�

Resolução das atividades complementares

MatemáticaM5 — Função Polinomial p. 63

1 (UFRJ) Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago.No plano A, paga-se uma assinatura de R$ 50,00 e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 40,00 para até 50 minutos em ligações locais e, a partir de 50 minutos, o custo de cada minuto em ligações locais é R$ 1,50.a) Calcule o valor da conta em cada plano para um consumo mensal de 30 minutos em ligações locais.b) Determine a partir de quantos minutos, em ligações locais, o plano B deixa de ser mais vantajoso do que

o plano A.

A: R$ 57,50 e B: R$ 40,00

a partir de 68 min

Resolução:a) Sejam A(t) e B(t) os valores das contas nos planos A e B, em função do tempo (em minutos) em

ligações locais.

A t

B tse t

t se t

( )

( )( )

5 1

5

1 2

5040 0 5040 50

0,25t

1,5 50

Sendo t 5 30 min, temos: A(30) 5 50 1 0,25 30 ⇒ A(30) 5 R$ 57,50 B(30) 5 R$ 40,00b) A(t) B(t) ⇒ t 50 ou 50 1 0,25t 40 1 1,5(t 2 50) t 68 minO plano B deixa de ser mais vantajoso a partir de 68 min em ligações locais.

�

2 (Vunesp-SP) Um laboratório farmacêutico tem dois depósitos, D1 e D2.Para atender a uma encomenda, deve enviar 30 caixas iguais contendo determinado medicamento à drogaria A e 40 caixas do mesmo tipo e do mesmo medicamento à drogaria B. Os gastos com transporte, por caixa de medicamento, de cada depósito para cada uma das drogarias, estão indicados na tabela.

R$ 10,00 R$ 14,00

R$ 12,00 R$ 15,00

A B

D1

D2

Seja x a quantidade de caixas do medicamento do depósito D1 que deverá ser enviada à drogaria A e y a quantidade de caixas do mesmo depósito que deverá ser enviada à drogaria B.a) Expressar:

• em função de x, o gasto GA com transporte para enviar os medicamentos à drogaria A;• em função de y, o gasto GB com transporte para enviar os medicamentos à drogaria B;• em função de x e y, o gasto total G para atender às duas drogarias.

b) Sabe-se que no depósito D1 existem exatamente 40 caixas do medicamento solicitado e que o gasto total G para atender à encomenda deverá ser de R$ 890,00, que é o gasto mínimo nas condições dadas. Com base nisso, determine, separadamente, as quantidades de caixas de medicamentos que sairão de cada depósito, D1 e D2, para cada drogaria, A e B, e os gastos GA e GB.

GA 5 360 2 2x; GB 5 600 2 y e G 5 960 2 2x 2 y

Resolução:a) Para a drogaria A vão x caixas do depósito D1, a R$ 10,00 cada uma, e 30 2 x caixas do depósito

D2, a R$ 12,00. Logo, GA 5 10x 1 12(30 2 x) ⇒ GA 5 360 2 2x. Para a drogaria B vão y caixas do depósito D1, a R$ 14,00 cada uma, e 40 2 y caixas do depósito

D2, a R$ 15,00. Logo, GB 5 14y 1 15(40 2 y) ⇒ GB 5 600 2 y. Daí, vem: G 5 GA 1 GB ⇒ G 5 960 2 2x 2 yb) Como, para as duas drogarias, os gastos com o depósito D1 são menores que os gastos com o

depósito D2, temos x 1 y 5 40, ou seja, y 5 40 2 x. De G 5 890, temos: 960 2 2x 2 y 5 890 ⇒ 960 2 2x 2 (40 2 x) 5 890 ⇒ x 5 30 Logo, y 5 40 2 30 ⇒ y 5 10. Assim, temos: 30 2 x 5 0 (caixas de D2 para A) 40 2 y 5 30 (caixas de D2 para B) GA 5 10 30 1 12 0 ⇒ GA 5 300 GB 5 14 10 1 15 30 ⇒ GB 5 590 Do depósito D1 sairão 30 caixas para a drogaria A e 10 caixas para a drogaria B. Do depósito D2 sairão 30 caixas para a drogaria B e nenhuma para a drogaria A. GA 5 300 e GB 5 590

�

3 (Fameca-SP) Os sistemas de cobrança de dois particulares pesque-pague combinam uma taxa de ingresso, fixa e individual, com o preço do quilo de peixe que o pescador leva para casa. Num deles, o pescador paga um valor equivalente a uma taxa de ingresso de R$ 8,00 mais R$ 6,00 por quilo de peixe que levar. No outro, paga um valor equivalente a uma taxa de ingresso de R$ 2,00 mais R$ 8,00 por quilo de peixe que levar. Nessas condições:a) dê as leis que descrevem os dois sistemas de cobrança e faça os respectivos gráficos, num mesmo sistema

de coordenadas, tomando o “peso” no eixo das abscissas e o valor total a ser pago pelo pescador no eixo das ordenadas;

b) com base nos gráficos, faça uma discussão quanto aos intervalos de “peso” em que um pesque-pague é mais vantajoso que o outro.

4 (Unicamp-SP – adaptado) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada bandei­rada, e uma parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,44 e cada quilômetro rodado custa R$ 0,86:a) expresse o valor P a ser pago em função da distância x (em quilômetros) percorrida;b) calcule o preço de uma corrida de 11 km;c) calcule a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 21,50 pela corrida.

Resolução:a) 1o) P1(x) 5 8 1 6 x 2o) P2(x) 5 2 1 8 x

preço (R$)

peso (kg)30

2

810

20

30

26

40

P2(x)

P1(x)

b) O 2o pesque-pague é mais vantajoso para quantidades de peixe de 0 a 3 kg. Já o 1o pesque-pague passa a ser mais vantajoso para quantidades de peixe superiores a 3 kg.

Resolução:a) P(x) 5 3,44 1 0,86xb) P(11) 5 3,44 1 9,46 P(11) 5 R$ 12,90c) P(x) 5 21,50 0,86x 5 21,50 2 3,44 x 5 21 km

P(x) 5 3,44 1 0,86xR$ 12,90

21 km

�

6 (UFOP-MG) Um grupo de 100 pessoas fez um contrato com uma empresa aérea para viajar nas férias. A empresa cobrará R$ 2 000,00 por passageiro que embarcar e R$ 400,00 por passageiro que desistir da viagem.a) Qual a relação entre a quantia de dinheiro que a empresa receberá do grupo e o número de passageiros

que irão embarcar?b) Quantos passageiros deverão embarcar para que a empresa receba R$ 136 000,00?

7 Dadas as funções f e g, cujas leis são f(x) 5 ax 1 4 e g(x) 5 bx 1 1, calcule a e b de modo que os gráficos das funções interceptem-se no ponto (1, 6).

5 Construa, usando o sistema cartesiano ortogonal, o gráfico das funções dadas por: a) f(x) 5 x 1 3 b) f(x) 5 2x 1 1 c) f(x) 5 2x 1 4 d) f(x) 5 3x

p. 64

y 5 1 600x 1 40 00060

Resolução:

a) 100 pessoas 2 000 por passageiro que viajar4000 por passageiro que desistir{

y 5 quantidade de dinheiro x 5 número de passageiros y 5 2 000x 1 (100 2 x) 400 ⇒ y 5 1 600x 1 40 000b) 136 000 5 1 600x 1 40 000 1 600x 5 136 000 2 40 000

x x passageiros5 596 0001 600

60⇒

Resolução:f(x) 5 ax 1 46 5 a 1 1 4a 5 2

g(x) 5 bx 1 16 5 b 1 1 1b 5 5

a 5 2 e b 5 5

Resolução:a) f(x) 5 x 1 3 b) f(x) 5 2x 1 1 c) f(x) 5 2x 1 4 d) f(x) 5 3x

x y

0 3 23 0

x y

0 1 1 3

x y

0 4 1 3

x y

0 0 1 3

y

3

x0�3

y

3

1

10 x

y

34

10 x

y

3

10 x

�

8 Construa, usando um sistema de coordenadas cartesianas, o gráfico da função f: IR ⇒ IR dado por

f xx se x

x se x( )

,,

5 2

1 2

2 13 1

A seguir, dê o conjunto imagem dessa função.

9 (Vunesp-SP) Apresentamos ao lado o gráfico do volume do álcool em função de sua massa, a uma temperatura fixa de 0 °C.Baseado nos dados do gráfico, determine:a) a lei da função apresentada no gráfico;b) qual é a massa (em grama) de 30 cm3 de álcool.

10 Identifique como crescente ou decrescente as seguintes funções do 1o grau:

a) y 5 5x 1 1 c) f x x( ) 5 22

1

b) y 5 22x 1 3 d) f(x) 5 8 2 x

volume (cm3)

50

(0, 0)

(40, 50)

40 massa (g)

Resolução:

a) y volume (cm )3

x massa g x( ); 0

y 5 ax 1 b ponto (0, 0): 0 5 a 0 1 b ⇒ b 5 0 ponto (40, 50): 50 5 a 40 1 b

Como b temos a a5 5 50 50 40 5

4, : .⇒

Logo, a lei da função é y x x5 54

0, .

b) y x x

A

5 5 530 30 54

24⇒ ⇒

massa é 24 g.

Resolução:� �2 1y x, se x

x y

y x se x

x y

�

� �

� �

� � � �

�

�

1 2

2 4

3 1

1 2

0

Im y � IIR y ou� � �2 2y

,

3

x y00

40 50

y x x5 54

0,

Resolução:a) y 5 5x 1 1 c) f x x

crescente

( )

,

5 2

5

21

12

0pois a crescente, pois a 5 5 0

b) y 5 22x 1 3 d) f(x) 5 8 2 x decrescente, pois a 5 22 , 0 decrescente, pois a 5 21 , 0

crescente

24 g

decrescente

crescente

decrescente

y

x

3

2

�2

�4

�1 0�2

�

11 (UFRJ) Um videoclube propõe a seus clientes três opções de pagamento:Opção I: R$ 40,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 1,20 por DVD alugado.Opção II: R$ 20,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 2,00 por DVD alugado.Opção III: R$ 3,00 por DVD alugado, sem taxa de adesão.Um cliente escolheu a opção II e gastou R$ 56,00 no ano.Esse cliente escolheu a melhor opção de pagamento para o seu caso? Justifique sua resposta.

12 Considere a função f(x) 5 (m 2 2) x 1 1, com m [ IR.a) Calcule m de modo que f seja crescente.b) Ache m para que f seja decrescente.

13 Escreva a lei da função correspondente ao gráfico.

4

y

x

3

2

1

�1 1 20

Não. A melhor opção seria a III.Resolução:Seja x o número de DVDs alugados e y o valor pago pelo aluguel. Logo:opção I: y 5 40 1 1,2xopção II: y 5 20 1 2xopção III: y 5 3xComo o cliente escolheu a opção II, temos:20 1 2x 5 56 ⇒ 2x 5 36x 5 18 DVDsSe o cliente tivesse escolhido a opção I, teria gasto:y 5 40 1 1,2 18 ⇒ y 5 40 1 21,60y 5 61,60Se o cliente tivesse escolhido a opção III, teria gasto:y 5 3 18 ⇒ y 5 54,00Portanto, o cliente não escolheu a melhor opção.A melhor opção seria a III.

m 2

m , 2Resolução:a) m 2 2 0 ⇒ m 2 b) m 2 2 , 0 ⇒ m , 2

Resolução:

14 2

14 2

15 2 1

5 1

2 5 2

5 15

2a ba b

a ba b

f xse x

⇒ ( ), 11

2 1 24 2

3 3 1 22

x se xse x

a a by x

1 , ,

5 5 55 1

,,

⇒ e

(I) 1, se x < 21 (II) (21, 1) e (2, 4) pertencem ao gráfico y 5 ax 1 b (III) 4, se x > 2

4

y

x

1

(I) (II)

(III)

�1 2

�

14 (UFES) É um fato conhecido que, qualquer que seja a substância, a sua temperatura permanece constante durante a fusão. No processo de aquecimento de uma certa substância, sua temperatura T (em °C) variou com o tempo (em minutos) de acordo com a seguinte lei:

T(t)5t, se 0

170, se 303t, se 50

5

1

1

20 3050

20

tt

tt

a) Esboce o gráfico de T como função de t.b) Qual a temperatura da substância no início do processo, isto é, quando t 5 0?c) Qual a temperatura da substância decorridas 3 horas do início do processo?d) Sabendo-se que houve fusão da substância, em qual intervalo de tempo ela ocorreu?e) Em que intervalo de tempo houve a maior variação da temperatura por minuto? Explique sua resposta.

p. 67

15 (Esam-RN) Os valores de x que satisfazem a inequação 5(x 1 2) 2 7 < 3x 2 2 correspondem à alternativa:

a) S x x 25

5 [ IR{ } d) S x x 53

5 [ IR{ }b) S x x 5

25 2[ IR{ } e) S x x 7

55 [ IR{ }

c) S x x 52

5 [ IR{ }

Resolução:a)

b) t 5 0 ⇒ T 5 20 °Cc) 3 horas 5 3 60 5 180 min T 5 20 1 3t T 5 20 1 540 5 560 °Cd) de 30 a 50 min

e) (I)

(II)

170 2030 0

5

200 17060 50

3

22

5

22

5

A maior variação ocorre nos primeiros 30 minutos.

T

t100

2020

170

200

100

20 30 40 50 60

Resolução:5 2 7 3 2 5 10 7 3 2 2 5 5

2( )x x x x x x1 2 2 1 2 2 2 2

5

⇒ ⇒ ⇒

S x [ IRR x 52

2{ }

�

16 Estude a variação do sinal das seguintes funções do 1o grau:a) f(x) 5 x 1 5 c) f(x) 5 2 2 3x

b) y 5 23x 1 9 d) y x5 23

1

17 Determine o ponto (x, y) em que cada gráfico das seguintes funções do 1o grau corta o eixo x, sem construir o gráfico.

a) f(x) 5 23x 1 2 c) y x5 212

15

b) y 5 2x 2 3 d) y x5 212

Resolução:a) a 5 1 0 zero da função: x 1 5 5 0 ⇒ x 5 25

b) a 5 23 , 0 zero da função: 23x 1 9 5 0 ⇒ x 5 3

c) a

zero da função: 2

5 2 ,

2 5 5

3 0

3 0 23

x x⇒

d) a

x

5

2 5 5

13

0

31 0 3zero da função: x⇒

�5�x

�f xf xf x

( )( )( )

5 5 2

2

,

0 50 50

para xpara xpara x , 25

3 �x

�f xf xf x

( )( )( )

5 5

,

,

0 30 30

para xpara xpara x 3

x23

�

�

y

y

y

5 5

,

,

0 23

0 23

0 23

para x

para x

para x

�x

�

3

yyy

5 5

, ,

0 30 30 3

para xpara xpara x

(2, 0)

23

0,( )32

0,( )25

0,( )Resolução:

a x x

b x x

c

) ,

) ,

)

2 1 5 5

2 5 5

3 2 0 23

23

0

2 3 0 32

32

0

⇒ ⇒

⇒ ⇒

( )( )

112

15

0 25

25

0

12

0 2 2 0

x x

d x x

2 5 5

2 5 5

⇒ ⇒

⇒ ⇒

,

) ,

( )( )

�

18 (FGV-SP) Seja a função f, de IR em IR, dada por f(x) 5 kx 1 t, onde k e t são constantes reais. Se os pontos (21, 3) e (0, 21) pertencem ao gráfico de f, então:

a) f é crescente, ; x [ IR d) f(x) , ,0 14

se x

b) 34

0é raiz da equação f(x) 5

e) f(x) 20 14

se x

c) o ponto (210, 41) pertence ao gráfico de f

19 (UFPE) Um feirante comprou maçãs por R$ 0,20 a unidade e as revendeu por R$ 0,30 a unidade, ficando com uma sobra de 30 maçãs, que foram descartadas. Indique quantas dezenas de maçãs o feirante comprou, sabendo que seu lucro foi de R$ 30,00.

p. 68

20 (UEL-PR) O custo C, em reais, da produção de x exemplares de um livro é dado por C(x) 5 2 000 1 3,5x. Se cada exemplar é vendido por 8 reais, quantos exemplares, no mínimo, devem ser vendidos para que a editora não tenha prejuízo?a) 438 c) 445 e) 455b) 442 d) 450

Resolução:f x kx t

Como fk t

t

( )

( )

5 1

2 5 5 22 1 5

5f( ) e 1, temos:1 3 0

322

5 2 5 2

5 2 2

11

1

Logo, k 4 e

4x é uma função

t

f x

.

( ) decrescente.

Raiz: 4x2 2 5 5 2

2

1 0 14

0

⇒ x

f x se x( ) 114

�

x

�

�14

Resolução:Seja n o número de maçãs. Logo:0,3(n 2 30) 2 0,2n 5 30 ⇒ 0,3n 2 9 2 0,2n 5 30 ⇒ n 5 390

O número de dezenas é: 39010

395 dezenas.

Resolução:8x > 2 000 1 3,5x4,5x > 2 000 ⇒ x > 444,44Logo, 445 livros.

39 dezenas

�0

21 Mário é proprietário de um terreno de forma retangular na cidade de Iapé, cujas dimensões estão especificadas na figura. De acordo com a legislação da Prefeitura Municipal da referida cidade, as edificações devem ocupar o mínimo de 45% e o máximo de 60% da área total do terreno. Para que o prédio que Mário deseja construir (área azul na figura) se enquadre nas exigências legais, determine todos os valores possíveis de x.

12 m

10 m 20 m

x

22 Resolva as inequações:

a) 5x 2 2(x 1 2) > 1 2 (3 2 4x) b) 3 12

14

12

( )x x12

2

23 (FEI-SP) Resolva o sistema de inequações:

x x

x3

25

2

3 64

0

22

,

2

( )

17 < x < 26

Resolução:

A m A f x x

f

T P5 5 5 51

30 12 360 102

12

45 360100

2; ( )

(xx

f x

I x

)

( )

( )

1

60 360100

162 216

162 102

12 16⇒ 22 6 60 17

102

12 216 6 60 216 2

1

1 1

x x

II x x x

⇒

⇒ ⇒( ) 66

S 5 {x [ IR | 17 < x < 26}

(I)17

17

26

26

(II)

(I) � (II)

{x [ IR | x < 22} {x [ IR | x < 21}

Resolução:a) 5x 2 2(x 1 2) > 1 2 (3 2 4x) 5x 2 2x 2 4 > 1 2 3 1 4x x < 22 S 5 {x [ IR | x < 22}

b) 6 14

14

24

1

1

( ) ( )

{ | }

x x x12

2 2

5 2

⇒

S x x[ IR

{x [ IR | 6 , x , 12}

Resolução:

x x x

x I x II3

25

2 3 64

0

12 6

22

,2

,

( )

( ) ( )

S 5 {x [ IR | 6 , x , 12}

(I)

6 12

12

6(II)

(I) � (II)

��

24 (Fumec-MG) Um esquálido vira-lata percebe um feroz e robusto pi­tbull a 30 metros de distância e, imediatamente, enceta, em trajetória retilínea, uma fuga desesperada! Exatamente no mesmo instante, o atento predador parte-lhe atrás... Ocorre que a saúde do primeiro só lhe permite percorrer 50 metros por minuto; já o excelente condicionamento do segundo possibilita-lhe uma velocidade de 60 m/min. Passados quantos minutos iniciar-se-á a agonia do pobre cão de rua?a) 2 c) 3b) 4 d) 5

25 (UFG) Para organizar uma competição esportiva tem-se um custo de R$ 2 000,00. Se a taxa de inscrição por participante para essa competição é de R$ 30,00, determine a quantidade mínima de inscritos nessa competição, para que o valor arrecadado com a taxa de inscrição cubra o custo do evento.

Resolução:Do enunciado, temos:

As funções horárias do movimento são:• pi­tbull ⇒ sp 5 60t• vira-lata ⇒ sv 5 30 1 50tA agonia começa no instante do encontro. Assim:sp 5 sv ⇒ 60t 5 30 1 50t10t 5 30t 5 3 min

0 30 x (metros)

67 participantesResolução:Devemos ter n 30 > 2 000, em que n é o número de inscritos.Logo:n 30 > 2 000 ⇒ n > 66,66Como n é inteiro, a quantidade mínima de inscritos deverá ser de 67 participantes.

��

26 (Unicamp-SP) Uma empresa possui 500 toneladas de grãos em seu armazém e precisa transportá-las ao porto de Santos, que fica a 300 km de distância. O transporte pode ser feito por caminhões ou por trem. Para cada caminhão utilizado paga-se R$ 125,00 de custo fixo, além de R$ 0,50 por quilômetro rodado. Cada caminhão tem capacidade para transportar 20 toneladas de grãos. Para cada tonelada transportada por trem paga-se R$ 8,00 de custo fixo, além de R$ 0,015 por quilômetro rodado. Com base nesses dados, pergunta-se:a) Qual o custo de transporte das 500 toneladas de grãos por caminhões e por trem?b) Para as mesmas 500 toneladas de grãos, qual a distância mínima do armazém ao porto de Santos para que o

transporte por trem seja mais vantajoso que o transporte por caminhões?

Resolução:a) Custo com 1 caminhão: 125 1 0,5 300 5 275,00

Número de caminhões: 50020

5 25

Custo com 25 caminhões: 25 275 5 6 875,00 Custo por trem: o enunciado permite duas interpretações distintas – o custo pode ser dado por

500(8 1 0,015 300) 5 6 250,00 ou 500 8 1 0,015 300 5 4 004,50b) Seja d a distância, em km, a ser percorrida. O custo, em R$, por caminhão é 125 1 0,5d e, com 25 caminhões, é dado por

25(125 1 0,5d) 5 3 125 1 12,5 d. Com o transporte por trem, temos o custo, em R$: • pela 1a interpretação: 500(8 1 0,015d) 5 4 000 1 7,5d • pela 2a interpretação: 500 8 1 0,015d 5 4 000 1 0,015d Vejamos, nos dois casos, em que condições o custo por trem é menor.

1o caso: 4 000 1 7,5d , 3 125 1 12,5d 25d , 2875 d 175

2o caso: 4 000 1 0,015d , 3 125 1 12,5d 212,485d , 2875

d 87512,485

d 175 0002 497

70,084)

(

Resposta:a) O custo de transporte por caminhões é R$ 6 875,00 e por trem, dependendo da interpretação do

enunciado, é R$ 6 250,00 ou R$ 4 004,50.b) O transporte por trem será mais vantajoso para qualquer distância maior que 175 km, pela

1a interpretação, ou maior que 175 0002 497

km ( 70,084 km) , pela 2a interpretação.

Note que, em nenhum caso, podemos falar em distância mínima.

��

27 (Acafe-SC) O gráfico ao lado representa o gasto mensal que uma empreiteira tem com os encargos sociais de seus funcionários, em milhares de reais.Sabendo que o número x de funcionários oscila de 10 a 30, o gasto y que a empreiteira terá num mês, em reais, com 23 funcionários, será:a) 10 600 c) 9 600 e) 11 400b) 9 400 d) 1 200

x

6

0 3010

12

y

p. 71

28 Resolva as seguintes inequações-produto:

a) (2x 1 1) (2x 1 2) > 0 c) (x 2 1) (x 2 2) (x 1 4) 0b) (x 1 2) (2x 2 2) < 0

Resolução:A função é do 1o grau. Logo, y 5 ax 1 b.xy

bxy

a a5

55

5

55 1 5

06

63012

12 30 6 15

⇒ ⇒ ⇒

Portaanto, y x

Se x vem:

6 10,6 ou

5 1

5

5 1 5

15

6

2315

23

.

,

y y⇒ yy 5 10 600 reais

IR {x [ IR | 24 , x , 1 ou x 2}x 1

22[ IR2 x{ }

Resolução:a) (2x 1 1) (2x 1 2) > 0 f(x) 5 2x 1 1

2x 1 1 5 0 ⇒ x 5 2 12

�12

�

�

x

g(x) 5 2x 1 22x 1 2 5 0 ⇒ x 5 2

�

�

x2

f(x)

g(x)

f(x) � g(x)

�� �

�� �

�� �

� 12

�12

2

2

S x5 2 x 12

2[ IR{ }b) (x 1 2) (2x 2 2) < 0 f(x) 5 x 1 2 x 1 2 5 0 ⇒ x 5 22

�

�

x�2

g(x) 5 2x 2 22x 2 2 5 0 ⇒ x 5 22

�

�

x�2

f(x)

g(x)

f(x) � g(x)

� �

� �

� �

�2

�2

�2

S 5 IR

c) (x 2 1) (x 2 2) (x 1 4) 0 f(x) 5 x 2 1 x 2 1 5 0 x 5 1

g(x) 5 x 2 2 x 2 2 5 0 x 5 2

h(x) 5 x 1 4 x 1 4 5 0 x 5 24

�

�

1 x

�

�

2 x

�

�

�4 x

f(x)

g(x)

h(x)

f(x) � g(x) � h(x)

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

1

2

�4

1 2�4

S 5 {x [ IR | 24 , x , 1 ou x 2}

��

29 Resolva o sistema: x xx x x( )( )( )4 05 5 3 0

2

1 2 1 ,

{x [ IR | 3 , x < 4}

Resolução:x xx x x( )( )( )4 05 5 3 0

2

2 2 1 ,

x(4 2 x) > 0 (I)f(x) 5 xx 5 0

g(x) 5 4 2 x4 2 x 5 0 ⇒ x 5 4

�

�

0 x�

�

4 x

f(x)

g(x)

f(x) � g(x)

�

�

�

�

�

�

�

�

�

0

0 4

4

x(5x 1 5) (2x 1 3) , 0 (II)h(x) 5 xx 5 0

j(x) 5 5x 1 55x 1 5 5 0 ⇒ x 5 21

l(x) 5 2x 1 32x 1 3 5 0x 5 3

�

�

0 x

�

�

�1 x

�

�

3 x

h(x)

j(x)

l(x)

h(x) � j(x) � l(x)

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

0

3

�1

0 3�1

�1 30

3 4

40(I)

(II)

(I) � (II)

S 5 {x [ IR | 3 , x < 4}

��

30 Determine o conjunto solução das inequações-quociente:

a) xx

21

23

0 b) 3 1

12x

x21

31 Ache o conjunto verdade da inequação ( )( )x xx

2 12

1 3

50

{x [ IR | x , 23 ou x 2} {x [ IR | 21 , x < 3}

Resolução:a) f(x) 5 x 2 2 x 2 2 5 0 ⇒ x 5 2

g(x) 5 x 1 3x 1 3 5 0 ⇒ x 5 23

S 5 {x [ IR | x , 23 ou x 2}�

�

2 x�

�

�3 x

f(x)

g(x)

�

�

�

�

�

�

�

�

��3

�3 2

2

f(x)g(x)

b) 3 11

2 0 31

0 1xx

xx

x21

2 21

2⇒ ( )

f(x) 5 x 2 3 x 2 3 5 0 ⇒ x 5 3

g(x) 5 x 1 1x 1 1 5 0 ⇒ x 5 21

�

�

3 x�

�

�1 x

f(x)

g(x)

�

�

�

�

�

�

�

�

��1

�1 3

3

f(x)g(x)

S 5 {x [ IR | 21 , x < 3}

{x [ IR | 23 , x , 1 ou x 5}

Resolução:

a) f(x) 5 x 2 1 x 2 1 5 0 ⇒ x 5 1

g(x) 5 x 1 3 x 1 3 5 0 ⇒ x 5 23

h(x) 5 x 2 5 x 2 5 5 0 ⇒ x 5 5

�

�

1 x

�

�

x�3

�

�

x5

S 5 {x [ IR | 23 , x , 1 ou x 5}

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�3

1

f(x)

g(x)

h(x)

5

�3 1 5

f(x) g(x)h(x)�

��

32 Determine o conjunto solução da inequação m mm

12

2 2

32

32

.

33 (UERN) O conjunto solução da inequação 3 22

122

xx

é:

a) {x [ IR | x < 1 ou x 2} c) {x [ IR | 1 < x , 2} e) {x [ IR | 1 , x , 2}b) {x [ IR | x < 1 ou x > 2} d) {x [ IR | 1 < x < 2}

34 (UEL-PR) A soma de todos os números inteiros e positivos que satisfazem a inequação xx

xx2

2

44 é:

a) 2 c) 5 e) impossível de ser calculadab) 3 d) 9

S 5 {m [ IR | m , 2 ou m > 3}

Resolução:

m mm

mm

m12

21

22

3

23 0 3

20 2

2

⇒ ( )

f(x) 5 m 2 3m 2 3 5 0 ⇒ m 5 3

g(x) 5 m 2 2m 2 2 5 0 ⇒ m 5 2

�

�

3 x�

�

2 x

f(x)

g(x)

�

�

�

�

�

�

�

�

�2

2 3

3

f(x)g(x)

S 5 {m [ IR | m , 2 ou m > 3}

Resolução:3 22

1 0 3 22

0 12

022

2 2 2 2

2

2 12 1

xx

x xx

xx

⇒ ⇒(2 )

f(x) 5 2x 1 1

�

�

1 x

�

�

2 x

g(x) 5 2x 1 2

S 5 {x [ IR | x < 1 ou x 2}

f(x)

g(x)

�

�

�

�

�

�

�

�

�

1

1 2

2f(x)g(x)

Resolução:x

xx

xx x

x xx

x x22

2

2 22

22

4

4 0 44

0 8 164

02 2

⇒ ⇒( )( ) ( )

f(x) 5 8x 2 16 g(x) 5 x(x 2 4)

�

�

2 x�

� �

0 4 x

f(x)

g(x)

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

2

2

0

0

4

4f(x)g(x)

Inteiros positivos: 2 e 3Soma: 2 1 3 5 5

��

35 Determine o domínio das seguintes funções:

a) y x x5 2( )5 b) y xx

521

24

36 (FGV-SP) A solução da inequação xx

xx1

22

1 1

0 é:

a) x < 21 ou x > 1 c) 21 , x < 0 ou x 1 e) x 21 ou x 1 b) x , 21 ou 0 < x , 1 d) x < 0

{x [ IR | x < 0 ou x > 5} {x [ IR | x , 24 ou x > 2}

Resolução:a) x(x 2 5) > 0 f(x) 5 x ⇒ x 5 0

g(x) 5 x 2 5x 2 5 5 0 ⇒ x 5 5

�

�

0 x �

�

5 x

f(x)

g(x)

f(x) � g(x)

�

�

�

�

�

�

�

�

�

0

0 5

5

S 5 {x [ IR | x < 0 ou x > 5}

b) xx

21

1 24

0 4 0, com x

f(x) 5 x 2 2 x 2 2 5 0 ⇒ x 5 2

g(x) 5 x 1 4x 1 4 5 0 ⇒ x 5 24

�

�

2 x �

�

�4 x

f(x)

g(x)

�

�

�

�

�

�

�

�

��4

�4 2

2

f(x)g(x)

S 5 {x [ IR | x , 24 ou x > 2}

Resolução:x

xx

xx x x x

x xx

x

12

2

2 2 11 2

2

1 10

1 11 1

0

2

⇒

⇒ ( ) ( )( )( )

( 11 2

1 22

1 10

1 0 11 0 1

)( )x

xx

C.E.: xx

⇒⇒{

f(x) 5 22x22x 5 0 ⇒ x 5 0

�

�

0 x

g(x) 5 1 2 5 29 5 2

0 5( )( )x x x

x

x1 1 1

1

12

x1�1 �

��

f(x)

g(x)

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

0

0

�1

�1

1

1f(x)g(x)

S 5 {x [ IR | x , 21 ou 0 < x , 1}

��

37 (UFOP-MG) Resolva a inequação 1x

13

em IR.

38 (Esal-MG) Resolva a inequação 2 12

2 22

xx

2.

S 5 {x [ IR | x , 0 ou x > 3}

Resolução:C.E.: x 0

2 2

1 13

1 13

0 33

0x x

xx

⇒ ⇒

f(x) 5 3 2 x3 2 x 5 0x 5 3

g(x) 5 3x3x 5 0x 5 0

S 5 {x [ IR | x , 0 ou x > 3}�

�

3 x�

�

0 x

f(x)

g(x)

�

�

�

�

�

�

�

�

�0

3

0 3

f(x)g(x)

S 5 x x3

ou x[ IR 2 6{ }Resolução:

2 12

12

2

12

2 22

2

22

2

22

2

xx

I xx

II xx

( )

( )

Estudo dee (I):xx

com x

x xx

xx

12

2

1 1 22

22

22

2 2

2 2 42

0 3 2

,

⇒22

0

3 23 2 0

23

22 02

5 22 5

5

5 22 55

f x xx

x

g x xxx

( )

( )

�

�

x23

�

�

x2

SI 5 x x3

ou x[ IR 2 2{ }

Estudo de (II):xx

com x

x xx

12

1 2 12

22

2 2

2 2 42

0

,

⇒⇒ 2 12

5 2 1

2 1 5

5

x

xx

62

0

66 0

6

x

h x

x

( )

2

2

�

�

�

f(x)

g(x)

f(x)g(x)

�

�

�

�

�

�

23

23

�

�

x6

6

6

2

2

�

�

�

h(x)

g(x)

h(x)g(x)

�

�

�

�

�

�

(I)

(II)

(I) � (II)

2

2

6

6

23

23

SII 5 {x [ IR | x , 2 ou x > 6}

Resumo:

S 5 x x3

ou x[ IR 2 6{ }

��

39 Determine o domínio, em IR, da função f x x x( ) ( )( ).5 1 21 33

40 Resolva as seguintes inequações:a) (4x 1 5)5 , 0 b) (23x 2 12)4 0 c) (x 1 6)6 , 0

41 Resolva a inequação (x 2 2)8 (3 2 x)5 (4x 1 1)7 0.

D 5 IR

Resolução:O domínio da função é IR, pois todo número real possui raiz cúbica real. Logo, D 5 IR.

Resolução:a) ( )4 5 0

4 5 0 54

5x

x

1 ,

1 , , 2

5

quando:

, ou seja, x

S x [ IIR x4

, 2 5{ }b) (23x 2 12)4 positivo para: 23x 2 12 0, isto é, x 24 S 5 {x [ IR | x 24}c) (x 1 6)6 nunca será , 0. S 5 [

S x4

x e5 2 , , [ IR 1 3 2x{ }Resolução:a) (x 2 2)8 (3 2 x)5 (4x 1 1)7 0 Vamos estudar por partes: (I) (x 2 2)8

A expressão (ax 1 b)n, com n número par não-nulo, é sempre positiva ou nula. x 2 2 5 0 x 5 2

(II) (3 2 x)5

A expressão (ax 1 b)n, com n número ímpar e a , 0, será positiva quando

x

x

, 2

2 55

ba

x

.

3 03

(III) (4x 1 1)7

A expressão (ax 1 b)n, com n número ímpar e a 0, será positiva quando

x ba

2 .

4 1 014

x 1 5

5 2x

�

�

x3

S x4

x e5 2 , , [ IR 1 3 2x{ }

�

�

x�

14

(I)

(II)

(III)

(I) � (II) � (III) �

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

2

2

3

3

�14

�14

x x[ IR | , 2 54{ } {x [ IR | x 24}

S 5 [

�0

p. 75

42 Observando as seguintes funções quadráticas, diga se a parábola que representa o gráfico da função tem a concavidade voltada para cima ou para baixo. Justifique.a) y 5 x2 2 5x 1 6 c) y 5 3x2 e) y 5 1 2 4x2

b) y 5 2x2 2 x 1 6 d) y 5 2x2 2 4x f) y 5 2x2 1 x 1 6

43 Determine os zeros das seguintes funções:a) y 5 x2 1 2x c) f(x) 5 4 2 x2

b) f(x) 5 x2 2 7x 1 10 d) y 5 2x2 2 3x 1 4

44 Determine o valor de m para que a parábola que representa graficamente a função y 5 3x2 2 x 1 m passe pelo ponto (1, 6).

Resolução:a) para cima, pois a 5 1 (a 0)b) para baixo, pois a 5 21 (a , 0)c) para cima, pois a 5 3 (a 0)d) para cima, pois a 5 2 (a 0)e) para baixo, pois a 5 24 (a , 0)f) para baixo, pois a 5 21 (a , 0)

{0, 22} {22, 2}{2, 5} Não existe raiz real.

Resolução:

a) x x x oux xS

2 2 0 2 0 02 0 20 2

1 5 1 551 5 5 2

5 2

⇒ ⇒⇒

x(x )

{ , }

{b) x x

xx

xS

2 7 10 0 9

7 32

5

22 5

2 1 5 D 5

51 6 9 5

0 55 { , }

c) 4 2 x2 5 0 ⇒ x 5 62 S 5 {22, 2}d) 2x2 2 3x 1 4 5 0 D 5 223 Não existe raiz real.

m 5 4

Resolução:y 5 3x2 2 x 1 m(1, 6)

x y6 5 3(1)2 2 1 1 m ⇒ 6 5 3 2 1 1 m ⇒ m 5 4

��

45 Calcule a, b e c de modo que o vértice da parábola representativa da função f(x) 5 ax2 1 bx 1 c seja (1, 216) e que 23 seja um zero da função.

46 Determine o ponto V(xv, yv), vértice da parábola que representa o gráfico das seguintes funções:a) y 5 x2 2 6x 1 5 c) y 5 2x2 1 x 2 3 e) y 5 26x2

b) y 5 3x2 2 4x d) y 5 x2 2 4 f) y x x5 2 14 35

2

a 5 1, b 5 22 e c 5 215

Resolução:V(1, 216)y 5 ax2 1 bx 1 cSubstituindo os valores na equação, temos:216 5 a(1)2 1 b(1) 1 c ⇒ 216 5 a 1 b 1 c (I)0 5 a(23)2 1 b(23) 1 c ⇒ 0 5 9a 2 3b 1 c (II)

Temos:2a 2a

x b b b a IIIv 5 2 5 2 5 2⇒ ⇒1 2 ( )

Substituindo (III) em (I) e (II):216 5 a 2 2a 1 c ⇒ 216 5 2a 1 c0 5 9a 2 3(22a) 1 c ⇒ 0 5 9a 1 6a 1 c ⇒ 0 5 15a 1 c2a 1 c 5 216 (21)15a 1 c 5 0

a ca ca

2 5

1 5

5

1615 016 1

Substituindo em (III):

66 1 152 2

1 2 15⇒⇒

a cb a ba b c5 5 2

5 2 5 2

5 5 2 5 2e , ,

(3, 24) 12

114

, 2( ) (0, 0)23

43

, 2( ) (0, 24) 18

4380

,( )Resolução:a) y x x

x ba

ya

v

v

5 2 1

5 2 5 5

5 2 D 5 2 5 2

2

2 6 5

262

3

4164

4

3 4( , )

b) y x x

x

y

v

v

5 2

5 5

5 2 5 2

2

3 446

23

1612

43

23

43

2

,( )c) y x x

x

y

v

v

5 2 1 2

5

5 2

2

2 312

114

12

114

,( )

d) y 5 x2 2 4 xv 5 0 yv 5 24 (0, 24)

e) y 5 26x2

xv 5 0 yv 5 0 (0, 0)

f) y x x

x

y

v

v

5 2 1

5

5

4 35

184380

18

4380

2

,( )

��

47 (PUC-RS) Em uma fábrica, o número total de peças produzidas nas primeiras t horas diárias de

trabalho é dado por f t t t tt t

( ) ( ),( ),

.51

1 ,

50 0 4200 1 4 8

2

O número de peças produzidas durante a quinta hora de

trabalho é:a) 40 c) 1 000 e) 2 200b) 200 d) 1 200

48 (UERJ) Três corredores — I, II e III — treinam sobre uma pista retilínea. As posições ocupadas por eles, medidas a partir de um mesmo referencial fixo, são descritas pelas funções SI 5 5t 1 3, SII 5 2t 1 9 e SIII 5 t2 2 2t 1 9.Nessas funções, a posição S é medida em metros e o tempo t é medido em segundos.Durante a corrida, o número de vezes em que a distância entre os corredores I e II é igual à distância entre os corredores II e III corresponde a:a) 1 c) 3b) 2 d) 4

49 Determine o parâmetro real k, de modo que a função f(x) 5 x2 2 2x 1 k tenha:a) dois zeros reais diferentes b) um zero real duplo c) nenhum zero real

Resolução:A quinta hora é da 4a hora para a 5a hora.Logo: t 5 4h ⇒ f(4) 5 50(42 1 4) 5 1 000 peças t 5 5h ⇒ f(5) 5 200(5 1 1) 5 1 200 peçasLogo: f(5) 2 f(4) 5 200 peças

Resolução:Devemos ter:• SII 2 SI 5 SIII 2 SII ⇒ 2t 1 9 2 (5t 1 3) 5 t2 2 2t 1 9 2 (2t 1 9) 2t 1 9 2 5t 2 3 5 t2 2 2t 1 9 2 2t 2 9

t tt s

t sou2 6 0

3

22 2 5

9 5

0 5 2

(não serve)

• SI 2 SII 5 SII 2 SIII ⇒ 5t 1 3 2 (2t 1 9) 5 2t 1 9 2 (t2 2 2t 1 9) 5t 1 3 2 2t 2 9 5 2t 1 9 2 t2 1 2t 2 9

t tt s

t sou2 6 0

3

22 2 5

9 5

0 5 2

(não serve)Logo, o número de vezes é igual a 1.

k , 1 k 5 1 k 1Resolução:a) D 0 4 2 4k 0 ⇒ 24k 24 ⇒ k , 1b) D 5 0 4 2 4k 5 0 ⇒ k 5 1c) D , 0 4 2 4k , 0 ⇒ k 1

��

50 (Unifesp-SP) As figuras A e B representam dois retângulos de perímetros iguais a 100 cm, porém de áreas diferentes, iguais a 400 cm2 e 600 cm2, respectivamente.

A figura C exibe um retângulo de dimensões (50 2 x) cm e x cm, de mesmo perímetro que os retângulos das figuras A e B.

a) Determine a lei, f(x), que expressa a área do retângulo da figura C e exiba os valores de x que fornecem a área do retângulo da figura A.

b) Determine a maior área possível para um retângulo nas condições da figura C.

400 cm2600 cm2

Figura BFigura A

Figura C

50 � x

x

f(x) 5 (50 2 x)x e f(x) 5 400 ⇒ x 5 10 ou x 5 40625 cm2

Resolução:a) A área de um retângulo de base 50 2 x e altura x, com 0 , x , 50, é dada por f(x) 5 (50 2 x) x

(x em cm). Essa área é igual a 400 cm2 se, e somente se: f(x) 5 400 (50 2 x) x 5 400 x2 2 50x 1 400 5 0 x 5 10 ou x 5 40b)

f(x) 5 (50 2 x) x é máximo se, e somente se, x 5 25. f(25) 5 (50 2 25) 25 f(25) 5 625

625

0 25 50 x

f(x)

��

52 Determine para que valores de x é decrescente a função:

a) f(x) 5 3x2 2 4x 1 1 b) f(x) 5 2x2 2 1 c) f(x) 5 22x2 1 5x

51 Determine para que valores reais de x é crescente a função:

a) f(x) 5 2x2 2 6x 2 1 b) f(x) 5 x2 2 4 c) f(x) 5 22x2 1 3x

x x 23

[ IR { }x x 5

4[ IR { }

{x [ IR | x > 0}

Resolução:a) a

xv

5

5 5

3 046

23

(admite um valor mínimo)

f(x) é decrescente para x x 23

[ IR { }.

b) a 5 21 , 0 (admite um valor máximo) xv 5 0 f(x) é decrescente para {x [ IR | x > 0}.

c) a

xv

5 2 ,

5

2 054

(admite um valor máximo)

f(x) é deecrescente para x x 54

[ IR { }.

x x 32

[ IR { } {x [ IR | x > 0}

x x 34

[ IR { }Resolução:a) a

xv

5

5

2 032

(admite um valor mínimo)

f(x) é creescente para x x 32

[ IR { }.

b) a 5 1 0 (admite um valor mínimo) xv 5 0 f(x) é crescente para {x [ IR | x > 0}.

c) a

xv

5 2 ,

5

2 034

(admite um valor máximo)

f(x) é crrescente para x x 34

[ IR { }.

��

53 (IBMEC-SP) Em um edifício há 100 condôminos. Dados passados indicam que, se o valor do condomínio é igual a R$ 100,00, todos pagam o condomínio. Mas, a cada R$ 10,00 que o condomínio ultrapassa esse valor, um morador deixa de pagar o condomínio.a) Determine o valor do condomínio para que sejam arrecadados R$ 28 000,00 em determinado mês.b) Determine o valor do condomínio para que a arrecadação em determinado mês seja a maior possível.

Qual a porcentagem de inadimplentes neste caso?

R$ 700,00 ou R$ 400,00

R$ 550,00 e 45%

Resolução:a) Sendo x o valor mensal, em R$, do condomínio e p(x) o número de condôminos pagantes, temos:

DD

52p

x 101

e, portanto, p(x)

10b,5

21

1 x em que b é uma constante.

De p(100) 100, temos:

10

5

2 1 5

2 1 5

1 100 100

10 10

b

b 00 1101 110 100 1100

[ b

x x

5

52

1 Logo, p(x)10

. ( )

Para uma arrecadação mensal de R$ 28 000,00, devemos ter:

x p( ) 28

10110x

x2

5

21 5

2 1

x

x

x

0001 28 000

1100 280 00

2

00 0700 400

5

5 5x ou x Resposta: R$ 700,00 ou R$ 400,00

b) Sendo y 5 x p(x), com 100 < x < 1 100, temos:

y x x

y x

5 2 1

5 2 1

110

110

110

2

( )110x

O gráfico de y em função de x é um conjunto de pontos do arco da parábola de equação

y x5 2 1110

2 110x, com 100 < x < 1 100.

Sendo xv a abscissa do vértice da parábola, temos:

xv 5 2

25

5 2 1

110

2 1550

1 550 11

10

Temos p(550)10

( )00 555 .

Portanto, com o valor do condomínio igual a R$ 550,00, a arrecadação mensal é máxima e haverá 55 condôminos pagantes.

A porcentagem de inadimplentes, neste caso, é 100 55100

4525 %.

Resposta: R$ 550,00 e 45%

x

11005501000

y

��

54 (UFSC) As dimensões de um retângulo são dadas, em centímetros, pelas expressões: 2x e (10 2 2x), com 0 , x , 5. Determinar, nesse caso, o valor máximo da área, em centímetro quadrado, que esse retângulo pode assumir.

p. 76

55 (IME-RJ) Seja f: IR → IR uma função quadrática, tal que f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, com a 0, ; x [ IR. Sabendo que x1 5 21 e x2 5 5 são as raízes e que f(1) 5 28, pede-se:a) determinar a, b, c.b) calcular f(0).c) verificar se f(x) apresenta máximo ou mínimo, justificando a resposta.d) as coordenadas do ponto extremo.

25 cm2

Resolução:2x e (10 2 2x)0 , x , 5Área 5 2x(10 2 2x)Área 5 20x 2 4x2

xv 5 2 2

5 22

5204

2082

2,5( )

Áreamáx 5 20 2,5 2 4(2,5)2

Áreamáx 5 50 2 4 6,25Áreamáx 5 25 cm2

a 5 1; b 5 24; c 5 2525

mínimo, pois a 0(2, 29)

Resolução:

f(x)f(1)

5 1 1

9 5 2

0 5

5 2

ax bx c dadosxx co2

15

8, ,

mm a 0

a) 2 5 1 1

5 2 1

5 1 1 5 5 2 5 2

800 1 4 5

a b ca b c

c a b c25a 5b

b) f(0) 5 1 0 2 4 0 2 5 ⇒ f(0) 5 25c) mínimo, pois a 0

d) x yv v522

5 52 1

5 2 2( ) ( ) ( , )4 2 16 20 9 2 92 4(1)

��

56 (IBMEC-SP) A porcentagem p de bactérias em uma certa cultura sempre decresce em função do número t de segundos em que ela fica exposta à radiação ultravioleta, segundo a relação

p(t) 5 100 2 15t 1 0,5t2

a) Considerando que p deve ser uma função decrescente variando de 0 a 100, determine a variação correspondente do tempo t (domínio da função).

b) A cultura não será segura para ser usada se tiver mais de 28% de bactérias. Obtenha o tempo mínimo de exposição que resulta em uma cultura segura.

57 (Uniube-MG) A tabela abaixo fornece a profundidade de uma lagoa em relação à distância horizontal tomada a partir de um ponto de sua margem.

0 1 2

0 8 12

distância (km)

profundidade (m)

Se usarmos um polinômio de grau 2 para representar a profundidade como função da distância horizontal, então:a) a profundidade será igual a 8 m quando a distância for 3 km.b) a profundidade será igual a 14 m quando a distância for 3 km.c) a margem oposta do lago estará a 6 km do ponto de origem.d) o polinômio será p(x) 5 14x2 2 6x.e) a profundidade máxima será 12,5 m.

Resolução:a) p(t) 5 100 2 15t 1 0,5t2

p(t) 5 0,5(t2 2 30t 1 200) De t2 2 30t 1 200 5 0, temos t 5 10 ou t 5 20. Considerando que p é uma função decrescente e que 0 < p(t) < 100,

podemos concluir que seu domínio é o intervalo fechado [0, 10]. Resposta: [0, 10]

b) De p(t) 5 28, temos: 0,5t2 2 15t 1 100 5 28 ⇒ t2 2 30t 1 144 5 0 ⇒ t 5 6 ou t 5 24 Da condição 0 < t < 10, temos t 5 6 s. Como p é decrescente, temos p(t) < 28, para t > 6 (e t < 10).

Resolução:Representando a profundidade p em função da distância x por p(x) 5 ax2 1 bx 1 c e usando os dados da tabela, temos:p(0) 5 0 ⇒ p(0) 5 a 02 1 b 0 1 c ⇒ 0 5 cp(1) 5 8 ⇒ p(1) 5 a 12 1 b 1 1 0 ⇒ a 1 b 5 8

p(2) 5 12 ⇒ p(2) 5 a 22 1 b 2 1 0 ⇒ 4a 1 2b 5 12

De e , vem:

a b a bb

1 5

1 5 2

1 5

2 2 5 21

2 5

812 2

86

24a 2b 2a

a ( )

⇒

⇒⇒ a b5 2 5

5 2 1

2 10e

Logo: p(x) 2x 10x.2

A profundidade máxima ocorrerá quando:

y 5 5 2 D 5 2 2

5y4a

y4

12,5 mvértice vértice⇒ 1002( )

0 10 20

100

p(t)

t

[0, 10]

6 s

��

58 (UFES) Determine os possíveis valores reais que a e b podem assumir para que o gráfico da função f: IR → IR dada por f(x) 5 ax2 1 bx 1 1 encontre o eixo Ox em um único ponto P 5 (3, 0).

59 (Fatec-SP) Sejam as funções f e g, de V em V, definidas, respectivamente, por f(x) = 2 2 x e g(x) = x2 2 1. Com relação à função g f, definida por (g f) (x) = g[f(x)], é verdade que:a) a soma dos quadrados de suas raízes é igual a 16.b) o eixo de simetria de seu gráfico é y = 2.c) o seu valor mínimo é 2 1.d) o seu conjunto imagem está contido em [0, 1[.e) (g f) (x) , 0 se, e somente se, 0 , x , 3.

a b5 5 219

23

;Resolução:

f(x) ax bx f(3)

9a

9a 3b

3b

25 1 1 5

5 1 1

5 2 2

52 2

1 0

0 3 1

1

1

b

a99

0 0

4 19

1 0

49

0

2

2

D 5 2 5

2 2 2

5

11

5

[ b 4ac

( 3b

12b

9

2

b

b

)

bb 12b

e

2 1 1 5

D 5 5 2 5

4 0

0 23

19

b a⇒

Resolução:Se f(x) 5 2 2 x e g(x) 5 x2 2 1, então (g f)(x) 5 g[f(x)] 5 5 g[2 2 x] 5 (2 2 x)2 2 1 5 x2 2 4x 1 3.Sejam x1 e x2 as raízes de g f no plano cartesiano.Assim sendo, o gráfico de g f é:

Logo, o valor mínimo de g f é 21.

1 3

V

x

x � 2

y � (g � f) (x)

3

�1

��

60 (UFES) No tempo t = 0, o tanque de um automóvel está com 6 litros de combustível. A partir desse instante, ele é abastecido, e o volume de combustível no tanque aumenta a uma razão constante de 3 litros por minuto, durante 10 minutos. Logo em seguida, o automóvel entra em movimento e leva 3 horas para gastar todo o combustível e parar. Durante essas 3 horas, o volume de combustível no tanque, em litros, é descrito por uma função do 2o grau do tempo t, em minutos. O gráfico dessa função do 2o grau é uma parábola com vértice no ponto (190, 0).Designando por V(t) o volume de combustível no tanque, em litros, em função do tempo t, em minutos, para 0 < t < 190:a) determine a expressão de V(t) e esboce o seu gráfico;b) determine em quais instantes de tempo t, tem-se V(t) = 9. 1 min ou 100 min

Resolução:a) Como V(0) 5 6 e, para 0 < t < 10, V(t) aumenta a uma taxa constante de 3 litros por minuto,

então V(t) 5 3t 1 6, para 0 < t < 10. Como, para 10 < t < 190, V(t) é descrito por uma função quadrática de t, cujo gráfico é uma

parábola com vértice em (190, 0), então: V(t) 5 a (t 2 190)2, sendo a um número real.

Como V(10) 5 3 10 1 6 5 36, então V(10) 5 a (10 2 190)2 5 36 e, portanto, a 5 1900

.

Logo, para 10 < t < 190, V(t) 52( ) .t 190900

2

Assim, a expressão de V(t) é:

V(t)

3t5

1

2

6 0 10190

90010 190

2

,( ) ,

tt t

b) Para 0 < t < 10, V(t) 5 9 se, e somente se, 3t 1 6 5 9, isto é, t 5 1. Para 10 < t < 190,

V(t) 5 9 se, e somente se, ( ) ,t 25

190900

92

isto é, t 5 100. Logo, V(t) 5 9 se, e somente se, t 5 1

ou t 5 100.

6

36

100 190

V (�)

t (min)

�0

61 (UFV-MG) Uma indústria pode produzir, por dia, até 20 unidades de um determinado produto. O custo C (em R$) de produção de x unidades desse produto é dado por:

C(x)x(12 x)

32

51 2

2 1 ,

5 0 10

40 10 20

se x

x se x

a) Se, em um dia, foram produzidas 9 unidades e, no dia seguinte, 15 unidades, calcule o custo de produção

das 24 unidades.b) Determine a produção que corresponde a um custo máximo.

R$ 49,506 unidades

Resolução:a) O custo para produzir 9 unidades é: C(x) 5 5 1 x(12 2 x) ⇒ C(9) 5 5 1 9(12 2 9) C(9) 5 5 1 27 C(9) 5 32 reais O custo para produzir 15 unidades é:

C(x) C(15)

C(15) 17,5 reais

5 2 1 5 2 1

5

32

40 32

15 40x ⇒

O custo total é de: C(24) 5 C(9) 1 C(15) ⇒ C(24) 5 32 1 17,5 C(24) 5 49,5 reaisb) O custo máximo para C(x) 5 5 1 x(12 2 x) é: C(x) 5 5 1 12x 2 x2 ⇒ C(x) 5 2x2 1 12x 1 5

x xv v52

5 22

5b

2a 2x 6 unidadesv⇒ ⇒12

O custo máximo é: C(6) 5 2(6)2 1 12 6 1 5 ⇒ C(6) 5 41 reais

O custo máximo para C(x) 5 2 132

40x , se x 5 0, é:

C(x) 5 40 reais Portanto, a produção que corresponde a um custo máximo é de 6 unidades.

��

62 (FGV-SP) Num parque de diversões A, quando o preço de ingresso é R$ 10,00, verifica-se que 200 freqüentadores comparecem por dia; quando o preço é R$ 15,00, comparecem 180 freqüentadores por dia.a) Admitindo que o preço (p) relaciona-se com o número de freqüentadores por dia (x) através de uma

função do 1o grau, obtenha essa função.

b) Num outro parque B, a relação entre p e x é dada por p 5 80 2 0,4x. Qual o preço que deverá ser cobrado para maximizar a receita diária?

63 (UECE) Sejam x1 e x2 as raízes da equação 2 6 2 02x x p2 1 2 5 . Se (x1 1 x2)2 5 x1 x2, então p é

igual a:a) 1 c) 5b) 3 d) 7

p x5 2 114

60

R$ 40,00

Resolução:a) p

Par (200, 10):

Par (180, 15):

5 15 1

5

ax ba b10 200

15 aa b

a

b b

12

2 5 5 2

5 2 1 5

180

5 14

104

200

( )20a

1

⇒

⇒ 660

60Logo, a função é: p 14

x5 2 1 .

b) p 5 80 2 0,4x A receita diária é dada por: R 5 p x ⇒ R 5 80x 2 0,4x2 (I)

Receita máxima: y

4ay 80

4 0,4)4 000v v

2

5 2 D 52 2

5⇒(

Voltando a (I): 4 000 5 80x 2 0,4x2

x2 2 200x 1 10 000 5 0 x1 5 x2 5 100 p 5 80 2 0,4 100 ⇒ p 5 80 2 40 5 40 O preço deverá ser de R$ 40,00.

Resolução:

x x x x p

x x

1 2 1 2

21 2

62

21 5 5

2

1 5

;

,2

Se (x x ) então:

61 2

22

22

264

22

552

52

5p p p⇒ ⇒

��

64 (Mackenzie-SP) Dada a função f(x) 5 kx2 2 8x 1 3, o valor de k para que 21 seja raiz da função é:a) 25 c) 211 e) nenhuma das anterioresb) 5 d) 22

p. 81

65 Estude os sinais das seguintes funções:a) f(x) 5 x2 2 3x 210 c) f(x) 5 x2 2 x 1 10b) f(x) 5 2x2 1 2x d) f(x) 5 x2 1 6x 1 9

Resolução:Se 21 é raiz, f(21) 5 0.k(21)2 2 8(21) 1 3 5 0 ⇒ k 5 211

Resolução:a) f(x) 5 x2 2 3x 2 10 D 5 49 x9 5 22 e x0 5 5 a 5 1 0 Concavidade para cima:

f(x) 5 0 para {x [ IR | x 5 22 ou x 5 5} f(x) 0 para {x [ IR | x , 22 ou x 5} f(x) , 0 para {x [ IR | 22 , x , 5}

b) f(x) 5 2x2 1 2x D 5 4 x9 5 0 e x0 5 2 a 5 21 , 0 Concavidade para baixo:

f(x) 5 0 para {x [ IR | x 5 0 ou x 5 2} f(x) 0 para {x [ IR | 0 , x , 2} f(x) , 0 para {x [ IR | x , 0 ou x 2}

c) f(x) 5 x2 2 x 1 10 D 5 239 [ S 5 [ a 5 1 0 Concavidade para cima:

f(x) xf(x) x

;

00

⇒⇒ ∃/

[

[

IRIR

d) f(x) 5 x2 1 6x 1 9 D 50 x 5 23 a 5 1 0 Concavidade para cima:

f(x) 0 para x xf(x) xf(x) par

5 5 2

,

{ }[

[

IRIR

⇒ ∃/

300 aa x x{ }[ IR 23

�2 5 x�

� �

0 2 x� �

�

x

�� �

x�3

� �

��

66 Determine m de modo que a função f(x) 5 x2 2 (2m 1 1)x 1 m2 tenha apenas valores positivos para todo x real.

67 Resolva as seguintes inequações do 2o grau.a) x2 2 2x 2 8 , 0 c) 23x2 1 2x 2 1 0b) x2 2 10x 1 25 0

68 Ache o conjunto verdade da inequação (2x 2 5) (x 2 4) 2 7 > (x 2 2) (x 2 3).

m m4

[ IR , 2 1{ }Resolução:a

m

5

D , 1 2 , , 2 , 2

5

1 0

0 10 (2m 1) 4(1)(m) 4m 14

S m

2 2⇒ ⇒ ⇒

[ IIR m4

, 2 1{ }

{x [ IR | 22 , x , 4}{x [ IR | x 5}

[

Resolução:a) a 5 1 0

x x

x

x2 2 8 0

4

22 2 5

9 5

0 5 2

S 5 {x [ IR | 22 , x , 4}

b) a 5 1 0 x2 2 10x 1 25 5 0 ⇒ x9 5 x0 5 5

S 5 {x [ IR | x 5}

�2 4 x�

� �

5 x

� �

c) a 5 23 , 0 23x2 1 2x 2 1 5 0 ⇒ D 5 28

S 5 [

x� �

{x [ IR | x < 1 ou x > 7}Resolução:x2 2 8x 1 7 > 0a 5 1 0

x xx

x2 8 7 0

7

12 1 5

9 5

0 5 1 7 x�

� �

S 5 {x [ IR | x < 1 ou x > 7}

��

69 Resolva as seguintes inequações:a) 0 , x2 1 x 2 12 , 8 b) 24 , x2 1 2x < 3x

70 Dada a função f(x) 5 kx2 2 2kx 1 k 2 1, calcule os valores de k para que f(x) assuma valores negativos para todo x real.

S 5 {x [ IR | 25 , x , 24 ou 3 , x , 4} S 5 {x [ IR | 0 < x < 1}

Resolução:

a) x x0 12 82� � � �II( )

(I)

(I) 0 , x2 1 x 2 12 x2 1 x 2 12 0 x2 1 x 2 12 5 0 x9 5 24 e x0 5 3

(II) x2 1 x 2 12 , 8 x2 1 x 220 , 0 x2 1 x 220 5 0 x9 5 25 e x0 5 4

S 5 {x [ IR | 25 , x , 24 ou 3 , x , 4}

b) � � � �4 2 32x x xII( )

(I)

(I) 24 , x2 1 2x 2x2 22x 2 4 , 0 2x2 2 2x 2 4 5 0

(II) x2 1 2x < 3x x2 2 x 5 0 x9 5 0 e x0 5 1

S 5 {x [ IR | 0 < x < 1}

�4 3 x�

� �

�5 4 x�

� �

�4

�4

�5

�5

3(I)

(II)

(I) � (II)3

4

4

x��

0 1 x

(I)

(II)

(I) � (II)

1

10

0

{k [ IR | k , 0}

Resolução:(I) a , 0 ⇒ k , 0(II) D , 0 ⇒ 4k2 2 4(k)(k 2 1) , 0 ⇒ 4k , 0 [ k , 0S 5 {k [ IR | k , 0}

��

71 (FGV-SP) A receita mensal (em reais) de uma empresa é R 5 20 000p 2 2 000p2, onde p é o preço de venda de cada unidade (0 < p < 10).a) Qual o preço p que deve ser cobrado para dar uma receita de R$ 50 000,00?b) Para que valores de p a receita é inferior a R$ 37 500,00?

72 Determine o conjunto solução de: x xx

2

22 02

2 11 1 2 3 0x

Resolução:R 5 20 000p 2 2 000p2 0 < p < 10 (I)a) R 5 50 000 50 000 5 20 000p 2 2 000p2 (: 2 000)

p

pv

2 0

5

2 1 5

52

5

10p 25b

2aR$ 5,00[

b) R , 37 500 20 000p 2 2 000p2 , 37 500 (: 2500) 4p2 2 40p 1 75 0 p9 5 2,5 e p0 5 7,5 p , 2,5 ou p 7,5 (II)

S 5 {p [ IR | 0 < p , 2,5 ou 7,5 , p < 10}

2,5 7,5 x

� �

�

(I)0

2,5 7,5

10

107,52,50

(II)

(I) � (II)

{x [ IR | 21 , x < 0 ou 2 < x , 3}

Resolução:

xa

x

x

2 01 0

02

0

2

5

2 59 5

0 5

2x

x 2x2

2 1 1

5 2 ,

2 1 1 59 5

0 5 2

xa

xx

x

2

2

3 01 0

3 03

1

2x

2x

S 5 {x [ IR | 21 , x < 0 ou 2 < x , 3}

0 2 x

� �

�

�1 3 x

�

� �

(I)

�1 3

�1

0

0

2

2 3

(II)

(I) � (II)

R$ 5,00{0 < p , 2,5 ou 7,5 , p < 10}

��

73 (FGV-SP) Uma função quadrática f tem um gráfico cujo vértice é o ponto (3, 24). Sabe-se que 2 é uma raiz da função.a) Obtenha a expressão da função f.b) Para quais valores de x tem-se f(x) 0?

74 (PUC-RS) A solução, em IR, da inequação x2 , 8 é:

a) 22 2 2 2;{ } c) 22 2 2 2; e) 2; 2 2

b) 22 2 2 2; d) 2; 2 2

f(x) 5 4x2 2 24x 1 32{x [ IR | x , 2 ou x 4}

Resolução:a) vértice: (3,

x :2a

6a (I)

2 é raiz,

v

2

25 5 2

4

3

)

b b⇒

logo, f(2) 0.

0 4a 2b 4a 12a 8a

5

5 1 1 5 2 1 5c c c II⇒ ⇒0 ( ))

y yv v5 2D 5 2 52 2

5 2

2 5

4a(b 4ac)

4a

36a 4a 8a 16a

2

4 4

2 ⇒⇒

⇒

4a 16a(não serve)

24 e c 3

2 2 59 5

0 5

5 5 2 5

00

4

4

a

a

a b 22 f(x) 4x 24x2[ 5 2 1 32

b) f(x) 0 4x2 2 24x 1 32 0 4x2 2 24x 1 32 5 0 x9 5 4 e x0 5 2 {x [ IR | x , 2 ou x 4}

� �

�2 4 x

Resolução:x2 , 8 ⇒ x2 2 8 , 0

Raízes:x x2 8 02 5 5 6⇒ 2 2

S x 2 25 2 , ,[ IR 2 2 x{ }

x

� �

��2 2 2 2

��

75 (Vunesp-SP) O gráfico representa uma função f que descreve, aproximadamente, o movimento (em função do tempo t em segundos), por um certo período, de um golfinho que salta e retorna à água, tendo o eixo das abscissas coincidente com a superfície da água.a) Sabendo que a parte negativa do gráfico de f é constituída por segmentos de

retas, determine a expressão matemática de f nos instantes anteriores à saída do golfinho da água. Em que instante o golfinho saiu da água?

b) A parte positiva do gráfico de f é formada por parte de uma parábola, dada

por f(t) 34

t 6t5 2 1 22 9. Determine quantos segundos o golfinho ficou fora da água e a altura

máxima, em metros, atingida no salto.

altura (m)

10

�2

�4

tempo (s)

f(t) = 2t 2 4 e t = 2 s

O golfinho ficou 4 segundos fora da água, e a altura máxima atingida foi 3 metros.

Resolução:a) A parte negativa do gráfico de f pode ser representada pela função f(t) 5 at 1 b.

Se f(0) 5 24 e f(1) 5 22, vem:a 0 1 b 5 24 ⇒ b 5 24a 1 1 b 5 22 ⇒ a 1 b 5 22a 2 4 5 22a 5 2

Portanto, nesse intervalo, a função é f(t) 5 2t 24. O golfinho sai da água quando f(t) 5 0. Logo: 0 5 2t 24 ⇒ t 5 2 s.

b) As raízes da equação 6t são 2 e t2 1 2 534

9 02t 22.

O produto das raízes é c

a. Assim:

34

22 9 5 2

2t ⇒⇒ ⇒6t2 5 536 62t s

O golfinho saiu da água no instante 2 s e voltou à água no instante 6 s e, portanto, ficou 4 segundos fora da água.

A abscissa do vértice da parábola é 4. A altura máxima atingida é dada por f(4):

f(4) 5 2 1 2 534

4 6 4 9 32

f (t)

t

A

(1, �2)

0 t1

(0, �4)

0 2

f (t)

tt2

��

76 (UFU-MG) Dadas as funções reais definidas por f(x) 5 2x 2 6 e g(x) 5 x2 1 5x 1 3, pode-se dizer que o domínio da função h(x) é:5 ( )( )f g x

a) {x [ IR | x < 25 ou x > 0} c) x [ IR | x > 25} e) {x [ IR | 25 , x , 0} b) {x [ IR | x < 0} d) {x [ IR | 25 < x < 0}

77 (Osec-SP) O domínio da função y x x5 2 1 21 12 2 é:a) [21, 1] c) ]2, 21] [1, [ e) [

b) {21, 11} d) ]21, 1[

Resolução:

( ) )f g x x

x x

x

(x) 2(x 0x

h(x)

25 1 1 2 5 1

5 1

5 3 6 2 1

2 10

2

2

2

22 20 00

51 1 5

9 5

0 5 210x 2x 10x⇒

x

x

Dh 5 {x [ IR | x < 25 ou x > 0}

x�5 0�

� �

Resolução: 1 2 x2 > 0 x 5 61 e x2 2 1 > 0 x 5 61

D 5 {21, 1}

x�1 1��

�

x�1 1�

� �

�1 1(I)

(II)

(I) � (II)�1 1

��

p. 84

78 Determine o conjunto solução das inequações:a) (2x2 1 x 1 12) (1 2 x2) , 0 c) (x2 29) (x 2 1) (x2 1 5x) < 0b) (x 2 4) (2x2 1 5x 1 6) < 0

Resolução:a) (2x2 1 x 1 12) (1 2 x2) , 0 f(x) 5 2x2 1 x 1 12 2x2 1 x 1 12 5 0 x9 5 23 x0 5 4

g(x) 5 1 2 x2

1 2 x2 5 0 x9 5 1 x0 5 21

b) (x 2 4) (2x2 1 5x 1 6) < 0 f(x) 5 x 2 4 x 2 4 5 0 x 5 4

g(x) 5 2x2 1 5x 1 6 2x2 1 5x 1 6 5 0 x9 5 21 x0 5 6

c) (x2 2 9) (x 2 1) (x2 1 5x) < 0 f(x) 5 x2 2 9 x2 2 9 5 0 x 5 6 3

g(x) 5 x 2 1 x 2 1 5 0 x 5 1

h(x) 5 x2 1 5x x2 1 5x 5 0 x9 5 0 x0 5 25

S 5 {x [ IR | 23 , x , 21 ou 1 , x , 4}

S 5 {x [ IR | 21 < x < 4 ou x > 6}

S 5 {x [ IR | x < 25 ou 23 < x < 0 ou 1 < x < 3}

x4�3

� �

�

x1�1

� �

�

�

�

�

�

�3

�1 1

4

�3 �1 1 4

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

f(x)

g(x)

f(x) � g(x)

x4�

�

x6�1

� �

�

�1

4

f(x)

g(x)

f(x) � g(x) 6

�1 4 6

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

x�3�3�

� �

x1�

�

x0�5�

� �

�5

�3

0

1

3

�5 �3 0 1 3

f(x)

g(x)

h(x)

f(x) � g(x) � h(x)

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�0

79 Resolva as seguintes inequações-quociente:

a) x xx x

2

27 105 4

02 1

2 1 c)

x2

2

8x 2

,

b) 2 1

2

x3x2 02x

d) xx 1

2 2

1x

0

Resolução:a) f(x) 5 x2 2 7x 1 10 x9 5 5 e x0 5 2 (a 5 1 0)

g(x) 5 x2 2 5x 1 4 x9 5 4 e x0 5 1 (a 5 1 0)

S 5 {x [ IR | x , 1 ou 2 , x , 4 ou x 5}

S 5 {x [ IR | 0 , x < 2 ou x 3}

S 5 {x [ IR | x , 2}

S 5 {x [ IR | x , 22 ou 21 , x , 0 ou x 2}

x52�

� �

x41�

� �

x2 �

�

x30�

� �

x4

� �

x2�

�

x2�1�

� �

x0�2�

� �

�

�

�

�

1

2

4

5

1 2 4 5

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

f(x)

g(x)

f(x)g(x)

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�0

2

3

0 2 3

f(x)

g(x)

f(x)g(x)

�

�

�

�

�

�

�

�

�2

4

2 4

f(x)

g(x)

f(x)g(x)

�

�

�

�

�2 �1 0 2

�2

�1

0

2�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

f(x)

g(x)

f(x)g(x)

b) f(x) 5 2x 1 2 2x 1 2 5 0 x 5 2

g(x) 5 x2 23x x9 5 0 e x0 5 3

d) xx 2x2

2 2 02 2

1

x

f(x) 5 x2 2 x 2 2 x2 2 x 2 2 50 x9 5 2 e x0 5 21

g(x) 5 x2 1 2x x2 1 2x 5 0 x9 5 0 e x0 5 22

c) x2

x2

2

2

8 0

8 16 0 2

xx

xx

22 ,

2 12

, ( )

f(x) 5 x2 2 8x 1 16 x2 2 8x 1 16 5 0 x9 5 x0 5 4

g(x) 5 x 2 2 x 2 2 5 0 x 5 2

��

80 Resolva as inequações:a) x3 2 x2 2 12x < 0 b) x3 2 3x2 2 5x 215

81 (Unitau-SP) Para quais valores de a tem-se aa

1 1 2?

{x [ IR | x < 23 ou 0 < x < 4} x x ou[ IR2 , , 5 5 3x{ }Resolução:a) x(x2 2 x 2 12) < 0

f(x) 5 x x 5 0

g(x) 5 2 2

2 2 5

D 59 5

0 5 2

x xx x

x

x

2

2

1212 0

494

3

b) x2(x 2 3) 25(x 2 3) 0 (x2 2 5) (x 2 3) 0

f(x)

e

5 2

2 5

9 5 0 5 2

xx

x x

2

2

55 0

5 5

g(x) 5 x 2 3 x 2 3 5 0 x 5 3

S x5 2 , , x x ou[ IR 5 5 3{ }

S 5 {x [ IR | x < 23 ou 0 < x < 4}

x0�

�

x4�3�

� �

�3

0

f(x)

g(x)

f(x) � g(x) 4

�3 0 4

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

x3�

�

x�

� �

� 5 5

f(x)

g(x)

f(x) � g(x) 3

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� 5 5

3� 5 5

{a [ IR | a 0}

Resolução:

aa

aa

aa

aa

1 1

1 2

2 1

1 2 1 2

1 0 1 0

2

2 2

⇒

⇒2a 2a

f(a) 5 a2 2 2a 1 1a2 2 2a 1 1 5 0

g(a) 5 aa 5 0

a1

��

a0�

�

1

0

10

�

�

�

�

�

�

�

�

�

f(a)

g(a)

f(a)g(a)

S 5 {a [ IR | a 0}

��

82 (UFRN) Seja f: IR → IR uma função definida por f(x) 52

1

51

2

2xx

.O conjunto A 5 {x [ IR | f(x) < 2} é igual a:a) {x [ IR | | x | < 1} c) {x [ IR | x > 1}b) {x [ IR | | x | > 1} d) {x [ IR | x < 21}

83 (UFV-MG) O conjunto solução da inequação x xx x x

2

26 5

1 7 1002 1

1 2 1

( )( )é:

a) {x [ IR | x , 21 ou 2 , x , 5 ou x 5}b) {x [ IR | 21 < x , 1 ou 2 , x , 5 ou x 5}c) {x [ IR | x < 1 ou x > 5}d) {x [ IR | 21 , x < 1 ou 2 , x , 5 ou x 5}e) {x [ IR | 21 < x < 1 ou 2 < x < 5 ou x > 5}

Resolução:51

2

51

2 0 3 31

0

3

2

2

2

2

2

2

2

1

2

12

2 1

1,

5 2

xxxx

xx

x

⇒

f(x) 22

2

3

3 3 01

1

1

2 1 59 5

0 5 2x

x

x

g(x) 5 1 1 x2 assume valores positivos para todo x real.

Resolução:f(x) 5 2 1

2 1 59 5

0 5

x x

x xx

x

2

2

6 5

6 5 05

1

g(x) 5 x 1 1x 5 21

h(x) 5 2 1

2 1 59 5

0 5

x x

x xx

x

2

2

7 10

7 10 02

5

x < 21 ou x > 1, ou seja, |x| > 1x1�1

��

�

1�1

1�1

�

�

�

�

�

�

�

�

�

f(x)

g(x)

f(x)g(x)

S 5 {x [ IR | 21 , x < 1 ou 2 , x , 5 ou x 5}

x51�

� �

x�1�

�

x52�

� �

1

2

5

5

�1

1 2 5�1

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

f(x)

g(x)

h(x)

f(x)

g(x) h(x)�

��

85 (UERN) As inequações 4 0 4 122 xx

e são satisfeitas simultaneamente se, e somente se:

a) 0 , x , 2 ou x 4 c) 0 , x , 4 e) 0 , x , 2b) 22 , x , 2 d) 22 , x , 4

84 (Fuvest-SP) O conjunto das soluções, no conjunto IR dos números reais, da inequação xx 1

1

x é:

a) vazio c) {x [ IR x , 0} e) {x [ IR x , 21}b) IR d) {x [ IR x 21}

Resolução:x

xx

x12

21

1

00 x1

2

⇒

f(x) 5 2x2

x9 5 x0 5 0

g(x) 5 x 1 1x 1 1 5 0x 5 21

S 5 {x [ IR x , 21}

x0��

x�1�

�0�1

0

�1

�

�

�

�

�

�

�

�

�

f(x)

g(x)

f(x)g(x)

Resolução:

4 0 4 02

22 22 2 5

9 5

0 5 2x x

x

x⇒

4 1 0

4 0 4 0 40

xx

xx x

x

2

52

2 5 55

f(x)g(x)

⇒{

0 , x , 2

(I)2�2

��

�

40

4

0

�

�

�

�

�

�

�

�

�

f(x)

(II)

g(x)

f(x)g(x)

0

0 2

2

4

�2

(II)

(I) � (II)

(I)

x4

�

�x0

�

�

��

86 (UFAL) No universo U 5 IR, o conjunto solução da inequação (x 2 1) (x2 2 6x 1 5) < 0 é:a) [1, 5] c) ]2, 1] [5, 1[ e) ]2, 5]b) [5, 1[ d) ]2, 1]

87 (Fuvest-SP) O conjunto solução de (2x2 1 7x 215) (x2 1 1) , 0 é:a) [ c) IR e) IR

1

b) [3; 5] d) [21; 1]

Resolução:(x 2 1) (x2 2 6x 1 5) < 0f(x) 5 x 2 1x 2 1 5 0 ⇒ x 5 1

g(x) 5 x2 2 6x 1 5

x xx

x2 6 5 0

1

52 1 5

9 5

0 5

Resolução:(2x2 1 7x 215) (x2 1 1) , 0

f(x) 5 2x2 1 7x 2 152x2 1 7x 2 15 5 0D 5 49 2 60 , 0

g(x) 5 x2 1 1x2 1 1 5 0D 5 24 , 0

S 5 {x [ IR | x < 5} 5 ] 2, 5]

x1�

�

x51�

� �

5

1

1

5

�

�

�

�

�

�

�

�

�

f(x)

f(x) � g(x)

g(x)

; x [ IR, f(x) g(x) , 0Logo, S 5 IR.

x� �

x

� �

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

f(x)

f(x) � g(x)

g(x)

��

88 (UERJ) No sistema de coordenadas cartesianas estão representadas as funções f(x) 5 4x 2 4 e g(x) 5 2x2 2 12x 1 10.Com base nos dados, determine:a) as coordenadas do ponto P;

b) o conjunto solução da inequação g(x)f(x)

, 0 0, ( ) .f x

Resolução:f(x) 5 4x 2 4g(x) 5 2x2 2 12x 1 10a) 4x 2 4 5 2x2 2 12x 1 10 2x2 2 16x 1 14 5 0 x9 5 1 e x0 5 7 f(1) 5 4 1 2 4 5 0 ponto (1, 0) f(7) 5 4 7 2 4 5 24 ponto (7, 24) De acordo com a figura, as coordenadas do ponto P são (7, 24).

b) g(x)f(x)

f(x)

2x 12x 104x

0, com x 12

,

2 12

,

0 0

4

g(x) 5 2x2 2 12x 1 10 2x2 2 12x 1 10 5 0 x9 5 1 e x0 5 5

f(x) 5 4x 2 4 4x 2 4 5 0 x 5 1

(7, 24)

{x [ IR | x , 5 e x 1}

y

x

f(x)

g(x)

unidades em cm

P

x51�

� �

x1�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

1

1

5

1 5

f(x)

g(x)

g(x)f(x)

S 5 {x [ IR | x , 5 e x 1}

��

89 Calcule o domínio das funções:

a) y x x x5 2 1 2( )( )1 2 82 b) f(x) 252x

522

x24

1

90 Ache o conjunto verdade da inequação xx x x3 2 1

02 1 2

.

Resolução:a) y x x

x x

x

5 2 1 2

2 1 2

5 2

2

( )( )( ) ( )

1 81 8 0

11

2

2

2x2x

f(x)xx x5 50 1⇒

g(x) 5 x2 1 2x 2 8 x2 1 2x 2 8 5 0 x9 5 24 e x0 5 2

b) x 252x 2x

sendo 1 2x2 22

22

2 1

251

0 042

⇒ x ,

f(x) 5 x2 2 25 x2 2 25 5 0 x 5 6 5

g(x) 5 1 2 2x 1 2 2x 5 0

x 5 12

Resolução:x

x x xx

x x2 21 10

1 11

( ) ( ) ( )( )2 1 2

2 1 ⇒ 0, com x

f(x) 5 xx 5 0

g(x) 5 x 2 1x 2 1 5 0x 5 1

h(x) 5 x2 1 1x2 1 1 5 0D , 0 ⇒ raiz real

x x ou2

[ IR 2 , 5 1 5x{ }{x [ IR x < 24 ou 1 < x < 2}

{x [ IR | x < 0 ou x 1}

x1 �

�

x�

� �

�4 2

�4

1

f(x)

g(x)

f(x) � g(x) 2

�4 1 2

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

x�

� �

�5 5

x�

�

12

12

12

�5

f(x)

g(x)

f(x) � g(x)

5

�5 5

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

D 5 {x [ IR | x < 24 ou 1 < x < 2}

D x x ou2

x5 2 , [ IR 5 1 5{ }

x0�

�

x1�

�

x

� �

f(x)

g(x)

h(x)

0

1

0 1

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�f(x)

g(x) h(x)�

S 5 {x [ IR | x < 0 ou x 1}

��

91 (IBMEC-RJ) Seja: ( )( )xx

2 2005

200441

02

1 .

Determine, justificando, o conjunto solução da inequação dada.

S 5 {x [ IR 22 < x < 2 e x 21}Resolução:( )( )xx

2 2005

200441

02

1

numerador: expoente ímpar ⇒ sinal da base

base: x2 2 4

denominador: expoente par ⇒ sempre positivodenominador 0 ⇒ x 21

�

2 x

y

0�2

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��1

�2

�2

�1 2

2

S 5 {x [ IR |22 < x < 2, x 21}

��

92 (UDESC) Sejam f(x) e g(x)5 2 1 52

2 31

x xx

duas funções, determine:

a) o domínio de cada uma dessas funções;b) todos os valores de x para os quais a função f(x) é estritamente menor que g(x).

D(f) 5 {x x [ IR} e D(g) 5 {x [ IR x 1}{x [ IR x 1}

Resolução:a) D(f) 5 {x | x [ IR} e D(g) 5 {x [ IR x 1}b) f(x) g(x) 2x

2x

2x 3)(x 1

, 2 1 ,2

2 1 22

,

2 1 2

⇒ 31

31

0

xx

xx

( ))

2x 2x 3x x

2x 4x

2

2

2

22

,

2 1 1 2 22

,

2 1 22

,

xx

x

x

10

31

0

31

0

xx 4x2 2 12

3

10

x

Raízes:

2x2 2 4x 1 3 5 0 ⇒ raiz real

x 2 1 5 0 ⇒ x 5 1

O quadro quociente é:

S 5 {x [ IR x 1}

�

��

�

� 1

1

�

�

�

�

�

�

1