1. Izraz za brzinu i ubrzanje u cilindricnom sistemu. 2

2. Izvesti izraze za tangencijalno i normalno ubrzanje tacke koja se krece po krivoliniskoj trajektoriji ako su poznati vektori brzine i ubrzanja. 2

3. Centralna sila kada je poznata jednacina trajektorije. 2

4. Koriolisova sila. 3

5. Njutnovi zakoni. 3

6. Kosi hitac. 3

7. Teorema o promeni kolicine kretanja MT i sistema MT. 3

8. Zakon o ocuvanju kolicine kretanja MT i sistema MT. 4

9. Jednacina Mescerskog i formula Ciolkovskog. 4

10. Nalazenje polozaja centra mase sistema materijalnih tacaka. 4

11. Moment inercije stapa, kruznog prstena, valjka, lopte i ploce. 4

12. Stajnerova teorema. 5

13. Teorema o promeni momenta kolicine kretanja sistema materijalnih tacaka. 5

14. Zakon o ocuvanju momenta kolicine kretanja sistema materijalne tacke. 5

15. Kineticka energija i rad i snaga kod obrtnog kretanja. 5

16. Teorema o promeni kineticke energije MT i sistema MT. 6

17. Zakon o ocuvanju mehanicke energije sistema. 6

18. Izvesti izraz za rad gravitacione sile u gravitacionom polju. 6

19. Izvesti izraz za potencijalnu energiju tela mase m koje se nalazi na visini H iznad Zemlje poluprecnika R za referentni nivo koji se nalazi u centru zemlje. Poznata je vrednost gravitacione konstante na povrsini Zemlje g. 6

20. Odrediti potencijalnu energiju MT mase m u gravitacionom polju zemlje za: a) r > Rz, b) r < Rz. Referentni nivo je u beskonacnosti. 6

21. Keplerovi zakoni i izvodjenje Njutnovih zakon gravitacije iz Keplerovih zakona. 6

22. Kosmicke brzine. 6

23. Bineova formula. 7

24. LHO 7

25. Prigusene oscilacije. Logaritamski dekrement i Q-faktor. 7

26. Amplituda i fazna karakteristika LHO koji je podvrgnut prostoperiodicnoj prinudi. 8

33. Zakon o odrzanju mehanicke energije kod hica u vis. 8

39. Jednacina treperenja zice. 8

40. Izvesti izraz za srednju snagu prostoperiodicnog transverzalnog talasa. 8

41. Izvesti izraz za brzinu prostiranja longitudialnih talasa. 8

42. Izvesti izraz za faznu brzinu prostiranja longitudialnih talasa. 8

43. Doplerov efekat kod zvuka. 8

44. Izvesti opstu jednacinu gasnog stanja. 9

45. Pritisak u idealnom gasu prema kinetickoj teoriji gasova. 9

50. Youngov eksperiment za odredjivanje talasne duzine monohromatske svetlosti. 9

57. Naci polozaj centra mase homogenog tankog poluobruca poluprecnika R. 9

58. Matematicko klatno duzine l nalazi se u liftu (npr. zakaceno za plafon lifta) Ako se lift krece vertikalno navise ubrzanjem ao, odrediti period oscilovanja klatna. Koliki je taj period ako lift ide nanize ubrzanjem istog intenziteta. 9

61. Do koje visine ce se popeti telo ispaljeno vertikalno uvis sa povrsi Zemlje pocetnom brzinom vo = √√√√gR/2, gde je g - jacina polja na povrsini Zemlje, a R - poluprecnik Zemlje. Zanemariti otpor sredine pri kretanju tela. 10

64. Izvesti izraz za brzinu, ubrzanje i poluprecnik krivine trajektorije kod prirodnog nacina opisivanja kretanja ako je pozanata promena lucne koordinate tacke u vremenu po krivoliniskoj trajektoriji. Izvesti izraze koji povezuju opisivnje kretanja u koordinatnom sistemu i prirodni nacin opisivanja kretanja. 10

65. Izraz za centripetalno ubrzanje i centripetalnu silu. 10

1. Izraz za brzinu i ubrzanje u cilindricnom sistemu.

x(t) = ρcosϕ, y(t) = ρsinϕ, z(t) = z(t), ρ = √(y2 + x2), tgϕ = y/x. r����ρe�ρ + ze�z. v������������������ρe�ρ+ze�z) = (dρ/dt) e�ρ + ρ de�ρ/dt + (dz/dt) e�z + z de�z/dt. (de�ρ/dt = (dϕ/dt) e�ϕ , z de�z/dt = 0). de�ρ/dt = ϕ� e�ϕ , de�ϕ/dt = -ϕ�de�ρ . v����ρ�e�ρ + ρϕ� e�ϕ + z�e�z = v�ρ + v�ϕ + v�z. v = √(vρ

2 + vϕ2 + vz

2). a������������������ρ�e�ρ + ρϕ� e�ϕ + z�e�z) = ρ¨ e�ρ + ρ�ϕ� e�ϕ + ρϕ¨ e�ϕ + ρϕ�(-ϕ�� e�ρ + z e�z ⇒ a����(ρ¨-ρϕ�2)e�ρ + (2ρ�ϕ����ρϕ¨ )e�ϕ + z e�z = a�ρ + a�ϕ + a�z. a = √(aρ

2 + aϕ2 + az

2).

2. Izvesti izraze za tangencijalno i normalno ubrzanje tacke koja se krece po krivoliniskoj trajektoriji ako su poznati vektori brzine i ubrzanja.

a����te�t + ane�n (v�� (v������t) a���t = atv e�te�t + anv e�ne�t. a�����tv ⇒ at = a��� � { at = (x�x¨ + y�y¨ + z�z¨)/√(x�2 + y�2 + z�2) } a����te�t + ane�n (x v����������t) a��������tv e�t x e�t + anv e�n x e�t. (e�n x e�t = 1). |a����� ���nv ⇒ an=|a��� �� { an = √[(y�z¨ - y¨z�)2 + (x z� - x�z¨)2 + (x�y¨ - x¨y�)2]/√(x�2 + y�2 + z�2) }

3. Centralna sila kada je poznata jednacina trajektorije.

Dekartove koordinate: x(t) = f1(t), y(t) = f2(t), z(t) = f3(t) ⇒ projekcija sile koja deluje na telo: Fx = max =md2x/dt2 =md2f1(t)/dt, Fy = may =md2y/dt2 =md2f2(t)/dt, Fz = maz =md2z/dt2 =md2f3(t)/dt. Vektor sile je: F� = Fxe�x + Fye�y + Fze�z, a intenzitet: F = ���x

2 + Fy2 + Fz

2).

g (koje

tanju). a , koji

4. Koriolisova sila. Koriolisova teorema: Apsolutno ubrzanje cestice jednako je geometriskoj sumi triju ubrzanja: relativnoubrzanja (koje karakterise brzinu promene relativne brzine za relativno kretanje), prenosnog ubrzanjakarakterise brzinu promene prenosne brzine pri prenosnom kretanju) i Koriolisovog ubrzanja a�c = 2(w� x v�r) (karakterise brzinu promene relativne brzine u prenosnom kretanju i prenosne brzine u relativnom kreNeka se cestica M mase m krece pod dejstvom sila: F�1, F�2, ..., F�k,..., koje su posledica interakcije sa drugimtelima. Takve sile se mogu nazvati "pravim" silama. Posmatrajmo kretanje koordinatnog sistema Oxyzse krece na nekakav poznat nacin prema setu fiksnih osa koordinatnog sistema O1x1y1z1. Za apsolutno kretanje, osnovni zakon dinamike ima oblik: ma�a = �n

k=1F�k, gde je a�a - apsolutno ubrzanje (prema O1x1y1z1). Apsolutno ubrzanje zadovoljava Koriolisovu teoremu, tj. vazi: a�a = a�r + a�p + a�c, gde je: a�r - relativno ubrzanje, a�p - prenosno ubrzanje i a�c - Koriolisovo ubrzanje. m(a�r + a�p + a�c) = �n

k=1F�k ⇒ ma�r = �nk=1F�k + (-ma�p) + (-ma�c) ⇒ F�c

in = -ma�c - Koriolisova sila.

to koje ula -

vazi ti

era u sa

deluje

5. Njutnovi zakoni. I Njutnov zakon: Svako telo ostaje u stanju mirovanja ili se uniformno krece po pravoj liniji sve dok se stanje ne promeni primenom sile koja na njega deluje. Osnovna uloga sile je da promeni stanje tela nadeluje. Ako na telo ne deluje nikakva rezultantna sila krece se konstantnom brzinom (koja moze biti i nstanje mirovanja) i ima nulto ubrzanje. II Njutnov zakon: Proizvod mase i ubrzanja tela jednak je sumi svih sila koje na njega deluju. Ovo je fundamentalni zakon prirode. To je osnovna relacija koja povezuje silu i ubrzanje. Drugi Njutnov zakonsamo u inercijalnom sistemu reference. Koordinatni sistem vezan za Zemlju se moze priblizno smatrainercijalnim pa se ocekuje da ovaj zakon vazi za razne pojave na povrsini Zemlje. III Njutnov zakon: Sila kojom prvo telo deluje na drugo telo je iste amplitude i pravca, ali suprotnog smodnosu na silu kojom drugo telo deluje na prvo telo. Sila koja deluje na neko telo je rezultat interakcijedrugim telom tako da sile uvek idu u paru, jer je nemoguce delovati silom na neko telo, a da to telo nena nas.

6. Kosi hitac. Telo je izbaceno kosim hicem kada je sa neke visine h od povrsine Zemlje izbaceno brzinom vo pod elevacionim uglom α. Ubrzanje tela tokom daljeg kretanja je stalno a� = g�, jer se krece samo pod delovanjem gravitacione sile Zemlje. Posto se pretpostavlja da je g� konstantan vektor, rezultati su tacni samo ako je: a.) Maksimalna visina do koje telo stigne ymax<<Rz, gde je Rz poluprecnik Zemlje (onda je g const). b.) Duzina trajektorije S je S<<2πRz, (pa se ne menja pravac vektora g�) c.) Otpor sredine se zanemaruje Posto je: a� = -ge�y, projekcije brzine tela kod kosog hica su: vx = vocosα, vy = vosinα. Parametarske jednacine kretanja tela su: x = votcosα, y = h + votsinα - gt2/2. Jednacina trajektorije je: y = h + xtgα - (gx2)/(2vo

2cos2α). Koordinate polozaja najvece visine su: xm = (vo

2cos2α)/2g, ymax = h + (vo2sin2α)/2g.

Domet tela u horizontalnoj ravni je: xmax = D = ((vo2sin2α)/2g)[1 + √(1 + (2gh/vo

2sin2α))] Vreme pada: tp = vosinα/g + √(vosinα/g)2 + 2h/g). Poluprecnik trajektorije je: R = [1 + y']3/2/|y"| = (vo

2/gcosα)[1 - 2g(y - h)/vo2]3/2.

.

7. Teorema o promeni kolicine kretanja MT i sistema MT. MT: Promena kolicine kretanja MT jednak je sumi svih elementarnih impulsa sila koje deluju na tu tackuNeka MT u trenutku t1 ima brzinu v�1, a u trenutku t2, brzinu v�2. Posto je masa konstantna, drugi Njutnov

zakon je: d(mv�)/dt = �kF�k. Mnozenjem sa dt, uz p� = mv�, dobija se: dp� = �kF�kdt. Integraljenjem se dobija: �v1

v2d(mv�) = �t1t2�kF�kdt ⇒ mv�2 - mv�1 = �k�t1

t2F�kdt ⇒ p�2 - p�1 = �k�t1t2F�kdt.

Sistem MT: Izvod vektora ukupne kolicine kretanja sistema materijalnih tacaka po vremenu jednak je geometriskoj sumi svih eksternih sila koje deluju na sistem. Diferencijalne jednacine kretanja sistema materijalnih tacaka su: d/dt (mkv�k) = F�k

e + F�ki, k = 1,.., N. �n

k=1mkdv�k/dt = �nk=1F�k

e + �nk=1F�k

i, �nk=1F�k

i = 0. �n

k=1mkdv�k/dt = d/dt (�nk=1mkv�k) = dP�/dt ⇒ dP�/dt = �n

k=1F�ke.

a

8. Zakon o ocuvanju kolicine kretanja MT i sistema MT. MT: Ako je suma eksternih sila koje deluju na MT jednaka nuli, ukupna kolicina kretanja MT je stalna i nemenja se ni po pravcu ni po intenzitetu. Sistem MT: Ako je suma eksternih sila koje deluju na sistem jednaka nuli, ukupna kolicina kretanja sistemje stalna i ne menja se ni po pravcu ni po intenzitetu. p�2-p�1=�

nk=1�t1

t2F�kedt. Ako je: p�1 = p�2 = p� =const. ⇒ �n

k=1F�kedt=0.

F�m1e= F�ok→m1+F�2→1+F�3→1+ . . . +F�n→1=m1a�1=d(m1v�1)/dt.

F�m2e= F�ok→m2+F�1→2+F�3→2+ . . . +F�n→2=m2a�2=d(m2v�2)/dt.

F�mne= F�ok→mn+F�1→n+F�2→n+ . . . +F�n-1→n=mna�n=d(mnv�n)/dt. ⇒ �n

i=1F�ok→mi=d/dt�ni=1m1v�1.

Ako je �ni=1F�ok→mi = 0 ⇒ Ukupna kolicina kretanja sistema materijalne tacke je konstantna, t.j.

x : m1v�1x + m2v�2x +...+ mnv�nx = const y: m1v�1y + m2v�2y +...+ mnv�ny = const z: m1v�1x + m2v�2x +...+ mnv�nx = const

9. Jednacina Mescerskog i formula Ciolkovskog. Posmatrajmo raketu koja u trenutku t ima brzinu v. Neka je: v��- apsolutna brzina rakete (u odnosu na inercijalni referentni sistem), M - pocetna masa rakete (raketa + gorivo), v�gr - brzina izbacivanja goriva (u odnosu na inercijalni referentni sistem), v�R = v������gr - apsolutna brzina mlaza. Ako se u beskonacno malomvremenskom intervalu izbaci kolicina goriva mase dmg, promena glavnog vektora kolicine kretanja sistema se moze pisati: dP���������������- P����������������������������-dm)(v�����gr)] - mv�����kF

e�kdt. F�eR = mdv�����- v�grdm/dt, gde je: F�eR = �kF

e�k. F�p = v�grdm/dt, pa je: mdv���������eR + F�p - Jednacina Mescerskog. Ako je sila kojem okolina deluje na raketu F�eR = 0, tada je: mdv�������-v�grdm/dt - Formula Ciolkovskog.

tra

10. Nalazenje polozaja centra mase sistema materijalnih tacaka. Masa sistema jednaka je aritmetickoj sumi svih cestica koje ga cine: m = �kmk. Ako se sistem sastoji od konacnog broja tacaka, cije su mase m1, m2, ..., mN (N - ukupan broj tacaka), centrom mase se naziva tacka Cciji je vektor polozaja R�������������������������kmkr �k/�kmk = �kmkr �k/m, gde su r�1, r�2, ..., r�k, ..., r�N vektori polozaja u odnosu na odabranu tacku O. U Dekartovom koordinatnom sistemu, koordinate polozaja cenmase date su jednacinama: xc = �kmkxk/�kmk, yc = �kmkyk/�kmk, zc = �kmkzk/�kmk.

na

isk)

ntar

11. Moment inercije stapa, kruznog prstena, valjka, lopte i ploce. a). Homogeni stap mase m i duzine L: Podelimo stap na male delove duzine dx, gde je x - osa postavljeduz stapa sa koordinatnim pocetkom na mestu gde je osa rotacije. Ako je poduzna masa stapa: ρ' = m/L, masa elementarne duzine dL je dm = ρ'dx = mdx/dL. Moment inercije tog malog dela stapa je: dIOz = x2dm, pa je ukupni moment inercije celog stapa: IOz = �x=o

x=Lx2ρ'dx = ρ' �x=0x=Lx2dx = ρ'L3/3 = mL2/3.

b). Homogeni kruzni prsten poluprecnika R i mase m. Izdelimo prsten na elementarne lukove duzine Rd elementarne mase dm = Rd ρ'. gde je ρ' = m/2πR poduzna masa. Svaki od tih delova mozemo shvatiti kao materijalnu tacku momenta inercije dIOz = R2dm, pa je moment inercije celog prstena: IOz = �mdIOz = �m R2dm = ��=o

�=2πR2ρ'Rd = ρ'R3�o2πd = 2πR3ρ' = mR2.

c). Homogeni valjak mase m i poluprecnika R. Izdelimo prvo valjak duz aksijalnog pravca (u oznaci z) naelementarne slojeve (elementarne diskove), upravne na taj pravac, debljine dz. Zatim izdelimo taj sloj (dna elementarne prstenove debljine dr, poluprecnika r. Moment inercije takvog prstena je: d2IOz = dmr2 = 2πrdrdzρr2, gde je ρ - gustina valjka. Moment inercije diska je: dIOz = �o

RdI2Oz = �oR2πρr3drdz = 2πρdz �o

Rr3dr = πρR4dz/2. Moment inercije valjka je: IOz = �z=o

z=HdIOz = πρR4/2 �oHdz = πρR4H/2 = (ρR2πH)R2/2 = mR2/2.

d). Homogena lopta mase m i poluprecnika R. Prvo se nalazi moment inercije lopte u odnosu na njen ce(polarni moment inercije). Podelimo loptu gustine ρ na elementarne ljuske radijusa r i debljine dr. Polarni moment inercije te ljuske u odnosu na centar lopte O je: IO = �o

Rr2dm = �oRr2ρ4πr2dr = 4πρR5/5 = 3mR2/5, gde

je masa lopte: m = 4πR3ρ/3. (2IO = Ix + Iy + Iz = 3Ix jer je Ix = Iy = Iz). Otuda je: IOz !�"x = 2IO/3 = 2mR2/5.

e). Homogena ploca (disk). Ako je telo u obliku ploce i ako postavimo Dekartov koordinatni sistem na takav nacin da je z-osa normalna na nju, a x-osa i y-osa leze u ploci, tada je moment inercije prema koordinatnom pocetku: IO = �n

k=1mk(xk2 + yk

2) = Iz. Pozivajuci se na Ix + Iy + Iz = 2IO ⇒ Ix + Iy = Iz. Moment inercije diska mase m i poluprecnika R kojem se gustina menja linearno od centra ka periferiji tako da je u centru dva puta manja nego na obodu diska: �mo

mR r2dm.

u, koja a.

12. Stajnerova teorema. Moment inercije sistema u odnosu na neku osu jednak je momentu inercije u odnosu na paralelnu osprolazi kroz centar mase, plus proizvod mase sistema i kvadrata normalnog rastojanja medju tim osamDokaz: Uvedimo dva koordinatna sistema sa paralelnim osama u oznaci Oxyz i O#�#$#�#��%�����������&����'�odnosu na ose Oz i O#�#�('��"Oz =�kmk(xk

2 + yk2), IO��� = �kmk(x#k

2+ y#k2), gde je mk masa k-te materijalne

tacke sistema. Ako su koordinate centra mase (tacke O#���(�(����������)��*��&+���c, yc, zc,) u odnosu na sistem Oxyz, a kako su ose posmatrana dva sistema paralelne, vazi: xk = x#k + xc, yk = y#k + yc, zk = z#k + zc ⇒ IOz =�kmk[(x #k + xc)

2 +(y#k +yc)2] = �kmk(x#k

2 + y#k2) + 2xc�kmkx#k + 2yc�kmky#k + (xc

2+yc2)�kmk. �kmkx#k =

mx#c, x#c - koordinata centra mase prema sistemu O#�#$#�#,���kmk = m je masa sistema. Po definiciji mora daje: x#c = 0 ⇒ �kmkx#k = 0. Analogno: �kmky#k = my#c, pa kako mora da je: y#c = 0 ⇒ �kmky#k = 0. Ako znamo rastojanje d izmedju z-osa, vazi: xc

2+yc2 = d2 ⇒ IOz = IO��� + md2, jer je: IO��� = �kmk(x#k

2+ y#k2).

nak je tog

13. Teorema o promeni momenta kolicine kretanja sistema materijalnih tacaka. Prvi izvod po vremenu momenta kolicine kretanja sistema u odnosu na neku nepokretnu tacku O, jedvektorskoj sumi momenta spoljasnjih sila koje deluju na sistem, odnosno, na svaku materijalnu tackusistema, u odnosu na taj pol. d/dt (r�k x mkv�k) = r�k x F�k

e + r�k x F�ki, k = 1,.., N. �n

k=1d/dt (r�k x mkv�k) = �nk=1r �k x F�k

e + �nk=1r �k x F�k

i, d/dt �n

k=1(r �k x mkv�k) = �nk=1r �kxF�k

e + �nk=1r �kxF�k

i, �nk=1r �kxF�k

i = 0, L�o = �nk=1(r �k x mkv�k) ⇒ dL�o/dt = �n

k=1r �kxF�ke.

hiv nternih kupni

14. Zakon o ocuvanju momenta kolicine kretanja sistema materijalne tacke. Ako je rezultantni moment spoljasnjih sila u odnosu na proizvoljni pol O jednak 0 (M�or

e = 0) tada je dL�O/dt = 0 ⇒ L�O = const. Do ovog moze doci ako je sistem izolovan. Tada su sve eksterne sile = 0, pa je i njiukupni moment = 0. Zakon o ocuvanju momenta kolicine kretanja pokazuje da interne sile ne mogupromeniti moment kolicine kretanja sistema, kao sto ne mogu izmeniti ni kolicinu kretanja. Momenti isila mogu menjati momente kretanja pojedinih cestica mehanickog sistema, ali ne mogu promeniti umoment kolicine kretanja sistema. �n

i=1miv�i = const, �nk=1F�k

e = 0. (�ni=1mivx = const, �n

i=1Fixe = 0, �n

i=1mivy = const, �ni=1Fiy

e = 0, �ni=1mivz =

const, �ni=1Fiz

e = 0). M�oFrez�� = M�o

Fsp�� + M�oF2�� + ... + M�o

Fn��. M�oFrez�� = M�o

Fsp�� + M�oF1�� + ... + M�o

Fn��. ... M�o

Frez�� = M�oFsp�� + M�o

F1�� + ... + M�oFn-1��. �n

i=1M �oFrez�� = �n

i=1M �oFsp�� = d/dt (�n

i=1L �o). Lox1 + Lox

2 + ... + Lox

n = const. �ni=1M �ox

i = 0. Loy1 + Loy

2 + ... + Loyn = const. �n

i=1M �oyi = 0. Loz

1 + Loz2 + ... + Loz

n = const. �n

i=1M �ozi = 0.

ka

krutog

d centra

15. Kineticka energija i rad i snaga kod obrtnog kretanja. Translacija: U slucaju translatornog kretanja krutog tela, sve tacke tela imaju istu brzinu koja je jednabrzini centra mase. Telo se izdeli na elementarne mase mi, koje imaju brzine vi = vc, gde je i indeks te elementarne mase. Kineticka energija celog krutog tela bice jednaka sumi kinetickih energija svih elementarnih masa, pa je: Ek,tra = �n

i=1mivi2/2 = 1/2�n

i=1mivc2 = vc

2/2 �ni=1mi. Kako je �n

i=1mi = m - ukupna masa krutog tela. Kineticka energija je: Ek,tra = mvc

2/2. Rotacija: Neka telo rotira oko ose Oz. Brzina bilo koje tacke tela (vrlo male elementarne mase) je: vi = whi, gde je hi normalno rastojanje te tacke od ose rotacije, a w je ugaona brzina rotacije. Kineticka energijatela jednaka je zbiru kinetickih energija pojedinih tacaka toga tela: Ek,rot = �n

i=1mivi2/2 = �n

i=1(mi/2)(hiw)2 = w2/2�n

i=1mihi2. Kako je: Iz = �n

i=1mihi2 ⇒ Ek,rot = Izw

2/2. dA = FdS = Frd = Md ⇒ A = M . P = dA/dt = Md /dt = Mw. Komplano kretanje: Kineticka energija krutog tela koje se komplano krece je: Ek,kom = Ipw

2/2, gde je Ip - moment inercije tela prema osi koja prolazi kroz trenutni centar nulte brzine, tacku P. Ip = Ic + md2, gde je Ic moment inercije tela prema osi koja prolazi kroz centar mase C, a d - normalno rastojanje tacke P omase. Kako je: wd = vc - brzina centra mase, kineticka energija tela koje se komplano krece je: Ek,kom = Ipw

2/2 = w2(Ic + md2)/2 = Icw2/2 + m(wd)2/2 = mvc

2/2 + Icw2/2.

mi

).

koje

16. Teorema o promeni kineticke energije MT i sistema MT. MT: Promena kineticke energije cestice pri bilo kom konacnom pomeraju jednaka je algebarskoj suradova svih sila koje deluju na tu cesticu tokom pomeraja (integralni oblik). Neka se cestica mase m premestila iz poloza M1 (u kojem je imala brzinu v�1) do polozaja M2 (gde je imala brzinu v�2) i neka je premestanje prouzrokovano dejstvom N sila F�i, i = 1,...,N. Drugi Njutnov zakon je: ma� = �n

i=1F�i. Dalje je: ma = �ni=1Fi (rad sile u normalnom pravcu je jednak nuli pa on nije od interesa

Posto je: a = dv/dt, dalje je: mdv/dt = �ni=1Fi. dv/dt = (dv/ds)(ds/dt) = v dv/ds, pa je: mvdv/ds = �n

i=1Fi ili �v1

v2mvdv = �M1M2�n

i=1Fids = �ni=1�M1

M2Fids. Rad sile F�i, pri premestanju cestice iz tacke M1 u tacku M2 je: AM1M2(F�i) = �M1

M2Fids, pa je: mv22/2 - mv1

2/2 = �ni=1AM1M2(F�i). Kako je: Ek1 = mv1

2/2 i Ek2 = mv22/2 ⇒

Ek2 - Ek1 = �ni=1AM1M2(F�i) i dEk = �n

i=1dA(F�i) (diferencijalna forma). Sistem MT: Promena kineticke energije sistema jednaka je sumi radova svih internih i eksternih siladeluju na sistem. F�j

i - rezultantna interna sila i F�je - rezultantna eksterna sila koja deluje na j-tu tacku.

d(mjvj2/2) = F�j

i dr�j + F�je dr�j. j = 1,...,n. �n

j=1d(mjvj2/2) =�n

j=1F�ji dr�j +�

nj=1F�j

e dr�j. Ek = �nj=1 mjvj

2/2 i �n

j=1 d(mjvj2/2) = d�n

j=1(mjvj2/2) ⇒ dEk = �n

j=1dA(F�ji) + �n

j=1dA(F�je). (A(F�j

i) - rad rezultantne interne sile A(F�j

e) - rad rezultantne eksterne sile) Ek2-Ek1=�nj=1�Mj1

Mj2dA(F�ji) + �n

j=1�Mj1Mj2d A(F�j

e). Mj1 - pocetni polozaj j-te materijalne tacke, Mj2 - krajnji polozaj j-te materijalne tacke. Aj

i = �Mj1Mj2 F�j

i dr�j i Aje = �Mj1

Mj2 F�je dr�j ⇒ Ek2-Ek1=�

nj=1Aj

i + �nj=1Aj

e.

ih i

17. Zakon o ocuvanju mehanicke energije sistema. Ukupna (totalna) mehanicka energija pri kretanju mehanickog sistema u potencijalnom polju interneksternih sila je stalna velicina. Ek2 - Ek1 = �n

j=1(Aji + Aj

e) = �nj=1Aj. �

nj=1Aj = -(Ep2 - Ep1) ⇒ Ek2 + Ep2 = Ek1 + Ep1.

18. Izvesti izraz za rad gravitacione sile u gravitacionom polju. Kako je gravitaciono polje konzervativno, rad ne zavisi od putanje. Elementarni rad je: dA= F�gdr. Ukupni rad pri premestanju tela mase m, od tacke A do tacke B, u polju koje stvara telo mase M je: AAB = �A

B F�gdr = -�AB-�%/r2 dr = --�%��rA

rBdr/r2���-�%��.��B - 1/rA) < 0. Rad AAB je negativan jer sila ne vrsi rad, vec se vrsi rad protiv gravitacione sile.

je: u toj e

19. Izvesti izraz za potencijalnu energiju tela mase m koje se nalazi na visini H iznad Zemlje poluprecnika R za referentni nivo koji se nalazi u centru zemlje. Poznata je vrednost gravitacione konstante na povrsini Zemlje g. Gravitaciona sila, kojom zemlja dejstvuje na telo mase m, u tacki P na rastojanju r od centra zemlje Fg(r) = -mM/r2. Uzimaljuci da je nulti nivo potencijalne energije u beskonacnosti, potencijalna energijatacki P je: Ep(r) = �P

F�gdr = --mM �Pdr/r2 = --mM/r. Apsolutna vrednost jacine gravitacionog polja Zemlj

na rastojanju r je: G = -M/r2. Gravitaciona konstanta g je ekvivalnetna se G, pa je: Ep = mgh.

20. Odrediti potencijalnu energiju MT mase m u gravitacionom polju zemlje za: a) r > R z, b) r < Rz. Referentni nivo je u beskonacnosti.

a) Za r > Rz ⇒ Ep = --mMz/r. b) Za r < Rz ⇒ Ep = --mmr/r. (mr = 4π-ρr3/3 za 0 < r < Rz).

sine.

21. Keplerovi zakoni i izvodjenje Njutnovih zakon gravitacije iz Keplerovih zakona. I Keplerov zakon: Planete se krecu po elipticnim putanjama, a Sunce je u jednoj od ziza elipse. II Keplerov zakon: Linija koja spaja Sunce i planetu prebrise u istom vremenskom intervalu iste povrIII Keplerov zakon: Period obrtanja oko Sunca je proporcionalan sa a3/2, gde je a velika poluosa elipse. Jednacina elipse: r = p/(1-ecosϕ), p = b2/a, e = c/a. r(1-ecosϕ) = p (d/dt), r�(1-ecosϕ) + ϕ�resinϕ = 0 / (r), r�p + 2vsesinϕ = 0 (d/dt), pr + 2vsϕ�ecosϕ = 0. ar = r -rϕ�, vs = rϕ�/2 ⇒ ϕ��= abπ/T. 1-ecosϕ = p/r ⇒ ecosϕ = 1- (p/r). pr + 2vsϕ��1- (p/r)) = 0 ⇔ pr + 2vsϕ��- 2vspϕ�/r = 0 ⇒ ρ¨ = 2vsϕ�/r - 2vsϕ�/pr = (2vs(2vs/r

2)/r) - (2vs(2vs/r2)/p) = (4vs

2/r2)(1/r - 1/p). ar = (4vs2/r2)(1/r - 1/p) - r4vs

2/r2 = (4vs2/r2)(1/r -1/p - 1/r) =

-4vs2/pr2. ar = -4[(a2b2π2/T2)/(r2b2/a)] = -4π2a3/(T2r2), [(a3/T2) = (-M/4π2)] ⇒ aρ = --M/r2. F = mar = --mM/r2.

edno

22. Kosmicke brzine. I kosmicka brzina: Najmanja brzina tela za koju trajektorija tela ne preseca zemlju i krece se neposriznad povrsine Zemlje po kruznoj putanji. U slucaju kruzne trajektorije (e = 0) i smatrajuci da je telo izbaceno pod uglom / = 0 sa njene povrsine, moze se pisati: 1 + [voI

2(voI2 - 2gR)/g2R2] = 0 ⇒ voI = √(gR) =

7.9 km/s.

II kosmicka brzina: Brzina pri kojoj elipsa prelazi u parabolu (e = 1). Parabola je otvorena kriva i telo napusta Zemlju. Na povrsini zemlje totalna energija tela mase m je E1 = mvoII

2/2 - -mM/R, a u beskonacnosti E2 = 0. Kako mora da je E1 = E2 ⇒ voII = √(2gR) = 11.2 km/s. III kosmicka brzina: Minimalna brzina koju mora imati telo, koje je pocelo sa kretanjem na Zemlji, da bi napustilo suncev sistem. voIII = 16.7 km/s.

23. Bineova formula.

Sektorska brzina je: ρ2dϕ/dt = C - const. dρ/dt = (dρ/dϕ)(dϕ/dt), u = 1/ρ ⇒ du/dϕ = -(1/ρ2)(dρ/dϕ) ⇒ dρ/dt = -ρ2(du/dϕ)(C/ρ2) = -Cdu/dϕ. ρdϕ/dt = ρC/ρ2 = Cu. Intenzitet brzine je: v2 = (dρ/dt)2 + ρ2(dϕ/dt)2 = (-Cdu/dϕ)2 + C2u2 = C2 [(du/dϕ)2 + u2]. Primenom teoreme o promeni kineticke energije u diferencijalnoj formi: dEk = �i dA(F�i) ⇒ d(mv2/2) = dAg = -Fgdρ = --mMdρ/ρ2 = -mgR2dρ/ρ2. Diferenciranjem po polarnom uglu dobija se: d(v2/2)/dϕ) = -gR2(1/ρ2)(dρ/dϕ) ⇒ dv2/dϕ = 2gR2du/dϕ. Diferenciranjem intenziteta brzine po ϕ dobija se: dv2/dϕ = 2C2udu/dϕ + 2C2(du/dϕ)(d2u/dϕ2) ⇒ C2[udu/dϕ + (du/dϕ)(d2u/dϕ2)] = gR2du/dϕ. kako je: C = ρovocos/ ⇒ d2u/dϕ2 + u = (gR2)/(ρo

2vo2cos2/) ⇒

d2u/dϕ2 + u =1/p - Bineova formula, gde je p = ρo2vo

2cos2//gR2 = ρo2vo

2cos2//-M.

ajau

24. LHO LHO je oscilatorni sistem koji ispunjava uslove: a.) Lineranost - Sila koja deluje na telo mase m je linearno zavisna od rastojanja (F = -kx). b.) Harmonija - Vremenska promena elongacije je prostoperiodicna funkcija (sin ili cos). Jednacina kretanja LHO je: md2x/dt2 = -kx ⇒ d2x/dt2 + wo

2x = 0, gde je wo2 = k/m, pa je:

Kruzna ucestanost LHO je: wo = √(k/m) Jednacina kretanja: x(t) = Asin(wot + ϕo). Velicina wot + ϕo je faza oscilovanja, a ϕo je pocetna faza oscilovanja. Velicina x(t) je elongacija u nekom trenutku vremena t i predstavlja udaljenje tela iz ravnoteznog poloztom trenutku. Velicina A je amplituda oscilacija i to je maksimalna moguca vrednost elongacije. Period LHO je: To = 2π/wo i to je vreme potrebno za jednu oscilaciju. Frekvencija LHO je: fo = 1/To i to je broj oscilacija u jedinici vremena. Brzina tela je: v = dx/dt = Awocos(wot + ϕo). U pocetnom trenutku je: xo = Asinϕo, pa je: vo = Awocosϕo ⇒ ϕo = arctg(woxo/vo) i A = (xo

2 + vo2/wo

2), pri cemu je: vmax = woA Energija: Kineticka: Ek = mv2/2, Ek,max = mA2wo

2/2. Potencijalna: Ep = -�xodA = -�x

okxdx = kx2/2. Ep,max = kA2/2. Ukupna energija je: E = Ek + Ep = mwo

2A2/2. Konstana proporconalnosti sile jednaka je drugom izvodu po vremenu potencijalne energije: k = d2Ep/dx2.

je sila

25. Prigusene oscilacije. Logaritamski dekrement i Q-faktor. Oscilacija se naziva prigusenom ako njena amlituda opada tokom vremena. Neka se oscilator krece uviskoznoj sredini gde se sila trenja moze posmatrati kao otpor viskozne sredine. Moze se smatrati da trenja proporcionalna brzini kretanja. odnosno: Ftr = rv. ma = -kx - Ftr = -kx - rv odnosno: x + 2αx� + wo

2x = 0. α = r/2m, wo2 = k/w.

a) Slabo prigusenje (α<wo) kvazi-periodicne oscilacije: xt = Ae-αtsin(wt + ϕ), w = √(wo

2- α2), A = √xo2 + ((vo + αxo)/w), cosϕ = (vo + αxo)/wA).

b) Jako prigusenje (α>wo) aperiodicne oscilacije: xt = ae-��� + be-�����01,2 = α ±√α2 - wo

2, a i b su integracione konstante odredjene pocetnim uslovima. c) Slucaj α = wo - kriticno prigusenje: xt = (a + bt)e-���, a i b su integracione konstante odredjene pocetnim uslovima. Logaritamski dekrement se definise kao logaritam odnosa amplitude susednih oscilacija i kvantifikuje smanjenje amplitude od oscilacije do oscilacije: Λ = ln(Ai/Ai+1) = αT, gde je Ai amplituda i-te oscilacije, a T period prigusenih oscilacija.

Faktor dobrote (Q-faktor) oscilatora je Q = 2πEi/(Ei-Ei+1) gde je Ei energija i-te oscilacije. Obicno se koristi za slabo prigusene oscilacije kada je Q ≈ wo/2α. Cesto se vrsi i aproksimacija: Q = 1/2Λ.

a

samo

ljasnje

26. Amplituda i fazna karakteristika LHO koji je podvrgnut prostoperiodicnoj prinudi. Ako na harmoniski oscilator, pored sile trenja, deluje i neka druga spoljasnja sila F(t) onda je jednacinkretanja: x + 2αx� + wo

2x = F(t)/m. Ako je pogonska sila oblika: F(t) = Fosin1t, odziv sistema imace oblik: x(t) = xh(t) + xp(t), gde je xh(t) resenje homogene jednacine i ono tokom vremena nestaje, tako da ostajepartikularno resenje xp(t), pa je: x(t) = A sin(1t - ϕ), gde je A= (Fo/m)/√((wo

2-12)2 + (2α1)2), tgϕ = 2α1/(wo

2-12). 2���2�1����ϕ = ϕ�1��('��)��'�����3���+�+����(��+��(&�)���������'�����(&�)&����fazno zaostaju za prinudnom silom. Maksimalna (rezonantna) amplituda postize se pri frekfrenciji spo(�)���1���√(wo

2-2α2�,���+�(�����������4(��4&���(�5��4�(�������1���6o.

33. Zakon o odrzanju mehanicke energije kod hica u vis. a) E = Ek = mvo

2/2, Ep = 0, Ek\, Ep/. b) E = Ek + Ep = mv2/2 + mgh, Ek\, Ep/. c) E = Ep = mgh1, Ek = 0. Kako je: a = -g i s = h1 iz v2 = vo

2 + 2as ⇒ v2 = vo2 - 2gh1 ⇒ EA = EB = EC = mvo

2/2 = mgh1.

a dy, a

39. Jednacina treperenja zice. Kada na deo zice x naidje transverzalni impuls, zica ce na levom kraju izaci iz ravnoteznog polozaja zteziste ovog dela zice ce izaci iz ravnoteznog polozaja za dy/2. Pri ovakvoj deformaciji zice javice se komponenta sile F u transverzalnom pravcu, ciji je intenzitet: Fy = F sin∆ �� Za male uglove ∆ �7�&����y = F sin∆ �≈ F tg∆ �� F ∆y/x.Ova komponenta sile prouzrokuje ubrzanje a 4�(�����5���)���&��'����(���)����4�&'��2+�����8�4��'����(���&�,�����&��������&���'�������������('�����8��⇒ Fy�������8���2+������(����2/2, a = 2s/t2, za s = ∆y/2 ⇒ a = ∆y/t2. Impuls se prostire konstantnom brzinom c, te je t = x/c ⇒ Fy = F ∆y/x = 8xa = 8x[∆y/(x/c)2] ⇒ c = √(F/8) = 0f. Jednacina talasnog kretanja je: 9 = 9osin(wt - kx), ubrzanje cestice je: d29/dt2 = -w29osin(wt - kx), dok je: d29/dx2 = -k29osin(wt - kx) ⇒ F = md29/dt2. (m = 8x, k2 = w2/c2 = w28/F), d29/dt2 = (F/8) (d29/dx2) = c2(d29/dx2).

treba

40. Izvesti izraz za srednju snagu prostoperiodicnog transverzalnog talasa. Snaga koja se prenosi talasom srazmerna je kvadratu frekvencije i kvadratu amplitude Snaga P koju ima talas u tacki M data je izrazom: P = Fsin v = Fk9ocos(wt - kx) w9ocos(wt - kx) = Fwk 9o

2cos2(wt - kx), i to je trenutna snaga u tacki M. Da bi se nasla srednja snaga u proizvoljnom intervalu,naci samo srednju vrednost izraza: cos2(wt - kx), ciji je maksimum jednak jedinici, a srednja vrednost 1/2. Posto su ostali clanovi konstante, a kako je k = w/c, izraz za srednju snagu je: Psr = -Fwk9o

2 = Fw29o2/2c.

imo vom

j ce

je

41. Izvesti izraz za brzinu prostiranja longitudialnih talasa. Brzina prostiranja longitudialnih talasa moze se izracunati pomocu osnovnog zakona mehanike. Uzmpun stap od elasticnog materjala konstantnog poprecnog preseka S. Pod dejstvom udara cekica na lekraju stapa izvrsi se longitudialna deformacija ∆l u vremenu ∆t. Za isto vreme ∆t, impuls se preneo kroz stapza duzinu l. Srednja brzina talasa v, kojom se vrsi deformacija, data je odnosom: v = ∆l/∆t. Stalna brzina prostiranja talasa bice tada: c = l/∆t. Pri tome je v << c, a odnos v/c = ∆l/l. Duzina ∆l je elasticna deformacija stapa pod dejstvom sile F. Prema Hukovom zakonu vazi relacija: F = SEy ∆l/l = SEy v/c. Posmatrajmo sad prostiranje impulsa duz stapa na nekoj duzini x. Kada impuls predje preko srafiranog dela stapa, ovaizvrsiti pomeraj ∆l, a pri tom se mora javiti ubrzanje a ovog dela stapa cija je masa m = Sxρ, gde je ρ gustina stapa.Vreme za koje deformacija predje rastojanje x oznacimo sa t. Tada je x = ct. Onda ce za srednubrzanje a, vaziti: a = v/t. Prema II Njutnovom zakonu, F = ma = Sctρ v/t = Scρv. Ova sila je jednaka elasticnoj sili, pa njihovim izjednacavanjem dobijamo: SEy v/c = Scρv, odakle je trazena brzina prostiranja:c = √(Ey/ρ), gde je Ey - Youngov modul (elasticnosti), a kod gasova: c = √�4:�ρ).

42. Izvesti izraz za faznu brzinu prostiranja longitudialnih talasa.

9(x, t+∆t) = 9ocos[w(t+∆t) - kx] = 9ocos[wt - k(x - w∆t/k)] (w∆t/k = ∆x). v = dx/dt = w∆t/k∆t = w/k. Fazna brzina prikazuje kako se sinusoida pomera u pravcu x-ose.

ti

43. Doplerov efekat kod zvuka. Doplerov efekat je posledica kretanja prijemnika i/ili izvora. Kod mehanickih talasa se moze zanemarikretanje sredine. Talas koji je krenuo iz izvora krece se brzinom: vf = 0f.

Ako se prijemnik krece, a izvor miruje: fp = (c ± vp)/0p = (c ± vp)/0i = (c ± vp)/(c/0i) = fi(1± (vp/c)). ( + ako se priblizava, - ako se udaljava). Ako se izvor krece, a prijemnik miruje: Talas polazi u trenutku t = 0, u trenutku t = 2T talas je na dvostruko �&����(�����'���5��'�����;��0p = T (c ± vp), fp0p = c, fp���&�0p = c/(T (c ± vp)) = fi(1/(1 ± vp/c)). (- ako se priblizava, + ako se udaljava). Ako se oba krecu: f = fi ((1 ± (vp/c))/(1 ± (vi/c)). (priblizavanje +,-; udaljavanje -,+).

turu tisku B u

kom

z:

44. Izvesti opstu jednacinu gasnog stanja. Neka se u cilindru sa klipom nalazi odredjena kolicina gasa. Kada se Cilindar i gas ohlade na temperao = 0°C, klip se nalazi u polozaju, a pritisak gasa je p i manji je od normalnog pritiska po. Pri takvom pritgas ima neku zapreminu V, odredjenu zapreminom cilindra do klipa. Sada klip pomeramo do polozajakome je gas na pritisku po a nova zapremina gasa je Vo. Pomeranje klipa se vrsi lagano, da bi temperatura gasa to = 0°C, bila stalna. Prema Boyle-Mariotteovom zakonu za stalnu temperaturu vazi: pV = poVo. Sada se cilindar zagreje do neke temperature t, sto se moze izvrsiti na dva nacina. I slucaj: Ako se klip krece tozagrevanja, onda ce se gas usled zagrevanja siriti, pri cemu je pritsak gasa konstantan po (predpostavlja se da ne postoji nikakvo trenje klipa). Klip ce doci u polozaj C i gas ce imati neku zapreminu Vt = Vo�.���-��,�4�je: pV = poVt = poVo�.���-����""�()'&���<)�4�(�������'+�&�������5���������(������4���'������=��&��zapremina gasa Vo ostati stalna, ali ce se pritisak povecati na vrednost: pt = po�.���-����<��3�&�����(������5(��-�'�4������+��3�&�����4����(+�-�'���'5���()'&�'����'��(�'������(��-���.�>?@,��+����('�����(���strane prethodnih izraza jednake bez obzira na koji nacin se vrsi promena stanja gasa, pa je opsti izrapV = ptVo = poVo�.���-����Za idealne gasove koeficient - ima stalnu vrednost 1/273, pa je: pV = poVo(1 + t/273) = poVo(273 + t)/273 = poVoT/To, pa je: pV/T = poVo/To. U opstem slucaju: pV/T = const = R, pri cemu je: R = poVo/To = 8,314 J/(K mol) Univerzalna gasna konstanta, po - atmosferski pritisak, Vo = nVz, Vz - molarna zapremina, n = 1 i To = 273,15K.

i. Pre la o isti

45. Pritisak u idealnom gasu prema kinetickoj teoriji gasova. Posmatrajmo molekul mase m koji se brzinom v krece ka jednom od zidova suda u kome se gas nalazsudara njegov je impuls mv, a posle sudara -mv. Vreme izmedju dva uzastopna sudara jednog molekuzid je: ∆t = 2l/v, gde je l duzina ivice suda. Sila kojom taj molekul deluje na povrs ab je: F = ∆(mv)/∆t = [mv - (-mv)]/∆t = 2mv/∆t = mv2/l. Srednja sila koja deluje na povrs ab je: Fsr = nF/3 jer se zbog haoticnog kretanja molekula po jedna trecina krece u svakom pravcu. Srednji pritisak je onda: p = nmv2/3l3 = nmv2/3V. Ako je Eksr = mv2/2 srednja kineticka energije jednog molekula, a n/V = no broj molekula u jedinici zapremine, tada je: p = 2noEksr/3. Ova relacija predstavlja osnovnu relaciju kineticke teorije gasova.

lelni oju emeno

50. Youngov eksperiment za odredjivanje talasne duzine monohromatske svetlosti. Jak izvor koji daje svetlost u svim pravcima postavljen je u ziznu ravan sociva tako da su dobijeni parazraci (delimicno koherentna svetlost). Postavljen je zaklon sa dva mala otvora. Svaka tacka prostora kpogodi talasni front ponasa se kao izvor sekundarnih talasa (Hajgensov princip). Posto su tacke istovrpogodjene, svetlost iz njih je relativno koherentna. ∆(nS) = n(S1-S2) = S1-S2���A0��)���>A�.��0�>��=1

2 = D2 + (yp - d/2)2, S22 = D2 + (yp + d/2)2 ⇒ S1

2-S12 = 2ypd.

S1+S2 ≈ 2D ⇒ ∆S = ypd/D ⇒ yp���A0B���-�4���&����(��)�*�4�'5����>A�.�0B�>��- pozicije tamnih pruga.

57. Naci polozaj centra mase homogenog tankog poluobruca poluprecnika R.

r �cm = �V r�ρdV/ �V ρdV. r�cm = �V r�ρRSd / �V ρRSd , C[0,π], x = R sin , y = R cos . r� = xi� + yj�. x�cm = �o

πRcos d / �oπ d = R 0/π = 0. y�cm = �o

π Rsin d / �oπ d = R|-cos | |o

π/π = 2R/π.

58. Matematicko klatno duzine l nalazi se u liftu (npr. zakaceno za plafon lifta) Ako se lift krece vertikalno navise ubrzanjem a o, odrediti period oscilovanja klatna. Koliki je taj period ako lift ide nanize ubrzanjem istog intenziteta.

Ioϕ" = Mo = mglsinϕ (Io = ml2) ⇒ ϕ" + (g/l)sinϕ = 0. (sinϕ ≈ ϕ) ⇒ ϕ" + gϕ/l = 0. (wo = √(g/l) ⇒ To = 2π√(l/g).

Period oscilovanja: a) lift ide navise: To = 2π√(l/(g + a)). b) lift ide nanize: To = 2π√(l/(g - a)).

61. Do koje visine ce se popeti telo ispaljeno vertikalno uvis sa povrsi Zemlje pocetnom brzinom v o = √√√√gR/2, gde je g - jacina polja na povrsini Zemlje, a R - poluprecnik Zemlje. Zanemariti otpor sredine pri kretanju tela.

vo = √gR/2, v = vo - gt. za v = 0 ⇒ t = vo/g. s = vot - gt2/2 = t√gR/2 - gt2/2.

64. Izvesti izraz za brzinu, ubrzanje i poluprecnik krivine trajektorije kod prirodnog nacina opisivanja kretanja ako je pozanata promena lucne koordinate tacke u vremenu po krivoliniskoj trajektoriji. Izvesti izraze koji povezuju opisivnje kretanja u koordinatnom sistemu i prirodni nacin opisivanja kretanja.

Dt = ft, st = �ot√(x�2 + y�2 + z�2)dt. Dt=±�o

t√(x�2 + y�2 + z�2)dt. Brzina: v� = ve�n = ve�t. Ubrzanje: v� = ve�t. a� = dv� /dt = dv/dt e�t + vde�t/dt. |de�t/dt| = |lim∆t→o∆e�t/∆t| = lim∆t→o∆ /∆t = d /dt = �. (|∆et| = |∆ ||e�t| = ∆ ). k = lim∆t→o∆ /∆s=d /ds. |de�t/dt| = d /dt = (d /ds)(ds/dt) = k�. R=1/k = ds/d . |de�t/dt| = v/R. e�t e�t = 1. (2de�t/dt) e�t=0 ⇒ de�t/dt ⊥e�t ⇒ de�t/dt = v/R e�n ⇒ a� = dv/dt e�t + v2/R e�n. an = v2/R, at=dv/dt=v�.

65. Izraz za centripetalno ubrzanje i centripetalnu silu.

∆s ≈ r∆ ,����)�(�������� ���,�6�� ����- ugaona brzina, v = rw - periferiska brzina, ∆v ≈ v∆ ,����)�������6�⇒ ac = w2r = v2/r - centripetalno (normalno) ubrzanje usmereno ka centru kruga. Fc = mac = mw2r = mv2/r - centripetalna sila.