Embed Size (px)
DESCRIPTION
FTN geodezija i geomatika - ispitni zadaci
Citation preview
Geodezija i geomatika
MATEMATICKA ANALIZA 204. februar 2011.
1. Izracunati dvostruki integral ∫ ∫D(x+ y2) dxdy,
gde je oblast D ogranicena krivama y = x− 1 i y = 1− x2.
2. Izracunati povrsinu dela povrsi z = 2 +√x2 + y2 koji se nalazi unutar cilindra
(x− 1)2 + y2 = 1.
3. Dat je krivolinijski integral ∫CF · dr,
gde je F = (2xy, x2 − 2y). Pokazati da integral ne zaivisi od putanje integracije iizracunati njegovu vrednost po proizvoljnoj putanji od tacke A(1, 0) do tacke B(2, 1).
4. Primenom formule Ostrogradskog izracunati povrsinski integral∫ ∫SF · dS,
gde je vektorkso polje F = (xy, 2,−3z), a S je spoljasnja strana ruba oblasti date sax2 + y2 ≤ 1 i 2 ≤ z ≤ 4.
5. a) Ispitati konvergenciju reda∞∑n=1
n2
2n + 5n.
b) Odrediti oblast konvergencije i sumu stepenog reda∞∑n=0
xn
n+ 1.
6. Primenom Laplasovih transformacija resiti integro-diferencijalnu jednacinu
y′′(x)− y(x) = x−∫ x
0sin(x− u)y(u)du
uz pocetne uslove y(0) = y′(0) = 0.
Fakultet tehnichih nauka 18.2.2011Geodezija i geomatika Novi Sad
MATEMATICKA ANALIZA 2
1. (10 bodova) Primenom trostrukog integrala izracunati zapreminu dela konusa z−2 =√
x2 + y2 za 2 ≤ z ≤ 4.
2. (12 bodova) Izracunati vrednost krivolinijskog integrala
∫Cxydx− x2dy, ako je kriva
C = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 = 2x, y ≥ 0}
orijentisana od tacke A(2, 0).
3. (13 bodova) Izracunati vrednost integrala ∫SF · dS
gde je F = x2i− y2j + k, a S spoljasnja strana ruba cilindra x2 + y2 = 4, izmedu ravni z = 1 i z = 3.
4. (a) (6 bodova) Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju reda
∞∑n=1
(−1)nn2
n3 + 1.
(b) (9 bodova) Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda∞∑n=1
n2 + 1
nxn.
5. (10 bodova) Primenom Laplasovih transformacija resiti sistem integralnh jednacina
x(t) = t2 + 3
∫ t
0y(u)du
y(t) = 1−∫ t
0cos(t− u)x(u)du.
Geodezija i geomatika
MATEMATICKA ANALIZA 23. maj 2011.
1. Izracunati dvostruki integral ∫ ∫D(x+ y2) dxdy,
gde je oblast D ogranicena krivama y =√x i y = x3.
2. Izracunati povrsinu dela povrsi z = 1 +√x2 + y2 koji se nalazi unutar cilindra
x2 + (y − 1)2 = 1.
3. Izracunati krivolinijski integral druge vrste∫CF · dr, gde je F = (2yx,−x). Otvorena
i orijentisana kriva C sastoji se iz dela kruznice i prave, kao sto je prikazano na slici.
Slika.
4. Primenom formule Ostrogradskog, ili direktno, izracunati povrsinski integral∫ ∫SF · dS,
gde je vektorkso polje F = (xy,−12y2, z). Povrs S je spoljasnja strana ruba oblasti
date sa z ≤ 4− 3x2 − 3y2, x2 + y2 ≤ 1 i z ≥ 0.
5. a) Ispitati konvergenciju reda∞∑n=2
(n− 2
n+ 2
)n(n+2)
.
b) Odrediti oblast konvergencije i sumu stepenog reda∞∑n=1
(n− 1)2
nxn.
6. Primenom Laplasovih transformacija resiti diferencijalnu jednacinu
y′′(x)− 5y′(x) + 6y(x) = 2ex,
uz pocetne uslove y(0) = 4, y′(0) = 7.
Geodezija i geomatika
MATEMATICKA ANALIZA 202. septembar 2011.
1. Izracunati dvostruki integral ∫ ∫Dxy dxdy,
gde je oblast D ogranicena x-osom, pravom y = x+ 3 i delom parabole y = 1 + x2.
2. Izracunati povrsinu paraboloida z = 5− x2 − y2 iznad ravni z = 1.
3. Izracunati povrsinski integral ∫ ∫SF · dS,
ako je vektorsko polje F = (x, y, z) a S je gornji deo ravni 6x+ 3y + 2z − 6 = 0 uprvom oktantu.
4. Primenom formule Ostrogradskog izracunati povrsinski integral∫ ∫SF · dS,
gde je vektorkso polje F = (xy,−12y2, z). Povrs S je spoljasnja strana ruba oblasti
date sa z ≤ 4− 3x2 − 3y2, x2 + y2 ≤ 1 i z ≥ 0.
5. a) Ispitati konvergenciju reda∞∑n=0
(n2 − 3
n2 + 2
)n3
.
b) Odrediti oblast konvergencije i naci sumu stepenog reda∞∑n=0
xn
n2 + 5n+ 6.
6. Primenom Laplasovih transformacija, resiti sistem diferencijalnih jednacina
y′(t) +x′(t) +y(t) +x(t) = 1y′(t) +x(t) = et,
uz pocetne uslove y(0) = −1 i x(0) = 2.
Fakultet tehnichih nauka 16.9.2011Geodezija i geomatika Novi Sad
MATEMATICKA ANALIZA 2
1. (8 bodova) Izracunati dvostruki integral ∫ ∫D
x
ydxdy,
gde je oblast D ogranicena parabolama y = x2 i x = y2.
2. (9 bodova) Izracunati zapreminu tela:
V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 3− x− y}.
3. (9 bodova) Izracunati krivolinijski integral ∫Lxy dl,
gde je L deo krive koja predstavlja presek konusa z =√
x2 + y2 i ravni z = 3 od tacke A(3, 0, 3) do tackeB(−3, 0, 3).
4. (9 bodova) Primenom Stoksove formule ili direktno, izracunati krivolinijski integral∫C
~F · d~r,
gde je vektorsko polje ~F = (4y,−4x,−3). Kriva C je pozitivno orijentisana i predstavlja presek paraboloidaz = x2 + y2 i sfere x2 + y2 + z2 = 2.
5. (a) (6 bodova) Ispitati konvergenciju reda∞∑n=1
(−1)nn√n3 − 2n− 1
.
(b) (9 bodova) Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda
∞∑n=1
n2 − n + 1
nxn.
6. (10 bodova) Primenom Laplasovih transformacija resiti integro-diferencijalnu jednacinu
y′′ = t + cos t−∫ t
0y(u)e−(t−u)du, y(0) = y′(0) = 0.
GEODEZIJA I GEOMATIKA
ANALIZA 23. februar 2012.
1. Odrediti jednacinu tangentne ravni na povrs x2 + 2y2 + 6z2 = 1 u tacki (x, x, x), x > 0.
2. Izracunati zapreminu tela ogranicenog povrsima x = 2√y2 + z2 − 2 i x = 1 − y2 − z2.
3. Dato je vektorsko polje ~F = (axy − z, x2 + 2y,−x).
a) Odrediti realan broj a za koji je dato polje potencijalno.
b) Za tako dobijeno a odrediti potencijal polja ~F i izracunati
∫AB
~F · d~r gde je AB deo prave od tacke
A(2, 0, 1) do tacke B(0, 2, 1).
4. Primenom teoreme o divergenciji, izracunatix
S
~F · d~S, gde je ~F = (z2y, y, x3) a S je spoljasnja strana
paraboloida z = x2 + y2 izmedu ravni z = 0 i z = 1.
5. a) Odrediti interval konvergencije i naci sumu reda
∞∑n=2
(−1)nxn
n2 − n.
b) Razviti u stepeni red funkciju f(x) =x
1 + x3i odrediti za koje vrednosti x dobijeni razvoj vazi.
6. Primenom Laplasovih transformacija resiti integro-diferencijalnu jednacinu:
y′′ + y′ + y = 2t + 3t2 −∫ t
0
et−uy(u)du uz pocetne uslove y(0) = y′(0) = 0.
Geodezija i geomatika
MATEMATICKA ANALIZA 229. januar 2013.
1. Izracunati dvostruki integral ∫ ∫D(x2 − y) dxdy,
gde je oblast D ogranicena graficima funkcija y = |x| i y = 2− x2.
2. Izracunati povrsinu paraboloida z = −1 + x2 + y2 ispod ravni z = 3.
3. Izracunati zapreminu oblasti date sa x2 + y2 ≤ 1, z ≥√x2 + y2 i x2 + y2 ≤ 6− z.
4. Primenom formule Stoksa, izracunati krivolinijski integral∫CF · dr,
gde je vektorsko polje F = (yz, 2xz, xy). C je pozitivno orijentisana putanja kojapredstavlja presek povrsi x2 + y2 = 2y i 1 + z = x2 + y2.
5. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu stepenog reda∞∑n=2
xn
(n− 1)(n+ 3).
6. Primenom Laplasovih transformacija, resiti sistem diferencijalnih jednacina
y′(t) + x′(t) + y(t) = 1− 3tet
y′(t) + x(t) = et − 2tet,
uz pocetne uslove y(0) = 1 i x(0) = 2.
Geodezija i geomatika
MATEMATICKA ANALIZA 210. februar 2013.
1. Izracunati dvostruki integral ∫ ∫D(x− y2) dxdy,
gde je oblast D ogranicena krivama y = x− 1 i y = 1− x2.
2. Pokazati da krivolinijski integral ∫ B
Ay3 dx+ 3xy2 dy,
gde je A = (−1, 1) i B = (0, 2), ne zavisi od putanje integracije i izracunati njegovuvrednost.
3. Naci zapreminu oblasti V , ako je V = {(x, y, z) | x2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2− x2 − y2}.
4. Primenom formule Ostrogradskog, ili direktno, izracunati povrsinski integral∫ ∫SF · dS,
gde je vektorkso polje F = (xy, 2,−3z), a S je spoljasnja strana ruba oblasti date sax2 + y2 ≤ 1 i 1 ≤ z ≤ 4.
5. Odrediti oblast konvergencije i sumu stepenog reda∞∑n=2
n2 − 1
nxn.
6. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
x′ = x − 2yy′ = −2x + y
x(0) = 1, y(0) = 2 primenom Laplasovih transformacija.
Geodezija i geomatika
MATEMATICKA ANALIZA 214. april 2013.
1. Izracunati dvostruki integral ∫ ∫D(−3y) dxdy,
gde je oblast D ogranicena graficima funkcija y = sin x i y =(2x
π
)2
.
2. Izracunati zapreminu oblasti date sa x2 + y2 ≤ 1, z ≥√x2 + y2 i x2 + y2 ≤ 4− z.
3. Izracunati povrsinski integral ∫ ∫SF · dS,
ako je vektorsko polje F = (x, y, z) a S je gornji deo ravni 6x+ 3y + 2z − 6 = 0 uprvom oktantu.
4. Primenom formule Ostrogradskog izracunati povrsinski integral∫ ∫SF · dS,
gde je vektorkso polje F = (xy,−12y2, z). Povrs S je spoljasnja strana ruba oblasti
date sa z ≤ 4− 3x2 − 3y2, x2 + y2 ≤ 1 i z ≥ 0.
5. a) Ispitati konvergenciju reda∞∑n=1
nn
(n!)2.
b) Odrediti oblast konvergencije i naci sumu stepenog reda∞∑n=0
n− 2
n!xn.
6. Primenom Laplasovih transformacija, resiti diferencijalnu jednacinu
y′′(t) + y(t) = e−t,
uz pocetne uslove y(0) = 1, y′(0) = 2.
