ベクトルの外積

第４回

S

ba

ベクトルの外積

の長さは、平行四辺形の面積ba

S に等しい

b

a

y

Z

Ｘ

a

向きは、平行四辺形の面に垂直で から へねじを回したときねじの進む方向である

b

ba

平面の法線ベクトル

の長さは、平行四辺形の面積ba

S に等しい

S

ba

b

a

baS

ba,

が作る平行四辺形を含む面に

垂直で、長さが１のベクトルを法線ベクトルといい、

ba

ba

S

ban

n

２つのベクトルの外積

sinbaba

ba

からは平行四辺形の面積だ

の外積とba

a

b

sina

とするとき、

ba

, のなす角を 0

方向は 紙面の手前から奥に向かう方向

平行なベクトルまたはゼロベクトルとの外積

sinbaba

•平行→ →0sin 0

,0sin

ba

baba

•どちらかが0

,00sin0,0

ba

bbaa0

→

特に 0,00sin

aaaaaa

外積の基本性質

bababaIII

acabacb

cabacbaII

abbaI

.

.

.

反可換

基本ベクトルの外積

について321,, eee

基本ベクトル

0

,,

332211

213132321

eeeeee

eeeeeeeee

1 2

3

外積の成分表示

333323231313

323222221212

313121211111

332211332211

332211

332211

eebaeebaeeba

eebaeebaeeba

eebaeebaeeba

ebebebeaeaeaba

ebebebb

eaeaeaa

の外積

3

2

1

3

2

1

,

b

b

b

b

a

a

a

a

＝０

外積の成分表示つづき

1 2

3

231123312

213132321

,,

,,

eeeeeeeee

eeeeeeeee

23231313

32321212

31312121

eebaeeba

eebaeeba

eebaeeba

123322311331221

ebabaebabaebaba

１２３１２３１２３１２３１２３１２３１２３…

外積の成分表示つづき

123322311331221

ebabaebabaebaba

312212311312332

ebabaebabaebaba

1

0

0

0

1

0

0

0

1

122131132332babababababa

1221

3113

2332

baba

baba

baba

覚え方

あとでやる行列式の形で覚えるのが楽でしょう

321

321

321

bbb

aaa

eee

ba

＋

－

黄色線上の成分を掛けて符号＋をつけ橙色線上の成分を掛けて符号－をつけ全部を加える

213123123

123132321

eabebaabe

abebaebae

（１）

（１） （２）

（２）

（３）

（３）

（４）

（４）

（５）

（５）

（６）

（６）

31221

2131312332

eabba

eabbaebaba

行列式２ｘ２

bcaddc

ba

3

21

21

2

13

13

1

32

32

321

321

321

ebb

aae

bb

aae

bb

aa

bbb

aaa

eee

ba

外積の計算１

321

1

0

0

0011

0100

1000

0

1

0

0

0

1

eee

3213321

321

21000100

010

001 eeeeeee

eee

ee

外積の計算１

の外積

2

4

1

,

5

3

2

3

2

1

3

2

1

b

b

b

b

a

a

a

a

31221

2131312332

eabba

eabbaebababa

3

21

21

2

13

13

1

32

32e

bb

aae

bb

aae

bb

aa

3213215926

41

32

12

25

24

53eeeeee

5

9

26

２つのベクトルの交角

ある座標系で空間のベクトル

3

2

1

3

2

1

,

b

b

b

b

a

a

a

a

に対しても、

1221

3113

2332

baba

baba

baba

ba

そして、ba

baba

sin0,0

特に、 0 のとき、 ba

, は平行といい ba

// と表す

ba

ba

1sin

外積を用いた計算例

平行四辺形の面積 sinbabaS

a

b

sinb

a

222

babaS

の面積を求めよ問 OABbOBaOA

0

4

0

,

0

0

3

1,

1

0

0

,

0

1

1

,

0

0

1

1221

3113

2332

ba

baba

baba

baba

baba

外積を用いた計算例

平行六面体の体積

cosch

cbacbabacV

三重積

グラスマンの記号

,productbox

Sb

a

c

ba

hSV

coscba

cba

bac

bacc

三重積についての性質

cbacba

a

b

c

acbbaccba

cbabac

acbcba

内積の可換性（対称性）

cbacba

を示せばよい

cbaacbacb

の証明cbacba

312212311312332

ebabaebabaebababa

332211ecececc

312212311312332

cbabacbabacbabacba

312212311312332

acbcbacbcbacbcbacb

cba

312212311312332

cbabacbabacbaba

実は

312212311312332

ebabaebabaebababa

332211ecececc

312212311312332

cbabacbabacbabacba

321

321

321

bbb

aaa

ccc

321

321

321

bbb

aaa

eee

ba

結局三重積の性質は

acbbaccba

a

b

c

321

321

321

321

321

321

321

321

321

aaa

ccc

bbb

bbb

aaa

ccc

ccc

bbb

aaa

1行目に

行1 行2

行3

サイクリックに入れ替えないと符号が変わる

cabbcaabccba

0,0

aaetccaa

問題

とする

2

1

0

,

3

2

1

,

0

1

1

cba

求めよる平行四辺形の面積をと平行な線分で作られba

, 2.

を求めよba

1.

を求めよcba

3.

面体の体積を求めよで作られる原点と 4,, 4. cba

外積計算に便利な記号

３階完全反対称テンソル

)(0

)3,2,1,,(1

)3,2,1,,(1

の場合上記以外。例えば

ではないの

の

ji

cyclicikkjji

cyclicikkjji

kji

0

1

1

111331122113

213132321

231312123

外積計算に便利な記号

３階完全反対称テンソルを使うと

kjkji

kjkjkji

j kkjkjii

babababa

3

1,

3

1

3

1

和の記号の省略

省略した場合は2回同じ添え字が出てきたら、その添え字について和をとる約束とする

外積計算に便利な記号

232313232111

babababakjkj

1,1231321

23321

bababa

などに注意,0,0221311

同様に

3113312131313222

babababababakjkj

1221123212131233

babababababakjkj

３つのベクトルの外積 cba

mljmlkkjimlmlkjkji

kjkjii

cbacba

cbacba

ljmimjlimlkjikmlkkji を使うとここで、公式

iiijjjij

mljljmimljmjli

mljljmimjli

mljmlkkjii

cbabaccbacba

cbacba

cba

cbacba

３つのベクトルの外積 cba

iii

cbabaccba

cbabaccba

を計算しなさいcba

.1

を計算しなさいdcba

.2

問題