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matematica
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Profa.Thania González 1
Profa.Thania González 2
El término función inversa supone que la función
que se estudie sea uno a uno. En el caso de las
seis funciones trigonométricas que se ha
estudiado no cumplen con esta propiedad, debido
a que son periódicas y como se sabe el criterio de
la recta horizontal corta a las gráficas en infinitos
puntos.
Consideraciones previas
Función seno
Para la función f(x) = sen x
Dom f = [-/2, /2]Ran f = [-1,1]
Para determinar el dominio de la función de f, se le restringe en un dominio.
Criterio de larecta horizontal
Profa.Thania González 3
Función seno inverso (sen-1)
Dom f -1 = [-1,1]Ran f -1 = [-/2, /2]
Profa.Thania González 4
Función coseno
Para la función y = cos xDom f = [0, ]Ran f = [-1,1]
Para determinar el dominio de la función de f, se le restringe en un dominio.
Criterio de larecta horizontal
Profa.Thania González 5
Función coseno inverso (cos-1)
Para f(x) = cos x, para 0 ≤ x ≤
Tenemos f -1(x) = cos-1(x) = arccos x
Dom f -1 = [-1,1]Ran f -1 = [0,]
Profa.Thania González 6
Función tangentePara la función y = tan x Dom f = (- /2, /2)
Ran f = (-,+)
Para determinar el dominio de la función de f, se le restringe en un dominio.
Criterio de larecta horizontalCriterio de larecta horizontal
Profa.Thania González 7
Función tangente inversa (tan-1)Para f(x) = tan x, para -/2 < x < /2.
Tenemos f -1(x) = tan-1(x) = arctan x
Dom f -1 = R
Ran f -1 = (-/2, /2)Profa.Thania González 8
Encuentre sin calculadora el valor exacto de:
2
1sen1) 1
3
3tan2) 1
2
1arcseny
definiciónPor
2
1ysen
En el intervalo elValor correcto de y es
2,
2
6
6
Ejemplos. Evaluación de las funciones Trigonométricas inversas
Profa.Thania González 9
Composición de funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas
Las ecuaciones siguientes son siempre verdaderas,si están definidas:
xx ))(sen(sen 1
xx ))(cos(cos 1
xx ))(tan(tan 1
Profa.Thania González 10
Composición de funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas
Las siguiente ecuaciones sólo son verdaderas para valores de xen el dominio restringido de sen, cos y tan:
xx ))(sen(sen 1
xx ))(cos(cos 1
xx ))(tan(tan 1
Profa.Thania González 11
Ejemplos. Resolución de una ecuación
2
1)-arcsen(3x1)
2
1)-arcsen(3x sensen
2
13 senx
Despeje x:
32
1
sen
x
027.1x
xarcos2xarcsen2)
xarsensen cos2xarcsen
xx 12
xx 12
3
1x
Profa.Thania González 12
Profa.Thania González 13
Profa.Thania González 14
Profa.Thania González 15
Profa.Thania González 16
2arcsenxy)1
22
2
x1
'x'y
4x1
x2'y
2u1
uyarcsenuy
x212 cosxy)2
x22
x22 arccos'x'arccosx'y
2u1
uyucosarcy
v'u'vu´yvuy
x2
2
x2
x2
2 arccosx21
'x'y
x2
2x
4
1
2 arccosx21
'x2x'y
x
x
xx
xxxy 2
2
42
11
2
212
arccos'
'
x2
2x
42x
2
2 arccosx2x2
x'y
'unu´yuy 1nn
x2
2x
42xarccosx2
2'y
x
2
2arccos
4x
1x2'y
x2
2arccosx2
4x
x2'y
x2
2
x1
arccosx24x
2'y
x2
2x
42x2
2 arccosx2x
2x'y
Profa.Thania González17
Profa.Thania González 18
Profa.Thania González 19
dxx
xsen
2
1
0
21
1
1)
2
21 2
1
0
xsen
2
1
1 x
dxdv
xsenv
2
1
2
1
0
2
1
2
1sensen
dx
x
xsen2
1
1
dvv
Cv
2
2
2
2
0
42
1
162
12
3080
32
12 ,
2u1
uyarcsenuy
162
4
2xx
dx) 2
23
xx
dx)
162xx
dx41
0,sec1
22
aC
a
uarc
aauu
du
Csecarc 4x
41
41
Csecarc 4x
161
2
212
212x2x
dx
41
412x2x
dx
412
41x2x
dx
47
41x2x
dx
472
21x
dx
0,arctan1
22
aCa
u
aua
du
C
x
27
21
1 arctan27
C
x
27
212
7
2 arctan
Carctan7
1x272
dxdu
xu
xu
21
2
212
22 au
du
27
472
a
a
dxdu
xu
xu
22
4
162
a
a
224
1
auu
du
Profa.Thania González20
21
dxx
xxx
1
3434
2
23
)
1
443
2x
dxdxxdx 4
4
4
33
43
1343
2
3
223
4x
2
x
xx
xxxxx
dxx
x
1
443
2
dxdu
xu
xu
22
1
12
a
a
22443
au
dudxxdx
Cuxx 12 tan442
3Cxxx 12 tan44
2
3
Profa.Thania González
Profa.Thania González 22
dxx
x
9
725
2)
xdxdv
xv
2
92
dxx
dxx
x
9
7
9
2
22
9
72x
dx
v
dv
dxdu
xu
xu
22
3
92
a
a
22
7
au
du
v
dv
Ca
u
av 117 tanln
Cx
x
33
179
12 tanln
Cx
x
33
79
12 tanln
0,arctan1
22
aCa
u
aua
du
Profa.Thania González 23
dxxx
x
8412
456
2
)
dxxdv
dxxdv
dxxdv
xxv
)(
)(
)(
64
2
642
128
81242
8124
54
2 xx
x
22
2
1
2
1
2
1
ua
dudvv
dxdu
xu
xu
2
3
2
32
2
2
1
4
12
a
a
8124
1154
2 xx
x
8124
164
2 xx
x
dxxx
dxxx
x
8124
1
8124
64
22
dxxxv
dv
8124
122
2
1
dx
xv
dv
2
2
1
2
3
4
14
1
2
1
Ca
usen
v 1
21 2
1
2
1 21
Cx
senxx
2
1
2
3
12
2
18124
Csenxxx
2
1
2
32
12
2
18124
Cxsenxx 32
2
18124
12
0,22
aCa
uarcsen
ua
du
Ca
usenv 1
2
1
1
2
2
121
Profa.Thania González 24
81242 xx
)( 2342 xx
22
2
2
3
2
3)23(4 xx
4
92
4
934
2 xx
4
1
2
34
2
x
4
1
2
34
2
x
2
2
3
4
14 x
Profa.Thania González 25
dxxx
x
343
17
2)
dxxdv
dxxdv
dxxdv
xxv
)(
)(
)(
23
2
232
46
3432
dxdu
xu
xu
3
2
3
22
2
3
5
9
52
a
a
Ca
u
av
11
9
1
6
1tanln
dxxx
x
343
1
3
3
2
dxxx
x
343
33
3
1
2
dxxx
x
343
1133
3
1
2
dxxx
x
343
123
3
1
2
dxxx
dxxx
x
343
1
3
1
343
23
3
122
3433
1
3
1
2
2
xx
dx
v
dv
9
5
3
23
3
1
2
1
3
12
x
du
v
dv
22
3
1
3
1
6
1
au
du
v
dv
Cx
xx
3
5
3
2
1
3
5
21
9
1343
6
1tanln
Cxxx
3
5
3
23
12
5
3
9
1343
6
1tanln
Cx
xx
5
23
53
1343
6
112 tanln
Cx
xx
5
23
15
5343
6
112 tanln
0,arctan1
22
aCa
u
aua
du
Profa.Thania González 26
3432 xx
)( 133
42 xx
2
34
2
34
342
22)1(3 xx
9
41
9
43
3
42 xx
9
5
3
23
2
x
22
342
3
2
3
2)1(3 xx
Profa.Thania González 27
Profa.Thania González 28
Profa.Thania González 29
Profa.Thania González 30
Profa.Thania González 31
2x5echcosy)1
'x5echcosx5echcos'y 2121
2
21
21
2x5echcosy 'unu´yuy 1nn
'x5echcosx5echcos'y 221
2
21
ucothuechcosuyuechcosy
22221
2
21 x5cothx5echcos'x5x5echcos'y
2221
2 x5cothx5echcosx5x5echcos'y
2121
2 x5cothx5echcosx5'y
22 x5cothx5echcosx5'y
xtanh
x)x(f)2
2
2
xtanh
xhsec'xxxtanh1)x('f
2v
'vuv'u´y
v
uy
uhuyuy 2sec´´tanh
2xtanh
'xtanhxxtanh'x)x('f
22
xtanh
xhsecxxtanh)x('f
221221
2
21 x5cothx5echcosx25x5echcos'y
221
2 x5cothx5echcosx5'y
Profa.Thania González 32
Profa.Thania González 33
dxxx 312cosh) xdxtanh)2
uducosh21
3xu 2
dxxcosh
senhx
xdx2du
xdxdu21
Cusenhduu cosh
Csenhu21
C3xsenh 2
21
xcoshu
senhxdxdu
u
du
Culn
Cxcoshln
usenhuyuy ´´cosh
xdxx 32cosh
duu2
1cosh
Profa.Thania González 34
xdxxsenh 23
3 cosh)
xcoshu
senhxdxdu
Profa.Thania González
dxsenhxxsenh 22 cosh
xdxsenhx 22
1 coshcosh
dxxsenhxxsenhx 222 coshcoshcosh
dxxsenhxsenhx 24 coshcosh
dxxsenhxdxsenhx )(coshcosh 24
duuduu 24
Cuu 35
3
1
5
1
Cxx 35
3
1
5
1coshcosh
35
Profa.Thania González 36
Profa.Thania González 37
Profa.Thania González 38
Profa.Thania González 39
Profa.Thania González 40
3xxsenh)x(g)1 21 xcossenh)x(f)2 1
1xcos
'xcos')x(f
2
v'u'vu´yvuy
3xsenh'x'3xsenhx)x('g 2121
3xsenh)1(x)x('g 21
12
32x
'32x
1
´'
2
1
u
uyusenhy
3xsenhx)x('g 21
192x64x
x2
3xsenh)x('g 21
102x64x
2x2
1
´'
2
1
u
uyusenhy
1xcos
senx')x(f
2
Profa.Thania González 41
Profa.Thania González 42
2x4
dx)1 36
22
xx
dx)
Csenh 2x1
Cx4xln 2
2
262
26
362 xx
dx
9936
2 xx
dx
93962 xx
dx
6962 xx
dx
62
3x
dx
Ccosh6
3x1
Cxx 6332
ln
C)auuln(
Ca
usenhdu
ua
1
22
1
22
C)auuln(
Ca
ucoshdu
au
1
22
1
22
C69x6x3xln 2
C3x6x3xln 2
dxdu
xu
xu
3
322
6a
6a2
22 au
dx
22 ua
du
dxdu
xu
xu
22
2
42
a
a
Profa.Thania González43
3
22 5x12x9
dx)3
3
22
99 5x12x9
dx
3
295
9x12
9
2x99
dx
3
295
3x42x3
dx
3
22
2342
234
95
3x42x
dx
3
1
3
22
322
32
95
3x42x
dx
3
1
3
294
94
95
3x42x
dx
3
1
3
294
95
94
3x42x
dx
3
1
3
22
32 1x
dx
3
1
3
22
21
342
21
34
95
3x42x
dx
3
1
C)auuln(
Ca
ucoshdu
au
1
22
1
22
3
2
32
1
1
xcosh
3
1
1
2cosh
1
3cosh
3
1 32
132
1
341
371 coshcosh
3
1
7954,04909,13
1
6955,03
1 2318,0
dxdu
xu
xu
32
2
322
1
12
a
a
22 au
du
3
295
3x42x9
dx
3
295
3x42x
dx
3
1
Profa.Thania González44