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FAREMATEMATICAFAREMATEMATICA
RaffaellaManara
Insegnarematematicapereducare17gennaio2017
1. Che cos’è la matematica
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“Ilvalorechesiattribuisceaidiscenticomeesseriumanideterminailmodoincuicisiaspettacheessiimparino
lamatematica:conlibertàoppuredaschiavi,guidatioppureimbrigliati.”
H.Freudenthal
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Che cos’è la matematica?
Partiamodaquestaaffermazione:lamatematicaè
lastrutturazionelentaeprogressivadiunpensiero
riccodisignificato.
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La strutturazione
Laparolastrutturazione descriveunprocessodisviluppochehainizioconlaposadifondamenti,chesosterrannoun“edificio”,
econtinuainunaorganizzazionegradualeeordinata,incuiognitrattosiappoggiaalprecedenteepreparailsuccessivo.
Nonalludeadunaprocedurameccanica,piuttostooffreunametaforadel dinamismodicrescitachedistinguelapersonaumana,cheèperilbambinounveroeproprio“lavoro”.
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di un pensiero
Nonbastacheattraversolamatematicabambiniegiovaniabbianosolobuonaesicuradisponibilitàdinozioniestrumenti,indiscutibilmenteoggiindispensabili.
Occorrecheinquestadisciplina,comeperognunadellealtrechelascuolaoffre,sitengadimiralacrescitadellapersonanellasuaintegrità,comeesperienza,parola,azione,cuoreeragione.
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ricco di significato
Laparolasignificatoèlachiavedelvaloredelpensieromatematico,enellostessotempoiltastodolentedelladiffusainefficaciadell’insegnamentoscolastico.
Iconcettimatematicinonsonoinvenzioni,convenzioni,meccanismiformali,bensìilfruttodiunaprofondarielaborazionedell’esperienza dellapersona.Sequestolivelloèdebole,risultadebolel’apprendimento,checorrispondepiùaunapprendimentomeccanicocheall’apprendimentosignificativo(Ausubel).
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lenta
Sipossonoscandiretappesignificative,maoccorreanzituttolapazienza,perchéitempidell’apprendimentopossonoesseremoltodiversidaindividuoaindividuo.
Inquestosensolascuolaprimariaconlesuetappepuòordinareeincanalareillavoro,maancheostacolare,presentandodelle“gabbie”nell’itinerariodicomprensioneeacquisizione.
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progressiva
L’acquisizioneconcettualerispettoallamatematicanonavvienepersempliceaccumulo,nonprogredisceinmodolineare,mapiuttostoaspirale,in uncontinuoapprofondimento econtemporaneoallargamento deiconcetti,edellorolegameconl’esperienzadellarealtà.
ComediceFreudenthal,avvienespessopersalti.
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2. Un lungo cammino di formazione:
il primo tratto
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Il primo tratto del cammino
Peribambiniconoscere èunbisognoirrinunciabile.
Findallanascita,ibambinivogliono imparare,evoglionoimpararetutto esubito.
Esplorare,osservare,imitare,rifletteresonoazioniconoscitivecheibambiniesercitanospontaneamente,mafavorirleepotenziarledipendedall’atteggiamentoedall’azionedegliadultichelihannoincura.
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Si prepara la matematica
Inparticolare,c’è“unameravigliosasintoniatrailpensieroinfantileelamatematica”,eriscontriamofacilmentequanto
“lamatematicaincontrilacapacitàdipenetrazionedellamenteinfantileeilsuosguardolimpidosullecose.”
A.Millan Gasca,Numerieforme
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3. La formazione dei concetti nel bambino e
come si prepara la matematica
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Cenni alla formazione del pensiero
Laformazionediunconcetto nonpresupponeunasempliceunificazione:performarloènecessarioastrarre,sceglierecertielementi,considerandolicomeseparatidallatotalitàdell'esperienzaconcretanellaqualesonoincorporati.
Performareunconcetto,separare eunire sonooperazioniugualmenteimportanti,lasintesi ècombinataconl’analisi.
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Pensiero e linguaggio
Unconcetto veroeproprioemergesoloquandolecaratteristicheastrattesonosintetizzatedinuovo,elasintesiastrattachenerisultadiventalostrumentoprincipaledelpensiero.
Ilruolodecisivoinquestopassaggioèsvoltodallaparola,usatadeliberatamenteperdirigeretuttiiprocessiparzialicheportanoaglistadipiùavanzatidiformazionedeiconcetti.
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I concetti matematici
Nonostantecisianolivelliincuil’acquisizioneavvieneinmodospontaneo,findallaprimainfanzia,iconcettispontanei equelliscientifici(matematici)differisconoperquantoriguardailororapporticonl’esperienzadelbambinoel’atteggiamentodelbambinoversoilorooggetti.C’èunagrandedifferenzatraiconcetticoncreti,comequellidi‘sedia’o‘cane’,equelliastratti,come‘numero’o‘angolo’.
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Formazione dei concetti matematici
A. Sfard“C’èqualcosadiveramentespecialeeuniconel
tipodipensieroimplicatonellacostruzionediununiversomatematico.
L'astrazionematematicadifferiscedaaltritipidiastrazione,nellasuanatura,nelmodoincuisisviluppaenellesuefunzioniedapplicazioni.
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Formazione dei concetti matematici
Adifferenzadeglioggettimateriali,icostruttimatematicisonototalmenteinaccessibiliainostrisensi,possonoesserevistisolocongliocchidellanostramente.
Anchequandodisegniamounafiguraoscriviamounnumero,ilsegnosullacartanonècheunatralemoltepossibilirappresentazionidiunaqualcheentitàastratta,cheinsénonpuòesserenévistanétoccata.”
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Dualità delle concezioni matematiche
SemprelaSfardmetteinluceunaspettomoltointeressante,anchedidatticamente.Unacaratteristicadeiconcettimatematiciècheinessisonointegrateduedistintemacomplementarimodalitàdielaborazione.Essimanifestanounadualitàdiconcezione,cheemergesiaalivelloverbale (neiterminionelledefinizioni),sianellerappresentazionisimboliche.
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Dualità delle concezioni matematicheSiriconoscono:vuna concezionestrutturale: consideriamogli oggettimatematicicomeentitàastratte,cheesistonoindipendentementedallamenteumana(peres.quandodiciamo:“labisettriceèilluogodeipuntidelpianoequidistantidailatidell’angolo”)vuna concezioneoperazionale:pensiamoglioggettimatematicicomeintrinsecamentecollegatiaiprocessioperativiconcuiliabbiamoconquistati(peres.,sediciamo“labisettriceèlasemirettachedividel’angoloinduepartiuguali”).
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“Ledescrizionistrutturalisembranoesserepiùastratte.Ineffetti,perparlarediunoggettomatematico,dobbiamosapertrattareilprodottodicertiprocessi,senzapreoccuparcideiprocessistessi. Perciòsembrachel’approcciostrutturaledovrebbeessereconsideratolostadiopiùavanzato dellosviluppodeiconcetti.
Cioèavremmobuoneragioniperaspettarcichenelprocessodiformazionediunconcetto,lavisioneoperazionaleprecedaquellastrutturale.”
A.Sfard
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Il metodo è l’esperienza
Selaconcezione“operazionale”precedelavisionestrutturale,èimportantecheogniragazzononsitrovidifronteacontenutigiàconfiguraticome“strutture”,ovveroformalizzatieregolatidaleggieregole,bensìabbiaoccasionedipoterripercorrereeffettivamenteepersonalmentelaparte“operazionale”icuipassiconduconoalconcetto.
Sitrattadipermetterecheognuno“facciaesperienza”
delconcetto.
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Esperienza è…Laparolaesperienzanonindicasoloun“fare”manuale,concreto,materiale,anchesepermettereditoccare,manipolare,maneggiareèqualcosadifondamentale,soprattuttoperibambini.
Laparolaesperienzaesprimeciòcherendesensata lanostraazione,chelaconnettealsuosignificatoelaindirizzaalsuoscopo.Potremmoconiareloslogan:
farepensandoepensarefacendo.Esperienzaèdunqueun“faregiudicato”,ilcresceredellaconsapevolezzaconoscitivaattraversol’esplicarsidiunaazioneragionevole:agireaccorgendosidicrescere.
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Natura del gioco
vAvvieneinunospazio diversodaquelloreale® spaziopotenziale
vSisvolgeinuntempoproprio,diversodaquelloreale
L’areadelgiocoèun’areaintermediatrarealtà(c’èunpalcoscenicoreale)eilregnodelpensiero(mondointeriore),un’areadacuisipuòentrareeuscireliberamente.
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Caratteristiche del giocare
Chesiaungioco solitariooppureungiococondiviso,ilgioco
vèazionedotata di sensovèunatto liberoecreativovimplica fiduciavgenera comunicazione,inparticolarelinguistica.
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La funzione cognitiva del gioco
vÈluogodiesplorazione dellarealtàvÈoccasionedielaborazionedell’esperienzaversounpensierocoscienteeconsapevole
Le modalitàprincipaliditaleelaborazionesonov → immedesimazionev →ripetizionev →rappresentazione
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4. Quali contenuti
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Quali contenuti si “preparano”
Ilsensodelnumero
C’èunapredisposizioneinnatanellamenteumana,legataallapercezionedegliinsiemidiscretidi oggetti,perleacquisizionidellequantitànumericheedell’ideadicardinalità diuninsieme.
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Abilità numeriche considerate innate
v Subitizing:individuazionevisivadellanumerositàdipiccolequantitàdioggetti,generalmentefinoa4
vStima:valutazionevisiva(approssimata)diquantitàfuoridellimitedelsubitizing,senzaoperareilconteggio
vAcuitànumerica:discriminarevisivamentetradueinsiemididiversanumerositàsenzailconteggio
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L’intimità con i numeri
“Esistonoinmatematicamoltitipidinumeri,diaddizioniedimoltiplicazioni,einfisicamoltitipidimisure.
Tuttiaffondanolelororadiciesisviluppanosulterrenodellaconoscenzadei numerinaturaliedellelorooperazionielementari,laqualedevediventareunasecondanatura.”
(L.Lafforgue)
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Il concetto di numeroPerchéilbambinopassidal“senso”delnumeroaformareilconcettoveroeproprio,devonosaldarsiquestitreelementi:
• Ilnome (conoscenzaeusodelleparole-numero)• Laquantità acuicorrisponde• Ilsegnografico chelarappresenta(pernoi,lecifre)
® Triplocodicenellacognizionenumerica
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Il concetto di numero
vAspettocardinale: ciòchepossiamoastrarredall’esperienzadiinsiemichesonoequipotenti,cioèchesipossonomettereincorrispondenzabiunivoca.
vAspettoordinale: associamoilnumeroalpostocheglioggettihannoinunasequenzaordinata (rispettoallaposizionespazialeoppureallasuccessionetemporale)®conteggio
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Significati e funzioni dei numeri naturali
vNumeripercontarevNumeriperdescriverelacardinalitàdegliinsiemi(cardinali)
vNumeriperdescriverelamisura diunagrandezzarispettoadunaunità
vNumeriperindicareilpostooccupatoinuncertoordinamento(ordinali)
vNumericomeelementidiuncodice
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Contare èpassareinrassegnaglioggettidiuninsieme,facendocorrispondereaciascunodiessiglielementidiuninsiemecampione,inmodocheaognioggettodell’insiemecorrispondaunoeunsolo oggettodell’insiemecampioneeviceversa.
Ilcontaresisvolgeneltempo esiservedelritmo,perciòèun’azionestrettamenteconnessaa
®lafunzionedeigesti(peres.,usodellemani)® la cognizionetemporale
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Le abilità del conteggio e le azioni preparatorie
vLaconoscenzadelleparole-numeroinordinestabile
vLacorrispondenzabiunivocavLaconservazionedellaquantitàServeallora:vRaggruppare,classificarevCostruirecorrispondenzevRiconoscereilnumerodielementidiinsiemivarivOrdinareoggettisecondocriteriprestabiliti
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vRecitarelafilastroccadeinumeri,coordinandolacongestiappropriatidiconteggio,ericonoscerechel’ultimaparola-numeropronunciatarappresentalanumerositàdi(piccole)collezionidioggetti
vAnnotareinmodivariprogredendonelconteggiovRicostruirel’ordinetemporaledieventi,usandogliaggettiviordinali
vRiconoscere,progettareedescriveresemplicisequenzeritmiche(colori,forme,suoni,movimenti)
vSvolgereattivitàdimisura,utilizzandounitàlibereostrumenticomuni
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Gli errori nel conteggio vIncertezzasulleparolenumeralivIncertezzasulpuntodiiniziovNonaverchiarochel’ultimaparolaèilrisultatodelconteggio
vErrorinell’etichettamento(sovra-conteggioesotto-conteggio,utilizzodisequenze-numeroerrate)
vErrorinelcoordinamentoritmicotragestoeetichettamento(omissionedioggettiodoppioconteggio)
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La geometria
“…ha comeoggettol’esplorazionediconcettiastrattichehannolalororadicenell’esperienza,nellapercezionedellaforma edell’estensione,nelmovimentoenelrapportoattivoconisolidi,conlamisuraeconlaposizione cheècaratteristicodell’operareumanonelmondo.
L’esperienzaprimordialedelcontinuogeometrico è,insiemealcontare,alcentrodelrapportotralamenteumanaelarealtà.”
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“L’intuizionedelcontinuo(dell’infinitàspaziale)insiemeall’intuizionedeinumeri(dell’aggiungereillimitatamente)sonoaspettidistinticheformanoassiemelabasedelpensieromatematico,uniniziocheritornasemprequandosientranelmondodellamatematica.
Ilpensierocoscientedelbambinochecresce,lasuapercezioneelasuaconoscenzadelmondofisicosisviluppanoentrolacornicedellacontinuitàgeometrica,cheèdistintadall’intuizionedelnumero,puravendountrattofondamentaleincomune:l’ideadiinfinito.”
G.Israel,A.Gasca Pensareinmatematica
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Quali contenuti
Ilsensodellospazio
vIl comportamento spaziale indical’insiemedelleattivitàedesperienzesensomotoriedellapersonanell’ambiente(manipolazione,locomozione,costituzionedelloschemacorporeo,riconoscimentodelleformeedellerelazioni,…)
vLa rappresentazione spaziale(internaedesterna)èlaricostruzionedell’esperienzaspaziale,esplicitatainunsistemasimbolico(linguaggio,disegno,gesto…)
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5. Cosa serve per la scuola v Curiositàeapertura:michiedoiperchédi…vOsservazione attentadiciòchemicircondavUsodellalingua (hointeresseperleparole,voglio
comprendereitermininuovichesento,inventoterminiche“contengono”ilsignificatochevoglioesprimere,…sonodisponibileaverbalizzareedialogareleesperienzechecondividoconaltri,…)
v Iniziodiusospontaneodisegnialpostodiparoleodioggetti,esforzodicomprendereilcontenutodimessaggisimbolici(codificaedecodificadisignificati)
v Comprensionediprocedimenti(azionementaleeintenzionale)ediregole (particolarmenteneigiochi)
v Disponibilità amettersiallaprova,amisurarsiconcompitivarienuovi
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