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L’insegnamento della matematica nella scuola della riforma
16 marzo 2004Bergamo
Gli obiettivi specifici di apprendimento della scuola primaria e
della scuola secondaria di I° grado
M.MarchiUniversità Cattolica - Brescia
1. L'APPRENDIMENTO - INSEGNAMENTO della Matematica è
ACQUISIZIONE- FORMAZIONE di una
forma di conoscenza della realtà che
dai DATI offerti dalla PERCEZIONE e
ESPERIENZA SENSIBILE
porta alla
loro ORGANIZZAZIONE RAZIONALE
(= RAZIONALIZZAZIONE della REALTÀ)
vale per ogni LIVELLO SCOLARE !
(a) non si dà MATEMATICA senza ENTRAMBE queste due
Componenti
la Matematica è dunque
SCIENZA di CONTENUTI ma anche
SCIENZA di STRUTTURE.
L'idea di Matematica
presentata
dagli OBIETTIVI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO
e dal PROFILO
di Matematica
relativi al PRIMO CICLO DELL'ISTRUZIONE
1. 1L'insegnamento della matematica nella riforma - Bergamo, 16 marzo 2004
(b) queste due componenti
non sono STADI STORICI diversi
non convivono CONTEMPORANEAMENTE
in modo Statico ma
sono in
dalla ESPERIENZA SENSIBILE criticamente analizzata,
che diventa ESPERIENZA VISSUTA
alla COSTRUZIONE dei CONCETTI
che nascono come REALTÀ ASTRATTE
della nostra MENTE
ma diventano, se INTERIORIZZATI,
anche loro parte della ESPERIENZA
VISSUTA e acquistano così una loro
CONCRETEZZA
questa EVOLUZIONE CONTINUA
si riconosce: nella ESPERIENZA PERSONALE
INSEGNAMENTO - APPRENDIMENTO "a spirale"
nello SVILUPPO STORICO della disciplina.
CONTINUA EVOLUZIONE
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(c) si realizza così lo "slogan didattico"
"dal CONCRETO all'ASTRATTO"
che bene descrive questa EVOLUZIONE
ma non deve privilegiare nessuno dei due TERMINI
(d) il sussistere di una
DOPPIA NATURA DINAMICA DELLA MATEMATICA
implica anche
non c'è una MATEMATICA dei "grandi"
e una dei "piccoli"
non c'è una MATEMATICA APPLICATA
e una PURA
ma c'è una UNICA MATEMATICA
che serve UFFICI DIVERSI
e si adatta, si coniuga
secondo tali UFFICI.
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2. La matematica
"RAZIONALIZZAZIONE del REALE"
significa che la MATEMATICA richiede
la MATEMATICA produce
SPECIFICI STRUMENTI CONCETTUALI
che si esprimono con
un LINGUAGGIO APPROPRIATO
una STRUTTURA SIMBOLICA FORMALE adeguata
questi sono gli OGGETTI dell'INSEGNAMENTO – APPRENDIMENTO della MATEMATICA parola che non deve SPAVENTARE! "c'è un FORMALISMO e un RIGORE per ogni età"
(a) La STRATEGIA DIDATTICA deve portare alla
PRESA DI COSCIENZA CONSAPEVOLE
di questa PROCEDURA che
a partire dai DATI SENSIBILI dalla ESPERIENZA
OSSERVATA e RIFLESSA
porta alla loro RAZIONALIZZAZIONE
perché l'APPRENDIMENTO richiede un PROCESSO
COSCIENTE di ASTRAZIONE e INTERIORIZZAZIONE.
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In tal modo
l'acquisizione di COMPETENZE MATEMATICHE
permette di COMPRENDERE, INTERPRETARE,
USARE CRITICAMENTE
le CONOSCENZE scientifiche e tecnologiche;
il processo di EDUCAZIONE MATEMATICA
contribuisce alla formazione del
PENSIERO CRITICO RAZIONALE
che è strumento irrinunciabile di
CRESCITA CULTURALE e UMANA.
Di ciò gli allievi devono diventare CONSAPEVOLI
per evitare che la CONOSCENZA MATEMATICA
diventi "PURA ACQUISIZIONE di PROCEDURE"
che vanno imparate
"perché non se ne può fare a meno!"
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3. Il PERCORSO FORMATIVO
della MATEMATICA
descritto negli OBIETTIVI SPECIFICI di APPRENDIMENTO:
EEEE) non è in SEQUENZA LINEARE
ma
" a spirale" = riprende più volte:
MEDESIMI CONTENUTI a livelli via, via più complessi,
acquistando in CONSAPEVOLEZZA
si realizza così il PROCESSO di "EVOLUZIONE CONTINUA"
proprio della matematica.
EEEEEEEE) è organizzato in CINQUE TEMI
con una scansione in CONOSCENZE e ABILITÀ
IL NUMERO
GEOMETRIA
LE RELAZIONI (*)
LA MISURA
DATI E PREVISIONI
INTRODUZIONE AL PENSIERO RAZIONALE
+ Aspetti storici connessi alla matematica
(*) classe terza della Scuola Secondaria di primo grado
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1. E' il percorso dell'ARITMETICA:
i numeri NATURALI scuola
" INTERI RELATIVI primaria
" RAZIONALI secondaria
fino alla preparazione e all’avvio delle prime forme di pensiero
astratto e formale (elementi di calcolo letterale, relazioni, funzioni).
L'introduzione dei numeri
non deve essere fatta attraverso STRUTTURE ASTRATTE
ma è ESEMPLIFICAZIONE ILLUMINANTE
del PROCESSO di RAZIONALIZZAZIONE della REALTÀ
che sarà quella CONCRETA del fanciullo.
Dalla nozione INTUITIVA e CONCRETA di MOLTEPLICITÀ
per piccoli passi si arriverà alla STRUTTURA FORMALE
che si è affermato essere
COMPONENTE ESSENZIALE e IRRINUNCIABILE
della MATEMATICA
realtà che non deve spaventare
ma deve essere gradatamente conquistata
IL NUMERO
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2. Itinerario di formalizzazione
( i ) NUMERI NATURALI
"lo stesso strumento formale" ( = il NUMERO)
EEEE) può descrivere ( = valutare la NUMEROSITÀ)
realtà molto diverse
EEEEEEEE) ha DIFFERENTI MODALITÀ di ESISTENZA:
"numerosità" e "ORDINAMENTO" (*)
aspetto CARDINALE e ORDINALE
( ii ) Il problema del FORMALISMO per
rappresentare i NUMERI " ( = SCRITTURA dei n.)
scrittura "stenografica" (es. NUMERI ROMANI)
scrittura POSIZIONALE
( iii ) Un SINGOLO NUMERO
può ridursi ad un puro SIMBOLO STENOGRAFICO.
La MATEMATICA comincia con la organizzazione
di una FAMIGLIA di NUMERI strutturata
( gli INSIEMI NUMERICI):
LEGGI di CONFRONTO
LEGGI di COMPOSIZIONE (= le c.d. OPERAZIONI )
caratterizzate dalle loro LEGGI di
COMPORTAMENTO (= le proprietà delle operazioni)
(*) nel LINGUAGGIO COMUNE in questi casi lo stesso numero ha nomi diversi!
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( iv ) Altre sollecitazioni della realtà esterna
(oltre alla NUMEROSITÀ)
oppure PROBLEMI interni della MATEMATICA
(es.: la necessità FORMALE di estendere l'AMBITO
di VALIDITÀ delle operazioni)
richiedono nuovi STRUMENTI FORMALI
con le relative LEGGI SINTATTICHE:
INSIEME dei NUMERI INTERI RELATIVI
(v ) … analogamente (es. : le PARTIZIONI di un
"tutto" ≡≡≡≡ " le fette di torta" …)
le FRAZIONI con le loro OPERAZIONI
… analogamente (scuola SECONDARIA I° grado)
INSIEME dei NUMERI RAZIONALI (RELATIVI)
(vi ) Il PROCESSO di ASTRAZIONE porta a RAZIONALIZZARE
queste ESPERIENZE diverse, in un'unica STRUTTURA FORMALE
che si amplia progressivamente conglobando le precedenti,
senza però che vengano ad IDENTIFICARSI (ISOMORFISMO!)
(Esempio di una PROCEDURA ASTRATTA che l'uso ha fatto
"diventare CONCRETA" cioè parte della ns. ESPERIENZA "vissuta")
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( vii ) L'introduzione del CALCOLO APPROSSIMATO
a partire da PROBLEMI CONCRETI prepara l'introduzione dei
NUMERI IRRAZIONALI
(√ come OPERAZIONE INVERSA)
Siamo nel cuore di veri PROBLEMI CONOSCITIVI della
MATEMATICA, non a livello di semplici procedure
ALGORITMICHE addestrative!
( viii ) L'approfondimento della CONSAPEVOLEZZA
nell'uso dei SIMBOLI del CALCOLO con NUMERI prepara al
CALCOLO LETTERALE ALGEBRICO (affrontato poi nel 2° ciclo)
inteso come RAPPRESENTAZIONE GENERALIZZATA
di CALCOLI NUMERICI.
Si ripete il processo "dal CONCRETO all'ASTRATTO": i NUMERI,
da "ASTRATTI" sono ormai "diventati CONCRETI".
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ambito di RAZIONALIZZAZIONE privilegiato
ove si realizza il
PROCESSO di EVOLUZIONE CONTINUA …
1. (a) dalla REALTÀ FISICA CONCRETA della
esperienza SPAZIALE
EEEE) degli OGGETTI MATERIALI contenuti
( la FORMA!)
EEEE) della valutazione delle RECIPROCHE POSIZIONI
dei CORPI, anche rispetto l'OSSERVATORE (°)
( la DIMENSIONE, la DISTANZA)
EEEE) dei reciproci SPOSTAMENTI dei CORPI (°),
o anche i MOVIMENTI rispetto a se
stessi ( SIMMETRIE)
( le TRASFORMAZIONI)
per ASTRAZIONE e GENERALIZZAZIONE si ottiene:
(°) nella RAPPRESENTAZIONE è coinvolto anche l'OSSERVATORE;
non così in ARITMETICA.
GEOMETRIA
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(b) i ) prima forma di RAZIONALIZZAZIONE: MODELLIZZAZIONE SCHEMATICA ASTRATTA, es.
RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE con il DISEGNO
realizzazione di MODELLI MATERIALI
intuizione della nozione di FIGURA
(modelli singoli)
ii ) seconda fase di razionalizzazione
(tra scuola PRIMARIA e SECONDARIA):
definizione RAZIONALE ASTRATTA e RIGOROSA
di FIGURA GEOMETRICA =
= caratterizzazione RAZIONALE dell'OGGETTO
della INDAGINE GEOMETRICA attraverso le sue
PROPRIETÀ RIGOROSAMENTE INDIVIDUATE
(pluralità strutturata)
La distinzione tra FIGURA e DISEGNO
occasione educativa nello studio
della GEOMETRIA dello SPAZIO
l'ASTRATTO delle FIGURE
con la stessa famiglia di PROPRIETÀ
introduce alla nozione di FORMA
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(c) ai due LIVELLI di RAZIONALIZZAZIONE corrispondono
due linee di INDAGINE CONOSCITIVA:
i ) le PROPRIETÀ PLAUSIBILI e VEROSIMILI
degli OGGETTI GEOMETRICI che
l'INTUIZIONE e le VERIFICHE SPERIMENTALI
fanno rilevare nei singoli MODELLI
(MODELLI MATERIALI , DISEGNI, MODELLI VIRTUALI ):
sono le PROPRIETÀ che la nostra MENTE si aspetta siano
alla base della disciplina GEOMETRIA
Ma questa non è ancora MATEMATICA
perché non c'è la VALIDITÀ UNIVERSALE delle DEDUZIONI
ii ) le PROPRIETÀ riconosciute come VERE
in base alla ARGOMENTAZIONE RAZIONALE
realizzata a partire dalle PROPRIETÀ delle
FIGURE RIGOROSAMENTE INDIVIDUATE
mediante CONSIDERAZIONI INDIPENDENTI
dal particolare modello sul quale
INTUIZIONE e RAGIONAMENTO si appoggiano.
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(d) La CONCETTUALIZZAZIONE del pensiero GEOMETRICO
risente della DUPLICE NATURA della
INDAGINE CONOSCITIVA in GEOMETRIA
CONCETTI FIGURALI o
IMMAGINI MENTALI
dove sono presenti entrambe le componenti:
l'IMMAGINE GEOMETRICA INTUITIVA e la descrizione razionale
(FORMALE, anche) RIGOROSA
L'EDUCAZIONE MATEMATICA
deve CONSIDERARE e VALORIZZARE
entrambe le COMPONENTI:
esercizio di INTUIZIONE e FANTASIA CREATRICE
(per es. : educazione alla c.d. INTUIZIONE
SPAZIALE)
educazione al PENSIERO ASTRATTO e RAZIONALE
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2. Le nozioni di FIGURA GEOMETRICA
UGUAGLIANZA
TRASFORMAZIONE
sono tra loro strettamente legate.
La GEOMETRIA costituisce lo studio delle
PROCEDURE di CONFRONTO
tra FIGURE DISTINTE
che si intende considerare UGUALI
e viceversa
PROPRIETÀ rispetto alle quali
FIGURE DISTINTE
si possono ritenere UGUALI oppure DIVERSE.
Lo strumento concettuale che permette di
IDENTIFICARE FIGURE DISTINTE
che si intende considerare UGUALI
è offerto dalle TRASFORMAZIONI (GEOMETRICHE)
che sono RAZIONALIZZAZIONE
della esperienza fisica del MOVIMENTO di CORPI
tra loro oppure tra loro e l'osservatore!
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3. La MATEMATICA come linguaggio.
La MATEMATICA descrive se stessa :
(a) Il METODO delle COORDINATE
l'ARITMETICA e il CALCOLO algebrico
descrivono gli OGGETTI della GEOMETRIA ELEMENTARE
le Operazioni Geometriche
sono descritte da OPERAZIONI tra i SIMBOLI
del linguaggio FORMALE (risoluzione di equazioni
o SISTEMI di equazioni)
(b) La RAPPRESENTAZIONE PIANA di OGGETTI TRIDIMENSIONALI.
(Sviluppo piano di solidi)
(c) La QUADRETTATURA.
Primo esempio (classe prima, sc. PRIMARIA) di
RAZIONALIZZAZIONE dello spazio.
Nozione CONCRETA che però può anche essere
molto ASTRATTA
Preparazione concettuale alla nozione di
SISTEMA di RIFERIMENTO.
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E' un tema a sé perché
mette in evidenza l'aspetto che la MATEMATICA presenta
di STRUMENTO DI MODELLIZZAZIONE e
CODIFICAZIONE
rispetto le
REALTÀ TECNOLOGICHE E SCIENTIFICHE
(compresa la stessa MATEMATICA)
Si riconoscono quindi
i ) gli ASPETTI di UTILITÀ e APPLICABILITÀ
PRATICA della MATEMATICA
(quelli che per MOLTI giustificano l'importanza
della MATEMATICA nei riguardi della VITA REALE)
la MATEMATICA “che serve” nella VITA REALE
ii ) l'aspetto di
LINGUAGGIO RAZIONALE e FORMALE
che CODIFICA (= DESCRIVE) la REALTÀ,
la TECNOLOGIA, le SCIENZE
dotato di proprie regole grammaticali e sintattiche (PROPRIETÀ delle OPERAZIONI e RELAZIONI della MATEMATICA)
LA MISURA
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la MATEMATICA come
PROCEDURA di RAPPRESENTAZIONE SIMBOLICA basata su REGOLE CONVENZIONALI (ma non ARBITRARIE!)
progressiva educazione al PENSIERO ASTRATTO
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1: "dati" = Analisi e organizzazione di DATI
è argomento della STATISTICA
2: "previsioni" = Formulazione di ragionevoli PREVISIONI
sulla base di INFORMAZIONI razionalmente
analizzate : la PROBABILITÀ
sono profondamente collegati:
la STATISTICA è « RILEVAZIONE e CLASSIFICAZIONE di fatti NOTI
come eventuale base di CONOSCENZA su fatti IGNOTI »
Nel 1° ciclo non si intendono trattare (teoricamente) queste DISCIPLINE
ma si vogliono presentare i problemi legati ai loro OGGETTI di INDAGINE
almeno per gli aspetti che hanno riscontro con la VITA REALE QUOTIDIANA,
personale e sociale.
Occasione privilegiata di utilizzazione della MATEMATICA
come STRUMENTO di CODIFICAZIONE della REALTÀ!
DATI E PREVISIONI
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RAZIONALIZZAZIONE della INCERTEZZA:
si deve evitare la ILLUSIONE che SEMPLICI FORMULE
matematiche possano risolvere i difficili aspetti
delle SITUAZIONI INCERTE.
Si deve quindi evitare una PRESENTAZIONE
ASTRATTA dei CONCETTI PROBABILISTICI.
fornire agli ALUNNI, futuri cittadini,
gli strumenti che permettano loro di
" non essere condizionati da INFORMAZIONI
FUORVIANTI o fornite in modo
AMBIGUO o SCORRETTO "
(preoccupazione che non deve sembrare precoce neppure
nella scuola PRIMARIA)
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Non basta CONOSCERE e SAPER USARE determinati
CONTENUTI MATEMATICI; occorre anche ACQUISIRE
la STRUTTURA CONCETTUALE
il MODO di PENSARE
che CARATTERIZZANO il PENSIERO MATEMATICO,
che sono cioè richiesti per
REALIZZARE la CONCETTUALIZZAZIONE MATEMATICA
e che ne condizionano anche le PROPRIETÀ CARATTERISTICHE.
Due procedure in particolare descrivono i PROCESSI MENTALI
che contribuiscono a formare una "MENTALITÀ MATEMATICA"
1. ARGOMENTARE e CONGETTURARE
saper GIUSTIFICARE con ARGOMENTAZIONI
RAGIONEVOLMENTE FONDATE
ogni affermazione riguardante enunciati di
PROPRIETÀ MATEMATICHE:
non significa necessariamente
saper DIMOSTRARE RAZIONALMENTE
ma almeno saper RENDERE RAGIONE
INTRODUZIONE AL PENSIERO RAZIONALE
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Si forma così un ABITO MENTALE prezioso e ALTAMENTE
FORMATIVO anche al di fuori della MATEMATICA
saper distinguere tra
ENUNCIATI DIFENDIBILI CON ARGOMENTAZIONI
RAGIONEVOLI e CONVINCENTI e
PROPOSIZIONI O ASSERZIONI PLAUSIBILI ma che non si è in
grado di GIUSTIFICARE RAZIONALMENTE (= CONGETTURE)
2. PORSI e RISOLVERE PROBLEMI
L'ATTEGGIAMENTO PROBLEMATICO è connaturato con la
mentalità matematica. Infatti la STRUTTURA RAZIONALE della
MATEMATICA non costituisce un CORPO di PENSIERO ormai
STRUTTURATO e IMMUTABILE ma al contrario è un CAMPO di
CONOSCENZE in continua evoluzione, sia al proprio interno sia
nei riguardi delle diverse APPLICAZIONI.
Lo stimolo a questa CONTINUA CRESCITA viene dagli interrogativi che
rispondono a SOLLECITAZIONI che possono provenire dall'interno della
DISCIPLINA MATEMATICA oppure anche dal MONDO ESTERNO che ISPIRA
oppure che è SERVITO dalla MATEMATICA stessa.
L'insegnamento della matematica nella riforma - Bergamo, 16 marzo 2004 6.2
