FÍSICA 2º BACHILLERATO. EXAMEN DEL TEMA 1. (SOLUCIÓN) 18 …

I.E.S. Al-Ándalus. Dpto de Física y Química. Curso 2004/05 Física 2º Bachillerato

FÍSICA 2º BACHILLERATO. EXAMEN DEL TEMA 1. (SOLUCIÓN) 18-11-04

1. a) Explicar qué se entiende por fuerza conservativa y por energía potencial. ¿Qué relación existe entre ambosconceptos?.

b) Sobre un cuerpo actúan sólo dos fuerzas. La primera realiza un trabajo de -10 J, y la segunda un trabajo de15 J. Medimos que la energía mecánica del sistema aumenta en 15 J. ¿Es conservativa alguna de las fuerzasaplicadas? ¿Qué ocurrirá con la energía cinética del cuerpo? Razonar.

a) - Fuerza conservativa: Se dice que una fuerza es conserva tiva cuando el trabajo que realiza en un desplazamiento

entre dos puntos A y B no depende del camino seguido, sino únicamente de los puntos A y B.

- Energía potencial:

- Función potencial asociada a una fuerza conservativa.

- Energía que almacena un cuerpo debido a la acción de una fuerza conservativa.

Ambos conceptos se relacionan a través del trabajo reali zado por la fuerza. El trabajo que realiza la fuerza

conservativa modifica la energía potencial del cuerpo. Si el trabajo es positivo, la energía potencial disminuye, y

aumenta en el caso de que el trabajo sea negativo. Operativamente. FCWEp � '

b) De los datos que nos suministra el problema podemos extraer consecuencias sobre las variaciones sufridas por los

distintos tipos de energía que posee el cuerpo.

– Cinética (Ec): Debida al movimiento

– Potencial (Ep): Debida a la acción de la fuerza conservativa.

– Mecánica (EM): Suma de Ec y Ep

Sabemos que:

- La energía mecánica se modifica por la acción de fuerzas no conservativas, mediante el trabajo que realizan:

J15WE FNCM ' . Este trabajo coincide con el realizado por la segunda fuerza, que debe ser no conservativa..

- La primera fuerza no modifica la energía mecánica, por lo que debe ser conservativa. Su trabajo modificará la

energía potencial asociada. J10WEp FC � ' . La energía potencial aumenta en 30 J.

- El trabajo total realizado sobre el cuerpo modifica su energía cinética, por lo que

J5J15J10WEc TOT �� ' . La energía cinética aumenta en 5 J. Se moverá a mayor velocidad.

2. a) Explicar por qué la tendencia a girar de los planetas alrededor del Sol se mantiene constante durante milesde millones de años.b) Una partícula sobre la que actúa una fuerza efectúa un desplazamiento. ¿Puede asegurarse que realiza

trabajo?.

a) La tendencia a girar de un cuerpo respecto a un punto O viene dada por su momento angular vmrLO

&&&� respecto a

dicho punto. El teorema de conservación del momento angular nos dice que OL&

varía por efecto de los momentos

respecto a O de las fuerzas aplicadas al cuerpo FrMdt

LdO

O&&&

&

�6 6 . Entonces, OL&

(la tendencia a girar) se

mantendrá constante siempre y cuando 0FrM O �6 6&&&

, y esto se da en diversas situaciones. Concretamente, en el

caso del movimiento de los planetas, la única fuerza que actúa sobre ellos, la gravitatoria, es de tipo central (paralela

al vector de posición). En este caso, el producto vectorial es nulo, y el momento de la fuerza aplicada también, por lo

que el momento angular (su tendencia a girar) del planeta respecto al Sol, se mantendrá constante.

b) El trabajo realizado por una fuerza, suponiendo ésta constante, viene dado por la expresión Nos preguntan en qué

condiciones se cumple que DcosrFrFW �'� '� &&

, siendo D el ángulo que forman la fuerza y el vector

desplazamiento. Es posible que dicha fuerza realice trabajo, positivo o negativo, si D es distinto de 90º. Si, por el

contrario, D = 90º (la fuerza es perpendicular al desplazamiento), no realizará trabajo. Esto pasa el caso de la normal

en un desplazamiento horizontal, o una fuerza centrípeta en un movimiento circular.

Conclusión: No puede asegurarse que siempre realice trabajo.


3. Un bloque de 0,5 kg está colocado sobre el extremo superior de un resorte vertical que está comprimido 10 cm y,al liberar el resorte, el bloque sale despedido hacia arriba verticalmente. La constante elástica del resorte es 200N·m-1

a) Haga un balance trabajo-energía del proceso y calcule la máxima altura que alcanza el bloque. Despreciar elrozamiento con el aire.b) Explique, cualitativamente, en qué se modificaría la cuestión anterior si consideramos el rozamiento delbloque con el aire.

a) Resolvemos el problema usando conceptos

energéticos. Estudiamos las fuerzas que actúan a lo

largo del desplazamiento del cuerpo y cómo varían

las diferentes energías implicadas en él.

Fuerzas que actúan:

- Peso: Fg = m · g = 5 N . Es conservativa Æ Tiene

asociada una energía potencial gravitatoria. Esta

Epg = m·g·h, aumentará al subir. Su variación

coincide con el trabajo de la fuerza gravitatoria,

con signo opuesto FgWEpg � ' .

- Fuerza elástica ( xKFel

&&'�� ). Es una fuerza conservativa, que lleva asociada una energía potencial elástica

( � �2

21 xKEpel ' ). La fuerza realiza trabajo a costa de disminuir Epel, que hará aumentar las energía cinética y

potencial gravitatoria del bloque conforme se descomprime, aunque no hace variar la E M.

Energías presentes en las situaciones 1 y 2:

1. J0vmEc2

121

1 � :

Epg1 = m·g·h1 = 0 J

� � J1xKEpel2

121

1 'EM1 = Epel1

2. J0vmEc2

221

2 � :

Epg2 = m·g·h2

� � J0xKEpel2

221

2 ' .(origen en la posición de equilibrio)

EM1 = Epg2

Como no existen fuerzas no conservativas que realicen trabajo, la energía mecánica del sistema se mantiene

constante durante todo el desplazamiento:

m2,0hhgm)x(KEE 22

2

121

2M1M �� o ' , medidos desde la posición inicial del bloque.

En resumen. Inicialmente el cuerpo tiene energía potencial elástica, que se invierte, al descomprimirse el muelle,

en energía potencial gravitatoria y en energía cinética. Esta Ec alcanza su valor máximo al abandonar el resorte,

para luego ir disminuyendo hasta cero mientras el bloque gana altura (aumenta la Epg). La energía mecánica del

sistema permanece constante.

b) La fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativa (disipativa, concretamente), que va a hacer que la energía

mecánica del sistema no permanezca constante. En este caso, hace que disminuya, disipando energía en forma de

calor 1M2M1M2MMFR EE0EEEW �o�� 'Al disminuir la energía mecánica, también la energía potencial gravitatoria final será menor, con lo que la altura

máxima alcanzada será inferior a la obtenida sin rozamiento.

También la energía cinética máxima que posee el bloque al abandonar el muelle será inferior a la obtenida sin

rozamiento.

Orígenes de energía potencial:

Epg: origen en la posición inicial del bloque (h = 0m)

Epel: origen en la posición de equilibrio del muelle ('x = 0 m)

Fg

Epg=0

1.Inicial 2.Final

v =0m/s1

'x =0,1m1

h ?2

Epel=0

v =0m/s2

Fel

Fg

+_


4. Las articulaciones del cuerpo humano pueden estudiarse como palancas, comopuede ser el codo que aparece en la figura. Calcular la fuerza que debe ejercerel bíceps (músculo) sobre el hueso para sostener un peso de 5 kg en la mano, ylas reacciones en el codo. (despreciar la masa del brazo)

Podemos simplificar el estudio del brazo como queda en la figura. Una

barra rígida de 0,3 m (el antebrazo) unida a una bisagra (el codo). El

músculo ejerce una fuerza como si de una cuerda se tratara, y el peso de la

bola está actuando sobre el extremo de la barra. Despreciamos el peso del

brazo.

Esquema de fuerzas: elegimos el punto O en el codo (punto respecto al que

puede girar el brazo). Las fuerzas aplicadas son:

- Peso de la bola (Fg = m · g = 50 N ). Aplicada en el extremo del brazo.

- Fuerza del bíceps (T). Aplicada a 0,03 m del codo, formando 30º con la horizontal.

- El codo permite que el brazo gire, pero impide que se desplace en ninguno de los dos ejes, por lo que ejerce dos

reacciones, (Rx y Ry) una en cada eje (pueden considerarse componentes de una reacción R&

)

El brazo está en equilibrio estático, por lo que sabemos que: - no se desplaza Æ 0 6F&

- no gira Æ 0 6 OM&

Descomponemos la fuerza que ejerce el bíceps, T : º30cosTTx � ; º30senTTy �

Planteando las ecuaciones (no es necesario descomponer ninguna fuerza):

¯®

��o

o �o o

0FgTyRy0F

RxTx0TxRx0F0F

y

x

66

6&

00 6o 6 OzO MM&

. Calculamos los momentos en módulo. Su dirección será la del eje z y su sentido vendrá

dado por la regla de la mano derecha.

FrM O

&&&� en módulo DsenFrM O ��

Reacciones Rx y Ry: No ejercen momento, ya que están aplicadas en el punto O.

Peso: mN151N50m3,0º90senFgrM OFg � �� sentido negativo (giro horario)

Tensión: )Nm(T015,05,0T03,0º30senTrM OTFg � �� sentido positivo (giro antihorario)

Sumamos N1000T015T015,00M O � �� 6Por lo tanto:

N867º30cosTTxRx � N450º30senTFgRy � �� el signo negativo de Ry significa que va en

sentido opuesto al que le hemos supuesto (en realidad va hacia abajo)

Resultados: Ry = 450 N , Rx =867 N , T = 1000 N

30 ºx+

y+

T

OFg

Rx

Ry


FÍSICA 2º BACHILLERATO. EXAMEN DEL TEMA 1. (SOLUCIÓN) 13-11-03

1. a) Explicar qué se entiende en física por trabajo y cómo se calcula. Enunciar el teorema trabajo-energía cinéticay comentar su significado.

b) Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas, una conservativa, y otra no conservativa. La primera realiza untrabajo de 30 J, y la segunda un trabajo de –20 J. Razonar qué conclusiones podemos extraer sobre losdistintos tipos de energía que posee el cuerpo.

a) Trabajo: Energía transferida por la acción de una fuerza durante un desplazamiento del cuerpo.

Unidades: N· m = J (julio)

Cálculo: Cuando la fuerza es constante. Dcos�'� '� rFrFWAB

&&

Cuando la fuerza es variable a lo largo del desplazamiento: ³ � B

AAB rdFW

&&

Teorema Trabajo-Ec (teorema de las fuerzas vivas):2A2

12B2

1ABTOT vmvmEcEcEcW �� '

Puede interpretarse de la forma siguiente: “El trabajo total realizado sobre un cuerpo se invierte en variar su

energía cinética, y es igual a dicha variación”.

b) De los datos que nos suministra el problema podemos extraer consecuencias sobre las variaciones sufridas por los

distintos tipos de energía que posee el cuerpo.

– Cinética (Ec): debida al movimiento

– Potencial (Ep): Debida a la acción de la fuerza conservativa.

– Mecánica (EM): suma de Ec y Ep

Sabemos que:

- El trabajo total realizado sobre el cuerpo modifica su energía cinética, por lo que

J10J20J30WEc TOT � ' . La energía cinética aumenta en 10 J. se moverá a mayor velocidad.

- El trabajo realizado por la fuerza conservativa modifica su energía potencial: J30WEp FC � � ' . La energía

potencial disminuye en 30 J.

- El trabajo realizado por la fuerza no conservativa modifica su energía mecánica: J20WE FNCM � ' . La

energía mecánica disminuye en 20 J. Se trata de una fuerza disipativa.

En resumen, la fuerza conservativa ha suministrado energía para que el cuerpo aumente su movimiento, pero parte de

esa energía se disipa por acción de la fuerza no conserva tiva. La energía mecánica no se mantiene constante.

2. a) Explicar en qué condiciones un cuerpo sometido a fuerzas de resultante no nula puede mantener constante sutendencia a girar.b) Razonar en qué condiciones el aumento de energía cinética de una partícula coincide con la disminución de

su energía potencial.

a) La tendencia a girar de un cuerpo respecto a un punto O viene dada por su momento angular vmrLO

&&&� respecto a

dicho punto. El teorema de conservación del momento angular nos dice que OL&

varía por efecto de los momentos

respecto a O de las fuerzas aplicadas al cuerpo FrMdt

LdO

O&&&

&


(la tendencia a girar) se

mantendrá constante siempre y cuando 0FrM O �6 6&&&

, y esto se da en las siguientes situaciones:

- Que no haya fuerzas aplicadas (no es el caso, ya que sí las hay)

- Que haya fuerzas pero que sus momentos se anulen.

- Que las fuerzas estén aplicadas sobre el punto O ( 0 r&

)

- Que r&

y F&

sean paralelos. Esto es lo que ocurre en el caso de las fuerzas centrales (como la fuerza

gravitatoria que sufren los planetas alrededor del Sol).

b) Nos preguntan en qué condiciones se cumple que EpEc '� ' . Esto es lo mismo que decir que 0EpEc '�' , es

decir: 0EM ' . Y por el teorema de conservación de la energía mecánica, sabemos que FNCM WE ' .

Conclusión: ocurrirá lo que nos dice la cuestión siempre y cuando no existan fuerzas no conservativas aplicadas al

cuerpo, o el trabajo que éstas realicen sea nulo.


3. Un cuerpo de 5 kg desliza por una superficie rugosa. Inicialmente tiene una velocidad de 10 ms -1. Tras recorrer10 m, choca con el extremo libre de un resorte dispuesto horizontalmente, comprimiéndolo 50 cm. La constantede elasticidad del resorte es 1000 N/m.a) Realizar un análisis energético del problema.b) Calcular el coeficiente de rozamiento del cuerpo con la superficie.

a) Resolvemos el problema usando conceptos energéticos.

Estudiamos las fuerzas que actúan a lo largo del

desplazamiento del cuerpo y cómo varían las diferentes

energías implicadas en él.


- Peso: Fg = m · g = 50 N . Es conservativa Æ Tiene

asociada una energía potencial gravitatoria. Esta Epg

= m·g·h, se mantendrá constante (e igual a 0), ya que

el peso no realiza trabajo, al ser perpendicular al desplazamiento.

- Normal: La calculamos haciendo N50FgN0FgN0Fy � �� 6 . Es una fuerza no conservativa,

pero no realiza trabajo durante el desplazamiento, ya que es perpendicular a éste. No contribuye a la variación de

la energía mecánica.

- Fuerza de rozamiento: FR = P·N . Es una fuerza no conservativa, disipativa, y el trabajo que realiza hace disminuir

la energía mecánica del cuerpo.



( � �2

21 xKEpel ' ). Hará disminuir la Ec del bloque conforme se comprime, aunque no hace variar la EM.

Variaciones de energía:2

21 vmEc � : Disminuye hasta hacerse cero, debido al trabajo realizado por el rozamiento y por la fuerza

elástica.

Epg = m·g·h (origen en el suelo h=0) Se mantiene constante e igual a 0. No la tendremos en cuenta.

� �2

21 xKEpel ' (origen en la posición de equilibrio) Inicialmente nula. Aumenta conforme se comprime el muelle,

hasta llegar a su valor máximo.

EM = Ec + Epg + Epel : No se mantiene constante, debido a que actúan una fuerza no conservativa (rozamiento) que

realiza trabajo. Se cumplirá que 1M2MFRFNC EEWEMW � o'

En resumen. Inicialmente el cuerpo tiene energía cinética, que se invierte en comprimir el muelle, aumentando su

energía potencial. Parte de la energía cinética inicial se di sipa en forma de calor debido al rozamiento, con lo que

la energía mecánica disminuye.

b) Usamos el razonamiento hecho en el apartado a)

Situación inicial: 2

121

111M vmEpelEcE � �

Situación final: 2

221

222M xKEpelEcE '� �

º180cosrFvmxKEEW R

2

1212

221

1M2MFR �'� ��'�o�

Sustituyendo los datos (K = 1000 N/m ,m = 5 kg , v1 = 10 m/s , 'x2 = 0,5 m , 'r = 10,5 m)

125 J – 250 J = - FR · 10,5m con lo que FR = 11,9 N

Sabiendo que FR = P·N = P · 50N = 11,9N Æ P = 0,238


4. Un puente levadizo de madera mide 5 m y tiene una masa de 400 kg, y estádispuesto como indica la figura. Calcular la tensión del cable y las reaccionesque ejerce la bisagra.

Esquema de fuerzas: elegimos el punto O en la bisagra (punto respecto al que puede girar

el puente). Las fuerzas aplicadas son:

- Peso (Fg = m · g = 4000 N ). Aplicada en el centro de gravedad del puente.

- Tensión del cable (T). Aplicada horizontalmente en el extremo.

- La bisagra permite que el puente gire, pero impide que se desplace en ninguno de los dos

ejes, por lo que ejerce dos reacciones, (Rx y Ry) una en cada eje (pueden

considerarse componentes de una reacción R&

)

El puente está en equilibrio estático, por lo que sabemos que: - no se desplaza Æ 0 6F&



¯®

o �o 6

o �o 6o 6

N4000FgRy0FgRy0F

RxT0TRx0F0F

y

x&

00 6o 6 OzO MM&




Peso: Nm50005,0N4000m5,2º30senFgrM OFg �� sentido negativo (giro horario)

Tensión: )Nm(T33,4866,0Tm5º60senTrM OTFg � �� sentido positivo (giro antihorario)

Sumamos N73,1154T05000T33,40M O � �� 6

Resultados: Ry = 4000 N , Rx = T = 1154,73 N

I.E.S. Al-Ándalus. Dpto de Física y Química. Curso 2005/06

FÍSICA 2º BACHILL ERATO. EXAMEN DEL TEMA 1. 14-11-05 - Puntuación: 1: 2,5 ptos; 2: 2,5 ptos; 3: 3 ptos; 4: 2 ptos) - En los problemas, considere el valor de gravedad g = 10 N/kg. - Puede responder las cuestiones en el orden que desee, siempre que los apartados a y b de la misma cuestión estén juntos y

ordenados.

1. a) Explique qué se entiende por fuerza conservativa y por energía potencial. ¿Qué relación existe entre ambos

conceptos? b) Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas, una conservativa, y otra no conservativa. La primera realiza un trabajo

de 30 J, y la segunda un trabajo de –20 J. Razone qué conclusiones podemos extraer sobre los distintos tipos de energía que posee el cuerpo.

2. a) Explique qué se entiende en física por trabajo y cómo se calcula. Enuncie el teorema trabajo-energía

cinética y comente su significado. b) Sobre un objeto alargado actúan dos fuerzas. Explique en qué condiciones permanecerá constante la

tendencia a girar de dicho objeto respecto al origen O. 3. Un bloque de 5 kg se encuentra en un plano inclinado 30º, como indica la

figura. El resorte está comprimido inicialmente 25 cm, y el coeficiente de rozamiento del bloque con el plano es 0,2. Se observa que, al soltar el bloque, este asciende hasta una altura de 1 m, medida desde la altura a la que se encontraba el bloque inicialmente.

a) Realice un análisis energético del problema. b) Calcule la constante elástica del resorte.

4. Un puente levadizo de madera mide 5 m y tiene una masa de 400 kg, y está dispuesto

como indica la figura. Calcule la tensión del cable y las reacciones que ejerce la bisagra.


SOLUCIÓN AL EXAMEN 1. a) Explicar qué se entiende por fuerza conservativa y por energía potencial. ¿Qué relación existe entre

ambos conceptos?. b) Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas, una conservativa, y otra no conservativa. La primera realiza un

trabajo de 30 J, y la segunda un trabajo de –20 J. Razone qué conclusiones podemos extraer sobre los distintos tipos de energía que posee el cuerpo.

a) - Fuerza conservativa: Se dice que una fuerza es conservativa cuando el trabajo que realiza en un

desplazamiento entre dos puntos A y B no depende del camino seguido, sino únicamente de los puntos A y B.

- Energía potencial: - Función potencial asociada a una fuerza conservativa. - Energía que almacena un cuerpo debido a la acción de una fuerza conservativa.

Ambos conceptos se relacionan a través del trabajo realizado por la fuerza. El trabajo que realiza la fuerza conservativa modifica la energía potencial del cuerpo. Si el trabajo es positivo, la energía potencial disminuye, y aumenta en el caso de que el trabajo sea negativo. Operativamente. FCWEp � '

b) De los datos que nos suministra la cuestión podemos extraer consecuencias sobre las variaciones sufridas por

los distintos tipos de energía que posee el cuerpo. – Cinética (Ec): debida al movimiento – Potencial (Ep): Debida a la acción de la fuerza conservativa. – Mecánica (EM): suma de Ec y Ep

Sabemos que: - El trabajo total realizado sobre el cuerpo modifica su energía cinética, por lo que

J10J20J30WEc TOT � ' . La energía cinética aumenta en 10 J. se moverá a mayor velocidad.

- El trabajo realizado por la fuerza conservativa modifica su energía potencial: J30WEp FC � � ' . La energía potencial disminuye en 30 J.

- El trabajo realizado por la fuerza no conservativa modifica su energía mecánica: J20WE FNCM � ' . La energía mecánica disminuye en 20 J. Se trata de una fuerza disipativa.

En resumen, la fuerza conservativa ha suministrado energía para que el cuerpo aumente su movimiento, pero parte de esa energía se disipa por acción de la fuerza no conservativa. La energía mecánica no se mantiene constante.

2. a) Explique qué se entiende en física por trabajo y cómo se calcula. Enuncie el teorema trabajo-energía

cinética y comente su significado. b) Sobre un objeto alargado actúan dos fuerzas. Explique en qué condiciones permanecerá constante la

tendencia a girar de dicho objeto respecto al origen O.

a) Trabajo: Energía transferida por la acción de una fuerza durante un desplazamiento del cuerpo. Unidades: N· m = J (julio)

Cálculo: Cuando la fuerza es constante. Dcos�'� '� rFrFWAB

&&

Cuando la fuerza es variable a lo largo del desplazamiento: ³ � B

AAB rdFW&&

Teorema Trabajo-Ec (teorema de las fuerzas vivas): 2A2

12B2

1ABTOT vmvmEcEcEcW �� '

Puede interpretarse de la forma siguiente: “El trabajo total realizado sobre un cuerpo se invierte en variar su energía cinética, y es igual a dicha variación”.

b) La tendencia a girar de un cuerpo respecto a un punto O viene dada por su momento angular vmrLO

&&&�

respecto a dicho punto. El teorema de conservación del momento angular nos dice que OL&

varía por efecto

de los momentos respecto a O de las fuerzas aplicadas al cuerpo FrMdt

LdO

O&&&

&


(la


tendencia a girar) se mantendrá constante siempre y cuando 0FrM O �6 6&&&

, y esto se da en las siguientes situaciones: - Que no haya fuerzas aplicadas (no es el caso, ya que sí las hay) - Que haya fuerzas pero que sus momentos se anulen. - Que las fuerzas estén aplicadas sobre el punto O ( 0 r

&)

- Que r&

y F&

sean paralelos. Esto es lo que ocurre en el caso de las fuerzas centrales (como la fuerza gravitatoria que sufren los planetas alrededor del Sol).

3. Un bloque de 5 kg se encuentra en un plano inclinado 30º, como

indica la figura. El r esorte está comprimido inicia lmente 25 cm, y el coeficiente de rozamiento del bloque con el plano es 0,2. Se observa que, al soltar el bloque, este asciende hasta una altura de 1 m, medida desde la altura a la que se encontraba el bloque inicialmente.

a) Realice un análisis energético del problema. b) Calcule la constante elástica del resorte.

a) Resolvemos el problema usando conceptos energéticos. Estudiamos las

fuerzas que actúan a lo largo del desplazamiento del cuerpo y cómo varían las diferentes energías implicadas en él. Fuerzas que actúan: - Peso: Fg = m · g = 50 N . Es conservativa Æ Tiene asociada una energía

potencial gravitatoria. Epg = m·g·h . el peso realiza un trabajo negativo, contrario al desplazamiento, por lo que la Epg variará.

- Normal: Es una fuerza no conservativa, pero no realiza trabajo durante el desplazamiento, ya que es perpendicular a éste. No contribuye a la variación de la energía mecánica.

- Fuerza de rozamiento: FR = P·N . Es una fuerza no conservativa, disipativa, y el trabajo que realiza hace disminuir la energía mecánica del cuerpo.



( � �221 xKEpel ' ). Al descomprimirse, hará aumentar la Ec del bloque, aunque no hace variar la EM.

Variaciones de energía:

221 vmEc � : inicialmente es nula. Al soltar el muelle aumenta hasta alcanzar su valor máximo, para

disminuir luego hasta cero conforme sube por la pendiente, debido al trabajo realizado por el rozamiento y por la fuerza gravitatoria.

Epg = m·g·h (origen en el punto inicial, el más bajo que alcanza el bloque, h=0) aumenta al subir por la pendiente, debido al trabajo negativo que realiza el peso. 'Epg = -WFg.

� �221 xKEpel ' (origen en la posición de equilibrio) Inicialmente tiene su valor máximo. Disminuye hasta

cero al descomprimirse el muelle. EM = Ec + Epg + Epel : No se mantiene constante, debido a que actúan una fuerza no conservativa

(rozamiento) que realiza trabajo. Se cumplirá que 1M2MFRFNC EEWEMW � o' En resumen. Inicialmente el cuerpo tiene energía potencial elástica, que se invierte en aumentar las

energías cinéticas y potencial del bloque. Posteriormente, la energía cinética se transforma parcialmente en

30º

FelNN+y +x

Fg

FR

Epg=0

2.Final

'x =0m2h =1m2

v =0m/s2

30º

1.Inicial

'x =0,25m1

v =0m/s1

30º


energía potencial gravitatoria. Parte de esa energía cinética inicial se disipa en forma de calor debido al rozamiento, con lo que la energía mecánica total disminuye.


Situación inicial: 00xKEpgEpelEcE 212

11111M �� '

Situación final: 22222M hgm00EpgEpelEcE �� La energía mecánica no se mantiene constante

º180cosrFxKhgmEEW R2

121

21M2MFR �� o� ''

Cálculo del desplazamiento: m2º30sen

hr

r

hº30sen 22 o '

'

Cálculo de la fuerza de rozamiento: Primero calculamos la normal, haciendo

N3,43º30cosmgN0º30cosmgN0Fy � �� 6

N66,8º30cosgmNFR �� PP Sustituyendo (m = 5 kg , g = 10 N/kg , 'x1 = 0,25 m , h2 = 1 m, 'r = 2 m, Fr = 8,66 N)

Obtenemos: 50 – 0,03125 · K = - 8.66 · 2 Æ K = 2154,24 N/m

4. Un puente levadizo de madera mide 5 m y tiene una masa de 400 kg, y está

dispuesto como indica la figura. Calcular la tensión del cable y las reacciones que ejerce la bisagra.

Esquema de fuerzas: elegimos el punto O en la bisagra (punto respecto al que puede girar el puente). Las fuerzas aplicadas son: - Peso (Fg = m · g = 4000 N ). Aplicada en el centro de gravedad del puente. - Tensión del cable (T). Aplicada horizontalmente en el extremo. - La bisagra permite que el puente gire, pero impide que se desplace en ninguno

de los dos ejes, por lo que ejerce dos reacciones, (Rx y Ry) una en cada

eje (pueden considerarse componentes de una reacción R&

) El puente está en equilibrio estático, por lo que sabemos que:

- no se desplaza Æ 0 6F&



¯®

o �o 6

o �o 6o 6

N4000FgRy0FgRy0F

RxT0TRx0F0F

y

x&

00 6o 6 OzO MM&

. Calculamos los momentos en módulo. Su dirección será la del eje z y su sentido

vendrá dado por la regla de la mano derecha. Reacciones Rx y Ry: No ejercen momento, ya que están aplicadas en el punto O. Peso: Nm50005,0N4000m5,2º30senFgrM OFg �� sentido negativo (giro horario)


Sumamos N73,1154T05000T33,40M O � �� 6


NN

mg

FR

mg cos30º

mg sen

30º

IES Al-Ándalus (Arahal). Curso 06/07 Física 2º Bachillerato

FÍSICA 2º BACHILLERATO. EXAMEN DEL TEMA 1. SOLUCIÓN 14-11-06 1. a) Explique qué se entiende por fuerzas conservativas y por fuerzas disipativas. ¿Qué relación existe entre estos

tipos de fuerzas y los distintos tipos de energía? b) Comente razonadamente la siguiente afirmación: “El trabajo realizado por una fuerza durante un

desplazamiento entre dos puntos es menor si se realiza a lo largo de la recta que los une.” a) Fuerza conservativa es toda aquella fuerza que, al calcular el trabaj o que realiza entre dos puntos, éste es independiente

del camino seguido, sólo depende de los puntos inicial y final. Toda fuerza conservativa lleva asociada una Energía pote ncial (energía almacenada por la acción de la fuerza

conservativa). El trabajo de la fuerza conservativa h ace variar la energía potencial mediante la expresión EpWFC '�

Las fuerzas disipativas son un tipo particular de Fuerzas No Conservativas. El trabajo que realizan depende del camino seguido, por lo que no puede asociarse una energía potencial a este tipo de fuerzas. El trabajo de las fuerzas no conservativas hace variar la energía mecánica del cuerpo mediante la relación FNCM WE '

Las fuerzas disipativas (como el rozamiento) hacen que la energía mecánica disminuya, al realizar un trabajo negativo.

b) El trabajo realizado por una fuerza entre dos puntos se calcula con la expresión ³ � B

AAB rdFW

&&. En general, el

trabajo depende del camino seguido, por lo que existirá un camino por el que el trabajo sea el menor posible, aunque no tiene por qué ser la línea recta. Depende del tipo de fuerza que estemos aplicando.

Ahora bien, si la fuerza es conservativa, la afirmación será falsa. El trabajo realizado por una fuerza conservativa entre dos puntos es independiente del camino seguido, y obtendríamos el mismo valor por todos los caminos.

2. a) Enuncie el principio de conservación del momento angular y explique qué condiciones deben darse para que

se conserve. b) ¿Es posible que varíe la energía cinética de una partícula sin que varíe su energía potencial? Razone.

a) El momento angular vmrprLO

&&&&&�� de una partícula respecto a un punto O nos indica la tendencia a girar

del vector de posición respecto a O. Esta tendencia a gi rar se modifica debido a los momentos de fuerza aplicados

sobre la partícula, según lo que se conoce como el teorema de variación del momento angular. O

O Mdt

Ld &&

¦

Principio de conservación del momento angular: “El momento angular de una partícula (su movimiento de giro) se

mantendrá constante si y sólo si el momento total resultante sobre la partícula es cero ” Esto ocurre en las siguientes situaciones: - Que no haya fuerzas aplicadas

- Que haya fuerzas pero que sus momentos se anulen. - Que las fuerzas estén aplicadas sobre el punto O ( 0 r

&)

- Que r&

y F&


- b) Razonamos esta pregunta aplicando el teorema Trabajo-Energía cinética: El trabajo total realizado sobre una

partícula hace variar la energía cinética de la partícula, y coincide con dicha variación . EcWTOT '

En el trabajo total influirán tanto las fuerzas conservativas como no conservativas. Ahora bien, el trabajo de las fuerzas conservativas hace variar la energía potencial. Sin embargo, si sólo tenemos trabajo debido a fuerzas no conservativas (como el rozamiento, por ejemplo), variará la energía cinética del cuerpo sin que ninguna de sus energías potenciales (gravitatoria, elástica, eléctrica) cambie.


3. Un muelle horizontal y con un extremo fijo, está comprimido 40 cm. Un cuerpo de 0,5 kg, situado en su extremo libre, sale despedido al liberarse el muelle. Tras recorrer 1 m en horizontal sin rozamiento, sube por una pendiente cuyo coeficiente de rozamiento es de 0,2, hasta alcanzar una altura h = 1,5 m.

a) Haga un estudio energético del proceso. b) Calcule razonadamente la constante elástica del resorte. (Datos: considere g = 10 N/kg; D = 30º) a) Resolvemos el problema usando conceptos energéticos. Estudiamos las fuerzas que actúan a lo largo del

desplazamiento del cuerpo y cómo varían las diferentes energías implicadas en él. Fuerzas que actúan: - Peso: Fg = m · g = 50 N . Es conservativa. Realiza un

trabajo negativo durante la pendiente. Hace aumentar la energía potencial gravitatoria del bloque.

- Normal: La calculamos haciendo N50FgN0FgN0Fy � �� 6 . Es una

fuerza no conservativa, pero no realiza trabajo durante el desplazamiento, ya que es perpendicular a éste. No contribuye a la variación de la energía mecánica.

- Fuerza de rozamiento: FR = P·N . Es una fuerza no conservativa, disipativa. No realiza trabajo durante el tramo horizontal, pero sí durante la pendiente. Este trabajo hace disminuir la energía mecánica del cuerpo.



( � �2

21 xKEpel ' ). Realiza trabajo al descomprimirse el muelle, aumentando la Ec de la bola, a costa de la

disminución del la energía elástica. Variaciones de energía:

2

21 vmEc � : Inicialmente es cero. Aumenta al descomprimirse el muelle, se mantiene constante durante el

tramo horizontal y va disminuyendo durante la subida por la pendiente hasta hacerse cero. Epg = m·g·h (origen en el tramo horizontal h=0) se mantendrá constante (e igual a 0) durante el tramo horizontal, y

aumentará hasta su valor máximo durante la subida por la pendiente.

� �2

21 xKEpel ' (origen en la posición de equilibrio) Inicialmente el muelle almacena energía elástica. Ésta va

disminuyendo conforme el muelle se descomprime. EM = Ec + Epg + Epel : No se mantiene constante, debido a que actúan una fuerza no conservativa (rozamiento) que


En resumen. Inicialmente el cuerpo tiene energía potencial elástica, que se invierte en poner en movimiento el

cuerpo. Esta energía cinética del cuerpo se transforma luego en energía potencial gravitatoria, disipándose parte de la energía en forma de calor debido al rozamiento.


Situación inicial: )J(K08,0xKEpgEpelEcE2

121

1111M � '� ��

Situación final: J5,7mghEpgEpelEcE 22222M ��

Calculamos el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento durante la subida por la pendiente:

N866,0º30cosmgNFR �� PP

m3º30sen

hr

r

hº30sen 22 'o

'

J2,6º180cosrFW RFR � �'�

Aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica (en este caso, no se conserva):

mN

FR

2

121

21M2MFR 25,126K6,2K08,05,7WxKmghEEW o� ��o '��o�

Dh

D

v =01

'x =0,4m1

h =01

D

h =1,5m2

'x =02

v =02

Inicial

Final

DFg

N

FR

FgX

FgY

h2

'r

30º


4. Una escalera de 2 m de longitud y 10 kg de masa está apoyada en el suelo y sujeta al techo

mediante una cuerda que impide que se caiga, manteniéndola en equilibrio, como indica la figura. Calcula razonadamente todas las fuerzas que actúan sobre la escalera.

Esquema de fuerzas: Elegimos el punto O en el punto de apoyo con el suelo. Las fuerzas aplicadas son: - Peso (Fg = m · g = 100 N ). Aplicada en el centro de gravedad de la escalera (su centro). Forma 30º con la escalera. - Tensión de la cuerda (T). Aplicada en el extr emo de la cuerda. Forma 30º con la vertical y 120º con la escalera. - En el apoyo con el suelo, tenemos dos fuerzas aplicadas. La normal y la fuerza de

rozamiento estático. La escalera está en equilibrio estático, por lo que sabemos que:



Descomponiendo la tensión: Tx = T ·sen30º, Ty = T · cos30º

Planteando las ecuaciones

¯®

�� o ��o 6

� o ��o 6o 6

º30cosTFgN0Fgº30cosTN0F

º30senTFr0º30senTFr0F0F

y

x&

00 6o 6 OzO MM&

.

FrM O

&&&� Módulo: DsenFrM O ��

Calculamos los momentos en módulo. Su dirección será la del eje z y su sentido vendrá dado por la regla de la mano

derecha. Normal y Fuerza de rozamiento: No ejercen momento, ya que están aplicadas en el punto O. Peso: mN505,0N100m1º30senFgrM OFg � �� sentido negativo (giro horario)


Sumamos N9,28T050T73,10M O � �� 6

Sustituimos¯®

��

�

N75º30cosTFgN

N45,14º30senTFr

Resultados: Fg = 100 N; N = 75 N , FR = 14,45 N; T = 28,9 N

60 º

60 º

120 º

Fg

T

N

FR

O

30 º

30 º

x+

y+

30 ºT

Tx

Ty


FÍSICA 2º BACHILL ERATO. EXAMEN DEL TEMA 1. SOLUCIÓN 16-11-07 1. a) Explique qué se entiende por fuerza conservativa y por energía potencial. ¿Qué relación existe entre

ambos conceptos?

b) Si la energía mecánica de una partícula permanece constante, ¿puede asegurarse que todas las fuerzas

que actúan sobre la partícula son conservativas? Razone.

a) Fuerza conservativa es toda aquella fuerza que, al calcular el trabajo que realiza entre dos puntos, éste es independiente

del camino seguido, sólo depende de los puntos inicial y final. Energía potencial es la energía almacenada por un cuerpo debido a la acción de una fuerza conservativa. Toda fuerza

conservativa (gravitatoria, elástica, electrostática) lleva asociada una Energía potencial. Ambos conceptos están relacionados a través del trabajo. El trabajo realizado por la fuerza conservativa hace variar la

energía potencial mediante la expresión EpWFC '�

b) El principio de conservación de la energía mecánica nos dice que la energía mecánica de un sistema varía debido al

trabajo de las fuerzas no conservativas que actúen sobre el mismo ( FNCM WE ' ), así que EM permanecerá constante

si el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es nulo. Esto puede ocurrir cuando sólo existan fuerzas conservativas, pero también cuando existan fuerzas no conservativas, y éstas no realicen trabajo (caso de la normal) o que realicen trabajos iguales y de signo contrario, con lo que su suma sería igual a cero.

Como consecuencia, no podemos asegurar que sólo actúen fuerzas conservativas.

2. a) Enuncie el principio de conservación del momento angular e indique en qué casos el momento angular

de una partícula respecto a un punto permanecerá constante.

b) Estudiando el movimiento de un cuerpo, medimos que el aumento de su energía cinética coincide con

la disminución de su energía potencial. Explique qué consecuencias pueden extraerse de este hecho.

a) El momento angular vmrprLO

&&&&&�� de una partícula respecto a un punto O nos indica la tendencia a girar

del vector de posición respecto a O. Esta tendencia a girar se modifica debido a los momentos de fuerza aplicados

sobre la partícula, según lo que se conoce como el teorema de variación del momento angular. OO M

dt

Ld &&

¦

Principio de conservación del momento angular: “El momento angular de una partícula (su movimiento de giro) se mantendrá constante si y sólo si el momento total resultante sobre la partícula es cero” Esto ocurre en las siguientes situaciones: - Que no haya fuerzas aplicadas

- Que haya fuerzas pero que sus momentos se anulen. - Que las fuerzas estén aplicadas sobre el punto O ( 0 r

&)

- Que r&

y F&


b) El enunciado nos dice que se ha producido una transformación de energía potencial íntegramente en energía cinética,

sin que se disipe energía. ( EpEc '� ' ). De aquí podemos extraer:

- La energía mecánica del sistema se mantiene constante, ya que 0EpEcEM '�' ' - Por tanto, según el principio de conservación de la energía mecánica, el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas que actúen sobre el cuerpo es cero. 0WE FNCM '


30º

F

1 m

3. Un bloque de 5 kg, inicialmente en reposo en el extremo inferior de un plano

inclinado 30º, sube por éste por la acción de la fuerza aplicada F, de 100

N, paralela al plano, que tiene un coeficiente de rozamiento de 0,3, hasta

alcanzar la parte superior.

a) Realice un balance trabajo-energía del problema.

b) Calcule la velocidad con la que llega arriba del plano inclinado.

a) Esquema: Resolvemos el problema usando conceptos energéticos. Calculamos el trabajo realizado por las diferentes fuerzas que

actúan sobre el cuerpo y qué influencia tienen en los distintos tipos de energía. Fuerzas que actúan : - Peso: Fg = m · g = 50 N . Es conservativa. Realiza un trabajo negativo durante la pendiente. Hace aumentar la

energía potencial gravitatoria del bloque.

Fgg WEp � ' JEpJmNrFgrFW ggFg 5050)5,0(250º120cos 'o� �� '� '� &&

- Normal: Es una fuerza no conservativa, pero no realiza trabajo durante el desplazamiento, ya que es perpendicular a éste. No contribuye a la variación de la energía mecánica.

NmgNFNFy gy 3,43º30cos00 � o �o 6

JWFg 0

- Fuerza de rozamiento: FR = P·N = 13 N. Es una fuerza no conservativa, disipativa. Realiza un trabajo negativo durante la pendiente. Este trabajo hace disminuir la energía mecánica del cuerpo.

JmNrFrFW RRFR 26)1(213º180cos � �� '� '� &&

- Fuerza aplicada F: Es una fuerza no conservativa. Aporta energía mecánica al bloque, al realizar un trabajo positivo.

JmNrFrFWF 2002100º0cos � �'� '� &&

El trabajo total realizado sobre el cuerpo hace variar su energía cinética (teorema de las fuerzas vivas) EcWTOT '

EcJWWWWW FFRNFgTOT ' �� 124

El trabajo de las fuerzas no conservativas hace variar la energía mecánica. MFNC EW '

MFFRNFNC EJWWWW ' �� 174

En resumen. El trabajo realizado por la fuerza F aporta energía al bloque, que se invierte en aumentar sus energías cinética y potencial gravitatoria. Una parte de la energía mecánica del bloque se disipa debido al rozamiento, pasando al exterior en forma de calor.

b) En este apartado b) podemos aplicar los resultados obtenidos en el apartado a. Según el teorema trabajo-energía

cinética EcWTOT '

Inicialmente, el bloque está en reposo, por lo que Ec1 = 0 . Así 1

22

221

12 04,71240 � o � � msvJmvEcEcWTOT

De otra forma: Aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica. La energía mecánica no se conserva, ya que existen fuerzas no conservativas que realizan trabajo, por lo que: 12 MMFRNFNC EEWWEMW � �o'

Cálculo de 'r: msen

hr

r

hsen 2

º30º30 22 'o

'

h2

'r

30º

DFg

N

FR

FgX

FgY

F

Epg = 0

+x +y


Situación inicial: JmghmvEpgEcEM 012

121

111 � �

Situación final: 22

221

222 mghmvEpgEcEM � �

12

222

1

22

221

12

04,750174 � o�

� ��o�

msvJmvJ

mghmvWWWEEW FRNFMMFNC

4. Una antena de 100 kg y 20 m de altura está sostenida por dos cables 1 (unido al

extremo de la antena) y 2 (unido a su punto medio), como indica la figura. La tensión

que ejerce el cable 1 es de 500 N. Calcule razonadamente la tensión del cable 2 y

las reacciones que ejerce la bisagra con que se une al suelo.

Esquema de fuerzas: Elegimos el punto O en el punto de apoyo con el suelo. Las fuerzas aplicadas son: - Peso (Fg = m · g = 1000 N ). Aplicada en el centro de gravedad de la antena (su centro). - Tensiones de las cuerdas (T1 y T2). Aparecen descompuestas en el dibujo. T1x = T1 ·sen30º = 250 N, T1y = T1 · cos30º = 433 N T2x = T2 ·sen45º = 0,7 ·T2, T2y = T2 · cos45º = 0,7· T2 - En el apoyo con el suelo, la bisagra ejerce dos reacciones: Rx y Ry (las

suponemos positivas). La antena está en equilibrio estático, por lo que sabemos que:




¯®

��o ��o 6

��o ��o 6o 6

07,0433100000

02507,0000

221

212

TRyTTFgRyF

TRxTTRxFF

yyy

xxx&

00 6o 6 OzO MM&

.

FrMO



derecha. Rx y Ry: No ejercen momento, ya que están aplicadas en el punto O. Peso: mNsenFgrM OFg � �� 0º180 . No ejerce momento ya que la fuerza es paralela a r

&.

Tensión 1: mNsenTrM OT � �� 50005,050020º30111 sentido positivo (giro antihorario)

Tensión 2: mNTTsenTrM OT �� 22222 77,010º45 sentido negativo (giro horario)

Sumamos NTTM O 3,7140750000 22 � �� 6

Sustituimos¯®

o ��

� o ��

NRyRy

NRxRx

175003,7147,04331000

25002503,7147,0

Resultados: T2 = 714,3 N; Rx = -250 N; Ry = 1750 N

(El signo negativo de Rx indica que su sentido es el contrario al que hemos supuesto en el esquema)

30º

45º

1

2

30º

45º

1

2

Fg

RxRy

T2

T1

T2x

T2y

T1y

O

T1x

+x

+y


FÍSICA 2º BACHILLERATO. EXAMEN DE LOS TEMAS 1 y 2. 10-12-03

1. Una partícula de masa m, situada en un punto A, se mueve en línea recta hacia otro punto S,en una región en la que existe un campo gravitatorio creado por una masa M.a) Si el valor del potencial gravitatorio en el punto S es mayor que en el punto A, razone si la

partícula se acerca o se aleja de M.Potencial gravitatorio (V): energía almacenada por unidad de masa que se coloque en un punto del

campo gravitatorio. El potencial gravitatorio creado por una masa puntual M tiene la expresión

(eligiendo el origen para for ).

En la gráfica podemos ver que el potencial aumenta con la

distancia a la masa M. Por lo tanto, si el potencial es mayor

en S que en A, el punto S está más alejado de M que A. La

partícula se aleja.

a) Explique las transformaciones energéticas de la partícula durante el desplazamientoindicado y escriba su expresión. ¿Qué cambios cabría esperar si la partícula fuera de A a Ssiguiendo una trayectoria no rectilínea?

La única fuerza que actúa en esta cuestión es la gr avitatoria, que es conservativa. Por tanto, las

energías presentes son:

- Energía potencial gravitatoria, debida a la acción de la fuerza gravitatoria: Epg = m·V. Varía de

la misma forma que el potencial gravitatorio, por lo que aumenta desde A hasta S.

FgWEpg � '

- Energía cinética, debida al movimiento: disminuye conforme se aleja. Se cumple que

EpgEc '� '

- Energía mecánica (EM = Ec+Epg): Se mantiene constante, debido a que la fuerza gravitatoria es

conservativa.

Si la trayectoria no fuera rectilínea no cabe esperar ningún cambio, ya que el trabajo de la fuerza

gravitatoria (conservativa) es independiente del camino realizado. Sólo depende de los puntos inicial

y final.

2. a) Razone qué magnitudes se conservan en el movimiento de un satélite que describe órbitaselípticas en torno a un planeta.Hay dos magnitudes que se mantendrán constantes en toda la trayectoria:

- Su energía mecánica EM (ya que la fuerza gravitatoria es conservativa)

- Su momento angular respecto al planeta (su tendencia a mantener el movimiento de giro)

vmrLO

&&&� . (ya que la fuerza gravitatoria es central, 0FrM O �

&&&) Esto hace que también

se mantenga constante el periodo de revolución ( T ) del satélite.

b) Comentar la siguiente frase, razonando sobre su veracidad o falsedad: “El trabajo de unafuerza no conservativa aumenta la energía potencial de la partícula y disminuye su energíamecánica.”Esta frase contiene dos afirmaciones. Habrá que analizar cada una por separado:

- La energía potencial varía debido exclusivamente al trabajo realizado por las fuerzas

conservativas FCWEp � ' , por lo que la primera afirmación es falsa.

- La energía mecánica varía debido al trabajo realizado por las fuerzas no conservativas (principio

de conservación de la energía mecánica) FNCM WE ' . Sin embargo, no tiene por qué disminuir

(disminuirá si el trabajo es negativo, y aumentará si el trabajo es negativo).

r

MGV ��


3. Dos masas puntuales de 10 kg están situadas como indica la figura.Calcular:a) Intensidad del campo gravitatorio y potencial gravitatorio en el punto A.

Campo gravitatorio: Fuerza gravitatoria que se ejerce

por unidad de masa sobre un cuerpo situado en un punto

del campo gravitatorio. En el punto A influyen las dos

masas puntuales, por lo que aplicamos el principio de

superposición. A2A1A ggg&&&

�

M1 = 10 kg ; m)2,2()0,2()2,0(r1 �� &

;

m822r 22

1 � ; j8

2i

8

2

r

ru

1

11r

&&&

&�

kg/Nj109,5i109,5kg/N)j8

2i

8

2(

8

101067,6u

r

GMg 1111

11

r2

A1

1A1

&&&&&& ��

�

��

� ��

Por simetría, vemos que A2g&

es igual que A1g&

en módulo. Sólo varía en que la componente

horizontal tiene signo contrario (es positiva en A2g&

, mientras que era negativa en A1g&

). Así,

kg/Nj109,5i109,5ur

GMg 1111

2r2

A2

2A2

&&&& ��

con lo que

kg/Nj1018,1j109,5i109,5j109,5i109,5ggg 1011111111

A2A1A

&&&&&&&& ��

Para calcular el potencial (energía almacenada por unida de masa), aplicamos el principio de

superposición: VA = V1A – V2A

kg/J1072,4r

GM

r

GMV 10

A2

2

A1

1A

��

a) Trabajo necesario para trasladar una tercera masa puntual de 10 kg desde el punto Ahasta el punto B.

Calculamos el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria en ese desplazamiento.

BABAFg VmVmEpgEpgEpgW �� '�

Calculamos el potencial creado por ambas masas en el punto B, ya que el potencial en A lo tenemos del

apartado anterior. Aplicando el ppio de superposición:

kg/J1098,2r

GM

r

GMV 10

B2

2

B1

1B

�� ( m20rr B2B1 )

De este modo, J1074,1kg/J)1098,21072,4(kg10VmVmW 101010

BAFg

��

El trabajo que realiza la fuerza gravitatoria es nega tivo (la fuerza gravitatoria se opone al desplazamiento).

Eso significa que debemos realizar exteriormente un trabajo como mínimo igual y de signo contrario para

desplazarlo. Así Wext = -WFg = 1,74 · 10-10 J


4. La estación espacial internacional (ISS) describe órbitas circulares en torno a la Tierra, con unperiodo de revolución de 90 minutos.a) Calcular su velocidad orbital (deduciendo su expresión).

Es la velocidad que lleva el satélite en su órbita. Pa ra calcularla, tendremos en cuenta que la única fuerza que

actúa sobre el satélite es la gravitatoria.

También, al tratarse de un movimiento circular, sólo tendrá aceleración normal.

Aplicando la segunda ley de Newton:

Igualando ambas expresiones:

Necesitamos conocer la masa del planeta Tierra y la distancia r a la que se encuentra el satélite de su centro.

Para ello usamos los datos de g0 y la tercera ley de Kepler.

kg1096,5G

RgM

R

GMg 24

2

TT0

2

T

T0 � �

�

m10647,64

GMTr

GM

4

r

T 632

22

3

2

� � S

S

Por lo tanto, s/m4,7733r

MGvorb

�

a) Supongamos que un trozo de roca del espacio, tras chocar con la estación espacial, quedaen reposo y cae hacia la Tierra. ¿Con qué velocidad llegará a la superficie, despreciando elrozamiento con la atmósfera?

(Datos: RT = 6370 km ; g0T = 9,8 N/kg )

Resolvemos esta cuestión aplicando la conservación de la energía mecánica al

movimiento de la roca. Tras el choque, la única fuerza que actúa sobre ella es la

gravitatoria, que es conservativa. Por lo tanto, la energía mecánica (EM = Ec+Epg)

se mantiene constante. Esto nos permite calcular la velocidad con la que llegaría a la

superficie terrestre suponiendo que no hubiera rozamiento con la atmósfera.

Escogemos el origen de energía potencial a una distancia infinita de la

Tierra. Esto hace que la expresión usada para la energía potencial

gravitatoria sea:r

GMmEpg �

Situación inicial:r

GMm0

r

GMmmvEpgEcE

1

2

121

111M � � �

Situación final: R

GMmmvEpgEcE

2

221

222M � �

La energía mecánica se mantiene constante: r

GMm

R

GMmmv

2

221 � �

Con lo que v2 = 2280,6 m/s. Con esa velocidad llegaría a la superficie terrestre.

r

vmamF ng

2

� �

r

MGv

r

vm

r

mMGorb

� �

�

��

�

2

2

IES Al-Ándalus. Dpto Física y Química. Curso 2006/07 Física 2º Bachillerato - 1 -

FÍSICA 2º BACHILLERATO. EXAMEN DEL TEMA 2. INTERACCIÓN GRAVITATORIA. 12-12-06 EXAMEN RESUELTO

1. a) Potencial gravitatorio. Características.

b) Una partícula de masa m, situada en un punto A, se mueve en línea recta hacia otro punto B, en una región en la

que existe un campo gravitatorio creado por una masa M. Si el valor del potencial gravitatorio en el punto B es

mayor que en el punto A, razonar si la partícula se acerca o se aleja de M.

2. a) Explique el concepto de velocidad de escape de un planeta, deduciendo su expresión.

b) Explique cómo es posible conocer las masas de los planetas

3. Un satélite de 300 kg describe órbitas circulares en torno al planeta Venus a una altura de 1000 km sobre su superficie.

a) Calcule la velocidad orbital del satélite, deduciendo su expresión

b) Calcule razonadamente la velocidad a la que habría que lanzar un cuerpo desde la superficie del planeta para que

alcance esa altura. Desprecie el rozamiento con la atmósfera.

( Datos: RV = 6050 km; g0 V= 8,8 ms-2 )

4. Dos partículas de masas M1 = 2 kg y M2 = 5 kg están situadas en los puntos P1: (0,2) m y P2: (1,0) m,

respectivamente. Calcule:

a) Intensidad del campo gravitatorio y el potencial gravitatorio en el punto P: (1,2) m

b) Trabajo necesario para mover una partícula de 100 g desde P hasta alejarlo una distancia infinita.

a) Potencial gravitatorio (V): Energía potencial gravitatoria almacenada por unidad de masa que se coloque en un

punto del campo gravitatorio.

Unidades: J/kg Se relaciona con la energía potencial mediante la relación Epg = m·V

El potencial gravitatorio creado por una masa puntual M tiene la expresión (eligiendo el origen para for ).

A esta expresión corresponde la gráfica

Relación entre el campo gravitatorio y el potencial gravitatorio:

³ �� 'B

A

drgV El campo gravitatorio nos indica la dirección y sentido en que el potencial gravitatorio

disminuye más rapidamente.

b) En la gráfica del apartado anterior podemos ver que el potencial aumenta con la distancia a la masa M. Por lo tanto, si el

potencial es mayor en B que en A, el punto B está más alejado de M que A. La partícula se aleja.

r

MGV ��


2. a) La velocidad de escape se define como la velocidad a la que habría que lanzar un cuerpo desde la superficie del planeta

para que escapara de su atracción gravitatoria, alejándose indefinidamente. En este cálculo se desprecia el rozamiento con

la atmósfera.

En primer lugar tenemos en cuenta que, al no tener en cuenta el rozamiento, la única fuerza que va a actuar sobre

el movimiento del cohete será la gravitatoria, que es conservativa. Por lo tanto, la energía mecánica del cohete se

mantendrá constante.

Datos: M, R: masa y radio del planeta

m: masa del proyectil

Sistemas de referencia: mediremos las distancias desde el centro del planeta.

El origen de energía potencial gravitatoria lo colocamos a una distancia infinita del centro planetario, por lo que la

expresión usada para la Epg será R

mMGEpg

��

Consideraremos dos situaciones:

Inicial: Lanzamiento del cohete desde la superficie terrestre con velocidad ev .

2

21

1 emvEc R

mMGEpg

�� 1

R

mMGmvEpEcE egM

��

2

21

1

Final: el cohete se aleja indefinidamente. En el límite cuando la distancia r tiende a infinito,

la velocidad (y la Ec) tiende a cero, al igual que la energía potencial, ya que el origen de Ep está

colocado en el infinito.

02 � fofo )EpEc(EE g

lim

rM

lim

rM

Aplicando la conservación de la energía mecánica:

R

GMv

R

mMGvm

R

mMGmvEE eeeMM

20

2

212

21

11 ��

��

��

R

GMve

2 Puesto en función de la gravedad en superficie Rgve �� 02

Nótese que la velocidad de escape desde la superficie de un planeta sólo depende de las características (masa,

tamaño) del planeta. No importa la masa del proyectil. (Evidentemente, para acelerar un proyectil de más masa hasta esa

velocidad se necesitará un mayor esfuerzo, pero eso es otra cuestión)

También puede hablarse de velocidad de escape desde una cierta altura h sobre la superficie. El concepto es el

mismo, solo que en lugar de R pondremos R+h.

v = ve

r = R

v Æ 0

r Æ f


b) Explique cómo es posible conocer las masas de los planetas Podemos conocer la masa de un planeta si tiene algún satélite describiendo órbitas a su alrededor. Conociendo el radio de

la órbita y el periodo de revolución, podemos aplicar la tercera ley de Kepler

GMr

T 2

3

2 4S Y a partir de ahí calcular la masa M del planeta.

También podemos calcular la masa del planeta conociendo su gravedad superficial, 20R

MGg �

3. a) La velocidad orbital es la velocidad que lleva el satélite en su órbita. Para calcularla, tendremos en cuenta que la única

fuerza que actúa sobre el satélite es la gravitatoria.

También, al tratarse de un movimiento circular, sólo tendrá aceleración normal.

Aplicando la segunda ley de Newton:

Igualando ambas expresiones:

Necesitamos conocer la masa del planeta Venus y la distancia r a la que se encuentra el satélite de su centro. Para ello

usamos los datos de g0 y la altura.

kgG

RgM

R

GMg VV

V

V

24

2

0

20 1083,4 � �

�

r = R + h = 7050 km = 7,05 ·106 m

Por lo tanto, smr

MGvorb /7297

�

b) Resolvemos esta cuestión aplicando la conservación de la energía mecánica al movimiento del

cuerpo. Tras el choque, si no tenemos en cuenta el rozamiento con la atmósfera, la única fuerza

que actúa sobre él es la gravitatoria, que es conservativa. Por lo tanto, la energía mecánica (EM =

Ec+Epg) se mantiene constante. Esto nos permite calcular la velocidad con la que hay que lanzar

el cuerpo para que alcance la altura a la que se encuentra el satélite.

Escogemos el origen de energía potencial a una distancia infinita del planeta. Esto hace que la

expresión usada para la energía potencial gravitatoria sea:r

GMmEpg �

Situación inicial: r

GMm

r

GMmmvEpgEcEM � � � 0

2

2

221

222

Situación final:

V

MR

GMmmvEpgEcE � �

2

121

111

La energía mecánica se mantiene constante: r

GMm

R

GMmmv

V

� �2

121

Con lo que v1 = 3886,7 m/s. Con esa velocidad habría que lanzar el cuerpo.

r

vmamF ng

2

� �

r

MGv

r

vm

r

mMGorb

� �

��

��

2

2


4. a)

Campo gravitatorio: Fuerza gravitatoria que se ejerce por unidad de masa

sobre un cuerpo situado en un punto del campo gravitatorio. En el punto A

influyen las dos masas puntuales, por lo que aplicamos el principio de

superposición. PPP ggg 21

&&&� El campo producido por la masa 1:

M1 = 2 kg ; mr )0,1()2,0()2,1(1 � &

;

mr 11 ; jr

rur

&&

&

1

11

kgNjkgNjur

GMg rP /10334,1/

1

21067,6 1011

12

1

11

&&&& ��

��

� ��

Del mismo modo calculamos el campo producido por la masa 2 en P:

M2 = 5 kg ; mr )2,0()0,1()2,1(2 � &

;

mr 22 ; ir

rur

&&

&

2

22

kgNikgNiur

GMg rP /1034,8/

4

51067,6 1111

22

2

22

&&&& ��

��

� ��

con lo que kgNjiggg PPP /10334,11034,8 1011

21

&&&&& ��

Para calcular el potencial (energía almacenada por unida de masa), aplicamos el principio de superposición:

VP = V1P + V2P Escogiendo el nivel cero de potencial en el infinito

kgJr

GM

r

GMV

PP

P /103 10

2

2

1

1 ��

b) Calculamos el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria en ese desplazamiento.

fff �� '� VmVmEpgEpgEpgEpgEpgW PPPFg )(

Teniendo en cuenta el origen de potencial escogido, el potencial a una distancia infinita será nulo. Así

JkgVmWkgJ

PFg

1110 103)103(1,0 ��

El trabajo que realiza la fuerza gravitatoria es negativo (la fuerza gravitatoria se opone al desplazamiento). Eso

significa que debemos realizar exteriormente un trabajo como mínimo igual y de signo contrario para desplazarlo.

Así Wext t 3· 10-11 J

M1

M2

g1

M1 g2

g

+x

+y

P

I.E.S. Al-Ándalus. Dpto de Física y Química. Curso 2004/05 Física 2º Bachillerato - 1 -

FÍSICA 2º BACHILLERATO. EXAMEN DE LOS TEMAS 1 Y 3. 3-2-05 OPCIÓN A: 1. a) Una partícula con carga q negativa se acerca a otra partícula Q. Su energía potencial disminuye.

Razonar acerca de cómo varía el potencial creado por Q, qué signo tendrá el trabajo realizado, y si la interacción será atractiva o repulsiva.

- Por energía potencial electrostática entendemos la energía almacenada por una carga q en el interior de un campo electrostático. Viene dada por la expresión VqEpe � , donde V es el

potencial electrostático en el punto. Si el campo electrostático es creado por una carga puntual Q,

tendremos r

qQKEpe

�� , con origen para for . En la gráfica podemos ver cómo varía la

Epe en función de la distancia, para cargas del mismo y diferente signo. Vemos que, si al acercarse las partículas, la energía potencial disminuye, ambas cargas deben ser de signo contrario, por lo que el signo de Q es positivo. La interacción será, por tanto, atractiva. - El potencial V es la energía almacenada por unidad de carga positiva que se coloque en un punto del campo

electrostático. Para una carga puntual Q, viene dado por r

KQV . Para una carga positiva, V disminuye al aumentar

r, por lo que al acercarse las dos partículas, V aumentará. - Signo del trabajo: Como la fuerza electrostática es conservativa, eFe EpW '� . Al disminuir la energía potencial, su

incremento es negativo y el trabajo, por tanto, será positivo. - La interacción es atractiva, por lo ya visto antes. Además, puede razonarse atendiendo al signo del trabajo. El signo positivo indica que la fuerza electrostática favorece el desplazamiento, es decir, el acercamiento. La fuerza electrostática tiende a acercar ambas cargas.

b) Energía potencial: características.

- La energía potencial es la energía almacenada por un cuerpo cuando sobre éste actúa una fuerza conservativa. - Decimos que el cuerpo tiene almacenada una cierta energía potencial EpA en el punto A, y otra energía potencial EpB

en el punto B. De esta forma, el trabajo realizado por la fuerza al desplazarse entre A y B, coincide con el cambio en dicha energía potencial. Así BAFC EpEpEpW � '� Podemos hacer esto gracias a que la

fuerza es conservativa, es decir, el trabajo que realiza sólo depende de los puntos inicial y final, no del recorrido seguido. Sólo existe energía potencial asociada a fuerzas conservativas.

- Unidades de energía potencial: Julios ( J ) en el Sistema Internacional. - Tipos de energía potencial: - Energía potencial gravitatoria (Epg): debida a la acción de la fuerza gravitatoria. - Energía potencial electrostática (Epe): debida a la acción de la fuerza electrostática entre cargas.

- Energía potencial elástica (Epel): debida a la acción de la fuerza elástica (p.e. un muelle al comprimirlo o estirarlo).

- Origen de potencial: Observamos que definimos la energía potencial de forma que siempre calculamos diferencias de energía entre dos valores. De hecho, sabemos la diferencia, no el valor concreto en cada punto. Para tener un valor en cada punto, debemos establecer un origen de potencial , un punto en el que digamos que la energía potencial vale cero. Según el punto que se escoja obtendremos una fórmula para la Ep u otra.

- Cálculo de la Ep asociada a una fuerza conservativa: La expresión de la Ep se calcula a partir del trabajo realizado por

la fuerza EpWFC '� Æ ³ � �B

ABAC EpEprdF

&& Habrá que calcular la integral en

general, y la fórmula que resulte será la que usemos, una vez hayamos escogido el origen de potencial.


2. Una bolita esférica de carga negativa y radio despreciable suspendida de un hilo de

5 cm, está situada entre las placas de un condensador plano. Al cargar el condensador con una diferencia de potencial de 10 kV, la esfera queda como indica la figura.

a) Realizar un esquema indicando dirección y sentido del campo eléctrico. Calcular la carga de la esfera

b) Calcular el trabajo realizado por la fuerza eléctrica. (dato: masa de la esfera: 100 g) a) Nos encontramos con una interacción electrostática, entre un condensador y una partícula cargada. Un condensador cargado crea un campo electrostático entre sus placas que podemos considerar constante en módulo, dirección y sentido. Es perpendicular a las placas y su sentido va desde la placa de mayor potencial a la de menor. El módulo del campo se calcula

con la expresión d

VE

' .

La bolita cargada se desvía por acción de la fuerza electrostática EqFe&&

� . Como la carga

es negativa, el campo y la fuerza van en sentidos contrarios. Así, la distribución del campo y las placas positiva y negativa son las que indica el dibujo.

Aplicando la primera ley de Newton a la bolita en equilibrio, 0F &

6 , llegamos a

V

º30tgdgmqº30tg

dgm

Vq

º30cosTgm0FgTy:y

º30senTd

Vqº30senTEq0TxFe:x

'

'' �� o

��

�

°¿

°¾½

� �o �

� �

o� �o �

Sustituyendo valores, obtenemos que C1077,5q 6�� . Así, C1077,5q 6��

b) Para calcular el trabajo realizado por la fuerza electrostática, tenemos en cuenta que ésta es constante, por lo que

podremos calcular el trabajo mediante la expresión D'' cosrFrFW �� &&

La fuerza será, en módulo N577,0d

VqEqFe � �

'

El desplazamiento, lo calculamos a partir del triángulo: m025,0º30senLr � ' El ángulo que forman será de 0º. Así, el trabajo realizado será J0144,0º0cosrFW �� '

3. Un cuerpo de 5 kg se deja caer por un carril inclinado 30º con la horizontal, desde una altura de 5 m,

llegando al suelo con una velocidad de 8 ms-1. Allí choca con un resorte horizontal, comprimiéndolo 20 cm. Calcular:

a) Coeficiente de rozamiento. b) Constante elástica del resorte. Resolvemos este problema aplicando conceptos energéticos. Dividimos la resolución en dos partes:

a) caída por la pendiente sin rozamiento. b) Compresión del resorte, con rozamiento.

a) Análisis energético: Energías presentes: 2

2

1vmEc � : Inicialmente es cero. Aumenta al caer por la pendiente.

Epg = m·g·h (origen en la aprte inferior de la pendiente h=0) Inicialmente tiene su valor máximo, disminuyendo hasta hacerse cero al caer por la pendiente.

EM = Ec + Epg : No se mantiene constante, debido a que actúan una fuerza no conservativa (rozamiento) que realiza trabajo. La normal no realiza, al ser perpendicular al desplazamiento. Se cumplirá que 1M2MFRFNC EEWEMW � o'

30º

1

v2

v =01

h1

Epg=0+ x

2

30º

N

mg

mgcos30º

mgsen30º

FR

'V

+- E

Fe

1Tx

mg

Ty

30º

L=0,05m

0,025m


En resumen. El cuerpo gana Ec a costa de la disminución de su Epg. Parte de la energía inicial se disipa en forma de calor debido al rozamiento, con lo que la energía mecánica disminuye.

Aplicando 1M2MFRFNC EEWEMW � o'

11g11Mmgh0EpEcE � �

0mvEpEcE 2

221

2g22M� �

rmgrNº180cosrFW RFR 'P'P' ��

1

2

221

1M2MFR mghmvrº30senmgEEW � ��o� 'P Sustituyendo, obtenemos 36,0 P

b) Compresión del muelle: Energías presentes

2

2

1vmEc � : Inicialmente tiene su valor máximo. Disminuye hasta hacerse cero al comprimirse el resorte.

Epg = m·g·h (origen en el suelo h=0) Se mantiene cte=0 durante todo el trayecto. La fuerza gravitatoria no realiza trabajo, al ser perpendicular al desplazamiento.

� �221 xKEpel ' (origen en la posición de equilibrio) Inicialmente nula.

Aumenta conforme se comprime el muelle, hasta llegar a su valor máximo. EM = Ec + Epg : Se mantiene constante, debido a que las fuerzas que actúan, o

bien son conservativas (fuerza elástica, gravitatoria, o no realizan trabajo, como la normal. No hay rozamiento. 3M2MFNC EE0W o


221

221M vmEpelEcE � �

Situación final: 2

321

333M xKEpelEcE '� �

mN

2

3

2

22

2212

321

3M2M 8000x

vmKvmxKEE

� o� �o

''

Epg=0+ x

2

3

v2

'x3


OPCIÓN B: 1. a) Comparar el comportamiento de un dieléctrico y un conductor al introducirlos en el interior de un

campo electrostático. ¿Puede un dieléctrico transformarse en un conductor? La diferencia básica entre un conductor y un dieléctrico estriba en que el conductor posee cargas móviles

(electrones), mientras que en el dieléctrico (aislante) los electrones están confinados dentro de los átomos o moléculas, ya sea polar (con dipolos preexistentes) o apolar (sin dipolos). En situación de equilibrio, en ambos casos el campo en el interior es nulo.

Al introducir un conductor dentro de un campo eléctrico externo, extE&

, los electrones móviles (carga negativa)

se moverán en sentido contrario al campo. Esto produce una separación de carga + y - (dipolo), originándose un

campo eléctrico 'E&

dentro del conductor, que es igual y de sentido contrario al exterior.

De este modo, el campo en el interior, al llegar a la situación de equilibrio: 0'EEE extint � &&&

Sin embargo, al introducir un dieléctrico, las cargas no pueden separarse completamente. En una sustancia

polar, los dipolos se deforman y orientan en el sentido del campo eléctrico, y en una apolar se forman dipolos instantáneos (inducidos). En ambos casos se crea un campo inducido que se opone al campo exterior, pero no llega a ser suficientemente intenso como para anularlo. El campo interior se hace más pequeño que el exterior, pero no se hace cero.

'EEE extint

&&&� ; en módulo Eint = Eext - E' ; Eint < Eext

DIELÉCTRICO POLAR:

Al principio los dipolos están Se introduce Eext. Se origina E' en sentido desordenados ( Eint =0 ) Orientación de dipolos contrario a Eext DIELÉCTRICO APOLAR:

Al principio no existen Se introduce Eext. Se origina E' en sentido dipolos ( Eint =0 ) Separación de cargas contrario a Eext Formación de dipolos Ruptura del dieléctrico: Al polarizar el dieléctrico, las cargas positiva y negativa de cada molécula tienden a separarse. Cuanto mayor es el campo eléctrico externo, mayor estiramiento se producirá en la molécula. ¿Podremos aumentar indefinidamente el

campo o existirá un límite? Pues ocurre lo segundo, es decir, llegará un momento (un valor máximo de extE&

) en que las

moléculas no podrán estirarse más y se romperán, quedando libres los electrones. Se habla entonces de ruptura del

material dieléctrico. De hecho, se ha convertido en un conductor, y circulará corriente a través de él (es lo que ocurre cuando salta un rayo a través del aire en una tormenta, o una chispa entre dos cables muy próximos). El valor del

campo E&

a partir del cual ocurre esto se denomina campo de ruptura. Para el aire seco es de 3 ·106 V/m aprox.


b) Supongamos el siguiente caso: aplicamos una fuerza F sobre un bloque situado en una superficie

horizontal. ¿Es posible que dicha fuerza realice trabajo y al mismo tiempo mantenerse constante la energía cinética del bloque? Razonar.

Trabajo: transferencia de energía por la acción de una fuerza realizada a lo largo de un desplazamiento. Según el teorema trabajo-energía cinética (teorema de las fuerzas vivas), el trabajo total realizado sobre el cuerpo es igual a la variación de su energía cinética (energía debida al movimiento). EcWTOT ' . Para que

0WcteEc TOT o , por lo que si la fuerza aplicada es la única que actúa, es imposible que realice trabajo y que la

energía cinética no cambie. Sin embargo, si existe otra fuerza (u otras) aplicada sobre el cuerpo, de forma que realice un trabajo igual y de signo contrario al que realiza F (una fuerza igual y opuesta, por ejemplo), entonces el trabajo total será nulo y la energía cinética constante. Como consecuencia, sí es posible la situación que plantea la cuestión. 2. Tenemos dos esferas separadas 1 m. La primera, de radio 5 cm, tiene una carga de 3 PC, y la

segunda, de radio 10 cm, tiene una carga de -6 PC. Calcular: a) Punto del espacio (si existe) en el que el campo electrostático es nulo. b) Punto del espacio (si existe) en el que el potencial electrostático es nulo. Nos encontramos ante dos esferas cargadas que crean campo electrostático a su alrededor. El campo creado por una esfera puede calcularse considerando que toda la carga estuviera concentrada en su centro (es decir, considerando cargas puntuales). Así, las expresiones de campo electrostático (fuerza ejercida por unidad de carga) y potencial (energía

almacenada por unidad de carga) son r2u

r

QKE

&&�

�

r

QKV

�

Una carga positiva crea un campo hacia fuera, y una carga negativa hacia dentro. El campo (o el potencial) total en cualquier punto se calcula aplicando el principio de superposición:

21 EEE&&&

� 21 VVV �

Los radios de las esferas no tienen utilidad en este problema

a) Para que el campo electrostático sea nulo en un punto, 2121 EE0EEE&&&&&

� o � Es decir, ambos

campos deben ser iguales en módulo y dirección, pero en sentido contrario. Por tanto: - Para que los campos vayan en la misma dirección, el punto, si existe, se encuentra en la misma línea que ambas

cargas. - Como ambas cargas son de distinto signo, el punto debe encontrarse a la izquierda o a la derecha de ambas esferas,

ya que, como se indica en la figura, es en esas zonas donde los campos creados pueden tener sentido contrario. Además, debe encontrarse más cerca de la carga de menor valor absoluto (la 1 en este caso), para compensar este hecho. Así, el punto se encuentra a la izquierda, y se cumple la relación 12 r1r �

- Para que los módulos sean iguales 1

1

2

22

2

2

2

1

1

21 rQ

Qr

r

QK

r

QKEE � o

�

�o 12 r2r �

Resolviendo el sistema formado por ambas ecuaciones, obtenemos m41,3r,m41,2r 21

b) Para que el potencial electrostático sea nulo, 0VVV 21 � Æ 1

1

22

2

2

1

1 rQ

Qr

r

QK

r

QK�� o

��

�

Obtenemos, sustituyendo, 12 r2r �

Es la única condición. Cualquier punto del espacio que esté a doble distancia de la carga 2 que de la 1, tendrá potencial nulo. Al ser el potencial una magnitud escalar, no tenemos otra ecuación para la dirección o sentido. Por ejemplo, un punto que cumple con esa condición se encuentra entre ambas cargas, de modo que 1rr 12 �

Con ambas ecuaciones, obtenemos m66,0r,m33,0r 21


3. Una partícula de 200 g y 2 ·10-3 C de carga es acelerada mediante una diferencia de potencial de 1250 V, y posteriormente choca contra un resorte de constante elástica 2000 N/m.

a) Describir las variaciones de energía que sufre la partícula. (Dibujar esquema) b) Calcular la velocidad que adquiere la partícula al ser acelerada y cuánto se comprime el

resorte. Pasamos la masa al S.I: m = 0,2 kg Resolvemos los apartados a y b conjuntamente. Todas las fuerzas que actúan sobre la partícula son conservativas, tanto la fuerza electrostática durante la aceleración, como la fuerza elástica durante la compresión del muelle. Por lo tanto, la energía mecánica de la partícula se mantendrá constante en todo momento. - Durante la aceleración, se produce una transformación de energía potencial electrostática

VqEpe � (máxima en 1, mínima en 2) en energía cinética, que aumenta desde cero hasta su

valor máximo al salir del campo eléctrico. En la figura están representados la dirección del campo electrostático (en el mismo sentido que el desplazamiento, ya que la carga es positiva) y de la fuerza que acelera la partícula.

Vqmv)VV(q0mvEpEccteE 2

221

12

2

221

eM '' � o�� o� o

Sustituyendo y despejando, obtenemos 1

2 sm5v ��

- Durante la compresión del resorte, la energía cinética disminuye, al tiempo que aumenta la energía potencial elástica, hasta alcanzar su valor máximo. Se produce una transformación íntegra de energía cinética en energía elástica.

2

2212

3212

3212

221

elM mvxK)0xK(mv0EpEccteE o�� o� o ''' Así, sustituyendo y despejando, obtenemos m05,0x3 '

Epg=0+ x

2

3

v2

'x3

'V

+ -E

Fe

1 2v2

IES Al-Ándalus. Dpto. Física y Química. Curso 2004/05 Física 2º Bachillerato - 1 -

FÍSICA 2º BACHILLERATO. EXAMEN TEMAS 4,2 25 - 2 - 05

OPCIÓN A:

1. a) Características de la interacción magnética. Diferencias con la interacción electrostática. - Interacción a distancia. Su intensidad disminuye con la distancia.

- Polos del mismo nombre se repelen. Polos del distinto nombre se atraen.

- Interacción entre cargas en movimiento.

- Interacción no conservativa (no existe energía potencial magnética).

- Las líneas de campo magnético son cerradas. No existen polos magnéticos aislados.

- La intensidad del campo (y de la interacción) depende del medio, viene marcada por la constante magnética

SP4

K m , donde P = permitividad magnética

- El campo magnéticoB&

es originado por cargas en movimiento.

Diferencias con la interacción electrostática:

Magnética Electrostática: Interacción no conservativa (no existe energía

potencial magnética).

Interacción conservativa (existe energía potencial

electrostática, y potencial electrostático V).

Líneas de campo cerradas. Líneas de campo abiertas.

No existen polos magnéticos aislados Existen cargas eléctricas aisladas (+ y -)

Interacción entre cargas en movimiento Interacción entre cargas en reposo.

B&

es originado por cargas en movimiento E&

es originado por cargas, en reposo o en movimiento.

La fuerza magnética que actúa sobre una partícula es

perpendicular al campo B&

. BvqF ��

La fuerza electrostática que actúa sobre una partícula es

paralela al campo E&

. EqF&&

�

La interacción electrostática, en general, es más intensa que la interacción magnética.

b) Dos satélites idénticos se encuentran en órbitas circulares de distinto radio alrededor de la Tierra. Razone cuál de ellos tiene mayor velocidad y mayor energía mecánica.

- La velocidad orbital de un satélite que describe órbitas circulares en torno a un planeta viene dada por

la expresión r

MGvorb

� , donde M es la masa del planeta y r el radio de la órbita, G la constante

de gravitación universal. Para satélites que orbiten alrededor del mismo planeta, sólo depende de la

distancia al centro del planeta. Vemos que si el satélite A está a mayor distancia (mayor radio), su velocidad orbital será

menor. El B tendrá mayor velocidad orbital.

- La energía mecánica de un satélite en órbita es la suma de sus energías cinética y potencial gravitatoria

r2

GMm

r

GMm

r

GMm2

1

r

GMmmv2

1EpEcE

2

2

gM � �¸¸¹

·¨¨©

§ � �

Al tratarse de una energía negativa, vemos que, a mayor radio del satélite, mayor es también la energía

mecánica. Así, el A posee mayor energía mecánica.

2. Un electrón que se mueve en el sentido positivo del eje OX con una velocidad de 104 m s-1, penetra en una región en la que existe un campo magnético de 5 T en el sentido positivo del eje OZ. a) Dibujar un esquema indicando la dirección y sentido de la fuerza que sufre la partícula, y calcular el

radio de la órbita descrita, deduciendo su expresión. (me = 9,1 ·10-31 kg ; e = 1,6 ·10-19 C) El electrón sufre una fuerza al penetrar en el interior del campo, que viene dada por la ley de

Lorentz BvqF �� . La fuerza magnética es perpendicular al campo y a la velocidad, y su

sentido se calcula por la regla de la mano derecha al girar v&

sobre B&

, cambiando el sentido si

la carga es negativa. La fuerza que obliga a seguir la trayectoria dibujada es la representada en la figura.

Al girar v&

sobre B&

, obtenemos un sentido hacia abajo en el dibujo (- OY). Como la carga del

electrón es negativa, la fuerza irá en sentido opuesto (+OY).

A

B

v

F X+

y+


Al ser la fuerza perpendicular en todo momento a la velocidad, la aceleración será sólo normal, con lo que el

movimiento será circular uniforme, y la trayectoria una circunferencia. El radio de la órbita lo obtenemos a

partir de la 2º ley de Newton amF&&� 6

Bq

vmR

R

vmamº90senBvq

2

n ��

��

Sustituyendo, obtenemos m1014,1T5C106,1

ms10kg101,9

Bq

vmR 8

19

1431�

�

��

� ��

��

��

b) Calcular el campo eléctrico que habría que aplicar para que el electrón continúe su trayectoria rectilínea. Para que el electrón continúe con trayectoria rectilínea, con movimiento rectilíneo

uniforme, debe encontrarse en situación de equilibrio dinámico 0F &

6 , por o que hay que

aplicar un campo eléctrico con el valor adecuado para que las fuerzas eléctrica y magnética se

anulen al sumarse. Aplicando la ley general de Lorentz:

� �CN44

me j105

500

0010

kji

)Bv(E0BvEqBvqEqFFF&

&&&

&&&� � �� o �� ¦

3. La masa de la Luna es 0,01 veces la de la Tierra y su radio es 0,25 veces el radio terrestre. Un cuerpo, cuyo peso en la Tierra es de 800 N, cae a la Luna desde una altura igual al radio lunar. a) Realice el balance de energía en el movimiento de caída y calcule la velocidad con que el cuerpo llega

a la superficie. Resolvemos esta cuestión aplicando la conservación de la energía mecánica al movimiento del

cuerpo. La única fuerza que actúa sobre él es la gravitatoria, que es conservativa. Por lo tanto, la

energía mecánica (EM = Ec+Epg) se mantiene constante. Esto nos permite calcular la velocidad

con la que llegaría a la superficie lunar (al no existir atmósfera, no hay rozamiento).

Escogemos el origen de energía potencial a una distancia infinita de la Tierra. Esto hace

que la expresión usada para la energía potencial gravitatoria sea:r

mGMEpg L�

Situación inicial:

L

L

1

L2

121

111MR2

mGM0

r

mGMmvEpgEcE � � �

Situación final: R

mGMmvEpgEcE L2

221

222M� �

La energía mecánica se mantiene constante:

L

L2

L

L

L

L2

221

R

GMv

R2

mGM

R

mGMvm o� �

Sabemos que m102,3R5,0R25,02R2r 6

TTL1 � � m106,1R 6

L �

kg1014,6G

Rg01,0M01,0M 22

2

TT0

TL � �

� �

Sustituyendo, obtenemos v2 = 1600 m/s. Con esa velocidad llegaría a la superficie lunar.

b) Determine la masa del cuerpo y su peso en la Luna. ( g0T = 10 m s – 2 RT = 6400 km.)

La fuerza gravitatoria que actúa sobre un cuerpo se calcula mediante la expresión gmFg&&

� , en módulo

gmFg � , donde m es la masa del cuerpo y g es valor del campo gravitatorio (gravedad) en el punto en el que se

encuentra dicho cuerpo.

En la superficie terrestre, el valor de la gravedad es g0T = 10 m/s2 =10 N/kg, con lo que

kg80m10mN800kgN o�

El peso en la Luna se calcula a partir del valor de la gravedad en la superficie lunar kgN

2

L

LL0 6,1

R

GMg

Así, el peso en la Luna será N1286,1kg80gmFkgN

L0Lg � �

v

Fm X+

y+

Fe

E


OPCIÓN B:

1. a) Una partícula cargada penetra en un campo magnético constante y uniforme, describiendo la trayectoria indicada en la figura. Razonar el signo de la carga y si su periodo de revolución dependerá o no de la velocidad con que se mueva la partícula. - La partícula cargada sufre una fuerza al penetrar en el interior del campo, que viene dada por la ley

de Lorentz BvqF �� . La fuerza magnética es perpendicular al campo y a la velocidad, y su

sentido se calcula por la regla de la mano derecha al girar v&

sobre B&

, cambiando el sentido si

la carga es negativa. La fuerza que obliga a seguir la trayectoria dibujada es la representada en la figura.

Al girar v&

sobre B&

, obtenemos un sentido hacia abajo en el dibujo (- OY), que concide con el

de la fuerza que actúa sobre la partícula. Por lo tanto, la carga es positiva. Si fuera negativa, el

sentido de la fuerza sería el opuesto y también lo sería el sentido de giro.

- El periodo de revolución (tiempo en describir una vuelta completa) viene dado por Bq

m22T

��

S

ZS

. Como

vemos, es independiente del valor de la velocidad (si va más rápido, describirá también una órbita de mayor radio, con

lo que la distancia que recorrerá será mayor, en la misma proporción).

b) Definir el concepto de velocidad de escape y deducir su expresión. Velocidad de escape: ( ve ) Se define como la velocidad a la que habría que lanzar un cuerpo desde la

superficie del planeta para que escapara de su atracción gravitatoria, alejándose indefinidamente. En este cálculo se

desprecia el rozamiento con la atmósfera.

En primer lugar tenemos en cuenta que, al no tener en cuenta el rozamiento, la única fuerza que va a

actuar sobre el movimiento del cohete será la gravitatoria, que es conservativa. Por lo tanto, la energía mecánica del

cohete se mantendrá constante.

Sistemas de referencia: mediremos las distancias desde el centro del planeta. El origen de energía potencial gravitatoria

lo colocamos a una distancia infinita del centro planetario, por lo que la expresión usada para la Epg será

R

mMGEpg

��

Consideraremos dos situaciones:

Inicial: Lanzamiento del cohete desde la superficie terrestre con velocidad ev .

2

21

1 emvEc R

mMGEpg

�� 1

R

mMGmvEpEcE egM

�� 2

21

1

Final: el cohete se aleja indefinidamente. En el límite cuando la distancia r tiende a

infinito, la velocidad (y la Ec) tiende a cero, al igual que la energía potencial, ya que el origen de

Ep está colocado en el infinito.

02 � fofo )EpEc(EE g

lim

rM

lim

rM

Aplicando la conservación de la energía mecánica:

R

GMv

R

mMGvm

R

mMGmvEE eeeMM

20

2

212

21

11 ��

��

v

v = ve

r = R

v Æ 0

r Æ f

vF

X+

y+


2. Por dos conductores rectilíneos y paralelos al eje OX, separados 20 cm, circulan corrientes en sentidos contrarios de 2 A y 4 A respectivamente. a) Calcular el campo magnético en el punto medio entre ambos conductores. Nos encontramos ante dos corrientes rectilíneas que generan campo magnético en una

misma zona del espacio. El campo total en cualquier punto del espacio se calculará

aplicando el principio de superposición 21tot BBB&&&

�

El campo magnético creado por un conductor rectilíneo por el que circula corriente

tiene las siguientes características:

Módulo: r2

IB

��

SP

Dirección de B&

: Perpendicular al movimiento de las cargas eléctricas (corriente)

Perpendicular al vector r&

(distancia desde la corriente al punto considerado)

Sentido de B&

: Dado por la regla del sacacorchos al girar el sentido de la corriente sobre el vector r&

.

Calculamos los módulos de los campos producidos por cada conductor en el punto medio entre los cables. La

dirección y sentido puede verse en el dibujo (punto: hacia fuera, aspa: hacia dentro). Asignamos luego el vector unitario

correspondiente a cada campo.

Estamos en el vacío, por lo que P0 = 4S�·10-7 TmA-1

Tk104BT104m1,02

A2TmA104

r2

IB 6

1

617

1

10

1

&&��

��

� o� �

��

�

�

SS

SP

Tk108BT108m1,02

A4TmA104

r2

IB 6

1

617

2

20

2

&&��

��

� o� �

��

�

�

SS

SP

El campo magnético total: Tk102,1Tk108Tk104BBB 566

21tot

&&&&&&��

b) Fuerza por unidad de longitud que sufre un tercer conductor por el que circule una corriente de 1 A en el mismo sentido que la de 4 A.

(P0= 4S ·10-7 T m A-1) al colocar un tercer conductor entre los dos anteriores, sufrirá fuerzas magnéticas, ya

que se producen interacciones entre imanes. Los conductores 1 y 3 sufrirán repulsión,

ya que sus corrientes van en sentidos opuestos, mientras que 2 y 3 se atraerán, al

tener sus corrientes en el mismo sentido.

Ya que sabemos el valor del campo magnético en un punto equidistante de ambos

conductores, lo más directo para calcular la fuerza que sufre es aplicar la ley de

Laplace, suponiendo una longitud de 1 m para el cable 3.

I = 1 A ; L&

: longitud de 1 m, en el eje OX, sentido positivo mi1L&&� ; Tk102,1B 5

tot

&&��

mN

5

j5102,1

102,100

001

kji

1BLIF&

&&&

&&&��

�

� ��

X+

y+

I1

I2

r1

r2B1

B2

X+

y+ I1

I2

fm

Btot I3


3. La nave espacial Apolo XI orbitó alrededor de la Luna con un período de 119 minutos y a una distancia media del centro de la Luna de 1,8 · 106 m. Suponiendo que su órbita fue circular y que la Luna es una esfera uniforme: a) Determine la masa de la Luna y la aceleración del satélite. En este problema, tenemos un satélite (Apolo XI), que describe órbitas circulares

alrededor de un cuerpo central, la Luna en este caso. Podemos calcular la masa

del cuerpo central a partir de los datos de la órbita del satélite aplicando la tercera

ley de Kepler: “El cociente entre el cuadrado del periodo de revolución (T2)y el

cubo del radio medio de la órbita (r3) es una constante para todos los cuerpos

que orbiten en torno al cuerpo central”.

kg1077,6TG

r4M

GM

4

r

T 22

2

32

L

L

2

3

2

� �

� �

SS

Datos: r = 1,8 ·106 m ; T = 119 minutos = 7140 s.

La aceleración que sufre el satélite en su órbita podemos calcularla bien a partir del movimiento circular

uniforme que suponemos que describe � �

2

2

L

2

r

GM2

orb

n ms39,1r

GM

rr

vaa

L

�

O bien sabiendo que la aceleración que sufre el satélite coincide con el valor de la gravedad en ese punto

2

2

L ms39,1r

GMga �

De las dos formas obtenemos la misma expresión y, lógicamente, el mismo resultado.

b) Determine la velocidad orbital del satélite, deduciendo su expresión ¿cómo se vería afectada la velocidad orbital si la masa de la nave espacial se hiciese el doble? Razone la respuesta. ( G = 6,67 · 10- 11 N m2 kg)

La velocidad orbital de un satélite que describe órbitas circulares en torno a un planeta viene dada por la expresión

r

MGvorb

� , donde M es la masa del cuerpo central (la Luna en este caso), r el radio de la órbita y G la constante

de gravitación universal.

Esta expresión se obtiene a partir del movimiento que describe el satélite, circular uniforme, en el que la única

aceleración que posee es normal. Aplicando la 2º ley de Newton: amF&&� 6

r

vmamF

2

ng � � Æ r

MGv

r

vm

r

mMGorb

2

2

� �

��

�

Sustituyendo los valores, obtenemos una velocidad orbital de 1584 m·s-1.

IES Al-ándalus. Dpto Física y Química. Física 2º Bach. T0. Ejercicios resueltos. - 1 -

15.- Un hombre se encuentra sobre una báscula en el interior de un ascensor. Con el ascensor quieto la báscula marca 700 N. Calcular cuánto marcará si:

a) El ascensor sube con una velocidad constante de 5 m/s. b) El ascensor sube con una aceleración constante de 2 m/s2

c) El ascensor baja con una aceleración constante de 2 m/s2 d) La cuerda del ascensor se parte y éste cae en caída libre.

Diagrama de fuerzas. Sobre la persona de la figura, que está sobre la báscula, actúan

únicamente dos fuerzas, ya esté en reposo o en movimiento: la fuerza gravitatoria, Fg, y la

fuerza normal N debida al contacto con la báscula. Esta fuerza normal, que es igual (por la

3ª ley de Newton) a la que hace la persona sobre la báscula, es el “peso aparente” que

marcará la báscula. Dependiendo del valor de estas dos fuerzas, la persona tendrá un tipo

de movimiento u otro.

Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento de la persona: amF&&� ¦

Sólo hay fuerzas en dirección vertical (y) amgmNamFgN � ��o� �

Con lo que la fuerza que indica la báscula será amgmN ��

Vemos que el valor que indique la báscula no será sólo el peso. Depende también de la aceleración que lleve el

ascensor (el sistema de referencia).

Estudiamos los diferentes casos:

Con el ascensor en reposo (sería un sistema de referencia inercial): gmNa � o 0

La báscula marca el peso de la persona. De aquí podemos extraer la masa de la persona. Considerando

g = 10 N/kg kgmmNkgN 7010700 o�

a) v = cte = 5 m/s gmNa � o o 0 Igualmente, marca el peso de la persona. N = 700 N

Es lógico que en ambos casos midamos las mismas fuerzas, ya que los dos sistemas de referencia (en reposo o

con movimiento uniforme) son inerciales. No existe forma posible de que la persona que está dentro del

ascensor distinga si está en reposo o en movimiento uniforme.

(Nota: Esta equivalencia entre sistemas de referencia inerciales, llevada al extremo a la hora de medir la

velocidad de la luz, llevó a Albert Einstein en 1905 a formular su principio de Relatividad Especial)

b) Ahora el movimiento es acelerado, con a = 2 m/s2. La báscula marcará

NmskgNamgmN 840270700 2 ��

La persona nota como si “pesara más”, como si hubiera una “gravedad adicional”, que tirara más de él hacia el

suelo. En realidad su peso es el mismo. Es el ascensor (sistema no inercial ahora) el que se mueve con

aceleración.

Esta gravedad adicional es una fuerza ficticia o fuerza de inercia, que en realidad no existe, pero que el

observador que está en el ascensor (que no sabe que se mueve) tiene que inventarse para explicar el aparente

“aumento de peso”. Esto ocurre en todos los sistema de referencia no inerciales.

c) Este caso es similar al apartado b), sólo que ahora la aceleración es negativa a = - 2 m/s 2. La báscula marcará

NmskgNamgmN 560)2(70700 2 ��

Ahora la persona nota como si “pesara menos”, como si hubiera “perdido gravedad”, o hubiera una fuerza

adicional tirando de ella hacia arriba. Pero no hay nadie que aplique esa fuerza.

d) Este es el caso extremo. Al ser una caída libre, la aceleración del ascensor, y de la persona, coincide con la

gravedad. a = g = - 10 m/s2. Así NmskgNamgmN 0)10(70700 2 ��

La báscula no marca nada. La normal es cero. Esto quiere decir que la persona ha perdido el contacto con la

báscula, y queda flotando dentro del ascensor. Esto es natural, ya que cae al mismo ritmo que el suelo, el techo

y las paredes del ascensor. Parece que hubiera perdido completamente su peso.

(Nota: Esta equivalencia entre ingravidez y caída libre, puede plantearse a la inversa, como la equivalencia

entre sufrir la gravedad o encontrarse dentro de un sistema de referencia acelerado. Fue nuevamente

Einstein, en 1916, el que formuló a partir de ahí el Principio de Relatividad General, que revolucionó

completamente la Física. La idea estaba ahí, pero hacía falta un genio con pensamiento propio para

desarrollarla.)

Fg

N

+ x

y +

a

IES Al-ándalus. Dpto Física y Química. Física 2º Bach. T0. Ejercicios resueltos. - 2 -

16.- Una furgoneta transporta en su interior un péndulo que cuelga del techo. Calcular el ángulo que forma el péndulo con la vertical en función de la aceleración de la furgoneta.

La furgoneta, que se mueve con aceleración, constituye un sistema de referencia no inercial.

Un observador situado en su interior ve que el péndulo se desvía de la vertical, como si

algo estuviera tirando de él hacia atrás. Sabemos que en realidad esto no sucede. Es la

furgoneta la que acelera, mientras que la bola del péndulo tiene tendencia a continuar en

reposo.

Diagrama de fuerzas: En la figura. Actúan sobre el péndulo la tensión de la cuerda (T) y

la fuerza gravitatoria (Fg = m·g)

Descomponemos la Tensión en sus componentes x e y:

DsenTTx �

DcosTTy �

Aplicamos la segunda ley de Newton al movimiento del péndulo: amF&&� ¦

Sólo hay movimiento (aceleración) en el eje x.

Eje x: amsenTamTx � �o� D

Eje y: gmcosTgmTy � �o �� D0

Dividiendo ambas ecuaciones obtenemos ¸̧¹

·¨̈©

§ o

g

aartg

g

atg DD Es la expresión que buscábamos.

Estudiamos un poco esta expresión:

- Cuando a = 0 (la furgoneta en reposo o movimiento uniforme, sería un sistema inercial), 0 D , el péndulo

estaría vertical. Este resultado es totalmente lógico.

- Al aumentar la aceleración, también aumenta el ángulo.

- Si quisiéramos que el péndulo formara 90º con la horizontal, esto es, que estuviera horizontal:

g

aºtg 90 Pero foºtg90 , con lo que la aceleración necesaria también sería infinita. Es

completamente imposible este caso extremo.

CUESTIÓN TEÓRICA 4. 4. Razonar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones.

a) “Para que un cuerpo esté en movimiento debe haber forzosamente una fuerza aplicada sobre el cuerpo en ese

instante” Falso. Puede que no actúe sobre él ninguna fuerza y tenga movimiento rectilíneo uniforme. Nos

basamos en la primera ley de Newton.

b) “Podemos arrastrar un cuerpo por una superficie aplicando una fuerza menor que su peso”.

Cierto. La fuerza que debemos vencer es el rozamiento, aquella que va en la misma dirección y se opone a la

fuerza que estamos aplicando. Salvo en situaciones extremas, la fuerza de rozamiento suele ser menor que el

peso del cuerpo.

c) “Al chocar una bola de billar con otra de menor masa, la fuerza que la bola grande ejerce sobre la pequeña

es mayor que la fuerza que la bola pequeña ejerce sobre la grande ”.

Falso. Por la tercera ley de Newton, ambas fuerzas son iguales. Los efectos serán diferentes, dada la distinta

masa de las bolas, pero eso es otra cuestión.

d) “El peso, la fuerza que la Tierra ejerce sobre los cuerpos, depende de la masa de cada cuerpo. Sin embargo,

todos los cuerpos caen con la misma aceleración .”

Cierto. A la hora de calcular la aceleración de caída (aplic amos la 2ª ley de Newton) volvemos a dividir por la

masa, con lo que la aceleración será igual a g, la gravedad. gaamgmamF o� �o� 6&&

e) “Si un cuerpo no está acelerado, no existe ninguna fuerza actuando sobre él ”

Falso. Pueden existir fuerzas aplicadas, pero de tal modo que su resultante sea nula.

f) “Un cuerpo se mueve siempre en la dirección de la fuerza resultante”

Falso. La aceleración sí irá en la dirección de la fuerza r esultante (2ª ley de Newton), pero la velocidad, que es

la que nos indica la dirección del movimiento, no tiene por qué. Ejemplo. Un tiro parabólico. La fuerza

resultante (la gravitatoria) tiene dirección vertical, pero el movimiento no es vertical.

DDT

Tx

Ty

Fg

+ x -

+y

-

I.E.S. Al-Ándalus. Dpto de Física y Química. Física 2º Bachillerato

Resueltos por José Antonio Navarro Domí nguez ([email protected])

ALGUNOS EJERCICIOS RESUELTOS DE MOMENTO ANGULAR Y ESTÁTICA (TEMA 1) (del boletín de problemas)

1.- Una partícula de masa 2 kg, y cuya posición respecto al origen en un determinado instante viene dada por

r&

= 3 i&

+ j&

(m), se mueve en ese mismo instante con una velocidad v&

= 2 i&

(m/s). Calcular:

a) Cantidad de movimiento de la partícula. b) Momento angular respecto al origen.

c) Repetir el problema si v&

= i&

– 2 j&

+3 k&

m/s.

a) La cantidad de movimiento de la partícula indica la intensidad con la que un cuerpo se

desplaza. Se calcula con la expresión 11 smkgi4smi2kg2vmp ��

&&&&

b) El momento angular respecto a un punto (el punto origen O en este caso) indica la

tendencia a girar del cuerpo (o de su vector de posición) respecto al punto O. Su expresión es

121

O smkgk4

004

013

kji

sm)i4(m)ji3(vmrL �� &

&&&

&&&&&&

c) En el caso de que la velocidad sea v&

= i&

– 2 j&

+3 k&

m/s, las operaciones quedarán

11 smkgk6j4i2sm)k3j2i(kg2vmp �� &&&&&&&&

121

O smkgk14j18i6

321

013

kji

sm)k3j2i(m)ji3(vmrL ��

�

�� &&&

&&&

&&&&&&&&

2.- Un LP de vinilo (de 30 cm de diámetro) gira en sentido horario a 33 rpm. Una mosca se posa en el extremo del disco, y da vueltas al mismo ritmo. Calcular el momento angular de la mosca respecto al centro del disco,

suponiendo que su masa es de 0,05 g. ( OL&

= - 3,89 ·10-6 k&

kg m2 s-1 )

Datos: R=D/2= 0,15 m;

1srad46,3s60

rad233rpm33 � �

SZ Æ v = Z · R = 3,46 rad s-1· 0,15m = 0,519 m/s

El momento angular de una partícula nos indica la tendencia a girar de la misma respecto al

punto de referencia O que hayamos escogido. Viene dado por la expresión vmrLO

&&&� .

En este problema calcularemos por separado módulo, dirección y sentido del vector.

Módulo: 12615

O smkg1089,3º90sensm519,0kg105m15,0senvmrL �� D

Dirección: OL&

es perpendicular tanto a r&

como a v&

. Æ Va en el eje z (dibujo)

Sentido: Regla de la mano derecha (dibujo) Æ Sentido negativo del eje z.

Por lo tanto, el vector momento angular será OL&

= - 3,89 ·10-6 k&

kg m2 s-

O

R

v&

x�

y�

O

r&

v&

x�

y�



Un puente levadizo de madera mide 5 m y tiene una masa de 400 kg, y está dispuesto como indica la figura. Calcular la tensión del cable y las reacciones que ejerce la bisagra.

Esquema de fuerzas: elegimos el punto O en la bisagra (punto respecto al que puede girar el

puente). Las fuerzas aplicadas son:

- Peso (Fg = m · g = 4000 N ). Aplicada en el centro de gravedad del puente.

- Tensión del cable (T). Aplicada horizontalmente en el extremo.

- La bisagra permite que el puente gire, pero impide que se desplace en ninguno de los dos

ejes, por lo que ejerce dos reacciones, (Rx y Ry) una en cada eje (pueden

considerarse componentes de una reacción R&

)

El puente está en equilibrio estático, por lo que sabemos que: - no se desplaza Æ 0 6F&



¯®

o �o 6

o �o 6o 6

N4000FgRy0FgRy0F

RxT0TRx0F0F

y

x&

00 6o 6 OzO MM&




Peso: Nm50005,0N4000m5,2º30senFgrM OFg �� sentido negativo (giro horario)


Sumamos N73,1154T05000T33,40M O � �� 6




Una antena de 100 kg y 20 m de altura está sostenida por dos cables 1 (unido al

extremo de la antena) y 2 (unido a su punto medio), como indica la figura. La tensión

que ejerce el cable 1 es de 500 N. Calcule razonadamente la tensión del cable 2 y

las reacciones que ejerce la bisagra con que se une al suelo.

Esquema de fuerzas: Elegimos el punto O en el punto de apoyo con el suelo. Las fuerzas aplicadas son:

- Peso (Fg = m · g = 1000 N ). Aplicada en el centro de gravedad de la antena

(su centro).

- Tensiones de las cuerdas (T1 y T2). Aparecen descompuestas en el dibujo.

T1x = T1 ·sen30º = 250 N, T1y = T1 · cos30º = 433 N

T2x = T2 ·sen45º = 0,7 ·T2, T2y = T2 · cos45º = 0,7· T2

- En el apoyo con el suelo, la bisagra ejerce dos reacciones: Rx y Ry (las

suponemos positivas).

La antena está en equilibrio estático, por lo que sabemos que:




¯®

��o ��o 6

��o ��o 6o 6

07,0433100000

02507,0000

221

212

TRyTTFgRyF

TRxTTRxFF

yyy

xxx&

00 6o 6 OzO MM&

.

FrM O



derecha.

Rx y Ry: No ejercen momento, ya que están aplicadas en el punto O.

Peso: mNsenFgrM OFg � �� 0º180 . No ejerce momento ya que la fuerza es paralela a r&

.

Tensión 1: mNsenTrM OT � �� 50005,050020º30111 sentido positivo (giro antihorario)

Tensión 2: mNTTsenTrM OT �� 22222 77,010º45 sentido negativo (giro horario)

Sumamos NTTM O 3,7140750000 22 � �� 6

Sustituimos¯®

o ��

� o ��

NRyRy

NRxRx

175003,7147,04331000

25002503,7147,0

Resultados: T2 = 714,3 N; Rx = -250 N; Ry = 1750 N

(El signo negativo de Rx indica que su sentido es el contrario al que hemos supuesto en el esquema)

30º

45º

1

2

Fg

RxRy

T2

T1

T2x

T2y

T1y

O

T1x

+x

+y

30º

45º

1

2



ALGUNOS EJERCICIOS RESUELTOS DE TRABAJO Y ENERGÍA (BOLETÍN DEL TEMA 1) 12. Un bloque de 5 kg desliza con velocidad constante por una superficie horizontal mientras se le aplica una

fuerza de 10 N, paralela a la superficie. a) Dibujar en un esquema todas las fuerzas que actúan sobre el bloque y explicar el balance trabajo-energía en

un desplazamiento del bloque de 0,5 m. b) Dibujar en otro esquema las fuerzas que actuarían sobre el bloque si la fuerza que se le aplica fuera de 30 N en

una dirección que forma 60º con la horizontal, e indicar el valor de cada fuerza. Calcular la variación de energía cinética del bloque en un desplazamiento de 0,5 m.

a) Fuerzas que actúan sobre el bloque:

Fg = m·g = 50 N

F = 10 N

Teniendo en cuenta que se mueve con velocidad constante, se cumple la primera

ley de Newton 0F 6&

, por lo que

y) N – mg = 0 Æ N = mg = 50 N

x) F – FR = 0 Æ FR = F = 10 N

Con esto, podemos calcular el coeficiente de rozamiento, ya que FR = P·N Æ 2,0N50

N10 P

Balance trabajo-energía: Estudiamos el carácter conservativo o no conservativo de las fuerzas y su efecto sobre la

energía del cuerpo.

Fuerza gravitatoria: Es conservativa. No realiza trabajo, al ser perpe ndicular al desplazamiento, por lo que no hará variar

la energía potencial gravitatoria del cuerpo (Epg = m·g·h , con nivel cero de Epg en el suelo)

Normal: es No conservativa. No realiza trabajo, al ser perpendicu lar al desplazamiento, por lo que no contribuye a variar


Fuerza de rozamiento: Es no conservativa. Realiza un trabajo negativo, ya que se opone al desplazamiento. Esta fuerza

disipa energía mecánica del cuerpo, que pasa al medio mediante calor.

J5m5,0N10rFº180cosrFW RRFR � �� '�� '�

Fuerza aplicada: Es no conservativa. Realiza un trabajo positivo, ya que va a favor del desplazamiento. Esta fuerza aporta

energía mecánica del cuerpo.

J5m5,0N10rFº0cosrFWF � '� �'�

Aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica

0J5J50WWWWE FRFNFNCM �� '

Vemos que la energía mecánica del bloque se mantiene constante, ya que el trabajo total de todas las fuerzas no

conservativas es nulo.

También la energía cinética se mantiene constante, ya que según el teorema trabajo-energía cinética

0J5J500WWWWWEc FRFNFgtot �� ' , por lo que Ec = cte.

mg

F

N

RFx�

y�

m5,0r '



b) Calculamos las fuerzas en la nueva situación:

Fg = mg = 50 N

Fx = F · cos60º = 30N · 0,5 = 15 N

Fy = F · sen60º = 30N · 0,866 = 25,98 N

En la dirección y se cumple que 6Fy = 0, por lo que

N + Fy – mg = 0 Æ N = 50N – 25,98 N = 24,02 N

Y la fuerza de rozamiento: FR = P ·N = 0,2 · 24,02N = 4,8 N

Calculamos la variación de energía cinética en el desplazamiento de 0,5 m aplicando el teorema trabajo-energía cinética:

FRFNFgtot WWWWEcWEc �� 'o '

Calculamos el trabajo realizado por cada fuerza

J5,75,0m5,0N30º60cosrFWF �� '�

0WW FgN ya que son perpendiculares al desplazamiento

J4,2m5,0N8,4º180cosrFW RF � �� '�

Así J1,5J4,2J5,7WEc tot � '

mg

FN

RFx�

y�

m5,0r '

Fx

Fy



14. Un bloque de 5 kg se desliza por una superficie horizontal lisa con una velocidad de 4 m/s y choca con un resorte de masa despreciable y K = 800 N/m, en equilibrio y con el otro extremo fijo. Calcular:

a) Cuánto se comprime el resorte. b) Desde qué altura debería caer el bloque sobre el resorte, colocado verticalmente, para producir la misma compresión

Datos: m = 5 kg , K = 800 N/m , P = 0,2

Inicial: v1 = 4 m/s ; 'x1 = 0 m

Final: v2 = 0 m/s ; 'x2 = ?

a) Resolvemos el problema aplicando el principio de conservación de la energía mecánica.

FNCM WE '

Las fuerzas que actúan en este desplazamiento son (al ser la superficie lisa no hay rozamiento):

Fuerza gravitatoria. Es conservativa. No realiza trabajo (actúa perpendicular al desplazamiento), por lo que la energía

potencial gravitatoria no cambiará.

Fuerza elástica. Es conservativa. Realiza un trabajo negativo (se opone al desplazamiento), lo que hace que la

energía potencial elástica del muelle aumente al comprimirse.

Normal: Es no conservativa, pero no realiza trabajo al ser perpendicular al desplazamiento.

Por lo tanto, el trabajo que realizan las fuerzas no conserva tivas es nulo, con lo que la energía mecánica del sistema se

mantendrá constante. EM2=EM1

00vmxKmghvmEpEpEcE2

1212

121

1

2

121

1el1g11M �� '��

2

2212

221

2

2

221

22g22M xK00xKmghvmEpelEpEcE '�� '��

Igualando las energías mecánicas inicial y final.

m31,0K

vmxxKvmEE

2

12

2

2212

121

2M1M �

'o'� �o

Se produce una transformación de energía cinética en energía potencial elástica, manteniéndose constante la energía

mecánica. La energía cinética disminuye hasta hacerse cero.

gF

N

elF

2xr ' '



b) Ahora las situaciones inicial y final son las que indica el esquema.

Datos: h1 = ? ; 'x1 = 0 m ; v1 = 0 m/s

h2 = 0 ; 'x2 = 0,31 m ; v2 = 0 m/s

Ahora sólo actúan dos fuerzas, la gravitatoria y la elástica (no hay normal, ya

que la bola no está en contacto con el suelo), y son ambas conservativas,

por lo que la energía mecánica del sistema se mantendrá constante.

Así:

0mgh0xKmghvmEpEpEcE 1

2

121

1

2

121

1el1g11M �� '��

2

2212

221

2

2

221

22g22M xK00xKmghvmEpelEpEcE '�� '��

Igualando las energías mecánicas inicial y final.

m77,0mg2

xKhxKmghEE

2

21

2

221

12M1M �

'� o'� o

Se produce una transformación de energía potencial gravitatori a en energía potencial elástica, manteniéndose constante la

energía mecánica. La energía cinética aumenta durante la caída para luego disminuir durante la compresión del

muelle.

1h



16. Un bloque de 5 kg desliza sobre una superficie horizontal. Cuando su velocidad es de 5 m s -1 choca contra un resorte de masa despreciable y de constante elástica K = 2500 N m -1. El coeficiente de rozamiento bloque-superficie es 0,2. a) Haga un análisis energético del problema. b) Calcule la longitud que se comprime el resorte. ( 'x = 0,22 m) c) Tras la compresión máxima, el muelle vuelve a descomprimirse y el bloque sale despedido hacia atrás. Calcule

la distancia que recorre el bloque hasta que se para. ('r =6 m aprox. )

Datos: m = 5 kg , K = 2500 N/m , P = 0,2

Inicial: v1 = 5 m/s ; 'x1 = 0 m

Final: v2 = 0 m/s ; 'x2 = ?

a) Resolvemos el problema usando conceptos energéticos. Estudiamos las fuerzas que

actúan a lo largo del desplazamiento del cuerpo y cómo varían las diferentes

energías implicadas en él.


- Peso: Fg = m · g = 50 N . Es conservativa Æ Tiene asociada una energía potencial gravitatoria. Esta Epg = m·g·h,

se mantendrá constante (e igual a 0), ya que el peso no realiza trabajo, al ser perpendicular al desplazamiento.

- Normal: La calculamos haciendo N50FgN0FgN0Fy � �� 6 . Es una fuerza no conservativa,

pero no realiza trabajo durante el desplazamiento, ya que es perpendicular a éste. No contribuye a la variación de

la energía mecánica.

- Fuerza de rozamiento: FR = P·N . Es una fuerza no conservativa, disipativa, y el trabajo que realiza hace disminuir




( � �2

21 xKEpel ' ). Hará disminuir la Ec del bloque conforme se comprime, aunque no hace variar la EM.

Variaciones de energía: 2

21 vmEc � : Disminuye hasta hacerse cero, debido al trabajo realizado por el rozamiento y por la fuerza

elástica.

Epg = m·g·h (origen en el suelo h=0) Se mantiene constante e igual a 0. No la tendremos en cuenta.

� �2

21 xKEpel ' (origen en la posición de equilibrio) Inicialmente nula. Aumenta conforme se comprime el muelle,

hasta llegar a su valor máximo.

EM = Ec + Epg + Epel : No se mantiene constante, debido a que actúan una fuerza no conservativa (rozamiento) que


En resumen. Inicialmente el cuerpo tiene energía cinética, que se invierte en comprimir el muelle, aumentando su

energía potencial. Parte de la energía cinética inicial se di sipa en forma de calor debido al rozamiento, con lo que

la energía mecánica disminuye.

b) Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica.


121

1el1g11M vmEpEpEcE � ��

Situación final: 2

221

22g22M xKEpelEpEcE '� ��

2RRFR xmgrFº180cosrFW '�� '�� '� P

(el desplazamiento 'r coincide con la compresión final del muelle)

gF

N

elFr'

RF



2M EE �

Sustituyendo los datos (K = 2500 N/m ,m = 5 kg , v1 = 5 m/s, g = 10 m/s2)

2

2

212

221 x502,055x2500 '�� '�

Tenemos una ecuación de segundo grado. Resolviéndola, obtenemos la compresión final del muelle

'x2 = 0,22 m

20.- ¿Qué velocidad tendrá un vagón de una montaña rusa sin rozamiento en los puntos A, B y C de la figura, si el carrito parte de O con v0 = 0 m/s ?

( vA= 14,14 m/s ; vB =12,65 m/s ; vC = 7,74 m/s )

Al no existir rozamiento, las únicas fuerzas que tenemos

aplicadas durante el movimiento del vagón son:

Fuerza gravitatoria (Fg = mg). Es conservativa.

Normal: Es no conservativa, pero no realiza trabajo, ya que actúa en perpendicular al desplazamiento en todo momento.

Como no hay aplicadas fuerzas no conservativas que realicen trabajo, la energía mecánica del vagón se mantendrá

constante durante todo el recorrido.

ctemghmvEpEcE 2

21

gM � �

Calculamos en primer lugar la energía mecánica en el punto O. ( la velocidad en O es cero, ya que parte del reposo)

OOO

2

O21

gOOMO mghmgh0mghmvEpEcE � � �

En el punto A, que está en el suelo, el vagón tendrá energía cinética pero no potencial ( h = 0 m)

A

2

A21

gAAMA mghmvEpEcE � �

Igualando las energía mecánica en ambos puntos A

2

A21

O ghmvmghm �� (la masa no influye)

Sustituimos los valores (hO = 10 m, hA = 0 m , g = 10 m/s2) despejamos el valor de vA vA = 14,14 m/s

Calculamos las velocidades en los otros dos puntos usando el mismo procedimiento

I.E.S. Al-Ándalus. Dpto de Física y Química. Física 2º Bach. Ejercicios del tema 7. Física Nuclear - 1 -

ALGUNOS EJERCICIOS DEL TEMA 7: FÍSICA NUCLEAR.

3. a) Indicar las partículas constituyentes de los dos nucleidos HeyH 3

2

3

1 y explicar qué tipo de emisión

radiactiva permitiría pasar de uno a otro. b) Calcular la energía de enlace para cada uno de los nucleidos e indicar cuál de ellos es más estable. (mHe-3 = 3,016029 u ; mH-3 = 3,016049 u ; mn = 1,0086 u ; mp = 1,0073 u ; 1 u = 1,66·10 -27 kg ; c = 3·108 m s-1)

a) el número de partículas que componen un determinado nucleido viene indicado por los números:

Z (Nº atómico) = Nº de protones

A (Nº másico) = Número de nucleones = nº protones + nº neutrones = Z + N XAZ

H31 : Tiene Z = 1, A = 3, N = A-Z = 2 Este isótopo del H (tritio) posee 1 protón y dos neutrones.

He32 : Tiene Z = 2, A = 3, N = A-Z = 1 Este isótopo del helio posee 2 protones y 1 neutrón.

Mediante la emisión radiactiva, un núcleo inestable desprende una o varias partículas, transformándose en otro

nucleido más estable.

En este caso, al transformarse H31 en He3

2 , vemos que Z aumenta en una unidad, mientras que A permanece

constante. Esto es posible mediante la emisión de radiación E��que consiste en la desintegración de un neutrón

por acción de la fuerza nuclear débil, produciendo un protón, un electrón y un neutrino. La reacción queda

H31 Æ He3

2 + �

� E01 + e

00Q

b) Se entiende por energía de enlace nuclear ( Ee ) la energía desprendida al formarse el núcleo a partir de sus

partículas por separado. Esta energía se debe a la pérdida de masa que sufren los nucleones al unirse, y se calcula con

la expresión de Einstein 2

e cmE � ' , donde 'm es el defecto másico ¦� PARTÍCULASNÚCLEO

mmm' , y c la

velocidad de la luz en el vacío.

Así, aplicando estas expresiones a cada nucleido

H31 : 'm= m( H3

1 ) – m( p11 ) – 2 m( n1

0 )= -0,008451 u. = -1,403·10-29 kg Æ Ee = 1,263 ·10-12 J

He32 'm= m( He3

2 ) – 2 m( p11 ) – m( n1

0 )= -0,007171 u. = -1,190 ·10-29 kg Æ Ee = 1,071 ·10-12 J

La estabilidad de un núcleo nos lo indica la energía de enlace por nucleón, A

EE e

n , la energía promedio

desprendida por cada partícula. Así:

H31 : J1021,4

3

J10263,1E 13

12

n�

�

� �

; He32 : J1057,3

3

J10071,1E 13

12

n�

�

� �

Vemos que el H31 es más estable que el He3

2 , al desprender una mayor energía de enlace por nucleón.

4.- Un gramo de carbón, al arder, produce 7 kcal. Calcular la cantidad de carbón necesaria para producir la

misma energía que 1 kg de U235

92 , si la fisión de un núcleo de este elemento libera 200 Mev.

El uranio es un elemento pesado (de masa atómica superior a la del hierro) que desprende energía al fisionarse. Para

resolver este ejercicio debemos usar las siguientes relaciones entre unidades.

Mat ( U235

92 ) = 235 Æ 1 mol U = 235 g U 1 mol U = 6,02 ·1023 átomos U

1 MeV = 106 eV = 106 ·1,6·10-19 J = 1,6·10-13 J 1 kcal = 1000 cal = 1000 · 4,18 J = 4180 J

Así, partiendo de 1000 g de U-235

carbóng108,2kcal7

Carbóng1

J4180

kcal1

MeV1

J106,1

U.át1

MeV200

Umol1

U.át1002,6

Ug235

Umol1Ug1000 9

1323

� ��

��

��

Son necesarias 2800 toneladas de carbón


5.- El U23892 se desintegra emitiendo, sucesivamente, las siguientes partículas antes de alcanzar su forma

estable: D��E��E��D��D��D��D��D��E��E��D��E��E��D. ¿Cuál es el nucleido estable que se alcanza?

Mediante la emisión radiactiva, un núcleo inestable, como en este caso el U23892 , desprende una o varias partículas,

transformándose en otro nucleido más estable. Este proceso puede continuar en lo que se denomina una serie

radiactiva, hasta que se produzca un núcleo completamente estable.

Radiación D: Se emite un núcleo de He-2. ( D42 ) D�o �

�

4

2

4

2YX AZ

AZ

Radiación E: Debido a la interacción nuclear débil, un neut rón se descompone en un protón, una electrón y un

neutrino. El protón se queda en el núcleo, y el electrón y el neutrino son desprendidos. eepn Q��o �

�

� 0

0

0

1

1

1

1

0

eA

ZAZ YX Q�E�o �

��

0

0

0

11

En cada desintegración alfa: Z disminuye en dos unidades y A en 4 unidades.

En cada desintegración beta: Z aumenta en una unidad, y A permanece constante.

Como en total se producen 8 desintegraciones alfa y 6 desintegraciones beta:

Zfinal = 92 – 8 · 2 + 6 · 1 = 82 A final = 238 – 8 · 4 = 206

Se trata de un isótopo del plomo Pb20682

9.- La vida media del Th234

90 es de 24 días. ¿Qué proporción de Torio permanecerá sin desintegrarse el cabo de

96 días?

Nos encontramos ante una cuestión de radiactividad, emisión de partículas por

parte de núcleos inestables, que se transforman en otros núcleos distintos.

El ritmo de desintegración de los núcleos de Th234

90 depende de la cantidad de

núcleos que queden sin desintegrar, N, de forma que el número de átomos

inicial disminuye según la ley de desintegración radiactiva:

W

t

o eNN�

�

donde N0 es el nº inicial de átomos, t el tiempo transcurrido y W la vida media de la sustancia radiactiva (tiempo

promedio de desintegración de un núcleo).

La fracción sin desintegrar se calcula %83,10183,0eeeN

N 4días24

días96t

0

��

Wsin desintegrar

17.- El análisis de C14

6 de una momia egipcia revela que presenta 2/3 de la cantidad habitual en un ser vivo.

¿Cuándo murió el egipcio momificado? (T de semidesintegración = 3970 años)

Nos encontramos ante una cuestión de radiactividad, emisión de partículas por

parte de núcleos inestables, que se transforman en otros núcleos distintos.

Cuando un ser vivo muere, la cantidad de C-14 que posee disminuye por

desintegración. El ritmo de desintegración de los núcleos de C14

6 depende

de la cantidad de núcleos que queden sin desintegrar, N, de forma que el

número de átomos inicial disminuye según la ley de desintegración

radiactiva:

W

t

o eNN�

� donde N0 es el nº inicial de átomos, t el tiempo transcurrido y W la vida media de la

sustancia radiactiva (tiempo promedio de desintegración de un núcleo).


La fracción sin desintegrar se calcula 0

t

0 N

Nlnte

N

N�� o

�

WW

El periodo de semidesintegración (2

1T ) es el tiempo que transcurre hasta que la cantidad de átomos inicial se reduce a

la mitad. años57272ln

T2lnT 2

1

2/1 | o� WW

Nos dicen que la fracción sin desintegrar es de 2/3, así que años23223

2ln5727te

3

2 5727

t

�� o �

Hace aproximadamente 2300 años que murió el egipcio momificado.

(Selectividad junio 06. Opción A. 4.) El período de semidesintegración del 226Ra es de 1620 años.

a) Explique qué es la actividad y determine su valor para 1 g de 226Ra. b) Calcule el tiempo necesario para que la actividad de una muestra de 226Ra quede reducida a un

dieciseisavo de su valor original. NA = 6,02.1023 mol-1

Nos encontramos ante una cuestión de radiactividad, emisión de partículas por parte de núcleos inestables, que se

transforman en otros núcleos distintos.

a) Por actividad de una muestra radiactiva entendemos el número de desintegraciones que tienen lugar en la unidad de

tiempo. Mide el ritmo de desintegración de la sustancia. En el S.I. se mide en Becquerel (Bq). 1 Bq = 1

desintegración por segundo.

La actividad depende del tipo de sustancia y de la cantidad (el nº de átomos) que tengamos en un instante

determinado. Se calcula con la expresión: Ndt

dN�� O

Calculamos O, la constante radiactiva del radio, a partir del periodo de semidesintegración

T½ = 1620 años = 5,1· 1010 s.

O y T½ están relacionados a través de la vida media W. O

W1

2lnT21 � W

Por tanto 111 s1036,1

T

2ln

21

�� O

Calculamos ahora N, el nº de átomos de Ra contenidos en 1 g

La masa atómica del 226Ra es de 226 u aproximadamente, con lo que 1 mol de 226Ra tiene 226 g de masa. Así:

Raátomos1066,2Ramol1

Raátomos1002,6

Rag226

Ramol1Rag1 22621

226

22623

226

226226 �

��

Sustituyendo en la expresión de la actividad Bq1062,3Ndt

dN 10�� O

Es decir, la cantidad de 226Ra presente en la muestra se reduce actualmente a un ritmo de 3,62 ·10 10

desintegraciones por segundo.

b) El periodo de semidesintegración, T½ , indica el tiempo que tarda una

cierta cantidad de sustancia radiactiva en reducirse a la mitad, es decir, el

tiempo que transcurre hasta la desintegración de la mitad de núcleos que

teníamos inicialmente. De este modo, al cabo de un periodo de

semidesintegración, quedará la mitad de la muestra original, al cabo de

dos veces el T½ , quedará la cuarta parte, al cabo de tres T ½ , la octava

parte, y quedará un dieciseisavo de la cantidad original transcurrido un

tiempo igual a cuatro veces el periodo de semidesintegración.

Por lo tanto, el tiempo necesario que nos piden es de 4 · 1620 años = 6480 años = 2,04 ·10 11 s


14.- En un proceso nuclear se bombardean núcleos de Li7

3 con protones, produciéndose dos partículas D. Si la

energía liberada en la reacción es exclusivamente cinética. ¿Qué energía cinética, en MeV, tendrá cada una de

las partículas D? [m( Li7

3 ): 7,01818 uma; m( H1

1 ): 1,00813 uma; m( He4

2 ): 4,0026033 uma]

Se trata en este problema de una reacción nuclear, en la que el litio, al captar un protón, se vuelve inestable y se

descompone en dos partículas alfa.

La reacción que tiene lugar es: Li7

3 + H1

1 Æ 2 He4

2

La energía liberada en esta reacción (en forma de energía cinética de las dos partículas alfa, según nos dicen) proviene

de la pérdida de masa, que se ha transformado en energía según la expresión de Einstein 2cmEr �' , donde 'm es el defecto másico ¦¦ � REACTIVOSPRODUCTOS mmm' , y c la velocidad de la luz en

el vacío. Así:

kg100503,3u0211034,0)H(m)Li(m)He(m2m 2911

73

42

�� '

J10153,3cmE 122r

�� '

El signo es negativo al ser energía desprendida. Las pa rtículas alfa se llevan esa energía, pero positiva.

Suponiendo que ambas partículas alfa llevan la misma energía cinética, a cada una corresponde la mitad de la energía

desprendida, es decir 1,5765 ·10-12 J

En MeV: MeV853,9eV10853,9J106,1

eV1J105765,1 6

1912 �

��

�

�

I.E.S. Al-Ándalus. Dpto Física y Química. Física 2º Bachillerato - 1 -

PROBLEMAS RESUELTOS DEL TEMA 6: LA LUZ Y LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS. 2. Una o.e.m. plana (polarizada) tiene un campo eléctrico de amplitud 3 V/m y una frecuencia de 1 MHz. Determinar la ecuación de onda que representa al campo eléctrico si la onda avanza en el eje Y y el campo está polarizado en el eje Z. Calcula asimismo la dirección del campo magnético. Una onda electromagnética (o.e.m) consiste en la propagación de perturbaciones eléctrica y magnética a través de

un medio.

Teniendo en cuenta que se trata de una onda armónica, la expresión de la ecuación de onda de la perturbación

eléctrica vendrá dada por E&

= 0E&

· sen(Z ·tr k·y), donde

Amplitud: 0E&

= 3 k

&V/m. (nos dicen que la dirección de perturbación está polarizada en el eje Z)

La frecuencia (X ) es de 1 MHz (106 Hz), por lo que la frecuencia angular (Z ) será Z = 2·S ·X = 6,28 ·106 rad/s

Calculamos k (número de onda) a partir de la frecuencia angular y la velocidad de propagación de la onda que,

suponiendo que se propaga en el vacío, será igual a c = 3·10 8 m/s.

mrad03140sm103

srad10286

ck

kcv

18

16

/,,

��

�� o

�

�ZZ

Ya que la energía de la onda se propaga en el eje Y, debe aparecer la coordenada y en la ecuación.

Suponiendo que se propaga en el sentido positivo del eje Y, las partes temporal y espacial de la ecuación aparecen

restadas. Así, la ecuación del campo eléctrico será

E&

= 3 k

&· sen(6,28 ·106 ·t – 0,0314·y) V/m.

La dirección del campo magnético la deducimos teniendo en cuenta que en cada punto y cada instante, las

direcciones de los campos eléctrico y magnético y la dirección de propagación de la onda, son perpendiculares

entre sí. De este modo, Si la onda se propaga en el eje Y, y el campo eléctrico está polarizado en el eje Z, el campo

magnético debe estar polarizado en el eje X.

3. Una antena emite una onda electromagnética de frecuencia 50 kHz. a) Calcule su longitud de onda. b) Determine la frecuencia de una onda sonora de la misma longitud de onda. (c = 3 ·108 m/s ; vSonido = 340 m/s)

a) Una onda electromagnética (o.e.m) consiste en la propagación de perturbaciones eléctrica y magnética a través

de un medio.

En este caso, la frecuencia (X , nº de oscilaciones por segundo) es de 50 kHz = 50000 Hz.

La longitude de onda ( O , distancia más corta entre dos puntos en fase) está relacionada con la frecuencia mediante

la relación X

Oc

, donde c es la velocidad de propagación de la o.e.m. en el vacío (suponemos ese medio, ya

que no nos dicen otro).

De este modo m6000s105

ms103c

14

18

�

�

�

�

XO

b) En este apartado, al tratarse de una onda de caracterís ticas totalmente diferentes, la velocidad de propagación

también sera distinta. Debemos suponer ahora que el sonido se transmite por el aire, ya que nos dan la velocidad de

propagación en ese medio (en el vacío no podría propagarse).

Aplicando la misma expression que en el apartado anterior, pero colocando ahora la velocidad del sonido ene le

aire

m1086s105

ms340v 3

14

1

�

�

�

� �

,X

O

4. El espectro visible en el aire está comprendido entre las longitudes de onda 380 nm (violeta) y 780 nm (rojo). a) Calcule las frecuencias de estas radiaciones extremas. ¿Cuál de ellas se propaga a mayor velocidad? b) Determine entre qué longitudes de onda está comprendido el espectro visible en el agua, cuyo índice de refracción es 4/3. (c = 3 ·108 m ·s-1 ) a) La luz visible, al igual que otras radiaciones, consis te en la propagación de ondas electromagnéticas (o.e.m) de

distintas frecuencias. Según la frecuencia, la luz será de uno u otro color.


El problema nos da los datos sobre las longitudes de onda de dos radiaciones. La relación entre la frecuencia de la

radiación (X ) y la longitud de onda en un medio determinado (O ) viene dada por

OX

v , donde v es la velocidad de propagación de la luz en el medio. En el aire, podemos considerar que dicha

velocidad es igual a la del vacío, c = 3 ·10 8 m ·s-1

Así, para la luz violeta Hz10897m10380

sm103c 14

9

18

� �

��

�

�

,O

X

Y para la luz roja Hz10853m10780

sm103c 14

9

18

� �

��

�

�

,O

X

En primera aproximación hemos tenido en cuenta que, considerando el aire como un medio homogéneo (no

dispersivo) la velocidad de propagación no depende de la frecuencia (si no, sería imposible resolver el problema sin

más datos), así que todas las radiaciones se transmiten por el aire a la misma velocidad, c)

b) La velocidad de propagación de una onda depende del medio por el que ésta se propague. Esto hace que varíe la

longitud de onda correspondiente a una determinada frecuencia. La frecuencia, como depende exclusivamente del

foco emisor de ondas, no varía al cambiar de medio.

El índice de refracción de un medio (n) nos indica cuántas veces es mayor la velocidad de la luz en el vacío ( c) que

en dicho medio (v). v

cn . Esto nos permite calcular la velocidad de propagación de la luz en el agua.

sm1025234

sm103

n

cv

v

cn

8

8

/,/

/�

� o

Calculamos ahora las longitudes de onda en el agua aplicando la misma expresión y las frecuencias obtenidas en el

apartado anterior.

Luz violeta nm285m10852Hz10897

sm10252v 7

14

18

� �

��

�

�

,,

,

XO

Luz roja nm584m10845Hz10853

sm10252v 7

14

18

� �

��

�

�

,,

,

XO

Como vemos, al pasar a un medio en que la luz se propaga a menor velocidad, la longitud de onda disminuye.

5. Una onda electromagnética tiene, en el vacío, una longitud de onda de 5 ·10 -7 m. a) Determine la frecuencia y el número de onda. b) Si dicha onda entra en un determinado medio, su velocidad se reduce a 3c/4. Determine el índice de refracción del medio y la frecuencia y la longitud de onda en dicho medio. (c = 3 ·108 m/s) a) Una onda electromagnética (o.e.m) consiste en la propagación de perturbaciones eléctrica y magnética a través

de un medio.

La frecuencia (X , nº de oscilaciones por segundo) y la longitud de onda ( O , distancia más corta entre dos puntos

en fase) están relacionadas mediante la expresión X

Ov

, donde v es la velocidad de propagación de la o.e.m. en

el medio. En este caso, al propagarse en el vacío, dicha velocidad es igual a c = 3 ·10 8 m/s.

Así, podemos calcular la frecuencia Hzm

msc 14

7

18

106105

103�

�

�

�

�

OX

El número de onda se obtiene a partir de la longitud de onda:

mradm

radk /10257,1

105

22 7

7�

�

�

S

O

S

b) Al pasar la onda a propagarse por un nuevo medio, se produce el fenómeno de refracción. En la nueva onda que

se propaga por el segundo medio, se mantienen aquellas características que dependen exclusivamente del foco

emisor (frecuencia, frecuencia angular, periodo) y cambian aquellas que dependen del medio, como la velocidad de


propagación, la longitud de onda o el número de onda. La dirección de propagación también cambia, cumpliéndose

la ley de Snell.

El índice de refracción de un medio (n) nos indica cuántas veces es mayor la velocidad de la luz en el vacío ( c) que

en dicho medio (v). v

cn . Así 333,1

3

4

43

c

c

v

cn

Como se ha dicho, la frecuencia de la onda no cambia al cambiar de medio, por lo que X = 6 ·1014 Hz

La longitud de onda en el segundo medio la calculamos teniendo en cuenta que la velocidad ahora es

3c/4 = 2,25 ·108 m/s

nmmHz

smv3751075,3

106

1025,2 7

14

18

� �

��

�

�

XO

7. Un rayo de luz amarilla de 580 nm en el aire, pasa a un cierto cristal en el que su longitud de onda pasa a ser de 5·10-7 m.

a) Calcular razonadamente frecuencia y velocidad de propagación en cada medio. b) Si el rayo refractado forma 30º con la normal a la frontera que separa a los dos medios, ¿Con qué ángulo incidió el rayo? Razonar, realizando un esquema de rayos.

a) Al pasar la onda a propagarse por un nuevo medio, se produce el fenómeno de refracción. En la nueva onda que

se propaga por el segundo medio, se mantienen aquellas características que dependen exclusivamente del foco

emisor (frecuencia, frecuencia angular, periodo) y cambian aquellas que dependen del medio, como la velocidad de

propagación, la longitud de onda o el número de onda. La dirección de propagación también cambia, cumpliéndose

la ley de Snell n1 · senD 1 = n2 · senD 2

En el enunciado nos dan los valores de la longitud de onda ( O , distancia más corta entre dos puntos en fase) en

cada medio.

En el aire, la velocidad de propagación es prácticamente la misma que en el vacío, vaire = c = 3 ·108 m/s.

La frecuencia de la onda (X , nº de oscilaciones por segundo) la podemos obtener mediante la expresión

Hzm

mscvaire

14

9

18

1017,510580

103�

�

�

�

�

OOX

En el cristal, la frecuencia de la onda será la misma que en el aire, ya que no depende del medio

X cristal = 5,17 ·1014 Hz

Y la velocidad de propagación la calculamos con la fórmula

smmHzvv

cristalcristalcristal

cristal

cristal

cristal/10585,21051017,5 8714

� �� o �

OXO

X

b) Al pasar la onda a propagarse por otro medio (refracción), el frente de onda se desvía al variar la velocidad de

propagación. Esto hace que la dirección de propagación cambie. Los ángulos que forman con la normal a la

frontera los rayos incidente (medio 1) y refractado (medio 2) cumplen la ley de Snell

n1 · senD 1 = n2 · senD 2

donde n1 y n2 son los índices de refracción de cada medio (v

cn ) y D 1 y D 2 los ángulos que forman ambos

rayos con la normal. (ver esquema).

Datos: 11

1 c

c

v

cn 16,1

/10585,2

/1038

8

2

2 �

�

sm

sm

v

cn

D 2 = 30º ángulo de refracción

Calculamos el ángulo de incidencia D 1 aplicando la ley de Snell

1 · senD 1 = 1,16 · sen 30º Æ senD 1 = 0,58 Æ D 1 = 35,45º

1D

2D

Aire.1

Cristal.2

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FÍSICA 2º BACHILLERATO. EXAMEN DEL TEMA 1. (SOLUCIÓN) 18 …