-
1
FÓRMULAS BÁSICAS PARA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Leyes de Potencias
1) m n m na a a 7) 1nn
aa
2) m
m n
n
aa
a
8) 1 nn
aa
3) n
m m na a
9) 0 1a
4) n
n n nabc a b c 10)
m
n mna a
5)
nn
n
a a
b b
11)
1m
n
n m
a
a
6)
nn
n
a b
b a
12)
n na a
Fórmulas Notables
1) 2
2 22a b a ab b
2) 2
2 22a b a ab b
3) 2 2a b a b a b
4) 3
3 2 2 33 3a b a a b ab b
5) 3
3 2 2 33 3a b a a b ab b
Fórmulas de Factorización de Polinomios
1) ax ay az a x y z
2) 2
2 22a ab b a b
3) 2
2 22a ab b a b
4) 2 2a b a b a b
5) 3 3 2 2a b a b a ab b 6) 3 3 2 2a b a b a ab b 7) 2x a b x ab
x a x b
-
2
Identidades Trigonométricas
1) 1
cscsen
8) sen 2 2sen cos
2) 1
seccos
9) 2 2cos 2 cos sen
3) 1
cottan
10) 2 2sen cos 1
4) sen
tancos
11) 2 2sen 1 cos
5) cos
cotsen
12) 2 2cos 1 sen
6) 21 cos2
sen2
13) 2 2tan 1 sec
7) 21 cos2
cos2
14) 2 21 cot csc
Áreas y Perímetros de Figuras Planas
Cuadrado 2A 4P
Rectángulo A bh 2 2P b h
Triángulo 2
bhA suma de sus lados
Rombo 2
D dA 4P
Trapecio
2
B b hA
suma de sus lados
Áreas y Volúmenes de Sólidos
Cubo 2
4L
A a 22B
A a 26TA a 3V a
Prima L
A n h 2B b
A A T B L
A A A b
V A h
Pirámide 2
p
L
aA n
B bA A T B LA A A
1
3b
V A h
Cilindro 2L
A rh 22B
A r 2TA r r h 2V r h
Cono LA rg 2
BA r TA r r g 2
1
3V r h
Esfera – – 2
4A r 34
3V r
-
3
UNIDAD I: LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Definición :La noción que ( )f x tiende a un número “ L “ cuando
“x” tiende a un número “a“ se
define
Si ( )f x puede aproximarse arbitrariamente a un número finito
“L “ tomando “x“ suficientemente
cercano , pero distinto de un número “a“ tanto por la izquierda
como por la derecha entonces
tenemos :
lim ( )x a
f x L
Nota : El concepto de limite no hace mención del valor que toma
la función en ese punto, ya que el
concepto de límite de la función es independiente del valor que
toma la función en ese punto.
TEMA#2. Propiedades de los límites
Si a y b son números reales, n ∈ℤ+, f y g son funciones que
poseen límite cuando x tiene a “a”, entonces
1. Si el límite existe es único.
2. Función identidad:
limx a
x a
3. Función constante:
limx a
b b
4. Múltiplo escalar:
lim limx ax a
b f x b f x
5. Suma o diferencia:
lim lim limx a x a x a
f x g x f x g x
6. Cociente:
limlim
lim
x a
x a
x a
f xf x
g x g x
0g x
7. Potencia:
lim limnn
x a x af x f x
8. Radical:
lim limn nx a x a
f x f x
9. límites trigonométricos
0
0
lim 1
1 coslim 0
x
x
senx
x
x
x
-
4
TEMA #3 Técnicas para el cálculo de límites Cuando se calcula el
límite de una función en un punto, se emplean los teoremas
enunciados anteriormente, sin embargo existen otras técnicas que se
resumen de la siguiente manera.
Emplear sustitución directa siempre que sea posible. Si la
función contiene un cociente y se origina la
forma indeterminada 0
0, se aplican transformaciones algebraicas para evitar que se
anule el
denominador. En este caso existen dos métodos a utilizar:
a) Simplificar la fracción a través de la aplicación de métodos
de factorización. b) Racionalizando la fracción para obtener un
denominador que tienda a un límite diferente de cero.
Cálculo de límites
a) Por sustitución directa.
22
6 31) lim
2x
x
x
2 4
0
3 2 26 42) lim
3x
x x x
x
b) Por trasformación de la función.
Factorizando. 2
23
91) lim
3x
x
x x
-
5
2
3 32) lim
x a
x x ax a
x a
2
35
203) lim
125x
x x
x
4
21
14) lim
3 2x
x
x x
2
33
2 5 35) lim
27x
x x
x
4 2
31
2 6 5 36) lim
2 5 7x
x x x
x x
-
6
Racionalizando.
2: 2 2 2
2 2 2
Nota x x x
x x x
2
3 11) lim
2x
x
x
9
92) lim
3x
x
x
24
2 43) lim
2 8x
x
x x
0
5 254) lim
2 5x
x
x
-
7
2
6
365) lim
2 2a
a
a
25
2 16) lim
25x
x
x
ejercicios propuestos
Halle el valor de cada límite si existe
-
8
2
2
2
3
3
1
21
3
2
23
2
24
3
1
9
2
22
0
1) lim 2 1
2) lim 2 4 5
4 53) lim
5 1
8 14) lim
3
3 15) lim
9 1
5 66) lim
12
3 8 16lim
2 9 4
18) lim
1
39) lim
9
410) lim
3 5
9 311) lim
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
x x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
0
4 22) lim
x
x
x
-
9
0
0
0
13) lim
4 1614) lim
5 25
10 10016) lim
8 64
h
x
x
x h x
h
x
x
x
x
ejercicios adicionales
2
4
2
21
32
21
2
1
2
0
2
22
3
25
10
7
9 51) lim /
4
4 32) lim /
2 1 2
2 13) lim /
1 8
14) lim / 2
1
3 95) lim / 6
3 5 26) lim / 1
3 1
125 157) lim /
25 2
1 3 18) lim /
10 6
29) lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xR
x
x xR
x x
xR
x
xR
x
xR
x
x xR
x x
xR
x
xR
x
x
2
10
8
3 1/
49 56
4 2 510) lim /
225 5
2 4 411) lim /1
3 1 9
x
x
Rx
xR
x
xR
x
3 2
3 22
4
30
3 2
3 22
2
24
612) lim
3 4
3 513) lim
1 5
1 114) lim
1 1
2 5 615) lim
4 4
3 516) lim
16
x
t
x
x
x
x x x
x x
t
t
x
x
x x x
x x x
x
x
-
10
Otras técnicas para calcular límites
Calcule los siguientes límites
a) 22
1 1
2lim4x
x
x
b)
3 2
x 3
2
x 2 x 9lim
1 1
9 x
c)
2 2
0
7( ) 6( ) 4 (7 6 4)limh
x h x h x x
h
d) 21
1 2lim
1 1x x x
Cambio de Variable
e) 3
8
2lim
8x
x
x
f) 3 2 3
3 21 3
2 3 1lim
3 2x
x x
x x
g)3
x 8
2 xlim
x 1 3
-
11
Ejercicios resueltos de límites (con tablas).
X
0.999 1 1.001
2.997 3.003
X
0.999 1 1.001
2.999 3.001
X
0.999 1 1.001
-1.999 -2.002
X
-0.001 0 0.001
-1.002 -0.998
X
-1.001 -1 -0.999
-2.001 -1.999
X
-2.001 -2 -1.999
-5.002 -4.998
2) Calcular los siguientes límites.
1x1 x1
11
11
3111))((
lim lim a)22
223
xxxx
xx
1x1 x1
)21
1
2
321)((
lim lim b)2
x
xx
xxx
1x1 x)1
11
1
1
211(
))(( lim lim c)
2
x
xx
xx
0x0x
122
1102
)( lim lim d)
2
x
xx
xxx
1x1x1
1)1
1
211)((
lim lim e)2
x
xx
xxx
2x2x2
2)12
2
232
5122)((
lim lim f)2
x
xx
xxx
3 lim 1)
3 x5
11
23
13
2
1 22
xxx
1x1x1
1)32
1
32
5312)((
lim lim 2)2
x
xx
xxx
32
1
33
1
3333
33
33
333333 lim lim lim lim 3)
)()(
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
0x 0x 0x 0x
6
1
33
1
33
3
9
3
))(( lim lim 4)
2
xx
x
x
x
3x 3x
-
12
12444 lim lim 5)2
222
2
8 ))((22
3
x
xxx
x
x
2x 2x
31111)1(1 lim lim 6)2
223
)())((
1
11
1
1
x
xxx
x
x
1x 1x
4
1
22
1
22
2
4
2
))((
)( lim lim 7)
2
xx
x
x
x
2x 2x
06
0 lim 8)
33
933
3
93
x
x
3x
06
0 lim 9)
36
2525
115
255
11
25
2
2
2
2
x
x
5x
3
1lim lim 10)
)2)(1(
)2)(3(
2
65
2
2
xx
xx
xx
xx
2x 2x
21
2lim
3 lim 11)
)2)(1(
)3)(1(
2
34
2
2
xx
xx
xx
xx
1x 1x
4222 lim
)(
lim lim lim 12) 44
24
2
24
2
2
2
4
2
4 ))((
)(
))((22
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
4x 4x 4x 4x
61
33
1
39
)( lim
)(
lim lim lim 13)9
39
3
39
3
3
3
9
3
9 ))((
)(
))((22
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
9x 9x 9x 9x
)))()((())((
)(
2444
4
264
2
2
2
64
2
64
2
223
22
33 lim
)( lim lim lim 14)
xxxx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
192
1
)4)(48(
1
)4)(161616(
1
44)4)(4(4
1
))(( 222
4x 4x 4x
-
13
9
999 ))()((
)(
))(( 3
3
3729
3
3
3
729
3
72922
22
333
lim
)(
lim lim lim 15)
x
xxxx
x
xx
x
x
x
x
x
x
145862439)9)((9 ))(( 399 22
9x 9x 9x 9x
)()(
)(
222
222
44
4
4
444 44 lim
)2( lim lim lim 16)
22
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
4
1
22
1
2
1
2
1 lim
4044 )( 2
xx
x
0x 0x 0x
0x
0x
))()((
))()((
1)2(
)1( lim lim lim 17)
14
241
24
24
11
11
24
11
24
11
22
22
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
22
4
1111
lim
144
11 lim
22
01
204
1
24
1
24
)(
)(
))((
))((
xx
xx
xx
xx
0x 0x 0x
0x 0x
22
4
2
22
111
1 lim
134
1 lim
1)(4
12 lim
12
312
2
32
2
32
23
32
))((
))((
))((
))((
))((
))((
xx
xx
xx
xx
xx
xx
))()((
))()((
1)2(
)1( lim lim lim 18)
23
322
32
32
12
12
32
12
32
12
22
22
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
8
5
24
5
)13)(13(
23
))()((
))(( lim
))((
))(( lim lim 19)
131
32
341
32
33
6
223
2
xxx
xx
xxx
xx
xxx
xx
3 x 3 x 3 x
00
33
330
44
40
34
133
2
2
223
23
x
x
xx
xx
xxxx
xxxx
-
14
510)10()(
)(
)()( lim
)(
))(( lim lim 20)
222
55
52
55
52
55
102
252
x
xx
x
xx
x
x
5x 5x 5x
3302)(
lim lim 22)3232
2
x
xx
x
xx
0x 0x
12
1
444
1
2222
1
))(( lim lim 23)
22223222
2
8
2
xxx
x
x
x
2 x 2 x
510
50
10
2525
55
255 lim 24)
22
5
25
x
x5x
06
0
9
2
3
0
9
1
9
1
1
1
3
3
lim 25)
9
1
3
1
13
13
9
1
13
22 )(
)(
x
x
3
1x
4
1
40
1
402
1
)( lim lim
)(
)(
lim lim 26)42
42
22
22
22
2
1
2
1
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
0x 0x 0x 0x
2)4(
2
611
2
6)1()1(
)(
))(( lim lim 21)
212
61
22
67223
x
xxx
x
xx
1x 1x
00
66
660
70
6
1670
2
2
223
23
x
x
xx
xx
xxxx
xxxx
-
15
PRÁCTICA
Calcule los siguientes límites.
1) 3
3 21 3
1lim
4 3
x
x
x x 6)
23
1 6lim
3 9
x x x
2) 3
27
3lim
27
x
x
x 7)
3 2 3 2
0
8 5 6 8 5 6lim
h
x h x h x x
h
3) 2
25
1 1
25lim20
xx
x x 8)
1
1lim
1
u
u u
u
4)
3 2 3
21
2 1lim
1
x
x x
x 9)
50
4lim
3 1 1 h
h
h
5) 5 2 5
5 332
3 2lim
4
x
x x
x x 10)
3lim
x a
x a x a
x a
h
xxhxhxhx
h
xxhxhx 22222222222
lim )()()(
lim 27)
22220)(
lim lim 2222
2
xxh
xhh
h
xhhh
0h 0h
0h 0h
h
xxhxhxx
h
xxhxhx 242224242422222
)h( lim
)()()( lim 28)
288204)(
lim h
lim h
lim82482442484
2222
xxh
xhh
h
xhh
h
xhhxx
0h
0h 0h 0h
0h
63393523limlim2
2
22
2
22
4
534
59
534 ))(())((
x
xx
x
xx
)( lim
)(
lim lim lim 29)59
534
53
534
53
53
53
4
53
4
2
22
222
22
2
2
2
2
2
2 ))((
)(
))((
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
2 x 2 x 2 x
2 x 2 x
2 x
-
16
Límites unilaterales
Sea f una función definida en a , b entonces el limite por la
derecha de la función “ f “ en a es
“ L “ y se escribe
lim ( )x a
f x L
Y el límite por la izquierda de la función “ f “ en a es “ L “ y
se escribe
lim ( )x a
f x L
Ejemplos
Sea
2
2
11
( )
3 > 1
xsi x
f x x
x si x
Calcular 1
lim ( )x
f x
1
lim ( )x
f x
Teorema
lim ( )x a
f x existe lim ( )x a
f x
lim ( )x a
f x
y
a
f
x
L
y
a
f
x
L
-
17
Ejemplo 3 3 4 2
( )3 8 > 2
x x si xf x
x si x
Calcular 2
lim ( )x
f x
2
lim ( )x
f x
Calcular
a) 2
22
2lim
2x
x x
x x
b)3
lim 3x
x
c)3
lim 3x
x
Limite de la función valor absoluto
A) Definición de valor absoluto:
0
0
x si xx
x si x
B) Regla para calcular el límite de la función valor
absoluto
lim limx a x a
f x f x
Al Igual que en casos anteriores, este tipo de límites pueden
calcularse mediante transformaciones de la función
dada, pero a veces es necesario calcular los límites
unilaterales para determinar la existencia del límite global.
Ejemplos
a) 2
2lim
2x
x
x
-
18
b) 2
2lim
2x
x
x
c) 3
3 ( 3)lim
3x
x
x
d)1
3 ( 3)lim
3x
x
x
e) 5
5lim (4 3)
5x
xx
x
f) 3
3lim
3 9x
x
x
g) 0
4 1 4 1limx
x x
x
h) 2
2
( 2 )lim
2x
x
x
i) 2
2
( 2 )lim
2x
x
x
j) 0
1 1lim
x x x
k)
1
1
1
6lim
11
b
b
b
l) 2
3
3 2lim
6 2 2
b
x
x
-
19
TEMA #4. A) Límites infinitos
Considere la función 1
, 0ff x Dx
, cuya gráfica corresponde a la siguiente
y
x
De acá se deduce que:
0
0
0
1lim
1lim
1lim
x
x
x
x
x
x
Además, si n
0
0
1lim ,
1lim ,
nx
nx
si n es numero parx
si n es numero imparx
Esta regla es un caso particular de la ley que se enuncia a
continuación:
lim ( tan ) lim 0,x a x a
f xf x k cons te g x con irreductible
g x
, ,lim
, ,x a
si f x y g x tienen el mismo signo en un entorno al rededor de
af x
g x si f x y g x tienen diferente signo en un entorno al rededor
de a
x –1 –0,75 –0,5 –0,001 –0,0001 0 0,0001 0,001 0,25 0,75 1
f(x)
-
20
ejemplos:
3
3
32
20
) lim3
2 7) lim
2
1) lim
x
x
x
xa
x
x xb
x
cx
ejercicios.
2
21
23
2
23
3 3
28
1) lim1
12) lim
9
3) lim9
14) lim
8
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-
21
lim ,
,lim
,
n
x
n
x
x n
si n es parx n
si n es impar
Práctica adicional Calcule los límites
a) 5
3lim
5x
x
x
b)
5
3lim
5x
x
x
c) 2
4lim
4x
x
x
d)
2
4lim
4x
x
x
e) 2
1
1lim
( 1)x x
f)
21
1lim
( 1)x x
g) 2
22
5lim
4x
x
x
h)
21
1lim
( 1)x x
B) Límites al infinito
Sea 1
, 0ff x Dx
, cuya gráfica corresponde a la siguiente
y
, 0x f x
x
1 1
, 0 : lim 0 , lim 0x x
x f x Asi yx x
En general:
lim 0, 0n
x
kn
x
Ejemplos:
3 4
5 21) lim 2) lim
2 3x x
x
x x x
3) 3
2
2 252) lim 4
2xx
xx
C) Límites al infinitos al infinito
En general:
-
22
Ejemplos:
3lim 7x
x
2 43
2) lim4x
x x
En resumen se han estudiado tres tipo diferentes de límites
infinitos
1. Límites infinitos: La variable tiene a un número real y el
límite es igual a .
2. Límites al infinito: La variable tiene a y el límite es igual
a un número real.
3. Límites infinitos al infinito: La variable tiene a y el
límite es igual .
Reglas algebraicas sobre los límites infinitos.
) lim 0 lim 0,
lim
x a x a
x a
a Si f x c y g x entonces
si c y g tienen el mismo signo al rededor de af x
si c y g tienen diferente signo al rededor de ag x
) lim 0, 0,n
x
kb n n
x
) lim ,
,lim
,
n
x
n
x
c x n
si n es parx n
si n es impar
Cálculo de límites infinitos Consideraciones importantes sobre
Si k es un número real se cumple que:
0
0
0
0
si k kk
si k k
si kk
si k
-
23
La base para el cálculo de límites infinitos es factorizar las
expresiones sacando a factor común la máxima
potencia, y de esta forma hacer uso de las leyes para límites
infinitos.
4
4
3
4 3
4
3
5 2
3
2
4 3 1) lim
7 2
5 6 1) lim
2 4
9 3) lim
2 4
2 3 4) lim
3 2 1
9 1) lim
2 1
x
x
x
x
x
x xa
x x
x xb
x x x
xc
x x
x xd
x x
xe
x
f)2 225 3
lim7 4
x
x x x x
x
Resumen de las funciones racionales
1) Si grado (f ) = grado ( g ) ,( )
lim( )
n
xn
af x
g x b , el cociente de los coeficientes dominantes de f y g
2) Si grado ( f ) grado ( g ) , ( )
lim 0( )x
f x
g x
3) Si grado ( f ) grado ( g ) , ( )
lim( )x
f x
g x , dependiendo de los signos del numerador y
del denominador
-
24
Ejercicios propuestos
2
21
23
22
43
2
24
1
2
20
2
42
2
2
1) lim1
32) lim
3
33) lim
2
24) lim
3
25) lim
3 4
6) lim1
27) lim
3
58) lim
2
19) lim
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x x
x x
x
x
x x
x x
x x
x
x
x
2
4 5
2
3 5 7
2 6
3 2
2
3 510) lim
2 1
11) lim 1
12) lim 2 3 9
13) lim 16 9 4
10 2 4 714) lim
3 5 2
15) lim2 1 2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x x
PRACTICA
1)
25 25
5lim
x
x
x
2)
4lim
22 x
x
x
3)
23 )3(
3lim
x
x
x
4) 22 4lim
x
x
x
5)
1
2lim
1 x
x
x
6)
x
xx
x 2
25lim
2
7)
x
xx
x
2323lim
0
-
25
8)
1
14lim
1 x
xx
x
9) )(lim
3xf
x ¸
3,
2
42
3,4
)(
2
xsix
xsix
xf
10) )(lim
1xf
x ¸
1,
1
1
1,2
)( 3
2
xsix
x
xsix
xf
11)
17
25lim
x
x
x
12)
135
223lim
3
3
xx
xx
x
13)
4
3lim
2x
x
x
14)
254
2lim
3
24
xx
xxx
x
15)
3454
63lim
63
24
xxx
xx
x
16)
3
52lim
5
3
xx
xx
x
17)
75
249lim
2
x
xx
x
18) 4 4
2
549
34lim
xx
xx
x
-
26
TEMA #5 : Límites trigonométricos
0lim 1x
senx
x
0
1 coslim 0x
x
x
De igual manera, los límites trigonométricos pueden resolverse
por sustitución directa o mediante
transformaciones de la función.
Ejemplos:
0
0
2
0
tan) lim
tan) lim
3
) lim1 cos
x
x
x
xa
x
xb
sen xc
x
d)
2
30lim
1 cosx
sen x
x
0
5) lim
x
sen xe
x
En general:
0 0lim 1 limx x
senkx senkxk k
kx x
Ejemplos
a)2
20
5limx
sen x
x b)
0
6lim
7x
sen x
sen x c)
2
20
1 coslim
3x
x
x
-
27
2
2 3 20 0
1 cos 5) lim ) lim
7x x
x sen xd e
x x x
ejercicios:
0
0
2
0
0
0
71) lim /1
7
5 52) lim /
6 6
3) lim / 0
1 cos4) lim / 0
10
sec 15) lim / 0
sec
x
x
x
x
x
sen xR
x
sen xR
x
sen xR
x
xR
x
xR
x x
Calcule los siguientes limites
a) x
xsen
x 3
5lim
0 b) x
xsen
x 4lim
0
c) xsen
xsen
x 5
7lim
0 d) 2
3
0 5lim
x
xsen
x
e)
x
xsenxsen
x
35lim
0 g) xx
xsen
x 4lim
20
h) xx
x
22
0csclim i) x 0
sen 4xlim
x
j)
x
x
x
)cos1(3lim
0 k)
x
xxsen
x 3
cos2lim
0
l) 20
1 coslimx
x
sen x
m)
2
0lim
cos 1x
x x sen x
x
-
28
CONTINUIDAD
DEFINICION DE CONTINUIDAD
Se dice que una función f es continua en c si y solo si se
cumplen las tres condiciones siguientes:
1. ( )f c está definida, (o sea, c pertenece al dominio de
f)
2. limx c
f x existe
3. lim
x c
f x f c
La función f será discontinua en c si por lo menos una de las
condiciones anteriores no se cumple. La
discontinuidades de una función se encuentran donde la función
se indefine
Ejemplos
1) Determinar si la función f definida por 2
3( )
5
xf x
x x
es continua en 3x y 0x
Teoremas sobre continuidad de una función
Si las funciones f y g son continuas sobre los intervalos y
respectivamente y si
entonces:
a.
f + g es continua sobre el intervalo U b.
f – g es continua sobre U
c. f g
es continua sobre U (Producto de dos funciones)
d.
f
g es continua sobre U, excepto para tal que
-
29
Ejemplo
2) Determine si la función definida por es o no continua en
Ejemplo
Sea f la función definida Determinar si f es continua en x = –
2
Ejercicios Determine si la función f definida por 2
4( )
16
xf x
x
es o no continua en x = – 4
-
30
Discontinuidades evitables
Si una función f es discontinua en pero se tiene que lim ( )x
a
f x
existe, entonces sucede que f (a) no
existe o que lim ( )x a
f x
es diferente de f (a) . Ambas situaciones se ilustran a
continuación:
y no existe y ( )
En ambos casos, la discontinuidad de la función puede evitarse
predefiniendo la función de tal forma
que f (a) sea igual al resultado del lim ( )x a
f x
Ejemplo
Sea f la función definida por
0
Determinemos si f es continua en
Luego, si le asignamos a f(2) el valor de 0 (cero), la función
es continua. Puede escribirse de nuevo la
definición de f como sigue:
:
-
31
La discontinuidad será inevitable si el limite de la función en
el punto de discontinuidad no existe.
Ejemplo
Calcular los valores de a y b para que la siguiente función sea
continua.
Considere la función f definida en por 2
1 < 0
( ) 0
7 >
x si x
f x b x si x k
x si x k
. Considere la función f definida en por
2
2
2
5< 2
4
( ) 5 2 3
2> 3
3
x asi x
f x x x si x
ax bsi x
Determine el valores de las constante a y b para que f sea
continua en IR. Justifique
-
32
Ejercicios
Para cada una de las funciones definidas a continuación,
determine si la función es o no continua en el
valor de especificado. En caso de discontinuidad, especifique si
ésta es evitable o no.
Si la discontinuidad es evitable, escriba la nueva definición de
la función.
1.
2.
3.
Ejercicio de práctica:
Halla las discontinuidades (si las hay) de cada función dada.
Determina cuáles son evitables y cuáles
no son evitables.
13 10
2
23
6
2
2
) ( )
) ( )
f xx x
x
g xx
x x
3) ¿Es la función:
f x x continua para x( ) , ? 4 4
4) Halla todos los valores en los que la función:
f xx
x xes continua( ) , .
3 5
2 32 5) Halla las discontinuidades en las siguientes funciones e
indica si son o no evitables.
a f xx
b g xx
x
) ( )
) ( )
2
2
2
6) Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:
-
33
7Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.
8Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la
función:
9¿Son continuas las siguientes funciones en x = 0?
1
2
10Dada la función:
-
34
11 Demostrar que f(x) no es continua en x = 5.
2¿Existe una función continua que coincida con f(x) para todos
los valores x ≠ 5? En caso afirmativo
dar su expresión.
12Estudiar la continuidad de la función:
13Estudiar la continuidad en x = 0 de la función:
14Calcular el valor de a para que la función siguiente sea
continua:
15La función definida por:
es continua en [0, ∞).
Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea
cierta.
16Sea la función:
Determinar el valor de a para que f(x) sea continua.
-
35
UNIDAD II: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
Derivadas por definición
Si f es una función, la derivada de f se denota: 'f ( f prima) y
se define así
'0
( ) limh
f x h f xf x
h
Ejemplos de aplicación:
a) Halle la derivada de la función 2 3f x x x aplicando la
definición. Calcule (5)f
b) Sea 3 2( ) 4 3 5f x x x x calcule )(xf
c) Sea 7
( )1
xf x
x
calcule )(xf
d) 2
1
3f x
x
calcule )(xf
-
36
e) Sea ( ) 3f x x calcule )(xf
Ejercicios propuestos: aplique la definición de derivada para
hallar la derivada de las siguientes
funciones.
2 3
3 2
2
2
1) ( ) 3 2 2) ( ) 1
5 13) ( ) 4) ( )
2
5) ( ) 2 3 3 6) ( )1
27) ( ) 3 1 8) ( )
1
19) 10)
1
f x x x f x x
xg x h x
x x
xf x x x g x
x
h x x f xx
f x senx f xx
Tabla de derivación
FUNCIÓN DERIVADA FUNCIÓN DERIVADA
( tan )k cons te 0 x 1
nx 1nnx
n x 1
1
n nn x
sen x cosx
x
1
21 1
22x
x
cos x – senx ax a
x ln a
tan x
sec2 x
loga x
1
lnx a
cot x
– csc2 x
ln x 1
x
sec x
sec x . tan x
ex
ex
cscx
– csc x . cot x
Arc tan x 21
1
x
Arc sen x 2
1
1 x Arc cos x
2
1
1 x
-
37
Ejemplos Derive las siguientes funciones
7y x 7y x
4
5y
x
3
5( ) 5f x x 3 2
4( )f x
x
xxf arctan)(
( ) 6x
g x xy ln 65
( )3
f x x
Reglas de derivación Son el conjunto de teoremas que se aplican
para el cálculo de derivadas de funciones sin que tengamos
que recurrir a la definición.
1) Derivada de una suma: es igual a la suma de las derivadas
' ' 'f x g x f x g x
Ejemplos
a)
3
4 2( ) 4 3 4f x x x sen x b) 6g(x) 5x - 4sec x 76x
c) f(x) = x5 – 7x
3 – 4x + 10 d) y = x 37
6
24 x e x 3
x
-
38
2) Derivada de un producto: Es igual a la derivada de una de las
funciones multiplicada por lastra función sin derivar, mas la
derivada de la función que no ha sido derivada, por la función que
se
derivó primero.
' ' 'f x g x f x g x f x g x
Ejemplos
a) 2( ) (3 5 )f x x x sen x c) 24
2f ( x ) 3x tan x
x
b) 5
2 ( cot )xy e xx
d)5f ( x ) ( 9x 4x 2x ) ln x
3) Derivada de un cociente: Es un cociente cuyo denominador
corresponde al cuadrado de la función que se encuentra en el
denominador de la función original, y cuyo numerador
corresponde a la función del denominador multiplicada por la
derivada de la función que se
encuentra en el numerador, menos la función del numerador
multiplicada por la derivada de la
función del denominador.
'' '
2
f x f x g x g x f x
g x g x
Ejemplos
a)6 35 7 6
( )csc
x xf x
x
b)
2x xf ( x )
3x 1
c) 2
2
xf ( x )
x 9
d)
x 2
2
3e xy
x 3x 5
-
39
4) Derivada del producto de una constante por una función : Es
igual al producto de la constante por la derivada de la
función.
' 'c f x c f x
Ejemplos
a) 3
( ) 5sec 7 ln5
f x sen x x x b) g(x) 8cosx - 3arctanx
5) Regla de la cadena: sea f una función compuesta
' ' 'Si f x g h x
f x g h x h x
Ejemplos
a) 7 3( ) (4 cos 3)f x sen x x b) 5
sec( 2 4 )x
y x
c) 5 4 )73( xexxy d) 2
3
3 tan 4( ) x xf x e
59
45( ) cos (tan ( ( (4 ) )x xg x arcsen
-
40
5 2 3
35
tan (5 2) ( 7)
ln 2 7
x sen xy
x x
PRACTICA DERIVE
5 3
5 6
4
4
3
'4
2
2 3
'9
3 4
'2 3
'2 3 2
2
2
1) 2
2) ln
3) 10
4) ln
5) 3 cos
6) ln 1992
7) 2
8) 4 2
9)
10) ( ) 2 3 17 6 2
11) 2 1 2
12) 1 1
13)
14) t
x
x
f x x x
f x x x x
f x x e
f x x x
f x x x
x x
f t t t
f v v v
x senx
f x x x x
x x
t t t
f t t sent
f x x
'4
'
3
2
'
'
4
2
3
4
an
15)
16) ln
17) n
8) ln sec
19)
cos20)
121)
1
22)1
123)
cos
x
x
x
x senx
e x
f x x l x
f x x x
f x x e senx
t
t
x
xf x
x
xf x
x
2
'2
2
3
'
2
'
2
6
3
3
4
3
2
'
2
24)4 1
25)
26)
127)
1
28)1
29) ( ) 4 3
30)
31) cos
5 132) ( )
7
33) ( ) 8 3
cos 234) ( )
1
35) ln
36) n
tan37) ( )
x
x
xf x
x
x x
e senx
xf x
x senx
x
x
x
f x x
f x sen x
f x t
xf x
f x x
x xf x
x
e x
f x l x
xh x
3
2
4 2
5 43
3 4 3
3 4
2
3
4 5
( 3 5 )
2
38) ( ) cos 1
39) ( ) ( )
40) (3 5 9)
( 1)41)
tan
42) ( ) ( ( cos( ) ) )
43) ( ) (1 cos 3 )
x
x x
x x
g x x
f x x sen x
f x sen x x x
e xy
x
g x sen Tan x
f x x x
-
41
44) 3 3ln sec tan g x x x
45) tan ln senxh x e x
46) 4
cos arctan 3 cos ln y x x
47) 3cos 45ln tan 3 1
xf x
48) 3 41
lncos
uf u
u u
49) 2
tan2 3
wf w
w
50) 4 2cos arctan 5 ln 1 f x x x
51) 5arccos
ueh u
u
52)
2 1 3
3 3
ln
2
xe x xy
sen x
53)
7 3
3tan 5
3 5ln 7 1
x
sen x xw x arcsen x
54) Sea f una función derivable y 3
f xh x x f x
x. Si se sabe que 1 3f y
' 1 10h , encuentre el valor de ' 1f .
55) Si 3
5 6 y u y 4
2 1 u x . Determine 1x
dy
dx.
-
42
Diferencial de una función
Sea f(x) una función derivable. Diferencial de una función
correspondiente al incremento h de la
variable independiente, es el producto f'(x) · h. Se representa
por dy.
La diferencial en un punto representa el incremento de la
ordenada de la tangente,
correspondiente a un incremento de la variable.
Calcular la diferencial de las funciones:
-
43
Calcular el incremento del área del cuadrado de 2 m de lado,
cuando aumentamos 1mm su lado.
S = x2 dS = 2x dx
d(S)= 2·2· 0.001 = 0.004 m2
Ejercicios y problemas de diferencial de una función
1Calcular la diferencial de las siguientes funciones:
1
2
3
4
5
6
2Calcular el incremento del área del cuadrado de 5 m de lado,
cuando aumentamos 1mm su lado.
3Un cuadrado tiene 2 m de lado. determínese en cuánto aumenta el
área del cuadrado cuando su lado lo hace en un milímetro. Calcúlese
el error que se comete al usar deferenciales en lugar de
incrementos.
4Hallar la variación de volumen que experimenta un cubo, de
arista 20 cm, cuando ésta aumenta 0.2 cm su longitud.
5Calcula el error absoluto y relativo cometido en el cálculo del
volumen de una esfera de 12.51 mm de diámetro, medido con un
instrumento que aprecia milésimas de centímetro.
6Si el lugar de se halla . ¿Cuáles son las aproximaciones del
error absoluto y relativo?
-
44
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Se llama segunda derivada de faf y se define como )()( xfxf y en
general
)()( 1 xfxf nn .
Ejemplos Calcule la segunda derivada de
a) 5( ) 2 4 6f x x sen x x b) 3( ) xf x x e
Calcule la tercera derivada de
a) 464)( 35 xxxxf b) 63
2( ) 3
xf x e
x
DERIVACION IMPLICITA
Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario
despejar y. Basta derivar miembro a
miembro, utilizando las reglas de derivación y teniendo presente
que:
x'=1. y además y 1 y 2y 2y y
En general y'≠1.
Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.
Ejemplos
1)
2)
-
45
Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una
regla para facilitar el cálculo:
Ejemplos
-
46
Ejemplos 1) Calcular dy
dx sabiendo que 3 3 2 2y 6 x y 4 y x 10
2) . Determine dy
dx en 2 4 3 4 33x y x y sen ( xy )
3) Calcular 2
2
d y
dx sabiendo que 2 2x y 3
Práctica Halla la derivada de y respecto a x de:
1) x2 + y2 = 9 8) 2x sen y y tan x 1
2) x2y
3 +x
4 = 1- 4x 9) 2 3x y cos( xy )
3) xsen y = x4 10) Calcular
2
2
d y
dx
4) 4 3 35y y 6 y 4x x y a)
2x xy 2
5) 3 4y x y 5x y b)
2 2x y 16
6) 2 2 3 4 4y x x y c) 2 4y x
7) xy cos( x y )
-
47
UNIDAD III: APLICACIONES DE LA DERIVADA Interpretación
geométrica Recta tangente La recta tangente a una curva en el punto
(a 0 ,f(a0) ) dado también viene dado por y = mx + b donde
m = 0 00
h 0
f ( a h ) f ( a )f ( a ) lim
h
y b = f(a0) – m a0
m representa geométricamente la pendiente de la recta tangente a
la curva y = f(x) en le punto
( x0 ,yo).
Ejemplos
1) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva 3y x en el
punto ( 6 , 3).
2) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva 4
7 3y x x en x = –1.
3)Determine la ecuación de la recta tangente a la curva 23 2 f x
x en el punto ( –5 , –3 )
-
48
Practica 1) Calcule ecuación de la recta tangente a la curva
cuya x en el punto de tangencia es
a) 852)( 2 xxxf x = - 1 b) 45)( xxf x = 4 c) 32
1)(
xxf x = - 2
d) 1
)(
x
xxf x = 3 e) 1)(
3 xxxf x = - 1 f) 3
1)(
xxf x = 1
2) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva cuya x en
el punto de tangencia es
a) 2xy , x = - 1 b) xxy 3 , x = 1 c) xy , x = 4
d) x
y1
, x = 2 e) 432 xxy , x = 3 f) xseny , x =
3) Encuentre la ecuación de una parábola de la forma 2 y ax bx
que tenga como tangente a
3 2 y x en el punto 1,1 .
Movimiento rectilíneo En esta página se comienza el estudio del
movimiento rectilíneo. Se debe destacar el concepto de
velocidad instantánea, y el cálculo del desplazamiento entre dos
instantes cuando se conoce un registro
de la velocidad del móvil entre dichos instantes. El movimiento
de caída de los cuerpos como ejemplo
de movimiento uniformemente acelerado.
Magnitudes cinemáticas Se denomina movimiento rectilíneo, aquél
cuya trayectoria es una línea recta.
En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que
medirá la posición del móvil x en el
instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la
derecha del origen y negativas si está a la
izquierda del origen.
Velocidad media
La velocidad media o velocidad promedio informa sobre la
velocidad en un intervalo dado. Se calcula
dividiendo el desplazamiento (Δx) por el tiempo transcurrido
(Δt):
Ejemplos Se deja caer desde 100 m de altura un objeto , su
altura viene en el instante t viene dada por la función de posición
s = - 16t2 + 100 , con s medida en metros y t en segundos .Hallar
la razón media de cambio de la altura en los intervalos
a) 1, 2 b) 1, 1,5 c) 1, 1,1
-
49
Velocidad instantánea.
Sea s(t) la función que define la posición de una partícula en
movimiento rectilíneo. La velocidad
instantánea de la partícula en un tiempo t se define como:
0lim
t
s t t s tv t
t
Observa un detalle muy importante: La definición anterior es
idéntica en forma a la definición de la
pendiente de la recta tangente a una curva. Esto sugiere que el
concepto del límite en una expresión de
la forma Lim [f(x+h)-f(x)]/h cuando h 0 es un concepto
importante. De hecho, es un concepto
fundamental de las matemáticas. Es el concepto de la derivada.
Ejemplo
Hallar la velocidad en t = 1 y t = 3de un objeto en ca ída l
ibre cuyo f unción de
posic ión es 2s( t ) 16t 100
Definic ion de la aceleración .Si s es la función de posic ión
de un obje to en
movimiento rec t il íneo , su aceleración en el instante t viene
dada por
a( t ) v ( t ) donde v(t) es la velocidad en el instante t
1) Hal lar la aceleración de un obje to en ca ída l ibre cuyo
función de posic ión es 2s( t ) 16t 100
2 )Supuesto que la velocidad de un automóvi l que ar ranca del r
eposo viene dada por
80t
v m / st 5
hallar la velocidad y su aceleración en t= 0 , 5 , 10 , 15 , ….
, 60 segundos
-
50
Problema 1
La posición de una partícula que se mueve en línea recta está
dada por x(t) = 10.0 + 1.2 t3 donde x está
en metros y t en segundos.
(a) Escriba la velocidad instantánea de la partícula en función
del tiempo.
(b) Determine la velocidad instantánea de la partícula en t = 1
s y t = 3 s.
(c) Escriba la aceleración de la partícula en función del
tiempo.
(d) Determine la aceleración instantánea en t = 1 s y t = 2
s.
Problema 2
Una partícula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo a
donde t está en segundos y x en metros. Determine a) la
velocidad y la aceleración en función del
tiempo.
-
51
Problemas de aplicaciones físicas de la derivada
1La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil
y el tiempo en segundos es e(t) = 6t2.
Calcular:
1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4.
2 La velocidad instantánea en t = 1.
2Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia de
un millón de bacterias no comienza
su reproducción hasta pasados dos meses. La función que
representa la población de la colonia al variar
el tiempo (expresado en meses) viene dada por:
Se pide:
1. Verificar que la población es función continua del
tiempo.
2. Calcular la tasa de variación media de la población en los
intervalos [0, 2] y [0, 4].
3. Calcular la tasa de variación instantánea en t = 4.
3Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la
función p(t) = 5000 + 1000t² , siendo t el
tiempo metido en horas. Se pide:
1. La velocidad media de crecimiento.
2. La velocidad instantánea de crecimiento.
3. La velocidad de crecimiento instantáneo para t 0 = 10
horas.
4La ecuación de un movimiento rectilíneo es: e(t) = t³ − 27t.
¿En qué momento la velocidad en nula?
Hallar la aceleración en ese instante.
5La ecuación de un movimiento circular es: φ(t) = ½t². ¿Cuál es
la velocidad y la aceleración angulares
al cabo de siete segundos?
7Se bombea gas a un globo esférico a razón de 6m3/min. Si la
presión se mantiene constante. ¿Cuál es
la velocidad con la que cambia el radio del globo cuando el
diámetro mide 120 cm?
8¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la
ecuación e(t) = 2 − 3t2 en el quinto
segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el
tiempo en segundos.
-
52
Crecimiento y decrecimiento de funciones
Definición Sea f una función con dominio D un punto ( x o ,
f(xo) ) se llama :
1) Máximo absoluto de f si y solo si f(xo) f (x) x D
2) Mínimo absoluto de f si y solo si f(xo) f (x) x D
3) Máximo relativo de f si y solo si f(xo) f (x) x I , I un
cierto intervalo que contiene a xo, I D
4) Mínimo relativo de f si y solo si f(xo) f (x) x I , I un
cierto intervalo que contiene a xo, I D
Gráficamente
Máximo absoluto
Máximo
relativo
xo xo
Mínimo absoluto mínimo relativo
Teorema 1 Toda función continua en un intervalo cerrado posee un
máximo o mínimo absoluto
Teorema 2 Anulación de la derivada en un extremo relativo.
Sea f definida en un intervalo abierto I y supongamos que f
tiene un máximo relativo o mínimo
relativo en un punto c interior de I. Si la derivada )(cf existe
, es 0)( cf o )(cf no existe
c se llama punto critico.
Nota : Los posibles puntos máximos o mínimos de una función se
encuentran donde la derivada es
cero o no existe .
Teorema 3 .Sea f una función definida y derivable en un
intervalo a , b . Tenemos entonces
1) Si )(xf 0 x a , b f es estrictamente creciente en a , b
2) Si )(xf 0 x a , b f es estrictamente decreciente en a , b
3) Si )(xf = 0 x a , b f es constante en a , b
-
53
Ejemplos Determine la monotonía de las siguientes funciones
1) 4153
1)( 23 xxxxf
2) 1
)(2
x
xxf
3) 24 2)( xxxf
-
54
Máximos y mínimos de una función
Notas sobre el teorema 3
1) Si )(xf cambia en un punto ( x o , f(xo)) de positiva a
negativa se dice que ( x o , f(xo) ) es un
máximo relativo
2) Si )(xf cambia en un punto ( x o , f(xo)) de negativa a
positiva se dice que ( x o , f(xo) ) es un
mínimo relativo
3) Si posee segunda derivada y 0x es un punto critico Entonces
si
0)( 0 xf ( x o , f(xo) ) es un mínimo relativo
0)( 0 xf ( x o , f(xo) ) es un máximo relativo
0)( 0 xf ( x o , f(xo) ) no es un máximo ni mínimo relativo
Ejemplo Calcule los máximos y mínimos de
a) 3223
)(23
xxx
xf
b) 104)( 24 xxxf
-
55
Concavidad y puntos de inflexión
Criterio de la segunda derivada
Definición de punto de inflexión
Un punto xo es un punto de inflexión , si )( oxf = 0 o )( 0xf no
existe . f debe ser continua.
xo
xo
Observe que se da un cambio de concavidad.
Teorema 3 .Sea f una función definida y f posee segunda derivada
en un intervalo a , b .
Tenemos entonces
1) Si )(xf 0 x a , b f es cóncava hacia arriba
2) Si )(xf 0 x a , b f ee cóncava hacia abajo
Ejemplos Estudie la concavidad de
a) 4 3f ( x ) x 4x 10
b) 34
3
1
4)( xxxf
c) 2 3
( )1
xf x
x
-
56
PRACTICA
I Determine el sentido de variación de las siguientes funciones
, indique el dominio , además indique
si es máximo o mínimo
1) 14)( 4 xxxf 7)xx
xy
2
12
2) 433
1)( 23 xxxxf 8)
2
43)(
2
x
xxxf
3) x
xxf1
)( 9) xx
xxh
2
12)(
4) 3
4
2)(
34 xxxf 10)
3
1)(
x
xxf
5) 630152)( 345 xxxxh 11) 2
2
)1(
2)(
x
xxxg
6) 35
3
2
5)( xxxg 12) 4
8)(
2
xxh
II Estudie la concavidad en las siguientes funciones
1) 4 3 3h( x ) x 2x 4x 8 4) 4
8)(
2
xxf
2) 11212103)( 234 xxxxxf
3) 143)( 34 xxxg 5) x
xxf1
)(
-
57
Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de una función Hay
tres tipos de asíntotas
y
y y
x
x x
Asíntota vertical Asíntota horizontal Asíntota oblicua
Asíntota vertical
Definición
Si axrectalaentoncesxfax
,)(lim es una asíntota vertical
Para calcular se busca donde se indefine la función
Asíntota horizontal
Definición
Si byrectalaentoncesbxfx
,)(lim es una asíntota horizontal si el límite existe.
Para hallarla se calcula el límite cuando x tiende al infinito
de la función
Asíntota oblicua
Para que exista debe de existir los limites de
0)(
lim x
xfm
x mxxfb
x
)(lim y ser finitos
y la ecuación es bmxy
Nota :Los polinomios no tienen asíntotas
-
58
Ejemplos Estudiar la existencia de las asíntotas para la
función
1) 3 5
( )2
xf x
x
2) 2 3
( )1
xf x
x
3) 2
4( )
4
xf x
x
-
59
Cuadros de variación y trazo de curvas Pasos a seguir
1. Determinar el dominio de la función . 2. Determinar las
intersecciones con los ejes. 3. Determinar la primera derivada de
la función:
a. Puntos críticos. Son aquellos puntos donde 0f x o f x no esta
definida
b. Sentido de variación: 0 0f x si f x y f x si f x
c. Un punto critico c corresponde a un máximo relativo si ocurre
c y c es un mínimo
relativo si ocurre c .
4. Determinar la segunda derivada de la función
a. Puntos de inflexión . Son aquellos puntos donde 0f x o f x no
esta definida
b. concavidad: 0 0f x si f x y f x si f x 5. Extremos e
imágenes. Se calculan los limites de los extremos de los intervalos
dados en el dominio
de la función , además se calculan las imágenes de los puntos
máximos, mínimos y de los puntos de
inflexión.
6. Asintotas. Las verticales y horizontales se obtienen del
punto 4. lim ,x
Si f x b y b
es una
asintota horizontal . lim ,x a
Si f x x a
es una asíntota vertical. Para que exista una
asintota oblicua deben existir los limites
lim , limx x
f xm b f x mx
x y ser finitos con
0m , en tal caso la ecuación de la asintota oblicua corresponde
a y mx b .
7. Cuadro de variación x Extremos de la función, mínimos y
puntos de inflexión.
f x Valores obtenidos en el punto 4.
f x Resultados obtenidos en el punto 2, sentido de
variación.
f x Resultados obtenidos en el punto 3, concavidad.
8. Con ayuda del cuadro obtenido en el punto 6 se traza la
gráfica aproximada de la función f, es recomendable trazar primero
las asíntotas, marcando luego los ceros, los puntos máximos y
mínimos y de inflexión, luego se unen por intervalos de acuerdo
al cuadro de variación
Ejemplos. Grafique las siguientes funciones:
1) 3 21
3 33
f x x x x
2) 2
1
xf x
x con
2
2
2'
1
x xf x
x y
3
2''
1
f x
x
3) 2
2 4
xf x
x con
2
2
8'
4
xf x
x y
2
32
24 32''
4
xf x
x
4) 4 26 f x x x
-
60
Practica. Trace la gráfica de las siguientes funciones
1) 4 34 10 f x x x
2) 4 22 f x x x
3) 2
2
3
4
xf x
x con
2
2
24'
4
xf x
x y
2
32
24 3 4''
4
xf x
x
4) 2 2 4
3)2
x xf x
x
con
2
4'
2
x xf x
x y
3
8''
2
f x
x
5) 2
2
xf x
x con
2
4'
2
f x
x y
3
8''
2
f x
x
6) 3 3 3
2 3
2 1 2
2
x x xf x con f x y f x
x x x
7) 2
3
)1()(
x
xxf con
3
2
)1(
)3()(
x
xxxf y
4)1(
6)(
x
xxf
8) 2
1f ( x )
x 1
con
2 2
2xf ( x )
( x 1 )
y
2
2 3
6 x 2f ( x )
( x 1 )
9) 2
8f ( x )
x 4
con
2 2
16 xf ( x )
( x 4 )
y
2
2 3
48x 64f ( x )
( x 4 )
10) 2
2
1 xf ( x )
1 x
con
2 2
4 xf ( x )
( x 1 )
y
2
2 3
4( 3x 1 )f ( x )
( x 1 )
11) 3
2
xf ( x )
x 1
con
4 2
2 2
x 3xf ( x )
( x 1 )
y
3
2 3
2x 6 xf ( x )
( x 1 )
12) 2x 4
f ( x )x
con
2
2
x 4f ( x )
x
y
3
8f ( x )
x
13) 2
x 1f ( x )
x
con
3
( x 2 )f ( x )
x
y
4
2( x 3 )f ( x )
x
14)
3
3
xf ( x )
x 1
con
3 2
3
x 3xf ( x )
( x 1 )
y
4
6 xf ( x )
( x 1 )
15) 2x + 8
( )x + 1
f x con 2
( 4) ( 2)( )
( 1)
x xf x
x
y
3
18( )
( 1)f x
x
-
61
Problemas de máximos y mínimos
En la resolución de problemas en que se debe determinar el
máximo o el mínimo de una cierta
expresión, deben seguirse los siguientes pasos:
Determinar la magnitud que debe hacerse máxima o mínima, y
asignarle una letra.
Hacer un dibujo cuando sea necesario.
Asignar una letra a las cantidades mencionadas en el problema y
escribir una ecuación en la que
se establezca lo que se debe hacer máximo o mínimo.
Establecer las condiciones auxiliares del problema y formar una
ecuación (ecuación auxiliar)
Expresar la cantidad que debe maximizarse o minimizarse en
términos de una sola variable
utilizando para ello la ecuación auxiliar. Determinar el dominio
de esta función.
Obtener la primera derivada de esta función para determinar los
valores críticos.
Comprobar, utilizando el criterio de la primera derivada o el de
la segunda derivada, si los
valores críticos son máximos o mínimos.
Verificar que el valor obtenido cumple las condiciones dadas en
el problema
Responder a la pregunta establecida en el enunciado del
problema.
En algunos problemas hay que utilizar diversas figuras
geométricas por lo que a continuación se
especifican algunas de ellas junto con las respectivas fórmulas
sobre áreas y volúmenes:
Aplicación de máximos y mínimos
-
62
3) Encuentre las dimensiones de un cilindro circular recto de
forma que su área total sea 50 cm2 y su
volumen sea máximo.
4) Un rectángulo tiene 120 m. de perímetro. Cuáles son las
medidas de los lados del rectángulo que dan
el área máxima?
5) Los barriles que se utilizan para almacenar petróleo tienen
forma cilíndrica y una capacidad de 160 l.
Hallar las dimensiones del cilindro para que la radio y la
altura empleada para que su construcción
sea mínima.
-
63
Problemas de optimización con respuestas al final: 1º Queremos
construir una caja abierta, de base cuadrada y volumen 256 l. Halla
las dimensiones para que la
superficie, y por tanto el costo, sea mínimo. 2º Entre todos los
rectángulos de área 16 halle el de perímetro mínimo. 3º De todos
los cilindros inscritos en una esfera de radio 1 m, hallar el valor
del volumen del cilindro que tenga
máximo volumeno
4º Entre todos los rectángulos inscritos en una circunferencia
de radio 2 2 , ¿cuál es el de superficie máxima? 5º La suma de los
catetos de un triángulo rectángulo es 40 cm. Hallar sus dimensiones
para que la superficie de ese rectángulo sea máxima. 6º Hallar las
dimensiones de un rectángulo de área máxima inscrito en una
circunferencia de radio 2.
7º De todos los triángulos isósceles de perímetro 9. Hallar las
dimensiones del que tenga área máxima.
8º Hallar dos números que sumen 18 y que su producto sea
máximo.
9º Hallar dos números que sumen 9 y que el producto del cuadrado
de uno por el triple del otro sea máximo.
10º Se quiere vallar una parcela rectangular junto a una
carretera. Si la valla junto a la carretera cuesta 1
euro/m y el resto 50 euros/m. ¿Cuáles serán las dimensiones de
la parcela para que el área sea máxima si disponemos de 180 euros?
11º Un ganadero quiere encerrar a sus ovejas en un redil
rectangular de área máxima, para lo cual aprovecha la
pared de la finca y con 100 metros de valla construye ese redil.
Hallar las dimensiones del rectángulo. 12º La suma de las aristas
de un prisma recto de base cuadrada es 36. Halla las dimensiones
para que el volumen sea máximo. 13º Un círculo de diámetro 8 cm se
divide en dos trozos para formar los diámetros de otros dos
círculos. Halla la
medida de los trozos para que la diferencia entre el área del
círculo grande y las de los dos pequeños sea máxima. 14º Una hoja
de papel debe contener 288 cm2 de texto impreso. Los márgenes
superior e inferior deben tener 2
cm cada uno y los laterales 1 cm. ¿Cuáles deben ser las
dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo? 15º
La vidriera de una iglesia está formada por un rectángulo y sobre
él una semicircunferencia, si se quiere que
el perímetro sea mínimo y que el área sea a 8 + 2π 2m . ¿Cuáles
deben ser las dimensiones de la vidriera? 16º Entre los pares de
números cuyo producto es 64 encuentra aquellos positivos cuya suma
de cuadrados sea mínima.
17º En un campo se quiere limitar una parcela de 24 2m por medio
de una valla rectangular y además dividirla
en dos partes iguales por medio de otra valla paralela a uno de
los lados. ¿Qué dimensiones deben elegirse para que la cantidad de
valla sea mínima? 18º Se quieren fabricar latas de refresco
(cilíndricas) cuyo contenido sea de 1/3 de litro, de manera que el
costo
de la chapa sea mínimo; hallar su altura y radio de la base.
-
64
19º Queremos vallar una parcela rectangular de 200 2m de una
finca aprovechando un muro ya existente, de
modo que en ese lado no es necesaria una valla. ¿Cómo debe ser
ese rectángulo para que el costo de la valla sea mínimo? 20º Se
desea abrir una ventana rectangular en una pared de una casa.
Queremos que nos salga lo más
económica posible sin perder luz, para ello pretendemos que el
área sea de 16/15 2m . Sabemos que el coste
en vertical es de 50 euros/m y en horizontal 30 euros/m. ¿Qué
dimensiones debe tener la ventana?
Respuestas
1º x = 8, y = 4 2º x = y = 4 3º V = 4 3
9 4º Un cuadrado de lado 4 5º Dos catetos iguales de 20 cm
6º 8, 8x y 7º x=3, y=3 8º 9 y 9 9º x=6, y=3 10º 60×90 m 11º
25×50
12º x = 3; y = 3 13º d = d' = 4 cm 14º 28× 14 cm 15º x=4, y=2 m
16º 8 y 8 17º 6 m de largo por 4 m de ancho
18º R = 1
36
h = 336
27 19º 10× 20 20º 4/5 × 4/3
-
65
UNIDAD IV: INTEGRAL INDEFINIDA Antiderivadas e integración
indefinida
Tratamos de encontrar una función F tal que su derivada sea
igual a una función dada f .A la
función F le llamaremos la primitiva o antiderivada de f .
Definición: Dada la función f ,definida sobre un intervalo I , a
una función F tal que )()( xfxF
Para x I , le llamamos antiderivada de f .
Ejemplos . Encuentre las antiderivadas de
xxf 2)( 34)( xxf xxf cos)( xexf )(
El proceso de cálculo de antiderivadas se conoce como
integración indefinida y se define
f ( x ) dx F( x ) C
)()( xfxF
integrando variable de constante de
integración integración
Propiedades de la integral indefinida
1) kf x dx k f x dx 2) f x g x dx f x g x C
3) dx x C 1
4) 11
nn xx dx C n
n
5) lndx
x Cx
6) x xe dx e C
7) cossen x dx x C 8) cos x dx senx C
9) tan ln cosx dx x C 10) cot lnx dx sen x C
11) sec ln sec tanx dx x x C 12) sc ln csc cotc x dx x x C
213) sec tanx dx x C 214) csc cotx dx x C
15) sec tan secx x dx x C 16) csc cot cscx x dx x C
2 217)
dx xarcsen C
aa x
2 2
118) tan
dx xarc C
a x a a
2 2
119) csc
xdxarc C
a ax x a
120) ln
dx
ax b Cax b a
-
66
Ejemplos de aplicación
5x dx
4x dx
1
5x dx
dxx4
1
5 3(2 6 5)x x dx
(6 cos )xe x dx
3 22 ( )x x x dx
2(4 tan 1)x dx
4 2
2
4 3 4x xdx
x
22 tan 2x sen x
dxsen x
97
2x
dx
dxxx )cos2csc(
7sen x dx
dxex )3
3
2( 5
2(sec 7 cot 5 )x x dx
2sen y dy
dxx)3(csc2
3vdv
dx
xx
5
16sec4( 34t
dt
-
67
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN. Existen una serie de integrales que
se pueden obtener utilizando la reglas de integración pero
requieren un cambio de variable.
Ejemplos
a) dxxx 42 )5( e) 2
3 6
5xdx
(1 x )
b) dxx 3 144 f) 2sec (ln )x dx
x
c) 4
58
x dx
x g)
dx
x tan ( 5 x )
d) dxexx
12 33 h)
2
2 3( 2 5)
x dx
sen x
-
68
i) dxxx 4 1 k) 2 7( 3)x x dx
j) xdxx
tan
sec2 l) 2 35(2 1) 6 9 4x x x dx
INTEGRACIÓN POR PARTES
Utilizaremos la siguiente fórmula duvvudvu
Donde derivaremos u e integraremos dv. Este método lo
utilizaremos cuando la función integrando
es el producto de dos funciones de distinta naturaleza
Ejemplos
a) dxexx b) dxxsenx
c) 7 lnx x dx d) dxxx cos2
-
69
e) ln x dx
f) cosxe x dx
g) arccos x dx
h) 2x
x dx
e
-
70
Practica 1) Calcule las siguientes integrales:
a) dxxx )53(23
b) dxxx )24( 5
c) dxxxx )1815(572
d)
dxx
xx 32 24
e) dxxxsen )sec42(2
f) dttt22 csc
g)
dx
xxx73 2
311
h) dvvv 3tan3sec
2) Calcule las siguientes integrales por sustitución
A) 7.-
2.- 8.-
3.- 9.-
4.- 10.-
5.- 11.-
6. 12.-
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solsust1.gifhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solsust7.gifhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solsust2.gifhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solsust8.gifhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solsust3.gifhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solsust9.gifhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solsust4.gifhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solsust10.gifhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solsust5.gifhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solsust11.gifhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solvar17.gifhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solsust12.gif
-
71
B)
a) dxxx 31
2 )1(
b) dxxx 343 3
c) 12x
dxx
d) 22
xe
dxx
e) dyyy
2
5
111
f) dxxx 3 2
g) 42
)cot(
csc
x
dxx
h) dxxx 24 sectan
i) dxxx 21
3) Calcule la siguientes integrales por partes
A) a) dxexx2 b) dxxsenx 5
2
c) dxxx ln4 d) dxxx 3cos
e) dxexx
f) dxxex cos
B)
1 - 7.-
2.- 8.-
3.- 9.-
4.- 10.-
5.- 11.-
6.- 12.-
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solpart1.gifhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solpart7.gifhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solpart2.gifhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solpart8.gifhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solpart3.gifhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solpart9.gifhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solpart4.gifhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solpart10.gifhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solpart5.gifhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solpart11.gifhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solpart6.gifhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solpart12.gif
-
72
INTEGRACIÓN MEDIANTE FRACCIONES PARCIALES
La Integración mediante fracciones parciales, es uno de los
métodos de Integración mas fácil, en donde
la forma a seguir esta dada (se podría decir), por unos
criterios.
Definición: Se llama función racional a toda función del
tipo
CASO 1: Factores Lineales Distintos.
A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fraccion
racional propia (que el denominador se
puede descomponer), le corresponde una fracción de la forma ,
siendo A una constante a
determinar.
Ejemplo:
luego nos queda la siguiente igualdad
o tambien lo podemos escribir 1 = ( A + B )x + 2A - 2B Haciendo
un Sistema.
A + B = 0
2A - 2B = 1 , las soluciones son : entonces :
con lo cual
Calcular 2
2x 1dx
x 2x 3
-
73
CASO 2: Factores Lineales Iguales.
A cada factor lineal, ax+b,que figure n veces en el denominador
de una fracción racional propia, le
corresponde una suma de n fracciones de la forma
EJEMPLO:
Calculemos la siguiente integral
Pero: Tendremos
Amplificando por
Las Soluciones son:
Nos queda:
Calcular
2
3
x 2x 4dx
x 3
-
74
Calcular 35x 1
dxx 3x 1
CASO 3: Factores Cuadráticos Distintos.
A cada factor cuadrático reducible, que figure en el denominador
de una fracción racional
propia, le corresponde una fracción de la forma siendo A y B
constantes a determinar.
Ejemplo: Calcular:
Con lo que se obtiene
de donde
luego los valores a encontrar son: A = 0 , B = 1 , C = 1 , D =
0
Resuelva las siguientes integrales:
a) 3
2 3
3
xdx
x x
b) 2
3 2
2 2
3 3
x xdx
x x x
-
75
CASO 4: Factores cuadráticos Iguales
A cada factor cuadrático irreducible, que se repita n veces en
el denominador de una
fracción racional propia, le corresponde una suma de n
fracciones de la forma
siendo los valores de A y B constantes reales.
Ejemplo:
Calcular la siguiente integral
tendremos que por tanto multiplicando a ambos lados de la
igualdad por el minimo común denominador tenemos
Donde los valores de las constantes son
A = 0 , B = 2 , C = 0 , D = 1
De donde remplazando e integrando a primitivas se obtiene.
Resolver la siguiente integral
3
2 2
2x 4x 8dx
x x x 4
-
76
Practica 1) Calcule la siguientes integrales
2) Calcule la siguientes integrales respuestas
1.
dx
xx
x
2
25
cxx
32ln
3
254ln
5
4
2
1
2.
dx
x
xx
424
4333
c
x
x
x
1ln
1
12
3.
dx
xx
x
132
32
cxx 132ln
4.
dx
xxx
xxx
22426
3453
cxxxx
32ln332
2
1
5.
dx
xx
xx
2212
24314
c
xx
31
131ln
9
1
6. 2
3x 4dx
x 2 x 2x 2
21ln x 2 ln x 2x 2 C2
7. dx
xxx
x
23
42
cx
xx
4
12ln
8. dx
xx
xx
212
61326
c
xxx
1
12142ln
9. dx
xxx
x
623
1
cxxx 2ln
10
33ln
15
2ln
6
1
10.
dx
xxx
xxxx
3223
617243342
cxxxxx 1ln3ln2
ln2
8.4
xdx
16 x 1
http://usuarios.lycos.es/calculoint21/id34_m.htm#1#1http://usuarios.lycos.es/calculoint21/id34_m.htm#2#2http://usuarios.lycos.es/calculoint21/id34_m.htm#3#3http://usuarios.lycos.es/calculoint21/id34_m.htm#4#4http://usuarios.lycos.es/calculoint21/id34_m.htm#5#5http://usuarios.lycos.es/calculoint21/id34_m.htm#6#6http://usuarios.lycos.es/calculoint21/id34_m.htm#7#7
-
77
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
A menudo es posible hallar la antiderivada de una función cuando
el integrando presenta expresiones
de la forma:
Se elimina el radical haciendo la sustitución trigonométrica
pertinente; el resultado es un integrando
que contiene funciones trigonométricas cuya integración nos es
familiar. En la siguiente tabla se
muestra cuál debe ser la sustitución:
Expresión en el integrando Sustitución trigonométrica
2 2a x x = a sen
2 2a x x = a tan
2 2x a x = a sec
Ejemplos
http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/trigo/trigo.shtml#trihttp://www.monografias.com/trabajos11/tebas/tebas.shtmlhttp://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id367_m.htm#1#1
-
78
2)
3
2 9
dx
x
3) 24 1
dx
x
4) 225 4
dx
x
-
79
5) 21
dx
x
6)
2
4
16xdx
x
Practica
Calcular las siguientes integrales
1)
249 xxdx
4) dxx 42
2)
2
3
)4( 2x
dx 5)
22 9 xx
dx
3)
dxxx 225
6)
2 3xdx
x
-
80
EJERCICIOS ADICIONALES POR TEMAS
LIMITES Y CONTINUIDAD
A. Considere la función f cuya gráfica se adjunta, con base en
ella, indique lo que se le solicita:
a. 3
( )limx
f x
b. ( )limx
f x
c.
2
( )limx
f x
d.
2
( )limx
f x
e. Un valor de x donde f presenta una discontinuidad
evitable.
f. Un valor de x donde f presenta una discontinuidad
inevitable.
g. Un intervalo cerrado en donde f es continua
B. Calcule los siguientes límites:
1) xx
x
x 2
22lim
22
2) 2lim 5 6
xx x x
3) 3 2
22
x 5 12lim
5 7 6x
x
x x
4)
63
516lim
2
3
x
x
x
5) 64
16
11
lim3
2
4
x
xx
6) x 5lim
25
10
5
12
xx
2
-2
-3
3
o
.
