Embed Size (px)
Citation preview
Geometria Diferencial
Grau de Matematiques
Curs 2008-2009
Index
1 Corbes 31.1 Parametritzacions i longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Corbes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Corbes a l’espai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Integrals sobre corbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Superfıcies 72.1 Parametritzacions i primera forma fonamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Aplicacio de Gauss i segona forma fonamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Curvatures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Teorema Egregi de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Formulacio classica del calcul vectorial 153.1 Camps vectorials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Integrals de superfıcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Teoremes integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Models de la fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4.1 Teoremes de conservacio i equacions de continuıtat . . . . . . . . . . . . 193.4.2 Equacio de la calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4.3 Equacions d’Euler i Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4.4 Equacions de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Formes diferencials i teorema de Stokes 244.1 Tensors i formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1.1 Tensors en espais vectorials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.1.2 Formes en espais vectorials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.1.3 Camps a Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1.4 Formes a Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1.5 Derivada exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.1.6 Lema de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1.7 Cubs i cadenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2 Teorema de Stokes per cadenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3 Nocio de varietat diferenciable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3.1 Definicions basiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3.2 Camps i formes en varietats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3.3 Orientacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.3.4 Camps, formes i orientacio a varietats amb vora. . . . . . . . . . . . . . 364.3.5 Integracio en varietats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.5 Metode de la referencia mobil i teorema de Gauss-Bonnet . . . . . . . . . . . . 40
4.5.1 Referencies mobils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.5.2 Teoria local de superfıcies via referencies mobils ortonormals . . . . . . 43
1
4.5.3 Teorema de Gauss-Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.5.4 Teorema de Poincare-Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2
1 Corbes
1.1 Parametritzacions i longitud
Definicio 1.1. Una corba parametritzada es una aplicacio diferenciable x : I → Rn definidasobre un interval I ⊂ R i la seva imatge s’anomena la traca de x. Una parametritzaciox : I ⊂ R→ Rn es diu regular si x′(t) 6= 0 per a tot t ∈ I. En aquest curs nomes treballaremamb corbes planes (n = 2) i corbes a l’espai (n = 3).
Observacio 1.2. Si x : I → Rn es una parametritzacio regular i f : J ⊂ R → I ⊂ R es undifeomorfisme (aplicacio diferenciable bijectiva amb inversa diferenciable) aleshores x f esuna altra parametritzacio regular amb la mateixa traca que x.
Exemple 1.3. Les parametritzacions x : (0, 2π)→ R2, y : (−π, π)→ R2 definides per
x(t) = y(t) = (sin t, sin t cos t)
son regulars i tenen la mateixa traca. No obstant aixo, no existeix cap difeomorfisme f :(0, 2π)→ (−π, π) tal que x = y f .
Definicio 1.4. Un subconjunt C ⊂ Rn es diu corba regular si per tot p ∈ C existeix un entornU de p i una parametritzacio regular x : I ⊂ R→ C ∩ U que sigui un homeomorfisme.
Proposicio 1.5. Si x : I ⊂ R → C ⊂ Rn i y : J ⊂ R → C ⊂ Rn son dues parametritzacionsregulars (i homeomorfismes) d’una corba regular C ⊂ Rn aleshores existeix un difeomorfismef : x−1(y(J)) ⊂ I → y−1(x(I)) ⊂ J tal que x = y f sobre x−1(y(J)).
Recordem que la longitud d’un segment recte x : t ∈ [t0, t1] 7→ a + t ·b ∈ R3 ve donada per
‖x(t1)− x(t0)‖ = ‖(t1 − t0)b‖ = (t1 − t0)‖b‖ =∫ t1
t0
‖b‖ dt.
Observant que en aquest cas tenim que x′(t) = b, podrem aproximar la longitud d’una corbaparametritzada qualsevol x : [a, b] → R3 utilitzant una particio a = t0 < t1 < · · · < tn−1 <tn = b i calculant les longituds de la lınia poligonal que determina:
n∑i=1
‖x(ti)− x(ti−1)‖ ∼=n∑i=1
(ti − ti−1)‖x′(ti)‖ ∼=n∑i=1
∫ ti
ti−1
‖x′(t)‖ dt =∫ b
a‖x′(t)‖ dt.
Definicio 1.6. La longitud d’un arc de corba regular parametritzat per x : (a, b) ⊂ R→ R3 vedonada per la integral
L =∫ b
a‖x′(t)‖ dt.
Gracies al teorema del canvi de variable per a integrals el seu valor no depen de la parame-tritzacio utilitzada ja que si y(s) = x(f(s)) aleshores y′(s) ds = x′(t) f ′(t) dt.
Donada una corba regular C ⊂ R3 orientada amb un sentit de recorregut i un punt p0 ∈ Cpodem considerar una parametritzacio natural, per l’arc, de C de la manera seguent: si |s| esprou petit, podem considerar el punt ps ∈ C tal que l’arc de corba determinat per p0 i ps telongitud |s| i de manera que ps es troba abans (respectivament despres) de p0 si s es negatiu(respectivament positiu). Donada una parametritzacio regular qualsevol y : J → C amb lamateixa orientacio i y(0) = p0, podem considerar la funcio diferenciable
σ(t) =∫ t
0‖y′(τ)‖ dτ.
Observant que σ′(t) = ‖y′(t)‖ > 0 deduım que σ : J → I ⊂ R es un difeomorfisme i po-dem considerar la parametritzacio regular x := y σ−1 : I → C. Es immediat veure quex(s) = ps es la parametritzacio per l’arc definida anteriorment. D’altra banda, es compleixque ‖x′(s)‖ = 1 per a tot s ∈ I. De fet, es facil veure que aquesta condicio caracteritza totesles parametritzacions per l’arc (s′ = ±s+ c).
3
Observacio 1.7. Encara que la determinacio explıcita d’un parametre arc d’una corba para-metritzada regular nomes es factible en casos molt excepcionals, per fer deduccions de caireteoric sol ser molt convenient treballar amb aquest tipus de parametres.
1.2 Corbes planes
El primer exemple de corba plana es la recta. Cada punt p0 d’una corba regular C te la sevarecta tangent: es a la vegada el lımit de rectes secants que passen pel punt p0 i la recta quemillor aproxima a la corba al voltant del punt p0.
El segon exemple mes senzill es el de la circumferencia. Per tot punt p0 d’una corba regularC passa una circumferencia que aproxima a la corba millor que cap altra. Es la circumferenciaque s’obte com a lımit de circumferencies secants a C passant pel punt p0 i rep el nom decircumferencia osculadora de C en p0. El seu radi i el seu centre s’anomenen radi de curvaturai centre de curvatura de C en p0.
Exercici 1.8. Al seminari S2 comprovareu que si x(t) = (∑n≥0
xntn
n! ,∑n≥0
yntn
n! ) es una parame-
tritzacio regular de C i p0 = x(0) aleshores el radi de curvatura de C en p0 es
r(p0) =(x2
1 + y21)
32
|x1y2 − x2y1|=
‖x′(0)‖3
|det(x′(0),x′′(0))|.
Com que una circumferencia esta mes corbada quan mes petit es el seu radi es naturalintroduir com a mesura de la curvatura κ(p0) d’una corba regular C en un punt p0 ∈ Cl’invers del radi de curvatura de C en p0.
Definicio 1.9. Sigui C una corba regular, x : I → C, s 7→ x(s), una parametritzacio per l’arcde C i t := x′ el seu vector tangent unitari. La curvatura amb signe de C en el punt x(s0) es
κ(x(s0)) :=dθ
ds(s0), on t(s) = (cos θ(s), sin θ(s)) i θ : I → R es diferenciable.
Observacio 1.10. El signe de la curvatura te en compte si un cop orientada la corba lacurvatura es produeix cap a la dreta (κ < 0) o cap a l’esquerra (κ > 0).
Proposicio 1.11. Sigui x : I → C una parametritzacio regular d’una corba C. La curvaturaamb signe de C en el punt x(t0) es igual a
κ(x(t0)) =det(x′(t0),x′′(t0))‖x′(t0)‖3
.
Si x : I → C es una parametritzacio per l’arc aleshores t = x′ es unitari i x′′ = t′ esperpendicular a t ja que 0 = 1′ = 〈t, t〉′ = 2〈t′, t〉. Si t = (a, b) aleshores it := (−b, a) esperpendicular a t i unitari. A mes, t, it formen una base ortonormal directa.
Proposicio 1.12. Sigui x : I → C una parametritzacio per l’arc d’una corba regular C iκ : I → C la funcio que per cada s ∈ I dona el valor de la curvatura amb signe de C en elpunt x(s). Aleshores es verifiquen les formules seguents:
t′(s) = κ(s) it(s),it′(s) = −κ(s) t(s).
Teorema 1.13 (fonamental de la teoria local de corbes planes). Per tota funcio diferenciableκ : I ⊂ R → R existeix una parametritzacio x : I → C ⊂ R2 per l’arc d’una corba regular Camb curvatura κ(s) en el punt x(s). A mes, C es unica llevat de moviments rıgids (directes)del pla, i.e. rotacions i translacions.
4
1.3 Corbes a l’espai
Sigui x : I ⊂ R→ C una parametritzacio per l’arc d’una corba regular C ⊂ R3. Considerem elvector tangent unitari t(s) := x′(s) i la seva derivada t′(s) que ja hem vist que es perpendiculara t(s).
Definicio 1.14. La curvatura de C en el punt x(s) es el valor κ(s) := ‖t′(s)‖ ≥ 0. Si lacurvatura no s’anul.la aleshores podem definir tambe el vector normal unitari n(s) := t′(s)
‖t(s)‖i el vector binormal (tambe unitari) b(s) := t(s) × n(s), que formen una base ortonormaldirecta (t(s),n(s),b(s)) de R3 anomenada triedre de Frenet de C en el punt x(s).
A partir d’aquest moment suposarem que la curvatura κ(s) > 0 no s’anul.la mai.
Definicio 1.15. El pla osculador de C en el punt x(s0) es el pla que passa per x(s0) i tecom a vectors directors t(s0) i n(s0). El pla normal es el pla que passa per x(s0) i te vectorsdirectors n(s0) i b(s0). El pla rectificant es el pla que passa pel x(s0) i te vectors directorst(s0) i b(s0).
Proposicio 1.16. (a) El pla osculador es el pla que millor aproxima la corba en cada punt ite per equacio 〈x− x(s0),b(s0)〉 = 0.
(b) El pla normal es el pla perpendicular a la corba en cada punt i te per equacio 〈x −x(s0), t(s0)〉 = 0.
(c) El pla rectificant es el pla tangent a la superfıcie obtinguda considerant totes les rectesbinormals de la corba, la qual es converteix en una corba “recta” (geodesica) dins d’aquestasuperfıcie. L’equacio del pla rectificant es 〈x− x(s0),n(s0)〉 = 0.
Definicio 1.17. La torsio τ(s) de C en el punt x(s) es la velocitat angular del pla osculador.Mes concretament, la torsio verifica la formula b′(s) = τ(s) n(s).
Observacio 1.18. Si C es plana aleshores b es constant i τ ≡ 0. Pero el recıproc no es certsi la curvatura de C s’anul.la, com per exemple en el cas de la corba regular
C = (x, y, z) ∈ R3 | y = e−1
x2 , z = 0 si x < 0 o y = 0, z = e−1
x2 si x > 0 ∪ (0, 0, 0).
Proposicio 1.19. El triedre de Frenet de C verifica les formules de Frenet en les quals inter-venen la curvatura i la torsio de C:
t′(s) = κ(s) n(s),n′(s) = −κ(s) t(s)− τ(s) b(s),b′(s) = τ(s) n(s).
Observacio 1.20. Sigui s un parametre arc de C i θs0(s) l’angle que formen els vectorstangents unitaris t(s0) i t(s). Aleshores podem interpretar geometricament la curvatura de Cen x(s0) mitjancant la formula κ(s0) =
∣∣∣dθs0ds (s0)∣∣∣ ja que pel teorema del cosinus
‖t(s)− t(s0)‖2 = 12 + 12 − 2 · 1 · 1 · cos θs0(s) = 2(1− cos θs0(s)) = 4 sin2
(θs0(s)
2
)i l’aplicacio de la regla de l’Hopital s’obte
κ(s0) =∥∥t′(s0)
∥∥ = lims→s0
‖t(s)− t(s0)‖|s− s0|
= lims→s0
cos(θs0(s)
2
)|θ′s0(s)| = |θ′s0(s0)|.
5
Proposicio 1.21. Si x : I ⊂ R → C es una parametritzacio regular d’una corba regular Caleshores la curvatura i la torsio de C en el punt x(t) venen donades per les formules
κ(t) =‖x′(t)× x′′(t)‖‖x′(t)‖3
, τ(t) =−det(x′(t),x′′(t),x′′′(t))‖x′(t)× x′′(t)‖2
.
A mes, el triedre de Frenet de C en el punt x(t) te la seguent expressio:
t(t) =x′(t)‖x′(t)‖
, n(t) = b(t)× t(t), b(t) =x′(t)× x′′(t)‖x′(t)× x′′(t)‖
.
A continuacio anem a descriure la forma canonica local de les corbes al voltant d’un puntde curvatura no nul.la.
Proposicio 1.22. Si expressem una parametritzacio per l’arc x(s) d’una corba regular Cutilitzant el triedre de Frenet t(0),n(0),b(0) de C en el punt x(0) obtenim
x(s) = x(0) + x(s)t(0) + y(s)n(0) + z(s)b(0),
amb
x(s) = s− κ(0)s3
6+ o(s3)
y(s) = κ(0)s2
2+ κ′(0)
s3
6+ o(s3)
z(s) = −κ(0)τ(0)s3
6+ o(s3).
Teorema 1.23 (fonamental de la teoria local de corbes a l’espai). Donades dues funcionsdiferenciables κ : I ⊂ R → (0,+∞) i τ : I ⊂ R → R existeix una parametritzacio per l’arcx : I → C d’una corba regular C ⊂ R3 que te curvatura κ(s) i torsio τ(s) en el punt x(s). Ames, C es unica llevat de rotacions i translacions de l’espai.
1.4 Integrals sobre corbes
Definicio 1.24. Sigui C ⊂ R3 una corba regular i f : C → R una funcio prou regular.Es defineix la integral de trajectoria
∫C f dL de f al llarg de C com el valor de la integral∫ b
a f(x(t)) ‖x′(t)‖ dt, on x : (a, b)→ R3 es una parametritzacio regular de C tal que C \x(a, b)es un conjunt finit.
Observacio 1.25. Si suposem que f es una funcio de densitat lineal d’alguna magnitud fısica(massa, carrega, etc.) aleshores la integral de trajectoria
∫C f dL s’interpreta com la quantitat
total que posseeix la corba d’aquesta magnitud.
Exemple 1.26. Trobar el centre de masses de la corba x2 +y2 = r2, y ≥ 0 si suposem densitatuniforme (resp: 2r/π).
Si F : U ⊂ R3 → R3 es un camp vectorial definit en un entorn U d’una corba regular Caleshores per cada punt p0 ∈ C podem considerar la part de F(p0) tangent a C com una funciof(p0) = 〈F(p0), t(p0)〉 definida sobre C i calcular la seva integral de trajectoria al llarg de C.
Definicio 1.27. Es defineix la integral de lınia∫C F · dL de F al llarg de C com el valor de la
integral de trajectoria∫C〈F, t〉 dL. Quan la corba C es tancada la integral de lınia es coneix
amb el nom de circulacio de F al llarg de C.
Observacio 1.28. Si F es una forca actuant sobre una partıcula que segueix una trajectoriasobre C aleshores
∫C F · dL s’interpreta fısicament com el treball realitzat per la forca sobre la
partıcula.
Exemple 1.29. Es considera el camp F = (x, y) del pla. a) Calculeu el treball de F sobreel cercle de radi r centrat a l’origen. b) Calculeu el treball que fa sobre un troc de la corba(eαt cos t, eαt sin t). c) Podem dir que la primera corba no es mou sota l’accio del camp. Quepassa amb la segona?, com es mou?
6
2 Superfıcies
2.1 Parametritzacions i primera forma fonamental
Definicio 2.1. Una superfıcie parametritzada regular es una aplicacio diferenciable x : U →Rn definida sobre un obert U ⊂ R2 tal que dx(u, v) te rang maxim (dos) per a tot punt(u, v) ∈ U . En aquest curs nomes treballarem amb superfıcies de l’espai tridimensional, i.e.n = 3.
Observacio 2.2. Una aplicacio diferenciable x : U → R3 es una parametritzacio regular si inomes si els vectors xu := ∂x
∂u i xv := ∂x∂v son linealment independents en cada punt.
Definicio 2.3. Una superfıcie regular es un subconjunt S ⊂ Rn tal que tot punt p ∈ S admetun entorn V i una parametritzacio regular x : U ⊂ R2 → V ∩S ⊂ Rn que es un homeomorfisme.
Definicio 2.4. Sigui S ⊂ R3 una superfıcie regular i p0 ∈ S. Definim el pla tangent a S enp0 com el subconjunt Tp0S de R3 format pels vectors tangents en p0 a corbes parametritzadescontingudes en S passant per p0.
Proposicio 2.5. Si x : U ⊂ R2 → S ⊂ R3 una parametritzacio regular de S i p0 =x(u0, v0) aleshores Tp0S es el subespai vectorial de R3 generat pels vectors tangents xu(u0, v0)i xv(u0, v0).
Demostracio. Utilitzant el teorema de la funcio implıcita podem factoritzar qualsevol corbaparametritzada amb imatge continguda en x(U) ⊂ S a traves d’una parametritzacio regularinjectiva x : U ⊂ R2 → S de S.
Proposicio 2.6. Els canvis de parametritzacions regulars d’una mateixa superfıcie regular sondifeomorfismes entre oberts de R2.
Observacio 2.7. Si f : U ⊂ R2 → R S es una aplicacio diferenciable aleshores el seu graficS = (x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ U, z = f(x, y) es una superfıcie regular.
Teorema 2.8. Si F : W ⊂ R3 → R es una funcio diferenciable tal que dFp 6= 0 per a totp ∈ S := F−1(0) aleshores S es una superfıcie regular.
Proposicio 2.9. Tota parametritzacio regular injectiva d’una superfıcie regular es un home-omorfisme amb la seva imatge.
Exemple 2.10. Les quadriques i les seves parametritzacions “naturals”.
Definicio 2.11. Sigui S una superfıcie regular. Una funcio f : S → R definida sobre S es diudiferenciable si per tot punt p ∈ S existeix una parametritzacio regular x : U ⊂ R2 → S talque p ∈ x(U) i f x : U ⊂ R2 → R es una funcio diferenciable en el sentit classic.
Observacio 2.12. La restriccio a una superfıcie regular d’una aplicacio diferenciable definidaen un obert de R3 es diferenciable.
Definicio 2.13. Siguin S i S superfıcies regulars. Una aplicacio h : S → S es diu diferenciablesi per tot punt p ∈ S existeixen parametritzacions regulars x : U ⊂ R2 → S i x : U ⊂ R2 → Sinjectiva tals que p ∈ x(U), h(p) ∈ x(U) i x−1 h x : U → U es diferenciable en el sentitclassic.
Observacio 2.14. La composicio d’aplicacions diferenciables entre superfıcies regulars es di-ferenciable.
Proposicio 2.15. Sigui h : S → S una aplicacio entre dues superfıcies regulars i hi : S → R,i = 1, 2, 3, les seves tres components. Aleshores h es una aplicacio diferenciable si i nomes sicadascuna de les hi es una funcio diferenciable.
7
Definicio 2.16. Sigui h : S → S una aplicacio diferenciable entre superfıcies regulars i p unpunt de S. Definim la diferencial de h en el punt p com l’aplicacio dhp : TpS → Th(p)S donadaper dhp(w) = d
dt
∣∣t=0
h(c(t)) si w = c′(0) amb c : (−ε, ε) ⊂ R→ S, c(0) = p.
Proposicio 2.17. La diferencial dhp esta ben definida (i.e. no depen de la corba c utilitzada),es una aplicacio lineal i en les bases xu,xv i xu, xv te per matriu la jacobiana de x−1 h xen el punt x−1(p) ∈ U ⊂ R2.
Definicio 2.18. Sigui S ⊂ R3 una superfıcie regular i p ∈ S. Definim la primera formafonamental de S en p com la forma bilineal simetrica definida positiva de TpS obtinguda alrestringir-ne el producte escalar ordinari de R3:
Ip : TpS × TpS → R3 × R3 〈·,·〉−→ R.
Quan convingui tambe considerarem Ip com a forma quadratica.
Observacio 2.19. La matriu(E(u, v) F (u, v)F (u, v) G(u, v)
)de la primera forma fonamental en x(u, v)
en la base xu,xv s’obte posant E(u, v) = 〈xu,xu〉, F (u, v) = 〈xu,xv〉 = 〈xv,xu〉 i G(u, v) =
〈xv,xv〉. Si wi = aixu + bixv aleshores I(w1,w2) = (a1 b1)(E(u, v) F (u, v)F (u, v) G(u, v)
)(a2
b2
).
Observacio 2.20. Si x : U ⊂ R2 → S es una parametritzacio regular, l’area del paralelogramdeterminat per xu i xv es ‖xu × xv‖ =
√E(u, v)G(u, v)− F (u, v)2 =
√det(I).
Definicio 2.21. Sigui S una superfıcie regular i R ⊂ S una regio compacta continguda en laimatge d’una parametritzacio regular x : U ⊂ R2 → S. Definim l’area de R com
A(R) =∫ ∫
x−1(R)‖xu × xv‖ du dv.
Definim l’element d’area com dA =√EG− F 2 du dv.
Observacio 2.22. La definicio es independent de la parametritzacio regular utilitzada graciesa la regla de la cadena i al teorema de canvi de variables per a integrals.
Observacio 2.23. Podem pensar du i dv com les aplicacions lineals de TpS a R que a un vectortangent w = axu + bxv ∈ TpS li fan correspondre la seva component a i b respectivament.Es a dir, du, dv ∈ T ∗pS es la base dual de xu,xv. La primera forma quadratica s’escriu doncsI = E(u, v) du2 + 2F (u, v) du dv + G(u, v) dv2 que tambe s’acostuma a notar ds2 ja que sic : (a, b) ⊂ R→ S es una corba parametritzada continguda en S aleshores la seva longitud
L =∫ b
a‖c′(t)‖ dt =
∫ b
a
√〈c′(t), c′(t)〉 dt =
∫ b
a
√I(c′(t)) dt =
∫ b
ads(c′(t)) dt.
Observacio 2.24. Tambe podem utilitzar la primera forma fonamental per calcular l’angleentre dos vectors tangents a una superfıcie. En efecte, si wi = aixu + bixv ∈ TpS, i = 1, 2,aleshores
cos(w1w2) =〈w1,w2〉‖w1‖ ‖w2‖
=(a1 b1)
(E FF G
)(a2
b2
)√
(a1 b1)(E FF G
)(a1
b1
)√(a2 b2)
(E FF G
)(a2
b2
) .
8
2.2 Aplicacio de Gauss i segona forma fonamental
Definicio 2.25. Sigui S ⊂ R3 una superfıcie regular. Diem que S es orientable si existeixun conjunt de parametritzacions regulars xi : Ui ⊂ R2 → Si∈I tals que Vi = xi(Ui)i∈Irecobreixen S i els canvis de parametritzacions
hij := x−1i xj : x−1
j (Vi ∩ Vj) ⊂ R2 → x−1i (Vi ∩ Vj) ⊂ R2
preserven l’orientacio de R2, per tots i, j ∈ I tals que Vi ∩ Vj 6= ∅. Com que hij son difeomor-fismes, la condicio es equivalent a que el determinant de la matriu jacobiana de hij es semprepositiu.
Proposicio 2.26. Una superfıcie regular S ⊂ R3 es orientable si i nomes si existeix un campN : S → R3 diferenciable de vectors normals unitaris.
Proposicio 2.27. Si una superfıcie regular S ⊂ R3 ve donada per S = F−1(0) amb F : W ⊂R3 → R una funcio diferenciable tal que dFp 6= 0 per tot p ∈ F−1(0) aleshores S es orientable.
Definicio 2.28. Una superfıcie regular orientable S es diu orientada quan hem triat un certcamp N : S → R3 diferenciable de vectors normals unitaris, el qual indueix una orientaciocoherent en cada pla tangent: una base w1,w2 ∈ TpS es positiva si i nomes si det(w1,w2,N) >0. Recıprocament una orientacio coherent de cada pla tangent defineix un camp normal unitariN = ± xu×xv
‖xu×xv‖ sobre S.
Definicio 2.29. Una aplicacio de Gauss de S es un camp diferenciable de vectors normalspensat com una aplicacio diferenciable entre superfıcies regulars N : S → S2.
Observacio 2.30. Com que TN(p)S2 es perpendicular a N(p) podem identificar-lo (vectorial-
ment) amb TpS i pensar dNp : TpS → TpS com un endomorfisme.
Definicio 2.31. Donada una superfıcie regular orientada S, definim l’endomorfisme de Wein-garten com l’aplicacio Wp := −dNp : TpS → TpS.
Proposicio 2.32. L’endormorfisme de Weingarten es auto-adjunt, i.e. per a tots w1,w2 ∈TpS es compleix que 〈−dNp(w1),w2〉 = 〈w1,−dNp(w2)〉.
Definicio 2.33. Donada una superfıcie regular orientada S, definim la segona forma fona-mental de S en p ∈ S com la forma bilineal simetrica
IIp : TpS × TpS → R
donada per IIp(w1,w2) = 〈−dNp(w1),w2〉 = 〈w1,−dNp(w2)〉 = 〈−dNp(w2),w1〉 = IIp(w2,w1).
Observacio 2.34. La matriu(e(u, v) f(u, v)f(u, v) g(u, v)
)de la segona forma fonamental en x(u, v)
en la base xu,xv s’obte posant e(u, v) = 〈−Nu,xu〉 = 〈xuu,N〉, f(u, v) = 〈−Nu,xv〉 =〈xuv,N〉 i g(u, v) = 〈−Nv,xv〉 = xvv,N〉. Si wi = aixu + bixv aleshores
II(w1,w2) = (a1 b1)(e(u, v) f(u, v)f(u, v) g(u, v)
)(a2
b2
).
En la seccio seguent interpretarem geometricament la segona forma fonamental.
9
2.3 Curvatures
Sigui C ⊂ S una corba continguda en una superfıcie regular de R3 i p un punt de C. Denotemper t,n,b el triedre de Frenet de C en p i k := dt
ds = κn ∈ R3 el vector curvatura. En generalel vector k no pertany a TpS pero sempre el podem descomposar k = kg + kn en una parttangent kg ∈ TpS i una part normal kn ∈ (TpS)⊥ = 〈N〉. Si definim it := N × t ∈ TpSaleshores t, it,N formen una base ortonormal directa de R3. Com que k = κn ⊥ t podemexpressar
k = kgit + knN.
Definicio 2.35. Definim la curvatura normal i la curvatura geodesica de C ⊂ S en p comkn = 〈k,N〉 = κ〈n,N〉 i kg = 〈k, it〉 = κ〈n,N× t〉 = κdet(t,n,N) = κ〈b,N〉.
Proposicio 2.36 (Meusnier). La curvatura normal de C ⊂ S en p verifica que kn = IIp(t)nomes depen del vector tangent de C en p.
Definicio 2.37. Definim les curvatures principals k1 ≥ k2 de S en p com els extrems absolutsde la curvatura normal de corbes de S passant per p. Siguin e1, e2 ∈ TpS son vectors unitaristals que IIp(ei) = ki, i = 1, 2. Les direccions definides per e1 i e2 s’anomenen direccionsprincipals de S en p.
Proposicio 2.38. Per tot p ∈ S existeix una base ortonomal de TpS que determinen duesdireccions principals.
Corol.lari 2.39 (Olinde Rodrigues). Les direccions principals son direccions propies de l’en-domorfisme de Weingarten i les curvatures principals son els seus valors propis.
Definicio 2.40. Sigui S una superfıcie regular i p ∈ S. Definim la curvatura de Gauss de Sen p com el producte K(p) := k1k2 = det(−dNp) de les curvatures principals en p. Si S estaorientada definim la curvatura mitjana de S en p com H(p) := k1+k2
2 = 12tr(−dNp). El punt
p ∈ S es diu
(a) el.lıptic si K(p) > 0;
(b) hiperbolic si K(p) < 0;
(c) parabolic si K(p) = 0 i −dNp 6= 0;
(d) pla si −dNp = 0, i.e. k1 = k2 = 0.
Si −dNp es una homotecia (i.e. k1 = k2) aleshores el punt p es diu umbılic.
Definicio 2.41. Un vector w ∈ TpS \ 0 determina una direccio asimptotica si i nomes siIIp(w) = 0. Una corba regular connexa C ⊂ S es
(a) una lınia de curvatura si i nomes si en cada punt es tangent a una direccio principal;
(b) una lınia asimptotica si i nomes si en cada punt es tangent a una direccio asimptotica,i.e. kn(C) ≡ 0;
(c) una geodesica si i nomes si kg(C) ≡ 0.
Observacio 2.42. Sigui e1, e2 ∈ TpS una base ortonormal de vectors propis de −dNp iw = cos θ e1+sin θ e2 un vector unitari, aleshores kn(w) = k1 cos2 θ+k2 sin2 θ. SiK = k1k2 > 0aleshores kn(w) sempre te el mateix signe, i.e. totes les corbes de S passant per p es corbendel mateix costat del pla tangent TpS. Si K < 0 existeixen corbes que es desvien cap a costatsdiferents (punt de sella) i existeixen dues direccions asimptotiques.
Definicio 2.43. L’indicatriu de Dupin de S en p es defineix com w ∈ TpS, IIp(w) =±1. Consisteix en una el.lipse quan p es un punt el.lıptic, dues hiperboles amb les mateixesasımptotes (les direccions asimptotiques) quan p es un punt hiperbolic i dues rectes paral.lelesquan p es un punt parabolic.
10
Observacio 2.44. La indicatriu de Dupin de S en p “aproxima” la forma de la interseccio deS amb un pla paral.lel proxim a TpS.
Proposicio 2.45. L’aplicacio de Gauss preserva l’orientacio en els punts el.lıptics i l’inverteixen els punts hiperbolics. A mes, el valor absolut de la curvatura de Gauss en un punt p ∈ S esigual al lımit del quocient d’arees A(N(R))
A(R) quan la regio R ⊂ S que conte p convergeix a p.
2.4 Teorema Egregi de Gauss
Sigui S una superfıcie regular orientada i x : U ⊂ R2 → S una parametrizacio regular tal queN = xu×xv
‖xu×xv‖ es el vector normal unitari donat per l’orientacio. Com que xu,xv,N es una basede R3 podem expressar-ne les derivades segones de la parametritzacio com a combinacio lineal
xuu = Γ111xu + Γ2
11xv + eNxuv = Γ1
12xu + Γ212xv + fN
xvv = Γ122xu + Γ2
22xv + eN(1)
Definicio 2.46. Definim els sımbols de Christoffel de S associats a la parametritzacio x comels coeficients Γkij : U → R de l’expressio (1).
Proposicio 2.47. Els sımbols de Christoffel nomes depenen de la primera forma fonamental,mes concretament: (
Γ111
Γ211
)=
(E FF G
)−1( 12Eu
Fu − 12Ev
)(
Γ112
Γ212
)=
(E FF G
)−1( 12Ev12Gu
)(
Γ111
Γ211
)=
(E FF G
)−1(Fv − 1
2Gu12Gv
).
Demostracio. Nomes hem d’observar que
Γ111E + Γ2
11F = 〈xuu,xu〉 =12∂
∂u〈xu,xu〉 =
12Eu
Γ111F + Γ2
11G = 〈xuu,xv〉 =∂
∂u〈xu,xv〉 −
12∂
∂v〈xu,xu〉 = Fu −
12Ev
Γ112E + Γ2
12F = 〈xuv,xu〉 =12∂
∂v〈xu,xu〉 =
12Ev
Γ112F + Γ2
12G = 〈xuv,xv〉 =12∂
∂u〈xv,xv〉 =
12Gu
Γ122E + Γ2
22F = 〈xvv,xu〉 =∂
∂v〈xu,xv〉 −
12∂
∂u〈xv,xv〉 = Fv −
12Gu
Γ122F + Γ2
22G = 〈xvv,xv〉 =12∂
∂v〈xv,xv〉 =
12Gv
Proposicio 2.48. Els coeficients (aij) de la matriu de l’endormorfisme de Weingarten −dNen la base xu i xv s’expressen en termes de la primera i segona forma fonamental de la maneraseguent:(
a11 a12
a21 a22
)=(E FF G
)−1(e ff g
)=
1EG− F 2
(Ge− Ff Gf − FgEf − Fe Eg − Ff
).
11
Demostracio. Es clar que els coeficients (aij) de la matriu de l’endormofisme de Weingarten
−Nu = −dN(xu) = a11xu + a21xv−Nv = −dN(xv) = a12xu + a22xv
verifiquen la relacio
a11E + a21F = 〈−Nu,xu〉 = 〈N,xuu〉 = e
a11F + a21G = 〈−Nu,xv〉 = 〈N,xvu〉 = f
a12E + a22F = 〈−Nv,xu〉 = 〈N,xuv〉 = f
a12F + a22G = 〈−Nv,xv〉 = 〈N,xvv〉 = g.
Proposicio 2.49. Tota c : I ⊂ R → S ⊂ R3 corba regular continguda en x(U) ⊂ S es potexpressar c(t) = x(u(t), v(t)) i podem calcular la seva acceleracio de la manera seguent:
c′′ = xuuu′2 + xuvu′v′ + xuu′′ + xvuu′v′ + xvvv′2 + xvv′′
=(u′′ + Γ1
11u′2 + 2Γ1
12u′v′ + Γ1
22v′2)xu +
(v′′ + Γ2
11u′2 + 2Γ2
12u′v′ + Γ2
22v′2)xv︸ ︷︷ ︸
part tangent
+(eu′2 + 2fu′v′ + gv′2
)N︸ ︷︷ ︸
part normal
.
Si a mes c esta parametritzada per l’arc aleshores c′′ = t′ = k = kg + knN i
kn = II(c′) = eu′2 + 2fu′v′ + gv′2
kg =(u′′ + Γ1
11u′2 + 2Γ1
12u′v′ + Γ1
22v′2)xu +
(v′′ + Γ2
11u′2 + 2Γ2
12u′v′ + Γ2
22v′2)xv.
En aquest cas c(t) es geodesica si i nomes si (u(t), v(t)) verifiquen el seguent sistema d’equa-cions diferencials de segon ordre
u′′ + Γ111u′2 + 2Γ1
12u′v′ + Γ1
22v′2 = 0
v′′ + Γ211u′2 + 2Γ2
12u′v′ + Γ2
22v′2 = 0
(2)
Definicio 2.50. Una nocio geometrica relativa a una superfıcie regular S de R3 s’anomenaintrınseca si nomes depen de la primera forma fonamental de S.
Exemple 2.51. Nocions intrınseques son la longitud d’una corba continguda en S, l’angleentre dues corbes, l’area d’una regio de S, el fet de ser geodesica, la curvatura geodesica,...En canvi, la curvatura normal no es una nocio intrınseca. N’hi ha d’altres quantitats que perla seva definicio no sembla que siguin intrınseques pero que de fet ho son. L’exemple mesimportant es el de la curvatura de Gauss com veurem aviat.
Una pregunta natural que sorgeix en aquest punt es la seguent:
Questio: Donades funcions diferenciables E,F,G, e, f, g : U ⊂ R2 → R amb E,G > 0 iEG−F 2 > 0, existeix alguna parametritzacio regular x : U → S ⊂ R3 d’una superfıcie tal que
I ∼(E FF G
)i II ∼
(e ff g
)?
Suposem per un instant que hem sabut trobar una tal parametritzacio x. Aleshores tenimdefinida una base de R3 formada per xu,xv i N = xu×xv
‖xu×xv‖ . Aixı podem expressar les derivadessegones de x com a combinacio lineal d’aquesta base:
xuu = Γ111xu + Γ2
11xv + eN,xuv = Γ1
12xu + Γ212xv + fN,
xvv = Γ122xu + Γ2
22xv + gN,−Nu = a11xu + a21xv,−Nv = a12xu + a22xv,
(3)
12
on els sımbols de Christoffel Γkij es calculen a partir de la primera forma fonamental com ja hemvist i els coeficients de l’endomorfisme de Weingarten (aij) = I−1 · II. Ara be, les identitats
(xuu)v = (xuv)u, (xvv)u = (xuv)v, Nuv = Nvu, (4)
donen lloc a relacions del tipus
A1xu +B1xv + C1N = 0,A2xu +B2xv + C2N = 0,A3xu +B3xv + C3N = 0.
Com que xu, xv,N formen base, obtenim 9 relacions Ai = Bi = Ci = 0, i = 1, 2, 3, entre elscoeficients E,F,G, e, f, g i les seves derivades que s’han de verificar per tal de que existeixi laparametritzacio x : U → S. Comencem estudiant la primera relacio de (4):
(Γ111)vxu+Γ1
11xuv+(Γ211)vxv+Γ2
11xvv+evN+eNv=(Γ112)uxu+Γ1
12xuu+(Γ212)uxv+Γ2
12xuv+fuN+fNu.
Tornant a aplicar (3) obtenim que
0 = A1 = (Γ111)v − (Γ1
12)u + Γ111Γ1
12 + Γ211Γ1
22 − Γ112Γ1
11 − Γ212Γ1
12 + fa11 − ea12,
0 = B1 = (Γ211)v − (Γ2
12)u + Γ111Γ2
12 + Γ211Γ2
22 − Γ112Γ2
11 − Γ212Γ2
12 + fa21 − ea22,
0 = C1 = ev − fu + Γ111f + Γ2
11g − Γ112e− Γ2
12f.
De la igualtat W = I−1 · II resulta que a21 = Ef−FeEG−F 2 i a22 = Eg−Ff
EG−F 2 . Per tant,
fa21 − ea22 =f(Ef − Fe)EG− F 2
− e(Eg − Ff)EG− F 2
=Ef2 − EegEG− F 2
= −E ·K.
Aixı, de B1 = 0 resulta que
(Γ212)u − (Γ2
11)v + Γ112Γ2
11 + Γ212Γ2
12 − Γ111Γ2
12 − Γ211Γ2
22 = −EK, (5)
i d’aquest manera hem provat el Teorema Egregium de Gauss:
Teorema 2.52 (Gauss). La curvatura de Gauss K es un concepte intrınsec.
Una consequencia immediata d’aquest resultat es que no existeixen mapes de la terra queno distorsionin les distancies.
Si continuessim examinant de la mateixa manera la resta de les relacions (4) podrıemdeduir les seguents equacions:
A1 = 0 ⇔ FK = (Γ112)u − (Γ1
11)v + Γ111Γ1
12 + Γ211Γ1
22 − Γ112Γ1
11 − Γ212Γ1
12,
B1 = 0 ⇔ −EK = (Γ212)u − (Γ2
11)v + Γ112Γ2
11 + Γ212Γ2
12 − Γ111Γ2
12 − Γ211Γ2
22,
C1 = 0 ⇔ ev − fu = Γ112e+ f(Γ2
12 − Γ111)− gΓ2
11,
A2 = 0 ⇔ B2 = 0 ⇔ B1 = 0,C2 = 0 ⇔ fv − gu = eΓ1
22 + f(Γ222 − Γ1
12)− gΓ212,
A3 = 0 ⇔ C1 = 0,B3 = 0 ⇔ C2 = 0,C3 = 0 que sempre es verifica.
Les dues primeres relacions (la segona es (5)) son conegudes com les formules de Gauss i latercera i la cinquena com les equacions de Mainardi-Codazzi. Aquestes quatre relacions sonles equacions de compatibilitat que s’han de complir necessariament per tal que existeixi unaparametritzacio x amb primera i segona formes fonamentals donades. Si continuessim derivant((xuuv)v = (xuvv)u, . . .) obtindrıem mes condicions de compatibilitat, pero totes elles serienequivalents amb alguna de les quatre anteriors, com es dedueix del seguent resultat:
13
Teorema 2.53 (Bonnet). Siguin E,F,G, e, f, g : U ⊂ R2 → R funcions diferenciables tals queE,G,EG− F 2 > 0 i es satisfan les equacions de compatibilitat de Gauss i Mainardi-Codazzi.Aleshores per tot p ∈ U existeix un entorn p ∈ V ⊂ U i una parametrizacio regular x : V → S
d’una superfıcie S ⊂ R3 que te(E FF G
)i(e ff g
)com matrius associades a I i II. A
mes x es unica llevat de moviments rıgids de R3.
Observacio 2.54. Encara que l’enunciat d’aquest teorema es l’analeg bidimensional del teo-rema fonamental de corbes, la seva demostracio es molt mes tecnica degut al fet que involucraequacions en derivades parcials en lloc d’equacions diferencials ordinaries.
14
3 Formulacio classica del calcul vectorial
3.1 Camps vectorials
Definicio 3.1. Un camp vectorial es una aplicacio diferenciable F : U ⊂ Rn → Rn ques’interpreta geometricament com un vector (fletxa) F(p) en cada punt p d’un obert U de Rn.
Definicio 3.2. A partir d’una funcio diferenciable f : U ⊂ Rn → R definim el camp vectorialgradient de f com
grad f = ∇f =(∂f
∂x1, . . . ,
∂f
∂xn
).
Un camp vectorial es diu potencial o conservatiu si es el gradient d’alguna funcio.
Definicio 3.3. La divergencia d’un camp vectorial F = (F1, . . . , Fn) : U ⊂ Rn → Rn es lafuncio div F : U ⊂ Rn → R definida per
div F = ∇ · F =∂F1
∂x1+ · · ·+ ∂Fn
∂xn.
Un camp vectorial es diu solenoıdal si la seva divergencia es nul.la.
Definicio 3.4. El laplacia d’una funcio diferenciable f : U ⊂ Rn → R es la funcio
∆f = ∇2f = ∇ · ∇f = div grad f =∂2f
∂x21
+ · · ·+ ∂2f
∂x2n
.
Una funcio es diu harmonica si el seu laplacia es identicament zero.
La seguent definicio nomes s’aplica per a camps vectorials de l’espai tridimensional:
Definicio 3.5. El rotacional d’un camp vectorial F = (Fx, Fy, Fz) : U ⊂ R3 → R3 es un campvectorial rot F : U ⊂ R3 → R3 definit per
rot F = ∇× F =
∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
Fx Fy Fz
∣∣∣∣∣∣ =(∂Fz∂y− ∂Fy
∂z,∂Fx∂z− ∂Fz
∂x,∂Fy∂x− ∂Fx
∂y
).
Un camp vectorial es diu irrotacional si el seu rotacional es nul.
Exercici 3.6. Comproveu tot camp potencial es irrotacional, i.e. rot grad f = 0 per a totafuncio diferenciable f : U ⊂ R3 → R. Comproveu tambe que la divergencia d’un camprotacional es zero, i.e. div rot F = 0 per tot camp vectorial F : U ⊂ R3 → R3.
La interpretacio geometrica d’aquests conceptes la veurem mes endavant quan expliquemels teoremes integrals de Green, Gauss i Stokes.
3.2 Integrals de superfıcie
Definicio 3.7. Sigui S ⊂ R3 una superfıcie regular i f : S → R una funcio prou regular. Esdefineix la integral d’area
∫S f dA de f sobre S com el valor de la integral
∫U f(x(u, v))‖xu ×
xv‖ du dv on x : U ⊂ R2 → S ⊂ R3 es una parametritzacio regular injectiva tal que S \ x(U)esta continguda en una unio finita de corbes.
Observacio 3.8. Si suposem que f es una funcio de densitat superficial d’alguna magnitudfısica (massa, carrega, etc) aleshores la integral d’area
∫S f dA s’interpreta com la quantitat
total que posseeix la superfıcie d’aquesta magnitud.
Exercici 3.9. Trobar el centre de masses de la superfıcie S = x2 + y2 + z2 = r2, z ≥ 0 sisuposem que te densitat uniforme.
15
Si F : U ⊂ R3 → R3 es un camp vectorial definit en un entorn U d’una superfıcie regularS orientada amb vector normal unitari N aleshores per cada punt p0 ∈ S podem considerarla part de F(p0) normal a S com una funcio f(p0) = 〈F(p0),N(p0)〉 definida sobre S i calcularla seva integral d’area.
Definicio 3.10. Es defineix la integral de superfıcie∫S F · dS de F a traves S com el valor de
la integral d’area∫S〈F,N〉 dA. Quan la superfıcie S es tancada (sense vora) i N es el normal
exterior a S aquesta integral es coneix amb el nom de flux de F a traves de S.
Observacio 3.11. Quan F : U ⊂ R3 → R3 es el camp de velocitats d’un fluid i S es unasuperfıcie tancada aleshores el flux
∫S F · dS s’interpreta com la quantitat neta de fluid que
surt a traves de S (la part entrant conta negativament i por haver-hi cancel.lacions).
Exemple 3.12. Calcular el flux del camp vectorial F = 1(x2+y2+z2)3/2
(x, y, z) : R3\(0, 0, 0) →R3 a traves d’una esfera de radi r centrada a l’origen.
3.3 Teoremes integrals
Definicio 3.13. Una superfıcie regular amb vora es un subconjunt S ⊂ R3 tal que per a totpunt p ∈ S existeix un entorn obert p ∈ V ⊂ R3 i un homeomorfisme x : U ∩ H → S ∩ Vtal que la seva restriccio a U ∩ H es una parametritzacio regular. Aquı U es un obert de R2,H = (x, y) ∈ R2 | y > 0 i H = (x, y) ∈ R2 | y ≥ 0. La vora d’una superfıcie regular ambvora S es el mes petit subconjunt ∂S de S tal que S \ ∂S es una superfıcie regular.
Observacio 3.14. Les nocions d’orientabilitat i orientacions introduıdes per superfıcies regu-lars s’estenen immediatament al cas de superfıcies regulars amb vora.
A partir d’ara nomes considerarem superfıcies regulars S de manera que la seva vora ∂Ssigui una unio de corbes regulars a trossos tancades tals que en els seus punts regulars estadefinit el pla tangent a S.
Definicio 3.15. Sigui S una superfıcie regular amb vora i N un camp normal unitari quedefineix una orientacio de S. Definim l’orientacio induıda per N sobre ∂S com un sentitde recorregut de ∂S de manera que en cada punt p ∈ ∂S, el seu vector tangent t, el vectorperpendicular a t de TpS que apunta cap a l’interior de S i el vector N(p) formen una basedirecta de R3.
Exemple 3.16. Una superfıcie amb vora S continguda al pla z = 0 no es res mes que unaregio tancada D ⊂ R2. Si orientem el pla z = 0 pel vector normal unitari (0, 0, 1), l’orientacioinduıda (tambe anomenada positiva) sobre ∂D es aquella que deixa la regio D a l’esquerra.
Teorema 3.17 (Green). Sigui D ⊂ R2 una regio tancada la vora de la qual ∂D orientempositivament. Si F(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) es un camp vectorial diferenciable definit sobreD aleshores
∫∂D F · dL =
∫D
(∂Q∂x −
∂P∂y
)dx dy.
Idea heurıstica de la prova.
El teorema de Cauchy per a funcions holomorfes f : U ⊂ C→ C afirma que∫
Γ f(z) dz = 0per a tota corba tancada simple Γ ⊂ U que sigui la vora d’una regio D ⊂ U . Si escrivimz = x + iy i f(z) = u(x, y) + iv(x, y), el fet de que f sigui holomorfa equival a les equacionsde Cauchy-Riemann:
∂u
∂x=∂v
∂yi
∂u
∂y= −∂v
∂x. (6)
Si I 3 t 7→ (x(t), y(t)) es una parametritzacio de Γ aleshores∫Γf(z) dz =
∫I(u(x(t), y(t)) + iv(x(t), y(t)))(x′(t) + iy′(t)) dt
=∫I(ux′ − vy′) dt+ i
∫I(vx′ + uy′) dt =
∫Γ
F · dL + i
∫Γ
G · dL,
16
on F,G : U ⊂ R2 → R2 son els camps vectorials diferenciables definits per F(x, y) =(u(x, y),−v(x, y)) i G(x, y) = (v(x, y), u(x, y)). Aplicant el teorema de Green i utilitzantles equacions (6) obtenim una nova demostracio del teorema de Cauchy.
Exemple 3.18. Considerem el camp vectorial F : R2 → R2 definit per F(x, y) = (−y, x).En aquest cas ∂Q
∂x −∂P∂y = 2 i per tant, per qualsevol domini D ⊂ R2 d’area A(D) es te que∫
∂D F · dL = 2A(D).
Si pensem el camp F(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) : D ⊂ R2 → R2 a R3 posant 0 com a terceracomponent podem calcular-li el seu rotacional
∇× F =
∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
P (x, y) Q(x, y) 0
∣∣∣∣∣∣ =(
0, 0,∂Q
∂x− ∂P
∂y
),
d’on resulta que (∇ × F) · k = ∂Q∂x −
∂P∂y . D’aquesta manera podem veure que el teorema de
Green es un cas particular del seguent resultat conegut com teorema del rotacional :
Teorema 3.19 (Stokes). Sigui F : U ⊂ R3 → R3 un camp vectorial diferenciable i S ⊂ U unasuperfıcie regular orientada amb vora ∂S que orientem coherentment. Aleshores∫
∂SF · dL =
∫S
rot F · dS.
Pero el teorema de Green tambe es pot generalitzar a R3 en una altra direccio. Peraixo observem que si D ⊂ R2 es una regio amb vora ∂D orientada positivament pel vectortangent unitari t = (a, b) aleshores el vector normal n = (−b, a) apunta cap a l’exterior deD. Si en lloc de considerar la suma d’aportacions de F = (P,Q) tangents a ∂D volguessimcalcular la suma d’aportacions normals de F a ∂D haurıem de fer l’integral de trajectoria∫∂D F ·n dL =
∫∂D G ·dL si definim G = (−Q,P ) ja que aleshores F ·n = P (−b)+Qa = G ·t.
Aplicant el teorema de Green a G s’obte que∫∂D
F · n dL =∫D
(∂P
∂x+∂Q
∂y
)dx dy =
∫D
div F dA.
Aixo es un cas particular del seguent resultat conegut com teorema de la divergencia
Teorema 3.20 (Gauss). Sigui F : U ⊂ R3 → R3 un camp diferenciable i Ω ⊂ U una regiotancada amb vora ∂Ω una superfıcie regular que orientem pel seu normal exterior. Aleshores∫
∂ΩF · dS =
∫Ω∇ · F dV,
on dV = dx dy dz es l’element de volum de R3.
Els teoremes de Stokes i Gauss ens permeten donar una interpretacio geometrica del rota-cional i la divergencia d’un camp vectorial. En una primera aproximacio podrıem dir que elrotacional controla com roten o giren les lınies integrals del camp mentre que la divergenciacontrola com divergeixen o convergeixen les lınies integrals del camp.
Exemple 3.21. Comproveu les seguents afirmacions:
(i) El camp H0(x, y, z) = (1, 0, 0) te rotacional zero i les seves corbes integrals no giren.
(ii) El camp F0(x, y, z) = (−y, x, 0) te rotacional (0, 0, 2) i les seves corbes integrals soncircumferencies horitzontals que giren en sentit positiu respecte del vector (0, 0, 1).
(iii) El camp radial G0(x, y, z) = (x, y, z) te divergencia 3 > 0 i les seves corbes integrals sonsemirectes que s’allunyen de l’origen i per tant divergeixen.
17
La situacio pero es mes subtil tal i com s’il.lustra a la plana web:http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/readings/curlsubtle/http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/readings/divsubtle/
Exercici 3.22. Per analitzar la situacio amb mes detall considereu els seguents camps vec-torials en funcio del parametre ε: Hε(x, y, z) = (yε, 0, 0), Fε(x, y, z) = (x2 + y2)ε(−y, x, 0) iGε(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)ε(x, y, z).
(i) Comproveu que rot Hε(x, y, z) = (0, 0,−εyε−1) i calculeu la circulacio de Hε al llarg dela circumferencia c(t) = (a+ r cos t, b+ r sin t, 0), t ∈ [0, 2π].
(ii) Comproveu que rot Fε(x, y, z) = (0, 0, 2(ε+ 1)(x2 + y2)ε) i calculeu la circulacio de Fε alllarg de la circumferencia cα(t) = (cos t, cosα sin t, sinα sin t), t ∈ [0, 2π].
(iii) Comproveu que div Gε = (3 + 2ε)(x2 + y2 + z2)ε i calculeu el flux de Gε a traves del’esfera x2 + y2 + z2 = r2 orientada amb el vector normal exterior.
Per acabar aquesta seccio, anem a analitzar quan un camp vectorial F : U ⊂ R3 → R3 esde la forma F = grad f o F = rot G per alguna funcio f o algun camp vectorial G. Com queja coneixem les relacions rot grad f = 0 i div rot G = 0 condicions necessaries per cadascunad’aquestes situacions son que rot F = 0 i div F = 0 respectivament. Els dos resultats seguentsprecisen els recıprocs d’aquestes situacions:
Teorema 3.23. Sigui F : U ⊂ R3 → R3 un camp vectorial diferenciable definit en un obert Ude R3. Aleshores les seguents condicions son equivalents:
(i) El rotacional de F es zero: rotF = 0.
(ii) La circulacio de F al llarg de qualsevol corba tancada C ⊂ U es zero:∫C F · dL = 0.
(iii) La integral de lınia∫C F · dL al llarg d’una corba C ⊂ U que uneix dos punts P i Q
nomes depen dels seus extrems.
(iv) F es el gradient d’una funcio diferenciable f : U → R, i.e. F es un camp conservatiu.
Teorema 3.24. Sigui F : U ⊂ R3 → R3 un camp vectorial diferenciable definit en un obertestrellat. Si div F = 0 aleshores existeix un camp vectorial diferenciable G : U ⊂ R3 → R3 talque F = rot G.
Exemple 3.25. El teorema anterior no s’aplica per exemple al cas en que U = R3 \ (0, 0, 0)i F es el camp de forca gravitatori F = −GMm r
r3, on r = (x, y, z) i r =
√x2 + y2 + z2.
18
3.4 Models de la fısica
3.4.1 Teoremes de conservacio i equacions de continuıtat
Sigui ρ(x, y, z, t) la densitat d’una magnitud fısica (massa, carrega, temperatura,...) i J = ρvla densitat del seu corrent en moviment amb velocitat v(x, y, z, t). La llei de conservaciod’aquesta magnitud s’expressa dient que per tota regio Ω ⊂ R3, la variacio temporal de laquantitat total d’aquesta magnitud en Ω es consequencia exclusivament del flux de J quetravessa ∂Ω cap a l’interior de Ω:
d
dt
∫Ωρ dV = −
∫∂Ω
J · dS.
L’equacio anterior te un significat fısic molt clar pero e difıcil de manipular matematicamentja que esta expressada com una integral sobre un domini Ω qualsevol. Gracies al teorema deGauss podem traduir-la a una forma que es pot comprovar punt a punt, anomenada equaciode continuıtat :
0 =∂ρ
∂t+ div J =
∂ρ
∂t+ ρdiv v + v · ∇ρ.
Aquı els operadors ∇ =(∂∂x ,
∂∂y ,
∂∂z
)i div nomes contenen derivades espacials, no temporals.
Alguns exemples d’equacions de continuıtat son la conservacio de la massa d’un fluid o lacarrega electrica d’un cos que analitzarem amb mes detall a les seccions seguents. Abans pero,tractarem una altra situacio en el que la magnitud que es conserva es l’energia calorıfica.
3.4.2 Equacio de la calor
Sigui T (x, y, z, t) la funcio temperatura d’un cos material en a la posicio (x, y, z) i l’instant t.Aleshores l’oposat al gradient de temperatura F = −∇T indica la direccio en la qual el calorflueix (de mes calent a mes fred) i el seu modul es proporcional a la quantitat de calor quees mou. Suposarem que el cos es uniforme i per tant te una densitat de massa ρ0 constant.Sota aquesta hipotesi la quantitat d’energia calorıfica per unitat de volum es cρ0T on c es unaconstant anomenada calor especıfic del cos. D’altra banda, la densitat de corrent del calor esJ = kF on k es una constant anomenada conductivitat del cos. L’equacio de continuıtat enaquest cas s’escriu
∂T
∂t=
k
cρ0∇2T,
que es l’anomenada equacio de la calor o equacio de Poisson. El coeficient κ = kcρ0
s’anomenala difusivitat del cos. En la situacio estacionaria, es a dir, quan T (x, y, z, t) no canvia amb eltemps, l’equacio anterior es redueix a l’equacio de Laplace ∇2T = 0.
3.4.3 Equacions d’Euler i Navier-Stokes
Aquesta seccio segueix l’exposicio de l’article de X. Mora al Butlletı de la Societat Catalanade Matematiques (vol 23, num 1).
Les equacions del moviment d’un sistema finit de partıcules amb posicions xα i masses mα,α = 1, . . . , N , venen donades per la segona llei de Newton
dxαdt
= uα
d(mαuα)dt
= fα(x1, . . . ,xN ),
on fα(x1, . . . ,xN ) es una funcio vectorial que dona la forca que s’exerceix sobre la partıcula xαa partir de les posicions de tot el sistema. En el cas de la forca gravitatoria aquestes funcionsson de la forma
fα(x1, . . . ,xN ) = Gmα
∑β 6=α
mβxβ − xα‖xβ − xα‖3
,
19
on G es la constant universal de la gravitacio.Podem intentar analitzar el moviment d’un fluid en aquests termes pensant que cada
molecula es una partıcula puntual, pero degut a l’elevat nombre (d’Avogadro 6, 023 · 1023)de molecules que hi ha en un mol de fluid (de l’ordre de 3 grams d’aigua per exemple), aquestaaproximacio es del tot impracticable.
Davant d’aquest problema el que es fa es mirar les coses des de lluny i pensar que la materiate una distribucio contınua a l’espai. De manera heurıstica podem pensar que ara la variableα que utilitzaven per indexar les partıcules no es mou en un conjunt finit sino que varia demanera contınua. Aquesta nova interpretacio sembla que complica mes la situacio per quepassem d’un conjunt gran pero finit a una infinitat contınua de partıcules, pero veurem queno es aixı.
En el cas finit el sistema quedava completament descrit per la posicio xα(t) de cadapartıcula α en cada instant de temps t. En el cas continu tambe sera aixı pero per emfa-titzar la dependencia contınua de α escriurem x(α, t) en lloc de xα(t).
Es plausible suposar que dues partıcules diferents no poden estar a la mateixa posicio enel mateix instant, es a dir que l’aplicacio α 7→ x(α, t) es injectiva per tot t. Tambe suposaremque el fluid omple sempre una regio determinada D de l’espai. Sota aquestes condicions lafuncio x(α, t) defineix un canvi de variables (α, t) ↔ (x, t) que ens permet de considerar lapartıcula α que es troba a la posicio x ∈ D en el instant t. Entre les variables que depenen dex i t destaca especialment la velocitat u(x, t).
Ja hem vist que la llei de conservacio de la massa
d
dt
∫Ωρ dV +
∫∂Ωρu · dS = 0
per tota subregio Ω ⊂ D es equivalent a l’equacio de continuıtat
dρ
dt+∇ · (ρu) = 0.
D’altra banda, la segona llei de Newton expressa el fet que la manca de conservacio del momentlineal (massa per velocitat) d’una subregio D ⊂ Ω es degut a les forces que actuen sobre elsistema. En el cas d’un fluid aquestes forces son de dos tipus diferents, d’una banda les forcesexternes f que actuen a distancia (com la gravetat) i d’altra banda les forces internes del fluidque actuen per contacte mitjancant un operador lineal T aplicat sobre el vector normal exteriorn de ∂Ω:
d
dt
∫Ωρu dV +
∫∂Ω
(ρu) u · dS =∫
Ωf dV +
∫∂Ω
T(n) dA. (7)
Si apliquem a cada component del terme de l’esquerra de (7) en la base canonica e1, e2, e3 deR3 el teorema de Gauss obtenim la integral sobre Ω de
∂(ρui)∂t
+∇ · (ρuiu) =∂(ρui)∂t
+∇(ρui) · u + ρui∇ · u.
Multiplicant cadascuna d’aquestes expressions per ei i sumant per i = 1, 2, 3 podem escriureel terme de l’esquerra de l’equacio (7) com la integral sobre Ω de
∂
∂t(ρu) + (u · ∇)(ρu) + ρu(∇ · u) =
∂ρ
∂tu + ρ
∂u∂t
+ (u · ∇)(ρu) + ρu(∇ · u)
=∂ρ
∂tu + ρ
∂u∂t
+ u(u · ∇ρ) + ρ(u · ∇)(u) + ρu(∇ · u)
= u(∂ρ
∂t+ u · ∇ρ+ ρ∇ · u
)+ ρ
(∂u∂t
+ (u · ∇)(u))
= ρ
(∂u∂t
+ (u · ∇)(u)),
utilitzant en la ultima igualtat l’equacio de continuıtat ∂ρ∂t +∇(ρu) = 0.
20
Per simplificar el terme de la dreta de (7) hem de fer alguna suposicio sobre l’operadorT que s’anomena tensor d’esforcos del fluid. La situacio ideal va ser modelitzada per Euleren 1755. Un fluid s’anomena perfecte si les forces internes que actuen a traves de ∂Ω sonperpendiculars a ∂Ω en qualsevol punt, es a dir, T = −p Id, on p es la pressio (funcio quepot dependre de x, y, z, t) que exerceix el fluid (forca per unitat d’area) sobre ∂Ω. Com quepn dA = p dS tenim que si ei es l’i-essim vector de la base canonica de R3 aleshores
ei ·∫∂Ωp dS =
∫∂Ω
(p ei) · dS =∫
Ω(∇(p ei)) dV = ei ·
∫Ω∇p dV,
aplicant de nou el teorema de la divergencia. D’aquesta manera obtenim l’equacio d’Euler pera un fluid perfecte:
ρ
(∂u∂t
+ (u · ∇)(u))
= f −∇p.
L’equacio d’Euler va ser modificada per Navier i Stokes per incloure els efectes de la friccioentre les parts d’un fluid general. Per aixo s’imposa que la llei que relaciona el tensor d’esforcosT amb el camp de velocitats u te la forma seguent
T = −p Id + µ(∇u + (∇u)t),
on µ es una funcio positiva que s’anomena viscositat del fluid, ∇u es la matriu jacobianade l’aplicacio (x, y, z) 7→ u(x, y, z, t) i (∇u)t la seva trasposta. No es difıcil veure que laintegral sobre ∂Ω del terme amb µ es pot escriure com la integral sobre Ω de 2∇ · (µ∇u) =2(∇µ · ∇u + µ∇2u). En efecte,
∫∂Ωµ(∇u + (∇u)t)(n) dA =
∫∂Ω
3∑i=1
µ 3∑j=1
(∂ui∂xj
+∂uj∂xi
)ej
· n dA ei
div=∫
Ω
3∑j=1
∂
∂xj
(µ
3∑i=1
∂ui∂xj
ei
)+
3∑j=1
∂
∂xj
(µ
3∑i=1
ei∂uj∂xi
) dV=
∫Ω
2∇ · (µ∇u) dV.
Aixı doncs les equacions de Navier-Stokes prenen la forma
ρ
(∂u∂t
+ (u · ∇)(u))
= f −∇p+ 2∇(µ∇u).
En el cas que el fluid sigui incompressible i totalment homogeni les funcions ρ i µ son constantsi podem reescriure les equacions anteriors com
∂u∂t
+ (u · ∇)(u) = f −∇p+ ν∇2u,
on ara f i p denoten la forca i la pressio per unitat de massa i ν = µρ es una constant anomenada
viscositat cinematica.La forma d’aquesta equacio ∂u
∂t = · · · ens porta a pensar en el teorema d’existencia i unicitatde solucions per les equacions diferencials ordinaries amb una condicio inicial u|t=0 donada. Lasituacio pero es molt mes delicada ja que en els punts suspensius apareixen derivades espacialsdel vector incognita u i a mes de manera no lineal. L’existencia, unicitat i regularitat desolucions d’aquesta equacio en derivades parcials es un dels problemes del mil.leni pel qual elClay Institute ofereix un milio de dolars.
21
3.4.4 Equacions de Maxwell
Comencem aquesta seccio recordant que la forca F que exerceix un camp electric E i un campmagnetic B sobre una partıcula de carrega q que te velocitat v ve donada per la formula deLorentz:
F = q(E + v ×B).
La segona llei de Newton F = ma determina doncs el moviment un cop coneguda la massa mde la partıcula. D’aquesta manera el problema de l’electromagnetisme es redueix a coneixer elcamp electric E(x, y, z, t) i el camp magnetic B(x, y, z, t) en cada punt de l’espai (x, y, z) i encada instant de temps t a partir de la distribucio de carregues electriques (codificada en unafuncio densitat de carrega (ρ(x, y, z, t)) i del seu moviment (codificat amb el vector densitatde corrent j(x, y, z, t)). La determinacio de E i B s’efectua a partir de les lleis seguents(expressades en un sistema d’unitats fısiques convenient):
(1) Llei de Gauss: El flux del camp electric a traves d’una superfıcie tancada S = ∂Ω delimi-tant un domini Ω es igual a la carrega electrica Q que n’hi ha a l’interior de Ω:∫
SE · dS = Q
div⇐⇒∫
Ω∇ ·E dV =
∫Ωρ dV ⇐⇒ ∇ ·E = ρ.
(2) Llei de Faraday : El voltatge (la circulacio de E) al llarg d’una trajectoria tancada simpleC = ∂S que es la vora d’una superfıcie S es igual a (menys) la variacio del flux magnetica traves de S:∫
∂SE · dL = − ∂
∂t
∫S
B · dS rot⇐⇒∫S
(∇×E) · dS = −∫S
∂B∂t· dS⇐⇒ ∇×E = −∂B
∂t.
(3) Absencia de carregues magnetiques: El flux del camp magnetic a traves de qualsevolsuperfıcie tancada S = ∂Ω es zero:∫
SB · dS = 0 div⇐⇒
∫Ω∇ ·B dV = 0⇐⇒ ∇ ·B = 0.
(4) Llei d’Ampere modificada per Maxwell : La circulacio de B al llarg d’una corba tancadasimple C = ∂S es proporcional a la suma de l’intensitat de corrent que travessa S mes lavariacio en el temps del flux de E a traves S:∫
∂SB · dL =
1c2
(∫S
j · dS +∂
∂t
∫S
E · dS)
rot⇐⇒ c2∇×B = j +∂E∂t.
La constant de proporcionalitat es l’invers de la velocitat de la llum c al quadrat.
Observem que la llei de Gauss (1) i la llei de Maxwell (4) impliquen (utilitzant que div rot = 0)l’equacio de continuıtat
∂ρ
∂t+∇ · j = 0
equivalent a la llei de conservacio de la carrega electrica. Les dades del problema son doncs lafuncio densitat de carrega ρ i el camp vectorial de densitat de corrent j subjectes a l’equacio decontinuıtat anterior. Les incognites del problema son les 6 funcions de 4 variables, componentsdel camp electric E i del camp magnetic B.
A partir de l’equacio (3) deduım que existeix un camp vectorial A anomenat potencialvector tal que B = ∇×A. Observem que A no esta unıvocament determinat. En efecte, si ψes una funcio diferenciable arbitraria aleshores A′ = A +∇ψ tambe verifica que B = ∇×A′.De l’equacio (2) deduım que ∇× (E + ∂A
∂t ) = 0 i per tant existeix una funcio diferenciable ϕ
22
anomenada potencial escalar tal que E + ∂A∂t = −∇ϕ, es a dir, E = −∂A
∂t −∇ϕ = −∂A′
∂t −∇ϕ′
on ϕ′ = ϕ− ∂ψ∂t . De l’equacio (4) resulta que
c2∇(∇ ·A)− c2∇2A = j− ∂2A∂t2−∇∂ϕ
∂t. (8)
Si l’eleccio que hem efectuat de A i ϕ es tal que ∇ ·A + 1c2∂ϕ∂t 6= 0 cerquem una funcio ψ que
compleixi l’equacio d’ona no homogenia:
∇2ψ − 1c2
∂2ψ
∂t2= −
(∇ ·A +
1c2
∂ϕ
∂t
). (9)
A partir d’aquesta funcio ψ construım A′ = A + ∇ψ i ϕ′ = ϕ − ∂ψ∂t com abans. L’equacio
(9) implica que ∇ ·A′ − 1c2∂ϕ′
∂t = 0. Substituint A i ϕ per A′ i ϕ′ podem doncs suposar quec2∇ ·A = −∂ϕ
∂t i per tant, l’equacio (8) s’escriu
∇2A− 1c2
∂2A∂t2
=−jc2.
D’altra banda l’equacio (1) s’escriu
∇2ϕ− 1c2
∂2ϕ
∂t2= −ρ.
Aixı doncs, per obtenir A i ϕ a partir de j i ρ hem de resoldre de nou l’equacio d’ona quatrevegades (tres per cada component de A i una per ϕ). Un cop hem trobat ϕ i A reconstruımels camps electric i magnetic de la manera que hem indicat abans:
E = −∇ϕ− ∂A∂t
i B = ∇×A. (10)
Per finalitzar, observem que en absencia de carregues electriques (i.e. ρ = 0 i j = 0) tantϕ i A com E i B son solucions de l’equacio d’ona homogenia 2 = 0, on
2 := ∇2 − 1c2
∂2
∂t2=
∂2
∂x2+
∂2
∂y2+
∂2
∂z2− 1c2
∂2
∂t2
es l’operador dalambertia. En efecte, (10) implica que
2E = −∇2ϕ− ∂
∂t2A = ∇ρ+
1c2
∂j∂t
i 2B = ∇×2A =−1c2∇× j.
Exercici 3.26. Comproveu que per tot vector unitari u ∈ R3 i tota funcio diferenciableh : R→ R la funcio f : R4 → R definida per f(x, t) = h(〈x,u〉 − ct) verifica que 2f = 0.
Es pot demostrar que tota solucio de l’equacio d’ona homogenia 2f = 0 es de la formaf(x, t) = h(〈x,u〉 − ct). Aixı doncs, en el buit (ρ = 0 i j = 0) els camps electric i magnetic E iB es propaguem a la velocitat de la llum c com a ones electromagnetiques sense necessitat decap medi material o eteri.
23
4 Formes diferencials i teorema de Stokes
4.1 Tensors i formes
En aquest apartat seguirem el llibre de Spivak: Calculo en variedades (Reverte).
4.1.1 Tensors en espais vectorials
Sigui V es un R-espai vectorial, una aplicacio T : V k → R multilineal s’anomena tensor d’ordrek. L’espai de tensors T k(V ) d’ordre k es un espai vectorial. Definim el producte tensorial T⊗Sper T ∈ T k(V ) i S ∈ T l(V ). Es tenen les seguents propietats
• (S1 + S2)⊗ T = S1 ⊗ T + S2 ⊗ T i al reves
• (aS)⊗ T = S ⊗ (aT ) = a(S ⊗ T )
• S ⊗ (T ⊗ U) = (S ⊗ T )⊗ U =: S ⊗ T ⊗ U .
Teorema 4.1. Si ωi base dual de vi base de V llavors ωi1 ⊗ · · · ⊗ ωik amb 1 ≤ i1, . . . , ik ≤ nes una base de T k(V ). La dimensio es nk.
Demostracio. Sigui T ∈ T k(V ) i wi = aijvj , tenim
T (w1, . . . , wk) =∑
a1j1 . . . akjkT (vj1 , . . . , vjk) =∑
T (vj1 , . . . , vjk)(ωj1⊗· · ·⊗ωjk)(w1, . . . , wk).
Per tant T =∑T (vj1 , . . . , vjk)ωj1 ⊗ · · · ⊗ωjk i son generadors. Veiem la independencia lineal.
Si tenim una combinacio lineal ∑λi1,...,ikωj1 ⊗ · · · ⊗ ωjk = 0
apliquem cada costat a (vj1 , . . . , vjk) i deduım que λi1,...,ik = 0. Per tant es base i la dimensioes nk.
Exemple 4.2. Una metrica es un tensor d’ordre 2 (simetric i definit positiu).
Definicio 4.3. Definim f∗T de la manera habitual: (f∗T )(v1, . . . , vk) = T (f(v1), . . . , f(vk)).
Exemple 4.4. Es prova que si T es un producte interior a V , existeix una f : Rn → V talque f∗T = 〈·, ·〉.
4.1.2 Formes en espais vectorials
El determinant det es un tensor d’ordre n a Rn. Aixo justifica la seguent definicio
Definicio 4.5. T ∈ T k(V ) es alternat si quan intercanviem dos vectors el valor de T canviade signe. Donat S ∈ T k(V ) definim l’operacio Alt(S) com
Alt(S)(v1, . . . , vk) =1k!
∑σ
sgn(σ)S(vσ(1), . . . vσ(k)).
Els tensors alternats d’ordre k formen un espai vectorial, l’escrivim Λk(V ).
Teorema 4.6. Tenim que Alt(T ) ∈ Λk(V ), que si ω ∈ Λk(V ) llavors Alt(ω) = ω i per tantAlt Alt = Alt.
24
Demostracio. Denotem per (i, j) ∈ Sk la permutacio que canvia i i j entre ells i deixa lesaltres posicions sense moure. Si σ ∈ Sk posem σ′ = σ · (i, j) (actuant per l’esquerre, primer(i, j) i despres σ).
Alt(T )(v1, . . . , vj , . . . , vi, . . . , vk) =1k!
∑σ∈Sk
sgnσ T (vσ(1), . . . , vσ(j), . . . , vσ(i), . . . , vσ(k))
=1k!
∑σ∈Sk
sgnσ T (vσ′(1), . . . , vσ′(i), . . . , vσ′(j), . . . , vσ′(k))
= − 1k!
∑σ′∈Sk
sgnσ′ T (vσ′(1), . . . , vσ′(k)) = −Alt(T )(v1, . . . , vk).
Per altra banda
Alt(ω)(v1, . . . , vk) =1k!
∑σ∈Sk
sgnσω(vσ(1), . . . , vσ(k))
=1k!
∑σ∈Sk
(sgnσ)2ω(v(1), . . . , v(k)) = ω(v1, . . . , vk).
La tercera es immediata.
Definicio 4.7.
ω ∧ θ =(k + l)!k!l!
Alt(ω ⊗ η).
Exemple 4.8. Proveu que ω(vσ1, . . . , vσk) = sgnσ ω(v1, . . . , vk).
Observacio 4.9. Altres autors defineixen simplement ω ∧ θ = Alt(ω ⊗ θ), per exempleGuillemin-Pollack o Kobayashi-Nomizu.
Exercici 4.10. Provar les seguents propietats
1. (ω + η) ∧ α = ω ∧ α+ η ∧ α (i a l’inreves)
2. aω ∧ η = ω ∧ aη = a(ω ∧ η)
3. ω ∧ η = (−1)klη ∧ ω
4. f∗(ω ∧ η) = f∗ω ∧ f∗η.
5. ω ∧ (η ∧ α) = (ω ∧ η) ∧ α =: ω ∧ η ∧ α (llarga demostracio, Spivak p. 73).
Per exemple, per la propietat 3 cal considerar la permutacio σ(1, . . . , k, k + 1, . . . , k + l) =(k + 1, . . . , k + l, 1, . . . , k) i que sgn(σ) = (−1)kl.Per veure la darrera propietat ens cal
Teorema 4.11.
1. Si AltS = 0 llavors Alt(S ⊗ T ) = Alt(T ⊗ S) = 0.
2.Alt(Alt(ω ⊗ η)⊗ θ) = Alt(ω ⊗Alt(η ⊗ θ)) = Alt(ω ⊗ η ⊗ θ).
3.
(ω ∧ η) ∧ θ = ω ∧ (η ∧ θ) =(k + l +m)!
k!l!m!Alt(ω ⊗ η ⊗ θ).
25
Demostracio. Suposem S ∈ T k(V ) i T ∈ T r(V ). Sigui G ⊂ Sk+r que deixa els darrers rtermes (es a dir (k + 1, . . . , k + r)) fixats. Tenim que∑σ∈G
sgnσ(S ⊗ T )(vσ(1), . . . , vσ(k+r)) =∑σ∈G
sgnσS(vσ(1), . . . , vσ(k)) · T (vk+1, . . . , v(k+r)) = 0
Si σ0 6∈ G, considerem G · σ0 i posem vk+j = wj per j = 1, . . . , r. Aleshores, procedint igualque abans, tambe es compleix∑
σ∈G·σ0
sgnσ(S ⊗ T )(vσ(1), . . . , vσ(k+r)) = 0.
Tenim que G ∩G · σ0 = ∅. Descomposant tot Sk+r en conjunts disjunts d’aquests tipus (femrecorre σ0 per totes les permutacions del darrers termes) obtenim que Al(S ⊗ T ) = 0. L’altreigualtat es veu igual.
Com que Alt(Alt(η ⊗ θ)− η ⊗ θ)) = 0, pel que acabem de provar tenim que
0 = Alt(ω ⊗ (Alt(η ⊗ θ)− η ⊗ θ)) = Alt(ω ⊗Alt(η ⊗ θ))−Alt(ω ⊗ η ⊗ θ).
L’altre igualtat es fa igual. Que (ω ∧ η) ∧ θ = ω ∧ (η ∧ θ) ho fem desenvolupant.
Observacio 4.12. Ara te sentit parlar de ω1 ∧ · · · ∧ ωk.
Exercici 4.13. Proveu que si els graus k de η i r d’ω satisfan k + r > n llavors ω ∧ η = 0.
Teorema 4.14. Si ωi dual de vi llavors ωi1 ∧ · · · ∧ ωik amb 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n es base deΛk(V ). Llavors dim Λk(V ) =
(nk
).
Demostracio. Si ω ∈ Λk(M) podem posar ω =∑ai1,...,ikωi1 ⊗ · · · ⊗ ωik . Pero ω = Alt(ω),
llavorsω =
∑ai1,...,ikAlt(ωi1 ⊗ · · · ⊗ ωik).
Pero Alt(ωi1⊗· · ·⊗ωik) = c ωi1∧· · ·∧ωik . Llavors son generadors (observem que ωi1∧· · ·∧ωik =sgnσωiσ1 ∧ · · · ∧ ωiσk amb σ ∈ Sk). La independencia lineal la provem tal com es va fer pelproducte tensorial.
Observacio 4.15. Tenim dim Λn(V ) = 1 per dimV = n. Per Rn el determinant es el gene-rador de n-formes. En general, si wi = aijvj tenim que ω(w1, . . . , wn) = det(aij)ω(v1, . . . , vn).Nomes cal considerar η ∈ Λn(Rn) donada per
η((a11, . . . , a1n), . . . , (an1, . . . , ann)) = ω(∑j
a1jvj , . . . ,∑j
anjvj).
Ha de ser η = λ det i la constant λ = η(e1, . . . , en) = ω(v1, . . . , vn).
Definicio 4.16. Donar una orientacio a V sera donar un element ω ∈ Λn(V ) no nul. Unabase sera positiva si dona positiu per ω. Si T es un producte interior en V i V esta orientat,diem que ω es element de volum si val 1 sobre una base ortonormal positiva.
Denotem per [v1, . . . , vk] l’orientacio donada per la base (vi). A Rn l’orientacio canonica es ladonada per la base canonica ei.
Exemple 4.17. Dos bases donen la mateixa orientacio si i nomes si la matriu del canvi debase te determinant positiu.
26
Exemple 4.18. det es l’element de volum per l’orientacio i producte habituals de Rn. Tenimque | det(v1, . . . , vn)| es el volum del paral.lel.lepıped definit pels vectors.
Exercici 4.19. Si ei base canonica de Rn i ωi la dual, proveu que ω1∧· · ·∧ωn(e1, . . . , en) = 1.Proveu que ωi1∧· · ·∧ωik(v1, . . . , vk) es el determinant del menor k×k format per les columnesi1, . . . , ik de la matriu (v1, . . . , vk)t (amb vi vectors columna).
Exercici 4.20. Si ω es l’element e volum determinat per T i una orientacio µ proveu que|ω(w1, . . . , wn)| =
√det(gij) on gij = T (wi, wj).
Exercici 4.21. Proveu que si ω es r-forma i v1, . . . , vr linealment dependents, llavors ω(v1, . . . , vr) =0.
Exercici 4.22. Si ωi ∈ V ∗ son l.d. llavors ∧ωi = 0.
Observacio 4.23. Hi ha una bona llista d’exercicis al llibre de Guillemin-Pollack (pag. 160).
4.1.3 Camps a Rn
L’espai tangent TpRn de Rn en e punt p esta format pels parells (p, v) amb v ∈ Rn (aquı coma direccions). Podem pensar en (p, v) com la fletxa v que comeca a p i acaba a p+ v. Tambeva be pensar en (p, v) com la classe de corbes diferenciables γ amb γ(0) = p i γ′(0) = v. Elfibrat tangent de Rn es TRn = ∪p∈RnTpRn.
Definicio 4.24. Un camp vectorial en un obert U ⊂ Rn es una aplicacio X : Rn → TRn ambX(p) ∈ TpRn. Si fixem una base ei tenim X(p) =
∑λi(p) · ei. Direm que X es diferenciable
si les funcions λi ho son.
Si no es diu el contrari suposem que els camps son C∞ en el seu domini de definicio.
Definicio 4.25. Sigui X un camp amb components fi en la base canonica. La divergencia deX es la funcio div(X)(p) =
∑ ∂fi∂xi
(p).
Fem servir la notacio ∇ =∑ ∂
∂xi· ei. Llavors div(X) = 〈∇, X〉.
Definicio 4.26. Per un camp X = (Fi) de R3 defininim el rotacional com ∇×X.
Notacio. Denotem per X (U) els camps diferenciables C∞ en un obert U ⊂ Rn.
4.1.4 Formes a Rn
Donar una k forma en un obert U ⊂ Rn es assignar per cada punt p ∈ U un ω(p) ∈ Λk(TpRn).Si ωi(p) es la base dual de ei(p) en TpRn tenim
ω(p) =∑
i1<···<ik
ωi1,...,ik(p) · ωi1(p) ∧ · · · ∧ ωik(p).
Diem que ω es diferenciable si les funcions p → ωi1,...,ik(p) ho son. Si no diem el contrari perdiferenciable suposarem C∞.Notacio. Denotem per Ωk(U) les k-formes diferenciables en un obert U ⊂ Rn.
Exemple 4.27. Donada una funcio f la seva diferencial df =∑∂if ·dxi es una 1-forma. Mes
concretament dfp(vp) := f ′(p + tv)|t=0 = 〈∇f, v〉, a partir d’aquı trobem l’expressio anterior.Com a cas particular tenim el seguent exemple.
27
Exemple 4.28. Si xi : Rn → R es la funcio que a cada p li fa correspondre la seva componenti-essima, teni que dxi(p) es la base dual de la base canonica ei (exercici).
Llavors podem posar ω(p) =∑ai1,...,ik(p)dxik(p) ∧ · · · ∧ dxik(p). Quan no hi hagi dubte
ometrem el punt p en aquesta expressio.
Notacio. A R2 i R3 escriurem dx, dy, dz. Quan calgui farem servir la notacio∑
I aIdxI on I
es un multiındex ordenat. Tambe utilitzarem la notacio ∂∂xi
(p) := (ei)p.
Exemple 4.29. ω = −yx2+y2
dx+ xx2+y2
dy ∈ Ω1(R2 \ (0, 0)).
Definicio 4.30. Donada f ∈ C∞(U, V ) i ω ∈ Ωk(V ) definim f∗ω ∈ Ωk(U) com (f∗ω)(p)(v1, . . . , vk) =ω(f(p))(f∗v1, . . . , f∗(vk)).
Tenim les seguents propietats
1. f∗(dxi) =∑∂jf
idxj .
2. f∗(ω1 + ω2) = f∗ω1 + f∗ω2.
3. f∗(gω) = (g f) · f∗ω.
4. f∗(ω ∧ η) = f∗ω ∧ f∗η.
Demostracio. Fem la primera propietat. Escrivim tot amb molta cura. Tenim que f∗ va deTpRn a Tf(p)Rn , per simplificar posem q = f(p). A mes f∗((ej)p) =
∑ ∂fk∂xj
(p)(ek)q. Llavors
(f∗(dxi))(p)((ej)p) = (dxj)(q)(f∗(ej)p) =∂fi∂xj
(p).
D’aquı surt el que volem. Les altres queden com a exercici.
Observacio 4.31. Es pots justificar a partir de la propietat que f∗(dxi) = d(xi f). Aixo esmolt util per fer calculs. Per exemple, si f(s, t) = (s2, t, ts−1) aleshores f∗(dx∧dz+dy∧dz) =d(s2) ∧ d(ts− 1) + d(t) ∧ d(ts− 1) = · · ·
Exemple 4.32. Per f : Rn → Rn i h una funcio, tenim
f∗(h dx1 ∧ · · · ∧ dxn) = (h f)(det f ′) dx1 ∧ · · · ∧ dxn.
On f ′ denota la matriu jacobiana de f .
4.1.5 Derivada exterior
Hem vist que per una funcio f la seva diferencial df es un 1-forma. Aques ‘operador’ d es potgeneralitzar per formes de grau superior. Sigui la k forma ω =
∑i1<···<ik ωi1,...,ikdx
i1∧· · ·∧dxik ,definim la (k + 1) forma dω com
dω =∑
i1<···<ik
dωi1,...,ik ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik =
∑i1<···<ik
n∑α=1
∂αωi1,...,ikdxα ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .
Tenim
Teorema 4.33.
1. d(ω + η) = dω + dη.
2. Si ω es k-forma i η es una r-forma llavors d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)kω ∧ dη.
28
3. d2 = 0
4. f∗ d = d f∗.
Demostracio. La primera propietat es facil. Per veure la segona observem que per funcions esfacil provar que d(fg) = df ∧ g + f ∧ dg. Llavors d(fdxI ∧ gdxJ) = d(fgdxI ∧ dxJ), apliquemla definicio de derivada i anar fent. La tercera es veure que els termes s’anul.len de dos en dos(fer-ho per funcions i ja surt). La darrera propietat la fem per induccio, suposem certa per ki ho fem per un producte ω ∧ dxi on ω es k-forma.
Exemple 4.34. Veiem quina relacio hi ha a R3 entre ω i la seva diferencial dω. Distingimtres casos:
1. Si ω ∈ Ω0(R3) llavors ω es una funcio f . Aleshores dω = df = ∂xf dx+ ∂yf dy+ ∂zf dzi dω es pot identificar amb el gradient grad(f) de f .
2. Si ω ∈ Ω1(R3) tindrem ω = a dx+b dy+c dz que identifiquem amb un camp X = (a, b, c)de R3. Tenim que la diferencial es
dω = (cy − bz) dy ∧ dz + (az − cx) dz ∧ dx+ (bx − ay) dx ∧ dy
que identifiquem amb Y = (cy − bz, az − cx, bx − ay). Com que Y = rot(X) identifiquemdω amb el rotacional.
3. Si ω = a dy∧dz+b dz∧dx+c dx∧dy ∈ Ω2(R3) aleshores dω = (∂xa+∂yb+∂zc)dx∧dy∧dzque identifiquem amb la divergencia del camp X = (a, b, c).
4.1.6 Lema de Poincare
Definicio 4.35. Una forma ω es tancada si dω = 0 i es exacta si existeix una forma η (degrau un menys que ω) tal que dη = ω.
Exemple 4.36. La forma ω = x2dx∧dy−zdy∧dz es tancada. Es facil veure que la diferencialde η = 1
3x3dy + 1
2z2dy satisfa dη = ω.
Exemple 4.37. La forma ω = −yx2+y2
dx + xx2+y2
dy ∈ Ω1(R2 \ (0, 0)) es tancada pero no esexacta (ja que la funcio angle no es contınua al domini).
Definicio 4.38. Un conjunt A ⊂ Rn te forma d’estrella respecte P si per qualsevol Q ∈ A elsegment PQ esta totalment contingut a A.
Teorema 4.39. (Lema de Poincare). Tota forma tancada definida en un obert amb formad’estrella es exacta.
Observacio 4.40. Pel cas d’una 1-forma ω tancada es facil trobar una funcio f amb df = ω.Suposem que l’obert es estrellat respecte 0 i que f(0) = 0. Llavors
f(x) =∫ 1
0
d
dtf(tx)dt =
n∑i=1
(∫ 1
0Pi(tx)dt
)xi, Pi = ∂if.
29
Demostracio. Ho fem per conjunts estrellats respecte (0, 0) i per una trasl.lacio es demostraen general. Definim (cosa que nomes es pot fer en un conjunt estrellat respecte l’origen)
Iω(x) =∑
i1<···<ik
k∑α=1
(−1)α−1
(∫ 1
0tk−1ωi1,...,ik(tx)dt
)xiαdxi1 ∧ . . . ˆdxiα · · · ∧ dxik
i provem que ω = I(dω) + d(Iω). Si ω es exacta hem acabat.
Observacio 4.41. Si el domini es en forma d’estrella respecte un punt arbitrari p canviem laintegral per
∫ 10 t
k−1ωi1,...,ik(p+ t(x− p))dt.
4.1.7 Cubs i cadenes
Fem les seguents definicions
Definicio 4.42.
1. n-cub (singular) sobre A ⊂ Rm (obert), es una aplicacio c : [0, 1]n → A. Un 0-cub esc : 0 → A, per tant un 0-cub es un punt a A. Un 1-cub es una corba (genericament) iun 2-cub una superfıcie (genericament).
2. n-cub estandard a Rn, In(x) = x.
3. n-cadena, ‘combinacio lineal’ entera de n-cubs,∑aici, ai ∈ Z.
4. In(i,α) amb 1 ≤ i ≤ n i α = 0, 1 es, per cada x ∈ [0, 1]n−1
Ini,α(x) = (x1, . . . , xi−1, α, xi+1, . . . , xn).
Que anomenem (i, α) cara.
5. Si c es un n-cub posem c(i,α) := c In(i,α). Que anomenem (i, α) cara de c.
6. Si c es un n-cub, la frontera ∂c de c es
∂c =n∑i=1
1∑α=0
(−1)i+αc(i,α).
7. La frontera d’una cadena c =∑aici es ∂c =
∑ai∂ci.
Teorema 4.43. Si c es una k-cadena en A llavors ∂2c = 0.
No farem la prova ja que aquest resultat no es necessari per la resta del curs. No obstant espot trobar a Spivak pag. 91.
Exercici 4.44. Sigui R > 0 i n 6= 0, considerem l’1-cub singular cR,n : [0, 1] → R2 \ (0, 0)donat per cR,n(t) = (R cos 2πnt,R sin 2πnt). Proveu que existeix un 2-cub singular tal que∂c = cR1,n − cR2,n.
30
4.2 Teorema de Stokes per cadenes
Per simplificar, a partir d’ara considerem cubs nomes diferenciables. Si ω ∈ Ωk([0, 1]k) llavorsω = fdx1 ∧ · · · ∧ dxk. Posem ∫
[0,1]kω :=
∫[0,1]k
f.
Mes concretament, i l’ordre de les variables es important,∫[0,1]k
f(x1, . . . , xn)dx1 ∧ · · · ∧ dxk :=∫
[0,1]kf(x1, . . . , xn)dx1 · · · dxk.
Notem que a la integral de la dreta podem canviar l’ordre i no passa res i a la de l’esquerracanvia el signe (per exemple
∫I2 dx ∧ dy = −
∫I2 dy ∧ dx).
Llavors definim ∫cω :=
∫[0,1]k
c∗ω.
Si k = 0 considerem∫c ω = ω(c(0)). Per cadenes definim la integral per linealitat.
Exemple 4.45. Integral de lınia i de superfıcie.
Teorema 4.46. (Teorema de Stokes I) Si ω es una (k − 1)-forma en A i c una k-cadena enA es te que ∫
cdω =
∫∂cω.
Demostracio. Per linealitat i per la definicio es suficient fer el teorema per ω = fdx1 ∧. . . ˆdxi · · · ∧ dxk i per c = [0, 1]k−1. La resta es Fubini i el teorema fonamental del calcul. Femels detalls.
Provem-ho primer per c = In = [0, 1]k. Una k − 1 forma a c es una suma de termes del tipusω = fdx1 ∧ . . . dxi ∧ · · · ∧ dxk. Com que ∂Ik =
∑ki=1
∑α=0,1(−1)i+αIk(i,α) tenim
∫∂Ik
ω =k∑j=1
∑α=0,1
(−1)j+α∫Ik(j,α)
ω.
Pero ∫Ik(j,α)
ω =∫Ik−1
(Ik(j,α))∗ω.
Recordant que Ik(j,α)(x) = (x1, . . . , xj−1, α, xj+1, . . . , xk) calculem∫Ik−1
(Ik(j,α))∗fdx1 ∧ . . . dxi ∧ · · · ∧ dxk =
0 j 6= i∫Ik f(x1, . . . , α, . . . , xk)dx1 . . . dxk i = j
Aleshores ∫∂Ik
ω = (−1)i+1
∫Ikf(x1, . . . , 1, . . . , xk) + (−1)i
∫Ikf(x1, . . . , 0, . . . , xk).
Per altra banda ∫Ikdω = (−1)i−1
∫Ik
∂f
∂xi.
Integrant aixo queda provat el teorema de Stokes per c = Ik, es a dir∫Ikdω =
∫∂Ik−1
ω.
31
Per un cub singular arbitrari c:∫cdω =
∫Ikc∗(dω) =
∫Ikd(c ∗ ω) =
∫∂Ik
c∗ω =∫∂cω.
Per una cadena ho provem per linealitat.
Observacio 4.47. La prova del teorema de Stokers ha estat elemental, nomes ha calgut Fubinii el teorema fonamental del calcul. Aixo ha estat possible gracies a les definicions ‘complicades’que hem fet.
Exercici 4.48.
1. Considerem l’1-cub a R2 \ 0 donat per cR,n(t) = Re2πin on n enter no nul. Proveu queexisteix una 2-cub singular c tal que ∂c = cR1,n − cR2,n.
2. Si dθ = 1r (−ydx+ xdy), provar que
∫CR,n
dθ = 2πn. Deduir que cR,n no es exacta.
Exemple 4.49. Fer els exercicis 4.24, 4.26 i 4.27 de l’Spivak.
4.3 Nocio de varietat diferenciable
La nocio de varietat diferenciable es una generalitzacio natural de la nocio de superfıcie quehem vist a Geometria Diferencial. Com que aquest es un curs independent, fem de nou lesdefinicions.
4.3.1 Definicions basiques
Definicio 4.50. Una aplicacio h : U → V entre oberts de Rn es un difeomorfisme si esdiferenciable i te inversa h−1 : V → U diferenciable.
Teorema 4.51. (I) M ⊂ Rn es varietat diferenciable de dimensio k si per a qualsevol puntp ∈ M es verifica la seguent condicio de coordenades: Existeix un conjunt obert U que contep, un subconjunt obert W ⊂ Rk i una aplicacio injectiva diferenciable f : W → Rn tal que (a)f(W ) = M ∩ U i (b) Df(y) te rang k per qualsevol y ∈ W . La funcio f s’anomena sistemade coordenades al voltant de p.
Exemple 4.52. Un punt es una varietat de dimensio 0. Un obert es una varietat diferenciablede dimensio n.
Exercici 4.53. Proveu que una superfıcie regular (com les definides a GD) es una varietat dedimensio 2.
Com a consequencia del teorema de la funcio implıcita tenim
Teorema 4.54. Sigui A ⊂ Rn obert i g : A → Rr tal que Dg(x) tingui rang r sempre queg(x) = 0. Llavors g−1(0) es una varietat de dimensio (n− r) a Rn.
Demostracio. El que hem de fer es resoldre localment el sistema d’equacions gi(x) = 0, i =1, . . . , r. Per tenir la diferencial D(x0,x0)g rang r existeix h : U ⊂ Rn−r → Rr tal queg(x, h(x)) = 0. Prenem ⊂ U i f(x) = (x, h(x)). No es difıcil comprovar que (f,W ) donalloc a una parametritzacio.
32
Exemple 4.55. L’esfera Sn es varietat a Rn+1.
Exercici 4.56. Proveu que un subespai vectorial es una varietat diferenciable.
Exercici 4.57. Proveu el teorema invers (parcialment!) del teorema 4.54: si M es varietatdiferenciable a Rn de dimensio k i p ∈ M , existeix un obert A ⊂ Rn i g : A → Rn−k tal queA ∩M = g−1(0) i Dg(p) te rang (n− k) si g(p) = 0.
Observacio 4.58. La definicio que vam fer de superfıcie i la que aquı hem fet de varietat(vegeu la definicio 4.59) son equivalents (en dimensio 2).
Definicio 4.59. (II) M ⊂ Rn es una varietat diferenciable de dimensio k si per tot p ∈ Mexisteix un obert U ⊂ Rn que conte p, un obert V ⊂ Rn i un difeo h : U → V de manera que
h(U ∩M) = V ∩ (Rk × 0) = x ∈ V : xk+1 = · · · = xn = 0.
Teorema 4.60. Les definicions de varietat I i II son equivalents.
Demostracio.II implica I. Sigui k la dimensio. Considerem h : U → V difeo tal que h(U ∩M) = V ∩(Rk × 0) amb x ∈ V . Posem W = a ∈ Rk : (a, 0) ∈ h(U). Definim f : W → Rn perf(a) = h−1(a, 0). Es comprova que f(W ) = M ∩ U . Si H(z) = (h1(z), . . . , hk(z)) tenim queF (f(y)) = y, llavors DHf(y) ·Dfy = id i el rang de Dfy ha de ser k.
I implica II. Tenim (f,W ) carta local. Suposem (reordenant variables si cal) que el deter-minant de (∂ifj) per 1 ≤ i, j ≤ k es no nul el el punt a. Definim g : W × Rn−k → Rn perg(a, b) = f(a) + (0, b). El rang de Dg es maxim (en un punt). Llavors existeixen oberts V1, V2
on g defineix una inversa h : V2 → V1 diferenciable. Aleshores
h(V2 ∩M) = g−1(V2 ∩M) = g−1(g(x, 0) : x ∈ V1) = V1 ∩ Rk × 0.
Observacio 4.61. Siguin (fi,Wi) cartes locals d’un punt x ∈M . Llavors, on estigui definida,f−1
2 f1 es diferenciable. Aixo es pot veure fent servir l’aplicacio H de la demostracio anterior.Es te que f−1
2 f1 = (H f2)−1 (H f1) i H fi son diferenciables.
Ens caldra treballar amb varietats amb vora. Per aixo estudiem el model de vora i com sonles orientacions.
Definicio 4.62. Anomenen semiespai Hk = x ∈ Rk : xk ≥ 0 ⊂ Rk.
Per exemple a R3 el semiespai son els punts amb z ≥ 0.
Definicio 4.63. Un subconjunt de M ⊂ Rn es una varietat amb vora de dimensio k si cadapunt p ∈M satisfa la condicio de la definicio 4.59 o be existeix un conjunt obert que conte p,un obert V ⊂ Rn i un difeo h : U → V de manera que
h(U ∩M) = V ∩ (Hk × 0) = x ∈ V : xk ≥ 0, xk+1 = · · · = xn = 0.
Exercici 4.64. Proveu que la condicio anterior i la de la definicio 4.59 no es poden donarsimultaniament.
Definicio 4.65. El conjunt dels punts que satisfan la condicio de la definicio 4.63 formen lafrontera de M i s’escriu ∂M .
Exercici 4.66. Si M es varietat de dimensio k amb vora, proveu que ∂M es una varietat dedimensio (k − 1). Proveu que M \ ∂M es una varietat (sense vora) de dimensio k.
33
4.3.2 Camps i formes en varietats.
Igual que en superfıcies en varietats tenim la nocio d’espai tangent en un punt.
Definicio 4.67. Si (f,W ) es una parametritzacio i f(u) = p posem f∗(TuRk) = Df(u)(TuRk) =TpM ⊂ TpRn.
Es comprova que aquesta definicio no depen de la carta triada. En efecte, si f, g son cartes(amb els oberts corresponents) tals que f(a) = g(b) = x ∈ M , les aplicacions lineals f∗ :TaRk → TxRn, g∗ : TbRk → TxRn son injectives. Tenim
g∗(TbRk) = f∗((f−1 g)∗)(TbRk) = f∗(TaRk).
Observacio 4.68. Es convenient pensar en el elements v ∈ TpM com classes de corbes en p.Denotem direccio a la varietat. Igual que a les superfıcies.
Si tenim coordenades (ui) escrivim (∂/∂ui)(p) := Df(u)(ei). Quan no hi ha confusio treiemel punt p en la notacio.
Definicio 4.69. Un camp vectorial a M es donar un vector Xp ∈ TpM per cada p ∈ M . Elscamps es poden expressar en coordenades. Direm que es continu, diferenciable, etc. si ho sonles seves components en una carta local. Si no es diu el contrari els suposarem de classe C∞.Tambe podem definir camps en oberts U ⊂ M . Denotem el conjunt de camps C∞ a U ⊂ Mper X (U).
Definicio 4.70. Una r-forma a M consisteix en assignar per cada p un ω(p) ∈ Λr(TpM).Si (f,W ) carta, tenim que f∗ω sera una r-forma a W ⊂ Rk. Direm que ω es contınua,diferenciable etc. si f∗ω ho es a W (aixo no depen de la carta triada, perque). Si no diemres ω sera de classe C∞ i denotem el conjunt d’aquestes formes per Ωr(M) o Ωr(U) si estandefinides en un obert.
En general una forma sobre M es pot expressar com∑aIdx
I on aI son funcions sobre M idxI son generadors de Λr(TxM) (encara que no base!).
L’expressio en coordenades de f ∗ ω es l’expressio local de la forma ω. De vegades cometremabus de notacio i confondrem ω amb la seva expressio en coordenades pero cal recordar queuna forma es un objecte global i aixo es molt important.
Exemple 4.71. Considerem S2 ⊂ R3 i la 1-forma ω = adx+ bdy+ cdz a S2. Aixo vol dir quesi x ∈ S2 i v ∈ TxS2 ⊂ TxR3, el valor de ωx(v) es el que obtindrıem pensant ωx ∈ Λ1(TxR3).El problema es que ara no sabem que vol dir dω ja que a, b, c son funcions a S2 i no a tot R3.
Teorema 4.72. Existeix una unica (r+1)-forma dω a M tal que per qualsevol carta f∗(dω) =d(f∗ω).
Demostracio. Observem que dω ha de ser forma a M i f∗ω ho es a Rk. Fixem una carta(f,W ) amb x = f(a). Si v1, . . . , vr+1 ∈ TxM existeixen vectors unics w1, . . . , wr+1 a TaRk demanera que f∗wi = vi. Definim
dωx(v1, . . . , vr+1) := d(f∗ω)a(w1, . . . , wr+1).
Es facil comprovar que aquesta definicio no depen de la carta triada i que la definicio es l’unicapossible (si η fos altre . . . ).
Observacio 4.73. Moltes vegades treballem amb l’expressio local d(f∗ω).
Exemple 4.74. Si g : M → N aplicacio diferenciable entre varietats, proveu que d(g∗ω) =g∗(dω).
Exemple 4.75. Si ω = x2dx es una 1-forma a S2, calculeu dω.
34
4.3.3 Orientacio.
Definicio 4.76. Sigui M varietat sense vora. Triem una orientacio en cada espai tangent deM , denotem per µx l’orientacio al punt x. Direm que µ es consistent (si es que existeix) siper cada carta (f,W ) llavors
[f∗e1, . . . , f∗ek]a = µf(a) ⇐⇒ [f∗e1, . . . , f∗ek]b = µf(b)
per a qualsevol a, b ∈W .
Definicio 4.77. Suposem que tenim una orientacio µ consistent. Si es compleix que [f∗e1, . . . , f∗ek]a =µf(a) per qualsevol a de W direm que f conserva l’orientacio.
Lema 4.78. Si f no conserva l’orientacio i T : Rk → Rk es lineal amb determinant −1 (osimplement negatiu) llavors f T conserva l’orientacio.
Demostracio. Sigui f que no conservi l’orinetacio i α ∈ Λk(TxM) forma que dona positivasobre bases positives. Llavors α(f∗(e1)p, . . . , f∗(ek)p) < 0. Aleshores
α(f∗(Te1)p, . . . , f∗(Tek)p) = (f∗α)((Te1)p, . . . , (Tek)p) = (detT )α(f∗(e1)p, . . . , f∗(ek)p) > 0
i f T conserva l’orientacio.
Observacio 4.79. Podem afirmar llavors que si tenim una orientacio consistent, al voltantde cada punt de M hi ha una carta que preserva l’orientacio. (De fet, localment tota varietatadmet una orientacio consistent, ho podem fer a traves de la forma dx1 ∧ · · · ∧ dxk a l’obertW ).
Exemple 4.80. Si (f,W ) i (g,W ′) son cartes que conserven l’orientacio llavors det(g−1f)′ >0. Si vi = f∗ei i wi = g∗ei la matriu del canvi de base a TxM de vi a wi te determinant positiu.Aquesta matriu es justament la que volem (o la inversa).
Definicio 4.81. Una varietat que admet una orientacio consistent s’anomena orientable. Iuna varietat amb una orientacio µ s’anomena varietat orientada.
Exemple 4.82. La banda de Mobius no es orientable.
Exemple 4.83. Una varietat M amb una k-forma mai nul.la es orientable.
Exercici 4.84. Donar una forma d’orientacio a Sn ⊂ Rn+1.
Exercici 4.85. Sigui C una col.leccio de sistemes de coordenades a M de manera que per aqualsevol x ∈ M hi ha un f ∈ C al voltant de x. Proveu que si per a qualsevol f, g ∈ C este que det(f−1 g) llavors hi ha una unica orientacio a M de manera que els elements de Cpreserven l’orientacio.
Exercici 4.86. Proveu que Mk es orientable si i nomes si existeix ω ∈ Ωk(M) mai nul.la (perveure una direccio calen particions de l’unitat).
35
4.3.4 Camps, formes i orientacio a varietats amb vora.
Les nocions de camp, forma i orientacio valen tambe per una varietat amb vora. Anem a veurecom tractar la orientacio a ∂M .
Sigui ara M una varietat amb vora ∂M . Tenim que si x ∈ ∂M aleshores Tx∂M ⊂ TxM esun subespai vectorial (k − 1)-dimensional. Existeixen dos vectors unitaris perpendiculars aTx∂M . Si (f,W ) carta amb W ⊂ Hk i f(0) = x triem del dos vectors unitaris aquell de laforma f∗(v) amb vk < 0 (fer dibuix).
Exemple 4.87. Aquesta tria no depen de la carta triada.
El vector triat s’anomena vector normal exterior i el denotem per n(x).Suposem ara µ una orientacio a M .
Definicio 4.88. Si vi i wi son bases de Tx∂M direm que tenen la mateixa orientacio si[n(x), v1, . . . ] = [n(x), w1, . . . ]. Aquesta orientacio es consistent i la denotem per ∂µ. S’ano-mena orientacio induıda.
Exemple 4.89. Proveu que ∂µ es consistent.
Exemple 4.90. Fer els dibuixos per dominis a R2 i R3. Fer-ho per una superfıcie que no siguifrontera d’un domini.
Exemple 4.91. Proveu que l’orientacio induıda a la frontera de Hk es (−1)k vegades l’orien-tacio habitual.
Observacio 4.92. Quan M es hipersuperfıcie orinetada a Rn (no necessariament vora d’un do-mini) triem n(x) de manera que si v1, . . . , vn−1 orientada a TxM aleshores [n(x), v1, . . . , vn−1] =µx. Tenim en aquest cas que µ varia amb continuıtat (veure-ho!).
Exemple 4.93. La banda de Mobius no es orientable.
4.3.5 Integracio en varietats
Volem definir∫M ω per una varietat de dimensio k i una k-forma. El que farem es ‘tallar’ la
forma a trocos de manera que per cada troc sigui facil de fer. Per aixo ens cal recordar lanocio de particio de l’unitat.
Teorema 4.94. Sigui A ⊂ Rn i O un recobriment per oberts de A. Existeix una col.leccioΦ = ϕ ∈ C∞(W ), A ⊂W amb W obert tal que:
1. Per tot x ∈ A, 0 ≤ ϕ(x) ≤ 1,
2. Per tot x ∈ A existeix un obert V amb x ∈ V tal ϕ|V ≡ 0 excepte per un nombre finitde funcions,
3. Per tot x ∈ A es te que∑
ϕ∈Φ ϕ(x) = 1 (la suma es finita),
4. Per tota ϕ ∈ Φ existeix un obert U ∈ O tal que ϕ|Kc ≡ 0 per un cert tancat K ⊂ U .
Quan la famılia compleix les tres primeres propietats diem que tenim una particio de l’unitatde A i si a mes es compleix la darrera diem que esta subordinada al recobriment O.
Observacio 4.95. Si A es compacte podem trobar un recobriment finit i que nomes un nombrefinit de ϕ ∈ Φ siguin nul.les a A.
36
Definicio 4.96. Sigui Mk varietat (potser amb vora), ω ∈ Ωr(M), c un r-cub singular llavorsdefinim ∫
cω =
∫[0,1]r
c∗ω.
Observacio 4.97. Considerem c un k-cub i W un sistema de coordenades (f,W ) amb [0, 1]k ⊂W de manera que c(x) = f(x). Si M es orientada direm que c conserva l’orientacio si f hofa. A partir d’ara tots els k-cubs (on dimM = k) seran d’aquest tipus. Si M es a¡mb voraadmetrem W ⊂ Hk.
Teorema 4.98. Siguin c1, c2 k-cubs singulars que preserven l’orientacio de M i ω una k-formaque es zero en el complementari de c1([0, 1]k) ∩ c2([0, 1]k). Tenim que∫
c1
ω =∫c2
ω.
Demostracio. Es una consequencia directa del teorema de canvi de variables. Tenim∫c1
ω =∫
[0,1]kc∗1ω =
∫[0,1]k
(c−12 c1)∗c∗2ω.
A la darrera igualtat hem restringit el domini el que sigui necessari i hem fet servir que(c−1
2 c1)∗ = c∗1 (c−12 )∗. Per simplificar escrivim g = c−1
2 c1 i c∗2ω = fdx1 ∧ · · · ∧ dxk i g esdifeomorfisme. Per ser el determinant de Dg positiu tenim que
(c−12 c1)∗c∗2ω = (f g)|detDg|dx1 ∧ · · · ∧ dxk.
Aplicant el teorema del canvi de variables i vigilant el domini d’integracio tenim el resultat.Aquest teorema servira per veure que les definicions no depenen de les coordenades (o cadenes).
Definicio 4.99. Sigui M orientada k dimensional i ω ∈ Ωk(Mk) amb suport sobre c([0, 1]k)on c es k-cub singular. La integral de ω sobre M es∫
Mω :=
∫cω.
Gracies al teorema anterior la integral esta ben definida. Ara volem definir∫M ω per qualsevol
k-forma.
Lema 4.100. Sigui Mk orientada, existeix un recobriment O per oberts de M de manera queper cada U ∈ O hi ha un k-cub singular c que preserva l’orientacio i U ⊂ c([0, 1]k). Cal dirque sobre M es considera la topologia induıda per Rn.
Demostracio. Per cada x ∈M sigui (f,Wx) carta que preserva l’orientacio, podem moure Wx
fins que [0, 1]k ⊂Wx i construir c([0, 1]k) que contingui un obert Ux en el qual hi ha x. A mespodem fer que Ux = Vx ∩M . Ja tenim el recobriment. A mes, si M es compacte podem fer que O sigui finit. Sigui Φ una particio de la unitat
subordinada al recobriment del lema
Definicio 4.101. Per M orientada i sense vora, si la suma de la dreta es convergent, definim∫Mω =
∑ϕ∈Φ
∫Mϕ · ω.
37
Exercici 4.102. La definicio no depen de la particio i el recobriment triats.
Aquesta definicio d’integral la podem fer igualment per varietats amb vora (exercici).
Ara ens cal definir la integral d’una (k−1)-forma sobre la vora ∂M . Ho farem tambe per trocos.Quan fem un recobriment de M tindrem oberts com els descrits abans (U ⊂ c([0, 1]k) ⊂W onW es obert d’una carta interior). Pels punts x ∈ ∂M podem triar un k-cub de manera que lacara ck,0 sigui la unica ficada a ∂M . Tenim que a x la base n(x), (ck,0)∗e1, . . . , (ck,0)∗ek−1te orientacio (−1)kµx. Llavors es natural definir
Definicio 4.103. Per una (k − 1)-forma nul.la fora de c([0, 1]k) definim∫c(k,0)
ω =: (−1)k∫∂M
ω.
Aleshores per aquest tipus de cubs, amb nomes ck,0 a la frontera ∂M tenim que ∂c =∑j,α(−1)j+αc(j,α) i
Definicio 4.104. Per una (k − 1)-forma nul.la fora de c([0, 1])k cub com abans tenim:∫∂cω =
∫(−1)kc(k,0)
ω = (−1)k∫c(k,0)
ω =:∫∂M
ω
(ja que per continuıtat ω es zero a les altres cares).
4.4 Teorema de Stokes
Ara ja podem enunciar i provar el teorema de Stokes.
Teorema 4.105. Sigui M una varietat de dimensio k, compacta i amb vora (que podria serbuida). Si ω ∈ Ωk−1(M) aleshores ∫
∂Mω =
∫Mdω.
Demostracio. La farem primer per formes que estan definides dins de cubs. Tenim de dostipus.Cas I. Considerem ω amb suport dins de c([0, 1]k) on c es un cub que preserva l’orientaciodins de M \ ∂M . En aquest cas∫
cdω =
∫[0,1]k
c∗(dω) =∫
[0,1]d(c∗ω) =
∫∂Ik
c∗ω =∫∂cω = 0.
Aleshores ∫Mdω =
∫cdω = 0.
Per altra banda tambe ∫∂M
ω = 0
per ser el cub interior.Cas II. Suposem ara que el k-cub conserva l’orientacio i amb c(k,0) unica cara sobre ∂M i ω(k − 1)-forma zero fora de c([0, 1]k). Aleshores∫
Mdω =
∫cdω =
∫∂cω =
∫∂M
ω.
38
Cas general. De les discussions anteriors sabem que podem donar un recobriment O ambparticio Φ de manera que les formes ϕ · ω son del tipus anterior. Primer observem que
0 = d(1) = d(∑ϕ∈Φ
ϕ) =∑ϕ∈Φ
dϕ.
Llavors∑
ϕ∈Φ dϕ ∧ ω = 0.Per ser M compacte el recobriment es finit i la suma
∑ϕ∈Φ
∫M dϕ ∧ ω = 0 i finita. Per ser el
teorema de Stokes cert a cada troc∫Mdω =
∑ϕ∈Φ
∫Mϕ · dω =
∑ϕ∈Φ
∫Md(ϕ · ω) =
∑ϕ∈Φ
∫∂M
ϕ · ω =∫∂M
ω.
On hem fet servir que∑
ϕ∈Φ d(ϕ · ω) =∑
ϕ∈Φ dϕ ∧ ω + ϕ · dω.
Si M no es compacta aleshores el teorema no es cert, per exemple a M ′ = M \ ∂M la integralsobre M ′ es la mateixa que sobre M pero ara ∂M ′ = 0. En canvi si M es no compacta peroω te suport compacte el teorema es cert.
39
4.5 Metode de la referencia mobil i teorema de Gauss-Bonnet
4.5.1 Referencies mobils
Definicio 4.106. Considerem el conjunt Affn = (b; a1, . . . , an) ∈ Rn(n+1) | det(a1, . . . , an) 6=0 de referencies afins de Rn, on b es l’origen i (a1, . . . , an) es una base de vectors en b.Aquest conjunt s’identifica amb el grup de transformacions afins de Rn definides per T (x) =Ax + b on A es la matriu que te per columnes els vectors a1, . . . , an. Una referencia mobilde Rn amb espai de parametres U ⊂ Rq es una aplicacio diferenciable ρ : U → Affn, ρ(x) =(p(x); e1(x), . . . , en(x)).
Exemple 4.107. Considerem els dos exemples seguents:
1. U = Rn, p(x) = x i e1(x) = (1, 0, . . . , 0), . . . , en(x) = (0, . . . , 0, 1) es la base canonica.
2. U = Affn, ρu = id, la referencia mobil universal parametritzada pel conjunt de totes lesreferencies afins.
Definicio 4.108. Donada una referencia mobil ρ = (p; e1, . . . , en) : U ⊂ Rq → Affn conside-rem les 1-formes diferencials sobre U definides de la manera seguent:
(i) La diferencial de p en x ∈ U es una aplicacio dpx : TxU → Tp(x)Rn = Rnp(x) que podem
escriure
dp =
dp1...dpn
=
e11...en1
θ1 + · · ·+
e1n...enn
θn = e1θ1 + · · ·+ enθn
per a certes θi ∈ Ω1(U).
(ii) La diferencial de ej en x ∈ U es una aplicacio dej,x : TxU → Rnp(x) que podem escriure
dej =
de1j...
denj
=
e11...en1
ω1j + · · ·+
e1n...enn
ωnj = e1ω1j + · · ·+ enωnj
per a certes ωij ∈ Ω1(U).
Exemple 4.109. Les 1-formes θi i ωij dels dos exemples anteriors son:
1. θi = dxi i ωij = 0.
2. θui =n∑k=1
(a−1)ikdbk i ωuij =n∑k=1
(a−1)ikdakj ja que a = (aij) es la matriu del canvi de base
entre (a1, . . . , an) i la base canonica.
Observacio 4.110. Si ρ : U ⊂ Rq → Affn es una referencia mobil sobre U aleshores les 1-formes θi i ωij associades a ρ son el pull-back per ρ de les 1-formes θui , ω
uij ∈ Ω1(Affn) associades
a la referencia mobil universal ρu. Aixı es posa de manifest al exemple (4.109).
40
Observacio 4.111. Sigui ρ = (p; e1, . . . , en) : U → Affn una referencia mobil. Si denotem pere = (e1, . . . , en) la matriu que te per columnes els vectors ei,
θ =
θ1...θn
i ω =
ω11 · · · ωnn...
. . ....
ωn1 · · · ωnn
podem escriure les relacions anteriors de manera matricial mitjancant dp = eθ i de = eω.
Proposicio 4.112. Les 1-formes θi i ωij associades a una referencia mobil ρ = (p, e) : U →Affn satisfan les seguents equacions d’estructura:
dθi +n∑j=1
ωij ∧ θj = 0 i dωij +n∑k=1
ωik ∧ ωkj = 0, i, j = 1, . . . , n,
o de manera matricial dθ + ω ∧ θ = 0 i dω + ω ∧ ω = 0.
Demostracio. Resulta dels fets que d2 = 0, e es una matriu invertible, 0 = d2p = d(eθ) =de ∧ θ + e dθ = e(ω ∧ θ + dθ) i 0 = d2e = d(eω) = de ∧ ω + e dω = e(ω ∧ ω + dω).
Definicio 4.113. Sigui SOn = A ∈ GLn |AAt = I, detA = 1 el grup especial lineal derotacions de Rn, el qual es una varietat de dimensio n(n−1)
2 de Rn2. Considerem el conjunt
ASOn = (b;A) ∈ Affn |A ∈ SOn de referencies afins ortonormals directes de Rn, que es unavarietat de dimensio n(n+1)
2 de Rn(n+1) i que s’identifica amb el grup de desplacaments directesde Rn. Una referencia mobil ortonormal directa es una aplicacio diferenciable ρ : U → ASOn.
Proposicio 4.114. Les 1-formes ωij associades a una referencia mobil ortonormal satisfanles relacions ωij + ωji = 0 per a tot i, j = 1, . . . , n.
Demostracio. Com e1, . . . , en es una base ortonormal, la matriu e es ortogonal, es a direet = I, per tant 0 = dI = d(eet) = de et + e det = eωet + e(eω)t = e(ω+ωt)et i ω+ωt = 0.
Observacio 4.115. Sigui ρ : ASOn → Affn la inclusio natural pensada com a referenciamobil sobre U := ASOn. Les formes ωij associades a ρ son ρ∗ωuij = ωuij |ASOn satisfan la relacioωij+ωji = 0 ja que ρ es una referencia mobil ortonormal. En canvi podem comprovar facilmentque 0 6= ωuij + ωuji ∈ Ω1(Affn).
A continuacio anem a analitzar alguns exemples il.lustratius.
En primer lloc considerem una corba parametritzada regular x : U ⊂ R → C ⊂ R3 ambcurvatura mai nul.la. Sigui ρ : U → ASO3 la referencia mobil definida pel triedre de Frenet deC: ρ(t) = (x(t); t(t),n(t),b(t)). Com que dx = x′(t) dt = t‖x′‖ dt = t ds tenim que θ1 = ds,θ2 = θ3 = 0, on s es el parametre arc de C, que no te per que coincidir amb t. D’altra banda,
d(t,n,b) = (t′(t),n′(t),b′(t)) =(dtds,dnds,dbds
)‖x′‖dt = (t,n,b)
0 −κ 0κ 0 τ0 −τ 0
ds
︸ ︷︷ ︸ω
,
per les formules de Frenet, on κ i τ son la curvatura i la torsio de C. En aquest cas lesequacions d’estructura es satisfan trivialment ja que tota 2-forma sobre U ⊂ R es zero.
41
A continuacio considerem una superfıcie parametritzada regular x : U ⊂ R2 → S ⊂ R3 i lareferencia mobil ρ : U → Aff3 definida per ρ(u, v) = (x(u, v); xu,xv,N), on N = xu×xv
‖xu×xv‖ .Com que dx = xudu+ xvdv tenim que θ1 = du, θ2 = dv i θ3 = 0. D’altra banda,
dxu = xuudu+ xuvdv = (Γ111xu + Γ2
11xv + eN)du+ (Γ112xu + Γ2
12xv + fN)dvdxv = xvudu+ xvvdv = (Γ1
12xu + Γ212xv + fN)du+ (Γ1
22xu + Γ222xv + gN)dv
dN = Nudu+ Nvdv = −(a11xu + a21xv)du− (a12xu + a22xv)dv,
on Γkij son els sımbols de Christoffel, e, f, g son els coeficients de la segona forma fonamental
i(
a11 a12
a21 a22
)es la matriu de l’endomorfisme de Weingarten −dN en la base xu,xv. Per
tant,
ω =
Γ111du+ Γ1
12dv Γ112du+ Γ1
22dv −a11du− a12dvΓ2
11du+ Γ212dv Γ2
12du+ Γ222dv −a21du− a22dv
edu+ fdv fdu+ gdv 0
.
Considerem tambe la referencia mobil ortonormal ρ′ = (x; e′1, e′2, e′3) sobre la superfıcie S
obtinguda aplicant el proces d’ortonormalitzacio de Gramm-Schmidt a la base e = (xu,xv,N)anterior:
e′1 =xu‖xu‖
=xu√E, e′2 = xv − 〈e′1,xv〉e′1 ⊥ e′1, e′2 =
e′2‖e′2‖
=
√Exv − F√
Exu
√EG− F 2
, e′3 = N.
La questio que sorgeix en aquest punt es com podem calcular les 1-formes θ′i i ω′ij associades ala referencia mobil ρ′ a partir de les formes θi i ωij associades a la referencia mobil ρ original.Busquem la resposta en general. Siguin ρ = (p, e), ρ′ = (p′, e′) : U ⊂ Rq → Affn referenciesmobils tals que p = p′. Aleshores podem considerar una aplicacio g : U → GLn que a cada puntx ∈ U li fa correspondre la matriu g(x) del canvi de base de e′(x) a e(x), i.e. e′(x) = e(x)g(x).Aixı resulta que
dp′ = dp = eθ = egg−1θ = e′θ′ ⇒ θ′ = g−1θ,
de′ = d(eg) = de g + e dg = e(ω g + dg) = e′(g−1ωg + g−1dg) = e′ω′ ⇒ ω′ = g−1ωg + g−1dg.
Tornem al cas anterior de les dues referencies mobils ρ i ρ′ sobre la superfıcie S, on la matriudel canvi de base es
g =
1√E
−F/√E√
EG−F 20
0√E√
EG−F 20
0 0 1
i per tant θ′1
θ′2θ′3
= θ′ = g−1θ =
√E F√
E0
0√EG−F 2√
E0
0 0 1
du
dv0
=
√Edu+ F√
Edv
√EG−F 2√
Edv
0
. (11)
Exercici 4.116. Calcular ω′ en el cas en que E = G i F = 0.
La ultima situacio que volem analitzar es la d’una corba C continguda dins d’una superfıcieS ⊂ R3 orientada amb un vector normal unitari N. Sigui x : U ⊂ R → C ⊂ S ⊂ R3
una parametritzacio regular de C i t el seu vector tangent unitari. Considerem la referenciamobil ρ : U → ASO3 donada pel triedre de Darboux de C, es a dir definida per ρ(t) =(x(t); t(t), it(t),N(x(t))), on it(t) = N(x(t))× t(t). Com abans dx = t ds i per tant θ1 = ds i
42
θ2 = θ3 = 0. D’altra banda, com que dtds = kg it + knN resulta que ω21 = kg ds i ω31 = kn ds,
on kg i kn denoten les curvatures geodesica i normal de C ⊂ S respectivament. A mes,
ω =
0 −kg −knkg 0 τgkn −τg 0
ds,
on τg denota la torsio geodesica de C, es a dir, la torsio de la unica geodesica de S que estangent a C en cada punt.Si en aquesta situacio considerem tambe la referencia de Frenet ρ′ = (x, t,n,b) resulta que lamatriu del canvi de base es
g =
1 0 00 cosϕ − sinϕ0 sinϕ cosϕ
,
on ϕ es l’angle entre els vectors it i n, d’on resulta que kg = κ cosϕ, kn = κ sinϕ i τg = τ − dϕds .
4.5.2 Teoria local de superfıcies via referencies mobils ortonormals
Sigui ρ = (p; e1, e2, e3) : U ⊂ R2 → ASO3 una referencia mobil ortonormal directa amb p : U →R3 parametritzacio regular d’una superfıcie S ⊂ R3, e1(x), e2(x) ∈ Tp(x)S i e3(x) = N(p(x)).Per tot x ∈ U tenim que dpx : TxU → Tp(x)S es pot expressar en termes de e1(x) i e2(x)mitjancant dp = e1θ1 + e2θ2, d’on resulta que θ3 = 0. De fet θ1(x), θ2(x) es la base dual de labase (dpx)−1(e1(x)), (dpx)−1(e2(x)) de TxU = R2
x. Tambe podem escriure de = eω amb
ω =
0 ω12 −ω31
−ω12 0 −ω32
ω31 ω32 0
.
Les equacions d’estructura dθ + ω ∧ θ = 0 i dω + ω ∧ ω = 0 en aquest cas es redueixen a
dθ1 = θ2 ∧ ω12
dθ2 = −θ1 ∧ ω12
0 = θ1 ∧ ω31 + θ2 ∧ ω32
dω12 = ω31 ∧ ω32
dω31 = −ω12 ∧ ω32
dω32 = ω12 ∧ ω31
Si ρ′ = (p; e′1, e′2, e3) es una altra referencia mobil ortonormal directa de S sobre U tenim que
e = eg amb
g =
cosϕ − sinϕ 0sinϕ cosϕ 0
0 0 1
, on ϕ = ϕ(x) es l’angle entre e1(x) i e′1(x) , x ∈ U.
Aixı, θ′ = g−1θ i ω′ = g−1ωg + g−1dg, es a dir,
θ′1 = cosϕθ1 + sinϕθ2
θ′2 = − sinϕθ1 + cosϕθ2
θ′3 = 0
ω′12 = ω12 − dϕω′31 = cosϕω31 + sinϕω32
ω′32 = − sinϕω31 + cosϕω32.
Primera forma fonamental. Considerem la primera forma fonamental Ip(x) : Tp(x)S → Rde S en el punt p(x) com a forma quadratica. Podem escriure (p∗I)x : TxU → R utilitzantles formes θ1, θ2 mitjancant p∗I = θ2
1 + θ22. Observem que si utilitzem la referencia mobil ρ′ el
resultat es el mateix ja que
θ′21 + θ′22 = (cosϕθ1 + sinϕθ2)2 + (− sinϕθ1 + cosϕθ2)2 = θ21 + θ2
2.
En particular, a partir de (11) obtenim que
p∗I =(√
Edu+F√Edv
)2
+
(√EG− F 2
√E
dv
)2
= E du2 + 2F du dv +Gdv2.
43
Forma d’area. Considerem la 2-forma d’area dA = det(·, ·,N) : TS × TS → R i expressemel seu pull-back p∗dA per p : U → S en funcio de θ1 i θ2:
p∗dA(u1, u2) = det(dp(u1), dp(u2), e3) = det(e1θ1(u1) + e2θ2(u1), e1θ1(u2) + e2θ2(u2), e3)
=
∣∣∣∣∣∣θ1(u1) θ1(u2) 0θ2(u1) θ2(u2) 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣ = θ1(u1)θ2(u2)− θ1(u2)θ2(u1) = (θ1 ∧ θ2)(u1, u2).
Observem que p∗dA = θ1 ∧ θ2 es independent de la referencia ortonormal directa escollida jaque
θ′1 ∧ θ′2 = (cosϕθ1 + sinϕθ2) ∧ (− sinϕθ1 + cosϕθ2) = θ1 ∧ θ2.
En particular, a partir de (11) s’obte que
p∗dA =(√
Edu+F√Edv
)∧
(√EG− F 2
√E
dv
)=√EG− F 2 du ∧ dv.
Endomorfisme de Weingarten. Sigui Wp = −dNp : TpS → TpS l’endomorfisme de Wein-garten. Com que e3 = Np tenim que −de3,x = −dNp(x)dpx : TxU → Tp(x)S es pot expressaren funcio de la base e1(x), e2(x) utilitzant que −de3 = e1ω31 + e2ω32. Tambe podem expressarles 1-formes ω31, ω32 ∈ Ω1(U) en funcio de la base θ1, θ2 ∈ Ω1(U) amb un certs coeficientsα, β, β, γ : U → R:
ω31 = αθ1 + βθ2, ω32 = βθ1 + γθ2.
L’equacio d’estructura θ1∧ω31 +θ2∧ω32 implica que β = β. Tenint en compte tot aixo deduım
Wp(e1) = −de3((dp)−1(e1)) = αe1 + βe2
Wp(e2) = −de3((dp)−1(e2)) = βe1 + γe2,
es a dir que la matriu de Wp en la base e1, e2 es(α ββ γ
). Si utilitzem l’altra referencia
mobil ρ′ tenim queω′31 = α′θ′1 + β′θ′2, ω′32 = β′θ′1 + γ′θ′2,
amb(α′ β′
β′ γ′
)=(
cosϕ sinϕ− sinϕ cosϕ
)(α ββ γ
)(cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ
)= g−1
(α ββ γ
)g,
on g es la matriu del canvi de base de e′1, e′2 a e1, e2. Remarquem que la curvatura de Gauss
K = detW = αγ − β2 = α′γ′ − β′2 no depen de la referencia escollida.
Segona forma fonamental. Considerem la segona forma fonamental IIp(x) : Tp(x)S → Rde S en el punt p(x) com a forma quadratica. Podem escriure (p∗II)x : TxU → R utilitzantles formes θi, ωij de la manera seguent:
p∗II = 〈dp,−dNp dp〉 = 〈dp,−de3〉 = 〈θ1 e1 + θ2 e2, ω31 e1 + ω32 e2〉
= θ1ω31 + θ2ω32 = αθ21 + 2βθ1θ2 + γθ2
2 = (θ1 θ2)(α ββ γ
)(θ1
θ2
),
que d’altra banda es igual a
(θ′1 θ′2)(
cosϕ sinϕ− sinϕ cosϕ
)(α ββ γ
)(cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ
)(θ′1θ′2
)= (θ′1 θ
′2)(α′ β′
β′ γ′
)(θ′1θ′2
).
En particular, si c : I ⊂ R → S es una corba continguda a S i considerem el seu triedre deDarboux e′ = (t, it,N) tenim que θ′1 = ds, θ′2 = θ′3 = 0 i ω′31 = kn ds = α′θ′1, d’on resulta quep∗II = kn ds
2. A partir de (11) es pot veure que p∗II = e du2 + 2f du dv + g dv2.De vegades es fa l’abus de notacio d’ometre el pull-back p∗ i s’escriu directament I = θ2
1 + θ22,
dA = θ1 ∧ θ2 i II = θ1ω31 + θ2ω32.
44
Teorema egregi de Gauss: Si f : S → S′ es una isometria local (i.e. dfp : TpS → Tf(p)S′
preserva el producte escalar) aleshores les curvatures de Gauss de S en p i de S′ en f(p)coincideixen.
Abans de redemostrar aquest resultat fem dues observacions importants:
- Les formes θ1, θ2 determinen unıvocament la 1-forma ω12 gracies a les equacions d’es-tructura dθ1 = θ2 ∧ ω12 i dθ2 = −θ1 ∧ ω12. En efecte, si ω12 tambe satisfa dθ1 = θ2 ∧ ω12
i dθ2 = −θ1 ∧ ω12 aleshores η := ω12 − ω12 = a1θ1 + a2θ verifica 0 = θ1 ∧ η = a2θ1 ∧ θ2 i0 = −θ2 ∧ η = a1θ1 ∧ θ2, d’on a1 = a2 = 0 i per tant ω12 = ω12.
- L’equacio d’estructura dω12 = ω31 ∧ ω32 implica que
dω12 = (αθ1 + βθ2) ∧ (βθ1 + γθ2) = (αγ − β2)θ1 ∧ θ2 = Kθ1 ∧ θ2 = K dA.
Demostracio. Considerem p : U ⊂ R2 → S una parametritzacio regular de S i e1(x), e2(x)una base ortonormal directa de Tp(x)S. Aleshores p′ := f p : U → S → S′ es una parame-tritzacio regular de S′ i e′1(x) := dfp(x)(e1(x)), e′2(x) := dfp(x)(e2(x)) es una base ortonormalde Tf(p(x))S
′. Considerem les formes θi, ωij , θ′i, ω′ij ∈ Ω1(U) associades a les referencies mobils
ρ = (p, e1, e2, e1×e2) i ρ′ = (p′, e′1, e′2, e′1×e′2). Com dp′ = d(fp) = dfpdp = dfp(e1θ1+e2θ2) =
θ1dfp(e1) + θ2dfp(e2) = θ1e′1 + θ2e
′2 resulta que θ′1 = θ1 i θ′2 = θ2. De les observacions anteriors
deduım que ω12 = ω′12 i per tant Kθ1 ∧ θ2 = dω12 = dω12 = K ′θ′1 ∧ θ′2 = K ′θ1 ∧ θ2, es a dir,per a tot x ∈ U la curvatura de Gauss K(x) de S en el punt p(x) es igual a la curvatura deGauss K ′(x) de S′ en el punt p′(x) = f(p(x)).
Observacio 4.117. Les dues ultimes equacions d’estructura, dω31 = −ω12 ∧ ω32 i dω32 =ω12∧ω31, que no hem utilitzat en la demostracio del teorema de Gauss, codifiquen les equacionsde Codazzi-Mainardi expressant la compatibilitat entre les dues formes fonamentals.
Aquesta demostracio del teorema egregi de Gauss es mes curta que la que vam fer al capıtolde superfıcies pero alla obtenıem una expressio explıcita de K en termes dels sımbols deChristoffel, que a la seva vegada s’obtenen a partir dels coeficients E,F,G de la primera formafonamental. Ara trobarem una expressio analoga fent servir les formes θ1 =
√E du+ F√
Edv i
θ2 =√EG−F 2√
Edv de (11). En primer lloc, θ1∧θ2 =
√EG− F 2 du∧dv. A continuacio calculem
dθ1 =(−(√E)v +
(F√E
)u
)du ∧ dv =
1√EG− F 2
(−(√E)v +
(F√E
)u
)θ1 ∧ θ2
dθ2 =
(√EG− F 2
√E
)u
du ∧ dv =1√
EG− F 2
(√EG− F 2
√E
)u
θ1 ∧ θ2
D’altra banda, expressant ω12 = c1θ1+c2θ2 i utilitzant les equacions d’estructura dθ1 = θ2∧ω12
i dθ1 = −θ1 ∧ ω12 resulta que
c1 =1√
EG− F 2
((√E)v −
(F√E
)u
)i c2 =
−1√EG− F 2
(√EG− F 2
√E
)u
,
d’on s’obte que ω12 = c1
√E du+
(c1
F√E
+ c2
√EG−F 2√
E
)dv i per tant
K =1√
EG− F 2
[(c1
F√E
)u
+
(c2
√EG− F 2
√E
)u
− (c1
√E)v
].
En particular, si F = 0 s’obte la formula simplificada
K =−1
2√EG
[(Gu√EG
)u
+(
Ev√EG
)v
].
Si a mes de F = 0 es compleix que E = G aleshores K = −12E∆ logE, on ∆ = ∂2
∂u2 + ∂2
∂v2es el
laplacia de R2.
45
Exemple 4.118. Per a una superfıcie de revolucio S parametritzada per x : I × [0, 2π]→ S,x(u, v) = (ρ(u) cos v, ρ(u) sin v, ζ(u)) es te que E = 〈xu,xu〉 = ρ′2 + ζ ′2, F = 〈xu,xv〉 = 0 iG = 〈xv,xv〉 = ρ2, d’on resulta que K = ζ′(ρ′ζ′′−ρ′′ζ′)
ρ(ρ′2+ζ′2)2. Per un tor de revolucio ρ(u) = a+b cosu
i ζ(u) = b sinu, u ∈ I = [0, 2π], d’on K = cosub(a+b cosu) i dA = b(a+ b cosu) du dv. Observem que∫
SK dA =∫
[0,2π]2 cosu du dv = 0.
4.5.3 Teorema de Gauss-Bonnet
Sigui p : U ⊂ R2 → S ⊂ R3 una parametritzacio regular d’una superfıcie S i c : I ⊂ R →U ⊂ R2 una aplicacio tal que p′ := p c sigui una parametritzacio regular d’una corba C ⊂ S.Considerem una referencia mobil ortonormal ρ = (p, e) sobre U tal que e1, e2 ∈ TS i ρ′ = (p′, e′)una referencia mobil ortonormal sobre I de manera que e′1 = t, e′2 = it i e′3 = N p′. Siguiϕ(t) l’angle entre e′1(t) i e1(c(t)). Aleshores ω′12 = −kg ds = c∗ω12 − dϕ. Sigui ∆ ⊂ U unaregio simple amb vora ∂∆ = C1 ∪ · · · ∪ Cn una corba tancada simple diferenciable a trossos.Pel teorema de Stokes tenim que∫p(∆)
K dA =∫
∆Kθ1∧ θ2 =
∫∆dω12 =
∫∂∆
ω12 =∫Ic∗ω12 =
∫Iω′12 +dϕ = −
∫Ikg ds+
∫Idϕ,
si c parametritza ∂∆.El teorema de l’ındex de rotacio d’una corba regular plana tancada (l’umlaufsatz ) afirma que∫I dϕ = 2π i es generalitza facilment per a corbes regulars a trossos afegint-hi a l’integral
∫I dϕ
la suma dels salts ϕi (o angles exteriors) que fa el vector tangent en els punts Ci ∩ Ci+1 noregulars de la corba ∂∆, i.e.
∫I dϕ +
∑ni=1 ϕi = 2π. Aquesta formula en principi nomes val
per a corbes planes on ϕ es l’angle que forma el vector tangent t amb una direccio fixada.La manera “d’exportar” aquesta formula a superfıcies consisteix en prendre un sistema decoordenades (isotermals, i.e. amb E = G i F = 0) on els angles sobre S i sobre U coincideixin.L’existencia d’aquestes coordenades es un teorema important i difıcil d’analisi que queda forade l’abast d’aquest curs. Usant aquesta generalitzacio de l’umlaufsatz s’obte la versio local delteorema de Gauss-Bonnet: ∫
∆K dA = −
∫∂∆
kg ds+ 2π −∑i
ϕi.
Exemple 4.119. Sigui ∆ ⊂ S un triangle geodesic, i.e. ∂∆ = C1 ∪ C2 ∪ C3, on cada Ci esun arc de geodesica, i siguin αi = π − ϕi els angles interns del triangle. Aleshores la formulaanterior implica que α1 + α2 + α3 = π +
∫∆K dA. En particular,
- al pla S = R2, K ≡ 0 i α1 + α2 + α3 = π;
- a l’esfera S = S2 de radi 1, K ≡ 1 i α1 + α2 + α3 = π +A(∆);
- al semipla de Poincare S = H2 = (x, y) ∈ R2 | y > 0 amb metrica ds2 = dx2+dy2
y2i
curvatura K ≡ −1 es te que α1 + α2 + α3 = π −A(∆).
Teorema 4.120 (Gauss-Bonnet global). Sigui S una superfıcie compacta sense vora aleshores∫SK dA = 2πχ(S), on χ(S) es la caracterıstica d’Euler de S.
Aquest teorema afirma que la mitjana (integral) d’un invariant metric (la curvatura de Gauss)es un invariant topologic (la caracterıstica d’Euler).
Demostracio. Sigui ∆jFj=1 una triangulacio de S amb F cares, E arestes i V vertexs.Orientem els triangles ∆j de manera coherent, es a dir, les orientacions del costat ∆i ∩∆j en
46
els triangles ∆i i ∆j son oposades. Aplicant la versio local del teorema de Gauss-Bonnet acada triangle i sumant-ho tot obtenim
F∑j=1
3∑i=1
∫Cij
kg ds︸ ︷︷ ︸=0
+F∑j=1
3∑i=1
ϕij =F∑j=1
3∑i=1
ϕij = 2πF −∫SK dA.
Si denotem per αij = π − ϕij , i = 1, 2, 3, els angles interiors del triangle ∆j tenim que∑i,j
ϕij = 3πF −∑i,j
αij = 2πE − 2πV,
utilitzant que 3F = 2E (cada aresta pertany a dos triangles i cada triangle conte tres arestes)i que
∑i,j αij = 2πV (la suma dels angles ϕij que es troben al voltant d’un mateix vertex es
2π). D’on resulta que∫SK dA = 2π(F − E + V ) = 2πχ(S).
Observacio 4.121. Si S es compacta amb vora ∂S 6= ∅ gairebe la mateixa prova mostra que∫SK dA+
∫∂Skg ds = 2πχ(S),
ja que en aquest cas, les integrals de la curvatura geodesica sobre els costats Cij ⊂ ∂S no escancel.len i 3πF −
∑i,j αij = 2π(E −E0) + πE0− 2π(V − V0)− πV0 = 2π(E − V ), on E0 = V0
es el nombre d’arestes i vertex sobre ∂S, ja que ∂S = tS1.Considerem per exemple una esfera S de radi R a la que li hem tret un casquet esferic d’am-plitud θ. Com S es homeomorfa a un disc tenim que χ(S) = 1 i d’altra banda ∂S es unacircumferencia de radi R sin θ, d’on resulta que
2π(1 + cos θ) = 2π∫ π
θsin t dt =
1R2
A(S) =∫SK dA = 2πχ(S)−
∫∂Skg ds = 2π− 2πR sin θ kg,
i per tant kg = − cot θR , que es coherent amb el fet que k2
g + k2n = κ2 = 1
R2 sin2 θi kn = ±1
Rdepenent de l’orientacio de S.
Si S es una esfera de radi R aleshores χ(S) = 2 i K = 1R2 es constant, per tant
∫SK dA = 4π =
2χ(S). D’altra banda, a l’exemple (4.118) hem comprovat el teorema de Gauss-Bonnet pel torde revolucio a R3. El teorema s’aplica pero a situacions mes generals. Considerem la varietatde dimensio dos de R4 definida per les equacions x2 + y2 = 1 i z2 + t2 = 1. Observem que Ses homeomorfa al producte S1 × S1 → R2 × R2 = R4. Considerem el producte escalar sobreTS induıt pel producte escalar ordinari de R4 i la parametritzacio x : U = [0, 2π]× [0, 2π]→S ⊂ R4 definida per x(u, v) = (cosu, sinu, cos v, sin v). Com que xu = (− sinu, cosu, 0, 0) ixv = (0, 0,− sin v, cos v) son linealment independents, x es regular i els coeficients de la sevaprimera forma fonamental son E = 〈xu,xu〉 = 1, F = 〈xu,xv〉 = 0 i G = 〈xv,xv〉 = 1.D’aquesta manera deduım que x es una isometria local entre R2 i S d’on resulta que K ≡ 0pel teorema egregi. Per tant
∫SK dA = 0. Tambe podrıem haver considerat la referencia
mobil ρ = (p; e1, e2, e3, e4) sobre U donada per p = x, e1 = xu, e2 = xv, e3 = (cosu, sinu, 0, 0)i e4 = (0, 0, cos v, sin v). A partir de les relacions dp = dx = xudu + xvdv = e1θ1 + e2θ2,de1 = dxu = xuudu + xuvdv = −e3du, de2 = dxv = xvudu + xvvdv = −e4dv resulta queθ1 = du, θ2 = dv i
ω =
0 0 du 00 0 0 dv−du 0 0 0
0 −dv 0 0
.
En particular ω12 = 0 i 0 = dω12 = Kθ1 ∧ θ2.
Del teorema de Gauss-Bonnet podem deduir consequencies topologiques:
47
(i) Sigui S una superfıcie topologicament equivalent a un cilindre.
- Si K ≤ 0 aleshores S no conte cap geodesica γ que sigui tancada, simple i contractil,i.e. γ = ∂R, R ⊂ S homeomorf a un disc. En efecte, si aquest no fos el cas aleshores0 ≥
∫RK dA = 2πχ(R) = 2π > 0, contradiccio.
- Si K < 0 aleshores S conte com a molt una geodesica tancada simple (no contractilpel apartat anterior). Suposem que n’hi hagues dues γ1, γ2 ⊂ S. Si γ1 ∩ γ2 6= ∅aleshores existiria R ⊂ S homeomorf a un disc amb vora ∂R ⊂ γ1∪γ2 i obtindrıem lamateixa contradiccio que abans. Si γ1 ∩γ2 = ∅ aleshores existeix R ⊂ S homeomorfa un cilindre tal que ∂R = γ1 ∪ γ2, d’on 0 >
∫RK dA = 2πχ(R) = 0, contradiccio.
(ii) Si S es una superfıcie de curvatura K > 0 i γ1, γ2 ⊂ S son geodesiques tancades aleshoresγ1∩γ2 6= ∅. Si no fos aixı, com abans existiria una regio R ⊂ S homeomorfa a un cilindretal que ∂R = γ1 ∪ γ2. Aleshores 0 <
∫RK dA = 0, contradiccio.
(iii) Si S es una superfıcie compacta (sense vora) orientable de genere g amb una metrica decurvatura de Gauss constant K, aleshores
KA(S) =∫SK dA = 2πχ(S) = 2π(2− 2g) = 4π(1− g),
d’on resulta que K ha de ser positiva si g = 0, zero si g = 1 i negativa si g ≥ 2.
4.5.4 Teorema de Poincare-Hopf
Sigui S ⊂ Rn una superfıcie compacta (varietat de dimensio dos sense vora) amb una metrica,i.e. un producte escalar en cada pla tangent TpS que varia de manera diferenciable amb elpunt p ∈ S. Sigui ρ = (p; e1, e2, . . .) una referencia mobil ortonormal sobre U ⊂ R2 ambp : U → S parametritzacio regular i e1(x), e2(x) ∈ Tp(x)S. Siguin θ1, θ2, ω12 ∈ Ω1(U) talsque dp = e1θ1 + e2θ2, de1 = −ω12e2 + · · · i de2 = ω12e1 + · · · Utilitzant que tota 2-formaen U es un multiple de θ1 ∧ θ2 definim la curvatura de Gauss K de S mitjancant la relaciodω12 = K θ1 ∧ θ2. Definim tambe
χm(S, g) :=1
2π
∫SK dA.
Sigui X un camp vectorial definit a un disc tancat D ⊂ R2 amb una singularitat aıllada en unpunt p interior a D, i.e. X(p) = 0. Sigui φ l’angle que forma X amb una direccio fixada (perexemple amb l’horitzontal). Definim l’ındex de X en p com
ind(X, p) :=1
2π
∫∂D
dφ.
Exercici 4.122. Proveu que
- si X = ±(x+ · · · , y + · · · ) te una font (+) o un node (−) a l’origen, ind(X, 0) = +1;
- si X = ±(x+ · · · ,−y + · · · ) te un punt de sella a l’origen aleshores ind(X, 0) = −1;
- si X = ±(−y+ · · · , x+ · · · ) te un centre o un focus a l’origen aleshores ind(X, 0) = +1;.
Si X es un camp vectorial tangent a una superfıcie S ⊂ Rn amb un nombre finit de puntssingulars p tals que X(p) = 0 aleshores definim
χv(S,X) :=∑
X(p)=0
ind(X, p).
Si T es una triangulacio de S amb C(T ) cares, A(T ) arestes i V (T ) vertexs, definim
χ∆(S, T ) = C(T )−A(T ) + V (T ).
48
Teorema 4.123 (Gauss−Bonnet+Poincare−Hopf). Si S es una superfıcie compacta amb unametrica g, un camp vectorial tangent X i una triangulacio T aleshores el valor comu
χm(S, g) = χv(S,X) = χ∆(S, T )
no depen ni de g, ni de X, ni de T i s’anomena la caracterıstica d’Euler-Poincare χ(S) de S.
Idea de la demostracio. En primer lloc indicarem que per a tota triangulacio de S existeix uncamp vectorial XT tangent a S amb exactament les seguents singularitats:
- una font sobre el baricentre de cada cara de T ;
- una sella sobre el punt mig de cada aresta de T ;
- un node sobre cada vertex de T .
Observem que XT es el gradient d’una funcio “alcada sobre el nivell del mar” del “planetoide”S corresponent a una configuracio “geologica” en la que hi ha un “cim” sobre cada baricentre,una “vall” sobre cada vertex i un “coll” sobre el punt mig de cada aresta. Utilitzant l’exercici(4.122) es immediat comprovar que χ∆(S, T ) = χv(S,XT ).
Figura 1: Descripcio geometrica del camp vectorial XT .
A continuacio provarem que per cada metrica g i cada camp vectorial X tangent a S escompleix la igualtat χm(S, g) = χv(S,X). Siguin pjnj=1 les singularitats de X i Dj(ε) ⊂ Sel disc geodesic de centre pj i radi ε > 0 prou petit per que Di(ε) ∩Dj(ε) = ∅ si i 6= j.Sigui ej = (ej1, e
j2, . . .) una referencia mobil ortonormal en Dj(ε) i sigui φj l’angle que forma
X amb ej1 a Dj(ε) \ pj.A S \ pjnj=1 considerem una referencia mobil ortonormal e = (e1, e2, . . .) tal que e1 = X
‖X‖ .
Considerem las 1-formes ω12, ωj12 associades a les referencies e i ej respectivament. Tenim que
ωj12 = ω12 − dφj a Dj(ε) \ pj. Denotant S(ε) = S \n⋃j=1
Dj(ε), tenim que
∫S(ε)
K dA =∫S(ε)
dω12 =∫∂S(ε)
ω12 =n∑j=1
∫∂Dj(ε)
ωj12 +n∑j=1
∫∂Dj(ε)
dφj .
Passant al lımit quan ε→ 0 tenim que el terme de l’esquerra tendeix a∫SK dA = 2πχm(S, g)
i el primer sumand de l’ultim terme tendeix a zero ja que ωj12 esta fitada en pj . D’altra banda,
el segon sumand de l’ultim terme tendeix a 2πn∑j=1
ind(X, pj) = 2πχv(S,X) ja que quan ε→ 0
ens aproximen a la situacio plana i ej1 tendeix a una direccio fixada ej1(pj).
Exemple 4.124. Considerem tres superfıcies amb diferents camps tangents:
49
- Si S = S2 es una esfera parametritzada per la longitud θ i la latitud ϕ geografiques. Elcamp tangent ∂θ te dos centres al pol nord i al pol sud d’ındexs +1, per tant χv(S2, ∂θ) =2. El camp tangent ∂ϕ tambe te dues singularitats en els pols, una font en el pol sud iun node en el pol nord, totes dues d’ındex +1, per tant χv(S2, ∂φ) = 2.
- Si S = T 2 es un tor parametritzat tambe per la longitud θ (horitzontal) i la latitudϕ (vertical) resulta que els camps tangents ∂θ i ∂ϕ no tenen singularitats, per tantχv(T 2, ∂θ) = χv(T 2, ∂φ) = 0. De fet les corbes integrals de tots dos camps son circum-ferencies. Aquest es el cas tambe de la restriccio del camp de Hopf al tor de revoluciocorresponent que vam analitzar al seminari 10 (cercles de Villarceau).
- Es possible descriure geometricament les lınies integrals d’un camp vectorial X tangenta una superfıcie S compacta i orientable de genere g = 2 amb exactament dos punts desella, d’ındex −1, d’on χv(S,X) = −2 = 2− 2g.
Tal i com es dedueix de la relacio∑
X(p)=0
ind(X, p) = 2 − 2g, la unica superfıcie compacta
orientable de genere g que admet un camp vectorial sense zeros es el tor (g = 1). En particular,tot camp tangent sobre la esfera te alguna singularitat, en d’altres paraules, es impossiblepentinar una esfera sense produir algun remolı.
50
![mat.uab.catmat.uab.cat/ges/wp-content/uploads/2016/06/1504.07035.pdf · arXiv:1504.07035v2 [math.CA] 14 May 2016 Lp-ESTIMATES FOR THE VARIATION FOR SINGULAR INTEGRALS ON UNIFORMLY](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/60141bc32e889124eb4fb226/matuab-arxiv150407035v2-mathca-14-may-2016-lp-estimates-for-the-variation.jpg)
