2

x x aC

a x ax a

2 2

2 2

dln

xx x a C

x a

2

d 1tan

cos

xax b C

aax b

2 2

2 2

d 1ln

x a x aC

a xx x a

2 2 22 2 d arcsin

2 2

x a x a xa x x C

a

ln d lnb

ax b x x ax b x Ca

d 1

ln tan2sin

x ax bC

aax b

2 2

sin cossin d

ax

axe a bx b bx

e bx x Ca b

2 2

cos sincos d

ax

axe a bx b bx

e bx x Ca b


LOVEBOOK.VN | 261

III. Các dạng toán về nguyên hàm

Dạng 1: Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x trên .D

Các bài toán ở dạng 1 thì chỉ yêu cầu độc giả nhớ bảng công thức nguyên hàm

cơ bản thường gặp. Chú ý với các nguyên hàm hàm hợp để áp dụng đúng công

thức!

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f x xcos3 .

A. cos 3 d 3sin 3 .x x x C B. sin 3

cos 3 d .3

xx x C

C. sin 3

cos 3 d .3

xx x C D. cos 3 d sin 3 .x x x C

Đáp án B

Lời giải

Ta có 1 sin3

cos3 d d sin33 3

xx x x C .

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số 1

.5 2

f xx

A. d 1

ln 5 2 .5 2 5

xx C

x

B. d 1

ln 5 2 .5 2 2

xx C

x

C. d

5ln 5 2 .5 2

xx C

x

D. d

ln 5 2 .5 2

xx C

x

Đáp án A.Lời giải

Ta có d 5 2d 1 1

d ln 5 25 2 5 5 2 5

xxf x x x C

x x

.

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của hàm số 7 .xf x

A. 7 d 7 ln7 .x xx C B. 7

7 d .ln7

xx x C

C. 17 d 7 .x xx C D. 17

7 d .1

xx x C

x

Đáp án B.

Lời giải

Ta có d 7 d 7 7

7 d 7 .ln 7 ln 77 .ln 7

x xx

x x

xx C

Ví dụ 4: Nguyên hàm của hàm số

51

xf x

x

là

A.

3

1.

3 1F x C

x

B.

4

1.

4 1F x C

x

C.

3 4

1 1.

3 1 4 1F x C

x x

D.

4 3

1 1.

4 1 3 1F x C

x x

Đáp án D

Lời giải

Đặt 1 u x thì 1 u .

STUDY TIP

cos ax b dx

sin ax bC

a

.


LOVEBOOK.VN| 262

Khi đó

4 5

5 5 4 5

1 1 1d d d d d

1

x ux u u u u u u

u u ux

3 4

1 1 1 1. . .

3 4 C

u u

Thay 1 u x ta được

5 4 3

1 1d

1 4 1 3 1

xx C

x x x

Ví dụ 5: Nguyên hàm của hàm số .lnx x là

A. 2 . ln

2

x xC B.

2 2. ln

2 4

x x xC

C. 2 2. ln

2 4

x x xC D.

2

4

xC

Đáp án B

Lời giải

Ta có . ln d x x x . Đặt 2

1ln d d

d d2

x u x ux

xv x x v

Theo phương pháp nguyên hàm từng phần ta có 2 2 1

.ln d d d .ln . d2 2

x x

x x x u v uv v u x xx

2 2 2.ln .lnd .

2 2 2 4

x x x x x xx C

Dạng 2: Chứng minh F x là một nguyên hàm của hàm f x trên .D

Ví dụ 1: Cho ln ln lnF x x . Hỏi F x là nguyên hàm của hàm số nào

dưới đây?

A. 1

.ln lnf x

x x B.

1

ln ln lnf x

x

C.

1

ln .ln lnf x

x x D.

1

.ln .ln lnf x

x x x

Đáp án D.

Lời giải

Để tìm F x là nguyên hàm của hàm số nào trong số 4 hàm số trên, ta sẽ đi đạo

hàm F x từ đó suy ra .f x

Ta có

1 1 1

ln ln ln . ln ln . lnlnln ln ln ln

F x x x x

xx x

1 1 1 1. . .lnln ln .ln .ln ln

f xx xx x x x

Ví dụ 2: Cho 1 3 1

.ln .6 3 12

xF x

x Hỏi F x là nguyên hàm của hàm số nào

dưới đây?

A. 2

1

9

f x

x B.

1

9

f x

x

C. 2

1

129

xf x

x D.

2

1

129

xf x

x

Sai lầm thường gặp là

không biết cách đạo

hàm hàm hợp. Ở đây ta

cần đạo hàm như sau:

với

lần lượt

như thế ta sẽ ra được kết

quả như bên.

Chú ý

STUDY TIP

Ở đây xuất hiện tích của

x.ln x nên ta áp dụng

nguyên hàm từng phần.


LOVEBOOK.VN | 263

Đáp án A.

Lời giải

Cách 1: Ta có 1 3 1 1 1 1

.ln .ln 3 .ln 36 3 12 6 6 12

xF x x x

x

2 2 2

1 1 1 1 1 6 1. . .

6 3 6 3 6 3 9

x x x x

Cách 2: Thực chất đây là công thức nguyên hàm mà tôi đã giới thiệu ở bảng

nguyên hàm phía trên (dòng số 6 trong bảng).

Áp dụng công thức trên ta có ngay 2

1

9

f x

x

Dạng 3: Xác định nguyên hàm của một hàm số với điều kiện ràng buộc.

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x x xsin cos thỏa mãn

2.2

F

A. F x x xcos sin 3 B. F x x xcos sin 3

C. F x x xcos sin 1 D. F x x xcos sin 1

Đáp án D.

Lời giải

Ta có F x f x x x x x x x Cd sin cos d sin cos .

Do 22

F

nên sin cos 2 1 2 12 2

C C C .

Vậy hàm số cần tìm là sin cos 1F x x x .

Ví dụ 2: Cho hàm số f x thỏa mãn f x x3 5sin và f 0 10. Mệnh đề

nào dưới đây đúng?

A. f x x x3 5cos 5 B. f x x x3 5cos 2

C. f x x x3 5cos 2 D. f x x x3 5cos 15

Đáp án A.

Lời giải

Ta có f x f x x x x x x Cd 3 5sin d 3 5cos .

Do 0 10f nên 3.0 5cos0 10 5C C . Vậy 3 5cos 5f x x x .

Ví dụ 3: Cho F x x2 là một nguyên hàm của hàm số xf x e2 . Tìm nguyên

hàm của hàm số xf x e2 ?

A. xf x e x x C2 2 2 B. xf x e x x C2 2

C. xf x e x x C2 22 2 D. xf x e x x C2 22 2

Đáp án D.

Lời giải

STUDY TIP

Công thức cần nhớ:

2 2

dx 1 a xln C

2a a xa x

2 2

dx 1 x aln C

2a x ax a

Với các bài toán đơn

giản như ở ví dụ 1, ta chỉ

đi tìm nguyên hàm như

thông thường, sau đó

dùng điều kiện ràng

buộc có sẵn để tìm hằng

số C.


LOVEBOOK.VN| 264

Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm f x x F x F x f xd .

Từ giả thiết, ta có x x

x

xf x e x F x f x e F x x x f x

e

2 2 2

2

2d 2

Suy ra

2 2 2

2 2 22 2

2 . 2 . 2 4 2 4x x x

xx x

x e x e x e xf x

ee e

.

Vậy x x

x

xf x e x e x x x x x C

e

2 2 2

2

2 4d . d 2 4 d 2 2

.

Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.

Nếu ,u v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

u x v x x u x v x v x u x xd . . d .

Ta có 2 2 2 2 2. d . .2 d 2 dx x x x xe f x x e f x f x e x f x e f x e x .

Từ giả thiết: x xf x e x F x x f x e F x x x2 2 2 2d 2

.

Vậy xf x e x x x C2 2d 2 2 .

Ví dụ 4: Cho xF x x e1 là một nguyên hàm của hàm số xf x e2 . Tìm

nguyên hàm của hàm số 2 .xf x e

A. x xf x e x x e C2 d 4 2 B. 2 2d

2x xx

f x e x e C

C. 2 d 2x xf x e x x e C D. 2 d 2x xf x e x x e C

Đáp án C.

Lời giải

Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm df x x F x F x f x .

Từ giả thiết, ta có 2 2d 1x x x xf x e x F x f x e F x x e xe

2

x

xx

xe xf x

ee .

Suy ra

2 2 2

. . 1. 1x x xx x

xx x x

x e x e e xe x e xf x

ee e e

.

Vậy 2 21d . d 1 dx x x

x

xf x e x e x x e x

e

.

Đặt 1 d d

d dx x

u x u x

v e x v e

1 d 1 d 1 2x x x x x xx e x x e e x x e e C x e C .

Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.

Ta có 2 2 2 2 2. d . .2 d 2 dx x x x xe f x x e f x f x e x f x e f x e x .

Từ giả thiết: 2 d 1x xf x e x F x x e

2 1x x xf x e F x x e xe .

Vậy 2 d 2 1 2x x x xf x e x xe x e C x e C .

STUDY TIP

Rõ ràng trong bài toán này,

việc sử dụng công thức

nguyên hàm từng phần sẽ

mang lại kết quả nhanh

hơn. Do 2xf x e dx có sự

xuất hiện của tích hai phần

tử, nếu sử dụng nguyên

hàm từng phần sẽ xuất hiện

ngay 2xvdu 2 f x e dx

và 2xuv f x e kết hợp dữ

kiện đề bài sẽ có ngay đáp

án.


LOVEBOOK.VN | 265

Dạng 4: Tìm giá trị của tham số để F x là một nguyên hàm của .f x

Ví dụ 1: Tìm a; b; c; d để 3 2 xF x ax bx cx d e là một nguyên hàm của

3 22 9 2 5 . xf x x x x e

A. 3; 3; 7; 13 a b c d B. 2; 3; 8; 13 a b c d

C. 2; 3; 8; 13 a b c d D. 3; 3; 8; 15 a b c d

Đáp án B

Lời giải

Ta có 2 3 23 2 x xF x ax bx c e ax bx cx d e

3 23 2 xax a b x b c x c d e

2 2

3 9 3,

2 2 8

5 13

a a

a b bF x f x x

b c c

c d d

Với các bài toán dạng

này ta chỉ cần tìm đạo

hàm của F x F x

sau đó cho F x f x

và sau đó sử dụng hệ số

bất định để tìm giá trị

của tham số.


LOVEBOOK.VN| 266

IV. Bổ sung một số vấn đề về nguyên hàm

Nguyên hàm của các dạng hàm số đặc biệt

Dạng 1: Nguyên hàm của các hàm số dạng tích, thương.

Cho hai hàm số u u x và v v x có đạo hàm liên tục trên K.

Lúc này ta có bảng sau:

Dạng Cấu trúc hàm số Nguyên hàm

Tổng f x u v u v F x u v

Hiệu f x u v u v F x u v

Tích f x u v uv uv F x uv

Thương

2

u v uv uf x

vv

uF x

v

Ví dụ 1: Nguyên hàm của hàm số 1

1

xf x

e là

A. d ln 1 xf x x x e C B. d ln 1

xf x x e C

C. ln 1

d

xef x x C

x D. d ln 1

xf x x x e C

Đáp án A.

Lời giải

Thay vì đi tìm nguyên hàm của hàm số theo cách truyền thống, ta có thể giải

bài toán bằng bảng ở trên như sau:

1 11

1 ln 11 1 1 1

x x xx

x

x x x x

e e eef x x x e

e e e e

ln 1 d ln 1

x xx e f x x x e C


2

1 1

lnln f x

xx là

A. 3 2

1 1d

ln ln f x x C

x x B.

3 2

1 1d

ln ln f x x C

x x

C. dln

x

f x x Cx

D. dln

xf x x C

x

Đáp án D.

Lời giải

Ta có

2 2 2

. ln . ln1 1 1 ln

ln lnln ln ln

x x x xx xf x

x xx x x

dln

xf x x C

x

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm F x của hàm số 2. lnf x x ex với 0.x

A. 2 .ln F x ex ex C B. 2 .ln F x x ex C

C. 2 .ln F x x x C D. ln F x x x C

Phần này đưa ra cách

tìm nguyên hàm bằng

cách biến đổi hàm số đã

cho thành đạo hàm của

một hàm số, từ đó tìm

được nguyên hàm của

hàm số đó.


LOVEBOOK.VN | 267

Đáp án C

Lời giải

Ta có

2 2 21. ln 2ln 1 2ln . 2 ln . ln .ln

f x x e x x x x x x x x x xx

2 2ln .ln

x x F x x x C

Dạng 2: Các dạng nguyên hàm đơn giản chứa hàm .xe

Bảng nhận dạng nguyên hàm và đạo hàm của hàm số chứa .xe

Đặc trưng Nguyên hàm Hàm số (đạo hàm) xe . xF x u x e

xF x u x u x e f x

xe . xF x u x e xF x u x u x e f x

ax be ax bF x u x e ax bF x u x au x e f x

v xe

v x

F x u x e v x

F x u x v x u x e f x

Ví dụ 1: Nguyên hàm của hàm số 25 13 9 xf x x x e là

A. 25 6 xF x x e C B. 2 1 5 xF x e x x C

C. 25 3 xF x x x e C D. 25 3 6 xF x x x e C

Đáp án D.

Lời giải

Ta có 2 2 210 3 5 3 6 5 3 6 5 3 6

x xf x x x x e x x x x e

Từ bảng nhận dạng nguyên hàm phía trên 25 3 6 xF x x x e C là

nguyên hàm của hàm số đã cho.

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số . . ln

.

x xe x e x

f xx

A. .ln 2 xF x e x C B. .ln xF x e x C

C. .ln xF x e x C D. .ln xF x e x C

Đáp án B.

Lời giải

Ta có 1 ln. . ln 1

ln

xx xx

x x ee x e xf x x e

x x x ln ln

xx x e

.ln xF x e x C là nguyên hàm của hàm số đã cho.

Ví dụ 3: Nguyên hàm của hàm số 2

1 1

xf x exx

là

A.

xe

F x Cx

B. 2

xe

F x Cx

C.

xeF x C

x D.

2

xeF x C

x

Đáp án A.

Lời giải

Ta có 2

1 1 1 1

x xf x e ex x xx

xe

F x Cx

là nguyên hàm

của hàm số đã cho.

Tương tự với hai nhận

dạng còn lại, quý độc

giả có thể áp dụng vào

các bài toán phức tạp

hơn.


LOVEBOOK.VN| 268

Nguyên hàm một số hàm lượng giác

a. Dạng sin .cosm nx xdx trong đó ,m n là các số tự nhiên.

Trường hợp 1: Trong hai số m, n có ít nhất một số lẻ.

Lũy thừa của cos x là số lẻ, 2 1n k

thì đổi biến sinu x

Lũy thừa của sinx là số lẻ,

2 1m k thì đổi biến cosu x

2sin .cos d sin cos cos dk

m n mx x x x x x x

2sin 1 sin . sin dk

m x x x x

21 dk

mu u u

2sin .cos d cos sin sin dk

m n nx x x x x x x

2cos . 1 cos cos dk

n x x x x

21 . dk

nu u u

Ví dụ 1: Tìm 5 2sin .cos dx x x .

Lời giải

Vì lũy thừa của sinx là số lẻ nên ta đổi biến cos d cos du x u x x .

2

5 2 2 2sin .cos d 1 cos .cos . cos dx x x x x x x

2

2 2 4 2 61 . d 2 du u u u u u u 5 3 72

5 3 7

u u uC

5 3 72 cos cos cos

5 3 7

x x xC .

Trường hợp 2: Cả hai số m, n đều là số chẵn: Ta sử dụng công thức hạ bậc để

giảm một nửa số mũ của sin ; cosx x , để làm bài toán trở nên đơn giản hơn.

b. Dạng sin .cos d ,mx nx x sin .sin d ,mx nx x cos .cos d .mx nx x

Ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng trong lượng giác.

c. Dạng tan

dcos

m

n

xx

x trong đó ,m n là các số nguyên.

Lũy thừa của cos x là số nguyên

dương chẵn, 2n k thì ta đổi biến

tanu x

Lũy thừa của tan x là số nguyên

dương lẻ, 2 1m k thì ta đổi biến

1

cosu

x

2 2 2

tan tan 1d . d

cos cos cos

m m

n k

x xx x

x x x

1

2

tan. tan 'd

cos

m

k

xx x

x

1

2tan . 1 tan .d tank

m x x x

1

2. 1 dk

mu u u

Khi đó 2

sin'

cos

xu

x , do đó

2

1

tan tan tand . d

coscos cos

m k

n n

x x xx x

xx x

2

1 2

11

sincos. d

cos cos

k

n

xxx

x x

2 11 .dk

nu u u


LOVEBOOK.VN | 269

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm

a. 6

4

tand

cos

xx

x b. 5

7

tand

cos

xx

x .

Lời giải

a. Do lũy thừa của cos x là số nguyên dương chẵn nên đặt tanu x . Từ công

thức tổng quát đã chứng minh ở trên ta có

6

16 2

4

tand . 1 d

cos

xx u u u

x

9 7 9 7tan tan

9 7 9 7

u u x xC C .

b. Do lũy thừa của tan x là một số lẻ nên ta đặt 1

cosu

x , do vậy, từ công thức

tổng quát chứng minh ở trên ta có

5 11 9 7

22 6

7

tan 2d 1 . d

11 9 7cos

x u u ux u u u C

x

11 9 7

1 2 1

11cos 9cos 7 cosC

x x x.

Đổi biến lượng giác

Khi nguyên hàm, tích phân của các hàm số mà biểu thức của nó có chứa các

dạng 2 2 2 2 2 2, ,x a x a a x , thì ta có cách biến đổi lượng giác như sau:

Biểu thức có chứa Đổi biến

2 2x a tanx a t , ;2 2

t

Hoặc cot , 0;x a t t

2 2x a

sin

ax

t , ; \ 0

2 2t

Hoặc , 0; \cos 2

ax t

t

2 2a x sinx a t , ;2 2

t

Hoặc cos , 0;x a t t

a x a x

a x a x

cos2x a t

x a b x 2sin , 0;2

x a b a t t

Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ

Cho hàm số y f x có dạng

P xf x

Q x trong đó P và Q là các đa thức, và P

không chia hết cho Q.

Hàm f x được gọi là hàm phân thức hữu tỉ thực sự nếu deg degP Q .

Trong các bài toán tìm nguyên hàm và tích phân của hàm phân thức hữu tỉ, nếu

f x chưa phải là hàm phân thức hữu tỉ thực sự thì ta thực hiện chia tử thức cho

mẫu thức để được

STUDY TIP

Kí hiệu deg P x là bậc

của đa thức .P x


LOVEBOOK.VN| 270

P x R x

f x S x S x h xQ x Q x

,

Khi đó, h x sẽ là hàm phân thức hữu tỉ thực sự.

Định lý: Một phân thức thực sự luôn phân tích được thành tổng các phân thức

đơn giản hơn.

Đó là các biểu thức có dạng

22

1 1; ; ;

k k

ax b ax b

x a x px qx a x px q

là các

hàm số có thế tìm nguyên hàm một cách dễ dàng. Để tách được phân thức ta

dùng phương pháp hệ số bất định.

a. Trường hợp phương trình 0Q x không có nghiệm phức và các nghiệm

đều là nghiệm đơn.

1 1 2 2...

k k kQ x a x b a x b a x b

(Số nhân tử chính bằng bậc của đa thức Q x ).

Trong trường hợp này, g có thể biểu diễn dưới dạng

1 2

1 1 2 2

... k

k k

R x AA Ag x

a x b a x b a x bQ x

Sau khi biểu diễn được g x về dạng này, bài toán trở thành bài toán cơ bản.

Ví dụ 3: Họ nguyên hàm của hàm số 2

4 3

3 2

xf x

x x

là

A. 1

4ln 2 ln2

xF x x C

x

B. 1

4ln 2 ln2

xF x x C

x

C. 2

4ln 2 ln1

xF x x C

x

D. 2

4ln 2 ln1

xF x x C

x

Phân tích

Đáp án B.

Ta có 2

4 3 4 3

1 22 13 2

x x A B

x xx xx x

2

1 2

Ax A Bx B

x x

.

Khi đó 2 4 3A B x A B x , đồng nhất hệ số thì ta được

4 1

2 3 5

A B A

A B B

Lời giải

Ta có 2

4 3 1 5d d ln 1 5.ln 2

1 23 2

xx x x x C

x xx x

24.ln 2 ln

1

xx C

x

14.ln 2 ln

2

xx C

x

.

Kiểm tra khả năng vận

dụng từ ví dụ 3

Tìm 2

3 2

x 2x 1dx

2x 3x 2x


LOVEBOOK.VN | 271

Đáp số bài tập kiểm tra khả năng vận dụng: 2

3 2

x 2x 1 1 1 1dx .ln x .ln 2x 1 .ln x 2 C

2 10 102x 3x 2x

b. Trường hợp 0Q x không có nghiệm phức, nhưng có nghiệm thực là

nghiệm bội.

Nếu phương trình 0Q x có các nghiệm thực 1 2; ; ...;

na a a trong đó

1a là

nghiệm bội k thì ta phân tích

R xg x

Q x về dạng

11 2 1 2

22 31 1 1

... ...k n

kn

A BA A B Bg x

x a x a x ax a x a x a

Trên đây là phần lý thuyết khá phức tạp, ta đến với bài tập ví dụ đơn giản sau:


3

2

1

xf x

x

là

A.

2

2 1

1 1F x C

x x

B.

2

2 1

1 1F x C

x x

C.

4

1 1

1 4 1F x C

x x

D.

4

1 1

1 4 1F x C

x x

Phân tích

Nhận thấy 1x là nghiệm bội ba của phương trình 3

1 0x , do đó ta biến

đổi

2

3 2 3 3

2 1 12

11 1 1 1

A x x B x Cx A B C

xx x x x

2

3

2

1

Ax A B x A B C

x

Từ đây ta có

0 0

2 2 2

0 2

A A

A B B

A B C C

Lời giải

Ta có

3 2 3

2 2 2d d

1 1 1

xx x

x x x

2

2 1

1 1C

x x

Đáp số bài tập kiểm tra khả năng vận dụng ví dụ 4 4 2 2

3 2

x 2x 4x 1 x 2dx x ln x 1 ln x 1 C

2 x 1x x x 1

.

TỔNG QUÁT: Việc tính nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ thực sự được

đưa về các dạng nguyên hàm sau:

1. d .lnA

x A x a Cx a

, 1k

2.

1

1d .

1k k

A Ax C

kx a x a

.

Kiểm tra khả năng vận

dụng từ ví dụ 4

Tìm 4 2

3 2

x 2x 4x 1dx

x x x 1


LOVEBOOK.VN| 272

Câu 1: Tìm nguyên hàm 2 1 d .xI x e x

A. 2 1 xI x e C B. 2 1 xI x e C

C. 2 3 xI x e C D. 2 3 xI x e C

Câu 2: Tìm nguyên hàm ln 2 1 d .I x x x

A. 2 14 1

ln 2 18 4

x xxI x C

B. 2 14 1

ln 2 18 4

x xxI x C

C. 2 14 1

ln 2 18 4

x xxI x C

D. 2 14 1

ln 2 18 4

x xxI x C

Câu 3: Tìm nguyên hàm 1 sin 2 d .I x x x

A. 1 2 cos2 sin2

2

x x xI C

B. 2 2 cos2 sin2

2

x x xI C

C. 1 2 cos2 sin2

4

x x xI C

D. 2 2 cos2 sin2

4

x x xI C

Câu 4: Cho ,f x g x là các hàm số liên tục trên .

Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A. . d . dk f x x k f x x với k là hằng số

B. d df x g x x f x dx g x x

C. . d d . df x g x x f x x g x x

D. d d df x g x x f x x g x x

Câu 5: Nguyên hàm của hàm số 2017xf x e là:

A. 20171

2017xe C B. 2017xe C

C. 20172017. xe C D. 20171

2017xe C

Câu 6: Tìm một nguyên hàm F x của hàm số

2

4

cos 3f x

x biết 3.

9F

A. 4 3

tan 33 3

F x x B. 4tan3 3 3F x x

C. 4 3

tan 33 3

F x x D. 4 3

tan 33 3

F x x

Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số .f x x x

A. 22d

5f x x x x C B.

2d

5f x x x x C

C. 21d

2f x x x x C D.

3d

2f x x x C

Câu 8: Tìm nguyên hàm của hàm số 2

2 3 .f x x

A.

32 3

d3

xf x x C

B. 3

d 2 3f x x x C

C.

32 3

d6

xf x x C

D.

32 3

d2

xf x x C

Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số:

3sin 3 cos3 .f x x x

A. d cos 3 sin 3f x x x x C

B. d cos 3 sin 3f x x x x C

C. 1

d cos 3 sin 33

f x x x x C

D. 1 1

d cos3 sin 33 3

f x x x x C

Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số .x xf x e e

A. d x xf x x e e C

B. d x xf x x e e C

C. d x xf x x e e C

D. d x xf x x e e C

Câu 11: Tìm nguyên hàm F x của hàm số

3 4,f x x biết 0 8.F

A. 1 38

3 43 3

F x x

B. 2 16

3 4 3 43 3

F x x x

C. 2 56

3 4 3 49 9

F x x x

D. 2 8

3 4 3 43 3

F x x x

Câu 12: Tìm nguyên hàm 2

1d .

4I x

x

A. 1 2

ln2 2

xI C

x

B.

1 2ln

2 2

xI C

x

C. 1 2

ln4 2

xI C

x

D.

1 2ln

4 2

xI C

x

Câu 13: Cho hàm số

1.

2 3f x

x Gọi F x là một

nguyên hàm của .f x Chọn phương án sai.

A.

ln 2 3

102

xF x B.

ln 4 610

4

xF x

C.

2ln 2 3

54

xF x D.

3ln

21

2

x

F x

Bài tập rèn luyện kỹ năng


LOVEBOOK.VN | 273

Câu 14: Tìm nguyên hàm F x của hàm số

2

2

1. .

1

xx xf x e

x

A. 2 1. xF x x e C

B. 2 1. xF x x e C

C. 2 22 1. xF x x x e C

D. 2 1. xF x x e C

Câu 15: Tìm nguyên hàm của hàm số 3 7

.2

xf x

x

A. d 13 ln 2 f x x x x C

B. d ln 2 f x x x C

C. d 3 13 ln 2 f x x x x C

D. d 3 7 ln 2 f x x x x C

Câu 16: Tìm nguyên hàm của hàm số 4 5

1

xf x

x.

A. 4 3 21 1 1d 6 ln 1 .

4 3 2 f x x x x x x x C

B. 4 3 21 1 1d 6 ln 1 .

4 3 2 f x x x x x x x C

C. 4 3 2d 6 ln 1 . f x x x x x x x C

D. 4 3 2d 6 ln 1 . f x x x x x x x C


1

1

f x

x x

A. 2

2

1 1 1d .ln

2 1 1

xf x x C

x

B. 2

2

1 1d ln

1 1

xf x x C

x

C. 2

2

1 1 1d .ln

2 1 1

xf x x C

x

D. 2

2

1 1 1d .ln

2 1 1

xf x x C

x

Câu 18: Tìm nguyên hàm của hàm số

1

.1 1

f xx x

A. 2 2

3 3d 1 1

f x x x x C

B. 3 3

2 2d 1 1

f x x x x C

C. 2 3

3 21

d 1 13

f x x x x C

D. 3 3

2 21

d 1 13

f x x x x C


.3

x

f xe

A. 1

d ln3 3

x

x

ef x x C

e

B. d ln3

x

x

ef x x C

e

C. 1

d ln 33

x xf x x e e C

D. 1

d ln 36

x xf x x e e C

Câu 20: Biết F x là một nguyên hàm của hàm số

3sin .cosf x x x và 0 F . Tìm 2

F .

A. .2

F B.

1.

2 4

F

C. 1

.2 4

F D. .

2

F

Câu 21: Biết F x là nguyên hàm của 4 xf x và

1

1 .ln 2

F Khi đó giá trị 2F bằng:

A. 7

.ln 2

B. 8

.ln 2

C. 9

.ln 2

D. 3

.ln 2

Câu 22: Nguyên hàm của hàm số

2

2cos

xx e

f x ex

là:

A. 2 cot . xF x e x C B. 2 tan . xF x e x C

C. 2 tan . xF x e x C D. 2 tan . xF x e x

Câu 23: Tìm nguyên hàm sin d F x x x x biết

0 19F .

A. 21cos 20

2 F x x x .

B. 2 cos 20 F x x x .

C. 2 cos 20 F x x x

D. 21cos 20

2 F x x x .


LOVEBOOK.VN| 274

Hướng dẫn giải chi tiết Câu 1: Đáp án A

Đặt 2 1u x d 2d ;u x

d dx xe x v v e

Lúc này ta có

2 1 d 2 1 . 2 dx x xx e x x e e x

2 1 . 2 2 1x x xx e e C x e C

Câu 2: Đáp án C

Đặt 22

ln 2 1 d d ; d d2 1 2

xu x u x v x x v

x

Khi đó

2 2 2

ln 2 1 d . ln 2 1 . d2 2 2 1

x xx x x x x

x

2 2

.ln 2 1 d2 2 1

x xx x

x

2 1 1.ln 2 1 d

2 2 4 4 2 1

x xx x

x

2 2 1.ln 2 1 .ln 2 1

2 4 4 8

x x xx x C

2 14 1.ln 2 1

8 4

x xxx C .

Câu 3: Đáp án D

1 sin 2 d .I x x x

Đặt 1 d dx u x u ;

1sin 2 d d .cos 2

2x x v v x

Khi đó 1 1

.cos 2 cos 2 d2 2

xI x x x

1 cos2 1.sin2

2 4

x xx C

Câu 4: Đáp án C

Câu 5: Đáp án D

Ta có

2017 20171d

2017x xe x e C

Câu 6: Đáp án A

Ta có 2

4 4d . tan 3

3cos 3F x x x C

x

Mà

4 33 . tan 3

9 3 3 3F C C

Câu 7: Đáp án A 3 5

22 22 2

d d . .5 5

x x x x x x C x x C

Câu 8: Đáp án C

Ta có 31

d 2 33.2

f x x x C

Câu 9: Đáp án C

3 1

3sin 3 cos 3 d . cos 3 .sin 33 3

x x x x x C

Câu 10: Đáp án A

Câu 11: Đáp án C

1 3

2 22

3 4d 3 4 d . 3 49

2. 3 4 3 4

9

F x x x x x x C

x x C

Mà 56

0 89

F C , ta chọn C.

Câu 12: Đáp án D

Ta có

2 2

1 1 1 1 1d d d

2x x x

a a x a xa x a xa x

1.ln

2

x aC

a x a

Áp dụng vào bài ta chọn D.

Câu 13: Đáp án B

Ta có

1 1 1

d . .d 2 32 3 2 2 3

F x x xx x

ln 2 3

2

xC

Từ đây ta thấy A đúng.

Với B ta thấy

ln 4 6 ln2 ln 2 3

10 104 4

x xF x , B sai.


Ta có

22

2 2

11. .

1 1

x xx xx x

f x e ex x

2 2 2

21 1 1

1

x xxx e x x e

x

2 1. xF x x e C (áp dụng bảng ở lí thuyết).


Ta có

3 2 133 7d d d

2 2

xxf x x x x

x x

d 213

3 d 3d 132 2

3 13ln 2 .

xx x

x x

x x C


Ta có

44 1 65d d

1 1

xxx x

x x

2 6

1 1 d1

x x xx

3 2d 1

1 d 61

x

x x x xx

4 3 21 1 16 ln 1 .

4 3 2 x x x x x C


Ta có


LOVEBOOK.VN | 275

2

2 2 2 2 2

d 11 d 1d

21 1 . 1

xx xx

x x x x x x

2 22

2 2 22

d 1 d 11 1 1

. ln2 1 11 1

x x

xC

x xx

(Áp dụng công thức 2 2

d 1.ln

2

u u aC

a u au a

)


Ta có

1 1 dd

1 1 1 1 1 1

x x xx

x x x x x x

3 3

2 2

3 3

2 2

1 1 21 1 d . 1 1

2 2 3

11 1

3

x x x x x C

x x C


Ta có

dd d

3 3 3

xx

x x x x x

ex e x

e e e e e

1 1 1 1

d ln3 33 3

xx

x x x

ee C

e e e


3d sin .cos .d F x f x x x x x

3 41sin .d sin sin

4 x x x C

410 sin

4 F C F x x

1

2 4

F


Ta có 1

4 d .4ln 4

x xx C F x

Mà 1 4 1 1

1 .ln 2 ln 4 ln 2 ln 2

F C C

Do đó 21 1 16 1 72 .4

ln 4 ln 2 2 ln 2 ln 2 ln 2F .


2

2

d 2 dcos

d2 d 2 tan .

cos

xx

x x

eF x f x x e x

x

xe x e x C

x


2

2

sin d cos2

0 19 20 cos 202

xF x x x x x C

xF C F x x


LOVEBOOK.VN| 276

V. Khái niệm và các tính chất cơ bản của tích phân 1. Định nghĩa

Cho hàm số f x là hàm số liên tục trên đoạn ; . a b Gỉa sử F x là một

nguyên hàm của f x trên đoạn ; . a b

Hiệu số F b F a được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định

trên đoạn ; a b ) của hàm số f x , kí hiệu là d .b

a

f x x

Vậy d .b

a

bf x x F x F b F a

a

2. Nhận xét

a. Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi db

a

f x x hay

d .b

a

f t t Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận ,a b mà không phụ

thuộc vào biến số x hay t.

b. Ý nghĩa hình học của tích phân. Nếu hàm số f x liên tục và không âm

trên đoạn ; , a b thì tích phân db

a

f x x là diện tích S của hình thang cong

giới hạn bởi đồ thị ,f x trục Ox và hai đường thẳng ; . x a x b Vậy

d . b

a

S f x x

3. Các tính chất của tích phân

Tính chất 1

d d b b

a a

kf x x k f x x với k là hằng số.

Tính chất 2

d d db b b

a a a

f x g x x f x x g x x

Tính chất 3

d d d c b b

a c a

f x x f x x f x x với . a c b

Định lý 1

Cho f là hàm số xác định trên K và a là một điểm cố định thuộc K. Xét hàm

số G x xác định trên K bởi công thức

d . x

a

G x f t t

Khi đó G là một nguyên hàm của f.

Định lý 2

Tích phân của hàm lẻ và hàm chẵn trên .

Hàm số chẵn

y

A

x

A

O

Hình 3.1

-x x

Ta gọi b

a

là dấu tích

phân, a là cận dưới, b là

cận trên, df x x là biểu

thức dưới dấu tích phân

và f x là hàm số dưới

dấu tích phân.

Ta quy ước

d 0;a

a

f x x

d d b a

a b

f x x f x x

1. Định nghĩa tích phân

chỉ được áp dụng khi biết

một nguyên hàm của

trên đoạn

2. Tích phân là

một số, còn nguyên hàm là

một (họ) hàm số (nó còn

được gọi là tích phân

không xác định).

3. không phụ

thuộc vào chữ viết biến số

trong dấu tích phân, mà

chỉ phụ thuộc vào hàm số

f và đoạn

Chú ý


LOVEBOOK.VN | 277

1. Nếu f là một hàm số chẵn, khi đó 0

d 2 d .

a a

a

f x x f x x

2. Nếu f là một hàm số lẻ, khi đó d 0.

a

a

f x x

Đọc thêm Ta vừa đưa ra 3 tính chất của tích phân theo chương trình chuẩn. Dưới đây là

các tính chất bổ sung:

1. 0d 0b

a

x

2. db

a

c x c b a

3. Nếu 0f x , ,x a b thì d 0.b

a

f x x

Hệ quả 3: Nếu hai hàm số f x và g x liên tục và thỏa mãn

, ,f x g x x a b thì d d .b b

a a

f x x g x x

Chú ý: Nếu f x liên tục và dương trên ,a b thì d 0b

a

f x x .

4. d d , .b b

a a

f x x f x x a b

5. Nếu , , ; ,m f x M x a b m M là các hằng số thì

db

a

m b a f x x M b a hay 1

db

a

m f x x Mb a

.

VI. Hai phương pháp cơ bản để tìm tích phân 1. Phương pháp đổi biến số

Định lý 1

Cho hàm số f x liên tục trên đoạn ; . a b Giả sử hàm số x t có đạo

hàm liên tục trên đoạn ; sao cho ;a b và a t b với

mọi ; . t Khi đó

d db

a

f x x f t t t

Từ định lý 1 ta rút ra các bước đổi biến số

1. Đặt ,x t ta xác định đoạn ; sao cho ,a b và

, ; ;a t b t

2. Biến đổi d d df x x f t t t g t t

3. Tìm một nguyên hàm G t của g t

4. Tính dg t t G G

5. Kết luận d .b

a

f x x G G

y

A

x

A

Hàm số lẻ

O

Hình 3.2


LOVEBOOK.VN| 278

Ví dụ 1: Tính tích phân

3 2

30

d .1

x

I xx

A. 33

ln 432

I B. 4121

ln 44000

I C. ln 4 1 I D. 33

ln 432

I

Đáp án D.

Lời giải

Đặt 1 d d . x u x u

Đổi cận 0 1; 3 4 x u x u

Khi đó

24 4 42

3 3 2 3 21 1 1

1 42 1 1 2 1 2 1d d d ln

12

u u uI u u u u

u uu u u u u

33ln 4

32

Định lý 2

Cho hàm số f x liên tục trên đoạn ; .a b Nếu hàm số u u x có đạo

hàm liên tục trên đoạn ;a b và u x với mọi ; bx a sao cho

,f x g u x u x g u liên tục trên đoạn ; thì

d d .

u bb

a u a

f x x g u u

Từ định lý 2 ta rút ra các bước đổi biến số

1. Đặt ,u u x

2. Biến đổi d df x x g u u .

3. Tìm một nguyên hàm G u của g u .

4. Tính

d u b

u a

g u u G u b G u a .

5. Kết luận d b

a

f x x G u b G u a .

Ví dụ 2: Tính tích phân 2

2

0

sin .cos d .I x x x

A. 1

2I B.

1

3I C.

2

3I D.

1

5I

Đáp án B.

Lời giải

Đặt sin ;u x ta có

2 2 2sin cos d sin sin d d .x x x x x x u u

Hàm số 2 ; 0;1g u u u do 0 0; 12

u u

có nguyên hàm 3

.3

uG u

Vậy 1 32

2 2

0 0

1 1sin cos d d .

03 3

ux x x u u


LOVEBOOK.VN | 279

2. Phương pháp tích phân từng phần

Tương tự tính nguyên hàm từng phần, ta có định lý sau đây.

Định lý

Nếu u u x và v v x là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn

;a b thì

d db b

a a

bu x v x x u x v x u x v x x

a hay d d .

b b

a a

bu v uv v u

a

Ta có bảng sau

dxP x e x cos dP x x x ln dP x x x

u P x P x ln x

dv dxe x cos dx x dP x x

Ví dụ 3: Cho12

1

11 d

xbxI x e x ae c

x

với ; ; ; 0.a b c a Lúc này

S a b c có giá trị bằng

A. 1

2S B.

3

2S C.

1

3S D.

9

2S

Đáp án D.

Lời giải

Ta có 1 1 12 2 2

1 1 1

1 11 d d d 1

x x xx x xI x e x e x x e x

x x

Đặt 12

1

1

d .x

xI e x

Đặt

1 1

2

1d 1 d

d d

x xx xu e u e x

x

v x v x

Theo công thức tích phân từng phần ta có 1 12

1

1

2 1d 2

1

x xx xI xe x e x

x

Từ 1 ; 2 ta có

1 1 1 1 1 1 32 22 1

2 1 2

1 1

2 21 1. d d . 2. 1. 2. 1

1 1

x x x xx x x xI x e x e x x e x x e e e e

x x

3 92; ; 1 .

2 2a b c a b c

Trong thực tế, đôi khi

việc sử dụng phương

pháp tính tích phân

từng phần phải linh

hoạt, đôi khi phải dự

đoán khác thường như

ví dụ 1 dưới đây.

STUDY TIP

Ta thấy trong bài toán bên

việc sử dụng tích phân

từng phần ở đây rất thông

minh khi phát hiện được

2

1 11x

x x

khi nhân

thêm x sẽ triệt tiêu được 12

1

1d .

xxx e x

x


LOVEBOOK.VN| 280

VII. Ứng dụng hình học của tích phân 1. Tính diện tích hình phẳng

a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x liên tục,

trục hoành và hai đường thẳng ,x a x b được tính theo công thức

d .b

a

S f x x

Chú ý: Trong trường hợp dấu của f x thay đổi trên đoạn ;a b thì ta phải chia

đoạn ;a b thành một số đoạn con để trên đó dấu của f x không đổi, do đó ta

có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối trên đoạn đó.

b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Cho hai hàm số y f x và y g x liên tục trên đoạn ;a b . Khi đó diện tích

S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ,y f x y g x và hai đường

thẳng ,x a x b là db

a

S f x g x x .

Tương tự như chú ý ở trên thì ở bài toán này ta cũng phải xét đoạn mà dấu của

f x g x không đổi.

Chú ý:

Khi áp dụng công thức này cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số

dưới dấu tích phân. Muốn vậy ta phải giải phương trình

0f x g x trên đoạn ; .a b

Giả sử phương trình có hai nghiệm ;c d c d . Khi đó f x g x

không đổi dấu trên các đoạn ; , ; , ; .a c c d d b Trên mỗi đoạn đó,

chẳng hạn trên đoạn ;a c thì ta có

d dc c

a a

f x g x x f x g x x

Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng ( hình được tô màu) ở biểu diễn ở hình 3.4.

Lời giải

Nhận thấy trên ;a c và ;d b thì 1 2f x f x ; trên ;c d thì 1 2

f x f x

Do vậy

1 2 1 2 2 1 1 2d d d

b c d b

a a c d

S f x f x f x f x x f x f x x f x f x x

(Trên đây là cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối)

Ví dụ 5: Cho hình thang cong H giới hạn bởi các đường xy e , y , 0 x 0 và

4x ln . Đường thẳng x k k 0( ln4)chia H thành hai phần có diện tích là

1S và

2S như hình vẽ bên. Tìm k để

1 22S S .

A. 2

43

k ln B. 2k ln C. 8

3k ln D. 3k ln

Lời giải

Đáp án D.

y

x

a O b

Hình 3.3

a

y

x

O d c b

Hình 3.4

x

y

x

O

x

k

O


LOVEBOOK.VN | 281

Nhìn vào hình vẽ ta có được các công thức sau: ln4

0

d 2. dk

x x

k

e x e x ln 4

2.0

x xke e

k 0 ln42. 2. 3 9k k ke e e e e

3 ln3ke k .

Ví dụ 6: Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và

độ dài trục bé bằng 10 m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và

nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa

là 100.000 đồng/1 2m . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất

đó ? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.)

A. 7.862.000 đồng. B.7.653.000 đồng.

C. 7.128.000 đồng. D. 7.826.000 đồng.

Lời giải

Đáp án B.

Nhận thấy đây là bài toán áp dụng ứng dụng của tích phân vào tính diện tích

hình phẳng. Ta có hình vẽ bên:

Ta thấy, diện tích hình phẳng cần tìm gấp 4 lần diện tích phần gạch chéo, do đó

ta chỉ cần đi tìm diện tích phần gạch chéo.

Ta có phương trình đường elip đã cho là 22

2 21

8 5

yx . Xét trên 0; 4 nên 0y

thì 2 258

8y x . Khi đó

42 2

0

58 d

8cheoS x x , vậy diện tích trồng hoa của ông

An trên mảnh đất là 4

2 2

0

54. 8 d 76,5289182

8S x x

Khi đó số kinh phí phải trả của ông An là 76,5289182.100000 7.653.000 đồng.

c. Tính thể tích vật thể

Cho H là một vật thể nằm giới hạn giữa hai mặt phẳng x a và x b . Gọi

S x là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục

hoành tại điểm có hoành độ x a x b . Giả sử S x là một hàm liên tục. Khi

đó thể tích V của H là d .b

a

V S x x (hình 3.5)

8m

a

Q

x O

P

S(x)

b x

Hình 3.5

O 8 -4 4

y

x

5

-5

-8


LOVEBOOK.VN| 282

Ví dụ 7: Tính thể tích vật thể tạo được khi lấy giao vuông góc hai ống nước

hình trụ có cùng bán kính đáy bằng a. ( hình 3.6)

A. 316

3

aV B.

32

3

aV C.

34

3

aV D. 3V a

Đáp án A.

Lời giải

Ta sẽ gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào vật thể này, tức là ta sẽ đi tính thể tích vật thể

V giới hạn bởi hai mặt trụ: 2 2 2x y a và 2 2 2x z a 0a .

Hình vẽ trên mô tả một phần tám thứ nhất của vật thể này, với mỗi 0;x a ,

thiết diện của vật thể (vuông góc với trục Ox ) tại x là một hình vuông có cạnh

2 2y a x ( chính là phần gạch chéo trong hình 3.7). Do đó diện tích thiết

diện sẽ là:

2 2 2 2 2 2.S x a x a x a x 0; .x a

Khi đó áp dụng công thức * thì thể tích vật thể cần tìm sẽ bằng:

2 2

0 0

8 d 8 da a

V S x x a x x

3 32 16

803 3

ax aa x .

Ví dụ 8: Tính thể tích của vật thể H biết rằng đáy của H là hình tròn 2 2 1x y

và thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành luôn là tam giác đều.

Lời giải

Giả sử mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ là

1 1x x cắt vật thể H theo thiết diện là tam giác ABC đều, với AB chứa

trong mặt phẳng xOy (hình 3.8).

Ta có 22 1AB x . Do đó 2

233 1 .

4

ABS x x Vậy

1 1

2

1 1

d 3 1 dV S x x x x

3 1 4 33

13 3

xx ( đvtt).

Hình 3.6

y

x

O

z

x

z

y

a

a

a

Hình 3.7

x

A

y C

B

A

O x

Hình 3.8


LOVEBOOK.VN | 283

d. Tính thể tích khối tròn xoay

Định lý

Cho hàm số y f x liên tục, không âm trên đoạn ,a b . Hình phẳng giới

hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng ,x a x b

quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V của khối

tròn xoay đó là 2 d .b

a

V f x x

Ví dụ 9: Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới

hạn bởi đường cong siny x , trục hoành và hai đường thẳng 0,x x (hình

3.10) quanh trục Ox là

A. 2

(đvtt) B.

2

2

(đvtt) C. (đvtt) D. 2 (đvtt)

Lời giải

Đáp án B.

Áp dụng công thức ở định lý trên ta có

2

0 0

sin d 1 cos2 d2

V x x x x

21sin 2 .

02 2 2x x

Tiếp theo dưới đây là một bài toán thường xuất hiện trong các đề thi thử, bài

toán có thể đưa về dạng quen thuộc và tính toán rất nhanh

Ví dụ 10: Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới

hạn bởi đường cong 2 2y A x và trục hoành quanh trục hoành.

Lời giải tổng quát

Ta thấy 2 2 2 2 2 2 2 2y A x y A x x y A

Do 2 2 0A x với mọi x, do vậy đây là phương trình nửa đường tròn tâm O,

bán kính R A nằm phía trên trục Ox. Khi quay quanh trục Ox thì hình phẳng

sẽ tạo nên một khối cầu tâm O, bán kính R A (hình 3.11). Do vậy ta có luôn

34. .

3V A

Vậy với bài toán dạng này, ta không cần viết công thức tích phân mà kết luận

luôn theo công thức tính thể tích khối cầu.

Đọc thêm Định lý

Cho hàm số y f x liên tục, không âm trên đoạn ,a b 0a . Hình phẳng

giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng ,x a x b

quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V của khối tròn xoay

đó là 2 d .b

a

V xf x x

y

x O x

y = sinx

Hình 3.10

y

x O -A A

Hình 3.11

a

y

x O x

y = f (x)

b

Hình 3.9


LOVEBOOK.VN| 284

VIII. Một số dạng tích phân thường gặp

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ Trong bài toán này, ta sẽ tham khảo lại phần “Nguyên hàm phân thức

hữu tỉ” phía trên để hiểu được các định nghĩa phân thức hữu tỉ, phân thức hữu

tỉ thực sự và phân thức đơn giản, cùng các định lý đã được nêu ở phần nguyên

hàm ở phần trước.

Dưới đây là một số bài toán thường gặp về dạng này.

A. MỘT SỐ CÔNG THỨC VÀ KĨ NĂNG BIẾN ĐỔI

1.2 2

d 1ln

2

u u aC

a u au a

2.

2 2

d 1ln .

2

u a uC

a a ua u

Kỹ năng biến đổi tam thức bậc hai 2 2

2

2

41.

2 4

b b acax bx c a x

a a

2. 22 2ax bx c mx n p

B. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Tích phân dạng 1 2

d.

xI

ax bx c

Phương pháp chung

Biến đổi

1 2 2

d 1ln

2

mx n pxI

mp mx n pmx n p

Ví dụ 1: Cho 1

20

3ln

13d,

4 8 1 3

a b

xI

x x c

với ; ; ; 0.a b c c Đặt

,S a b c lúc này S có giá trị bằng

A. 20 37 3S B. 37 24 3S C. 57S D. 61S

Đáp án D.

Lời giải

Áp dụng bài toán tổng quát trên ta có

1

20

1d 1 2 2 3ln

04 3 2 2 32 2 3

x xI

xx

37 20 3ln

131 2.1 2 3 2.0 2 3ln ln .

4 3 2.1 2 3 2.0 2 3 4 3

37 20 4 61.S a b c

Ví dụ 2: Cho 0

21

d 1 53.ln

7 10 4 53 53

x bI

x x a b

với ; ; 0.a b a Tích ab có

giá trị bằng

A. 24 B. 24 C. 48 D. 48

Đáp án A.

Lời giải

Áp dụng bài toán tổng quát ta có

STUDY TIP

1 2 2

d

1ln

2

b

a

xI

mx n p

bmx n p

amp mx n p

STUDY TIP

Khi mẫu thức có dạng tam

thức bậc hai thì thường

đưa về dạng

22 2 .ax bx c mx n p


LOVEBOOK.VN | 285

0 0

2 22 21 1

d d

53 5 5 532 2

2 2 2 2

x xI

x x

4. 1 5 5301 4 5 53 1 4.0 5 53.ln . ln ln

12 53 4 5 53 2 53 4.0 5 53 4. 1 5 53

x

x

=1 12 53

.ln .2 53 12 53

2; 12 24.a b ab

Dạng 2: Tính tích phân 2 2d .

mx nI x

ax bx c


Cách 1:

2 2 2 2

22 d2 2 d

d2 2

m mbax b n

ax b xa a m mb xI x n

a aax bx c ax bx c ax bx c

2

12

d

2 2

ax bx cm mbn I

a aax bx c

2

1ln

2 2

m mbax bx c n I

a a

Cách 2: Phương pháp hệ số bất định (sử dụng khi mẫu có nghiệm)

* Nếu mẫu số có nghiệm kép 0

x x tức là 22

0ax bx c a x x ta giả sử

2 2

0 0

mx n A B

x xax bx c x x

Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số hai vế để tìm ; .A B

Sau khi tìm được ;A B thì ta có 2 0

0

A.ln .B

I x xx x

* Nếu mẫu số có 2 nghiệm phân biệt 2

1 2 1 2; :x x ax bx c a x x x x thì ta

giả sử:

21 2

Bmx n A

x x x xax bx c

Quy đồng và đồng nhất hệ số để tìm ; .A B

Sau khi tìm được ;A B ta có 2 1 2Aln ln .I x x B x x

Ví dụ 1: Cho 0

22

2 9d ln 3 ln 2

3 2

xI x a b

x x

với ;a b thì 2a b có giá trị

bằng

A. 35 B. 2 C. 2 D. 3

Đáp án D

Lời giải


LOVEBOOK.VN| 286

Cách 1: Ta có 0 0 0

2 2 22 2 2

2 3 6 2 3 6dd d

3 2 3 2 3 2

x x xI x x

x x x x x x

20 02

2 2 22 2

3 1d 3 2 0d 2 26 ln 3 2 6 ln

3 1 23 2 3 12 22 2

xx x x xx x

x xxx

0 02

ln 1 2 6 ln 7 ln 1 5 ln 22 21

xx x x x

x

7 ln1 5ln 2 7 ln 3 5ln 4 7 ln 3 10ln 2 5ln 2 7 ln 3 5ln 2.

2 3.a b

Cách 2:Ta thấy 2 13 2 0 .

2

xx x

x

Giả sử

2 2 2

22 9 2 9

1 23 2 3 2 3 2

A B x A Bx A B x

x xx x x x x x

Đồng nhất hệ số ta có 2 7

2 9 5

A B A

A B B

Áp dụng công thức ta có 0

7 ln 1 5 ln 2 7 ln 3 5 ln 2.2

I x x

Cách 3: Sử dụng máy tính cầm tay.

Trong bài toán này ta có thể sử dụng chức năng TABLE để giải quyết, tuy nhiên cách

làm này chỉ mang tính chất “mò” (tức dự đoán khảng của a; b).

Ta thấy .ln 2

.ln 3 .ln 2 .ln 3

I bI a b a

1. Lúc này ta nhập biểu thức tích phân vào máy tính và gán giá trị này

cho biến A.

yRz2E0R$$$$$a2Q)p9RQ)dp3Q)+2qJz

2. Tiếp tục sử dụng MODE 7 TABLE để chạy biến giá trị của b từ đó tìm

ra bảng giá trị tương ứng của a.

w7aQzpQ)Oh2)Rh3)==z5===

Ta thấy chỉ có trường hợp 5; 7X F X là thỏa mãn 2 số nguyên, do

đó ta kết luận 7; 5 2 3.a b a b

Ta thấy khi nhập vào màn hình

thì ta đã coi b (biến

X) chạy trong khoảng từ và

step là 1. Ở đây ta chọn STEP 1 vì đề

cho a; b nguyên. Lúc này màn hình

sẽ hiện bảng giá trị của b (chính là X)

và giá trị tương ứng của a (chính là

cột ). Do a; b nguyên nên ta sẽ

chọn

Giải thích cách sử dụng MTCT


LOVEBOOK.VN | 287

Đọc thêm: Tích phân hàm phân thức chứa căn ở mẫu thức

Dạng 1: Tính tích phân 32

d.

xI

ax bx c


Ta có 2 2

2

2 2 2

1 11

ln

u u

u k u ku u k

u u k u u k u k

2

2

dln

uu u k C

u k

Áp dung bài toán vừa chứng minh ở trên ta áp dụng vào bài toán biến đổi sau:

2

32 2

d d 1.ln

x xI mx n mx n k

max bx c mx n k

Dạng 2: Tính tích phân

42

d.

mx n xI

ax bx c


Ta có

42 2 2

d 2 d d

2 2

mx n x ax b xm mb xI

a aax bx c ax bx c ax bx c

2

32

d.

2 2

ax bx cm mbI

a aax bx c

Dạng 3: Tính tích phân

52

d.

xI

px q ax bx c


Đặt 2

1 d 1 1d ; .

tpx q p x x q

t p tt

Khi đó

1

52 2

12

2

d d

1 1 1.

p q

p q

x tI

px q ax bx c a bpt q q c

t t p tp

1

21

dp q

p q

t

At Bt

(quay trở về bài toán dạng 1).

Phương pháp này chỉ áp

dụng được khi hệ số

Chú ý


LOVEBOOK.VN| 288

Tích phân hàm lượng giác

A. MỘT SỐ CÔNG THỨC VÀ KĨ NĂNG BIẾN ĐỔI

Các công thức nguyên hàm của hàm lượng giác

1

cos d sin .ax b x ax b Ca

1

sin d cos .ax b x ax b Ca

2

d 1tan .

cos

xax b C

ax ax b

2

d 1cot .

sin

xax b C

aax b

B. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Tính tích phân: 1 2

1 2

1 2sin d ; cos d .

b bn n

a a

I x x I x x


1. Nếu n chẵn thì ta sử dụng công thức hạ bậc.

2. Nếu 3n thì ta sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo trường hợp 3.

3. Nếu 3n và n lẻ 2 1n p thì ta thực hiện biến đổi.

1 1 1 1

1 1 1 1

2 1 2 2

1sin d sin d sin .sin d 1 cos d cos

b b b bpn p p

a a a a

I x x x x x x x x x

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển 21 cos .p

x

Từ đây ta giải quyết được bài toán.

2 2 2 2

2 2 2 2

2 1 2 2

2cos d cos d cos .cos .d 1 sin d sin .

b b b bpn p p

a a a a

I x x x x x x x x x

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển 21 sin .p

x

Từ đây ta giải quyết được bài toán.

Ví dụ 1: Cho 10

4

0

cos 3 d .I x x

Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. 3 1 1

sin 6 sin12 .108 12 96

0

I x x x

B. 1 1

sin 6 sin12 .1012 96

0

I x x

C. 3 1 1

sin 6 sin12 .108 12 96

0

I x x x

D. 3 1

sin12 .108 96

0

I x x

Đáp án A.

Lời giải

Ta có

210 10 10

2

0 0 0

1 cos 6 1 1 1 cos12d 1 2 cos 6 cos 6 d 1 2 cos 6 d

2 4 4 2

x xx x x x x x

3 1 1sin 6 sin12 .10

8 12 960

x x x

Ta thấy bậc của cos3x là 4

là một số chẵn. Từ 1 trong

phần phương pháp chung

ta sẽ sử dụng công thức

hạ bậc như lời giải bên.


LOVEBOOK.VN | 289

Ví dụ 2: Cho:

3

9 3 5 7 9

0

1 1sin 5 d cos 5 cos 5 cos 5 cos 5 cos 5 .3

5 90

I x x x a x b x c x x

Đặt .S a b c Giá trị của S bằng

A. 3S B. 74

105S C.

5

4S D.

1

9S

Đáp án B.

Lời giải

Ta có 3 3 48 2

0 0

1sin 5 sin 5 d 1 cos 5 d cos 5

5I x x x x x

3

2 4 6 8

0

11 4 cos 5 6 cos 5 4 cos 5 cos 5 d cos 5

5x x x x x

3 5 7 91 4 6 4 1cos 5 cos 5 cos 5 cos 5 cos 5 3

5 3 5 7 90

x x x x x

4 6 4 74; ; .

3 5 7 105a b c S

Dạng 2*: Tính tích phân sin .cos d .b

m n

a

I x x x


a. Trường hợp 1: m; n là các số nguyên

1. Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.

2. Nếu m chẵn, n lẻ 2 1n p thì biến đổi

2 1 2

sin cos d sin cos cos db b

m p m p

a a

I x x x x x x x

2sin 1 sin d sin .b

pm

a

x x x

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển và giải quyết bài

toán.

3. Nếu m lẻ 2 1m p , n chẵn thì ta biến đổi

2 1 2

sin . cos d sin . cos .sin db b

p n p n

a a

I x x x x x x x

21 cos . cos d cos .b

p n

a

x x x

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển và giải quyết bài

toán.

4. Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 2 hoặc 3 cho số mũ lẻ bé hơn.

b. Trường hợp 2: m; n là các số hữu tỉ

1 1sin

2 22 2

sin

sin .cos d sin . cos cos d 1 d *n nb b b

mm n m

a a a

I x x x x x x x u u u

Trong bài toán này, bậc

của sin5x là bậc lẻ do đó ta

làm theo hướng 3 trong

phương pháp chung phía

trên.


LOVEBOOK.VN| 290

Ví dụ 1: Cho 3

7 100

0

sin 2 . cos 2 d .I x x x

Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A.

101 103 105 107cos2 3 cos2 3 cos2 cos2

.3101 103 105 107

0

x x x xI

B.

101 103 105 107cos2 3 cos2 3 cos2 cos2

2 .3101 103 105 107

0

x x x xI

C.

101 103 105 107cos2 3 cos2 3 cos2 cos21

.32 101 103 105 107

0

x x x xI

D.

101 103 105 107cos2 3 cos2 3 cos2 cos21

.32 101 103 105 107

0

x x x xI

Đáp án C.

Lời giải

3

100 6

0

cos 2 . sin 2 .sin 2 dI x x x x

3

3100 2

0

1cos 2 1 cos 2 d cos 2

2x x x

3

100 2 4 6

0

1cos 2 . 1 3cos 2 3cos 2 cos 2 d cos 2

2x x x x x

101 103 105 107

cos2 3 cos2 3 cos2 cos21.3

2 101 103 105 1070

x x x x

Dạng 3: Tính tích phân 1 2

1 2

*

1 2tan d ; cot d .

b bn n

a a

I x x I x x n


Sử dụng các công thức sau:

2

2

d1 tan d d tan tan .

cos

xx x x x C

x

2

2

d1 cot d d cot cot .

sin

xx x x x C

x

d cossintan d d ln cos .

cos cos

xxx x x x C

x x

d sincoscot d d ln sin .

sin sin

xxx x x x C

x x

Dạng 4*: Tích phân liên kết.


Bài toán 1: Tính tích phân cos d

.sin cos

b

a

x xI

x x

1

cos d* .

sin cos

b

a

x xI

x x

Xét tích phân liên kết 2

sin d.

sin cos

b

a

x xI

x x

Trong bài toán này, ta

thấy m lẻ, n chẵn nên ta áp

dụng phương pháp 3

trong bài toán tổng quát

phía trên.


LOVEBOOK.VN | 291

Ta có

1 1

1 2

d

d sin coscos sind ln sin cos

sin cos sin cos

b

a

b b

a a

bI I x x

a

x x bx xI I x x x

ax x x x

Giải hệ phương trình ta được

1

2

1ln sin cos

2

1ln sin cos

2

bI x x x

a

bI x x x

a

Bài toán 2: Tính tích phân 1

sin d.

cos sin

x xI

a x b x


Xét tích phân liên kết với 1

I là

2

cos d.

cos sin

x xI

a x b x

Ta có

1 2

2 1

cos sind d

cos sin

d cos sincos sind ln cos sin

cos sin cos sin

a x b xbI aI x x x

a x b x

a x b xb x a xbI aI x a x b x

a x b x a x b x

Giải hệ phương trình ta được 1 2; .I I

Từ hai bài toán trên ta đưa ra kết luận về tích phân liên kết như sau:

Trong một số bài toán tính tích phân 1d ,

b

a

I f x x ta sẽ sử dụng tích phân

2d

b

a

I g x x là tích phân liên kết của 1

I sao cho ta có thể xác lập được mối

quan hệ ràng buộc giữa 1I và

2I thành hệ phương trình như sau:

1 2

1 1

mI nI

pI qI

Giải hệ phương trình ta dễ dàng tìm được 1 2; .I I

Các trường hợp thường

gặp:

* 1 2I I khi đó tính

1 2 1 2.

2I I I I

* 2I là một tích phân đơn

giản, thường thì các hàm

số dưới dấu tích phân

;f x g x (của hai tích

phân liên kết) thường có

tính cân xứng hoặc bổ

sung cho nhau như ở bài

toán 1 và bài toán 2.

Việc tìm được tích phân

liên kết phụ thuộc vào

kinh nghiệm giải toán của

người đọc.


LOVEBOOK.VN| 292

Một số bài toán tích phân gốc thường gặp

Bài toán 1: Cho f là hàm số chẵn và liên tục trên ;b b với 0.b Chứng

minh rằng

0

d d1

b b

xb

f xx f x x

a

(với 0a và 1a ) (1)


Đặt x t thì d d ;x t f t f t nên

0 0

0 0

d d d d .1 1 1 1

t xb b

x t t xb b

f x f t a f t a f xx t t x

a a a a

Do đó

0 0 0

d d d d .1 1 1

xb b b b

x x xb

f x a f x f xx x x f x x

a a a

Ví dụ 1: Tính tích phân 1 4 2

1

1d

2 1x

x xx

A. 23

15 B.

15

23 C. 1 D. 1

Đáp án A.

Lời giải

Ta thấy hàm số 4 2 1f x x x là hàm số chẵn, áp dụng bài toán 1 ở trên ta

có:

1 14 2 5 3

4 2

1 0

11 23d 1 d

05 3 152 1x

x x x xx x x x x

.

Bài toán 2*: Cho f là hàm số liên tục trên đoạn ; .a b Chứng minh rằng:

d db b

a a

f a b x x f x x (2)

Đặc biệt 0 0

d db b

f b x x f x x (3)


Đặt t a b x thì d d .t x Khi đó

d d d .b a b

a b a

f a b x x f t t f x x

Khi 0,a ta nhận được công thức (3).

Ví dụ 2: Cho 4

0

ln 1 tan d .ln , 0; 0x x b a ba

. Khi đó tổng a b bằng

A. 8 B. 10 C. 5 D. 4

Đáp án B.

Lời giải


LOVEBOOK.VN | 293

Nhận xét: ln 1 tanf x x liên tục trên 0;

4, áp dụng 3 với bài toán

này ta có:

4 4 4

0 0 0

2ln 1 tan d ln d ln2 ln 1 tan d

4 1 tanI x x x x x

x

4

0

ln 2dx I

2 ln 2. .ln 248

0

I x I .

Vậy 10a b .

Bài toán 3: Cho hàm số f liên tục trên 0;1 . Chứng minh rằng:

2 2

0 0

sin d cos df x x f x x

(4)


Đặt 2

t x

thì d d ,t x khi đó

02 2

0 0

2

sin d cos d cos d .f x x f t t f x x

Ví dụ 3: Tính tích phân:2011 20112

2011 20112011 20110

sind

cos sin

xI x

x x

A.

2 B.1 C.

4 D.

8

Đáp án C

Lời giải

Sử dụng công thức 4 ta có 2011 20112

2011 20112011 20110

cosd

sin cos

xI x

x x

Từ đây suy ra 2

0

2 1d4

I x I

** Bài toán 4: (đọc thêm) Cho f là hàm số liên tục trên ;a b thỏa mãn

.f x f a b x Chứng minh rằng: d d2

b b

a a

a bxf x x f x x

(8)

Đặc biệt 0 0

sin d sin d2

xf x x f x x

(9)


Thực hiện phép biến đổi x a b t thì

d d d db b b b

a a a a

xf x x a b t f t t a b f x x xf x x

Từ đó suy ra (8). Chọn 0, a b ta có (9).


LOVEBOOK.VN| 294

1. Bài toán tính tích phân

Câu 1: Biết tích phân 1

0

2 1 dxI x e x a be

; .a b Khi đó tích .a b có giá trị bằng

A. 1 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 2: Biết 1

0

d 2f x x và f x là hàm số lẻ. Khi đó

0

1

dI f x x

có giá trị bằng

A. 1I B. 0I C. 2I D. 2I

Câu 3: Tích phân 1

2

0

1dI x x x có giá trị bằng

A. 2 2 1

3I

B.

2

3I C.

2 2

3I D.

2

3I

Câu 4: Cho tích phân 3

0

d1 1

xI x

x

nếu đặt

1t x thì 2

1

I f t dt trong đó

A. 2f t t t B. 22 2f t t t

C. 2f t t t D. 22 2f t t t

Câu 5: Tính tích phân 34

2

6

1 sind

sin

xx

x

A. 3 2

2

B.

3 2 2

2

C. 3 2

2

D.

3 2 2 2

2

Câu 6: Cho 0

cos2 1d ln 3.

1 2 sin 2 4

a xI x

x

Tìm giá trị của a là

A. 3 B. 2 C. 4 D. 6


4

cosd

sin

xx

x

bằng

A. 1

ln 24 B.

1ln 2

4

C. 1

ln 24 D.

1ln 2

4


1

0

dxxe x

bằng

A. 1

2

e B.

1

2

e

e

C.

1

2

e D.

1

2

e

e

Câu 9: Tính tích phân: 1

0

d1

xx

x

A. 1

ln26 B.

52ln2

3 C.

4 2 2

3

D.

1ln2

6

Câu 10: Giá trị dương a sao cho

2 2

0

2 2d ln 3

1 2

a x x ax a

x

là

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

Câu 11: Giả sử 5

1

dln .

2 1

xc

x

Giá trị của c là

A. 9 B. 3 C. 81 D. 8

Câu 12: Tích phân

1

30

d1

xI x

x

có giá trị là

A. 1

2 B.

1

8 C.

1

8 D.

1

4

Câu 13: Giả sử 1

1

d 5f t t

và 3

1

d 6f r r

. Tính 3

1

d .I f u u

A. 4I B. 3I C. 2I D. 1I


cos dI x x

A. 0I B. 1I C. 2I D. 3I

Câu 15: Cho biết

2

0

d cos( ).

f x

t t x x Tính 4f .

A. (4) 2 3f B. (4) 1f

C. 1

(4)2

f D. 3(4) 12f

Câu 16: Đẳng thức 2

0

cos d sina

x a x a xảy ra nếu

A. a B. a C. 3a D. 2a


0

.sin d .I x x x

A. 3I B. 2I C. 1I D. 1I

Câu 18. Nếu 0

d 1a

xxe x thì giá trị của a bằng:

A. 0 B. 1 C. 2 D. e

Câu 19: Nếu 6

0

1sin cos d

64n x x x

thì n bằng

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

Câu 20: Giá trị của 1

1lim d

1

n

xnn

xe

bằng

A. 1 B. 1 C. e D. 0

Bài tập rèn luyện kỹ năng


LOVEBOOK.VN | 295


2

0

4 dx x x có giá trị bằng

A. 2

3 B.

5

3 C.

8

3 D.

10

3


6

cot .dx x

có giá trị bằng

A. ln 2 B. ln2 C. ln4 D. ln 2


2 1 ln de

I x x x bằng

A. 2 1

2

e B.

2

2

e C.

2 3

4

e D.

2 3

2

e

Câu 24: Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của

hàm số

2

2

1

x xf x

x

?

A. 2 1

1

x x

x

B.

2 1

1

x x

x

C.

2 1

1

x x

x

D.

2

1

x

x

Câu 25: Biết

1

20

2d ln 12 ln 7 ,

4 7

xx a b

x x với ,a b

là các số nguyên. Tính tổng a b bằng

A. 1. B. 1. C. 1

.2

D. 0.

Câu 26: Cho

1

2

0

1d

64nx x và

5

1

dln

2 1

xm

x, với , n m là

các số nguyên dương. Khi đó:

A. .n m B. 1 5.n m

C. .n m D. .n m

Câu 27: Biết 2

4

3

ln 3 ln 4 ld

n 5,x

a b cx x

với a, b, c là

các số nguyên. Tính S a b c

A. 6S B. 2S C. 2S D. 0S

Câu 28: Kết quả tích phân 1

0

2 3 dxI x e x được viết

dưới dạng I ae b với a , b là các số hữu tỉ. Tìm

khẳng định đúng.

A. 3 3 28a b . B. 2 1a b .

C. 2a b . D. 3ab .

Câu 29: Xet tich phân

2

0

sin2 d

1 cos

x xI

x.

Nêu đăt 1 cost x , ta đươc:

A.

1 3

2

4 4d

t tI t

t B.

22

1

4 1 dI t t

C.

1 3

2

4 4d

t tI x

t D.

22

1

4 1 dI x x

Câu 30: Có bao nhiêu giá trị của a trong đoạn

;24

thỏa mãn

0

sin 2d

31 3cos

ax

xx

.

A. 2 . B. 1 . C. 4 . D. 3 .

Câu 31: Cho hàm số g x có đạo hàm trên đoạn 1;1 . Có

1 3g và tích phân

1

1

d 2.I g x x Tính 1 .g

A. 1 B. 5 C. 6 D. 3

2

Câu 32: Cho 2

1

d 3,f x x tính

4

2

d .2

xI f x

A. 6 B. 3

2 C. 1 D. 5

Câu 33: Biết rằng:

ln2

0

1 1 5d ln 2 ln2 ln .

2 32 1a

xx x b c

e

Trong đó , ,a b c là những số nguyên. Khi đó S a b c

bằng

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Câu 34: Có bao nhiêu số 0;20a sao cho

5

0

2sin .sin2 d .

7

a

x x x

A. 20 B. 19 C. 9 D. 10

Câu 35: Cho

4

0

1 sin2 d .I x x x Tìm đẳng thức đúng.

A.

4

40

0

1 cos2 | cos2 dI x x x x

B.

4

40

0

1 cos2 | cos2 dI x x x x

C.

4

40

0

1 11 cos2 | cos2 d

2 2I x x x x

D.

4

40

0

1 11 cos2 | cos2 d

2 2I x x x x

Câu 36: Tìm tất cả các số thực m dương thỏa mãn

2

0

d 1ln 2

1 2

m x x

x

:

A. 3.m B. 2.m C. 1.m D. 3.m

Câu 37: Biết 4

0

ln 2 1 d ln3 ,a

I x x x cb

trong đó

, ,a b c là các số nguyên dương và b

c là phân số tối giản.

Tính .S a b c

A. 60.S B. 70.S C. 72.S D. 68.S


LOVEBOOK.VN| 296

Câu 38: Biết

3

6

dln ,

sin .sin6

x ba

cx x

với , ,a b c là các

số nguyên dương và b

c là phân số tối giản. Tính

.S a b c

A. 7S B. 8S C. 10S D. 9S

Câu 39: Biết rằng:

2 2.cos 3 .d cos 3 sin 3 ,x xe x x e a x b x c trong đó

, ,a b c là các hằng số, khi đó tổng a b có giá trị là

A. 1

13 B.

5

13 C.

5

13 D.

1

13

Câu 40: Biết tích phân 1

0

2 1 dxI x e x a be

; .a b Khi đó tích .a b có giá trị bằng:

A. 1 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 41: Cho đồ thị hàm số y f x trên đoạn 0; 6

như hình vẽ.

Biểu thức nào dưới đây có giá trị lớn nhất:

A. 1

0

df x x B. 2

0

df x x

C. 3

0

df x x D. 6

0

df x x

Câu 42: Tính tích phân:5

1

d

3 1

xI

x x

được kết quả

ln3 ln5I a b . Giá trị 2 23a ab b là

A. 4 B. 1 C. 0 D. 5

Câu 43: Cho 6

0

d 12.f x x Tính 2

0

3 dI f x x

A. 6I B. 36I C. 2I D. 4I

Câu 44: Cho 2

1

d 2f x x

và 2

1

d 1.g x x

Tính

2

1

2 3 d .I x f x g x x

A. 5

2I B.

7

2I C.

17

2I D.

11

2I

Câu 45: Cho 2

0

d 5.f x x

Tính 2

0

2 sin d .I f x x x

A. 7I B. 52

I

C. 3I D. 5I

2. Ứng dụng của tích phân trong hình học

Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

hàm số 2 2y x và 3 :y x

A. 1 B. 1

4 C.

1

6 D.

1

2

Câu 2: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh

trục Ox hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số

22x

y x e và hai trục tọa độ là

A. 22 10e B. 22 10e

C. 22 10e D. 22 10e


hàm số 1

2

xy

x

và các trục tọa độ. Chọn kết quả đúng?

A. 3ln6 B. 3

3ln2

C. 3

3ln 22 D.

33ln 1

2

Câu 4. Cho hàm số 3 23 2f x x x x . Tính diện tích

S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x

trục tung, trục hoành và đường thẳng 3x

A. 10

4S B.

12

4S C.

11

4S D.

9

4S

Câu 5. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt

phẳng 0x và 3x , biết rằng thiết diện của vật thể bị

cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục 0x tại điểm có

hoành độ x 0 3x là một hình chữ nhật có hai kích

thước là x và 22 9 x .

A. 18 B. 19 C. 20 D. 21

Câu 6. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị

các hàm số 2xy và 3y x , trục hoành và trục tung.

A. 5 1

2 ln 2S B. 2S C.

12

ln2S D. 4S

O 6 4 2

y

x


LOVEBOOK.VN | 297

Câu 7: Công thức tính diện tích S của hình thang cong

giới hạn bởi hai đồ thị , , ,y f x y g x x a x b ,

a b

A. db

aS f x g x x

B. db

aS f x g x x

C. 2

db

aS f x g x x

D. 2 2 db

aS f x g x x

Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C của

hàm số 3 22 5y x x x và đồ thị ’C của hàm số

2 5y x x bằng

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3


hàm số 21 ,xy x e trục hoành và các đường thẳng

0, 2.x x

A. 4 2 3

4 2 4

e e B.

4 2 3

4 2 4

e e

C. 4 2 3

4 2 4

e e D.

4 2 3

4 2 4

e e

Câu 10: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng

giới hạn bởi đồ thị các hàm số 2 2y x x và 2y x

quay quanh trục .Ox

A. 4

3 B.

4

3

C.

3

D.

1

3

Câu 11: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong

2 cos ,y x trục hoành và các đường thẳng

0, .2

x x

Khối tròn xoáy tạo thành khi quay D quanh

trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

A. 1V B. 1V

C. 1V D. 1V


2 sin ,y x trục hoành và các đường thẳng

0, .x x Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh

trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

A. 2 1V B. 2 1V

C. 22V D. 12V


2 1,y x trục hoành và các đường thẳng 1; 0.x x

Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành

có thể tích V bằng bao nhiêu?

A. 4

3V

B. 2V C.

4

3V D. 2V

Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

1,y

x trục hoành và hai đường thẳng 1x , x e là

A. 0. B. 1. C. .e D. 1

.e

Câu 15: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2 4y x và đường thẳng 1x bằng .S Giá trị của S là

A. 1. B. 3

.8

C. 8

.3

D. 16.

Câu 16: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nhánh đường

cong 2y x với 0,x đường thẳng 2y x và trục

hoành bằng

A. 2. B. 7

.6

C. 1

.3

D. 5

.6

Câu 17: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

3 0 ,y ax a trục hoành và hai đường thẳng 1,x

0x k k bằng 15

.4

a Tìm k.

A. 1.k B. 1

.4

k C. 1

.2

k D. 4 14.k

Câu 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang

ABCD với 1; 2 , 5; 5 , 5; 0 , 1; 0 .A B C D Quay

hình thang ABCD xung quanh trục Ox thì thể tích khối

tròn xoay tạo thành bằng bao nhiêu?

A. 72 . B. 74 . C. 76 . D. 78 .


LOVEBOOK.VN| 298

Hướng dẫn giải chi tiết

1. Bài toán tính tích phân

Câu 1: Đáp án A

1

1 1

0 00

2 1 d 2 d dx x xI x e x xe x e x

1

0

2 d 1.xxe x e

Đặt

d d

d

x xe x v v e

x u dx u

1 1

0 0

1

0

12 d 1 2 2 d 1

0

12 . 2 d 1 1.

0x x

I u v e uv v u e

x e e x e e

1 1.a b ab

Câu 2: Đáp án C

f x là hàm số lẻ

0 1

1 0

d d 2f x x f x x

Câu 3: Đáp án A 1

2

0

1d .I x x x

Ta thử bằng máy tính để tìm ra kết quả.

Câu 4: Đáp án D 3

0

d1 1

xI x

x

21 1 2 d dt x t x t t x

3 3

0 0

1 1d 1 1 d

1 1

x xI x x x

x

2 2

2 2

1 1

2 1 d 2d 2 2 .I t t t t t t f t t t

Câu 5: Đáp án B

4

2

6

1 4 4sin d cot cossin

6 6

x x x xx

2 2 3 3 2 2.

2 2 2

Câu 6: Đáp án C

0 0

cos 2 1 cos 2 d2d

1 2sin 2 2 1 2sin 2

a ax x xI x

x x

0

d sin 21

2 1 2sin 2a

x

x

0

d 2sin 2 11 1ln 2sin 2 1

4 1 2sin 2 40

1 2 1ln 2sin 1 ln 3.

4 4

ax

x ax

a

Suy ra: 2

2sin 1 3.a

Trong các đáp án 4.a

Câu 7: Đáp án D

Cách 1: Thử

Cách 2: Đặt sin .x t

Câu 8: Đáp án D

Cách 1: Thử bằng máy tính

Cách 2: 2 2

1 1

0 0

1. d 2 d

2x xI x e x x e x

2 2

112 1

0 0

1 1 1 1d .

2 2 2 2

1 1 1

2 2 2

x xe x e e

e

e e

Câu 9: Đáp án C

Cách 1: Thử trực tiếp bằng máy tính.

Cách 2: Đặt 1x t , biến đổi


22

0 0

0

2 2

0

0

2

1 12 2d d

1 1

1 1 d 1

1

1 1 1 ln 1 ln 1

2 2 2

ln 12

a a

a

a

a

xx xI x x

x x

x xx

x ax a

aa a

1 3 2.a a

Câu 11: Đáp án B.

Câu 12: Đáp án B.

Thử máy tính.

Gợi ý:

1

2 30

1 1d 1

1 1I x

x x


3 3 1

1 1 1

d d d 6 5 1I f u u f u u f u u


2

0 0

2

2

20

20

2

cos d cos d cos d

cos d cos d sin sin

1 1 2

I x x x x x x

x x x x x x



LOVEBOOK.VN | 299

Ta có: 33

2

0 0

d3 3

f xf x f xtt t

3

.cos3

f xx x

Thay

3 4

4 4.cos 43

fx

33 4 12 4 12.f f


2

0

cos d sina

x a x a

2 2sin sin sina a a a

Trong 4 phương án, chỉ có phương án D thỏa mãn.



Cách 2: Tích phân thành phần: sin d dx x v

x u


Theo như biến đổi câu 1, ta có:

00 0

. d . d

. 1 1

a aa

x x x

a a

I x e x x e e x

a e e

1a


6

0

sin .cos dnI x x x

Đặt sin .x t Đổi cận: 0 0x t

1

6 2x t

1 1112 2

0 0

1 1 1d .

1 2 1 64

nnn t

I t tn n

3.n



Lấy giá trị n càng lớn càng tốt. Giả sử 100.n

Nhập biểu thức 101

100

1d

1 xx

e

Máy tính cho kết quả 442.35 10 0 .

Cách 2: Giải chi tiết 1 1 1 11

d 1d d 1 d1 1 1

n n n nx x

x x xn n n n

e eI x x x x

e e e

1 1

1

d 11 1 ln 1

1

1 ln 1 ln 1

xn nx

x nn

n n

eI e

e

I e e

Ta luôn có ln 1

lim 1

n

n

e

n

1

1

1

1lim d lim 1 ln 1 ln 1

1

ln 1 ln 1 1 lim . . 1

1

1 1 0

nn n

xn nn

n n

n

x e ee

e en n

n n

n n



Cách 2: Đặt 24 x t



Cách 2: Đặt

2

2

1

2

1sin dx t I t

t


1 1 1

2

1

2 1 ln d 2 .ln d 2 d

1 2 .ln d

e e e

e

I x x x x x x x x

e x x x

Đặt 2

1d d

ln

d d

2

x ux u x

x x v xv

11 1 1

2

11

2 2 2

ln d d d

ln . d2 2

1 1

2 4 4 4 4

e e ee

e e

x x x u v uv v u

x xx x

e e e

2 22 1 3

12 2

e eI e


Dễ nhận thấy 2 2 1

11 1

x x x

x x

2 2 1

11 1

x x x

x x

Ta thấy 3 phương án B, C, D có cùng đạo hàm.

Vậy phương án A sai.

Câu 25: Đáp án D 1 1

2 20 0

2 1 2 4d . d

24 7 4 7

x xx x

x x x x

2 112

20 0

d 4 71 1. ln 4 7

2 24 7

x xx x

x x

1 1ln12 ln7 ln 12 ln 7

2 2

1; 1 0a b a b



LOVEBOOK.VN| 300

112

0

1 1 1 1d . 3

64 2 1 64

n

nx x nn

55 5

1 1 1

d 2 1d 1 1ln 2 1

2 1 2 2 1 2

xxx

x x

1 1ln9 ln1 ln3

2 2

3m n


4 4 4

23 3 3

d 1 1 1d d

11

xI x x

x xx xx x

4

ln ln 1 ln 4 ln 5 ln 3 ln 43

x x

ln3 2ln4 ln5

0S a b c


1 1 1

0 0 0

2 3 . d 2 . d 3 dx x xI x e x x e x e x

Tương tự các bài trên

1 1

1

00 0

. d . dx x xx e x x e e x

11 1

0 00

2 . d 2 . 3 1x x x xI x e e x x e e e

3; 1a b

Suy ra, đáp án B: 2 1a b


1 os , 0t c x t 2 1 ost c x 2 d sin dt t x x

Đổi cận:

0 2; 1

2x t x t

2 2

0 0

sin 2 d 2cos .sind

1 cos 1 cos

x x x xI x

x x

21 22

12

4 1d 4 1 d

t tt t t

t

22

1

4 1 dx x


0

sind

1 3cos

a xI x

x

Đặt 1 3cos , 0.x t t

2 2 d1 3cos 2 d 3sin d sin d

3

t tt x t t x x x x

1 3 cos 1 3 cos

2 2

2 d 2d

3 3

2 21 3cos .2

3 3

a at t

I tt

a

Mà 2

1 3cos 1 cos 03

I a a 3

;2 2

a

Suy ra, đáp án A.


1

1

' d 2 1 1 2I g x x g g

1 2 1 2 3 1g g .


Đặt d 2d2

xt x t

2 2

1 1

2 d 2 d 2. 3 6I f t t f t t

Câu 33: Đáp án C ln 2 ln 2 ln 2

0 0 0

1 2 1 2d d d

2 1 2 1

x x

x x

e ex x x x x

e e

ln 2 ln 2

0 0

21 d d

2 1

x

x

ex x x

e

ln 2ln 22

00

d 2 1

2 2 1

x

x

exx

e

2 ln 2

0

ln 2ln 2 ln 2 1

2xe

2 2ln 2 ln 2 5ln 2 ln 5 ln 3 ln 2 ln

2 2 3

2; 1; 1 4a b c a b c


5 6

0 0

7 76

0 0

sin .sin 2 d 2 sin .cos d

sin 2sin2 sin .d sin 2.

7 7

a a

aa

I x x x x x x

x ax x

2sin 1 2

7 2I a a k

10 2 0 2

2 2 41 39

20 2 202 4

a k k k

a k k

0;1;2;3;4;5;6;7;8;9k Có 10 giá trị của a.


Đặt

1sin 2 d d cos2

21

d d

x x v x v

x ux u

4 4 4

0 0 0

1 sin 2 d d d40

I x x x u v uv v u

4

40

0

1 11 cos2 cos2 d

2 2x x x x

Suy ra, đáp án C.



LOVEBOOK.VN | 301

Thử các đáp án, suy ra 1m


4

0

ln 2 1 dI x x x

Đặt

2

2d d

ln 2 1 2 1

1d d

2 8

x ux u x

xx x vv

4 4

0 0

4d d

0I u v uv v u

42 2

4

00

1 1 2ln 2 1 . d

2 8 2 8 2 1

x xx x

x

4 42

0 0

4

2

0

63 4 1 63 1ln 9 d ln 9 2 1 d

8 8 44 2 1

63 1 63ln 9 ln 3 3

8 4 4

xx x x

x

x x

63; 4; 3 63 4 3 70a b c S


3

6

d

sin .sin6

xI

x x

Ta có:

sin sin .cos cos .sin6 6 6

1

sin sin6 6

x x x x x x

cos61 1 cos

.sin

sinsin .sin sin66 6

xx

xx x x

3 3

6 6

cos6cos

2 d 2 dsin

sin6

32.ln sin 2 ln sin6

6

xx

I x xx

x

x x

3 1 32.ln 2 ln 2 ln1 2 ln

2 2 2

3 3 34 ln 2 ln 2 2 ln 2 ln 2 2 ln

2 4 2

2 3 2 7S


Đặt

22 d d

2cos 3

3 sin 3 d d

xx e

e x v v

x ux x u

d dI u v uv v u

2 2

.cos3 .3sin 3 d2 2

x xe ex x x

2

23.cos 3 .sin 3 d

2 2

xxe

x e x x

Đặt 1 1

sin 3 3cos 3 d dx u x x u

2

1 1 1.sin 3 d d dxe x x u v u v v u

2 2 2 3

.sin 3 .3.cos 3 d .sin 3 .2 2 2 2

x x xe e ex x x x I

2 2

2

2

.cos 3 3 .sin 3 3.

2 2 2 2

13 cos 3 3.sin 3

4 2 4

2cos 3 3.sin 3

13 13

x x

x

x

e x e xI I

xI e x

xI e x

2 3 5.

13 13 13a b



Câu 42: Đáp án D 5

1

d.

3 1

xI

x x

Đặt 23 1 3 3d 2 dx t x t x t t

Đổi cận: 1 2x t

5 4x t

4 4 4

22 2 2

2 d d 1 12 d

3 1 11 11

3

t t tI t

t tt ttt

4

ln 1 ln 1 2 ln 3 ln 52

t t

2 22; 1 3 5.a b a ab b


Đặt 3 d 3dt x t x . Đổi cận: 0 0; 2 6x t x t

2 6 6

0 0 0

1 1 13 d d d .12 4

3 3 3I f x x f t t f x x


Ta có 2

1

2 3 dI x f x g x x

2 2 2

1 1 1

d 2 d 3 dx x f x x g x x

2

2

1

3 172.2 3 1 4 3

2 2 2

xI


Ta có 2 2 2

0 0 0

2 sin d d 2 sin dI f x x x f x x x x

.

2

0

5 2cos 7x


LOVEBOOK.VN| 302

2. Ứng dụng của tích phân trong hình học

Câu 1: Đáp án C

Giao điểm tại 2 2 3 1 2x x x 2

2

1

2 3 222

11

2 3 d

3 12 3 d 2

3 2 6

S x x x

x xx x x x

Câu 2: Đáp án C

22x

y x e cắt trục hoành tại điểm có hoành độ

bằng 2

Thể tích 2

2

0

2 dxV x e x

Sử dụng phương pháp tích phân thành phần

22 10V e

Câu 3: Đáp án D

0 0

1 1

0 0

1 1

1 3d 1 d

2 2

3 ln 2

1 3 ln 2 3 ln 3

2 31 3 ln 3 ln 1

3 2

xS x x

x x

x x

Câu 4: Đáp án C

13 2

0

3 2 33 2 3 2 3 2

0 1 2

3 2 d

3 2 d 3 2 d 3 2 d

1 1 9 11

4 4 4 4

S x x x x

x x x x x x x x x x x x

Câu 5: Đáp án A 3

2

0

2 9 d 18V x x x

Câu 6: Đáp án A

Giao điểm 2 3x x Nhẩm được nghiệm 1

11 2

0 0

22 3d 3

ln 2 2

2 1 1 1 53

ln 2 2 ln 2 ln 2 2

xx x

S x x x

Câu 7: Đáp án B

Câu 8: Đáp án B

Ta xét phương trình hoành độ giao điểm

3 2 22 5 5x x x x x

3 02 2 0

1

xx x

x

Lúc này ta có

1

3

1

2 2 d 1S x x x

Ta bấm máy và cũng được kết quả như trên:

Câu 9: Đáp án A.

Xét phương trình hoành độ giao điểm

21 . 0 1xx e x . Vậy diện tích hình phẳng

được giới hạn bởi đồ thị hàm số 21 . xy x e , trục

hoành và các đường thẳng 0, 2x x được tính bởi

công thức:

1 22 2

0 1

0 22 2

1 1

1 . d 1 . d

1 . d 1 . d

x x

x x

S x e x x e x

x e x x e x

Đặt 0 2

2 2

1 2

1 1

1 . d ; 1 dx xI x e x I x e x

Đặt 1 d dx u x u ; 2 21d d .

2x xv v e x v e

Khi đó 2 2

0

1 1. . 1 .d

2 2

bx x

a

bI e x e x

a

2 21 1. . 1 .

2 4x xb b

e x ea a

.

Vậy từ đây ta có

20 2

1

1 1 1 3. .

2 4 4 4 4

eI e e .

4 24 4 2

2

1 1 1. . .

2 4 4 4 4

e eI e e e .

Suy ra 4 2

1 2

3

4 2 4

e eI I I .


Xét phương trình hoành độ giao điểm

2 2 02

1

xx x x

x

Khi đó thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình

phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số

2 22 ;y x x y x quay quanh trục Ox được tính

bởi công thức

1

2 22 2

0

2 dV x x x x

Ta thấy trên 0;1 thì 2 2

2 2 2x x x , do vậy ta

có công thức

1

4 4 3 2

0

4 4 dV x x x x x

1

3 2 4 3

0

144 4 d .

03 3x x x x x

(đvtt).


LOVEBOOK.VN | 303


Thể tích khối tròn xoay được tạo nên bởi hình phẳng

giới hạn bởi các đường 2 cosy x , 0x ,2

x

và

trục hoành khi quay quanh Ox là:

2

2

00

2 cos d 2 sin 1x

V x x x x

(đvtt).



giới hạn bởi các đường 2 siny x , 0x , x và


0 0

2 sin d 2 cos 2 1x

V x x x x

(đvtt).



giới hạn bởi các đường 2 1y x , 0x , 1x và


1

1 32

0 0

41 d

3 3x

xV x x x

(đvtt).


Ta có 1

1 1

1 1d d ln 1.

e ee

S x x xx x


Ta có: Phương trình tung độ giao điểm 2

1 24

yy

22 2 3

2 2

4 4 81 d

4 12 3 3 3

y yS y y

.


Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2 22 2 0 1x x x x x hoặc 2x (loại vì

0x ).

Ta có 1

2

0

7(2 ) d

6S x x x


Ta thấy hàm số 3 , 0y ax a luôn đồng biến trên

và có tâm đối xứng là 0;0O . Hình vẽ minh họa ở

bên ta thấy với 1;0x thì 3 0ax , với 0;x k thì

3 0ax .

Vậy 0

3 3 3

1 1 0

15 15d d d

4 4

k ka aS ax x ax x ax x

04 4

1 0

15

4 4 4

k

ax ax a

(Do 0k ).

44 415

14 144 4 4

a ak ak k (vì 0k )


Phương trình đường thẳng AB là:

21 1 5

5 1 5 2 2 2

yxy x

Thể tích khối tròn xoay là:

25 5

2

1 1

1 5d d 78 .

2 2V f x x x x

O

y

x -1

k

A

B

C D O

y

x

Documents

Exam24h Ham... · Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB LOVEBOOK.VN | 257 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I. Nguyên hàm và các tính chất cơ bản Kí