Global Seismology Lecture Ws1112 All(1)

Literatur, EinfuhrungA: Allgemeine Grundlagen der Seismologie

B: Globale Seismologie

Seismologie: Erdbeben und Struktur der ErdeFU Berlin, WiSe 2011/12

Jorn Kummerow

February 6, 2012

Jorn Kummerow Seismologie: Erdbeben und Struktur der Erde FU Berlin, WiSe



Inhaltsverzeichnis

1 Literatur, EinfuhrungLiteraturEinfuhrung

2 A: Allgemeine Grundlagen der SeismologieElastizitatstheorie, Wellenausbreitung

3 B: Globale SeismologieStruktur der ErdeSeismometrieErdbeben




LiteraturEinfuhrung

Literatur

1 Modern Global SeismologyThorne Lay & Terry C. Wallace, Academic Press [1995]

2 Introduction to Seismology, 2nd Edt.Peter M. Shearer, Cambridge University Press [2009]

3 An Introduction to Seismology, Earthquakes and Earth StructureSeth Stein & Michael Wysession, Blackwell Publishing Limited[2003]

4 Quantitative Seismology: Theory and MethodsKeiiti Aki & Paul G. Richards, University Science Books [2002]

5 International Handbook of Earthquake & Engineering Seismology,Part A.Edited by William Lee, Hiroo Kanamori, Paul Jennings, CarlKisslinger, Elsevier [2002]

6 The Solid Earth- An introduction to global geophysics (2nd edtn.)C.M.R. Fowler, Cambridge University Press [2004]




LiteraturEinfuhrung

Motivation

Woher weiss man in etwa, wie die Erde tief im Inneren aufgebaut ist?

Schalenaufbau der Erde, Quelle http://www.eqseis.geosc.psu.edu/ cammon




LiteraturEinfuhrung

Motivation

• vor allem aus der Analyse seismischer Wellen, die das Erdinneredurchlaufen!

(Abb. rechts aus http://www.indiana.edu)




LiteraturEinfuhrung

Motivation

Verteilung der seismischen Geschwindigkeiten (P,S- Wellen) und der

Dichte mit der Tiefe fur das PREM- Modell (Abb. aus [Shearer, 1999])




LiteraturEinfuhrung

Motivation

Seismologie und der Aufbau der Erde (Quelle: http://ucl.ac.uk).




LiteraturEinfuhrung

Motivation

Moderne seismische Verfahren wie dieseismische Tomographie ermoglichen eindetailliertes Abbild des Erdinneren undzeigen, dass das Erdinnere nichthomogen und nicht radialsymmetrischist.

Gezeigt sind hier relative Perturbationender seismischen Geschwindigkeit ineinem Vertikalschnitt durch die Erde;blau = erhohte Geschwindigkeit, rot =reduzierte Geschwindigkeit (Abb. aus[VanHeijst et al., 1999]).




LiteraturEinfuhrung

Motivation

Globale Verteilung der Erdbeben (Quelle: Nasa)




LiteraturEinfuhrung

Motivation

Lage der Plattengrenzen (Quelle: University of Michigan)




LiteraturEinfuhrung

Motivation

Vergleich der Erdbebenverteilung und der Lage der Plattengrenzen

Seismologie lieferteentscheidenden Beitrag bei derEntwicklung der Theorie derPlattentektonik!

Quelle: Geology Today




LiteraturEinfuhrung

Motivation

Neben der Bestimmung der Struktur der Erde und des Abbildens vongeodynamischen Prozessen ist das Verstehen der Erdbebenquelle einweiteres Ziel der Seismologie.

Illustration der Elastic Rebound Theory von H. Reid als erstes

Modell zur Erklarung eines Erdbebebens (San Francisco Beben

von 1906). (aus [Stein and Wysession, 2003])

(Foto vom San Francisco Beben von 1906; Quelle: Online

Archive of California.)




LiteraturEinfuhrung

Motivation

Modernes Beispiel fur die Modellierung eines Bruchprozesses(M8.6 Sumatra event, March 28, 2005)

Links oben: Modellierter Versatz entlang des Bruches. Oben:

Vergleich der gemessenen und synthetischen Seismogramme

(Quelle: http://www.tectonics.caltech.edu)




LiteraturEinfuhrung

Motivation

Wesentliche Ziele dieser Vorlesung sind,

die Ausbreitung elastischer Wellen durch das Erdinnere zu verstehen.

darauf basierend nachzuvollziehen, was man heute uber den Aufbauder Erde weiss.

zu verstehen, was Erdbeben sind.Was sind ihre Ursachen?Wie kann man die Bruchprozesse beschreiben?




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Definition Seismologie

Definition

Seismologie ist das Studium der Erzeugung, Ausbreitung undRegistrierung von elastischen Wellen in der Erde (und anderenHimmelskorpern) und der Quellen, die sie verursachen.

[Lay and Wallace, 1995]

Das zentrale Hilfsmittel der Seismologie ist das Seismogramm: die-heutzutage digitale- Aufzeichnung der Bodenbewegung mithilfe einesSeismometers.




LiteraturEinfuhrung

Seismogramm

Beispielseismogramm (Registrierung eines Erdbebens). DieBodenamplitude (oder, je nach Seismometertyp, dieBodengeschwindigkeit bzw. Beschleunigung) wird als Funktion der Zeitdargestellt.

(Quelle: http://cosmos.ucdavis.edu)




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Seismogramm

Das Seismogramm enthalt Informationen uber die Quelle und dasMedium.

Seismisches Experiment, schematisch (aus [Stein and Wysession, 2003]).




LiteraturEinfuhrung

Seismogramm

Das Seismogramm ist die komplexe Uberlagerung verschiedenerseismischer Phasen. Hier ist als Beispiel eine teleseismische Registrierunggezeigt (Abb. aus [Stein and Wysession, 2003]).




LiteraturEinfuhrung

Seismogramm

In der Reflexionsseismik enthalt das Seismogramm Informationen uber dieSchichtung des Untergrundes.

(aus [Stein and Wysession, 2003]).




LiteraturEinfuhrung

Seismogramm

Da die Erde in erster Naherung ein elastischer Korper ist, kann derProzess der Anregung, Wellenausbreitung und Registrierung als eineAbfolge von linearen Filtern beschrieben werden. Das Ergebnis nachAnwendung der Filter ist das beobachtete Seismogramm:

u(t) = s(t) ∗ g(t) ∗ i(t) (1)

(Faltung, englisch convolution).s(t) ist das Quellensignal (source time function), g(t) beschreibt dieImpulsantwort der Erde (Green’s function) und i(t) die Antwort desRegistriersystems (instrument response). u(t) ist das beobachteteSeismogramm.Die Instrumentenantwort i(t) ist in der Regel genau bekannt, so dass diehaufigsten Anwendungen entweder a) die Bestimmung der Quellfunktions(t) unter Annahme von g(t) oder umgekehrt b) die Bestimmung derImpulsantwort der Erde g(t) unter Annahme von s(t) sind.




LiteraturEinfuhrung

Faltung

Konvolution

Die Faltung h(t) zweier Funktionen a(t) und b(t) ist mathematischdefiniert als

h(t) = a(t) ∗ b(t) =

∫ ∞

−∞

a(τ)b(t − τ)dτ (2)

oder in der Frequenzdomane

H(ω) = A(ω) · B(ω) (3)

Beispiel:

* =b(t)a(t)

w1 w2

h(t)

w1+w2

w1




LiteraturEinfuhrung

Seismogramm

Letzterer Fall (b) ist z.B. in der Explorationsseismik gegeben, da hier dasQuellsignal meistens gut bestimmt ist bzw. selbst vorgegeben wird(Vibroseis oder Explosion). Durch Dekonvolution der Quellfunktion s(t)von u(t) erhalt man g(t) (bei Vernachlassigung der Instrumentenantworti(t)).Der erste Fall (a) ist z.B. bei Untersuchungen der source time functioneines Erdbebens gegeben. Hier muss ein Geschwindigkeitsmodell (und einDampfungsmodell) als bekannt vorausgesetzt werden. Die Qualitat derbestimmten Herdfunktion hangt naturlich von der Gute derModellannahmen ab.




LiteraturEinfuhrung

Seismogramm

Figure: Das Seismogramm in der Reflexionsseismik kann als die Faltung des Quellsignals mit der Impulsantwortdes Untergrundes betrachtet werden, wenn man die Instrumentenantwort vernachlassigt (nach[Keary and Brooks, 1991]).




LiteraturEinfuhrung

Inhalt der Vorlesung

Im ersten Teil der Vorlesung sollen die physikalischen Grundlagen der dreiKernbereiche der Seismologie (Quelle, Medium, Empfanger) invergleichsweise kompakter Form zusammengefasst werden. EinigeAspekte werden in spateren Abschnitten wiederaufgenommen undvertiefend diskutiert.Der zweite, umfangreichere Teil widmet sich der Globalen Seismologie.Hier werden die Wellenausbreitung durch die gesamte Erde und darausabgeleitet der Aufbau der Erde eine zentrale Rolle spielen. Verschiedeneseismologische Verfahren nutzen dabei unterschiedliche, in denbeobachteten Seismogrammen enthaltene Informationen: Z.B.invertiertdie Tomographie gemessene Laufzeiten (manchmal auch dieWellenformen) nach dem Geschwindigkeitsmodell, die Receiver Functions-Methode analysiert die Wellenformen von konvertierten Phasen. Wirwerden diese und einige andere der meistverwendeten seismologischenVerfahren detailliert in Theorie und Anwendung vorstellen.




LiteraturEinfuhrung

Inhalt der Vorlesung

Wir werden ausserdem die Erdbebenquellen untersuchen. Die genaueBestimmung ihres Ortes (Lokalisierung), ihre Kinematik und Dynamiktragen wesentlich zur Bestimmung der Spannungsverteilung imErdinneren und zum Verstandnis von geodynamischen Prozessen bei.

Beginnen wollen wir mit den Grundlagen der Ausbreitung von seismischenWellen in der Erde.



B: Globale SeismologieElastizitatstheorie, Wellenausbreitung

Allgemeine Grundlagen der Seismologie

Allgemeine Grundlagen der Seismologie

Teil I:

Elastizitatstheorie und Wellenausbreitung




Themenuberblick

1 Hookesches Gesetz, Spannungen, Deformationen, Elastizitatstensor

2 Bewegungsgleichung, Wellengleichung

3 P- und S- Wellen




Zunachst sollen die Grundlagen der Wellenausbreitung in der Erdediskutiert werden. In erster Naherung verhalt sich die Erde wie einelastischer Korper. In der Seismologie betrachten wir daruberhinausmeist nur sehr kleine Deformationen (relative Langenanderungen imBereich von ∼ 10−6) und kurze Perioden (< 3600 s in globalen Studienund < 10 s in angewandten seismologischen Studien), so dass dasHookesche Gesetz gultig ist. Dieses ist empirisch und fasst dieBeobachtungen zusammen, dass bei kleinen Deformationen eine lineareBeziehung zwischen Spannung und Deformation besteht. Ausgehend vomHookeschen Gesetz ist es mathematisch relativ einfach, dieBewegungsgleichung abzuleiten. Dies soll im folgenden Abschnitt inkompakter Form fur ein homogenes, isotropes, unendliches elastischesMedium geschehen. Es wird sich zeigen, dass die Bewegungsgleichungdann in Form von P- und S-Wellen gelost wird.Ausfuhrlichere Abhandlungen der Elastomechanik mit Herleitung derLosung der Bewegungsgleichung finden sich z.B. bei [Budo, 1990],[Feynman, 1999], [Fowler, 2004], [Lay and Wallace, 1995].




Elastizitatstheorie, Hookesches Gesetz

Hookesches Gesetz

Das allgemeine Hookesche Gesetz kann in folgender Form geschriebenwerden:

Sij =∑

k,l

Cijklekl (4)

Jede der 9 Komponenten des Spannungstensors Sij (i , j , k , l nehmen dieWerte x,y oder z an fur die drei Raumrichtungen) ist mit jeder der 9Deformationskomponenten ekl linear verknupft.

Die Deformationen sind definiert als exx = δux

δx , exy = 12 (

δuy

δx + δux

δy ),...usw. mit dem Verschiebungsvektor u = ux , uy , uz . u beschreibt dieVerschiebung eines Materiepunktes und ist im allgemeinen eine Funktiondes Ortes r.Der Elastizitatstensor Cijkl setzt also den Deformationstensor mit demSpannungstensor in Verbindung. Er hat 81 Komponenten (Tensor 4.Stufe).




Elastizitatstheorie, Spannungen und Deformationen

��

��

Sxx

Sxy

Sxz Y

Z

X

dz

dy

dx

Figure: Definition der Komponenten des Spannungstensors.Gezeigt sind die Spannungen, die von aussen auf die vordereFlache mit dem Normalenvektor x wirken. TensionaleSpannungen (Zugspannungen) sind nach der allgemeinenKonvention positiv. Im statischen Gleichgewicht wirken auf dieRuckseite des Parallelelipipeds die Spannungen−Sxx ,−Sxy , −Sxz .

��

��

��

��

��

��

P

��

��

u

P’P

Θ/2

Θ/2

P

P’P

X Ux

u

l

dl

Figure: Homogene Dehnungsdeformation (oben) undhomogene Scherdeformation (unten).





Der Spannungstensor ist symmetrisch, d.h. Sij = Sji . Die Symmetriefolgt daraus, dass das Drehmoment, welches auf einen kleinen Wurfel desMaterials wirkt, null ist- sonst wurde der Wurfel sich drehen.Der Deformationstensor ist ebenfalls symmetrisch. Diese Symmetrie folgtunmittelbar aus der Definition der Deformation. Aus der Symmetriebeider Tensoren folgt, dass Cijkl hochstens 36 (= 6 · 6) verschiedeneKomponenten hat.Fur isotrope Medien kann gezeigt werden, dass von den 36 Komponentennur 2 unabhangig sind, welche ausreichen, um die elastischenEigenschaften vollstandig zu beschreiben (dies folgt u.a. aus derUnabhangigkeit der Spannungs- Deformations- Beziehung von denKoordinatenrichtungen).

Sij = 2µeij + λ(∑

k

ekk)δij (5)

λ und µ heissen Lame − Konstanten. Das Kronecker Delta, δij , ist 1 furi = j und 0 fur i 6= j .





Die Formel soll am Beispiel eines kleinen Zylinders, der nur an beidenEndflachen unter Zugspannung steht, veranschaulicht werden (s. Abb.).

X

Z

Y

��

��

Sxx

Syy = Szz = 0

Sxx

Figure: Zylinder unter Zugspannung in x-Richtung.





Die Langsachse des Zylinders sei in x-Richtung, dann gilt nach Gl. (5)

Syy = 0 = 2µeyy + λ(∑

k

ekk) (6)

Szz = 0 = 2µezz + λ(∑

k

ekk) (7)

Sxx = 2µexx + λ(∑

k

ekk) (8)

exy = exz = eyz = 0 (9)

Durch Addition von (6), (7) und (8) ergibt sich:

Sxx = 2µ(∑

k

ekk) + 3λ(∑

k

ekk) (10)

und mit exx = (Sxx − λ(∑

k ekk))/(2µ) (Gl. 8)

exx = (λ + µ)(∑

k ekk)

µ(11)





Daraus folgt

Edef=

Sxx

exx=

(3λ + 2µ)µ

λ + µ(12)

Aus Gl. (5) lasst sich also Young’s Modul E herleiten, welches als dasVerhaltnis von angewandter Zugspannung zur resultierenden Dehnungdes Zylinders definiert ist.

Fur das gleiche Problem wird das sogenannte Poisson- Verhaltnis als dasnegative Verhaltnis von lateraler Kompaktion zu longitudinaler Dehnungdefiniert:

σ = − ezz

exx=

λ

2(λ + µ)(13)

Das Poisson- Verhaltnis nimmt Werte zwischen 0 und 0.5 an (furFlussigkeiten verschwindet die Scherspannung: µ = 0, also gilt σ = 0.5).





λ, µ, E und K liegen bei Gesteinen in der Grossenordnung 20 − 120 GPa.

Ubung

Leite ebenfalls aus Gl. (5) das Bulk Modulus K her, welches alsVerhaltnis von hydrostatischem Druck, −p, zur resultierendenKompression definiert ist (Tip: Die Kompression kann in 1. Naherungmit

∑

k ekk gleichgesetzt werden).




Elastizitatstheorie, Bewegungsgleichung

Herleitung der Bewegungsgleichung:Betrachtet man ein kleines Volumenelement V im Material, so gilt

Fgesamt = Fauss + Finn =

∫

ρrdV (14)

Gl. (14) besagt, dass die Summe aller Krafte, die auf das Volumenwirken, gleich der Masse mal der Beschleunigung ist (2. Newton’schesAxiom). Die Krafte sind hier aufgeteilt in die ausseren Krafte (z.B. dieSchwerkraft) und die inneren Krafte, welche vom umgebenden Materialausgeubt werden.Nehmen wir an, dass die ausseren Krafte verschwinden, dann gilt

F = Finn =

∫

ρrdV =

∫

fdV (15)

mit der Kraftdichte f (Kraft pro Volumen) und r = δ2rδt2 .





Nach unserer Definition der inneren Krafte beschreiben Finn und dieSpannungen aus Gl. (5) dieselbe Wirkung des Nachbarmaterials auf dieMateriepunkte des Volumens. Fur die x-Komponente von Finn, welcheauf die Oberflache A des Volumens V wirkt, gilt z.B.

Fx(inn) =

∫

A

(Sxxnx + Syxny + Szxnz)da =

∫

V

fxdV (16)

mit dem lokalen, zum Flachenelement da gehorenden Normalenvektor n.An dieser Stelle benutzen wir die hier nicht bewiesene Eigenschaft desSpannungstensors, dass sich mithilfe der 9 Komponenten die Spannungfur jede beliebig orientierte Oberflache bestimmen lasst.Nach dem Gauss’schen Satz ist das Flachenintegral in Gl. (16) gleichdem Volumenintegral der Divergenz des Hilfsvektors Sx = (Sxx , Syx , Szx)

∫

A

(n · Sx)da =

∫

V

(∇ · Sx)dV ≡∫

V

(δSxx

δx+

δSyx

δy+

δSzx

δz)dV (17)

Damit gilt nach Gl. (16)





∫

V

(δSxx

δx+

δSyx

δy+

δSzx

δz)dV =

∫

V

fxdV (18)

oder allgemeiner fur alle Komponenten

fi =∑

j

δSji

δj(19)

Theorem (Gauss’scher Satz)∫

V

(∇ · A)dV ≡∫

V

(divA)dV =

∫

A

Ada (20)

Anschaulich heisst das, dass der Anteil eines Vektorfeldes A, der durchdie Oberflache des Volumens V stromt, aus den Quellen im VolumenVgekommen sein muss bzw. in den Senken des Volumens verschwindet.





Mit den Gleichungen (5), (15) und (19) folgt dann, wenn man dieDeformationstherme eij durch die Komponenten desVerschiebungsvektors u ausdruckt (u = r − r0)

Bewegungsgleichung

f = ρδ2u

δt2= (λ + µ)∇(∇ · u) + µ ▽2 u (21)

Gl. (21) ist die 3-D Bewegungsgleichung in einem unendlichen,homogenen, isotropen, linear-elastischen Medium.





Losung der Bewegungsgleichung:Nach dem Helmholtz Theorem kann (fast) jedes Vektorfeld u in einenwirbelfreien Anteil u1 (∇× u1 = 0) und einen quellenfreien Anteil u2

(∇ · u2 = 0) zerlegt werden. Ferner gilt, dass u1 als Gradient einessklaren Potentials Φ, u2 als Rotation eines Vektorpotentials Ψ dargestelltwerden kann. Damit gilt fur die Verschiebung u:

u = u1 + u2 = ∇Φ + ∇× Ψ (22)

Andererseits gilt allgemein fur ein Vektorfeld u

▽2 u = ∇(∇ · u) −∇×∇× u (23)

Damit wird Gl. (21) zu

ρδ2u

δt2= (λ+µ)∇(∇·u)+µ(∇(∇·u)−∇×∇×u)) = (λ+2µ)∇(∇·u)−(µ∇×∇×u)

(24)




Elastizitatstheorie, Wellengleichung

Einsetzen von Gl. (22) gibt

ρδ2(∇Φ + ∇ × Ψ)

δt2= (λ + 2µ)∇(∇ · (∇Φ + ∇ × Ψ)) − µ(∇ × ∇ × (∇Φ + ∇ × Ψ)) (25)

= (λ + 2µ)∇(▽2Φ) + µ∇ × (▽2

Ψ) (26)

(mit ∇ · (∇× Ψ) = 0,∇× (∇Φ) = 0 und Gl. (23).Diese Gleichung kann gelost werden, wenn Φ und Ψ folgendeBedingungen erfullen

δ2Φ

δt2=

λ + 2µ

ρ▽2 Φ

def= α2 ▽2 Φ (27)

δ2Ψ

δt2=

µ

ρ▽2 Ψ

def= β2 ▽2 Ψ (28)

Diese Gleichungen sind die dreidimensionalen und homogenenWellengleichungen, wobei Φ in Gl. (27) ein Skalar, Ψ in Gl. (28) einVektor ist. Die so definierten Grossen α und β haben die Dimension einerGeschwindigkeit. Ihre Bedeutung wird im folgenden klar.




Elastizitatstheorie, Ebene Wellen

Eine Losung der skalaren Wellengleichung (27) sind ebene Wellen. Siekonnen in folgender Form geschrieben werden

Φ(r, t) = Ae i(ωt±kr) (29)

mit α = ω|k| . r ist der Ortsvektor, k der Wellenvektor.

Diskussion: Betrachten wir nur Wellen, die sich in Richtung von kausbreiten. Dann ist Φ(r, t) = Ae i(ωt−kr). Die Orte, die zu allen Zeitenden gleichen Wert Φ(r, t) haben, sind die Wellenfronten, welche nach Gl.(29) auch die gleiche Phase (ωt − kr) haben. Die Wellenfronten sind alsosenkrecht zur Ausbreitungsrichtung k. Da der zu Φ gehorigeVerschiebungsvektor u1 nach Gl. (22) der Gradient von Φ ist, ist dieTeilchenbewegung parallel zur Ausbreitungsrichtung (senkrecht zu denWellenfronten). u1 entspricht also der P- Welle, welche sich mit der

Geschwindigkeit α =√

λ+2µρ ausbreitet.





Analog zu Gl. (29) ist die Losung fur das Vektorpotenzial Ψ (Gl. 28)

Ψ(r, t) = Ae i(ωt±kr) (30)

mit dem konstanten Vektor A. Den zu Ψ gehorigen Verschiebungsvektoru2 erhalt man nach Gl. (22) durch Rotation aus Ψ. u2 steht senkrechtzur Ausbreitungsrichtung. u2 entspricht der S- Welle, welche sich mit der

Geschwindigkeit β =√

µρ ausbreitet.

Ubung

Zeige explizit, dass u2 senkrecht zu k steht (zur Vereinfachung kannangenommen werden, dass sich die Welle in x-Richtung ausbreitet).




Elastizitatstheorie, P- und S- Wellen

Figure: P-Welle Figure: S-Welle





Ausgehend von den Losungen (29) und (30) kann man unter Verwendungvon Randbedingungen die Losung fur geschichtete Medien herleiten. DieRandbedingungen unterscheiden sich dabei je nach Beschaffenheit derGrenzflache (freie Oberflache, Grenze zwischen flussigen/festen Medien).Dabei erhalt man z.B. auch Formeln fur die Reflexions- undTransmissions- Koeffizienten.Fur schwach heterogene Medien, d.h. Medien mit geringen raumlichenAnderungen der seismischen Geschwindigkeit, kann naherungsweise eineWellengleichung ahnlich den Gleichungen (27) oder (28) angenommenwerden

1

c2(r)

δ2Φ

δt2= ▽2Φ (31)

wobei c(r) die ortlich variable Geschwindigkeit ist. Aus der Losung dieserGleichung lassen sich die Eikonalgleichungen und das Konzept dergeometrischen Strahlentheorie herleiten.




Elastizitatstheorie

Zusammenfassung

Ausgehend vom Hookeschen Gesetz haben wir die homogenenWellengleichungen (27, 28) hergeleitet und ihre Losungen in Form von P-und S- Wellen gefunden (Gleichungen 29, 30). Die Ergebnisse bilden dieGrundlage, auf der die Wellenausbreitung in geschichteten/schwachinhomogenen Medien und die darauf aufbauendenseismischen/seismologischen Methoden (z.B. weite Bereiche derReflexionsseismik) verstanden werden konnen.

Fur ausfuhrlichere Herleitungen und Diskussionen der Wellenausbreitungsei auf die entsprechende Vorlesung Theorie seismischer Wellen und dieweiterfuhrende Literatur (z.B. [Aki and Richards, 2002] und[Lay and Wallace, 1995]) verwiesen.




Elastizitatstheorie, Anhang

Vektoranalysis

Nablaoperator: ∇ =~ı δδx + ~ δ

δy + ~k δδz

Gradient: grad U ≡ ∇U =~ı δUδx + ~ δU

δy + ~k δUδz

Divergenz: div v ≡ ∇ · v = δvx

δx +δvy

δy + δvz

δz

Rotation: rot v ≡ ∇× v =~ı( δvz

δy − δvy

δz ) + ~( δvx

δz − δvz

δx ) + ~k(δvy

δx − δvx

δy )

Laplaceoperator: △U ≡ div grad U ≡ ▽2U = δ2Uδx2 + δ2U

δy2 + δ2Uδz2

fur Vektoren: ▽2v := grad div v − rot rot v ≡ ∇(∇ · v) −∇×∇× v




Diskussion P- und S- Wellen

Vergleich von P- und S-Welle. Die Bodenbewegung ist bei der S- Welle senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der

Welle (oben), bei der P- Welle ist sie parallel (unten). Die S- Welle heisst daher auch Transversalwelle, die P-

Welle Longitudinalwelle. (Abb. aus [Stein and Wysession, 2003])




Diskussion P- und S- Wellen

Wichtig

Bei P- Wellen (Primarwellen oder Longitudinalwellen oderKompressionswellen) ist die Verschiebung up parallel zurAusbreitungsrichtung der Welle. Beim Durchgang der Welle wirddas Material abwechselnd komprimiert und expandiert. P- Wellensind also mit einer Veranderung des Volumens verbunden.

Fur die P- Wellengeschwindigkeit α oder vp gilt: α ≡ vp =√

λ+2µρ .

Bei S- Wellen (Sekundarwellen oder Transversalwellen oderScherwellen) ist die Verschiebung us senkrecht zurAusbreitungsrichtung der Welle. Beim Durchgang der Welle wirddas Material nur geschert, ohne dass das Volumen sich andert.

Fur die S- Wellengeschwindigkeit β oder vs gilt: β ≡ vs =√

µρ .




Diskussion P- und S- Wellen, Seismogrammbeispiele

Beispielseismogramm fur ein Erdbeben, das tief unter den Stationen stattfand. Die Amplitude der P- Welle ist

daher auf der vertikalen Komponente (U-D= up-down) am grossten, die der S- Wellen auf den

Horizontalkomponenten. (Abb. aus [Stein and Wysession, 2003])




Diskussion P- und S- Wellen, Seismogrammbeispiele

Beispielseismogramm fur ein flaches Erdbeben in geringer Entfernung (ca. 64 km) von der Station. P- und S-

Wellen sind jeweils auf den vertikalen und horitonzalen Komponenten zu sehen. (Abb. aus

[Stein and Wysession, 2003])




Diskussion P- und S- Wellen, SH- und SV- Welle

Definition von SH- und SV- Welle.

Die S- Welle (die sich in der Abb. unten in der vertikalen x-z- Ebeneausbreitet) kann in zwei Anteile zerlegt werden: (I) die SV- Welle inderselben Vertikalebene x-z und (II) die SH- Welle, die horizontal undsenkrecht zur x-z- Ebene polarisiert ist (senkrecht zur Bildebene).

(Abb. aus [Stein and Wysession, 2003])




Diskussion P- und S- Wellen, RT- System

Seismometer registrieren normalerweise die Bodenbewegungen invertikaler, Nord-Sud- und Ost-Westrichtung (ZNE- System, mit z positivnach unten). Die Analyse der Seismogramme ist haufig einfacher, wennman die horizontalen Komponenten in das sogenannte RT- Systemrotiert, in welchem SV- und SH- Komponenten getrennt sind. R ist dieradiale, T die transversale Komponente. Die radiale Richtung ist formaldie Richtung entlang des Grosskreises, der das Epizentrum des Erdbebensund die Station verbindet.

Mit der Abbildung links gilt dann

R(t) = cosθ · N(t) + sinθ · E (t) (32)

T (t) = −sinθ · N(t) + cosθ · E (t) (33)




Diskussion P- und S- Wellen, Anwendung RT- System

Beispielseismogramm fur ein tiefes, in grosser Entfernung (110◦) registriertes Erdbeben. Die P- Welle ist vor allem

auf der vertikalen Komponente zu sehen, wahrend die als S- Wellen auftauchenden Phasen auf den

Horizontalkomponenten dominieren. Nach Rotation ins R-T- System sind bestimmte S- Phasen vor allem auf einer

Komponente zu sehen (z.B. SKS auf der R- Komponente). (Abb. aus [Stein and Wysession, 2003])




Strahlentheorie, Eikonalgleichung

Im folgenden wollen wir die Herleitung der Eikonalgleichung kurzskizzieren, welche die Grundlage fur die Strahlentheorie ist. Diese istnicht allgemein gultig, sondern nur in der Naherung fur hohe Frequenzen.Fur kleinere Frequenzen (langere Perioden) oder starke Geschwindigkeits-Gradienten verliert sie ihre Gultigkeit.Ist das Medium aber schwach heterogen, d.h. sind die raumlichenGeschwindigkeitsanderungen klein (wie es fur die Erde meist zutrifft),dann gilt naherungsweise

1

c2(r)

δ2Φ

δt2= ▽2Φ (34)

wobei c(r) im Unterschied zu Gl. (27) ortsabhangig ist.Analog zu Gl. (29) macht man den Losungsansatz

Φ(r, t) = A(r)e−i ω(t−T (r)) (35)

wobei hier T den Phasenfaktor beschreibt. Die Amplitude A ist wie dieGeschwindigkeit c in Gl. (34) hier auch eine Funktion des Ortes.





Einsetzen von Gl. (35) in Gl. (34) ergibt (Herleitung hier nicht gezeigt)

|∇T |2 − 1

c2=

∇2A

Aω2(36)

Fur hohe Frequenzen (high frequency approximation) kann die rechteSeite der Gleichung vernachlassigt werden. Dann gilt

|∇T |2 =1

c2(37)

Dies ist eine Form der Eikonalgleichung. Sie besagt, dass die Amplitudeder raumlichen Anderung (genauer: des Gradienten) des Phasenfaktors Tgleich dem Kehrwert der Geschwindigkeit ist. u = 1

c wird auch slownessgenannt. Damit wird aus Gl. (37)

|∇T |2 = u2 (38)





Wir haben im Anschluss an Gl. (29) bereits diskutiert, dass die Orte mitgleicher Phase (d.h. hier T (r) = const.) die Wellenfronten definieren.Die Linien senkrecht zu diesen Wellenfronten (und damit parallel zu ∇T )heissen Strahlen. Die Strahlrichtung wird beschrieben durch

∇T = u~k = s (39)

wobei ~k der Einheitsvektor in der lokalen Strahlrichtung und s derSlownessvektor sind.

Bildet man in Gl. (39) die Ableitung nach ds, dem Weginkremententlang des Strahles, und verwendet wieder c = 1

u , dann gilt (Herleitungsiehe z.B. [Lay and Wallace, 1995], S. 74):

∇(1

c(r)) =

d

ds(

1

c(r)

dr

ds) (40)

Gl. (40) ist eine Differentialgleichung 2. Ordnung fur den Strahlenweg r.





Gl. (40) wird auch Strahlengleichung (raypath equation) genannt. Sieermoglicht es, bei geeigneten Startbedingungen (Startpunkt undStartrichtung des Strahles) den Strahlweg fur diesen bestimmten Strahlzu berechnen.

Einfache Beispiele zur Veranschaulichung der Strahlengleichung:

(1) Fur homogene Medien (c = const., d.h. ∇( 1c(r)) = 0) gilt nach Gl.

(40) 1c · dr

ds = const., d.h. der Strahlverlauf ist eine Gerade.

(2) Fur ein Medium, in dem die Geschwindigkeit nur eine Funktion derTiefe ist (c = c(z)), gilt

1

c(z)· dx

ds= const. (41)

1

c(z)· dy

ds= const. (42)

d

ds(

1

c(z)· dz

ds) = (

1/c

dz) (43)




Body waves, Strahlentheoriedxds in Gl. (41) ist der Richtungssinus (s. Abb. unten). Aus Gl. (41) folgtdaher

1

c· dx

ds=

1

c· sin(i) = const. =: p (44)

p = sin(i)/c wird auch Strahlparameter oder horizontal slownessgenannt. Fur einen bestimmten Strahl ist also der Strahlparameter pentlang des gesamten Strahlenverlaufs konstant. Dieser Zusammenhangist als Snellius’sches Gesetz bekannt.

Strahlenverlauf in einem Medium, in dem die Geschwindigkeit nur mit der Tiefe (x3) variert. x3 entspricht z im

Text, und x1 entspricht x . (Abb. aus [Lay and Wallace, 1995])




Body waves, Strahlentheorie, Snellius

Wir haben hier das Snellius’sche Gesetz mithilfe von Eikonal- undStrahlengleichung gefunden (d.h. unter der Annahme geringerGeschwindigkeitsgradienten). Es behalt aber seine Gultigkeit auch furabrupte Geschwindigkeitsanderungen an Grenzflachen zwischen zweiMedien mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten (s. Abb. auf dernachsten Seite). Es gibt mehrere Moglichkeiten, dies zu zeigen. Einedavon basiert auf der Annahme des Fermat’schen Prinzips.

Das Fermat’sche Prinzip besagt, dass die Laufzeit entlang des Strahlstationar ist, d.h. entweder minimal oder maximal. Im folgenden ist dieHerleitung aus dem Fermat’schen Prinzip skizziert.





(Abb. aus [Lay and Wallace, 1995])

Die Laufzeit von Punkt P nach P’ ist mit den Geschwindigkeiten α1 undα2 in den beiden Medien

TP−P′ =d

α1+

e

α2=

√a2 + x2

α1+

√

b2 + (c − x)2

α2(45)





Fur den Laufweg mit minimaler Zeit muss die Ableitung nach x gleichnull sein:

dT

dx= 0 =

x

α1

√a2 + x2

− c − x

α2

√

b2 + (c − x)2(46)

Wegen

sin i = x/√

a2 + x2 (47)

sin τ = (c − x)/√

b2 + (c − x)2 (48)

folgt wieder:

Snellius’ Brechungsgesetz (Snell’s law)

sin i

α1=

sin τ

α2=: p (49)

p wird auch Strahlparameter oder horizontal slowness genannt.




Body waves, Strahlentheorie

Alternativ folgt Snellius’ Brechungsgesetz auch, wenn man voraussetzt,dass entlang der Grenzflache zwischen den Halbraumen die Wellenfrontenstetig sind. Damit die Wellenfronten die gleiche Zeit an der Grenzflachehaben, muss gelten sin(θ1)/v1 = sin(θ2)/v2 = p.

Strahlverlauf und Wellenfronten fur den Fall v1 < v2. Wegen der hoheren Geschwindigkeit v2 im unteren Medium

sind dort die Abstande zwischen den Welllenfronten grosser (d.h. der Strahl muss an der Grenzflache vom Lot

weggebrochen werden). (Abb. aus [Shearer, 1999])




Strahlentheorie

Horizontaler Dreischichtfall fur mit der Tiefe zunehmender

Geschwindigkeit. (Abb. aus [Shearer, 1999])

Der Strahlparameter p bleibt nachSnellius auch fur einen Strahl durcheinen Stapel horizontaler Schichten mitunterschiedlicher Geschwindigkeitkonstant:p = u1 sinθ1 = u2 sinθ2 = u3 sinθ3 mitder slowness u = 1/v .




Strahlenverlauf in lateral homogenen Modellen

Wir wollen nun fur lateral homogene Modelle (d.h. die Geschwindigkeitvariiert nur mit der Tiefe) Formeln fur die Laufzeit T und dieAuftauchentfernung X als Funktionen des Strahlparameters p ableiten.Der Fall ist unten skizziert. Die Quelle und die Empfanger befinden sichan der Erdoberflache. Gezeigt sind 5 Strahlen mit unterschiedlichenStrahlparametern p. Die maximale Tiefe (auch Umkehrpunkt genannt)wird fur θ = 90◦ erreicht. Hier ist die Strahlrichtung horizontal.

Strahlenwege fur ein Modell kontinuierlich mit der Tiefe zunehmender Geschwindigkeit. (Abb. aus [Shearer, 1999])





(Abb. aus [Shearer, 1999])

Mit den Abbildungen links gilt fur ein kleinesStrahlensegment ds:

dx

ds= sinθ (50)

dz

ds= cosθ =

√

1 − sin2θ (51)

Mit p = u sin θ giltdx

ds=

p

u(52)

dz

ds=

√

1 − p2/u2 =1

u

√

u2 − p2 (53)

Mit der Kettenregel ist

dx

dz=

dx

ds

ds

dz=

p

u

u√

u2 − p2=

p√

u2 − p2(54)





Integriert man alle Beitrage von z = 0 bis zur Tiefe des Umkehrpunktes,zp , dann ergibt sich

x(p) = p

∫ zp

0

dz√

u2(z) − p2(55)

Die slowness u ist eine Funktion der Tiefe. Da die Strahlen symmetrischbzgl. des Umkehrpunktes sind, ist die gesamte Entfernung X entlang derOberflache

X (p) = 2 p

∫ zp

0

dz√

u2(z) − p2(56)

Mit dt = u ds kann man einen ahnlichen Ausdruck fur die Laufzeitableiten:

dt

dz=

dt

ds

ds

dz=

u2

√

u2 − p2(57)

T (p) = 2

∫ zp

0

u2(z)√

u2(z) − p2dz (58)





Gl. (58) kann man umformen in

T (p) = 2

∫ zp

0

(p2

√

u2(z) − p2+

√

u2(z) − p2) dz (59)

Da p fur einen bestimmten Strahl konstant ist, kann man mithilfe von Gl.(56) schreiben

T (p) = p X + 2

∫ zp

0

√

u2(z) − p2 dz (60)

Eine fur die Praxis sehr wichtige Erkenntnis aus dieser Formel ist, dassder Strahlparameter p gleich der Ableitung der Laufzeit nach derEntfernung ist (p = dT/dX ).

Dies ist in der Grafik auf der nachsten Seite noch einmal veranschaulicht.





Strahlenwege fur ein Modell kontinuierlich mit der Tiefe zunehmender Geschwindigkeit (oben) und die

Laufzeitkurve, die man an der Oberflache messen wurde (unten; T = Zeit, X = Entfernung). Die Steigung der

Laufzeitkurve ist gleich dem Strahlparameter p. (Abb. aus [Shearer, 1999])




Laufzeitkurven

Normalerweise nimmt die Funktion X (p) mit abnehmendem p zu, d.h. jegrosser der Abstrahlwinkel, desto grosser die Auftauchentfernung desStrahles (s. Abb. unten). In diesen Fallen ist dX/dp < 0, man sprichtvon einem prograden Ast in der Laufzeitkurve.





Laufzeitkurven

In einigen Situationen ist die Geschwindigkeitszunahme mit der Tiefe sogross, dass dX/dp > 0 wird (s. Abb. unten). Ein Beispiel ist dieKruste-Mantel- Grenze, wo die P- Wellen- Geschwindigkeit nahezusprungartig um uber 1 km/s auf vp ∼ 8.0 km/s ansteigt.In diesen Fallen spricht von einem retrograden Ast in der Laufzeitkurve.





Laufzeitkurven


In der Laufzeitkurve T (X ) macht sichder Ubergang von prograd zu retrogradund zuruck zu prograd als sogenannteTriplikation bemerkbar (s. Abb. links,oben). Die Endpunkte der Triplikationheissen Kaustik. Fur sie gilt dX/dp = 0.In dem Bereich dazwischen gibt es 3Laufzeitaste.

Die X (p)- Kurve fur den gleichen Fallhat ein einfacheres Aussehen (s. Abb.links, unten).




τ(p) Funktion

Manchmal betrachtet man auch die Funktion τ(p). Sie ist definiert als

τ(p) = T (p) − p X (p) (61)

Mit Gl. (60) gilt

τ(p) = 2

∫ zp

0

√

u2(z) − p2 dz (62)

τ heisst auch delay time. Sie ist in der Abb. unten veranschaulicht.

τ(p) ist die Interzeptzeit der Tangente an die Laufzeitkurve. (Abb. aus [Shearer, 1999])




τ(p) Funktion, Beispiele

Strahlgeometrie, Laufzeitkurven, Strahlparameter-Entfernungskurven und τ(p)- Kurven fur zwei unterschiedliche

Geschwindigkeits- Tiefen- Modelle. (Abb. aus [Lay and Wallace, 1995])




τ(p) Funktion, Beispiele

Vergleichbare Abbildung wie auf der vorigen Seite. Hier wird die Konzentration der Strahlen aufgrund des starken

Geschwindigkeitsgradienten im Modell rechts deutlich. (Abb. aus [Stein and Wysession, 2003])




Low Velocity Zones

Niedriggeschwindigkeitszonen (Low Velocity Zones) wie z.B. dieAsthenosphare oder der Aussere Erdkern (s. spater) erzeugen Lucken inden T (X )- und τ(p)- Kurven!





Strahlen in der Erde

Bisher haben wir den Strahlenverlauf im Halbraum betrachtet und dieKugelform der Erde ignoriert. Es gibt zwei Moglichkeiten, dieErdkrummung beim raytracing zu berucksichtigen:(I) Anpassung des Strahlparameters fur die Kugel(II) Anwendung einer Koordinaten- Transformation (Earth FlatteningTransformation), die weiterhin das raytracing in einer flachen Erdeerlaubt.

Strahlenverlauf in einem Kugelmodell. (Abb. aus

[Shearer, 1999])

(I) Aus der Abb. links folgt, dassfur den gezeigten Strahl durch dieKugelschalen die Winkel θ2 undθ′2 nicht gleich sind.An der Grenze von Schale 1 zu 2gilt

u1 sinθ1(r1) = u2 sinθ2(r1) (63)





Ausserdem gilt (s. Abb. vorige Seite)

sinθ2 = rmin/r1 (64)

sinθ′2 = rmin/r2 (65)

Daraus folgtr1 sinθ2 = r2 sinθ′2 (66)

und eingesetzt in Gl. (63)

r1 u1 sinθ1 = r2 u2 sinθ′2 (67)

In der kugelformigen Erde ist also der Strahlparameter psph = r u sinθ.Mit p = u sinθ = dT/dX fur die flache Erde ist

psph = r p =r dT

dX=

dT

d∆(68)

da dX = r d∆.Jorn Kummerow Seismologie: Erdbeben und Struktur der Erde FU Berlin, WiSe




Statt der Gleichungen (56) und (58) gelten in der spharischen Erde

∆(psph) = 2 psph

∫ re

rtp

1√

(ur)2 − p2sph

dr

r(69)

T (psph) = 2

∫ re

rtp

(ur)2√

(ur)2 − p2sph

dr

r(70)

wobei re der Radius der Erde und rtp der Radius des Umkehrpunktes(turning point) ist.





Eine zweite Moglichkeit ist es, eine Variablentransformationdurchzufuhren und weiterhin in einem Flache Erde- System zu rechnen.Die neuen Variablen sind die ’Tiefe’ zf und die ’Geschwindigkeit’ vf (zf )mit

zf = −re ln(r

re) (71)

vf (zf ) =rer

vsph(r) (72)

(ohne Herleitung). Hier ist re der Erdradius (6371 km), r der Abstandzum Erdmittelpunkt und vsph die Geschwindigkeit als Funktion der Tiefein der spharischen Erde.Veranschaulichen lassen sich diese Formeln an dem Modell einerhomogenen Erde. Die Strahlen sind dann Geraden, wegen derErdkrummung sind aber die Laufzeitkurven gekrummt (anders als in derflachen Erde). Man muss deshalb einen positiven Geschwindigkeits-Gradienten mit der Tiefe einfuhren, um die Laufzeitkurven zureproduzieren.





Earth Flattening Approximation, angewandt auf das PREM Modell (vp ) (Abb. aus [Shearer, 2009])




Laufzeitinversion

Wir haben gesehen, dass unterschiedliche Geschwindigkeits- Tiefen-Modelle charakteristische Laufzeitkurven zeigen. Um dieGeschwindigkeitstiefenverteilung in der Erde aus den gemessenenLaufzeiten zu bestimmen, gibt es zwei Moglichkeiten.

(I) Man verfolgt die Strahlen entsprechend Snellius’ Gesetz furverschiedene Geschwindigkeitsmodelle durch das Erdinnere und erhaltLaufzeitkurven T (∆) (s. Gl. 69 und 70), die man mit der beobachtetenLaufzeitkurve vergleicht. Dies kann man solange tun, bis man einGeschwindigkeitsmodell erhalt, welches die Daten zufriedenstellendanpasst (iterative forward modelling).

(II) Ein anderer Weg ist es, direkt aus den gemessenen Laufzeitkurven dieGeschwindigkeitstiefenfunktion zu invertieren (travel time curveinversion). Der klassische Ansatz ist hier der von Herglotz und Wiechertaus dem Jahr 1907. Ausgehend von Gl. (69) erhalten sie die Beziehung(Herleitung s. z.B. im Appendix von [Fowler, 2004])




Laufzeitinversion

∫ ∆1

0

cosh−1(psph(∆)

u1 r1) d∆ = π ln(

rer1

) (73)

mit dem Erdradius re . r1 ist der Radius des Umkehrpunktes des Strahles,welcher in der Entfernung ∆1 auftaucht. Das Integral auf der linken Seitekann numerisch gelost werden, wobei ausgenutzt wird, dass psph aus derbeobachteten Laufzeitkurve bestimmt werden kann (psph = dT/d∆, Gl.(68)) und u1 r1 = dT/d∆ in der Entfernung ∆1 ist. Damit lasst sich ausGl. (73) r1 bestimmen und daraus die Geschwindigkeit v1 bei r1 (wegenv1 = 1/u1). Berechnet man also das Integral in Gl. (73) fur allegemessenen Punkte T (∆1), erhalt man v(r), die Geschwindigkeit alsFunktion des Abstandes vom Erdmittelpunkt.Die Herglotz- Wiechert- Inversion (Gl. (73)) gilt nur, wenn r/v mit derTiefe abnimmt. Fur low velocity zones verliert sie daher ihre Gultigkeit!




Strahlentheorie, Zusammenfassung

Zusammenfassung

Ausgehend von der Wellengleichung (34) haben wir die Eikonalgleichung(37) und die Strahlengleichung (40) gefunden. Diese bilden dieGrundlagen des Konzeptes der seismischen Strahlen. Wichtig ist es sichzu bewusst zu sein, dass dies nur fur hohe Frequenzen gultig ist (vergl.Gl. 36 und 37). Aus der Strahlengleichung konnten wir u.a. dasSnellius’sche Brechungsgesetz finden. Im lateral homogenen Medium isfur einen bestimmten Strahl ist der Strahlparameter p konstant (in derflachen Erde p = u sinθ, in der spharischen Erde p = r u sinθ). Wir habenFormeln fur die Laufzeitkurven fur lateral homogene Medien abgeleitet(Gl. 69 und 70) und auch anhand von Beispielen gesehen, wie dieLaufzeitkurven T (X ) vom Geschwindigkeitstiefenverlauf abhangen. Mitanderen Worten: Die Laufzeitkurven sind charakteristisch fur dieGeschwindigkeitsverteilung. Das Herglotz- Wiechert- Verfahren ist eineMoglichkeit, aus den beobachteten globalen Laufzeitkurven einedurchschnittliche Geschwindigkeits- Tiefen- Verteilung in der Erde zubestimmen.




Strahlentheorie, Zusammenfassung

Im folgenden Kapitel werden wir die hier erarbeiteten Grundlagen nutzen,um im Detail die globalen Laufzeitkurven und das globaleGeschwindigkeitsmodell (1D) zu diskutieren.




Struktur der ErdeSeismometrieErdbeben

Globale Seismogramme

Aus Seismogrammen, die nach der Entfernung vom Erdbeben sortiertsind, konnen die seismischen Phasen identifiziert und die Laufzeitenbestimmt (gepickt) werden.

Erste digitale globale Seismogramm- Sektion. (Abb. aus [Muller & Kind, 1976])





Globale Laufzeitkurven

In der Abbildung auf der vorigen Seite wurde statt der Laufzeit diereduzierte Laufzeit (reduced time) aufgetragen. Diese Darstellung wird inder Seismik/Seismologie haufig angewandt, um den darzustellendenZeitbereich zu verkleinern und bestimmte Phasen besser identifizieren zukonnen. Die reduzierte Laufzeit berechnet sich aus

Tred = T − X/vred (74)

wobei vred die Reduktionsgeschwindigkeit ist. Oft wird vred = 8.0 km/sverwendet, welche der Geschwindigkeit im Obereren Mantel entspricht.Seismische Phasen, die mit dieser Geschwindigkeit laufen, sind in derreduzierten Darstellung horizontal.

(Abb. aus [Shearer, 1999])Jorn Kummerow Seismologie: Erdbeben und Struktur der Erde FU Berlin, WiSe





Kompilation von 57000 Laufzeitmessungen von 104 verschiedenenErdbeben fur verschiedene Korperwellentypen. Die Laufzeitkurven sindfur das IASP91- Modell berechnet (s. Abb. auf der nachsten Seite).






Globale Referenzmodelle

Es gibt verschiedene Referenz- Erdmodelle. Das klassische Jeffreys-Bullen- Modell (JB) stammt bereits aus den 1940er Jahren, eines vonmehreren neuen Modellen ist das IASP91- Modell (z.B. auch PREM- undAK135- Modell). Die Unterschiede zwischen diesen radialenGeschwindigkeitsmodellen sind vergleichsweise gering.

Vergleich von Jeffreys- Bullen- Modell (JB) und IASP91- Modell. (Abb. aus [Stein and Wysession, 2003])





Globale Referenzmodelle

Die wichtigsten Regionen der Erdmodelle sind (hier fur IASP91)

die Kruste mit 35 km Machtigkeit.

der Obere Mantel mit der Mantelubergangszone (mantle transitionzone) in 400 − 700 km Tiefe und zwei Geschwindigkeitssprungen(410 kmund 660 km- Diskontinuitaten).

der Untere Mantel bis 2890 km Tiefe.

der Aussere Erdkern bis 5150 km Tiefe.

der Innere Erdkern.

Aufgrund der Schichtgrenzen und der verschiedenen Wellentypen (P , S)gibt es zahlreiche verschiedene Strahlgeometrien in der Erde, derenBezeichnungen wir spater detaillierter diskutieren.






Gestapelte Seismogramme (vertikale,radiale, transversale Komponenten) unddie aus dem IASP91- Modellberechneten Laufzeitkurven (untenrechts), welche in denSeismogrammsektionen zu erkennensind. Die Seismogramme sindhochpassgefiltert (2 sec).(Abb. aus [Astiz et al., 1996])






Abb. wie auf der vorigen Seite, aber mit30 sec- Tiefpassfilter. Fur die tiefenFrequenzen werden zuvor nichterkennbare Phasen deutlich (vergl. mitder vorigen Abbildung).(Abb. aus [Astiz et al., 1996])






33000 Gestapelte Seismogramme fur 979 verschiedene Erdbeben mit Mw > 5.6 und Herdtiefen < 50 km. Die

Farben entprechen der Polarisation; blau = vertikal , gruen = radial , red = transversal . (Abb. aus

[Astiz et al., 1996])






Die Laufzeitkurven hangen von der Tiefe des Erdbebens ab!

Vergleich der Laufzeitkurven fur flache Erdbeben (links) und tiefe Erdbeben (rechts) im IASP91- Modell. (Abb.

aus [Stein and Wysession, 2003])





Strahlen in der Erde, Nomenklatur

Strahlwege einiger globaler seismischer Phasen. (Abb. aus

[Shearer, 1999])

Die Namen der meisten seismischenPhasen in der Erde folgen aus folgenderKonvention zur Bezeichnung derStrahlabschnitte (nur Korperwellen)

P: P- Welle im Mantel

S: S- Welle im Mantel

K: P- Welle im Ausseren Erdkern

I: P- Welle im Inneren Erdkern

J: S- Welle im Inneren Erdkern

c: Reflexion an der Kern- Mantel-Grenze (CMB)

i: Reflexion an der Grenze zumInneren Erdkern (ICB)





Aufbau der Erde, Strahlenwege

Strahlenwege fur einige wichtige Mantel- und Kernphasen





Aufbau der Erde, Strahlenwege

Veranschaulichung der Kern- Schattenzone fur P- und S- Wellen.

(Quelle: http://www.interscience.wiley.com)





Strahlen in der Erde, Pdiff

Die diffraktierte Phase Pdiff verlauft entlang der Kern- Mantel- Grenzeund wird im Kernschatten beobachtet. Ihre Amplitude nimmt mit derEntfernung rapide ab.






Strahlen in der Erde, Nomenklatur

Zusatzlich kann man fur tiefe Erdbeben die sogenannten Tiefenphasendefinieren. Der nach oben laufende Ast wird mit kleinen Buchstaben p, sbezeichnet.

Durch tiefe Erdbeben erzeugte Tiefenphasen. (Abb. aus [Shearer, 1999])

Aus der Laufzeitdifferenz zwischen direkter und Tiefenphase (z.B.tpP − tP) lasst sich die Tiefe eines Erdbebens abschatzen.





Strahlen/Wellenfelder in der Erde, Visualisierung

Snapshots eines synthetischen SH- Wellenfeldes im Erdmantel fur verschiedene Zeitpunkte nach dem Erdbeben zur

Zeit T = 0 s (Tiefe der Quelle: 600 km/s). (Abb. aus [Stein and Wysession, 2003])






Wellenfeld aus der numerischen Simulation eines Erdbebens in Peru (Mw = 8.4, Tiefe 29 km, 23. Juni 2001) fur

verschiedene Zeitpunkte (Herdzeit t = 0 s). (Abb. aus [Kennett, 2002])






Auf den folgenden Seiten wird die Ausbreitung der Wellenfrontenzusammen mit Snapshots des simulierten Wellenfeldes fur das Peru-Beben dargestellt. Die Wellenfronten sind sowohl im Querschnitt durchdie Erde (jeweils Abb. links, mit der Erdbebenquelle oben) als auch ander Oberflache (Abbildungen rechts) gezeigt. An der Oberflache sindauch die Wellenfronten der Oberflachenwellen (Love waves, Rayleighwaves) mit ihrer Polarisation eingetragen (mehr zu Oberflachenwellensiehe in einem spateren Kapitel).Gezeigt sind auch einige Seismogramme, welche an Stationen registriertwurden, deren Positionen in den Karten- Projektionen markiert sind.Die Herdzeit ist bei t = 0 s, der zeitliche Abstand zwischen denSnapshots betragt 6 min.






Nach 6 min hat die P-Wellenfront den Ausseren Erdkernerreicht. Die Wellenfront PK wirdflacher, da die Geschindigkeit ander Kern- Mantel- Grenze (CMB)abnimmt. Die Reflexion an derCMB (PcP) hat sich gebildet.

(Abb. aus [Kennett, 2002])






Nach 12 min ist die PP- Phasedeutlich zu erkennen; ebenso dieScS- und SK- Phase, welche dieGrenze zum Inneren Erdkern(ICB) erreicht.







Vergleich mit den gemessenen Seismogrammen an Stationen mit Herdentfernungen von 17◦ bis 33◦ . (Abb. aus

[Kennett, 2002])






Nach 18 min hat die PKP- Phasedie Erdoberflache nahezu erreicht.Ihre Amplitude ist bei ca. 145◦

besonders stark.








[Kennett, 2002])






Nach 24 min sind die direktenMantelphasen P und Sverschwunden. SK- Phasen sindgut sichtbar, die SKS- Phasenaher sich bei der Antipode(180◦) der Erdoberflache.







Nach 30 min sind im Querschnittdie Phasen SS und SKKS(welche an der inneren Seite derCMB reflektiert) gut sichtbar.








[Kennett, 2002])





Strahlen in der Erde, Visualisierung

Quellen von einigen informativen Animationen zum Strahlenverlauf undzur Wellenausbreitung in der Erde sind:

www.epsc.wustl.edu/saadia/page2.html

www.neic.usgs.gov/neis/eq depot/2002/eq 021103/ak seismic waves.html

www.aeic.alaska.edu/input/mthorne/movies/index.html






Beispielseismogramme fur ein Erdbeben (Vanuatu Island, Mw = 6.8,Tiefe 114 km, 9. Januar 2001).Von links nach rechts: Vertikal-, Radial-, Transversal- Komponente.







Seismogrammsektion des Vanuatu-Erdbebens (Vertikale Komponente).







Seismogrammsektion des Vanuatu-Erdbebens (Radiale Komponente).







Seismogrammsektion des Vanuatu-Erdbebens (Transversale Komponente).






Strahlen in der Erde, Kern

Strahlenwege und Laufzeitkurven fureinige Kernphasen, einschliesslich der ander Kern- Mantel- Grenze diffraktiertenPhase Pd .







Fokussierung der Energie auf der gegenuberliegenden Seite eines Erdbebens (∆ ≈ 180◦ , antipodal focusing): Die

Strahlen aus allen Richtungen haben die gleiche Ankunftszeit. (Abb. aus [Stein and Wysession, 2003])





Strahlen in der Erde, PKJKP

Eine besonders interessante globale seismische Phase ist die PKJKP, dieals Scherwelle durch den Inneren Erdkern lauft. Ihre Beobachtung wareein direkter Beweis dafur, dass der Innere Erdkern fest ist. Die vomPREM- (oder IASP91)- Erdmodell vorhergesagte Amplitude ist aberextrem klein, und bisher gab es keine eindeutige Beobachtung derPKJKP.

Strahlenwege fur PKIKP und PKJKP mit demselben Ankunftsort an der Erdoberflache (A); theoretisches

Amplitudenverhaltnis von PKIKP und PKJKP fur das PREM- Modell und die gezeigte Herdentfernung von

∆ = 138◦ . (B) (Abb. aus [Cao et al., 2005])






Theoretische Laufzeiten von PKIKP und PKJKP fur das PREM- Modell im Entfernungsbereich um ∆ = 138◦

(links). Beobachtete Seismogramme am Grafenbergarray (rechts). (Abb. aus [Cao et al., 2005])






Vespagramm (Summation von Array- Daten nach Korrektur fur

verschieden slowness- und Azimuthwerte.) (Abb. aus [Cao et al., 2005])

[Cao et al., 2005] postulieren,dass sie die PKJKP- Phase ausVespagrammen fur ein amGrafenberg- Array registriertesFernbeben identifizieren konnten:Die Lage des Energiemaximums inden Vespagrammen im Zeitfensterfur PKJKP stimmt mit denvorhergesagten slowness- undAzimuth- Werten (−1.6s/degbzw. 223◦) gut uberein.





Strahlen in der Erde, D”


Die sogenannte D”- Schicht bildet dieuntersten etwa 300 km des Mantels. DieRegion ist noch unzureichendverstanden. Vermutlich ist sie sehrheterogen, wie die voneinander und vomPREM- Modell abweichendenGeschwindigkeitsmodelle furverschiedene Regionen der D”- Schichtzeigen.





Strahlen in der Erde, D”

Die synthetischen Seismogramme sind fur das Modell SYLO (s.

vorige Seite) berechnet. (Abb. aus [Stein and Wysession, 2003])

Beobachtungen desGeschwindigkeits- Anstiegs an derOberseite der D”- Schicht stammenvon den PdP- und SdS- Phasen (s.Abb.), welche aber nicht uberallbeobachtet werden konnen.





Strahlen/Wellenausbreitung in der Erde, Oberer Mantel

Die Manteldiskontinuitaten in 410 km und 660 km Tiefe fuhren zu einerVerzerrung des Wellenfeldes (s. Abb. unten), und ...

Snapshots des simulierten Wellenfeldes fur eine 60 km tiefe Quelle. Die Geschwindigkeitsdiskontinuitaten in 410 km

und 660 km Tiefe sind als Linien eingezeichnet. (Abb. aus [Kennett, 2002])





Strahlen in der Erde, Oberer Mantel

... die Strahlenwege durch den Oberen Mantel sind entsprechendkomplex.







Die vom Modell (hier IASP91) vorhergesagten Laufzeitkurven fur die P-und S- Phasen im Oberen Mantel sehen so aus:

Anpassung der gemessenen Laufzeiten (Dreiecke) durch das IASP91- Modell (Linien; links) und die

Geschwindigkeits- Tiefen- Funktion fur das IASP91- und zwei weiterer Modelle (rechts). (Abb. aus [?])






Gemessene und synthetischeSeismogramme fur den Oberen Mantel(oben) sowie Laufzeitkurve (unten links)und Strahlparameter p(∆) (untenrechts). Die beiden Triplikationen bei15◦ und 22◦ sind durch die 410 km-bzw. 660 km- Diskontinuitat verursacht.







Die Diskontinuitaten im Oberen Mantel konnen auch aus derBeobachtung von Reflexionen an der Ober- oder Unterseite undkonvertierten Phasen detektiert werden. Die Tiefenlage der jeweiligenDiskontinuitat kann aus der Laufzeitdifferenz zur Referenzphase (z.B.T (P ′P ′) − T (P ′660P ′) in der unteren Abb. mit P ′P ′ ≡ PKPPKP)bestimmt werden.

(Abb. nach [Lay and Wallace, 1995])






Beispiele fur Strahlenreflexionen- und konversionen an den Manteldiskontinuitaten. Die dunne horizontale Linie

reprasentiert jeweils die Grenzflache- hier 400 km oder 670 km-, gestrichelte Strahlenaste sind S- Phasen. (Abb.

nach [Shearer, 1991])






Das Stapeln (Stacking) von Tausenden von Wellenformen macht die aufder vorigen Seite gezeigten Phasen im Seismogramm deutlich!

Gestapelte Seismogramme. (a) Vertikale Komponente, aliniert

nach P (links) und (b) horizontale transversale Komponente,

aliniert nach S (rechts). (Abb. nach [Shearer, 1991])





Strahlen in der Erde, Kruste/Mantel

Strahlgeometrie fur die krustalen Phasen. Pg hat ihren Umkehrpunktinnerhalb der Kruste, PmP ist die Reflexion an der Grenze Kruste/Mantel(Moho, benannt nach Andrija Mohorovicic, der den sprunghaftenGeschwindigkeitsanstieg beim Ubergang von Kruste zu Mantel 1909 alserster beobachtete), Pn lauft im obersten Mantel unmittelbar unterhalbder Moho.







Synthetische Seismogramm- Sektion fur ein Modell, in dem die Kruste-Mantel- Grenze (Moho) als eine Gradientenzone aus positiven undnegativen Geschwindigkeitsanderungen angenommen wird. Die Laufzeitist reduziert dargestellt (Tred = T − X/8.0, wobei vred = 8.0km/s dieReduktionsgeschwindigkeit ist).

(Quelle: http://www-gpi.physik.uni-karlsruhe.de)






Die Kruste unterscheidet sich erheblich in Aufbau und Machtigkeitzwischen kontinentalen und ozeanischen Regionen. Die kontinentaleKruste ist etwa 20− 80 km machtig, die ozeanische Kruste nur 5− 15 km.


Wir werden spater in der Vorlesung noch im Detail auf die Struktur derErdkruste zuruckkommen.






Zusammenfassung

Wir haben gesehen, dass durch Auswertung von (tausenden bis Millionenvon) weltweit beobachteten Laufzeiten verschiedener seismischer Phasendie Geschwindigkeitsstruktur der Erde bestimmt werden kann. Wir habenhier nur Radialsymmetrie betrachtet, d.h. vorausgesetzt, dass dieGeschwindigkeit ausschliesslich mit der Tiefe r variiert. Basierend auf denim vorigen Kapitel im Rahmen der Strahlentheorie hergeleiteten Formelnkann man fur radiale Geschwindigkeitsmodelle die Laufzeitkurvenberechnen und mit den beobachteten vergleichen. Auf diese Weiseenstanden die Referenz- Erdmodelle (z.B. Jeffrey Bullens, IASP91,PREM), die sich nur geringfugig voneinander unterscheiden und diebeobachteten Laufzeiten gut anpassen.Die Erde kann in erster Naherung in Kruste, Mantel (mit mehrerenGrenzflachen innerhalb des Mantels), Inneren und Ausseren Erdkernunterteilt werden. An den Grenzflachen zwischen den Einheiten trittjeweils eine signifikante Veranderung der seismischen Geschwindigkeitenauf.





Aufbau der Erde

Einfuhrung

Die Seismologie liefert also Informationen uber dieGeschwindigkeitsverteilung in der Erde. Die Geschwindigkeit ist eineFunktion von Temperatur, Druck, Mineralogie und chemischerZusammensetzung. Diese Abhangigkeit ist auch nicht eindeutig: sokonnen unterschiedliche Minerale gleiche seismische Geschwindigkeitenhaben. Um den Aufbau der Erde (chemische Komposition undMineralogie als Funktion der Tiefe) bestimmen zu konnen, mussen dieseismischen Daten mit Erkenntnissen aus moglichst vielen anderenBereichen (u.a. Kosmochemie, Geodasie, Mineralphysik, Petrologie)kombiniert werden.

Wir werden zunachst skizzieren, wie man die Dichteverteilung und denTemperaturverlauf in der Erde bestimmen kann.





Dichteverteilung in der Erde

Das PREM- Referenz- Erdmodell enthalt neben den seismischenGeschwindigkeiten auch die Dichte.

Wie kann die Dichte im Erdinneren bestimmt werden?

Seismische Geschwindigkeiten und Dichte fur das PREM- Modell (Abb. aus [Stein and Wysession, 2003])






Eine wichtige Randbedingung fur die Dichte in der Erde ist die gesamteMasse M der Erde, die aus der Gravitationsbeschleunigung g an derOberflache (r = a) bestimmt werden kann:

g =G M

a2(75)

Mit der Gravitationskonstanten G = 6.67 · 10−11Nm2/kg 2, a = 6371 kmund g = 9.8 m/s2 ergibt sich fur die Masse der Erde M = 5.97 · 1024kg .Fur die Dichteverteilung ρ(r) muss gelten

M = 4π

∫ a

0

ρ(r) r2dr (76)

Die durchschnittliche Dichte ρav = 5.5 g/cm3 kann leicht ausρav = M/((4/3)π a3) abgeleitet werden.Da die Dichte der Gesteine an der Erdoberflache mit etwa 3 g/cm3

deutlich geringer ist, muss die Dichte in der Tiefe (insbesondere imErdkern) grosser sein. Diese Schlussfolgerung erhalt man auch aus demTragheitsmoment der Erde.






Fur eine radialsymmetrische Verteilung der Dichte in der Erde (analogzur bisherigen Annahme fur die seismischen Geschwindigkeiten), bei derdie Dichte ausschliesslich infolge zunehmenden Druckes P durchKompression anwachst, kann man zeigen

dρ

dr(r) =

dρ

dP

dP

dr=

−ρ2 G m

K r2(77)

mit dem Bulkmodul K .Gl. (77) folgt wegen dP/dr = −ρg(r) = −ρGm/r2 (mit g = Gm/r2,wobei m die Masse innerhalb der Kugel mit dem Radius r ist) undK = −dP/(dV /V ) = ρ(dP/dρ).

Definiert man die Geschwindigkeit√

Φ (bulk sound speed) uber

Φ = K/ρ = α2 − (4/3)β2 (78)






,kann man Gl. (77) schreiben als

dρ

dr(r) =

−ρ(r)g(r)

Φ(r)(79)

Dies ist die sogenannte Adams- Williamson- Gleichung. Sie kann imPrinzip benutzt werden, um die Dichte als Funktion der Tiefe zubestimmen: Man beginnt an der Erdoberflache, wo die Dichte bekanntist (ca. 2.7 g/cm3), berechnet dρ/dr mithilfe der Geschwindigkeit Φ(bestimmt aus den gemessenen P , S- Geschwindigkeiten α, β), und erhaltso ρ und g am nachsttieferen Punkt.Wie erwahnt, beschreibt Gl. (79) die Dichteanderung infolge von selfcompression eines homogenen Materials. Sie berucksichtigt nichtmogliche Phasenumwandlungen, nicht chemische Anderungen und auchnicht explizit die Temperaturverteilung (Gl. (79) nimmt eine adiabatischeTemperaturvereilung in der Erde an). Damit ist die Adams- Williamson-Gleichung nicht uberall in der Erde gultig, wie z.B. an der CMB und inder Mantel- Ubergangszone (s. Abb. nachste Seite).







Die von der Adams- Williamson-Gleichung vorhergesagte Funktion1 − g−1∆Φ/∆r stimmt im OberenMantel nicht mit den beobachtetenWerten uberein (s. Abb.).

An Grenzen, wo eine chemischeAnderung oder eine Phasenanderungstattfindet, muss die Dichteverteilungauf anderem Wege gefunden werden(z.B. trial and error unterBerucksichtigung der seismischen Daten,der Erdmasse und desTragheitsmomentes).






Dichte, Gravitationsbeschleunigung, Druck und Masse als

Funktion der Tiefe fur das PREM- Modell. (Abb. aus


Das Ergebnis ist fur das PREM- Modelldie in der Abb. links gezeigte Dichte-Tiefen- Verteilung. Aus dieser Dichte-Tiefen- Verteilung kann man leicht auchden Druckverlauf mit der Tiefeberechnen:

P(r) =

∫ (a−r)

0

ρ g dz (80)






Das PREM- Modell. (Abb. aus [Stein and Wysession, 2003])





Temperaturverteilung in der Erde

Die Temperaturverteilung in der Erde (Geotherm) ist schwierigerabzuschatzen. Man berucksichtgt radiogene Warmeproduktion (vor allemin der Kruste), nahezu adiabatische Temperaturzunahme im Mantel undim Ausseren Erdkern, wo jeweils Konvektion vermutet wird, und nimmtsteilere Temperaturgradienten dort an, wo Warme vorrangig durchKonduktion transportiert wird (Lithosphare und Kern- Mantel- Grenze).Man kalibriert die Temperaturprofile mit Temperaturen in der Mantel-Ubergangszone, bei denen Phasenubergange stattfinden, und mitTemperaturen an der Grenze zum Inneren Erdkern (ICB), bei denenEisenverbindungen unter diesen Druckbedingungen gefrieren.Dennoch sind die Unsicherheiten relativ gross. So schwanken dieSchatzungen fur die Temperatur im Zentrum der Erde zwischen 5000 Kund 7000 K .

Beispielkurven fur die globale Geotherme und die Geotherme im Mantelsind auf der folgenden Seite gezeigt.





Temperaturverteilung in der Erde

Temperaturverteilung in der Erde. (Quelle:

http://ase.tufts.edu/cosmos/)

Temperaturverteilung im Mantel (Abb. aus






Komposition der Erde

Frage: Wie kann man aus den bisherigen Informationen (seismischeGeschwindigkeiten, Dichte und Temperatur als Funktionen der Tiefe) aufden Aufbau (chemische Zusammensetzung und Mineralogie) schliessen?

Antwort: u.a. mithilfe der Elementverteilung in Sonne und Meoritensowie durch Laborexperimente, in denen in Abhangigkeit von Druck undTemperatur die seismischen Geschwindigkeiten gemessen und dieStabilitaten von Phasen untersucht werden.






Die kosmischen Elementhaufigkeiten sind eine Referenz fur die chemischeZusammensetzung der Erde.

Solare und meteoritische Atom- Haufigkeiten einiger Elemente (relativ zu Silizium). (Abb. aus [Anderson, 1992])






Relative Gewichtsanteile der Elemente in der Erde: gesamt (links) und Kruste (rechts). (Abb. aus

[Press and Siever, 1986])






Schatzungen der Zusammensetzung von Mantel und Kruste ausverschiedenen Quellen.

(Abb. aus [Anderson, 1992])






Der Vergleich von seismischen Geschwindigkeitsmessungen im Labor undseismischen Beobachtungen in der Erde grenzt die Kandidaten fur dieZusammensetzung von Mantel und Kern weiter ein (s. Abb.).

Bulk velocity√

Φ =p

K/ρ als Funktion der Dichte ρ aus Laborexperimenten fur verschiedene Materialien. (Abb.

aus [Stein and Wysession, 2003])






Petrophysikalische Laborexperimente untersuchen u.a. Phasenubergangevon Mineralen als Funktionen von Druck und Temperatur.

Soliduskurven, u.a. fur Fe − Ni − O- Verbindungen im Erdkern. Die Solidustemperatur zeigt den Beginn des

Schmelzens an. (Abb. aus [Wyllie, 1992])





Komposition der Erde, Mantel

Links: Phasendiagramm fur das Olivin- System (Mg, Fe)2SiO4)

als Funktion des Druckes im Mantel (650 km entsprechen etwa

22 − 24 GPa). Rechts: Definition der Phasen. (Abb. aus

[Anderson, 1992])






Die Umwandlung von Olivin zu Spinell fuhrt zu einer Umordnung derAtome mit einer unterschiedlichen Atomstruktur und einer Erhohung derDichte (wichtig: es findet keine chemische Umwandlung statt!).

Vergleich der Kristallstrukuren fur Olivin und Spinell; O2 (weiss), Si (schwarz), Mg/Fe (grau). (Abb. aus







Vorhergesagte Mineralassemblages als Funktion der Tiefe fur den Mantel unter der Annahme des Pyrolith- Modells

fur den Mantel. (nach Ringwood, Abb. aus [Stein and Wysession, 2003])






Berechnete Geschwindigkeiten fur verschiedene Mantel- Minerale als Funktion der Tiefe (fur adiabatischen

Temeraturverlauf), basierend auf Labormessungen, zusammen mit typischen seismischen Geschwindigkeitsprofilen

(gestrichelte Linien). (Abb. aus [Anderson, 1992])





Aufbau der Erde, Mantel

Ewas anschaulicher und vereinfachter:

S- Wellen- Geschwindigkeitsprofil fur den Oberen Mantel und die Phasenubergange. (Abb. aus [Fowler, 2004])





Aufbau der Erde, Zusammenfassung

Zusammenfassung

Gemeinsam mit anderen geowissenschaftlichen Disziplinen wieMineralphysik, Petrologie, Geodasie kann aus der Seismologie der Aufbauder Erde abgeleitet werden.Ein gutes Beispiel ist die Mantel- Ubergangszone: Die Diskontinuitaten in410 km und 660 km Tiefe werden seismisch beobachtet (z.B. durchTriplikationen in den Laufzeitkurven). Labormessungen zeigen fur dasOlivin- System bei entsprechenden Drucken Phasenumwandlungen. DieMessungen der seismischen Geschwindigkeiten dieser Phasen im Laborstimmt mit den Beobachtungen in der Erde uberein.Die folgende Seite fasst einige wichtige bisherige Ergebnisse in einerAbbildung zusammen.





Aufbau der Erde, Zusammenfassung

(Quelle: Australian Museum Online)





Die Erdkruste

Einfuhrung

Im folgenden wollen wir uns ausfuhrlicher mit der Erdkruste beschaftigen.Dabei werden wir die Grundlagen der beiden klassischen seismischenMethoden diskutieren, mit deren Hilfe die elastischen Eigenschaften derKruste untersucht werden:

1 Refraktionsseismik/Weitwinkelseismik

2 Reflexionsseismik/Steilwinkelseismik

Wir werden hier meistens annehmen, dass die Kruste aus Schichtenbesteht, in denen jeweils die elastischen Eigenschaften konstant sind. Imeinfachsten Fall ist die Schichtung horizontal, wir werden aber auchgeneigte Schichten berucksichtigen.





Die Erdkruste, Seismik

Die beiden Methoden und ihre Unterschiede sind in dieser Abbildungveranschaulicht.

(Abb. aus [Klemperer, 1992])






Der Aufbau der Kruste wird meist mit aktiven seismischen Quellenuntersucht (im Unterschied zu passiven oder naturlichen Quellen, d.h.Erdbeben). Hier ist als Anregung eine Vibroseis- Quelle gezeigt. AndereQuellen sind Explosionen oder Airguns in der Meeresseismik.

Schematische Geometrie eines seismischen Experimentes. (Abb. aus [Stein and Wysession, 2003])






Schematische Darstellung der marinen Reflexionsseismik. (Abb. aus [Klemperer, 1992])






Wir haben bereits berechnet, wie die Laufzeitkurven aussehen, wenn dieGeschwindigkeit nur mit der Tiefe variiert (Gl. 56, 58):

X (p) = 2 p

∫ zp

0

dz√

u2(z) − p2, T (p) = 2

∫ zp

0

u2(z)√

u2(z) − p2dz (81)

mit dem Strahlparameter (oder horizontal slowness) p.

Strahlgeometrie und Laufzeitkurven fur Geschwindigkeits- Tiefen- Modelle mit geringem (oben) und steilem

Gradienten (unten). (Abb. aus [Lay and Wallace, 1995])






Im Grenzfall eines horizontalen Zweischicht- Falles, bei dem dieGeschwindigkeiten in jeder der beiden Schichten konstant und dieGeschwindigkeit in der unteren Schicht grosser als in der oberen ist(v1 > v0), hat die Laufzeitkurve folgendes Aussehen:


Es lassen drei Strahlen unterscheiden

1 direkte Welle

2 reflektierte Welle

3 kritisch refraktierte Welle bzw.Kopfwelle (head wave)






Die Geometrie der drei Strahlenwege, deren Laufzeitaste auf der vorigenSeite abgebildet sind, ist hier veranschaulicht:







Direkte Welle:Die Laufzeit der direkten Welle ist einfach:

TD(x) = x/v0 (82)

Die Steigung in der Laufzeitkurve ist also 1/v0. Die seismischeGeschwindigkeit in der oberen Schicht kann also als Inverse der Steigungbestimmt werden (im Prinzip gelten alle Uberlegungen hier sowohl fur P-als auch S- Wellen; da die P- Welle als erste ankommt und imSeismogramm daher meist einfacher zu identifizieren ist, wird haufig nurdie P- Welle analysiert).






Reflektierte Welle:Die Laufzeit der reflektierten Welle ist

TR(x) = 2√

(x2/4 + h20)/v0 =

√

x2/v20 + 4h2

0/v20 (83)

und damit eine Hyperbel.Fur grosse Entfernungen (x >> h0) nahert sich die Laufzeitkurve derreflektierten Welle der Laufzeitkurve der direkten Welle asymptotisch an.






Kopfwelle:Die Laufzeit der head wave ist

TH(x) = x/v1 + 2h0

√

(1/v20 − 1/v2

1 ) = x/v1 + τ1 (84)

eine Gerade mit der Interzeptzeit τ1, welche die Projektion der Kurve furx = 0 ist. Die head wave tritt allerdings erst ab der kritischen Entfernung(critical distance) xc = 2h0tanic auf. Aus der Steigung der Laufzeitkurve(1/v1) kann die seismische Geschwindigkeit in der unteren Schichtbestimmt werden, und dann aus der Interzeptzeit τ1 die Machtigkeit h0

der oberen Schicht.Jorn Kummerow Seismologie: Erdbeben und Struktur der Erde FU Berlin, WiSe





Nach dem Snellius Gesetz gilt fur den Winkel der Kopfwelle ic

sin ic = v0/v1 (85)

ic heisst kritischer Winkel. Der Strahl, der unter diesem Winkel auf dieGrenzflache trifft, lauft horizontal mit der Geschwindigkeit der unterenSchicht v1 unmittelbar unterhalb der Grenzflache. Dabei wirdkontinuierlich Energie zuruck in die obere Schicht abgestrahlt.

Wichtig

Eine kritisch refraktierte Welle kann nur auftreten, wenn dieGeschwindigkeit in Schicht 2 grosser als in Schicht 1 ist.

Die head wave erscheint sicherlich zunachst etwas weniger plausibel alsdie direkte Welle oder die reflektierte Welle. Ihre Existenz lasst sich z.B.mit dem Fermat’schen Prinzip erklaren, d.h. der Strahlweg ist ein Wegder kleinsten Zeit (minimum time path). Anschaulich lasst sie sich auchmithilfe des Huygen’schen Prinzips machen (s. nachste Seite).





Die Erdkruste, Refraktionsseismik

Die sich mit der Geschwindigkeit v1 in horizontaler Richtung ausbreitendeWelle erzeugt in jedem Punkt Sekundarwellen, die sich kugelformig imoberen Medium mit der Geschwindigkeit v0 ausbreiten. Diese erzeugendurch Interferenz eine ebene Welle, die unter dem kritischen Winkel ic dieSchichtgrenze verlasst.

Veranschaulichung von Huygen’s Prinzip zur Erzeugung von Kopfwellen. (Abb. aus [Stein and Wysession, 2003])






Die Abbildung unten zeigt ein Beispiel fur die Beobachtung von direkterWelle Pg (hier wegen der reduzierten Darstellung als horizontale Linie zusehen), Moho- Reflexion (PmP , hyperbelformig) und kritisch refraktierterWelle (Pn, Gerade mit negativer Steigung).

Seismogramm- Sektion eines Refraktionsprofiles (Reduktionsgeschwindigkeit vred = 6km/s). (Abb. aus







Ein weiteres Datenbeispiel, daszusatzliche Phasen zeigt und somit aufeinen komplexeren Krustenaufbau mitmehreren Schichten hindeutet.

Seismogramm- Sektion eines Refraktionsprofiles

(Reduktionsgeschwindigkeit vred = 6km/s). (Abb. aus







Fur einen Mehrschichtenfall mit horizontalen Grenzflachen lasst sichzeigen, dass die Laufzeitkurve der Kopfwelle an der Obergrenze der n-tenSchicht folgendes Aussehen hat

THn(x) = x/vn + τn (86)

mit

τn = 2n−1∑

j=0

hj(1/v2j − 1/v2

n )1/2 (87)

Mehrschichtenfall (Abb. aus [Stein and Wysession, 2003])






Bei einer Niedrig- Geschwindigkeits- Schicht (low velocity layer) gibt eskeine Kopfwelle an ihrer Obergrenze (Abb. oben). Ist die Schicht zudunn, ist sie im Seismogramm versteckt (hidden layer, d.h. die Kopfwelletritt nicht als Ersteinsatz- Signal auf (Abb. unten)). In beiden Fallenbleibt bei der Auswertung der Ersteinsatze (klassische Refraktionsseismik)die Existenz der Schicht verborgen.

Strahlenwege im 3- Schicht- Fall. (Abb. aus [Stein and Wysession, 2003])






Bei geneigter Schichtgrenze unterscheiden sich dieSchein- Geschwindigkeiten (inverse Steigungen in denLaufzeitkurven) je nachdem, ob man up-dip oderdown-dip misst. Die Formeln sind

Td(x) = x/vd + τd , Tu(x) = x/vu + τu (88)

mit

vd = v0/sin(ic + θ), vu = v0/sin(ic − θ) (89)

(θ ist der Einfallswinkel der Schichtgrenze) und

τd = 2hdcosic /v0, τu = 2hucosic /v0 (90)Geneigte Schichten (Abb. aus







Ray tracing- Methoden konnen benutzt werden, um komplexereGeometrien zu modellieren.

Beispiel fur Ray tracing- Modell und registrierte Seismogramm- Sektion. (Abb. aus [Stein and Wysession, 2003])






Synthetische Seismogramme, berechnet mit der Reflektivitatsmethode (s.spater in der Vorlesung), zeigen Amplitudeninformationen. Anhand vonAmplitudenvariationen von reflektierten Wellen und Kopfwellen kann manz.B. die Moho (Ubergang Kruste/Mantel) detaillierter untersuchen. FurDiskontinuitat bzw. graduellen Ubergang unterscheiden sich dietheoretischen Amplituden, nicht aber die Laufzeiten.

(Abb. aus [Stein and Wysession, 2003])(Abb. aus [Lay and Wallace, 1995])






Beispiel fur ein krustales Geschwindigkeitsmodell mit mehreren 1-D- Geschwindigkeitsprofilen (unten) und

geologischer Interpretation. (Abb. aus [Stein and Wysession, 2003])






Aus den Messungen der seismischen Geschwindigkeiten lassen sichAussagen uber die Lithologie der Kruste machen. Wie wir schon fruhergesehen haben, ist aber eine eindeutige Zuordnung derGeschwindigkeitswerte zu einem Gestein in der Regel nicht moglich.

P- Geschwindigkeit als Funktion der Lithologie (links) und vereinfachte Klassifizierung der magmatischen Gesteine

(rechts). (Abb. aus [Stein and Wysession, 2003])






Marine Refraktionsseismik ermoglicht die Untersuchung des Aufbaus derozeanischen Kruste.

Geschwindigkeitsprofil der ozeansichen Kruste (oben), abgeleitet aus seismischen Refraktionsprofilen (unten) und

Vergleich mit synthetischen Seismogrammen (Mitte). (Abb. aus [Stein and Wysession, 2003])






Die Ergebnisse konnen verwendet werden, um den Aufbau derozeanischen Kruste geologisch zu interpretieren.

Geologische Interpretation der seismischen Geschwindigkeiten am Beispiel des Ostpazifischen Ruckens. (Abb. aus







Kontinentale Kruste und ozeanische Kruste zeigen betrachtlicheUnterschiede in ihrer Zusammensetzung.

(Abb. aus [Nions, 1992])






Der Anteil nicht- kompatibler Elemente ist in der kontinentalen Krustehoher als in der ozeanischen Kruste.

Konzentration von Elementen in der kontinentalen Kruste (offene Kreise) und in der ozeanischen Kruste (gefullte

Kreise). (Abb. aus [Nions, 1992])






Globale Verteilung der Krustenmachtigkeit, bestimmt aus seismischenDaten.

nach [Mooney et al. ]






Unterscheidung nach Krustentypen












Die Erdkruste, Reflexionsseismik

Die Laufzeitkurve einer Reflexion an einer horizontalen Grenzschicht isteine Hyperbel (Gl. 83):

TR(x) = 2√

(x2/4 + h20)/v0 =

√

x2/v20 + 4h2

0/v20 =

√

x2/v20 + t2

0 (91)


t0 = 2h0/v0 ist die Laufzeit fur den offset x = 0. DieAnderung der Laufzeit mit dem offset wird als normalmoveout ausgedruckt:

TR(x) − t0 =√

x2/v20 + t2

0 − t0 (92)






Fur einen Mehrschichtenfall mit horizontalen Grenzflachen lasst sichzeigen, dass die Laufzeitkurve der an der Oberkante der n + 1 -tenSchicht reflektierten Welle naherungsweise folgendes Aussehen hat

TR(x)n+1 ≈√

x2/v2n + t2

n (93)

mit v2n = (2

∑nj=0 v2

j ∆ Tj) /T und tn = 2∑n

j=0 (hj/vj).







Auch die Laufzeitkurven im Mehrschichtfall sind naherungsweiseHyperbeln. Aus Gl. (92) und (93) folgt, dass Reflexionen von tieferenGrenzflachen flacher werden, wenn die Geschwindigkeit mit der Tiefezunimmt.

Laufzeitkurven der reflektierten Wellen im Mehrschichtenmodell. (Abb. aus [Stein and Wysession, 2003])






Die Geometrie zur Messung eines reflexionsseismischen Profils siehtnormalerweise so aus:

Schuss- Empfanger- Konfiguration (a) split-spread, (b) single-ended spread. (Abb. aus [Keary and Brooks, 1991])






Die seismischen Spuren werden beim Processing meist umsortiert, so dassSchuss- Empfanger- Kombinationen mit demselben Mittelpunktzusammengefasst werden (Common Mid Point, CMP). Im Fallhorizontaler Schichtung bilden die reflektierten Strahlen denselbenUntergrundpunkt ab (daher auch haufig Common Depth Point, CDP,genannt.

Veranschaulichung des Common Depth Points (Si = Schuss, Di = Empfanger). (Abb. aus

[Keary and Brooks, 1991])







Wenn man entsprechend Gl. (92) dennormal moveout (NMO) korrigiert, d.h.jede seismische Spur um den geeignetenNMO- Betrag in der Zeit verschiebt,erscheint die Reflexion auf allen Spurenzur gleichen Zeit t0. Die NMO-Korrektur variiert mit dem offset und istabhangig von der Tiefenlage derReflektoren und der Geschwindigkeit vbzw. v .






Summiert man die Spuren nach der NMO- Korrektur, erhalt man eineeinzige Spur, auf der die Reflexion als starkeres Signal sichtbar ist. DieSignalverbesserung ist am deutlichsten, wenn die angenommeneGeschwindigkeit (auch Stapelgeschwindigkeit, stacking velocity genannt)korrekt ist.







Damit kann aus der Energie des gestapelten Signals die optimaleStapelgeschwindigkeit als Funktion der Tiefe bestimmt werden. DieserProzess wird auch velocity analysis genannt.







Veranschaulichung der Bearbeitungsschritte in der Reflexionsseismik. (Abb. aus [Klemperer, 1992])






Reflexionsseismisches Profil in der Norsee (oben) mit geologischer Interpretation (unten). (Abb. aus

[Klemperer, 1992])






Datenbeispiel sudlich von Grossbritannien (Abb. aus [Klemperer, 1992])






Reflexionsseismisches Profil uber die Wind River Thrust (oben) mit geologischer Interpretation (unten). (Abb. aus

[Klemperer, 1992])






Abschliessend ein Beispiel fur hochauflosende 3-D Reflexionsseismik inder oberen Kruste, welche das Potential der Seismik eindrucksvoll zeigt.Die Methodik der 3-D Reflexionsseismik wird detaillierter in derVorlesung Seismische Abbildungs- Verfahren behandelt.

Daten aus dem Golf von Mexiko. Die dominierende Struktur ist eine Mulde (Quelle: http://www.seg.org/about/75)Jorn Kummerow Seismologie: Erdbeben und Struktur der Erde FU Berlin, WiSe





Zusammenfassung

Der Aufbau der kontinentalen und ozeanischen Erdkruste wird vor allemmit aktiven (kunstlichen) seismischen Quellen und portablen seismischenEmpfanger- Systemen untersucht. Die wichtigsten seismischen Verfahrenzur Erkundung der Erdkruste sind die Refraktionsseismik und dieReflexionsseismik. Beide Methoden erganzen sich: Ausrefraktionsseismischen Experimenten lasst sich die durschnittlicheGeschwindigkeitsstruktur (background velocity model bestimmen,wahrend die Reflexionsseismik (Steilwinkelseismik) mit hoherer vertikalerund horizontaler Auflosung Grenzflachen im Untergrund abbilden kann.Wir haben die Grundlagen der beiden Methoden hier nur sehr kurzbesprochen. Insbesondere das Processing reflektionsseismischer Daten,welches vor allem auch in der Exploration von Hydrokarbon- LagerstattenAnwendung findet, konnte hier nicht im Detail dargestellt werden.





Die Erdkruste, Erganzung: Receiver Functions

Schematische Darstellung der Receiver Functions- Methode. Die vonunten auftauchende P- Welle wird z.T. an einer Grenzflache unterhalbdes Empfangers (z.b. Moho) in eine S- Welle konvertiert. Nach Rotationdes Koordinatensystems sind die beiden Phasen auf unterchiedlichenKomponenten polarisiert.

0.0 10.0 20.0 30.0

1: 170 L

2: 170 Q

3: 170 T

L

Q

T

time [sec]

0 10 20 30

Ps

PpPdp

PpSdsPpPds

P

L

QT

PpPd

s

P

P

discontinuity

incident wave

array of 3-comp-seismographs

PsPpSd

sLQT-System

EN

ZZNE-System

Veranschaulichung der Receiver Functions- Methode.Jorn Kummerow Seismologie: Erdbeben und Struktur der Erde FU Berlin, WiSe




Receiver Functions

Veranschaulichung der Processing- Schritte bei der Receiver Functions-Methode.

0.0 25.0 50.0 75.0 100.0

1: DSC Z

2: DSC N

3: DSC E

0.0 25.0 50.0 75.0 100.0

1: DSC Z

2: DSC N

3: DSC E

0.0 25.0 50.0 75.0 100.0

1: DSC L

2: DSC Q

3: DSC T

0.0 25.0 50.0 75.0 100.0

1: DSC L

2: DSC Q

3: DSC T

1000 50

E

N

Z

1000 50

E

N

Z

50 1000

T

Q

L

50 1000

time [sec] time [sec]

short period seismogram(a)

time [sec]

T

Q

L

time [sec]

rotation(c) (d)

(b) instrument correction

deconvolution





Receiver Functions

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0T

rans

mis

sion

skoe

ffizi

ent T

ps

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90Inzidenzwinkel

crust:vp = 6.0 km/svs = 3.4 km/s

mantle:vp = 8.0 km/svs = 4.5 km/s

Transmissionskoeffizient fur die an der Kruste- Mantelgrenze (Moho)konvertierte Ps- Phase. Der rot gekennzeichnete Bereich markiert dasIntervall fur den Einfallswinkel der P- Phase an der Moho (ca. 18 − 37◦,entsprechend Herdentfernungen von ∼ 35 − 95◦).





Receiver Functions

Fur den einfachen Fall einer horizontalen Schicht uber dem Halbraumlasst sich die Zeitverzogerung der konvertierten Ps- Welle und derMultiplen relativ zum P- Signal leicht ableiten. Aus geometrischenUberlegungen unter Berucksichtigung des Snellius’schenBrechungsgesetzes folgt

∆TPs ≡ TPs − TP = h[(v−2s − p2)

12 − (v−2

p − p2)12 ]

∆TPpPdp ≡ TPpPdp − TP = 2h(v−2p p−1)

∆TPpPds ≡ TPpPds − TP = h[(v−2s − p2)

12 + (v−2

p − p2)12 ]

∆TPpSds ≡ TPpSds − TP = 2h(v−2s − p2)

12 (94)

Die relativen Laufzeiten sind demnach Funktionen der Parameter h (Tiefeder Grenzflache), vp und vs (Geschwindigkeiten in der oberen Schicht)und p (Strahlparameter). Wegen der proportionalen Abhangigkeit von hwerden die Laufzeitdifferenzen mit zunehmender Tiefe grosser.





Receiver Functions, Fallbeispiel Ostalpen

Verteilung der seismischen Stationen des TRANSALP- Projektes in denOstalpen (links) und RF- Einzelspuren fur eine Station (rechts).

11˚

11˚

12˚

12˚

13˚

13˚

45˚ 45˚

46˚ 46˚

47˚ 47˚

48˚ 48˚

25 km

11˚

11˚

12˚

12˚

13˚

13˚

45˚ 45˚

46˚ 46˚

47˚ 47˚

48˚ 48˚

Shortperiod

Broadband

TRANSALP STATIONS

seismic traverseMunich

Innsbruck

Venice

Alps






Gestapelte Receiver Functions: Nord- Sud- Zeit- Schnitt durch die Alpen.






-1

0

10

20

40

60

dept

h [k

m]

46.046.547.047.548.0

latitude [deg]

010002000

topo

grap

hy [m

]

N S

Adriatic Moho

Molasse

N. Calcareous AlpsTauern Window Dolomites

European Moho

PL

Receiver Functions: Tiefenmigrierter Nord- Sud- Schnitt durch die Alpen.






Vergleich von Receiver Functions und Reflexions- Seismik (LineDrawings).





Receiver Functions Fallbeispiel Ostalpen

Aus Receiver Functions abgeleitetes Krustenmodell der Ostalpen.






Receiver Functions- Schnitt durch die Ostalpen bis 800 km Tiefe.

0

0

100

200

300

400

500

600

700

800

dept

h [k

m]

44464850

latitude [deg]

010002000

topo

grap

hy [m

]N S

-

+

410 km

660 km

Alps

Moho

Moho Multiples





Receiver Functions

West- Ost- Receiver Functions Schnitt durch die Zentralen Anden (aus[Yuan et al., 2000]).





Receiver Functions

Beispiel fur S- Receiver Functions (S nach P konvertierte Wellen). Diesesind besonders geeignet, um die LAB (Lithospharen- Asthenospharen-Grenze) zu kartieren.

(aus [Kumar et al., 2007]).Jorn Kummerow Seismologie: Erdbeben und Struktur der Erde FU Berlin, WiSe




Seismometrie, Themenuberblick

In diesem Kapitel unterbrechen wir kurz die Beschreibung der seismischenStrahlen/Wellen in der Erde, um zu zeigen, wie die seismischen Wellenaufgezeichnet werden.Dieses Feld der Seismologie heisst Seismometrie. Wir diskutieren hierzwei Bereiche:

1 Seismometer, Funktionsweise

2 Seismische Netze





Seismometer

Erstes Messinstrument zur Registrierung von Erdbeben

Prinzip der chinesischen Erdbebenvase (Seismoskop, ca. 132 n. Chr.). (Quelle: KLETT-PERTHES)





Seismometer

Moderne Seismometer

Foto einer Bohrlochseismometerinstallation an der

Kontinentalen Tiefbohrung, Deutschland.

Foto einer Seismometerinstallation (Typ STS2 Streckeisen in

Parkfield, USA). (Quelle: http :

//seismo.berkeley.edu/bdsn/instrumentation/guidelines.html)





Seismometer

Moderne Seismometer

Blockdiagramm einer Seismometerinstallation (Station FARB, Farallon Islands). (Quelle:

http : //seismo.berkeley.edu/bdsn/instrumentation/guidelines.html)





Seismometer

Prinzip eines modernen Seismometers fur die Messung der Vertikalbewegung, basierend auf der Massentragheit.

Durch die relative Bewegung zwischen Magnet und Spule, welche fix am Gehause montiert ist, wird eine Spannung

induziert. Die Spannung wird vom angeschlossenen Registriersystem aufgezeichnet. (aus [Shearer, 1999])





Seismometer

Sind in der Abbildung auf der vorigen Seite u(t) die vertikaleBodenbewegung (= der Bewegung des Seismometergehauses) und z(t)die relativeAuslenkung der Masse aus ihrer Ruhelage zum Gehause. Dannist die absolute Auslenkung der Masse die Summe der beiden Terme(u(t) + z(t)).Die Bewegungsgleichung fur die Masse m ist dann

md2

dt2[u(t) + z(t)] = Fs + Fd (95)

wobei Fs die von der Feder (engl. spring) wirkende Ruckstellkraft und Fd

die Dampfung durch die viskose Flussigkeit ist. Beide sind nur von derrelativen Auslenkung abhangig. Fd ist proportional zur Geschwindigkeit,Fs proportional zur Auslenkung, so dass Gl. (95) geschrieben werdenkann als

md2

dt2[u(t) + z(t)] = −k z − D

dz(t)

dt(96)





Seismometer

mit der Federkonstanten k und der Dampfungskonstanten D.Gl. (96) wird haufig in der Form

− u = z + 2 ǫ z + ω20 z (97)

wobei ω20 = k/m die Eigenfrequenz des ungedampften Systems (D = 0)

ist und 2 ǫ = D/M ein neuer Dampfungsparameter.Um Gl. (97) nach z zu losen, wahlt man den Ansatz einer harmonischenWelle fur die Bodenbewegung u(t) (ahnlich wie bei der Wellengleichung(Gl. 27)):

u(t) = U(ω) e−iωt (98)

Man kann zeigen, dassz(t) = Z (ω) e−iωt (99)

dann eine Losung von Gl. (97) ist, wenn

Z (ω) =ω2

ω20 − 2ǫiω − ω2

U(ω) =: A(ω) e iφ(ω) U(ω) (100)





Seismometer

Amplituden- und Phasenspektrum fur ein Seismometer mit der

Eigenfrequenz 1 Hz in Abhangigkeit vom Dampfungswert h.

(aus [Shearer, 1999])

mit der realen Amplitude A(ω) und derPhasenverschiebung φ. Manchmal wirdauch die relative Dampfung h = ǫ/ω0

benutzt.

Die Auslenkung der Masse z(t) kann fureine beliebige Bodenverschiebung u(t)als Summe von Losungen furharmonische Funktionen wie in Gl. (100)geschrieben werden (s. Diskussion derFourier- Transformation auf denfolgenden Seiten).





Signal Processing

Fourier- Analyse

Eine (fast) beliebige Funktion f (t) kann als die Uberlagerungharmonischer Funktion geschrieben werden:

f (t) =1

2 π

∫ ∞

−∞

F (ω) e iωt dω (101)

mit

F (ω) =

∫ ∞

−∞

f (t) e−iωt dt (102)

Die Fourier- Transformierte F (ω) ist im allgemeinen komplex. F (ω) kannals

F (ω) = |F (ω)|e iφ(ω) (103)

geschrieben werden, wobei φ(ω) = tan−1(Im (F (ω)/Re F (ω))) dasPhasenspektrum ist.





Veranschaulichung, wie ein Signal (linke Spur, mit Stern gekennzeichnet) als die Uberlagerung verschiedener

Cosinus- Schwingungen unterschiedlicher Frequenz, Phase und Amplitude gebildet werden kann. (aus

[Yilmaz, 1987])





Die Uberlagerung von Cosinus- Funktionen mit gleicher Phase φ = 0 undgleicher Amplitude ergibt ein symmetrisches Signal (links). Einekonstante Phasenverschiebung dieser Cosinus- Funktionen um φ = 90◦

resultiert in einem antisymmterischen Signal (rechts) (Abbildungen aus[Yilmaz, 1987]). Allgemein fuhrt eine Phasenverschiebung zu einerVeranderung der Signalform.





In der Seismologie werden die kontinuierlichen Zeitfunktionen (z.B. dievom Seismometer aufgezeichnete Bodenamplitude u(t)) zu diskretenZeitpunkten gemessen. Ist ∆t der Zeitabstand zwischen zwei Messungen(Abtastrate oder Sample rate) und N die Anzahl der Messpunkte, danngilt

f (n ∆t) =1

N∆t

N−1∑

k=0

F (k∆ω) e ikn2π/N (104)

mit

F (k ∆ω) = ∆t

N−1∑

n=0

f (n∆t) e−ik∆ωn∆t = ∆t

N−1∑

n=0

f (n∆t) e−ikn2π/N

(105)wobei ∆ω = 2π/T mit der zeitlichen Lange T des Signals (Zeitfenster)und k , n = 0, 1, ..., N − 1 sind. Wegen ∆ω = 2π/T ist die Auflosung derWinkelfrequenz ω umso besser, je langer das Zeitfenster ist. Eine Folgeder diskreten Abtastung des Signals ist, dass die Abtastrate so gewahltwerden muss , dass fn = 1/(2 ∆t) (die sogenannte Nyquist- Frequenz)grosser als die grosste Frequenz des Signals ist.





Veranschaulichung des Aliasing- Effektes: Wird eine kontinuierliche Funktion nicht in ausreichend kleinen

Zeitintervallen abgetastet, werden hohe Frequenzen in tiefe gefaltet. (aus [Stein and Wysession, 2003])

Tipp

Sehr anschauliche JAVA Applets, die die Funktionsweise desSeismometers demonstrieren, gibt es z.B. unterhttp://ifg.tu-claustahl.de/java-d.html.





Seismometer

Der Frequenzbrereich seismischer Wellengeht von den Erdgezeiten (0.000023 Hz)bis hin zu Frequenzen von 200 Hz undhoher fur sehr flacheUntergrundstruktur- Untersuchungen.Da kein Seismometer den gesamtenBereich abdecken kann, gibt esverschiedene Seismometer, dieunterschiedliche Frequenzbereiche undunterschiedliche Sensitivitaten aufweisen.

Amplitudenspektrum fur verschiedene Seismometer

(BB = Breitbandseismometer ,

SP = Short − Period − Seismometer). (aus [Shearer, 1999])





Seismometer

Veranschaulichung der unterschiedlichen Instrumentantworten: a)Breitbandseismogramm, b) tiefpass- gefiltertes Seismogramm (Simulationeines langperiodischen Seismometers), c) hochpass- gefiltertesSeismogramm (Simulation eines kurzperiodischen Seismometers), d)Vergrosserung des lokalen Erdbebens (aus [Stein and Wysession, 2003]).





Seismometer

Auch wenn sich gerade kein eigentlichesErdbeben ereignet, befindet sich der Erdbodenin Bewegung, verursacht z.B. durch Wind oderkulturellen Noise oder Ozeanwellen. DieseEinflusse konnen z.T. sehr klein sein (genaudies ist meist das Ziel einer gutenSeismometerinstallation), werden aber vonempfindlichen modernen Seismometernaufgezeichnet. Die Abbildung rechts zeigt eineBeispielregistrierung eines Erdbebens,uberlagert von seismischem noise. DasFrequenzspektrum des noise- Fensters zeigt,dass haufig die grossten Amplituden bei5 − 10 s auftreten, verursacht durchOzeanwellen (aus [Stein and Wysession, 2003]).





Seismometrie, seismische Netze

Entsprechend dem Ziel einer Seismischen Studie (Z.B. globale oderregionale Struktur der Erde, Identifikation von Nukleartests, SeismischesMonitoring von Reservoiren) variiert die Geometrie der verwendetenseismischen Netzwerke. Man unterscheidet meist

1 Globale seismische Netze (z.B. FDSN)

2 Regionale seismische Netze (z.B. Bigfoot Array, USA)

3 Lokale Netze (z.B. KTB Monitoring System)

4 Arrays (z.B. Norsar, Norwegen)

Regionale und lokale Netze sind haufig temporar. Die Anzahl derStationen, die Stationsgeometrie und die verwendeten Seismometertypensind, abhangig von den Hauptzielen der Untersuchung, variabel.Arrays sind spezielle seismische Netze mit besonderer Geometrie. Array-Daten werden meist zur Verstarkung der seismischen Signale gemeinsanprozessiert.





Seismometrie, globale Netze

Geofon als Teil des FDSN (Federation of Digital Broad-BandSeismograph Networks)

Geofon- Stationen in Europa Geofon- Stationen weltweit





Seismometrie, globale Netze

CTBT- Stationen des IMS, Quelle: http : //www.seismo.ethz.ch/bsv/ctbto/ims.html





Seismometrie, regionale Netze

US Array, http : //www.earthscope.org/imageg allery/ImageGallery.php





Seismometrie, lokale Netze

Deep-Heat-Mining-Projekt Basel

Das Stationsnetz fur das Deep-Heat-Mining-Projekt in Basel. (Quelle: Schweizer Erdbebendienst)





Seismometrie, Arrays

Norsar- Stationslokationen Norsar- Stationskonfiguration






Geometrie von LASA (Large Aperture Seismic Array) in Montana. (aus [Stein and Wysession, 2003]






Eine haufig auf Array- Daten angewandte Methode ist das Delay andSum Processing. Dabei werden fur Paare von Slowness- und Azimuth-Werten die Laufzeitunterschiede der einzelnen Stationen berechnet, dieSeismogramme entsprechend zeitlich verschoben und aufsummiert. Furdas optimale Paar sind die Seismogramme in Phase, und die resultierendeSummenspur hat ein Energiemaximum und ein erhohtes Signal- Rausch-Verhaltnis.

∆∆ ∆ ∆ ∆l

ii

v

Illustration zur Delay and Sum- Methode. Fur einen linearen Array mit Seismometern im konstanten Abstand l

zueinander, der Wellengeschwindigkeit v und dem Auftauchwinkel i sind die Seismogramme in Phase, wenn sie um

den Betrag l p verzogert sind (mit der slowness p := sin(i) /v).






Datenbeispiele fur die Delay and Sum- Methode vom Yellowknife Array,Kanada. Die linke Abbildung zeigt die P- Phase eines Fernbebens auf a)einer Einzelspur und b) auf der Summenspur (Zeitfenster ca 60 s). In derrechten Abbildung sind ein Einzelseismogramm (a) und zweiSummenspuren (b) und (c) gezeigt. In (c) werden andere slowness- undAzimuthwerte als in (b) verwendet, so dass ausser dem Erdbeben auchdas Signal eines Nukleartests in Nevada sichtbar wird (Zeitfenster ca.120 s; aus [Douglas, 2002]).





Erdbebenlokalisierung, Einfuhrung

Epizentren des EHB- Katalogs zwischen 1960 und 2007 (138394Erdbeben; EHB: Engdahl, van der Hilst, Buland; Quelle:http : //www .isc .ac .uk/EHB/index .html).






Stationsverteilung der fur den EHB- Katalog verwendeten Stationen(Quelle: http : //www .isc .ac .uk/EHB/index .html).






Wie wird der Ort eines Erdbebens bestimmt?






Im allgemeinen wird die Lokation eines Erdbebens aus den Laufzeiten vonseismischen Wellen (z.B. P- und S- Phasen) bestimmt. Da derZeitpunkt, an dem das Erdbeben stattfand (origin time), in der Regelnicht bekannt ist, muss man bei der Erdbebenlokalisierung 4 Parameterbestimmen: die drei raumlichen Herdkoordinaten x = (x , y , z)(Hypozentrum) und die Herdzeit t (origin time). Der Punkt derProjektion des Erdbebens an die Oberflache heisst Epizentrum (s. Abb.).

Station j (x_j, y_j, z_j,t_j)

Hypozentrum (x,y,z,t) = ?

Station i (x_i, y_i, z_i, t_i)

Epizentrum

Erdoberfläche

Figure: Veranschaulichung des Problems der Erdbebenlokalisierung und der Begriffe Hypozentrum, Epizentrum.






Bemerkung

Im Kapitel zu den Herdmechanismen werden wir sehen, dass Erdbebeneine endliche raumliche Ausdehnung haben. Die Bruchflache kann furbesonders starke Beben (M > 8) bis zu mehrere hundert Kilometerbetragen. In diesen Fallen meint der Begriff Hypozentrum den Ort, woder Bruchvorgang beginnt. Bei kleinen Erdbeben mit Bruchdimensionenim cm/m- Bereich ist es hingegen legitim, die Quelle als Punktquelle zubeschreiben und mit Hypozentrum diesen Punkt zu meinen.

Hat man mehrere Stationen zur Verfugung, kann man die Herdzeit unddas Hypozentrum graphisch recht einfach bestimmen.Tragt man die TS − TP- Laufzeiten als Funktion der absoluten P-Ankunftszeit auf, dann liegen die Punkte auf einer Geraden mit derSteigung m = (vp/vs) − 1.






Deren Schnittpunkt mit der x- Geraden bestimmt die Herdzeit t(Wadati- Diagramm, s. Abb. unten aus [Lay and Wallace, 1995]). DieseBeziehung gilt exakt nur fur ein homogenes Medium.

Hat man so die Herdzeit t bestimmt, kann man die Entfernung derStation i zum Erdbeben leicht bestimmen: Di = (tp

i − t) vp .






Auf grafischem Wege erhalt man dann das Hypozentrum, indem man furmindestens drei Stationen jeweils einen Kreis um die Station i mit demRadius Di zeichnet. Das Epizentrum ist die Schnittstelle derVerbindungslinien zwischen den Schnittpunkten der Kreise. Die Tiefe ddes Bebens ergibt sich aus d =

√

D2i − ∆2

i mit ∆i = der Entfernungentlang der Oberflache zwischen Epizentrum und Station i (s. untereAbbildung aus [Lay and Wallace, 1995]).






Bemerkung

Im Prinzip ist die Lokalisierung eines Erdbebens auch mithilfe der Registrierung an einer Drei-Komponenten-

Station moglich. Aus der Polarisation der P- Welle kann die Richtung zum Erdbeben abgeschatzt werden, aus der

Laufzeitdifferenz zwischen S- und P- Welle (ts − tp ) die Entfernung D. Fur ein homogenes Medium gilt:

D = vp (ts − tp )/(√

3 − 1). Insbesondere fur steil einfallende P- Wellen ist die Methode aber sehr ungenau, da

dann die Azimuthbestimmung schwierig/unmoglich ist. (Abb. aus [Lay and Wallace, 1995])





Erdbebenlokalisierung, Standardmethode

Diese grafische Methode funktioniert nicht mehr, wenn dieGeschwindigkeitsverteilung im Untergrund nicht homogen ist.Der allgemeinere Ansatz ist daher folgender: Das Problem bei derLokalisierung besteht darin, aus den an n Stationen i (i = 1, ..., n)gemessenen absoluten Ankunfszeiten ti , ..., tn die Herdkoordinaten(x , y , z, t) zu bestimmen. ti ist z.B. die Ankunftszeit der P- oder S-Phase. Die gesuchten Parameter kann man in einen Modellvektor mit 4Elementen zusammenfassen:

m = (x , y , z, t) (106)

Fur jede Wertekombination von m lassen sich, in Abhangigkeit vomGeschwindigkeitsmodell und der Geometrie der Stationen, dietheoretischen Laufzeiten fur alle Stationen i berechnen

tcali = Fi (m) (107)

wobei Fi den Operator bezeichnet, der fur die Herdkoordinaten m dieAnkunftszeit an der Station i berechnet.






F ist nichtlinear, wie man leicht fur den trivialen Fall eines homogenenMediums mit der Geschwindigkeit v sieht. Es gilt:

tcali =

1

v

√

(xi − x)2 + (yi − y)2 + (zi − z)2 + t (108)

Als Residuum bezeichnet man die Differenz von beobachteten undberechneten Ankunftszeiten:

ri = ti − tcali = ti − Fi(m) (109)

Ziel der Lokalisierung ist es dann, das Residuum zu minimieren, z.B. mitleast square:

ǫ =

n∑

i=1

[ti − tcali ]2 (110)

Im Prinzip kann man ǫ fur alle m berechnen und die beste Losung furden Erdbebenherd als das m mit dem kleinsten ǫ− Wert finden. Dies istdie Grundidee der Gridsearch- Lokalisierungsmethode.






Haufig ist diese direkte Methode aber zu aufwendig, so dass das Problemlinearisiert wird. Dabei startet man mit einer Schatzung m0 fur die besteLokation. Normalerweise kann dieser Startwert m0 die Laufzeiten nichtperfekt anpassen. Deshalb sucht man einen Anpassungsvektor ∆m mit

m = m0 + ∆m (111)

welcher zu einer besseren Datenanpassung fuhrt. In erster Naherung kannman Gl. (111) linearisieren:

tcali (m) = tcal

i (m0) +δtcal

i

δmj∆mj (112)

Wenn tcali (m) sehr nahe bei den beobachteten ti liegt, dann ist

tcali (m) − tcal

i (m0) ≈ ri (m0). Das Problem ist also, das ∆m mit

ri(m0) =δtcal

i

δmj∆mj (113)

zu finden.Jorn Kummerow Seismologie: Erdbeben und Struktur der Erde FU Berlin, WiSe




Erdbebenlokalisierung

Meistens wird bei der Linearisierung vereinfachend ein 1D-Geschwindigkeitsmodell benutzt. Ausserdem ist ein Nachteil derMethode, dass man bei schlecht gewahltem Startmodell das globaleMinimum des Residuums nicht immer findet.

Es wurden in den vergangenen Jahren verschiedene Ansatze entwickelt,um die Genauigkeit der Lokalisierungen zu verbessern. Eine Auswahldavon sind

1 Verbesserte Laufzeitmessungen durch Wellenform- Kreuz-Korrelation, meist in Verbindung mit einer der folgenden dreiMethoden

2 Moderne Gridsearch- Algorithmen, z.B. NonLinLoc

3 Master Event- Methode

4 Double Difference- Methode





Erdbebenlokalisierung, (I) Kreuz- Korrelation

Kreuz- Korrelation

Die Kreuzkorrelation h(t) zweier Funktionen a(t) und b(t) istmathematisch definiert als

h(t) = a(t) ⋆ b(t) =

∫ ∞

−∞

a(τ − t)b(τ)dτ (114)

Datenbeispiel: Kreuzkorrelationfur jeweils 2 Ereignisse proStation. Gezeigt sind jeweils dieKreuzkorrelations- Funktion(kleine Box) und dieSeismogramme (grosse Box) furP- Wellen und S- Wellen. (aus[Shearer, 1997])






Illustration der Wellenform- Kreuzkorrelation fur 5 ahnliche an einerStation registrierten Ereignisse. Die vertikalen Linien zeigen diemanuellen Picks fur 3 Ereignisse an. Durch Kreuzkorrelation konnendifferenzielle Laufzeiten zwischen den Ereignissen genau bestimmt unddie absoluten Laufzeiten verbessert werden. Ereignissen ohne manuellePicks (Spuren 2 und 4) kann zusatzlich eine absolute Laufzeit zugeweisenwerden. (Abb. aus [Shearer, 1997])






Vergleich zwischen manuellen Picks (kurze vertikale Striche) und durchKreuzkorrelation verbesserten Picks fur reale Daten. Die Spuren sindensprechend der verbesserten Picks aliniert (gestrichelte vertikale Liniebei 0.0 s). Fehler in den originalen Picks (z.B. 6. und 8. Spur von oben)sind weitestgehend korrigiert. (Abb. aus [Shearer, 1997])





Erdbebenlokalisierung, (II) Gridsearch- Methode

Gridsearch- Methoden losen im wesentlichen eine Gleichung ahnlich derForm von Gl. (110) fur eine Anzahl von m- Werten, die von denKnotenpunktabstanden des Gitters abhangt. Wahlt man das Gitter feingenug und tastet den Untergrund gleichmassig ab, kann man das globaleMinimum, d.h. die besten Herdkoordinaten, finden. Gridsearch-Methoden benotigen mehr Computerspeicher - und zeit als linearisierteVerfahren.

Ein Beispiel ist das Programm NonLinLoc ([Lomax et al., 2001]), welcheseine probabilistische, global-search Lokalisierungs- Methode ist (dabeiwerden Unsicherheiten in den Daten und im Modell berucksichtigt). Eserlaubt die Verwendung von 3 − D- Geschwindigkeitsmodellen. DieLaufzeiten zwischen allen Knotenpunkten und allen Stationen werdeneinmal mit der Methode der Finiten Differenzen berechnet und dann ineiner Tabelle gespeichert.





Erdbebenlokalisierung, (II) Gridsearch- Methode

Beispiel fur die Verbesserung der Erdbebenlokation mit NonLinLoc unterVerwendung verbesserter Laufzeitmessungen und eines realistischeren, 3DGeschwindigkeitsmodelles (Daten vom Injektionsexperiment 2004/05 ander KTB).





Erdbebenlokalisierung, (III) Master Event Methode

Die Master Event Methode ist dann sinnvoll, wenn man vor allem an derrelativen Position nahe beieinander gelegener Erdbeben interessiert ist.Die Laufwege der Wellen von den Beben zu jeder Station sind dannannahernd gleich, so dass auch die (meist unzulangliche bekannten)Geschwindigkeitsvariationen ausserhalb des Herdgebietes fur alle Bebenetwa den gleichen Effekt haben (s. Abb. aus [Gubbins, 1992]; hierbezeichnet M das Master Event).





Erdbebenlokalisierung, (III) Master Event Methode

Definiert man ein Ereignis als Master Event mit den Herdkoordinaten m0,dann kann man die Laufzeiten fur die anderen Ereignisse relativ zudiesem Master Event berechnen:

trel = t − tmaster (115)

Ahnlich wie in Gl. (112) muss man das ∆m mit

treli = ti (m) − ti(m0) =

δtiδmj

∆mj (116)

finden. ∆m beschreibt die Lokation des Ereignisses relativ zum MasterEvent. Kennt man die absolute Lokation des Master Event, dann lassensich so auch die absoluten Lokationen der anderen Beben bestimmen.





Erdbebenlokalisierung, (IV) Double Difference Methode

Eine weitere Methode benutzt die an einer gemeinsamen Stationgemessenen relativen (differenziellen) Ankunftszeiten vonErdbebenpaaren (s. Abb. unten aus [Waldhauser and Ellsworth, 2000]):

dr ijk = (t i

k − t jk)

obs − (t ik − t j

k)cal (117)

wobei k die Station und i , j die beiden Ereignisse bezeichnen.






Die Methode wird deshalb Double Difference Methode genannt([Waldhauser and Ellsworth, 2000], [Waldhauser, 2001]). Das Problemist dann, die Anpassungsvektoren ∆mi und ∆mj mit

dr ijk =

δt ik

δm∆mi −

δt jk

δm∆mj (118)

zu finden.

Die Vorteile der Methode sind, dass sich Fehler imGeschwindigkeitsmodell aufheben (ahnlich wie bei der Master EventMethode), und dass differenzielle Laufzeiten haufig mit hohererGenauigkeit gemessen werden konnen (durch Wellenform-Kreuzkorrelation). Die Methode funktioniert deshalb bei benachbartenBeben mit ahnlichen Wellenformen am besten.






Vergleich von Standard- Lokalisierungen(links; A = Horizontalprojektion, B =Vertikalschnitt) und Double Difference-Relokalisierungen am Beispiel derHayward Fault, Kalifornien. DieRelokalisierungen zeigen fur die imeingezeichneten Rechteck befindlichenBeben, dass sie entlang einerhorizontalen Linie in ca. 10 km Tiefeliegen. (Abb. aus[Waldhauser et al., 1999])





Erdbebenlokalisierung

Erdbebenlokalisierung von 17000 Beben im Imperial Valley, Kalifornien.Links: single event location, Mitte: mit SSST-Stationskorrekturen,rechts: mit Wellenform- Kreuzkorrelation (nach [Lin et al., 2007].





Erdbebenlokalisierung, Zusammenfassung

Merke

Die Qualitat von Erdbebenlokationen wird vor allem von zwei Faktorenbeeinflusst:

1 der Genauigkeit der Laufzeitmessungen

2 der Gute des verwendeten Geschwindigkeitsmodelles

Fur Ereignisse mit ahnlicher Wellenform kann durch Kreuz- Korrelationdie Genauigkeit der Laufzeitpicks signifikant verbessert werden.Meist in Verbindung damit konnen Methoden wie NonLinLoc oder dieDouble Difference- Methode fur nahegelegene Ereignisse die absoluteund/oder relative Position akkurater bestimmen (in der Grossenordnungvon 10er Metern fur lokale Anwendungen wie an der KTB) und einscharferes Abbild der Seismizitat erzeugen.





Motivation

San Francisco- Beben 1906 (Quelle: Online Archive of California)





Motivation

Versetzter Zaun nach dem San Francisco Erdbeben 1906 (links; Quelle:Online Archive of California). Luftaufnahme der San Andreas Verwerfung.Durch die Bewegung entlang der Storung ist das Entwasserungssystemversetzt (rechts; Photograph copyright David Lynch).





Motivation, Elastic Rebound Theory

Figure: Illustration der Elastic Rebound Theory (aus[Stein and Wysession, 2003]).

Als Erklarung des San FranciscoErdbebens von 1906 schlug H. Reid dieElastic Rebound Theory vor. Gemassdiesem Modell Reid bewegen sich diebeiden Seiten der Storung relativzueinander. Reibung direkt an derStorung verhakt die beiden Seiten undverhindert das Aneinandervorbeigleiten(Abb. b). Irgendwann ist dieDeformation so gross, dass die Reibunguberwunden wird und das Gleiteneinsetzt. Die Folge ist ein Versatzentlang der Storung, verbunden miteinem Erdbeben (Abb. c).





Themenuberblick

1 Explosionen/Scherbruche

2 Aquivalente Korperkrafte

3 Momententensor

4 Quellparameter (Magnitude, Quellspektrum, Scaling laws)

5 Erdbebenstatistik (Frequenz- Magnituden- Beziehung)





Seismische Quellen, Einfuhrung

Bisher haben wir noch nichts zur Ursache der Wellen gesagt, sondernangenommen, dass die Wellen irgendwo in weiter Ferne irgendwieangeregt wurden (keine ausseren Krafte, ebene Wellen). In diesemKapitel wenden wir uns den Quellen der seismischen Wellen zu.

Meist sind naturliche seismische Quellen mit Scherbewegungen anBruchflachen innerhalb der Erde verbunden. Der Aufstieg von Magmaoder Fluidinjektionen konnen anderseits durch Offnen von Bruchen zuBeben mit Dehnungskomponenten fuhren. Ein weiterer Quelltyp sindExplosionen, die z.B. bei aktiven seismischen Experimenten, in Minenoder bei Nukleartests vorkommen.Da Explosionen einfacher und anschaulicher zu beschreiben sind als diekomplexeren Scherbruche, betrachten wir zunachst eine Explosionsquelle.





Explosionsquellen

re

Figure: Eine Explosionsquelle im Untergrund kann als radialsymmetrisch auf einen kleinen kugelformigenHohlraum einwirkender Druckimpuls idealisiert werden. (modifiziert nach [Lay and Wallace, 1995])





Explosionen

re

Die Prozesse und Deformationen innerhalb desHohlraums sind im Detail ausserst komplex undnicht-elastisch. Ausserhalb des sogenanntenelastischen Radius (re) aber muss dasP-Wellen- Verschiebungspotential Φ dieinhomogene, wegen der Radialsymmetrieeindimensionale Wellengleichung

δ2Φ

δr2− 1

α2

δ2Φ

δt2= −4πF (t)δ(r ′) (119)

(r ′ = r − re) erfullen.

Verglichen mit der homogenen Wellengleichung (27) muss hier derKraftterm F (t) berucksichtigt werden. F (t) reprasentiert die effektiveKraft, die am elastischen Radius re angreift (Vorsicht bei denDimensionen: F ist, da wir hier φ betrachten, keine Kraft).





Explosionen

Die Losung von Gl. (119) hat die Form

Φ(r , t) =−F (t − (r ′/α))

r ′(120)

F (t, r ′) heisst reduced displacement potential, r ′ ist die Entfernung zumelastischen Radius re . Fur Nuklearexplosionen kann der elastische Radius1 km oder mehr betragen, meist aber ist er vernachlassigbar(re = 0, r ′ = r , d.h. die Quelle kann als Punktquelle betrachtet werden).Die Losung fur die Verschiebung u(r , t) ergibt sich durchGradientenbildung (hier Ableitung nach r) aus Φ mithilfe von Produkt-und Kettenregel

u(r , t) =δΦ(r , t)

δr= (

1

r2)F (t − r

α) + (

1

rα)δF (t − (r/α))

δτ(121)

mit der retardierten Zeit τ = t − (r/α).





Explosionen

Der erste Term ( 1r2 F (t − r

α )) nimmt mit dem Quadrat der Entfernung ab

(∼ 1/r2, Nahfeld- Anteil), wahrend der zweite Term ( 1rα

δF (t−(r/α))δτ )

langsamer abnimmt (Fernfeld- Anteil). In grosser Distanz von der Quelleist die Verschiebung proportional zur zeitlichen Ableitung desVerschiebungspotenzials (bei Vernachlassigung des Nahfeld- Anteils). DerErsteinsatz ist bei Explosionen immer positiv, d.h. von der Quelle ausbetrachtet nach aussen gerichtet (positive zeitliche AbleitungδF/δτ > 0), und unabhangig von der Richtung (Radialsymmetrie).Wenn die effektive Kraft an der Quelle eine Stufenfunktion ist, ist imFernfeld die Verschiebung ein Delta-Impuls!





Scherbruche

Die Beschreibung von naturlichen seismischen Quellen ist im allgemeinendeutlich schwieriger als bei Explosionen. Die konzeptionelle Vorstellungist, dass die mit der Zeit anwachsende elastische Deformation an einemPunkt bzw. kleinen Bereich einer Verwerfung die statische Reibungubersteigt und dann an dieser Stelle eine Gleitbewegung ausgelost wird.

Figure: Schematische Abbildung eines Bruchvorgangs entlang einerVerwerfungsflache. (aus [Lay and Wallace, 1995])

Die Bruchflache, d.h. das Gebiet,wo Gleitbewegungen stattfinden,breitet sich mit der Zeit aus. DieVerschiebung entlang derBruchflache (slip function) istdaher eine Funktion von Zeit undOrt (D(r, t) ≡ d(r, t)). Haufigwird vereinfachend die zeitlicheAusdehnung des Bruchvorgangsvernachlassigt und d = const.angenommen.





Scherbruche

Figure: Nomenklatur fur die Beschreibung derGleitbewegung entlang einer Verwerfungsflache. (aus[Stein and Wysession, 2003])

d ist der slip vector, der die Bewegungdes hangenden Blocks relativ zumliegenden Block beschreibt.

Φf ist die Strike- Richtung derStorung, gemessen von Nord imUhrzeigersinn 0 ≤ Φf ≤ 180◦).

δ ist der Einfallswinkel (dip) derVerwerfungsflache, gemessen von derOberflache, nach unten positiv(0 ≤ δ ≤ 90◦).

λ ist der Slipwinkel (oder rake),gemessen in der Storungsflache vonder Strike- Richtung in Richtung slipvector (0 ≤ λ ≤ 360◦).





Scherbruche

Die einfachsten und wichtigsten Typen von Storungen:

Strike-slip fault (Transformstorung)

Normal fault (Abschiebung)

Reverse or thrust fault (Aufschiebung)

Figure: (aus [Stein and Wysession, 2003])Jorn Kummerow Seismologie: Erdbeben und Struktur der Erde FU Berlin, WiSe




Scherbruche

Beispiele fur Storungen auf verschiedenen Skalen

Figure: Foto von der San Andreas Transformstorung in derCarrizo- Ebene, Central California (Quelle:http : //www.ussartf .org/earthquakes.htm)

Figure: Foto von kleinen Aufschiebungen bei Oskhosh,USA (Quelle: http ://www.pitt.edu/ cejones/GeoImages/7Structures/ReverseFaults





Scherbruche

Anders als bei Explosionen variiert die Erstausschlagsrichtung der P-Welle (Polaritat) bei Gleitbewegungen entlang einer Storungsflache mitder Richtung von der Quelle zur Station. Z.B. lasst sich intuitiv fur dieunten gezeigte Transformstorung (Abb. aus [Stein and Wysession, 2003])nachvollziehen, wo Bereiche von Kompression (Bewegung in Richtung zurStation) und wo Bereiche von Dilatation liegen. Es gibt allgemein 4Bereiche (2 Quadranten mit Kompression und 2 mit Dilatation).





Scherbruche

Die verschiedenen Typen von Storungenhaben unterschiedliche Abstrahlmuster. Dasermoglicht es, durch Beobachtung vonPolaritaten der P- Welle an mehreren, gutverteilten seismischen StationenInformationen uber die Geometrie desBruches bei einem Erdbeben zu erhalten(Focal mechanisms).

Die Darstellung erfolgt i.d.R. alsstereographische oder equal area Projektionder unteren Hemisphare (s. Abb.). Diekompressiven Quadranten werden haufigschwarz ausgefullt, wodurch das Beachball-ahnliche Erscheinungsbild resultiert.

Station S

Lower Hemisphere

R=0i

Earthquake

North

S

ia

Figure: Die an der Station S gemessene Polaritat(plus oder minus) wird am Punkt (i,a) eingezeichnet(i = Inklination, a = Azimuth).





Scherbruche

Figure: Herdmechanismen fur verschiedeneGeometrien. (aus [Stein and Wysession, 2003])

Es ist aus der Analyse der P- Wellen-Polaritaten allein nicht moglich zu bestimmen,welche von zwei zueinander senkrechtenFlachen die eigentliche Bruchflache ist (dieandere Flache ist die sogenannte Hilfsflache,auxiliary plane, in der Abb. links als gestrichelteLinie gezeichnet). Auch die Hinzunahme von S-Wellen- Polaritaten andert nichts an derZweideutigkeit. Um zu entscheiden, welche dieBruchflache ist, muss man andereInformationen hinzunehmen (z.B. Amplitudender Oberflachenwellen, Berucksichtigung derEffekte der Richtungsabhangigkeit infolge derendlichen Bruchausdehnung, Aufschluss derBruchflache an der Erdoberflache oder dieOrientierung von Aftershocks).





Scherbruche

Im hier gezeigten Beispiel (HectorMine,California, Mw = 7.1 Erdbeben von1999) ist es moglich, aus der Anordungder Aftershocks und der Orientierungder kartierten Storungen die Bruchflachezu bestimmen. Diese streicht NW-SE(Abbildung aus [Wiemer et al., 2002]).





Scherbruche

Figure: Verschiedene Herdmechanismen mit derselben N-Sorientierten Verwerfungsflache, aber unterschiedlichen Slip-Winkeln. (aus [Stein and Wysession, 2003])





Scherbruche

Figure: Ausgewahlte Beispiele fur Herdmechanismen aus dem Harvard CMT Katalog. (aus [Shearer, 1999])





Scherbruche

Erdbebenmechanismen fur verschiedene tektonische Umgebungen; links:Mittelozeanischer Rucken, rechts: Subduktionszone (Abbildungen aus[Stein & Klosko, 2002]).





Scherbruche

Bisher haben wir die verschiedenen Typen von einfachen Storungenbetrachtet und eher intuitiv ihre Herdflachenlosungen gefunden, d.h.vorausgesagt, wo sich die Quadranten mit positivem Erstausschlag der P-Welle, und wo sich diejenigen mit negativem Erstausschlag befinden.Nicht berucksichtigt haben wir dabei z.B. Amplitudenvariationen der anden seismischen Stationen gemessenen Wellen.Im folgenden wollen wir diese als Funktion von Ort und Zeit (ahnlich wiezuvor fur die Explosionsquelle) quantifizieren. Die Ergebnisse lassen sichauf andere Typen von seismischen Quellen erweitern, welche sich nichtals Scherbewegungen entlang einer Bruchflache beschreiben lassen.Die Annahme ist hier die folgende (nachste Seite)





Scherbruche, Aquivalente Korperkrafte

Hypothese

Der physikalisch komplexe Bruchvorgang eines Erdbebens kann durchKorperkrafte beschrieben werden, welche dynamisch aquivalent sind, d.h.die gleiche seismische Wellenabstrahlung erzeugen.

Figure: Konzept der aquivalenten Korperkrafte. (aus [Lay and Wallace, 1995])





Scherbruche

Dies ist eine bemerkenswerte Vereinfachung des Problems, welche esermoglicht, die abgestrahlten P- und S- Wellenmusters z.B. furScherbruche zu quantifizieren.Die gute Ubereinstimmung des so vorhergesagten Abstrahlmusters mitden beobachteten Seismogrammen von unzahligen in den vergangenenJahrzehnten registrierten Erdbeben unterstutzt diesen Ansatz. Es hatsich dabei gezeigt, dass das Double Couple- System das am besten zurBeschreibung von Scherbewegungen entlang einer Verwerfung geeigneteist.Im Laufe der Vorlesung werden aber auch Falle aufgezeigt, wo derDouble Couple- Ansatz die beobachteten Seismogramme nichtangemessen erklaren kann und daher ein allgemeiner Ansatz vonnoten ist.Der Seismische Momententensor ist dieses allgemeiner anwendbareWerkzeug zur Beschreibung einer Vielzahl von seismischen Quellen,inklusive Explosionen, Implosionen, Bruchoffnungsvorgangen u.v.m..





Scherbruche

Merke

Das Konzept der aquivalenten Korperkrafte kann die tatsachlich beimBruchvorgang wahrend eines Erdbebens ablaufenden Prozesse nichterklaren. Es bietet aber die Moglichkeit, im Rahmen der Elastodynamikdie beobachteten Seismogramme in guter Naherung zu modellieren.





Seismische Quellen

Im Rahmen dieser Vorlesung soll der Weg zur Losung der Verschiebungnur skizziert werden. Gelost werden muss eine Gleichung der Form

ρδ2u/δt2 = fbody + (λ + µ)∇(∇ · u) + µ ▽2 u (122)

wobei hier im Vergleich zu Gl. (21) der die wirkenden Korperkraftereprasentierende Term fbody (im folgenden kurz f) berucksichtigt wird(mit der Dimension Kraft pro Volumen). Die Losung ist im allgemeinenrecht komplex.Betrachten wir zunachst einen Kraftvektor f(r0, t0), der zur Zeit t0 amOrt r0 angreift. Das resultierende Verschiebungsfeld u(r, t), gemessen amEmpfanger am Ort r, ist eine i.a. komplizierte Funktion derGeschwindigkeits- und Dichteverteilung im Untergrund. Andererseits gibtes fur jedes f(r0, t0) und jedes r eine eindeutige Verschiebung u(t) (diesfolgt, hier unbewiesen, aus dem Eindeutigkeitstheorem fur Gl.(122)).





Seismische Quellen

Trennt man die Quellterme und die die Wellenausbreitung betreffendenTerme, kann man ansatzweise fur die Komponenten von u(r, t), die ausder Wirkung der Kraft am Ort r0 resultieren, schreiben:

ui(r, t) = Gij(r, t; r0, t0)fj(r0, t0) (123)

G heisst die elastodynamische Green’s Funktion. Unter der Annahme,dass G berechnet werden kann, lasst sich aufgrund der Linearitat von Gl.(123) die Verschiebung infolge einer beliebigen Anordung vonKorperkraften als Superposition der Verschiebungen fur einzelnePunktquellen bestimmen.Betrachten wir nun die Korperkrafte etwas naher. Wegen derImpulserhaltung treten die Krafte gewohnlich paarweise auf, entweder umeine Entfernung d parallel oder senkrecht zum Kraftvektor versetzt (Abb.auf der folgenden Seite). Im letzteren Fall muss, um den Drehimpulskonstant zu lassen, ein zweites Kraftpaar wirken (Double Couple).





Seismische Quellen

d

Single Force

f

d

Force Couples Double Couples

f

f

f

f

f

f

f

f

Figure: Beispiele fur Kraftepaare (Force Couples) und doppelte Kraftepaare (Double Couples). Eine Einzelkraft(Single force, oben) ist in der Regel als Reprasentation einer seismischen Quelle auszuschliessen, da sie nur vonaussen hervorgerufen werden konnte.





Momententensor

Figure: Die 9 Komponenten des Momententensors. (aus[Stein and Wysession, 2003])

Es lassen sich neun Kraftepaare finden,die die Komponenten des sogenanntenMomententensors bilden

M =

Mxx Mxy Mxz

Myx Myy Myz

Mzx Mzy Mzz

Die Grosse von Mij ist durch dasProdukt fd gegeben, wobei der Abstandd beliebig klein wird. M ist wegen derDrehimpulserhaltung symmetrisch(Mij = Mji). Die Tensoreigenschaftenvon M bleiben hier unbewiesen.





Momententensor

Durch den Momententensor lassen sich die unterschiedlichenHerdmechanismen reprasentieren.Ausgehend von Gl. (123) kann man fur ein Kraftepaar am Ort r0schreiben

ui(r, t) = Gij(r, t; r0, t0)fj(r0, t0) − Gij(r, t; r0 − d ek, t0)fj(r0, t0) (124)

d.h.

ui (r, t) =δGij(r, t; r0, t0)

δkfj(r0, t0)d (125)

wobei das Kraftepaar um den Betrag d in Richtung des Einheitsvektorsek versetzt ist (k=(x,y,z)).Mithilfe des Momententensors wird

ui (r, t) =δGij(r, t; r0, t0)

δkMjk(r0, t0) (126)





Momententensor

Diskussion: Ein Scherbruch lasst sich am besten durch einen DoubleCouple Mechanismus beschreiben (das Double Couple ist das aquivalenteSystem von Korperkraften, welches dasselbe Verschiebungsfeldproduziert). Z.B. ist

M =

0 M0 0M0 0 00 0 0

die Momententensordarstellung fur eine dextrale Transformverschiebungentlang einer vertikalen Bruchflache in x- Richtung. Wegen derSymmetrie von M hat eine sinistrale Transformverschiebung in y-Richtung dieselbe Momententensordarstellung. Das entspricht der bereitsfruher gefundenen Zweideutigkeit der Herdflachen.





Momententensor

Figure: Die beiden Transformstorungen haben aufgrund der Symmetrie des Momententensors dieselbeMomententensordarstellung. (aus [Stein and Wysession, 2003])





Momententensor

Der Momententensor kann aufgrund seiner Symmetrie diagonalisiertwerden. Fur das Beispiel der Transformstorung wird

M′ =

M0 0 00 −M0 00 0 0

Figure: Double Couple System in verschiedenen Koordinatensystemen. Fur das rechts gezeigteKoordinatensystem ist der Momententensor diagonal. (aus [Shearer, 1999])





Momententensor

Das neue Koordinatensystem (mit x ′1, x

′2 in der Abbildung auf der vorigen

Seite) ist um 45◦ rotiert. Die Hauptachsen heissen T (Tension)-, P(Pressure)- und B (Null) Achse (die B- Achse entspricht in diesem Fallder x3- bzw.x ′

3- Achse).

Die Grosse M0 definiert das skalare seismische Moment und ist gegebendurch

M0 = µDA (127)

mit dem Schermodul µ, dem Versatz D entlang der Storung und derBruchflache A. Die Einheit von M0 ist [Nm].





Momententensor

Wie vorher erwahnt, ist es i.a. schwierig, die Green’s Funktion zubestimmen, um daraus dann die Verschiebung u zu berechnen (s. Gl.(123).Fur ein unendliches, homogenes, isotropes Medium kann man zeigen,dass die P- Wellen- Verschiebung im Fernfeld einer Quelle in r0 inAbhangigkeit der jk− Komponente des Momententensors so geschriebenwerden kann

uPi (r, t) =

1

4πρα3

xixjxk

r3

1

rMjk(t −

r

α) (128)

mit Mjk gleich der zeitlichen Ableitung der MomententensorkomponenteMjk (vergleiche mit dem 2. Term in Gl. 121 fur die Explosionsquelle).Ein ahnlicher Ausdruck kann fur die S- Wellen- Verschiebung gefundenwerden

uSi (r, t) =

1

4πρβ3((δij − γiγj)γk)

1

rMjk(t −

r

β) (129)





Momententensor

Figure: (aus [Shearer, 1999])

wobei γi = xi/r ist. α und β in den Gl. (128)und (129) sind die P- bzw. S- Wellen-Geschwindigkeiten.Im konkreten Fall einer Double Couple- Quelleergibt sich fur die P- und S- Welle (hier soll derEinfachheit halber angenommen werden, dassdie Bruchflache in der x1 − x2 Ebene liegt undder Slip in x1 Richtung erfolgt (s. Abb. links)):

uP(r, t) =1

4πρα3sin2θ cosφ

1

rM0(t −

r

α) r (130)

mit dem radialen Einheitsvektor r. Die Formulierung erfolgt ameinfachsten in Kugelkoordinaten. Fur die S-Welle gilt

uS(r, t) =1

4πρβ3(cos2θ cosφ θ − cosθ sinφ φ)

1

rM0(t −

r

β) (131)





Momententensor

mit den Einheitsvekroren φ und θ in φ bzw.θ Richtung. Fernfeld- Abstrahlmuster fur PWellen (Abbildung oben) und S- Wellen(unten) infolge einer Double Couple Quelle(aus [Shearer, 1999]). Die T- Achse liegt inder Mitte des kompressiven Quadranten, dieP- Achse in der Mitte des dilatativenQuadranten. S ist von der P- Achseweggerichtet und zeigt i.a. zur T-Achse.

Wichtig

Die P- Achse entspricht nur dann derRichtung der lokalen maximalen Spannungin der Erde, wenn die Bruchflache eineEbene maximaler Scherspannung ist.





Momententensor

Die Abbildung links zeigt eineAuswahl von Momententensoren unddie entsprechendenHerdmechanismen (aus[Stein and Wysession, 2003]). Dieerste Reihe zeigt eine Explosion(links) und eine Implosion (rechts),die nachsten drei Reihen zeigenDouble Couple Quellen, die unterenbeiden Reihen zeigen CLVD Quellen(siehe Erlauterungen auf denfolgenden Seiten).





Momententensor

Wie beschrieben, fuhrt die Symmetrie des Momentensors dazu, dass erimmer diagonalisiert werden kann.Sei der diagonalisierte Momentensor von der Form

M =

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

mit |λ1| ≥ |λ2| ≥ |λ3|. Dann lasst sich M schreiben als

M =

tr(M)/3 0 00 tr(M)/3 00 0 tr(M)/3

+

λ′1 0 00 λ′

2 00 0 λ′

3

wobei tr(M) = λ1 + λ2 + λ3 die Spur des Momententensors ist undλ′

i = λi − tr(M)/3 die deviatorischen Eigenwerte. Der erste Term enthaltden isotropen Anteil und entspricht der Volumenanderung (Explosionoder Implosion). Der zweite Term ist der deviatorische Momententensor.





Momententensor

Bei einer Explosionsquelle ist der zweite Term null (s. Abbildung unten),bei einem Double Couple verschwindet der erste Term. DieMomentensordarstellung fur die Explosionsquelle ist

M =

λ1 0 00 λ1 00 0 λ1

Figure: Explosivquelle, entsprechend drei gleich grossen Dipolen im aquivalenten Korperkraftesystem. (aus[Stein and Wysession, 2003])





Momententensor

Es gibt verschiedene Moglichkeiten, den deviatorischen Momententensorzu zerlegen.

Eine haufig verwandte ist die Zerlegung in zwei Double Couple- Anteile(die i.a. unterschiedlich gross sind):

0

@

λ′

1 0 00 λ′

2 00 0 λ′

3

1

A =

0

@

λ′

1 0 00 −λ′

1 00 0 0

1

A +

0

@

0 0 00 −λ′

3 00 0 λ′

3

1

A

Ein andere oft gebrauchte Darstellung ist die Zerlegung in einen Double

Couple- Anteil und einen CLVD- Anteil (Compensated Linear VectorDipole):

0

@

λ′

1 0 00 λ′

2 00 0 λ′

3

1

A =

0

@

λ′

1 + λ′

3/2 0 00 −λ′

1 − λ′

3/2 00 0 0

1

A +

0

@

−λ′

3/2 0 00 −λ′

3/2 00 0 λ′

3

1

A





Momententensor

Veranschaulichung der drei Quelltypen,die haufig bei der Dekomposition desMomententensors verwendet werden.Von links nach rechts: isotrop, doublecouple, compensated linear vector dipole(CLVD). (a) Aquivalentes Kraftsystem,(b) P Wellen- Abstrahlmuster, (c) P-Wellen- Knotenflachen, (d) Schnittliniender Knotenflachen mit der Herdflache(Abbildung aus [Julian et al., 1998]).





Momententensor

Figure: Beispiel fur beobachteten CLVD-Typ- Herdmechanismus. In diesem Modell fuhrt die Deflation derMagmakammer zum Absinken des daruberliegenden Blockes. (zusammengestellt aus [Nettles and Ekstrom, 1998])





Momententensor

Beispiele fur beobachtete Non-DoubleCouple- Herdmechanismen. DerMomentensor wird hier wieder in die dreiAnteile volumetric (isotrop),double-couple und CLVD zerlegt(Abbildung aus [Miller et al., 1998]).Vor allem in geothermalen undvulkanischen Gebieten sowie Minen sindderartige Herdmechanismen mitsignifikanten Abweichungen vonScherbruchmechanismen beobachtetworden.





Momententensor

Figure: Zusammenstellung von beobachteten Non-Double Couple- Erdbeben. (aus [Miller et al., 1998])





Momententensor

Figure: Illustration zur Erklarung von Erdbeben in geothermalen Gebieten infolge thermaler Kontraktion,

wodurch es zur Offnung von Bruchen kommt. Siehe das Beispiel Hengill, Island auf der vorvorigen Seite. (aus[Miller et al., 1998])





Momententensor

Zusammenfassung

Der Momententensor ist eine elegante Darstellung der seismischenQuellen. Er erlaubt es, die Seismogramme zu analysieren, ohne imvorhinein annehmen zu mussen, dass es sich bei der Quelle um eineScherbewegung entlang einer Bruchflache handelt (wie wir es vorher beider Bestimmung der Herdflachen aus den P- Polaritaten implizit getanhaben).Durch die lineare Verknupfung von u und den Komponenten von M (Gl.123 und 126) ist es daruberhinaus moglich, relativ einfach aus denSeismogrammen durch Matrixinversion den Momententensor alsInformation uber die Quelle zu finden (falls man G kennt).





Momententensor

Beispiel fur die Mehrdeutigkeit der Herdmechanismen anhand der P-Wellenpolaritaten. Die beiden gezeigten Losungen sind mit den Datenvereinbar. Wenn man die gemessenen Amplituden invertiert, zeigt essich, dass der rechts abgebildete Mechanismus die Seismogramme besseranpasst (aus [Julian et al., 1998]).





Quellparameter

Bei der Diskussion des Momententensors haben wir weitgehend diezeitliche und raumliche Ausdehnung des Bruchvorgangs vernachlassigt.Hier wollen wir auf diese beiden Aspekte etwas ausfuhrlicher eingehen.Wir hatten bereits in Gl. (130) die zeitabhangige P- Wellen-Verschiebung im Fernfeld einer Double Couple- Punktquelle geschrieben(ohne die Gleichung konkret herzuleiten)

uPr (r , t) =

1

4πρα3

Rp

rM(t − r

α) (132)

wobei hier der Term Rp allgemeiner als die cos- und sin- Terme in Gl.(130) die Winkelabhangigkeit der Abstrahlung zusammenfasst. DieVerschiebung u im Fernfeld ist also proportional zur zeitlichen Ableitungvon M(t) (dies hatten wir auch schon fur die Explosionsquelle (Gl. 121)gefunden). Ein Versatz an der Quelle fuhrt im Fernfeld nicht zu einerpermanenten Verschiebung, sondern zu einer kurzzeitigen Verschiebung,wenn die abgestrahlte Welle vorbeilauft.





Quellparameter

Findet der Versatz instantan ohne zeitliche Ausdehnung statt, ist uPr (r , t)

eine Deltafunktion.In Wirklichkeit ist es plausibler anzunehmen, dass dieser Vorgang einebestimmte Zeit τr (rise time) dauert (s. Abb.).

τr

0

M(t)

t τr

0

M’(t)

t

M(t) (und damit auch u(t) im Fernfeldfeld) ist in diesem Fall, bei demM(t) linear anwachst, eine Rechteckfunktion der Breite τr .





Quellparameter

In Realitat ist die Quelle ausserdem keine Punktquelle, sondern hat einegewisse raumliche Ausdehnung.Ein einfaches kinematisches Modell fur den Bruchvorgang ist das HaskellFault Model (s. Abb.):

��

��

L

X

dx

wv_r

*ru

ptur

e fr

ont

Der Bruch beginnt an einem Ende der Bruchflache mit der Breite w undder Gesamtlange L (mit L ≫ w) und breitet sich eindimensional mit derBruchgeschwindigkeit vr in x- Richtung aus. Alle Bereiche der Flachebrechen auf ahnliche Weise, aber zeitversetzt.





Quellparameter

Unterteilt man die Bruchflache in N schmale Elemente der Lange dx ,kann man die im Fernfeld gemessene Verschiebung u(t) als Uberlagerungder N Beitrage annahern, wobei diese durch die endlicheBruchgeschwindigkeit um die Zeit ∆ti verzogert wirken

uPr (r , t) =

N∑

i=1

ui(ri , t −riα− ∆ti ) (133)

Setzt man Gl. (132) in Gl. (133) ein, kann man uPr (r , t) in folgender

Form schreiben (Herleitung s. z.B. [Lay and Wallace, 1995]):

uPr (r , t) =

Rp µ w

4πρα3vr D(t) ∗ B(t; τc) (134)

mit der Slip Funktion D(t) und der Rechteckfunktion B(t; τc) der Langeτc = L/vr und der Hohe 1. D(t) kommt uber die BeziehungMi(t) = µ w dx Di(t) (mit w dx = Ai ) in die Gleichung.





Quellparameter

u(t) ist im Fernfeld also die Faltung von Di (t) mit B(t; τc) (multipliziertmit einem Skalierungsfaktor).Ist Di(t), wie vorher beschrieben, eine Rechteckfunktion, dann wird dieForm von u durch die Faltung von zwei Rechteckfunktionen der Lange τr

und τc definiert. Die resultierende Funktion ist eine Trapezfunktion derLange τc + τr (s. Abb.).

τr

τr

τr

* =

+τc τ

c

Der erste Term reprasentiert die zeitliche Dimension des Versatzes aneiner Stelle, der zweite Term die raumliche Dimension, d.h. die Zeit, dieder Bruch benotigt, um auf der gesamten Lange L zu brechen.





Quellparameter

Figure: Veranschaulichung des Faltungsprozesses zweier Rechteckfunktionen, der eine Trapezfunktion ergibt.(aus [Lay and Wallace, 1995])





Quellparameter

Figure: Datenbeispiel, fur das die tatsachlich gemessene Verschiebung (unterste Teilgraphik) eintrapezformiges Aussehen hat. (aus [Lay and Wallace, 1995])





Quellparameter, Directivity

Gl. (134) gilt in dieser Form nur fur Empfanger in grosser Entfernungsenkrecht zur Bruchflache, da in diesem Fall Rp und ri als konstantangenommen werden konnen. Fur Beobachter in anderen Richtungenerscheint die Bruchdauer unterschiedlich. Z.B. scheint fur Beobachter inx- Richtung, auf die der Bruch sich zubewegt, die Bruchdauer kurzer zusein:

τc = L(1

vr− 1

α) (135)

Umgekehrt gilt fur Beobachter, von denen sich der Bruch wegbewegt:

τc = L(1

vr+

1

α) (136)

In beiden Fallen ist τc eine scheinbare Bruchdauer. Die Variation von τc

mit dem Winkel des Empfangers zur Bruchrichtung wird DirectivityEffect genannt (s. Abb. nachste Seite).Meistens liegt die abgeschatzte Bruchgeschwindigkeit bei vr ≈ 0.8 β (β =Scherwellengeschwindigkeit).





Quellparameter, Directivity

Beispiel fur eine Beobachtung des Directivity Effect (nach Warren andShearer, 2006). Gezeigt sind die P- Wellenseismogramme fur ein Bebenim Japanischen Meer, sortiert nach dem Winkel zwischen Bruchrichtungund Abstrahlwinkel (0◦ entspicht Bruchausbreitung in Richtung zurStation hin). Das Quellsignal kann in zwei subevents unterteilt werden,deren zeitlicher Abstand mit zunehmendem Winkel anwachst.





Quellspektrum

Nach Gl. (134) kann uPr (r , t) im Fernfeld der Quelle im Haskell Modell

als Faltung zweier Rechteckfunktionen geschrieben werden. Diesentspricht im Frequenzbereich der Multiplikation der Spektren. Fasstman unter dem Wert g die Skalierungsgrossen (Geometriefaktoren u. a.)zusammen, kann man schreiben:

|U(ω)| = g M0 |sinc(ω τr/2)||sinc(ω τc/2)| (137)

wobei τ sinc(ω τ/2) = τ sin(ω τ/2)/(ω τ/2) die Fourier-Transformierteder Rechteckfunktion mit der Breite τ und der Hohe 1 ist.

Die Abb. links zeigt die graphischeDarstellung der sinc- Funktion(sinc(x) = sin(x)/x). Naherungsweisegilt |sinc(x)| = 1 fur x < 1 und|sinc(x)| = 1/x fur x > 1.





Quellspektrum

Bildet man den Logarithmus von Gl. (137), dann gilt

log(|U(ω)|) − log(g) = log(M0) + log(|sinc(ω τr

2)|) + log(|sinc(

ω τc

2)|)

(138)Mit der Naherung fur die sinc- Funktion und der Annahme τc > τr ergibtsich dann

log(|U(ω)|)−log(g) =

log(M0) : ω < 2τc

log(M0) − log( τc

2 ) − log(ω) : 2τc

< ω < 2τr

log(M0) − log( τc τr

4 ) − log(ω2) : ω > 2τr

Die sogenannten Eckfrequenzen (Corner Frequencies) ω = 2τc

und ω = 2τr

unterteilen das Spektrum in drei unterschiedliche Bereiche. Fur kleineFrequenzen (ω < 2

τc) ist das Spektrum flach, fur mittlere Frequenzen fallt

es mit ω−1 ab, und fur hohe Frequenzen (ω > 2τr

) mit ω−2. Aus demAmplitudenwert des flachen Abschnittes kann im Prinzip das statischeseismische Moment M0 abgelesen werden.





Quellspektrum

Figure: Theoretisches Amplitudenspektrum fur das Haskell- Bruchmodell. Haufig wird nur eine Eckfrequenz

(fc ) zur Charakterisierung des Spektrums benutzt, welche durch den Schnittpunkt des ω−2- Abschnittes mit demflachen (horizontalen) Abschnitt definiert ist. (τD entspricht τr , τR τc im Text; aus [Stein and Wysession, 2003])





Quellspektrum

Die Abbildung links zeigt einDatenbeispiel fur ein lokales Erdbeben.Oben: Displacement Seismogramm mitklarer P- und S- PhaseMitte: Spektrum fur die P- PhaseUnten: Spektrum fur die S- PhaseDie Spektren sind hier fur verschiedeneUntergrundmodelle modelliert (ausAbercrombie, [1995]).Meist kann man in real beobachtetenSpektren nur eine Eckfrequenzbestimmen.





Lokale Magnitude

Die erste Magnitudenskala wurde von Richter in den 1930er Jahren furErdbeben in Kalifornien aufgestellt. Richter beobachtete, dass derLogarithmus der maximalen Bodenbewegung (registriert auf demdamaligen Standardseismographen vom Typ Wood- Anderson) mit derEntfernung fur alle Erdbeben auf ahnliche Weise abnimmt, d.h. dass dieKurven parallel sind (s. Abb. nachste Seite).Damit konnte die Magnitude fur ein Erdbeben relativ zu einemReferenzbeben in gleicher Entfernung bestimmt werden durch

Ml = log A(∆) − log A0(∆) (139)

wobei A0(∆) die Amplitude fur das Referenzbeben mit der MagnitudeMl = 0 ist. Aus den beobachteten Werten A0 als Funktion derEntfernung ∆ erhielt er dann empirisch die Formel

Ml = log A(∆) − 2.48 + 2.76 log (∆) (140)

mit der Amplitude A in [10−6 m] und ∆ in [km].





Magnitude

Beobachtete Abnahme der seismischen Amplitude mit der Entfernung furverschiedene Erdbeben in Kalifornien (links, aus [Lay and Wallace, 1995],nach [Richter, 1958]) und schematische Darstellung der in der linkenAbbildung gezeigten Beziehung (rechts). Die Kurven fur log(A) alsFunktion der Entfernung ∆ sind fur die verschiedenen Erdeben ahnlich(aus [Shearer, 1999]).





Magnitude

Illustration der Berechnung der Richter-Magnitude Ml fur ein lokales Erdbeben(aus [Bolt, 1993]).Die drei Schritte sind

1 Abschatzung der Entfernung desBebens von der Station mithilfe derS − P- Laufzeit(Distanz[km] ≈ Zeit[s] × 8).

2 Messung der maximalen Amplitudeim Seismogramm.

3 Durch Verbinden dieser Punkte miteiner Geraden erhalt mannaherungsweise die Magnitude Ml .





Magnitude

Die lokale Magnitude Ml ist genaugenommen nur gultig fur Stationenmit Wood- Anderson- Seismometern (die es heute nicht mehr gibt) undfur Ereignisse in Kalifornien im Entfernungsbereich ∆ < 600 km.Daher wurde die allgemeiner gultige Body Wave- Magnitude eingefuhrt,welche die Form

Mb = log(A/T ) + Q(h, ∆) (141)

hat. T ist die Periode der gemessenen Welle (meist die P- Welle bei ca.1 Hz) und Q eine empirische Funktion von Entfernung ∆ und Herdtiefe h.Mb kann bis in teleseismische Entfernungen von ≈ 95◦ gemessen werden.Die Surface wave Magnitude Ms , in der globalen Seismologie haufigeingesetzt, ist definiert als

Ms = log(A/T ) + 1.66log(∆) + 3.3 (142)

wobei Rayleigh- Wellen bei Perioden von ∼ 20 s analysiert werden.





Magnitude

Empirische Beziehung zwischen Mb und Ms (links; Abb. aus[Utsu, 2002]) und Ms uber Mb fur eine Auswahl von Nuklearexplosionen(gefullte Kreise) und naturlichen Erdbeben (offene Kreise, rechts; Abb.aus [Fowler, 2004]).





Magnitude

Ein Problem der Magnitudenskalen, insbesondere von Mb ist, dass sie beigrossen Erdbeben saturieren, d.h. dass im verwendeten Frequenzbereichdie Bodenbewegungen fur grossere Erdbeben nicht entsprechendzunehmen (s. Abb.).

Figure: Theorerische Quellspektren fur Oberflachenwellenund Korperwellen. Der Stress Drop wird als konstantangenommen (aus [Stein and Wysession, 2003]).

Diese Beobachtung ist mit dem zuvorhergeleiteten Wissen uber dieQuellspektren zu verstehen. Beben miteiner grosseren raumlichen Dimensionhaben eine langere Bruchdauer τc , alsoeine kleinere Eckfrequenz (Gl. 138). DieEckfrequenz wird also in der Abb. nachlinks verschoben. Wenn sie die Frequenzdes gemessenen Signals (im Falle vonMb also 1 Hz) erreicht, beginnt sie zusaturieren. Dies ist bei Mb ≈ 5.5 − 6.0der Fall.





Magnitude

Entsprechend saturiert die bei Frequenzen von ca. 0.05 HZ gemesseneOberflachenmagnitude Ms bei grosseren Werten (Ms ≈ 8.2).

Die Saturierung von Mb und Ms fuhrte zur Einfuhrung der Momenten-Magnitude Mw , die direkt uber das seismische Moment definiert ist:

Mw =2

3log(M0) − 10.73 (143)

Hier wird M0 in [dyne cm] (107dyne cm = 1N m) angegeben. DieSkalierung ist so gewahlt, dass sie fur kleinere Erdbeben ungefahr mit derOberflachenwellen- Magnitude Ms ubereinstimmt.Die Abbildungen auf den folgenden beiden Seiten verdeutlichen dieBeziehung der Magnituden zueinander.





Magnitude

Abweichungen der verschiedenen Magnituden von Mw als Funktion vonMw (aus [Utsu, 2002]). MJ ist ein weiterer Magnitudentyp, auf den hiernicht weiter eingegangen wird.





Magnitude

Gemessene Beziehungen zwischen Mw und Ms (links) sowie zwischen Mw

und Mb (aus [Utsu, 2002]).





Magnitude

Veranschaulichung der Beitrage, welche die Erdbeben aus denunterschiedlichen Magnitudenbereichen zum kumulativen globalenseismischen Moment leisten. Die rechte Abbildung zeigt die fiktiveVeranderung des kumulativen Momentes, wenn die grossen Erdbeben1960 (Chile) und Alaska (1964) 30 Jahre spater stattgefunden hatten(Abb. aus [Ekstroem, 2000]).





Magnitude

Im allgemeinen gilt: Wenige grosse Erdbeben setzen mehr Energie frei alsviele kleine.

Figure: Grossenvergleich einiger Beben hinsichtlich Magnitude, seismischem Moment, Bruchflache und Slip.In dieser lineraren Darstellung wurden die Bruchflachen der meisten auftretenden Beben (Magnitude M < 5) nurals Punkt sichtbar sei n. (aus [Stein and Wysession, 2003])





Magnituden

Zusammenfassung

Die Momentenmagnitude Mw ist als einzige der Magnituden uber dasseismische Moment M0 = µDA mit den physikalischen Eigenschaften derErdbebenquelle verknupft, und sie saturiert als einzige fur grosseErdbeben nicht.Ihre Bestimmung ist andererseits aufwendiger als fur die historischentwickelten Magnitudentypen Ml , Mb, Ms . Diese beruhen imwesentlichen auf der einfachen Amplitudenbestimmung der imSeismogramm aufgezeichneten Wellen. Sie sind aber auch nur empirischohne direkten Bezug zur Physik des Erdbebens und konnen, wie gezeigt,auch untereinander deutliche Abweichungen zeigen. Die fruher imRahmen des Momententensors diskutierte Abhangigkeit der gemessenenAmplitude mit dem Azimuth (s. z.B. Gl. 130) geht daruberhinaus in dieMagnitudenbestimmung nicht ein (zumindest bei Betrachtung nur einerStation; vergl. Gl. 140, 141, 142) und kann zu unterschiedlichen Wertenfuhren.





Frequenz- Magnitude- Beziehung

Die Beobachtung, dass kleine Beben haufiger passieren als grosse,quantifizierten Gutenberg und Richter in den 1940er Jahren:

log N = a − b Ms (144)

wobei N die Anzahl der Erdbeben mit einer Magnitude in einembegrenzten Intervall ∆M um Ms und a und b Konstanten sind. Dieseempirische Beziehung wird auch Gutenberg- Richter- Beziehung genannt.b (b- value oder b- Wert) liegt fur die globalen Erdbeben sehr nahe bei 1.Das bedeutet, dass pro Magnitudeneinheit 10 mal weniger Erdbebenstattfinden.b- Wert- Untersuchungen werden auch fur einzelne Regionen separatdurchgefuhrt, z.B. um die seismische Gefahrdung der Regionabzuschatzen. Mithilfe von Gl. (144) kann man Wahrscheinlichkeiten furdas Auftreten eines Erdbebens einer bestimmten Grosse in einembestimmten Zeitraum berechnen.





Frequenz- Magnitude- Beziehung

Mit Gl. (143) kann man die Beziehung aus Gl. (144) uber das seismischeMoment ausdrucken:

log N = a − b (logM0/1.5 − 10.73) = α − β logM0 (145)

mit β = b/1.5 ≈ 2/3.

Figure: Frequenz- Magnituden- Beziehung (Ms ) fur globaleErdbeben in einem Zeitraum von 30 Jahren. (aus[Stein and Wysession, 2003]

Figure: Vergleichbare Darstellung fur die Frequenz-Moment- Beziehung (M0). Ein b- Wert von 1 bzw. ein β- Wertvon 2/3 passen die beobachteten Daten sehr gut an. (aus[Stein and Wysession, 2003]





Spannungen

Wir haben bereits im Kapitel Elastizitatstheorie den Spannungstensordefiniert. Er beschreibt fur einen Punkt im Raum die Krafte pro Flache,welche auf alle Flachen wirken (s. Abbildung).

Figure: Definition des Stresstensors in beliebigem Koordinatensystem und Transformation insHauptspannungssystem. (aus [Zoback and Zoback, 2002])





Spannungen

Durch eine geeignete Rotation des Koordinatensystem ins sogenannteHauptspannungssystem mit den Spannungen S1, S2 und S3 (manchmalauch mit σ1, σ2, σ3 bezeichnet) verschwinden die Scherkrafte (s. Abb.auf der vorigen Seite). Dieses System ist in der Erde besonders geeignet,da eine Hauptspannungsrichtung als vertikal angenommen werden kann(genaugenommen gilt dies an der freien Erdoberflache, da hier dieScherspannungen verschwinden). Die beiden anderenHauptspannungsrichtungen sind dann horizontal und senkrechtzueinander. Der Spannungszustand in der Erde kann dann durch vierParameter beschrieben werden: durch eine Richtung (meist der Azimuthder maximalen horizontalen Kompression SHmax) und drei Stress-Magnituden (maximaler horizontaler stress SHmax , minimaler horizontalerstress Shmin und vertikaler stress SV ). Da in der Erde im allgemeinen alleSpannungen kompressiv sind, wird hier- im Unterschied zur Diskussion imKapitel Elastizitatstheorie- die Konvention verwendet, dass eineKompression positiv ist.





Spannungen

Je nach der relativen Grosse von SHmax , Shmin und SV kann einUntersuchungsgebiet nach Anderson (1951) in eines von drei Stress-Regimen eingeteilt werden (Abb. aus [Zoback and Zoback, 2002]):

1 Normal Faulting:SV > SHmax > Shmin

2 Strike-Slip Faulting:SHmax > SV > Shmin

3 Thrust Faulting:SHmax > Shmin > SV

Die Abbildung rechts zeigt auchdie erwarteten Herdmechanismen.





Spannungen

Wichtig

Die aus dem Abstrahlmuster der seismischen Wellen bestimmten P-(pressure), T - (tensional) und B- (Null) Achsen mussen nicht mit denHauptspannungsrichtungen SHmax , Shmin und SV (oder allgemeinerS1, S2, S3) ubereinstimmen. Fur schwache Bruchflachen (weak faults) mitkleinem Reibungskoeffizienten µ (s. spater) konnen signifikanteAbweichungen auftreten. Z.B. steht die maximale Hauptspannung an derSan Andreas- Verwerfung z.T. in einem Winkel von fast 90◦ auf derBruchflache (Zoback et al., 1987]).

Der vertikale Stress ergibt sich aus der Auflast des Gesteins oberhalb desMesspunktes und kann als

Sv =

∫ z

0

ρ(z) g dz ∼ ρ g z (146)

geschrieben werden, wobei g die Schwerebeschleunigung, ρ(z) die Dichteals Funktion der Tiefe und ρ die gemittelte Dichte sind.





Spannungen

Die horizontalen Hauptspannungen sindfast immer unterschiedlich gross undzumindest SHmax haufig grosser als SV

(was beides intuitiv vielleicht nicht zuvermuten ware, wenn man davonausginge, dass die horizontalenSpannungen durch das Gewicht derdaruberliegenden Gesteinsschichtenallein verursacht ware).

Die Abb. rechts zeigt ein Beispiel fur dieSpannungsverteilung als Funktion derTiefe fur die Kontintale TiefbohrungDeutschland (KTB). Ab ca. 1 km Tiefeliegt ein Strik-Slip- Regime vor, derdifferenzielle Stress nimmt mit der Tiefezu (aus [Brudy et al., 1997]).





Weltweite Kompilation von Spannungs- Daten

Figure: World Stress Map von 2005. Quelle: The World Stress Map Project.





Weltweite Kompilation von Spannungs- Daten

Einige wichtige Beobachtungen, die sich aus der weltweitenZusammenstellung der Spannungsdaten ergeben, sind:

1 Im allgemeinen sind die Hauptspannungsrichtungen in der Kruste inden vertikalen und horizontalen Ebenen.

2 Die horizontalen Hauptspannungen sind fast immer unterschiedlichgross und auch kleiner oder grosser als die vertikale Spannung, waszu signifikanten Scherspannungen fuhrt.

3 Intraplatten- Regionen weisen uberwiegend Kompression (ThrustFaulting, Strik-slip) auf, die maximale Hauptspannung ist horizontal.

4 Normal Faulting- Regime treten vorrangig in topographisch hohenGebieten sowohl auf Kontinenten als auch in Ozeanen auf, diemaximale Hauptspannung ist vertikal.





Spannungen, Bruchkriterium

Coulomb fand bereits 1776 eine empirische Formel fur die Scherfestigkeit.Diese wird als Coulomb- Bruchkriterium (Coulomb Failure Criterion)bezeichnet:

Coulomb Failure Criterion

Ein Scherbruch in einem ursprunglich intakten Gestein entsteht, wenn aufder potenziellen Bruchflache die Scherspannung die Summe aus Kohasionplus Reibungswiderstand entlang dieser Flache ubersteigt:

|τ | = c + µi σn (147)

mit der Scherspannung τ entlang der potenziellen Bruchflache, derNormalspannung σn, der Kohasion c und dem Koeffizienten der innerenReibung µi .

µi kann aus der Steigung µi = δτ/δσn bestimmt werden, wenn τ (dieScherspannung, die erreicht ist, wenn der Bruch eintritt) uber derNormalspannung σn aufgetragen wird.





Spannungen, Scherfestigkeit

Noch 80 Jahre vor Coulomb fand Amonton, dass fur zwei Oberflachen imKontakt zueinander die Scherfestigkeit proportional zur Auflast (=Normalspannung) ist:

Amonton’s Law

|τ | = µf σn (148)

mit dem Reibungskoeffizienten µf .Fur koharente Oberflachen verschwindet die Scherfestigkeit fur σn = 0nicht, so dass Gl. (148) oft zutreffender zu

|τ | = S0 + µf σn (149)

erweitert wird, wobei S0 ein vergleichbarer Term wie c in Gl. (147) ist.






Wichtig

Gleichung (147) beschreibt dieScherfestigkeit fur ursprunglichintaktes Gestein, wahrend dieGleichungen (148) bzw. (149)den Scherwiderstand entlangeiner bereits existierenden Flachebeschreiben. µi ist imallgemeinen grosser als µf (s.Abb. rechts).

Figure: Diagramm von Scherspannung uber Normalspannung fur denWesterly Granit. Geplottet sind die Festigkeit des intakten Gesteins(Dreiecke) und die Reibungsfestigkeit (Quadrate). (aus[Lockner and Beeler, 2002])






Aus Labormessungen an verschiedenen Gesteinstypen schlussfolgerte[Byerlee, 1978], dass nur fur sehr niedrige Drucke die Scherfestigkeit vonder Oberflachenbeschaffenheit (z.B. Rauigkeit) abhangt und dieser Effektbei zunehmenden Drucken nachlasst und die Scherfestigkeit nur ingeringem Masse vom Gesteinstyp abhangt (s. die Abbildungen auf derfolgenden Seite).

Folgende empirische Gleichungen sind als Byerlee’s Law bekannt:

Byerlee’s Law

τ =

{

0.85 σn : σn < 200 MPa50 MPa + 0.6 σn : 200 MPa < σn < 1700 MPa

200 MPa entsprechen etwa 6 km Tiefe, 1700 MPa 50 km Tiefe in der Erde.






Figure: Scherspannung als Funktion der Normalspannungbei der maximalen Reibung fur verschiedene Gesteinstypen undNormalspannungen σn < 1 kbar (100 MPa). (aus[Byerlee, 1978])

Figure: Die gleiche Abbildung wie links, nur hier furgrossere Normalspannungen (bis 20 kbar , entsprechend2000 MPa). (aus [Byerlee, 1978])





Spannungen

Mithilfe des Spannungstensors kann man herleiten, dass fur eine Flachemit dem Winkel θ zur maximalen Hauptspannungsrichtung σ1 dieScherspannung τ entlang der Flache und die Normalspannung σn auf derFlache durch

τ =σ1 − σ3

2sin 2θ (150)

und

σn = −σ1 − σ3

2cos 2θ +

σ1 + σ3

2(151)

gegeben sind.

Diese Spannungen konnen auf anschauliche Weise im Mohr- Diagrammdargestellt werden (s. Abb. auf der folgenden Seite). Tragt man fur alleWinkel θ die Wertepaare (σn, τ)- genaugenommen den Betrag von τ - ein,so liegen diese auf einem Kreis (Mohr’scher Kreis). Der Mittelpunkt desKreises liegt bei σ1+σ3

2 auf der x- Achse (σn), der Radius des Kreisesbetragt σ1−σ3

2 .





Spannungen

Figure: Der Mohrkreis beschreibt die moglichen Kombinationen von σn- und τ - Wertepaaren fur Flachen mitverschiedenen Orientierungen zu σ1. Die Gerade τ = µσ beschreibt das Failure Criterion (aus[Kanamori and Brodsky, 2004]).





Oberflachenwellen

Bisher haben wir P- und S- Wellen kennengelernt, welche wir als Losungder Wellengleichung fur ein unendlich ausgedehntes Medium gefundenhaben. In Medien mit einer freien Oberflache (wie die Erde) existierendaruberhinaus die sogenannten Oberflachenwellen. Man unterscheidetRayleigh- Wellen und Love- Wellen. Rayleigh- Wellen sind radialpolarisiert (P/SV- System), Love- Wellen sind transversal polarisiert.Love- Wellen konnen als konstruktive Uberlagerung von SH-Oberflachenmultiplen betrachtet werden. Sie existieren nur, wenn dieGeschwindigkeit mit der Tiefe zunimmt (bzw. bei gekrummterOberflache). Rayleigh- Wellen existieren unabhangig von derGeschwindigkeitsverteilung mit der Tiefe. Sie entstehen durch dieWechselwirkung von P- und SV- Wellen mit der Oberflache.

(Abb. aus [Stein and Wysession, 2003])Jorn Kummerow Seismologie: Erdbeben und Struktur der Erde FU Berlin, WiSe




Oberflachenwellen

3-Komp.- Seismogramm mit Love- und Rayleighwellen. Die Amplitudevon Oberflachenwellen nimmt mit der Entfernung schwacher ab als beiKorperwellen, so dass Oberflachenwellen fur grosse Entfernungen imSeismogramm dominieren.





Oberflachenwellen

Mit Love- Welle (oben) und Rayleigh- Welle (unten) verbundeneVerschiebung. Die Amplitude der Verschiebung nimmt mit der Tiefe ab.






Oberflachenwellen

Teilchenbewegung fur die Rayleigh- Welle im homogenen Halbraum. DieTeilchenbewegung ist an der Oberflache retrograd (entgegen demUhrzeigersinn), in der Tiefe prograd (im Uhrzeigersinn).






Oberflachenwellen

Elliptische Polarisierung der Rayleigh- Welle. Die Abbildung rechts zeigtein reales Datenbeispiel.






Oberflachenwellen

Laufzeitkurven und entprechende Laufwege der Oberflachenwellen um dieErde (links) sowie reales Datenbeispiel einer Registrierung von Rayleigh-Wellen- Multiplen (rechts).


(Abb. aus [Romanowicz, 2002])





Oberflachenwellen

Oberflachenwellen sind dispersiv. Die (Phasen-) Geschwindigkeit istfrequenzabhangig und die Signalform der seismischen Phase andert sich.In den unten gezeigten Seismogrammen wird die Wellenform derRayleigh- Welle mit zunehmender Zeit breiter.





Oberflachenwellen/Eigenschwingungen

Eigenschwingungen sind stehende Wellen und konnen als Uberlagerungvon Oberflachenwellen betrachtet werden, welche mehrfach um die Erdelaufen und sich konstruktiv fur bestimmte Wellenlangen uberlagern.







Man unterscheidet fur einen kugelsymmterischen festen Erdkorper zweiTypen von Eigenschwingungen:

1 spharoidale Moden, welche analog zu P/SV und Rayleigh-Wellenbewegung sind

2 toroidale Moden, welche analog zu SH und Love- Wellenbewegungsind.

Schematische Darstellung der sparoidalen Eigenmode 0S2. Die Periode ist 54 min. (Abb. aus [Shearer, 1999])






Bodenverschiebung der torsionalen Eigenmode 0T02 (links) und einiger

weiterer torsionaler Moden (rechts).(Abb. aus [Stein and Wysession, 2003])






Amplitudenspektrum eines 35h- Seismogrammes nach dem Bolivien-Tiefbeben 1994 (radiale Komponente). Gezeigt ist neben demgemessenen Spektrum (durchgezogene Linie) auch das theoretischvorhergesagte (gestrichelt).






Tomographie

Veranschaulichung der tomographischen Methode (links:Computertomographie aus der Medizin, rechts: seismische Tomographie(Harvard Modell S12WM13)).





Tomographie

Veranschaulichung der seismischenTomographie in 2D. Quelle:http://eqseis.geosc.psu.edu/ cammon

Veranschaulichung der seismischenTomographie in 3D. Quelle:http://microseismicinc.com





Tomographie

Scherwellen- Geschwindigkeits- ModellS20RTS, basierend auf Rayleigh WaveDispersion [Van Heijst & Woodhouse,1999], body-wave traveltime [Ritsema &Van Heijst, 2001], und normal-modesplitting [Resovsky and Ritzwoller, 1999].





Tomographie

Vergleich von 3 verschiedenen Geschwindigkeitsmodellen fur denErdmantel (gezeigt sind zwei Tiefen).





Plattentektonik & Seismologie

Stark vereinfachte Darstellung der Plattentektonik.


















Globale Verteilung der Seismizitat (1964-1997). Die rechte Abbildungzeigt nur die Beben mit Herdtiefen > 100 km, welche fast alle inSubduktionszonen stattfinden.







Seismizitat in den New Hebrides. Die einfallende Flache der Seismizitatzeigt die Position der subduzierten Platte an. Sie wird als Wadati BenioffZone bezeichnet.







Die subduzierte Platte ist kalt undseismisch schnell- Beispiel Japan.

(nach [Zhao et al., 1992])






Die subduzierte Platte ist kalt undseismisch schnell- Beispiel Tonga.






Ausgewahlte Herdmechanismen in den Anden, Sudamerika.







Schematische Darstellung von verschiedenen Erdbebenmechanismen inder Subduktionszone.







Schematisches Modell zur Erklarung von mitteltiefen Erdbeben in derSubduktionszone. Die Dehydration von Mineralen und die Umwandlungvon Gabbro nach Eklogit in der subduzierten Kruste werden als Ursacheder Beben vermutet.







Herdmechanismen furNordamerika/Pazifik. DieHerdmechanismen zeigen dieunterschiedlichen Typen derPlattengrenzen an.







Herdmechanismen an Mittelozeanischen Rucken.







GPS- Plattenbewegungen und Herdmechanismen fur Eurasia mit derNordanatolischen Transformstorung.







Herdmechanismen fur das Ostafrikanische Riftsystem.






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Global Seismology Lecture Ws1112 All(1)