Ampliació de matemàtiques

PROBLEMES ENTREGAR

INSTRUCCIONS: Us recomano pensar i resoldre els exercicis en parelles. Aquest exercici

és de caràcter voluntari. Data d'entrega: 3 de desembre de 2012

CAS 1. FUNCIONS HIPERBÒLIQUES

Definició

Per tot nombre real x, es defineixen les funcions hiperbòliques com:

     sinus  hiperbòlic ∶    sinh(𝑥) = !!!!!!

!

     cosinus  hiperbòlic ∶    cosh(𝑥) = !!!!!!

!

     tangent  hiperbòlica ∶    tgh(𝑥) = !"#$(!)!"#$(!)

= !!!!!!

!!!!!!

Fórmules de derivació

!!"(sinh(𝑥)) = cosh(𝑥) ; !

!"(cosh(𝑥)) = sinh(𝑥) ; !

!"(tgh(𝑥)) = !

!"#$!(!)

Exercicis:

1. Demostreu que: cosh!𝑥 − sinh!𝑥 = 1

(equació de la hipèrbola 𝑥! − 𝑦! = 1, d'aquí el nom de funcions hiperbòliques)

2. Demostreu, a partir de les definicions donades, les regles de derivació de les tres

funcions hiperbòliques.

3. Calculeu la derivada de les següents funcions:

a) 𝑦 = 𝑥 ∙ senh 3𝑥

b) 𝑦 = tgh 1+ 𝑥!

c) 𝑦 = ln(cosh(𝑥!))

4. Calculeu els punts d'inflexió de 𝑓(𝑥) = sinh(𝑥)

5. Demostreu que sinh(2𝑥) = 2sinh(𝑥) ∙ cosh(𝑥)