formula de hasen y perdidas menores

8/16/2019 formula de hasen y perdidas menores

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FORMUL DE H ZEN Y

PERDID S MENORES

INTEGRANTES:

ALTAMIRANO HERRERA, JOSE CAMPOS ACUÑA, POOL LOPEZ HERRERA, PERSI LOPEZ OLIVA, JOSE MAYHUA FLORES, HENRRY MEDINA ULLOA, FIDEL VALDIVIA RAMIREZ, CARLOS


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FORMULA DE HAZEN Y PERDIDAS MENORES

pág. 1 ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE MINAS

Contenido

....................................................................................................................................................... 0

FÓRMULA DE HAZEN WILLIAMS PARA EL FLUJO DE AGUA ................................. 2

OTRAS FÓRMULAS TAMBIÉN APLICADAS:................................................................ 4NOMOGRAMA PARA RESOLVER LA FORMULA DE HAZEN-WILLIANS ............ 5

PERDIDAS MENORES ............................................................................................................. 8

1. COEFICIENTE DE RESISTENCIA. ............................................................................... 8

2. EXPANSIÓN SUBITA: .................................................................................................... 8

3. PERDIDA DE SALIDA. ................................................................................................. 11

4. EXPANSIÓN GRADUAL: ............................................................................................. 13

5. CONTRACCIÓN SÚBITA ............................................................................................. 16

6. CONTRACCIÓN GRADUAL: ...................................................................................... 19

7. PÉRDIDA EN LA ENTRADA: ...................................................................................... 22

8. COEFICIENTES DE RESISTENCIA PARA VÁLVULAS Y ACOPLAMIENTOS: .. 24

9. APLICACIÓN DE VÁLVULAS ESTÁNDAR: ............................................................ 25

10. VUELTAS EN TUBERÍA. ........................................................................................ 27

VUELTAS A ÁNGULOS DISTINTOS DE 90° ................................................................ 29

11. CAIDA DE PRESION EN VALVULAS DE POTENCIA DE FLUIDOS ................ 30

ACTUACION HACIA DELANTE DE LA CARGA DE LA DERECHA: FIGURA 17(a) ............................................................................................................................................. 32

ACTUACIÓN DE REGRESO DEL PISTÓN HACIA LA IZQUIERDA: FIGURA 10.29(b) ........................................................................................................................................ 34

POSICION DE REPOSO DEL SISTEMA: FIGURA 17(c) ............................................... 35

NIVELES DE PRESION, Y PÉRDIDAS Y GANANCIAS DE ENERGIA EN ESTESISTEMA DE POTENCIA DE FLUIDO. .......................................................................... 35

12. COEFICIENTES DE FLUJO PARA VALVULAS POR MEDIO DEL CV: ............ 38

13. VALVULAS DE PLASTICO: .................................................................................... 39

BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................................... 40


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FÓRMULA DE HAZEN WILLIAMS PARA EL FLUJO DE AGUALa fórmula de Hazen-Williams, también denominada ecuación de Hazen-Williams, Seutiliza particularmente para determinar la velocidad del agua en tuberías circularesllenas, o conductos cerrados es decir, que trabajan a presión.

La ecuación de Darcy para calcular la pérdida de energía debido a la fricción esaplicable para cualquier fluido newtoniano. Para el caso de flujo de agua en sistemas detubería es conveniente un enfoque alternativo.La fórmula de Hazen Williams es una de las más populares para el diseño y análisis desistemas hidráulicos. Su uso se limita al flujo de agua en tuberías can diámetrosmayores de 2.0 pulg y menores de 6.0 pies. La velocidad del flujo no debe exceder los10.0 pies/s. Asimismo, está elaborada para agua a 60 °F. Su empleo can temperaturasmucho más bajas o altas ocasionaría cierto error.La fórmula de Hazen-Williams es específica en cuanto a las unidades.

I. En el sistema de unidades tradicional de Estados Unidos adopta la formasiguiente:

=1.32..…………………… (1) Donde

v = velocidad promedio del flujo (pies/s)Ch = Coeficiente de Hazen· Williams (adimensional)R = Radio hidráulico del conducto de flujo (pies)

S = Relación hL/L: perdida de energía longitud del conducto (pies/pies)

II. Con unidades del Sistema internacional, la fórmula de Hazen-Williams es:

=0.85.. ……………………….. (2) Donde

v = Velocidad promedio del flujo (m/s)Ch = Coeficiente de Hazen-Williams (adimensional)

R = Radio hidráulico del conducto de flujo (m)S = Relación hL/L: pérdida de energía longitud del conducto (m/m)

EI uso del radio hidráulico en la formula permite su aplicación a secciones no circularesy también a circulares. Para las secciones circulares se emplea R = D/4.EI coeficiente Ch solo depende de la condición de la superficie de la tubería o conducto.Los valores comunes se los observa en la tabla. Notando un aumento de valores debidoa la suciedad inmersa posterior a su uso.

http://es.wikipedia.org/wiki/Aguahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tuber%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Presi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Presi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tuber%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Agua


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Ahora, ajustamos el resultado para el valor de diseño de Ch.Observe que la velocidad y el flujo volumétrico son directamente proporcionales alvalor de Ch. si el tubo se deteriorara por el uso, de modo que Ch =100, el flujo volumétrico permisible que limitaría la perdida de energía al mismo valor de 20 piespor 1000 pies de longitud de tubo, seria

=(5.64 ) (100130) = 4.34 / =1.13 (100130) = 0.869 /

OTRAS FÓRMULAS TAMBIÉN APLICADAS:

Las ecuaciones anteriores permiten el cálculo directo de la velocidad de flujo para untipo y tamaño dados de conducto. Cuando se conoce o especifica la perdida de energía

por unidad de longitud. EI flujo volumétrico se calcula con Q = Av, sencillamente. Esfrecuente que se quiera utilizar Otras cálculos para:

A. Determinar el tamaño de tubería que se requiere para conducir un flujovolumétrico dado con una pérdida de energía limitada a cierto valorespecificado.

B. Obtener lo perdido de energía para un flujo volumétrico dado a través de unatubería conociendo su tamaño y longitud.

La siguiente tabla adopta varias formas referentes a la fórmula de Hazen-Williams y quefacilitan dichos cálculos.

Unidades tradicionales de E.E.U.U. Unidades del S.I.


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NOMOGRAMA PARA RESOLVER LA FORMULA DE HAZEN-WILLIANS

EI nomograma presentado en la figura permite resolver la fórmula de Hazen-Williamscon sólo alinear cantidades conocidas por medio de una recta y leer las incógnitas en la

intersección de esta con el eje vertical apropiado. Si las condiciones reales de la tuberíagarantizan el empleo de un valor diferente de C h, se emplean las formulas siguientes para ajustar los resultados. El subíndice 100 se refiere al valor que se lee en elnomograma para C h = 100. EI subíndice c se refiere al valor para el C h dado.

=

[]

= [ ] = . [ ]

=

. [ / ]

Un uso frecuente de un nomograma consiste en determinar el tamaño de tubería que serequiere para conducir un flujo volumétrico dado, al mismo tiempo que se limita la

perdida de energía a cierto valor especificado. Por esto constituye una herramientaconveniente de diseño


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Nomograma para la solución de la fórmula de Hasen – Williams con C h = 100


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PROBLEMA Nº2

Especifique un tamaño apropiado de tubería de acero nuevo y limpio cedula 40, capazde conducir 300 gal/min de agua en una longitud de 1200 pies, con no más de 10 pies de

pérdida de carga. Para la tubería seleccionada calcule la perdida de carga real al

respecto.

SOLUCIÓN: = 1 3 0 = ∗ ∗ = , = = 0.

= 2 ..

∗...

=0.495

6 =0.5054 =0.5054 =0.5054 = =0.1264 =0.2006 ℎ = ... ℎ =1200 ...... =9.05

I. Para la tubería seleccionada en el problema encuentre la perdida de carga con elempleo del valor de diseño Ch en lugar del que corresponde a una tubería nuevay limpia.

SOLUCIÓN:

:= . =0.5054=6.065;=0.2006 = =0.1264; =100 hL =1200 ...... =14.72ft


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PERDIDAS MENORES

1. COEFICIENTE DE RESISTENCIA. Las pérdidas de energía son proporcionales a las cargas de velocidad de fluido,

conformé pasa por un codo, expansión o contracción de la sección del flujo, o por unaválvula. Por lo general, los valores experimentales de las pérdidas de energía se reportanen términos de un coeficiente de resistencia de resistencia K como sigue.

h L= K (v2 /2g)…………………. (3)

En la ecuación 3, hL es la perdida menor, K es el coeficiente de resistencia y v es elvalor de la velocidad promedio del flujo del tubo en la vecindad donde ocurre la perdidamenor. En ciertos casos puede haber más de una velocidad de flujo, como en lasexpansiones y las contracciones.

El coeficiente de resistencia es adimensional debido a que representa una constante proporcional entre la perdida de energía y la carga de velocidad. La magnitud delcoeficiente de resistencia depende de la geometría del dispositivo que ocasiona la

perdida y a veces de la velocidad de flujo.Igual que en la ecuación de la energía , la carga de la velocidad v2 /2g en la ecuación 3,se expresa en metros(o N.m/N de fluido en movimiento), en unidades del S.I; o en pies, en unidades del sistema tradicional de estados unidos (o pie-Lb/Lb de fluido decirculación ). Debido a que K es adimensional, la perdida de energía tiene las mismasunidades.

2. EXPANSIÓN SUBITA:Conforme un fluido pasa de una tubería pequeña a otra más grande través de unaexpansión súbita, su velocidad disminuye de manera abrupta, lo que ocasionaturbulencia, que a su vez ocasiona una pérdida de energía (vea la figura 1). La cantidadde turbulencia, y por tanto de la pérdida de la energía, depende de la razón de lostamaños de las dos tuberías.

F igura N°1: expansión súbita


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La pérdida menor se calcula por medio de la ecuación:

h L= K (v12 /2g)………………….…… (4)

Donde V1 es la velocidad promedio del flujo en la tubería más pequeña antes de laexpansión. Las pruebas han demostrado que el valor del coeficiente de perdida,Depende tanto de la relación de los tamaños de las dos tuberías como de la magnitud dela velocidad de flujo. Esto se ilustra en la forma gráfica en la figura 2. Y en formatabular en la tabla 1.Al hacer algunas suposiciones simplificadas sobre el carácter de la corriente de flujoconforme se expande en la expansión súbita, es posible predecir de manera analítica elvalor de K, con la ecuación siguiente:

K= [1-(A1 /A2 )]2 = [1-(D1 /D2 )2 ]2………….. (5)

Los subíndices 1 y 2 se refieren a las secciones más pequeñas y más grande,respectivamente, como se aprecia en la figura 1. Con esta ecuación, los valores de Kconcuerdan bien con los datos experimentales cuando la velocidad V1 esaproximadamente de 1.2m/s (4pies/s).A velocidades mayores, los valores reales K sonmás pequeños que los teóricos. Si se conoce la velocidad de flujo, se recomienda utilizarlos valores experimentales.

F igura N°2: Coeficiente de resistencia – expansión súbita


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Tabl a N°1: coeficiente de resistencia – expansión súbita

PROBLEMA Nº3:

Determine la pérdida de energía que ocurrirá si fluye 100L/min de agua a través de unaexpansión súbita, de un tubo de cobre de 1 pulg (tipo K) a otra de 3pulg (tipo k).

SOLUCIONSe empleara el subíndice 1 para la sección antes de la expansión, y el 2 Para la secciónque esta aguas debajo de este, con lo que obtenemos.

D1 =25.3mm=0.0253m D2= 73.8mm = 0.0738mA1= 5.017x 10-4m2 A2 =4.282x 10-3 m2

V1 =QA =

L/.x− x /sL/ =3.32m/s

= .

. m =0.56mPara encontrar el valor de K, se necesita la relación de los diámetros. Encontramos que:


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=.. =2.92

De la figura 2, k=0.72.entonces tenemos:

hL = k (v12/2g) = 0.72x (0.56m)=0.40m

este resultado indica que por cada Newton de agua que fluye por la expansiónsúbita se disipa 0.40N.m de energía.

3. PERDIDA DE SALIDA.

Conforme el fluido pasa de una tubería a un deposito o tanque grande, como se muestra

en la figura 3, su velocidad disminuye hasta cero, en el proceso se disipa la energíacinética que el fluido tenía en la tubería, indicada por la carga de (v12/2g). Por tanto, laenergía perdida por esta condición es:

h L= 1.0 (v12 /2g)………………… (6 )

A esta se le denomina perdida de salida. El valor de K =1.0 se emplea sin que importe laforma de la salida en el lugar donde el tubo se conecta a la pared del tanque.

F igura 3: perdida en la salida conforme el fluido pasa de una tubería a un depósitoestático.


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F igura 4: expansión gradual

F igura 5: coeficiente de resistencia-expansión gradual


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PROBLEMA Nº 4: Determine la pérdida de energía conforme circulan 100L/min de agua. En un tubo de

cobre de 1 Pulg (tipo K) a un tanque más grande.

SOLUCIÓNCon la ecuación (6) tenemos:

h L= 1.0 (v12 /2g)

De los cálculos del problema 3 sabemos qué:

V 1=3.32m/sV 12 /2g =0.56m

Entonces la pérdida de energía es:

h L= 1.0 (0.56) =0.56m

4. EXPANSIÓN GRADUAL:

Si la transición de un conducto menor a uno mayor puede hacerse menos abrupta que la

dilatación súbita de bordes cuadrados, la pérdida de energía se reduce. Esto

normalmente se hace colocando una sección cónica entre los dos conductos, como se

muestra en la figura (4). Las paredes en pendiente del cono tienden a guiar el fluido

durante la desaceleración y expansión de la corriente de flujo.

La pérdida de energía para una dilatación gradual se calcula a partir de:

ℎ =

2… … … … … 7

Donde es la velocidad del conducto menor que está delante de la dilatación. Lamagnitud de K depende tanto de la proporción de diámetro / como el ángulo decono . En la figura (5) y en la tabla (2) se dan varios valores de y /.


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Tabla N°2: coeficiente de resistencia – expansión gradual Ángulo del cono

D 2/ /D 1 2° 6° 10° 15° 20° 25° 30° 35° 40° 45° 50° 60°

1.1 0.01 0.01 0.03 0.05 0.10 0.13 0.16 0.18 0.19 0.20 0.21 0.23

1.2 0.02 0.02 0.04 0.09 0.16 0.21 0.25 0.29 0.31 0.33 0.35 0.37

1.4 0.02 0.03 0.06 0.12 0.23 0.30 0.36 0.41 0.44 0.47 0.50 0.55

1.6 0.03 0.04 0.07 0.14 0.26 0.35 0.42 0.47 0.51 0.54 0.57 0.61

1.8 0.03 0.04 0.07 0.15 0.28 0.37 0.44 0.50 0.54 0.58 0.61 0.65

2.0 0.03 0.04 0.07 0.16 0.29 0.38 0.46 0.52 0.56 0.60 0.63 0.68

2.5 0.03 0.04 0.08 0.16 0.30 0.39 0.48 0.54 0.58 0.62 0.65 0.70

3.0 0.03 0.04 0.08 0.16 0.31 0.40 0.48 0.55 0.59 0.63 0.66 0.71

∞ 0.03 0.05 0.08 0.16 0.31 0.40 0.49 0.56 0.60 0.64 0.67 0.72

La pérdida de energía calculada de la ecuación (7) no incluye la pérdida debido a la

fricción en las paredes de la transición. Para ángulos de cono relativamente elevados, la

longitud de la transición es corta y por tanto la fricción con la pared es despreciable. Sin

embargo, conforme disminuye el ángulo del cono, la longitud de la transición aumenta y

la fricción con la pared se vuelve significativa. Al tomar en cuenta tanto la pérdida por

fricción con la pared como la que se debe a la expansión, se obtiene la pérdida mínima

de energía con un ángulo de cono de 7° aproximadamente.

PROBLEMA Nº 5

Determine la pérdida de energía que ocurrirá cuando fluyan 100 L/min de agua, de un

tubo de cobre (Tipo K) de 1 pulg a otro similar, pero de 3 pulg, a través de una

expansión gradual que incluye un ángulo de cono de 30°.


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SOLUCION:

Con los datos de tablas, tenemos que:

= 3.22 / = 0.56 = .. =2.92

En la figura 5 encontramos que K= 0.48. Entonces, tenemos:

ℎ = = 0.480.56 =0.27 DIFUSOR:

Otro término para denominar una expansión es el difusor. La función de un difusor es

convertir la energía cinética (representada por carga de velocidad) a energía de

presión (representado por la carga de presión /), desacelerando el fluido conformecircula de la tubería más pequeña a la más grande. El difuso puede ser súbito o gradual,

pero el término se usa sobre todo para describir una expansión gradual.

Un difuso ideal es aquel en el que se pierde energía cuando el fluido desacelera. Por

supuesto, ningún difusor funciona de manera ideal. Si así fuera, la presión teórica

máxima después de la expansión se calcularía con la ecuación de Bernoulli:

+

+

2 = +

+

2

Si el difusor se encuentra en un plano horizontal, los términos de la elevación se

cancelan. Entonces, el incremento de presión a través del difusor ideal es:

∆ = =

2


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Con frecuencia, a esta se le da el nombre de presión de recuperación.

En un difusor real, las pérdidas de energía sí ocurren, y debe utilizarse la ecuación de la

energía:

+ +

2 ℎ = + +

2 El incremento de la presión se convierte en:

∆ = = 2 ℎ

La pérdida de energía se calcula con los datos y procedimientos de esta sección. La

relación de la recuperación de la presión del difusor real a la del difusor ideal, es una

medida de la efectividad del difusor

5. CONTRACCIÓN SÚBITALa pérdida de energía debida a una contracción súbita, como la que se ilustra en la

figura 10.6, se calcula por medio de

ℎ = 2 … … … … 8 Donde v2 es la velocidad en la tubería pequeña de agua debajo de la contracción. El

coeficiente de resistencia K depende de la relación de los tamaños de las dos tuberías y

de la velocidad de flujo, como se muestra en la figura 7 y Tabla 3

Figura 6: contracción súbita


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Es muy complejo el mecanismo por el cual se pierde la energía debido a una

contracción súbita. La figura 8 muestra lo que pasa conforme la corriente de fluidoconverge. En la ilustración, las líneas de corriente. Conforme las líneas de corriente se

acercan a la contracción, adoptan una trayectoria curva y durante cierta distancia la

corriente en su conjunto sigue después del angostamiento. Así, la sección transversal

mínima efectiva del flujo es más pequeña que la de la tubería menor. La sección en que

ocurre esta área mínima de flujo se denomina vena contracta. Después de la vena

contracta, la corriente debe desacelerar y expandirse de nuevo para llenar la tubería. La

turbulencia que ocasionan la contracción y la expansión subsecuente es lo que genera la pérdida de energía.

Figura 7: coeficiente de resistencia; contracción súbita


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Tabla N°3: coeficiente de resistencia – contracción súbitaVelocidad v2

D2/D1 0.6m/s

2pies/s

1.2m/s

4pies/s

1.8m/s

6pies/s

2.4m/s

8pies/s

3m/s

10pies/s

4.5 m/s

15pies/s

6 m/s

20pies/s

9 m/s

30pies/s

12m/s

40pies/s

1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

1.1 0.03 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.05 0.05 0.06

1.2 0.07 0.07 0.07 0.07 0.08 0.08 0.09 0.10 0.11

1.4 0.17 0.17 0.17 0.17 0.18 0.18 0.18 0.19 0.20

1.6 0.26 0.26 0.26 0.26 0.26 0.25 0.25 0.25 0.24

1.8 0.34 0.34 0.34 0.33 0.33 0.32 0.31 0.29 0.27

2.0 0.38 0.37 0.37 0.36 0.36 0.34 0.33 0.31 0.29

2.2 0.40 0.40 0.39 0.39 0.38 0.37 0.35 0.35 0.30

2.5 0.42 0.42 0.41 0.40 0.40 0.38 0.37 0.34 0.31

3.0 0.44 0.44 0.43 0.42 0.42 0.40 0.39 0.36 0.33

4.0 0.47 0.46 0.45 0.45 0.44 0.42 0.41 0.37 0.34

5.0 0.48 0.47 0.47 0.46 0.45 0.44 0.42 0.38 0.35

10.0 0.49 0.48 0.48 0.47 0.46 0.45 0.43 0.40 0.36

∞ 0.49 0.48 0.48 0.47 0.47 0.45 0.44 0.41 0.38

Al comparar los valores para los coeficientes de pérdida en el caso de la contracción

súbita (Figura 7), con los de expansiones súbitas (Figura 2) Se observa que la pérdida de

energía en la primera es algo más pequeña. En general, la aceleración de un fluido causa

menos turbulencia que la desaceleración, para una relación dada de cambio de diámetro.


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PROBLEMA Nº 6Determine la pérdida de energía que ocurre cuando 100 L /min de agua circulan de untubo de cobre de 3 pulg (tipo K) a otro de 1 pulg (Tipo K) a través de una contracciónsúbita.

SOLUCION

De la ecuación 8 tenemos que:

ℎ = 2

Para el tubo de cobre se sabe que D1 = 73.8 mm, D2 = 25.3 mm y A2 = 5.017 x 104 m2

Entonces, podemos encontrar los valores, siguientes:

= = / . − / / = 3.22 / = 0.56

= ..

=2.92 De la figura 7 encontramos que K = 0.42. Con esto, tenemos:

ℎ = = 0.420.56 = 0.24 6. CONTRACCIÓN GRADUAL:

La pérdida de energía es una contracción puede disminuir en forma sustancial si lacontracción se hace más gradual. La figura 9 muestra tal contracción, formada por unasección cónica entre los dos diámetros, con bordes afilados y en las uniones. El ángulo

Ɵ se denomina ángulo del cono.

Figura 8: Vena contracta formada en una contracción súbita


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La figura 10 muestra los datos para el coeficiente de resistencia versus la relación dediámetros para distintos valores del ángulo del cono. La pérdida de energía se calculacon la ecuación (8), donde el coeficiente de resistencia se basa en la carga d velocidaden un tubo más pequeño después de la contracción. Estos datos son para números de

Reynolds mayores que 1.0 x 105

. Observe que para ángulos en el rango de 15°, elcoeficiente de resistencia en realidad se incrementa, como se aprecia en la figura 11. Larazón es que los datos incluyen los efectos, tanto de la turbulencia local que ocasiona laseparación del flujo como los de la fricción con el tubo. Para ángulos del cono más

pequeños, la transición entre los dos diámetros es muy largo, lo que aumenta las pérdidas por ficción.

Figura 9: contracción gradual

Figura 10: Coeficiente de resistencia contracción gradual para Ɵ ≥ 15


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Si se redondea el extremo de la transición cónica para que se ajuste al Tubo más

pequeño, disminuye el coeficiente de resistencia y se abaten los valores mostrados en lafigura 10.10. Por ejemplo, en la figura 12, que muestra una contracción con un ángulode 120° y D1 /D2 =2.0, el valor de k disminuye de 0.27 a 0.10, aproximadamente, conuna relación de sólo 0.05 (D2), donde D2 es el diámetro interior del tubo más chico.

Figura 11: Coeficiente de resistencia contracción gradual para Ɵ < 15

Figura 12: contracción gradual en un extremo redondeado en el diámetro pequeño


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7. PÉRDIDA EN LA ENTRADA:

Un caso especial de contracción sucede cuando un fluido se mueve de un depósito o

tanque relativamente grande hacia una tubería. El fluido debe acelerar desde unavelocidad despreciable a la velocidad de flujo de tubería. La facilidad con que laaceleración se lleva a cabo determina la cantidad de la pérdida de energía y, por lo tanto.El valor del coeficiente de resistencia de la entrada depende de la geometría de ésta.

La figura 13 muestra cuatro configuraciones diferentes y el valor sugerido de K paracada una. Las líneas de corriente ilustran el movimiento del fluido dentro de la tubería ymuestran que la turbulencia asociada con la formación de una vena contracta en latubería es la causa principal de la pérdida de energía. Esta condición es más severa parala entrada que se proyecta hacia dentro, por lo que se recomienda un valor de k =1.0,

para resolver los problemas que se presentan en este libro. La referencia número 2recomienda un valor de k = 0.78. En la referencia 8 se da una estimación más precisadel coeficiente de resistencia para una entrada que se proyecte hacia dentro. Para unaentrada bien redondeada con r/D2 > 0.15, no se forma vena contacta, la pérdida deenergía es muy pequeña y se utiliza K = 0.04.

En resumen. Después de seleccionar un valor para el coeficiente de resistencia pormedio de la figura 13, podemos calcular la pérdida de energía en la entrada con laecuación.

ℎ = ƍ … … . . 9

Donde es la velocidad del flujo en el tubo.


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PROBLEMA Nº 7Determine la pérdida de energía que tiene lugar cuando fluyen 100 L/min de agua, de un

depósito a un tubo de cobre de 1 pulg (tipo K), (a) a través de una tubería que se proyecta hacia dentro del almacenamiento y (b) por una entrada bien redondeada.

SOLUCION

Parte (a): Para el tubo, D2 = 25.3mm y A2 = 5.017 x 10-4 m2 . Por lo tanto, tenemos:

= = 3.32 / (del problema modelo 10.1)ƍ = 0.56 Para una entrada que se proyecta hacia dentro, K= 1.0. Entonces, tenemos:

ℎ = 1.00.56 = 0.56

Figura 13: coeficientes de resistencia de entradas


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Parte (b): Para una entrada bien redondeada, K = 0.04. Entonces, tenemos:

ℎ = 0.040.56 = 0.02

8. COEFICIENTES DE RESISTENCIA PARA VÁLVULAS YACOPLAMIENTOS:

Las válvulas dentro de un circuito de fluido se utilizan para regular el flujo volumétrico;estas pueden ser de globo, ángulo, compuerta, mariposa, etc. Por otro lado losacoplamientos sirven para dirigir la trayectoria del flujo o cambiar el tamaño de este;dentro de los acoplamientos podemos encontrar: codos, tés, reductores, boquillas yorificios.

La pérdida total de energía que experimenta un fluido por válvulas y acoplamientos decalcula:

ℎ = 2

Pero ahora el valor del factor K se calcula de la siguiente manera:

= ( ) ………… 10

Sin embargo algunos fabricantes prefieren calcular la longitud equivalente, de estamanera despejando la ecuación anterior tenemos:

=

PROBLEMA Nº 8Calcule la perdida de energía para el flujo de 500 m3/h de agua, atraves de una teestándar conectada a una tubería de hierro dúctil de 6 pulg, sin recubrimiento. El flujotiene lugar por el ramal

Se utiliza el procedimiento para calcular la perdida de energía.

1. le/D=60.2. Para la tubería de hierro dúctil,€=2.4x10-4m, y D=O.156m


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La rugosidad relativa es D/ €=(0.156m)/ (2.4x10-4m)=650Del diagrama de moody, fT=0.022pulg, en la zona de turbulencia completa.

3. El coeficiente de resistencia es K=f T(LE/D)=(0.022)(60)=1.32.4. La velocidad en la tubería es.

VP= = x .−=7.27m/sEntonces, la pérdida de energía es de:HL=K (/2=1.327.27/29.81=3.56

9. APLICACIÓN DE VÁLVULAS ESTÁNDAR:En esta sección mostraremos las principales características de las válvulas estándar.

1.

Válvul a de globo

Es una de las más comunes y relativamente baratas; sin embargo la de peorrendimiento debido a que se pierde gran cantidad de energía.El factor K es:

= 3 4 0 2. Válvula de ángulo:

Muy parecida a la válvula de globo, solo que la trayectoria es más simple.El factor K es:

= 1 5 0 3. Válvul a de compuerta:

Cuando esta válvula está abierta por completo, hay poca obstrucción en elcamino del flujo que ocasione turbulencia en la corriente, por ello esta válvula esla mejor para limitar la perdida de energía:El factor K es: = 8

4. Válvula de ver if icación:

La válvula de verificación tipo origitario, ofrece una pequeña restricción almovimiento del fluido, por ello que el factor K:

= 1 0 0 La válvula de verificación tipo origitario, ofrece una pequeña restricción almovimiento del fluido, por ello que el factor K:

= 1 5 0


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5. Válvul a de mar iposa:

La válvula de mariposa, ofrece una pequeña restricción al movimiento delfluido, por ello que el factor K:

= 4 5 á 2 8 = 3 5 á 10 14 = 2 5 á 16 24 6. Válvula de pie con alcachofa (colador ):

Tiene una función similar a las válvulas de verificación, es común que venganequipadas con un filtro para mantener alejados objetos extraños de las tuberías.El factor K es:

= 4 2 0 á = 7 5

Figura 14: sistema de bombeo de una séptica con válvula de verificación


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10. VUELTAS EN TUBERÍA.

Con frecuencia es más conveniente doblar un ducto o tubo que instalar un codo defábrica. La resistencia al flujo que opone una vuelta depende de la relación del radio decurvatura r, al diámetro interior del tubo D. se aprecia que la resistencia mínima parauna vuelta a 90° ocurre cuando la razón r/D es igual a tres, aproximadamente. La

resistencia está dada en términos de la razón de longitud equivalente Le/D, por tantodebe emplearse la ecuación (10) para calcular el coeficiente de resistencia. Laresistencia incluye tanto la resistencia de la vuelta como la resistencia debido a lalongitud del tubo en la curvatura.

Cuando se calcula la razón r/D, se define r como el radio de la línea central del ducto otubo, que se denomina radio medio (consulte la figura 16). Es decir, si R0 es el radio alexterior de la vuelta, entonces Ri es el radio al interior de esta y D, es el diámetroexterior del ducto o tubo:

= + / 2 = /2 = + /2

Figura 15: sistema de bombeo con válvula de pie en línea de succión


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PROBLEMA Nº 9Un sistema de distribución de propano líquido está constituido por tubería de acero 1/4

pulg, con espesor de pared de 0.083 pulg. Se requieren varias vueltas a 90° para acoplarlas tuberías a los demás equipos del sistema. Las especificaciones requieren que elradio al interior de cada vuelta sea de 200 mm. Calcule la pérdida de energía cuando elsistema conduce 160 L/min de propano a 25 °C.

SOLUCION

Debe emplearse la ecuación de Darcy para calcular la perdida de energía por medio de

La relación Le/D, para las vueltas, En primer lugar, se determina r/D. hay que recordarque D es el diámetro interior de la tubería y r el radio a la línea central de esta. Delapéndice G se obtiene que D = 27.5 mm 0.0275m. El radio r debe calcularse con

= , + 2

Donde D0= 31.75 mm, diámetro exterior de la tubería según se obtuvo del apéndice G

Figura 16: curva a 90º en una tubería


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Se termina el cálculo y se obtiene

= 200 + 31.75 /2 = 215.9

/ = 215.9 /27.5 = 7.85

Se encuentra que la relación de longitud equivalente es 23.

Ahora debe calcularse la velocidad para completar la evaluación de la perdida de

Energía con la ecuación de Darcy:

= = /.∗− ./ / = 4.48 /

La rugosidad relativa es

/ = 0.0275 / 1.5 10_6 = 18333 Después, con el diagrama de Moody, se encuentra que f T= 0.0108 en la zona de

turbulencia completa. Entonces, = =0.010823 =0.248

Y ahora se calcula la perdida de energía:

ℎ = =0.248 .∗. = 0.254 = 0.254 . VUELTAS A ÁNGULOS DISTINTOS DE 90°Se recomienda la formula siguiente para calcular el factor de resistencia K , para vueltascon ángulos distintos de 90°

= 1 0 25 { + 0 .5 + 1011 … … … … . . 1 1 Donde K es la resistencia para una vuelta a 90°, a continuación se ilustra el empleo de

esta ecuación por medio de un ejemplo


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PROBLEMA Nº 10Evalué la perdida de energía que ocurría si en la tubería de acero que se utiliza parael flujo descrito en el problema anterior existe un enrollamiento de forma 4 ½resoluciones para construir un intercambia de calor . El radio interior de la vuelta

mide los mismos 200 mm utilizados antes y después condiciones permanecen sincambio.

SOLUCION

Se comienza con la extracción de algunos datos del problema 9

/ = 7.85 = 0.0108 = 0.248 = 4.48 /

Ahora por medio de la ecuación (11) .se calcula el valor de K B para el enrollamientocompleto. Observe que cada revolución de este contiene cuatro vueltas a 90°. Entonces.

= 4.5 4.0 90°/ = 18

La resistencia total de las curvas K B es

= [ 1[0.257 / + 0.5 ] + = 18 1[0.250.01087.85 + 0.50.248] + 0 248 = 3.49 Entonces, la perdida de energía se determina con

ℎ = =

..[.] = 3.57 ∗

11. CAIDA DE PRESION EN VALVULAS DE POTENCIA DE FLUIDOS

El campo de la potencia de fluidos comprende tanto fluidos hidráulicos líquidos comoSistemas de flujo de aire denominados sistemas neumáticos. Los fluidos hidráulicoslíquidos por lo general son algún tipo de petroquímico, aunque también se utiliza


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muchas clases de materiales mezclados y sintéticos. Se hará referencia a los fluidoshidráulicos líquidos solo como aceite.

Tal vez usted se encuentre familiarizado con sistemas de potencia de fluidos que operanlos equipos automáticos de un sistema de producción. Ellos son los que mueven

productos a través de un sistema de ensamblado y empaque. Actúan en prensas queejercen fuerzas enormes. Levantan componentes o productos a diferentes alturas, enforma parecida a como lo hace un elevador. Desarrollan procesos para realizar unavariedad de funciones como cortar metal, sujetar, rebanar, comprimir materiales agranel y colocar sujetadores tales como tomillos, remaches, tuercas, unas y grapas.

Además, tienen otro uso importante en el equipo agrícola y de construcción. Considereel tractor que da forma al terreno de un proyecto de construcción. El operador ajusta elnivel de la hoja del tractor por medio de los controles de potencia del fluido para

asegurar que la pendiente del terreno cumple los objetivos del cedula. Cuando hay queretirar el exceso de desperdicios, es frecuente que se emplee un cargador frontal paralevantarlos y colocarlos en un camión. Son numerosos los actuadores hidráulicos queimpulsan el interesante sistema que liga todo y permiten que la pala levante losdesperdicios y los mantenga en una posición segura mientras los lleva al camión dondelos depositara. Después, este vehículo se vacía en otro lado por medio de cilindrosactuadores que levantan su caja. En el trabajo agrícola, la mayoría de los tractoresmodernos y equipo para cosechar llevan sistemas hidráulicos para subir y bajarcomponentes, impulsar motores rotatorios y a veces impulsar incluso las unidades en sí.

Los elementos comunes en un sistema hidráulico de líquidos incluyen:

Una bomba que provee al sistema de fluido a presión adecuada y con el flujovolumétrico apropiado para llevar a cabo la tarea en cuestión.

Un tanque o almacenamiento de fluido hidráulico donde la bomba toma yregresa el fluido después de haber ejecutado la tarea. La mayor parte desistemas de potencia de fluido son circuitos cerrados en los que el fluido circulade manera continua.

Una o más válvulas de control para administrar el flujo conforme circula por elsistema

Actuad ores lineales, llamados con frecuencia cilindros hidráulicos, que proporcionan las fuerzas y movimiento necesarios para llevar a cabo las tareasde actuaciones.

Actuadores rotatorios, llamados motores de fluido, para operar herramientasgiratorias de corte, agitadores, ruedas, bandas y otros dispositivos demovimiento reaccionarios.

Válvulas de control de la presión para garantizar que exista un nivel adecuado yseguro de presión en todas las partes del sistema.


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Dispositivos de control del flujo para asegurar que se lleve el flujo volumétricocorrecto a los actuadores, a fin de proporcionar las velocidades apropiadas,lineal o rotacional angular.

Los sistemas de potencia de fluido consisten en una variedad muy amplia decomponentes dispuestos en formas numerosas para llevar a cabo tareas específicas.Asimismo, los sistemas por inherencia no operan con un flujo estable, como se supusoen la mayoría de los ejemplos de este libro. Por tanto, es común que para analizar loscomponentes de potencia de fluido se utilicen métodos distintos de los que se emplean

para los dispositivos de manejo de fluidos de propósito general, abordados antes en estecapítulo.

Sin embargo, se aplican los mismos principios de perdida de energía que ya estudiamos.Usted deberá tratar con la perdida de energía debido a un cambio de dirección, tamañode la trayectoria del flujo, restricciones por el empleo de las válvulas y fricciónconforme los fluidos se mueven a través de ductos y tuberías.

EJEMPLO DE SISTEMA DE POTENCIA DE FLUIDO

Considere el sistema de potencia de fluido de la figura 17. A continuación se describe el

propósito fundamental y la operación del sistema.

ACTUACION HACIA DELANTE DE LA CARGA DE LA DERECHA: FIGURA17(a) La función del sistema consiste en ejercer una fuerza de 20 000 lb. Sobre una

carga al aplicarle un movimiento lineal de actuación. Se requiere una magnitudenorme de fuerza para realizar una operación de formación cerca del final deesta etapa.

Un actuador lineal a base de aceite hidráulico proporciona la fuerza.

El fluido se lleva al actuador por medio de una bomba de desplazamiento positivo, la cual lo extrae de un tanque.

El fluido sale de la bomba y circula hacia la válvula de control direccional.Cuando se desea que actué sobre la carga, pasa por la válvula, del puerto P al A(P -A).

La válvula de control de flujo está colocada entre la válvula de controldireccional y el actuador, con el fin de permitir que el sistema se ajuste para un

desempeño optimo en condiciones de carga.


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El fluido pasa al pistón en el extremo del actuador.

La presión del fluido actúa sobre el área frontal del pistón, con lo que ejerce lafuerza requerida para mover la carga y llevar a cabo la operación de formación.

De manera simultánea, el fluido en el extremo de la biela del actuador sale deesta pasa a través de la válvula de control direccional y regresa al tanque.

Entre la bomba y la válvula de control direccional está colocado un dispositivode protección denominado válvula de alivio de presión, con el fin de garantizarque la presión.

(a)Actuación hacia delante (b) actuacion de regreso


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Como la presión que se requiere para realizar esta tarea es menor, la válvula dealivio de presión no se abre.

POSICION DE REPOSO DEL SISTEMA: FIGURA 17(c)

Cuando la carga regresa a su posición original, tal vez se requiera que el sistema permanezca inmóvil hasta que termine alguna otra acción y se reciba la señal paracomenzar un ciclo nuevo. Para realizar esto, la válvula se coloca en su posición central.

El flujo desde la bomba se dirige de inmediato al tanque.

Se bloquean los puertos A y B de la válvula, con lo que ningún flujo puederegresar del actuador. Esto lo mantiene en posición.

Cuando las condiciones son las apropiadas para realizar otra carrera, la válvulade control direccional opera de regreso a la izquierda y el ciclo comienza denuevo.

NIVELES DE PRESION, Y PÉRDIDAS Y GANANCIAS DE ENERGIA EN ESTESISTEMA DE POTENCIA DE FLUIDO.Ahora, se van a identificar las ganancias y pérdidas de energía que ocurren en estesistema, y la manera en que los niveles de presión varían en los puntos críticos.

1) Se comenzara con el fluido en el tanque. Suponga que se encuentra en reposo yque el tanque está abierto a la presión atmosférica sobre la superficie del fluido.

2) Como la bomba impulsa el fluido, se observa que una línea de succión debeacelerarlo desde la condición de reposo que tiene en el tanque a la velocidad delflujo en la línea de succión. Así, habrá una perdida en la entrada que depende dela configuración de esta. El tubo puede estar sumergido sencillamente en elfluido hidráulico o tener un filtro en la entrada, con el fin de mantener las

partículas fuera de la bomba y de las válvulas.

3) Habrá perdidas por fricción en el tubo conforme el fluido pasa al puerto desucción de la bomba

4) A lo largo de la trayectoria, habrá pérdidas de energía en cualesquiera codos deltubo.

5) Debe tenerse en cuenta la presión a la entrada de la bomba para garantizar que

no haya cavitación y que exista un abasto adecuado de fluido.


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6) La bomba agrega energía al fluido para provocar que haya circulación y paraelevar la presión de aquel a los niveles requeridos para que el sistema opere. Laenergía proviene del impulsor principal, que por lo general es un motor eléctricoo de otro tipo. Algo de la eficiencia de entrada se pierde debido a la eficiencia

volumétrica y mecánica de bomba. Estas condiciones se combinan para producir la eficiencia conjunta, que se define como:

=

= / 7) Conforme el fluido sale de la bomba y se mueve hacia la válvula de control

direccional ocurren pedidas por fricción en el sistema de tubería, lo que incluyecualesquiera codos, tez o vueltas de tubería. Estas pérdidas provocaran que la

presión en el puerto P de la válvula sea menor que aquella a la salida de la bomba.

8) Si la válvula de alivio de presión actúa porque la presión de descarga de la

bomba exceda el límite establecido por la válvula, habrá una caída de presión através de esta. La presión en realidad se reduce desde la presión de la línea dedescarga Pd. a la presión atmosférica en el tanque pT. Durante este proceso se

pierde mucha energía. Si se aplica la ecuación de la energía a la entrada y salidade la válvula de alivio de presión, se demostraría que.

ℎ = / 9) De regreso a la válvula de control direccional, el fluido pasa a través de la

válvula del puerto P al puerto A. En la válvula hay pérdida de energía porque elfluido debe circular a través de varias restricciones y cambios de dirección en los

puertos y alrededor del carrete móvil de la válvula que dirige el fluido hacia el puerto de salida apropiado. Estas pérdidas de energía ocasionan una caída de presión en la válvula. La cantidad de caída de presión depende del diseño de laválvula. Es común que la bibliografía del fabricante incluya datos con los que seestime la magnitud de dicha caída. La figura 18 muestra una gráfica común.

Estas graficas tienen un uso, más que para reportar factores de resistencia como


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se hizo para las válvulas estándar de distribución de fluidos, estudiadas antes eneste capítulo.

10) Conforme el fluido pasa del puerto A la válvula de control de flujo, hay pérdidade energía en el tubo, igual que antes.

11) La válvula de control de flujo asegura que el movimiento del fluido hacia elcilindro. En el extremo izquierdo del actuador, sea apropiado para hacer que lacarga se mueva a la velocidad que se desea. El control se efectúa por medio derestricciones internas ajustables, que se establecen durante la operación delsistema. Las restricciones ocasionan perdida de energía y por tanto existe unacaída de presión a través de la válvula.

12) En el actuador se pierde energía conforme el fluido pasa hacia el extremoizquierdo del cilindro, en A, y fuera del extremo derecho, en B.

13) En la trayectoria de regreso hay pérdidas de energía en el sistema de tubería.

14) Hay más pérdida de energía en la válvula de control direccional, mientras elfluido circula de regreso a través del puerto B y hacia el tanque. Las razones de

estas pérdidas son similares a las descritas en el número 9.

Figura 18: Caída de presión en una válvula de control Seccional.


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El resumen identifica 14 formas donde la energía se agrega o pierde cuando hay fluidohidráulico, con este sistema de potencia de fluido relativamente sencillo. Cada perdidade energía desemboca en una caída de presión que podría afectar el rendimiento del

sistema.

Sin embargo, los diseñadores de sistemas de fluidos de potencia no siempre analizancada caída de presión. La naturaleza transitoria de la operación hace que se complique

por la existencia de presión suficiente y flujo en el actuador en todas las condicionesrazonables. No es raro que los diseñadores proporcionen capacidad adicional en eldiseño básico del sistema para resolver contingencias imprevistas. En el circuito que seacaba de describir, las caídas de presión críticas ocurren en la válvula de alivio de

presión, en la de control direccional y en la de control del flujo. Estos elementos se

analizaran con cuidado. En el diseño inicial, será frecuente que otras perdidas solo seestimen. En muchos casos, la configuración real del sistema de tubería no se definedurante el proceso de diseño, sino que se deja a cargo de técnicos capacitados para queajusten los componentes a la maquina en forma adecuada. Una vez que el sistema seencuentra en operación, se harán algunas adecuaciones finas para garantizar quefuncione de modo correcto.

Este escenario se aplica a la mayoría de los sistemas diseñados con un propósitoespecial cuando ha de construirse uno o unos cuantos. Si un sistema se diseña para unaaplicación productiva o muy compleja, se justifica dedicar más tiempo al análisis yoptimización de su desempeño. Algunos ejemplos son los sistemas de control deaeronaves y los actuadores de equipo para la construcción y equipo agrícola que sefabrican en serie.

12. COEFICIENTES DE FLUJO PARA VALVULAS POR MEDIO DEL CV:Un número importante de fabricantes de válvulas utilizadas para el control de líquidos,

aire, y otros gases, prefieren calificar el rendimiento de su producto por medio delcoeficiente de flujo CV una base para este coeficiente de flujo es que una válvula con

coeficiente de 1.0 permitirá el paso de un galón por minuto de agua, con una caída de presión de 1.0 psi a través de ella. Es conveniente aplicar esta prueba, ya que proporciona un medio confiable para comparar las características de rendimientoconjunto de diferentes válvulas.

La ecuación básica de flujo de líquido es:

Flujo en galmin = √ ∆ … … … … … … … … … … … … … … … . 1 2


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Donde: ∆ esta en , ∆ se denomina caida de presion y se calcula con ladiferencia de presion entre puntos corriente arriba y corriente debajo de la valvula. Eltermino sg es la gravedad especifica del fluido. Hay que observar con cuidado que esun factor adimensional.

Es común que entre los datos que reporta el catálogo de un fabricante se mencione elvalor de de la valvula en condiciones de apertura total. Pero es frecuente que lavalvula se utilice para controlar el flujo volumetrico y cerrar parcialmente en formamanual o automática. Por tanto, muchos fabricantes reportaran el efectivo comofuncion del número de vueltas del vastago de la valvula desde cerrado por completohasta la apertura completa.

Algunas válvulas emplean un vástago graduado que se retira desde el fondo conforme laválvula se abre, con lo que el flujo aumenta en forma progresiva alrededor del vástago.Este tipo de válvula recibe el nombre de “válvula de aguja”.

13. VALVULAS DE PLASTICO:Se emplean válvulas de plástico en numerosas industrias en las que se requiereexcelente resistencia a la corrosión y control de la contaminación. Los límites detemperatura y presión por lo general son más bajos para las válvulas de plástico que

para las de metal. Por ejemplo el PVC está limitado aproximadamente a140℉ 190 ℉, el PP a 250℉, el EPDM a 300℉.Los rangos de presión de las válvulas de plástico van de 100 a 225 psi, a temperaturas

moderadas, según el diseño y tamaño.

El análisis siguiente comprende una muestra de los tipos de válvulas de plásticodisponibles, en la mayoría de los casos, el diseño general es similar a los tiposmetálicos.

VALVULAS DE BOLA: se utilizan con más frecuencia en operaciones paraarrancar y parar; solo se requiere de un cuarto de vuelta para que cierren porcompleto o abran totalmente. Es común que la bola esférica giratoria tenga unagujero del mismo diámetro que el ducto al que se conecta, con el fin de que

proporcione una pérdida de energía y caída de presión bajas. Se conectadirectamente al tubo por medio de adhesivos, uniones o extremos atornillados.

VALVULAS DE MARIPOSA: el disco de la mariposa proporciona apertura ycierre fáciles, con un cuarto de vuelta de la llave. La actuación es manual,eléctrica o neumática. Todas las partes en contacto con el fluido están hechas dematerial no corrosivo. Es común que el eje del disco este elaborado con aceroinoxidable y aislado del contacto con el fluido, la mayor parte de las válvulas

son muy delgadas y se montan entre las bridas o adhesivos de una tuberíaestándar para una instalación y retiro fáciles.


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VALVULAS DE DIAFRAGMA: es común que el diafragma este fabricado conEPDM o KTM y está diseñada para elevarse desde el fondo cuando se gira larueda de mano. Un giro en sentido contrario vuelve a cerrar la válvula. Laválvula es aplicada para arrancar y parar y para modular la operación del flujo.Se seleccionan los materiales de las partes mojadas para que tengan resistencia ala corrosión del fluido en particular y a las temperaturas que soporten. Seconecta directamente al tubo por medio de adhesivos, uniones o extremosatornillados.

VALVULAS DE VERIFICACION TIPO GIRATORIO: se abren con facilidaden la dirección apropiada del flujo, pero se cierran con rapidez para impedir elretroceso de este. Todas las partes mojadas están hechas de plástico resistente ala corrosión. Incluso al perno que sirve de pivote al disco. La tapadera se retiracon facilidad para limpiar la válvula o para reemplazar los sellos. Es común quese fabriquen los sujetadores externos con acero inoxidable.

FILTRADORES DE CEDIMENTOS: los filtros retiran las impurezas de lacorriente de fluido, con el fin de proteger la calidad del producto o el equiposensible. Todo el fluido se dirige a la corriente a través de filtros perforados o

estilo pantalla conforme pasa por el cuerpo del filtro. Las pantallas de plásticoestán elaboradas con perfecciones de 1/32 a 3/10 pulga con objeto de retirar losdesperdicios y partículas grandes

BIBLIOGRAFÍARobert L. Mott “Mecánica de fluidos”; séptima edición.

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