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ESCUELA SUPERIOR POLITรCNICA DE CHIMBORAZO
โAplicaciรณn de software matemรกtico interactivo a la enseรฑanza del tema
de Triรกngulos de la Geometrรญa Plana, como una herramienta de trabajo
que le permita al Docente facilitar y mejorar el proceso educativo de los
estudiantes, de acuerdo al programa de asignatura de Nivelaciรณn de la
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE-ELโ
Tesis presentada ante el Instituto de Postgrado y Educaciรณn Continua de la ESPOCH,
como requisito parcial para la obtenciรณn del grado de:
MAGรSTER EN MATEMรTICA BรSICA
AUTOR: Ing. Carlos Torres L.
TUTOR: Ing. Mg. Cรฉsar Castillo C.
RIOBAMBA - ECUADOR
2015
CERTIFICACIรN:
EL TRIBUNAL DEL PROYECTO DE INVESTIGACIรN CERTIFICA QUE:
El trabajo de titulaciรณn, titulado โAplicaciรณn de software matemรกtico interactivo a la
enseรฑanza del tema de Triรกngulos de la Geometrรญa Plana, como una herramienta de trabajo
que le permita al Docente facilitar y mejorar el proceso educativo de los estudiantes, de
acuerdo al programa de asignatura de Nivelaciรณn de la Universidad de las Fuerzas Armadas
ESPE-ELโ, de responsabilidad del Sr CARLOS MIGUEL TORRES LASCANO ha sido
prolijamente revisado y se autoriza su presentaciรณn.
Tribunal de Tesis:
Dr. Juan Vargas; Mgs.
______________________________ _________________
PRESIDENTE FIRMA
Ing. Cรฉsar Castillo; M.Sc.
_______________________________ _________________
DIRECTOR FIRMA
Ing. Marco Acurio; M.Sc
_______________________________ _________________
MIEMBRO FIRMA
Ing. Jorge Sรกnchez; Mg.
_______________________________ _________________
MIEMBRO FIRMA
_______________________________ _________________
COORDINADOR SISBIB ESPOCH FIRMA
Riobamba, 9 de mayo de 2015
DERECHOS INTELECTUALES
Yo, Carlos Miguel Torres Lascano, declaro que soy responsable de las ideas, doctrinas y
resultados expuestos en la presente Tesis y que el patrimonio intelectual generado por la misma
pertenece exclusivamente a la Escuela Superior Politรฉcnica de Chimborazo.
________________________
Nยฐ. CรDULA: 170413688-4
DEDICATORIA
Dedico esta tesis a mi familia, en especial a mi hijo Carlos Mauricio y mi hermana Maru
quienes me sirvieron de inspiraciรณn para poder culminar con mis estudios y este trabajo de
investigaciรณn. A mis padres quienes ya no estรกn, pero que me dieron la vida y sus sabios
consejos. A mis compaรฑeros y colegas de estudio, a mis maestros, a mis amigos, y a todos
quienes colaboraron desinteresadamente en la realizaciรณn de este trabajo, puesto que sin su
ayuda no hubiese sido posible la culminaciรณn de esta gran tarea.
Carlos Miguel
AGRADECIMIENTO
A los profesores de la Escuela de Postgrado por su gran esfuerzo formador yorientador dirigido
a los profesionales de la educaciรณn.
Al Ing. Mg. Cรฉsar Castillo por su calidad humana y su valioso apoyo en la direcciรณn
yelaboraciรณn de la tesis.
A los seรฑores profesionales miembros del Tribunal, Ing. Mg. Jorge Sรกnchez, Ing. Mg. Marco
Acurio y Dr. Juan Vargas,por la revisiรณn de la memoria y sus acertadas observaciones que me
permitieron mejorar este trabajo.
A los colegas, compaรฑeros y amigos y a todos los que de una u otra forma contribuyeron
positivamentecon mi persona en la realizaciรณn de la Maestrรญa.
Finalmente a mis familiares, en especial a mi hijo Carlos Mauricio y mi hermana Maru por el
incondicional apoyo que me brindaron, para poder culminar con bien la Maestrรญa.
A todos ellos mi inmensa y sincera gratitud.
Carlos Miguel
CONTENIDOS
รNDICE DE IMรGENES i
รNDICE DE TABLAS iii
RESUMEN iv
SUMMARY v
INTRODUCCIรN 1
CAPรTULO I 3
1. PROBLEMATIZACIรN Y MARCO TรORICO CONCEPTUAL 3
1.1 Formulaciรณn del problema 5
1.2 Objetivos 5
1.2.1 Objetivo general 5
1.2.2 Objetivos especรญficos 5
1.3 Justificaciรณn 6
1.4 Revisiรณn de la literatura 7
1.5 Fundamentaciรณn cientรญfica 9
1.5.1 Fundamentaciรณn epistemolรณgica 9
1.5.2 Fundamentaciรณn sicolรณgica 9
1.5.3 Fundamentaciรณn pedagรณgica 9
1.5.4 Fundamentaciรณn legal 9
1.6 Fundamentaciรณn teรณrica 10
1.6.1 Crรญticos de la โteorรญa de la actividadโ de leontiev 12
1.6.2 Software matemรกtico interactivo 17
1.6.3 Caracterรญsticas y clasificaciones de los software educativos 17
1.6.4 Software geomรฉtricos disponibles en la red o el mercado 18
1.6.5 Valoraciรณn cualitativa de softwares en la red 20
1.6.6 Selecciรณn del software interactivo geogebra 21
1.6.7 Partes y caracterรญsticas de geogebra 25
1.6.8 Generalidades para la creaciรณn de objetos geomรฉtricos en geogebra 26
1.6.9 Ilustraciones grรกficas de geogebra 29
1.7 Conceptualizaciones 40
CAPรTULO II 43
2. SISTEMA HIPOTรTICO 43
2.1 Planteamiento de hipรณtesis y determinaciรณn de variables 43
2.1.1 Hipรณtesis 43
2.1.2 Variable independiente 44
2.1.3 Variable dependiente 44
2.2 Operacionalizaciรณn conceptual de las variables 45
2.3 Operacionalizaciรณn metodolรณgica de las variables 46
CAPรTULO III 48
3. MARCO METODOLรGICO 48
3.1 Diseรฑo y tipo de estudio 48
3.2 Determinaciรณn de la poblaciรณn 49
3.3 Muestra 49
3.4 Mรฉtodo, tรฉcnicas e instrumentos 49
3.4.1 Mรฉtodo 49
3.5 Materiales 51
CAPรTULO IV 52
4. ANรLISIS, INTERPRETACIรN Y PRESENTACIรN DE RESULTADOS.
PROPUESTA 52
4.1 Resultado de encuestas a docentes 52
4.1.1 Encuesta nยฐ 1 52
4.1.2 Encuesta nยฐ 2 54
4.2 Resultado de encuesta a estudiantes 56
4.3 Estadรญstica no paramรฉtrica 57
4.3.1 Dominio psicomotriz: momento diagnรณstico 57
4.3.2 Dominio psicomotriz: momento primera evaluaciรณn 61
4.3.3 Dominio psicomotriz: momento evaluaciรณn final 65
4.4 Estadรญstica paramรฉtrica 70
4.4.1 Dominio cognitivo 70
4.5 Validaciรณn de la hipรณtesis paramรฉtrica 74
4.6 Propuesta 76
4.6.1 Introducciรณn 76
4.6.2 Justificaciรณn 77
4.6.3 Objetivo general 77
4.6.4 Objetivos especรญficos 77
4.6.5 Beneficiarios 78
4.6.6 Contenido 78
4.6.7 Recursos humanos, tรฉcnicos y didรกcticos 78
4.6.8 Guรญa para el profesor y el alumno 78
CONCLUSIONES 81
RECOMENDACIONES 82
BIBLIOGRAFรA
ANEXOS:
ANEXO A
ANEXO B
ANEXO C
ANEXO D
ANEXO E
ANEXO F
ANEXO G
ANEXO H
ANEXO I
ANEXO J
ANEXO K
i
รNDICE DE IMรGENES
Imagen 1-1 Sistema teรณrico de la actividad โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ. 10
Imagen 2-1 Actividad: necesidad-motivo โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ. 15
Imagen 3-1 Partes del geogebraโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ. 25
Imagen4-1 Descargar geogebraโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ. 29
Imagen 5-1 Panel escritorio indicadorโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ 29
Imagen6-1 Panel de elecciรณn movimientoโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ 30
Imagen7- 1 Panel vectoresโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ. 30
Imagen8- 1 Panel rectasโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ. 31
Imagen 9-1 Panel polรญgonosโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ... 31
Imagen10-1 Panel circunferenciasโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.. 32
Imagen11-1 Panel cรณnicasโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.. 32
Imagen12-1 Panel รกngulosโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.. 33
Imagen13-1 Panel simetrรญaโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ. 33
Imagen14-1 Panel texto y probabilidadesโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.. 34
Imagen15-1 Panel deslizadorโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ. 34
Imagen16-1 Panel desplazamientoโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ. 35
ii
Imagen17-1 Panel archivoโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.. 35
Imagen18-1 Panel ediciรณnโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ... 36
Imagen19-1 Panel vistaโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ... 36
Imagen20-1 Panel opcionesโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ 37
Imagen21-1 Panel herramientasโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ. 37
Imagen22-1 Panel ventajasโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ 38
Imagen23-1 Panel ventanaโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ. 38
Imagen24-1 Circunferencia circunscritaโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ 39
Imagen25-1 Circunferencia dados sus centro y uno de sus puntosโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ 39
Imagen 1-4 Prueba chi cuadrado 1โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ. 61
Imagen 2-4 Prueba chi cuadrado momento 2โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ. 65
Imagen 3-4 Prueba chi cuadradoโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ 69
Imagen 4-4 Histograma grupo experimentalโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.. 73
Imagen 5-4 Histograma grupo de controlโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.. 73
Imagen 6-4 Prueba Zโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ 75
iii
รNDICE DE TABLAS
Tabla 1-1 Cuadro comparativoโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ 20
Tabla 1-2 Operacionalizaciรณn conceptual de las variablesโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.. 45
Tabla 2-2 Operacionalizaciรณn metodolรณgica de las variablesโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ. 46
Tabla 1-3 Diseรฑo experimentalโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ. 48
Tabla 2-3 Tรฉcnicas e instrumentosโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ 51
Tabla 1- 4 Matriz de contingencia: encuesta a docentes 1โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.. 53
Tabla 2-4 Matriz de contingencia: encuesta a docentes 2โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ... 55
Tabla 3-4 Matriz de contingencia: encuesta a estudiantesโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ. 56
Tabla 4-4 Matriz: grupos โ dominio psicomotrizโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ 58
Tabla 5-4 Matriz de contingencia: momento diagnรณsticoโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ... 60
Tabla6-4 Matriz: momentos โ dominio psicomotrizโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.. 63
Tabla7-4 Matriz de contingencia: momento primera evaluaciรณnโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ... 64
Tabla8-4 Matriz: grupos โ dominio psicomotrizโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ 67
Tabla 9-4 Matriz de contingencia: momento evaluaciรณn finalโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ 68
Tabla 10-4 Logros de rendimiento grupo experimental y controlโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ. 70
Tabla 11-4 Estadรญsticos descriptivosโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ. 71
Tabla 12-4 Tabla de frecuencia grupo experimentalโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ. 71
Tabla 13-4 Tabla de frecuencia grupo de controlโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.. 72
Tabla 14-4 Medias y desviaciones muestralesโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.. 74
iv
RESUMEN
La investigaciรณn tiene el propรณsito de ayudar a los estudiantes de nivelaciรณn de la Universidad
de las Fuerzas Armadas โ Escuela Politรฉcnica del Ejรฉrcito โ Extensiรณn Latacunga, para que
รฉstos alcancen el aprendizaje significativo en el tema triรกngulos usando un software geomรฉtrico
adecuado. Eso motivรณ el desarrollo e implementaciรณn deeste trabajo, seleccionando con todos
los docentes de matemรกticas, al GeoGebra como el software geomรฉtrico mรกs pertinente para el
proceso de enseรฑanza y aprendizaje.
El docente encuentra en el GeoGebra,un mediador de la enseรฑanzay aprendizaje, que le ayudarรก
en la sistematizaciรณn del proceso educativo de forma pertinente. Para el estudiante, la utilidad
que encuentra, es una forma motivante de construir su propio aprendizaje de modo pragmรกtico.
La metodologรญa de trabajo se fundamentรณ en la elecciรณn de dos grupos de estudiantes: uno de
control y otro de experimentaciรณn con idรฉntico numรฉrico de alumnos. Se hizo un seguimiento
del desempeรฑo psicomotriz de los dos grupos a lo largo de la investigaciรณn y finalmente se
comparรณ el desempeรฑo acadรฉmico estadรญstico numรฉrico reductivo de ambos grupos.
Se usaron dos tรฉcnicas para la interpretaciรณn de resultados: Chi cuadrado para estadรญstica no
paramรฉtrica y Z normalizado para estadรญstica paramรฉtrica. El rendimiento del grupo
experimental fue mejor en un 17% que el de control, segรบn la prueba de hipรณtesis con el zeta
normalizado.
Se concluye que la aplicaciรณn metodolรณgica del GeoGebra, propicia convenientemente el
aprendizaje de geometrรญa y mejora el rendimiento de los estudiantes.
Se recomienda el desarrollo de propuestas similares para todos los temas de la geometrรญa y otras
asignaturas, enfocรกndose en mejorar la interfaz de la herramienta.
Palabras clave:
<SOFTWARE GEOGEBRA>, < RECURSOS DIDรCTICOS>, <RENDIMIENTO
ACADรMICO>, <HERRAMIENTA VIRTUAL>, <INVESTIGACIรN>, <CHI
CUADRADO>, <APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO>, <ENSEรANZA PRAGMรTICA>,
<DOMINIO PSICOMOTRIZ>, <UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS>.
v
SUMMARY
The investigation has the aim to help the leveling students belonging to the University of the
Armed Forces โ Polytechnic School of the Army -, Extension Latacunga, in function that these
achieve the meaningful learning in the topic: triangles by using a geometric adequate software.
This motivated the development and implementing of this work, selecting with all the teacher
staff of Mathematics, to the GeoGebra as the geometric software more pertinent for the teaching
and learning process.
The teacher found in GeoGebra, a mediator of the teaching and learning that will help in the
systematization of the educational process in a pertinent way. For the student, the utility that
finds it is a motivating form to build their own learning in a pragmatic form.
The methodology of work was based in the election of two groups of students: one of control
and the other of experimentation with identical number of students. A monitoring of the
psychomotor performance of both groups was made, and finally the reductive numeric statistical
academic performance of both groups was compared.
Two techniques were used for the result interpretation: Chi-square for non-parametric statistics
and normalized Z for parametric statistics. The efficiency of the experimental group was better
in a 17% than the control group, according to the hypothesis test with the Z normalized.
It is concluded that the methodological application GeoGebra propitiates conveniently the
learning of Geometry and improves the performance of students.
It is recommended the development of similar proposals for all the topics of Geometry and other
subjects, by focusing in improving the interface of the tool.
Key words:
<SOFTWARE GEOGEBRA>, <DIDACTIC RESOURCES>, <ACADEMIC
PERFORMANCE>, <VIRTUAL TOOLS>, <INVESTIGATION>, <CHI-SQUARE>,
<MEANINGFUL LEARNING>, <PRAGMATIC TEACHING>, <PSYCOMOTOR
DOMINANCE>, <UNIVERSITY OF THE ARMED FORCES>.
1
INTRODUCCIรN
El problemaque motivรณ esta investigaciรณn corresponde a la pregunta cientรญfica: ยฟSe puede
mejorar el aprendizaje de las matemรกticas en los dominios cognitivo y psicomotriz; en las
temรกticas relacionadas con la geometrรญa de triรกngulos de estudiantes que apenas acaban de dejar
la educaciรณn secundaria e ingresan a los cursos de nivelaciรณn de las ingenierรญas a travรฉs de
mediadores didรกcticos como es el caso de GeoGebra?.
La investigaciรณn en la actualidad; hablando del uso de laboratorios virtuales trasciende el
ambiente de aula para enfocarse en el รกmbito de los campus virtuales y su impacto en la
preparaciรณn de profesionales en educaciรณn a distancia. Un detalle de aquello se verรก en la
revisiรณn bibliogrรกfica de literatura del capรญtulo primero.
Una vez que el autor recibiรณ en el programa de maestrรญa instrucciones sobre las ventajas del uso
de GeoGebra naciรณ el interรฉs de ayudar a los estudiantes de nivelaciรณn para que estos alcancen
el aprendizaje significativo en el tema triรกngulos usando el software sencillo de instalar; fรกcil y
gratuito para descargas desde el internet con lenguaje de alto nivel; actualizable directamente;
intuitivo y amigable. Eso motivรณ el interรฉs en implementar la propuesta del investigador.
La utilidad de la investigaciรณn para el maestro es que รฉste encuentra en el GeoGebra, a travรฉs de
la guรญa didรกctica con los contenidos del curso, un mediador de aprendizaje que le auxiliarรก en la
sistematizaciรณn del proceso educativo de forma pertinente. La utilidad para el estudiante es que
encuentra en la propuesta una forma motivante y divertida de construir su propio aprendizaje
profundizando y extendiendo sus reflexiones de modo pragmรกtico.
Esta tesis se divide en los siguientes capรญtulos:
El primer capรญtulo describe el problema de la investigaciรณn; visto รฉste no como una carencia
sino como una pregunta de orden cientรญfico que debe ser respondida en el marco epistemolรณgico
de las ciencias humanas en la enseรฑanza aprendizaje de las ciencias formales.
Incluye el marco teรณrico de las variables de la investigaciรณn; el aprendizaje activo desde el
enfoque de AlexeiLeontiev; una descripciรณn general sobre el programa GeoGebra y el enfoque
respectivo sobre lo que es el estudio sobre los triรกngulos; la fundamentaciรณn cientรญfica y teรณrica
que da soporte al estudio asรญ como la revisiรณn bibliogrรกfica que muestra el estado de la
investigaciรณn en la producciรณn cientรญfica internacional. Se incluye este apartado por el
requerimiento del mรฉtodo cientรญfico de basar nuevas investigaciones en leyes generales.
2
El segundo capรญtulodescribe el marco de hipรณtesis de la investigaciรณn; nuevamente el
requerimiento parte de la condiciรณn epistemolรณgica de la ciencia que propende al alejamiento
del dogmatismo proponiendo el conocimiento relativo, hipotรฉtico y falsable.
El tercer capรญtulo corresponde a la metodologรญa con la cual se realizรณ esta investigaciรณn; se
incluye el diseรฑo experimental que corresponde a un enfoque cualitativo cuantitativo de corte
cuasi experimental; poblaciรณn, muestra, tรฉcnicas, instrumentos e hipรณtesis del estudio.
El cuartocapรญtulo registra los resultados de la investigaciรณn: Son 3 momentos los que se
trabajaron; dos de ellos recogieron datos cualitativos basados no en encuestas de opiniรณn a
estudiantes por el peligro del sesgo que provocan sino de fichas de observaciรณn sobre los
alcances del desempeรฑo psicomotriz atribuido directamente al trabajo de geometrรญa. Finalmente
se incluye un anรกlisis final de alcances de aprendizaje paramรฉtrico, numรฉrico entre los
desempeรฑos de los grupos de control y experimental.
Posteriormente a este รบltimo capรญtulo, se incluye las conclusiones a las que llegรณ este estudio;
parten dichas conclusiones tanto de los objetivos e hipรณtesis del proyecto cuanto de los
resultados cualitativo-cuantitativos del estudio. Se registran a continuaciรณn las recomendaciones
desagregadas de las conclusionesdescritas en este capรญtulo.
Se describe la propuesta mediante la cual se implementรณ este estudio; se registra la
presentaciรณn; objetivos; operatividad, mecรกnica de implementaciรณn; descripciรณn general de
manera que los usuarios tengan una visiรณn general del documento. Se incluye finalmente la guรญa
didรกctica.
3
CAPรTULO I
1. PROBLEMATIZACIรN Y MARCO TรORICO CONCEPTUAL
La idea de los teoremas mecรกnicos puede remontarse a Leibniz en el siglo 17 y ha sido
formulado en formas matemรกticas precisas en este siglo por la escuela de Hilbert, asรญ como a sus
seguidores en la lรณgica matemรกtica. El problema consiste en esencia en la sustituciรณn de las
dificultades cualitativas heredadas en pruebas matemรกticas habituales por complejidades
cuantitativas de cรกlculos en la estandarizaciรณn de los procedimientos de prueba de manera
algorรญtmica.
Estas complejidades cuantitativos de cรกlculos, anteriormente muy lejos del alcance de las
capacidades humanas, se han vuelto mรกs y mรกs triviales debido a la apariciรณn y el rรกpido
desarrollo de las computadoras. A pesar de grandes esfuerzos, sin embargo, las investigaciones
en esta direcciรณn dan lugar a menudo resultados negativos en forma de teorรญas matemรกticas
indecidibles. Para citar un resultado positivo notable, podemos mencionar el mรฉtodo de
demostraciรณn de teoremas en la geometrรญa elemental (Wu, 1978).
En los รบltimos aรฑos el problema de la enseรฑanza fuera de foco se ha convertido en un tema
prominente en el รกmbito de la polรญtica y la reforma educativa, y los resultados de las
investigaciones han sido ampliamente reportados por los medios de comunicaciรณn.
Anรกlisis tambiรฉn han demostrado que la enseรฑanza fuera de foco varรญa mucho entre las
universidades, los maestros y las aulas. La cuestiรณn crucial, sin embargo, y la fuente de gran
malentendido es por quรฉ tantos maestros estรกn enseรฑando materias para las que tienen poca
profundizaciรณn (Ingersson, 1999).
La metodologรญa de la enseรฑanza en nuestro paรญs debe ir de la mano con los avances tecnolรณgicos
contemporรกneos en todos los รกmbitos de la ciencia. Es por esto que se considera necesario hacer
ajustes en el campo de la educaciรณn con miras a insertar dentro de los procesos de enseรฑanza-
aprendizaje las diferentes herramientas tecnolรณgicas que permitan facilitar al docente sus
explicaciones y la captaciรณn de los conocimientos a los estudiantes.
La Matemรกtica en general y en el caso en particular de la Geometrรญa Plana, no pueden estar al
margen de este proceso, al contrario, se ve la necesidad de la implementaciรณn de mรฉtodos
4
interactivos cada vez mรกs sofisticados para asimilar por parte de los estudiantes y de mejor
manera, las definiciones, postulados, axiomas, teoremas, corolarios, fundamentales en el estudio
de la geometrรญa.
Conforme los estudiantes van avanzando en el proceso educativo, sienten la necesidad
imperiosa de entender de mejor manera los principios matemรกticos que por lo general se
transmiten mediante recursos tรฉcnicos como el pizarrรณn o los papelรณgrafos y eso es sรณlo algo
particular de la problemรกtica geomรฉtrica que se estรก planteando.
Hay que entender que el sistema educativo universitario con respecto al secundario, es mรกs
autรณnomo y menos conductista - paternalista, lo que hace que el estudiante que arriba a este
nuevo sistema se distraiga de sus obligaciones estudiantiles como consecuencia de dicho
cambio. Esta es la razรณn por la cual se hace muy necesaria la bรบsqueda de soluciones
tecnolรณgicas para la enseรฑanza, por parte de los docentes.
Un problema mรกs que se puede citar tiene que ver con el currรญculo y es la desmotivaciรณn que se
genera en el docente de geometrรญa por el cambio repentino de asignatura de semestre a semestre.
Cualquier soporte tรฉcnico o herramienta desarrollado por el profesor para afrontar
pedagรณgicamente alguna materia, tarde o temprano se convierte en algo inรบtil.
Es un hecho que los docentes por diferentes circunstancias, no han incorporado formalmente a
su metodologรญa de enseรฑanza el uso de software matemรกtico especรญfico de Geometrรญa, que
aborde los contenidos establecidos de la asignatura por parte de la Senescyt, รณrgano rector รฉste
de la educaciรณn a nivel nacional.
Sin embargo existe por parte de los educadores el interรฉs y la preocupaciรณn por disponer de algo
certero metodolรณgicamente hablando, que vincule este tipo de tecnologรญa al contexto educativo
cotidiano, con programas geomรฉtricos especรญficos y orientados a los contenidos de la materia.
Para finalizar y con lo que quedarรญa planteado el problema; el docente de Geometrรญa Plana de
Nivelaciรณn de la Universidad de las Fuerzas armadas ESPE-EL, en su prรกctica diaria necesita de
la ayuda de herramientas tecnolรณgicas interactivas para mejorar el proceso de enseรฑanza-
aprendizaje de esta ciencia, sin perjuicio de que pueda tener otros tipos de ayuda que coadyuven
al fortalecimiento del quehacer acadรฉmico del profesor dentro del aula.
5
1.1 FORMULACIรN DEL PROBLEMA
ยฟSe puede mejorar el aprendizaje de las matemรกticas en los dominios cognitivo y psicomotriz;
en las temรกticas relacionadas con la geometrรญa de triรกngulos de estudiantes que apenas acaban
de dejar la educaciรณn secundaria e ingresan a los cursos de nivelaciรณn de las ingenierรญas a travรฉs
de mediadores didรกcticos como es el caso de GeoGebra?
1.2 OBJETIVOS
1.2.1 Objetivo general
Propiciar en los estudiantes la abstracciรณn de los contenidos cientรญficos mediante el software
GeoGebra en las temรกticas relacionadas con la geometrรญa de triรกngulos que sirvan de
fundamento para el abordaje de las disciplinas acadรฉmicas bรกsicas y profesionalizantes en el
รกrea de la ingenierรญa.
1.2.2 Objetivos especรญficos
Evaluar el uso de mรฉtodos interactivos en el proceso educativo, frente a los mรฉtodos
convencionales utilizados por parte de los docentes de la asignatura de Geometrรญa Plana.
Analizar la pertinencia de la ejecuciรณn de este proyecto con propรณsitos acadรฉmicos.
Analizar los diferentes softwares que se disponen en la red y que sirvan para el propรณsito
establecido.
Establecer la mejor opciรณn de software, para el desarrollo del tema sobre triรกngulos segรบn el
programa de asignatura de Nivelaciรณn.
Desarrollar utilizando el software adecuado, una herramienta interactiva que facilite y
mejore la enseรฑanza de la geometrรญa en el tema de triรกngulos, la misma que debe constar
de vistas: grรกficas, algebraicas y textuales.
Elaborar un instructivo para el profesor, de tal manera que รฉste tenga el conocimiento y la
facilidad adecuada para el manejo del programa interactivo frente a los estudiantes.
6
Contrastar la validez de la aplicaciรณn del programa interactivo geomรฉtrico desarrollado, en el
proceso educativo.
1.3 JUSTIFICACIรN
La inminente necesidad de mejorar la metodologรญa de la enseรฑanza por parte del Departamento
de Ciencias Exactas de la Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE-EL, debido a que los
estudiantes de Nivelaciรณn que arriban al sistema de educaciรณn superior llegan con una serie de
falencias, hizo que sea imperioso el desarrollo de este estudio y su correspondiente
implementaciรณn.
El estudiante al ser promovido a niveles superiores, se da cuenta que conlleva una serie de
vacรญos y no puede afrontar eficientemente las nuevas exigencias acadรฉmicas de las asignaturas
de su pensum de estudio relacionados con la Geometrรญa. Mediante la implementaciรณn de la
metodologรญa didรกctica activa el estudiante es capaz de desenvolverse con facilidad y soltura al
abordar contenidos abstractos con la ayuda de un mediador interesante y fรกcil de usar.
Es importante que el estudiante desde un inicio en Nivelaciรณn, tenga un conocimiento claro de
todos los principios geomรฉtricos y quรฉ mejor si se lo hace a travรฉs de mรฉtodos interactivos,
porque eso le permite estar mรกs relacionado con la realidad matemรกtica y universal. Esto se
propicia con la implementaciรณn del interfaz didรกctico.
Al desarrollar esta aplicaciรณn interactiva se tiene una herramienta adicional de trabajo,
permitiendo que el docente no derive tiempo ni esfuerzo a actividades que la presente propuesta
ya ha realizado, por mediaciรณn del programa interactivo de aprendizaje activo denominado
GeoGebra.
El problema que abordรณ esta investigaciรณn es un problema de actualidad y aunque aรบn no ha
sido solucionado plenamente en la entidad educativa objeto de este estudio ha contribuido en
paliar sus consecuencias. La Instituciรณn es la Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE-EL, el
Departamento es el de Ciencias Exactas y el curso es el de Nivelaciรณn.
Justificรณ el desarrollo de esta investigaciรณn la demostraciรณn de que mediante el uso de paquetes
interactivos e informรกticos se facilitaron los procesos pedagรณgicos, mรฉtodos y modelos
educativos, permitiendo que estos alcancen un alto grado de eficiencia y una optimizaciรณn del
sistema educativo y de los de recursos tanto humanos como materiales empleados.
7
1.4 REVISIรN DE LA LITERATURA
Responde a la pregunta: ยฟQuรฉ se investiga en la actualidad sobre los laboratorios virtuales como
mediadores del aprendizaje abstracto?.
Herold, D. (2009) escribiรณ su artรญculo โVirtual education: Teaching media studies in
SecondLifeโque trasla aprobaciรณn del mundo virtual por las instituciones de educaciรณn de tercer
nivel en todo el mundo, un estudio limitado se llevรณ a cabo en la Universidad Politรฉcnica de
Hong Kong para probar la viabilidad y la conveniencia de emplear un entorno virtual para
impartir clases.
Treinta tutoriales se celebraron en un perรญodo de cinco semanas en apoyo de un curso de
Ciencias de la Comunicaciรณn con sesenta estudiantes. Lainformaciรณn fue recogida
continuamente con los estudiantes y el profesor, a travรฉs de entrevistas informales, formularios
de contacto, y la observaciรณn participante.
Los resultados no apoyan la mayorรญa de las hipรณtesis, pero apoyaron el valor de la enseรฑanza
virtual y el aprendizaje en un entorno institucional de apoyo. En el documento se hace hincapiรฉ
a la necesidad de integrar los entornos virtuales en el marco educativo de cursos y por un
examen cuidadoso de los objetivos educativos y el uso de los mundos virtuales en cursos
especรญficos.
AnilKumar et al(Kumar, A., Kumar, P., & Basu, S. C., 2001)de la Universidad de Wisconsin
(2001) registran su investigaciรณn denominada โStudentperceptions of virtual education:
Anexploratorystudyโ en la cual afirma que con los aรฑos los instructores y administradores han
trabajado juntos para proporcionar educaciรณn a los estudiantes en las instituciones acadรฉmicas.
Los instructores y administradores son responsables de la difusiรณn de los conocimientos y la
metodologรญa es simple: el instructor transfiere el conocimiento a los estudiantes. La fusiรณn de la
tecnologรญa informรกtica y las comunicaciones estรก transformando la forma en que enseรฑamos y
aprendemos.
Las aulas fรญsicas estรกn siendo sustituidas por las aulas electrรณnicas. Los roles de los participantes
se estรกn redefiniendo en donde el instructor se convierte en un facilitador en el aula electrรณnica
y los estudiantes participan en estas clases desde cualquier lugar y en cualquier momento.
Las preguntas que se plantean para las universidades incluyen: ยฟEs este el futuro de la
educaciรณn superior? ยฟLos campus virtuales reemplazan las aulas tradicionales? En este estudio
8
se explora y se discuten las percepciones de los estudiantes de una universidad rural con
respecto a la educaciรณn virtual. Tambiรฉn se discuten las implicaciones para los participantes en
el sistema educativo.
Starr, D. (1998) predecรญa en los 90s la evoluciรณn de la educaciรณn virtual sosteniendo que con las
tecnologรญas informรกticas avanzadas se ofrecen oportunidades para una mayor interactividad
entre profesor y alumno desde el escritorio, las universidades pรบblicas y privadas se estรกn
moviendo mรกs allรก de la conexiรณn rural y mirando a la educaciรณn a distancia como un medio
mรกs eficiente y barato de educar a una poblaciรณn en la necesidad de la formaciรณn continua de
un modo competente y competitivo en un mercado mundial en rรกpida evoluciรณn.
Cursos y programas de estudio proporcionados a travรฉs de Internet han dado una nueva
dimensiรณn a la educaciรณn virtual y planteado cuestiones filosรณficas y prรกcticas รบnicas para el
mรฉtodo de entrega, la interacciรณn y la administraciรณn de la enseรฑanza virtual.
El avance de las tecnologรญas estรกn cambiando las prรกcticas actuales en la educaciรณn a distancia
y la ampliaciรณn de sus posibilidades para el futuro. Este artรญculo revisa algunos de los principios
bรกsicos para la prรกctica educativa que considere las tendencias actuales y las posibles
direcciones futuras para la educaciรณn superior; se consideran Diseรฑo y temas de instrucciรณn para
el desarrollo de la educaciรณn virtual.
9
1.5 FUNDAMENTACIรN CIENTรFICA
1.5.1 Fundamentaciรณn epistemolรณgica
La teorรญa de la actividad de Lev Vygotsky (Arboleda, 2007) es la base de esta investigaciรณn por
cuanto establece que para que el estudiante produzca el conocimiento sobre triรกngulos se echa
mano a intermediarios de aprendizaje como es el caso del programa interactivo GeoGebra cuyo
lenguaje es de alto nivel.
1.5.2 Fundamentaciรณn sicolรณgica
Esta importante orientaciรณn corresponde al trabajo de Jean Piaget (Piaget, J., & Petit, N. ,
1971) quien discrimina correctamente las diferentes etapas de desarrollo del ser
humano respetando su edad cronolรณgica; asรญ, un niรฑo no aprende como un hombre.
Las herramientas de mediaciรณn en este caso no buscan entretener ni motivar el
aprendizaje de matemรกticas de hombres adultos de universidad sino traducir el
lenguaje abstracto en concreto para la abstracciรณn de las ciencias exactas a ser
aplicadas en los conocimientos de ingenierรญa.
1.5.3 Fundamentaciรณn pedagรณgica
La realidad social en la que se desenvuelve el estudiante universitario han hecho posible la
realizaciรณn de este trabajo de investigaciรณn; a diferencia del paradigma cuantitativo
frรญo del mรฉtodo cartesiano, este estudio ha tomado en cuenta la pedagogรญa del
oprimido la cual busca la libertad interior del sujeto, que es lo que justamente
pretende el investigador(Freire, 2005).
1.5.4 Fundamentaciรณn legal
La Constituciรณn de la Repรบblica del Ecuador (2008), el Plan Nacional del Buen Vivir, la Ley
Orgรกnica de Educaciรณn Superior (Asamblea, 2010) y sus orientaciones referentes a
la pertinencia de las universidades en el Ecuador forman la base del desarrollo de
esta investigaciรณn que busca mejorar las capacidades de los ecuatorianos (PNBV,
Objetivo 2, 2013) a travรฉs de la implementaciรณn de la tecnologรญa en el proceso
educativo.
10
1.6 FUNDAMENTACIรN TEรRICA
La teorรญa de la actividad de Leontiev; fundamento del aprendizaje a travรฉs de laboratorios reales
y virtuales como GeoGebra.
La teorรญa de la actividad (Leontiev, 2014) del alumno de Vygotsky es el fundamento teรณrico en
el cual se basa el desarrollo de esta tesis y propuesta complementaria: La teorรญa de la actividad
orienta la participaciรณn involucrada del estudiante en su propio aprendizaje a travรฉs del uso de
mediadores; como es el caso de GeoGebra y su interacciรณn (ZDP) con los compaรฑeros y el
maestro como facilitador. La imagen siguiente muestra una secuencia sistemรกtica de la
operaciรณn de esta teorรญa.
Imagen 1-1. Sistema teรณrico de la actividad
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Los desarrolladores contemporรกneos de la teorรญa de la actividad de Leontiev reinterpretan,
acomodan y actualizan la aplicaciรณn de esta teorรญa en el marco de la contemporaneidad; dando
nueva vigencia a esta propuesta que vio la luz en los aรฑos 20 y 30 del siglo 20.
Actividad
Acciรณn
Operaciรณn
11
La teorรญa histรณrico-cultural de la actividad fue iniciada por un grupo de psicรณlogos rusos
revolucionarios en los aรฑos 1920 y 1930. El enfoque era Lev Vygotsky (1896-1934) y sus
colegas A. Leontiev y A. Luria. Ellos formularon un nuevo concepto teรณrico de trascender la
comprensiรณn dominante de la psicologรญa que luego fue dominado por el psicoanรกlisis y el
conductismo. Esta nueva orientaciรณn fue un modelo de artefacto mediado y la acciรณn orientada a
objetos (Ordรณรฑez, 2004).
La relaciรณn entre el agente humano y los objetos del entorno estรก mediada por medios
culturales, herramientas y signos. Leontiev introdujo un รฉnfasis en la divisiรณn del trabajo como
un proceso histรณrico fundamental detrรกs de la evoluciรณn de las funciones mentales. Mediada por
las herramientas, el trabajo tambiรฉn se lleva a cabo en condiciones de la actividad colectiva
conjunta. La distinciรณn entre la actividad, la acciรณn y la operaciรณn se convirtiรณ en la base del
modelo de la actividad de Leontiev.
La teorรญa de la actividad fue principalmente el resultado de un esfuerzo mayor para desarrollar
una nueva psicologรญa basada en la filosofรญa marxista, un esfuerzo que comenzรณ poco despuรฉs de
la revoluciรณn rusa de 1917. Varios programas para la reestructuraciรณn de la psicologรญa en una
base marxista se formularon en los aรฑos 20 y 30, y debates muy acalorados entre los defensores
de los distintos enfoques no eran infrecuentes en ese momento.
Uno de los primeros postulados de los psicรณlogos soviรฉticos fue el llamado "principio de unidad
e inseparabilidad de la conciencia (es decir, la mente humana) y la actividad". El significado de
este principio es que la mente humana llega a existir, se desarrolla, y sรณlo puede ser entendida
en el contexto de la interacciรณn significativa orientada a objetivos y socialmente determinada
entre los seres humanos y su entorno material(Bannon, L. J., & Bรธdker, S, 1989).
La teorรญa de la actividad no es una "teorรญa" en la interpretaciรณn estricta del tรฉrmino. Se compone
de un conjunto de principios bรกsicos que constituyen un sistema conceptual general que puede
ser utilizado como una base para las teorรญas mรกs especรญficas. Estos principios bรกsicos de la teorรญa
de la actividad incluyen el objeto de orientaciรณn hacia los conceptos duales de internalizaciรณn /
externalizaciรณn, la herramienta de mediaciรณn, la estructura jerรกrquica de la actividad, y el
desarrollo continuo.
El principio de los objetos orientados es que los seres humanos viven en una realidad que es
objetiva en un sentido amplio; las cosas que constituyen esta realidad no sรณlo tienen las
propiedades que se consideran objetivo, de acuerdo con las ciencias, sino son socialmente
propias en sรญ mismas.
12
La teorรญa de la actividad (Leontiev, 2014)diferencia entre las actividades internas y externas. La
nociรณn tradicional de los procesos mentales corresponde a las actividades internas. La teorรญa de
la actividad hace hincapiรฉ en que las actividades internas no pueden entenderse si se analizan
por separado, al margen de las actividades externas, porque hay transformaciones mutuas entre
estos dos tipos de actividades: la internalizaciรณn y la externalizaciรณn;el contexto general de la
actividad (que incluye tanto componentes externos como internos) que determinan cuรกndo y por
quรฉ las actividades se convierten de internas a externas y viceversa.
El รฉnfasis de la teorรญa de la actividad actรบa en los factores sociales y en la interacciรณn entre los
agentes y de sus entornos(Ausubel, 1980); explica por quรฉ el principio de mediaciรณn juega un
papel central dentro del enfoque. En primer lugar, las herramientas dan forma a la manera de
cรณmo los seres humanos interactรบan con la realidad. Y, de acuerdo con el principio anterior de
internalizaciรณn / externalizaciรณn, dan forma a las actividades externas que en รบltima instancia se
traduce en la formaciรณn de los principios internos.
En segundo lugar, las herramientas suelen reflejar las experiencias de otras personas que han
tratado de resolver problemas similares en un momento anterior y modificado la herramienta
para hacerla mรกs eficiente. Esta experiencia se acumula en las propiedades estructurales de las
herramientas (forma, material, etc.), asรญ como en el conocimiento de cรณmo se debe utilizar la
herramienta.
1.6.1 Crรญticos de la โteorรญa de la actividadโ de Leontiev
A continuaciรณn los principales crรญticos de la โteorรญa de la actividadโ de Leontiev, con sus
correspondientes opiniones.
Liam Bannon&SusanneBรธdker
En la teorรญa de la actividad humana, la unidad bรกsica de anรกlisis es la actividad o trabajo
humano. Las actividades humanas son impulsadas por ciertas necesidades que las personas
desean para alcanzar un fin determinado(Bertelsen, O. W., & Bรธdker, S, 2002). Esta actividad
estรก mediada normalmente por uno o mรกs instrumentos o herramientas (el concepto de
mediaciรณn es fundamental para toda la teorรญa).
Por ejemplo el carpintero usa una sierra y un martillo para producir una casa de madera y
similares; el maestro utiliza el lenguaje, libros, fotografรญas, mapas, etc. para enseรฑar a sus
alumnos la matemรกtica. Sin embargo, la construcciรณn de una casa de carpintero no estรก sola en
el mundo. El artesano de nuestra historia trabaja junto con otros carpinteros, asรญ como con otros
trabajadores de la construcciรณn.
13
El conjunto de los carpinteros dividen su trabajo entre ellos. Las formas de hacer el trabajo,
basadas en la tradiciรณn y compartidas por un grupo de carpinteros, enfermeras o similares se
llama prรกctica o praxis. Al obtener una formaciรณn como carpintero o enfermero uno llega a
compartir esta praxis. Al mismo tiempo que cada individuo que tiene una praxis รฉl o ella
cambian tambiรฉn, mediante la presentaciรณn de nuevas formas de hacer las cosas.
Los seres humanos median su actividad por los artefactos(Leontiev, 2014): el carpintero utiliza
un martillo para clavar un clavo, las enfermeras utilizan el lenguaje y los registros para
coordinar sus acciones hacia los pacientes y con los demรกs, etc. Las herramientas, las normas y
el lenguaje puede ser vistos como artefactos para la actividad: se hacen por los seres humanos
que median en las relaciones entre los seres humanos o entre las personas y el material o
producto en diferentes etapas.
Una de las principales aportaciones de Vygotsky fue que รฉl tambiรฉn vio sistemas de lenguaje y
sรญmbolos como herramientas psicolรณgicas para el desarrollo de la condiciรณn humana(Vygotsky,
1987). Los artefactos no sรณlo estรกn allรญ para nosotros cuando se nos presenta una determinada
actividad, sino que tambiรฉn son un producto de nuestra actividad, y como tales se cambian
constantemente a travรฉs de la actividad. Esta "mediaciรณn" es esencial en las formas en que
podemos entender los artefactos a travรฉs de la teorรญa de la actividad.
Martin Ryder
En sus tรฉrminos mรกs simples, una actividad se define como la participaciรณn de un sujeto hacia
una cierta meta u objetivo. En la naturaleza, una actividad es tรญpicamente no mediada.
Recogiendo una mora de un arbusto y comer es una actividad simple, sin mediaciรณn que implica
la acciรณn directa entre el sujeto y el objeto.
En la mayorรญa de los contextos humanos las actividades estรกn mediadas a travรฉs de la utilizaciรณn
de instrumentos culturalmente establecidos, incluyendo el lenguaje, artefactos, y los
procedimientos establecidos. La recolecciรณn de hongos en el bosque y comerlos es una actividad
que estรก mal aconsejada sin alguna forma de mediaciรณn.
Es prudente apropiarse de un conocimiento previo, una guรญa de campo, la educaciรณn previa en
micologรญa, el asesoramiento directo de un recolector de hongos con experiencia, o alguna otra
forma de realizaciรณn de la experiencia humana con los hongos o setas(Wilson, B., & Ryder, M. ,
1996).
Es necesario llevar la experiencia previa de la historia en la actividad actual. Los animales
tienen un solo mundo, el mundo de los objetos y situaciones directas, mediadas sรณlo a travรฉs del
14
instinto. Los seres humanos tienen mundos ejecutivos de otros seres humanos que pueden
invocar en el presente a travรฉs del uso del lenguaje y artefactos (Luria, 1981) como en el caso
del GeoGebra.
Una actividad es realizada por un agente humano (sujeto) que estรก motivado hacia la soluciรณn
de un problema o propรณsito (objeto), y mediada por instrumentos (artefactos) en colaboraciรณn
con los demรกs (la comunidad). La estructura de la actividad estรก limitada por factores culturales,
incluyendo convenciones (reglas) y estratos sociales (divisiรณn del trabajo) en el
contexto(Leontiev, 2014).
Engestrรถm llama la atenciรณn sobre el papel de la mediaciรณn de la comunidad y el de las
estructuras sociales, incluyendo la divisiรณn del trabajo y los procedimientos establecidos. En el
ejemplo de los hongos, un recolector con mรกs conocimiento podrรญa servir como capacitador, que
dicta las reglas. Lo mรกs probable, el experto podrรญa servir en la capacitaciรณn como profesor o
entrenador, explicando los criterios que utiliza para discriminar entre las setas comestibles y las
venenosas.
Los conocimientos necesarios podrรญan venir en forma de un conjunto estructurado de reglas que
especifican claramente los procedimientos detallados que se deben seguir en la selecciรณn de
hongos comestibles. Es interesante hacer uso de algรบn instrumento exรณtico que puede probar
una pieza de la seta y realizar anรกlisis quรญmico necesario para detectar sustancias venenosas. El
conocimiento necesario para un sistema de actividad puede surgir en cualquiera mediante una
combinaciรณn de instrumentos, artefactos y roles de mediaciรณn(Vygotsky, 1987).
Segรบn Vygotsky, un individuo humano nunca reacciona sรณlo directamente al medio ambiente.
La relaciรณn entre el agente humano y el objeto estรก mediada por medios culturales o artefactos.
Los tipos bรกsicos de estos medios son signos y herramientas. Durante la socializaciรณn, un
individuo interioriza, mediante la participaciรณn en actividades comunes con otros seres humanos
los medios de la cultura: el lenguaje, teorรญas, artefactos tรฉcnicos, asรญ como las normas y modos
de actuaciรณn(Engestrรถm, Y., Miettinen, R., & Punamรคki, R. L. , 1999).
La conciencia no existe, no estรก situada dentro de la cabeza del individuo, sino en la interacciรณn
realizada a travรฉs de la actividad material, entre las formas objetivas de la cultura creada por la
mano de obra de la humanidad.
La teorรญa de la actividad desarrollรณ aรบn mรกs las ideas de Vygotsky; A. Leontiev, discรญpulo de
Vygotsky destacรณ que la actividad tambiรฉn estรก mediada socialmente: la conciencia y el
significado siempre se forman en conjunto, la actividad colectiva (Leontiev, 2014). Como
resultado, la unidad de anรกlisis en el estudio de la actividad mediada es humana, es un sistema
15
de actividad, la comunidad de actores tiene un objeto comรบn de la actividad (Engestrรถm, Y.,
Miettinen, R., & Punamรคki, R. L. , 1999).
El modelo mediato social se caracteriza por la divisiรณn del trabajo y las reglas de mediaciรณn de
la interacciรณn entre los individuos en el sistema de actividad. El sistema de actividad colectiva
como unidad de anรกlisis conecta el punto de vista psicolรณgico, cultural e institucional para el
anรกlisis. El estudio de la actividad deja de ser la psicologรญa de un individuo y se centra en la
interacciรณn entre un individuo, los sistemas de artefactos y otras personas en el desarrollo de
marcos institucionales histรณricamente(Leontiev, 2014).
Maximina M. Freire
El intento de correlacionar el contexto, los participantes y los textos como interactuantes en
eventos comunicativos sugiere la posibilidad de interpretar su interrelaciรณn mediante la
aplicaciรณn del anรกlisis de la triple estratigrรกfica de la actividad social (Leontiev, 2014). Este
marco ayuda a entender las actividades, acciones y operaciones realizadas por los participantes
y para revelar sus motivos, objetivos y condiciones instrumentales, respectivamente(Freire M. ,
1995).
Para Leontiev, el concepto de actividad responde a una necesidad especรญfica del agente activo:
se mueve hacia el objeto de esta necesidad y termina cuando es satisfecho. En consecuencia, el
concepto de actividad estรก necesariamente conectado con el concepto de motivo.
Imagen 2-1. Actividad: Necesidad-motivo
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Las actividades se traducen en la realidad a travรฉs de un especรญfico conjunto de acciones que
estรกn subordinadas a la idea de tener un objetivo consciente. Comparativamente, las actividades
y acciones son realmente diversas realidades que no coinciden: una acciรณn puede ser decisiva en
Necesidad Motivo Necesidad
16
la realizaciรณn de diferentes actividades; por el contrario, uno de los motivos puede dar lugar a
diferentes objetivos y, en consecuencia, puede producir diferentes acciones(Leontiev, 2014).
La distinciรณn entre las acciones y operaciones emerge claramente en el caso de acciones que
involucran herramientas: mientras que las acciones estรกn conectadas a objetivos conscientes, las
operaciones estรกn relacionadas con comportamientos rutinarios realizados de forma automรกtica,
sin incluir el mismo nivel de conciencia.
Bonnie A. Nardi
La teorรญa de la actividad es una herramienta descriptiva poderosa, mรกs que una teorรญa altamente
predictiva. El objeto de la teorรญa de la actividad es comprender la unidad de la conciencia y de la
actividad. La teorรญa de la actividad incorpora fuertes nociones de intencionalidad, la historia, la
mediaciรณn, la colaboraciรณn y el desarrollo en la construcciรณn de la conciencia(Nardi, B. A.,
Whittaker, S., & Bradner, E., 2000).
Los teรณricos de la actividad argumentan que la conciencia no es un conjunto de actos discretos
incorpรณreos cognitivos (la toma de decisiones, la clasificaciรณn, el recuerdo) y desde luego no es
el cerebro; mรกs bien la conciencia que se encuentra en la prรกctica cotidiana: eres lo que haces.
Lo que se hace estรก bien e inexplicablemente incrustado en la matriz social de la que cada
persona es una parte orgรกnica. La matriz social se compone de personas y objetos. Los
artefactos pueden ser herramientas fรญsicas o sistemas de signos como el lenguaje humano. La
comprensiรณn de la interpenetraciรณn de la persona, otras personas y artefactos en la actividad
cotidiana es la teorรญa de la actividad(Leontiev, 2014); el reto que se ha establecido para sรญ
mismo.
En la teorรญa de la actividad, los artefactos son mediadores del pensamiento y el comportamiento
humano; no ocupan el mismo espacio ontolรณgico. La gente no se reduce a "nodos" o "agentes"
en un sistema; el "procesamiento de informaciรณn" no se ve como algo a ser modelado de la
misma manera para las personas y las mรกquinas.
La teorรญa de la actividad propone que la actividad no se puede entender sin comprender el papel
de los artefactos en la existencia cotidiana, la teorรญa de la actividad tiene que ver con la prรกctica,
es decir, hacer actividad, que implica significativamente "el dominio de los dispositivos y
herramientas de la actividad laboral externos".
17
1.6.2 Software matemรกtico interactivo
Los software matemรกticos interactivos con fines educativos, forman parte de las TICยดS y su
definiciรณn se le debe tomar en el sentido de que es cualquier paquete informรกtico, que tiene
como objetivo ser usado como herramienta y recurso didรกctico para el proceso educativo de la
matemรกtica, con un aceptable grado de interacciรณn entre el programa y el usuario.
1.6.3 Caracterรญsticas y clasificaciones de los software educativos
En general, Los software de corte educativo tratan de temas relacionados a la matemรกtica y a
otras disciplinas como la fรญsica, la quรญmica, etc. Para Marquรจs (1996) todos estos software
comparten cinco caracterรญsticas fundamentales:
Poseen un propรณsito didรกctico desde el momento de su creaciรณn.
Hacen uso de la computadora para el planteo de las actividades que los alumnos tienen que
realizar.
Son interactivos en mayor o menor grado, contestando oportunamente las acciones de los
estudiantes. Permiten un diรกlogo y un intercambio de informaciรณn entre el ordenador y
los alumnos.
Individualizan el trabajo de los estudiantes, adaptรกndose al ritmo de cada uno de ellos y
modificando sus actividades segรบn las respuestas dadas.
Son fรกciles de usar puesto que los conocimientos informรกticos necesarios para utilizar la
mayorรญa de estos programas son mรญnimos, aunque cada programa tiene sus propias reglas
de funcionamiento que es necesario conocer.
En cuanto a una clasificaciรณn de los software educativos, los aspectos que se toman en cuenta
para tal propรณsito son los siguientes (Marquรจs, 1996): los contenidos, destinatarios, estructura,
posibilidad de modificar sus contenidos, bases de datos, medios que integra, inteligencia,
objetivos educativos que pretende facilitar, procesos cognitivos que activa, funciรณn en el
aprendizaje, tratamiento de los errores, funciรณn en la estrategia didรกctica y diseรฑo.
Mientras que Cataldi (2000) considera que uno de los aspectos claves que se debe tomar en
cuenta en el desarrollo de software educativo, es el que se refiere a las caracterรญsticas de la
interface de comunicaciรณn, que a su vez deben coincidir con la teorรญa comunicacional aplicada y
con las estrategias que se desarrollan para el logro de determinados procesos mentales. De
18
acuerdo a este criterio, su autora, hace la siguiente clasificaciรณn de los software educativos:
tutoriales, simuladores, entornos de programaciรณn y herramientas de autor.
Por otro lado Galvis Panqueva (1992), piensa que una forma inicial de clasificar los software
educativos, es dividirlos en algorรญtmicos y heurรญsticos.
Los algorรญtmicos son aquellos que hacen que el aprendizaje fluya desde quien enseรฑa hacia el
que aprende. Quien diseรฑa el software planifica la secuencia de actividades que tiene que
realizar el estudiante; el rol del alumno es asimilar la mayor cantidad de conocimientos posibles
por medio de la utilizaciรณn de la herramienta.
En los software de tipo heurรญstico, su caracterรญstica fundamental, es que el aprendizaje se lleva
a cabo por experimentaciรณn y descubrimiento. El diseรฑador del software crea ambientes, que el
alumno debe explorar y llegar al conocimiento a partir de la experiencia. Estos conocimientos
pueden someterse a prueba inmediatamente con la misma herramienta.
El autor antes mencionado, hace la siguiente clasificaciรณn para los software educativos:
tutoriales, sistemas de ejercitaciรณn y prรกctica, simuladores, juegos educativos, sistemas expertos
y sistemas inteligentes de enseรฑanza.
1.6.4 Software geomรฉtricos disponibles en la red o el mercado
Hay un sinnรบmero de software geomรฉtricos interactivos en el mercado informรกtico que se
encuentran a las รณrdenes del pรบblico, como se mencionรณ en el capรญtulo 1. Los mรกs importantes
se detallan y se definen a continuaciรณn y de los cuales se seleccionarรกel mรกs adecuado para la
aplicaciรณn que se pretende hacer. La selecciรณn se harรก en funciรณn de las necesidades acadรฉmicas
y pedagรณgicas del aula; y, tambiรฉn en funciรณn de las leyes ecuatorianas, las mismas que
determinan que el software que se aplique a la educaciรณn tiene que ser libre.
TheGeometerโsSketchpad: Es un programa comercial popular de geometrรญa interactiva que
sirve para explorar otras รกreas de las matemรกticas: geometrรญa euclidiana, รกlgebra y cรกlculo. Fue
creado por Nicholas Jackiw. Estรก diseรฑado para funcionar en Windows 95 o Windows NT 4.0 o
posterior y Mac OS 8.6 o posterior (incluyendo Mac OS X). Tambiรฉn funciona en Linux bajo
Wine con algunos errores.
Sketchpad no sรณlo es uno de los primeros, sino que tambiรฉn es reconocido como uno de los mรกs
potentes procesadores geomรฉtricos. Las caracterรญsticas que lo distinguen, dentro de la amplia
gama de software de geometrรญa dinรกmica, son principalmente las posibilidades que brinda para
graficar ecuaciones, insertar botones para controlar animaciones (incluso opciones de
visualizaciรณn como ocultar/ mostrar objetos) y la elaboraciรณn de guiones de las construcciones
19
(ThegeometerโsSketchpad, 2015).
GeoGebra: Es un software matemรกtico interactivo libre, diseรฑado para la educaciรณn en colegios
y universidades. Su creador MarkusHohenwarter, comenzรณ el proyecto en el aรฑo 2001 en la
Universidad de Salzburgo y lo continรบa en la Universidad de Atlantic, Florida. GeoGebra estรก
escrito en Java y por tanto estรก disponible en mรบltiples plataformas. Es bรกsicamente un
procesador geomรฉtrico y un procesador algebraico; es decir, un compendio de matemรกtica con
software interactivo que reรบne geometrรญa, รกlgebra, cรกlculo y otras disciplinas.
Su categorรญa mรกs cercana es software de geometrรญa dinรกmica. Con GeoGebra pueden realizarse
construcciones a partir de puntos, rectas, semirrectas, segmentos, vectores, cรณnicas, etc.,
mediante el empleo directo de herramientas operadas con el ratรณn o la anotaciรณn de comandos
en la Barra de Entrada, con el teclado o seleccionรกndolos del listado disponible. Todo lo trazado
es modificable en forma dinรกmica (Wikipedia 30-05-2014).
GeoEnZo: Es una herramienta de dibujo para pizarras digitales. Incluye herramientas virtuales,
como un compรกs, una escuadra y una regla.
La interface grรกfica de GeoEnzo es atractiva y fรกcil de utilizar, realmente simula un pizarrรณn y
la utilizaciรณn de herramientas de geometrรญa para realizar trazos, por esta razรณn, este software es
prรกctico y de gran utilidad para los docentes que imparten clases de matemรกticas y/o geometrรญa.
CabriGeometry Plus II: Es un software y una herramienta para la enseรฑanza - aprendizaje de
Geometrรญa, dirigido a profesores de matemรกtica y alumnos de enseรฑanza media.Es un software
comercialproducido por la compaรฑรญa francesa Cabrilog. Fue diseรฑado pensando en la facilidad
de uso.
El programa permite al usuario animar las figuras geomรฉtricas, demostrando una considerable
ventaja sobre aquellos que son dibujados en la pizarra. Las relaciones entre puntos de un objeto
geomรฉtrico fรกcilmente pueden ser demostradas, que puede ser รบtil en el proceso de
aprendizaje. Tambiรฉn hay funciones grรกficas y visualizaciรณn que permiten la exploraciรณn de las
conexiones entre รกlgebra y geometrรญa. El programa puede ejecutarse bajo Windows o Mac OS.
Autocad: Es un software de diseรฑo asistido por computadora para dibujo en dos y tres
dimensiones. Actualmente es desarrollado y comercializado por la empresa Autodesk. El
tรฉrmino AutoCAD surge como creaciรณn de la compaรฑรญa Autodesk, teniendo su primera
apariciรณn en 1982.
AutoCAD es un software reconocido a nivel internacional por sus amplias capacidades de
ediciรณn, que hacen posible el dibujo digital de planos de edificios o la recreaciรณn de imรกgenes
20
en 3D. AutoCAD es uno de los programas mรกs usados; elegido por arquitectos, ingenieros y
diseรฑadores industriales.
Desglosando su nombre, se encuentra que Auto hace referencia a la empresa creadora del
software (Autodesk) y CAD a Diseรฑo Asistido por Computadora (por sus siglas en inglรฉs)
(Wikipedia 30-05-2014).
Geometrycalculator:Permite calcular cuatro medidas distintas (circunferencia, รกrea, superficie y
volumen) de diversas figuras geomรฉtricas, aplicando las diferentes fรณrmulas adecuadas para
cada cรกlculo junto con los valores proporcionados (Godino, 2004).
Geometrycalculator es un software que realiza operaciones bรกsicas de cรกlculo de รกreas. Esta
aplicaciรณn no resuelve operaciones complejas, sin embargo el principal uso es para fines
pedagรณgicos ya que permite que su uso sea prรกctico.
1.6.5 Valoraciรณn cualitativa de softwares en la red
Tabla 1-1. Cuadro comparativo
Parรกmetro a medir
GeoGebra
AUTOCAD
CabriGeo
metry plus
II
GeometryC
alculator
GeoEnzo
GeometerโsS
ketchpad
Licencia libre
X
X
X
Grรกficos algebraicos
X
X
X
X
Grรกficos a mano alzada
X
X
X
X
X
Grรกficos en 3D
X
X
Grรกficos en 2D
X
X
X
X
X
X
Grรกficos fรกciles
de interpretar
X
X
X
X
X
Variedad de herramientas
X
X
X
X
CONTINUAโฆ..
21
CONTINUACIรN
Interface atractiva
X
X
X
X
X
Fรกcil de utilizar
X
X
X
X
X
X
Variedad de idiomas
X
X
X
X
X
Variedad de
sistemas operativos
X
Exportaciรณn a
otros formatos
X
X
X
PONDERACIรN FINAL
12
8
7
3
10
9
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: REVISTA VรNCULOSVol 10
1.6.6 Selecciรณn del software interactivo GeoGebra
Una poderosa herramienta de enseรฑanza ha sido la integraciรณn y el uso de la tecnologรญa
mediante GeoGebra. Elegir GeoGebra como el software para ser utilizado en los estudios a
nivel superior y para este trabajo tiene varias razones. En primer lugar, GeoGebra es un
software libre, multiplataforma de cรณdigo abierto de matemรกtica dinรกmica(Hohenwarter, M., &
Jones, K. , 2007).
Debido a su naturaleza de cรณdigo abierto no existen problemas de licencia asociados con su uso,
permitiendo a los estudiantes y profesores la libertad de utilizarlo tanto dentro del aula como en
casa. En segundo lugar, GeoGebra combina la geometrรญa dinรกmica, รกlgebra, cรกlculo, hojas de
cรกlculo y (que otros paquetes tratan por separado) en un solo paquete fรกcil de usar por lo que es
adecuado para el aprendizaje y la enseรฑanza de las matemรกticas tanto desde la escuela primaria
hasta la universidad (como en el caso de esta investigaciรณn).
En tercer lugar, GeoGebra tiene una gran cantidad internacional de usuarios y la comunidad de
desarrolladores con los usuarios de 190 paรญses el software se traduce en la actualidad a 55
idiomas y genera cerca de 300.000 descargas por meses. La caracterรญstica mรกs poderosa de
GeoGebra es la conexiรณn que establece entre la geometrรญa, el Algebra, cรกlculo y
estadรญstica(Losada, 2007).
GeoGebra es un sistema de geometrรญa dinรกmica en la que se trabaja con puntos, vectores,
segmentos, rectas y secciones cรณnicas. GeoGebra es tambiรฉn un sistema algebraico dinรกmico,
22
donde las ecuaciones y coordenadas se pueden introducir directamente. Las funciones pueden
ser definidas algebraicamente y luego cambian dinรกmicamente despuรฉs.
GeoGebra tiene una pantalla sencilla en el fondo, que tiene la capacidad de hacer frente a
variables para los nรบmeros, vectores y puntos, encontrar derivadas e integrales de funciones y
ofrece comandos como raรญz y extremos. Estos dos puntos de vista son caracterรญsticos de
GeoGebra: una expresiรณn en la ventana algebraica que corresponde a un objeto en la ventana
geomรฉtrica y viceversa.
La vista de hoja de cรกlculo se ha aรฑadido recientemente por lo que es posible introducir datos en
los grรกficos de hojas de cรกlculo y ver en la ventana de geometrรญa grรกfica mientras mantiene su
caracterรญstica dinรกmica. Aunque GeoGebra ha tenido como objeto principal la enseรฑanza de las
matemรกticas en las escuelas secundarias, sin duda, tiene usos en la educaciรณn superior e incluso
en los niveles de primaria(GeoGebra, 2014).
La necesidad de hacer que los profesores competentes usen la tecnologรญa en el aula aumenta
rรกpidamente. Sin embargo, el conocimiento de la tecnologรญa no garantiza un buen uso de la
tecnologรญa en el aula. La cuestiรณn de lo que los profesores necesitan saber para poder incorporar
la tecnologรญa en su enseรฑanza ha recibido una gran atenciรณn en la รบltima dรฉcada.
(Mishra, P., & Koehler, M. , 2006)han introducido el tรฉrmino 'Conocimiento didรกctico del
contenido tecnolรณgico' para describir un marco de conocimientos necesarios del maestro para
integrar la tecnologรญa en el aula. El conocimiento de la tecnologรญa no puede aislarse de los
contenidos y la enseรฑanza de las buenas matemรกticas, lo que requiere una comprensiรณn sobre
cรณmo la tecnologรญa estรก relacionada con la pedagogรญa y las matemรกticas (Hughes, 2005).
En el instituto, GeoGebra se ha integrado en todos los cursos el entretejido de las tres
principales fuentes de conocimiento: la tecnologรญa, la pedagogรญa y las matemรกticas. Los
siguientes son ejemplos que ilustran algunos de los conceptos presentados en los cursos y cรณmo
GeoGebra ayudรณ a los maestros en servicio la exploraciรณn matemรกtica, el descubrir y
comprender algunos conceptos matemรกticos muy abstractos.
Fracciones continuas
Euler demostrรณ en 1737 que cada nรบmero racional podrรญa expresarse como una fracciรณn
continua simple. El GeoGebra permite a los profesores hacer el mismo descubrimiento de una
manera grรกfica y dinรกmica. Con GeoGebra es muy fรกcil crear rectรกngulos con longitudes
racionales (Geogebra, 2014).
23
Despuรฉs de crear rectรกngulos, se puede proceder a dividir el rectรกngulo en cuadrados de una
manera muy sistemรกtica. Despuรฉs de que el rectรกngulo se llena con plazas mรกs grandes posibles
que caben dentro de las dimensiones del rectรกngulo se pueden escribir como fracciรณn propia y
se transforman en una fracciรณn continua.
La conexiรณn entre el รกlgebra y la representaciรณn geomรฉtrica de la fracciรณn continua es inmediata
y poderosa. La representaciรณn geomรฉtrica de fracciones continuas de finitos de GeoGebra ofrece
a los profesores la oportunidad de descubrir una representaciรณn de nรบmeros racionales que es
directamente conectado al algoritmo de Euclides.
Este elegante, pero muy abstracto algoritmo que encuentra el mรกximo comรบn denominador se
hace transparente a los profesores una vez que vean la representaciรณn geomรฉtrica en GeoGebra.
La siguiente pregunta natural es ยฟquรฉ pasa si los nรบmeros no son racionales; una investigaciรณn
en GeoGebra con el rectรกngulo de oro ayuda a los maestros a descubrir que algunos tipos de
nรบmeros irracionales tienen un patrรณn interesante en su fracciรณn continua de expansiรณn al
infinito.
El rectรกngulo de oro es uno de los mejores ejemplos a utilizar y la representaciรณn de la
proporciรณn รกurea como fracciรณn continua es hermosa en sรญ misma. La convergencia de la
proporciรณn รกurea se puede explorar desde la expansiรณn en fracciones continuas y la conexiรณn
entre la proporciรณn รกurea y los nรบmeros de Fibonacci que se muestran de forma natural.
La investigaciรณn adicional en GeoGebra ayuda a los maestros para que reconozcan que sรณlo los
nรบmeros son soluciones de ecuaciones de segundo grado que tienen una fracciรณn periรณdica de
expansiรณn continua. En GeoGebra es crucial el descubrimiento de la relaciรณn entre la similitud
en la representaciรณn geomรฉtrica y la periodicidad en la expansiรณn de fracciones continuas.
Lagrange utilizando fracciones continuas para encontrar el valor de las raรญces irracionales,
demostrรณ que una raรญz real cuadrรกtica irracional es una fracciรณn periรณdica continua. Los
maestros y estudiantes pueden hacer el mismo descubrimiento gracias al uso de GeoGebra. El
tema de las fracciones continuas es una rica temรกtica de matemรกticas con muchas conexiones
con el currรญculo escolar(Escuder, 2011).
Con este tema no sรณlo los maestros aprenden contenido matemรกtico sino tambiรฉn tecnologรญa, ya
que tienen que construir representaciones geomรฉtricas en GeoGebra, asรญ como la pedagogรญa
permite a los maestros experimentar una hermosa lecciรณn sobre la base de la investigaciรณn y el
descubrimiento durante la construcciรณn de su propia comprensiรณn matemรกtica. Otro ejemplo del
uso de GeoGebra son las espirales.
24
Estas construcciones sencillas en GeoGebra puede explorarse geomรฉtricamente y su relaciรณn
con el infinito geomรฉtrico, series y patrones se convierten en un tema de importancia crucial en
la matemรกticas a nivel superior. Matemรกticamente, la espiral Baravelle es una ilustraciรณn
geomรฉtrica de una bรกsica concepciรณn de cรกlculo; la suma de una serie geomรฉtrica
infinita(GeoGebra, 2014).
Las espirales Baravelle se definen como espirales de anidaciรณn, que se forman marcando el
punto central de los lados de un polรญgonoy luego uniendo los puntos de los lados adyacentes
para formar un triรกngulo isรณsceles en el interior del polรญgono original.
La evidencia de los efectos de GeoGebra a lo largo de los รบltimos aรฑos
Los estudios anuales repetidos han demostrado que los maestros participantes han aumentado su
capacidad de dominio espacial. La informaciรณn se obtiene mediante diversos estudios que
incluyen varios instrumentos como encuestas, observaciones en el aula y entrevistas dadas a
todos los participantes en diferentes partes alrededor del mundo(GeoGebra, 2014).
GeoGebra fue preparado para elevar el entusiasmo en la aplicaciรณn efectiva y prudente de la
tecnologรญa para la educaciรณn. GeoGebra tambiรฉn influye en el cambio de los hรกbitos de los
maestros. Dos caracterรญsticas son especรญficamente mencionadas como causantes de este cambio:
1. Software ganador de premios por su innovaciรณn 2. Proporciona un modelo pedagรณgico eficaz
para los maestros(Escuder, 2011).
Los aspectos de GeoGebra que lo hacen ganador de premios, es la medida en que dichos
aspectos son relacionados con los cambios de hรกbitos de los maestros. El apoyo a las
demostraciones del maestro, lo que permite que los estudiantes tengan oportunidades de
exploraciรณn en tiempo real, y que, incluso si el software que se usa es GeoGebra se propondrรกn
muchas expectativas de mejoramiento en los docentes en cuanto a normas para el futuro uso de
la tecnologรญa.
GeoGebra tambiรฉn proporciona un modelo pedagรณgico eficaz para los maestros. Lo hace,
modelando las normas asignadas para la Educaciรณn Superior. Las demostraciones de GeoGebra
se explican como una contribuciรณn a la modelizaciรณn de una pedagogรญa eficaz para los
profesores(GeoGebra, 2014).
25
1.6.7 Partes y caracterรญsticas de GeoGebra
Barra de herramientas:Mediante la cual se pueden dibujar las diferentes formas geomรฉtricas.
Barra de menรบ de รณrdenes:A travรฉs de la cual se seleccionan alternativas de dibujo y de
ediciรณn.
Vista algebraica:En esta parte se encuentran las expresiones algebraicas de todos los objetos
geomรฉtricos dibujados y definidos. Se clasifican en expresiones de objetos libres y objetos
dependientes.
Vista grรกfica:En esta zona se visualizan las formas geomรฉtricas establecidas.
Lรญnea de comandos:Llamada tambiรฉn barra de entrada, permite ingresar los comandos para
crear objetos geomรฉtricos.
Hoja de cรกlculo:Hace las mismas funciones de Microsoft Excel (GeoGebra, 2015).
Imagen 3-1. Partes del GeoGebra
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: GeoGebra.org
26
1.6.8 Generalidades para la creaciรณn de objetos geomรฉtricos en GeoGebra
Se introduce informaciรณn en el GeoGebra para dibujar, principalmente con la barra de
herramientaso por la barra de entrada. Hay que tener en cuenta que GeoGebra por defecto
rotula y pone nombre a todo cuanto objeto geomรฉtrico creemos. Se puede modificar a gusto del
usuario, pero por omisiรณn lo harรก alfabรฉticamente utilizando mayรบsculas para PUNTOS y
minรบsculas para CURVAS.
El menรบ de รณrdenes (barra de herramientas) se compone de una serie de iconos muy
descriptivos de la funciรณn que realizan. Pinchando en el pequeรฑo triangulito que tienen en su
esquina inferior derecha, se obtiene un menรบ desplegable con diferentes posibilidades. Cuando
se selecciona una de ellas, a la derecha de los iconos un breve texto explica de manera precisa
cรณmo usar la herramienta seleccionada (Geogebra, 2015).
Barra de entrada o lรญnea de comandos
Cualquier acciรณn hecha a travรฉs de la barra de herramientas puede introducirse a travรฉs de esta
lรญnea de entrada. Sin embargo eso requiere conocer el correspondiente comando. Esto es mรกs
incรณmodo, aunque da mayor versatilidad.
Si se quiere utilizar como ejemplo el comando Curva, que sirve para dibujar una grรกfica a partir
de sus ecuaciones paramรฉtricas, una vez que se comienza a escribir la palabra, el editor de textos
completa automรกticamente el nombre del comando que se va introduciendo.
A la derecha de la barra de entrada, existe un menรบ desplegable con la lista de comandos del
cual se puede seleccionar el que el usuario desee (GeoGebra, 2015).
Graficaciรณn de puntos
La actividad mรกs repetida al hacer una determinada construcciรณn es colocar un punto. Al
hacerlo a travรฉs de la barra de herramientas se debe utilizar el รญcono que representa un punto y
es el que se encuentra en segunda posiciรณn. Luego basta mover el puntero a la posiciรณn deseada
y pinchar, segรบn la caracterรญstica deseada por el usuario. Conviene tener en cuenta que si se
coloca un punto sobre una determinada recta o curva, GeoGebra sรณlo permitirรก desplazarlo
sobre esa recta o curva.
Como ejemplo; si se coloca un punto sobre la intersecciรณn de los ejes coordenados, GeoGebra
considerarรก que siempre debe de pertenecer al mismo tiempo a ambas rectas y por tanto serรก un
punto fijo. Puede evitarse esto introduciendo las coordenadas del punto A = (0,0) directamente a
27
travรฉs de la lรญnea de comandos y el objeto creado de esta manera, ahora es un objeto libre y se
lo puede desplazar por la ventana grรกfica a gusto del usuario (GeoGebra, 2015).
Graficaciones varias
En la barra de herramientas se puede seleccionar con el puntero del mouse el grรกfico geomรฉtrico
que se quiere realizar. Luego a la derecha de la barra, aparecen las instrucciones a ejecutarse
para alcanzar el objetivo planteado.
Asรญ por ejemplo, si se quiere construir una circunferencia de una cierta medida de radio y centro
en un determinado punto; en la barra de herramientas y en el sexto casillero a travรฉs del puntero
se selecciona la opciรณn Circunferencia dados su Centro y Radio, luego se pincha en la pantalla
grรกfica en el sitio que se quiere que sea el centro de la circunferencia y a continuaciรณn se
despliega una ventana donde que se solicita la dimensiรณn del radio; se ingresa dicha medida e
inmediatamente aparece la circunferencia esperada.
Para cualquier grรกfico a realizarse, es importante seguir las instrucciones que aparecen al
costado derecho de la barra de herramientas.
Para salir de la acciรณn de cualquier comando en ejecuciรณn, se pincha el primer รญcono de la barra
de herramientas en la opciรณn Elige y Mueve, el cual solamente permite desplazar los trazos
geomรฉtricos. Posteriormente se puede seleccionar cualquier otra opciรณn o acciรณn.
Modificaciรณn de caracterรญsticas de objetos creados
Pulsando con el botรณn derecho sobre cualquier objeto, tanto en la ventana grรกfica como en la
algebraica, aparece un menรบ desplegable que permite modificar las caracterรญsticas de dicho
objeto. Los mรกs usuales a continuaciรณn:
Muestra objeto:Permite ocultar o mostrar el objeto. Es muy comรบn que al finalizar alguna
construcciรณn geomรฉtrica, se quiera ocultar determinados objetos, que sรณlo fueron usados de
manera auxiliar para el trabajo.
Muestra rรณtulo:Permite queen la ventana grรกfica aparezca el nombre del objeto.
Activa rastro:Permiteque el objeto deje o no rastro al desplazarlo. Por defecto estรก
desactivado, pero puede ser รบtil por ejemplo, para estudiar lugares geomรฉtricos.
Borra:Sirve para eliminar objetos. Hay que tener en cuenta que cuando se borra un objeto,
tambiรฉn se eliminan todos los objetos dependientes de รฉl.
28
Propiedades:Se visualiza un menรบ mรกs amplio que controla en detalle absolutamente todos
los aspectos del objeto que se ha elegido. Por ejemplo, se puede convertirlo en objeto fijo si no
se quiere que se mueva; tambiรฉn se puede modificar el color, grosor del trazo, estilo, la
expresiรณn algebraica, etc. (GeoGebra, 2015).
Desplazamiento de objetos con el puntero:
Cuando el primer botรณn de la barra de herramientas estรก activado en Elige y Mueve, se pueden
mover los objetos (los que no hayan sido fijados) manteniendo pulsado sobre ellos el botรณn
izquierdo del ratรณn. Es una caracterรญstica muy potente del GeoGebra, porque todos los objetos
dependientes se modificarรกn respecto al que hemos movido respetando las reglas de
construcciรณn (GeoGebra, 2015).
Grabaciรณn del trabajo
Se puede guardar el trabajo realizado en archivo .ggb, seleccionando la opciรณn Guarda en la
secciรณn Archivo de los menรบs desplegables o a travรฉs del teclado (Ctrl+S).
En la opciรณn Archivo - Exporta, se puede grabar el grรกfico en otros formatos de imagen; copiar
al portapapeles; o incluso incluirlo, con todas sus opciones interactivas intactas, en alguna
pรกgina web (GeoGebra, 2015).
Proceso de construcciรณn
En la secciรณn Vista de los menรบs desplegables, se tiene la opciรณn Protocolo deConstrucciรณn.
Aquรญ se puede reproducir y estudiar los distintos pasos que se han seguido para hacer una
determinada construcciรณn. Esto es una gran herramienta para aprender de lo que han hecho los
demรกs (GeoGebra, 2015).
Modalidades de uso del GeoGebra
Existen diferentes modalidades de uso; una de ellas es instalando el programa en el computador
y se podrรก utilizar cada vez que se abra la aplicaciรณn en el mismo ordenador, independiente de si
tiene o no acceso a internet. La otra modalidad es simplemente operando el programa desde la
misma pรกgina web.
Para descargar este programa se ingresa a: http://www.geogebra.org/cms/es. El software pide la
descarga de JAVA; este es un programa gratuito el cual te dejara utilizar el software sin ningรบn
problema(GeoGebra, 2015).
29
1.6.9 Ilustraciones grรกficas deGeoGebra
Imagen 4-1. Descargar GeoGebra
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: GeoGebra.org
Imagen 5-1. Panel escritorio indicador
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: GeoGebra
30
Imagen 6-1. Panel de elecciรณn de movimiento
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: GeoGebra
Imagen 7-1. Panel rectas, segmentos y vectores
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: GeoGebra
31
Imagen 8-1. Panel construcciones con rectas
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: GeoGebra
Imagen 9-1. Panel polรญgonos
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: GeoGebra
32
Imagen 10-1. Panel circunferencias
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: GeoGebra
Imagen 11-1. Panel cรณnicas
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: GeoGebra
33
Imagen 12-1. Panel รกngulos y medidas varias
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: GeoGebra
Imagen 13-1. Panel simetrรญa
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: GeoGebra
34
Imagen 14-1. Panel texto y probabilidades
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: GeoGebra
Imagen 15-1. Panel deslizador y botones
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: GeoGebra
35
Imagen 16-1. Panel desplazamiento y ocultamientos
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: GeoGebra
Imagen 17-1. Panel Archivo
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: GeoGebra
36
Imagen 18-1. Panel Edita
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: GeoGebra
Imagen 19-1. Panel Vista
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: GeoGebra
37
Imagen 20-1. Panel Opciones
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: GeoGebra
Imagen 21-1. Panel Herramientas
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: GeoGebra
38
Imagen 22-1. Panel ventana
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: GeoGebra
Imagen 23-1. Panel Ayuda
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: GeoGebra
39
Imagen 24-1. Construcciรณn de circunferencia circunscrita
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: GeoGebra
Imagen 25-1. Circunferencia dados sus centro y uno de sus puntos
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: GeoGebra
40
1.7 CONCEPTUALIZACIONES
El presente trabajo tiene la finalidad de aplicar un software matemรกtico interactivo, a la
enseรฑanza de un tema especรญfico de la Geometrรญa Plana que se imparte en Nivelaciรณn de la
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE-EL; por lo tanto es menester hacer ciertas
definiciones sobre conceptos que se estรกn manejando en el desarrollo de este trabajo.
Para comenzar, hay que decir que cuando se habla de software matemรกtico interactivo con
fines acadรฉmicos, entonces se estรก hablando de software educativo pero con un enfoque
matemรกtico, que es justamente el concepto que se va a comenzar a definir en principio, segรบn el
criterio que tienen varios autores importantes sobre este tema, basados en sus investigaciones y
los trabajos realizados por ellos, a lo largo del tiempo. Estas definiciones son las que siguen:
Marquรจs (1996) considera que dentro de la expresiรณn โsoftware educativoโ se estรก englobando
a โtodos los programas educativos y didรกcticos creados para computadoras con fines especรญficos
de ser utilizados como medio didรกctico, para facilitar los procesos de enseรฑanza y de
aprendizajeโ.
Segรบn McFarlane y De Rijcke (1999) es el software que se utiliza en un contexto educativo y
que abarca una variedad amplia y eclรฉctica de herramientas y recursos. โDe hecho, engloba un
conjunto de entidades tan variables que el hecho de depender de un entorno informatizado crea
una impresiรณn de homogeneidad que no resiste un anรกlisis meticulosoโ (p.103).
Para Cataldi (2000) โSe define como software educativo a โlos programas de computaciรณn
realizados con la finalidad de ser utilizados como facilitadores del proceso de enseรฑanzaโ y
consecuentemente de aprendizaje, con algunas caracterรญsticas particulares tales como: la
facilidad de uso, la interactividad y la posibilidad de personalizaciรณn de la velocidad de los
aprendizajesโ (p.14).
Careaga Butter (2001) establece que: โEs un programa o conjunto de programas
computacionales que se ejecutan dinรกmicamente segรบn un propรณsito determinado. Se habla de
software educativo cuando los programas incorporan una intencionalidad pedagรณgica,
incluyendo uno o varios objetivos de aprendizaje.โ
Labaรฑino (2005) lo define como una aplicaciรณn informรกtica concebida especialmente como
medio, integrado al proceso de enseรฑanza aprendizaje.
41
De las definiciones realizadas por los autores anteriores, importantes por cierto, se puede decir
que en general son bastante parecidas con las consabidas diferencias que existen entre una y otra
persona. Es necesario entonces hacer una definiciรณn que sea mรกs concreta y que abarque a todas
ellas.
En funciรณn de esto, se define como softwareeducativo al conjunto de todos los programas
computacionales que tienen propรณsitos de enseรฑanza aprendizaje de temas concernientes a una
determinada asignatura de enseรฑanza, los mismos que pretenden imitar la labor tutorial
personalizada que realizan los profesores y presentan modelos de representaciรณn del
conocimiento en consonancia con los procesos cognitivos que desarrollan los alumnos. Esta es
la definiciรณn que se utilizarรก durante esta investigaciรณn, de aquรญ en adelante.
Otros conceptos que se necesitan definir son los relacionados con la palabra interactivo. Con la
ayuda de laWikipedia se han recabado las definiciones que estรกn a continuaciรณn y que tambiรฉn
serรกn utilizados en el transcurso de este trabajo.
Interactividad: La interactividad es un concepto ampliamente utilizado en las ciencias de la
comunicaciรณn, la informรกtica, el diseรฑo multimedia y el diseรฑo industrial.
Interactivo: Dรญcese de un programa que permite una interacciรณn a modo de diรกlogo entre
ordenador y usuario. En su campo de aplicaciรณn suele hablarse de tres niveles de comunicaciรณn:
No interactiva, cuando un mensaje no se relaciona con otro previo.
Reactiva, cuando un mensaje se relaciona รบnicamente con el previo inmediato.
Interactiva, cuando un mensaje se relaciona con una serie de elementos previos.
Rafaeli(1988) ha definido a la interactividad como "una expresiรณn extensiva que en una serie de
intercambios comunicacionales implica que el รบltimo mensaje se relaciona con mensajes
anteriores a su vez relativos a otros previos" (p.111).
La interactividad es similar al nivel de respuesta, y se estudia como un proceso de comunicaciรณn
en el que cada mensaje se relaciona con el previo, y con la relaciรณn entre รฉste y los precedentes.
En el contexto de la comunicaciรณn entre ser humano y mรกquina, el concepto se refiere al
comportamiento interactivo del aparato tal como lo experimente el primero. Esto difiere de otros
aspectos de la mรกquina tales como su apariencia visual, su forma de trabajo interna, o el
significado de los signos que transmita.
42
Por ejemplo, la interactividad de un walkman no reside en su forma fรญsica o color, su habilidad
para reproducir mรบsica, o su capacidad de almacenamiento: es en cambio el comportamiento de
su interfaz de usuario tal como รฉste la experimenta. Esto incluye la forma en que debe moverse
el dedo sobre el comando, la forma en que รฉste permite seleccionar una canciรณn para
reproducirla, y la manera en que uno controla el volumen.
43
CAPรTULO II
2. SISTEMA HIPOTรTICO
2.1 PLANTEAMIENTO DE HIPรTESIS Y DETERMINACIรN DE VARIABLES
Los medios tecnolรณgicos digitales se constituyen en herramientas importantes del conocimiento
en la etapa actual del desarrollo de la humanidad y en todos los รกmbitos existentes. La
computadora y las telecomunicaciones potencian su gran versatilidad y campo de acciรณn.
En diversas partes del planeta la computadora se aplica de manera muy variada, en los procesos
de enseรฑanza-aprendizaje, tanto de manera presencial como a distancia, y sin lugar a dudas se
vislumbra un enorme potencial, sobre todo con el desarrollo tan impresionante del Internet y de
diversas tecnologรญas accesorias en permanente desarrollo, como lo son las tablets y los
pizarrones electrรณnicos.
Una vez desarrollada la parte teรณrica del presente trabajo, se plantea la siguiente hipรณtesis:
2.1.1 Hipรณtesis
La aplicaciรณn de software matemรกtico interactivoGeogebra a la enseรฑanza del tema de
Triรกngulos de la Geometrรญa Plana como una herramienta de trabajo, le permite al Docente
facilitar y mejorar el rendimiento acadรฉmico de los estudiantes en el tema triรกngulos, de
acuerdo al programa de asignatura de nivelaciรณn de la Universidad de las Fuerzas Armadas
ESPE-EL.
ยฟAyuda realmente al proceso educativo de los estudiantes de Nivelaciรณn, la aplicaciรณn de
software matemรกtico en forma interactiva a la enseรฑanza-aprendizaje de la Geometrรญa Plana,
frente a los mรฉtodos convencionales utilizados por los docentes?
La respuesta es que en el campo de las Matemรกticas ya se cuenta con diversos softwares, que
posibilitan un mejor aprovechamiento de la creatividad, sensibilidad, experiencia, madurez y
conocimiento matemรกtico por parte de quien lo usa y que ademรกs, entre otras cosas, facilita
44
construir material interactivo para poder inducir el descubrimiento y ayudar a visualizar de
muchas maneras resultados complicados, dejando asรญ mรกs tiempo para el anรกlisis y la
profundizaciรณn de los conceptos.
Muy especialmente para la Geometrรญa, el uso del software proporciona amplias posibilidades
para visualizar, explorar, analizar y conjeturar resultados. Existen softwares que le proporcionan
al usuario la posibilidad de colocar las construcciones geomรฉtricas en diversas situaciones, a
diferencia de los dibujos estรกticos y casi รบnicos de un libro, o lo que se puede hacer en un
pizarrรณn tradicional.
Al usar softwares para realizar construcciones geomรฉtricas, otra ventaja aunque parezca simple,
es el hecho de poder borrar y hacer trazos, cuantas veces sea necesario y hacerlo con extrema
pulcritud.
2.1.2 Variable independiente
Aplicaciรณn de software matemรกtico interactivoGeogebra a la enseรฑanza del tema de
Triรกngulos de la Geometrรญa Plana como una herramienta de trabajo del Docente.
En realidad existe una amplia gama de softwares matemรกticos, que permitirรญan realizar una
aplicaciรณn geomรฉtrica interactiva a la enseรฑanza del tema de triรกngulos, correspondiente al
programa de asignatura de Nivelaciรณn. Cada uno de estos softwares matemรกticos, con sus
propias caracterรญsticas y posibilidades de desarrollo de construcciones geomรฉtricas dinรกmicas e
interactivas, ayudarรญan de alguna manera apoyar la enseรฑanza y el aprendizaje de esta ciencia
matemรกtica en menciรณn.
Algunos de ellos ya descritos anteriormente y de los cuales se seleccionรณ alGeogebra como el
software mรกs adecuado para este trabajo, son: TheGeometerยดsSketchpad, GeoLab, Geogebra,
CabriGeometry Plus II, Cinderella, Autocad, entre otros.
2.1.3 Variable dependiente
Rendimiento acadรฉmico de los estudiantes en el tema triรกngulos, de acuerdo al programa de
asignatura de nivelaciรณn de la Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE-EL.
Finalmente, lo que se pretende alcanzar con este proyecto que a la postre se convierte en la
variable dependiente, es la ayuda que recibe el docente del paquete interactivo, para mejorar el
proceso de enseรฑanza - aprendizaje de los estudiantes de Nivelaciรณn de la Universidad de las
Fuerzas Armadas ESPE-EL, de la Geometrรญa Plana.
45
2.2 OPERACIONALIZACIรN CONCEPTUAL DE LAS VARIABLES
Tabla 1-2. Operacionalizaciรณn conceptual de las variables
VARIABLE DEFINICIรN CONCEPTUAL
Variable Independiente:
Aplicaciรณn de software matemรกtico
interactivoGeogebra a la enseรฑanza del tema de
triรกngulos de la Geometrรญa Plana como una
herramienta de trabajo del Docente.
Desarrollo del soporte lรณgico de un sistema
informรกtico que haga posible la realizaciรณn de
tareas especรญficas como es la enseรฑanza de la
Geometrรญa Plana, el mismo que serรก aplicado en
forma interactiva y orientado hacia el tema de
Triรกngulos correspondiente al programa de
asignatura deNivelaciรณnde la Universidad de las
Fuerzas Armadas ESPE-EL.
Variable Dependiente:
Rendimiento acadรฉmico de los estudiantes en el
tema triรกngulos, de acuerdo al programa de
asignatura de Nivelaciรณn de la Universidad de las
Fuerzas Armadas ESPE-EL.
Logros acadรฉmicos cuantitativos de abstracciรณn
cientรญfica que se obtienen por la aplicaciรณn del
software matemรกtico interactivo, en la
enseรฑanza-aprendizaje del tema de triรกngulos de
la Geometrรญa Plana de Nivelaciรณn de la
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE-EL,
correspondiente al programa de asignatura.
Elaborado por: Carlos Torres 2014
46
2.3 OPERACIONALIZACIรN METODOLรGICA DE LAS VARIABLES
Tabla 2-2. Operacionalizaciรณn metodolรณgica de las variables
VARIABLE DIMENSIONES INDICADORES ITEMS
Variable Independiente:
Aplicaciรณn de software
matemรกtico interactivo
Geogebra a la
enseรฑanza del tema de
triรกngulos de la
Geometrรญa Plana como
una herramienta de
trabajo del Docente.
Psicomotriz:
Imitaciรณn
Seguimiento
de
instrucciones
Independencia
Precisiรณn.
El estudiante sigue
visualmente y realiza las
construcciones que el profesor
hace en el pizarrรณn(Grupo de
control) o en la ventana grรกfica
del GeoGebra(Grupo
experimental), sin preguntar
nada.
El estudiante sigue
instrucciones dadas textualmente
y construye lo solicitado por el
profesor de manera adecuada.
El estudiante crea
soluciones propias a
construcciones planteadas por el
profesor en GeoGebra.
El estudiante crea
soluciones propias y prรกcticas a
construcciones planteadas por el
profesor en GeoGebra, con
precisiรณn.
Prueba
diagnรณstica:
Aplicada al
grupo
experimental y
de control
ANEXO 1
Prueba primera
evaluaciรณn:
Aplicada al
grupo
experimental
ANEXO 2
Prueba final:
Aplicada al
grupo
experimental y
de control
ANEXO 3
CONTINรAโฆ.
47
CONTINUACIรN
Variable Dependiente:
Rendimiento
acadรฉmico de los
estudiantes en el tema
triรกngulos, de acuerdo
al programa de
asignatura de
Nivelaciรณn de la
Universidad de las
Fuerzas Armadas
ESPE-EL.
Cognitivo:
Comprensiรณn
Anรกlisis
Sรญntesis
Aplicaciรณn
El estudiante comprende
conceptos y definiciones
fundamentales sobre triรกngulos.
El estudiante analiza
sistemรกticamente la estructura de
problemas planteados sobre
triรกngulos.
El estudiante sintetiza
elementos cientรญficos del
problema planteado, en la
bรบsqueda de estrategias de
soluciรณn al problema.
El estudiante aplica
teoremas en la resoluciรณn de
problemas que involucran
triรกngulos.
Prueba
cognitiva:
Aplicada al grupo
experimental y de
control
ANEXO 4
Elaborado por: Carlos Torres 2014
48
CAPรTULO III
3. MARCO METODOLรGICO
3.1 DISEรO Y TIPO DE ESTUDIO
La investigaciรณn objeto de este estudio es de corte cuasi experimental y sus tipos de estudio
correlacionales y explicativos, puesto que se requiere saber el comportamiento de la variable de
salida versus la variable de entrada, buscando en lo posible las razones o causas que lo
provocan.
Se eligieron 2 grupos de investigaciรณn: uno experimental y el otro de control.
Con el grupo experimental se hizo un seguimiento longitudinal; es decir, estudio de las
caracterรญsticas de abstracciรณn de aprendizajes a lo largo de 3 evaluaciones psicomotrices
(O1,O2,O3) y una evaluaciรณn cognitiva (C1), mientras que con el grupo de control se aplicaron
2 evaluaciones psicomotrices (O1,O3) y una evaluaciรณn cognitiva (C1).
Las pruebas O1, O3 y C1 son exactamente iguales tanto para el grupo de control asรญ como
experimental. El diseรฑo descrito se puede apreciar en la tabla 1-3.
Elaborado por: Carlos Torres2014
GE O1 X O2 O3 C1
----------------------------------------------------------------
GC O1 - - O3 C1
Tabla 1-3. Diseรฑo Experimental
49
Donde:
GE: Grupo experimental GC:Grupo de control
O1:Prueba diagnรณstico O2:Prueba primera evaluaciรณn
O3:Prueba evaluaciรณn finalC1: Prueba Cognitiva
X: Aplicaciรณn de la Propuesta
3.2 DETERMINACIรN DE LA POBLACIรN
La poblaciรณn equivale a 60 estudiantes de nivelaciรณn de la Universidad de las Fuerzas Armadas
ESPE-EL.
3.3 MUESTRA
La muestra equivale a los 60 estudiantes de la poblaciรณn; dividida en 2 grupos: uno
experimental y otro de control. Se buscaron 2 paralelos homogรฉneos para poder aplicar la
correlaciรณn respectiva.
3.4 MรTODO, TรCNICAS E INSTRUMENTOS
3.4.1 Mรฉtodo
Los mรฉtodos usados en el desarrollo de este estudio fueron:
Mรฉtodo hipotรฉtico-deductivo.- Propone conclusiones hipotรฉticas y no dogmรกticas.
Mรฉtodo inductivo.- Parte metodolรณgicamente de principios basados en indagaciones para
llegar a leyes hipotรฉticas empรญricas generales.
50
Mรฉtodo cientรญfico.- Se basa en la elaboraciรณn de trabajos cientรญficos cuyas partes son las
siguientes:
Planteamiento del Problema
Planteamiento de la hipรณtesis
Experimentaciรณn
Validaciรณn de la hipรณtesis
Divulgaciรณn cientรญfica (informe de tesis)
Mรฉtodo Estadรญstico.-Al ser las distribuciones no paramรฉtricas por el uso de instrumentos
cuyos datos son no numรฉricos, en el primer caso se recurriรณ a la prueba Chi cuadrado para
validaciรณn de la hipรณtesis en el รกmbito psicomotriz y z normalizado para el dominio cognitivo
en el segundo, por ser la muestra mayor a 30 individuos y suponerse la distribuciรณn normal (al
ser numรฉrica excepcionalmente).El nivel de significaciรณn correspondiente fue de 0,05 que es el
apropiado para este tipo de estudios basados en el aprendizaje.
Mรฉtodo Empรญrico.-Clases expositivas durante 2 semanas en ambos grupos de investigaciรณn
para evitar sesgos de historia o maduraciรณn cientรญfica (los grupos debรญan ser iguales).Aplicaciรณn
de GeoGebra de las clases de geometrรญa en el grupo experimental mientras que en el grupo de
control se continuรณ con las clases expositivas.
Se realizaron sendas evaluaciones en cada uno de los momentos de la investigaciรณn; en cada
grupo.
Se recogieron datos a travรฉs de listas de cotejos en los dominios psicomotriz (observaciรณn) y
cognitivo (matriz de logros de aprendizaje).
Se tabularon datos para obtener correlaciones entre mรฉtodo y logros psicomotrices ademรกs de
cognitivos.
51
Tabla 2-3. Tรฉcnicas e instrumentos
Estadรญstica Tรฉcnica Instrumento Prueba
No
paramรฉtrica
Observaciรณn
estructurada
Lista de
cotejos
Chi cuadrado
Paramรฉtrica Hoja de
registro
Matriz de
logros
Zeta
normalizada
Elaborado por: Carlos Torres 2014
3.5 MATERIALES
Los materiales y recursos necesarios que fueron utilizados en la elaboraciรณn de esta tesis son los
siguientes:
Recursos informรกticos.
Tecnolรณgicos
Programas informรกticos y estadรญsticos
Matrices de registro y encuestas
52
CAPรTULO IV
4. ANรLISIS, INTERPRETACIรN Y PRESENTACIรN DE RESULTADOS.
PROPUESTA
4.1 RESULTADO DE ENCUESTAS A DOCENTES
4.1.1 Encuesta Nยฐ 1
Nivelaciรณn de la Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE-L, estรก constituido por 9 docentes
de matemรกticas, quienes imparten la asignatura de geometrรญa con el tema triรกngulos. Para medir
el grado de aceptaciรณn que tiene el Docentepor la enseรฑanza de la geometrรญa con un software
matemรกtico interactivo, se procediรณ a elaborar una encuesta cuyo formato se encuentra
establecido en el ANEXO 5 como encuesta Nยฐ 1 y con la cual se encuestรณ a los 9 profesores.
Esta misma encuesta permitiรณ definir por parte de los docentes al software Geogebra, como la
herramienta mรกs adecuada en nuestro medio para enseรฑar la geometrรญa, por una serie de virtudes
que tiene sobre los otros software que se encuentran en la red, concordando de esta forma con la
tabla 1 de esta investigaciรณn, que establece dichas ventajas, segรบn la revista VรNCULOS Vol10
(2015).
En la tabla 1-4 se tienen los resultados de la primera encuesta a los docentes, donde que se
pueden apreciar las frecuencias con las que los encuestados respondieron a cada una de las
proposiciones planteadas. Tambiรฉn se puede apreciar el valor total alcanzado por cada
proposiciรณn, dando una ponderaciรณn de 0,25,50,75 y 100 a los casilleros de respuesta 1, 2,3,4 y
5 respectivamente y multiplicados por su frecuencia. Finalmente se tienen las valoraciones
porcentuales correspondientes a los totales de cada proposiciรณn.
Segรบn los resultados de aceptaciรณn alcanzadas por las proposiciones del 1al 7, se ve claramente
que los docentes estรกn de acuerdo en quรฉ la geometrรญa en Nivelaciรณn debe enseรฑarse con un
software geomรฉtrico; y segรบn los resultados de aceptaciรณn de las proposiciones del 8 al 11, se ve
53
tambiรฉn que estรกn de acuerdo en que el software seleccionado y mรกs adecuado es el GeoGebra.
El porcentaje de aceptaciรณn es del 85%.
Por lo tanto la parte geomรฉtrica de la propuesta de esta investigaciรณn, serรก desarrollada en
GeoGebra.
Tabla 1-4. Matriz de Contingencia: Encuesta a docentes 1
1 2 3 4 5
PROPOSICIONES 0 25 50 75 100
1. Enseรฑar Geometrรญa con la ayuda de softwares geomรฉtricos interactivos, es
mejor que enseรฑar sรณlo con tiza y pizarrรณn. 0 0 0 1 8
875 97,22%
2. Al enseรฑar Geometrรญa con softwares geomรฉtricos interactivos, los grรกficos que 0 0 0 3 6
se realizan en รฉl, son a escala y la realidad geomรฉtrica no se distorciona. 825 91,67%
3. Al enseรฑar Geometrรญa con softwares geomรฉtricos interactivos, el estudiante 0 0 0 4 5
tiene la posibilidad de aprender y hacer sus propios trazos y grรกficos a escala. 800 88,89%
4. Al enseรฑar Geometrรญa con softwares geomรฉtricos interactivos, las propiedades 0 0 0 7 2
de los postulados, axiomas, teoremas y otros, pueden verificarse
dinรกmicamente con este programa. 725 80,56%
5. Al no tener que dibujar los grรกficos en el pizarrรณn, se gana tiempo con los
dibujos que ya se tienen dibujados en el software geomรฉtrico. 0 0 3 0 6
750 83,33%
6. Los trabajos con softwares geomรฉtricos son ordenados y pulcros. 0 0 0 8 1
700 77,78%
7. Me gustarรญa que la instituciรณn para la que yo trabajo, me proporcione en 0 0 2 5 2
forma digital, la asignatura de Geometrรญa desarrollada de acuerdo a los
contenidos establecidos por la Senescyt y con el soporte de un software
geomรฉtrico interactivo. 675 75,00%
8. El software geomรฉtrico interactivo que mรกs conocen y han utilizado 0 0 0 0 9
los estudiantes que llegan a nivelaciรณn es el GEOGEBRA. 900 100,00%
CONTINรAโฆ..
54
CONTINUACIรN
9. Los estudiantes que no conocen GEOGEBRA, rรกpidamente lo asimilan del 0 0 0 9 0
del profesor o de sus compaรฑeros que si conocen este software. 675 75,00%
10. Los principales softwares geomรฉtricos que conozco y se encuentran 0 0 1 2 6
en la Web son: Autocad, GeometerโsSketchPad, CabriGeometry 800 88,89%
Plus II, Geogebra, GeoEnzo, GeometryCalculator.
11. Me gustarรญa que en nivelaciรณn se enseรฑe Geometrรญa con GeoGebra 0 0 0 8 1
puesto que es: software libre; conocido en la comunidadeducativa de nuestro
paรญs; versรกtil y fรกcil de aprender. 700 77,78%
Elaborado por: Carlos Torres 2014
85%
โข
4.1.2 Encuesta Nยฐ 2
Una vez desarrollada la PROPUESTA en base al GeoGebra, se puso รฉsta a consideraciรณn de los
docentes de Nivelaciรณn para que sea validada por ellos, a travรฉs de la segunda encuesta la
misma que se encuentra su formato en el ANEXO 6 como encuesta Nยฐ 2.
En la tabla 2-4de abajo, se tiene un resumen de los resultados de la segunda encuesta a los
docentes, donde que se pueden apreciar las frecuencias con las que los encuestados
respondieron a cada una de las proposiciones planteadas.
De idรฉntica manera a la encuesta Nยฐ1, tambiรฉn se puede apreciar el valor total alcanzado por
cada proposiciรณn, dando una ponderaciรณn de 0, 25, 50, 75 y 100 a los casilleros de respuesta 1,
2, 3, 4 y 5 respectivamente y multiplicados por su frecuencia. Se obtienen las valoraciones
porcentuales correspondientes a los totales de cada proposiciรณn.
Finalmente, dรกndole un peso igual a todas las proposiciones, se calcula el porcentaje general de
la encuesta y se obtiene como resultado de aceptaciรณn de la PROPUESTA por parte de los
profesores de un 98%, valor รฉste que permite validar el trabajo desarrollado por el tesista.
55
Tabla 2-4. Matriz de Contingencia: Encuesta a docentes 20
1 2 3 4 5
PROPOSICIONES 0 25 50 75 100
1. El desarrollo de la teorรญa sobre triรกngulos estรก desarrollado totalmente en digital. 0 0 0 2 7
850 94%
2. El contenido de la teorรญa sobre triรกngulos estรก compuesto por conceptos, 0 0 0 0 9
definiciones, postulados, teoremas, propiedades, etc. 900 100%
3. Los teoremas estรกn respaldados por su correspondiente demostraciรณn. 0 0 0 0 9
900 100%
4. El desarrollo del contenido del tema sobre triรกngulos, estรก respaldado por 0 0 0 2 7
la correspondiente teorรญa, problemas resueltos y problemas planteados. 850 94%
5. Los Teoremas y propiedades geomรฉtricas demostradas se pueden verificar 0 0 0 0 9
en forma dinรกmica a travรฉs del Geogebra, por medio de un enlace. 900 100%
6. El material desarrollado teรณricamente contiene grรกficos y dibujos estรกticos, 0 0 0 0 9
estructurados adecuadamente para la enseรฑanza. 900 100%
7. Los teoremas y propiedades geomรฉtricas, estรกn respaldados con grรกficos y 0 0 0 0 9
dibujos, con su correspondiente demostraciรณn matemรกtica y la verificaciรณn
de las propiedades en Geogebra y en forma dinรกmica. 900 100%
8. Me gustarรญa disponer de este material interactivo sobre triรกngulos, para 0 0 0 1 8
mis clases de geometrรญa. 875 97%
9. Los estudiantes se van a sentir motivados puesto que van a poder verificar 0 0 0 3 6
dinรกmicamente las propiedades geomรฉtricas y teoremas demostrados, 825 92%
a travรฉs del Geogebra.
10. Este trabajo dispone de enlaces con internet para poder hacer cualquier 0 0 0 1 8
consulta sobre geometrรญa. 875 97%
11. Este trabajo tambiรฉn me da la posibilidad de editarlo, en el supuesto caso 0 0 0 0 9
que quiera mejorarlo o hacer otras modificaciones y presentaciones. 900 100%
12. Este material me motiva y me mantiene con la actitud de siempre estar 0 0 0 1 8
mejorando en todo, como profesor de geometrรญa. 875 97%
Elaborado por: Carlos Torres 2014
98%
56
4.2 RESULTADO DE ENCUESTA A ESTUDIANTES
Para medir el grado de aceptaciรณn y afinidad (parte afectiva) que tiene el estudiante por el
aprendizaje de la geometrรญa con un software matemรกtico interactivo, se procediรณ a elaborar una
encuesta cuyo formato se encuentra establecido en el ANEXO 7 como encuesta Nยฐ 3 y con la
cual se encuestรณ a un paralelo de Nivelaciรณn de 30 estudiantes escogido al azar , luego de
habรฉrseles impartido una clase con la PROPUESTA desarrollada.
Los resultados fueron halagadores, puesto que hubo una aceptaciรณn por parte de los estudiantes,
de un 85% a las proposiciones planteadas y que demuestran su afinidad por el aprendizaje de la
geometrรญa a travรฉs de un software matemรกtico interactivo como es el GeoGebra, segรบn se
establece en la tabla 3-4 donde que se resumen los resultados. El 85% calculado es tomando en
cuenta que el peso de cada proposiciรณn son iguales.
Tabla 3-4. Matriz de Contingencia: Encuesta a estudiantes
1 2 3 4 5
PROPOSICIONES
0 25 50 75 100
1. Aprender Geometrรญa con la ayuda de software geomรฉtrico 0 1 2 11 16
interactivo GEOGEBRA, es mejor que aprender sรณlo con tiza y pizarrรณn. 2550 85%
2. Al aprender Geometrรญa con GEOGEBRA, los grรกficos son 0 0 0 6 24
a escala y la realidad geomรฉtrica no se distorsiona. 2850 95%
3. Al aprender Geometrรญa con GEOGEBRA, tengo la posibilidad de hacer 0 0 1 9 20
mis propios trazos y grรกficos a escala. 2725 91%
4. Al aprender Geometrรญa con GEOGEBRA, las propiedades de los 0 0 1 8 21
postulados, axiomas, teoremas y otros, se pueden verificar
2750 92% dinรกmicamente con este programa.
5. Los resultados numรฉricos de problemas planteados y resueltos, 0 0 3 9 18
se pueden verificar con el software GEOGEBRA. 2625 88%
CONTINรAโฆ
57
CONTINUACIรN
6. Al no tener que dibujar el docente los grรกficos en el pizarrรณn, se gana 0 2 0 8 20
tiempo con los dibujos que รฉl ya tiene dibujado en 2650 88%
el software GEOGEBRA.
7. Los trabajos con software GEOGEBRA son ordenados y pulcros. 0 0 2 12 16
2600 87%
8. Me gustarรญa que me enseรฑen Geometrรญa en forma digital, asistido por 0 1 2 9 18
el software geomรฉtrico interactivo GEOGEBRA. 2600 87%
9. El software geomรฉtrico interactivo que mรกs conocen y han utilizado mis 0 2 9 12 7
compaรฑeros que llegan a nivelaciรณn es el GEOGEBRA. 2100 70%
10. Mis compaรฑeros que no conocen de GEOGEBRA rรกpidamente aprenden 0 0 11 16 3
este programa, ya sea con la ayuda del profesor o de sus compaรฑeros, 2050 68%
que si conocen y saben este software.
85% Elaborado por: Carlos Torres 2014
4.3 ESTADรSTICA NO PARAMรTRICA
4.3.1 Dominio psicomotriz: momento diagnรณstico
La prueba diagnรณstica(ANEXO 1) debe ser receptada una vez que se ha procedido a dar 2
semanas de clases tipo conferencia, aplicando exactamente las mismas estrategias didรกcticas, las
mismas motivaciones, los mismos periodos de tiempo, en espacios semejantes, etc. con el
propรณsito de evitar sesgos de cualquier รญndole.
Sobre la Lista de Cotejos (ANEXO 8) se recogen los resultados de la prueba diagnรณstica. Esta
lista contiene 6 columnas (nยฐ, grupo, imita, sigue instrucciones, independiente, preciso). La
primera de ellas contiene el nรบmero de lista del estudiante; se debe recordar que no es
conveniente colocar nombres o cรณdigos de estudiantes por cuanto dicha informaciรณn pertenece a
la Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE-EL; instituciรณn รฉsta, que no tiene interรฉs alguno
en que se divulguen los pormenores de su proceso educativo.
58
La segunda columna corresponde al grupo: experimental o de control; en la tercera columna
debe colocarse un โSiโen caso de que el estudiante no tenga problemas en imitar el proceso de
construcciรณn de soluciones a problemas sobre triรกngulos; coloque unโNoโen los casilleros de los
estudiantes que no sepan imitar.
Para llenar la cuarta columna entregue un grupo de instrucciones para resolver grรกfica y
analรญticamente ejercicios sobre resoluciรณn de triรกngulos. Si un estudiante ejecuta las
instrucciones solo leyendo sin necesidad de preguntarle a usted como maestro, ponga en el
casillero un โSiโ; caso contrario un โNoโ.
En la quinta columna, una vez que usted proponga un problema de resoluciรณn de triรกngulos sin
dar instrucciones precisas de cรณmo hacerlo,coloque un โSiโ en la casilla del estudiante que echรณ
mano a las herramientas cientรญficas teรณricas que usted le facilitรณ en las 2 semanas iniciales y que
trabajรณ independientemente; caso contrario un โNoโ.
En la sexta casilla referente a la precisiรณn, si es que existen estudiantes que muestran niveles de
calidad (rapidez, eficiencia, eficacia, puntualidad) en la ejecuciรณn de la evaluaciรณn diagnรณstica
seรฑale un โSiโ; caso contrario un โNoโ. Recuerde que la lista de cotejos es criterial; debe usted
ser muy observador y detallista para registrar los resultados fidedignos de su aplicaciรณn
metodolรณgica.
En la tabla 4-4 se recogen los resultados de la prueba diagnรณstica y en la tabla 5-4 la
correspondiente matriz de contingencia.
Tabla 4-4. Matriz: Grupos โ Dominio psicomotriz
No GRUPO IMITA SIGUE
INSTRUCCIONES INDEPENDIENTE PRECISO
1 Experimental Si Si Si Si
2 Experimental No No No No
3 Experimental No Si No No
4 Experimental No No No No
5 Experimental Si Si Si Si
6 Experimental No No No No
7 Experimental No No No No
8 Experimental Si Si Si No
CONTINรAโฆ.
59
CONTINUACIรN
9 Experimental Si Si Si No
10 Experimental No Si No No
11 Experimental Si Si Si No
12 Experimental Si Si No No
13 Experimental No No No No
14 Experimental No Si No No
15 Experimental Si Si No No
16 Experimental Si Si No No
17 Experimental No No No No
18 Experimental Si Si No No
19 Experimental No No No No
20 Experimental No No No No
21 Experimental No No No No
22 Experimental No No No No
23 Experimental No No No No
24 Experimental No No No No
25 Experimental Si Si No No
26 Experimental No No No No
27 Experimental No No No No
28 Experimental No No No No
29 Experimental Si Si Si No
30 Experimental No No No No
31 Control Si Si Si No
32 Control Si No Si No
33 Control No No No No
34 Control No No No No
35 Control Si Si Si Si
36 Control Si Si No No
37 Control Si Si No No
38 Control No No No No
39 Control Si Si Si Si
40 Control No No No No
41 Control Si Si No No
42 Control No No No No
43 Control Si Si Si No
CONTINรAโฆ
60
CONTINUACIรN
44 Control No No No No
45 Control Si No No No
46 Control Si Si Si No
47 Control No No No No
48 Control No No No No
49 Control No No No No
50 Control No Si No No
51 Control No No No No
52 Control No No No No
53 Control No No No No
54 Control Si Si No No
55 Control Si Si No No
56 Control No No No No
57 Control No No No No
58 Control No No No No
59 Control Si Si No No
60 Control No No No No
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Tabla 5-4. Matriz de Contingencia: Momento diagnรณstico
GRUPO
IMITA
SIGUE
INSTRUCCIONES
ES
INDEPENDIENTE
ES PRECISO
Experimental 11 14 6 2
E. Esperado 12 13 6 2
Control 13 12 6 2
C. Esperado 12 13 6 2
Total 24 26 12 4
Chi calculado 0,32 p=0,96
Chi tabulado 7,81 p=0,05
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente:Tabla 4-4
Planteamiento de la hipรณtesis:
61
Ho: Se relacionan grupo y categorรญas del dominio psicomotriz; p โฅ 0,05
Hi: No se relacionan grupo y categorรญas del dominio psicomotriz; p < 0,05
Validaciรณn de la hipรณtesis:
Grados de libertad: 3
Nivel de confianza: 95%; ฮฑ=0.05
Chi tabulado: 7.81
Chi calculado: 0.32
P = 0.96
Decisiรณn: como 0,96>0,05 se acoge la hipรณtesis nula; es decir que existe relaciรณn entre los
grupos y su desempeรฑo en el dominio psicomotriz en el diagnรณstico.
Imagen 1-4. Prueba Chi cuadrado: Momento diagnรณstico
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente:Tabla 5-4
El grรกfico anterior corresponde a la descripciรณn grรกfica de la prueba de hipรณtesis mediante la
tรฉcnica Chi cuadrado en la cual se marcan con vectores los valores crรญtico y calculado de la
mencionada prueba; asรญ como las zonas de aceptaciรณn y rechazo de la hipรณtesis nula.
4.3.2 Dominio psicomotriz: momento primera evaluaciรณn
La prueba primera evaluaciรณn (ANEXO 2) debe ser receptada una vez que se ha procedido a
dar con Geogebra, el primer mรณdulo sobre triรกngulos al grupo experimental; en cuanto al grupo
de control se debe continuar con las clases expositivas. En ambos grupos deben aplicarse los
mismos contenidos y las mismas preguntas de evaluaciรณn.
62
Sobre la Lista de Cotejos (ANEXO 9) se recogen los resultados de la prueba
primeraevaluaciรณn. Esta lista contiene 6 columnas (nยฐ, momento, imita, sigue instrucciones,
independiente, preciso). La primera de ellas contiene el nรบmero de lista del estudiante; se debe
recordar que no es conveniente colocar nombres o cรณdigos de estudiantes por cuanto dicha
informaciรณn pertenece a la Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE-EL; instituciรณn รฉsta, que
no tiene interรฉs alguno en que se divulguen los pormenores de su proceso educativo.
La segunda columna corresponde al grupo experimental pero en diferentes momentos; en la
tercera columna debe colocarse un โSiโ en caso de que el estudiante no tenga problemas en
imitar el proceso de construcciรณn de soluciones a problemas sobre triรกngulos; coloque un
โNoโen los casilleros de los estudiantes que no sepan imitar.
Para llenar la cuarta columna entregue un grupo de instrucciones para resolver grรกfica y
analรญticamente ejercicios sobre resoluciรณn de triรกngulos. Si un estudiante ejecuta las
instrucciones solo leyendo sin necesidad de preguntarle a usted como maestro, ponga en el
casillero un โSiโ; caso contrario un โNoโ.
En la quinta columna, una vez que usted proponga un problema de resoluciรณn de triรกngulos sin
dar instrucciones precisas de cรณmo hacerlo, coloque un โSiโ en la casilla del estudiante que echรณ
mano a las herramientas cientรญficas teรณricas que usted le facilitรณ en las 2 semanas iniciales y que
trabajรณ independientemente; caso contrario un โNoโ.
En la sexta casilla referente a la precisiรณn, si es que existen estudiantes que muestran niveles de
calidad (rapidez, eficiencia, eficacia, puntualidad) en la ejecuciรณn de la evaluaciรณn diagnรณstica
seรฑale un โSiโ; caso contrario un โNoโ. Recuerde que la lista de cotejos es criterial; debe usted
ser muy observador y detallista para registrar los resultados fidedignos de su aplicaciรณn
metodolรณgica.
En la tabla 6-4 se recogen los resultados de la pruebaprimer evaluaciรณn y en la tabla 7-4 la
correspondiente matriz de contingencia.
63
Tabla 6-4. Matriz: Momentos โ Dominio psicomotriz
Nยฐ MOMENTO IMITA
SIGUE
INSTRUCCIONES INDEPENDIENTE PRECISO
1 Diagnรณstico Si Si Si Si
2 Diagnรณstico No No No No
3 Diagnรณstico No Si No No
4 Diagnรณstico No No No No
5 Diagnรณstico Si Si Si Si
6 Diagnรณstico No No No No
7 Diagnรณstico No No No No
8 Diagnรณstico Si Si Si No
9 Diagnรณstico Si Si Si No
10 Diagnรณstico No Si No No
11 Diagnรณstico Si Si Si No
12 Diagnรณstico Si Si No No
13 Diagnรณstico No No No No
14 Diagnรณstico No Si No No
15 Diagnรณstico Si Si No No
16 Diagnรณstico Si Si No No
17 Diagnรณstico No No No No
18 Diagnรณstico Si Si No No
19 Diagnรณstico No No No No
20 Diagnรณstico No No No No
21 Diagnรณstico No No No No
22 Diagnรณstico No No No No
23 Diagnรณstico No No No No
24 Diagnรณstico No No No No
25 Diagnรณstico Si Si No No
26 Diagnรณstico No No No No
27 Diagnรณstico No No No No
28 Diagnรณstico No No No No
29 Diagnรณstico Si Si Si No
30 Diagnรณstico No No No No
31 Evaluaciรณn 1 Si Si Si No
32 Evaluaciรณn 1 Si Si Si No
33 Evaluaciรณn 1 No No Si Si
34 Evaluaciรณn 1 No No No No
35 Evaluaciรณn 1 Si Si Si Si
36 Evaluaciรณn 1 Si Si Si Si
CONTINรAโฆ
64
CONTINUACIรN
37 Evaluaciรณn 1 Si Si Si No
38 Evaluaciรณn 1 No No No Si
39 Evaluaciรณn 1 Si Si Si Si
40 Evaluaciรณn 1 Si No No No
41 Evaluaciรณn 1 Si Si Si No
42 Evaluaciรณn 1 No No No No
43 Evaluaciรณn 1 Si Si Si Si
44 Evaluaciรณn 1 No Si No Si
45 Evaluaciรณn 1 Si No No No
46 Evaluaciรณn 1 Si Si Si No
47 Evaluaciรณn 1 Si Si No No
48 Evaluaciรณn 1 No No No No
49 Evaluaciรณn 1 No No No No
50 Evaluaciรณn 1 No Si No Si
51 Evaluaciรณn 1 No Si No Si
52 Evaluaciรณn 1 No No No Si
53 Evaluaciรณn 1 Si No No No
54 Evaluaciรณn 1 Si Si No No
55 Evaluaciรณn 1 Si Si No No
56 Evaluaciรณn 1 No Si No Si
57 Evaluaciรณn 1 Si Si No No
58 Evaluaciรณn 1 No No No No
59 Evaluaciรณn 1 Si Si No No
60 Evaluaciรณn 1 No No No No
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Tabla 7-4. Matriz de Contingencia: Momento primera evaluaciรณn
MOMENTO
IMITA
SIGUE
INSTRUCCIONES
ES
INDEPENDIENTE
ES
PRECISO
Diagnรณstico 11 14 6 2
Esperado 10.4 11.9 5.9 4.8
Evaluaciรณn 1 17 18 10 11
Esperado 17.6 20.1 10.1 8.2
Total 28 32 16 13
Chi calculado 3.29 p = 0.35
Chi Tabulado 7.81 p = 0.05
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente:Tabla 6-4
65
Planteamiento de la hipรณtesis:
Ho: Se relacionan momentos y categorรญas del dominio psicomotriz; pโฅ 0,05
Hi: No se relacionan momentos y categorรญas del dominio psicomotriz; p< 0,05
Validaciรณn de la hipรณtesis:
Grados de libertad: 3
Nivel de confianza: 95%; ฮฑ=0.05
Chi tabulado: 7.81
Chi calculado: 3.29
P = 0.35
Decisiรณn: como 0.35>0.05 se concluye que se relacionan momentos y categorรญas del dominio
psicomotriz.
Imagen 2-4. Prueba Chi cuadrado: Momento primera evaluaciรณn
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente:Tabla 7-4
El grรกfico anterior corresponde a la descripciรณn grรกfica de la prueba de hipรณtesis mediante la
tรฉcnica Chi cuadrado en la cual se marcan con vectores los valores crรญtico y calculado de la
mencionada prueba; asรญ como las zonas de aceptaciรณn y rechazo de la hipรณtesis nula.
4.3.3 Dominio psicomotriz: momento evaluaciรณn final
La pruebaevaluaciรณn final debe ser receptada una vez se ha procedido a dar el segundo mรณdulo
sobre triรกngulos a los grupos experimental y de control; en cuanto al grupo de control se debe
66
continuar con las clases expositivas. En ambos grupos deben aplicarse los mismos contenidos y
las mismas preguntas de evaluaciรณn.
Sobre la Lista de Cotejos (ANEXO 10) se recogen los resultados de la prueba evaluaciรณn final.
Esta lista contiene 6 columnas (nยฐ, grupo, imita, sigue instrucciones, independiente, preciso). La
primera de ellas contiene el nรบmero de lista del estudiante; se debe recordar que no es
conveniente colocar nombres o cรณdigos de estudiantes por cuanto dicha informaciรณn pertenece a
la Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE-EL; instituciรณn รฉsta, que no tiene interรฉs alguno
en que se divulguen los pormenores de su proceso educativo.
La segunda columna corresponde al grupo: experimental o control; en la tercera columna debe
colocarse un โSiโ en caso de que el estudiante no tenga problemas en imitar el proceso de
construcciรณn de soluciones a problemas sobre triรกngulos; coloque un โNoโen los casilleros de
los estudiantes que no sepan imitar.
Para llenar la cuarta columna entregue un grupo de instrucciones para resolver grรกfica y
analรญticamente ejercicios sobre resoluciรณn de triรกngulos. Si un estudiante ejecuta las
instrucciones solo leyendo sin necesidad de preguntarle a usted como maestro, ponga en el
casillero un โSiโ; caso contrario un โNoโ.
En la quinta columna, una vez que usted proponga un problema de resoluciรณn de triรกngulos sin
dar instrucciones precisas de cรณmo hacerlo, coloque un โSiโ en la casilla del estudiante que echรณ
mano a las herramientas cientรญficas teรณricas que usted le facilitรณ en las 2 semanas iniciales y que
trabajรณ independientemente; caso contrario un โNoโ.
En la sexta casilla referente a la precisiรณn, si es que existen estudiantes que muestran niveles de
calidad (rapidez, eficiencia, eficacia, puntualidad) en la ejecuciรณn de la evaluaciรณn diagnรณstica
seรฑale un โSiโ; caso contrario un โNoโ. Recuerde que la lista de cotejos es criterial; debe usted
ser muy observador y detallista para registrar los resultados fidedignos de su aplicaciรณn
metodolรณgica.
En la tabla 8-4 se recogen los resultados de la prueba evaluaciรณn final y en la tabla 9-4 la
correspondiente matriz de contingencia.
67
Tabla 8-4. Matriz: Grupos - Dominio psicomotriz
NO. LISTA GRUPO IMITA
SIGUE
INSTRUCCIONES INDEPENDIENTE PRECISO
1 Experimental Si Si Si Si
2 Experimental Si Si Si No
3 Experimental Si Si No Si
4 Experimental No No No No
5 Experimental Si Si Si Si
6 Experimental No No No No
7 Experimental No Si No No
8 Experimental Si Si Si Si
9 Experimental Si Si Si No
10 Experimental No Si Si No
11 Experimental Si Si Si Si
12 Experimental Si Si No No
13 Experimental Si No Si No
14 Experimental No Si No No
15 Experimental Si Si No No
16 Experimental Si Si No No
17 Experimental Si No Si Si
18 Experimental Si Si No No
19 Experimental Si No No No
20 Experimental No No Si No
21 Experimental Si Si Si No
22 Experimental Si No No Si
23 Experimental No No No No
24 Experimental No Si Si No
25 Experimental Si Si Si No
26 Experimental Si Si No No
27 Experimental No No Si No
28 Experimental No No No No
29 Experimental Si Si Si No
30 Experimental No Si No Si
31 Control Si Si Si No
32 Control Si Si Si No
33 Control No No Si Si
34 Control No No No No
35 Control Si Si Si Si
CONTINรAโฆ
68
CONTINUACIรN
36 Control Si Si Si Si
37 Control Si Si No No
38 Control No No No No
39 Control Si Si Si Si
40 Control Si No No No
41 Control Si Si Si No
42 Control No No No No
43 Control Si Si Si Si
44 Control No Si No No
45 Control Si No No No
46 Control Si Si Si No
47 Control Si No No No
48 Control No No No No
49 Control No No No No
50 Control No Si No Si
51 Control No No No No
52 Control No No No No
53 Control No No No No
54 Control Si Si No No
55 Control Si Si No No
56 Control No Si No Si
57 Control No No No No
58 Control No No No No
59 Control Si Si No No
60 Control No No No No
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Tabla 9-4. Matriz de Contingencia: Momento evaluaciรณn final
GRUPO IMITA SIGUE
INSTRUCCIONES
ES
INDEPENDIENTE
ES PRECISO
Experimental 19 20 15 8
E. Esperado 19.5 20.1 13.8 8.6
Control 15 15 9 7
C. Esperado 14.5 14.9 10.2 6.4
Total 34 35 24 15
Chi calculado 0.39 p=0,94
Chi tabulado 7,81p=0,05
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: Tabla 8-4
69
Planteamiento de la hipรณtesis:
Ho: Se relacionan grupo y categorรญas del dominio psicomotriz; p โฅ 0,05
Hi: No se relacionan grupo y categorรญas del dominio psicomotriz; p< 0,05
Validaciรณn de la hipรณtesis:
Grados de libertad: 3
Nivel de confianza: 95%; ฮฑ = 0.05
Chi tabulado: 7.81
Chi calculado: 0.39
P = 0.94
Decisiรณn: como 0,94>0,05 se acoge la hipรณtesis nula; es decir que existe relaciรณn entre los
grupos y su desempeรฑo en el dominio psicomotriz.
Imagen 3-4. Prueba Chi cuadrado: Momento evaluaciรณn final
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente:Tabla 9-4
El grรกfico anterior corresponde a la descripciรณn grรกfica de la prueba de hipรณtesis mediante la
tรฉcnica Chi cuadrado en la cual se marcan con vectores los valores crรญtico y calculado de la
mencionada prueba; asรญ como las zonas de aceptaciรณn y rechazo de la hipรณtesis nula.
70
4.4 ESTADรSTICA PARAMรTRICA
4.4.1 Dominio cognitivo
Para la evaluaciรณn de rendimiento (ANEXO 4) en el dominio cognitivo tanto para el grupo
experimental y de control, se elaborรณ un test de geometrรญa sobre el tema triรกngulos, el mismo
que fue aplicado a los dos grupos dรกndoles un mismo tiempo de 60 minutos para la resoluciรณn.
Tabla 10-4. Logros de rendimiento grupo experimental y control
NO. LISTA GRUPO EXPERIMENTAL / 10
GRUPO DE CONTROL / 10
1 7,3 10
2 8,1 7
3 7,6 5,5
4 4,5 6,7
5 9,3 5,8
6 8,5 7,3
7 7,6 7,3
8 8,1 6
9 8,5 6
10 7,3 4,5
11 9 8
12 8,1 7,6
13 6 9,7
14 7,6 7,3
15 9 8,5
16 7,3 6
17 8,1 8,1
18 8,5 2
19 7,6 7,3
20 9,3 3,3
21 8,5 4,5
22 4,5 6
23 9 9,3
24 7,6 5
25 9,3 4,5
26 7,3 6,6
27 3 5
28 8,1 4,5
29 9,3 7,3
30 9 8
Elaborado por: Carlos Torres 2014
71
El tema de dicha evaluaciรณn se enfocรณ en la resoluciรณn de problemas donde que el estudiante
debรญa tener un conocimiento cabal de los teoremas estudiados en el transcurso de la
investigaciรณn. Esta evaluaciรณn fue aplicada una vez finalizadas las clases sobre triรกngulos y
despuรฉs de las evaluaciones psicomotrices.
Tabla 11-4. Estadรญsticos descriptivos
ESTADรSTICOS
Experimental Control
N Vรกlidos 30 30
Perdidos 30 30
Media 7,7633 6,4867
Desv. tรญpica 1,51304 1,85300
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: Tabla 10-4
Tabla 12-4. Tabla de frecuencia grupo experimental
EXPERIMENTAL
Frecuencia Porcentaje Porcentaje vรกlido Porcentaje
acumulado
Vรกlidos
3,00 1 1,7 3,3 3,3
4,50 2 3,3 6,7 10,0
6,00 1 1,7 3,3 13,3
7,30 4 6,7 13,3 26,7
7,60 5 8,3 16,7 43,3
8,10 5 8,3 16,7 60,0
8,50 4 6,7 13,3 73,3
9,00 4 6,7 13,3 86,7
9,30 4 6,7 13,3 100,0
Total 30 50,0 100,0
Perdidos Sistema 30 50,0
Total 60 100,0
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: Tabla 10-4
72
Tabla 13-4. Tabla de frecuencia grupo de control
CONTROL
Frecuencia Porcentaje Porcentaje vรกlido Porcentaje
acumulado
Vรกlidos
2,00 1 1,7 3,3 3,3
3,30 1 1,7 3,3 6,7
4,50 4 6,7 13,3 20,0
5,00 2 3,3 6,7 26,7
5,50 1 1,7 3,3 30,0
5,80 1 1,7 3,3 33,3
6,00 4 6,7 13,3 46,7
6,60 1 1,7 3,3 50,0
6,70 1 1,7 3,3 53,3
7,00 1 1,7 3,3 56,7
7,30 5 8,3 16,7 73,3
7,60 1 1,7 3,3 76,7
8,00 2 3,3 6,7 83,3
8,10 1 1,7 3,3 86,7
8,50 1 1,7 3,3 90,0
9,30 1 1,7 3,3 93,3
9,70 1 1,7 3,3 96,7
10,00 1 1,7 3,3 100,0
Total 30 50,0 100,0
Perdidos Sistema 30 50,0
Total 60 100,0
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: Tabla 10-4
Se debe recordar que la evaluaciรณn final no tiene que ver con la habilidad de usar GeoGebra
sino con la abstracciรณn del tema triรกngulos; es decir con la capacidad de comprender, aplicar,
analizar y sintetizar dicha temรกtica; independientemente del grupo o metodologรญa.
73
Imagen 4-4. Histograma grupo experimental
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: Tabla 10-4
Imagen 5-4. Histograma grupo de control
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: Tabla 10-4
74
Tabla 14-4. Medias y desviaciones muestrales
MEDIAS
VALOR
X1Experimental 7,76
X2Control 6,49
S1 1,51
S2 1,85
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente: Tabla 10-4
4.5 VALIDACIรN DE LA HIPรTESIS PARAMรTRICA
Las medias de rendimiento del diagnรณstico entre los grupos de experimentaciรณn
y control son iguales.
Ho:๐1 โ ๐2 = 0; p valor โฅ 0.05; z calculadaโค valor crรญtico =1.64
Las medias de rendimiento del diagnรณstico entre los grupos de experimentaciรณn
y control son significativamente diferentes.
๐๐ข: ๐1 โ ๐2 > 0; p valor<0.05; z calculada > valor crรญtico =1.64
๐ง =๐1 โ ๐2
โ๐12
๐1 +๐2
2
๐1
Donde:
X1 : Media de rendimiento del grupo experimental
X2 : Media de rendimiento del grupo de control
S1: Desviaciรณn muestral del grupo experimental
S2: Desviaciรณn muestral del grupo de control
๐ง =7.76โ6.49
โ1.512
30+
1.852
30
= ๐ง =1.27
โ0.19= 2.91
75
Decisiรณn:Como Z calculado 2.91 > Z Tabulado 1.64 se rechaza la hipรณtesis nula y se da por
aceptada la hipรณtesis alternativa; es decir, las medias del diagnรณstico entre los grupos
experimental y de control son significativamente diferentes. Por lo tanto,el rendimiento
acadรฉmico de los estudiantes del primero grupo es mejor que el de los estudiantes del grupo de
control.
Imagen 6-4. Prueba Z
Elaborado por: Carlos Torres 2014
Fuente:Tabla 10-4
El grรกfico anterior corresponde a la descripciรณn grรกfica de la prueba de hipรณtesis mediante la
tรฉcnica Zeta normalizada a una sola cola en la cual se marcan con vectores los valores crรญtico y
calculado de la mencionada prueba; asรญ como las zonas de aceptaciรณn y rechazo de la hipรณtesis
nula.
76
4.6 PROPUESTA
4.6.1 Introducciรณn
El autor presenta la guรญa metodolรณgica orientada a mediar en el aprendizaje de geometrรญa en el
tema triรกngulos. El mediador es el recurso interactivo basado en el software libre denominado
GeoGebra. El recurso utiliza un lenguaje intuitivo de alto nivel.
Los beneficiarios de esta propuesta son en primera instancia los estudiantes de nivelaciรณn de la
Universidad de las Fuerzas Armadas-ESPE. Se espera que con los resultados รณptimos
alcanzados mediante la investigaciรณn adjunta a este apartado se amplรญe la aplicaciรณn a otros
grupos estudiantiles y de maestros.
El impacto de esta investigaciรณn, entendiรฉndose รฉste como aquella parte de la realidad educativa
que cambia, se relaciona con la traducciรณn de los contenidos abstractos de la geometrรญa y
matemรกtica en la concreciรณn de conocimientos prรกcticos a fin de alcanzar el aprendizaje
significativo.
Las partes en las que se divide esta guรญa metodolรณgica son las siguientes:
1. Desarrollo de la teorรญa de triรกngulos segรบn el programa de matemรกtica para Nivelaciรณn de la
CENESCYT, donde que se encuentra la materia desglosada en conceptos, definiciones,
simbologรญa, propiedades, teoremas, demostraciones, ejemplos, problemas resueltos y
problemas propuestos.
2. Enlace a travรฉs de un รญcono, a los archivos del Geogebra para vistas grรกficas y dinรกmicas,
que ilustran las propiedades de los triรกngulos y los teoremas demostrados analรญticamente.
3. Enlace a travรฉs del mismo รญcono al Geogebra, para realizar grรกficos y dibujos de interรฉs en el
momento de la clase, ya sea por parte del estudiante o del profesor.
Cada archivo en Geogebra ilustra en forma dinรกmica propiedades de los triรกngulos o un
teorema.
La interfaz de estos archivos constan de una parte textual, de una ventana grรกfica y de una
ventana algebraica. En la parte textual se encuentra el nombre y el enunciado del teorema, la
hipรณtesis, la tesis y la correspondiente simbologรญa. En la ventana grรกfica, a travรฉs del dibujo, se
ilustra dinรกmicamente el teorema o propiedad demostrada. En la ventana algebraica se
77
visualizan en cambio las diferentes medidas de los elementos geomรฉtricos, que van cambiando
segรบn cambian las medidas de la figura en la ventana grรกfica.
4.6.2 Justificaciรณn
La presente propuesta se justifica por los siguientes aspectos:
Se hizo posible esta propuesta ya que se contaron con los recursos tรฉcnicos, tecnolรณgicos,
informรกticos y el talento humano para concretar el producto que ahora se plasma en este
documento.
Fue viable construir la propuesta porque las autoridades de la Escuela Superior Politรฉcnica
de Chimborazo, asรญ como las de la Universidad de las Fuerzas Armadas con carรกcter
democrรกtico incentivaron, permitieron y motivaron la implementaciรณn de aquella; existiรณ
la complacencia de los miembros de las referidas comunidades educativas.
La originalidad de la propuesta se verifica no en el sentido de que no existan otros trabajos
de tesis relativos a la aplicaciรณn de GeoGebra como recurso didรกctico, sino en el sentido
de hacerlo en el marco de una teorรญa constructivista como lo es la Teorรญa de la Actividad
de Leontiev, interpretada por nรณveles investigadores de la pedagogรญa.
Los objetivos de esta propuesta son los siguientes:
4.6.3 Objetivo general
Elaborar e implementar una guรญa metodolรณgica basada en el programa mediador GeoGebra para
mejorar el rendimiento acadรฉmico de geometrรญa tema triรกngulos de los estudiantes de nivelaciรณn
de la UFA-ESPE-L.
4.6.4 Objetivos especรญficos
Diseรฑar las actividades relativas a la guรญa
Diseรฑar el esquema general de la Guรญa Didรกctica
Establecer una prueba piloto
Aplicar la guรญa didรกctica
Aplicar las matrices de observaciรณn y logros de aprendizaje
78
4.6.5 Beneficiarios
Los beneficiarios directos son los estudiantes de nivelaciรณn de la UFA-ESPE-L
4.6.6 Contenido
Puesto que la propuesta estรก desarrollada en otro formato, รฉsta se la ha incluido en el ANEXO
11, al final de este trabajo. La propuesta consta de los siguientes temas:
Triรกngulos: definiciรณn, representaciรณn grรกfica, elementos, denominaciรณn, clasificaciรณn,
รกngulos en el triรกngulo.
Triรกngulos: lรญneas, puntos notables y รกngulos entre lรญneas fundamentales.
Propiedades de los triรกngulos: Isรณsceles, equilรกtero y rectรกngulo.
Triรกngulos: congruencia.
Triรกngulos: semejanza.
Resoluciรณn de triรกngulos rectรกngulos: relaciones mรฉtricas y trigonomรฉtricas.
Resoluciรณn de triรกngulos: relaciones mรฉtricas y trigonomรฉtricas.
4.6.7 Recursos humanos, tรฉcnicos y didรกcticos
Talento humano: Tesista y tutor de investigaciรณn
Recursos tรฉcnico didรกcticos:GeoGebra 4.4.45.0 Software libre, Word
4.6.8 Guรญa para el profesor y el alumno
a. Comenzar el desarrollo de la asignatura segรบn el programa de triรกngulos establecido por la
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE-EL.
b. Dar la clase o hacer las explicaciones teรณricas del caso a los estudiantes, siguiendo los
contenidos sobre triรกngulos de la Propuesta.
c. Cuando el profesor lo estime necesario, puede hacer uso del enlace con el Geogebra, a travรฉs
del รญcono que se encuentra en la parte inferior de cada una de las propiedades y teoremas
del programa.
79
d. En el enlace con el Geogebra, el profesor encontrarรก en forma dinรกmica la propiedad o el
teorema que รฉl terminรณ de explicar o demostrar al estudiante.
e. El estudiante, por su lado, hace el seguimiento de la Propuesta a travรฉs de su computador,
mientras que el docente da las explicaciones cientรญficas del tema que estรก tratando en esa
clase.
f. El estudiante hace las verificaciones por su propia cuenta, de las propiedades y teoremas
demostrados, por medio de su computador.
g. El docente explica la resoluciรณn de ejercicios resueltos que se encuentran en la Propuesta.
h. El docente plantea los problemas a resolverse que se encuentran en la Propuesta.
i. El estudiante resuelve los problemas planteados.
Cabe seรฑalar que este proceso se repite para todos y cada uno de los teoremas sobre triรกngulos,
que se encuentran en la Propuesta.
Ejemplo:
Tema: Teorema de las bisectrices internas de un triรกngulo
1. El docente proyecta en el pizarrรณn la teorรญa sobre el tema del teorema de las bisectrices
internas.
2. El docente explica el enunciado del teorema de las bisectrices internas del triรกngulo,
estableciendo la hipรณtesis y la tesis del mismo.
3. El docente explica la demostraciรณn del teorema de la manera mรกs adecuada.
4. Una vez realizada la explicaciรณn de la demostraciรณn, el docente se enlaza al archivo del
Geogebra a travรฉs del รญcono que se encuentra en la pรกgina.
5. Ya en el archivo, el docente ilustra dinรกmicamente las propiedades demostradas, para
diferentes situaciones o medidas del triรกngulo haciendo uso del punto de arrastre.
6. El estudiante imita en su computador lo realizado por el docente y verifica las propiedades
demostradas, por su propia cuenta.
7. El docente explica la resoluciรณn de los ejercicios resueltos sobre el teorema planteado y que
se encuentran en la Propuesta.
80
8. El docente plantea a los estudiantes ejercicios para que los resuelva, los mismos que se
encuentran en la propuesta y que tratan sobre el teorema de las bisectrices internas del
triรกngulo.
9. El estudiante resuelve los problemas planteados sobre bisectrices internas.
81
CONCLUSIONES
En el desarrollo de esta investigaciรณn se consideraronlos tres dominios del aprendizaje
(cognitivo, psicomotriz, afectivo) segรบn las taxonomรญas de Benjamรญn Bloom, tomando
como variable de estudio el rendimiento de los estudiantes en la parte cognitiva, una vez
aplicada la PROPUESTA.
La decisiรณn en cuanto a utilizar un software como mediador de laenseรฑanza de la geometrรญa
tema triรกngulos y en cuanto a que el software mรกs adecuado es el GeoGebra, fue tomada
por los docentes de Nivelaciรณn a travรฉs de la encuesta Nยฐ1 (ANEXO 5), donde que a las
proposiciones planteadas respondieron con un promedio de aceptaciรณn del 85% (Tabla 6).
La PROPUESTA desarrollada por el tesista una vez terminada y puesta a consideraciรณn de
los docentesy del grupo experimental de Nivelaciรณn, fue validada por ellos a travรฉs de las
encuestas nรบmeros 2 y 3 (ANEXOS 6 y 7), donde que a las proposiciones planteadas
respondieron con un promedio de aceptaciรณn del 98% (Tabla 7) y 85% (Tabla8),
respectivamente.
La prueba diagnรณstica mostrรณ que los grupos experimental y control tuvieron relativamente
iguales desempeรฑos de partida en cuanto a la capacidad psicomotriz; por lo tanto se
concluye, que se propiciรณ la realizaciรณn de la investigaciรณn sin sesgos de historia y
maduraciรณn en el diseรฑo experimental.
Es notoria la acciรณn del laboratorio virtual sobre las capacidades del estudiante y la mejora
de sus potencialidades psicomotrices, asรญ como de su rendimiento, segรบn los resultados
arrojados por la pruebas chi cuadrado y zeta normalizado en cuanto a la prueba de la
hipรณtesis.Conclusiรณn que esvalidada tambiรฉn, al observar una diferencia aproximada del
17%,entre las medias aritmรฉticas de las calificaciones de los estudiantes de los dos grupos
(7.76 y 6.49 respectivamente) segรบn se puede apreciar en la tabla 19.
Para finalizar, la prueba Z que fue aplicada para la validaciรณn de la hipรณtesis general de la
tesis, muestra que al aplicar GeoGebra como recurso didรกctico en la enseรฑanza, en
comparaciรณn a la simple clase expositiva, aquรฉlla mejora el aprendizaje de la geometrรญa
tema triรกngulos, de los estudiantes involucrados en la investigaciรณn. Pero esto por sรญ solo,
no garantiza bajo ningรบn aspecto un รณptimo rendimiento del estudiante.
82
RECOMENDACIONES
En otras actividades de investigaciรณn sobre este tema es conveniente que se mida el
mejoramiento de la parte sicomotriz y afectiva del estudiante, porque esto a la postre
significa mejorar el rendimiento en la parte cognitiva del alumno.
Para nuevas investigaciones relacionadas con la implementaciรณn de laboratorios virtuales en
el proceso de enseรฑanza aprendizaje de la geometrรญa, el investigador debe cuidarse de no
caer en la inestabilidad del ambiente experimental; es decir, si se echa mano de los
campos virtuales se debe garantizar que los ambientes de aprendizaje sean los mismos
tanto en el grupo experimental como en el de control; caso contrario los errores en el
diseรฑo experimental restarรกn credibilidad al estudio.
El profesor debe mantener un equilibrio respetable en cuanto a su propio papel y al del
recurso metodolรณgico, de manera que se note claramente la funciรณn apenas facilitadora y
coordinadora del maestro (para evitar el conductismo extremo) y el ejercicio mediador de
GeoGebra (no debe ser una herramienta รบnica e indispensable de aprendizaje) donde que
el protagonismo lo tenga el estudiante.
La PROPUESTA que fue aprobada tanto por los estudiantes del grupo experimental que
participaron en la investigaciรณn asรญ como por todos docentes,debe ser aplicada ahora por
parte de los docentes a todos los estudiantes de Nivelaciรณn, para que cada quien haga su
propia investigaciรณn y saque sus conclusiones.
Para futuras investigaciones, que se establezcan estudios sobre la combinaciรณn de GeoGebra
como recurso, con otras estrategias de aprendizaje para determinar un mejoramiento mรกs
substancial del rendimiento acadรฉmico que el alcanzado por este estudio.
Si se ha probado que los recursos metodolรณgicos para el aprendizaje de la geometrรญa
mediados por softwares geomรฉtricos incuestionablemente mejoran el rendimiento de los
estudiantes, se debe trabajar ahora, en la optimizaciรณn de dichos recursos en funciรณn de
sus potencialidades y direccionarlos hacia los temas de asignatura preestablecidos.
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Geometrรญa Plana
88
ANEXOS:
ANEXO A
DOMINIO: PSICOMOTRIZ
PRUEBA: MOMENTO DIAGNรSTICO
GRUPO: EXPERIMENTAL Y CONTROL
CUESTIONARIO
1. Construya un triรกngulo de lados a=4cm, b=6cm y c= 8cm con la ayuda de una regla y
compรกs, siguiendo el proceso utilizado en el pizarrรณn por el profesor.
2. Con la ayuda de regla, compรกs y graduador, construya el cuadrilรกtero de
dimensiones a=3.5cm, b=5cm, c=6cm, d=7cm, el รกngulo entre los lados a y b es
igual a 120ยฐ; siguiendo las instrucciones de abajo:
a. Trace el lado a=3.5cm, en forma horizontal
b. Sobre el extremo derecho del segmento โaโ trace un รกngulo de 120ยฐ con el
graduador
c. Sobre este รกngulo trace el segmento b=5cm
d. En el extremo libre de โbโ trazamos una circunferencia de radio igual a โcโ
e. En el extremo libro de โaโ trazamos un arco de circunferencia de radio igual
a โdโ de tal manera que corte la circunferencia del literal anterior
f. Finalmente completamos el cuadrilรกtero uniendo con segmentos el punto de
intersecciรณn de los dos arcos con los extremos libres de los lados โaโ y โbโ
3. Construya un triรกngulo de lado a=4.4 mm, b=5.2mm B=35ยฐ con la ayuda de regla,
compรกs y graduador.
4. Construya un triรกngulo de lados a=6cm b=8cm c=10cm con la mayor precisiรณn del
caso en sus medidas, utilizando los instrumentos geomรฉtricos mรกs adecuados.
Geometrรญa Plana
89
ANEXO B
DOMINIO: PSICOMOTRIZ
PRUEBA: MOMENTO PRIMERA EVALUACIรN
GRUPO: EXPERIMENTAL
CUESTIONARIO
1. Construya un triรกngulo de lado a=3.8u y vรฉrtices B=38ยฐ, C=79ยฐ; siguiendo el
proceso utilizado por el profesor en la ventana grรกfica del GeoGebra y luego
verifique la medida del tercer รกngulo de acuerdo al primer teorema fundamental
de los triรกngulos.
2. Siguiendo las instrucciones de abajo, construya un triรกngulo de lado c=5.2u y
vรฉrtices A=47ยฐ, B=81ยฐ y luego verifique si el รกngulo externo de C cumple con la
propiedad geomรฉtrica de que su medida es igual a la suma de A y B.
a. Trace el lado c=5.2u, en forma horizontal
b. Sobre el un extremo del segmento โcโ trace el รกngulo A=47ยฐ
c. Sobre el otro extremo del segmento โcโ trace el รกngulo B=81ยฐ
d. Con los dos รกngulos trazados y el segmento โcโ complete el triรกngulo
solicitado
e. Prolongue cualquiera de los lados (a โจ b) y determine el รกngulo externo de
C
f. Verifique que la medida del รกngulo externo de C, es igual a la suma de los
รกngulos A y B
3. Construya un cuadrilรกtero de cualquier medida de lados y verifique si se cumple la
propiedad de que la suma interna de sus รกngulos es igual a 360ยฐ.
4. Construya dos triรกngulos opuestos por el vรฉrtice y verifique con precisiรณn si se
cumple el teorema triangular del lazo.
Geometrรญa Plana
90
ANEXO C
DOMINIO: PSICOMOTRIZ
PRUEBA: MOMENTO EVALUACIรN FINAL
GRUPO: EXPERIMENTAL Y CONTROL
CUESTIONARIO
1. Construya un triรกngulo de cualquier medida y trace 2 bisectrices internas
correspondientes a los รกngulos A y B, siguiendo el proceso utilizado por el
profesor en la ventana grรกfica del GeoGebra (grupo experimental) o en el pizarrรณn
(grupo de control) y verifique el cumplimiento del teorema de las bisectrices
internas de un triรกngulo.
2. Siguiendo las instrucciones de abajo, construya un triรกngulo de cualquier medida y
trace 2 de sus bisectrices externas correspondientes a los รกngulos A y B; luego
verifique el cumplimiento del teorema de las bisectrices externas de un triรกngulo.
a. Dibuje un triรกngulo cualesquiera y prolongue los lados โaโ y โbโ para
formar los รกngulos externos de B y A respectivamente.
b. Trace las bisectrices externas de los รกngulos A y B
c. Verifique el cumplimiento del teorema de las bisectrices externas de un
triรกngulo
3. Dibuje un triรกngulo cualesquiera y trace la bisectriz interna de A y la bisectriz
externa de C; luego verifique si se cumple el teorema que estipula que la medida
del รกngulo formado por las dos bisectrices antes mencionada, es igual a la mitad
de la medida del tercer รกngulo B.
4. Verifique con precisiรณn si en un triรกngulo, la medida del รกngulo formado por la
bisectriz interna y altura de un mismo vรฉrtice, es igual al valor absoluto de la
semidiferencia de las medidas de los otros dos รกngulos del triรกngulo.
Geometrรญa Plana
91
ANEXO D
DOMINIO: COGNITIVO
PRUEBA:COGNITIVA
GRUPO: EXPERIMENTAL Y CONTROL
TEMA: Resoluciรณn de problemas sobre triรกngulos, aplicando el conocimiento de los
teoremas geomรฉtricos por parte de los estudiantes.
CUESTIONARIO
1. En la figura geomรฉtrica de abajo determine el valor del รกngulo X, sabiendo que la
suma de los รกngulos 1ฬ, 2ฬ, 3ฬ ๐ฆ 4ฬ ๐๐ ๐๐๐ข๐๐ ๐ 300ยฐ.
2. En la configuraciรณn geomรฉtrica indicada y bajo las condiciones establecidas,
determine el valor del รกngulo X.
Geometrรญa Plana
92
3. Aplicando teoremas demostrados en clase, determine el valor angular de X
NOTA: Para todos los problemas, ponga por favor su propia simbologรญa.
Geometrรญa Plana
93
ANEXO E
ENCUESTA Nยบ 1
MEDIDA DE ACEPTACIรN POR PARTE DE LOS DOCENTES, DE LA
ENSEรANZA DE LA GEOMETRรA CON LA AYUDA DE SOFTWARES
GEOMรTRICOS INTERACTIVOS EN NIVELACIรN DE LA UFA-ESPE-EL Y
SELECCIรN DE UNO DE ESOS SOFTWARES
NOMBRE: GENERO: EDAD:
TรTULO: รREA: Nivelaciรณn
Conoce softwares de geometrรญa interactiva? SI NO
Responder este instrumento permitirรก medir el grado de aceptaciรณn que tiene el
Docente por la enseรฑanza de la Geometrรญa con un software matemรกtico interactivo y
luego seleccionarlo desde la Web, como una herramienta de trabajo que ayude a
mejorar el proceso educativo de los estudiantes de Nivelaciรณn de la Universidad de las
Fuerzas Armadas ESPE-L.
Instrucciones:
En este documento te presentamos 11 proposiciones. Te pedimos que expreses tu
acuerdo o desacuerdo frente a cada una de ellas de la manera mรกs sincera. Para
responder, marca con una โXโ la opciรณn numรฉrica que mejor represente tu grado de
apreciaciรณn con cada frase.
Al leer la proposiciรณn puedes estar de acuerdo o en desacuerdo.
โข Si estรกs totalmente de acuerdo, 5
โข Si estรกs de acuerdo, 4.
โข Si no estรกs seguro sobre la proposiciรณn o no puedes contestar, 3.
โข Si estรกs en desacuerdo, 2.
โข Si estรกs totalmente en desacuerdo, 1.
Geometrรญa Plana
94
1. Enseรฑar Geometrรญa con la ayuda de softwares geomรฉtricos
interactivos, es mejor que enseรฑar sรณlo con tiza y pizarrรณn.
1 2 3 4 5
2. Al enseรฑar Geometrรญa con softwares geomรฉtricos interactivos, los
grรกficos que se realizan en รฉl, son a escala y la realidad geomรฉtrica no se
distorsiona.
1 2 3 4 5
3. Al enseรฑar Geometrรญa con softwares geomรฉtricos interactivos, el
estudiante tiene la posibilidad de aprender y hacer sus propios trazos y
grรกficos a escala.
1 2 3 4 5
4. Al enseรฑar Geometrรญa con softwares geomรฉtricos interactivos, las
propiedades de los postulados, axiomas, teoremas y otros, pueden
verificarse dinรกmicamente con este programa.
1 2 3 4 5
5. Al no tener que dibujar los grรกficos en el pizarrรณn, se gana tiempo
con los dibujos que ya se tienen dibujados en el software geomรฉtrico. 1 2 3 4 5
6. Los trabajos con softwares geomรฉtricos son ordenados y pulcros. 1 2 3 4 5
7. Me gustarรญa que la instituciรณn para la que yo trabajo, me
proporcione en forma digital, la asignatura de Geometrรญa desarrollada de
acuerdo a los contenidos establecidos por la Senescyt y con el soporte de
un software geomรฉtrico interactivo.
1 2 3 4 5
8. El software geomรฉtrico interactivo que mรกs conocen y han utilizado
los estudiantes que llegan a nivelaciรณn es el GEOGEBRA. 1 2 3 4 5
9. Los estudiantes que no conocen GEOGEBRA, rรกpidamente lo
asimilan del profesor o de sus compaรฑeros que si conocen este software. 1 2 3 4 5
10. Los principales softwares geomรฉtricos que conozco y se encuentran
en la Web son: Autocad, GeometerโsSketchPad, CabriGeometry Plus II,
Geogebra, GeoEnzo, GeometryCalculator.
1 2 3 4 5
11. Me gustarรญa que en nivelaciรณn se enseรฑe Geometrรญa con
GEOGEBRA, puesto que es: software libre; muy conocido en la
comunidad educativa de nuestro paรญs; muy versรกtil y fรกcil de aprender.
1 2 3 4 5
Geometrรญa Plana
95
ANEXO F
ENCUESTA Nยบ 2
MEDIDA DE ACEPTACIรN POR PARTE DE LOS DOCENTES, DE LA
PROPUESTA PLANTEADA PARA LA ENSEรANZA DE LA GEOMETRรA
CON EL SOFTWARE INTERACTIVO GEOGEBRA EN NIVELACIรN DE LA
UFA-ESPE-EL
NOMBRE: GENERO: EDAD:
TรTULO: รREA: Nivelaciรณn
Participรณ de la reuniรณn en la cual se presentรณ la PROPUESTA? SI NO
Responder este instrumento permitirรก medir el grado de aceptaciรณn que tiene el
Docente por la PROPUESTA planteada para la enseรฑanza de la Geometrรญa utilizando el
software matemรกtico interactivo GEOGEBRA, como una herramienta de trabajo que
ayude a mejorar el proceso educativo de los estudiantes de Nivelaciรณn de la
Universidad de las Fuerzas Armadas.
Instrucciones:
En este documento te presentamos 12 proposiciones. Te pedimos que expreses tu
acuerdo o desacuerdo frente a cada una de ellas de la manera mรกs sincera. Para
responder, marca con una โXโ la opciรณn numรฉrica que mejor represente tu grado de
apreciaciรณn con cada frase.
Al leer la proposiciรณn puedes estar de acuerdo o en desacuerdo.
โข Si estรกs totalmente de acuerdo, 5
โข Si estรกs de acuerdo, 4.
โข Si no estรกs seguro sobre la proposiciรณn o no puedes contestar, 3.
โข Si estรกs en desacuerdo, 2.
โข Si estรกs totalmente en desacuerdo, 1.
Geometrรญa Plana
96
1. El desarrollo de la teorรญa sobre triรกngulos estรก desarrollado totalmente en digital.
1 2 3 4 5
2. El contenido de la teorรญa sobre triรกngulos estรก compuesto por conceptos, definiciones, postulados, teoremas, propiedades, etc.
1 2 3 4 5
3. Los teoremas estรกn respaldados por su correspondiente demostraciรณn.
1 2 3 4 5
4. El desarrollo del contenido del tema sobre triรกngulos, estรก respaldado por la correspondiente teorรญa, problemas resueltos y problemas planteados.
1 2 3 4 5
5. Los Teoremas y propiedades geomรฉtricas demostradas se pueden verificar en forma dinรกmica a travรฉs del Geogebra, por medio de un enlace.
1 2 3 4 5
6. El material desarrollado teรณricamente contiene grรกficos y dibujos estรกticos, estructurados adecuadamente para la enseรฑanza.
1 2 3 4 5
7. Los teoremas y propiedades geomรฉtricas, estรกn respaldados con grรกficos y dibujos, con su correspondiente demostraciรณn matemรกtica y la verificaciรณn de las propiedades en Geogebra y en forma dinรกmica.
1 2 3 4 5
8. Me gustarรญa disponer de este material interactivo sobre triรกngulos, para mis clases de geometrรญa.
1 2 3 4 5
9. Los estudiantes se van a sentir motivados puesto que van a poder verificar dinรกmicamente las propiedades geomรฉtricas y teoremas demostrados, a travรฉs del Geogebra.
1 2 3 4 5
10. Este trabajo dispone de enlaces con internet para poder hacer cualquier consulta sobre geometrรญa.
1 2 3 4 5
11. Este trabajo tambiรฉn me da la posibilidad de editarlo, en el supuesto caso que quiera mejorarlo o hacer otras modificaciones y presentaciones.
1 2 3 4 5
12. Este material me motiva y me mantiene con la actitud de siempre estar mejorando en todo, como profesor de geometrรญa.
1 2 3 4 5
Gracias por su colaboraciรณn:
Firma: โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..
Geometrรญa Plana
97
ANEXO G
ENCUESTA Nยบ 3
MEDIDA DE ACEPTACIรN POR PARTE DE LOS ESTUDIANTES, DE LA
ENSEรANZA DE LA GEOMETRรA CON SOFTWARE
GEOMรTRICOINTERACTIVO GEOGEBRA EN NIVELACIรN DE LA UFA-
ESPE-EL
NOMBRE: GENERO: EDAD:
TรTULO: Estudiante รREA: Nivelaciรณn
Conoce del software matemรกtico GeoGebra? SI NO
Responder este instrumento permitirรก medir el grado de aceptaciรณn que tiene
el estudiante, por el aprendizaje de la Geometrรญa utilizando el software
matemรกtico interactivo GEOGEBRA, como una herramienta de trabajo que
ayude a mejorar el proceso educativo de ellos, como estudiantes de Nivelaciรณn
de la Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE-EL.
Instrucciones:
En este documento te presentamos 10 proposiciones. Te pedimos que
expreses tu acuerdo o desacuerdo frente a cada una de ellas de la manera
mรกs sincera. Para responder, marca con una โXโ la opciรณn numรฉrica que mejor
represente tu grado de apreciaciรณn con cada frase.
Al leer la proposiciรณn puedes estar de acuerdo o en desacuerdo.
โข Si estรกs totalmente de acuerdo, 5
โข Si estรกs de acuerdo,4.
โข Si no estรกs seguro sobre la proposiciรณn o no puedes contestar, 3.
โข Si estรกs en desacuerdo, 2.
โข Si estรกs totalmente en desacuerdo, 1.
Geometrรญa Plana
98
1. Aprender Geometrรญa con la ayuda de software geomรฉtrico interactivo GEOGEBRA, es mejor que aprender sรณlo con tiza y pizarrรณn.
1 2 3 4 5
2. Al aprender Geometrรญa con GEOGEBRA, los grรกficos son a escala y la realidad geomรฉtrica no se distorsiona.
1 2 3 4 5
3. Al aprender Geometrรญa con GEOGEBRA, tengo la posibilidad de hacer mis propios trazos y grรกficos a escala.
1 2 3 4 5
4. Al aprender Geometrรญa con GEOGEBRA, las propiedades de los postulados, axiomas, teoremas y otros, se pueden verificar dinรกmicamente con este programa.
1 2 3 4 5
5. Los resultados numรฉricos de problemas planteados y resueltos, se pueden verificar con el software GEOGEBRA.
1 2 3 4 5
6. Al no tener que dibujar el docente los grรกficos en el pizarrรณn, se gana tiempo con los dibujos que รฉl ya tiene dibujado en el software GEOGEBRA.
1 2 3 4 5
7. Los trabajos con software GEOGEBRA son ordenados y pulcros.
1 2 3 4 5
8. Me gustarรญa que me enseรฑen Geometrรญa en forma digital, asistido por el software geomรฉtrico interactivo GEOGEBRA.
1 2 3 4 5
9. El software geomรฉtrico interactivo que mรกs conocen y han utilizado mis compaรฑeros que llegan a nivelaciรณn es el GEOGEBRA.
1 2 3 4 5
10. Mis compaรฑeros que no conocen de GEOGEBRA rรกpidamente aprenden este programa, ya sea con la ayuda del profesor o de sus compaรฑeros, que si conocen y saben este software.
1 2 3 4 5
Gracias por su colaboraciรณn:
Firma:โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..
ANEXO H
Geometrรญa Plana
99
LISTA DE COTEJOS
MAESTRรA EN MATEMรTICA BรSICA
LISTA DE COTEJOS EN EL DOMINIO PSICOMOTRIZ
MOMENTO: DIAGNรSTICO
Nยฐ GRUPO IMITA SIGUE
INSTRUCCIONES INDEPENDIENTE PRECISO
1 Experimental
2 Experimental
3 Experimental
4 Experimental
5 Experimental
6 Experimental
7 Experimental
8 Experimental
9 Experimental
10 Experimental
11 Experimental
12 Experimental
13 Experimental
14 Experimental
15 Experimental
16 Experimental
17 Experimental
18 Experimental
19 Experimental
20 Experimental
21 Experimental
22 Experimental
23 Experimental
24 Experimental
25 Experimental
Geometrรญa Plana
100
26 Experimental
27 Experimental
28 Experimental
29 Experimental
30 Experimental
31 Control
32 Control
33 Control
34 Control
35 Control
36 Control
37 Control
38 Control
39 Control
40 Control
41 Control
42 Control
43 Control
44 Control
45 Control
46 Control
47 Control
48 Control
49 Control
50 Control
51 Control
52 Control
53 Control
54 Control
55 Control
56 Control
57 Control
58 Control
59 Control
60 Control
Geometrรญa Plana
101
ANEXO I
MAESTRรA EN MATEMรTICA BรSICA
LISTA DE COTEJOS EN EL DOMINIO PSICOMOTRIZ
MOMENTO: PRIMERA EVALUACIรN
Nยฐ MOMENTO IMITA
SIGUE
INSTRUCCIONES INDEPENDIENTE PRECISO
1 Diagnรณstico
2 Diagnรณstico
3 Diagnรณstico
4 Diagnรณstico
5 Diagnรณstico
6 Diagnรณstico
7 Diagnรณstico
8 Diagnรณstico
9 Diagnรณstico
10 Diagnรณstico
11 Diagnรณstico
12 Diagnรณstico
13 Diagnรณstico
14 Diagnรณstico
15 Diagnรณstico
16 Diagnรณstico
17 Diagnรณstico
18 Diagnรณstico
19 Diagnรณstico
20 Diagnรณstico
21 Diagnรณstico
22 Diagnรณstico
23 Diagnรณstico
24 Diagnรณstico
25 Diagnรณstico
26 Diagnรณstico
27 Diagnรณstico
28 Diagnรณstico
Geometrรญa Plana
102
29 Diagnรณstico
30 Diagnรณstico
31 Evaluaciรณn 1
32 Evaluaciรณn 1
33 Evaluaciรณn 1
34 Evaluaciรณn 1
35 Evaluaciรณn 1
36 Evaluaciรณn 1
37 Evaluaciรณn 1
38 Evaluaciรณn 1
39 Evaluaciรณn 1
40 Evaluaciรณn 1
41 Evaluaciรณn 1
42 Evaluaciรณn 1
43 Evaluaciรณn 1
44 Evaluaciรณn 1
45 Evaluaciรณn 1
46 Evaluaciรณn 1
47 Evaluaciรณn 1
48 Evaluaciรณn 1
49 Evaluaciรณn 1
50 Evaluaciรณn 1
51 Evaluaciรณn 1
52 Evaluaciรณn 1
53 Evaluaciรณn 1
54 Evaluaciรณn 1
55 Evaluaciรณn 1
56 Evaluaciรณn 1
57 Evaluaciรณn 1
58 Evaluaciรณn 1
59 Evaluaciรณn 1
60 Evaluaciรณn 1
Geometrรญa Plana
103
ANEXO J
MAESTRรA EN MATEMรTICA BรSICA
LISTA DE COTEJOS EN EL DOMINIO PSICOMOTRIZ
MOMENTO: EVALUACIรN FINAL
Nยฐ GRUPO IMITA
SIGUE
INSTRUCCIONES INDEPENDIENTE PRECISO
1 Experimental
2 Experimental
3 Experimental
4 Experimental
5 Experimental
6 Experimental
7 Experimental
8 Experimental
9 Experimental
10 Experimental
11 Experimental
12 Experimental
13 Experimental
14 Experimental
15 Experimental
16 Experimental
17 Experimental
18 Experimental
19 Experimental
20 Experimental
21 Experimental
22 Experimental
23 Experimental
24 Experimental
25 Experimental
26 Experimental
27 Experimental
28 Experimental
Geometrรญa Plana
104
29 Experimental
30 Experimental
31 Control
32 Control
33 Control
34 Control
35 Control
36 Control
37 Control
38 Control
39 Control
40 Control
41 Control
42 Control
43 Control
44 Control
45 Control
46 Control
47 Control
48 Control
49 Control
50 Control
51 Control
52 Control
53 Control
54 Control
55 Control
56 Control
57 Control
58 Control
59 Control
60 Control
Geometrรญa Plana
105
ANEXO K
PROPUESTA
CONTENIDO DEL TEMA DE TRIรNGULOS SEGรN EL
PROGRAMA DE NIVELACIรN VIGENTE DE LA UFA-ESPE-L:
Triรกngulos: definiciรณn, representaciรณn grรกfica, elementos, denominaciรณn,
clasificaciรณn, รกngulos en el triรกngulo.
Triรกngulos: lรญneas, puntos notables y รกngulos entre lรญneas fundamentales.
Propiedades de los triรกngulos: Isรณsceles, equilรกtero y rectรกngulo.
Triรกngulos: congruencia.
Triรกngulos: semejanza.
Resoluciรณn de triรกngulos rectรกngulos: relaciones mรฉtricas y
trigonomรฉtricas.
Resoluciรณn de triรกngulos: relaciones mรฉtricas y trigonomรฉtricas.
Geometrรญa Plana
106
รNDICE
1. TRIรNGULOS ....................................................................................... 109
1.1 Definiciรณn ................................................................................................ 109
1.2 Simbologรญa o notaciรณn ............................................................................. 109
1.3 Clasificaciรณn de los triรกngulos ................................................................. 110
1.3.1 Por sus lados: ........................................................................................... 110
1.3.2 Por sus รกngulos: ...................................................................................... 110
1.4 Lรญneas y Puntos Fundamentales .............................................................. 110
1.4.1 Lรญneas fundamentales: bases, medianas, bisectrices, mediatrices y
alturasโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ...1
10
1.4.2 Puntos Fundamentales: Baricentro, incentro, excentro, circuncentro y
ortocentro. ................................................................................................ 113
1.5 Propiedades de ciertas configuraciones geomรฉtricas que se
desprenden de las propiedades fundamentales del triรกngulo. .................. 117
1.5.1 Teorema Fundamental de los triรกngulos (I):............................................ 117
1.5.2 Teorema de los Cuadrilรกteros (II): .......................................................... 118
1.5.3 Teorema del รกngulo exterior de un cuadrilรกtero (III): ............................. 120
1.5.4 Teorema del lazo (IV): ............................................................................ 121
1.5.5 Teorema de las bisectrices internas de un triรกngulo (V): ........................ 122
1.5.6 Teorema de las bisectrices externas de un triรกngulo (VI): ...................... 123
1.5.7 Teorema relativo a una bisectriz interna y una bisectriz externa (VII): .. 124
1.5.8 Teorema de la bisectriz y la altura del mismo vรฉrtice (VIII): ................. 125
1.6 Ejercicios Resueltos sobre Triรกngulos: .................................................... 126
1.7 Ejercicios Propuestos: .............................................................................. 131
Geometrรญa Plana
107
2. CONGRUENCIA DE TRIรNGULOS ................................................. 135
2.1 Definiciรณn: ............................................................................................... 135
2.2 Simbologรญa: .............................................................................................. 135
2.3 Condiciรณn geomรฉtrica fundamental de congruencia: .............................. 135
2.4 Postulados de congruencia triangular: ..................................................... 136
2.5 Propiedades geomรฉtricas que se demuestran por Congruencias
de triรกngulos ............................................................................................ 138
2.5.1 Teorema de las paralelas (I): ................................................................... 138
2.5.2 Teorema del triรกngulo y la paralela (II): .................................................. 139
2.5.3 Teorema del triรกngulo isรณsceles (III): ...................................................... 141
2.5.4 Teorema del triรกngulo rectรกngulo y la mediana (IV): ............................ 143
2.5.5 Teorema sobre la altura y la mediana de un triรกngulo rectรกngulo (V): ... 145
2.6 Ejercicios Resueltos sobre Congruencia Triangular: .............................. 146
2.7 Ejercicios Propuestos: .............................................................................. 153
3. SEMEJANZA DE TRIรNGULOS ...................................................... 157
3.1 Definiciรณn: ............................................................................................... 157
3.2 Simbologรญa: .............................................................................................. 157
3.3 Condiciรณn geomรฉtrica fundamental de semejanza: ................................. 157
3.4 Postulados de semejanza triangular: ........................................................ 158
3.5 Propiedades geomรฉtricas que se demuestran por Semejanza
de triรกngulos. ........................................................................................... 162
3.5.1 Teorema del Baricentro (I): ..................................................................... 162
3.5.2 Teorema del baricentro y la altura (II): ................................................... 164
3.5.3 Teorema de la antiparalela (III): .............................................................. 165
3.5.4 Teorema del Perรญmetro de un triรกngulo (IV): .......................................... 166
3.6 Ejercicios Resueltos sobre Semejanza Triangular: ................................. 167
Geometrรญa Plana
108
3.7 Ejercicios Propuestos: .............................................................................. 172
4. RESOLUCIรN DE TRIรNGULOS RECTรNGULOS .................... 174
4.1 Relaciones Mรฉtricas en los Triรกngulos Rectรกngulos ............................... 174
4.1.1 Teorema I:................................................................................................ 175
4.1.2 Teorema II: .............................................................................................. 175
4.1.3 Teorema III: ............................................................................................. 175
4.1.4 Teorema IV: ............................................................................................. 176
4.2 Relaciones Trigonomรฉtricas en los Triรกngulos Rectรกngulos ................... 176
4.3 Ejercicios Resueltos sobre Relaciones Mรฉtricas y Trigonomรฉtricas
en Triรกngulos Rectรกngulos: ..................................................................... 179
4.4 Ejercicios Propuestos: .............................................................................. 183
5. RESOLUCIรN DE TRIรNGULOS ESCALENOS ........................... 185
5.1 Relaciones Mรฉtricas en los triรกngulos escalenos ..................................... 185
5.1.1 Teorema de las Bisectrices (I): ................................................................ 185
5.1.2 Teorema de Stewart (II):.......................................................................... 187
5.1.3 Teorema de Menelao (III): ...................................................................... 188
5.1.4 Teorema de Ceva (IV): ............................................................................ 189
5.2 Relaciones Trigonomรฉtricas en los Triรกngulos Escalenos ...................... 191
5.2.1 Ley de Senos: .......................................................................................... 191
5.2.2 Ley de Cosenos: ...................................................................................... 192
5.3 Ejercicios Resueltos sobre Relaciones Mรฉtricas y Trigonomรฉtricas
en Triรกngulos Escalenos: ......................................................................... 194
5.4 Ejercicios Propuestos: .............................................................................. 198
Geometrรญa Plana
109
1. TRIรNGULOS
Definiciรณn 1.1
Triรกngulo es una figura geomรฉtrica plana formada por tres segmentos de recta,
que se unen consecutivamente por sus extremos y forman una figura cerrada como
se indica en la Fig. 1.
Fig.1
Simbologรญa o notaciรณn 1.2
Por las letras que se encuentran en sus vรฉrtices.
Ejemplo:
Para denotar o simbolizar el triรกngulo anterior: ฮ ABC.
En todo triรกngulo, los lados de รฉste se representan con las letras minรบsculas
correspondientes a las letras mayรบsculas del vรฉrtice opuesto (lado a, b โง c); o a su
vez como se representan los segmento (lados ABฬ ฬ ฬ ฬ , BCฬ ฬ ฬ ฬ โง ACฬ ฬ ฬ ฬ ).
Geometrรญa Plana
110
Clasificaciรณn de los triรกngulos 1.3
1.3.1 Por sus lados:
Equilรกteros: tres lados congruentes.
Isรณsceles: dos lados congruentes.
Escalenos: ningรบn lado es congruente con el otro.
1.3.2 Por sus รกngulos:
Equiรกngulos: sus tres รกngulos internos son congruentes.
Acutรกngulos: sus tres รกngulos internos son agudos.
Obtusรกngulos: uno de sus รกngulos internos es obtuso.
Rectรกngulos: uno de sus รกngulos internos es recto (90ยฐ).
Lรญneas y Puntos Fundamentales 1.4
1.4.1 Lรญneas fundamentales: bases, medianas, bisectrices, mediatrices y alturas.
Bases (3): constituyen cada uno de los lados del triรกngulo; ABฬ ฬ ฬ ฬ , BCฬ ฬ ฬ ฬ โง ACฬ ฬ ฬ ฬ โจ a,
b โง c (Fig.2).
Fig. 2
Geometrรญa Plana
111
Medianas (3): segmentos de recta que unen los vรฉrtices del triรกngulo con
el centro de los lados opuestos. Si D, E y F son puntos medios de los lados
del โABC, entonces AFฬ ฬ ฬ ฬ , BDฬ ฬ ฬ ฬ , CEฬ ฬ ฬ ฬ son medianas (Fig. 3).
Fig. 3
Bisectrices (9): Segmentos de recta que dividen a los รกngulos tanto
internos como externos de un triรกngulo en la mitad. Por lo tanto se tienen
tres bisectrices internas y seis externas, de las cuales dos de รฉstas les
corresponden a cada uno de los lados del triรกngulo. En la Fig. 4 AFฬ ฬ ฬ ฬ ,
BDฬ ฬ ฬ ฬ โง CEฬ ฬ ฬ ฬ son bisectrices internas, mientras que BOฬ ฬ ฬ ฬ a โง COฬ ฬ ฬ ฬ
a son sรณlo dos
de las bisectrices externas.
Geometrรญa Plana
112
Fig. 4
Mediatrices (3): Segmentos de recta perpendiculares levantadas en la
mitad de cada uno de los lados del triรกngulo. Si D, E y F son puntos
medios de los lados del triรกngulo ABC, entonces DIฬ ฬ ฬ , EGฬ ฬ ฬ ฬ y FHฬ ฬ ฬ ฬ son
mediatrices (Fig. 5).
Fig. 5
Geometrรญa Plana
113
Alturas (3): Segmentos de recta que unen perpendicularmente, los vรฉrtices del
triรกngulo con el lado opuesto correspondiente o su prolongaciรณn. En la Fig. 6,
AF, BD โง CE son alturas del โABC.
Fig. 6
1.4.2 Puntos Fundamentales: Baricentro, incentro, excentro, circuncentro y
ortocentro.
Baricentro (G): Punto de intersecciรณn de las tres medianas de un triรกngulo.
El baricentro divide a las medianas en dos partes, de tal manera que el
segmento que se encuentra del lado del vรฉrtice es el doble del otro (Fig. 7).
๐ด๐บ
๐บ๐น=
๐ต๐บ
๐บ๐ท=
๐ถ๐บ
๐บ๐ธ= 2
Geometrรญa Plana
114
Fig. 7
Incentro (I): Punto de intersecciรณn de las tres bisectrices internas de un
triรกngulo. Este punto tiene la propiedad de ser el centro de la
circunferencia inscrita de radio r (Fig. 8).
Fig. 8
Geometrรญa Plana
115
Excentros (Ea, Eb, Ec): Punto de intersecciรณn de una bisectriz interna de
un triรกngulo, con dos bisectrices externas opuestas a la primera (Fig. 9).
Los excentros tienen la propiedad de ser los centros de las circunferencias
exinscritas al triรกngulo. En la grรกfica sรณlo consta el excentro Ea y el radio
Ra de la circunferencia.
Fig. 9
Circuncentro (C): Punto de intersecciรณn de las tres mediatrices de un
triรกngulo. Este punto tiene la propiedad de ser el centro de la
circunferencia circunscrita al triรกngulo y de radio R (Fig. 1).
Geometrรญa Plana
116
Fig.10
Ortocentro (H): Punto de intersecciรณn de las tres alturas de un triรกngulo
(Fig. 11).
Fig. 11
Geometrรญa Plana
117
En general, como propiedades importantes de los puntos y lรญneas fundamentales
de un triรกngulo, podemos citar las siguientes:
Cada clase de lรญneas fundamentales se intersecan en su correspondiente
punto fundamental.
El baricentro y el incentro siempre estรกn hacia el interior del triรกngulo.
El circuncentro y el ortocentro pueden estar afuera, adentro o sobre los
lados del triรกngulo.
Los excentros siempre se encuentran afuera del triรกngulo.
Propiedades de ciertas configuraciones geomรฉtricas que se 1.5
desprenden de las propiedades fundamentales del triรกngulo.
1.5.1 Teorema Fundamental de los triรกngulos (I):
En todo triรกngulo, la suma de sus tres รกngulos internos es igual a ๐Rad o 180ยฐ
(Fig. 12).
๐ฏ) ๐๐จ๐ฉ๐ช ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐ป) ๐ถ + ๐ท + ๐ธ = ๐๐๐ยฐ
Fig. 12
Geometrรญa Plana
118
Demostraciรณn:
๐ท๐ธฬ ฬ ฬ ฬ โฅ ๐ด๐ตฬ ฬ ฬ ฬ โง ๐ถ๐น ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐รณ๐ ๐๐ ๐ด๐ถ (๐ถ๐๐๐ ๐ก๐๐ข๐๐๐รณ๐)
๐ฟ = ๐ผ (Angulos correspondientes)
ํ = ๐ฝ (Angulos alternos internos)
(๐) ๐ฟ + ํ + ๐พ = 180ยฐ (Angulo Llano)
๐น โง ๐บ ๐๐ (๐) โด ๐ถ + ๐ท + ๐ธ = ๐๐๐ยฐ
Corolarios:
Cualquiera de los รกngulos externos de un triรกngulo, es igual a la suma de
sus รกngulos internos opuestos. Como ejemplo, en la Fig. 12 de arriba
โ ๐ต๐ถ๐น = ๐ผ + ๐ฝ.
Un triรกngulo no tiene mรกs de un รกngulo recto ni mรกs de un รกngulo obtuso.
Los รกngulos agudos de un triรกngulo rectรกngulo son complementarios.
1.5.2 Teorema de los Cuadrilรกteros (II):
La suma de los รกngulos internos de todo cuadrilรกtero es igual a 2๐Rad รณ 360ยฐ
(Fig. 13).
Geometrรญa Plana
119
๐ฏ) โญ๐จ๐ฉ๐ช๐ซ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐ป) ๐ถ + ๐ท + ๐ธ + ๐น = ๐๐๐ยฐ
Fig. 13
Demostraciรณn:
๐ต๐ทฬ ฬ ฬ ฬ โน โณ ๐ด๐ต๐ท โง โณ ๐ต๐ท๐ถ (๐ถ๐๐๐ ๐ก๐๐ข๐๐๐รณ๐)
โน ํ + ํ = ๐ฝ โง ํ + ํ = ๐ฟ (๐ถ๐๐๐๐๐ ๐๐๐รณ๐ ๐๐ รก๐๐๐ข๐๐๐ )
โณ ๐ด๐ต๐ท (๐) ๐ผ + ํ + ํ = 180ยฐ (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ)
โณ ๐ต๐ท๐ถ (๐) ํ + ํ + ๐พ = 180ยฐ (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ)
(๐) + (๐) ๐ผ + ํ + ํ + ํ + ํ + ๐พ = 180ยฐ + 180ยฐ = 360ยฐ
โท ํ + ํ = ๐ฝ โง ํ + ํ = ๐ฟ
โด ๐ถ + ๐ท + ๐ธ + ๐น = ๐๐๐ยฐ
Geometrรญa Plana
120
1.5.3 Teorema del รกngulo exterior de un cuadrilรกtero (III):
Cualquier รกngulo exterior (ํ) de un cuadrilรกtero, es igual a la suma de los tres
รกngulos internos opuestos a รฉste (Fig. 14).
๐ฏ) โญ๐จ๐ฉ๐ช๐ซ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐ป) ๐บ = ๐ท + ๐ธ + ๐น
Fig. 14
Demostraciรณn:
โญ๐ด๐ต๐ถ๐ท (๐) ๐ผ = 360ยฐ โ (๐ฝ + ๐พ + ๐ฟ) (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ)
โท (๐) ฮฑ = 360ยฐ โ ฮต
(๐) = (๐) 360ยฐ โ (๐ฝ + ฮณ + ฮด) = 360ยฐ โ ฮต
โด ๐บ = ๐ท + ๐ธ + ๐น
Geometrรญa Plana
121
1.5.4 Teorema del lazo (IV):
Si dos lados de un triรกngulo son la prolongaciรณn de los lados de otro triรกngulo
(Fig. 15), la suma de los รกngulos internos no comunes del primero es igual a la
suma de los dos internos no comunes del segundo.
๐ฏ) โจ๐จ๐ฉ๐ช๐ซ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐ป) ๐ถ + ๐ท = ๐ธ + ๐น
Fig. 15
Demostraciรณn:
โ๐จ๐ฉ๐ฌ (๐) ๐ผ + ๐ฝ + ํ = 180ยฐ (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ)
โ๐ช๐ซ๐ฌ (๐) ๐พ + ๐ฟ + ํ = 180ยฐ (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ)
(๐) = (๐) ๐ผ + ๐ฝ + ํ = ๐พ + ๐ฟ + ํ
โท ๐บ = ํ (๐๐๐ข๐๐ ๐ก๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ฃรฉ๐๐ก๐๐๐)
Geometrรญa Plana
122
โด ๐ถ + ๐บ = ๐ + ๐
1.5.5 Teorema de las bisectrices internas de un triรกngulo (V):
El รกngulo que se forma por el cruce de dos bisectrices internas de un triรกngulo,
es igual a 90ยฐ mรกs la mitad del รกngulo interno no bisecado (Fig. 16).
๐ฏ) ๐๐จ๐ฉ๐ช ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐ฐ ๐ฐ๐๐๐๐๐๐๐
๐ป) ๐ธ = ๐๐ยฐ + ๐น/๐
Fig. 16
Demostraciรณn:
โณ ๐จ๐ฐ๐ฉ ๐ผ + ๐พ + ๐ฝ = 180ยฐ โน (๐) ๐ผ + ๐ฝ = 180ยฐ โ ๐พ
Geometrรญa Plana
123
โณ ๐จ๐ฉ๐ช 2๐ผ + 2๐ฝ + ๐ฟ = 180ยฐ โน (๐) ๐ผ + ๐ฝ = 180ยฐ โ ๐ฟ
2
(๐) = (๐) 180ยฐ โ ๐พ = 180ยฐ โ ๐ฟ
2 โน 2(180ยฐ โ ๐พ) = 180ยฐ โ ๐ฟ
360ยฐ โ 2๐พ = 180ยฐ โ ๐ฟ โน 180ยฐ + ๐ฟ = 2๐พ
โด ๐ธ = ๐๐ยฐ +๐น
๐
1.5.6 Teorema de las bisectrices externas de un triรกngulo (VI):
El รกngulo formado por dos bisectrices externas de un triรกngulo es igual a 90ยฐ
menos la mitad del รกngulo interno opuesto a รฉstas (Fig.17).
Fig. 17
๐ฏ) โ๐จ๐ฉ๐ช ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐ถ๐ ๐ฌ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐รฉ๐๐๐๐๐ ๐จ
๐ป) ๐ธ = ๐๐ยฐ โ๐ถ
๐
Geometrรญa Plana
124
Demostraciรณn:
โณ ๐ฉ๐ช๐ถ๐ ๐ฟ + ํ + ๐พ = 180ยฐ โน (๐) ๐ฟ + ํ = 180ยฐ โ ๐พ
โณ ๐จ๐ฉ๐ช (๐) ๐ผ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 180ยฐ
๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 180ยฐ โ 2๐ฟ โง ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 180ยฐ โ 2ํ
๏ฟฝฬ๏ฟฝ โง ๏ฟฝฬ๏ฟฝ ๐๐ (๐) ๐ผ + (180ยฐ โ 2๐ฟ) + (180ยฐ โ 2ํ) = 180ยฐ
(๐) ๐ผ + 360ยฐ โ 2(๐ฟ + ํ) = 180ยฐ
(๐) ๐๐ (๐) ๐ผ + 360ยฐ โ 2(180ยฐ โ ๐พ) = 180ยฐ โน ๐ผ + 2๐พ = 180ยฐ
โด ๐ธ = ๐๐ยฐ โ๐ถ
๐
1.5.7 Teorema relativo a una bisectriz interna y una bisectriz externa (VII):
El รกngulo formado por una bisectriz interna de un triรกngulo y una bisectriz
externa, pero de vรฉrtices diferentes, es igual a la mitad del รกngulo interno
correspondiente al tercer vรฉrtice (Fig. 18).
Fig. 18
Geometrรญa Plana
125
๐ฏ) โ๐จ๐ฉ๐ช ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐ฌ๐ ๐ฌ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐รฉ๐๐๐๐๐ ๐จ
๐ป) ๐ธ =๐ท
๐
Demostraciรณn:
โณ ๐ด๐ถ๐๐ (1) ๐ผ + ๐ฟ + ํ + ๐พ = 180ยฐ
ํ = ๐ผ + ๐พ (๐ด๐๐๐ข๐๐ ๐๐ฅ๐ก๐๐๐๐)
โณ ๐ด๐ต๐ถ (3) 2๐ผ + ๐ฝ + ๐ฟ = 180ยฐ
(1) = (3) ๐ผ + ๐ฟ + ํ + ๐พ = 2๐ผ + ๐ฝ + ๐ฟ โน (4) ํ + ๐พ = ๐ผ + ๐ฝ
(ํ)๐๐ (4) ๐ผ + ๐พ + ๐พ = ๐ผ + ๐ฝ โน 2๐พ = ๐ฝ
โด ๐พ =๐ฝ
2
1.5.8 Teorema de la bisectriz y la altura del mismo vรฉrtice (VIII):
El รกngulo formado (Fig. 19) por una de las bisectrices internas del vรฉrtice de un
triรกngulo y su correspondiente altura, es igual al valor absoluto de la
semidiferencia de los รกngulos internos de los otros dos vรฉrtices.
Fig. 19
Geometrรญa Plana
126
๐ฏ) โ ๐จ๐ฉ๐ช ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ป) ๐บ =|๐ถ โ ๐ท|
๐
๐ช๐ฏฬ ฬ ฬ ฬ ๐จ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โก๐ช
๐ช๐ซฬ ฬ ฬ ฬ ๐ฉ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โก๐ช
Demostraciรณn:
โณ ๐ถ๐ท๐ต ํ = ๐ฝ + ๐พ (๐ด๐๐๐ข๐๐ ๐๐ฅ๐ก๐๐๐๐)
โฟ๐ถ๐ท๐ป (1) ํ + ํ = 90ยฐ
ํ ๐๐ (1) (3) ํ + ๐ฝ + ๐พ = 90ยฐ
โ ๐ด๐ต๐ถ 2๐พ = 180ยฐ โ ๐ผ โ ๐ฝ โน (4) ๐พ =180ยฐ โ ๐ผ โ ๐ฝ
2
(4) ๐๐ (3) ํ + ๐ฝ +180ยฐ โ ๐ผ โ ๐ฝ
2 = 90ยฐ
2ํ + 2๐ฝ + 180ยฐ โ ๐ผ โ ๐ฝ = 180ยฐ โน 2ํ โ ๐ผ + ๐ฝ = 0
โด ๐บ =๐ถ โ ๐ท
๐
Ejercicios Resueltos sobre Triรกngulos: 1.6
1. ๐ฏ) โก๐ฑ๐ฒ๐ณ = ๐๐๐ยฐ; โก๐ณ๐ฑ๐ฒ = ๐๐ยฐ ๐ป) โก๐ท๐ธ๐น =?
โ J
K
R
Q
P
L
Geometrรญa Plana
127
Resoluciรณn:
โณ ๐ฑ๐ฒ๐ณ
๐ฝ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 180ยฐ; 60ยฐ + 100ยฐ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 180ยฐ โน ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 20ยฐ (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ)
๐ฝ =๏ฟฝฬ๏ฟฝ
2; ๐ฝ =
20ยฐ
2 โน ๐ฝ = 10ยฐ (๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ ๐บ๐รก๐๐๐๐)
โณ ๐ฑ๐ท๐ณ
๐ฝ + 2๐ผ + ๐ฝ = 180ยฐ; ๐ผ =180ยฐ โ ๐ฝ โ ๐ฝ
2 (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ, ๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ ๐บ๐รก๐๐๐๐)
๐ผ =180ยฐ โ 10ยฐ โ 60ยฐ
2 โน ๐ผ = 55ยฐ
โญ๐ท๐ธ๐น๐ณ
๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๐ผ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๐ฝ; ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ๐ผ, ๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ ๐บ๐รก๐๐๐๐)
๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 90ยฐ โ 55ยฐ โ 10ยฐ โน ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 25ยฐ โท ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = โก๐๐๐
โด โก๐ท๐ธ๐น = ๐๐ยฐ
โ J
K
100ยฐ
R
Q
P
L 60ยฐ ฮฒ
ฮฒ
ฮฑ ฮฑ
Geometrรญa Plana
128
2. ๐ป) ๐ = ?
Resoluciรณn:
โณ ๐ฑ๐ธ๐ป
๐ฝ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 180ยฐ (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ)
๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 180ยฐ โ 90ยฐ โ 15ยฐ โน ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 75ยฐ ( ๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ ๐บ๐รก๐๐๐๐)
โก๐๐๐พ = 180ยฐ โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ; โก๐๐๐พ = 180ยฐ โ 75ยฐ = 105ยฐ
โญ๐ฒ๐ณ๐ท๐ธ
๐ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 360ยฐ (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ)
๐ = 360ยฐ โ 90ยฐ โ 65ยฐ โ 105ยฐ (๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ ๐บ๐รก๐๐๐๐)
โด ๐ = ๐๐๐ยฐ
J T S
Q
K
L
M
N
P
R
15ยฐ โ
๐
65ยฐ
105ยฐ
Geometrรญa Plana
129
3. ๐ฏ) ๐ถ = ๐๐ยฐ ๐ป) ๐ฝ = ?
Resoluciรณn:
โณ ๐ฟ๐๐ผ
๐ผ + ํ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 180ยฐ (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ)
ํ = 180ยฐ โ 110ยฐ โ 20ยฐ โน ํ = 50ยฐ (๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ )
ํ =โก๐๐๐
2=
2ํ
2 โน ํ = ํ (๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ผ๐ผ)
โด ๐ฝ = ๐๐ยฐ
4. ๐ป) ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ?
P
R
S
Q
T
1ฬ
1ฬ
2ฬ 2ฬ
102ยฐ
Y
W
78ยฐ
T
Z
Y
W
ฮฑ
ฮฑ ฮฒ ฮฒ
ฮต ฮต
ฮธ
110ยฐ
X
U
Geometrรญa Plana
130
Resoluciรณn:
๐ ๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ โฅ ๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ; โก๐๐ ๐ + โก๐ ๐๐ = 180ยฐ (๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ , ๐ด๐๐๐ข๐๐๐ ๐ถ๐๐๐๐ข๐๐๐๐๐ )
โก๐ ๐๐ = 180ยฐ โ โก๐๐ ๐ = 180ยฐ โ 102ยฐ โน โก๐ ๐๐ = 78ยฐ
โณ ๐ท๐ธ๐ป
(๐) ๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 180ยฐ; โก๐ ๐๐ = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 78ยฐ (๐ท๐๐๐๐๐๐๐รณ๐)
๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 180ยฐ โ 21ฬ; ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 180ยฐ โ 22ฬ (๐ด๐๐๐ข๐๐๐ ๐๐ข๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐ )
๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ ๐๐ (๐) 78ยฐ + 180ยฐ โ 21ฬ + 180ยฐ โ 22ฬ = 180ยฐ โน 1ฬ + 2ฬ = 129ยฐ
โณ ๐ธ๐บ๐ป
(๐) ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 180ยฐ โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ; ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 1ฬ; ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 2ฬ (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ, ๐ท๐๐๐๐๐๐๐รณ๐)
๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ ๐๐ (๐) ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 180ยฐ โ (1ฬ + 2ฬ) โท 1ฬ + 2ฬ = 129ยฐ
โน ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 180ยฐ โ 129ยฐ
โด ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๐๐ยฐ
5. ๐ป) ๏ฟฝฬ๏ฟฝ =?
A
B
D
F
C 30ยฐ
70ยฐ ฮฑ
ฮฑ
โ
E
C
80ยฐ
Geometrรญa Plana
131
Resoluciรณn:
โ ๐ฉ๐ช๐ซ๐ญ
(๐) ๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ๐)
๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๐ถ; ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๐๐ยฐ; ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๐๐ยฐ; ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๐๐ยฐ (๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ ๐บ๐รก๐๐๐๐)
๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐ (๐) ๐ถ = ๐๐ยฐ + ๐๐ยฐ โ ๐๐ยฐ โน ๐ถ = ๐๐ยฐ
โณ ๐จ๐ฉ๐ช
โก๐ด๐ต๐ถ = 180ยฐ โ 2๐ผ (๐ด๐๐๐ข๐๐ ๐๐ข๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐)
โก๐ด๐ต๐ถ = 180ยฐ โ 2 โ 50ยฐ โน โก๐ด๐ต๐ถ = 80ยฐ
(๐) ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 180ยฐ โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ; โก๐ด๐ต๐ถ = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 80ยฐ; ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 30ยฐ
๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ ๐๐ (๐) ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 180ยฐ โ 80ยฐ โ 30ยฐ
โด ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๐๐ยฐ
Ejercicios Propuestos: 1.7
1. ๐ฏ) โก๐ฉ๐จ๐ช =๐๐๐
๐๐๐๐๐ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ =
๐๐๐
๐๐ ๐๐
๐ป) โก๐จ๐ธ๐ช =? ๐บ๐๐๐๐๐รณ๐: ๐๐๐ยฐ
C
B
A
E
D
A
Q
A
Geometrรญa Plana
132
2. ๐ฏ) โก๐ฉ๐ช๐ญ = ๐๐๐ยฐ โก๐ฉ๐จ๐ซ = ๐๐ยฐ
๐ป) โก ๐ซ๐จ๐ฌ = ? ๐บ๐๐๐๐๐รณ๐: ๐๐ยฐ
3. ๐ป) ๏ฟฝฬ๏ฟฝ =? ๐บ๐๐๐๐๐รณ๐ ๐๐ยฐ
4. ๐ฏ) โก๐ฉ = ๐๐๐
๐๐ ๐๐๐ โก๐ช =
๐๐
๐ ๐๐๐
๐ป) โก๐ฎ = ? ๐บ๐๐๐๐๐รณ๐: ๐๐ยฐ
E
G
F B
K
C
A
D
A
B C
D 100
ยฐ
50ยฐ
๐ฅ
A
E
B
C D F
Geometrรญa Plana
133
5. ๐ป) ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๐ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ
6. En un triรกngulo ABC: A = 35ยบ y B = 50ยบ. Calcular el รกngulo formado por
la altura del vรฉrtice B y la bisectriz del vรฉrtice C.
Soluciรณn: 42,5ยฐ
7. En un triรกngulo obtusรกngulo ABC (C > 90ยบ), si P es el pie de la altura ha,
Q pie de la altura de hb, y H es el ortocentro, demostrar que el รกngulo
โก PHQ es igual a la suma de los รกngulos A y B.
8. En un triรกngulo ABC, obtusรกngulo (A > 90ยบ), H es ortocentro. Demostrar
que las bisectrices de los รกngulos โก HBA y โกHCA son perpendiculares
entre sรญ.
B
D C
A
Geometrรญa Plana
134
9. ๐ฏ) ๐ฐ ๐ฐ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ โณ ๐จ๐ฉ๐ช
๐ป) ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ? ๐บ๐๐๐๐๐รณ๐: ๐๐ยฐ
10. ๐ฏ) ๏ฟฝฬ๏ฟฝ โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๐๐ยฐ ๐ป) โก๐ซ๐จ๐ฌ =? ๐บ๐๐๐๐๐รณ๐: ๐๐. ๐ยฐ
A
B E C
D
D A C
E I
๐ฅ
B
F
48ยฐ
Geometrรญa Plana
135
2. CONGRUENCIA DE TRIรNGULOS
Definiciรณn: 2.1
En general, dos figuras o cuerpos geomรฉtricos son congruentes si tienen
exactamente la misma forma y la misma medida. Siendo un triรกngulo una figura
geomรฉtrica plana, la definiciรณn de congruencia geomรฉtrica, es tambiรฉn aplicable a
este concepto.
Simbologรญa: 2.2
El sรญmbolo de congruencia es: โ
Condiciรณn geomรฉtrica fundamental de congruencia: 2.3
La condiciรณn geomรฉtrica fundamental que hace que dos triรกngulos sean
congruentes es la de que todos los รกngulos y lados de uno de los triรกngulos sean
congruentes con todos los รกngulos y lados del otro triรกngulo como se muestra en
la Fig. 20.
๐ฅ๐ด๐ต๐ถ โ ๐ฅ๐ดโฒ๐ตโฒ๐ถโฒ โบ { โก๐ด = โก๐ดโฒ , โก๐ต = โก๐ตโฒ , โก๐ถ = โก๐ถโฒ
๐ = ๐โฒ , ๐ = ๐โฒ , ๐ = ๐โฒ
Fig. 20
Aโ Cโ bโ
aโ cโ b
a c
C A
B
Bโ
Geometrรญa Plana
136
Pero para demostrar que dos triรกngulos son congruentes, no hace falta verificar
toda la condiciรณn geomรฉtrica fundamental; basta que se cumplan solamente
ciertas condiciones y ya dichos triรกngulos son congruentes.
Esas condiciones necesarias pero suficientes, son conocidas con el nombre de
postulados de congruencia, los mismos que vienen a continuaciรณn y son tres.
Postulados de congruencia triangular: 2.4
I. Dos triรกngulos son congruentes si los tres lados de uno de ellos, son
congruentes con los tres lados del otro triรกngulo.
๐ฅ๐ด๐ต๐ถ โ ๐ฅ๐ดโฒ๐ตโฒ๐ถโฒ โบ ๐ โ ๐โฒ; ๐ โ ๐โฒ; ๐ โ ๐โฒ
Fig. 21
A esta correspondencia de congruencia se le denomina: Lado (L), Lado (L),
Lado (L).
II. Dos triรกngulos son congruentes si dos lados y el รกngulo comprendido entre
ellos de uno de los triรกngulos, son congruentes con los dos lados
Aโ Cโ bโ
aโ cโ b
a c
C A
B
Bโ
Geometrรญa Plana
137
correspondientes y el รกngulo comprendido entre ellos del segundo triรกngulo
(Fig. 22).
๐ฅ๐ด๐ต๐ถ โ ๐ฅ๐ดโฒ๐ตโฒ๐ถโฒ โบ ๐ โ ๐โฒ; ๐ โ ๐โฒ; โก๐ถ โ โก๐ถโฒ
Fig. 22
A esta correspondencia se le denomina: Lado (L), Angulo (A), Lado(L).
III. Dos triรกngulos son congruentes si dos de sus รกngulos y cualquiera de uno de
sus lados de uno de los triรกngulos, son congruentes con los correspondientes
del segundo triรกngulo (Fig. 23).
Aโ Cโ bโ
aโ cโ b
a c
C A
B
Bโ
B
Aโ Cโ bโ
aโ cโ b
a c
C A
Bโ
Geometrรญa Plana
138
๐ฅ๐ด๐ต๐ถ โ ๐ฅ๐ดโฒ๐ตโฒ๐ถโฒ โบ ๐ด โ ๐ดโฒ; ๐ โ ๐โฒ; ๐ต โ ๐ตโฒ
Fig. 23
A esta correspondencia se le denomina: Angulo (A), Lado (L), Angulo (A).
Todos estos postulados de congruencia, son aplicables a cualquier tipo de
triรกngulo, por lo que se considera innecesario establecer postulados para
triรกngulos especรญficos, salvo el caso que se los requiera.
Propiedades geomรฉtricas que se demuestran por Congruencias de 2.5
triรกngulos
2.5.1 Teorema de las paralelas (I):
Si dos rectas paralelas son cortadas por otras dos tambiรฉn paralelas, los
segmentos que asรญ se determinan son congruentes entre sรญ de dos en dos, como se
aprecia en la Fig. 24.
๐ฏ) ๐ฟ๐ โก โฅ ๐๐พ โก ; ๐ฟ๐ โก โฅ ๐๐พ โก ๐ป) ๐ฟ๐ฬ ฬ ฬ ฬ โ ๐๐พฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ; ๐ฟ๐ฬ ฬ ฬ ฬ โ ๐๐พฬ ฬ ฬ ฬ ฬ
Geometrรญa Plana
139
Fig. 24
Demostraciรณn:
๐ฆ๐งฬ ฬ ฬ (๐ถ๐๐๐ ๐ก๐๐ข๐๐๐รณ๐)
๐๐๐๐ โง ๐๐๐๐
๐ฆ๐งฬ ฬ ฬ (๐ณ) (๐ฟ๐๐๐ ๐๐๐รบ๐)
1ฬ = 4ฬ (๐จ) (๐ด๐๐๐ข๐๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ )
3ฬ = 2ฬ (๐จ) (๐ด๐๐๐ข๐๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ )
โน ๐ฅ๐ฅ๐ฆ๐ง โ ๐ฅ๐ง๐ค๐ฆ (๐๐๐ ๐ก๐ข๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ๐ผ)
โด ๐ฟ๐ฬ ฬ ฬ ฬ โ ๐๐พฬ ฬ ฬ ฬ ฬ โง ๐ฟ๐ฬ ฬ ฬ ฬ โ ๐๐พฬ ฬ ฬ ฬ ฬ
2.5.2 Teorema del triรกngulo y la paralela (II):
Si se traza una recta paralela a uno de los lados de un triรกngulo, que pase por el
punto medio de cualquiera de sus otros dos lados, รฉsta tambiรฉn pasarรก por el
punto medio del tercer lado (Fig. 25).
๐ฏ) ๐ด ๐ท๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐จ๐ฉฬ ฬ ฬ ฬ ๐ด๐ตฬ ฬ ฬ ฬ ฬ โฅ ๐จ๐ชฬ ฬ ฬ ฬ ๐ป) ๐ฉ๐ตฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = ๐ต๐ชฬ ฬ ฬ ฬ
4ฬ
3ฬ
2ฬ
1ฬ
W Z
Y X
Geometrรญa Plana
140
Fig. 25
Demostraciรณn:
๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ โฅ ๐ด๐ตฬ ฬ ฬ ฬ (๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ก๐๐ข๐๐๐รณ๐)
๐ต๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = ๐๐ดฬ ฬ ฬ ฬ ฬ (๐ ๐๐ข๐๐ก๐ ๐๐๐๐๐ ๐ด๐ตฬ ฬ ฬ ฬ ); ๐๐ดฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = ๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ)
โน (๐) ๐ต๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = ๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ
๐๐ด๐ฉ๐ต โง ๐๐ธ๐ต๐ช
๐ต๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = ๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ (๐ณ) (๐)
1ฬ = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 3ฬ (๐จ) (๐ด๐๐๐ข๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐ )
2ฬ = 4ฬ (๐จ) (๐ด๐๐๐ข๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐ )
โน ๐ฅ๐๐ต๐ โ ๐ฅ๐๐๐ถ (๐๐๐ ๐ก๐ข๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ๐ผ)
โด ๐ฉ๐ตฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = ๐ต๐ชฬ ฬ ฬ ฬ
Corolario:
El segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triรกngulo,
siempre es paralelo al tercer lado y su longitud es igual a la mitad de dicho
lado.
Q
4ฬ 3ฬ
2ฬ 1ฬ N M
C
B
A
Geometrรญa Plana
141
2.5.3 Teorema del triรกngulo isรณsceles (III):
Si dos รกngulos de un mismo triรกngulo son congruentes entre sรญ, los lados
opuestos a dichos รกngulos tambiรฉn son congruentes (Fig. 26).
๐ฏ) ๐๐จ๐ฉ๐ช ๐ฐ๐รณ๐๐๐๐๐๐; ๏ฟฝฬ๏ฟฝ ๐จ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐; ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐ป) ๐จ๐ฉฬ ฬ ฬ ฬ = ๐ฉ๐ชฬ ฬ ฬ ฬ
Fig.26
B
A C ๐ผ ๐ผ
Geometrรญa Plana
142
Demostraciรณn:
๐ต๐ปฬ ฬ ฬ ฬ ๐ต๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐ง (๐ถ๐๐๐ ๐ก๐๐ข๐๐๐รณ๐) โน (๐) 1ฬ = 2ฬ
๐๐จ๐ฉ๐ฏ โง ๐๐ช๐ฉ๐ฏ
๐ผ = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ (๐จ) (๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ )
1ฬ = 2ฬ (๐จ) (๐)
๐ต๐ปฬ ฬ ฬ ฬ (๐ณ) (๐ฟ๐๐๐ ๐๐๐รบ๐)
โน ๐ฅ๐ด๐ต๐ป โ ๐ฅ๐ถ๐ต๐ป (๐๐๐ ๐ก๐ข๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ๐ผ)
โด ๐จ๐ฉฬ ฬ ฬ ฬ = ๐ฉ๐ชฬ ฬ ฬ ฬ
Corolarios:
โก๐ด๐ป๐ต = โก๐ต๐ป๐ถ โง โก๐ด๐ป๐ต + โก๐ต๐ป๐ถ = 180ยฐ โน โก๐ด๐ป๐ต = โก๐ต๐ป๐ถ = 90ยฐ
โด ๐ต๐ปฬ ฬ ฬ ฬ ๐ธ๐ ๐๐ด๐๐ต๐ผร๐ ๐จ๐ณ๐ป๐ผ๐น๐จ ๐ ๐ด๐ฌ๐ซ๐ฐ๐จ๐ป๐น๐ฐ๐
โท ๐ด๐ปฬ ฬ ฬ ฬ = ๐ป๐ถฬ ฬ ฬ ฬ โน ๐ต๐ปฬ ฬ ฬ ฬ ๐ธ๐ ๐๐ด๐๐ต๐ผร๐ ๐ด๐ฌ๐ซ๐ฐ๐จ๐ต๐จ
B
A C
1ฬ 2ฬ
H
๐ผ ๐ผ
Geometrรญa Plana
143
Por lo tanto:
En todo triรกngulo isรณsceles, la lรญnea notable correspondiente al รกngulo
desigual, es al mismo tiempo: bisectriz, mediatriz, mediana y altura.
En todo triรกngulo equilรกtero, todas las lรญneas notables tienen la misma
longitud y son al mismo tiempo: bisectrices, mediatrices, medianas y alturas.
En todo triรกngulo donde que una lรญnea fundamental es otra lรญnea
fundamental, dicho triรกngulo es isรณsceles.
En todo triรกngulo equilรกtero, el incentro, baricentro, circuncentro y
ortocentro, es el mismo punto.
2.5.4 Teorema del triรกngulo rectรกngulo y la mediana (IV):
La mediana correspondiente al รกngulo recto en un triรกngulo rectรกngulo, es
siempre igual a la mitad de la hipotenusa (Fig. 27).
๐ฏ) โ๐ฟ๐๐ ๐๐๐๐รก๐๐๐๐๐ โก๐ฟ = ๐๐ยฐ ๐ฟ๐ตฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐๐๐ ๐๐๐๐
๐ป) ๐ฟ๐ตฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = ๐๐ตฬ ฬ ฬ ฬ = ๐ต๐ฬ ฬ ฬ ฬ
Fig. 27
N
Y
Z X
Geometrรญa Plana
144
Demostraciรณn:
๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ โฅ ๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ (๐ถ๐๐๐ ๐ก๐๐ข๐๐๐รณ๐)
๐๐ธ๐ต๐ฟ โง ๐๐ธ๐ต๐
๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ (๐ณ) (๐ฟ๐๐๐ ๐๐๐รบ๐)
๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ = ๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ (๐ณ) (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ)
โก๐๐๐ = โก๐๐๐ = โก๐ = 90ยฐ (๐จ) (๐ถ๐๐๐ ๐ก๐๐ข๐๐๐รณ๐)
โน ๐ฅ๐๐๐ โ ๐ฅ๐๐๐ (๐๐๐ ๐ก๐ข๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ)
โด ๐ฟ๐ตฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = ๐ต๐ฬ ฬ ฬ ฬ = ๐ต๐ฬ ฬ ฬ ฬ
Corolario:
Si el lado de un triรกngulo es el doble de la longitud de su mediana
correspondiente, entonces el triรกngulo es rectรกngulo.
Q
N
Y
Z X
Geometrรญa Plana
145
2.5.5 Teorema sobre la altura y la mediana de un triรกngulo rectรกngulo (V):
El valor absoluto de la diferencia entre los รกngulos agudos de un triรกngulo
rectรกngulo, es igual al รกngulo formado por la altura y la mediana relativas al
รกngulo recto (Fig. 28).
๐ฏ) ๐๐ฟ๐๐ ๐น๐๐๐รก๐๐๐๐๐ ๐ฏ๐ฟฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐จ๐๐๐๐๐ ๐ด๐ฟฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐ด๐๐ ๐๐๐๐
๐ป) ๏ฟฝฬ๏ฟฝ โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ
Fig. 28
Demostraciรณn:
๐ป๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ (๐ฟ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐๐๐ ๐ฅ๐ป๐๐ โง ๐ฅ๐ป๐๐)
๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = ๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ๐)
๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ (๐ฅ๐๐๐ ๐ผ๐ รณ๐ ๐๐๐๐๐ )
โน ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ โ ๐ป๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ (๐บ๐รก๐๐๐๐)
โด ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ
M
H
Z
X Y
W
Geometrรญa Plana
146
Ejercicios Resueltos sobre Congruencia Triangular: 2.6
1. ๐ฏ) โก๐ธ๐ด๐บ = โก๐ด๐ธ๐น; ๐ด๐บฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = ๐ธ๐นฬ ฬ ฬ ฬ ๐ป) ๐ถ = ๐ท
Demostraciรณn:
๐ ๐ฬ ฬ ฬ ฬ โฅ ๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ (๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ ๐บ๐รก๐๐๐๐)
โน โก ๐๐๐ = ๐ผ โง โก๐๐๐ = ๐ฝ (๐ด๐๐๐ข๐๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ )
๐ด๐ธ๐บ โง ๐ด๐ธ๐น
๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ = ๐๐ ฬ ฬ ฬ ฬ (๐ณ) (๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ )
โก๐๐๐ = โก๐๐๐ (๐จ) (๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ )
๐ฝ ๐ผ
๐ฝ ๐ผ
N
S
M Q
R
๐ฝ ๐ผ
N
S
M Q
R
Geometrรญa Plana
147
๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ (๐ณ) (๐๐๐๐ ๐๐๐รบ๐)
โน ๐๐๐ โ ๐๐๐ (๐๐๐ ๐ก๐ข๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ)
โน โก๐๐๐ = โก๐๐๐
โด ๐ถ = ๐ท
2. ๐ฏ) โก ๐ฉ = ๐๐๐ห; โก๐ช = ๐๐ห ๐ป) ๏ฟฝฬ๏ฟฝ =?
Demostraciรณn:
โฟ๐ช๐ด๐ซ
๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 90ห (๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ ๐บ๐รก๐๐๐๐ ๐ฆ ๐ก๐๐ฅ๐ก๐ข๐๐)
๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 90ห โ 30ห โน ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 60ห
โฟ๐จ๐ด๐ซ โง โฟ๐ช๐ด๐ซ
๐ด๐ = ๐๐ถ (๐ณ) (๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ ๐๐รก๐๐๐๐)
D B C
M
A
X=20ยฐ
100ยฐ 30ยฐ 60ยฐ
60ยฐ
30ยฐ
D B C
M
A
X
Geometrรญa Plana
148
โก๐ด๐๐ท = โก๐ท๐๐ถ (๐จ) (๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ ๐๐รก๐๐๐๐)
๐๐ท (๐ณ) (๐๐๐๐ ๐๐๐รบ๐)
โน ๐ด๐๐ท โ ๐ถ๐๐ท (๐๐๐ ๐ก๐ข๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ)
โก๐๐ท๐ถ = โก๐๐ท๐ด = 60ห โง โก๐๐ด๐ท = โก๐๐ถ๐ท = 30ห
โณ ๐จ๐ฉ๐ซ
โก๐ด๐ท๐ต = 180ห โ โก๐ด๐ท๐ถ (ร๐๐๐ข๐๐๐ ๐๐ข๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐ )
โท โก๐ด๐ท๐ถ = 120ห โน โก๐ด๐ท๐ต = 60ห (๐บ๐รก๐๐๐๐)
๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 180ห โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ โ โก๐ด๐ท๐ต; ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 180ห โ 100ห โ 60ห
โด ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๐๐ห
3. ๐ฏ) ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๐๐ห ๐ป) ยต =?
M
P
Q N
๐
Geometrรญa Plana
149
Demostraciรณn:
โ๐ด๐ต๐ธ ๐ผ๐ รณ๐ ๐๐๐๐๐ (๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ ๐๐รก๐๐๐๐)
โน โก๐๐๐ = ๐ = 65ห (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ๐ผ)
โก๐๐๐ = 180ห โ 2๐ โน โก๐๐๐ = 50ห
๐ด๐ท๐ธ
๐ผ = 90ห โ โก๐๐๐ โน ๐ผ = 25ห (๐ด๐๐๐ข๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐ )
๐ฝ = 90ห โ โก๐๐๐ โน ๐ฝ = 40ห (๐ด๐๐๐ข๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐ )
ยต = 180ห โ ๐ผ โ ๐ฝ โน ยต = 180ห โ 25ห โ 40ห
โด ยต = ๐๐๐ห
4. ๐ฏ) ๐ช๐ต = ๐๐ ๐ ๐ฉ๐ด = ๐๐ ๐ ๐ป) ๐ด๐ต =?
M
P
Q N
๐=115ยฐ
65ยฐ ๐ฝ
65ยฐ
50ยฐ
๐ผ
Geometrรญa Plana
150
Demostraciรณn:
๐ต๐ถ โฅ ๐๐ (๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ ๐๐รก๐๐๐๐)
โน โก๐ถ๐ต๐ = โก๐ต๐๐ = 2ฬ (๐ด๐๐๐ข๐๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ )
โน โณ ๐ต๐๐ ๐๐ ๐๐ รณ๐ ๐๐๐๐๐
โน ๐๐ = ๐ต๐ = 12๐ข (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ๐ผ)
1ฬ
1ฬ
2ฬ
2ฬ 2ฬ
1ฬ 1ฬ A
B
C
M
N
Q
15u
Q
12u
3u
2ฬ 2ฬ
1ฬ 1ฬ A
B
C
M
N
Q
Geometrรญa Plana
151
โก๐๐๐ถ = 1ฬ (๐ด๐๐๐ข๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐ )
โก๐๐ถ๐ = 1ฬ (ร๐๐๐ข๐๐๐ ๐๐๐ข๐๐ ๐ก๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ฃรฉ๐๐ก๐๐๐)
โน โณ ๐๐๐ถ ๐๐ ๐๐ รณ๐ ๐๐๐๐๐
โน ๐ถ๐ = ๐๐ = 15๐ข (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ๐ผ)
๐๐ = ๐๐ โ ๐๐ โน ๐๐ = 15๐ข โ 12๐ข
โด ๐ด๐ต = ๐๐
5. ๐ป) ๐ฑ๐ด = ?
15u
J
M N
Q
R
2.5u
17.5u
Geometrรญa Plana
152
Demostraciรณn:
๐ฝ๐พ โฅ ๐๐ โง ๐พ๐ โฅ ๐ฝ๐ (๐ถ๐๐๐ ๐ก๐๐ข๐๐๐รณ๐)
โน ๐ฝ๐พ = ๐๐ = 17.5๐ข (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ)
โณ ๐ฑ๐ฒ๐น โง โณ ๐ต๐ธ๐น
๐ฝ๐พ = ๐๐ (๐ฟ) (๐ถ๐๐๐ ๐ก๐๐ข๐๐๐รณ๐)
โก๐ฝ๐พ๐ = โก๐๐๐ = 90ยฐ (๐ด) (๐ถ๐๐๐ ๐ก๐๐ข๐๐๐รณ๐)
๐ฝ๐ = ๐๐ (๐ฟ) (๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ )
โน ๐ฝ๐พ๐ โ ๐๐๐ (๐๐๐ ๐ก๐ข๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ โ ๐๐๐๐กรก๐๐๐ข๐๐๐ )
โน ๐พ๐ = ๐๐ = 15๐ข
๐พ๐ = ๐พ๐ + ๐ ๐ โน ๐พ๐ = 15๐ข + 17.5๐ข โน ๐พ๐ = 32.5๐ข
๐ฝ๐ = ๐พ๐ (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ)
โด ๐ฑ๐ด = ๐๐. ๐๐
15u
J
M N
Q
R
2.5u
17.5u
17.5u K
15u
Geometrรญa Plana
153
Ejercicios Propuestos: 2.7
1. Sobre los lados de un ABC se construyen los BPC, AQC y
ARB. Demuestre que AP = BQ = CR
2. ๐ฏ) ๐ฏ๐ฐ๐ฑ โง ๐ฟ๐๐ ๐ป๐๐รก๐๐๐๐๐๐ ๐ฌ๐๐๐๐รก๐๐๐๐๐
๐ป) ๐ฏ๐ฟ๐ ๐ฟ๐ฐ๐ ๐๐ฑ๐
3. ๐ป) ๐ญ = ? ๐บ๐๐๐๐๐รณ๐: ๐๐ห
J k
L
M
ํ
200ยฐ
60ยฐ
H
I
J
X Y
Z
Geometrรญa Plana
154
4. ๐ฏ) ๐ฐ ๐ฐ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐ฟ๐๐ ๐ป) ๐ = ? ๐บ๐๐๐๐๐รณ๐: ๐๐๐. ๐ห
5. En un triรกngulo ABC (โกB > 90ยบ ) los puntos medios de los lados BC, CA
y AB son respectivamente L, M y N. Si D es el pie de altura de A;
demostrar que los triรกngulos LMN y DMN son congruentes.
6. ๐ฏ) ๐ถ ๐ช๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐จ๐ฉ๐ช; ๐ฉ๐ฌ ๐ฉ๐๐๐๐๐๐๐๐ โก๐จ๐ฉ๐ช
๐ป) ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ
A
B
C H E F
โ O
2ฬ 1ฬ
Y
๐
I
W
40ยฐ
X Z
Geometrรญa Plana
155
7. ๐ฏ) ๐จ๐ฉ = ๐จ๐ช ๐ป) ๐ท = ๐๐ถ
8. Demostrar que si desde un punto exterior a un triรกngulo equilรกtero, se
trazan perpendiculares a los tres lados, el exceso de la suma de dos de
dichas perpendiculares sobre la tercera es una lรญnea fundamental.
9. ๐ฏ) ๐ฐ ๐ฐ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐จ๐ฉ๐ช; ๐จ๐ฉฬ ฬ ฬ ฬ = ๐จ๐ฌฬ ฬ ฬ ฬ ๐ป) ๐ญ = ?
๐บ๐๐๐๐๐รณ๐: ๐๐ยฐ
A C
B
I
E
ํ
โ
C B
E
A
๐ฝ
D
๐ผ
Geometrรญa Plana
156
10. ๐ป) ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ? ๐บ๐๐๐๐๐รณ๐: ๐๐๐ยฐ
C
D
E
30ยฐ
B
A
20ยฐ 20ยฐ
10ยฐ
๏ฟฝฬ๏ฟฝ
Geometrรญa Plana
157
3. SEMEJANZA DE TRIรNGULOS
Definiciรณn: 3.1
En general, dos figuras o cuerpos geomรฉtricos son semejantes si tienen
exactamente la misma forma pero diferente tamaรฑo; como podrรญa ser el caso de
una fotografรญa de algo, pero ampliada o reducida. Siendo un triรกngulo una figura
geomรฉtrica plana, la definiciรณn de semejanza geomรฉtrica, es tambiรฉn aplicable a
este concepto.
Simbologรญa: 3.2
El sรญmbolo de semejanza es: ~
Condiciรณn geomรฉtrica fundamental de semejanza: 3.3
La condiciรณn geomรฉtrica fundamental que hace que dos triรกngulos sean
semejantes entre sรญ, es la de que todos los รกngulos de uno de los triรกngulos sean
congruentes con todos los รกngulos del otro; asรญ como todos los lados del primer
triรกngulo, deben ser proporcionales a todos los lados del segundo (Fig. 29).
Fig. 29
cโ aโ
Bโ
bโ Cโ Aโ
c a
B
C b A
Geometrรญa Plana
158
๐ฅ๐ด๐ต๐ถ~๐ฅ๐ดโฒ๐ตโฒ๐ถโฒ โบ
{
โก๐ด = โก๐ดโฒ , โก๐ต = โก๐ตโฒ , โก๐ถ = โก๐ถโฒ
๐
๐โฒ=
๐
๐โฒ=
๐
๐โฒ= ๐พ
๐พ = ๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐ก๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
Pero para demostrar que dos triรกngulos son semejantes, no hace falta verificar
toda la condiciรณn geomรฉtrica fundamental; basta que se cumplan solamente
ciertas condiciones y ya dichos triรกngulos son semejantes.
Esas condiciones necesarias pero suficientes, son conocidas con el nombre de
postulados de semejanza, los mismos que vienen a continuaciรณn y son cinco.
Postulados de semejanza triangular: 3.4
I. Dos triรกngulos son semejantes si dos de los รกngulos de uno de ellos, son
congruentes con dos del otro triรกngulo (Fig. 30).
๐ฅ๐ด๐ต๐ถ ~ ๐ฅ๐ดโฒ๐ตโฒ๐ถโฒ โบ ๐ด โ ๐ดโฒ = ๐ผ โง ๐ต โ ๐ตโฒ = ๐ฝ
Fig. 30
๐ฝ
๐ฝ ๐ผ
๐ผ
~
A
B
C
Aโ
Bโ
Cโ
Geometrรญa Plana
159
II. Si se traza una recta paralela sea รฉsta interna o externa a cualquiera de los lados
de un triรกngulo, el nuevo triรกngulo asรญ formado es semejante al primero
(Fig. 31).
๐ฅ๐ท๐ต๐ธ ~ ๐ฅ๐ด๐ต๐ถ โบ ๐ท๐ธฬ ฬ ฬ ฬ โ๐ด๐ถฬ ฬ ฬ ฬ
Fig. 31
III. Dos triรกngulos son semejantes si todos los lados de uno de los triรกngulos son
respectivamente (a) paralelos o (b) perpendiculares a todos los lados del
segundo triรกngulo (Fig. 32).
D E
B
C A
Geometrรญa Plana
160
(๐) ๐ฅ๐ด๐ต๐ถ~๐ฅ๐๐๐ โบ ๐ด๐ตฬ ฬ ฬ ฬ โฅ ๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ; ๐ต๐ถฬ ฬ ฬ ฬ โฅ ๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ; ๐ด๐ถฬ ฬ ฬ ฬ โฅ ๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ
(๐) ๐ฅ๐ด๐ต๐ถ~๐ฅ๐๐๐ โบ ๐ด๐ตฬ ฬ ฬ ฬ โฅ ๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ; ๐ต๐ถฬ ฬ ฬ ฬ โฅ ๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ; ๐ด๐ถฬ ฬ ฬ ฬ โฅ ๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ
Fig. 32
IV. Dos triรกngulos son semejantes, si los tres lados de uno de los triรกngulos son
respectivamente proporcionales a los tres del segundo triรกngulo (Fig. 33).
๐๐จ๐ฉ๐ช~๐๐จโฒ๐ฉโฒ๐ชโฒ โบ ๐
๐โฒ =
๐
๐โฒ =
๐
๐โฒ= ๐ฒ = ๐ช๐๐๐๐๐๐๐๐
N Q
M
Y
Z X
B
C A
Geometrรญa Plana
161
Fig. 33
V. Dos triรกngulos son semejantes, si dos de los lados de uno de los triรกngulos, son
respectivamente proporcionales a los dos del segundo triรกngulo y si los รกngulos
comprendidos entre dichos lados son congruentes, como se indica en la Fig. 34.
๐๐จ๐ฉ๐ช~๐๐จโฒ๐ฉโฒ๐ชโฒ โบ โก๐จ = โก๐จโฒ = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ โง ๐
๐โฒ =
๐
๐โฒ
Fig. 34
Bโ
Cโ bโ Aโ
cโ
B
c
C b A
1ฬ
1ฬ
Bโ
aโ cโ
Cโ bโ Aโ
B
C b A
c a
Geometrรญa Plana
162
Todos estos postulados de semejanza son aplicables a cualquier tipo de
triรกngulo, por lo que se considera innecesario establecer postulados para
triรกngulos especรญficos, salvo el caso que se lo requiera.
Propiedades geomรฉtricas que se demuestran por Semejanza de 3.5
triรกngulos.
3.5.1 Teorema del Baricentro (I):
En todo triรกngulo el baricentro divide a las medianas en dos segmentos, de tal
manera que el segmento que se encuentra del lado del รกngulo, es el doble del
otro segmento (Fig. 35).
๐ฏ) ๐๐จ๐ฉ๐ช ๐ช๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐; ๐จ๐ด ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ , ๐ช๐ตฬ ฬ ฬ ฬ ๐ด๐๐ ๐๐๐๐๐; ๐ฎ ๐ฉ๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐ป) ๐จ๐ฎฬ ฬ ฬ ฬ = ๐๐ฎ๐ดฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ; ๐ช๐ฎฬ ฬ ฬ ฬ = ๐๐ฎ๐ตฬ ฬ ฬ ฬ ฬ
Fig. 35
G
B
M N
C A
Geometrรญa Plana
163
Demostraciรณn:
๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ (๐ถ๐๐๐ ๐ก๐๐ข๐๐๐รณ๐)
๐, ๐ (๐๐ข๐๐ก๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ต๐ถฬ ฬ ฬ ฬ ๐ฆ ๐ด๐ตฬ ฬ ฬ ฬ ๐๐๐ ๐๐๐๐ก๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก๐)
โน ๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ โฅ ๐ด๐ถฬ ฬ ฬ ฬ (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐๐๐ ๐๐ โ)
โน ๐ฅ๐ด๐บ๐ถ ~ ๐ฅ๐๐๐บ (๐๐๐ ๐ก๐ข๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ๐ผ ๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐ง๐ ๐๐ โ)
โน ๐ด๐บฬ ฬ ฬ ฬ
๐บ๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ =
๐ถ๐บฬ ฬ ฬ ฬ
๐บ๐ฬ ฬ ฬ ฬ =
๐ด๐ถฬ ฬ ฬ ฬ
๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ
๐ด๐ถฬ ฬ ฬ ฬ
๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = 2 (๐ถ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐๐๐ ๐๐ โ)
โน๐ด๐บฬ ฬ ฬ ฬ
๐บ๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ =
๐ถ๐บฬ ฬ ฬ ฬ
๐บ๐ฬ ฬ ฬ ฬ = 2
โด ๐จ๐ฎฬ ฬ ฬ ฬ = ๐๐ฎ๐ดฬ ฬ ฬ ฬ ฬ โง ๐ช๐ฎฬ ฬ ฬ ฬ = ๐๐ฎ๐ตฬ ฬ ฬ ฬ ฬ
Corolario:
Dicho de otra manera; la longitud de la mediana es igual al triple del segmento
de recta que une el baricentro con el punto medio del lado relativo a esta
mediana.
B
M N
C A
G
Geometrรญa Plana
164
3.5.2 Teorema del baricentro y la altura (II):
El segmento de recta perpendicular trazado desde el baricentro de un triรกngulo a
cualquiera de sus lados, es igual en longitud a la tercera parte de la altura relativa
al mismo lado (Fig. 36).
๐ฏ) ๐๐จ๐ฉ๐ช ๐ช๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐; ๐จ๐ดฬ ฬ ฬ ฬ ฬ , ๐ฉ๐ตฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐ด๐๐ ๐๐๐๐๐ ; ๐ฎ ๐ฉ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ;
๐ฉ๐ฏฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐จ๐๐๐๐๐; ๐ฎ๐ฑฬ ฬ ฬ โฅ ๐จ๐ชฬ ฬ ฬ ฬ
๐ป) ๐ฉ๐ฏฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = ๐๐ฎ๐ฑฬ ฬ ฬ
Fig. 36
Demostraciรณn:
๐ฅ๐ต๐ป๐~๐ฅ๐บ๐ฝ๐ (๐๐๐ ๐ก๐ข๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ๐ผ ๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐ง๐ ๐๐ โ)
๐ต๐ปฬ ฬ ฬ ฬ
๐บ๐ฝฬ ฬ ฬ ฬ =
๐ต๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ
๐บ๐ฬ ฬ ฬ ฬ = 3 (๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐๐๐ ๐ผ)
โด ๐ฉ๐ฏฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = ๐
J
B
H N
M
G
A C
Geometrรญa Plana
165
3.5.3 Teorema de la antiparalela (III):
Definiciรณn de antiparalela (Fig. 37(a)):
๐ฅ๐ด๐ต๐ถ ๐๐ข๐๐๐๐ ๐๐ข๐๐๐๐; ๐๐ โก๐ถ๐ด๐ฝ = โก๐ฝ๐พ๐ต = 1ฬ โง โก๐ด๐ถ๐พ = โก๐พ๐ฝ๐ต = 2ฬ; 1ฬ โ 2ฬ
โน ๐ฝ๐พฬ ฬ ฬ ๐จ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ด๐ถฬ ฬ ฬ ฬ
Fig. 37(a)
Teorema: En todo triรกngulo, el segmento de recta que une las bases de dos
alturas es antiparalela del lado opuesto (Fig. 37(b)).
๐ฏ) ๐๐จ๐ฉ๐ช ๐ช๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐; ๏ฟฝฬ๏ฟฝ โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐จ๐ฒฬ ฬ ฬ ฬ โง ๐ช๐ฑฬ ฬ ฬ ๐จ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ โง ๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐ป) ๐ฑ๐ฒฬ ฬ ฬ ฬ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐จ๐ชฬ ฬ ฬ ฬ
C A
2ฬ
J
K
1ฬ 2ฬ
B
1ฬ
Geometrรญa Plana
166
Fig. 37(b)
Demostraciรณn:
โณ ๐ด๐ต๐พ โผ โณ ๐ต๐ถ๐ฝ (๐๐๐ ๐ก๐ข๐๐๐๐ ๐ผ) {๏ฟฝฬ๏ฟฝ ร๐๐๐ข๐๐ ๐๐๐รบ๐โก๐ด๐พ๐ต = โก๐ต๐ฝ๐ถ = 90ห
โน ๐ด๐ตฬ ฬ ฬ ฬ
๐ต๐ถฬ ฬ ฬ ฬ =
๐ต๐พฬ ฬ ฬ ฬ
๐ต๐ฝฬ ฬ ฬ =
๐ด๐พฬ ฬ ฬ ฬ
๐ถ๐ฝฬ ฬ ฬ โด
๐ด๐ตฬ ฬ ฬ ฬ
๐ต๐พฬ ฬ ฬ ฬ =
๐ต๐ถฬ ฬ ฬ ฬ
๐ต๐ฝฬ ฬ ฬ (๐)
โณ ๐ด๐ต๐ถ โผ โณ ๐ต๐ฝ๐พ (๐๐๐ ๐ก๐ข๐๐๐๐ ๐) {(1) ๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๏ฟฝฬ๏ฟฝ ร๐๐๐ข๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐ก๐
โน ๐ด๐ตฬ ฬ ฬ ฬ
๐ต๐พฬ ฬ ฬ ฬ =
๐ต๐ถฬ ฬ ฬ ฬ
๐ต๐ฝฬ ฬ ฬ =
๐ด๐ถฬ ฬ ฬ ฬ
๐ฝ๐พฬ ฬ ฬ โน โก๐ต๐ด๐ถ = โก๐ต๐พ๐ฝ โง โก๐ต๐ถ๐ด = โก๐ต๐ฝ๐พ
โด ๐ฑ๐ฒฬ ฬ ฬ ฬ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐จ๐ชฬ ฬ ฬ ฬ
3.5.4 Teorema del Perรญmetro de un triรกngulo (IV):
Si dos triรกngulos son semejantes, la razรณn de sus perรญmetros estรกn en la misma
proporciรณn que sus lados.
C A
B
J K
Geometrรญa Plana
167
๐ฏ) ๐๐จ๐ฉ๐ช โผ ๐๐จโฒ๐ฉโฒ๐ชโฒ
๐ท๐, ๐ท๐ ๐ท๐๐รญ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐จ๐ฉ๐ช โง ๐๐จโฒ๐ฉโฒ๐ชโฒ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐ป) ๐ท๐
๐ท๐=
๐
๐โฒ=
๐
๐โฒ=
๐
๐โฒ
Demostraciรณn:
๐
๐โฒ=
๐
๐โฒ=
๐
๐โฒ (๐ฅ๐ด๐ต๐ถ โผ ๐ฅ๐ดโฒ๐ตโฒ๐ถโฒ)
๐ + ๐ + ๐
๐โฒ + ๐โฒ + ๐โฒ=
๐
๐โฒ=
๐
๐โฒ=
๐
๐โฒ (๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ )
โท ๐1 = ๐ + ๐ + ๐ โง ๐2 = ๐โ + ๐โ + ๐โ (๐ท๐๐๐๐๐๐๐รณ๐)
โด ๐ท๐
๐ท๐=
๐
๐โฒ=
๐
๐โฒ=
๐
๐โฒ
Ejercicios Resueltos sobre Semejanza Triangular: 3.6
1. ๐ฏ) ๐ฑ๐ด = ๐๐; ๐ฑ๐ฒ = ๐๐; ๐ฒ๐ต = ๐๐๐; ๐ณ๐ต = ๐๐
๐ป) ๐ด๐ต โฅ ๐ฑ๐ณ
Geometrรญa Plana
168
Demostraciรณn:
โณ ๐ด๐ฒ๐ต โง โณ ๐ฑ๐ฒ๐ณ
๐๐พ
๐ฝ๐พ=
๐พ๐
๐ฟ๐พโน
๐ฝ๐พ โ ๐ฝ๐
๐ฝ๐พ=
๐พ๐
๐๐ฟ + ๐พ๐โน
8๐ข โ 3๐ข
8๐ข=
15๐ข
9๐ข + 15๐ข (๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ )
5
8=
5
8 โน
๐๐พ
๐ฝ๐พ=
๐พ๐
๐ฟ๐พ (๐ท๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ )
๏ฟฝฬ๏ฟฝ (๐ด๐๐๐ข๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐ก๐)
โน โณ ๐๐พ๐ ~ โณ ๐ฝ๐พ๐ฟ (๐๐๐ ๐ก๐ข๐๐๐๐ ๐)
โท โณ ๐๐พ๐ ๐ ๐ข๐๐๐๐๐ข๐๐ ๐ก๐ โณ ๐ฝ๐พ๐ฟ; ๐๐พ โฅ ๐ฝ๐พ โง ๐พ๐ โฅ ๐ฟ๐พ (๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ )
โน ๐ ๐ข๐ ๐ก๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐รฉ๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐
โด ๐ด๐ต โฅ ๐ฑ๐ณ
2. ๐ป) ๐ =? ๐บ๐๐๐๐๐รณ๐: ๐๐
K
N
L J
M
18-x 2+x
3+2x
18-x x
K
M
L
N
J
Geometrรญa Plana
169
Resoluciรณn:
โท ๐๐ โฅ ๐ฝ๐ฟ (๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ )
โน โณ ๐ฝ๐พ๐ฟ ~ โณ ๐๐พ๐ (๐๐๐ ๐ก๐ข๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ)
โด ๐ฝ๐พ
๐๐พ=
๐ฟ๐พ
๐๐พ
๐ฝ๐พ โ ๐๐พ
๐๐พ=
๐ฟ๐พ โ ๐๐พ
๐๐พโน
๐ฝ๐
๐๐พ=
๐ฟ๐
๐๐พ (๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ )
โน 3 + 2๐ฅ
18 โ ๐ฅ=
๐ฅ
2 + ๐ฅ โน (3 + 2๐ฅ)(2 + ๐ฅ) = ๐ฅ(18 โ ๐ฅ) โน 3๐ฅ2 โ 11๐ฅ + 6 = 0
โด ๐ = ๐๐
3. ๐ป) ๐ผ๐ฝ โ ๐พ๐ฟ = ๐ผ๐ฟ โ ๐พ๐
Demostraciรณn:
Identificamos los triรกngulos de los que forman parte los segmentos establecidos
en los tรฉrminos de la tesis: ๐๐; ๐๐; ๐๐; ๐๐
โณ ๐ผ๐ฝ๐ฟ โง โณ ๐พ๐ฟ๐
Sacamos aparte los triรกngulos en menciรณn y con rotaciones adecuadas,
les ponemos en igual posiciรณn para poderlos comparar.
S
V R W X
T
U Y
Geometrรญa Plana
170
๐ท๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ฐ {๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 90ห ๐ด๐๐๐ข๐๐ ๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐ก๐ (๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ )
๏ฟฝฬ๏ฟฝ ๐ด๐๐๐ข๐๐ ๐๐๐รบ๐ (๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ )
โน โณ ๐๐๐ ~ โณ ๐๐๐ โน ๐๐
๐๐ =
๐๐
๐๐ =
๐๐
๐๐
โด ๐ผ๐ฝ โ ๐พ๐ฟ = ๐ผ๐ฟ โ ๐พ๐
4. ๐ฏ) โณ ๐ฑ๐ฒ๐ณ ๐ฐ๐รณ๐๐๐๐๐๐; ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๐๐ห; ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๐ณ;ฬ ๐ฑ๐น = ๐น๐ณ = ๐
๐ป) ๐ = โ๐ฑ๐ท โ ๐ธ๐ณ
J L
P
Q
K
R
75ห
W
Y
R
X
R
V
U X
Geometrรญa Plana
171
Demostraciรณn:
2๐ฝ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 180ห (๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ )
๐ฝ =180ห โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ
2 ; ๐ฝ =
180ห โ 30ห
2 โน ๐ฝ = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 75ห
โณ ๐ฑ๐ท๐น
๐ฝ + โก๐ฝ๐๐ = 75ห + โก๐๐ ๐ฟ (ร๐๐๐ข๐๐ รฉ๐ฅ๐ก๐๐๐๐)
โท ๐ฝ = 75ห โน โก๐ฝ๐๐ = โก๐๐ ๐ฟ = 1ฬ
โน โณ ๐ฝ๐๐ ~ โณ ๐ฟ๐๐ ๐๐๐ ๐ก๐ข๐๐๐๐ ๐ผ {๐ฝ = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ
โก๐ฝ๐๐ = โก๐๐ ๐ฟ = 1ฬ
โน ๐ฅ
๐๐ฟ =
๐ฝ๐
๐ฅ =
๐๐
๐๐
โด ๐ = โ๐ฑ๐ท โ ๐ธ๐ณ
L
R
P J
Q
R
x
x 1ฬ 1ฬ
J L
P
Q
K
30ห
x x R
75ห
1ฬ
1ฬ
Geometrรญa Plana
172
5. ๐ป) ๐๐ =? ๐ฝ๐พ =?
Resoluciรณn:
โณ ๐๐๐ ~ โณ ๐๐๐ (๐๐๐ ๐ก๐ข๐๐๐๐๐ ๐ผ, ๐ผ๐ผ, ๐ผ๐ผ๐ผ)
โน๐๐
๐๐=
๐๐
๐๐=
๐๐
๐๐;
๐๐
18๐ข=
9๐ข
12๐ข=
12๐ข
๐๐
๐๐ =9๐ข โ 18๐ข
12๐ข; ๐๐ =
12๐ข โ 12๐ข
9๐ข
โด ๐๐ = ๐๐. ๐๐ ; ๐ฝ๐พ = ๐๐๐
Ejercicios Propuestos: 3.7
1. Dado un triรกngulo equilรกtero XYZ, determinar la relaciรณn entre el radio
del cรญrculo inscrito y el radio del cรญrculo circunscrito.
Soluciรณn: 2
X Y
Z
9u
V W
18u
12u
Z
12u
18u
12u
9u
12u Z
V
W
Y
X
Geometrรญa Plana
173
2. Dos รกrboles que se encuentran en un mismo plano horizontal tienen una
altura de 37m y 94m de altura respectivamente y se encuentran separados
una distancia de 215m. Calcular la altura de la intersecciรณn de las rectas
que unen el pie de cada รกrbol con la cรบspide del otro. Soluciรณn: 26.55 m
3. A una determinada hora del dรญa la sombra de una persona es de 60 cm. Si
la sombra de un niรฑo de 90 cm de altura a la misma hora es de 30 cm;
calcular la altura de la persona.
Soluciรณn: 1.8 m
4. Dado un triรกngulo JKL, las medianas relativas a los vรฉrtices J y K son
perpendiculares entre sรญ y miden respectivamente 12u y 16u. Calcular la
medida de la tercera mediana. Soluciรณn: 20u
5. Demostrar que la diferencia de los cuadrados de los segmentos
determinados por la altura correspondiente en uno de los lados de un
triรกngulo, es igual a la diferencia de los cuadrados de los otros dos lados
del triรกngulo.
6. ๐ฏ) ๐น๐ฝ = ๐ฝ๐พ; โณ ๐น๐บ๐พ ๐๐รณ๐๐๐๐๐๐ ๐ป) ๐ผ๐ป =? ๐บ๐๐๐๐๐รณ๐: ๐๐
S
R T 6m
18m
U
V
W
9m
Geometrรญa Plana
174
4. RESOLUCIรN DE TRIรNGULOS
RECTรNGULOS
Relaciones Mรฉtricas en los Triรกngulos Rectรกngulos 4.1
Las relaciones mรฉtricas en los triรกngulos rectรกngulos son aquellas que
establecen relaciones entre sus diferentes elementos longitudinales. Asรญ por
ejemplo, el Teorema de Pitรกgoras efectivamente es una relaciรณn mรฉtrica, puesto
que relaciona los catetos con la hipotenusa.
Existen otros teoremas sobre relaciones mรฉtricas y son tan importantes como el
Teorema de Pitรกgoras, los mismos que a continuaciรณn se enuncian y se
demuestran conjuntamente con este famoso teorema (Fig. 39).
Fig.39
๐ฏ) โฟ๐ท๐ธ๐บ ๐น๐๐๐รก๐๐๐๐๐; h ๐จ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐รฉ๐๐๐๐๐ ๐ท;
"r"โง"t" Proyecciones de los catetos "s"โง"q" ๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ "๐",
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐; โฟ๐ท๐ธ๐บ~โฟ๐ฏ๐ท๐บ~โฟ๐ฏ๐ท๐ธ
P S
p
Q
A
s
h
q
t
r H
1ฬ
1ฬ
2ฬ
2ฬ
Geometrรญa Plana
175
4.1.1 Teorema I:
Cualquiera de los catetos de un triรกngulo rectรกngulo, es media proporcional
entre la hipotenusa y el segmento que determina su proyecciรณn.
๐ป๐) ๐๐ = ๐ โ ๐ ๐๐ = ๐ โ ๐
Demostraciรณn:
โท โณ ๐๐๐~ โณ ๐ป๐๐ โน๐
๐=
๐ก
๐ โด ๐๐ = ๐ โ ๐
โท โณ ๐๐๐~ โณ ๐ป๐๐ โน๐
๐=
๐
๐ โด ๐๐ = ๐ โ ๐
4.1.2 Teorema II:
La altura correspondiente al รกngulo recto de un triรกngulo rectรกngulo, es media
proporcional entre los segmentos que determina en la hipotenusa.
๐ป๐) ๐๐ = ๐ โ ๐
Demostraciรณn:
โท โณ ๐ป๐๐~ โณ ๐ป๐๐ โนโ
๐=
๐ก
โ โด ๐๐ = ๐ โ ๐
4.1.3 Teorema III:
El producto de los catetos de un triรกngulo rectรกngulo, es igual al producto entre
la altura relativa al รกngulo recto y la hipotenusa del mismo.
๐ป๐) ๐ โ ๐ = ๐ โ ๐
Demostraciรณn:
โท โณ ๐๐๐~ โณ ๐ป๐๐ โน๐
๐=
โ
๐ โด ๐ โ ๐ = ๐ โ ๐
Geometrรญa Plana
176
4.1.4 Teorema IV:
En todo triรกngulo rectรกngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de sus catetos (Teorema de Pitรกgoras).
๐ป๐) ๐๐ = ๐๐ + ๐๐
Demostraciรณn:
๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ {๐2 = ๐ โ ๐ก (๐)
๐ 2 = ๐ โ ๐ (๐)
(๐) + (๐)
๐2 + ๐ 2 = ๐ โ ๐ก + ๐ โ ๐ = ๐(๐ก + ๐); โท ๐ก + ๐ = ๐ โน ๐2 + ๐ 2 = ๐2
โด ๐๐ = ๐๐ + ๐๐
Relaciones Trigonomรฉtricas en los Triรกngulos Rectรกngulos 4.2
Las relaciones trigonomรฉtricas en los triรกngulos rectรกngulos son las diferentes
razones que se pueden establecer entre sus lados, referenciados a sus รกngulos.
Por semejanza de triรกngulos, dos o mรกs de ellos son semejantes entre si, cuando
todos los รกngulos del uno son congruentes con los de los otros y los lados
correspondientes proporcionales (Fig. 40).
Geometrรญa Plana
177
Fig. 40
๐ฅ๐ด๐ต๐ถ โผ ๐ฅ๐ดโฒ๐ตโฒ๐ถโฒ โบ โ ๐ด = โ ๐ดโฒ , โ ๐ต = โ ๐ตโฒ , โ ๐ถ = โ ๐ถโฒ
๐
๐โฒ =
๐
๐โฒ =
๐
๐โฒ
Corolario:
Si dos triรกngulos son semejantes, las diferentes razones que se pueden establecer
entre los lados del primer triรกngulo, son exactamente iguales a las
correspondientes del segundo triรกngulo.
๐๐ ๐ฅ๐ด๐ต๐ถ โผ ๐ฅ๐ดโฒ๐ตโฒ๐ถโฒ โน ๐
๐โฒ=
๐
๐โฒ =
๐
๐โฒ= ๐
โด ๐
๐=
๐โฒ
๐โฒ= ๐๐ ;
๐
๐=
๐โฒ
๐โฒ= ๐๐ ;
๐
๐=
๐โฒ
๐โฒ= ๐3
Este principio justamente se utiliza para definir las razones trigonomรฉtricas en los
triรกngulos rectรกngulos. Asรญ por ejemplo, si tengo dos o mรกs triรกngulos rectรกngulos
donde que las razones entre los lados de uno de ellos es igual a las razones de los
otros, eso significa entonces que dichos triรกngulos son semejantes entre sรญ; es
decir, los รกngulos de uno de ellos son congruentes con los รกngulos
correspondientes de los otros triรกngulos (Fig. 41).
aโ cโ
Bโ
bโ Cโ Aโ a c
B
C b A
Geometrรญa Plana
178
Fig. 41
En el grรกfico anterior se tiene una serie de cuatro triรกngulos semejantes; por lo
tanto las razones entre los lados de uno de los triรกngulos, siempre serรกn iguales a
las razones entre los lados de los otros triรกngulos.
Seno, coseno y tangente son los nombres que se les dan a esas diferentes razones
y el รกngulo que se le asocia a cada uno de dichos nombres es solamente una
referencia para saber cuรกl es el cateto opuesto y cuรกl es el adyacente. De hecho,
para cada valor del รกngulo entre 0ยบ y 90ยบ, siempre existirรก un solo valor para la
razรณn establecida. No importa quรฉ tan grande o tan pequeรฑo sea el triรกngulo;
siempre para un cierto valor de รกngulo habrรก un รบnico valor de la razรณn.
sin โก๐ธ๐น๐บ =๐ถ๐๐ก๐๐ก๐ ๐๐๐ข๐๐ ๐ก๐
๐ป๐๐๐๐ก๐๐๐ข๐ ๐=
๐ธ๐บ
๐ธ๐น=
๐ท๐ป
๐ท๐น=
๐ถ๐ผ
๐ถ๐น=
๐ต๐ด
๐ต๐น= โฏ
cos โกEFG =๐ถ๐๐ก๐๐ก๐ ๐๐๐ฆ๐๐๐๐๐ก๐
๐ป๐๐๐๐ก๐๐๐ข๐ ๐=
๐บ๐น
๐ธ๐น=
๐ป๐น
๐ท๐น=
๐ผ๐น
๐ถ๐น=
๐ด๐น
๐ต๐น= โฏ
tan โกEFG =๐ถ๐๐ก๐๐ก๐ ๐๐๐ข๐๐ ๐ก๐
๐ถ๐๐ก๐๐ก๐ ๐๐๐ฆ๐๐๐๐๐ก๐=
๐ธ๐บ
๐บ๐น=
๐ท๐ป
๐ป๐น=
๐ถ๐ผ
๐ผ๐น=
๐ต๐ด
๐ด๐น=ยทยทยท
F G H I A
B
C
D
ร
D E
Geometrรญa Plana
179
Ejercicios Resueltos sobre Relaciones Mรฉtricas y Trigonomรฉtricas en 4.3
Triรกngulos Rectรกngulos:
1. ๐ป) ๐ธ๐น =?
Resoluciรณn:
โ๐ท๐ธ๐น
(๐) ๐๐2 = ๐๐ป โ ๐๐ (๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ)
(๐) ๐๐ = ๐๐ป + ๐ป๐ (๐๐ข๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐๐ )
(๐) ๐๐ (๐)
๐๐2 = ๐๐ป(๐๐ป + ๐ป๐ ); 302 = ๐๐ป2 + 32๐๐ป
๐๐ป2 + 32๐๐ป โ 900 = 0 โน ๐๐ป = 18๐
๐ท๐ฏ โง ๐ฏ๐น ๐๐ (๐)
๐๐ = 18 + 32 โน ๐๐ = 50๐
Q
30 m
32m P
H R
18m
H R P
Q
30 m
32m
Geometrรญa Plana
180
๐๐ 2 = ๐๐ 2 โ ๐๐2 = 502 โ 302 โน ๐๐ 2 = 1600 (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ๐)
โด ๐ธ๐น = ๐๐๐
2. Resolver el triรกngulo rectรกngulo ABC donde que el รกngulo C es el
รกngulo recto, el รกngulo A tiene 25ยบ y el semiperรญmetro del triรกngulo es
151m.
Resoluciรณn:
(๐) ๐๐๐๐๐๐๐รญ๐๐๐ก๐๐ = ๐ =๐ + ๐ + ๐
2 (๐ท๐๐๐๐๐๐๐รณ๐)
๐ = ๐ โ sin ๐ด; ๐ = ๐ โ cos ๐ด (๐ ๐๐ง๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐รฉ๐ก๐๐๐๐๐ )
๐ โง ๐ ๐๐ (๐)
๐ =๐ โ sin ๐ด + ๐ โ cos ๐ด + ๐
2; ๐ =
2๐
(sin ๐ด + cos ๐ด + 1)
๐ =2 โ 151
(sin 25ห + cos 25ห + 1)โน ๐ = 129.67๐
๐ = 129.67 โ sin 25ห โด ๐ = ๐๐. ๐๐๐
๐ = 129.67 โ cos 25ห โด ๐ = ๐๐๐. ๐๐๐
๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 90ห โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ; ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 90ห โ 25ห โด ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๐๐ห
B
C
25ห
A
a
b
c
Geometrรญa Plana
181
3. ๐ป) ๐
๐๐ =๐
๐๐ +๐
๐๐
Resoluciรณn:
(๐) ๐ข โ ๐ก = ๐ฃ โ โ โน ๐ข2 โ ๐ก2 = ๐ฃ2 โ โ2 (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ๐ผ)
(๐) ๐ฃ2 = ๐ข2 + ๐ก2 (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ๐)
๐๐ ๐ ๐ (๐)๐๐ (๐)
(๐) ๐ข2 โ ๐ก2 = (๐ข2 + ๐ก2) โ โ2
(๐) รท ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐
๐ข2 โ ๐ก2
๐ข2 โ ๐ก2 โ โ2=
(๐ข2 + ๐ก2)โ2
๐ข2 โ ๐ก2 โ โ2
๐ข2 โ ๐ก2
๐ข2 โ ๐ก2 โ โ2=
๐ข2 โ โ2
๐ข2 โ ๐ก2 โ โ2+
๐ก2 โ โ2
๐ข2 โ ๐ก2 โ โ2
โด ๐
๐๐=
๐
๐๐+
๐
๐๐
4. Si las medianas correspondientes al รกngulo recto y a uno de los catetos de
un triรกngulo rectรกngulo se cortan a 90ห; calcular la relaciรณn que debe
existir entre los catetos para que esto suceda.
T
U
V
h
v=TU
u
t
Geometrรญa Plana
182
Resoluciรณn:
๐ฏ) โฟ๐จ๐ฉ๐ช ๐น๐๐๐รก๐๐๐๐๐; ๐ช๐ต ๐ด๐๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ; ๐จ๐ด ๐ด๐๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ;
๐, ๐ ๐ช๐๐๐๐๐๐; ๐ ๐ฏ๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐ป) ๐
๐=?
๐ด๐บ = 2๐ฅ โง ๐บ๐ = ๐ฅ; ๐ถ๐บ = 2๐ฆ โง ๐บ๐ = ๐ฆ (๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ )
โณ ๐จ๐ช๐ฎ ๐น๐๐๐รก๐๐๐๐๐
(๐) ๐2 = (2๐ฅ)2 + (2๐ฆ)2 โน ๐ฅ2 =๐2 โ 4๐ฆ2
4 (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ๐)
โณ ๐ช๐ฎ๐ด ๐น๐๐๐รก๐๐๐๐๐
(๐) (๐
2)
2
= (2๐ฆ)2 + ๐ฅ2 โน ๐2 = 16๐ฆ2 + 4๐ฅ2 (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ๐)
โณ ๐จ๐ฉ๐ช ๐น๐๐๐รก๐๐๐๐๐
(๐) ๐2 = ๐2 + ๐2 (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ๐)
3๐ฆ =๐
2โน ๐ = 6๐ฆ (๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ)
๐ ๐๐ (๐) 36๐ฆ2 = ๐2 + ๐2 โน ๐ฆ2 =๐2 + ๐2
36
N
n
M
a/2
b
C
A
B
y
2y
a/2 x
2x
c/2
c/2
G
Geometrรญa Plana
183
๐๐ ๐ ๐ (๐) โง ๐๐๐ ๐(๐)๐๐(๐)
๐2 = 16 (๐2 + ๐2
36) + 4 (
๐2 โ 4 (๐2 + ๐2
36 )
4) โน
๐2
๐2= 2
โด ๐
๐= โ๐
5. ๐ฏ) ๐ = ๐ ๐๐๐๐๐๐; ๐น๐ฑ = ๐๐. ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ป) ๐ =?
Resoluciรณn:
โฟ๐น๐ป๐ผ (๐) ๐2 = ๐๐ฝ โ ๐ก โน 81 = ๐๐ฝ โ ๐ก (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ)
๐ก = ๐๐ฝ + ๐ ๐ฝ โน ๐ก = ๐๐ฝ + 13.5 (๐บ๐รก๐๐๐๐, ๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ )
๐ ๐๐ (๐) 81 = ๐๐ฝ(๐๐ฝ + 13.5); (๐๐ฝ)2 + 13.5(๐๐ฝ) โ 81 = 0
โน ๐๐ฝ = 4.5๐๐๐๐๐๐
โฟ๐ฑ๐ป๐ผ โ2 = ๐2 โ (๐๐ฝ)2 โน โ = โ92 โ 4.52 (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ๐)
โด ๐ = ๐. ๐๐๐๐๐๐๐๐
Ejercicios Propuestos: 4.4
1. Suponiendo un piso totalmente horizontal, si un vehรญculo recorre en lรญnea
recta 5km hacia el Este, luego 10 km hacia el Norte y finalmente 15km
U
T R
J
h r
t
Geometrรญa Plana
184
otra vez hacia el Este. Calcular a quรฉ distancia se encuentra รฉste del punto
de partida. Soluciรณn: 10โ5 ๐๐
2. Si la altura relativa al รกngulo recto de un triรกngulo rectรกngulo, divide a la
hipotenusa en dos partes de tal manera que una de ellas es la tercera parte
de la otra. Calcular los รกngulos de dicho triรกngulo. Soluciรณn: 60ห; 30ห
3. ๐ฏ) ๐น๐ฏ = ๐๐๐๐๐๐; ๐ฏ๐ป = ๐๐๐๐๐๐; ๐ฑ๐ฒ โฅ ๐ฏ๐บ ๐ป) ๐บ๐ป =? ๐ฑ๐ฒ =?
4. ๐ฏ) ๐ฏ๐ฑ โฅ ๐บ๐ป; ๐ป๐ฏ = ๐๐ ๐ป) ๐ฏ๐ฑ =? ๐ฑ๐บ =?
5. ๐ฏ) ๐จ๐ฉ = ๐. ๐๐๐; ๐ฌ๐ญ = ๐. ๐๐๐ ๐ป) ๐ซ๐ช =?
E A C
B
F
D
J S R
T H
35m
T
K S R
H
J
Geometrรญa Plana
185
5. RESOLUCIรN DE TRIรNGULOS ESCALENOS
Relaciones Mรฉtricas en los triรกngulos escalenos 5.1
5.1.1 Teorema de las Bisectrices (I):
La bisectriz de un รกngulo interno o externo de un triรกngulo, dividen al lado
opuesto o a su proyecciรณn respectivamente, en partes proporcionales a los otros
dos lados de dicho triรกngulo (Fig. 42).
๐ฏ) โ๐จ๐ฉ๐ช ๐๐๐๐๐๐๐๐; ๐ฉ๐ซ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐; ๐ฉ๐ฌ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐
๐ป๐) ๐จ๐ฉ
๐จ๐ซ=
๐ฉ๐ช
๐ซ๐ช ๐ป๐)
๐จ๐ฉ
๐จ๐ฌ=
๐ฉ๐ช
๐ช๐ฌ
Fig.42
Demostraciรณn:
๐ถ๐บ โง ๐ด๐น ๐๐๐๐ฆ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ถ โง ๐ด
D C
๐ฝ G
B
F
E A
๐ฝ
๐ฝ
๐ผ ๐ผ
H
D C
B
E A
๐ฝ
๐ฝ
๐ผ ๐ผ
Geometrรญa Plana
186
๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐ง ๐ต๐ธ ๐ ๐ ๐ข ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐รณ๐ (๐ถ๐๐๐ ๐ก๐๐ข๐๐๐รณ๐)
โณ ๐ด๐น๐ธ โผโณ ๐ท๐ต๐ธ โผโณ ๐ถ๐บ๐ธ (๐๐๐รก๐๐๐ข๐๐๐ ๐๐๐๐กรก๐๐๐ข๐๐๐ , ๐ธ ฬ๐๐๐รบ๐)
โน ๐ต๐น
๐ต๐บ=
๐ด๐ท
๐ท๐ถ (๐)
๐ด๐ต๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 2๐ผ โง ๐ถ๐ต๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 2๐ฝ (๐ด๐๐๐ข๐๐๐ ๐ ๐ข๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ก๐๐ข๐๐๐รณ๐)
๐ผ + ๐ฝ = 90ยฐ (๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ ๐๐ 2 รก๐๐๐ข๐๐๐ ๐ ๐ข๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐ )
๐ด๐ต๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๐ป๐ต๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๐ถ๐ต๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๐ฝ (๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ )
ฮ๐ด๐ต๐น ~ โ๐ต๐ถ๐บ (๐๐๐รก๐๐๐ข๐๐๐ ๐๐๐๐กรก๐๐๐ข๐๐๐ , รก๐๐๐ข๐๐ ๐๐๐ข๐๐ ๐ฝ)
โน ๐ด๐ต
๐ต๐ถ=
๐ต๐น
๐ต๐บ=
๐ด๐น
๐ถ๐บ (๐)
๐ฉ๐ญ
๐ฉ๐ฎ ๐ ๐ (๐) ๐๐ (๐) โน
๐ด๐ต
๐ต๐ถ=
๐ด๐ท
๐ท๐ถ
โด ๐จ๐ฉ
๐จ๐ซ=
๐ฉ๐ช
๐ซ๐ช
ฮ๐ด๐น๐ธ~โ๐ถ๐บ๐ธ โน ๐ด๐ธ
๐ถ๐ธ=
๐ด๐น
๐ถ๐บ=
๐น๐ธ
๐บ๐ธ (๐)
๐จ๐ญ
๐ช๐ฎ ๐ ๐ (๐) ๐๐ (๐) โน
๐ด๐ต
๐ต๐ถ=
๐ด๐ธ
๐ถ๐ธ
โด ๐จ๐ฉ
๐จ๐ฌ=
๐ฉ๐ช
๐ช๐ฌ
Geometrรญa Plana
187
5.1.2 Teorema de Stewart (II):
En un triรกngulo cualesquiera ABC como se indica en la Fig. 43, la longitud del
segmento de recta BD elevada al cuadrado y multiplicada por la longitud del
lado โbโ, es igual a la suma de los productos de los segmentos determinados โmโ
y โnโ por los cuadrados de los lados no adyacentes โaโ y โcโ respectivamente,
menos el producto de dichos segmentos determinados, por la longitud del lado
โbโ el cual los contiene.
๐ฏ) โ๐จ๐ฉ๐ช ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐; ๐, ๐, ๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐รก๐๐๐๐๐;
๐ฉ๐ซ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ "D" del lado "b"
๐ ๐๐ ๐๐๐รก๐๐๐๐๐; ๐, ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ฉ๐ซ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ "๐"
๐ป) ๐ฉ๐ซ๐ โ ๐ = ๐ โ ๐๐ + ๐ โ ๐๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐
Fig. 43
Demostraciรณn:
๐ซ๐จ๐ฉ๐ซ
๐2 = ๐2 + ๐ต๐ท2 โ 2๐ โ ๐ต๐ท โ ๐๐๐ ๐ผ (๐ฟ๐๐ฆ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐ )
โน (๐) โ ๐๐๐ ๐ผ =๐2 โ ๐2 โ ๐ต๐ท2
2๐ โ ๐ต๐ท
๐ซ๐๐๐
๐2 = ๐2 + ๐ต๐ท2 โ 2๐ โ ๐ต๐ท โ ๐๐๐ (180ยฐ โ ๐ผ) (๐ฟ๐๐ฆ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐ )
b
n
C D
A
B
a
๐ผ 180ยฐ-๐ผ
c
m
Geometrรญa Plana
188
โน (๐) ๐๐๐ (180ยฐ โ ๐ผ) =๐2 โ ๐2 โ ๐ต๐ท2
โ2๐ โ ๐ต๐ท
๐๐๐ (180ยฐ โ ๐ผ) = โ๐๐๐ ๐ผ (๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ฆ๐รญ๐)
(๐) = (๐) โน ๐2 โ ๐2 โ ๐ต๐ท2
2๐ โ ๐ต๐ท=
๐2 โ ๐2 โ ๐ต๐ท2
โ2๐ โ ๐ต๐ท
โน โ2๐ โ ๐2 + 2๐๐2 + 2๐๐ต๐ท2 = 2๐ โ ๐2 โ 2๐ โ ๐2 โ 2๐ โ ๐ต๐ท2
โ๐ โ ๐2 + ๐๐(๐ + ๐) + ๐ต๐ท2(๐ + ๐) โ ๐ โ ๐2 = 0; ๐ + ๐ = ๐
โด ๐ฉ๐ซ๐ โ ๐ = ๐ โ ๐๐ + ๐ โ ๐๐ + ๐ โ ๐ โ ๐
5.1.3 Teorema de Menelao (III):
En un triรกngulo cualesquiera ABC como se indica en la Fig. 44, si una
transversal โDFโ determina sobre los lados de dicho triรกngulo o sus extensiones
seis segmentos, el producto de la longitud de tres de ellos no consecutivos, es
igual al producto de los otros tres.
๐ฏ) ๐๐จ๐ฉ๐ช ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐; ๐ซ๐ญ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐รก๐๐๐๐๐
๐ป) ๐จ๐ซ โ ๐ฉ๐ฌ โ ๐ช๐ญ = ๐ซ๐ฉ โ ๐ฌ๐ช โ ๐จ๐ญ
Fig. 44
F
E
D
C
B
A
Geometrรญa Plana
189
Demostraciรณn:
๐ต๐บ โฅ ๐ท๐น (๐ถ๐๐๐ ๐ก๐๐ข๐๐๐รณ๐)
ฮ๐ด๐ต๐บ ~ ฮ๐ด๐ท๐น โน ๐ด๐ท
๐ท๐ต=
๐ด๐น
๐น๐บ (๐๐๐ ๐ก๐ข๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ง๐ ฮยด๐)
โน (๐) ๐น๐บ =๐ด๐น โ ๐ท๐ต
๐ด๐ท
ฮ๐ต๐ถ๐บ ~ ฮECF โน ๐ต๐ธ
๐ธ๐ถ=
๐น๐บ
๐ถ๐น (๐๐๐ ๐ก๐ข๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ง๐ ฮยด๐)
โน (๐) ๐น๐บ =๐ต๐ธ โ ๐ถ๐น
๐ธ๐ถ
(๐) = (๐) โน ๐น๐บ =๐ด๐น โ ๐ท๐ต
๐ด๐ท=
๐ต๐ธ โ ๐ถ๐น
๐ธ๐ถ
โด ๐จ๐ซ โ ๐ฉ๐ฌ โ ๐ช๐ญ = ๐ซ๐ฉ โ ๐ฌ๐ช โ ๐จ๐ญ
5.1.4 Teorema de Ceva (IV):
Si desde los vรฉrtices de un triรกngulo ABC cualesquiera (Fig. 45), se trazan
segmentos de recta a los lados opuestos correspondientes y que se crucen en un
mismo punto, se determinan 6 segmentos en los lados del triรกngulo, tal que el
G F
E
D
C
B
A
Geometrรญa Plana
190
producto entre 3 segmentos de ellos no consecutivos asรญ determinados, es igual
al producto de los otros 3.
๐ฏ) ๐๐จ๐ฉ๐ช ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐; ๐ธ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐รณ๐ ๐ ๐ ๐๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐จ๐ญ, ๐ฉ๐ซ, ๐ช๐ฌ ๐ป) ๐จ๐ฌ โ ๐ฉ๐ญ โ ๐ช๐ซ = ๐ฌ๐ฉ โ ๐ญ๐ช โ ๐ซ๐จ
Fig. 45
Demostraciรณn:
๐๐จ๐ฉ๐ซ, ๐ฌ๐ช ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
(๐) ๐ด๐ธ โ ๐ต๐ โ ๐ท๐ถ = ๐ธ๐ต โ ๐๐ท โ ๐ด๐ถ (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ๐ผ)
๐๐ฉ๐ช๐ซ, ๐จ๐ญ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
(๐) ๐ถ๐น โ ๐ต๐ โ ๐ท๐ด = ๐ต๐น โ ๐๐ท โ ๐ด๐ถ (๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ๐ผ)
(๐) รท (๐)
๐ด๐ธ โ ๐ต๐ โ ๐ถ๐ท
๐น๐ถ โ ๐ต๐ โ ๐ท๐ด=
๐ธ๐ต โ ๐๐ท โ ๐ด๐ถ
๐ต๐น โ ๐๐ท โ ๐ด๐ถ
โด ๐จ๐ฌ โ ๐ฉ๐ญ โ ๐ช๐ซ = ๐ฌ๐ฉ โ ๐ญ๐ช โ ๐ซ๐จ
Q
D
F E
C
B
A
Geometrรญa Plana
191
Relaciones Trigonomรฉtricas en los Triรกngulos Escalenos 5.2
5.2.1 Ley de Senos:
En todo triรกngulo, las funciones โsenoโ de los รกngulos internos son
proporcionales a sus lados opuestos (Fig. 46).
๐ฏ) ๐๐จ๐ฉ๐ช ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐ป) ๐๐๐ ๐ถ
๐=
๐๐๐ ๐ท
๐=
๐๐๐ ๐ธ
๐
Fig. 46
Demostraciรณn:
๐ต๐ท = โ๐ต ๐๐๐ก๐ข๐๐ ๐๐๐๐๐ก๐๐ฃ๐ ๐๐ ๐ฃรฉ๐๐ก๐๐๐ ๐ต (๐ถ๐๐๐ ๐ก๐๐ข๐๐๐รณ๐)
๐ด๐ธ = โ๐ด ๐๐๐ก๐ข๐๐ ๐๐๐๐๐ก๐๐ฃ๐ ๐๐ ๐ฃรฉ๐๐ก๐๐๐ ๐ด (๐ถ๐๐๐ ๐ก๐๐ข๐๐๐รณ๐)
๐๐จ๐ฉ๐ซ
sin ๐ผ =โ๐ต
๐ โน (๐) โ๐ต = ๐ โ sin ๐ผ
B
C
๐พ
๐ฝ
๐ผ
E
D A
180ยฐ-๐ฝ
b
c a
hB
hA
B
C
๐พ
๐ฝ
๐ผ
A b
c a
Geometrรญa Plana
192
๐๐จ๐ฉ๐ฌ
sin(180ยฐ โ ๐ฝ) =โ๐ด
๐ โน โ๐ด = ๐ โ sin(180ยฐ โ ๐ต)
โท sin(180ยฐ โ ๐ฝ) = sin ๐ฝ (๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐รญ๐)
โน (๐) โ๐ด = ๐ โ sin ๐ต
๐ซ๐จ๐ช๐ฌ
sin ๐พ =โ๐ด
๐ โน (๐) โ๐ด = ๐ โ sin ๐พ
๐ซ๐๐ช๐ซ
sin ๐พ =โ๐ต
๐ โน (๐) โ๐ต = ๐ โ sin ๐พ
(๐) = (๐) โน ๐ โ sin ๐ผ = ๐ โ sin ๐พ โนsin ๐ผ
๐=
sin ๐พ
๐
(๐) = (๐) โน ๐ โ sin ๐ต = ๐ โ sin ๐พ โนsin ๐ฝ
๐=
sin ๐พ
๐
โด ๐๐๐ ๐ถ
๐=
๐๐๐ ๐ท
๐=
๐๐๐ ๐ธ
๐
5.2.2 Ley de Cosenos:
En todo triรกngulo (Fig. 47), el cuadrado de la longitud de cualquiera de sus
lados, es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos
lados, menos el doble producto de dichos lados por el coseno del รกngulo que
determinan estos.
๐ฏ)๐๐จ๐ฉ๐ช ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ป) ๐๐ = ๐๐ + ๐๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐๐๐ ๐ธ
Geometrรญa Plana
193
Fig. 47
Demostraciรณn:
๐ต๐ท = โ๐ต ๐๐๐ก๐ข๐๐ ๐๐๐๐๐ก๐๐ฃ๐ ๐๐ ๐ฃรฉ๐๐ก๐๐๐ ๐ต (๐ถ๐๐๐ ๐ก๐๐ข๐๐๐รณ๐)
๐ท๐ถ = ๐ ๐๐๐๐ฆ๐๐๐๐รณ๐ ๐๐ "a" sobre "b" (๐ถ๐๐๐ ๐ก๐๐ข๐๐๐รณ๐)
๐๐จ๐ฉ๐ซ
(๐) โ๐ต2 = ๐2 โ (๐ โ ๐)2 (๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐กรก๐๐๐๐๐ )
๐๐ฉ๐ช๐ซ
(๐) โ๐ต2 = ๐2 โ ๐2 (๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐กรก๐๐๐๐๐ )
(๐) = (๐) โน ๐2 โ (๐ โ ๐)2 = ๐2 โ ๐2 โน (๐) ๐2 = ๐2 + ๐2 โ 2๐๐
cos ๐พ =๐
๐ โน (๐) ๐ = ๐ โ cos ๐พ
(๐) ๐๐ (๐) โน ๐2 = ๐2 + ๐2 โ 2๐(๐ โ cos ๐พ)
B
C
๐พ
D A b
c a
hB
m
B
C
๐พ
A b
c a
Geometrรญa Plana
194
โด ๐๐ = ๐๐ + ๐๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐๐๐ ๐ธ
Ejercicios Resueltos sobre Relaciones Mรฉtricas y Trigonomรฉtricas 5.3
en Triรกngulos Escalenos:
1. ๐ฏ) ๐ซ๐ฌ โฅ ๐จ๐ฉ; ๐ฉ๐ช = ๐๐๐ ๐ป) ๐ฌ๐ช =?
Resoluciรณn:
๐ซ๐จ๐ฉ๐ช
๐ด๐ท
๐ด๐ต=
๐ถ๐ท
๐ต๐ถ (๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ (๐ผ))
โน ๐ด๐ท
12๐=
๐ถ๐ท
16๐ โน (๐) ๐ด๐ท =
3
4๐ถ๐ท
E
C D
B
A
ํ ํ
12m
Geometrรญa Plana
195
๐๐จ๐ฉ๐ช~๐๐ซ๐ฌ๐ช (๐๐๐ ๐ก๐ข๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ง๐ ๐๐ ๐ก๐๐รก๐๐๐ข๐๐๐ )
๐ท๐ธ โฅ ๐ด๐ต โน ๐ถ๐ธ
๐ต๐ถ=
๐ถ๐ท
๐ด๐ถ
โน (๐) ๐ถ๐ธ = 16 โ๐ถ๐ท
๐ด๐ถ
(๐) ๐ด๐ถ = ๐ด๐ท + ๐ถ๐ท (๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ )
(๐)๐๐ (๐)
(๐) ๐ด๐ถ =3
4๐ถ๐ท + ๐ถ๐ท
(๐) ๐๐ (๐)
๐ถ๐ธ = 16 โ๐ถ๐ท
34 ๐ถ๐ท + ๐ถ๐ท
โน ๐ถ๐ธ = 16 โ1
34 + 1
๐
โด ๐ช๐ฌ = ๐. ๐๐๐
E
C D
B
A
ํ ํ
12m
16m
9.14m
Geometrรญa Plana
196
2. ๐ป) ๐จ๐ฉ =๐จ๐ซโ๐ฉ๐ฌ
๐ซ๐ฌ+๐จ๐ฌ
Resoluciรณn:
๐๐จ๐ฉ๐ช~๐๐ช๐ซ๐ฌ (๐๐๐ ๐ก๐ข๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ง๐ ๐๐ ๐ก๐๐รก๐๐๐ข๐๐๐ )
๐ต๐ด๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๐ถ๐ธ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๐ผ; ๐ด๐ถ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๐ท๐ถ๏ฟฝฬ๏ฟฝ โน ๐ด๐ต
๐ท๐ธ=
๐ด๐ถ
๐ถ๐ธ=
๐ต๐ถ
๐ถ๐ท
๐๐จ๐ซ๐ฌ (๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ (๐ผ))
๐ด๐ธ
๐ด๐ถ=
๐ท๐ธ
๐ถ๐ท
โน (๐) ๐ถ๐ธ = 16 โ๐ถ๐ท
๐ด๐ถ
(๐) ๐ด๐ถ = ๐ด๐ท + ๐ถ๐ท (๐ป๐๐รณ๐ก๐๐ ๐๐ )
B
C
๐ผ ๐ผ
D
E A
๐ผ
๐ฝ ๐ฝ
๐พ ๐พ
๐ฝ
B
C
๐ผ
๐ผ
D
E A
๐ผ
Geometrรญa Plana
197
(๐)๐๐ (๐)
(๐) ๐ด๐ถ =3
4๐ถ๐ท + ๐ถ๐ท
(๐) ๐๐ (๐)
๐ถ๐ธ = 16 โ๐ถ๐ท
34 ๐ถ๐ท + ๐ถ๐ท
โน ๐ถ๐ธ = 16 โ1
34 + 1
๐
โด ๐ช๐ฌ = ๐. ๐๐๐
3. ๐ฏ) ๐ธ๐ป = ๐๐. ๐๐; ๐บ๐ป = ๐. ๐๐๐ ๐ท๐น = ๐๐๐. ๐๐๐
๐ป) ๐ท๐บ =? ๐น๐ป =?
S
Q
T
R P
๐ฝ ๐ฝ
๐ผ
๐ผ
Geometrรญa Plana
198
Resoluciรณn:
๐ซ๐ธ๐น๐บ
๐๐
๐๐=
๐๐
๐๐ (๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ต๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ (๐ผ))
โน 10.9
9.1=
20 + ๐๐
๐๐ โน ๐๐ = 100.56๐ข
๐๐ท๐น๐ป
2๐ผ + 2๐ฝ = 180ยฐ โน ๐ผ + ๐ฝ = 90ยฐ (๐ด๐๐๐ข๐๐ ๐๐๐๐๐)
โน ๐ฅ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ก๐๐รก๐๐๐ข๐๐ ๐๐๐๐กรก๐๐๐ข๐๐; ๐ = 90ยฐ
๐ ๐2 + ๐๐ 2 = ๐๐2; ๐๐ = ๐๐ + ๐๐ โน ๐๐ = 100.56 + 9.1 = 109.66
๐ ๐2 = ๐๐2 โ ๐๐ 2 โน ๐ ๐ = 27.79๐ข
โด ๐ท๐บ = ๐๐๐. ๐๐๐; ๐น๐ป = ๐๐. ๐๐๐
Ejercicios Propuestos: 5.4
1. ๐ป) ๐ธ๐บ? ๐บ๐๐๐๐๐รณ๐: ๐๐. ๐๐๐
ํ ํ
S R
Q
P
36u
18u
24u
Geometrรญa Plana
199
2. ๐ฏ) ๐ซ๐ท๐น๐ป ๐ฌ๐๐๐๐๐๐๐; ๐น๐บ = ๐บ๐ป ๐ป) ๐ธ๐ผ โฅ ๐น๐ป
3. ๐ฏ) ๐๐ท๐ธ๐น ๐ฌ๐๐๐๐๐๐๐; ๐ป ๐ฐ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ท๐ธ๐น
๐ป) ๐บ๐ป
๐ธ๐ป=
๐ท๐น
๐ท๐ธ + ๐ธ๐น
๐ผ ๐ผ
๐ฝ
๐ฝ
Q
T
S R P
๐ผ
Q
U
R
S
T P
๐ผ
๐ฝ ๐ฝ V
Geometrรญa Plana
200
4. ๐ป) ๐ธ๐น =? ๐บ๐๐๐๐๐รณ๐: ๐๐. ๐๐ ๐๐
5. ๐) ๐๐ = ๐๐๐ฎ; ๐๐ = ๐๐๐ฎ; ๐๐ ๐ฆ๐๐๐ข๐๐ง๐ ๐๐๐ฅ ๐ซ๐๐๐; ๐๐ = ๐๐
๐ป) ๐ธ๐ป =? ๐บ๐๐๐๐๐รณ๐: ๐๐. ๐๐๐
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S
Q
U
R P
Q
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60ยฐ
15.6 cm
20ยฐ
20ยฐ S
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๐ผ ๐ผ
