Giup Em Chuan Bi on Thi Vao Dai Hoc

Dành cho các bạn chuẩn bị thi vào đại học

" PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH"

Trong chương trình hình học lớp 12, bài toán viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng và

tìm điểm là những bài toán chiếm một vị trí quan trọng. Trong các đề thi đại học luôn có vấn đề này, song bài toán liên quan đến vấn đề cực trị lại là vấn đề khó với học sinh và đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc. Đối với học sinh giỏi có thể làm tốt phần này, tuy nhiên cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy và thường tốn nhiều thời gian cho các bài tập khó. Trong sách giáo khoa loại bài tập này không xuất hiện, trong các tài liệu tham khảo thì các bài tập này chưa mang tính hệ thống, chưa phân loại và chưa chỉ ra được đường lối giải cho loại bài toán này.

Với những lý do trên, tôi muốn hoàn thiện một lớp các bài toán này nhằm giúp các em học sinh có cái nhìn tổng quát và mang tính hệ thống cho vấn đề. Qua đó giúp học sinh không phải e sợ phần này và quan trọng hơn là khi đứng trước một bài toán, học sinh có thể bật ngay được cách giải, được định hướng khi làm bài, từ đó có cách giải tối ưu cho một bài toán.

Phần I : Viết phương trình mặt phẳng

Cơ sở lý thuyết:Để viết phương trình mặt phẳng cần xác định hai yếu tố là một điểm thuộc mặt phẳng và

một véc tơ pháp tuyếnĐây cũng chính là cơ sở để xây dựng các bài toán.

Ta bắt đầu từ một bài toán rất đơn giản

Bài toán 1: Cho hai điểm A, B. Xác định mặt phẳng (P) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất.

Phân tích: Giả sử mặt phẳng (P) đã được xác định. Bài toán hỏi đến khoảng cách từ B đến mặt phẳng, đương nhiên ta phải xác định khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P). Để xác định khoảng cách lớn nhất ta dùng bất đẳng thức đánh giá d(B, (P)) nhỏ hơn một giá trị không đổi và giá trị không đổi đó là giá trị đã biết AB.

A

B

Giải:Gọi H là hình chiếu của B trên (P) d(B, (P)) = BHTa có BH AB không đổi . Dấu " = " xảy ra H AHay max BH = AB khi H A hay AB (P) là véc tơ pháp tuyến của (P).Đến đây mặt phẳng (P) hoàn toàn xác định là mặt phẳng qua A và có véc tơ pháp tuyến

Bài toán này đơn giản, ta có thể cho vô số ví dụ. Tuy nhiên, ý tưởng đơn giản đó sẽ gần như xuyên suốt lớp các bài toán về dạng này.

Một câu hỏi đặt ra là : vậy mặt phẳng qua A và cách B một khoảng nhỏ nhất có tồn tại hay không? bài toán đó có được đặt ra hay không?

Ta biết khoảng cách giữa hai đối tượng bất kì là không âm, vì vậy giá trị nhỏ nhất (nếu có) luôn lớn hơn 0. Trong bài toán trên, dễ thấy min d(B,(P))= 0 B (P) hay (P) đi qua A và B.

____________________________________________________________________________Nguyễn Ngọc Minh - Tổ Toán - THPT số 3 Thành phố Lào Cai


Do đó, có vô số mặt phẳng thỏa mãn. Vì thế bài toán này thường không được đặt ra, nếu có thường phải đi kèm một điều kiện khác.Bài toán 2Cho một đường thẳng ; Một điểm A không thuộc đường thẳng. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua và cách A một khoảng lớn nhất.

Phân tích: Xác định khoảng cách từ A tới (P) và so sánh với khoảng cách không đổi. Từ đó liên hệ giữa khoảng cách từ A tới , đưa tới lời giải sau:Lời giải:Gọi H là hình chiếu của A trên (P), K là hình chiếu của A trên d(A,(P)) = AH. Ta có AH AK ( không đổi)Dấu "=" xảy ra H K hay max AH = AK

HK

A

H K hay (P), tức là véc tơ pháp tuyến của (P).Do đó, mặt phẳng (P) hoàn toàn được xác định là mặt phẳng qua một điểm bất kì của và có véc tơ pháp tuyến

Đề thi đại học khối A năm 2008 được cho từ bài toán này. Từ bài toán gốc này ta cũng có thể cho nhiều bài toán. Câu hỏi tương tự như bài toán trên là Vậy mặt phẳng qua và cách A một khoảng nhỏ nhất có tồn tại không? Câu trả lời là dễ thấy chính là mặt phẳng chứa và A và khoảng cách nhỏ nhất là 0. Do đó, thay cho cách hỏi viết phương trình mặt phẳng qua và A thì bài toán có thể được phát biểu theo cách trên là " tìm mặt phẳng chứa và cách A một khoảng nhỏ nhất" và cũng có thể xuất hiện dưới nhiều dạng khác.

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua và cách một khoảng lớn nhất.Lời giải:

Dễ thấy , do vậy, khoảng cách từ tới (P) bằng khoảng cách từ một điểm bất kì

của tới (P). Lấy A(-4; -1; 3) , bài toán trở về: " Xác định mặt phẳng (P) qua và cách A một khoảng lớn nhất."

Theo bài toán trên, ta xác định hình chiếu H của A trên , dễ có H(0; 0; 2).

mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến =( 4; 1; -1)Vậy (P) qua H và có vtpt có phương trình: 4x + y - z + 2 = 0Bài toán 3: Cho hai đường thẳng cắt nhau tại A. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa và

hợp với một góc lớn nhất.

Phân tích: Xác định góc giữa và (P) và so sánh với một góc không đổi, từ

đó đưa đến liên hệ với góc giữa hai đường thẳng.



Lời giải: Giả sử (P) đã được xác định. Gọi M là điểm bất kì

và H, K tương ứng là hình chiếu của M trên (P) và .

Khi đó ( (là

góc không đổi)

Ta có:

nên ( vì hàm sin

đồng biền trong không đổi)

M

H

A

Suy ra : hay MK (P) là véc tơ pháp tuyến của (P), hay ta có thể

thấy mặt phẳng véc tơ pháp tuyến của (P) là

Vậy (P) hoàn toàn được xác định.

Nhận xét:1. Đường thẳng khi đó là hình chiếu của trên (P). Do đó bài toán có thể được phát

biểu dưới dạng " Xác định mặt phẳng (P) sao cho là hình chiếu vuông góc của trên (P). Tuy nhiên khi đó mặt phẳng (P) dễ dàng xác định hơn.

2. Vì ta biết góc giữa ( ;(P)) = ( ;(P)) nếu bài toán có thể thay giả thiết

chéo nhau. Khi đó, ta lấy một điểm A thuộc , qua đó viết phương trình thì bài toán trở về bài toán trên.

3. Nếu : mặt phẳng chứa hoặc chứa hoặc song song thì góc

giữa và (P) luông bằng 0. Do đó bài toán không được đặt ra cho hai vị trí trên.

4. Nếu cắt : mặt phẳng chứa và hợp với một góc nhỏ nhất chính là mặt

phẳng chứa 2 đường thẳng .

Nếu chéo nhau: Mặt phẳng chứa và hợp với một góc nhỏ nhất chính là mặt

phẳng qua và song song .

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng và

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua và hợp với một góc lớn nhất.Lời giảiDễ thấy chéo nhau. Ta lấy điểm A(2; -1; 1) , qua A dựng đường thẳng

có phương trình: .

Khi đó: và trở về bài toán trên.



mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến là

, chọn . Áp dụng kết quả bài toán trên ta có véc tơ pháp tuyên

của mặt phẳng (P) là : .

Mặt phẳng (P) qua A và có véc tơ pháp tuyến có phương trình: 8(x - 2) - 7(y + 1) - (z - 1) = 0 8x - 7y - z - 22 = 0

Chú ý: 1. Với lời giải ví dụ này, khi ta áp dụng kết quả bài toán trên thì không nhất thiết phải xác

định song để trình bày lời giải cụ thể một bài toán khi xuất hiện độc lập ta phải chỉ ra đầy đủ

cơ sở như bài toán trên thì phải viết phương trình .2. Với bài toán này, khi giảng dạy các thầy cô giáo có thể đặt ra rất nhiều bài toán cụ thể

từ hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau.

Bài toán 4: Cho đường thẳng và mặt phẳng (P) cắt nhau. Xác định mặt phẳng (Q) chứa và hợp với (P) một góc nhỏ nhất.

Phân tích: Vì theo một giao tuyến. Vẫn theo ý tưởng đầu tiên, ta xác định góc giữa (P) và (Q) và so sánh với góc không đổi trong bài toán này là góc giữa và (P).Lời giải:Gọi ; M là điểm bất kì trên . Giả sử (Q) đã xác định được .Gọi H, K tương ứng là hình chiếu của M trên (P) và d

d

A

M

H

K

góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là và góc giữa và (P) là

( không đổi).Ta có:

và MA MK . Vì hàm sin đồng biến trên

nên (không đổi).

, hay d . Suy ra, mặt phẳng (Q) cắt (P) theo một giao tuyến vuông góc với thì góc là góc nhỏ nhất.Gọi véc tơ pháp tuyến của (P) là và véc tơ chỉ phương của là thì (Q) có véc tơ pháp tuyến

là . Vậy mặt phẳng (Q) hoàn toàn xác đinh là mặt phẳng qua một điểm của và

có véc tơ pháp tuyến

Ví dụ: Cho đường thẳng và mặt phẳng (P) : x + y + z = 0

Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa và hợp với (P) một góc nhỏ nhất. Lời giải:



Áp dụng bài toán trên, ta gọi vtcp của (2; -1;3), véc tơ pháp tuyến của (P) là (1; 1;1)

thì giao tuyên d của (P) và (Q) có véc tơ chỉ phương là = ( -4; 1; 3)

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là = (6; 18; 2) chọn véc tơ pháp tuyến là

(3; 9; 1). Mặt phẳng (Q) qua M(3; 0; 1) và có véc tơ pháp tuyến có phương trình là:

3(x - 3) + 9y +z -1 = 0 3x + 9y + z - 10 = 0

Nhận xét:1. Giao tuyến của 2 mặt phẳng là một trong những bài toán viết phương trình đường

thẳng rất cơ bản: đường thẳng qua giao điểm, nằm trong mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng cho trước. Tuy nhiên khi được nâng lên một bậc như bài toán này đã được tích hợp nhiều kiến thức hơn, đòi hỏi học sinh hiểu sâu hơn các vấn đề đã biết.

2. Mặt phẳng qua và hợp với (P) một góc lớn nhất có tồn tại hay không? Dễ thấy đó là bài toán quen thuộc: " mặt phẳng qua và vuông góc với (P) " ( góc lớn nhất bằng 90o).

3. Với nằm trong mặt phẳng (P) hay song song với (P) thì mặt phẳng (Q) chứa và hợp với (P) một góc nhỏ nhất là 00, và góc lớn nhất là 900

4. Với bài toán gốc trên, ta có thể đưa ra nhiều bài tập cùng nội dung cho học sinh làm từ một đường thẳng và 1 mặt phẳng cắt nhau.

Phần II: Bài toán viết phương trình đường thẳng

Bài toán 5: Cho mặt phẳng (P), điểm A thuộc (P) và điểm B không thuộc (P). Tìm đường thẳng

nằm trong (P), qua A và cách B một khoảng lớn nhât, nhỏ nhất.

Phân tích: Vẫn ý tưởng từ bài toán hỏi khoảng cách từ B tới , ta xác định khoảng cách từ B tới và so sánh với khoảng cách không đổi. Trong bài toán này có 2 khoảng cách không đổi là d(B,(P)) và BA. Lời giải:Gọi H, K tương ứng là hình chiếu của B trên (P) và

d(B, (P)) = BH và d(B, ) = BK.

H

A

Ta luôn có BK AB không đổi nên BK = AB khi K A, tức là khoảng cách từ B tới đường thẳng lớn nhất khi qua A và vuông góc với AB.

Mặt khác BK BH không đổi minBK = BH khi K H hay khoảng cách từ B tới đường thẳng nhỏ nhất khi qua A.

Nhận xét: 1. Như vậy, cách cho bài toán này khá đơn giản: cho mặt phẳng (P) bất kì, lấy một điểm

A thuộc (P) và một điểm B không thuộc (P). Với câu hỏi trên ta đã co 1 bài toán. Tuy nhiên để tọa độ điểm H không lẻ, ta nên bắt đầu từ việc lấy H trong (P). Thông thường, ta lấy H có tọa độ nguyên, sau đó viết phương trình đường thẳng d qua H và vuông góc với (P); trên d ta mới lấy B có tọa độ nguyên thi sẽ đưa đến một kết quả đẹp hơn.



2. Đề thi Đại học khối B năm 2009 là một dạng của bài toán này. Ta sẽ xem xét một vài ví dụ sau dưới dạng khác nhau của bài toán trên, từ việc tạo ra mặt phẳng (P) hoặc thay thế (P) bằng các dữ kiện tương đương, ta có thể có cái nhìn đa chiều cho 1 bài toán.

Ví Dụ 1: ( đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng năm 2009 - khối B)Cho mặt phẳng (P) : x - 2y + 2z - 5 = 0 và hai điểm A(-3; 0; 1) và B(1; -1; 3). Trong các

đường thẳng đi qua A và song song với (P), viết phương trình đường thẳng d sao cho khoảng cách từ B đến d là nhỏ nhất.Phân tích:

Rõ ràng từ ý tưởng của bài toán trên cùng với bài toán qua 1 điểm tồn tại duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước, ta đã đưa đến một bài toán cụ thể và ít tường minh hơn.Lời giải:Gọi (Q) là mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) và qua A (Q) có phương trình : x + 3 - 2y + 2(z-1) = 0 x - 2y + 2z + 1 = 0Áp dụng kết quả bài toán trên, gọi H là hình chiếu của B trên (P).

Dễ dàng tính toán được H

Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình :

Ví dụ 2: Cho đường thẳng và hai điểm A(2; -1; 1), B(0; 1;2).

Viết phương trình đường thẳng d qua A, vuông góc với và cách B một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất.Phân tích:

Mặt phẳng (P) chính là mặt phẳng qua A và vuông góc với . Khi đó bài toán trở về bài toán 5. Áp dụng bài toán trên, ta có lời giải.Lời giải.Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (P) có phương trình:

2 (x -2) - (y + 1) + (z-1) = 0 2x - y + z -6 = 0.Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B trên (P) và , ta có d(B,d) = BK1, BK BA max BK = AB K A hay d qua A và vuông góc với AB Có (-2; 2; 1) và véc tơ pháp tuyến của (P) là (2; -1; 1)

d có véc tơ chỉ phương = ( 3; 4; -2) Đường thẳng d cách B một khoảng lớn nhất là đường thẳng qua A và có véc tơ chỉ phương ( 3; 4; -2).

d

B

H

A K

Phương trinh d là :

2, BK BH (không đổi) minBK = BH khi K H hay d là đường thẳng qua A và H

Gọi là đường thẳng qua B và vuông góc với (P). có phương trình:



H = (P) nên tọa độ H thỏa mãn hệ:

H chọn véc tơ chỉ phương của d là (2; -14; -11)

Đường thẳng d cách B một khoảng nhỏ nhất có phương trình:

Ví dụ 3:

Cho A(1; 4; 2) , B(-1;2;4) và đường thẳng d có phương trình .

Trong các đường thẳng qua A và cắt d, viết phương trình đường thẳng cách B một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất.

Phân tích: Mặt phẳng (P) trong ví dụ này là mặt phẳng qua d và A. Như vậy ví dụ được xây dựng từ bài toán trên và cách xác định mặt phẳng qua 1 điểm và 1 đường thẳng.

Lời giải:Đường thẳng d qua M(1; -2; 0) và có véc tơ chỉ phương (-1; 1; 2) ; (0; 6; 2)Gọi (P) là mặt phẳng qua A và d (P) có véc tơ pháp tuyến =(-10;2;-6)Chọn véc tơ pháp tuyến của (P) là (5; -1; 3) , khi đó (P) có phương trình:

5(x-1) - (y - 4) + 3 (z - 2) = 0 5x - y + 3z -7 = 0Đường thẳng qua A và cắt d nằm trong (P). Theo kết quả bài toán trên ta có:

1, cách B một khoảng lớn nhất vuông góc với AB(-2; -2; 2) có véc tơ chỉ phương = = (-4; 16; 12)

Chọn (-1;4;3) là véc tơ chỉ phương của ( không cùng phương )

Đường thẳng cắt d và thỏa mãn bài toán có phương trình :

2, Đường thẳng cách B một khoảng lớn nhất qua A và H Xác định H :

Gọi là đường thẳng qua B và vuông góc với (P). có phương trình:

H = (P) nên tọa độ H thỏa mãn hệ:

H

Chọn véc tơ chỉ phương của là (15; 18; -19) ( không cùng phương )



Đường thẳng cắt d và thỏa mãn bài toán có phương trình :

Bài toán 6: Cho mặt phẳng (P), điểm A thuộc (P) và đường thẳng d cắt (P). Xác định đường thẳng nằm trong (P), đi qua A và hợp với d một góc lớn nhất, nhỏ nhất.

Phân tích: Từ cách xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua 1 điểm ta xác đinh d' qua A và song song với d. Khi đó (d, ) = (d', ). Vậy phải xác định góc giữa d' và , sau đó liên hệ với góc không đổi là góc giữa d' và (P).Lời giải: Gọi d' là đường thẳng qua A và song song với d , ta có (d, ) = (d', ) và (d,(P)) = (d',(P))

d'

d

H

A

Gọi M là điểm bất kì trên d', H và K tương ứng là hình chiếu của M trên (P) và góc giữa d' và là MAK, góc giữa d' và (P) là MAH

1, Ta luôn có: sin , sin và MK MH sin sin

min = khi H K hay là đường thẳng qua A và H. Khi đó, véc tơ chỉ phương của là:

= . Vậy là đường thẳng hoàn toàn xác định qua A và có véc tơ chỉ phương .

2, 900 max =900 khi vuông góc với d' Véc tơ chỉ phương của là: =

. Vậy là đường thẳng hoàn toàn xác định.

Ví dụ:

Cho đường thẳng d : và mặt phẳng (P) : 2x + y + z +1 = 0. Điểm A(0;-2;1) thuộc

(P). Viết phương trình đường thẳng nằm trong (P), đi qua A và hợp với d một góc lớn nhất, nhỏ nhất.Lời giải: d có véc tơ chỉ phương (2;1;-3); (P) có véc tơ pháp tuyến (2;1;1). Theo kết quả bài toán trên:

1, hợp với d một góc lớn nhất khi vuông góc với d véc tơ chỉ phương của là: = = (4; -8; 0). Chọn =(1;-2;0 ) là véc tơ chỉ phương của .

Ta có phương trình :

2, hợp với d một góc nhỏ nhất khi song song với hình chiếu của d trên (P)véc tơ chỉ phương của là: = = (2; -1; 5). Vậy phương trình là:

Chú ý: Nếu d//(P) hoặc d nằm trong (P) thì đường thẳng nằm trong (P), đi qua A và hợp với d

một góc lớn nhất là 900, góc nhỏ nhất là 00.



Bài toán 7: Cho mặt phẳng (P) và điểm A thuộc (P). Đường thẳng d cắt (P) tại một điểm khác A.

Xác định đường thẳng nằm trong (P), đi qua A sao cho khoảng cách giữa và d là lớn nhất.

Phân tích: Từ khoảng cách giữa hai đường thẳng là khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại và song song với đường đường thẳng

xác định đường thẳng d' qua A và d'//d mặt phẳng chứa và d' song song d

d(d, ) = d(d;(d'; )). Vẫn từ ý tưởng : bài toán hỏi khoảng cánh giữa d và , ta xác định khoảng cánh đó và so sánh với khoảng cách không đổi.

d'd

B

Lời giải: Gọi d' là đường thẳng qua A và d'//d. Giả sử đã xác định d' và cùng nằm trong một mặt phẳng (Q).Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B trên (Q) và d' BH BK max BH = BK H Khay (Q) nhận làm véc tơ pháp tuyến.Hoặc gọi I là hình chiếu của A trên d AI // BK là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q)

(Q) hoàn toàn xác định là giao tuyến của (Q) và (P) hoàn toàn xác định.

Ví dụ :

Cho mặt phẳng (P) : 2x + y - z +1 = 0 và đường thẳng d : . Điểm

A(0;2;3) nằm trong (P). Viết phương trình đường thẳng đi qua A sao cho khoảng cách giữa d và là lớn nhất. Lời giải: Theo kết quả bài toán trên:

Gọi B = d (P), dễ xác định được B(-3; 3; -2) A ( hoặc thay tọa độ A và phương trình d A d).

(P) có véc tơ pháp tuyến (2; 1;-1).

Gọi I là hình chiếu của A trên d I

Chọn véc tơ pháp tuyến của (Q) là (1; -3;9). Vì là giao tuyến của (Q) và (P) nên

véc tơ chỉ phương của là: = =(-12; 19; 7)

qua A và có véc tơ chỉ phương của có phương trình:

Nhận xét:1, Tất cả 7 bài toán trên có thể giải bằng phương pháp giải tích, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ

nhất từ công thức tính khoảng cách, góc...Phương pháp thì rất rõ ràng nhung tính toán lại rất phức tạp. Con đường sử dụng yếu tố hình học không gian như trên làm cho bài toán trở nên dễ dàng và thú vị hơn.

2. Từ các bài toán gốc đó không những ta có thể cho các bài toán cụ thể mà còn nhiều điều ta có thể tập cho học sinh có cái nhìn đa chiều của một bài toán hoặc sáng tạo các bài toán khác từ việc thay thế các giả thiết tương đương.



Phần III: Các bài toán về điểm

Ta đã biêt bài toán rất cơ bản sau trong mặt phẳng:"Cho đường thẳng và hai điểm A,B. Tìm trên điểm M sao cho MA+MB đạt giá trị

nhỏ nhất."Lời giải bài toán được chia 2 trường hợp:

TH1: A, B khác phía M = AB . Ta dễ dàng chứng minh được và xác định được M.TH2: A, B cùng phia Gọi A1 là điểm đối xứng A qua M = A1B . Ta dễ dàng

chứng minh được và xác định được M.Tuy nhiên câu hỏi đặt ra là tại sao ta đưa đến việc lấy đối xứng. Câu trả lời là dễ hiểu với

hầu hết học sinh đó là việc ta tìm 1 điểm A1 thay thế vai trò của A ( : MA1 = MA), nhưng A1 và B khác phía, để trở về bài toán ta đã biết ở trường hợp 1.Nhưng việc mở rộng ý tưởng đó cho những bài toán khác trong không gian không phải học sinh nào cũng thực hiện được.

Nếu mở rộng bài toán này sang không gian, thay đường thẳng bởi mặt phẳng (P) thì bài toán tương tự, không hề gây khó khăn ngay cả với học sinh trung bình. Nhưng nếu mở rộng trong không gian mà vẫn là đường thẳng thì bài toán sẽ trở nên khó khăn hơn trong mặt phẳng.

Ta sẽ xem xét vấn đề này dưới 2 góc nhìn sau đây

Bài toán 8: Cho đường thẳng và hai điểm A, B. Tìm trên điểm M sao cho MA + MB là nhỏ nhất.Cách 1: Phân tíchTa bắt đầu ý tưởng từ việc quy về mặt phẳng. Nếu để trong không gian thì không có khái niệm 2 điểm cùng phía hay khác phia với đường thẳngNếu xác định (P) là mặt phẳng chứa A và , ta sẽ tìm ttrong (P) một điểm thay thế B, đương nhiên phải khác phía A Bài toán đã đưa được về như trong mặt phẳng

MA

I

B

H

K

Lời giảiGọi (P) là mặt phẳng chứa A và ; I là điểm trong mặt phẳng (P) sao cho IH ;

IH = BH và I khác phía với A so với đường thẳng . Khi đó, ta dễ dàng chứng minh được M = AI

Thật vậy: Gọi M' là điểm bất kì thuộc MB = MI và M'B = M'ITa có: M'A + M'B = M'A + M'I AI mà AI = MA + MI = MA + MB M'A + M'B MA + MB

M được xác định như trên thỏa mãn bài toán : MA + MB nhỏ nhất.Tuy nhiên với cách giải trên khó khăn trong việc tìm tọa độ điểm I khi thực hànhTa chú ý: Gọi K là hình chiếu của A trên AK // IH ta có:

M chia AH theo tỉ số k =



Từ đó đưa ta đến bài toán : Xác định hình chiếu K, H của A, B trên và điểm M chia AH theo tỉ

số k =

Vậy M hoàn toàn xác định.Cách 2:

Bài toán cần xác định điểm và biểu diễn M theo tham số của Tính MA + MB theo công thức khoảng cáchViết lại MA + MB = , sao cho B1, B2 luông là hằng số, A1,A2 phụ thuộc

tKhi đó sử dụng bất đẳng thức véc tơ: . Như vậy, để dấu " = " xảy ra thì các

véc tơ phải thỏa mãn không phụ thuộc t, cùng hướng. Từ ý tưởng đó ta chọn sao cho | | = và xác định được M.

Ví dụ: Cho đường thẳng và A(1; 0 ;-1) , B(2; 1;1)

1. Tìm trên điểm M sao cho là nhỏ nhất

2. Tìm trên điểm I sao cho 2IA2 + 3IB2 là nhỏ nhất3. Tìm trên điểm N sao cho NA+ NB là nhỏ nhất

4. Tìm trên điểm K sao cho

Lời giải:

1. Ta có: = 2 với J là trung điểm của AB nhỏ nhất MJ nhỏ

nhất hay M là hình chiếu của J trên .

Hoặc ta có thể xác định M( 1+ 2t; 1-t; t )

=

Xét hàm số f(t) = . Có f'(t) = 48t - 12

Dễ có : nhỏ nhất M

2. IA2 = 4t2 + (1- t )2 +( t+1)2 = 6 t2 + 2.

IB2 = (2t -1)2 + t2 +( t -1)2 = 6 t2 - 6t + 2. 2IA2 + 3IB2 = 12t2 + 4+ 18t2 - 18t + 6 = 30t2 - 18t + 10

Bằng cách xét hàm g(t) = 30t2 - 18t + 10 g'(t) = 60t - 18 g' (t) = 0

Dễ có: Điểm thỏa mãn bài toán.

( Những vấn đề đơn giản, cơ bản trong khuôn khổ bài viết được bỏ qua việc chứng minh )3. Tìm sao cho NA + NB nhỏ nhất



N( 1+2t; 1- t; t)

NA + NB

Chọn

Dấu "=" xảy ra và cùng hướng

NA + NB nhỏ nhất khi .

Chú ý:1. Từ bài toán trên ta có thể xét bài toán :

Tìm GTNN của hàm số: f(x)

2. Giải phương trình đưa đến nghiệm

4. |KA-KB| lớn nhất :Hoàn toàn tương tự phần (3)

= chọn véc tơ

, từ bất đẳng thức véc tơ

Ta có , dấu “=” xảy ra khi hai véc tơ cùng hướng

t=1 K(3;0;1) thoả mãn bài toán.

Cách 2: (Phần 3) Theo kết quả bài toán trên

Gọi H và I tương ứng là hình chiếu của A và B trên ∆ ta dễ dàng xác định được ;

H(1;1;0) ; ; Theo công thức toạ độ điểm chia ta

cũng xác định được

Nhận xét: ____________________________________________________________________________Nguyễn Ngọc Minh - Tổ Toán - THPT số 3 Thành phố Lào Cai


1. Cách giải này con đường khá tự nhiên và đi từ mặt phẳng sang, tuy nhiên về lý luận tương đối dài dòng mặc dù là lý luận chung cho các bài toán tương tự, về mặt tính toán cũng khá nhiều (Tính toạ độ hai hình chiếu của A, B, tính độ dài các đoạn thẳng AH, BI, tính toạ độ điểm chia, khi hai hình chiếu có toạ độ không nguyên thì tính toán khá nặng nề so với cách giải trước

2. Cách giải trước ngắn gọn hơn, mở rộng được sang nhiều bài toán như bài toán tìm GTNN và bài toán giải phương trình hay bất phương trình.Nên trong quá trình giới thiệu ta thường phải giới thiệu cách giải có nhiều ưu điểm sau khi giới thiệu cách giải bằng con đường tự nhiên song lại khá phức tạp trong tính toán.

Bài toán 9: Cho các điểm A, B, C và mặt phẳng (P) các số thực cho trước sao cho

. Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho đạt giá trị nhỏ

nhất.Lời giải: Xác định I sao cho dễ dàng xác định được điểm I, khi đó

(1) do đó đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

MI nhỏ nhất M là hình chiếu của I trên (P)Chú ý : Trong (1) ta sử dụng công thức thu gọn véc tơ, điểm I chính là tâm tỷ cự của hệ 3 điểm A, B, C ứng với bộ 3 số . Ta cũng có thể mở rộng cho hệ n điểmA1, A2, A3,…An. ứng với bộ n số thực .Từ bài toán trên ta có thể ra vô số bài toán cụ thể áp dụng.

Ví dụ : Trong không gian cho các điểm A(-1;2;3), B(2;3;-2), C(0;-2;-1), D(1;0;1) và mặt phẳng

(P) có phương trình : x - y + 2z -1= 0.

Tìm điểm M trên (P) sao cho nhỏ nhất.

Lời giải: Gọi I(x;y;z) là điểm sao cho

Giải hệ phương trình, tìm được I . Theo bài toán trên, ta có

4 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất M là hình

chiếu của I trên (P).

Dễ dàng xác định được M .

Chúc các em thành công!


Documents

Giup Em Chuan Bi on Thi Vao Dai Hoc