funciones trigonométricas

“MATEMÁTICAS IV: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS”

POR:

Rojas López José Alejandro

Profesor: José Luis Melendrez Rodríguez

Grupo: 416 B

Universidad Nacional Autónoma de México

Colegio de Ciencias y Humanidades Azcapotzalco

Azcapotzalco, México, Abril 2011

Concepto de función

En Matemáticas, se llama constante a toda característica de un fenómeno cuyo valor no sufre variación alguna.

Por otro lado, la variable es todo rasgo o característica de algún fenómeno que pueda ser medido y tomar diferentes valores:

a) La variable independiente es la que puede controlar y determinar sin necesidad de factores externos.

b) La variable dependiente es la que resulta del valor que se asigno a la variable independiente.

Una función es una relación entre dos conjuntos X y Y, en los cuales cada elemento del primer conjunto corresponde sólo a un valor del segundo conjunto.

En la función F(x)=√(4-3x) (1,-1), el valor -1 no corresponde a la función.

Por lo tanto, una función es un conjunto de parejas ordenadas, en donde no hay dos parejas con el mismo primer elemento, donde los elementos son obtenidos por medio de una regla de correspondencia. Ejemplo:

y=2x

5 6

3 10

Antes de definir qué es una función trigonométrica, es necesario conocer el significado del dominio, rango, ángulos, razones trigonométricas y ángulo de referencia.

Ya se conceptualizó anteriormente el significado de las variables dependientes e independientes, por lo que, el dominio de una función cual sea, serán todos los valores aceptados en una función por medio de la variable independiente, es decir, los valores asignados a “x” y que, posteriormente, se puedan graficar. Estos “límites” (dominio y rango) son establecidos por los signos (, ), [ y ], donde ( y ) indican que es un intervalo abierto, es decir, que no incluyen el número que determinan; y [, ], intervalos cerrados, es decir, que incluyen el número que limitan.

El rango, contradominio, ámbito, o imagen serán los valores asignados a la variable dependiente o a los valores en “y” y que corresponden a un valor en “x”.

Las ramas, son los parámetros que delimitan a la función e indican los valores aceptados para las abscisas o las x’s.

Ángulos

Un ángulo se define como la medida que tiene la abertura entre dos semirrectas, donde una de ellas permanece fija y la otra rota hacia la izquierda o hacia la derecha.

Existen dos tipos de ángulos: los positivos (+) y los negativos (-).

Un ángulo es positivo cuando el giro de una semirrecta es en sentido contrario hacia las manecillas de un reloj, es decir, hacia la izquierda.

Por el contrario, es negativo cuando el giro es en sentido de las manecillas horarias, o hacia la derecha.

(--) (+)

Fig. 1.1. Ángulo negativo Fig. 1.2. Ángulo positivo

Podemos hacer referencia de un ángulo en base a su nomenclatura, es decir, la forma en que se expresa:

Un ángulo es identificado por hacer uso de una abertura de dos líneas ( ) seguido de una letra mayúscula (A, B, C, etc.). Ejemplo: A, Z

De igual manera, se puede representar por el signo anterior seguido de tres letras mayúsculas, que representan los tres vértices de las semirrectas, donde el intercepto de las semirrectas se coloca en medio. Ejemplo:

A

Angulo: AOB

O B

Fig. 1.3. Ángulo con vértices

La última forma para representar un ángulo es expresándolo sencillamente con una letra griega. Ejemplo: , , , , etc.

Medida de un ángulo

Existen tres diferentes formas para expresar un ángulos, pero sólo se mencionarán en este trabajo las dos más conocidas: el sistema sexagesimal y el sistema circular.

En el sistema sexagesimal, se toma como referencia una circunferencia y se fracciona en 360 partes, cada parte, tiene dos lados consecutivos que pasan por el centro de la circunferencia. Cada división se llama grado y se representa con el símbolo °; a su vez, cada grado se puede dividir en 60 partes, y cada división se llama minuto ‘, y cada minuto se puede dividir en 60 partes; a cada parte se le llama segundo ‘’.

En el sistema circular, también se emplea una circunferencia para identificar su unidad.

Fig. 2.1. Radianes en la circunferencia

Un radián es la medida de un ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

Para conocer el valor de un radián se considera el valor del perímetro de la circunferencia: como el perímetro es igual a 2r, entonces obtenemos que 360° es igual a 2r, por lo tanto, si = 3.141592, 360° = 6.283184 radianes. Haciendo una regla de tres se obtiene que:

360° = x °6.283184 = 1 radián

1 radián = 57.2958°

A partir de lo anterior, se puede establecer una regla de correspondencia o equivalencia entre las unidades de los dos sistemas angulares:

Si 360° es igual a 2, entonces 180° es igual a , por lo que nos queda que, para convertir un ángulo expresado en grados a radianes, se emplea la siguiente conversión: x radianes = x° 180°

De lo contrario, si se desea convertir un ángulo expresado en radianes a grados sexagesimales, se usa: 180°x° = x radianes

Funciones trigonométricas

La expresión trigonometría proviene de dos palabras del griego –τριγωνο “trigonos” y μετρον “metron”- es decir, la medición de triángulos.

Una función trigonométrica se expresa como una relación o razón entre los lados de un triángulo rectángulo. Las funciones trigonométricas principales son las siguientes:

Función AbreviaturaSeno sin

Coseno cosTangente tanCosecante csc

Secante secCotangente cot

Si consideramos los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo para obtener las funciones trigonométricas, tenemos que:

La función seno es igual al cociente del cateto opuesto al ángulo medido y la hipotenusa.

Cateto opuestoSeno = Hipotenusa

sin= b/a

La función coseno es igual al cociente del cateto adyacente al ángulo medido y la hipotenusa.

Cateto adyacenteCoseno = Hipotenusa

cos= c/a

La función tangente es igual al cociente del cateto opuesto y el cateto adyacente al ángulo medido.

Cateto opuestoTangente = Cateto adyacente

tan= b/c

La función cosecante es igual al cociente de la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo medido.

HipotenusaCosecante = Cateto opuesto

csc= a/b

La función secante es igual al cociente de la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo medido.

HipotenusaSecante = Cateto adyacente

sec= a/c

La función cotangente es igual al cociente del cateto adyacente y el cateto opuesto al ángulo medido.

Cateto adyacenteCotangente = Cateto opuesto

cot= c/b

Círculo unitario y cálculo de valores para funciones

Para calcular los valores de las funciones trigonométricas se emplean dos triángulos: el primero está formado a partir del círculo unitario (círculo de radio 1) y el segundo se deduce de un triángulo equilátero de lado 2.

En el círculo unitario se pueden observar los valores que una función de un ángulo va a tener; en el primer cuadrante, los valores son (+,+), en el segundo (-,+), en el tercero (-,-) y para el cuarto (+,-). A su vez, podemos obtener los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo de 45°; al trazar la figura de la izquierda, observamos que las medidas de los catetos serán iguales cuando 45°, la hipotenusa es igual a 1 (radio) y, aplicando el Teorema de Pitágoras:

x2+ x2=12

x= 1

√2

Por lo que, los valores de los cocientes de las funciones para 45°

Funciones para 45°Grados/Radianes sin cos tan csc sec cot/4 1/√2 1/√2 1 √2 √2 1

Para el ángulo de 90°:Funciones para 90°

Grados/Radianes sin cos tan csc sec cot/2 1 0 ± 1 ± 0

Si consideramos ahora, un triángulo equilátero de lado igual a 2, podremos obtener los valores de las funciones trigonométricas para 30° y 60°:

Aplicando el Teorema de Pitágoras obtenemos el valor de x:

12+x2=22 x=√3

Por lo que podemos obtener los valores de las funciones trigonométricas para 30° y 60°

Funciones para 30°Grados/Radianes sin cos tan csc sec cot/6 0.5 √3/2 1/√3 2 2/√3 √3

Funciones para 60°Grados/Radianes sin cos tan csc sec cot/3 √3/2 0.5 √3 2/√3 2 1/√3

Ángulo de referencia

El ángulo de referencia es el ángulo agudo (0°<<90°) positivo entre el eje horizontal x y el lado del ángulo .

(x,y) (0,0)

En el segundo cuadrante, el ángulo tiene por valor 180°- .

En el tercer cuadrante, al ángulo será - 180°.

En el cuarto cuadrante, el ángulo es 360°- .

Para cálculos negativos se utiliza:Sin(-) = -sin ; cos(-) = -cos, etc.

Gráficas de funciones trigonométricas

Existe un tipo de funciones trigonométricas, llamadas básicas, donde la función solamente depende del valor de la identidad trigonométrica aplicada a una variable independiente.

La amplitud es el valor que expresa la longitud máxima vertical que tiene la gráfica. El periodo es el valor que indica en qué valor completa un ciclo completo (en la función seno y coseno este valor equivale a 2, en la función tangente a ). Ejemplo:

Para la función seno f(x)=sinx

Donde El dominio de la función Df: (-,)El rango Rf: [-1,1]Su amplitud A=1Su periodo es igual a 2

Para la función coseno f(x)=cosx

DondeDominio Df: (-,)Rango Rf: [-1,1]Su amplitud A=1Su periodo es igual a 2

Para la función tangente f(x)=tanx

DondeDominio Df: (-,) – {90n} donde n es imparRango Rf:(-,)Amplitud A=Periodo es igual a

Para la función cosecante f(x) = cscx

Donde Dominio Df: (-,) – {180n}Rango Rf: (-,)Amplitud A= Periodo es igual a 2

Para la función secante f(x) = secx

Donde Dominio Df: (-,) – {90n} donde n es imparRango Rf: (-,)Amplitud A= Periodo es igual a 2

Para la función cotangente y=cotx

Donde Dominio Df: (-,) – {180n}Rango Rf: (-,)Amplitud A= Periodo es igual a

Parámetros de una función trigonométrica

Para poder analizar el comportamiento de una función trigonométrica, se debe conocer la forma

y=Asin (Bx+C )+D

Donde |A| se considera como la amplitud de la función, y es el valor máximo que puede adquirir la función verticalmente.

La frecuencia de la función se conoce como B; el valor del ángulo para el cual se

tiene un ciclo completo (periodo) para esta función es 2

¿B∨¿¿

El deslizamiento horizontal de la gráfica de la función se conoce como C.

El corrimiento vertical o deslizamiento vertical es D.

El corrimiento horizontal ¿C∨ ¿¿B∨¿¿

¿ es el desplazamiento de fase. Cuando este

cociente es menor a 0, la gráfica está desplazada hacia la izquierda n unidades, de lo contrario, si el cociente es mayor a 0, está desplazada hacia la derecha.

Signo en el cuadrante

I II III IVSeno + + - -Coseno + - - +Tangente + - + -Cotangente + - + -Secante + - - +Cosecante + + - -

Ejercicios complementarios

Determina en grados los siguientes ángulos:

1. /2 radianesRespuesta: 90°

2. 3/7 radianesRespuesta: 77.1429°

3. /6 radianesRespuesta: 30°

4. 5/4 radianesRespuesta: 225°

5. -2/3 radianesRespuesta: -120°

6. 1 radiánRespuesta: 57.29°

7. 7/6 radianesRespuesta: 210°

Determina en radianes el valor de los siguientes ángulos:

1. 120°Respuesta: 2/3 radianes

2. 35°Respuesta: 7/36 radianes

3. 180°Respuesta: radianes

4. -760°Respuesta: -38/9 radianes

5. 42° 35’Respuesta: 511/2160 radianes

6. 240°Respuesta:4/3 radianes

7. 135° Respuesta: 3/4 radianes

8. 125°23’Respuesta:2.188 radianes

9. 60°Respuesta: /3 radianes

10.225°Respuesta:5/4 radianes

Determina el ángulo de referencia de cada ángulo, y su conversión a radianes:

1. 150°Respuesta: 30°, /6 radianes.



4. 400°Respuesta: 40°, 2/9 radianes.

5. 173°Respuesta: 7°, 7/180 radianes.

6. 420°Respuesta: 60°, /3 radianes

7. 315°Respuesta: 45°, /4 radianes

8. 240°Respuesta:30°, /6 radianes

Determina el ángulo de referencia y su conversión a grados de:

1. 4/5 radianesRespuesta: /5 radianes, 36°.

2. 7/8 radianesRespuesta: /8 radianes, 22.5°.


4. 13/8 radianesRespuesta: 3/8 radianes, 67.5°.


6. 7/6 radianesRespuesta: /6 radianes, 30°

7. 2/3 radianesRespuesta:/3 radianes, 60°

8. 11/6 radianesRespuesta:/6 radianes, 30°

Calcula:

1. El seno de 135°Respuesta: 1/√2

2. La tangente de 330°Respuesta: -1/√3

3. El coseno de 315°Respuesta: 1/√2

4. La secante de 210°Respuesta: -2/√3

5. La cotangente de 150°Respuesta: -√3

Calcula:

1. El coseno de -5/4Respuesta: -1/√2

2. El seno de 3/4Respuesta:1/√2

3. La cosecante de -5/6Respuesta:-2

4. La tangente de 7/6Respuesta:1/√3

5. El seno de /3Respuesta:√3/2

Determina:

1. El periodo de y=4tanx, es:Respuesta:

2. El periodo de y=tan(1/4)x, es:Respuesta: 4

3. La amplitud de y=3cosx, es:Respuesta: 3

4. El periodo de y=3cosx, es:Respuesta: 2

5. La amplitud de y=-4sinx, es:Respuesta: 4

6. El periodo de y=-4sinx, es:Respuesta: 2

7. La amplitud de y=3cos[x-(/4)], es:Respuesta: 3

8. El periodo de y=5cos(2x-(/4)), es:Respuesta:

9. La amplitud de y=-cos(x-3), es:Respuesta: 1

10.Con respecto a la gráfica de y=sinx, la gráfica de y=3sin(x-5) está desplazada:Respuesta: Hacia la derecha.

11.Con respecto a la gráfica de y=cosx, la gráfica de y=cos(3x+3) está desplazada:Respuesta: Hacia la izquierda.

12.Con respecto a la gráfica de y=sinx, la gráfica de y=sin3x-5 está desplazada:Respuesta: 5 unidades hacia abajo.

13.Con respecto a la gráfica de y=sinx, la gráfica de y=-(3/4)sinx está desplazada:Respuesta: Hacia ningún lado.

14.La amplitud de y=4+2sin(x/2), es:Respuesta: 2

15.El periodo de y=4+2sin(x/2), es:Respuesta: 4

16.Con respecto a la gráfica de y=sinx, la gráfica de y=3sin-5, está desplazada:Respuesta: 5 unidades hacia abajo.

17.Con respecto a la gráfica de y=cosx, la gráfica de y=-2cosx+3, está desplazada:Respuesta:3 unidades hacia arriba.

Determina el dominio y rango de las siguientes funciones:

1. y= 4sinxRespuesta: Dominio (-,) Rango [-4,4]

2. y= (1/5)sinxRespuesta: Dominio (-,) Rango [-1/5,1/5]

3. y= 3cosxRespuesta: Dominio (-,) Rango [-3,3]

4. y= (1/2)cosxRespuesta: Dominio (-,) Rango [-1/2,1/2]

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