Finančné časové rady – modely ARCH a GARCH.

Modely , s ktorými sme sa doteraz zaoberali boli svojou podstatou lineárne, alebo ich bolo možné linearizovať jednoduchou transformáciou (logaritmickou). Mnoho vzťahov, predovšetkým vo finančnej ekonometrii je však nelineárne svojou povahou napr. závislosť opčnej prémie na príslušných vstupoch, vzťah výnosu a rizika... Špeciálne modely časových radov vychádzajúce z Box – Jenkinsovej metodológie nie sú schopné zohľadniť niektoré typické vlastnosti finančných časových rodov ako napr.:

• leptokurtické rozdelenia, sú rozdelenia viac špicatejšie okolo stredu, pričom na koncoch je ich hustota väčšia a v ramenách menšia „užší pás tučné konce“(fat tails)“,

• zhlukovanie rozptylu (volatility clustering), jedná sa o tendencie finančných časových radov k zhlukovaniu vysokých a nízkych volatilít, resp. veľké a malé výkyvy (výbuchy – burts)

Volatilita označuje mieru kolísania hodnoty aktíva alebo jeho výnosovej miery (obvykle ako smerodajnú odchýlku týchto zmien v priebehu určitého časového úseku). Volatilita vyjadruje mieru rizika investície do určitého aktíva, obvykle sa prepočítava na ročnú volatilitu a môže sa udávať buď v absolútnych hodnotách či relatívne. U finančných inštrumentov rastie volatilita s odmocninou časového úseku, na ktorom je meraná.

Historická volatilita označuje hodnotu volatility vypočítanú na základe historických dát (ex-post). Implikovaná volatilita označuje trhom očakávanú volatilitu do budúcna (ex-ante). Od implikovanej volatility sa odvíja trhová ceny opcie.Všeobecne je tento pojem používaný tiež pre vyjadrenie nestálosti či zmeny. DefiníciaRočná volatilita σ je smerodajná odchýlka σ logaritmov výnosov aktíva v priebehu 1 roku.Všeobecná volatilita σT pre časový úsek T v rokoch je vyjadrená ako:.

• pákový efekt (laverage effect), tento jav súvisí s kolísaním volatility v čase, s čím sa lineárne modely nevedia uspokojivo vyrovnať, konkrétne sa jedná o tendenciu volatility zväčšiť sa viac po cenovom poklese ako po cenovom náraste rovnakej veľkosti.

T T

Klasifikácia nelineárnych modelov časových radov

Pokiaľ sa obmedzíme na rýdzo stochastické (purely stochastic) modely časových radov (tj. Bez deterministických trendov a periodicít), potom za všeobecný zápis nelineárneho modelu je možné použiť:

1 2, , ,... ,t t t ty f u u u 1.

Kde f je nelineárna funkcia nekorelovaných, rovnako rozdelených náhodných veličín s nulovou strednou hodnotou označovanou podľa kontextu ako chyby predpovedí, odchýlky od podmienenej strednej hodnoty, šoky, inovácie a pod... Nelineárny proces vo všeobecnom tvare (1.) však nie je priamo aplikovateľný, preto lebo obsahuje neobmedzený počet parametrov. Preto sa v literatúre dáva prednosť špecifickejšiemu tvaru zapísanému pomocou podmienených momentov prvých dvoch rádov. Veď už stacionárny proces AR(1) je možné zapísať pomocou podmienenej strednej hodnoty:

𝑢𝑡

1 1 1t t tE y y y 2.

Všeobecne je možné v čase t podmieňovať všetku informáciu známu do času t – 1. Pre názornosť si môžeme predstaviť, že túto minulú informáciu generujú všetky minulé hodnoty a vhodné funkcie týchto hodnôt (všeobecne sa takýto priestor označuje ako algebra generovaná uvedenou množinou hodnôt).

𝛺𝑡 −1

1 2 1 2, ,... , ,...t t t ty y a u u

Vzhľadom k obmedzeniu na prvé dva momenty sa pracuje s podmienenou strednou hodnotou µ , a podmieneným rozptylom v tvare nelineárnych funkcií s informáciou 2

t

21 1 1 1, vart t t t t t t t tE y g h y h 3.

kde g a h sú vhodné funkcie. Zodpovedajúci všeobecný zápis nelineárneho procesu ktorý sa vo finančnej ekonometrii používa má tvar:

1 1. . .t t t t t t t t t ty h g h 4.

Kde sú náhodné veličiny s nulovou strednou hodnotou a jednotkovým rozptylom. Je zrejmé, že platí:

5.Náhodné veličiny sú síce nekorelované, ale na rozdiel od nie sú nezávislé.

Uvažovaný model (3.) je teda určený dvomi rovnicami: prvá je tzv. rovnica strednej hodnoty (mean equation), a druhá je rovnica volatility (volatility equation). Podľa typu týchto rovníc sa nelineárne procesy klasifikujú ako:• Nelineárne v strednej hodnote (nonlinear in mean) majú nelineárnu funkciu g,• Nelineárne v rozptyle (nonlinear in variance) majú nelineárnu funkciu h, veľmi často sa

označujú ako procesy s podmienenou heteroskedasticitou (conditional heteroskedasticity).

Obe kategórie sa kombinujú a členia na veľké množstvo špecifických procesov, napr. lineárne modely BOX – Jenkinsovej metodológie sú špeciálnym prípadom s lineárnou funkciou g a h.

Modelovanie volatility.Historická volatilita a modely EWMA

Jedná sa o najstarší prístup k volatilite, ktorá sa pôvodne odhadovala väčšinou ako výberový rozptyl alebo smerodajná odchýlka cez určité historické obdobie (preto historická volatilita) tj.:

2

2 1 1

ˆˆ ˆ kde

1

t t

t tt k t k

t t

y y

k k

6.

Pragmatickým rozšírením predchádzajúceho prístupu sú modely EWMA (exponentially weigted moving average). Najpoužívanejší EWMA - model volatility predstavuje analógiu jednoduchého exponenciálneho vyrovnávania pre volatilitu. Na rozdiel od výpočtu historickej volatility sa tu „váži“ tým spôsobom, že váhy klesajú exponenciálne do minulosti. To má v porovnaní s historickou volatilitou rad praktických výhod:

• V praxi býva volatilita skutočne viac ovplyvňovaná aktuálnymi pozorovaniami, ktoré sú v EWMA modeloch zdôraznené väčšími váhami, ako pozorovania z minulosti s nižšími váhami,

• V EWMA modeloch sa samovoľne redukuje problém odľahlých pozorovaní s abnormálnou veľkosťou, kedy vplyv takých pozorovaní pretrváva v nezmenenej intenzite dlhšiu dobu aj keď sa finančný trh už dávno ukľudnil.

V priamej analógii na modely exponenciálneho vyrovnania sa volatilita pri prístupe EWMA odhaduje ako:

2 22 21

0

ˆ ˆ1 1jt t j t j t

j

y y y y

7.

Kde odhadnutá volatilita je zároveň predpoveďou budúcej volatility v čase t, je priemerná úroveň daného časového radu a ( je vopred známa diskontná konštanta.

Prielomom smerujúcim k systematickému modelovaniu volatality bolo použitie modelov ARCH – autoregresnej podmienenej heteroskedasticity (autoregressive conditional heteroscedasticity) aplikovaný Engelom (1982) na modelovanie inflácie v UK.

Modely tohto typu a predovšetkým ich zovšeobecnenie na modely GARCH - zovšeobecnenej autoregresnej podmienenej heteroskedasticity (generalized autoregressive conditional heteroscedasticity) , ktoré dnes predstavujú asi najúplnejší nástroj pre modelovanie finančných časových radov, ktorý nebol doteraz prekonaný.

�̂� 𝑡2

𝜆

Vychádza z dvoch predpokladov:• Modely finančných časových radov sú heteroskedastické, tj. s volatilitou meniacou sa v

čase ,• Volatilita je jednoduchou kvadratickou funkciou minulých chýb predpovedí (odchýliek od

podmienenej strednej hodnoty) .

Vysvetlenie vyžaduje len druhý predpoklad (prvý je dostatočne podporený finančnou empíriou). Vzhľadom k fenoménu zhlukovania volatility, kedy väčšie (resp. menšie) výkyvy v danom finančnom rade je možné očakávať skôr po väčších (resp. menších) výkyvoch je možné považovať volatility za pozitívne autokorelované, a ako najjednoduchší pre jeho modelovanie zvoliť autoregresný model. Na viac je , takže podľa (3.) pre platí: 2

t

2 2 21 1vart t t t t tu E u e 8.

Tým pádom pre finančné časové rady sa stáva realistickým vzťah pre vhodne zvolené :2 2 2

0 1 1 ...t t m t t mu u 9.

ktorý predstavuje volatilitu ako jednoduchú kvadratickú funkciu oneskorených hodnôt . Za povšimnutie stojí, že vzťah 9. je bez náhodnej zložky ide o nestochastickú závislosť.

Na základe predchádzajúcich úvah je možné prikročiť k všeobecnému zápisu nelineárneho modelu 4. a formulovať model ARCH(m) rádu m v tvare:

2 2 20 1 1 u . ...t t t t t t t t m t t my u u u 10.

kde sú náhodné poruchy s nulovou strednou hodnotou a jednotkovým rozptylom, často sa predpokladá N(0,1). Podmienená stredná hodnota je modelovaná pomocou vhodne zvolenej rovnice, často lineárnej, niekedy zredukovanú na aditívnu konštantu (intercept), inokedy volíme ARMA proces...Maticovým rozšírením model 10.

20 1 1 u . ( ,..., ) ( ,..., ) ,Tt t t t t t t t t m t t my u u u u u A 11.

Kde sa okrem požaduje aby matica A bola pozitívne semidefinítna (matica je diagonálna s nezápornými diagonálnymi prvkami.

Identifikácia rádu modelu ARCH.

Rád m je možné identifikovať ako bod odseknutia odhadutého parciálneho korelogramu v modeli:

12.2 2 20 1 1 ...t t m t t m te e e u

kde je klasický „biely šum“ , (tj. rovnakým spôsobom ako pre klasický AR model v rámci Box - Jenkinsovej metodológie. Pri príliš veľkom ráde m Engle (1982) používať namiesto 9. úsporný model s m = 4, ale len s dvoma parametrami

2 2 2 2 20 1 1 2 3 4(0,4. 0,3. 0,2. 0,1. )t t t t te e e e 13.

Odhady modelov ARCH(m) je najčastejšie vykonávaný pomocou ML – odhadov.Z odhadnutého modelu je možné okrem iného získať:• Vypočítané odchýlky (chyba jednokrokovej predpovede pre čas t• Vypočítané volatility • Vypočítané štandardné reziduálne odchýlky

• V rámci diagnostiky modelu sa najčastejšie aplikujú nasledujúce procedúry na vypočítané štandardné odchýlky 14.:

ˆˆt

tt

ee

14.

• Verifikácia odhadnutej rovnice strednej hodnoty pomocou Q – testy , Ljung – Boxovej štatistiky,

• Verifikácia odhadnutej rovnice volatility Q – testy,• Verifikácia odhadnutej rovnice volatility LM test,• Normalita podmieneného ARCH modelu, test Bera – Jarque• Výpočet predpovedí volatility.

GARCH modely.Modely ARCH(m) majú niektoré nedostatky a to:• vyžadujú často vysoký rád m, aby adekvátne popísal vývoj volatility daného časového

radu,• s tým súvisí nutnosť odhadu veľkého počtu parametrov, kedy na viac môže dôjsť u

niektorého parametra k porušeniu podmienky nezápornosti,• je síce zohľadnené zhlukovanie volatitity finančných údajov, ale už nie pákový efekt, či

asymetria, kedy kladné a záporné odchýlky môžu mať odlišný vplyv na volatilitu.

Tieto nedostatky odstraňuje model GARCH (zovšeobecnený ARCH, generalized ARCH). V tomto modeli, ktorý navrhol BOLLERSLEV (1986), a v jeho rôznych modifikáciách môže volatilita závisieť tiež na svojich historických (oneskorených) hodnotách . Najmä model GARCH(1,1), ktorý je najjednoduchším predstaviteľom tejto triedy modelov, je dnes jedným z najpoužívanejších modelov finančných časových radov, lebo je schopný pomocou troch parametrov zvládnuť všeobecné štruktúry volatility (modely GARCH vyšších rádov sa v praktickej ekonometrii využívajú len sporadicky).Model GARCH(m, s) má tvar:

2 2 20

1 1

, u . , . .m s

t t t t t t i t i j t ji j

y u u

15.

kde náhodné poruchy s nulovou strednou hodnotou a jednotkovým rozptylom (opäť sa často predpokladá, že majú normálne alebo t – rozdelenie), parametre modelu spĺňajú nasledovné podmienky:

max ,

01

0, 0, 0, 1m s

i j i ii

16.

Ak v rovnici 15. nahradíme 2 2 , potomt t tv u

má vlastnosti bieleho šumu a platí:

max ,

2 20

1 1

.m s s

t i j t i t j t ji j

u u v v

17.

Rovnicu volatility GARCH modelu je možné považovať za model ARMA pre časový rad štvorcových odchýlok . Model GARCH (1,1) má jednoduchý tvar:

2 2 20 1 1 1 1, u . , . .t t t t t t t ty u u

s podmienkami0 1 1 1 10, , 0, 1

18.

Rôzne modifikácie modelov typu GARCH

Analýza nelineárnych časových radov je rýchlo sa rozvíjajúce odvetvie, kde každým rokom pribúdajú desiatky nových modelov, kedy sa užívateľ začína strácať (niektorí odborníci hovoria o „deprimujúcej ponuke modelových nástrojov“).

Niektoré modely:Model ARMA-GARCHEGARCH – Exponentially GARCH,TGARCH – Threshold GARCH (GJR),PGARCH – Power GARCH,FIGARCH, FIEGARCH – frakčný integrovanýIGARCH, resp. EGARCH,GJR GARCH - prahový GARCH....

Výstavba modelov GARCHObvyklý postup pri výstavbe GARCH modelov by sa dal zhrnúť do nasledujúcich krokov:

1. vhodným ARMA modelom sa z daného časového radu odstránia prípadné lineárne závislosti a ďalej sa pracuje s rezíduami tohto modelu; 2. otestuje sa, či je v časovom rade rezíduí prítomná podmienená heteroskedasticita; 3. pokiaľ áno, určí sa rád modelu GARCH; 4. metódou maximálnej vierohodnosti sa potom odhadnú parametre tohto modelu, resp. i celého modelu ARMA-GARCH; 5. overí sa vhodnosť zvoleného modelu.

Testovanie podmienenej heteroskedasticity Pre testovanie prítomnosti podmienenej heteroskedasticity v časovom rade rezíduí {t} je možné použiť niekoľko metód, uveďme tu tri z nich: Ljung - Boxov Q- test, ARCH-LM test a GARCH-LM test. Ljung - Boxov Q - test Ljung - Boxov test je testom nulovéj hypotézy

pro i = 1,... , k oproti alternatívnej hypotéze

2

1

( 2)k

i

i

Q k t tt i

Kde autokorelačný koeficient radu i pre náhodné poruchy . Štatistika Q(k) má (k) rozdelenie. Ak je hodnota tejto štatistiky vyššia ako kritická hodnota (k), zamietame nulovú hypotézu v prospech alternatívnej.

2tu

19.

ARCH – LM test

Tento test je založený na princípe Lagrangeových multiplikátoroch navrhnutý Englom , kedy pre zostrojíme lineárny regresný model, kde ako vysvetľujúce premenné vystupuje q oneskorených hodnôt

2 2 21 2, ,...,t t t qu u u

Odhadneme parametre modelu a vypočítame koeficient determinácie

2 20

1

.q

t i t i ti

u u

Nulová hypotéza je definovaná

0 : 0, pre i=1,...,qiH

Testovacia štatistika LM = T . má asymptoticky s q stupňami voľnosti, pri platnosti nulovej hypotézy by bol podmienený rozptyl bol konštantný.

20.

GARCH – LM test

Tento test je navrhnutý Bollerslevom , kedy testujeme nulovú hypotézu

Najskôr odhadneme model ARCH (q) a vypočítame jeho rezíduá a odhady podmieneného rozptylu. Potom pre štandardizované rezíduá odhadneme model

22

021

1 .q

ti t i t

it

u u

Nulová hypotéza je definovaná

0 : 0, pre i=1,...,qiH

Testovacia štatistika LM = T . má asymptoticky s q stupňami voľnosti. Zamietnutie nulovej hypotézy znamená namiesto modelu ARCH(q) je vhodnejšie použiť model GARCH(p,q).

0 1: ( ) oproti H : ~ ( , ) p>0t tH u ARCH g u GARCH p q

21.