Funcions de Varies Variables

Funcions de varies variables

Gisela Pujol

Universitat Politecnica de Catalunya

Curs 2011/12-P

Gisela Pujol Funcions de varies variables

Index de temes

2. Funcions de varies variables

3. Extrems de funcions

4. Calcul integral

5. Calcul vectorial


Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis

2. Funcions de varies variables

1 IntroduccioDefinicionsProducte escalar i vectorial

2 Lımits i continuıtatDistancia euclideaDominis i continuıtat

3 DerivacioDerivada direccional, gradient i derivades parcialsDiferenciabilitatRegla de la cadenaDesenvolupament de Taylor

4 Exercicis resolts i proposats


Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Def. Operacions

Definicions

Definicio (Funcio o camp escalar)

Es aquella funcio que fa correspondre un escalar a cada vectorf : Rn → R.

Exemple

La temperatura d’una placa laminar ve donada pel camp escalar

T : R2 → R(x , y) → 10− x2 − y 2

A cada punt x = (x , y) de la placa li correspon una temperaturaT (x , y) ∈ R.

Si n = 2, la representacio dels camps escalars es fa a R3. Tambe espoden representar a R2, calculant les corbes de nivell, formades pelspunts x = (x1, . . . , xn) amb valor contant: f (x1, . . . , xn) = C , amb C ∈ Rfixada.



Figura: Esquerra. Grafica de la funcio escalar z = T (x , y) = 10− x2 − y 2.Dreta. Corbes de nivell T (x , y) = 5, T (x , y) = 0 i T (x , y) = −13.



Definicio (Funcio o camp vectorial)

Es aquella funcio que fa correspondre vector a vector f : Rn → Rm.

Exemple (Camp gravitatori)

La llei de gravitacio de Newton diu que la forca es inversamentproporcional al quadrat de la distancia. Considera el camp gravitatoricreat per una partıcula P(x0, y0, z0), que te certa constant de gravitacioc . La forca que produeix en un punt qualsevol Q(x , y , z) vindra donada

per la funcio−→F :

−→F : R3 → R3

(x , y , z) →(−c x−x0

r2 ,−c y−y0

r2 ,−c z−z0

r2

)on r 2 = (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2.

La representacio es podra fer quan n + m = 3.



Producte escalar i vectorial

Si x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) son vectors de Rn definim

producte escalar x · y = x1y1 + · · ·+ xnyn ∈ Rnorma ‖x‖ =

√x · x =

√x2

1 + · · ·+ x2n

distancia d(x, y) = ‖y − x‖ =√

(y1 − x1)2 + · · ·+ (yn − xn)2

cosinus de l’angle cos(x, y) = x·y‖x‖‖y‖

perpendicularitat x ⊥ y⇔ x · y = 0

Si v1 = (x1, y1, z1) i v2 = (x2, y2, z2) son vectors de R3 definim el seuproducte vectorial mitjancant

v1 × v2 =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx1 y1 z1

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣ = (y1z2 − y2z1, x2z1 − x1z2, x1y2 − x2y1).

que te direccio perpendicular a v1 i v2, sentit donat per la regla del“tornavis” i ‖v1 × v2‖ es l’area del paral.lelogram que determinen.


Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Distancia Dominis i continuıtat

2.2 Lımits i continuıtat



Distancia a R2

La distancia entre dos punts ve donada per la norma de la seva diferencia:

d(·, ·) : Rn × Rn → [0,∞)

(x, y) → ‖x− y‖

Distancia euclidea

d(x, y) =

√√√√ n∑i=1

(xi − yi )2

a R: d(x , y) = |x − y |a R2: d(x, y) =

√(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 amb x = (x1, x2),

y = (y1, y2)



Entorns a R2

Bola: Dδ(x0, y0) = {(x , y) ∈ R2|√

(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ}Vora o frontera de Dδ(x0, y0):

∂D = {(x , y) ∈ R2|√

(x − x0)2 + (y − y0)2 = δ}

Entorn. Un subconjunt V ⊂ Rn es un entorn del punt x ∈ Rn siexisteix δ > 0 tal que Dδ(x) ⊂ V .

Dd

x0

y0

d

V

Figura: Esquerra: Bola de centre (x0, y0), on d=δ. Dreta: Entorn V de (x0, y0).



Lımits a R2

Considera un camp escalar f : D ⊂ R2 → R, amb x = (x , y). Fixem unpunt M0 ∈ D. Diem que L es el lımit de f (x) en el punt M0 si es verificala seguent condicio:

∀ε,∃δ tal que si d(x,M0) < δ ⇒ |f (x)− L| < ε

x

y

M0

d

||

Lz

e

Figura: Interpretacio de la definicio de lımit, on e=ε i d=δ.



Domini i Continuıtat

Donada una funcio f : D ⊂ Rn → R definim les nocions seguents:

El domini D de f com el subconjunt dels x ∈ Rn on la formula quedefineix f (x) te sentit.

El grafic de f com

{(x, z) ∈ Rn+1 : x = (x1, . . . , xn) ∈ D ⊂ Rn, z = f (x)} ⊂ Rn+1.

Per cada c ∈ R considerem el conjunt de nivell c de f :

f −1(c) = {(x1, . . . , xn) ∈ D : f (x1, . . . , xn) = c} ⊂ Rn.

La continuıtat de f en un punt a = (a1, . . . , an) ∈ D vecaracteritzada pel fet que lim

x→af (x) = f (a).

Les propietats basiques de les funcions contınues son:

Suma, resta, producte, divisio (fora d’on s’anul.li el denominador) icomposicio de funcions contınues es contınua.Les funcions elementals d’una variable ex , log x , sin x , cos x , . . . soncontınues en el seu domini.Les funcions coordenades xi : Rn → R son contınues.


Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Der. Parcials Diferenciabilitat Regla de la cadena Taylor

2.3 Derivacio



Derivada direccional

Vector unitari. Diem que u ∈ Rn es un vector unitari si ‖u‖ = 1.

Definicio (Derivada direccional)

Sigui f : D ⊂ Rn → R una funcio, a ∈ D un punt i u vector unitari(‖u‖ = 1). Si la funcio d’una variable t 7→ f (a + t~w) es derivablerespecte de t aleshores definim la derivada direccional de f en el punt asegons la direccio u com

(Duf )(a) =d

dt

∣∣∣t=0

f (a + tu) ,

pendent de la recta tangent de f en el punt a en la direccio u (veurefigura seguent).



Figura: Interpretacio grafica de la derivada direccional d’una funcio en el punta i en la direccio del vector u



Exemple

Es considera la funcio f (x , y) = x2 + y 2, el punt a = (1, 1) i el vectoru = ( 1√

2, 1√

2) (unitari). Aleshores,

Duf (a) =d

dt

∣∣∣t=0

f

((1, 1) + t(

1√2,

1√2

)

)Primer calculem l’imatge per f :

f

((1, 1) + t(

1√2,

1√2

)

)=

(1 +

t√2

)2

+

(1 +

t√2

)2

= 2 +4√2

t + t2

Per tant, la derivada direccional val

Duf (a) =d

dt

∣∣∣t=0

(2 +4√2

t + t2)

=

(4√2

+ 2t

) ∣∣∣t=0

=4√2



Derivades parcials

Son d’especial interes les derivadas direccionals en la direccions donadespels eixos de coordenades. Es a dir, en les direccions dels vectors

ei = (0, . . . , 0, 1︸︷︷︸i

, 0, . . . , 0)

Definicio (Derivada parcial)

Dei f = ∂f∂xi

s’anomena derivada parcial de f respecte de xi .

Es calcula derivant f respecte de xi mantenint totes les altres variablesconstants.

Exemple

Sigui la funcio f : R2 → R, f (x , y) = 5x − x2y 2 + 3xy 3. Les sevesderivades parcials son

∂f

∂x(x , y) = 5− 2xy 2 + 3y 3

∂f

∂y(x , y) = −2x2y + 9xy 2



Derivades parcials d’ordre superior

Sigui f : A ⊂ Rn → R amb derivada parcial respecte a xi en tot puntd’A. En aquest cas, es pot definir la funcio escalar

∂f

∂xi: A ⊂ Rn → R

Si aquesta funcio te una derivada parcial respecte xj en el punt x0,aquesta derivada parcial es nota

∂

∂xj

(∂f

∂xi

)(x0) =

∂2f∂xj∂xi

(x0) si i 6= j

∂2f∂x2

i(x0) si i = j

S’anomena derivada parcial d’ordre 2.



Igualtat de les derivades creuades

Teorema ( de Schwarz)

Sigui f : A ⊂ Rn → R un camp escalar prou diferenciable en x0 ∈ A.Aleshores les derivades segones creuades son iguals:

∂

∂xj

(∂f

∂xi

)(x0) =

∂

∂xi

(∂f

∂xj

)(x0)

Es generalitza a les derivades parcials d’ordre superior.



Exemple

Considera f : R2 → R, f (x , y) = x3y − xy 2. Vegem que es verifica elteorema:

∂f

∂x(x , y) = 3x2y − y 2 =⇒

∂2f

∂y∂x(x , y) = 3x2 − 2y

∂2f

∂x2(x , y) = 6xy

∂f

∂y(x , y) = x3 − 2xy =⇒

∂2f

∂x∂y(x , y) = 3x2 − 2y

∂2f

∂y 2(x , y) = −2x



Gradient

Definicio

Donat el camp escalar f : Rn → R, es defineix el vector gradient∇f (a) ∈ Rn de f en a com

∇f (a) =

(∂f

∂x1(a), . . . ,

∂f

∂xn(a)

)Propietats del gradient

(i) ∇f (a) es perpendicular a les corbes de nivell (c = f (a)) de f quepassa per a.

(ii) ∇f (x) pot utilitzar-se per a calcular les derivades direccionals de fen x en direccio u (‖u‖ = 1):

Duf (x) = ∇f (x) · u

(iii) ∇f (x) apunta en la direccio de maxima variacio de la funcio f en a:

Duf (x) = ∇f (x) · u = ‖∇f (x)‖ cos(θ) : maxim ⇔ θ = 0 ⇔ u||∇f .



Exemple

Es considera la funcio f : R2 → R, f (x , y) = x2 + y 2, el punt a = (1, 1) i

el vector u =(

1√2, 1√

2

). Es vol calcular la derivada direccional de f en el

punt a i en la direccio del vector v. Per a fer aixo, s’usara la formula

Duf (a) = ∇f (a) · u

El gradient de f en el punt a es:

∂f

∂x(a) = 2x |(1,1) = 2

∂f

∂y(a) = 2y |(1,1) = 2

=⇒ ∇f (a) = (2, 2)

Aleshores,

Duf (a) = ∇f (a) · u = (2, 2) ·(

1√2,− 1√

2

)= 4

1√2



Diferenciabilitat d’un camp escalar

Definicio

Una funcio f es diu diferenciable en el punt a = (a1, . . . , an) quanexisteixen totes les rectes tangents de f en a en qualsevol direccio iformen un pla, anomenat el pla tangent de f en a, d’equacio:

z = f (a) +∂f

∂x1(a)(x1 − a1) + · · ·+ ∂f

∂xn(a)(xn − an).

Exercici resolt

Considera f (x , y) = x2 + y 2. Calcula ∆f , increment de f .

Teorema

Existeixen totes lesderivades parcials ison funcions contınues

⇒ f es diferenciable⇒ Existeix ∇f



Camps vectorials: Matriu diferencial o jacobiana

Si F : A ⊂ Rn → Rm es diferenciable en x, aleshores l’aplicacio diferencialdF existeix i ve donada per la matriu diferencial

F ′(x) =

∂F1

∂x1(x) · · · ∂F1

∂xn(x)

.... . .

...∂Fm

∂x1(x) · · · ∂Fm

∂xn(x)

de tal manera que

dF (x,h) = F ′(x) · h

Si n = m, el determinant de la matriu F ′(x) s’anomena jacobia i esdenota per JF (x).



Interpretacio de la matriu diferencial

Recordem que si f : I ⊂ R→ R es una funcio diferenciable aleshoresf (x + ∆x) ≈ f (x) + f ′(x)∆x si ∆x ≈ 0. Si dx denota un incrementinfinitesimal de la variable x aleshores es habitual reescriurel’aproximacio anterior com una igualtat

f (x + dx) = f (x) + df (x), on df (x) = f ′(x) dx .

Si f : D ⊂ Rn → R es una funcio diferenciable aleshores

f (x1 + dx1, . . . , xn + dxn) = f (x1, . . . , xn) + df (x),

on df (x) es un increment infinitesimal de f , quantitat escalar

calculada a partir del vector d’increments ~dx = (dx1, . . . , dxn)mitjancant df (x) = (∇f )(x) · d~x .

Si F : D ⊂ Rn → Rm es una aplicacio diferenciable llavorsF (x + ~dx) = F (x) + dF (x), on dF (x) es l’increment vectorial

infinitesimal de f calculat per dF (x) = DF (x) · ~dx .



Matriu hessiana

Considera el camp escalar f : A ⊂ Rn → R amb derivades segones en elpunt a ∈ Rn.

Definicio

La matriu hessiana de f en un punt a ve donada per

Hf (a) =

∂2f∂x2

1(a) · · · ∂2f

∂xn∂x1(a)

.... . .

...∂2f

∂x1∂xn(a) · · · ∂2f

∂x2n

(a)

i es simetrica respecte de la diagonal principal.



Exemple (cont.)

Anem a calcular la matriu hessiana de f : R2 → R, f (x , y) = x3y − xy 2,en el punt a = (1, 2).

Hf (x , y) =

∂2f∂x2 (x , y) ∂2f

∂y∂x (x , y)

∂2f∂x∂y (x , y) ∂2f

∂y2 (x , y)

=

(6xy 3x2 − 2y

3x2 − 2y −2x

)

En el punt a queda:

Hf (a) =

(12 −1

−1 −2

)



Derivades de funcions composades: regla de la cadena

Siguin f : A ⊂ Rn → Rm i g : B ⊂ Rm → Rp dues funcions vectorials devaries variables reals i sigui x0 ∈ V ⊂ A, on V es un entorn de x0.Se suposa que f (x0) ∈W ⊂ B, on W es un entorn de f (x0) que contef (V ).Se suposa que f es diferenciable en x0 i que g es diferenciable en f (x0).Aleshores, la funcio composada

g ◦ f : A ⊂ Rn → Rp

tambe es diferenciable en el punt x0 ∈ A i

(g ◦ f )′(x0) = g ′(f (x0)) · f ′(x0)

Es a dir,

(g ◦ f )′(x0) =

∂g1

∂y1(f (x0)) · · · ∂g1

∂ym(f (x0))

.... . .

...∂gp∂y1

(f (x0)) · · · ∂gp∂ym

(f (x0))

∂f1∂x1

(x0) · · · ∂f1∂xn

(x0)...

. . ....

∂fm∂x1

(x0) · · · ∂fm∂xn

(x0)



Exemple

Es consideren les funcions f : R2 → R2, g : R2 → R

f (x , y) = (xy , x − y) , g(u, v) = uv + u − v

Es vol calcular la matriu diferencial (g ◦ f )′(1, 0). Es fara de duesmaneres diferents:

(i) En primer lloc, composant ambdues funcions i calculant la matriudiferencial en el punt (1, 0):

(g ◦ f )(x , y) = g(f (x , y)) = g(xy , x − y) = x2y − xy 2 + xy − x + y

d’on(g ◦ f )′(x , y) =

(∂(g ◦ f )

∂x(x , y),

∂(g ◦ f )

∂y(x , y)

)=(2xy − y 2 + y − 1, x2 − 2xy + x + 1

)i per tant

(g ◦ f )′(1, 0) =(2xy − y 2 + y − 1, x2 − 2xy + x + 1

)∣∣(1,0)

= (−1, 3)



Exemple (continuacio)

(ii) La segona opcio es aplicant la regla de la cadena:

f ′(x , y) =

(y x1 −1

)⇒ f ′(1, 0) =

(y x1 −1

)∣∣∣∣(1,0)

⇒ f ′(1, 0) =

(0 11 −1

)g ′(u, v) = (v + 1, u − 1) ⇒ g ′(f (1, 0)) = (v + 1, u − 1)|f (1,0)=(0,1)

⇒ g ′(f (1, 0)) = (2,−1)

Per tant, es te que

(g ◦ f )′(1, 0) = g ′(f (1, 0)) · f ′(1, 0) = (2,−1)

(0 11 −1

)= (−1, 3)



Serie de Taylor

Sigui el camp escalar f : R2 → R diferenciable n cops. Volem calcular elpolinomi que millor aproxima f (x , y) al voltant de a = (a, b). Eldesenvolupament de Taylor ens dona aquest polinomi:

T (f ; a, n) = f (a, b) +

(∂f

∂x(a, b)(x − a) +

∂f

∂y(a, b)(y − b)

)+

+1

2

(∂2f

∂x2(a, b)(x − a)2 +

∂2f

∂xy(a, b)(x − a)(y − b) +

∂2f

∂y 2(a, b)(y − b)2

)+O(3)

Un polinomi de Taylor de segon grau (n = 2) pot escriure’s de maneracompacta:

T (x) = f (a) +∇f (a)(x− a) +1

2(x− a)THf (a)(x− a) + · · ·

on ∇f (a) es el gradient i Hf (a) es la matriu Hessiana en el punt a.



Exemple



Exercici resolt (2.1)

Es consideren les funcions f , g : R2 → R definides per:

f (x , y) = xy 2 sin

(1

y

), y 6= 0, f (x , y) = 0, y = 0

g(x , y) =1

πex+y +

∫ x

0

t2

√t4 + 1

dt

(a) Calcula les derivades parcials de f i g .

(b) Dedueix que G = F ◦ F , on F = (f , g) : R2 → R2, es diferenciableen el punt (0, 0) i calcula G ′(0, 0).

(c) Calcular Dug(0, 0) con u = (1, 1).



Resolucio

(a) Sigui x0 = (x0, y0) un punt del pla tal que y0 6= 0. Aleshores existeixun entorn V de x0 que no te interseccio amb la recta y = 0 (veureFigura). En tot punt (x , y) de V es te que y 6= 0, per tant la funcio f hiesta ben definida. La funcio f es una combinacio (producte i composicio)de funcions diferenciables, d’on f es diferenciable en V , es a dir, f esdiferenciable en tot punt (x0, y0) si y0 6= 0.



En aquest cas, les parcials son

∂f

∂x(x0, y0) = y 2

0 sin

(1

y0

)∂f

∂y(x0, y0) = 2x0y0 sin

(1

y0

)− x0 cos

(1

y0

)Si y0 = 0, aleshores la definicio de f canvia en tot entorn U del punto(x0, 0). En aquest cas no es poden calcular les derivades parcialsdirectament. Cal usar la definicio:

∂f

∂x(x0, 0) = De1 f (x0, 0) = lim

t→0

f ((x0, 0) + t(1, 0))− f (x0, 0)

t

= limt→0

f (x0 + t, 0)− f (x0, 0)

t

= limt→0

0

t= 0



∂f

∂y(x0, 0) = De2 f (x0, 0) = lim

t→0

f ((x0, 0) + t(0, 1))− f (x0, 0)

t

= limt→0

f (x0, t)− f (x0, 0)

t

= limt→0

x0t2 sin(

1t

)t

= limt→0

x0t sin

(1

t

)= 0

En resum, tenim que les parcials valen:

∂f

∂x(x , y) =

{y 2 sin

(1y

), y 6= 0

0, y = 0

∂f

∂y(x , y) =

{2xy sin

(1y

)− x cos

(1y

), y 6= 0

0, y = 0



La funcio g(x , y) es diferenciable en R2 en ser combinacio de funcionsdiferenciables. Es calculen les derivades parcials directament, tenintpresent que

∂

∂x

(∫ x

0

t2

√t4 + 1

dt

)=

x2

√x4 + 1

∂

∂y

(∫ x

0

t2

√t4 + 1

dt

)= 0

Aleshores,

∂g

∂x(x , y) =

1

πex+y +

x2

√x4 + 1

∂g

∂y(x , y) =

1

πex+y



(b) Per la regla de la cadena, G = F ◦ F sera diferenciable en el punt(0, 0) si F es diferenciable en (0, 0) i enF (0, 0) = (f (0, 0), g(0, 0)) = (0, 1

π ), cert per ser-ho f i g en (0, 0). Pertant,

G ′(0, 0) = (F ◦ F )′(0, 0) = F ′(F (0, 0)) · F ′(0, 0) = F ′(

0,1

π

)· F ′(0, 0)

d’on

G ′(0, 0) = F ′(

0,1

π

)· F ′(0, 0)

=

(∂f∂x (0, 1

π ) ∂f∂y (0, 1

π )∂g∂x (0, 1

π ) ∂g∂y (0, 1

π )

)·

(∂f∂x (0, 0) ∂f

∂y (0, 0)∂g∂x (0, 0) ∂g

∂y (0, 0)

)

=

(0 0e

1π

πe

1π

π

)·(

0 01π

1π

)

=

(0 0e

1π

π2e

1π

π2

)




Es consideren les funcions

g(x , y) = 4x − y 2

f (u, v) = (f1(u, v), f2(u, v)) = (uv 2, u3v)

Si h = g ◦ f , calcula la matriu diferencial o matriu jacobiana de h.



Resolucio

Per la regla de la cadena, tenim que

h′(u, v) = (g ◦ f )′(u, v) = g ′(f (u, v)) · f ′(u, v) = g ′(uv 2, u3v) · f ′(u, v)

Les matrius diferencials de g y f son:

g ′(x , y) =(

∂g∂x (x , y) ∂g

∂y (x , y))

=(

4 , −2y)⇒

⇒ g ′(uv 2, u3v) =(

4 , −2u3v)

f ′(u, v) =

( ∂f1∂u (u, v) ∂f1

∂u2(u, v)

∂f2∂u (u, v) ∂f2

∂v (u, v)

)=

(v 2 2uv

3u2v u3

)El producte d’aquestes dues matrius es:

h′(u, v) =(

4 , −2u3v)·(

v 2 2uv3u2v u3

)=(

4v 2 − 6u5v 2 , 8uv − 2u6v)




Donat el camp escalar f (x , y , z) = x2 + 2xy + zey , calcula el gradient enel punt (1, 2, 0). Quina es l’equacio de la recta normal a la superfıcie enaquest punt?



Resolucio

El gradient de f es el vector de les derivades parcials:

∇f = (2x + 2y , 2y + zey , ey )

En el punt (1, 2, 0) val

∇f (1, 2, 0) =(5 , 2 , e2

)L’equacio parametrica de la recta de vector director n passant pel punt Pes (x , y , z) = P + λn. En aquest exemple, el vector normal ve donat pelgradientn = (5, 2, e2) i el punt P es P = (1, 2, 0).




Troba un vector unitari normal a la superfıcie del paraboloide de revolucioz = x2 + y 2 en el punt (2, 1, 5).



Resolucio

Primer cal expressar l’equacio del paraboloide com una funcio de x , y i z :f (x , y , z) = z − x2 − y 2. Sabent que el gradient en un punt correspon alvector perpendicular a la superfıcie, cal calcular primer ∇f (2, 1, 5):

∇f (2, 1, 5) = (−2x ,−2y , 1)∣∣∣(2,1,5)

= (−4,−2, 1)

Per tant, en el punt (2, 1, 5), un vector normal al paraboloide es(−4,−2, 1). L’altre sera el de signe contrari. Ara nomes falta normalitzar:

‖(−4,−2, 1)‖ =√

16 + 4 + 1 =√

21

Un vector normal unitari sera(− 4√

21,− 2√

21, 1√

21

).



Exercici proposat (2.5)

Un astronauta es troba en una situacio compromesa mentre navega aprop de la cara assolellada de Mercuri. La nau es troba al punt decoordenades (1,1,1). La temperatura del casc de la nau ve donada per

T (x , y , z) = e−x2−2y2−3z2

en funcio de les coordenades de posicio(x , y , z) de la nau mesurades en metres terrestres.

(a) En quina direccio ha de viatjar per refredar la nau mes rapidament?

(b) Si la nau viatja a e8 metres per segon, amb quina velocitat baixarala temperatura si viatja en aquesta direccio?

(c) Per desgracia, el metall del casc de la nau s’esquerdara si es refredaa una velocitat mes gran de

√14e2 graus per segon. Descriviu les

possibles direccions en que pot maniobrar per refredar latemperatura sense perill de petar la nau.




Considera la funcio escalar definida per

f (x , y) =x2 + y 2 − 1

2x.

Calcula la derivada direccional de f (x , y) en (3, 2) en direccio del vector(−1, 2).


Considera la funcio f (x , y) = xy .

1 Calcula l’increment de la funcio f (x , y):

4f = f (x +4x , y +4y)− f (x , y)

2 Calcula el diferencial de la funcio f (x , y)

3 ¿Es f (x , y) una funcio diferenciable?




La potencia consumida en una resistencia electrica ve donada per

P = E 2

R , en watts. Si E = 200V amb un error absolut de ±0.1V iR = 8± 0.2 ohms, ¿quant val la potencia i quin es l’error que es comet?


1 Considera la superfıcia definida per F (x , y , z) = 3x2 + y 2 − z = 0.¿Quina corba defineix en el pla z = 1?

2 Fes un esquema de la representacio grafica de la superfıcieF (x , y , z) = 0;

3 Calcula el pla tangent a F (x , y , z) = 0 en el punt (1, 2, 5);

4 Considera ara la superfıcie definida per F (x , y , z) = 4. Fes un esbosde la seva representacio grafica i calcula el seu pla tangent en elpunt (1, 2, 9).




1 Troba els punts de la superfıcie z = 4x + 2y − x2 + xy − y 2 en elsque el pla tangent es paral·lel al pla XY .

2 Siguin g(x , y) = 4x − y2 i f (u, v) = (uv 2, u3v). Si h = (g ◦ f ),calcula la matriu jacobiana de h.

3 Siguin les funcions

f (x , y , z) = (sin(xy + z) , (1 + x2)yz)

g(u, v) = (u + ev , v − eu)

Calcula (g ◦ f )′(1,−1, 1).




En t = 0, una partıcula surt disparada de la superfıcie x2 + 2y 2 + 3z2 enel punt (1, 1, 1) en la direccio normal a la superfıcie a una velocitat de 10unitats per segon. Quan creuara l’esfera x2 + y 2 + z2 = 103?

Solucio: t =√

1470 (√

359− 3)


Local Condicionats

Extrems de funcions

5 Extrems locals

6 Extrems condicionats


Local Condicionats

Extrems locals o relatius

Definicio (Extrem local)

Sigui f : D ⊂ Rn → R funcio. Diem que x0 ∈ D es un mınim local de fsi existeix δ tal que si x ∈ D i |x0 − x| < δ aleshores f (x) ≥ f (x0). Es diuque es un maxim local de f si f (x) ≤ f (x0).

Definicio (Punt fix o crıtic)

Un punt x0 ∈ D s’anomena punt fix si ∇f (x0) = 0.

Teorema

Sigui f : D ⊂ Rn → R amb parcials segones contınues en D. Si x0 es unpunt fix de f aleshores f te en x0

mınim local si Hf (x0) es definida positiva (tots els valors propis deHf (x0) son positius).

maxim local si Hf (x0) es definida negativa (tots els valors propis deHf (x0) son negatius).

punt de sella si Hf (x0) te vaps positius i negatius.


Local Condicionats

Demostracio.Apliquem Taylor de segon ordre a f (x) al voltant de x0. Com es un puntestacionaria, tenim que ∇f (x0) = 0:

f (x) ∼ T (x) = f (x0) +∇f (x0)︸︷︷︸0

(x− x0) +1

2(x− x0)Hf (x0)(x− x0)

quan x proper a x0. Per tant,

f (x)− f (x0) ∼ 1

2(x− x0)Hf (x0)(x− x0)

Si 12 (x− x0)Hf (x0)(x− x0) ≥ 0 ⇒ f (x) ≥ f (x0) i x0 es mınim local.

La condicio (x− x0)Hf (x0)(x− x0) ≥ 0 per a tot x (matriu Hf (x0) def.positiva) es pot definir amb diferents criteris. El mes senzill es usar elsvaps, ja que si en una base la matriu te tota la diagonal positiva,multiplicada dos cops per x quedara positiu.


Local Condicionats

Exercici resolt

Calcula els extrems locals de f (x , y) = x3 + y 3 − 3xy .

Primer determinem els punts fixos:

∇f (x) = 0⇒(3x2 − 3y , 3y 2 − 3x

)= (0, 0)

d’on x2 − y = 0 i y 2 − x = 0. Aıllant y de la primera igualtat isubstituınt-la en la segona:

(x2)2 − x = x4 − x = x(x3 − 1) = x(x − 1)(x2 + x + 1) = 0

que te arrels

x1 = 0 , x2 = 1 , x3,4 =1

2± 1

2i√

3

Estem en els reals, per tant nomes tenim en compte les arrels x1 = 0 ix2 = 1. Els punts fixos son (y = x2):

x = 0, y = 0: P(0, 0)

x = 1, y = 1: Q(1, 1)


Local Condicionats

El segon pas es determinar quins son maxims, mınims o p.s. Per aixo, calcalcular els vaps de la matriu hessiana avaluada en els punts fixos:

Hf (x) =

(6x −3

−3 6y

)

En P(0, 0):

Hf (P) =

(0 −3

−3 0

)⇒ Valors propis: − 3 , 3⇒ Punt de sella.

En Q(1, 1):

Hf (Q) =

(6 −3

−3 6

)⇒ Valors propis: 9 , 3⇒ Mınim local.


Local Condicionats

Extrems condicionats

Estudiar el document adjunt i el capıtol 2 del llibre “Calculo avanzadopara Ingenierıa.Teorıa, problemas resueltos y aplicaciones”.


Integrals simples Integrals multiples Aplicacions

4. Calcul Integral

7 Integracio a RDefinicio i interpretacioMetodes de calcul de primitivesAplicacions

8 Integracio a Rn

Integral dobleDefinicio i interpretacioPrincipi de Cavalieri i teorema de FubiniIntegracio sobre dominis generals

9 AplicacionsArees i volums


Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Definicio i interpretacio Calcul de primitives Aplicacions

Integral de Riemann

Abans d’introduir el concepte d’integral per una funcio de variesvariables, recordem la definicio d’integral definida per una funcio d’unicasola variable.

(a) Area sota f (x) (b) Area elemental

(c) Aproximacio de l’area to-tal.

Figura: Idea de l’integral en el sentit de RiemannGisela Pujol Funcions de varies variables


Explicacio de la Figura

Donada f : [a, b]→ R funcio acotada i positiva, es vol determinar l’areaA, limitada per la grafica de f , l’eix d’abscises i les rectes d’equacionsx = a i x = b, com s’indica en la figura anterior (a).Una possible aproximacio de l’area consisteix en efectuar una particio pde l’interval [a, b] en n subintervals d’amplada ∆x :

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b

de manera que en cada subinterval, [xi−1, xi ], s’aproxima l’area sota lacorba mitjancant l’area del rectangle d’alcada f (ξi ) on ξi ∈ [xi−1, xi ], i debase el segment [xi−1, xi ], com s’observa en la figura anterior (b) i (c):

∆A = f (ξi ) ·∆x

L’area total que aproxima sera la suma de totes aquestes arees:Arect = Σ ∆A.Es diu que una funcio es integrable si el valor d’aquesta suma esindependent de la manera de la manera de com es fa la particio.



Integracio a R

Sigui f : [a, b] ⊂ R→ R una funcio d’una variable i considerem unaparticio a = x0 < x1 < · · · < xN = b de l’interval [a, b].

Definim la integral definida∫ b

af (x) dx com el lımit quan N →∞

(respecte de totes les particions de [a, b]) de la sumaN∑i=1

f (xi )∆(xi )

de les arees dels rectangles d’alcada f (xi ) i base ∆(xi ) = xi − xi−1.

Interpretem∫ b

af (x) dx com l’area (amb el signe de f ) compresa

entre y = 0, y = f (x), x = a i x = b.

Calculem∫ b

af (x) dx mitjancant la regla de Barrow: si F (x) es una

primitiva de f (x) (i.e. F ′(x) = f (x)) aleshores∫ b

af (x) dx = F (b)− F (a).

Idea: Si definim F (x) :=∫ xaf (t) dt tenim que F (x + h)− F (x) ≈ f (x)h per h ≈ 0. Per

tant F ′(x) = f (x) = F ′(x) i F (x) = F (x) + C . Aixı doncs

F (b)− F (a) = F (b)− F (a) = F (b) =∫ baf (x) dx .



Metodes de calcul de primitives

Llista de primitives immediates (inversa de la llista de derivades)

Canvi de variables x = f (t), dx = f ′(t) dt (inversa de la regla de lacadena)

Integracio per parts∫

u(x)dv(x) = u(x)v(x)−∫

v(x)du(x) (inversade la derivada d’un producte)

Manipulacions algebraiques:∫

(f + g) =∫

f +∫

g ,∫

c f = c∫

f ,descomposicio de funcions racionals en fraccions simples,...



Aplicacions

Calcul d’arees entre dues funcions f2(x) ≥ f1(x):

A =

∫ b

a

(f2(x)− f1(x)) dx

Calcul de volums de revolucio:

V = π

∫ b

a

f (x)2 dx

Calcul de longituds de corbes y = f (x):

L =

∫ b

a

√1 + f ′(x)2 dx


Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Doble Definicio Fubini Dominis generals Canvi de variables

Integracio doble

Donada f : [a, b]× [c , d ] ⊂ R2 → R, volem determinar el volum limitatper la grafica de f i els plans x = a, x = b, y = c , y = d , como s’indicaen la figura seguent (a) aquı sota.Una primera idea per aproximar el volum consisteix en efectuar particionsdels intervals [a, b] i [c , d ] en n i m subintervals respectivament (veurefigura (b))

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b

c = y0 < y1 < y2 < · · · < ym−1 < ym = d

de manera que en cada rectangle, [xi−1, xi ]× [yj−1, yj ], s’aproxima elvolum sota la superfıcie usant el volum del paralelepıped d’alcada f (ξi , ηj)per algun (ξi , ηj) ∈ [xi−1, xi ]× [yj−1, yj ] (veure figura seguent (c)-(d)).



-1-0,5 y

00,5

1-1

-0,50

x0,51

(a) Volumen sota f (x , y) (b) Particio de la base

(c) Volum elemental

-10-1-0,5-0,5

0,5

00

1

0,50,5

11

1,5

(d) Aproximacio del volum

Figura: Idea de la integral doble



Integracio a Rn

Sigui f : D ⊂ Rn → R una funcio definida en un “prisma”

D = [a1, b1]× · · · × [an, bn] i considerem particions {x (ki )i }

Ni

ki=0 de cadainterval [ai , bi ].

Definim la integral∫D

f (x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn com el lımit quanNi →∞ (respecte de totes les particions) de la suman∑

i=1

Ni∑ki=1

f (x(k1)1 , . . . , x

(kn)n )∆(x

(k1)1 ) · · ·∆(x

(kn)n ) dels volums dels

paral.lelepıpeds d’alcada f (x(k1)1 , . . . , x

(kn)n ) i bases

∆(x(ki )i ) = x

(ki )i − x

(ki−1)i per i = 1, . . . , n.

Interpretem la integral∫D

f (x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn com el volum(n + 1)-dimensional (amb el signe de f ) determinatpel prisma D i la grafica de la funcio f (x1, . . . , xn).



Principi de Cavalieri i teorema de Fubini

Principi de Cavalieri: El volum es una integral d’arees (l’area es unaintegral de longituds,...)

Mes concretament, sigui R una regio compacta de R3 i denotem perA(z0) l’area de R ∩ {z = z0}. Llavors el volum de R es igual a

V (R) =∫ b

aA(z) dz on z = a i z = b son els plans horitzontals entre

els quals es troba la regio R.

Mes generalment, aplicant el principi de Cavalieri als plansxn =constant resulta que∫

Dn

f (x) dx1 . . . dxn =

∫ bn

an

∫Dn−1

f (x1, . . . , xn−1,

fixada︷︸︸︷xn ) dx1 . . . , dxn−1

︸︷︷︸

funcio de la variable xn

dxn,

on Dn−1 = [a1, b1]× · · · × [an−1, bn−1] i Dn = Dn−1 × [an, bn].



Teorema de Fubini

Iterant aquest proces, podem calcular la integral multiple de f sobre elprisma Dn = [a1, b1]× · · · × [an, bn] mitjancant integrals simples iterades:∫

Dn

f (x) dx1 · · · dxn =

∫ bn

an

(∫ bn−1

an−1

· · ·

(∫ b1

a1

f (x)dx1

)· · · dxn−1

)dxn.

Teorema de Fubini:Si la funcio f es prou regular per que tot hi estigui ben definit(per exemple, si f es contınua) aleshores la integral multiple∫Dn

f (x) dx1 · · · dxn es pot calcular com una integral iteradaamb una ordenacio qualsevol de las variables x1, . . . , xn.



Integracio sobre dominis generals

Questio: Que succeeix si el domini d’integracio D no es un prisma[a1, b1]× · · · × [an, bn]?

Resposta: La situacio es tecnicament mes complicada pero el principi deCavalieri i el teorema de Fubini continuen sent valids. La unica diferenciaes que els extrems d’integracio en les integrals iterades poden dependrede les variables que queden per integrar.

Exemple: Si D = {(x , y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} aleshores∫D

f (x , y) dx dy =

∫ b

a

(∫ g2(x)

g1(x)

f (x , y) dy

)dx .

Si D = {(x , y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d , h1(y) ≤ x ≤ h2(y)} llavors∫D

f (x , y) dx dy =

∫ d

c

(∫ h2(y)

h1(y)

f (x , y) dx

)dy .



(a) Funcio definida en la regio D (b) Regio d’integracio

(c) Metode d’integracio

Figura: Integracio sobre regions mes generals



Exemple

Calcula el volum delimitat por la funcion f (x , y) = x en el dominiodelimitado por las funciones y = 2x y y = x(x − 2).

8

6

4

x

2

043210

a b

! (x)

! (x)

1

2

Figura: Domini d’integracio



Primer cal trobar els punts d’interseccio de la figura:{y = 2xy = x(x − 2)

⇒ x = 0 , x = 4

Per tant:a = 0 ≤ x ≤ b = 4

Per a un x fixat es te que

φ1(x) = x(x − 2) ≤ y ≤ φ2(x) = 2x

Per tant, per a calcular el volum sota la superfıcie, s’ha de determinar:∫ 4

0

∫ 2x

x(x−2)

f (x , y) dy dx

Aplicant Fubini:∫ 4

0

∫ 2x

x(x−2)

x dy dx =

∫ 4

0

x∣∣∣y=2x

y=x(x−2)dx =

∫ 4

0

x(2x − x(x − 2)) dx

=

∫ 4

0

4x2 − x3 dx =4

3x3 − 1

4x4∣∣∣x=4

x=0=

44

3− 43 ' 21, 3 .



Canvis de variables

Expresar un domini general D ⊂ Rn de la forma

a1 ≤ x1 ≤ b1,a2(x1) ≤ x2 ≤ b2(x1),

· · ·an(x1, . . . , xn−1) ≤ xn ≤ bn(x1, . . . , xn−1)

pot no ser facil (i ni tan sols possible). Per aixo ens interessara trobarmaneres de “simplificar” l’expressio de D. Un metode per portar a termeaixo es fer un canvi de variables, i.e. considerar una aplicacio diferenciable

g : U ⊂ Rn −→ V ⊂ Rn

(t1, . . . , tn) 7−→ (g1(t1, . . . , tn), . . . , gn(t1, . . . , tn))

amb inversa h = g−1 diferenciable

h : V ⊂ Rn −→ U ⊂ Rn

(x1, . . . , xn) 7−→ (h1(x1, . . . , xn), . . . , hn(x1, . . . , xn))



Teorema del canvi de variables per a integrals

Teorema (Canvi de variables)

Si g : U ⊂ Rn → V ⊂ Rn es un canvi de variables if : D ⊂ V ⊂ Rn → R es una funcio aleshores∫

D

f (x) dx1 · · · dxn =

∫g−1(D)

f (g(t)) Jg dt1 . . . dtn

on Jg = | det(dg(t)| s’anomena jacobia del canvi.

Exemples de canvis de variables:

polars de R2: g(r , α) = (r cosα, r sinα) i Jg = r .

polars generalitzades de R2: g(r , α) = (a r cosα, b r sinα) iJg = a b r .


Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Arees i volums

Arees i volums

Si D ⊂ R2 aleshores l’area de D es pot calcular mitjancant

A(D) =

∫D

dA =

∫D

dx dy .

Volum de la regio definida entre z = 0 i la funcio z = f (x , y), ambbase D ∈ R2 es pot calcular mitjancant

V (D) =

∫D

f (x , y)dA =

∫D

f (x , y)dx dy .

Valor promig: f :=

∫ ∫D

f (x , y) dx dy∫ ∫D

dx dy



Exemple

Evaluar∫∫

Dln(x2 + y 2)dxdy donde D es la region en el primer cuadrante

que esta entre los cırculos x2 + y 2 = a2, y x2 + y 2 = b2, siendo0 < a < b.

ResolucioJa que la regio d’integracio es circular, conve utilitzar el canvi de variablea coordenades polars per a simplificar els calculs.∫∫

D

f (x , y)dxdy =

∫∫D′=ϕ−1(D)

f (ϕ(r , θ))|Jg (r , θ)| dr dθ



Aplicant el canvi a polars, la funcio f (ϕ(r , θ)) resulta

f (ϕ(r , θ)) = ln(r 2 cos2 θ + r 2 sin2 θ) = ln(r 2)

D ′ es el conjunt de la figura anterior, ja que θ ∈[0,π

2

]i r ∈ [a, b].∫∫

D

f (x , y)dx dy =

∫∫D′

f (ϕ(r , θ))|Jg (r , θ)| dr dθ =

∫∫D′

r ln(r 2) dr dθ

=

∫ π2

0

∫ b

a

2r ln(r) dr dθ =

∫ π2

0

[r 2 ln(r)− r 2

2

]ba

dθ

=

∫ π2

0

(b2 ln b − b2

2

)−(a2 ln a− a2

2

)dθ

=

[θ

(b2 ln b − a2 ln a− b2

2+

a2

2

)]π2

0

Per tant,∫∫D

ln(x2 + y 2)dx dy =π

2

(b2 ln b − a2 ln a− b2

2+

a2

2

)Gisela Pujol Funcions de varies variables

Corbes Camps conservatius Green Int. superficie

5. Calcul Vectorial

10 Integrals sobre corbesParametritzacions de corbes i superfıciesIntegrals de trajectoriaIntegrals de lınia. Circulacio d’un camp

11 Camps conservatius

12 Teorema de Green

13 Integral de superfıcie


Corbes Camps conservatius Green Int. superficie Parametritzacions Int. traject. Int.lınia

Parametritzacions de corbes de R2

Sigui C ⊂ R2 una corba donada per una equacio f (x , y) = 0.

Definicio: Una parametritzacio de C es una aplicacio diferenciableα : [a, b] ⊂ R→ R2, donada per dues funcions α : t 7→ (x(t), y(t)) talsque f (x(t), y(t)) ≡ 0.

Exemple 0: C = {x2 + y 2 = 1} circumferencia de radi 1. Parametritzacioα : [0, 2π]→ C , t 7→ (cos t, sin t) ja que cos2 t + sin2 t = 1.

Exemple 1: C = {x2 + y 2 = R2} circumferencia de radi R. Podem

reescriure l’equacio com(xR

)2+(yR

)2= 1 i parametritzar C per

α(t) = (R cos t,R sin t).

Exemple 1 general: C = {(xa

)2+(yb

)2= 1} el.lipse de semieixos a, b > 0.

Parametritzacio α : t ∈ [0, 2π]→ (a cos t, b sin t).

Exemple 2: C = {y = x2} parabola. Parametritzacio α : R→ C ,α(t) = (t, t2).Exemple 2 general: C = {y = f (x)} grafica. Parametritzacioα : t ∈ R 7→ (t, f (t)).



Integrals de trajectoria

Si α : [a, b] ⊂ R→ C ⊂ R3, t 7→ α(t), es una parametritzacio d’unacorba C ⊂ R3 aleshores interpretem

t com el temps i dt com a un increment infinitesimal de temps

α′(t) com el vector velocitat i ‖α′(t)‖ com la velocitat escalar

diferencial de longitud dL = ‖α′(t)‖ dt com a un incrementinfinitesimal de longitud (= velocitat per temps infinitesimal)

Si ρ : C → R es una funcio (de densitat lineal d’alguna magnitud fısica)aleshores definim la integral de trajectoria de ρ mitjancant∫ B

A

ρ dL :=

∫ b

a

ρ(α(t)) ‖α′(t)‖ dt,

on A = α(a) i B = α(b).

Per exemple, si ρ = 1 aleshores∫ B

AdL mesura la longitud de l’arc de

corba C entre els punts A i B.



Integrals de lınia

Si t ∈ [a, b] 7→ α(t) ∈ C es una parametritzacio d’una corba C ⊂ R3 i~F : R3 → R3 es un camp vectorial aleshores definim

diferencial (vectorial) de desplacament com d~L = α′(t) dt.

vector tangent unitari ~t = α′(t)‖α′(t)‖ .

la integral de lınia de ~F sobre C mitjancant∫ B

A

~F · ~dL :=

∫ b

a

~F (α(t)) · α′(t) dt =

∫ B

A

(~F ·~t) dL

(“suma” de les parts tangents Ft := ~F ·~t de ~F al llarg de C ).

Es defineix el treball efectuat per una forca ~F sobre C com la diferenciad’energia cinetica T = 1

2 mv 2 entre els extrems de C :

T (B)− T (A) =

∫ b

a

d

dtT (α(t)) dt =

∫ b

a

~F (α(t)) · α′(t) dt =

∫ B

A

~F · ~dL,

d

dtT (α(t)) =

1

2m

d

dt

(α′(t) · α′(t)

)= mα′′(t) · α′(t) = ~F (α(t)) · α′(t).



Camp conservatiu i funcio potencial

Si C es una corba tancada i orientada, l’integral de lınia∫C~F · ~dL

s’anomena la circulacio de ~F al llarg de C .

Un camp de forces ~F es diu conservatiu o potencial quan el treballrealitzat sobre un camı qualsevol nomes depen dels seus extrems.Equivalentment, C tancada ⇒

∫C~F · ~dL = 0.

Si ~F = ∇f llavors ~F (α(t)) · α′(t) = ddt f (α(t)) i per tant

T (B)− T (A) =

∫ B

A

~F · ~dL =

∫ b

a

d

dtf (α(t)) dt = f (B)− f (A)

i el camp ~F es conservatiu.

Si ~F = ∇f llavors la quantitat E = T − f (l’energia total) es

constant al llarg de la trajectoria. Definim (l’energia) potencial de ~F

com V = −f de manera que ~F = −∇V .

Teorema: ~F conservatiu ⇔ ~F = −∇V ⇔ rot ~F := ∇× ~F = 0



Teorema de Green

Aquest teorema relaciona una integral de lınia al llarg d’una corbatancada simple C del pla R2 amb una integral doble sobre la regio D quedelimita C = ∂D.

Teorema de Green (formulacio classica):

Si ~F = (P(x , y),Q(x , y)) es un camp vectorial diferenciable sobre unaregio D ⊂ R2 aleshores orientant C = ∂D positivament tenim∫

C

~F · ~dL =

∫C

P dx + Q dy =

∫D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dx dy .

Exemple: Si ~F = (−y , x) aleshores ∂Q∂x −

∂P∂y = 2 i per tant∫

∂D

~F · ~dL = 2 A(D).



Integral de superfıcie

Volem calcular el fluxe que produeix un lıquid que es mou a velocitat−→V (t), en travessar una superfıce S :

Φ =

∫S

−→V (t) ·

−→ds

on−→ds =

−→N · ds, sent

−→N el vector normal a la superfıcie.

Calcul de la int. de superfıcie

Camp vectorial−→V (x , y , z).

Superfıcie S definida per z = f (x , y), amb (x , y) ∈ D, domini de R2.

Pas 1. Calcular el vector normal a la superficie z = f (x , y):

g(x , y , z) = z − f (x , y) = 0⇒−→N = ∇g = (−∂x f ,−∂y f , 1)

Pas 2. Φ =∫S

−→V (t) ·

−→ds =

∫∫D

−→V (x , y , f (x , y)) ·

−→N dA, amb dA = dx dy .


Documents

Funcions de Varies Variables