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Extensions non gaussiennes du filtre SEEK pour l’assimilation de données dans les modèles couplés physico-biogéochimiques de l’océan
P. Brasseur, D. Béal, J.-M. Brankart, G. Broquet, F.
Castruccio, E. Cosme, M. Doron, C. Lauvernet, M. Lévy, Y. Ourmières, J. Verron
LEGI – LOCEAN – LSEET
Colloque National sur l’Assimilation de Données
Paris, 1-2 décembre 2008
The Biological PumpLa production primaire océanique premier maillon du fonctionnement biogéochimique
des océans et des écosystèmes marins
Éléments nutritifs (N, P, Si, Fe)
Production primaire = transformation de matière inorganique en matière organique par le processus de photosynthèse.
2222 0 nOCHOnHnCO n PHOTOSYNTHESE : production MO
OnHnCOnOCH n 22220 RESPIRATION : Dégradation MO
Couplage physico-biogéochimique ?Observations: chlorophylle de surface (Aqua-
MODIS)
Mars 2005
LOBSTER: adaptation to North Atlantic basin
Fixed C/Chl ratio
Variable C/Chl ratio + T lim
Variable C/Chl ratio
+ T, mixing and light lim
LOBSTER initial(Lévy et al., 2003)
LOBSTER amélioré(Ourmières et al., 2008)
SeaWifs
Mai 1998
Etape préliminaire: ajustement paramétrique pour améliorer l’ébauche
du modèle (avant assimilation) par rapport aux observations de couleur de l’eau
Validation à la station INDIA (59°N 65°W)
Difficultés de la modélisation biogéochimique
Variational MethodsRemarques préliminaires concernant l’assimilation de données en biogéochimie
marine
• Pas de principe fondamental décrivant le fonctionnement de la biologie dans l’océan (équivalent des équations de Navier-Stokes)
• Etat de l’art en modélisation moins avancé que pour la physique (modèles de circulation)
• Observations peu abondantes et incertaines (erreur ~ signal), opérateurs d’observations complexes
• Multiples sources d’incertitude, notamment au niveau des mécanismes de couplage
Assimilation de données pour la modélisation couplée physico-biogéochimique:
multiples sources d’incertitude !
Hydrodynamique(u)
u~uu
u.uu
Dzz
p1
fez
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h
Λ
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S h ~.u
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N1iccSz
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hi ,),,(~
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Biologie
~,,u wic
2. Estimations de l’état physique Berline et al., 2006
3. Estimation d’état biologiqueOurmières et al. 2008
1. Estimation de paramètres Faugeras et al., 2003 ; Doron et al.
Propagation d’erreurs dans les modèles couplés
Simulations d’ensemble d’un modèle 1D de couche de mélange (~ 1000 membres) avec perturbation des forçages (vent +
Tair)
(Lauvernet et al., 2008, OMOD)
l’ensemble des prévisions à 10 jours respecte la stabilité hydrostatique (par construction du modèle)
Problèmes d’estimation sous contraintes d’inégalité
• Estimation de l’état physique (T,S,u,v): sous contrainte d’équilibre hydrostatique, mélange non-convectif:
• Estimation de l’état biogéochimique: traceurs définis positifs:
• Estimation de paramètres biologiques: à l’intérieur d’intervalles admissibles (taux de croissance, mortalité, broutage)
0
dz
df
~
ic
maxmin ,
)H(R)H()(B)()( xyxyxxxxx 11 TbTbJ
)H(R)(HBHBH)( bTTbJ xyxxxx 10
sous contraintes bx A:I
Le SEEK: un filtre de Kalman de rang réduit
• Etape de prévision :
Réduction d’ordre :
ai
ai
P
x QMMPP
Tai
fi
ai
fi M
1
1 xxForecast
Tai
ai
ai SSP Tf
1if
1i
Tai
ai
f1i SSQMSMSP
aij
ai
aij
f1i MM xx SˆS
1
Ensemble qui décrit l’incertitude de la prévision
autour de l’ébauche
Le SEEK: un filtre de Kalman de rang réduit
• Etape d’analyse :
f
iiai
fiii
fi
ai H
111
11111
PHKIP
K xyxx
Tf1i
f1i
f1i SSP
1Tf1i
1f
1i1Tf
1if
1i
1Tf1i
Tf1i1i
RHSHSRHSIS
R)H(HPHPK
...
ne satisfait pas les contraintes d’inégalité
Après analyse
Exemple d’analyse gaussienne avec (T,S) observés en surface
Avant analyse
Integrated system: assimilation schemes
Bilan de sels nutritifs dans la couche euphotique (Berline et al., 2005)
Free run
Assimilation
FREE ASSIM
Intensification artificielle de l’apport de nitrate en surface Production primaire irréaliste
KzKz
Impact d’une analyse gaussienne de l’état physique sur l’état biogéochimique
Hypothèse de distribution gaussienne tronquée (TG)
• Définition :
bx
bxCxCx)(
)()~~()
~~(A
A,I;,0
1NTN
: vecteur de localisation
: matrice d’échelle
: espérance mathématique x
C
x~~
Probabilité maximale près de la contrainte !
Lauvernet et al., 2008, OMOD (in press)
On suppose à présent que l’ensemble de prévisions est un échantillon issu d’une distribution gaussienne tronquée (TG) plutôt qu’une distribution gausienne « classique »
Hypothèse de distribution gaussienne tronquée (TG)
On peut montrer que, si la pdf a priori est une TG, la pdf a posteriori reste une TG caractérisée par un vecteur de localisation et une matrice d’échelle obtenus au moyen des formules d’estimation linéaires:
f
1i1ia
1i
f1iii
f1i
a1i
P~
HK~
IP~
~HK~~~ xyxx 11
1 R)HP
~(HHP
~K~ Tf
1iTf
1i1i
Cycle d’assimilation sous hypothèse TG
4 étapes:
1. Echantillonnage de la distribution initiale supposée TG: peut être réalisé efficacement au moyen d’un échantillonneur de Gibbs
2. Calcul de la prévision d’ensemble: sous l’hypothèse (discutable) que la nature gaussienne tronquée soit préservée par la dynamique du modèle
3. Estimation du vecteur de localisation et de la matrice d’échelle de la distribution TG de l’ensemble de prévisions: par exemple au moyen d’une méthode de maximum de vraisemblance
4. Calcul de la distribution TG de l’état analysé: en utilisant l’algorithme d’analyse linéaire classique (gain de Kalman)
Le filtre SEEK avec contraintes d’inégalité
• La seule différence par rapport à l’analyse gaussienne est la troncature des distributions de probabilité selon la condition d’équilibre hydrostatique.
• Les contraintes imposées sont
• L’estimation non-linéaire (par rapport aux données) obtenue par analyse TG respecte rigoureusement les contraintes physiques, dans le cadre d’hypothèses statistiques maîtrisées.
Exemple d’analyse gaussienne tronquée dans un modèle 1D avec (T,S) observés en surface (comme
précédemment)
Avant analyse Après analyse
0 1kk
Le filtre SEEK avec contraintes d’inégalité
• Les contraintes imposées sont
• L’efficacité de la méthode permet d’envisager des applications d’assimilation aux systèmes de grande taille .
Exemple d’assimilation de SST dans un modèle de circulation 3D (HYCOM) du Golfe de Gascogne
Cas gaussien
)(Hpp;pp; minkk1kk1kk 0
Cas gaussien tronqué
Comportement statistique des variables d’état des modèles couplés ?
Simulations d’ensemble (~ 100-200 membres) avec
perturbation des forçages (vent)
Ecart-type de la concentration en surface du phytoplancton après
15 jours de simulations
(Béal et al., 2008, submitted)
Ocean Colour data assimilation: complexityDispersion des prévisions d’ensemble
BATS
Gulf Stream
INDIA
Béal et al., 2008 (submitted)
Toward Ocean Colour data assimilationTransformation anamorphique des variables d’état basées sur les distributions d’ensemble
Impact sur l’écart-type de l’ensemble a posteriori obtenu pour des observations du phytoplancton en surface
(normalisé par l’écart-type de l’ensemble a priori)
MLD NO3 ZOO
lin
éair
ean
am
orp
hosé
Contrôlabilité par observation du phytoplancton de surface à différentes échéances (1, 2, 4, 8 et 15 jours):
cas linéaire vs anamorphosé
MLD NO3 ZOO
Fraction du domaine (axe X) pour laquelle le facteur de réduction d’erreur induit par l’analyse est inférieur à une valeur spécifiée
(axe Y).
15 j
1 j
Variational MethodsConclusions
• Les applications aux modèles couplés physico-biogéochimiques nécessitent des méthodes d’assimilation compatibles avec les non-linéarités des modèles et les comportements non-gaussiens des ensembles.
• Des adaptations du SEEK ont été développées: alternatives efficaces à des approches plus générales (mais aussi plus coûteuses) comme les filtres particulaires. La question de l’efficacité numérique reste centrale pour nos applications.
• Démarche « bottom-up » : applications de méthodes d’assimilation standard (KF, SEEK), identification des limitations pratiques, formalisation de problèmes méthodologiques nouveaux, et développements algorithmiques adaptés.
• Nécessité de poursuivre la validation des approches proposées (intégrer la dimension temporelle) pour la mise en œuvre dans des modèles couplés plus réalistes