Upload
isabelle-duncan
View
21
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
A variációszámítás alapjai. Keresendő azon. függvény, amely az. kifejezést („funkcionált”) szélső értékké teszi. Vagyis keresendő az. = extrémum. követelményeknek eleget tevő függvény. Extremizálandó kifejezés Euler-egyenletek. A mechanika elvei. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Extremizálandó kifejezés Euler-egyenletek
I F x y y x
x
x
, ,
1
2
d0
d
d
'y
F
xy
F
xyyyyxFI n
x
x
n d,,,,,, 11
2
1
ni
y
F
xy
F'ii
,...,,2,1
0d
d
A variációszámítás alapjai
Keresendő azon y y x függvény, amely az I F x y y xx
x
, , d
1
2
kifejezést („funkcionált”) szélső értékké teszi.
Vagyis keresendő az I F x y y xx
x
, , d
1
2
= extrémum
követelményeknek eleget tevő függvény
A mechanika elvei
Az általános helykoordinátákkal a potenciális energia mindig kifejezhető.
,,,, 21pot fp qqqWW Az általános sebességkoordináták:
Az f szabadsági fokú rendszer általános helykoordinátái: fqqq ,...,, 21
az általános helykoordináták idő szerinti differenciálhányadosai
fqqq ,...,, 21
A kinetikus energia az általános koordináták és az általános sebességek függvénye:
W W q q q q q qf fk k 1 2 1 2, , , , , , , ,
Lagrange-függvény Általános impulzus
Hamilton-függvény
L W W k p , pL
qii
H q p Lii
i
Hamilton-elv ( legkisebb hatás elve)
extremumtLt
t
2
1
d 0d2
1
t
t
tL
Egyetlen tömegpont általános koordinátái legyenek q1=x, q2=y és q3=z, potenciális energiája Wp(x, y, z), kinetikus energiája pedig W m x y zk
1
22 2 2 .
A Lagrange-függvény L W W m x y z W x y z k p p1
22 2 2 , , .
L
xmx
L
ymy
L
zmz
,
,
,
L
x
W
x
L
y
W
y
L
z
W
z
p p p, , ,
Az Euler egyenletek
mxW
xmy
W
ymz
W
z , , ,
p p p
a Newton-mozgásegyenleteket kaptuk vissza.
Egyetlen tömegpont esetén a Hamilton elvből levezethető a Newton egyenlet
0d2
1
t
t
tLHamilton elv Euler-egyenletek
ni
y
F
xy
F'ii
,...,,2,1
0d
d
A Hamilton-féle variációs elv Euler egyenleteit Lagrange-féle mozgásegyenletekneknevezik.
A Hamilton-elvvel és a Newton mozgásegyenletekkel
.
,,
,
i
iii
i
iii p
qpHq
q
qpHp
egyenértékűek a Hamilton-egyenletek is:
fqqq ,...,, 21 fqqq ,...,, 21
,,,, 21pot fp qqqWW W W q q q q q qf fk k 1 2 1 2, , , , , , , ,
L W W k p , pL
qii
H q p Lii
i
Általános helykoordináták Általános sebességkoordináták
Potenciális energia Kinetikus energia
Lagrange fügvény Általános impulzuskoordináták
Hamilton függvény:
Hamilton-féle mozgásegyenletek
Egyetlen tömegpont esetén a Hamilton-egyenletekől levezethető a Newton egyenlet
LpqH ii
i
Egyetlen tömegpont általános koordinátái legyenek q1=x, q2=y és q3=z, potenciális energiája Wp(x, y, z), kinetikus energiája pedig W m x y zk
1
22 2 2 .
pk WWL ),,()(2
1 222 zyxWzyxm p
zmz
Lpym
y
Lpxm
x
Lp zyx
,,
),,()(2
1 222222 zyxWzyxmzmymxm p H
),,()(2
1 222 zyxWzyxmH p
Hamilton-féle mozgásegyenletek
y
W
y
Hympx
xm
Hx
x
W
x
Hxmp p
yp
x
;,
z
W
z
Hzmp p
z
Hamilton elv Lagrange-egyenletek
Hamilton egyenletek
Newton mozgásegyenletek
.0d tL
fi
q
L
q
L
t ii
, 2, ,1
,0d
d
.
,
,,
i
ii
i
ii
p
qpHq
q
qpHp
Több tömegpontból álló rendszer esetén is érvényesek !
Koordináták és energiák szerepelnek bennük
Bonyolult esetekben is könnyebb felirni őket.
Általános koordináta:
Kinetikus és pot. energia:
Lagrange függvény:
Általános impulzus:
Hamilton függvény:
Mozgásegyenletek
Írja fel az egydimenziós harmonikus oszcillátor Hamilton függvényét, és a Hamilton egyenleteket.
x22
22
1x
kWxmW pk
22
22
1x
kxmL
xmx
Lp
22
22x
k
m
pLxpH
kxx
Hp
m
p
p
Hx
,
Vízszintes tengely egy elhanyagolható tömegű rudat l1 és l2 hosszúságú részekre oszt. A rúd végére m1 és m2 tömeget ragasztunk. A rúd a vízszintes tengely körül függőlegesen, egyetlen síkban mozoghat. Írjuk fel a mozgásegyenletet és keressük meg az egyensúlyi helyzeteket. Melyik egyensúlyi helyzet stabil?
Általános koordináta: Kinetikus energia:
Potenciális energia:
Lagrange függvény:
Általános impulzus:
Hamilton függvény:
Mozgásegyenlet:
)(2
1 2222
2211 lmlmWk
cos)( 2211 lmlmgWp
pk WWL cos)( 2211 lmlmg )(2
1 2222
2211 lmlm
)( 222
211 lmlm
Lp
LpH cos)( 2211 lmlmg )(2 2
22211
2
lmlm
p
H
p )( 222
211 lmlm sin)( 2211 lmlmg
Egyensúly: const illetve0
Stabil egyensúly: Kis rezgések korlátosak
sin
sin0
korul
korul
.stabil0)(mha
,stabil00)(mHa
02211
01122
lml
lml
Általános koordináta:
Kinetikus és pot. energia:
Lagrange függvény:
Általános impulzus:
Hamilton függvény:
Mozgásegyenletek
Egy m tömegű pontszerű testet rugalmas gumiszálra akasztunk. A gumiszál hossza feszültségmentes állapotban l0, a rugóállandó k . Írjuk fel ennek az ingának a mozgásegyenleteit.
lhosszaingaazes
))((2
1 22 lmlmWk
φmlφ
Lplm
l
Lp
21 ,
LplpH 21
20
22 )(2
1cos))((
2
1llkφmglφlmlmL
20
22
21 )(
2
1cos)
22( llkφmgl
ml
p
m
p
20 )(cos φmlllkφmglm sin2 gll
20 )(
2
1cos llkφmglWp
.
,,
,
i
iii
i
iii p
qpHq
q
qpHp