Funciones trigonométricas

Definición

En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de

ampliar el significado de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.

Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son una extensión de la

percepción de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo graficado en una

circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las detallan como

sucesiones infinitas o como la resolución de ciertas ecuaciones diferenciales, facilitando su

extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Dominio e Imagen

Al conjunto de los valores que puede legar a tomar la variable independiente x se le llama

dominio a la definición de la función. Se lo representa como Df o Dom f .

La imagen, rango o recorrido de una función es el conjunto de valores que puede obtener

la variable dependiente y Se los representa por medio de ℑf o R f .

Tabla 1. Dominio e imagen de las funciones trigonométricas

Dominio Imagen, rango o recorrido

y = sen x R { y∈R | -1 ≤ y ≤ 1 }

y = cos x R { y∈R | -1 ≤ y ≤ 1 }

y = tg x { x∈R | x ≠ π/2 (2k + 1) } R

y = cotg x { x∈R | x ≠k·π } R

y = sec x { x∈R | x ≠ π/2 (2k + 1) } { y∈R | y ≤ -1 ó y ≥ 1 }

y = cosec x { x∈R | x ≠k·π } { y∈R | y ≤ -1 ó y ≥ 1 }

1

Representación Gráfica

Grafica de la función seno: y = sen x

Dominio: R

Imagen: [-1,1]

Figura 1 Gráfica de la función seno

Grafica de la función coseno: y = cos x

Dominio: R

Imagen: [-1,1]

Figura 2 Gráfica de la función coseno

Grafica de la función tangente: y = tg x

Dominio: {x∈R | x ≠ π/2 (2k +

1)}

Imagen: R

2

Figura 3 Gráfica de la función tangente

Identidades trigonométricas

Las identidades trigonométricas son formas simplificadas que permiten realizar y conocer

las diferentes variaciones que sufren funciones trigonométricas y que pueden encontrarse en

una figura geométrica. Estas identidades se representan siempre a partir de las letras griegas

tales como alfa, beta, omega, etc. También se utilizan elementos como los grados centígrados

para establecer las variables de cada identidad; Las más conocidas son las establecidas entre

seno y coseno, seno y tangente, etc. Las identidades trigonométricas son formas simplificadas

que permiten realizar y conocer las diferentes funciones de la trigonometría

Tabla 2 Identidades Trigonométricas Básicas

Tabla 3 Identidades Pitagóricas Básicas

3

4

Fu

nci

ónÁngulos del 1er. cuadrante

Ángulos del 2do. Cuadrante Ángulos del 3er. cuadranteÁngulos del 4to. Cuadrante

0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 210º 225º 240º 270º 300º 315º 330º 360º

0 π6

π4

π3

π2

2 π3

3 π4

5 π6

π 7 π6

5 π4

4 π3

3 π2

5 π3

7 π4

11 π6

2 π

sen0

12

√22

√32

1 √32

√22

12

0 −12 −√2

2−√3

2−1 −√3

2−√2

2−1

20

cos1 √3

2√22

12

0 −12 −√2

2−√3

2−1 −√3

2−√2

2−1

20

12

√22

√32

1

tg0 √3

31 √3 ±∞ −√3 −1 −√3

30 √3

31 √3 ±∞ −√3 −1 −√3

30

ctg±∞ √3 1 √3

30 −√3

3−1 −√3 ±∞ √3 1 √3

30 −√3

3−1 −√3 ±∞

sec1 2√3

3√2 2 ±∞ −2 −√2 −2√3

3−1 −2√3

3−√2 −2 ±∞ 2 √2 2√3

31

cosec±∞ 2 √2 2√3

31 2√3

3√2 2 ±∞ −2 −√2 −2√3

3−1 −2√3

3−√2 −2 ±∞

Tabla 4 Valores De Las Funciones Trigonométricas

Tabla 5 Cálculo de Funciones Trigonométricas

5

Función Derivada Integral

sin x cos x − cos x + C

cos x − sin x sin x + C

tan x sec2 x = 1 + tan2 x − ln |cos x| + C

csc x − csc x cot x − ln |csc x + cot x| + C

sec x sec x tan x ln |sec x + tan x| + C

cot x − csc2 x = −(1 + cot2 x) ln |sin x| + C

Ley de Senos. Ley de Tangentes.

Figura 4. Triangulo Rectángulo (Ley de senos)

Ley de Cosenos.

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A

b2 = a2 + c2 − 2ac cos B

c2 = a2 + b2 − 2ab cos C

6

Tabla 6 Signos de las Razones Trigonométricas Tabla 7. Funciones de ángulo mitad

Tabla 8. Funciones de ángulos múltiples Tabla 10. Suma y diferencia de funciones

7

1.sen (α

2 )=±√ 1−cos α2

2.cos (α

2 )=±√ 1+cosα2

3.tg(α

2 )=±√ 1−cosα1+cosα

=1−cosαsen α

=sen α1+cosα

4.c tg(α

2 )=±√ 1+cos α1−cos α

=1+cos αsenα

=sen α1−cos α

1. sen 2 α=2sen α cos α2. sen 3 α=3 senα−4 sen3 α3. sen 4 α=8cos3 α sen α−4 cos α sen α4. cos2 α=cos2α−sen2 α5. cos3 α=4 cos3α−3cos α6. cos 4 α=8 cos4−8 cos2α +17. tg2 α= 2 tg α

1−tg2 α8.

tg3α=3 tg α−tg3 α1−3 tg2 α

9.tg 4 α= 4 tg α−4 tg3 α

1−6 tg2 α+ tg2 α10.

c tg 2 α= c tg2α−12 c tg α

11.c tg 3 α= c tg3 α−3 c tg α

3 c tg2 α−112

c tg α= c tg4 α−6c tg2 α +14 c tg3 α−4 c tgα

1.sen α+sen β=2sen (α+ β

2 )cos (α−β2 ) tg α±tg β=

sen (α±β )cosα cos β

2.sen α−sen β=2cos(α +β

2 )sen ( α−β2 ) c tg α±c tg β=±

sen ( α±β )sen α sen β

3.cos α+cos β=2cos(α +β

2 )cos(α−β2 ) tg α+c tg β=

cos (α−β )cos α sen β

4.cos α−cos β=2 sen (α+β

2 ) sen(α−β2 ) c tg α−tg β=

cos(α +β )senα cos β

Tabla 11. Funciones de la suma y la diferencia de ángulos

Tabla 9. Producto de funciones.

8

1. sen (α±β )=sen α cos β±cosα sen β2. cos (α±β )cosα cos β∓sen α sen β3.

tg (α±β )=tg α±tg β1∓tg α tg β

4.c tg( α±β )= c tg αc tg β∓1

c tg β±c tg α5. sen (α +β+γ )=senα cos β cos γ+cosα sen β cosγ+

+cos α cos β sen γ−sen α sen β sen γ6. cos(α+β+γ )=cos α cos β cosγ−sen α sen βcos γ−

−sen α cos β sen γ−cos α sen β sen γ

1.sen α sen β=1

2(cos (α−β )−cos (α +β ))

2.cos α cos β=1

2(cos (α−β )+cos (α +β ))

3.sen α cos β=1

2(sen (α−β )+sen (α +β ))

Función Trigonométrica Inversa

Definición

Funciones trigonométricas inversas, es y se da cuando el ángulo se expresa en radianes

(dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele

denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes), por eso las funciones inversas

se denominan con el prefijo arco. En el caso de las razones trigonométricas las inversas son

arco seno, arco coseno y arco tangente, en donde también son conocidas como seno a la

menos uno, coseno a la menos uno, y tangente a la menos uno y también son las funciones

establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los

números reales y complejos. En consecuencia, podemos concluir que si a las funciones

trigonométricas le restringimos su dominio, las inversas de las funciones trigonométricas

pueden representarse así:

Figura 5. Definición de función trigonométrica Inversa

Como funciones trigonométricas inversas tenemos:

Cosecante.

La función cosecante (abreviado como csc o cosec) es la razón trigonométrica inversa

del seno, o también su inverso multiplicativo:

9

Figura 6. Gráfica Demostrativa

Figura 6.1 Triangulo Rectángulo ABC

Secante.

El Secante, (abreviado como sec), es la razón trigonométrica recíproca del coseno, o

también su inverso multiplicativo: Tomando en cuenta a la Fig. 6.1 tenemos que:

Explicativo: Tomando en cuenta la Fig. 6 y Sabiendo que:

10

Dado que F está en la circunferencia unitaria:

Por lo tanto la cosecante será el segmento:

Entonces tenemos como resultado:

Tomando en cuenta a la Fig. 6.1

Según la figura: los triángulos ABC rectángulo en C y ADE rectángulo en E son

semejantes, por lo que tenemos que:

La distancia AE vale uno porque E está en la circunferencia, luego:

Lo que resulta: El segmento AD es la secante, en una circunferencia de radio uno.

Cotangente.

La cotangente, abreviado como cot, cta, o cotg, es la razón trigonométrica inversa de

la tangente, o también su inverso multiplicativo:

Tomando en cuenta a la Fig. 6.1 nos queda de la siguiente manera:

Explicación: Tomando en cuenta la Fig. 6

Sabiendo que:

Partiendo del triángulo AGF rectángulo en que:

Donde el segmento AF vale uno:

11

Dominio e Imagen

Dado que las funciones trigonométricas son todas funciones periódicas. Decimos que las

gráficas de ninguna de ellas pasa la prueba de la línea horizontal y tampoco son 1-a-1. Esto

significa que ninguna de ellas tiene una inversa a menos que el dominio de cada una esté

restringido a hacer de ella una 1-a-1. Ya que las gráficas son periódicas, si escogemos un

dominio adecuado podemos usar todos los valores del rango. Ejemplo Fig. 7

Si restringimos el dominio de f(x) = sin x a   hemos hecho la función 1-a-1. El

rango es [–1, 1]. “Pero hay muchas formas de restringir el dominio para obtener una función

1-a-1 esto es de acuerdo con el intervalo usado.”

Figura 7. Ejemplo f(x) = sin (x)

Dominio e Imagen de la Cosecante.

Para graficar la inversa de la función seno, recuerde que la gráfica es una reflexión sobre

la recta y = x de la función seno.

12

Figura 8. Función y = arcsin (x)

Dese cuenta que el dominio es ahora el rango y el rango es ahora el dominio. Ya que el

dominio está restringido a todos los valores positivos nos arrojará un ángulo de 1er cuadrante

y todos los valores negativos nos arrojarán un ángulo de 4to cuadrante.

Dominio e Imagen de la Secante.

El dominio de la función coseno inversa es [–1, 1] y el rango es [0, π]. Esto significa que

un valor positivo nos arrojará un ángulo de 1er cuadrante y un valor negativo nos arrojará un

ángulo de 2do cuadrante.

Figura 9. Función y = cos (x) Figura 10. Función y = arccos (x)

13

Dominio e Imagen de la Cotangente.

El dominio de la función tangente inversa es (–∞, ∞) y el rango es . La inversa

de la función tangente arrojará valores en los cuadrantes 1er y 4to.

Figura 11. Función y = tan (x) Figura 12. Función y = arctan (x)

Tabla 12. Cuadro de resumen para encontrar las funciones inversas

Función Dominio Rango

sin–1x [–1, 1]

cos–1x [–1, 1] [0, π]

tan–1x (–∞, ∞)

cot–1x (–∞, ∞) (0, π)

sec–1x (–∞, ∞)

csc–1x (–∞, ∞)

14

Representación Gráfica

Dominio: {x∈R | x ≠k·π}

Imagen: R

Figura 13. Gráfica de la función cotangente: y = cotg (x)

Imagen: {y∈R | y ≤ -1 ó y ≥ 1}

Figura 14. Gráfica de la función secante y = sec (x)

15

Dominio: {x∈R | x ≠k·π}

Imagen: {y∈R | y ≤ -1 ó y ≥

1}

Figura 15. Gráfica de la función Cosecante y = csc (x)

Función Exponencial

Definición

Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx, donde b  y  x son

números reales tal que b > 0  y  b es diferente de uno, de la definición anterior se tiene que

expa (x) = ax.

Dominio e Imagen

El dominio  es el conjunto de todos los números reales. 

El recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos.

Propiedades de las funciones Exponenciales

Para a  y  b positivos, donde a y b son diferentes de uno y  x, y  reales:

 1) Leyes de los exponentes:

16

    

2) Si f(x) = ax; a > 1

1. f(x) > 0, para toda x ∈R

2. f (0) = 1

3. f (1) = a

4. f es biyectiva. Por lo tanto, tiene función inversa f−1.

5. f es creciente en todo su dominio.

6. Si x tiende a +∞ entonces ax tiende a +∞ 7. Si x tiende a −∞ entonces ax tiende a 0.

7. El eje-X es una asíntota horizontal de la gráfica de f.

8. Son siempre cóncavas.

3) Si g(x) = ax; 0 < a < 1

1. g(x) > 0; para toda x ∈R

2. g (0) = 1

3. g (1) = a

4. g es biyectiva .Por lo tanto, tiene función inversa f−1.

5. g es decreciente en todo su dominio.

17

6. Si x tiende a +∞ entonces ax tiende a 0. 7. Si x tiende a −∞ entonces axtiende a +∞.

7. El eje-X es una asíntota horizontal de la gráfica de g.

8. Son siempre cóncavas.

Propiedades de los Exponentes

Tabla 13. Propiedades de los exponentes.

Propiedades de los exponentesProducto de potencias:

Cociente de potencias:

Potencia de una potencia:

Funciones Exponenciales Naturales

Definición

La función exponencial natural, es la función definida por f(x) =ex, en donde e es un

número irracional que puede expresarse con cualquier grado de exactitud usando una serie

infinita.

Dominio e Imagen

El dominio es el conjunto de los números reales.

El  rango es el conjunto de los números reales positivos.

Nota: El número es un número irracional y es usual definirlo como el límite cuando n tiende a

infinito de la sucesión. (1+ 1n)

n

Propiedades de las funciones exponenciales naturales

18

Dado que e > 1 esta función posee las mismas propiedades de la función exponencial de

base “a > 1”.

1. f(x) > 0, para toda x ∈R

2. f (0) = 1

3. f (1) = a

4. f es biyectiva. Por lo tanto, tiene función inversa f−1.

5. f es creciente en todo su dominio.

6. Si x tiende a +∞ entonces ax tiende a +∞ 7. Si x tiende a −∞ entonces ax tiende a 0.

7. El eje-X es una asíntota horizontal de la gráfica de f.

8. Son siempre cóncavas.

Representación gráfica

Observando las propiedades antes descritas para una función exponencial, se han de

distinguir dos casos para hacer la representación de una función y = ax:

a) a > 1

Figura 16. Función f (x) = 2x

19

En este caso, para x = 0, y = a° = 1.

Para x = 1, y = a¹ = a.

Para cualquier x, la función es

creciente y siempre positiva.

Como caso particular se representa la

función y = 2x.

b) a < 1

Figura 17. Función f (x) = (1/2) x

Funciones Logarítmicas

Definición

Una función se llama logarítmica cuando es de la forma y = log a x donde la base a es un

número real y positivo pero distinto de 1, puesto que el resultado sería 0.

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logax,

siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.

Se llama función logarítmica de base a a la función f(x) = loga x, siendo a > 0 y a ≠ 1. La

función logarítmica es la inversa de la función exponencial, dado que: loga x = b  ab = x.

La función logarítmica más utilizada es la que tiene por base el número e, de hecho cuando

hablemos de la “función logarítmica” sin especificar la base, entenderemos que es la que

tiene por base dicho número.

Dominio e Imagen

20

Para x = 0, y = a° = 1

Para x = 1, y = a¹ = a

Para cualquier x la función es

decreciente y siempre positiva.

Como caso particular se representa la

función y = (1/2) x.

Los logaritmos de números negativos y el de 0 no existen. Luego, todas las expresiones a

las que se le pretenda calcular su logaritmo deben ser mayores a cero.

El procedimiento para calcular su dominio es bastante similar al de las funciones

irracionales. Tomamos lo que hay dentro del logaritmo y hacemos que sea mayor que cero. A

continuación resolvemos la inecuación y la solución nos da el dominio.

El Rango estará representado por el conjunto de todos los números reales.

Ejemplo

Determinar Dominio y Rango de:

f(x) = log(x+2)

Resolución:

Figura 18. Gráfica f(x) = log(x+2)

Propiedades De Las Funciones Logarítmicas

Tabla 14. Propiedades de las funciones logarítmicas

Si f(x) = loga x; a > 1 Si g(x) = loga x; 0 < a < 11. loga 1 = 0, pues a 0 = 1 1. loga 1 = 0, pues a0 = 1

21

Tomamos lo que hay dentro del

logaritmo y hacemos que sea

mayor que cero. A continuación

resolvemos la inecuación y la

solución nos da el dominio.

x + 2 > 0; x > - 2

Dom f(x) = (– 2, + ∞)

Rango = R

2. loga a = 1, pues a1 = a 2. loga a = 1, pues a1 = a3. f es biyectiva. 3. g es biyectiva.4. f es creciente en todo su dominio. 4. g es decreciente en todo su dominio.5. Si x tiende a + ∞ entonces loga x tiende

a +∞5. Si x tiende a +∞ entonces loga x tiende

a − ∞6. Si x tiende a 0 tomando valores

positivos entonces loga x tiende a −∞6. Si x tiende a 0 tomando valores

positivos entonces loga x tiende a +∞

Propiedades de los logaritmos

Tabla 15. Propiedades de los Logaritmos

Propiedades de los logaritmosPropiedad del producto

Propiedad del cociente

Propiedad de la potencia

Funciones Logarítmicas Naturales

Definición

El logaritmo natural suele ser conocido normalmente como logaritmo neperiano, aunque

esencialmente son conceptos distintos.

En matemáticas se denomina logaritmo natural o informalmente logaritmo

neperiano al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor

aproximado es 2,7182818284590452353602874713527. El logaritmo natural se suele

denominar como ln(x) o a veces como loge(x), porque para ese número se cumple la

propiedad de que el logaritmo vale 1. La expresión ln x se lee “logaritmo natural de x”.

El logaritmo natural es entonces una función real con dominio de definición los números

reales positivos:

y corresponde a la función inversa de la función exponencial:

22

La función logarítmica de base e posee las mismas propiedades de la función logarítmica de

base a, con a > 1. Tabla 16.

Propiedades de las funciones logarítmicas Naturales

Tabla 16. Propiedades de las funciones logarítmicas

Si f(x) = loga x; a > 11. loga 1 = 0, pues a 0 = 12. loga a = 1, pues a1 = a3. f es biyectiva.4. f es creciente en todo su dominio.5. Si x tiende a + ∞ entonces loga x tiende a +∞6. Si x tiende a 0 tomando valores positivos entonces loga x tiende a −∞

Representación Gráfica

Figura 19. Gráfica de una función logarítmica “y=log(x)”

23

Figura 20. Gráfica de una función logarítmica natural “y=ln(x)”

Ejemplo

Graficar: f ( x )= log2 x

Solución

Debe tenerse presente para graficar que en esta ocasión se le dan valores arbitrarios a f(x) y

se calculan los valores de valores de x, a partir de x=2 y

Figura 21. Gráfica de la función logarítmica “f ( x )= log2 x ”

24

Bibliografía

http://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones_elementales/teoria/exponenciales.html

http://es.slideshare.net/cmc325/funciones-exponenciales-13096624

http://www.fisicanet.com.ar/matematica/funciones/ap05_funciones.php

http://es.slideshare.net/miguel_parraa/funcion-exponencial-4to-c

http://www.educarchile.cl/ech/pro/app/detalle?ID=138540

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/inverse-trigonometric-functions.html

https://es.wikipedia.org/wiki/Cotangente

https://es.wikipedia.org/wiki/Secante_(trigonometr%C3%ADa)

https://es.wikipedia.org/wiki/Cosecante

https://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica

http://www.ditutor.com/trigonometria/funciones_inversas.html

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