Gündüz Əvəzağa oğlu Əliyev Gülhava Akif qızı Nəbiyeva

AKTUAR HESABLAMALARIN ƏSASLARI Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika (tətbiqi məsələlərlə)

Maliyyə riyaziyyatı

Kitab Azərbaycan Aktuarlar Assosiasiyası tərəfindən Azərbaycan

Respublikası Maliyyə Nazirliyinin Dövlət Sığorta Nəzarəti Xidmətinin

maliyyə dəstəyi ilə nəşr etdirilmişdir.

Bakı 2016

1

2

Mündəricat Mündəricat ....................................................................................... 2 I H İ S S Ə ...................................................................................... 8 Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika ........................................... 8 1. Stoxastik eksperiment. Təsadüfi hadisələr. Elementar hadisələr fəzası. ............................................................................................... 8 2. Ehtimalın bəzi tərifləri .............................................................. 18 3. Şərti ehtimal. Asılı olmamazlıq ................................................ 29 4. Təsadüfi kəmiyyətlər ................................................................ 45

Diskret təsadüfi kəmiyyətlər və onların paylanmaları ............... 46 Binomial paylanma. ............................................................... 50 Puasson paylanması. .............................................................. 53 Mənfi binomial paylanma. ..................................................... 54 Həndəsi paylanma. ................................................................. 55

5. Təsadüfi kəmiyyətin ədədi xarakteristikaları ........................... 60 5.1. Diskret təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsi .................... 60 5.2. Diskret təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası ............................ 69 5.3. Kvadratik orta yayınma ...................................................... 76

6. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətlər ................................................. 85 6.1. Paylanma funksiyası və paylanmanın sıxlıq funksiyası ..... 85 6.2. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsi ................. 88 6.3. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası......................... 89 6.4. Kəsilməz paylanma funksiyaları ........................................ 91 a, b parçasında müntəzəm paylanma ...................................... 91 Normal paylanma ................................................................... 93 Üstlü (eksponensial) paylanma ............................................ 102 Qamma-paylanması ............................................................. 105

6.5. Kovariasiya və Korrelyasiya əmsalı ................................. 110 6.6. Ehtimal paylanmalarının forma və yerləşmə xarakteristikaları ...................................................................... 114

7. Təsadüfi kəmiyyətin momentlərinin doğuran funksiyası ....... 128 8. Riyazi statistikanın elementləri .............................................. 136

Etibarlı interval ........................................................................ 140

3

II H İ S S Ə ................................................................................. 149 Maliyyə riyaziyyatı ...................................................................... 149 1. Faizlər nəzəriyyəsinin əsasları ................................................ 149

1.1. Maliyyə əməliyyatlarında faiz .......................................... 149 1.2. Yığım və məbləğ funksiyası ............................................. 150 1.3. Effektiv faiz dərəcəsi ........................................................ 152 1.4. Cari dəyər (present value PV) .......................................... 156 1.5. Effektiv diskont dərəcəsi .................................................. 159 1.6. Faiz və diskontun nominal dəyəri ..................................... 160 1.7. Kəsilməz hesablanan (intensiv) faiz dərəcəsi ................... 164 1.8. Pul axını üzrə gəlirlilik ..................................................... 167 1.9. Fondun faiz ölçüsü ........................................................... 171

2. Annuitetlər nəzəriyyəsinin əsasları ......................................... 182 2.1. Dövrün sonunda ödənilən sabit ödənişli annuitetlərin cari və gələcək dəyəri .......................................................................... 182 2.2. Dövrün əvvəlində ödənilən sabit ödənişli annuitetlərin cari və gələcək dəyəri ..................................................................... 184 2.3. Təxirə salınmış annuitet ................................................... 188 2.4. Sabit ödənişli sonsuz annuitet .......................................... 189 2.5. Sabit ödənişli annuitetlər üzrə müxtəlif tipli məsələlər .... 190 2.6. Kəsilməz annuitet ödənişləri ............................................ 193 2.7. Sabit artan annuitet ödənişləri .......................................... 194 2.8. Həndəsi silsilə ilə dəyişən annuitet ödənişləri .................. 202

3. Borcun qaytarılması üsulları (yığım fondu metodu və amortizasiya metodu) .................................................................. 208

3.1. Perspektiv və retroperspektiv metodlardan istifadə ilə amortizasiya metodu üzrə borc balansının tapılması ............... 208 3.2. Amortizasiya cədvəli ........................................................ 209 3.3. Yığım fondu metodu ......................................................... 211

4. İstiqrazlar ................................................................................ 219 4.1. İstiqrazın növləri ............................................................... 219 4.2. İstiqrazın qiyməti .............................................................. 221 4.3. İstiqrazın cari dəyəri və amortizasiyası ............................ 224 4.4. Çağrılabilən istiqrazlar ..................................................... 226

5. Faiz dərəcəsinin həssaslıq ölçüsü ............................................ 233 5.1. Dürasiya və düzəldilmiş dürasiya ..................................... 233

4

5.2. Dürasiya qəpi .................................................................... 237 5.3. Portfel üzrə dürasiya ......................................................... 240 5.4. Faiz dərəcəsinin qabarıqlıq ölçüsü ................................... 241 5.5. Dayanıqlılıq (immunization) ............................................ 243 5.6. Faiz dərəcəsi və gəlir əyrisinin zaman strukturu .............. 245

Cavablar: ..................................................................................... 250 I HİSSƏ ................................................................................... 250 II HİSSƏ .................................................................................. 254

Ə L A V Ə L Ə R ........................................................................ 259 Əlavə 1 ..................................................................................... 259 Əlavə 2 ..................................................................................... 260 Əlavə 3 ..................................................................................... 261 Əlavə 4 – Maliyyə kalkulyatoru .............................................. 262 Əlavə 5 – Kitabda istifadə olunan bəzi beynəlxalq terminlər .. 279

İstifadə olunan ədəbiyyat ............................................................. 285

5

Ön söz

Aktuari ehtimal metodları tətbiq edərək statistik məlumatların təhlili, maliyyə proqnozlarının verilməsi, risklərin qiymətləndirilməsi, sığorta və təkrarsığorta tariflərinin hesablanması, sığorta ehtiyatlarının, maliyyə sabitliyinin və ödəmə qabiliyyətinin, habelə investisiya risklərinin qiymətləndirilməsi məsələləri ilə məşğul olan mütəxəssisdir. İnkişaf etmiş maliyyə bazarlarında aktuarilər ən əhəmiyyətli funksiyalara malik və ən yüksək qiymətləndirilən ekspertlərdən hesab olunan mütəxəssisdir. Aktuarilər həmçinin biznes, maliyyə və sosial sahədə mürəkkəb problemlərin həlləri, analizi və toplanması üçün riyazi metodlardan istifadə etməklə fərdi və kooperativ riskləri qiymətləndirir, əsaslanmış sığorta və pensiya sxemlərini maliyyə cəhətdən inkişaf etdirir. Aktuari riyaziyyat, iqtisadi, maliyyə, ehtimal, statistik və biznes biliklərindən müəyyən hadisələrin risklərinin proqnozlaşdırılması və risklərin qiymətini minimallaşdıran polislərin formalaşdırılması üçün istifadə edir. Bu səbəbdən aktuari sığorta və təkrarsığorta sahələri üçün zəruridir. Aktuari ölüm, xəstəlik, qəza, əlillik və ya əmlak itkisi kimi hadisələrin baş verməsi ehtimalını və mümkün dəyərini qiymətləndirmək üçün statistik informasiya toplayır və təhlil edir. Aktuari, həmçinin tələb olunan pensiya gəlirləri ilə pensiya ödənişlərinin səviyyəsini və investisiya gəlirlərini maksimallaşdırmaq üçün ehtiyatların investisiya yolları kimi məsələləri öyrənir. Aktuarilər öz biliklər toplusundan istifadə etməklə sığorta polislərinin, pensiya planlarının və başqa maliyyə strategiyalarının dizayn və qiymət məsələlərinə bu planların etibarlı maliyyəyə əsaslanması məqsədilə kömək edir. Aktuari sığorta tariflərini və sığorta ehtiyatlarını hesablayır, ölüm və başqa ehtimallara əsaslanan modellər qurur.

Müasir anlamda «aktuari» ixtisasının mənbəyi ilk həyat sığortası təşkilatında elmi cəhətdən əsaslandırılmış sığorta haqlarının hesablanması tələbinin yaranması ilə əlaqədardır. İlk aktuar firması

6

1762-ci ildə Böyük Britaniyada yaradılıb. Sonrakı illərdə bazarın tələbləri belə firmaların sayının sürətlə artmasına səbəb olub. Bu proses aktuari ixtisaslı təşkilatın yaradılması zərurətinin başa düşülməsi ilə nəticələndi. Beləliklə, Londonda aktuarilər institutu (1848) və Edinburqda aktuarilər fakültəsi (1856) yarandı.

Müxtəlif reytinq təşkilatları tərəfindən ən çox illik qazancı olan 10 peşədən biri kimi qiymətləndirilən aktuari peşəsinin inkişafı Azərbaycan üçün böyük əhəmiyyət kəsb edir. Bu səbəblə son illər respublikamızda da bu fəaliyyət növü inkişaf etməyə başlayıb. Belə ki, 2008-ci ildə ilk dəfə Maliyyə Nazirliyinin dəstəyi ilə keçirilən çox mərhələli ”Aktuari hesablamaları” kurslarından sonra bu fəaliyyət növünün inkişafı geniş vüsət almış, Kursları qismən və ya tam şəkildə bitirib sertifikat alan məzunların hər biri sığorta şirkətlərinə, Dövlət Sosial Müdafiə Fonduna, Maliyyə Nazirliyinə və başqa müxtəlif maliyyə təsisatlarına cəlb edilərək həmin təşkilatların aparıcı mütəxəssislərinə çevriliblər. Respublikamızda - xüsusən sığorta bazarında və pensiya fondunda hələ də aktuarilərə böyük ehtiyac duyulmaqdadır.

Aktuari sahəsinin Azərbaycanda yeni olması və Azərbaycan dilində dərs vəsaitinin olmaması bu kitabı hazırlamaq zəruriyyəti yaratmışdır.

Kitab aktuarilər üçün Azərbaycanda və dünyada təşkil edilən kvalifikasiya imtahanlarına və universitetlərdə aktuari ixtisası üzrə tədris proqramına əsasən hazırlanmışdır.

Kitabda aktuari olmaq istəyənlər üçün baza biliklər verilməklə 100-dən artıq tətbiqi məsələ həll edilmiş, 200-dən artıq məsələlər tapşırıq olaraq verilmişdir. Kitab 2 hissədən ibarət olmaqla ehtimal nəzəriyyəsi, riyazi statistika (tətbiqi məsələlərlə) və maliyyə riyaziyyatını əhatə edir. Həmçinin kitabın əlavə hissəsində aktuarilərin hazırlıq və iş prosesində istifadə etdikləri maliyyə kalkulyatorunun istifadə qaydaları da tətbiq misallarla verilmişdir.

7

Kitabda * ilə işarələnmiş məsələlərə Əlavə 4–də (Maliyyə kalkulyatoru) yenidən baxılmışdır.

Kitabın çap edilməsində göstərdiyi köməkliyə görə Azərbaycan Aktuarlar Assosiasiyasına və maliyyə dəstəyinə görə Azərbaycan Respublikası Maliyyə Nazirliyinin Dövlət Sığorta Nəzarəti Xidmətinə öz minnətdarlığımızı bildiririk.

8

I H İ S S Ə

Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika (tətbiqi məsələlərlə)

Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika riyaziyyatın praktikaya ən çox tətbiq olunan sahələrindən biridir. Ehtimal nəzəriyyəsinin yaranma tarixi azart oyunlarla əlaqədar olmasına baxmayaraq getdikcə bir çox sahədə tətbiq olunmağa başlamışdır. Ticarətin, gəmiçiliyin inkişafı ilə əlaqədar olaraq, ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistikanın sığortalama məsələlərinə tətbiqinə başlanğıc kimi baxmaq olar. Ehtimal nəzəriyyəsi, demək olar ki, elmin bütün sahələrində, o cümlədən, müasir fizika, atom nəzəriyyəsində, sığorta nəzəriyyəsində, biologiya və antropologiyada böyük müvəffəqiyyətlə tətbiq olunur.

1. Stoxastik eksperiment. Təsadüfi hadisələr. Elementar hadisələr fəzası. Ehtimal nəzəriyyəsi stoxastik eksperimentdə müşahidə oluna

bilən hadisələrin ehtimallarına əsaslanaraq bu hadisələrlə bağlı digər təsadüfi hadisələrin ehtimallarını təyin etməyə imkan verir. Stoxastik eksperiment, təsadüfi hadisə və təsadüfi hadisənin ehtimalı anlayışı ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışlarındandır. Mümkün olan nəticələrindən hansı birinin baş verəcəyinin əvvəlcədən söylənilməsi mümkün olmayan eksperimentə stoxastik eksperiment deyilir.

Stoxastik eksperimentə nümunə kimi metal pulun atılması, oyun zərinin atılması, qutudan kartın çıxarılması, lotoreya oyunlarının keçirilməsi, hədəfə atəşin açılması və s. göstərmək olar.

Hər bir eksperimentə uyğun müəyyən bir çoxluq qarşı qoyulur ki, bu çoxluğun elementləri baxılan eksperimentin nəticələrini özündə əks etdirir. Bu çoxluğa elementar hadisələr fəzası, onun hər bir

9

elementinə isə elementar hadisə deyilir. Elementar hadisələr fəzasını Ω , elementar hadisələri isə 𝜔 -nın müxtəlif indeksləri ilə işarə edəcəyik. Elementar hadisələr fəzasının altçoxluğu hadisə adlanır. Hadisə bir və ya bir neçə elementar hadisələrdən ibarət olur, belə ki, elementar hadisələrin sayı sonlu və ya sonsuz ola bilər.

Nümunə 1.1. Eksperiment metal pulun bir dəfə atılmasından

ibarətdir. Elementar hadisələr fəzası iki nəticədən ibarətdir: 𝐺 ={gerb üzü düşmüşdür} və Ş = {şəbəkə üzü düşmüşdür}, beləliklə, Ω = {𝐺, Ş}.

Nümunə 1.2. Eksperiment oyun zərinin bir dəfə atılmasından

ibarətdir. Onda elementar hadisələr fəzası Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olacaqdır. 𝐴 ={cüt xalın düşməsi} hadisəsi olsun və bu hadisə üç elementar hadisədən ibarətdir: 𝐴 = {2, 4, 6} . Əgər 2, 4 və ya 6 xallarından hər hansı biri düşərsə, onda 𝐴 hadisəsi baş vermişdir deyilir.

Məsələnin şərtindən asılı olaraq eyni bir elementar hadisələr fəzasını müxtəlif üsullarla ifadə etmək olar. Belə ki, oyun zərinin atılması eksperimentində əgər bizi yalnız cüt və ya tək xalın düşməsi maraqlandırırsa, onda elementar hadisələr fəzasını Ω = {𝐴, 𝐵} kimi ifadə edə bilərik, burada 𝐴 ={cüt xalın düşməsi}, 𝐵 ={tək xalın düşməsi} hadisəsidir.

Məsələ 1.1.

Metal pulun üç dəfə atılması stoxastik eksperimentinə əsaslanaraq: a) Bu eksperimentə uyğun elementar hadisələr fəzasını qurun; b) Şəbəkə üzünün birdən çox sayda düşməsi hadisəsini ifadə edin.

10

Həlli: Oyun zərinin şəbəkə üzünü Ş, gerb olan üzünü isə 𝐺 ilə işarə

edək. Onda a) Bu eksperimentə uyğun elementar hadisələr fəzası

Ω = {ŞŞŞ, ŞŞ𝐺, Ş𝐺Ş, Ş𝐺𝐺, 𝐺𝐺𝐺, 𝐺𝐺Ş, 𝐺ŞŞ, 𝐺Ş𝐺} çoxluğu olacaqdır. b) Şəbəkə üzünün birdən çox sayda düşməsi hadisəsi isə

𝐴 = {ŞŞŞ, ŞŞ𝐺, Ş𝐺Ş, 𝐺ŞŞ} olacaqdır. Hər bir eksperiment müəyyən bir hadisələr çoxluğu ilə ifadə

edilə bilər və bu hadisələrin həmin eksperimentdə baş verməsi haqqında mülahizə yürütmək mümkündür. Eksperiment nəticəsində baş verə biləcək hadisələr verilmiş eksperimentdə müşahidə oluna bilən hadisələr adlanır. Məsələ 1.1-də verilmiş eksperimentdə {gerb üzünün iki dəfə düşməsi} hadisəsi müşahidə oluna bilən hadisədir. Lakin bu eksperimentdə baş verə bilməyən bütün hadisələr müşahidə olunmayan hadisələrdir. Məsələ 1.1-də verilmiş eksperimentdə {gerb üzünün dörd dəfə düşməsi} hadisəsi müşahidə olunmayan hadisədir.

Tərif. Eksperimentdə müşahidə oluna bilən hər hansı 𝐴 hadisəsinin baş verməsinə səbəb olan bütün elementar hadisələr 𝐴 hadisəsi üçün əlverişli elementar hadisələr adlanır.

Nümunə 1.3. Eksperiment düzgün oyun zərinin bir dəfə

atılmasından ibarətdir. Bu eksperimentə uyğun elementar hadisələr fəzası Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} çoxluğudur. 𝐴 = {cüt xalların düşməsi} hadisəsi olsun. Onda aydındır ki, {2}, {4} və {6} – 𝐴 hadisəsi üçün əlverişli elementar hadisələrdir.

1. Eksperimentdə müşahidə olunan 𝐴 və 𝐵 hadisələrinin birləşməsi – bu hadisələrdən heç olmazsa biri baş verdikdə baş verən, onlardan heç biri baş vermədikdə baş verməyən hadisəyə deyilir və 𝐴 ∪ 𝐵 kimi işarə olunur.

2. Eksperimentdə müşahidə olunan 𝐴 və 𝐵 hadisələrinin kəsişməsi – yalnız və yalnız bu hadisələrin hər ikisi baş verdikdə baş verən hadisəyə deyilir və 𝐴 ∩ 𝐵 kimi işarə olunur.

11

3. 𝐴 hadisəsi baş verib, 𝐵 hadisəsi baş vermədikdə baş verən hadisə 𝐴 və 𝐵 hadisələrinin fərqi adlanır və 𝐴\𝐵 kimi işarə olunur.

Aydındır ki, �̅� = Ω\𝐴 və 𝐴\𝐵 = 𝐴 ∩ �̅�. 4. Eksperimentdə müşahidə oluna bilən 𝐴 və 𝐵 hadisələrindən

biri baş verib digəri baş vermədikdə baş verən hadisəyə 𝐴 və 𝐵 hadisələrinin simmetrik fərqi deyilir və 𝐴∆𝐵 kimi işarə olunur.

5. Eksperimentdə müşahidə oluna bilən 𝐴 hadisəsi baş vermədikdə baş verən hadisəyə 𝐴 hadisəsinin inkarı, yaxud 𝐴 hadisəsinə əks olan hadisə deyilir və �̅� kimi işarə olunur.

Aydındır ki, 𝐴 ∪ �̅� = Ω və 𝐴 ∩ �̅� = ∅.

Nümunə 1.4. Oyun zərinin bir dəfə atılması eksperimen-tində 𝐴 = {cüt xallar düşmüşdür}, 𝐵 ={düşən xallar üçə bölünür} hadisəsi olsun. Onda 𝐴 ∪ 𝐵 = {2, 4, 6} ∪ {3, 6} = {2, 3, 4, 6} , 𝐴 ∩ 𝐵 = {2, 4, 6} ∩ {3, 6} = {6} , 𝐴\𝐵 = {2, 4, 6} − {3, 6} = {2, 4} və 𝐴Δ𝐵 = {2, 3, 4}, �̅� = {1, 2, 4, 5}.

6. Müəyyən şərtlər kompleksi hər dəfə ödənilməklə, təkrar aparıla bilən eksperiment nəticəsində hökmən baş verəcək hadisəyə yəqin hadisə deyilir, Ω – yəqin hadisədir.

7. Müəyyən şərtlər kompleksi hər dəfə ödənilməklə, təkrar aparıla bilən eksperiment nəticəsində heç vaxt baş verməyəcək hadisəyə qeyri-mümkün hadisə deyilir, Ø – qeyri-mümkün hadisədir.

8. Əgər 𝐴 və 𝐵 eksperimentdə müşahidə oluna bilən hadisə-lərdirsə və 𝐴 hadisəsi baş verdikdə, 𝐵 hadisəsi hökmən baş verirsə, 𝐴 hadisəsi 𝐵 hadisəsini doğurur deyilir və 𝐴 ⊂ 𝐵 və ya 𝐵 ⊃ 𝐴 kimi işarə olunur.

9. Eksperimentdə müşahidə olunan 𝐴 və 𝐵 hadisələrinin ya hər ikisi baş verirsə, yaxud hər ikisi baş vermirsə, bu hadisələr ekvivalent hadisələr adlanır və 𝐴 = 𝐵 kimi işarə olunur.

12

10. 𝐴 və 𝐵 hadisələrinin kəsişməsi qeyri-mümkün hadisə olarsa, yəni 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ olarsa, onda 𝐴 və 𝐵 hadisələrinə uyuşmayan və ya dizyunkt hadisələr deyilir.

Uyuşmayan hadisələr eyni elementar hadisələrə malik olmayan hadisələrdir.

11. 𝐴1, 𝐴2 , ... hadisələr ardıcıllığının hər bir ixtiyari cütü üçün 𝑖 ≠ 𝑗 şərtini ödəyən 𝑖, 𝑗-lərin bütün qiymətlərində 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗=∅ olarsa, {𝐴𝑖} hadisələr ardıcıllığı cüt-cüt uyuşmayan hadisələr ardıcıllığı adlanır.

Cüt-cüt uyuşmayan (𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅, 𝑖 ≠ 𝑗) və 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ …∪𝐴𝑛 = Ω şərtini ödəyən, 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 hadisələrinə tam qrup əmələ gətirən hadisələr deyilir.

Şəkil 1

13

Eksperimentdə müşahidə olunan 𝐴 , 𝐵 və 𝐶 hadisələri üçün aşağıdakı münasibətlər doğrudur:

1. 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴, 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴 (idempotentlik xassəsi); 2. 𝐴 ∪ Ω = Ω, 𝐴 ∩ Ω = 𝐴; 3. 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴, 𝐴 ∩ ∅ = ∅; 4. 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴, 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 (kommutativlik xassəsi); 5. 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶), 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) (distributivlik xassəsi); 6. 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶, 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 (assosiativlik xassəsi); 7. (𝐴 ∪ 𝐵)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = �̅� ∩ �̅�, (𝐴 ∩ 𝐵)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = �̅� ∪ �̅� (De Morqan qanunları).

Məsələ 1.2. Ədədlər cədvəlindən bir ədəd seçilir. 𝐴 hadisəsi seçilən

ədədin 5-ə bölünə bilən olması, 𝐵 isə həmin ədədin sonuncu rəqəminin sıfır olması hadisəsidir. 𝐴\𝐵 hadisəsini ifadə edin.

Həlli: Ədədin 5-ə bölünmə əlamətinə əsasən aydındır ki, seçilən

ədədin sonuncu rəqəmi 5 və ya 0-dır. 𝐴\𝐵 hadisəsinin tərifinə görə alınır ki, 𝐴\𝐵 ={seçilən ədədin sonuncu rəqəmi 5-dir}.

Teorem 1.1. 𝐴 və 𝐵 sonlu çoxluqları üçün

(a) 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵). (b) Əgər 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ olarsa, onda 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵). (c) Əgər 𝐴 ⊆ 𝐵 olarsa, onda 𝑛(𝐴) ≤ 𝑛(𝐵),

burada 𝑛(𝐴) – 𝐴 çoxluğunun elementlərinin sayıdır.

Qeyd 1.1. Asanlıqla göstərmək olur ki, əgər 𝐴 , 𝐵 və 𝐶 çoxluqları Ω-nın altçoxluqlarıdırsa, onda

𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − −𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶).

14

Məsələ 1.3. Fərz edək ki, 𝐴, 𝐵 və 𝐶 çoxluqları Ω-nın altçoxluqlarıdır və

𝑛(𝐴) = 63, 𝑛(𝐵) = 91, 𝑛(𝐶) = 44, 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 25, 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) = 23, 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) = 21 və 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 139. 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)-ni tapın.

Həlli:

𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) ifadəsinə əsasən 139 = 63 + 91 + 44 − 25 − 23 − 21 + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶).

Buradan alırıq ki,

𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 10.

Məsələ 1.4. Dövlət Departamentinin Əlcəzair diplomatik nümayəndə-

liyinə mütəxəssis seçimi üçün təşkil etdiyi müsahibədə iştirak edən 35 namizəddən 25-i ərəbcə, 28-i fransızca danışır, 2-si isə bu dillərdən heç birində danışa bilmir. İştirakçı namizədlərdən neçəsi hər iki dildə danışa bilir?

Həlli: Fərz edək ki, 𝐹 fransızca danışan iştirakçıların qrupu, 𝐴 isə

ərəbcə danışanların qrupudur. Onda 𝐹 ∩ 𝐴 hər iki dildə danışan iştirakçılardan ibarətdir. Teorem 1-ə əsasən

𝑛(𝐹 ∪ 𝐴) = 𝑛(𝐹) + 𝑛(𝐴) − 𝑛(𝐹 ∩ 𝐴).

Beləliklə, 33 = 28 + 25 − 𝑛(𝐹 ∩ 𝐴). Buradan alırıq ki,

𝑛(𝐹 ∩ 𝐴) = 20.

15

Məsələ 1.5. Sığorta şirkətinin avtomobil vasitələrinin sığortası sinfi üzrə

sığortalılarının sayı 10000 nəfərdir. Hər bir sığortalı aşağıdakı kimi qruplaşdırılmışdır:

a) Gənc və ya yaşlı b) Kişi və ya qadın c) Evli və ya subay.

Sığortalılardan 3000 nəfəri gənc, 4600 nəfəri kişi və 7000 nəfəri evlidir. Eyni zamanda sığortalıları 1320-si gənc kişilər, 3010-u evli kişilər, 1400-ü gənc evlilər olmaqla qruplaşdırmaq olar. Sığortalılardan 600 nəfəri isə gənc evli kişilərdir. Şirkətin sığortalılarından neçəsi gənc subay qadınlardır?

Həlli: 𝑁(𝐶) ilə 𝐶 qrupundan olan sığortalıların sayını işarə edək.

Onda 𝑁(𝐺ə𝑛𝑐 ∩ 𝑄𝑎𝑑𝚤𝑛 ∩ 𝑆𝑢𝑏𝑎𝑦) = 𝑁(𝐺ə𝑛𝑐 ∩ 𝑄𝑎𝑑𝚤𝑛) −

−𝑁(𝐺ə𝑛𝑐 ∩ 𝑄𝑎𝑑𝚤𝑛 ∩ 𝐸𝑣𝑙𝑖) = [𝑁(𝐺ə𝑛𝑐) − 𝑁(𝐺ə𝑛𝑐 ∩ 𝐾𝑖ş𝑖)] − −[𝑁(𝐺ə𝑛𝑐 ∩ 𝐸𝑣𝑙𝑖) − 𝑁(𝐺ə𝑛𝑐 ∩ 𝐸𝑣𝑙𝑖 ∩ 𝐾𝑖ş𝑖)] = = [3000 − 1320] − [1400 − 600] = 880 .

16

Tapşırıqlar: 1.1. 𝐴 hadisəsi dörd detaldan heç olmasa birinin defektli olması hadisəsi, 𝐵 hadisəsi isə defektli detalların sayının ən azı 2 olması hadisəsidir. �̅� və �̅� hadisələrini ifadə edin. 1.2. İki ədəd düzgün oyun zəri bir dəfə atılır. 𝐴 ={düşən xallar cəmi 5-ə bərabərdir} hadisəsi, 𝐵 ={zərlərdən heç olmasa birində 1 xalı düşmüşdür} hadisəsi olsun. 𝐴 ∩ 𝐵 və 𝐴 ∩ �̅� hadisələrini ifadə edin. 1.3. İki ədəd düzgün oyun zəri bir dəfə atılır. 𝐴 ={düşən xallar cəminin cüt olması}, 𝐵 ={zərlərdən heç olmasa birində 6 xalının düşməsi} hadisəsi olsun. 𝐴 ∪ 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ hadisəsi nəyi ifadə edir? 1.4. Qutudan iki kart çıxarılır. 𝐴 ={çıxarılan kartın hər ikisinin qara toxmaq olması}, 𝐵 ={tuzun olmaması} hadisəsi olsun. 𝐴\𝐵 hadisəsini ifadə edin. 1.5. 𝐴 – atletin 7 metrdən çox uzağa tullanması, 𝐵 – kişi atletin qadın atletdən uzağa tullanması, 𝐶 – qadın atletin 7 metrdən uzağa tullanması hadisəsi olsun. 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 , 𝐴\𝐵 ∩ 𝐶 və 𝐴 ∩ �̅� ∩ 𝐶 hadisələri hansı hadisələri ifadə edir? 1.6. Düzgün oyun zəri bir dəfə atılır. 𝐴 – cüt xalların düşməsi hadisəsi, 𝐵 – tək xalların düşməsi hadisəsi, 𝐶 isə 2 xalının düşməsi hadisəsi olsun. Aşağıdakı hadisələri ifadə edin:

(a) 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∪ 𝐶 və 𝐵 ∪ 𝐶; (b) 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐶 və 𝐵 ∩ 𝐶; (c) Hansı hadisələr cüt-cüt uyuşmayan hadisələrdir?

1.7. Keçən il sığorta şirkətində sığortalanan 100 nəfərdən (1) 34 nəfərinin avtonəqliyyat vasitələrinin sığortası (AVS)

müqaviləsi; (2) 15 nəfərinin avtonəqliyyat vasitəsi sahiblərinin mülki

məsuliyyətinin icbari sığortası (AVSMMİS) müqaviləsi; (3) 10 nəfərinin fərdi qəza sığortası (FQS) müqaviləsi; (4) 7 nəfərinin həm AVS, həm də AVSMMİS müqaviləsi; (5) 6 nəfərinin həm AVSMMİS, həm də FQS müqaviləsi; (6) 5 nəfərinin AVS və FQS müqavilələri;

17

(7) 4 nəfərinin həm AVS, həm AVSMMİS, həm də FQS müqavilələri;

(8) 18 nəfərinin isə avtonəqliyyat vasitəsi sahiblərinin mülki məsuliyyətinin könüllü sığortası müqaviləsi olub və onlarda AVS, AVSMMİS və FQS müqavilələri olmayıb.

Sığorta sirkətinin 100 nəfər sığortalılarından neçəsinin bu dörd sığorta növü üzrə sığorta müqaviləsi olmayıb?

1.8. Həyat sığortası şirkətinin sığortaladığı 100 şəxsdən: (1) 30 nəfərinin həyatın ölüm halından sığortası sinfi üzrə sığorta

müqaviləsi; (2) 18 nəfərinin həyatın yaşam sığortası sinfi üzrə sığorta

müqaviləsi; (3) 26 nəfərinin annuitet sığortası sinfi üzrə sığorta müqaviləsi; (4) 9 nəfərinin həm həyatın ölüm halından sığortası, həm də

həyatın yaşam sığortası sinfi üzrə sığorta müqaviləsi; (5) 16 nəfərinin həm həyatın ölüm halından sığortası, həm də

annuitet sığortası sinfi üzrə sığorta müqaviləsi; (6) 8 nəfərinin həm həyatın yaşam sığortası, həm də annuitet

sığortası sinfi üzrə sığorta müqaviləsi; (7) 47 nəfərinin isə bu üç sığorta sinfindən ən azı biri üzrə sığorta

müqaviləsi var. (a) Bu üç sığorta sinfi üzrə sığorta müqaviləsi olmayan

sığortalıların payını tapın. (b) Hər üç sığorta sinfi üzrə sığortalananların payını tapın.

1.9. İlkin tibbi yardım almaq üçün tibb müəssisəsinə daxil olanların 35%-i nə laborator analiz üçün, nə də terapevtik müayinə üçün müraciət etmir. Tibb müəssisəsinə gələnlərin 30%-i terapevtik müayinə, 40%-i isə laborator analiz üçün müraciət edir. İlkin tibbi yardıma ehtiyac duyanların neçə faizi eyni zamanda laborator analiz və terapevtik müayinə üçün müraciət etmişdir?

18

2. Ehtimalın bəzi tərifləri Ehtimal – ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışlarından biridir.

Ehtimal anlayışının bir neçə tərifi mövcuddur. Əvvəlcə ehtimalın klassik tərifini verəcəyik. Daha sonra klassik tərifin bəzi çatışmayan tərəflərini göstərəcəyik və bu çatışmazlıqları aradan qaldıran digər təriflərin verilməsi ilə də məşğul olacağıq. Bir misala baxaq: Fərz edək ki, qutuda 2-si qırmızı, 3-ü göy və 1-i ağ olmaqla 6 eyni ölçülü, yaxşı qarışdırılmış kürəcik var. Aydındır ki, təsadüfi olaraq çıxarılan kürəciyin rəngli olmasının (qırmızı və ya göy) mümkünlüyü daha çoxdur. Bu mümkünlüyü ifadə edən ədədə hadisənin (rəngli kürəciyin çıxması) ehtimalı deyilir. Deməli, ehtimalın hadisənin baş vermə mümkünlüyünün ədədi göstəricisi olması qənaətinə gəlirik. 𝐴 – rəngli kürəciyin çıxması hadisəsi olsun. Bu misalda 6 elementar hadisə mövcuddur: 𝜔1 – ağ kürəciyin çıxması, 𝜔2, 𝜔3 – qırmızı kürəciyin çıxması, 𝜔4, 𝜔5, 𝜔6 – göy kürəciyin çıxması hadisəsidir. Asanlıqla görmək olur ki, bu nəticələr cüt-cüt kəsişməyən hadisələrin tam qrupunu əmələ gətirir və onlar eyniimkanlı hadisələrdir. 𝐴 hadisəsinin baş verməsi üçün 5 əlverişli elementar hadisə (nəticə) vardır: 𝜔2, 𝜔3, 𝜔4, 𝜔5, 𝜔6. Bütün mümkün nəticələr sayı 6 olduğundan və bu nəticələrdən 5-i 𝐴 hadisəsi üçün əlverişli nəticə olduğundan rəngli kürəciyin çıxması hadisəsinin ehtimalı 𝑃(𝐴) =

5

6-ə bərabərdir. Bu ədəd rəngli kürəciyin çıxması

mümkünlüyünün ədədi qiymətidir. Tərif. 𝑛 sayda eyniimkanlı nəticələri olan stoxastik

eksperimentdə müşahidə oluna bilən 𝐴 hadisəsinin ehtimalı bu hadisə üçün əlverişli nəticələr sayının bütün mümkün ola bilən nəticələrin sayına nisbətinə deyilir və 𝐴 hadisəsinin ehtimalı 𝑃(𝐴) kimi işarə olunur. Onda

19

𝑃(𝐴) =𝑚

𝑛,

harada ki, 𝑚 – 𝐴 hadisəsi üçün əlverişli nəticələrin sayı, 𝑛 – sınağın bütün mümkün olan nəticələrinin sayıdır. Ehtimalın tərifindən onun aşağıdakı xassələri alınır:

Xassə 1. Yəqin hadisənin ehtimalı vahidə bərabərdir: 𝑃(Ω) = 1.

Xassə 2. Qeyri-mümkün hadisənin ehtimalı sıfıra bərabərdir: 𝑃(∅) = 0.

Xassə 3. Təsadüfi hadisənin ehtimalı sıfırla vahid arasında müsbət ədəddir: 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1.

Məsələ 2.1. Düzgün oyun zərinin bir dəfə atılması eksperimentində düşən

xallar sayının 3 və ya 4 olması hadisəsinin ehtimalını tapın. Həlli: Bu eksperimentə uyğun elementar hadisələr fəzası

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} çoxluğu olacaqdır. 𝐴 – {3 və ya 4 xalının düşməsi} hadisəsi, yəni 𝐴 = {3, 4} olarsa, onda 𝑃(𝐴) = 2

6 olur.

Ehtimalın klassik tərifindən sınağın nəticələri sonlu sayda elementar hadisələrdən ibarət olduğu halda istifadə olunur. Lakin praktikada mümkün nəticələri sonsuz sayda olan sınaqlara daha tez-tez rast gəlinir. Bu halda ehtimalın klassik tərifini tətbiq etmək mümkün deyil. Bu isə klassik ehtimalın çatışmazlığıdır. Bu çatışmazlıq xüsusi halda həndəsi ehtimalın və aksiomatik ehtimalın tətbiqi nəticəsində aradan qaldırılır. Eyni zamanda bəzi səbəblərdən ehtimalın klassik tərifi ilə yanaşı statistik tərifindən də istifadə olunur.

Tərif. 𝑛 sayda aparılmış eksperimentlər seriyasında 𝐴 hadisəsinın baş vermə sayının eksperimentlərin ümumi sayına

20

nisbətinə 𝐴 hadisəsinin tezliyi deyilir və bu tezlik 𝜈(𝐴) ilə işarə edilir:

𝜈(𝐴) =𝑚

𝑛.

Burada 𝑚 – 𝐴 hadisəsinin baş vermə sayı, 𝑛 – sınaqların

ümumi sayıdır. 𝜈(𝐴) tezliyinin tərifindən onun aşağıdakı xassələri asanlıqla

alınır: 1) 0 ≤ 𝜈(𝐴) ≤ 1; 2) 𝜈(Ω) = 1; 3) əgər 𝐴 və 𝐵 eksperimentdə müşahidə oluna bilən, uyuşmayan

hadisələrdirsə, onda aşağıdakı bərabərlik doğrudur:

𝜈(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝜈(𝐴) + 𝜈(𝐵).

Lakin nəzərə almaq lazımdır ki, təsadüfi hadisənin tezliyini hesablamaq üçün hökmən müəyyən eksperimentlər seriyası aparmaq lazımdır və bu zaman hər bir eksperimentlər seriyasında 𝐴 hadisəsinin tezliyi bir-birindən fərqli ola bilər.

Tərif. 𝑛 – eksperimentlər seriyasındakı sınaqların sayı, 𝐴 – bu eksperimentlərdə müşahidə oluna bilən təsadüfi hadisə olsun. 𝑛-in kifayət qədər böyük qiymətlərində 𝐴 hadisəsinin tezliyi hər hansı bir sabit ədəddən çox az fərqlənərsə, bu sabit ədədə 𝐴 hadisəsinin ehtimalı deyilir. 𝐴 hadisəsi isə stoxastik dayanıqlı hadisə adlanır.

Sonlu, yaxud hesabi sayda nəticələri olan stoxastik eksperimentə baxaq. Bu eksperimentə uyğun elementar hadisələr fəzası Ω = {𝜔1, 𝜔2, … ,𝜔𝑖 , … } çoxluğu olsun.

Fərz edək ki, hər bir 𝜔𝑖 elementar hadisəsinə 𝜔𝑖 elementar hadisəsinin ehtimalı adlanan 𝑝𝑖 çəkisi uyğun götürülür və bu çəkilər aşağıdakı xassələrə malikdir:

21

a) 𝑝𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1, 2,…; b) ∑ 𝑝𝑖

∞𝑖=1 = 1.

𝐴 – verilmiş eksperimentdə müşahidə olunan ixtiyari təsadüfi hadisə olsun; yəni 𝐴 – Ω-nın hər hansı altçoxluğudur.

Tərif. 𝐴 hadisəsinin ehtimalı 𝑃(𝐴) bu hadisə üçün əlverişli olan bütün elementar hadisələrin ehtimalları cəminə deyilir, yəni

𝑃(𝐴) = ∑ 𝑝𝑖𝜔𝑖∈𝐴, 𝑝𝑖 = 𝑃({𝜔𝑖)};

𝑝𝑖 – uyğun olaraq 𝜔𝑖 elementar hadisəsinin ehtimalı olub, elementar ehtimal adlanır.

Bu qayda ilə təyin olunmuş ehtimal aşağıdakı xassələrə malikdir:

1) 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1. 2) 𝑃(Ω) = 1. 3) əgər 𝐴 ⊂ Ω və 𝐵 ⊂ Ω uyuşmayan hadisələrdirsə, onda

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵).

Məsələ 2.2. Düzgün metal pul üç dəfə atılır. Gerb üzünün ən azı 2 dəfə

düşməsi hadisəsinin ehtimalını tapın.

Həlli: Bu eksperimentə uyğun elementar hadisələr fəzası

Ω = {𝐺𝐺𝐺, 𝐺𝐺Ş, 𝐺Ş𝐺, 𝐺ŞŞ, Ş𝐺𝐺, Ş𝐺Ş, ŞŞ𝐺, ŞŞŞ} çoxluğudur. Metal pul düzgün olduğundan və nəticələr eyniimkanlı olduğundan hər bir elementar hadisəsinin ehtimalı 1

8 olacaqdır.

𝐴 – {Gerb üzünün ən azı 2 dəfə düşməsi} hadisəsi, yəni 𝐴 = {𝐺𝐺𝐺, 𝐺𝐺Ş, 𝐺Ş𝐺, Ş𝐺𝐺} olarsa, onda

𝑃(𝐴) =1

8+1

8+1

8+1

8=4

8=1

2 .

22

İndi isə nəticələri qeyri-hesabi sayda olan stoxastik eksperimentə baxaq. Fərz edək ki, eksperiment nöqtənin ixtiyari qaydada Ω oblastına atılmasından ibarətdir. Əgər Ω -nın bütün nöqtələrinin eyniimkanlı olduğu fərz olunarsa, ixtiyari 𝐴 çoxluğuna uyğun

𝑃(𝐴) =𝑚(𝐴)

𝑚(Ω)

ölçüsünü götürmək olar.

Bu düstur ilə təyin olunan ehtimala 𝐴 hadisəsinin həndəsi ehtimalı deyilir və bu ehtimal aşağıdakı xassələri ödəyir:

1) ixtiyari 𝐴 hadisəsi üçün 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1; 2) 𝑃(Ω) = 1; 3) əgər 𝐴𝑖 hadisələri 𝐴𝑖⋂𝐴𝑗 = ∅(𝑖 ≠ 𝑗) şərtini ödəyən

hadisələrdirsə, onda 4)

𝑃 (⋃𝐴𝑖

∞

𝑖=1

) =∑𝑃(𝐴𝑖)

∞

𝑖=1

.

Məsələ 2.3. Tərəfinin uzunluğu 10 sm olan və daxilinə radiusu 5 sm olan

dairə çəkilmiş kvadrat hədəf olaraq seçilmişdir. Atıcının dairəyə atəş açmasının ehtimalını tapın.

Həlli: 𝐴 – hədəfin dairəyə düşməsi hadisəsi olsun. Həndəsi ehtimalın

tərifinə əsasən

𝑃(𝐴) =𝑚(𝐴)

𝑚(Ω) .

23

Aydındır ki, 𝑚(𝐴) = 𝜋𝑟2 = 3,14 ∗ 52 = 78,5𝑠𝑚2 və 𝑚(Ω) = 102 = 100𝑠𝑚2. Onda

𝑃(𝐴) =78,5𝑠𝑚2

100𝑠𝑚2= 0,785.

İndi isə hadisənin ehtimalı ilə əlaqəli bəzi teoremləri isbatsız

olaraq qeyd edək. Teorem 2.1. 𝐴 hadisəsinin əksi olan �̅� hadisəsinin ehtimalı

𝑃(�̅�) = 1 − 𝑃(𝐴)

fərqinə bərabərdir.

Teorem 2.2. Əgər 𝐴 ⊂ 𝐵 olarsa, onda

𝑃(𝐵\𝐴) = 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴).

Teorem 2.3. 𝐴 və 𝐵 ixtiyari hadisələrdirsə, onda aşağıdakı bərabərlik doğrudur:

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) .

Məsələ 2.4. Hava limanında iki ədəd keçid-yoxlanış məntəqəsi var. 𝐴 –

birinci keçid-yoxlanış məntəqəsinin məşğul olması, 𝐵 – ikinci keçid-yoxlanış məntəqəsinin məşğul olması hadisəsi olsun. Fərz edək ki, 𝑃(𝐴) = 0,2 , 𝑃(𝐵) = 0,3 və 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,06 . Keçid-yoxlanış məntəqələrindən heç birinin məşğul olmamasının ehtimalını tapın.

Həlli: �̅� ∩ �̅� – keçid-yoxlanış məntəqələrindən heç birinin məşğul

olmaması hadisəsi olsun, De Morqan qanunlarına əsasən aydındır ki,

24

�̅� ∩ �̅� = 𝐴 ∪ 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅. Onda Teorem 2.1-ə görə 𝑃(�̅� ∩ �̅�) = 1 − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵). Teorem 3-ə əsasən alırıq ki,

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = = 0,2 + 0,3 − 0,06 = 0,44.

Beləliklə, 𝑃(�̅� ∩ �̅�) = 1 − 0,44 = 0,56.

Teorem 2.4. İxtiyari üç 𝐴, 𝐵, 𝐶 hadisələri üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur:

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) −

−𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶).

Məsələ 2.5. Avtomobil qəzası törətmiş şəxsin Fərdi qəza sığortası sinfi üzrə

sığortalı olması ehtimalı 0,44, Avtonəqliyyat vasitəsi sahiblərinin mülki məsuliyyətinin icbari sığortası sinfi üzrə sığortalı olması ehtimalı 0,24, avtonəqliyyat vasitələrinin sığortası sinfi üzrə sığortalı olması ehtimalı 0,21-dir. Eyni zamanda həmin şəxsdə Fərdi qəza sığortası və Avtonəqliyyat vasitəsi sahiblərinin mülki məsuliyyətinin icbari sığortası müqaviləsinin olması ehtimalı 0,08; Fərdi qəza və Avtonəqliyyat vasitələrinin sığortası müqaviləsinin olması ehtimalı 0,11; Avtonəqliyyat vasitəsi sahiblərinin mülki məsuliyyətinin icbari sığortası və Avtonəqliyyat vasitələrinin sığortası müqaviləsinin olması ehtimalı 0,07-dir. Hər üç sığorta sinfi üzrə sığorta müqaviləsinin olması ehtimalı isə 0,03-ə bərabərdir. Həmin şəxsdə bu müqavilələrdən ən azı birinin olmasının ehtimalını tapın.

Həlli: 𝐹 – qəza törətmiş şəxsdə Fərdi qəza sığortası müqaviləsinin

olması hadisəsi, 𝐴İ – Avtonəqliyyat vasitəsi sahiblərinin mülki

25

məsuliyyətinin icbari sığortası müqaviləsinin olması hadisəsi, A isə Avtonəqliyyat vasitələrinin sığortası müqaviləsinin olması hadisəsi olsun. Onda məsələnin verilənlərinə əsasən 𝑃(𝐹) = 0,44; 𝑃(𝐴İ) = 0,24; 𝑃(𝐴) = 0,21; 𝑃(𝐹 ∩ 𝐴İ) = 0,08; 𝑃(𝐹 ∩ 𝐴) = 0,11; 𝑃(𝐴İ ∩ 𝐴) = 0,07 və 𝑃(𝐹 ∩ 𝐴İ ∩ 𝐴) = 0,03 . Teorem 4-ə əsasən alırıq ki,

𝑃(𝐹 ∪ 𝐴İ ∪ 𝐴) = 0,44 + 0,24 + 0,21 − 0,08 − 0,11 −

−0,07 + 0,03 = 0,66 .

26

Tapşırıqlar: 2.1. Düzgün dörd üzlü oyun zərinin iki dəfə atılması

eksperimentində: (a) Bu eksperimentə uyğun elementar hadisələr fəzasını qurun; (b) Əgər 𝐴 hadisəsi düşən xallar cəminin ən azı 4 olması hadisəsidirsə, �̅� hadisəsini müəyyən edin. (c) Düşən xallar cəminin ən azı 6 olmasının ehtimalını tapın. (d) Hər iki zərdə eyni xalın düşməsi hadisəsinin ehtimalını tapın. (e) Hər iki zərdə eyni xalın düşməməsi halında düşən xallar cəminin 6-dan böyük olması hadisəsinin ehtimalını tapın.

2.2. Fərz edək ki, Ω = {1, 2, 3, … , 25}. Təsadüfi olaraq bir ədəd seçilir və hər bir ədədin seçilməsinin eyniehtimallı olduğunu nəzərə alaraq aşağıdakı hadisələrin ehtimallarını tapın: (a) Seçilən ədədin 10-dan kiçik və 20-dən böyük olmasının ( 𝐴 hadisəsinin); (b) Seçilən ədədin 26-dan kiçik olmasının (𝐵 hadisəsinin); (c) Sadə ədədin seçilməsi hadisəsinin (𝐶 hadisəsinin).

2.3. Qutuda 4-ü qırmızı, 8-i sarı, 6-sı yaşıl rəngdə olmaqla 18 ədəd kürə var. Qutudan təsadüfi olaraq bir kürə çıxarılır. (a) Seçilən kürəciyin qırmızı olmasının (R hadisəsinin) ehtimalını; (b) Seçilmiş kürəciyin qırmızı olmamasının (�̅� hadisəsinin) ehtimalını; (c) Seçilmiş kürəciyin qırmızı və ya sarı rəngdə olmasının (𝑇 hadisəsinin) ehtimalını tapın.

2.4. Avtonəqliyyat vasitələrinin sığortası növü üzrə 20 nəfər sığortalanmışdır. Sığortalanan şəxslərdən heç olmasa ikisinin doğum günlərinin eyni olmasının ehtimalını tapın.

2.5. Müqavilələrin uçotu jurnalını araşdıran aktuari müəyyən etmişdir ki, mövcud 100 sığortalıdan 30-da tibbi sığorta müqaviləsi, 25-də fərdi qəza müqaviləsi, 55-də isə nə tibbi sığorta, nə də fərdi qəza müqaviləsi vardır.

27

(a) Sığortalılardan neçəsində həm tibbi sığorta müqaviləsi, həm də fərdi qəza sığortası müqaviləsi vardır? (b) Təsadüfi olaraq seçilən fərdi qəza sığortası müqaviləsi olan sığortalının eyni zamanda həm də tibbi sığorta müqaviləsinə sahib olmasının ehtimalını tapın.

2.6. Sinoptiklərin verdiyi məlumatlara əsasən sabahkı hava üçün 40% ehtimalla soyuq hava şəraiti, 10% ehtimalla yağıntılı-soyuq hava şəraiti, 80% ehtimalla isə yağıntılı və ya soyuq hava şəraitinin olacağı gözlənilir. Havanın yağıntılı olmasının ehtimalını tapın.

2.7. Çevrənin daxilinə kvadrat çəkilmişdir. Təsadüfi qaydada çevrəyə atılmış nöqtənin kvadratın daxilinə düşməsinin ehtimalını hesablayın.

2.8. Əhali arasında aparılan sorğunun nəticələrinə görə sorğu iştirakçılarının 60%-nin şəxsi avtomobili, 30%-nin şəxsi mənzili, 20%-nin isə həm şəxsi avtomobili, həm də şəxsi mənzili vardır. Əhalinin hansı hissəsi yalnız şəxsi avtomobil və ya yalnız şəxsi mənzilə sahibdir?

2.9. Xəstəxanaya müraciət edən xəstələrdən 22%-i həm terapevtə, həm də mütəxəssis həkimə müraciət edənlərdir. 12% isə bunlardan heç birinə müraciət etməyənlərdir. Mütəxəssis həkimə olunan müraciətin ehtimalı terapevtə olunan müraciətin ehtimalından 14 % çoxdur. Təsadüfi seçilmiş şəxsin terapevtə müraciət etməsinin ehtimalını tapın.

2.10. Sığortaçının ötən ilki sığorta portfeli araşdırılarkən məlum olmuşdur ki, sığortalıların:

28%-də avtomobil sığortası; 29%-də əmlak sığortası; 19%-də tibbi sığorta; 14%-də avtomobil və əmlak sığortası; 12%-də əmlak və tibbi sığorta; 10%-də avtomobil və tibbi sığorta; 8%-də isə hər üç sığorta növü üzrə müqavilə var.

28

Portfeldən təsadüfi seçilən sığortalıda bu üç sığorta növü üzrə müqavilədən heç birinin olmamasının ehtimalını tapın.

2.11. [0, 1] aralığından təsadüfi qaydada iki ədəd seçilir. Bu ədədlərin hasilinin 1

2-dən kiçik olmasının ehtimalını tapın.

29

3. Şərti ehtimal. Asılı olmamazlıq Bu bölmədə hər hansı 𝐴 hadisəsinin digər 𝐵 hadisəsinin baş

verməsi şərti daxilində ehtimalının təyin olunması məsələsini araşdıracağıq.

Fərz edək ki, düzgün oyun zəri bir dəfə atılır və eksperimentin nəticəsi məlum deyil, yalnız cüt xalın düşməsi məlumdur. Bu məlumata əsaslanaraq üçdən böyük xalın düşməsi hadisəsinin ehtimalını qiymətləndirmək tələb olunur. Bu hal 𝐴 ={üçdən böyük xal düşmüşdür} hadisəsinin 𝐵 ={cüt xal düşmüşdür} hadisəsinin baş verməsinə nəzərən şərti ehtimalını ifadə edir. Artıq bizə məlumdur ki, ya 2 xalı, ya 4 xalı, ya da 6 xalı düşmüşdür və bu nəticələr eyniimkanlıdır. Bu nəticələrdən 𝐴 hadisəsi üçün əlverişli olan 4 və 6 xalının düşməsidir. Ona görə də, şərti ehtimal təbii olaraq 2

3 nisbəti

olacaqdır. 𝐵 hadisəsinin baş verməsi şərti daxilində 𝐴 hadisəsinin

ehtimalı şərti ehtimal adlanır və 𝑃(𝐴|𝐵) kimi işarə olunur. Şərti ehtimala yalnız 𝐵 hadisəsinin baş vermə ehtimalının 0-

dan fərqli olduğu halda baxacağıq. Fərz edək ki, Ω – elementar hadisələr fəzasıdır. 𝐵 hadisəsinin

baş verməsi məlum olduğundan yalnız 𝐵 hadisəsini təşkil edən elementar hadisələrə (nəticələrə) baxacağıq. Yeni bir elementar hadisələr fəzası – Ω1 = 𝐵-yə baxaq. 𝐴 çoxluğundan eyni zamanda 𝐵 çoxluğuna daxil olan nəticələr çoxluğunu ayıraq və onu 𝐴1-lə işarə edək. Aydındır ki, 𝐴1 = 𝐴 ∩ 𝐵. Biz yenidən yeni elementar hadisələr fəzası olan Ω1 -ə nəzərən ehtimalın klassik tərifindən istifadə edəcəyik. Ona görə də, bu ehtimal 𝑁(𝐴1) 𝑁(Ω1)⁄ nisbətinə bərabərdir. Doğrudan da,

𝑃(𝐴|𝐵) =𝑁(𝐴1)

𝑁(Ω1)=𝑁(𝐴1) 𝑁(Ω)⁄

𝑁(Ω1) 𝑁(Ω)⁄=𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵) ,

30

burada 𝑁(𝐴1) – 𝐴1 hadisəsi üçün əlverişli nəticələrin sayı, 𝑁(Ω1) isə Ω1 hadisəsi üçün əlverişli nəticələrin sayıdır.

Beləliklə, eksperimentin nəticələrinin eyniehtimallı oldu-ğunu nəzərə alaraq şərti ehtimal üçün aşağıdakı düsturu alırıq.

Tərif. 𝐵 hadisəsinin baş verməsi şərti daxilində 𝐴 hadisəsinin şərti ehtimalı 𝑃(𝐴|𝐵) ədədinə deyilir və aşağıdakı düsturla ifadə olunur:

𝑃(𝐴|𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵) .

Şərti ehtimalın tərifindən və ehtimalın xassələrindən şərti

ehtimalın aşağıdakı xassələri alınır: Xassə 1. 𝑃(Ω|𝐵) = 1; Xassə 2. 𝑃(∅|𝐵) = 0; Xassə 3. 0 ≤ 𝑃(𝐴|𝐵) ≤ 1; Xassə 4. Əgər 𝐴 ⊂ 𝐶, onda 𝑃(𝐴|𝐵) ≤ 𝑃(𝐶|𝐵); Xassə 5. 𝑃(�̅�|𝐵) = 1 − 𝑃(𝐴|𝐵); Xassə 6. İxtiyari 𝐴 və 𝐶 hadisələri üçün 𝑃(𝐴 ∪ 𝐶|𝐵) = 𝑃(𝐴|𝐵) + 𝑃(𝐶|𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶|𝐵).

Xassə 7. İxtiyari 𝐴 və 𝐵 hadisələri üçün 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵)𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴).

Xassə 8. İxtiyari 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 hadisələri üçün

𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩…∩ 𝐴𝑛) =

= 𝑃(𝐴1)𝑃(𝐴2|𝐴1)𝑃(𝐴3|𝐴1 ∩ 𝐴2)…𝑃(𝐴𝑛|𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ …∩ 𝐴𝑛−1).

31

Məsələ 3.1. Düzgün metal pul 3 dəfə atılır. Əgər 𝐴 və 𝐵 hadisələri uyğun

olaraq, 𝐴={G üzünün düşmə sayının Ş üzünün düşmə sayından çox

olması} və 𝐵={1-ci dəfə G üzünün düşməsi} hadisələri olarsa, 𝑃(𝐴|𝐵)

şərti ehtimalını tapın. Həlli: Bildiyimiz kimi bu eksperimentə uyğun elementar hadisələr

fəzası Ω = {𝐺𝐺𝐺, 𝐺𝐺Ş, 𝐺Ş𝐺, 𝐺ŞŞ, Ş𝐺𝐺, Ş𝐺Ş, ŞŞ𝐺, ŞŞŞ} çoxluğudur, belə ki, hər bir elementar hadisə eyniehtimallıdır. 𝐵 ={1-ci dəfə G üzünün düşməsi}= {𝐺𝐺𝐺, 𝐺𝐺Ş, 𝐺Ş𝐺, 𝐺ŞŞ}. Ona görə də, ehtimalın klassik tərifinə əsasən,

𝑃(𝐵) =4

8 .

Əgər 𝐴 = {𝐺𝐺𝐺, 𝐺𝐺Ş, 𝐺Ş𝐺, Ş𝐺𝐺} olduğunu nəzərə alsaq,

𝐴 ∩ 𝐵 = {𝐺𝐺𝐺, 𝐺𝐺Ş, 𝐺Ş𝐺} və

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =3

8 .

Beləliklə, 𝑃(𝐴|𝐵) = 3 8⁄

4 8⁄=3

4.

Məsələ 3.2. Düzgün oyun zəri 3 dəfə atılır. Hər üç zərdə müxtəlif xalların

düşməsi məlumdursa, bu zərlərdən heç olmasa birində 6 xalının düşməsinin ehtimalını tapın.

Həlli: 𝐴 ={üç zərin heç olmasa birində 6 xalının düşməsi}, 𝐵 ={hər

üç zərdə müxtəlif xalların düşməsi} hadisəsi olsun. Bizdən 𝑃(𝐴|𝐵)

32

ehtimalını qiymətləndirmək tələb olunur. 𝑃(�̅�|𝐵) ehtimalını qiymətləndirmək daha asan olduğundan xassə 5-dən istifadə edəcəyik.

Aydındır ki, bu eksperimentə uyğun elementar hadisələr fəzası 216 nəticədən ibarətdir və elementar hadisələr fəzası

Ω = {({𝑖, 𝑗, 𝑘}): 𝑖 = 1, 6̅̅ ̅̅̅; 𝑗 = 1, 6̅̅ ̅̅̅; 𝑘 = 1, 6̅̅ ̅̅̅}

çoxluğu olacaqdır, burada {i, j, k} – birinci zərdə i, ikinci zərdə j, üçüncü zərdə k xalının düşməsi hadisəsidir. Hər üç zərdə müxtəlif xalların düşməsi hallarının sayı 𝐴63 -ə bərabərdir. Onda 𝑃(𝐵) == 𝐴6

3 216⁄ . �̅� ∩ 𝐵 hadisəsi – hər üç zərdə 6 xalı istisna olmaqla bir-birindən fərqli müxtəlif xalların düşməsi hadisəsidir. Analoji olaraq alırıq ki, 𝑃(�̅� ∩ 𝐵) = 𝐴53 216⁄ . Onda şərti ehtimalın tərifinə əsasən

𝑃(�̅�|𝐵) =𝑃(�̅� ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵)=𝐴53

𝐴63 =

5 ∙ 4 ∙ 3

6 ∙ 5 ∙ 4=1

2 .

Beləliklə, 𝑃(𝐴|𝐵) = 1 − 1

2=1

2 .

Tam ehtimal düsturu. Elə mürəkkəb hadisələrə təsadüf edilir ki, onların

ehtimallarını bilavasitə hesablamaq mümkün olmur. Lakin müəyyən şərtlər yerinə yetirilərsə, şərti ehtimaldan istifadə etməklə bu ehtimalı hesablamaq mümkündür. Belə hallarda tam ehtimal düsturu adlanan düsturdan istifadə olunur.

Fərz edək ki, 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 tam qrup əmələ gətirən hadisələrdir və 𝑖 = 1, 𝑛̅̅ ̅̅ ̅̅ üçün 𝑃(𝐴𝑖) > 0 . Onda ixtiyari 𝐵 hadisəsinin ehtimalı üçün

33

𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐵) +⋯+ 𝑃(𝐴𝑛 ∩ 𝐵) =

= 𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1) + ⋯+ 𝑃(𝐴𝑛)𝑃(𝐵|𝐴𝑛)

bərabərliyi doğrudur. Bu düstur tam ehtimal düsturu adlanır. Tam ehtimal düsturu Şəkil 2-də aydın təsvir olunmuşdur:

Şəkil 2

𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 tam qrup əmələ gətirən hadisələr olduğundan 𝐵

hadisəsini 𝐴𝑖 ∩ 𝐵 hadisələrinin birləşməsi kimi ifadə etmək olar:

𝐵 = (𝐴1 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴2 ∩ 𝐵) ∪ …∪ (𝐴𝑛 ∩ 𝐵). Ehtimalın additivlik xassəsinə əsasən 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐴2 ∩ 𝐵) +⋯+ 𝑃(𝐴𝑛 ∩ 𝐵). Şərti ehtimalın tərifindən alırıq ki, 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴1) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴1) + 𝑃(𝐴2) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴2) + ⋯+

+𝑃(𝐴𝑛) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴𝑛).

34

Məsələ 3.3. Seymur şahmat turnirində iştirak edir. Onun iştirakçıların

yarısına qalib gəlmə ehtimalı 0,3-dür və onları I qrup iştirakçılar adlandıraq. Seymurun iştirakçıların 1 4⁄ -ə qalib gəlmə ehtimalı 0,4-dür və bu qrup iştirakçıları isə II qrup adlandıraq. İştirakçıların qalan 1 4⁄ -ə qalib gəlmə ehtimalı isə 0,5-dir və bu qrup iştirakçıları III qrup adlandıraq. Seymur təsadüfi qaydada seçilmiş bir şəxslə oynayır və onun qalib gəlmə ehtimalını tapın.

Həlli: 𝐴𝑖 i-ci qrupdan olan rəqiblə oynama hadisəsi olsun. Onda biz

alırıq ki, 𝑃(𝐴1) = 0,5 , 𝑃(𝐴2) = 0,25 , 𝑃(𝐴3) = 0,25 . B isə Seymurun oyunu qalibiyyətlə başa vurması hadisəsi

olsun. Onda 𝑃(𝐵|𝐴1) = 0,3 , 𝑃(𝐵|𝐴2) = 0,4 , 𝑃(𝐵|𝐴3) = 0,5 olur.

Beləliklə, tam ehtimal düsturunu tətbiq etsək alırıq ki, 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐴2 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐴3 ∩ 𝐵) =

= 𝑃(𝐴1) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴1) + 𝑃(𝐴2) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴2) + 𝑃(𝐴3) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴3) = = 0,5 ∙ 0,3 + 0,25 ∙ 0,4 + 0,25 ∙ 0,5 = 0, 375.

Bayes düsturu Fərz edək ki, 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 tam qrup əmələ gətirən

hadisələrdir və 𝑖 = 1, 𝑛̅̅ ̅̅̅ üçün 𝑃(𝐴𝑖) > 0. Fərz olunur ki, B hadisəsi baş vermişdir. 𝐴𝑖 hadisələrinin

ehtimallarını B hadisəsinin baş vermə şərtinə nəzərən hesablamaq lazımdır.

Teorem 3.1. 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 tam qrup əmələ gətirən hadisələrdir və 𝑖 = 1, 𝑛̅̅ ̅̅ ̅̅ üçün 𝑃(𝐴𝑖) > 0 . Onda 𝑃(𝐵) > 0 şərtini ödəyən B hadisəsi üçün

35

𝑃(𝐴𝑖|𝐵) =𝑃(𝐴𝑖) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴𝑖)

∑ 𝑃(𝐴𝑖) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴𝑖)𝑛𝑖=1

, 𝑖 = 1, 𝑛̅̅ ̅̅̅

bərabərliyi doğrudur. Bu düsturlar Bayes düsturları adlanır. İsbatı: Əvvəlcə onu qeyd edək ki,

𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵 ∩ Ω) = 𝑃(𝐵 ∩ (⋃𝐴𝑖

𝑛

𝑖=1

)) = 𝑃 (⋃(𝐵 ∩ 𝐴𝑖)

𝑛

𝑖=1

) =

=∑𝑃(𝐵 ∩ 𝐴𝑖)

𝑛

𝑖=1

=∑𝑃(𝐵|𝐴𝑖)𝑃(𝐴𝑖).

𝑛

𝑖=1

Beləliklə,

𝑃(𝐴𝑖|𝐵) =𝑃(𝐵|𝐴𝑖) ∙ 𝑃(𝐴𝑖)

𝑃(𝐵)=

𝑃(𝐵|𝐴𝑖) ∙ 𝑃(𝐴𝑖)

∑ 𝑃(𝐵|𝐴𝑖) ∙ 𝑃(𝐴𝑖)𝑛𝑖=1

.

Məsələ 3.4. Tam ehtimal düsturunun tərifindəki Məsələ 3.3-ə qayıdaq.

Məsələnin şərtinə əsasən 𝐴𝑖 i-ci qrupdan olan rəqiblə oynama hadisəsidir və

𝑃(𝐴1) = 0,5 , 𝑃(𝐴2) = 0,25 , 𝑃(𝐴3) = 0,25 .

Əgər 𝐵 hadisəsi Seymurun qalib gəlməsi hadisəsi olarsa, onda

𝑃(𝐵|𝐴1) = 0,3 , 𝑃(𝐵|𝐴2) = 0,4 , 𝑃(𝐵|𝐴3) = 0,5. Fərz edək ki, Seymur oyunu qalibiyyətlə baş vurub. Onun

rəqibinin I qrupdan olmasının ehtimalı – 𝑃(𝐴1|𝐵)-ni tapın.

36

Həlli: Bayes düsturuna əsasən

𝑃(𝐴1|𝐵) =𝑃(𝐴1) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴1)

𝑃(𝐴1) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴1) + 𝑃(𝐴2) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴2) + 𝑃(𝐴3) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴3)=

=0,5 ∙ 0,3

0,5 ∙ 0,3 + 0,25 ∙ 0,4 + 0,25 ∙ 0,5= 0,4 .

Məsələ 3.5. Oyuncaq fabrikində istehsal zamanı üç 𝐴 , 𝐵 və 𝐶

dəzgahlarından istifadə olunur. Oyuncaqların 50%-nin istehsalında 𝐴 dəzgahından, 30%-nin istehsalında 𝐵 dəzgahından, 20%-nin istehsalında isə 𝐶 dəzgahından istifadə edilmişdir. Ötən ilin statistikasına əsasən müəyyən olmuşdur ki, 𝐴 dəzgahında istehsal olunan oyuncaqların 4%-də, 𝐵 dəzgahında istehsal olunan oyuncaqların 2%-də, 𝐶 dəzgahında istehsal olunan oyuncaqların isə 4%-də nöqsan var.

a) Təsadüfi olaraq seçilmiş oyuncaqda nöqsan aşkarlanmasının ehtimalını tapın.

b) Əgər təsadüfi olaraq seçilmiş oyuncaqda nöqsan aşkarlanmışdırsa, bu oyuncağın 𝐴 dəzgahında istehsal olunmasının ehtimalını tapın.

Həlli: 𝐷 oyuncaqda nöqsan aşkarlanması hadisəsi olsun. Onda

𝑃(𝐴) = 0,5, 𝑃(𝐵) = 0,3, 𝑃(𝐶) = 0,2, 𝑃(𝐷|𝐴) = 0,04, 𝑃(𝐷|𝐵) = 0,02 , 𝑃(𝐷|𝐶) = 0,04 . Tam ehtimal düsturuna əsasən alırıq ki,

𝑃(𝐷) = 𝑃(𝐷|𝐴) ∙ 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐷|𝐵) ∙ 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐷|𝐶) ∙ 𝑃(𝐶) =

= 0,04 ∙ 0,5 + 0,02 ∙ 0,3 + 0,04 ∙ 0,2 = 0,034 .

37

Asılı olmayan hadisələr. Tərif. A və B eksperimentdə müşahidə oluna bilən hadisələr,

𝑃(𝐵) > 0 olsun. A hadisəsinin şərtsiz ehtimalı onun B hadisəsinə nəzərən şərti ehtimalına bərabərdirsə, yəni

𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴|𝐵)

bərabərliyi ödənilərsə, onda A və B hadisələrinə asılı olmayan hadisələr deyilir.

Nümunə 3.1. Düzgün oyun zərinin atılması eksperimentində 𝐴 ={üçdən

kiçik xalın düşməsi}, 𝐵 = {cüt xalın düşməsi} hadisələri olsun. Aydındır ki, 𝐴 = {1, 2} və 𝐵 = {2, 4, 6}. Onda 𝑃(𝐴) = 2

6 və

𝑃(𝐴|𝐵) =𝑃(𝐴∩𝐵)

𝑃(𝐵)=

1 6⁄

1 2⁄=2

6=1

3. Doğrudan da, 𝐴 hadisəsi 𝐵

hadisəsindən asılı deyil. Tərif. Aşağıdakı bərabərlik ödənilərsə, 𝐴 və 𝐵 hadisələrinə

asılı olmayan hadisələr deyilir.

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵).

Məsələ 3.6. Eksperiment dördüzlü düzgün oyun zərinin iki dəfə

atılmasından ibarətdir. Aydındır ki, elementar hadisələr fəzası 16 nəticədən ibarətdir və hər bir elementar hadisə eyni bir 1

16 ehtimalına

malikdir. 𝐴 = {birinci zərdə 1 xalının düşməsi}; 𝐵 = {iki zərdə düşən xallar cəminin 5-ə bərabər olması} hadisəsi olsun. 𝐴 və 𝐵 hadisələri asılı olmayan hadisələrdirmi?

38

Həlli:

𝑃(𝐴) = 𝑃{(1, 𝑗)} =4

16

və

𝑃(𝐵) = 𝑃{(𝑖, 𝑗): 𝑖 + 𝑗 = 5} =4

16.

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃{(1, 4)} =1

16.

Alırıq ki,

1

16= 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) =

1

4 ∙1

4=1

16 .

Deməli, 𝐴 və 𝐵 hadisələri asılı olmayan hadisələrdirlər. Məsələ 3.7. Kömür mədənlərinin axtarışı ilə məşğul olan şirkət Virciniya

və Nyu Meksika ştatında qazıntılar aparır. 𝐴 – Virciniya ştatında, 𝐵 isə Nyu Meksika ştatında kömür mədəninin tapılması hadisəsi olsun. Fərz edək ki, 𝐴 və 𝐵 ehtimalları 𝑃(𝐴) = 0,4 və 𝑃(𝐵) = 0,7 olan asılı olmayan hadisələrdir. Bu ştatlardan heç olmasa birində kömür mədəninin olmasının ehtimalını tapın.

Həlli: İki ştatdan heç olmasa birində kömür mədəninin olması

ehtimalı 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)-dir. Beləliklə,

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − −𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) = 0,4 + 0,7 − 0,4 ∙ 0,7 = 0,82.

Teorem 3.2. Əgər 𝐴 və 𝐵 asılı olmayan hadisələrdirsə, 𝐴 və

�̅� hadisələri də asılı olmayan hadisələrdir.

39

İsbatı: 𝐴 hadisəsini uyuşmayan iki hadisənin birləşməsi kimi ifadə

edə bilərik: 𝐴 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ �̅�) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ �̅�). Beləliklə,

𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐴 ∩ �̅�). Buradan alınır ki,

𝑃(𝐴 ∩ �̅�) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) = = 𝑃(𝐴)(1 − 𝑃(𝐵)) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(�̅�).

Qeyd 3.1. Əgər 𝐴 və 𝐵 asılı olmayan hadisələrdirsə, onda �̅�

və �̅� hadisələri də asılı olmayan hadisələrdir. Tərif. 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 hadisələri üçün 𝑃(𝐴𝑙1 ∩ 𝐴𝑙2 ∩ … ∩ 𝐴𝑙𝑘) = 𝑃(𝐴𝑙1) ∙ 𝑃(𝐴𝑙2) ∙ … ∙ 𝑃(𝐴𝑙𝑘)

bərabərliyi 𝑙1, 𝑙2, … , 𝑙𝑘 indekslərinin ixtiyari toplusu üçün ödənilərsə, 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 hadisələrinə külliyyatca asılı olmayan hadisələr deyilir.

Tərif. 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 hadisələrinin ixtiyari cütü asılı olmayan hadisələrdirsə, 𝐴𝑖 hadisələri cüt-cüt asılı olmayan hadisələr adlanır.

Başqa sözlə, əgər i, j, 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛 indekslərinin ixtiyari cütü üçün 𝑃(𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗) = 𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐴𝑗) bərabərliyi ödənilərsə, 𝐴𝑖

hadisələrinə cüt-cüt asılı olmayan hadisələr deyilir. Teorem 3.3. n sayda hadisənin külliyyatca asılı olmamazlığı

üçün 2𝑛 − (𝑛 + 1) sayda bərabərlik, cüt-cüt asılı olmamazlığı üçün isə 𝐶𝑛2 sayda bərabərlik ödənilməlidir.

40

Tərifə əsasən 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 hadisələrinin külliyyatca asılı olmamazlığı üçün aşağıdakı bərabərliklər ödənilməlidir:

1. 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2) = 𝑃(𝐴1) 𝑃(𝐴2) 2. 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴3) = 𝑃(𝐴1) 𝑃(𝐴3) 3. 𝑃(𝐴2 ∩ 𝐴3) = 𝑃(𝐴2) 𝑃(𝐴3) 4. 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3) = 𝑃(𝐴1) 𝑃(𝐴2) 𝑃(𝐴3). İlk 3 şərt hadisələrin cüt-cüt asılı olmamazlığı şərtidir və bu

şərtlərin varlığından hadisələrin külliyyatca asılı olmamazlığı alınmır. Bernşteyn misalı adlanan aşağıdakı misal bunu sübut edir.

Nümunə 3.2. Üzlərindən biri qırmızı, ikincisi yaşıl, üçüncüsü mavi, dördüncüsü isə hər üç rənglə boyanmış bir tetraedr müstəvi üzərinə ixtiyari qaydada atılır. Tetraedr müstəvi üzərinə atılarkən

𝐴 – tetraedrin qırmızı üzünün; 𝐵 – tetraedrin yaşıl üzünün; 𝐶 – tetraedrin mavi üzünün düşməsi hadisələri olsun. Hər bir

rəng tetraedrin iki üzünə çəkildiyindən ehtimalın klassik tərifinə əsasən

𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐶) =2

4 .

Digər tərəfdən isə

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) =1

4.

Deməli, 𝐴, 𝐵 və 𝐶 hadisələri cüt-cüt asılı olmayan hadisələrdir. Lakin

1

4= 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) ≠ 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶) =

1

8

olduğundan bu hadisələr külliyyatca asılı olmayan hadisələr deyillər.

Digər bir nümunəyə baxaq.

41

Nümunə 3.3. Eksperiment 2 ədəd düzgün oyun zərinin atılmasından ibarətdir.

𝐴 = {birinci zərdə tək xalın düşməsi}, 𝐵 = {ikinci zərdə tək xalın düşməsi}, 𝐶 = {düşən xallar cəminin tək olması} hadisəsi olsun.

Aydındır ki, 𝑃(𝐴) =

3∙6

62=1

2, 𝑃(𝐵) = 6∙3

62=1

2 , 𝑃(𝐶) = 3∙3+3∙3

62=

1

2,

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =3∙3

62=1

4, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 3∙3

62=1

4 , 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) = 3∙3

62=1

4 .

Beləliklə, 𝐴 , 𝐵 və 𝐶 hadisələri cüt-cüt asılı olmayan

hadisələrdir. Lakin

0 = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) ≠ 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶) =1

8 .

Deməli, 𝐴 , 𝐵 və 𝐶 hadisələri külliyyatca asılı olmayan hadisələr deyillər.

42

Tapşırıqlar. 3.1. Məlumdur ki, 𝑃(𝐴) = 2

5, 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 3

5, 𝑃(𝐵|𝐴) =

1

4 ,

𝑃(𝐶|𝐵) =1

3 və 𝑃(𝐶|𝐴 ∩ 𝐵) = 1

2 . 𝑃(𝐴|𝐵 ∩ 𝐶) ehtimalını tapın.

3.2. Aktuari qadın əhali arasında A, B və C ilə işarə olunan 3 risk faktorunun insan sağlamlığına təsirinin araşdırılması ilə məşğuldur. Qadında bu risk faktorlarından yalnız hər hansı birinin (digər ikisinin deyil) olması ehtimalı 0,1-dir. Üç risk faktorundan yalnız hər hansı ikisinin (digərinin deyil) olması ehtimalı isə 0,12-dir. Qadında A və B faktorlarının olduğu şərti daxilində bütün risk faktorlarının olmasının ehtimalı 1

3-dir. Əgər qadında A risk faktorunun olmadığı məlumdursa,

onda üç risk faktorlarından heç birinin olmaması ehtimalını tapın. 3.3. Səhiyyə tədqiqatçısı 2005-ci il ərzində vəfat edən 937 nəfərdən

ibarət bir qrupun tibbi arayışlarının araşdırılması ilə məşğuldur və müəyyən etmişdir ki, qrupdan olan 210 nəfərin ölüm səbəbi ürək çatışmazlığıdır. Bundan başqa, 937 nəfərdən 312-nin valideynlərindən heç olmasa biri ürək çatışmazlığından əziyyət çəkib və 312 nəfərin 102-si bu xəstəlikdən vəfat etmişlər. Valideynlərindən heç birinin ürək çatışmazlığından vəfat etməməsi məlum olduğu halda qrupdan təsadüfi olaraq seçilmiş şəxsin ürək çatışmazlığından vəfat etməsinin ehtimalını tapın.

3.4. Sığorta şirkəti avtonəqliyyat vasitələrinin sığortası sinfi üzrə portfelinin təhlili zamanı aşağıdakı məlumatları əldə etmişdir:

1) Sığortalıların hər biri ən azı bir avtomobil sığortalayıblar. 2) 70% sığortalı birdən çox sayda avtomobil sığortalayıb. 3) 20% sığortalı idman avtomobili sığortalayıb. 4) Birdən çox sayda avtomobil sığortalayanların 15%-i idman

avtomobilini sığortalayıblar. Təsadüfi seçilmiş sığortalının yalnız bir avtomobil sığortalaması və bu avtomobilin idman avtomobili olmamasının ehtimalını tapın.

43

3.5. Təsadüfi olaraq seçilmiş sığortalıda qan dövranı probleminin olması ehtimalı 0,25-dir. Siqaret çəkənlərdə qan dövranı probleminin olması ehtimalı siqaret çəkməyənlərlə müqayisədə iki dəfə çoxdur.

Sığortalının siqaret çəkdiyi məlumdursa, onda qan dövranı probleminin olmasının ehtimalını tapın.

3.6. Sığorta şirkəti bütün yaş qruplarından olan sürücüləri sığortalayır. Aktuari sığortalanan sürücülərin statistikasına əsaslanaraq aşağıdakı məlumatları toplamışdır:

Sürücünün yaşı Qəzanın baş vermə ehtimalı

Sığortalanan sürücülərin portfeldəki

payı 16 - 20 0,06 0,08 21 - 30 0,03 0,15 31 - 65 0,02 0,49 66 - 99 0,04 0,28

Şirkətin sığortaladığı sürücülərdən biri qəza törətmişdir.

Sürücünün 16-20 yaş qrupuna aid olmasının ehtimalını tapın. 3.7. Həyat sığortası şirkətinin sığortalılarının 10 faizi siqaret çəkən

şəxslərdir. Hər bir siqaret çəkən sığortalının növbəti bir il ərzində vəfat etməsi ehtimalı 0,01-dir. Siqaret çəkməyən sığortalı üçün isə bu ehtimal 0,05-dir.

Sığortalının vəfat etdiyi məlumdursa, onun siqaret çəkən olmasının ehtimalını tapın.

3.8. Sığorta şirkəti sığortalıların xəstəxana xərclərini ödəyir. Reanimasiya otağı və ya əməliyyat otağı xərcləri üzrə daxil olan tələblər ümumi tələblərin 85%-ni təşkil edir. Reanimasiya otağı xərclərini nəzərdə tutmayan tələblər isə ümumi tələblərin 25%-ni təşkil edir. Reanimasiya otağı xərclərinin yaranması əməliyyat otağı xərclərinin yaranmasından asılı deyildir.

Sığorta şirkətinə təqdim olunan iddiada əməliyyat otağı xərclərinin nəzərdə tutulmasının ehtimalını tapın.

44

3.9. İş qəzaları 3 qrup üzrə təsnifləşdirilmişdir: yüngül, orta ağır və ağır. Baş verən hadisənin yüngül olması hadisəsinin ehtimalı 0,5, orta ağır olmasının ehtimalı 0,4 və ağır olmasının ehtimalı isə 0,1-dir. Bir ay ərzində baş verən iki qəza bir-birində asılı deyildir.

Bu qəzalardan heç birinin ağır qəza olmaması halında ən çox birinin orta ağır qəza olmasının ehtimalını tapın.

3.10. Avtomobil sahiblərinin sığorta maraqlarını araşdıran aktuari aşağıdakı nəticələr əldə etmişdir:

1) Avtomobil sahibləri avtomobillərin gövdə (kasko) sığortasına fərdi qəza sığortasından iki dəfə çox üstünlük verirlər.

2) Avtomobil sahibinin gövdə sığortası müqaviləsi bağlaması onun fərdi qəza sığortası müqaviləsi bağlamasından asılı deyildir.

3) Avtomobil sahibinin həm gövdə sığortası, həm də fərdi qəza sığortasının olmasının ehtimalı 0,15-dir. Avtomobil sahibinin nə gövdə sığortası, nə də fərdi qəza sığortasının olmamasının ehtimalını tapın.

45

4. Təsadüfi kəmiyyətlər Təsadüfi kəmiyyət anlayışı ehtimal nəzəriyyəsinin əsas

anlayışlarındandır. Əvvəlki mövzulardan göründüyü kimi bir çox ehtimal modellərində eksperiment aparılarkən ədədi nəticəli hadisələr baş verir. Məsələn, oyun zərinin bir dəfə atılması eksperimentində 1, 2, 3, 4, 5 və 6 xalları düşə bilər. Əvvəlcədən hansı xalın düşəcəyini müəyyən etmək olmur, çünki o tam dəqiqliklə təyin olunmayan çoxlu sayda təsadüfi səbəblərdən asılıdır. Bu nöqteyi-nəzərdən düşən xallar sayı təsadüfi kəmiyyətdir, 1, 2, 3, 4, 5 və 6 bu təsadüfi kəmiyyətin mümkün qiymətləridir.

Nümunə 4.1. 100 nəfər yeni doğulmuş uşaqların içərisində

oğlan uşaqlarının sayı təsadüfi kəmiyyətdir və bu təsadüfi kəmiyyət 0, 1, 2, ..., 100 qiymətlərini alır.

Nümunə 4.2. Düzgün oyun zərinin iki dəfə atılması eksperimenti aparılır. Bu eksperimentə uyğun bəzi təsadüfi kəmiyyətləri qeyd edək:

(1) İki zərdə düşən xalların cəmi. Aydındır ki, bu təsadüfi kəmiyyət 2, 3, ..., 12 qiymətlərini alır.

(2) Oyun zərinin iki dəfə atılması zamanı 6 xalının düşmə sayı bir təsadüfi kəmiyyətdir və bu təsadüfi kəmiyyət 0, 1, 2 qiymətlərini alır.

Nümunə 4.3. Silahdan açılan atəş zamanı mərminin uçuş məsafəsi təsadüfi kəmiyyətdir. Həqiqətən, uçuş məsafəsi yalnız atıcının sərrast atıcılıq qabiliyyətindən deyil, eyni zamanda yetərincə araşdırılması mümkün olmayan digər müxtəlif səbəblərdən də asılıdır (məs., küləyin gücündən və istiqamətindən, temperaturdan və s.). Bu təsadüfi kəmiyyətlərin bütün mümkün qiymətləri hər hansı (𝑎, 𝑏) aralığına daxildir.

Digər ehtimal modellərində isə eksperimentin nəticələri (elementar hadisələr) ədədi nəticəli olmur, amma məsələnin şərtindən

46

asılı olaraq elementar hadisələrə müəyyən ədədi qiymətlər qarşı qoyulur.

Nümunə 4.4. Düzgün metal pulun ardıcıl olaraq beş dəfə atılması eksperimentində Gerb üzünün düşməsi sayı təsadüfi kəmiyyətdir. Bu təsadüfi kəmiyyət 0, 1, 2, 3, 4, 5 qiymətlərini alır. Göründüyü kimi Gerb və Şəbəkədən təşkil olunmuş beşelementli ardıcıllıq təsadüfi kəmiyyət deyil, çünki burada aşkar ədədi qiymət yoxdur.

Nümunə 4.5. Sığorta hadisəsi baş verdiyi halda bildiriş mesajının göndərilməsi zamanı mesajın çatması müddəti, səhv göndərilən simvolların sayı və göndərilən mesajın gecikmə müddəti – təsadüfi kəmiyyətdir.

Beləliklə, eksperimentin nəticəsi elementar hadisələrlə ifadə olunduğundan təsadüfi kəmiyyətə elementar hadisələr fəzasında təyin olunmuş bir funksiya kimi baxmaq olar. Bu təsadüfi kəmiyyət eksperimentin hər bir mümkün ola bilən nəticəsinə bir ədəd qarşı qoyur. Göründüyü kimi təsadüfi kəmiyyətə Ω elementar hadisələr fəzasını 𝑅 = (−∞; +∞) ədəd oxuna inikas etdirən bir funksiya kimi baxmaq olar.

Bundan sonrakı işarələmələrdə təsadüfi kəmiyyətləri 𝑋, 𝑌, 𝑍,… və bu təsadüfi kəmiyyətlərin ala biləcəyi mümkün qiymətləri 𝑥, 𝑦, 𝑧, … ilə işarə edəcəyik. Məsələn, əgər 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti 3 mümkün qiymət alarsa, həmin nəticələri 𝑥1, 𝑥2 və 𝑥3 -lə işarə edəcəyik.

Diskret təsadüfi kəmiyyətlər və onların paylanmaları Tərif. Qiymətlər çoxluğu sonlu, yaxud hesabi çoxluq olan

təsadüfi kəmiyyət diskret təsadüfi kəmiyyət adlanır. Təsadüfi kəmiyyəti öyrənərkən ilk növbədə onun ala biləcəyi

mümkün qiymətləri bilmək lazımdır. Bununla belə, yalnız onun aldığı qiymətləri bilmək kifayət etmir, həm də təsadüfi kəmiyyətin uyğun qiymətləri hansı ehtimalla almasını bilmək vacibdir. Əgər 𝑋 təsadüfi

47

kəmiyyəti 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛, … həqiqi qiymətlərini alan diskret təsadüfi kəmiyyətdirsə, onda 𝑛-in hər bir qiymətində

𝑃{𝑋 = 𝑥𝑛} = 𝑝𝑛

ehtimalı təyin olunmuşdur. Bu ehtimallar toplusuna 𝑋 diskret təsadüfi kəmiyyətinin paylanması deyilir.

𝑃{𝑋 = 𝑥𝑛} = 𝑝𝑛, 𝑛 = 1, 2,… ehtimallarını təyin etmək üçün verilən ixtiyari bir qayda 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin paylanma qanunu adlanır. Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu hər hansı bir düstur vasitəsilə, eyni zamanda cədvəl və ya qrafik şəklində də verilə bilər.

Əgər diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu cədvəl şəklində verilərsə, cədvəlin 1-ci sətrində təsadüfi kəmiyyətin mümkün qiymətləri, 2-ci sətrində isə bu qiymətlərə uyğun ehtimallar yerləşir:

X 𝑥1 𝑥2 ... 𝑥𝑛

p 𝑝1 𝑝2 ... 𝑝𝑛 Bu cədvəl 𝑋 diskret təsadüfi kəmiyyətinin ehtimallarının

paylanma cədvəli adlanır və

𝑝1 + 𝑝2 +⋯+ 𝑝𝑛 = 1. Əgər 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin mümkün qiymətlər çoxluğu

sonsuzdursa (hesabi), onda 𝑝1 + 𝑝2 +⋯ sırası yığılandır və bu sıranın cəmi 1-ə bərabərdir.

Nümunə 4.6. Düzgün metal pulun üç dəfə atılması eksperimentində Gerb üzünün düşmə sayı diskret təsadüfi kəmiyyətdir. Bildiyimiz kimi bu eksperimentə uyğun elementar hadisələr fəzası Ω = {𝐺𝐺𝐺, 𝐺𝐺Ş, 𝐺Ş𝐺, Ş𝐺𝐺, 𝐺ŞŞ, Ş𝐺Ş, ŞŞ𝐺, ŞŞŞ}

48

çoxluğudur. Deməli, bu təsadüfi kəmiyyət 0, 1, 2 və 3 qiymətlərini alır:

𝜔 GGG GGŞ GŞG ŞGG GŞŞ ŞGŞ ŞŞG ŞŞŞ

X 3 2 2 2 1 1 1 0 Bu təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu aşağıdakı cədvəldə

verilmişdir:

X 3 2 2 2 1 1 1 0

p 1

8 1

8 1

8 1

8 1

8 1

8 1

8 1

8

və yaxud

X 3 2 1 0

p 1

8

3

8

3

8

1

8

Məsələ 4.1. Fərz edək ki, diskret 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin

ehtimal paylanması aşağıdakı cədvəl vasitəsilə verilmişdir:

X 0 10 20 50 100 𝑃(𝑋 = 𝑥) 0,4 0,3 0,15 0,1 0,05

𝑃(𝑋 < 50) ehtimalını tapın.

Həlli: Aydındır ki, 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin 50-dən kiçik qiymət

alması bu təsadüfi kəmiyyətin ya 0, ya 10, ya da 20 qiymətlərini alması deməkdir. Deməli,

𝑃(𝑋 < 50) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 10) + 𝑃(𝑋 = 20) = = 0,4 + 0,3 + 0,15 = 0,85.

49

Məsələ 4.2. Həftə ərzində sığorta şirkətinə daxil olan iddiaların sayı

ehtimal paylanması 𝑃(𝑁 = 𝑛) =1

2𝑛+1 , 𝑛 ≥ 0 olan təsadüfi

kəmiyyətdir. Sığorta şirkəti müəyyən etmişdir ki, hər hansı həftədə daxil olan iddiaların sayı digər həftə ərzində daxil olan iddiaların sayından asılı deyildir. İki həftə ərzində yeddi iddianın daxil olmasının ehtimalını tapın.

Həlli: Fərz edək ki, 𝑁1 və 𝑁2 uyğun olaraq 1-ci və 2-ci həftə ərzində

daxil olan iddiaların sayıdır. Məsələnin şərtinə əsasən 𝑁1 və 𝑁2 asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlər olduğundan

𝑃(𝑁1 + 𝑁2 = 7) =∑𝑃(𝑁1 = 𝑛)𝑃(𝑁2 = 7 − 𝑛) =

7

𝑛=0

=∑(1

2𝑛+1) (

1

28−𝑛) = ∑

1

29=

7

𝑛=0

7

𝑛=0

=8

29=1

26=1

64.

Məsələ 4.3. Sığorta şirkətinə daxil olan iddiaların sayı təsadüfi

kəmiyyətdir və

𝑃(𝑁 = 𝑛) =1

(𝑛 + 2)(𝑛 + 3) , 𝑛 ≥ 0 .

Bir ay ərzində daxil olan iddiaların sayının üçdən çox

olmadığı məlum olarsa, cari ayda ən azı bir iddianın daxil olmasının ehtimalını tapın.

50

Həlli: Şərti ehtimalın tərifinə əsasən

𝑃(𝑁 ≥ 1|𝑁 ≤ 3) =𝑃(1 ≤ 𝑁 ≤ 3)

𝑃(𝑁 ≤ 3)=

112+120+130

16+112+120+130

=

=5 + 3 + 2

10 + 5 + 3 + 2=10

20=1

2 .

İndi isə paylanma qanunları düstur vasitəsilə ifadə olunan bəzi

diskret təsadüfi kəmiyyətlərlə tanış olaq. Binomial paylanma. Asılı olmayan təkrarlanan sınaqlar aparılır və bu halda hər bir

sınağın yalnız iki nəticəsinin: 𝑝 ehtimalı ilə “müvəffəqiyyət” (M), 𝑞 ehtimalı ilə isə “qeyri-müvəffəqiyyət”in (Q) olduğu fərz edilir, (𝑝 + 𝑞) = 1. “Müvəffəqiyyət” və “qeyri-müvəffəqiyyət” terminləri şərti xarakter daşıyır, əsas şərt ondan ibarətdir ki, təkrarlanan asılı olmayan sınaqlarda hər bir sınağın nəticəsi tam qrup əmələ gətirən iki hadisədən biri kimi ifadə oluna bilsin, yəni hər sınaqda 𝐴 hadisəsi 𝑝 ehtimalı ilə ya baş verir və ya 𝑞 = 1 − 𝑝 ehtimalı ilə baş vermir. Məsələn, “düzgün” oyun zərinin bir dəfə atılması eksperimentində “müvəffəqiyyət” (𝐴 hadisəsi) kimi “2 xalının düşməsini” götürsək, onda “qeyri-müvəffəqiyyət” “2 xalının düşməməsi”dir. Bu halda

𝑝 = 𝑃{𝜔𝑖 = 2} =

1

6 , 𝑞 = 1 − 𝑝 = 𝑃{𝜔𝑖 ≠ 2} =

5

6.

Fərz edək ki, 𝑛 sayda asılı olmayan təkrarlanan sınaqlar

aparılmışdır. Bu sınaqlarda “müvəffəqiyyət”lərin (𝐴 hadisəsinin baş vermə) sayı təsadüfi kəmiyyətdir və bu təsadüfi kəmiyyəti X ilə işarə edək. Məqsədimiz X diskret təsadüfi kəmiyyətinin paylanma

51

qanununu tapmaqdır. Bunun üçün X təsadüfi kəmiyyətinin mümkün qiymətlərini və onlara uyğun ehtimalları müəyyən etmək lazımdır. Aparılan sınaqların sayı 𝑛 olarsa, aydındır ki, bu sınaqlar seriyasına uyğun elementar hadisələr fəzası Ωn = {ω: ω = (ω1, ω2, … ,ωn)} , 𝜔𝑖 = {M;Q}, 𝑖 = 1, 𝑛̅̅ ̅̅̅ çoxluğu olacaqdır və

𝑃(𝜔) = 𝑃(𝜔1) ∙ 𝑃(𝜔2) ∙ … ∙ 𝑃(𝜔𝑛) ;

𝑃(𝜔𝑖 = M) = 𝑝, 𝑃(𝜔𝑖 = Q) = 1 − 𝑝 = 𝑞. Bu halda Ω𝑛 fəzasında 2𝑛 sayda elementar hadisə olur. Bu

elementar hadisələrin hər biri M və Q-lərdən təşkil olunmuş 𝑛 uzunluqlu bütün mümkün ola bilən müxtəlif “düzüm”lərdən ibarətdir.

Aydındır ki, əgər ayrıca bir “düzüm”də 𝑘 sayda M, 𝑛 − 𝑘 sayda Q vardırsa, onda bu “düzüm”ün ehtimalı 𝑘 sayda 𝑝 və 𝑛 − 𝑘 sayda 𝑞 -nün hasilinə, yəni 𝑝𝑘 ∙ 𝑞𝑛−𝑘 -ya bərabər olacaqdır. Qeyd etdiyimiz kimi 𝑛 sayda sınaqda “müvəffəqiyyət”lərin sayı təsadüfi kəmiyyətdir və bu təsadüfi kəmiyyət 0, 1, … , 𝑛 qiymətlərindən birini ala bilər. Hər bir 𝑛 uzunluqlu “düzüm”də M-lərin sayı 𝑘 olarsa, belə “düzüm”lərin sayı 𝐶𝑛𝑘 olacaqdır. Beləliklə,

𝑝𝑛(𝑘) = 𝑃{𝑋 = 𝑘} = 𝐶𝑛𝑘𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘 , 𝑘 = 0, 1, … , 𝑛 ; (4.1)

𝑝𝑛(𝑘) – 𝑛 sayda asılı olmayan təkrarlanan sınaqlarda 𝑘 dəfə müvəffəqiyyət baş verməsi ehtimalıdır. (4.1) düsturu ilə verilən ehtimallar toplusu binomial paylanma adlanır.

Aydındır ki, 𝑝𝑛(𝑘) ≥ 0 , ∑ 𝑝𝑛(𝑘)𝑛𝑘=0 = 1 .

Nümunə 4.7. Oyun zəri iki dəfə atılır. Gerb üzünün düşmə sayı təsadüfi kəmiyyətdir. Bu təsadüfi kəmiyyət üçün paylanma qanununu cədvəl şəklində ifadə edək.

Metal pulu hər dəfə atdıqda Gerb üzünün düşməsi ehtimalı 𝑝 =

1

2 -dir, doğrudan da, Gerb üzünün düşməməsi ehtimalı

𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 −1

2.

52

Metal pulu iki dəfə atdıqda Gerb üzü ya 2 dəfə, ya 1 dəfə düşəcək, ya da heç düşməyəcək. Beləliklə, 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti 𝑥1 = 2 , 𝑥2 = 1 və 𝑥3 = 0 mümkün qiymətlərini ala bilər. İndi isə Bernulli düsturuna əsasən bu mümkün qiymətlərə uyğun ehtimalları tapaq:

𝑝2(2) = 𝐶2

2 𝑝2 = (1 2⁄ )2 = 0,25 𝑝2(1) = 𝐶2

1 𝑝 𝑞 = 2 ∙ (1 2⁄ ) ∙ (1 2⁄ ) = 0,5 𝑝2(2) = 𝐶2

0 𝑞2 = (1 2⁄ )2 = 0,25 . Onda 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin paylanma qanunu

𝑋 2 1 0 𝑝 0,25 0,5 0,25

olacaqdır.

Məsələ 4.4. Tibbi sığorta müqaviləsi əldə etmək istəyən şəxslərin tibbi

müayinəsi zamanı məlum olmuşdur ki, 50-60 yaş qrupuna daxil olan insanların 30%-nin yüksək qan təzyiqi var. Bu şəxslər arasından seçilmiş 14 nəfərin altısından çoxunda yüksək qan təzyiqinin olmasının ehtimalını tapın.

Həlli: Fərz edək ki, 𝑋 50-60 yaş qrupuna daxil olan insanlardan

yüksək qan təzyiqi olanların sayıdır. Artıq mövzudan aydın olduğu kimi 𝑋 parametrləri 𝑛 = 14 və 𝑝 = 0,3 olan binomial qanunla paylanmış təsadüfi kəmiyyətdir. Beləliklə,

𝑃(𝑋 > 6) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 6) =

= 1 −∑𝐶14𝑖 (0,3)𝑖(0,7)14−𝑖

6

𝑖=0

≈ 0,093.

53

Puasson paylanması. Bir çox hallarda elə Bernulli sınaqlarına təsadüf olunur ki,

sınaqların sayı 𝑛 nisbətən böyük, hər bir sınaqda “müvəffəqiyyət” ehtimalı 𝑝 isə nisbətən kiçik ədəddir, lakin 𝜆 = 𝑛 𝑝 hasili nə çox böyük, nə də çox kiçikdir. Belə hallarda 𝑛 sayda asılı olmayan sınaqlarda 𝑘 sayda “müvəffəqiyyət”in baş verməsi ehtimalını tapmaq üçün Puasson asimptotik düsturundan istifadə olunur.

Puasson teoremi. 𝑛 sayda Bernulli sınağında 𝑛 → ∞ olduqda

𝑝 → 0 olarsa, onda hər bir 𝑘 üçün

𝑝𝑛(𝑘) ≈𝜆𝑘

𝑘!∙ 𝑒−𝜆 , 𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝜆 = 𝑛 𝑝

asimptotik bərabərliyi doğrudur.

Bu düsturdan, əsasən, 0 < 𝑝 ≤ 0,1 və 𝑛 𝑝𝑞 ≤ 9 olduqda istifadə olunur.

𝑝(𝑘; 𝜆) =𝜆𝑘

𝑘!∙ 𝑒−𝜆 , 𝑘 = 0, 1, 2,…, (4.2)

ehtimallar toplusu Puasson paylanması adlanır.

Nümunə 4.8. “Sığorta bələdçisi” jurnalı 100000 tirajla dərc olunur. Jurnalın səhv cildlənmə ehtimalı 0,0001-dir. Tirajda 5 ədəd səhv cildlənmiş jurnalın olmasının ehtimalını tapaq. Məsələnin şərtindən göründüyü kimi sınaqların sayı 𝑛 = 100000 böyük, hər bir sınaqda “müvəffəqiyyət” (jurnalın səhv cildlənmə) ehtimalı 𝑝 =0,0001 isə nisbətən kiçik ədəddir, lakin 𝜆 = 𝑛 𝑝 = 100000 ∙0,0001 = 10 hasili nə çox böyük, nə də çox kiçikdir. Ona görə də, Puasson paylanmasına əsasən alırıq ki,

𝑝100000(5) =105 ∙ 𝑒−10

5!= 0,0375 .

54

Mənfi binomial paylanma. 𝑛 sayda Bernulli sınaqları ardıcıllığında 𝑟-ci “müvəffəqiyyət”ə

qədər aparılacaq sınaqların sayı təsadüfi kəmiyyətdir, 𝑟 – qeyd olunmuş müsbət tam ədəddir. 𝑟 -ci “müvəffəqiyyət”in (𝑟 + 𝑘) -cı sınaqda baş vermə ehtimalını 𝑓(𝑘, 𝑟, 𝑝) ilə işarə edək, 𝑘 = 0, 1, 2, … . Bu ehtimal – 𝑟 -ci “müvəffəqiyyət”ə qədər məhz 𝑘 sayda “qeyri-müvəffəqiyyət” baş verməsi hadisəsinin ehtimalıdır. Bu hadisə yalnız o vaxt baş verə bilər ki, əvvəlki (𝑟 + 𝑘 − 1) sayda sınaqlarda 𝑘 sayda “qeyri-müvəffəqiyyət” və 𝑟-ci “müvəffəqiyyət” isə yalnız sonun-cu (𝑟 + 𝑘)-cı sınaqda baş vermiş olsun. Beləliklə, (𝑟 + 𝑘 − 1) sayda sınaqlarda 𝑘 sayda “qeyri-müvəffəqiyyət” və (𝑟 − 1) sayda “müvəffəqiyyətin” baş verməsi hadisəsinin ehtimalı 𝐶𝑟−1+𝑘𝑘 ∙ 𝑝𝑟−1 ∙

𝑞𝑘 olduğundan və 𝑟-ci “müvəffəqiyyət” isə yalnız sonuncu (𝑟 + 𝑘)-cı sınaqda 𝑝 ehtimalı ilə baş verdiyindən

𝑓(𝑘; 𝑟; 𝑝) = 𝐶𝑟−1+𝑘

𝑘 ∙ 𝑝𝑟−1 ∙ 𝑞𝑘 ∙ 𝑝 = 𝐶𝑟−1+𝑘𝑘 ∙ 𝑝𝑟 ∙ 𝑞𝑘 ,

𝑘 = 0, 1, 2,…

olur; burada 𝐶𝑟−1+𝑘𝑘 vuruğu (𝑟 + 𝑘 − 1) sayda sınaqlarda 𝑘 sayda “qeyri-müvəffəqiyyət” baş verməsi hallarının sayıdır.

𝑟 -in müsbət tam qiymətləri üçün {𝑓(𝑘; 𝑟; 𝑝)}, 𝑘 = 0, 1, 2, … ehtimallar ardıcıllığı “ 𝑟 -ci “müvəffəqiyyəti” gözləmə müddəti” təsadüfi kəmiyyətinin paylanma qanunu adlanır. Bu paylanma qanununa Paskal paylanması, 𝑟 = 1 olduqda isə həndəsi paylanma

qanunu deyilir. Məsələ 4.5. Eksperiment dördüzlü oyun zəri atılmasından ibarətdir.

Müvəffəqiyyət “1” üzünün düşməsi hadisəsidir. Onuncu müvəffəqiyyətin qırxıncı cəhddə baş verməsinin ehtimalını tapın.

55

Həlli: 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti onuncu müvəffəqiyyətə qədər edilən

cəhdlərin sayıdır (aparılan eksperimentlərin sayıdır). Bu təsadüfi kəmiyyət 𝑟 = 10 və 𝑝 = 0,25 parametrlərli mənfi binomial paylanmaya malikdir. Beləliklə,

𝑃(𝑋 = 40) = 𝐶40−1

10−1(0,25)10(0,75)30 ≈ 0,03609 . Həndəsi paylanma. Fərz edək ki, asılı olmayan sınaqlar aparılır və hər bir sınaqda

𝑝 ehtimalı ilə “müvəffəqiyyət”, 𝑞 ehtimalı ilə isə “qeyri-müvəffəqiyyət” baş verə bilər. Sınaqlar ilk “müvəffəqiyyət” baş verənə kimi aparılır. İlk “müvəffəqiyyət” baş verənə kimi aparılan sınaqların sayı təsadüfi kəmiyyətdir və bu təsadüfi kəmiyyətin təyin olunduğu uyğun elementar hadisələr fəzası olaraq

Ω = {𝑀; 𝑄𝑀; 𝑄𝑄𝑀; 𝑄𝑄𝑄𝑀;… ;𝑄𝑄…𝑄⏟ 𝑛−1 𝑑ə𝑓ə

𝑀;… }

çoxluğunu götürə bilərik; burada {𝑄𝑄…𝑄 ⏟ 𝑀}𝑛−1 𝑑ə𝑓ə

elementar hadisəsi

əvvəlki (𝑛 − 1) sayda sınaqların heç birində “müvəffəqiyyət”in baş verməməsi və yalnız 𝑛-ci sınaqda ilk “müvəffəqiyyət”in baş verməsi hadisəsidir (𝑛 = 1, 2, 3, …).

Sınaqlar asılı olmadığından

𝑃 (𝑄𝑄…𝑄⏟ 𝑀𝑛−1 𝑑ə𝑓ə

) = 𝑞𝑛−1 ∙ 𝑝, 𝑛 = 1, 2, 3,…

𝑃(𝑋 = 𝑛) = 𝑞𝑛 ∙ 𝑝 , 𝑛 = 0, 1, 2, …. Məsələ 4.6. Ötən ay üzrə əldə olunan məlumatlardan aydın olmuşdur ki, gün

ərzində müraciət edən şəxslərin 5%-i tibbi sığorta müqaviləsi alır.

56

Sığorta şəhadətnaməsi əldə etmək istəyənlərdən 15-ci şəxsin ilk tibbi sığorta şəhadətnaməsi almasının ehtimalını tapın.

Həlli: Məsələnin şərtindən aydındır ki, ilk tibbi sığorta müqaviləsi

alana kimi müraciət edənlərin heç biri tibbi sığorta müqaviləsi almayıb və yalnız 15-ci şəxs tibbi sığorta müqaviləsi almışdır. Beləliklə, “Müvəffəqiyyət” ehtimalının 𝑝 = 0,05 olduğunu bilərək baxılan hadisənin ehtimalını tapa bilərik:

𝑃(𝑋 = 15) = 𝑞14 ∙ 𝑝 = 0,9514 ∙ 0,05 = 0,02438 .

57

Tapşırıqlar. 4.1. Sığorta şirkətinə daxil olan iddiaların sayı təsadüfi kəmiyyətdir

və bu təsadüfi kəmiyyətin ehtimal paylanması aşağıdakı düsturla ifadə olunmuşdur:

𝑃(𝑁 = 𝑛) =1

(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) , 𝑛 ≥ 0 .

Bir ay ərzində daxil olan iddiaların sayının dörddən çox olmadığı məlum olarsa, cari ayda ən azı bir iddianın daxil olmasının ehtimalını tapın.

4.2. Fərz edək ki, diskret 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti aşağıdakı paylanma cədvəlinə malikdir:

𝑥 1 5 10 50 100

𝑃(𝑋 = 𝑥) 0,02 0,41 0,21 0,08 0,28 𝑃(𝑋 > 4|𝑋 ≤ 50) ehtimalını tapın. 4.3. Sığorta müqaviləsinə əsasən sığortalı tərəfindən il ərzində

maksimum 5 iddia daxil ola bilər. 𝑝 𝑛 – sığortalı tərəfindən cari il ərzində 𝑛 sayda iddianın daxil olması ehtimalıdır; 𝑛 = 0, 1, 2, 3, 4, 5 . Aktuari müşahidələrinə əsasən belə nəticəyə gəlir ki:

1) 𝑝𝑛 ≥ 𝑝𝑛+1; 0 ≤ 𝑛 ≤ 4 üçün; 2) 𝑝𝑛 və 𝑝𝑛+1 fərqi 0 ≤ 𝑛 ≤ 4 şərtini ödəyən bütün 𝑛 -lər üçün

eynidir; 3) Sığortalıların 40% -i cari il ərzində 2-dən az sayda iddia ilə

müraciət edib. Təsadüfi seçilmiş sığortalının cari ildə 3-dən çox sayda iddia ilə

müraciət etməsinin ehtimalını hesablayın. 4.4. Xəstəxanaya gətirilən qrip əleyhinə peyvənd bağlamalarının

1/5-i 𝑋 şirkətindən, qalanları isə digər şirkətlərdəndir. Hər bir belə bağlama çoxlu sayda vaksin ampullarından ibarətdir.

X şirkətinin peyvənd ampullarının yararsız çıxmasının ehtimalı 10%-dir. Digər şirkətlərin ampullarının yararsız olması ehtimalı

58

2%-dir. Xəstəxanada bağlamalardan təsadüfi olaraq seçilmiş 30 ədəd ampul test edilir və bir ədəd yararsız ampul aşkarlanır. Bu ampulun X şirkətindən gətirilən bağlamalardan olmasının ehtimalını tapın.

4.5. Sığorta şirkəti qasırğa sığortasını qiymətləndirərkən aşağıdakı fərziyyələrə əsaslanır:

1) Hər bir təqvim ilində ən çoxu bir qasırğa ola bilər. 2) Hər bir təqvim ilində qasırğanın olması ehtimalı 0,05-dir. 3) Bir təqvim ilində qasırğanın baş verməsi digər təqvim ilində

qasırğanın olmasından asılı deyil. Şirkətin fərziyyələrindən istifadə edərək, 20 illik periodda 3-dən az

sayda qasırğanın olmasının ehtimalını tapın. 4.6. Sığorta agenti hər həftə orta hesabla 3 ədəd həyat sığortası

müqaviləsi satır. Fərz etsək ki, satılan sığorta müqavilələrinin sayı Puasson qanunu ilə paylanmış təsadüfi kəmiyyətdir, onda sığorta agenti tərəfindən verilən həftə ərzində

a) Bir neçə müqavilənin b) 2 və ya daha çox, amma 5-dən az sayda müqavilənin satılmasının

ehtimalını tapın. 4.7. Müəyyən bir şəhərdə qripə tutulan əhalinin sayı 𝑋 təsadüfi

kəmiyyətdir və Puasson paylanmasına tabedir. Qripə tutulmayan əhalinin payı 1% təşkil edir. 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin paylanma funksiyasını tapın.

4.8. Yeni dərman preparatının əks təsirlərinin aşkarlanması üçün xüsusi tədqiqat qrupu yaradılmışdır. Tədqiqat zamanı preparat hər pasientə bir-bir olmaqla verilir və tədqiqat dərman preparatını qəbul edən pasientlərdən ikisində əks göstəriş aşkarlanana qədər davam etdirilir. Əks təsirin aşkarlanması ehtimalı 1

6-dirsə, tədqiqat qrupunda

səkkiz pasientin olmasının ehtimalını tapın. 4.9. Əvvəlki təcrübələrə əsasən məlum olmuşdur ki, şənbə günləri

bankomatlardan istifadə edənlərin 3%-i depozit yatırırlar. a) Bankomatdan istifadə edən şəxslərdən ilk depozit yatıranın 5-ci

şəxs olmasının ehtimalını tapın.

59

b) İlk depozit yatıranın bankomatdan 5 şəxs istifadə etdikdən sonra olmasının ehtimalını tapın.

4.10. Eksperiment iki oyun zərinin atılmasından ibarətdir. a) Zərlərdə düşən xalların cəminin 11 olmasının ehtimalını tapın. b) əgər eksperiment təkrarlanarsa, düşən xallar cəminin 11

olmasının 8-ci cəhddə ilk dəfə baş verməsinin ehtimalını tapın. 4.11. Fərz olunur ki, uşağın qrip virusuna yoluxma ehtimalı 0,4-dür.

Müayinə olunan onuncu uşağın qrip virusuna yoluxmuş üçüncü uşaq olmasının ehtimalını tapın.

4.12. Hava nəqliyyat vasitələrinin sığortası üzrə hadisənin baş verməsi (tam məhv olması başa düşülür) ehtimalı 0,02-dir. Hər il yenilənən müqavilə üzrə hava nəqliyyatı vasitəsi müqaviləsi üzrə 7-ci ildə hadisənin baş verməsinin ehtimalını tapın.

4.13. Risk qrupuna daxil olan sığortalının qəza törətməsi ehtimalı 0,3-dür. Həmin şəxsin 5-ci ildə artıq 3-cü dəfə qəza törətməsinin ehtimalını tapın.

4.14. Ərizə və şikayətlər şöbəsinin məsləhətçisi ötən il daxil olan ərizə və şikayətlərdə avtonəqliyyat vasitəsinin sığortası sinfi üzrə daxil olan şikayətlərin çəkisinin 25% olduğu qənaətinə gəlmişdir. Ərizə və şikayətlər üzrə sorğu göndərən məsləhətçinin göndərdiyi 40-cı sorğunun 10-cu avtonəqliyyat vasitəsinin sığortası sinfi üzrə olmasının ehtimalını tapın.

4.15. Sürücülük vəsiqəsi almaq üçün yazılı imtahandan keçmə şansı 75%-dir. Test imtahanı verən şəxsin ikinci cəhddə keçməsi ehtimalını tapın.

60

5. Təsadüfi kəmiyyətin ədədi xarakteristikaları

Təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu hansı şəkildə verilməsindən asılı olmayaraq, onu tam mənası ilə xarakterizə edir. Lakin bəzi hallarda təsadüfi kəmiyyəti daha sadə şəkildə xarakterizə edən müəyyən ədədi xarakteristikalarla da kifayətlənmək olur. Təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunundan istifadə edilməklə müəyyən qaydalarla hesablanan ədədi xarakteristikalar ehtimal nəzəriyyəsi və onun tətbiq məsələlərində xüsusi yer tutur. Çoxölçülü təsadüfi kəmiyyətlər üçün onların qarşılıqlı bağlılıq dərəcəsini ifadə edən xarakteristikalardan da geniş surətdə istifadə olunur. Riyazi gözləmə, dispersiya, müxtəlif tərtib momentlər, kovariasiya, korrelyasiya əmsalı və s. təsadüfi kəmiyyətlərin ən çox istifadə olunan ədədi xarakteristikalarıdır.

5.1. Diskret təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsi

Fərz edək ki, diskret 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛

qiymətlərini uyğun olaraq, 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛 ehtimalları ilə alır. Onda 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləməsi

𝐸(𝑋) = 𝑥1𝑝1 + 𝑥2𝑝2 +⋯+ 𝑥𝑛𝑝𝑛

bərabərliyi ilə təyin olunur.

Əgər diskret 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti hesabi sayda qiymətlər alırsa, onda

𝐸(𝑋) =∑𝑥𝑖 𝑝𝑖 ,

∞

𝑖=1

(5.1)

belə ki, riyazi gözləmə yalnız bərabərliyin sağ tərəfindəki sıranın mütləq yığılan olması halında mövcuddur.

61

Qeyd 5.1. Tərifə əsasən məlum olur ki, diskret təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsi sabit ədəddir.

Qeyd 5.2. Diskret təsadüfi kəmiyyətin tərifinə əsasən onun ala biləcəyi mümkün qiymətlərinin nömrələnmə qaydası əhəmiyyət kəsb etmir və buna görə də, təbiidir ki, (5.1) sırasının cəmi sıranın hədlərinin düzülüş qaydasından asılı olmamalıdır; bu isə sıranın yalnız mütləq yığılan olduğu halında mümkündür.

Qeyd 5.3. Əgər 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti mənfi qiymətlər almırsa, (6.1) bərabərliyinin sağ tərəfindəki sıra ya mütləq yığılan, ya da dağılandır; əgər sıra dağılandırsa, 𝐸(𝑋) = +∞ götürülür.

Nümunə 5.1. Əgər 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti –

𝑋 3 5 2

𝑝 0,1 0,6 0,3

paylanma qanunu ilə paylanırsa, onda bu təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsini tapaq.

Riyazi gözləmə diskret təsadüfi kəmiyyətin ala biləcəyi mümkün qiymətlərin uyğun ehtimallara hasillərinin cəminə bərabərdir:

𝐸(𝑋) = 3 ∙ 0,1 + 5 ∙ 0,6 + 2 ∙ 0,3 = 3,9 .

Məsələ 5.1. Puasson qanunu ilə paylanmış təsadüfi kəmiyyətin riyazi

gözləməsini tapın. Həlli: 𝑋 Puasson paylanmasına malik təsadüfi kəmiyyət olsun:

𝑝(𝑘; 𝜆) =𝜆𝑘

𝑘!∙ 𝑒−𝜆 , 𝑘 = 0, 1, 2, ….

62

Onda

𝐸(𝑋) =∑𝑘 ∙𝜆𝑘

𝑘!𝑒−𝜆 = 𝑒−𝜆 ∙ 𝜆∑

𝜆𝑘−1

(𝑘 − 1)!= 𝑒−𝜆 ∙ 𝜆∑

𝜆𝑟

𝑟!

∞

𝑟=0

∞

𝑘=1

∞

𝑘=0

=

= 𝑒−𝜆 ∙ 𝜆 ∙ 𝑒𝜆 = 𝜆 . Beləliklə, 𝜆 parametrli Puasson qanunu ilə paylanmış təsadüfi

kəmiyyətin riyazi gözləməsi 𝜆-ya bərabərdir. Məsələ 5.2. Həndəsi paylanma qanununa malik təsadüfi kəmiyyətin riyazi

gözləməsini tapın. Həlli: Məlumdur ki, həndəsi paylanmaya malik təsadüfi kəmiyyətin

paylanma funksiyası

𝑃(𝑋 = 𝑛) = 𝑞𝑛 ∙ 𝑝, 𝑛 = 0, 1, 2,…

düsturu ilə ifadə olunur. Riyazi gözləmənin tərifinə görə

𝐸(𝑋) =∑𝑘 ∙ 𝑞𝑘𝑝

∞

𝑘=0

= 𝑞𝑝(1 + 2𝑞 + 3𝑞2 +⋯+ 𝑛𝑞𝑛−1 +⋯) =

= 𝑞𝑝(𝑞 + 𝑞2 +⋯+ 𝑞𝑛 +⋯)′ = 𝑞𝑝 (𝑞

1 − 𝑞)′

=

= 𝑞𝑝1

(1 − 𝑞)2=𝑞

𝑝 .

Beləliklə, həndəsi paylanma qanunu ilə paylanmış təsadüfi

kəmiyyətin riyazi gözləməsinin 𝑞𝑝 olduğunu alırıq.

63

Riyazi gözləmənin xassələri: Xassə 1. Sabitin riyazi gözləməsi sabitin özünə bərabərdir:

𝐸(𝐶) = 𝐶 . İsbatı: 𝐶 sabitinə 𝑝 = 1 ehtimalı ilə 𝐶 qiymətini alan təsadüfi

kəmiyyət kimi baxsaq, onda

𝐸(𝐶) = 𝐶 ∙ 1 = 𝐶

olduğunu alırıq. Xassə 2. Sabiti riyazi gözləmə işarəsi xaricinə çıxarmaq olar,

yəni 𝑋 – təsadüfi kəmiyyət və 𝐶 – sabitdirsə, onda

𝐸(𝐶 ∙ 𝑋) = 𝐶 ∙ 𝐸(𝑋). İsbatı: Fərz edək ki, 𝑋 – diskret təsadüfi kəmiyyətdir. Onda

𝐶 ∙ 𝑋 hasili də təsadüfi kəmiyyətdir. 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, … qiymətlərini uyğun olaraq, 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛, … (∑ 𝑝𝑖 = 1

∞𝑖=1 ) ehtimalları ilə alırsa, 𝐶 ∙ 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti 𝐶 ∙ 𝑥1,

𝐶 ∙ 𝑥2, … , 𝐶 ∙ 𝑥𝑛, … qiymətlərini uyğun olaraq, 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛, … ehtimalları ilə alacaqdır:

𝑝𝑛 = 𝑃({𝑋 = 𝑥𝑛}) = 𝑃({𝐶 ∙ 𝑋 = 𝐶 ∙ 𝑥𝑛}).

Onda riyazi gözləmənin tərifinə əsasən

𝐸(𝐶 ∙ 𝑋) = ∑𝐶 ∙ 𝑥𝑘 ∙ 𝑝𝑘

∞

𝑘=1

= 𝐶 ∙∑𝑥𝑘 ∙ 𝑝𝑘

∞

𝑘=1

= 𝐶 ∙ 𝐸(𝑋).

64

Xassə 3. 𝑋 və 𝑌 təsadüfi kəmiyyətlərinin riyazi gözləmələri vardırsa, 𝑋 + 𝑌 təsadüfi kəmiyyətinin də riyazi gözləməsi vardır və cəmin riyazi gözləməsi toplanan təsadüfi kəmiyyətlərin riyazi gözləmələrinin cəminə bərabərdir:

𝐸(𝑋 + 𝑌) = 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑌).

Qeyd edək ki, riyazi gözləmənin bu bərabərliklə ifadə olunan

xassəsi hər iki halda – asılı təsadüfi kəmiyyətlər və asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlər üçün ödənilir.

İsbatı: Fərz edək ki, 𝑋 və 𝑌 təsadüfi kəmiyyətləri aşağıdakı

paylanma qanunu ilə paylanırlar:

𝑋 𝑥1 𝑥2

𝑝 𝑝1 𝑝2

𝑌 𝑦1 𝑦2

𝑔 𝑔1 𝑔2

𝑋 + 𝑌 təsadüfi kəmiyyətinin bütün mümkün qiymətlərini təyin edək. Bunun üçün 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin hər bir mümkün qiymətinə 𝑌 təsadüfi kəmiyyətinin mümkün qiymətlərini əlavə edək, onda alırıq: 𝑥1 + 𝑦1 , 𝑥1 + 𝑦2 , 𝑥2 + 𝑦1 və 𝑥2 + 𝑦2 . Sadəlik üçün fərz edək ki, bütün mümkün qiymətlər təkrarlanmayan qiymətlərdir (müxtəlif qiymətlər olmasa belə xassə analoji qaydada isbat olunur) və uyğun ehtimalları 𝑝11 , 𝑝12 , 𝑝21 və 𝑝22 ilə işarə edək. 𝑋 + 𝑌 təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləməsi bu təsadüfi kəmiyyətin mümkün qiymətlərinin uyğun ehtimallara hasillərinin cəminə bərabərdir:

𝐸(𝑋 + 𝑌) = (𝑥1 + 𝑦1)𝑝11 + (𝑥1 + 𝑦2)𝑝12 + +(𝑥2 + 𝑦1)𝑝21 + (𝑥2 + 𝑦2)𝑝22

və ya 𝐸(𝑋 + 𝑌) = 𝑥1(𝑝11 + 𝑝12) + 𝑥2(𝑝21 + 𝑝22) +

+𝑦1(𝑝11 + 𝑝21)+ 𝑦2(𝑝12 + 𝑝22).

65

İsbat edək ki, 𝑝11 + 𝑝12 = 𝑝1 . 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin 𝑥1 qiymətini alması hadisəsi (bu hadisənin ehtimalı 𝑝1 -ə bərabərdir) 𝑋 + 𝑌 təsadüfi kəmiyyətinin 𝑥1 + 𝑦1 və ya 𝑥1 + 𝑦2 qiymətlərini alması hadisəsini öz daxilinə alır (toplama teoreminə görə bu hadisənin ehtimalı 𝑝11 + 𝑝12 -yə bərabərdir) və əksinə. Buradan da alınır ki, 𝑝11 + 𝑝12 = 𝑝1. Analoji olaraq, 𝑝21 + 𝑝22 = 𝑝2, 𝑝11 + 𝑝21 = 𝑔1 və 𝑝12 + 𝑝22 = 𝑔2 bərabərlikləri isbat olunur.

Bu bərabərlikləri nəzərə alsaq,

𝐸(𝑋 + 𝑌) = (𝑥1𝑝1 + 𝑥2𝑝2) + (𝑦1𝑔1 + 𝑦2𝑔2)

olduğunu alırıq. Beləliklə, nəticədə alınır ki,

𝐸(𝑋 + 𝑌) = 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑌). Nəticə 5.1. Bir neçə təsadüfi kəmiyyətin cəminin riyazi

gözləməsi toplanan təsadüfi kəmiyyətlərin riyazi gözləmələrinin cəminə bərabərdir. Məs., 𝑋, 𝑌 və 𝑍 təsadüfi kəmiyyətlərinin cəminin riyazi gözləməsi

𝐸(𝑋 + 𝑌 + 𝑍) = 𝐸[(𝑋 + 𝑌) + 𝑍] = 𝐸(𝑋 + 𝑌) + 𝐸(𝑍) =

= 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑌) + 𝐸(𝑍). Nümunə 5.2. Hədəfə üç dəfə atəş açılır, belə ki, 1-ci dəfə

hədəfə düşmə ehtimalı 𝑝1 = 0,4 , 2-ci dəfə düşmə ehtimalı 𝑝2 = 0,3 və 3-cü dəfə düşmə ehtimalı 𝑝3 = 0,6-ya bərabərdir. Hədəfə düşmə sayının riyazi gözləməsini tapaq.

Birinci atəşdə hədəfə düşmə sayı təsadüfi kəmiyyətdir və bu təsadüfi kəmiyyəti 𝑋1-lə işarə edək. Belə ki, 𝑋1 təsadüfi kəmiyyəti yalnız iki qiymət alır: 1 (hədəfə düşmə) qiymətini 𝑝1 = 0,4 və 0 (hədəfə düşməmə) qiymətini 𝑞1 = 1 − 0,4 = 0,6 ehtimalı ilə.

66

Deməli, birinci atəşdə hədəfə düşmə sayının riyazi gözləməsi 𝐸(𝑋1) = 0,4 . Analoji qaydada 2-ci və 3-cü atəşdə hədəfə düşmə sayının riyazi gözləmələri təyin olunur: 𝐸(𝑋2) = 0,3 və 𝐸(𝑋3) = 0,6.

Üç dəfə atəş açıldıqda hədəfə düşmə sayı təsadüfi kəmiyyətdir və bu təsadüfi kəmiyyət hər bir atəş zamanı hədəfə düşmə sayı ilə ifadə olunan təsadüfi kəmiyyətlərin cəminə bərabərdir:

𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3.

Təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsinin xassəsinə görə: 𝐸(𝑋) = 𝐸(𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3) = 𝐸(𝑋1) + 𝐸(𝑋2) + 𝐸(𝑋3) =

= 0,4 + 0,3 + 0,6 = 1,3. Xassə 4. Asılı olmayan iki təsadüfi kəmiyyətin hasilinin riyazi

gözləməsi bu təsadüfi kəmiyyətlərin riyazi gözləmələrinin hasilinə bərabərdir:

𝐸(𝑋𝑌) = 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌). İsbatı: Fərz edək ki, asılı olmayan 𝑋 və 𝑌 təsadüfi

kəmiyyətləri aşağıdakı paylanma qanununa tabedirlər:

𝑋 𝑥1 𝑥2

𝑝 𝑝1 𝑝2

𝑌 𝑦1 𝑦2

𝑔 𝑔1 𝑔2

𝑋𝑌 təsadüfi kəmiyyətinin mümkün qiymətlərini müəyyənləşdirək. Bunun üçün 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin hər bir mümkün qiymətini 𝑌 təsadüfi kəmiyyətinin mümkün qiymətlərinə vuraq. Nəticədə alırıq ki, 𝑥1𝑦1, 𝑥1𝑦2, 𝑥2𝑦1, 𝑥2𝑦2.

67

Sadəlik üçün bütün mümkün hasillərin müxtəlif qiymətlər aldığını fərz edək (müxtəlif qiymətlər olmasa belə xassənin isbatı analoji qaydada aparılır):

𝑋 𝑌 𝑥1𝑦1 𝑥2𝑦1 𝑥1𝑦2 𝑥2𝑦2

𝑝 𝑝1𝑔1 𝑝2𝑔1 𝑝1𝑔2 𝑝2𝑔2

Onda 𝑋𝑌 təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləməsi

𝐸(𝑋𝑌) = 𝑥1𝑦1 ∙ 𝑝1𝑔1 + 𝑥2𝑦1 ∙ 𝑝2𝑔1 + 𝑥1𝑦2 ∙ 𝑝1𝑔2 + 𝑥2𝑦2 ∙ 𝑝2𝑔2

və ya 𝐸(𝑋𝑌) = 𝑦1𝑔1(𝑥1𝑝1 + 𝑥2𝑝2) + 𝑦2𝑔2(𝑥1𝑝1 + 𝑥2𝑝2) = = (𝑥1𝑝1 + 𝑥2𝑝2) ∙ (𝑦1𝑔1 + 𝑦2𝑔2) = 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌).

Beləliklə,

𝐸(𝑋𝑌) = 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌). Nəticə 5.2. Bir neçə asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlərin

hasillərinin riyazi gözləməsi bu təsadüfi kəmiyyətlərin riyazi gözləmələrinin hasilinə bərabərdir.

Məs., asılı olmayan 𝑋, 𝑌 və 𝑍 təsadüfi kəmiyyətlərinin hasilinin riyazi gözləməsi

𝐸(𝑋𝑌𝑍) = 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌) ∙ 𝐸(𝑍)

bərabərliyi ilə ifadə olunur.

Nümunə 5.3. Asılı olmayan 𝑋 və 𝑌 təsadüfi kəmiyyətləri aşağıdakı paylanma qanununa tabedirlər:

68

𝑋 5 2 4

𝑝 0,6 0,1 0,3

𝑌 7 9

𝑝 0,8 0,2

𝑋𝑌 təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləməsini tapaq. 𝑋 və 𝑌 təsadüfi kəmiyyətlərinin hər birinin riyazi gözləməsini tapaq:

𝐸(𝑋) = 5 ∙ 0,6 + 2 ∙ 0,1 + 4 ∙ 0,3 = 4,4

𝐸(𝑌) = 7 ∙ 0,8 + 9 ∙ 0,9 = 7,4 .

𝑋 və 𝑌 təsadüfi kəmiyyətləri asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlərdir, ona görə də, riyazi gözləmə

𝐸(𝑋𝑌) = 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌) = 4,4 ∙ 7,4 = 32,56

olur.

Teorem 5.1. 𝑛 sayda asılı olmayan sınaqlarda 𝐴 hadisəsinin baş vermə sayının riyazi gözləməsi hər bir sınaqda 𝐴 hadisəsinin baş vermə ehtimalı ilə sınaqların sayının hasilinə bərabərdir.

İsbatı: 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti binomail qanunla paylanmışdır: 𝑝𝑛(𝑘) = 𝑃{𝑋 = 𝑘} = 𝐶𝑛

𝑘𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘 , 𝑘 = 0,1, … , 𝑛 ,

harada ki, 𝑞 = 𝑃(�̅�) = 1 − 𝑝. 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinə asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlərin cəmi kimi baxmaq olar: 𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋𝑛 . Belə ki, 𝑋𝑖 (𝑖 = 0,1,2,… , 𝑛) – 𝑖 -ci sınaqda 𝐴 hadisəsinin baş vermə sayıdır. Aydındır ki, 𝑋𝑖 təsadüfi kəmiyyəti yalnız iki qiymət alır:

𝑋𝑖 = {1, əgər 𝑖 − ci sınaqda 𝐴 hadisəsi baş vermişdirsə,0, əgər 𝑖 − ci sınaqda 𝐴 hadisəsi baş verməmişdirsə.

69

Bu hadisələrin ehtimalları 𝑃(𝐴) = 𝑝 və 𝑃(�̅�) = 𝑞 . Onda riyazi gözləmənin tərifinə əsasən alırıq:

𝐸(𝑋𝑖) = 1 ∙ 𝑝 + 0 ∙ 𝑞 = 𝑝 (𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑛). Cəmin riyazi gözləməsi riyazi gözləmələrin cəminə bərabər olduğundan 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləməsi üçün

𝐸(𝑋) = 𝐸(𝑋1) + 𝐸(𝑋2) + ⋯+ 𝐸(𝑋𝑛) = 𝑛 𝑝 ifadəsini alırıq.

5.2. Diskret təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası Praktikada tez-tez təsadüfi kəmiyyətin mümkün qiymətlərinin

onun orta qiyməti (riyazi gözləməsi) ətrafında səpələnməsini qiymətləndirmək tələb olunur.

Təsadüfi kəmiyyətin özünün riyazi gözləməsindən yayınmasının kvadratının riyazi gözləməsinə –

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸[𝑋 − 𝐸(𝑋)]2 (5.2)

ədədinə təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası (səpələnməsi) deyilir.

Fərz edək ki, təsadüfi kəmiyyət aşağıdakı paylanma qanununa malikdir:

𝑋 𝑥1 𝑥2 ... 𝑥𝑛 𝑝 𝑝1 𝑝2 ... 𝑝𝑛

Onda yayınmanın kvadratı aşağıdakı paylanmaya malik olacaq: [𝑋 − 𝐸(𝑋)]2 [𝑥1 − 𝐸(𝑋)]

2 ... [𝑥𝑛 − 𝐸(𝑋)]2

𝑝 𝑝1 ... 𝑝𝑛

70

Dispersiyanın tərifinə görə

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸[𝑋 − 𝐸(𝑋)]2 = = [𝑥1 − 𝐸(𝑋)]

2𝑝1 + [𝑥2 − 𝐸(𝑋)]2𝑝2 +⋯+ [𝑥𝑛 − 𝐸(𝑋)]

2𝑝𝑛 . Nümunə 5.4. Aşağıdakı paylanma qanunu ilə paylanmış 𝑋

təsadüfi kəmiyyətinin dispersiyasını tapaq:

𝑋 1 2 5 𝑝 0,3 0,5 0,2

Dispersiyanın tərifinə görə əvvəlcə riyazi gözləməni tapmaq

lazımdır:

𝐸(𝑋) = 1 ∙ 0,3 + 2 ∙ 0,5 + 5 ∙ 0,2 = 2,3 .

İndi isə yayınmaların kvadratlarını tapaq:

[𝑥1 − 𝐸(𝑋)]2 = (1 − 2,3)2 = 1,69;

[𝑥2 − 𝐸(𝑋)]2 = (2 − 2,3)2 = 0,09;

[𝑥3 − 𝐸(𝑋)]2 = (5 − 2,3)2 = 7,29 .

Onda bu yayınmaların kvadratlarının paylanma qanunu aşağıdakı kimi olacaq:

[𝑋 − 𝐸(𝑋)]2 1,69 0,09 7,29

𝑝 0,3 0,5 0,2

Beləliklə, dispersiyanın tərifinə görə 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 1,69 ∙ 0,3 + 0,09 ∙ 0,5 + 7,29 ∙ 0,2 = 2,1 .

Riyazi gözləmənin tərifindən istifadə edərək dispersiyanın

hesablanması üçün başqa bir ifadə almaq olar:

71

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸[𝑋 − 𝐸(𝑋)]2 = 𝐸(𝑋2 − 2𝑋𝐸(𝑋) + 𝐸2(𝑋)) = = 𝐸(𝑋2) − 2𝐸(𝑋)𝐸(𝑋) + 𝐸2(𝑋) =

= 𝐸(𝑋2) − 2𝐸2(𝑋) + 𝐸2(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 𝐸2(𝑋). Beləliklə,

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2 . (5.3)

Nümunə 5.5. 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti aşağıdakı paylanma qanununa tabedir:

𝑋 2 3 5 𝑝 0,1 0,6 0,3

Bu təsadüfi kəmiyyətin dispersiyanı tapmaq tələb olunur.

Əvvəlcə riyazi gözləməni tapaq:

𝐸(𝑋) = 2 ∙ 0,1 + 3 ∙ 0,6 + 5 ∙ 0,3 = 3,5 .

İndi isə 𝑋2 təsadüfi kəmiyyətinin paylanma qanununu yazaq:

𝑋2 4 9 25 𝑝 0,1 0,6 0,3

Aydındır ki, 𝐸(𝑋2) riyazi gözləməsi

𝐸(𝑋2) = 4 ∙ 0,1 + 9 ∙ 0,6 + 25 ∙ 0,3 = 13,3

olacaqdır.

Beləliklə, təsadüfi kəmiyyətin dispersiyasının 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2 = 13,3 − 3,52 = 1,05

olduğunu alırıq.

72

Dispersiyanın xassələri: Xassə 1. Sabitin dispersiyası “0”-a bərabərdir:

𝑉𝑎𝑟(𝐶) = 0 . İsbatı: Dispersiyanın tərifinə görə

𝑉𝑎𝑟(𝐶) = 𝐸[𝐶 − 𝐸(𝐶)]2 . Riyazi gözləmənin 1-ci xassəsinə (sabitin riyazi gözləməsinin

sabitin özünə bərabər olmasına) əsasən alırıq ki,

𝑉𝑎𝑟(𝐶) = 𝐸[𝐶 − 𝐶]2 = 𝐸(0) = 0 . Beləliklə,

𝑉𝑎𝑟(𝐶) = 0 . Xassə 2. Sabit dispersiya işarəsi xaricinə kvadratı ilə çıxarılır:

𝑉𝑎𝑟(𝐶𝑋) = 𝐶2 𝑉𝑎𝑟(𝑋). İsbatı: Dispersiyanın tərifinə görə

𝑉𝑎𝑟(𝐶𝑋) = 𝐸{[𝐶𝑋 − 𝐸(𝐶𝑋)]2} . Riyazi gözləmənin 2-ci xassəsinə görə (sabitin riyazi gözləmə

işarəsi xaricinə çıxarılması) alırıq ki: 𝑉𝑎𝑟(𝐶𝑋) = 𝐸{[𝐶𝑋 − 𝐸(𝐶𝑋)]2} = 𝐸{𝐶2[𝑋 − 𝐸(𝑋)]2} =

= 𝐶2𝐸{[𝑋 − 𝐸(𝑋)]2} = 𝐶2 𝑉𝑎𝑟(𝑋). Beləliklə,

73

𝑉𝑎𝑟(𝐶𝑋) = 𝐶2 𝑉𝑎𝑟(𝑋). Xassə 3. Asılı olmayan iki təsadüfi kəmiyyətin cəminin

dispersiyası bu təsadüfi kəmiyyətlərin dispersiyalarının cəminə bərabərdir:

𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 𝑉𝑎𝑟(𝑌).

İsbatı: Dispersiyanın hesablanması düsturuna əsasən

𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌) = 𝐸[(𝑋 + 𝑌)2] − [𝐸(𝑋 + 𝑌)]2 . Mötərizələri açsaq və riyazi gözləmənin tərifini və xassələrini

nəzərə alsaq alırıq ki: 𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌) = 𝐸[𝑋2 + 2 𝑋𝑌 + 𝑌2] − [𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑌)]2 =

= 𝐸(𝑋2) + 2𝐸(𝑋)𝐸(𝑌) + 𝐸(𝑌2) − 𝐸2(𝑋) − −2𝐸(𝑋)𝐸(𝑌) − 𝐸2(𝑌) = {𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2} + +{𝐸(𝑌2) − [𝐸(𝑌)]2} = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 𝑉𝑎𝑟(𝑌).

Beləliklə, alırıq ki,

𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 𝑉𝑎𝑟(𝑌). Nəticə 5.3. Bir neçə asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətin cəminin

dispersiyası bu təsadüfi kəmiyyətlərin dispersiyalarının cəminə bərabərdir.

Məsələn, 𝑋, 𝑌 və 𝑍 təsadüfi kəmiyyətləri üçün

𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌 + 𝑍) = 𝑉𝑎𝑟[𝑋 + (𝑌 + 𝑍)] = = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 𝑉𝑎𝑟(𝑌 + 𝑍) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 𝑉𝑎𝑟(𝑌) + 𝑉𝑎𝑟(𝑍).

74

Nəticə 5.4. Təsadüfi kəmiyyətlə sabitin cəminin dispersiyası təsadüfi kəmiyyətin dispersiyasına bərabərdir:

𝑉𝑎𝑟(𝐶 + 𝑋) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋).

İsbatı: 𝐶 və 𝑋 asılı olmayan kəmiyyətlər olduğundan xassə 3-ə

əsasən:

𝑉𝑎𝑟(𝐶 + 𝑋) = 𝑉𝑎𝑟(𝐶) + 𝑉𝑎𝑟(𝑋).

Xassə 1-ə görə 𝑉𝑎𝑟(𝐶) = 0. Beləliklə,

𝑉𝑎𝑟(𝐶 + 𝑋) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋). Xassə 4. Asılı olmayan iki təsadüfi kəmiyyətin fərqinin

dispersiyası bu təsadüfi kəmiyyətlərin dispersiyalarının cəminə bərabərdir:

𝑉𝑎𝑟(𝑋 − 𝑌) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 𝑉𝑎𝑟(𝑌). İsbatı: Dispersiyanın 3-cü xassəsinə görə

𝑉𝑎𝑟(𝑋 − 𝑌) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 𝑉𝑎𝑟(−𝑌) . Xassə 2-yə görə

𝑉𝑎𝑟(𝑋 − 𝑌) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + (−1)2𝑉𝑎𝑟(𝑌) və ya

𝑉𝑎𝑟(𝑋 − 𝑌) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 𝑉𝑎𝑟(𝑌).

Teorem 5.2. 𝑛 sayda asılı olmayan sınaqlarda 𝐴 hadisəsinin baş vermə sayının dispersiyası bir sınaqda 𝐴 hadisəsinin baş verməsi

75

və baş verməməsi ehtimalları ilə sınaqların sayının hasilinə bərabərdir, yəni 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑛𝑝𝑞.

İsbatı: 𝑋 – 𝑛 sayda asılı olmayan sınaqlarda 𝐴 hadisəsinin baş vermə sayı olsun. Bu təsadüfi kəmiyyət hər bir sınaqda 𝐴 hadisəsinin baş vermə sayının cəminə bərabərdir: 𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋𝑛 . Sınaqlar asılı olmayan sınaqlar olduğundan 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 təsadüfi kəmiyyətləri də asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlərdir. Ona görə də, Nəticə 5.3-ə əsasən

𝑉𝑎𝑟 (𝑋) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋1) + 𝑉𝑎𝑟(𝑋2) + ⋯+ 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑛).

Dispersiyanın tərifinə görə hər bir 𝑋𝑖 təsadüfi kəmiyyəti üçün

𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑖) = 𝐸(𝑋𝑖2) − 𝐸2(𝑋𝑖), 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑛.

Teorem 5.1-in isbat edən zaman göstərmişdik ki, 𝐸(𝑋𝑖) = 𝑝.

𝐸(𝑋𝑖2) = 12 ∙ 𝑝 − 0 ∙ 𝑞 = 𝑝 .

Onda

𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑖) = 𝑝 − 𝑝2 = 𝑝(1 − 𝑝) = 𝑝𝑞 .

Beləliklə,

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑛𝑝𝑞 . Nümunə 5.6. Auditor beş sığorta şirkətində balans yoxlamasını

həyata keçirir. Hər bir şirkətə münasibətdə illik balansın düzgün tərtib olunması ehtimalı 0,7-dir. İllik balansın düzgün tərtib olunmasının riyazi gözləməsini və dispersiyası tapaq. Məlumdur ki, 𝑛 = 5, 𝑝 =0,7 və 𝑞 = 0,3 .

Onda 𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝 = 5 ∙ 0,7 = 3,5

76

və 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑛𝑝𝑞 = 5 ∙ 0,7 ∙ 0,3 = 1,05 .

Məsələ 5.3. 𝜆 parametrli Puasson qanunu ilə paylanmış təsadüfi kəmiyyətin

dispersiyasını tapaq. Həlli: Riyazi gözləməni Məsələ 5.2-də hesablamışdıq, ona görə də,

indi 𝐸(𝑋2)-ı hesablayaq.

𝐸(𝑋2) =∑𝑘2 ∙𝜆𝑘

𝑘!

∞

𝑘=0

𝑒−𝜆 = 𝑒−𝜆 ∙ 𝜆∑𝑘 ∙𝜆𝑘−1

(𝑘 − 1)!=

∞

𝑘=1

= 𝜆𝑒−𝜆∑(𝑟 + 1) ∙𝜆𝑟

𝑟!=

∞

𝑟=0

𝜆𝑒−𝜆∑𝑟 ∙𝜆𝑟

𝑟!+ 𝜆𝑒−𝜆∑

𝜆𝑟

𝑟!=

∞

𝑟=0

∞

𝑟=0

= 𝑒−𝜆 [𝜆2∑𝜆𝑟−1

(𝑟 − 1)!

∞

𝑟=1

+ 𝜆∑𝜆𝑟

𝑟!

∞

𝑟=0

] = 𝜆2 + 𝜆 .

Beləliklə,

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 𝐸2(𝑋) = 𝜆2 + 𝜆 − 𝜆2 = 𝜆 . Deməli, 𝜆 parametrli Puasson qanunu ilə paylanmış təsadüfi

kəmiyyətin həm riyazi gözləməsi, həm də dispersiyası 𝜆 -ya bərabərdir.

5.3. Kvadratik orta yayınma

Təsadüfi kəmiyyətin mümkün qiymətlərinin onun riyazi

gözləməsi (orta qiyməti) ətrafında səpələnməsini qiymətləndirmək üçün dispersiyadan fərqli digər xarakteristikalardan da istifadə olunur.

77

Bunlardan biri də kvadratik orta yayınmadır. Kvadratik orta yayınmaya ədəbiyyatda standart yayınma və ya kvadratik meyl kimi də rast gəlinir.

𝜎(𝑋) = √𝑉𝑎𝑟(𝑋)

kəmiyyətinə 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin kvadratik orta yayınması deyilir.

Nümunə 5.7. 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti aşağıdakı paylanma qanununa tabedir:

𝑋 2 3 10 𝑝 0,1 0,4 0,5

𝜎(𝑋) kvadratik orta yayınmasını tapmaq üçün əvvəlcə 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləməsini tapmalıyıq:

𝐸(𝑋) = 2 ∙ 0,1 + 3 ∙ 0,4 + 10 ∙ 0,5 = 6,4 .

𝑋2 təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləməsi isə

𝐸(𝑋2) = 22 ∙ 0,1 + 32 ∙ 0,4 + 102 ∙ 0,5 = 54

olacaqdır. Onda dispersiya:

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2 = 54 − 6,42 = 13,04 . Beləliklə, kvadratik orta yayınma

𝜎(𝑋) = √𝑉𝑎𝑟(𝑋) = √13,04 ≈ 3,61 . Teorem 5.3. Sonlu sayda qarşılıqlı asılı olmayan təsadüfi

kəmiyyətlərin cəminin kvadratik orta yayınması bu təsadüfi kəmiyyətlərin kvadratik orta yayınmalarının kvadratlarının cəminin kvadrat kökünə bərabərdir, yəni

78

𝜎(𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋𝑛) = √𝜎2(𝑋1) + 𝜎

2(𝑋2)+⋯+ 𝜎2(𝑋𝑛) .

İsbatı: Qarşılıqlı asılı olmayan 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 təsadüfi

kəmiyyətlərinin cəmini 𝑋 ilə işarə edək:

𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋𝑛 . Bir neçə qarşılıqlı asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətin cəminin

dispersiyası bu təsadüfi kəmiyyətlərin dispersiyalarının cəminə bərabər olduğundan, yəni

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋1) + 𝑉𝑎𝑟(𝑋2) + ⋯+ 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑛),

buradan √𝑉𝑎𝑟(𝑋) = √𝑉𝑎𝑟(𝑋1) + 𝑉𝑎𝑟(𝑋2) + ⋯+ 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑛)

olduğu alınır. Beləliklə,

𝜎(𝑋) = √𝜎2(𝑋1) + 𝜎

2(𝑋2)+⋯+ 𝜎2(𝑋𝑛) .

Variasiya əmsalı:

𝑣𝑎𝑟𝑋 =𝜎𝑋𝐸(𝑋)

∙ 100% (5.4)

kəmiyyətinə variasiya əmsalı deyilir. 5.4. Təsadüfi kəmiyyətin momentləri

Başlanğıc moment. 𝑘-nın mənfi olmayan, tam qiymətləri üçün 𝑋𝑘 təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləməsinə –

𝜈𝑘 = 𝐸(𝑋

𝑘) (5.5)

79

kəmiyyətinə 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin 𝒌-cı tərtib başlanğıc momenti

deyilir. Xüsusi halda,

𝜈1 = 𝐸(𝑋), 𝜈2 = 𝐸(𝑋2).

Bu düsturlardan istifadə edərək, dispersiya üçün məlum

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2

düsturunun ifadəsini

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜈2 − 𝜈12 (5.6)

şəklində yaza bilərik.

𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin momentlərindən başqa (𝑋 − 𝐸(𝑋)) yayınmasının da momentləri maraq doğurur.

Mərkəzi moment. 𝑘-nın mənfi olmayan, tam qiymətləri üçün (𝑋 − 𝐸(𝑋))𝑘 təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləməsinə –

𝜇𝑘 = 𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋))

𝑘] (5.7)

kəmiyyətinə 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin 𝒌 -cı tərtib mərkəzi momenti deyilir.

Xüsusi halda,

𝜇1 = 𝐸[𝑋 − 𝐸(𝑋)] = 0 (5.8)

𝜇2 = 𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋))2] = 𝑉𝑎𝑟(𝑋). (5.9)

Başlanğıc və mərkəzi momentlər asanlıqla bir-birilə əvəz olunur.

80

Məs., (5.8) və (5.9) bərabərliklərindən alırıq ki,

𝜇2 = 𝜈2 − 𝜈12 .

Mərkəzi momentin tərifindən və riyazi gözləmənin xassələrindən aşağıdakı düsturları almaq olar:

𝜇3 = 𝜈3 − 3𝜈2𝜈1 + 2𝜈1

3

𝜇4 = 𝜈4 − 4𝜈3𝜈1 + 6𝜈2𝜈12 − 3𝜈1

4 .

Daha yüksək tərtib momentlər nadir hallarda tətbiq olunur. Qeyd 5.4. Burada baxdığımız momentlər nəzəri momentlər

adlanır. Müşahidələr əsasında hesablanan momentlər isə empirik

momentlər adlanır.

81

Tapşırıqlar 5.1. Sığorta şirkətinin avtomobil sığortası üzrə illik zərərləri

aşağıdakı kimi olmuşdur:

Zərər məbləği (manatla) Zərərin baş vermə ehtimalı

0 0,80 2000 0,10 4000 0,05 6000 0,03 8000 0,01 10000 0,01

Sığorta şirkəti bu zərərləri qarşılamaq üçün hansı məbləğdə sığorta

haqqı təyin etməlidir? 5.2. Sürücü avtomobilindəki video registratorun oğurlanmasından

narahat olduğu üçün onu sığorta etdirmək qənaətinə gəlir. Sığorta müqaviləsinin müddəti 1 il, sığorta haqqı 225 AZN və sığorta məbləği 2000 AZN-dir. Oğurluq halının olması ehtimalı 0,1-dir. Sürücünün bu müqavilə üzrə gözlənilən gəlirini hesablayın.

5.3. Oyun iki ədəd oyun zərinin atılmasından ibarətdir. Aydındır ki, düşən xallar cəmi 2 və 12 arasında müsbət tam qiymətlər alır. Uduş məbləği aşağıdakı cədvəldə əks olunmuşdur:

Düşən

xallar cəmi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Uduş məbləği

(manatla) 4 6 8 10 20 40 20 10 8 6 4 Bu oyunun gözlənilən uduş məbləğini hesablayın. 5.4. Sığorta müqaviləsi əgər ölüm 5 il ərzində baş verərsə,

sığortalıya 1000 AZN sığorta ödənişini təmin edir. 𝑋 – sığorta şirkətinin sığortalıya ödədiyi məbləği əks etdirən təsadüfi kəmiyyət

82

olsun. Fərz edək ki, sığortalının qarşıdakı 5 il ərzində ölməsi ehtimalı 0,15-dir.

(a) 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin ehtimal paylanmasını tapın. (b) Bu müqavilə üzrə sığortalıya ödəniləcək ödənişin gözlənilən

məbləğini tapın. 5.5. Sığorta müqaviləsinin şərtlərinə əsasən sığortalı hər hansı

xəstəlik səbəbindən xəstəxanada qalmalı olarsa, sığortalıya 3 gün müddətində hər gün üçün 100 AZN məbləğində və 3 gündən artıq olan müddət üçün isə hər günə görə 50 AZN məbləğində sığorta ödənişi veriləcək. Sığortalının “çarpayı” günlərinin sayı diskret 𝑋 təsadüfi kəmiyyətidir və ehtimal paylanması

𝑝(𝑘) = {

6 − 𝑘

15, 𝑘 = 1,2,3,4,5

0 , 𝑑𝑖𝑔ə𝑟 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎

düsturu ilə ifadə olunur.

Sığorta müqaviləsinə əsasən sığortalının “çarpayı” günləri üçün gözlənilən ödənişin məbləğini təyin edin.

5.6. Səyahət avtobusu 20 turist üçün nəzərdə tutulub. Avtobusun operatoru öz təcrübəsinə əsaslanaraq, ən azı bir turistin səyahətdə iştirak etməyəcəyini ehtimal edir və bunu nəzərə alaraq 21 bilet satır. Bir nəfər turistin digər turistlərdən asılı olmayaraq gəzintiyə gəlməməsi ehtimalı 0,02-dir.

Hər biletin qiyməti 50 AZN-dir və turist xidmətdən istifadə etməsə belə geri qaytarılmır. Əgər turistlərin hamısı gələrsə və oturacaq olmazsa, turun operatoru həmin şəxsə 100 AZN (bilet pulu + 50 cərimə) ödəyir.

Tur operatorunun gözlənilən gəliri nə qədərdir? 5.7. Fərz edək ki, 𝑋 – səhər saatlarında nahar etmək üçün müraciət

edən müştərilərin, 𝑌 isə günorta saatlarında nahar etmək üçün müraciət edən müştərilərin sayıdır. Məlumdur ki:

83

(a) 𝑋 və 𝑌 Puasson paylanmasına malik təsadüfi kəmiyyətlərdir. (b) 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin birinci momenti 𝑌 təsadüfi kəmiyyətinin birinci momentindən 8 vahid kiçikdir. (c) 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin ikinci momenti 𝑌 təsadüfi kəmiyyətinin ikinci momentinin 60%-idir. 𝑌 təsadüfi kəmiyyətinin dispersiyasını tapın. 5.8. Aktuari aşkar etmişdir ki, iki iddia ilə müraciət edən

sığortalıların sayı dörd iddia ilə müraciət edənlərin sayından üç dəfə çoxdur. İddiaların sayı Puasson paylanmasına tabe təsadüfi kəmiyyətdirsə, bu təsadüfi kəmiyyətin dispersiyasını tapın.

5.9. Futbol komandasının açılış oyunu 28 may tarixinə təyin olunmuşdur. Əgər 28 may tarixində yağış yağarsa, onda oyun təxirə salınır və oyun növbəti yağıntısız günə keçirilir. Komanda yağış yağması ilə əlaqədar olaraq sığorta müqaviləsi bağlayır. Müqaviləyə əsasən 2 gündən artıq müddətdə yağış yağarsa, oyun təxirə salındığı müddətcə hər günə 1000 AZN ödəniş edilir. Sığorta şirkəti may ayının 28-dən başlayaraq, yağışlı günlərin sayının parametri 0,6 olan Puasson paylanmasına malik təsadüfi kəmiyyət olduğunu təyin etmişdir. Sığorta şirkətinin ödəyəcəyi məbləğin standart yayınmasını hesablayın.

5.10. 𝑋 avtomobillərin saxlanması üçün xərclərin dəyərini ifadə edən təsadüfi kəmiyyət olsun. Fərz edək ki, 𝐸(𝑋) = 200 və 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 260. Əgər qanunvericiliyə uyğun olaraq, əlavə 20%-lik vergi məbləği nəzərdə tutularsa, avtomobillərin saxlanma xərclərinin dispersiyası nəyə bərabərdir?

5.11. Avtomagistral yolda baş verən avtomobil qəzalarının sayı standart yayınması 𝜎 = 2 olan Puasson paylanmasına malik təsadüfi kəmiyyətdir. Ən azı üç qəzanın baş verməsinin ehtimalını tapın.

5.12. Yeni məhsuldan gələn gəlir 𝑍 = 3𝑋 − 𝑌 − 5 şəklində verilmişdir, harada ki, 𝑋 və 𝑌 təsadüfi kəmiyyətləri dispersiyaları uyğun olaraq, 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 1 və 𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 2 olan asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlərdir. 𝑍 təsadüfi kəmiyyətinin dispersiyasını tapın.

84

5.13. Fərz edək ki, 𝑋 (12; 0,5) parametrli binomial paylanmaya malik təsadüfi kəmiyyətdir. Bu təsadüfi kəmiyyətin dispersiyasını və standart yayınmasını hesablayın.

5.14. Qutuda 8-i qara, 12-si qırmızı və 10-u mavi olmaqla 30 kürəcik vardır. Qaytarmamaq şərtilə təsadüfi olaraq dörd kürəcik çıxardılır. X bu dörd kürəcikdən qara olanlarının sayı olsun.

a) Qara kürəciyin çıxarılmamasının ehtimalını tapın. b) Dəqiq olaraq bir qara kürəciyin çıxıarılmasının ehtimalını tapın. c) X təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləməsini hesablayın. 5.15. Ailəli cütlük hər biri ölüm baş verdiyi halda 10000 AZN

sığorta ödənişinin verilməsini nəzərdə tutan və sığorta haqqı 500 AZN olan iki sığorta müqaviləsi alır. Müqavilələrin müddəti onuncu ilin sonunda bitir. Yalnız qadının ən azı on il yaşamasının ehtimalı 0,025, yalnız kişinin ən azı on il yaşamasının ehtimalı 0,01 və onların hər ikisinin ən azı on il yaşamasının ehtimalı 0,96-dır.

Kişinin ən azı on il yaşaması şərtilə bu müqavilələr üzrə gözlənilən gəliri hesablayın.

85

6. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətlər

6.1. Paylanma funksiyası və paylanmanın sıxlıq funksiyası Məlumdur ki, diskret təsadüfi kəmiyyəti təsvir edərkən onun

bütün mümkün qiymətləri və onlara uyğun ehtimallar verilir. Amma bu üsuldan istifadə edərək kəsilməz təsadüfi kəmiyyəti təsvir etmək mümkün deyil.

Fərz edək ki, 𝑥 – həqiqi ədəddir. 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin 𝑥-dən kiçik qiymət alması, yəni 𝑋 < 𝑥 hadisəsinin ehtimalını 𝐹(𝑥)-lə işarə edək. Aydındır ki, 𝑥 -in qiyməti dəyişdikcə 𝐹(𝑥) -in qiymətləri də dəyişəcək, başqa sözlə, 𝐹(𝑥) 𝑥-dən asılı funksiyadır. Bu halda

𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 < 𝑥)

funksiyası paylanma funksiyası adlanır.

𝐹(𝑥) paylanma funksiyasının əsas xassələri ilə tanış olaq: 1. Paylanma funksiyası [0, 1] parçasından qiymətlər alır:

0 ≤ 𝐹(𝑥) ≤ 1. 2. 𝐹(𝑥) 𝑥 -ə görə azalmayan funksiyadır, yəni 𝑥2 > 𝑥1

olarsa, 𝐹(𝑥2) ≥ 𝐹(𝑥1). 3. Əgər təsadüfi kəmiyyət [𝑎, 𝑏] intervalından qiymətlər

alırsa, onda: 1) 𝐹(𝑥) = 0, 𝑥 ≤ 𝑎 üçün; 2) 𝐹(𝑥) = 1, 𝑥 ≥ 𝑏 üçün. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyət yalnız paylanma funksiyası

vasitəsilə deyil, eyni zamanda paylanmanın sıxlıq funksiyası adlanan digər funksiya vasitəsilə də verilə bilər.

Kəsilməz 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin paylanma funksiyasının 1-ci tərtib törəməsinə təsadüfi kəmiyyətin paylanmasının sıxlıq funksiyası deyilir və 𝑓(𝑥)-lə işarə olunur:

𝑓(𝑥) = 𝐹′(𝑥) .

86

Paylanmasının sıxlıq funksiyası olan təsadüfi kəmiyyətlər mütləq kəsilməz təsadüfi kəmiyyətlər adlanır.

Əgər 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin paylanmasının sıxlıq funksiyası varsa, onda

𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = ∫𝑓(𝑢)𝑑𝑢

𝑏

𝑎

. (6.1)

Nümunə 6.1. 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin paylanmasının sıxlıq

funksiyası

𝑓(𝑥) = {

0, 𝑥 ≤ 0 𝑜𝑙𝑑𝑢𝑞𝑑𝑎2𝑥, 0 < 𝑥 ≤ 1 𝑜𝑙𝑑𝑢𝑞𝑑𝑎0, 𝑥 > 1 𝑜𝑙𝑑𝑢𝑞𝑑𝑎

şəklində ifadə olunur. 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin (0,5; 1) intervalından qiymət almasının ehtimalını tapaq. (6.1) düsturuna əsasən

𝑃(0,5 < 𝑋 < 1) = 2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥

1

0,5

= 𝑥2|0,51 = 1 − 0,25 = 0,75 .

𝑓(𝑥) paylanmanın sıxlıq funksiyasının xassələri ilə tanış olaq:

Xassə 1. Paylanmanın sıxlıq funksiyası mənfi olmayan funksiyadır:

𝑓(𝑥) ≥ 0. Xassə 2. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

+∞

−∞= 1 .

Təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyası bütün ədəd oxunda,

paylanma funksiyasının birinci tərtib törəməsi isə ixtiyari sonlu

87

intervalın sonlu sayda nöqtəsindən başqa bütün nöqtələrdə (ola bilər ki, bütün nöqtələrdə) kəsilməz olarsa, bu təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyası mütləq kəsilməz paylanma funksiyasıdır.

Nümunə 6.2. Fərz edək ki, 𝑋 – paylanmasının sıxlıq funksiyası

𝑓(𝑥) = {

𝑐

(𝑥 + 1)3, ə𝑔ə𝑟 𝑥 ≥ 0

0, 𝑑𝑖𝑔ə𝑟 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎

olan kəsilməz təsadüfi kəmiyyətdir. 𝑐 sabitini qiymətləndirək.

Paylanmanın sıxlıq funksiyasının 2-ci xassəsinə görə

1 = ∫𝑐

(𝑥 + 1)3 𝑑𝑥

+∞

0

= 𝑐 ∙1

(−2) ∙ (𝑥 + 1)2|0

+∞

=1

2∙ 𝑐 .

Deməli, 𝑐 = 2. Nümunə 6.3. Fərz edək ki, 𝑋 – Milli kitabxanada

kompyuterlərdən istifadə müddətini göstərən təsadüfi kəmiyyətdir və bu təsadüfi kəmiyyətin paylanmasının sıxlıq funksiyası

𝑓(𝑥) = {

1

5 𝑒−

𝑥5 , 𝑥 ≥ 0

0, 𝑑𝑖𝑔ə𝑟 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎

bərabərliyi ilə ifadə olunur.

Kompyuterdən istifadə müddətinin 5 dəqiqə ilə 10 dəqiqə arasında olmasının ehtimalı aşağıdakı kimi olacaqdır:

𝑃(5 ≤ 𝑋 ≤ 10) = ∫1

5 𝑒−

𝑥5 𝑑𝑥 =

1

5∙ (−5) ∙ 𝑒−

𝑥5|5

1010

5

= 𝑒−1 − 𝑒−2 =

= 0,23254.

88

6.2. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsi

Kəsilməz 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin paylanma funksiyası 𝐹(𝑥)-dirsə və

∫ |𝑥|

+∞

−∞

𝑑𝐹(𝑥) < +∞

olarsa,

𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 𝑑𝐹(𝑥)

+∞

−∞

(6.2)

bərabərliyinin sağ tərəfindəki inteqrala 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləməsi deyilir.

Kəsilməz 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin paylanmasının sıxlıq funksiyası 𝑓(𝑥)-dirsə və

∫ |𝑥|

+∞

−∞

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 < +∞

olarsa,

𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

+∞

−∞

(6.3)

bərabərliyinin sağ tərəfindəki inteqrala 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləməsi deyilir.

Məsələ 6.1. 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin paylanmasının sıxlıq funksiyası

𝑓(𝑥) = {2𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 10, 𝑑𝑖𝑔ə𝑟 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎

89

şəklində ifadə olunarsa, 𝐸(𝑋)-i tapın. Həlli: Riyazi gözləmənin tərifinə görə

𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

+∞

−∞

= ∫2 𝑥2 𝑑𝑥

1

0

=2

3 .

6.3. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası

Paylanma funksiyası 𝐹(𝑥) olan 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin dispersiyası

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = ∫ (𝑥 − 𝐸(𝑋))2 𝑑𝐹(𝑥)

+∞

−∞

(6.4)

düsturu; paylanmasının sıxlıq funksiyası 𝑓(𝑥) olan mütləq kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = ∫ (𝑥 − 𝐸(𝑋))2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

+∞

−∞

(6.5)

düsturu ilə hesablanır.

Məsələ 6.2. Kəsilməz 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin paylanmasının sıxlıq funksiyası aşağıdakı ifadə ilə verilmişdir:

𝑓(𝑥) = {4𝑥 𝑒−2𝑥, 𝑥 > 00, 𝑑𝑖𝑔ə𝑟 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎

90

a) 𝐸(𝑋)-i tapın. b) 𝑉𝑎𝑟(𝑋)-i tapın.

Həlli: Bu misalın həllində ∫ 𝑡𝑛 𝑒−𝑡𝑑𝑡

∞

0= 𝑛! eyniliyindən istifadə

edəcəyik. a) 𝑡 = 2𝑥 əvəzləməsi aparaq, riyazi gözləmənin tərifinə əsasən alırıq: b)

𝐸(𝑋) = ∫ 4𝑥2 𝑒−2𝑥𝑑𝑥

∞

0

=1

2∫ 𝑡2 𝑒−𝑡𝑑𝑡

∞

0

=2!

2= 1 .

c) Əvvəlcə 𝐸(𝑋2) -nı tapaq. Yenə də 𝑡 = 2𝑥 əvəzləməsindən

istifadə edəcəyik. Onda

𝐸(𝑋2) = ∫ 4𝑥3 𝑒−2𝑥𝑑𝑥

∞

0

=1

4∫ 𝑡3 𝑒−𝑡𝑑𝑡

∞

0

=3!

4=3

2 .

Beləliklə,

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2 =3

2− 1 =

1

2 .

Mütləq kəsilməz paylanma funksiyalarının bəzi nümunələri ilə tanış olaq.

91

6.4. Kəsilməz paylanma funksiyaları

[𝒂, 𝒃] parçasında müntəzəm paylanma Müntəzəm paylanma mütləq kəsilməz paylanmalar arasında ən

sadə paylanmadır. Paylanma funksiyası

𝐹(𝑥) = {

0, 𝑥 ≤ 𝑎𝑥−𝑎

𝑏−𝑎, 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏

1, 𝑥 > 𝑏

(6.6)

olan 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin paylanmasının sıxlıq funksiyası 𝑓(𝑥) = 𝐹′(𝑥) bütün nöqtələrdə təyin olunmuşdur:

𝑓(𝑥) = {1

𝑏−𝑎, 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏];

0, 𝑥 ∈̅ (𝑎, 𝑏]. (6.7)

Paylanmasının sıxlıq funksiyası (6.7) bərabərliyi ilə verilən

paylanmaya [𝒂, 𝒃] parçasında müntəzəm paylanma deyilir. [𝑎, 𝑏] parçasında müntəzəm paylanan 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin

paylanma funksiyası və paylanmasının sıxlıq funksiyasının qrafikləri uyğun olaraq, şəkil 3 və şəkil 4-də verilmişdir:

şəkil 3 şəkil 4

92

Əgər 𝑎 = 0 və 𝑏 = 1 olarsa, 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti standart müntəzəm paylanmaya malik təsadüfi kəmiyyət adlanır.

Məsələ 6.3. 𝑋 – sığorta hadisə baş verdiyi zaman yaranan itki məbləğini

ifadə edən təsadüfi kəmiyyətdir və məlumdur ki, itki məbləği [0, 5000] parçasında müntəzəm paylanmaya malikdir. Zərər məbləğinin 2000 AZN-dən az olmamasının ehtimalını tapın.

Həlli: 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti [0, 5000] parçasında müntəzəm

paylanmaya malik olduğundan və (6.6) düsturundan alırıq ki,

𝑃(𝑋 ≥ 2000) =5000 − 2000

5000=3000

5000= 0,6 .

[𝑎, 𝑏] parçasında müntəzəm paylanmaya malik təsadüfi

kəmiyyətin riyazi gözləməsi

𝐸(𝑋) = ∫1

𝑏 − 𝑎 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

=1

𝑏 − 𝑎∫𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

=𝑎 + 𝑏

2

olacaqdır. İndi isə [𝑎, 𝑏] parçasında müntəzəm paylanmaya malik təsadüfi

kəmiyyətin dispersiyasını tapaq. Artıq bildiyimiz kimi bu təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsi

𝐸(𝑋) =𝑎+𝑏

2-yə bərabərdir. 𝐸(𝑋2)-nı hesablayaq:

𝐸(𝑋2) =1

𝑏 − 𝑎∫𝑥2 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

=1

3 ∙ 𝑏3 − 𝑎3

𝑏 − 𝑎=1

3∙ (𝑏2 + 𝑎𝑏 + 𝑎2).

93

Onda dispersiyanın tərifinə görə alırıq ki,

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2 =

=1

3∙ (𝑏2 + 𝑎𝑏 + 𝑎2) −

1

4∙ (𝑎 + 𝑏)2 =

(𝑏 − 𝑎)2

12.

Beləliklə, müntəzəm qanunla paylanmış təsadüfi kəmiyyətin

dispersiyası yalnız intervalın uzunluğundan asılıdır və intervalın uzunluğunun artan funksiyasıdır.

Məsələ 6.4. Avtonəqliyyat vasitələrinin sığortası sinfi üzrə qəza zamanı

avtomobilə dəyən zərərin məbləği təsadüfi kəmiyyət olub, [0, 5000] parçasında müntəzəm paylanmaya malikdir. Bu təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsini və dispersiyasını tapın.

Həlli: Artıq bildiyimiz kimi

𝐸(𝑋) =0 + 5000

2= 2500

və

𝑉𝑎𝑟(𝑋) =(5000 − 0)2

12= 416,67 .

Normal paylanma Ehtimal nəzəriyyəsində mühüm yer tutan mütləq kəsilməz

paylanmalardan biri də normal paylanmadır. Paylanmasının sıxlıq funksiyası

𝑓(𝑥) =1

𝜎√2𝜋 ∙ 𝑒−

(𝑥−𝜇)2

2𝜎2 , 𝑥 ∈ (−∞; +∞), 𝜎 > 0 (6.8)

94

olan təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyası (𝜇, 𝜎) parametrli normal paylanma funksiyası adlanır.

Aydındır ki,

𝐹(𝑥) =1

𝜎√2𝜋 ∙ ∫ 𝑒

− (𝑢−𝜇)2

2𝜎2𝑥

−∞𝑑𝑢 , 𝑥 ∈ (−∞; +∞), 𝜎 > 0 (6.9)

(6.9) düsturundan göründüyü kimi 𝐹(𝑥) paylanma funksiyası 𝜇 və 𝜎 parametrlərindən asılıdır.

Sıxlıq funksiyası 𝑓(𝑥)-in qrafiki 𝜇 = 1, 𝜎 = 2 qiymətləri üçün şəkil 5-də verilmişdir.

Şəkil 5

𝑓(𝑥) funksiyasının qrafiki Qauss əyrisi (normal əyri) adlanır; normal paylanmaya eyni zamanda Qauss paylanması da deyilir. 𝑓(𝑥) funksiyasının tədqiqi ilə məşğul olaq:

1) 𝑓(𝑥) funksiyası bütün ədəd oxunda təyin olunmuşdur; 2) 𝑥 -in bütün qiymətlərində 𝑓(𝑥) funksiyası müsbət

qiymətlər alır, yəni normal əyri absis oxundan yuxarıda yerləşir;

95

3) lim|𝑥|→∞

𝑓(𝑥) = 0 , yəni absis oxu normal əyrinin üfüqi

asimptotudur. 4) 𝑓(𝑥) funksiyasının ekstremumlarını araşdıraq. Bunun

üçün 𝑓(𝑥) funksiyasının 1-ci tərtib törəməsini tapaq:

𝑓′(𝑥) = −𝑥 − 𝜇

𝜎3√2𝜋 ∙ 𝑒

−(𝑥−𝜇)2

2𝜎2 .

Asanlıqla göstərmək olar ki, 𝑥 < 𝜇 olarsa, 𝑓′(𝑥) > 0, 𝑥 = 𝜇 olarsa, 𝑓′(𝑥) = 0, 𝑥 > 𝜇 olarsa, 𝑓′(𝑥) < 0. Deməli, 𝑓(𝑥) funksiyası 𝑥 = 𝜇 qiymətində özünün 1

𝜎√2𝜋-yə

bərabər olan maksimal qiymətini alır. 5) 𝑓(𝑥) funksiyasının analitik ifadəsində (𝑥 − 𝜇) fərqi

kvadratı ilə verildiyindən funksiyanın qrafiki 𝑥 = 𝜇 düzxəttinə nəzərən simmetrikdir.

6) 𝑓(𝑥) funksiyasının əyilmə nöqtələrini tədqiq edək: bunun üçün 2-ci tərtib törəmə alaq:

𝑓′′(𝑥) = −1

𝜎3√2𝜋 ∙ 𝑒

−(𝑥−𝜇)2

2𝜎2 ∙ [1 −(𝑥 − 𝜇)2

𝜎2] .

Asanlıqla görmək olur ki, 𝑥 = 𝜇 + 𝜎 və 𝑥 = 𝜇 − 𝜎 qiymətlərində 𝑓′′(𝑥) sıfra bərabərdir və bu nöqtələrdən keçərkən funksiya öz işarəsini dəyişir (bu nöqtələrdə funksiyanın qiyməti 1

𝜎√2𝜋𝑒-yə bərabərdir). Beləliklə, (𝜇 − 𝜎, 1

𝜎√2𝜋𝑒) və (𝜇 + 𝜎, 1

𝜎√2𝜋𝑒)

nöqtələri normal əyrinin əyilmə nöqtələridir. İndi isə 𝜇 və 𝜎 parametrlərinin dəyişməsinin normal əyrinin

forma və yerləşməsinə təsirini araşdıraq:

96

𝜇 parametrinin dəyişməsi normal əyrinin formasını dəyişmir, o yalnız absis oxu boyunca sürüşür: əgər 𝜇 artarsa, əyri sağa, 𝜇 azalarsa, əyri sola sürüşür. Şəkil 6-da 𝜇 = −2 və 𝜇 = 3 olduqda normal əyrinin qrafiki verilmişdir.

Şəkil 6

𝜎 parametrinin dəyişməsinin əyriyə təsirinə baxaq. Yuxarıda qeyd etdiyimiz kimi paylanmanın sıxlıq funksiyasının maksimum nöqtəsi 1

𝜎√2𝜋-dir. Buradan aydın olur ki, 𝜎 artdıqda, normal əyrinin ordinatı

azalır, yəni əyri absis oxuna doğru sıxılır; 𝜎 azaldıqda isə əyri sanki hər iki tərəfdən bərabər olmaqla mərkəzə doğru sıxılır və ordinat oxunun müsbət istiqamətinə doğru “dartılır” (Şəkil 7).

Şəkil 7

97

Qeyd edək ki, 𝜇 və 𝜎 parametrlərinin ixtiyari qiymətlərində normal paylanma əyrisi ilə absis oxu arasında sahə vahidə bərabərdir, belə ki,

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

+∞

−∞

= 1 .

Əgər 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin paylanmasının sıxlıq funksiyası 𝑓(𝑥)-dirsə, onda 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin (𝛼, 𝛽) intervalından olması ehtimalı

𝑃(𝛼 < 𝑋 < 𝛽) = ∫ 𝑓(𝑥)

𝛽

𝛼

𝑑𝑥

olur. İndi isə fərz edək ki, 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti normal qanunla

paylanmış təsadüfi kəmiyyətdir. Onda 𝑋 -in (𝛼, 𝛽) intervalından qiymətlər alması ehtimalı

𝑃(𝛼 < 𝑋 < 𝛽) =1

𝜎√2𝜋∫ 𝑒

−(𝑥−𝜇)2

2𝜎2 𝑑𝑥

𝛽

𝛼

olacaqdır. Hazır cədvəllərdən istifadə etmək məqsədilə bu düsturda bəzi

lazımi çevirmələr aparaq. Bunun üçün yeni 𝑧 = 𝑥−𝜇

𝜎 dəyişənini daxil

edək. Buradan 𝑥 = 𝜎𝑧 + 𝜇 , 𝑑𝑥 = 𝜎 𝑑𝑧 olduğunu alırıq. İntervalın yeni sərhədlərini təyin edək. Əgər 𝑥 = 𝛼 olarsa, onda 𝑧 = 𝛼−𝜇

𝜎; əgər

𝑥 = 𝛽 olarsa, onda 𝑧 = 𝛽−𝜇

𝜎 olacaq. Beləliklə, bu əvəzləmələrə əsasən

alırıq ki,

𝑃(𝛼 < 𝑋 < 𝛽) =1

𝜎√2𝜋∫ 𝑒−

𝑧2

2 (𝜎 𝑑𝑧) =

(𝛽−𝜇) 𝜎⁄

(𝛼−𝜇) 𝜎⁄

98

=1

√2𝜋∫ 𝑒−

𝑧2

2 𝑑𝑧

0

(𝛼−𝜇) 𝜎⁄

+1

√2𝜋∫ 𝑒−

𝑧2

2 𝑑𝑧 =

(𝛽−𝜇) 𝜎⁄

0

=1

√2𝜋∫ 𝑒−

𝑧2

2 𝑑𝑧

(𝛽−𝜇) 𝜎⁄

0

−1

√2𝜋∫ 𝑒−

𝑧2

2 𝑑𝑧

(𝛼−𝜇) 𝜎⁄

0

.

Φ(𝑥) =1

√2𝜋∫ 𝑒−

𝑧2

2 𝑑𝑧𝑥

0 – Laplas funksiyasından istifadə etsək

𝑃(𝛼 < 𝑋 < 𝛽) = Φ(𝛽 − 𝜇

𝜎) − Φ(

𝛼 − 𝜇

𝜎) (6.10)

düsturunu alırıq. Qeyd edək ki, Φ(−𝑥) = −Φ(𝑥).

Nümunə 6.4. Elektrik lampasının yanma müddəti parametrləri 𝜇 = 2 000 saat və 𝜎 = 200 saat olan normal paylanmaya malik təsadüfi kəmiyyətdir. Elektrik lampasının işləmə müddətinin 2 000 və 2 400 saatlar arasında olmasının ehtimalını tapaq.

Aydındır ki, bizdən 𝑃(2000 ≤ 𝑋 ≤ 2400) ehtimalını qiymətləndirmək tələb olunur. Onda (6.10) düsturuna əsasən

𝑃(2 000 ≤ 𝑋 ≤ 2 400) =

Φ(2 400 − 2 000

200) − Φ(

2 000 − 2 000

200) =

= Φ(2) − Φ(0) = 0,4772 .

(Φ(𝑥)-in qiymətləri üçün bax əlavə 1.)

Teorem 6.1. Əgər 𝑋 – (𝜇, 𝜎2) parametrli normal qanunla paylanmış təsadüfi kəmiyyətdirsə, onda 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏 təsadüfi kəmiyyəti (𝑎𝜇 + 𝑏, 𝑎2𝜎2) parametrli normal qanunla paylanmış təsadüfi kəmiyyətdir.

99

İsbatı: Teoremi 𝑎 > 0 olduğu hal üçün isbat edəcəyik. 𝑎 < 0 halı da eyni qaydada isbat olunur. 𝐹𝑌 ilə 𝑌 təsadüfi kəmiyyətinin paylanma funksiyasını işarə edək. Onda

𝐹𝑌(𝑥) = 𝑃(𝑌 ≤ 𝑥) = 𝑃(𝑎𝑋 + 𝑏 ≤ 𝑥) =

= 𝑃 (𝑋 ≤𝑥 − 𝑏

𝑎) = 𝐹𝑋 (

𝑥 − 𝑏

𝑎) .

Bərabərliyin hər iki tərəfindən törəmə alaq:

𝑓𝑌(𝑥) =1

𝑎 𝑓𝑋 (

𝑥 − 𝑏

𝑎) =

=1

√2𝜋 𝑎𝜎 𝑒𝑥𝑝 [− (

𝑥 − 𝑏

𝑎− 𝜇)

2

/(2𝜎2)] =

=1

√2𝜋 𝑎𝜎 𝑒𝑥𝑝 [−(𝑥 − (𝑎𝜇 + 𝑏))

2/ (2𝑎𝜎)2] .

Göründüyü kimi 𝑌 – (𝑎𝜇 + 𝑏, 𝑎2𝜎2) parametrli normal paylanmaya malik təsadüfi kəmiyyətdir.

Qeyd 6.1. Əgər 𝑍 = 𝑋−𝜇

𝜎 olarsa, onda 𝑍 təsadüfi kəmiyyəti

parametrləri (0, 1) olan normal qanunla paylanır. Bu təsadüfi kəmiyyət standart normal təsadüfi kəmiyyət adlandırılır. Standart normal təsadüfi kəmiyyətin paylanmasının sıxlıq funksiyası

𝜑(𝑥) =1

√2 𝜋𝑒−

𝑥2

2

düsturu ilə ifadə olunur. Bu funksiyanın qiymətləri cədvəlləşdiril-mişdir və cədvəl Əlavə 2-də verilmişdir.

Teorem 6.2. Əgər 𝑋 – (𝜇, 𝜎2) parametrli normal paylanma qanunu ilə paylanmış təsadüfi kəmiyyətdirsə, onda a) 𝐸(𝑋) = 𝜇; b) 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜎2.

100

İsbatı: 𝑍 = 𝑋−𝜇

𝜎 standart normal paylanmaya malik təsadüfi

kəmiyyət olsun. Onda

𝐸(𝑍) = ∫ 𝑥𝑓𝑍(𝑥)𝑑𝑥

+∞

−∞

=1

√2𝜋 ∫ 𝑥 𝑒−

𝑥2

2 𝑑𝑥

+∞

−∞

= −1

√2𝜋 𝑒−

𝑥2

2 |−∞

+∞

= 0.

Beləliklə,

𝐸(𝑋) = 𝐸(𝜎𝑍 + 𝜇) = 𝜎𝐸(𝑍) + 𝜇 = 𝜇 .

b)

𝑉𝑎𝑟(𝑍) = 𝐸(𝑍2) =1

√2𝜋 ∫ 𝑥2𝑒−

𝑥2

2 𝑑𝑥 .

+∞

−∞

𝑢 = 𝑥 və 𝑑𝑣 = 𝑥𝑒−𝑥2

2 olmaqla hissə-hissə inteqrallama düsturunu tətbiq etsək alırıq ki,

𝑉𝑎𝑟(𝑍) =1

√2𝜋 [−𝑥𝑒−

𝑥2

2 |−∞

+∞

+ ∫ 𝑒−𝑥2

2 𝑑𝑥

+∞

−∞

] =

=1

√2𝜋∫ 𝑒−

𝑥2

2 𝑑𝑥 = 1 .

+∞

−∞

Beləliklə,

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑉𝑎𝑟(𝜎𝑍 + 𝜇) = 𝜎2𝑉𝑎𝑟(𝑍) = 𝜎2 . Qeyd 6.2. Ümumi normal paylanmaya malik təsadüfi

kəmiyyətin paylanma funksiyası

𝐹(𝑥) =1

𝜎√2𝜋 ∙ ∫ 𝑒

− (𝑧−𝑎)2

2𝜎2

𝑥

−∞

𝑑𝑧 ,

101

standart normal təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyası isə

𝐹0(𝑥) =1

√2𝜋 ∙ ∫ 𝑒−

𝑧2

2

𝑥

−∞

𝑑𝑧

bərabərliyi ilə ifadə olunur.

Asanlıqla yoxlamaq olar ki,

𝐹(𝑥) = 𝐹0((𝑥 − 𝑎) 𝜎⁄ ). Qeyd edək ki, 𝐹0(𝑥) funksiyasının qiymətləri

cədvəlləşdirilmişdir. Qeyd 6.3. Standart normal paylanmaya malik 𝑋 təsadüfi

kəmiyyətinin (0, 𝑥) intervalından qiymət almasının ehtimalını

Φ(𝑥) =1

√2𝜋 ∙ ∫ 𝑒−

𝑧2

2

𝑥

0

𝑑𝑧

Laplas funksiyasından istifadə edərək tapmaq olar. Doğrudan da,

𝑃(0 < 𝑋 < 𝑥) = ∫𝜑(𝑧)𝑑𝑧

𝑥

0

=1

√2𝜋 ∙ ∫ 𝑒−

𝑧2

2

𝑥

0

𝑑𝑧 = Φ(𝑥) .

Qeyd 6.4.

∫ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥

+∞

−∞

= 1

olduğunu və 𝜑(𝑥) funksiyasının 0-a nəzərən simmetrikliyinə əsasən alırıq ki,

102

∫𝜑(𝑥)𝑑𝑥

0

−∞

= 0,5.

Və deməli, 𝑃(−∞ < 𝑋 < 0) = 0,5.

Buradan asanlıqla alınır ki,

𝐹0(𝑥) = 0,5 + Φ(𝑥).

Doğrudan da,

𝐹0(𝑥) = 𝑃(−∞ < 𝑋 < 𝑥) = = 𝑃(−∞ < 𝑋 < 𝑥) + 𝑃(0 < 𝑋 < 𝑥) = 0,5 + Φ(𝑥).

Üstlü (eksponensial) paylanma 𝑡 = 0 anından işləməyə başlayan cihazın fasiləsiz işləmə

müddəti təsadüfi kəmiyyətdir. Bu təsadüfi kəmiyyəti 𝑋-lə işarə edək. 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin paylanma funksiyası

𝐹(𝑥) = {1 − 𝑒−𝜆𝑡, 𝑡 > 0, 𝜆 > 0

0, 𝑡 ≤ 0 (6.10)

bərabərliyi ilə verilərsə, 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti 𝜆 parametrli üstlü paylanma qanunu ilə paylanmışdır deyilir və (6.10) bərabərliyi ilə ifadə olunan 𝐹(𝑥) üstlü paylanma funksiyası adlanır.

Bu təsadüfi kəmiyyətin paylanmasının sıxlıq funksiyası isə

𝑓(𝑥) = {𝜆𝑒−𝜆𝑥 , 𝑥 > 0, 𝜆 > 0

0, 𝑥 ≤ 0 (6.11)

bərabərliyi ilə ifadə olunur.

𝐹(𝑥) və 𝑓(𝑥) funksiyalarının qrafikləri şəkil 8-də verilmişdir.

103

Şəkil 8

Əgər 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti 𝜆 parametrli üstlü qanunla

paylanmışdırsa, onda bu təsadüfi kəmiyyətin (𝑎, 𝑏) intervalından qiymət almasının ehtimalı

𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = 𝑒−𝜆𝑎 − 𝑒−𝜆𝑏

düsturu ilə təyin olunur.

Nümunə 6.5. Kəsilməz 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin paylanmasının sıxlıq funksiyası

𝑓(𝑥) = {0,04 ∙ 𝑒−0,04𝑥, 𝑥 ≥ 00, 𝑑𝑖𝑔ə𝑟 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎

bərabərliyi ilə verilmişdir. 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin (1, 2) intervalından qiymət almasının ehtimalını tapaq. (6.11) düsturundan istifadə etsək alırıq ki,

𝑃(1 < 𝑋 < 2) = 𝑒−0,04∙1 − 𝑒−0,04∙2 = 0,03767 .

104

𝜆 parametrli üstlü qanunla paylanmış təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsi

𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 𝜆 𝑒−𝜆𝑥𝑑𝑥

∞

0

= −∫ 𝑥 𝑑(𝑒−𝜆𝑥) =

∞

0

= −𝑥𝑒−𝜆𝑥|0

∞+∫ 𝑒−𝜆𝑥𝑑𝑥 =

1

𝜆

∞

0

.

(Qeyd edək ki, inteqralın hesablanmasında hissə-hissə

inteqrallama üsulundan istifadə olunmuşdur.) Üstlü paylanmaya malik təsadüfi kəmiyyətin dispersiyanı

tapmaq üçün əvvəlcə 𝐸(𝑋2)-nı hesablamaq lazımdır, belə ki,

𝑉𝑎𝑟 (𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 𝐸2(𝑋) = ∫ 𝑥2 ∙ 𝜆𝑒−𝜆𝑥𝑑𝑥

∞

0

−1

𝜆2 .

Hissə-hissə inteqrallamadan istifadə edərək

𝐸(𝑋2) = 𝜆∫ 𝑥2 ∙ 𝑒−𝜆𝑥𝑑𝑥

∞

0

=2

𝜆2

olduğunu alırıq. Beləliklə,

𝑉𝑎𝑟(𝑋) =1

𝜆2 .

Nümunə 6.6. 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti üstlü qanunla paylanmış

təsadüfi kəmiyyətdir və paylanmasının sıxlıq funksiyası

𝑓(𝑥) = {5 𝑒−5𝑥, 𝑥 ≥ 00, 𝑥 < 0

105

bərabərliyi ilə verilmişdir. 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləməsini və dispersiyasını tapaq. Sıxlıq funksiyasının ifadəsindən göründüyü kimi 𝜆 = 5 . Onda

𝐸(𝑋) =1

𝜆= 0,2;

𝑉𝑎𝑟(𝑋) =1

𝜆2= 0,04 .

Qamma-paylanması Əvvəlcə Qamma funksiyanın tərifini verək:

Γ(𝛼) = ∫ 𝑒−𝑦 𝑦𝛼−1 𝑑𝑦 , 𝛼 > 0 .

∞

0

Məsələn,

Γ(1) = ∫ 𝑒−𝑦 𝑑𝑦

∞

0

= −𝑒−𝑦|0∞ = 1.

𝛼 > 1 olduqda hissə-hissə inteqrallama düsturunda 𝑢 = 𝑦𝛼−1 və 𝑑𝑣 = 𝑒−𝑦𝑑𝑦 əvəzləməsinə əsasən alırıq ki:

Γ(𝛼) = −𝑒−𝑦𝑦𝛼−1|0∞ +∫ 𝑒−𝑦(𝛼 − 1)𝑦𝛼−2𝑑𝑦 =

∞

0

= (𝛼 − 1)∫ 𝑒−𝑦 𝑦𝛼−2∞

0

𝑑𝑦 = (𝛼 − 1)Γ(𝛼 − 1).

Əgər 𝑛 1-dən böyük müsbət tam ədəd olarsa, Qamma funksiyası üçün aşağıdakı ifadəni tapırıq:

106

Γ(𝑛) = (𝑛 − 1)Γ(𝑛 − 1) = (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)Γ(𝑛 − 2) = ⋯ = = (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)…3 ∙ 2 ∙ Γ(1) = (𝑛 − 1)!

Məsələ 6.6. İsbat edin ki,

Γ (1

2) = √𝜋 .

Həlli:

𝑦 = 𝑧2

2 əvəzləməsi apardıqdan sonra alırıq ki,

Γ (1

2) = ∫ 𝑦−

12 𝑒−𝑦 𝑑𝑦

∞

0

= √2 ∫ 𝑒−𝑧2

2 𝑑𝑧

∞

0

=

=√2

2 √2𝜋 [

1

√2𝜋 ∫ 𝑒−

𝑧2

2 𝑑𝑧

+∞

−∞

] = √𝜋 ,

biz burada standart normal paylanmaya malik 𝑍 təsadüfi kəmiyyətinin

1

√2𝜋 ∫ 𝑒−

𝑧2

2 𝑑𝑧

+∞

−∞

= 1

xassəsindən istifadə etdik.

Paylanmasının sıxlıq funksiyası

𝑓(𝑥) = {𝜆𝑒−𝜆𝑥 (𝜆𝑥)𝛼−1

Γ(𝛼), 𝑥 > 0

0, 𝑥 ≤ 0 (6.12)

münasibətilə ifadə olunan 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinə (𝛼, 𝜆) (𝛼 > 0, 𝜆 > 0) parametrli Qamma paylanma ilə paylanmış təsadüfi kəmiyyət deyilir.

107

𝛼 parametrini forma (shape) parametri adlandıracağıq, çünki 𝛼-nın dəyişməsi sıxlıq funksiyasının formasını dəyişir. 𝜆 parametrini isə ölçü (scale) parametri adlandıracağıq, çünki əgər 𝑋 (𝛼, 𝜆) parametrli Qamma paylanmaya malikdirsə, onda 𝑐𝑋 təsadüfi

kəmiyyəti də parametrləri (𝛼, 𝜆𝑐) olan Qamma paylanmaya malikdir.

𝜆 parametrinin dəyişməsi sıxlıq funksiyasını formasını dəyişmədən ölçüsünü dəyişdirir.

Aydındır ki, 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin paylanma funksiyası

𝐹(𝑥) =𝜆𝛼

Γ(𝛼)∫𝑦𝛼−1 ∙ 𝑒−𝜆𝑦𝑥

0

𝑑𝑦 (6.13)

bərabərliyi ilə ifadə olunur. Qeyd edək ki, 𝐹(𝑥) ehtimalını hesablayarkən aşağıdakı

düsturdan tez-tez istifadə olunur:

∫𝑥𝑛 𝑒−𝜆𝑥 𝑑𝑥 = −1

𝜆 𝑥𝑛𝑒−𝜆𝑥 +

𝑛

𝜆 ∫ 𝑥𝑛−1 𝑒−𝜆𝑥 𝑑𝑥 . (6.14)

Nümunə 6.7. 𝑋 parametrləri 𝛼 = 4 və 𝜆 = 1

2 olan Qamma

paylanmaya malik təsadüfi kəmiyyət olsun. 𝑃(2 < 𝑋 < 4) ehtimalını hesablayaq.

(6.14) düsturunu tətbiq etsək bu ehtimal üçün

𝑃(2 < 𝑋 < 4) = ∫1

24Γ(4)

4

2

𝑥3𝑒−𝑥2 𝑑𝑥 =

1

96 ∫𝑥3 𝑒−

𝑥2 𝑑𝑥

4

2

≈ 0,12

qiymətini alırıq. Qamma paylanmaya malik təsadüfi kəmiyyətin paylanmasının

sıxlıq funksiyası və paylanma funksiyalarının qrafikləri uyğun olaraq şəkil 9-da verilmişdir:

108

Şəkil 9

Qeyd edək ki, üstlü paylanma – 𝛼 = 1 qiymətində (1, 𝜆)

parametrli qamma-paylanmasıdır. Teorem 6.3. Əgər 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti (𝛼, 𝜆) parametrli

Qamma paylanmaya malikdirsə, onda a) 𝐸(𝑋) = 𝛼

𝜆

b) 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝛼

𝜆2 .

109

İsbatı: a)

𝐸(𝑋) =1

Γ(𝛼) ∫ 𝜆𝑥 𝑒−𝜆𝑥 (𝜆𝑥)𝛼−1∞

0

𝑑𝑥 =

=1

λΓ(𝛼) ∫ 𝜆𝑒−𝜆𝑥(𝜆𝑥)𝛼 𝑑𝑥

∞

0

=Γ(𝛼 + 1)

𝜆 Γ(𝛼)=𝛼

𝜆 .

b)

𝐸(𝑋2) =1

Γ(𝛼) ∫ 𝑥2 𝑒−𝜆𝑥 𝜆𝛼𝑥𝛼−1 𝑑𝑥

∞

0

=1

Γ(𝛼)∫ 𝑥𝛼+1 𝜆𝛼𝑒−𝜆𝑥𝑑𝑥

∞

0

=Γ(𝛼 + 2)

𝜆2Γ(𝛼) ∫𝑥𝛼+1 𝜆𝛼+2𝑒−𝜆𝑥

Γ(𝛼 + 2)𝑑𝑥

∞

0

=Γ(𝛼 + 2)

𝜆2 Γ(𝛼) ,

Burada axırıncı inteqral (𝛼 + 2, 𝜆) parametrli Qamma paylanmaya malik təsadüfi kəmiyyətin sıxlıq funksiyasının inteqralıdır. Beləliklə,

𝐸(𝑋2) =Γ(𝛼 + 2)

𝜆2 Γ(𝛼)=(𝛼 + 1)Γ(𝛼 + 1)

𝜆2 Γ(𝛼)=𝛼(𝛼 + 1)

𝜆2 .

Deməli, (𝛼, 𝜆) parametrli Qamma paylanmaya malik 𝑋

təsadüfi kəmiyyətinin dispersiyası

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2=𝛼(𝛼 + 1)

𝜆2−𝛼2

𝜆2=𝛼

𝜆2 .

Məsələ 6.7. Müəyyən bir şəhərdə gündəlik istehlak olunan su sərfiyyatı

(milyon litrlərlə) parametrləri 𝛼 = 3 və 𝜆 = 0,5 olan Qamma paylanmaya malik təsadüfi kəmiyyətdir. a) Əgər gündəlik su sərfiyyatı 12 milyon litrdirsə, verilmiş hər hansı

gündə su sərfiyyatının qənaətbəxş olmamasının ehtimalını;

110

b) Gündəlik su sərfiyyatının riyazi gözləmə və dispersiyasını tapın.

Həlli: a) (6.13) düsturundan istifadə etsək alırıq ki,

𝑃(𝑋 > 12) = ∫0,53

Γ(3)∙ 𝑥2 ∙ 𝑒−0,5𝑥 𝑑𝑥 =

1

16 ∫ 𝑥2𝑒−

12𝑥 𝑑𝑥

∞

12

=

∞

12

= 400 ∙ 𝑒−6 = 0,9915 . b)

𝐸(𝑋) =3

0,5= 6

və

𝑉𝑎𝑟(𝑋) =3

0,52= 12 .

6.5. Kovariasiya və Korrelyasiya əmsalı Ehtimal nəzəriyyəsində eyni ehtimal fəzasında verilmiş iki 𝑋 və 𝑌 təsadüfi kəmiyyətləri arasındakı asılılığı kəmiyyətcə xarakterizə etmək üçün kovariasiya və korrelyasiya əmsalı adlanan ədədi xarakteristikalardan istifadə olunur.

Kovariasiya. 𝑋 və 𝑌 təsadüfi kəmiyyətlərinin kovariasiyası 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) kimi işarə olunur və

𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋)(𝑌 − 𝐸(𝑌))]

ədədinə deyilir. Riyazi gözləmənin tərifini və xassələrini nəzərə alsaq,

kovariasiyanın düsturunu aşağıdakı şəkildə ifadə etmək olar:

𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸[(𝑋𝑌 − 𝑋 𝐸(𝑌) − 𝑌 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌)] = = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝐸(𝑋) 𝐸(𝑌) − 𝐸(𝑌)𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌) =

= 𝐸(𝑋𝑌) − 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌).

111

Bu düsturdan aydın olur ki, əgər 𝑋 və 𝑌 asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlərdirsə, 𝑐𝑜𝑣 (𝑋, 𝑌) = 0 .

Lakin 𝑋 və 𝑌 təsadüfi kəmiyyətlərinin kovariasiyası “0”-a bərabər olarsa, bu təsadüfi kəmiyyətlərin asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlər olduğunu hökm etmək olmaz.

Nümunə 6.8. Fərz edək ki, 𝛼 təsadüfi kəmiyyəti 0, 𝜋2 və 𝜋

qiymətlərini 13

ehtimalları ilə alır. Onda cos 𝛼 −1 , 0 və 1

qiymətlərinin hər birini 1

3 ehtimalı ilə alacaqdır. sin 𝛼 isə

𝑃(sin 𝛼 = 1) =1

3 , 𝑃(sin 𝛼 = 0) = 2

3 və 𝑃(sin 𝛼 = −1) = 0. Onda

𝑐𝑜𝑣 (sin 𝛼 , cos 𝛼) = 0,

lakin

0 = 𝑃(sin 𝛼 = 1, cos 𝛼 = 1) ≠ 𝑃(sin 𝛼 = 1) ∙ 𝑃(cos 𝛼 = 1) =1

9 .

Bundan başqa, sin 𝛼 və cos 𝛼 arasında funksional asılılıq vardır:

sin2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1 .

Fərz edək ki, 𝑋 və 𝑌 ixtiyari təsadüfi kəmiyyətlərdir.

𝑉𝑎𝑟(𝑋 ± 𝑌) = 𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋))2 + +(𝑌 − 𝐸(𝑌))2 ± 2𝐸(𝑋 − 𝐸(𝑋))(𝑌 − 𝐸(𝑌))]

olduğundan 𝑉𝑎𝑟(𝑋 ± 𝑌) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 𝑉𝑎𝑟(𝑌) ± 2𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌).

Kovariasiyanın xassələri ilə tanış olaq:

Xassə 1. 𝑐𝑜𝑣 (𝑋, 𝑋) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋); Xassə 2. 𝑐𝑜𝑣 (𝑋, 𝑌) = 𝑐𝑜𝑣 (𝑌, 𝑋); Xassə 3. 𝑐𝑜𝑣 (𝑎𝑋, 𝑌) = 𝑎 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌), 𝑎 – ixtiyari sabitdir. Xassə 4. 𝑋, 𝑌 və 𝑍 həqiqi qiymətli təsadüfi kəmiyyətlərdirsə,

𝑐𝑜𝑣 (𝑋 + 𝑌, 𝑍) = 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑍) + 𝑐𝑜𝑣(𝑌, 𝑍).

112

Xassə 5. Əgər 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 olarsa, onda

𝑐𝑜𝑣 (𝑎 + 𝑏𝑋, 𝑌) = 𝑏𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) .

Əgər 𝑋 və 𝑌 diskret təsadüfi kəmiyyətlərdirsə, bu təsadüfi kəmiyyətlərin kovariasiyası

𝑐𝑜𝑣 (𝑋, 𝑌) =∑∑(𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋)) (𝑦𝑗 − 𝐸(𝑌)) ∙ 𝑝𝑖𝑗

𝑚

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

düsturu ilə hesablanır; burada

𝑝𝑖𝑗 = 𝑃{𝑋 = 𝑥𝑖 , 𝑌 = 𝑦𝑗}, 𝑖 = 1, 𝑛̅̅ ̅̅̅ , 𝑗 = 1,𝑚̅̅ ̅̅ ̅̅ ,∑𝑝𝑖𝑗𝑖,𝑗

= 1 .

Əgər 𝑋 və 𝑌 mütləq kəsilməz təsadüfi kəmiyyətlərdirsə, bu təsadüfi kəmiyyətlərin kovariasiyası aşağıdakı düsturla hesablanır:

𝑐𝑜𝑣 (𝑋, 𝑌) = ∫ ∫ (𝑥 − 𝐸(𝑋))(𝑦 − 𝐸(𝑌))

+∞

−∞

𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 ;

+∞

−∞

burada 𝑓(𝑥, 𝑦) funksiyası (𝑋, 𝑌) təsadüfi vektorunun ikiölçülü paylanmasının sıxlıq funksiyasıdır.

Məsələ 6.8. 𝐸(𝑋) = 5 , 𝐸(𝑋2) = 27,4 , 𝐸(𝑌) = 7 , 𝐸(𝑌2) = 51,4 və

𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌) = 8 olduğu məlumdur. 𝑐𝑜𝑣(𝑋 + 𝑌, 𝑋 + 1,2𝑌) -i hesablayın.

Həlli: Tərifə görə

113

𝑐𝑜𝑣(𝑋 + 𝑌, 𝑋 + 1,2𝑌) = = 𝐸((𝑋 + 𝑌)(𝑋 + 1,2𝑌)) − 𝐸(𝑋 + 𝑌)𝐸(𝑋 + 1,2𝑌).

Riyazi gözləmənin xassələrindən və məsələnin verilənlərindən istifadə edərək alırıq ki,

𝐸((𝑋 + 𝑌)𝐸(𝑋 + 1,2𝑌)) = (𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑌))(𝐸(𝑋) + 1,2𝐸(𝑌)) =

= (5 + 7)(5 + 1,2 ∗ 7) = 160,8 və 𝐸((𝑋 + 𝑌)(𝑋 + 1,2𝑌)) = 𝐸(𝑋2) + 2,2𝐸(𝑋𝑌) + 1,2𝐸(𝑌2) =

= 27,4 + 2,2𝐸(𝑋𝑌) + 1,2 ∙ 51,4 = = 2,2𝐸(𝑋𝑌) + 89,08 .

Beləliklə, 𝑐𝑜𝑣(𝑋 + 𝑌, 𝑋 + 1,2𝑌) = 2,2𝐸(𝑋𝑌) + 89,08 − 160,8 =

= 2,2𝐸(𝑋𝑌) − 71,72 olduğunu alırıq. 𝐸(𝑋𝑌) -i qiymətləndirmək üçün 𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌) = 8 bərabərliyin-dən istifadə edəcəyik:

8 = 𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌) = 𝐸((𝑋 + 𝑌)2) − (𝐸(𝑋 + 𝑌))2=

= 𝐸(𝑋2) + 2𝐸(𝑋𝑌) + 𝐸(𝑌2) − (𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑌))2=

= 27,4 + 2𝐸(𝑋𝑌) + 51,4 − (5 + 7)2 = 2𝐸(𝑋𝑌) − 65,2 . Buradan alırıq ki, 𝐸(𝑋𝑌) = 36,6. Onda

𝑐𝑜𝑣(𝑋 + 𝑌, 𝑋 + 1,2𝑌) = 2,2 ∙ 36,6 − 71,72 = 8,8. Korrelyasiya əmsalı. 𝑋 və 𝑌 təsadüfi kəmiyyətlərinin

kovariasiyasının bu kəmiyyətlərin kvadratik orta yayınmalarının hasilinə olan nisbətinə 𝑋 və 𝑌 təsadüfi kəmiyyətlərinin korrelyasiya

əmsalı deyilir və 𝜌(𝑋, 𝑌) kimi işarə olunur:

114

𝜌(𝑋, 𝑌) =𝑐𝑜𝑣 (𝑋, 𝑌)

𝜎𝑋 ∙ 𝜎𝑌 .

Korrelyasiya əmsalı aşağıdakı xassələrə malikdir: Xassə 1. |𝜌(𝑋, 𝑌)| ≤ 1 . Xassə 2. 𝑋 və 𝑌 asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlərdirsə,

𝜌(𝑋, 𝑌) = 0 . Xassə 3. 𝜌(𝑋, 𝑌) = 𝜌(𝑌, 𝑋). Xassə 4. Əgər 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 və 𝑏 ≠ 0 olarsa, onda a) 𝜌(𝑎 + 𝑏𝑋, 𝑌) = 𝜌(𝑋, 𝑌), 𝑏 > 0 olduqda b) 𝜌(𝑎 + 𝑏𝑋, 𝑌) = −𝜌(𝑋, 𝑌), 𝑏 < 0 olduqda.

6.6. Ehtimal paylanmalarının forma və yerləşmə

xarakteristikaları Təsadüfi kəmiyyətin ədəd oxu üzərində forma və yerləşmə xarakteristikalarından ən çox istifadə olunanları moda, median, persentil, asimmetriya əmsalı və eksses əmsalıdır.

Tərif. Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyasının və ya kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin paylanmasının sıxlıq funksiyasının maksimum qiymətini aldığı nöqtəyə onun modası deyilir; əgər moda yeganədirsə, 𝑋 -in paylanması unimodal, əks halda isə multimodal paylanma adlanır. Diskret halda moda baş vermə ehtimalı ən yüksək olan qiymətdir, kəsilməz halda isə moda təsadüfi kəmiyyətin paylanmasının sıxlıq funksiyasının pik nöqtəsidir.

Nümunə 6.9. Fərz edək ki, 𝑋 diskret təsadüfi kəmiyyətinin paylanma funksiyası

115

𝑝(𝑥) = {(1

2)𝑥

, 𝑥 = 1, 2, 3, …

0, 𝑑𝑖𝑔ə𝑟 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎

şəklində ifadə olunur. 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin modasını tapaq. Aydındır ki, 𝑝(𝑥) funksiyası maksimum qiymətini 𝑥 = 1 qiy-mətində alır. Tərifə əsasən 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin modası 1-dir.

Məsələ 6.9. Fərz edək ki, 𝑋 kəsilməz təsadüfi kəmiyyətinin paylanmasının

sıxlıq funksiyası

𝑓(𝑥) = {0,75(1 − 𝑥2), −1 ≤ 𝑥 ≤ 1

0, 𝑑𝑖𝑔ə𝑟 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎

düsturu ilə verilmişdir. 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin modasını tapın.

Həlli: Aydındır ki, 𝑥 = 0 olduqda 𝑋 kəsilməz təsadüfi kəmiyyətinin

paylanmasının sıxlıq funksiyası maksimal qiymətini alır. Deməli, 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin modası 0-dır. Simmetrik paylanmanın moda, riyazi gözləmə və medianı üst-üstə düşür.

Tərif. 𝑋 diskret təsadüfi kəmiyyətinin medianı elə 𝑀 ədədinə deyilir ki,

𝑃(𝑋 ≤ 𝑀) ≥ 0,5 və 𝑃(𝑋 ≥ 𝑀) ≥ 0,5

bərabərsizlikləri ödənir.

Məsələ 6.10. 𝑋 diskret təsadüfi kəmiyyətinin paylanma funksiyası aşağıdakı

cədvəl şəklində verilmişdir:

116

𝑥 0 1 2 3 4 5 𝑝(𝑥) 0,35 0,20 0,15 0,15 0,10 0,05

Bu təsadüfi kəmiyyətin medianını tapın.

Həlli: Cədvəldən göründüyü kimi 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 0,55 və

𝑃(𝑋 ≥ 1) = 0,65. Beləliklə, 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin medianı 1-dir. Kəsilməz 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin medianı elə 𝑀 ədədinə

deyilir ki,

𝑃(𝑋 ≤ 𝑀) = 𝑃(𝑋 ≥ 𝑀) = 0,5 bərabərliyi ödənilir. Bir qayda olaraq kəsilməz 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin medianı

𝐹(𝑀) = 0,5

tənliyini həll etməklə tapılır, belə ki, burada 𝐹(𝑥) kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyasıdır.

Məsələ 6.11. Fərz edək ki, 𝑋 kəsilməz təsadüfi kəmiyyəti

𝑓(𝑥) = {

1

𝑏 − 𝑎, 𝑎 < 𝑥 < 𝑏

0, 𝑑𝑖𝑔ə𝑟 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎

sıxlıq funksiyası ilə verilmişdir. Bu təsadüfi kəmiyyətin medianını tapın.

117

Həlli: 𝑀 ədədini ∫ 𝑑𝑥

𝑏−𝑎= 0,5

𝑀

𝑎 tənliyindən tapacağıq. Buradan alırıq

ki, 𝑀−𝑎𝑏−𝑎

= 0,5. Bu bərabərlikdən alırıq ki, 𝑀 =𝑎+𝑏

2 .

Tərif. 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti və 0 < 𝑝 < 1 şərtini ödəyən 𝑝 üçün 100𝑝-ci persentil (və ya 𝑝-ci kvantil) elə 𝑥 ədədinə deyilir ki,

𝑃(𝑋 < 𝑥) ≤ 𝑝 ≤ 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥)

bərabərsizliyi ödənilir. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin persentilini tapmaq üçün

𝐹(𝑥) = 𝑝 tənliyini həll etmək lazımdır. 25-ci persentil birinci kvartil, 50-ci persentil median və ya ikinci kvartil və 75-ci persentil üçüncü

kvartil də adlandırılır.

Məsələ 6.12. Fərz edək ki, 𝑋 – zəlzələ zaman yaranan itki məbləğini ifadə

edən təsadüfi kəmiyyətdir. Bu təsadüfi kəmiyyətin paylanmasının sıxlıq funksiyası

𝑓(𝑥) = {2,5(200)2,5

𝑥3,5, 𝑥 > 200

0, 𝑑𝑖𝑔ə𝑟 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎

bərabərliyi ilə verilmişdir. 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin 25-ci persentili ilə 75-ci persentili

arasındakı fərqi tapın. Həlli: Aydındır ki, 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin paylanma funksiyası

118

𝐹(𝑥) = ∫2,5(200)2,5

𝑡3,5

𝑥

200

𝑑𝑡 .

Əgər 𝑄1 25-ci persentil olarsa,

𝐹(𝑄1) =1

4

və ya

1 − 𝐹(𝑄1) =3

4 .

Buradan alırıq ki,

3

4= ∫

2,5(200)2,5

𝑡3,5

∞

𝑄1

𝑑𝑡 = −(200

𝑡)2,5

|𝑄1

∞

= (200

𝑄1)2,5

.

Axırıncı bərabərlikdən 𝑄1 = 200(4 3⁄ )0,4 ≈ 224,4 . Eynilə,

3-cü kravtil üçün alırıq ki, 𝑄3 = 348,2 . Beləliklə, interkvartil

diapazon (25-ci və 75-ci persentillər arasındakı fərq)

𝑄3 − 𝑄1 = 348,2 − 224,4 = 123,8.

Tərif. Təsadüfi kəmiyyətin 3-cü tərtib mərkəzi momentinin kvadratik orta yayınmanın kubuna olan nisbətinə asimmetriya əmsalı deyilir:

𝐴𝑠 =𝜇3𝜎3 .

Normal paylanmadan fərqli paylanmaları tədqiq edərkən bu

fərqləri ədədi cəhətdən qiymətləndirmək zərurəti meydana çıxır. Bu

119

məqsədlə asimmetriya əmsalı və eksses əmsalı kimi xüsusi ədədi xarakteristikalar istifadə olunur. Normal paylanma üçün bu xarakteristikalar sıfra bərabərdir. Ona görə də, əgər tədqiq olunan paylanmanın asimmetriya əmsalı və eksses əmsalı böyük olmayan qiymətlər alırsa, onda bu paylanmanın normal paylanmaya yaxınlığı haqqında fərziyyə irəli sürmək olar. Əksinə asimmetriya əmsalı və eksses əmsalının böyük qiymətlər alması tədqiq olunan paylanmanın normal paylanmadan fərqli olması deməkdir.

Asimmetriya əmsalı necə qiymətləndirilir? Asanlıqla isbat etmək olar ki, simmetrik paylanmaya malik təsadüfi kəmiyyətin hər bir təktərtibli mərkəzi momentləri “0”-a bərabərdir. Simmetrik olmayan paylanmanın isə təktərtibli mərkəzi momentləri “0”-dan fərqlidir. Ona görə də, bu momentlərdən istənilən biri (1-ci tərtib mərkəzi moment istisna olmaqla, çünki istənilən növ paylanma üçün 1-ci tərtib mərkəzi moment “0”-a bərabərdir) asimmetriya əmsalını xarakterizə etmək üçün istifadə oluna bilər. Təbii ki, bu təktərtibli momentlərdən ən sadəsi – 3-cü tərtib mərkəzi moment seçilir. Asimmetriya əmsalı kimi yalnız 3-cü tərtib mərkəzi momentdən istifadə etmək əlverişli deyil, çünki bu kəmiyyət təsadüfi kəmiyyətin ölçüldüyü vahiddən (kəmiyyətdən) asılı olur. Bu çatışmamazlığı aradan qaldırmaq üçün 3-cü tərtib mərkəzi moment 𝜇3, 𝜎3-a bölünür və beləliklə, sabit əmsal alınır.

Əgər təsadüfi kəmiyyətin paylanma əyrisinin “quyruq hissəsi” onun riyazi gözləməsindən sağda yerləşirsə, asimmetriya əmsalı müsbətdir; əgər əyrinin “quyruq hissəsi” riyazi gözləmədən solda yerləşirsə, asimmetriya əmsalı mənfidir.

Praktiki olaraq, asimmetriya əmsalının işarəsi modaya nəzərən təyin olunur: əgər paylanma əyrisinin “quyruq hissəsi” modadan sağdadırsa, onda asimmetriya əmsalı müsbətdir (şəkil 10, a), soldadırsa, asimmetriya əmsalı mənfidir (şəkil 10, b).

120

a) b)

Şəkil 10 burada 𝑀0 – moda nöqtəsidir.

Tərif. Paylanmanın eksses əmsalı

𝐸𝑠 =𝜇4𝜎4− 3

düsturu ilə ifadə olunan xarakteristikaya deyilir. Normal paylanma üçün 𝜇4

𝜎4= 3 və deməli, eksses əmsalı “0”-a

bərabərdir. Ona görə də, əgər hər hansı bir paylanmanın eksses əmsalı “0”-dan fərqlidirsə, bu paylanmanın əyrisi normal əyridən fərqlənəcək: əgər eksses əmsalı müsbətdirsə, tədqiq olunan paylanma əyrisinin hündürlüyü normal əyridən çoxdur (şəkil 11, a); əgər eksses əmsalı mənfidirsə, tədqiq olunan paylanma əyrisinin hündürlüyü normal əyridən azdır (şəkil 11, b).

a) b)

Şəkil 11

121

Tapşırıqlar. 6.1. Batareyanın işləmə müddəti (saatla) paylanmasının sıxlıq

funksiyası

𝑓(𝑥) =

{

2𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤

1

23

4, 2 < 𝑥 < 3

0, 𝑑𝑖𝑔ə𝑟 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎

bərabərliyi ilə ifadə olunan təsadüfi kəmiyyətdir. Batareyanın 15 dəqiqədən çox işləməsinin ehtimalını tapın.

6.2. Kommersiya şirkətinin binasına yanğın nəticəsində dəyən zərərin məbləği paylanmasının sıxlıq funksiyası

𝑓(𝑥) = {0,005(20 − 𝑥), 0 < 𝑥 < 20

0, 𝑑𝑖𝑔ə𝑟 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎

olan bir təsadüfi kəmiyyətdir. Zərərin 8-dən artıq olduğu məlumdursa, zərərin 16-dan artıq olmasının ehtimalını tapın.

6.3. Sığorta şirkəti çoxlu sayda əmlak sığortalayır. Təsadüfi seçilmiş əmlak üçün sığorta məbləği 𝑋 təsadüfi kəmiyyətidir və bu təsadüfi kəmiyyətin paylanmasının sıxlıq funksiyası

𝑓(𝑥) = {3𝑥−4, 𝑥 > 1

0, 𝑑𝑖𝑔ə𝑟 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎

düsturu ilə ifadə olunur. Təsadüfi seçilmiş əmlakın ən azı 1,5 şərti pul vahidi (ş.p.v.) məbləğində sığorta olunduğu məlumdursa, onun 2-dən az məbləğdə sığortalanmasının ehtimalını tapın.

6.4. Dövlət orqanlarında pasport qeydiyyatı prosesinə sərf olunan zaman 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti olsun. Məlumdur ki, 𝑋 – 3 və 7 həftə arasında müntəzəm qanunla paylanmış təsadüfi kəmiyyətdir.

122

(a) 𝑓(𝑥) sıxlıq funksiyasını tapın. (b) Qeydiyyat müddətinin 3 həftədən daha az çəkməsinin ehtimalını

tapın. (c) Qeydiyyat müddətinin 5 həftə və daha az müddət çəkməsinin

ehtimalını tapın. 6.5. 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti riyazi gözləməsi 950 və standart

yayınması 10 olan normal paylanma qanununa malikdir. 𝑃(947 ≤ 𝑋 ≤ 950) ehtimalını tapın. 6.6. Fərz edək ki, X təsadüfi kəmiyyəti parametrləri 𝜇 = 0,381 və

𝜎2 = 0,0312 olan normal qanunla paylanmışdır. Aşağıdakı ehtimalları hesablayın:

(a) 𝑃(𝑋 > 0,36); (b) 𝑃(0,331 < 𝑋 < 0,431). 6.7. Poçt şöbəsində gözləmə müddəti parametri 𝜆 = 0,1 olan üstlü

qanunla paylanmış təsadüfi kəmiyyətdir. İcrası təcili olan sənədin poçtla göndərilməsi zamanı məktubu aparan şəxsin orada

(a) 10 dəqiqədən çox (b) 10 və 20 dəqiqə arası

gözləməsinin ehtimalını tapın. 6.8. Fərz edək ki, bir avtomobilin təmiri üçün tələb olunan zaman

parametri 𝜆 = 0,25 olan eksponensial paylanma qanununa tabedir. (a) X təsadüfi kəmiyyətinin paylanma funksiyasını qurun. (b) 𝑃(𝑋 > 4); (c) 𝑃(𝑋 > 10|𝑋 > 8)

ehtimallarını tapın. 6.9. Təqvim ilinin başlanğıcı ilə yüksək risk qrupuna aid olan

sürücünün qəza törətməsi anı arasındakı keçən günlərin sayı üstlü paylanmaya malikdir. Sığorta şirkəti hesab edir ki, yüksək risk qrupuna aid olan sürücülərin 30%-i təqvim ilinin ilk 50 günü ərzində qəza törədəcək.

Təqvim ilinin ilk 80 günü ərzində yüksək risk qrupuna aid olan sürücülərin hansı hissəsinin qəza törədəcəyi gözlənilir?

123

6.10. Fərz edək ki, X təsadüfi kəmiyyəti 𝛼 = 3 və 𝜆 = 1,8 parametrli Qamma paylanma ilə paylanmışdır. 𝑃(𝑋 > 3) ehtimalını hesablayın.

6.11. Mütləq kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin paylanmasının sıxlıq funksiyası

𝑓(𝑥) = {

600

𝑥2, 100 < 𝑥 < 120

0, 𝑑𝑖𝑔ə𝑟 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎

bərabərliyi ilə təyin olunur.

(a) 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləməsi və dispersiyasını tapın.

(b) 𝑃(𝑋 > 110) ehtimalını qiymətləndirin. 6.12. Sığorta müqaviləsinə əsasən zərər məbləğinin yuxarı sərhədi

10 AZN-dir. Sığortalının itkisi təsadüfi kəmiyyətdir və onun paylanmasının sıxlıq funksiyası

𝑓(𝑥) = {

2

𝑥3, 𝑥 > 1

0, 𝑑𝑖𝑔ə𝑟 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎

şəklində ifadə olunur. Sığorta müqaviləsinə əsasən ödənilən sığorta ödənişinin riyazi gözləməsini tapın.

6.13. Fərz edək ki, 𝑇 sıxlıq funksiyası

𝑓(𝑡) = {

1

10𝑒−

𝑡10, 𝑡 ≥ 0

0, 𝑑𝑖𝑔ə𝑟 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎

olan kəsilməz təsadüfi kəmiyyətdir. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyət aşağıdakı kimi təyin olunur:

124

𝑋 = {100, 0 < 𝑇 ≤ 150, 1 < 𝑇 ≤ 30, 𝑇 > 3 .

𝐸(𝑋) riyazi gözləməsini tapın.

6.14. 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin paylanma funksiyası

𝐹(𝑥) = {

0, 𝑥 < 1𝑥2 − 2𝑥 + 2

2, 1 ≤ 𝑥 < 2

1, 𝑥 ≥ 2

olsun. 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin dispersiyasını hesablayın.

6.15. Müəyyən bir şəxs 40-cı doğum günündə həyat sığortası müqaviləsi alır. Bu müqavilənin şərtlərinə əsasən faydalanan şəxsə sığortalanan şəxsin yalnız 50-ci doğum günündən öncə vəfat etməsi halında 5000 AZN məbləğində sığorta ödənişi veriləcək, əks halda heç bir ödəniş verilməyəcək. Sığortalı ilə eyni ildə doğulan kişilərin illərlə ifadə olunan ömür müddəti (uzunluğu) paylanma funksiyası

𝐹(𝑡) = { 1 − 𝑒1−1,1𝑡

1000 , 𝑡 > 00, 𝑡 ≤ 0

şəklində ifadə olunur. Bu müqavilə üzrə həmin şəxsin gözlənilən ödənişinin məbləğini tapın.

6.16. Satış mərkəzi satılan avtomobilə zəmanəti avtomobilin dəyişdirilməsi şəklində verir, belə ki, avtomobil yararsız vəziyyətə düşdükdə və ya 4 il istifadədən sonra dəyişdirilir. Yararsız vəziyyətə düşmə zamanı avtomobilin yaşı paylanmasının sıxlıq funksiyası

𝑓(𝑥) = {

1

5, 0 < 𝑥 < 5

0, 𝑑𝑖𝑔ə𝑟 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎

125

olan 𝑋 təsadüfi kəmiyyətidir. 𝑌 isə dəyişdirilmə zamanı avtomobilin yaşı olsun. 𝑌 təsadüfi kəmiyyətinin dispersiyasını tapın.

6.17. Fərz edək ki, 𝑋(1, 𝑎), 𝑎 > 1 intervalında müntəzəm qanunla paylanmış təsadüfi kəmiyyətdir. Əgər 𝐸(𝑋) = 6 𝑉𝑎𝑟(𝑋) olarsa, 𝑎-nı qiymətləndirin.

6.18. Məlumdur ki, 𝐸(𝑋) = 10 , 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 25 , 𝐸(𝑌) = 50 ,

𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 100, 𝐸(𝑍) = 6, 𝑉𝑎𝑟(𝑍) = 4, 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 10 və 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑍) = 3,5 . 𝑍 = 𝑋 + 𝑐𝑌 . Əgər 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑍) = 3,5 olarsa, 𝑐 sabitini tapın.

6.19. Sığorta agentinin məvacibi iki hissədən ibarətdir: 𝑋 – komisyon muzddan və 𝑌 – stabil maaşdan. Beləliklə, ümumi məvacib 𝑋 + 𝑌 -dir. Fərz edək ki, 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 5000 , 𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 10000 və 𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌) = 17000.

Əgər komisyon muzd 100 AZN, maaş isə 10% artarsa, artımdan sonrakı ümumi məvacibin dispersiyasını tapın.

6.20. Cərrahi əməliyyat üzrə tələbin məbləğini 𝑋 -lə, xəstəxana xərcləri üzrə tələbin həcmini isə 𝑌-lə işarə edək. Aktuari göstəriciləri 𝐸(𝑋) = 5, 𝐸(𝑋2) = 27,4, 𝐸(𝑌) = 7, 𝐸(𝑌2) = 51,4 və 𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌) = 8 olan modeldən istifadə edir. 𝐶1 = 𝑋 + 𝑌 – xəstəxana xərclərinə əlavə 20% vergi tətbiq olunmamışdan əvvəlki ümumi tələbin həcmi, 𝐶2 isə əlavə vergi tətbiq olunduqdan sonrakı ümumi tələbin həcmi olsun. 𝑐𝑜𝑣 (𝐶1, 𝐶2)-ni hesablayın.

6.21. Hava şəraitinin dəyişməsilə bağlı yaranan zərər məbləğini 𝑋-lə işarə edək. Aydındır ki, 𝑋 təsadüfi kəmiyyətdir və bu təsadüfi kəmiyyətin paylanmasının sıxlıq funksiyası aşağıdakı kimi ifadə olunur:

𝑓(𝑥) = {2,5(200)2,5

𝑥3,5, 𝑥 > 200 𝑜𝑙𝑑𝑢𝑞𝑑𝑎

0, 𝑑𝑖𝑔ə𝑟 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎 .

𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin 30-cu və 70-ci persentilləri arasındakı fərqi tapın.

126

6.22. Fərz edək ki, diskret 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin paylanma funksiyası

𝑝(𝑛) =1

3(2

3)𝑛

, 𝑛 = 0, 1, 2, …

şəklində verilmişdir. Təsadüfi kəmiyyətin median və 70-ci persentilini tapın.

6.23. Fərz edək ki, kəsilməz 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin paylanmasının sıxlıq funksiyası aşağıdakı şəkildədir:

𝑓(𝑥) = {𝑒−𝑥, 𝑥 ≥ 00, 𝑑𝑖𝑔ə𝑟 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎 .

50-ci persentili tapın.

6.24. Kəsilməz 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin paylanmasının sıxlıq funksiyası

𝑓(𝑥) = {

4𝑥

(1 + 𝑥2)3 , 𝑥 > 0

0, 𝑑𝑖𝑔ə𝑟 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎

olsun. 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin modasını tapın.

6.25. Kəsilməz 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin paylanmasının sıxlıq funksiyası

𝑓(𝑥) = {

3

𝑥4 , 𝑥 > 1

0, 𝑑𝑖𝑔ə𝑟 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎

olarsa, bu paylanmanın 0,95-ci kvantilini tapın.

127

6.26. Fərz edək ki, diskret 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti

𝑝(𝑛) = {(𝑛 − 1)(0,4)2(0,6)𝑛−2, 𝑛 ≥ 20, 𝑑𝑖𝑔ə𝑟 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎

paylanma funksiyası ilə verilmişdir. Bu təsadüfi kəmiyyətin paylanmasının modasını tapın.

6.27. 𝑋 və 𝑌 asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlər deyillər. Mə-lumdur ki, 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 11, 𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 16 və 𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌) = 31. 𝑋 və 𝑌 təsadüfi kəmiyyətlərinin korrelyasiya əmsalını tapın.

128

7. Təsadüfi kəmiyyətin momentlərinin doğuran funksiyası

Momentlərin doğuran funksiyası təsadüfi kəmiyyətin ehtimal paylanmalarının təqdim olunma üsullarından biridir. Daha çox momentlərin hesablanması üçün istifadə olunur.

Tərif. 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin paylanma funksiyası 𝐹(𝑥) olsun. Onda

𝑀𝑋(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑋)

ilə ifadə olunan funksiya momentlərin doğuran funksiyası adlanır. Riyazi gözləmənin hesablanması düsturlarından istifadə etsək momentlərin doğuran funksiyası üçün yeni

𝑀𝑋(𝑡) = ∫ 𝑒𝑡𝑥𝐹(𝑑𝑥)

+∞

−∞

(7.1)

şəklində ifadə almış oluruq. Beləliklə, momentlərin doğuran funksiyası təsadüfi kəmiyyətin paylanmasının ikitərəfli Laplas çevirməsidir.

Əgər 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti diskret təsadüfi kəmiyyətdirsə, yəni 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) = 𝑝𝑖, 𝑖 = 1, 2,…, onda

𝑀𝑋(𝑡) =∑𝑒𝑡𝑥𝑖𝑝𝑖

∞

𝑖=1

(7.2)

olacaqdır. Nümunə 7.1. Fərz edək ki, 𝑋 – Bernulli paylanmasına malik

təsadüfi kəmiyyətdir. Yəni bu təsadüfi kəmiyyət p ehtimalı ilə “1” qiymətini, q ehtimalı ilə isə “0” qiymətini alır, onda

𝑀𝑋(𝑡) = 𝑒

𝑡∙1 ∙ 𝑝 + 𝑒𝑡∙0 ∙ 𝑞 = 𝑝𝑒𝑡 + 𝑞 .

129

Nümunə 7.2. Fərz edək ki, 𝑋 diskret təsadüfi kəmiyyətdir və paylanma qanunu aşağıdakı cədvəldə verilmişdir:

𝑋 1 2 3 4 5 𝑃 0,15 0,2 0,4 0,15 0,10

Momentlərin doğuran funksiyasının tərifinə görə alırıq ki, 𝑀𝑋(𝑡) = 0,15𝑒

𝑡 + 0,20𝑒2𝑡 + 0,4𝑒3𝑡 + 0,15𝑒4𝑡 + 0,10𝑒5𝑡. Əgər 𝑋 – mütləq kəsilməz təsadüfi kəmiyyətdirsə və bu

təsadüfi kəmiyyətin paylanmasının sıxlıq funksiyası 𝑓𝑋(𝑥) -dirsə, onda

𝑀𝑋(𝑡) = ∫ 𝑒𝑡𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥

+∞

−∞

. (7.3)

Nümunə 7.3. 𝑋 – [𝑎, 𝑏] parçasında müntəzəm paylanmaya

malik təsadüfi kəmiyyət olsun. Onda (7.3) düsturuna əsasən bu təsadüfi kəmiyyətin momentlərinin doğuran funksiyasının

𝑀𝑋(𝑡) = ∫𝑒𝑡𝑥

𝑏 − 𝑎𝑑𝑥 =

1

𝑡(𝑏 − 𝑎) ∙ (𝑒𝑡𝑏−𝑡𝑎)

𝑏

𝑎

olduğunu alırıq.

Nümunə 7.4. Xüsusi halda X – [0, 1] parçasında müntəzəm paylanan təsadüfi kəmiyyətdirsə,

𝑀𝑋(𝑡) = ∫𝑒𝑡𝑥 ∙ 1 𝑑𝑥

1

0

=𝑒𝑡𝑥

𝑡|0

1

=𝑒𝑡 − 1

𝑡 .

130

Xassələri: Xassə 1. Momentlərin doğuran funksiyası təsadüfi kəmiyyətin

paylanma funksiyasını birqiymətli olaraq xarakterizə edir. Fərz edək ki, X, Y – elə iki təsadüfi kəmiyyətlərdir ki, 𝑀𝑋(𝑡) = 𝑀𝑌(𝑡), ∀𝑡. Onda 𝐹𝑋(𝑥) = 𝐹𝑌(𝑦) . Xüsusi halda, əgər X və Y təsadüfi kəmiyyətləri mütləq kəsilməz təsadüfi kəmiyyətlər olarsa, onda bu təsadüfi kəmiyyətlərin momentlərinin doğuran funksiyalarının üst-üstə düşməsindən paylanmaların sıxlıq funksiyalarının da üst-üstə düşməsi alınır. Əgər hər iki təsadüfi kəmiyyət diskret təsadüfi kəmiyyətlərdirsə, onda momentlərin doğuran funksiyalarının üst-üstə düşməsindən ehtimal paylanmalarının da üst-üstə düşməsi alınır.

Xassə 2. 𝑀𝑎𝑋(𝑡) = 𝑀𝑋(𝑎𝑡), ∀𝑎 ∈ 𝑅 .

Xassə 3. Asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlərin cəminin

momentlərinin doğuran funksiyası bu təsadüfi kəmiyyətlərin momentlərinin doğuran funksiyalarının hasilinə bərabərdir. Fərz edək ki, 𝑋1, … , 𝑋𝑛 – asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlərdir. 𝑆𝑛 ilə bu təsadüfi kəmiyyətlərin cəmini işarə edək: 𝑆𝑛 = ∑ 𝑋𝑖

𝑛𝑖=1 . Onda

𝑀𝑆𝑛(𝑡) =∏𝑀𝑋𝑖(𝑡) .

𝑛

𝑖=1

Nümunə 7.5. Əgər 𝑋 və 𝑌 – momentlərinin doğuran funksiyası

uyğun olaraq 𝑀𝑋(𝑡) = (1 − 2𝑡)−2,5 və 𝑀𝑌(𝑡) = (1 − 2𝑡)−3,5 olan asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlərdirsə, 𝑍 = 𝑋 + 𝑌 təsadüfi kəmiyyətinin momentlərinin doğuran funksiyasının Xassə 3-ə əsasən

𝑀𝑋+𝑌(𝑡) = 𝑀𝑋(𝑡)𝑀𝑌(𝑡) = (1 − 2𝑡)

−2,5 ∙ (1 − 2𝑡)−3,5 = = (1 − 2𝑡)−6

şəklində olduğunu alırıq.

131

Mövzunun əvvəlində qeyd etdiyimiz kimi təsadüfi kəmiyyətin momentlərinin doğuran funksiyasından, adətən, təsadüfi kəmiyyətin momentlərinin hesablanmasında istifadə olunur. Belə ki,

𝜇𝑛 = 𝐸(𝑋𝑛) =

𝑑𝑛

𝑑𝑡𝑛𝑀𝑋(𝑡)|

𝑡=0

. (7.4)

Məsələ 7.1. 𝑋 – parametrləri 𝑛 və 𝑝 olan binomial paylanmaya malik

təsadüfi kəmiyyət olsun. Momentlərin doğuran funksiyasından istifadə edərək 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləməsini və dispersiyasını tapın.

Həlli: Binomial paylanmaya malik təsadüfi kəmiyyətin

momentlərinin doğuran funksiyası

𝑀𝑋(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑋) =

=∑𝑒𝑡𝑘𝐶𝑛𝑘𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘 =

𝑛

𝑘=0

=∑𝐶𝑛𝑘 (𝑝𝑒𝑡)𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘 = (𝑝𝑒𝑡 + 1 − 𝑝)𝑛

𝑛

𝑘=0

olacaqdır. Birinci tərtib törəmə alsaq,

𝑀𝑋′ (𝑡) = 𝑛𝑝𝑒𝑡(𝑝𝑒𝑡 + 1 − 𝑝)𝑛−1 .

Deməli,

𝐸(𝑋) = 𝑀𝑋′ (0) = 𝑛𝑝 .

132

𝐸(𝑋2)-nı tapmaq üçün ikinci tərtib törəmə alaq:

𝑀𝑋′′(𝑡) = 𝑛(𝑛 − 1)𝑝2𝑒2𝑡(𝑝𝑒𝑡 + 1 − 𝑝)𝑛−2 +

+𝑛𝑝𝑒𝑡(𝑝𝑒𝑡 + 1 − 𝑝)𝑛−1. 𝑡 = 0 olduqda

𝐸(𝑋2) = 𝑀𝑋′′(0) = 𝑛(𝑛 − 1)𝑝2 + 𝑛𝑝 .

Beləliklə, 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin dispersiyası tərifə görə

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2= (𝑛 − 1)𝑝2 + 𝑛𝑝 − 𝑛2𝑝2 =

= 𝑛𝑝(1 − 𝑝) = 𝑛𝑝𝑞 olacaqdır.

Məsələ 7.2. Fərz edək ki, 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti 𝜆 parametrli Puasson

paylanmasına tabedir. Momentlərin doğuran funksiyasından istifadə edərək 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləməsini və dispersiyasını tapın.

Həlli: Momentlərin doğuran funksiyasının tərifinə əsasən yaza bilərik

ki,

𝑀𝑋(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑋) = ∑

𝑒𝑡𝑛𝑒−𝜆𝜆𝑛

𝑛!

∞

𝑛=0

=

= 𝑒−𝜆∑𝑒𝑡𝑛𝜆𝑛

𝑛!= 𝑒−𝜆∑

(𝜆𝑒𝑡)𝑛

𝑛!= 𝑒−𝜆𝑒𝜆𝑒

𝑡= 𝑒𝜆(𝑒

𝑡−1) .

∞

𝑛=0

∞

𝑛=0

133

Birinci tərtib törəmə alsaq,

𝑀𝑋′ (𝑡) = 𝜆𝑒𝑡𝑒𝜆(𝑒

𝑡−1) .

Beləliklə,

𝐸(𝑋) = 𝑀𝑋′ (0) = 𝜆 .

İndi isə ikinci tərtib törəmə alaq:

𝑀𝑋′′(𝑡) = (𝜆𝑒𝑡)2𝑒𝜆(𝑒

𝑡−1) + 𝜆𝑒𝑡𝑒𝜆(𝑒𝑡−1).

Beləliklə,

𝐸(𝑋2) = 𝑀𝑋′′(0) = 𝜆2 + 𝜆.

Dispersiyanın tərifinə görə,

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2= 𝜆 .

134

Tapşırıqlar 7.1. Aktuari müəyyən etmişdir ki, hər hansı bir sığorta sinfi üzrə baş

verən hadisəyə görə dəyən zərər məbləği momentlərinin doğuran funksiyası

𝑀𝑋(𝑡) =1

(1 − 2500𝑡)4

olan 𝑋 təsadüfi kəmiyyətidir. Bu sinifdən olan hadisələr üzrə zərərlərin məbləğinin kvadratik orta yayınmasını hesablayın.

7.2. Sığorta şirkəti A, B cə C şəhərlərindən olan evlərin sığortalanması ilə məşğuldur. Şəhərlərarası məsafə kifayət qədər böyük olduğundan bu şəhərlərdə baş verən zərərlər (itkilər) bir-birindən asılı deyildir.

Şəhərlər üzrə zərərlərin (itkilər) paylanması üçün momentlərin doğuran funksiyası uyğun olaraq, aşağıdakı kimidir:

𝑀𝐴(𝑡) = (1 − 2𝑡)−3

𝑀𝐵(𝑡) = (1 − 2𝑡)−2,5

𝑀𝐶(𝑡) = (1 − 2𝑡)−4,5 .

𝑋 hər üç şəhər üzrə ümumi zərər olsun. X təsadüfi kəmiyyətinin 3-cü tərtib başlanğıc momentini tapın.

7.3. 𝑋 və 𝑌 təsadüfi kəmiyyətləri ümumi momentlərin doğuran funksiyasına malik asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlərdir: 𝑀(𝑡) = 𝑒𝑡

2 2⁄ . 𝑊 = 𝑋 + 𝑌 və 𝑍 = 𝑌 − 𝑋 olarsa, 𝑊 və 𝑍 təsadüfi kəmiyyətləri üçün momentlərin birgə doğuran funksiyasını təyin edin.

7.4. 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3 ümumi paylanma funksiyasına malik asılı olmayan diskret təsadüfi kəmiyyətlər olsun:

𝑃(𝑥) =

{

1

3, 𝑥 = 0

2

3, 𝑥 = 1

0, 𝑑𝑖𝑔ə𝑟 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎

135

𝑌 = 𝑋1𝑋2𝑋3 təsadüfi kəmiyyətinin momentlərinin doğuran funksiyasını müəyyən edin.

7.5. Fərz edək ki, 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin momentlərinin doğuran funksiyası

𝑀𝑋(𝑡) = (2 + 𝑒𝑡

3)

9

şəklində ifadə olunur. 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin dispersiyasını tapın.

7.6. 𝑋 və 𝑌 təsadüfi kəmiyyətləri momentlərinin doğuran funksiyaları uyğun olaraq, 𝑀𝑋(𝑡) = 𝑒𝑡

2+2𝑡 və 𝑀𝑌(𝑡) = 𝑒3𝑡2+𝑡

olsun. 𝑋 + 2𝑌 təsadüfi kəmiyyətinin momentlərinin doğuran funksiyasını təyin edin.

7.7. Əgər 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin momentlərinin doğuran funksiyası 𝑀𝑋(𝑡) =

1

𝑡+1 olarsa, 𝐸[(𝑋 − 2)3] hesablayın.

7.8. Əgər 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin momentlərinin doğuran funksiyası 𝑀𝑋(𝑡) = (2 − 𝑡 5⁄ )−2 olarsa, 𝑉𝑎𝑟(𝑋)-ı tapın.

7.9. 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin momentlərinin doğuran funksiyası

𝑀𝑋(𝑡) = (0,4𝑒𝑡 + 0,6)7 ∙ (4 (4 − 𝑡)⁄ )9

şəklində verilmişdir. Təsadüfi kəmiyyətin dispersiyasını tapın.

136

8. Riyazi statistikanın elementləri

Riyazi statistika eksperimental məlumatlara əsasən müəyyən nəticələrin əsaslandırılmaqla təyin edilməsi kimi məsələlərin tədqiqi ilə məşğul olur.

Riyazi statistikada təkrarlanan asılı olmayan eksperimentlər nəticəsində alınmış məlumatlar əsasında (bu məlumatlar, adətən, ədədi xarakter daşıyır) təsadüfi kəmiyyətin statistik paylanma qanununu, onun parametrlərinin statistik qiymətlərini təyin etmək, onların qiymətləndirilməsi və s. kimi məsələlər araşdırılır.

Aparılan müşahidələrdə alınmış 𝑥1, … , 𝑥𝑛 nəticələrinə əsasən araşdırılan təsadüfi kəmiyyətin paylanmasının naməlum parametrlərinin müəyyən mənada təyin edilməsi tipli məsələlər riyazi statistikanın əsas mövzularından biri olub, naməlum parametrlərin

qiymətləndirilməsi məsələləri adlanır. Biz riyazi statistikanın əsas və sadə məsələlərindən olan riyazi gözləmənin qiymətləndirilməsi üçün etibarlı intervalın qurulması məsələsini şərh etməklə kifayətlənəcəyik. Bunun üçün əvvəlcə bizə lazım olan bəzi anlayışları daxil edək.

Araşdırılan 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin ala biləcəyi bütün qiymətlər çoxluğuna ümumi çoxluq deyək. Nəticələri asılı olmayan 𝑛 sayda aparılmış müşahidələrdə 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti üçün müşahidə olunmuş 𝑥1, … , 𝑥𝑛 qiymətlər toplusuna 𝑛 həcmli seçim, hər bir sınaq nəticəsində alınmış hər bir 𝑥𝑖 qiymətinə 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin mümkün qiyməti deyilir. Aydındır ki, ixtiyari seçimin elementləri ümumi çoxluğun elementlərindən olacaqdır. 𝑥1, … , 𝑥𝑛 qiymətləri asılı olmayan 𝑋1, … , 𝑋𝑛 təsadüfi kəmiyyətlərinin uyğun olaraq, 1, … , 𝑛-ci sınaqda aldıqları qiymətlərdir. 𝑛 həcmli seçimdəki 𝑥1, … , 𝑥𝑛 qiymətlərinə seçimi qiymətlər deyilir. Qeyd edək ki, 𝑛 həcmli bir və ya bir neçə seçim əsasında çıxarılan nəticələr ümumi çoxluğu elmi əsaslarla xarakterizə etməyə imkan verir.

Seçimi orta (seçimi riyazi gözləmə). 𝑥1, … , 𝑥𝑛 seçimi qiymətlərinin ədədi ortasına 𝑛 həcmli seçimi orta və ya seçimi riyazi

137

gözləmə deyilir. Əgər 𝑥1, … , 𝑥𝑛 seçimi qiymətlərinin hamısı müxtəlif qiymətlər alarsa, seçimi orta

𝐸∗(𝑋) = �̅� =1

𝑛∑𝑥𝑖 (8.1)

𝑛

𝑖=1

düsturu ilə hesablanır.

Əgər müşahidələr nəticəsində alınmış qiymətlərin içərisində təkrarlanan qiymətlər varsa, yəni 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘 qiymətləri uyğun olaraq 𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑘 tezliklərinə malikdirsə, belə ki, 𝑛1 + 𝑛2 + …+ 𝑛𝑘 = 𝑛, onda

𝐸∗(𝑋) = �̅� = (𝑛1𝑥1 + 𝑛2𝑥2 +⋯+ 𝑛𝑘𝑥𝑘) 𝑛⁄

və ya

𝐸∗(𝑋) = �̅� = (∑𝑛𝑖 𝑥𝑖

𝑘

𝑖=1

) 𝑛 .⁄ (8.2)

Seçimi dispersiya (statistik dispersiya). Aparılmış sınaqlar

seriyasında 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin aldığı qiymətlərin səpələnmə dərəcəsini xarakterizə etmək üçün 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin seçimi dispersiyasından istifadə olunur. Seçimi dispersiya

𝑉𝑎𝑟∗(𝑋) =1

𝑛∑(𝑥𝑖 − �̅�)

2 (8.3)

𝑛

𝑖=1

düsturu ilə təyin olunur.

Müşahidələr nəticəsində alınmış 𝑥1, … , 𝑥𝑘 qiymətləri uyğun olaraq 𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑘 tezliklərinə malikdirsə, onda

138

𝑉𝑎𝑟∗(𝑋) = (∑𝑁𝑖(𝑥𝑖 − �̅�)2

𝑘

𝑖=1

) 𝑛⁄ . (8.4)

Məsələ 8.1. Ümumi çoxluq aşağıdakı cədvəl şəklində verilmişdir:

𝑥𝑖 2 4 5 6 𝑛𝑖 8 9 10 3

Seçimi dispersiyanı tapın. Həlli: Əvvəlcə seçimi ortanı tapaq:

�̅� =8 ∙ 2 + 9 ∙ 4 + 10 ∙ 5 + 3 ∙ 6

8 + 9 + 10 + 3=120

30= 4 .

Onda seçimi dispersiya

𝑉𝑎𝑟∗ =8 ∙ (2 − 4)2 + 9 ∙ (4 − 4)2 + 10 ∙ (5 − 4)2 + 3 ∙ (6 − 4)2

30=

=54

30= 1,8 .

Düzəliş edilmiş seçimi dispersiya. Riyazi gözləməsi naməlum

olan təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası üçün meylsiz statistik qiymət kimi 𝑉𝑎𝑟∗(𝑋)-nin 𝑛

𝑛−1-ə hasilini götürmək kifayətdir. Onda

𝑉𝑎�̃�∗(𝑋) =𝑛

𝑛 − 1∙ 𝑉𝑎𝑟∗(𝑋) =

𝑛

𝑛 − 1 ∙∑ (𝑥𝑖 − 𝐸

∗(𝑋))2𝑛𝑖=1

𝑛=

139

=∑ (𝑥𝑖 − 𝐸

∗(𝑋))2𝑛𝑖=1

𝑛 − 1

meylsiz statistik qiymət olacaqdır; 𝑛

𝑛−1 vuruğu Bessel düzəlişi

adlanır. Seçimi kvadratik orta meyl (yayınma) ən çox istifadə olunan

seçimi ədədi xarakteristikalardandır və seçimi kvadratik yayınma aşağıdakı düsturla hesablanır:

𝜎𝑋∗ = √𝑉𝑎𝑟∗(𝑋) = √

1

𝑛∑(𝑥𝑖 − 𝐸

∗(𝑋))2𝑛

𝑖=1

. (8.5)

Seçimi kvadratik orta meyl (yayınma) təsadüfi kəmiyyətin öz

seçimi orta qiyməti ətrafında səpələnmə dərəcəsini xarakterizə edir. Eksperiment nəticəsində müşahidə olunan kəmiyyətin seçimi

qiyməti ilə onun həqiqi qiyməti arasındakı fərq xəta adlanır. Bu xətalar nəticəsində ölçülən kəmiyyət üçün alınan nəticələr həmişə təsadüfi olur. Hər bir təkrar ölçmə zamanı müxtəlif nəticələrin alınacağı şübhəsizdir. Sistematik xəta buraxılmazsa, təkrar ölçmələr zamanı təsadüfi kəmiyyətin aldığı seçimi qiymətlərin ədədi ortası ölçülən kəmiyyətin həqiqi qiymətini, seçimi dispersiya və ya seçimi kvadratik orta meyl (yayınma) isə bu ölçmənin dəqiqliyini xarakterizə edəcəkdir. Seçimi kvadratik orta meylin kifayət qədər kiçik olması ölçmə zamanı alınan nəticələrin seçimi riyazi gözləmə ətrafında daha sıx qruplaşmasını göstərir; bu isə ölçmənin dəqiqliyini xarakterizə edir.

Naməlum parametrin yalnız bir ədədlə təyin olunan statistik qiymətinə “nöqtəvi” statistik qiymət deyilir.

Nümunə 8.1. Bir qrup tədqiqatçı pediatrları kifayət qədər çox əhalisi olan böyük bir şəhərdə 12 yaşlı qızların çəkiləri maraqlandırır. Aydındır ki, böyük şəhərdə olan bütün 12 yaşlı qızların çəkilərini

140

ölçmək praktik olaraq çətindir. Buna görə də, tədqiqatçılar 16 nəfərdən ibarət bir seçim qrupu götürürlər və orta çəkinin 40 kq olduğunu tapırlar. Bu seçimi orta bütün əhali üzrə ortanın (yəni nəzəri riyazi gözləmənin) nöqtəvi statistik qiymətidir.

Müşahidələr zamanı alınmış nəticələrin sayı az olduqda nöqtəvi statistik qiymət qiymətləndiriləcək parametrdən kifayət qədər çox fərqlənə bilər ki, bu da ciddi xətalara səbəb olur. Bəzi məsələlərdə yalnız parametrin qiymətləndirilməsi deyil, eyni zamanda təyin olunmuş statistik qiymətin dəqiqliyi və etibarlılığını qiymətləndirmək də tələb olunur. Bu nöqteyi-nəzərdən interval qiymətləndirmələrindən istifadə olunur.

Naməlum parametrin interval ucları ilə təyin olunan statistik qiymətinə interval statistik qiyməti deyilir.

Riyazi statistikada 𝜃∗ statistik qiymətinin dəqiqliyi və etibarlılığını təyin etmək üçün etibarlılıq, etibarlı interval və etibarlı ehtimallar metodlarından geniş surətdə istifadə olunur.

Etibarlı interval Bəzi praktik məsələlərin həlli zamanı təsadüfi kəmiyyətin

paylanmasının naməlum parametrini qiymətləndirərkən bu parametrin daxil olduğu sərhədləri bilmək vacibdir. Naməlum parametrin daxil olduğu intervalın sərhədləri seçim əsasında müəyyən olunur. Çox da böyük olmayan seçim əsasında, bir qayda olaraq, böyük ehtimalla parametrə kifayət qədər yaxın olan aşağı və yuxarı sərhədləri müəyyən etmək mümkün deyil. Seçimin elementlərinin sayı (seçimin həcmi) nə qədər çox olarsa, vahidə yaxın ehtimalla dəqiq sərhədləri qurmaq mümkündür.

Fərz edək ki, 𝜃∗ – müşahidələr nəticəsində naməlum 𝜃 parametri üçün alınmış statistik qiymətdir. Aydındır ki, |𝜃 − 𝜃∗| fərqinin mütləq qiyməti nə qədər kiçik olarsa, 𝜃∗ statistik qiyməti naməlum 𝜃 parametrini bir o qədər dəqiqliklə ifadə edəcəkdir. Başqa

141

sözlə desək, əgər 𝛿 > 0 və |𝜃 − 𝜃∗| < 𝛿 olarsa, 𝛿 kiçik qiymət aldıqca qiymətləndirmə daha dəqiq olur. Beləliklə, müsbət 𝛿 ədədi statistik qiymətin dəqiqliyini xarakterizə edir.

𝜃∗ statistik qiymətinin |𝜃 − 𝜃∗| < 𝛿 bərabərsizliyini ödədiyini statistik metodlara əsaslanaraq hökm etmək mümkün deyil, ona görə də, bu bərabərsizliyin hansı ehtimalla ödənilməsi məsələsi əhəmiyyət doğuran məsələdir. {|𝜃 − 𝜃∗| < 𝛿} hadisəsinin ehtimalını 𝛾 ilə işarə edək:

𝛾 = 𝑃{|𝜃 − 𝜃∗| < 𝛿}.

Adətən, 𝛾 kimi vahidə yaxın qiymət (məsələn, 𝛾 = 0,95; 0,99

və yaxud 0,999) götürülür və əvvəlcədən verilir. Fərz edək ki,

𝑃{|𝜃 − 𝜃∗| < 𝛿} = 𝛾 . Bu o deməkdir ki, 𝜃 parametrini 𝜃∗ statistik qiyməti ilə əvəz

edərkən buraxılan xətanın mümkün ola bilən qiymətləri ±𝛿 olacaqdır; deməli, mütləq qiymətcə 𝛿 -dan böyük xətaların olması kiçik ehtimalla, yəni 1 − 𝛾 ehtimalı ilə baş verə bilər.

|𝜃 − 𝜃∗| < 𝛿 bərabərsizliyini özü ilə eynigüclü olan −𝛿 < 𝜃 − 𝜃∗ < 𝛿 və ya 𝜃∗ − 𝛿 < 𝜃 < 𝜃∗ + 𝛿 bərabərsizlikləri ilə əvəz etsək,

𝑃[𝜃∗ − 𝛿 < 𝜃 < 𝜃∗ + 𝛿] = 𝛾

olduğunu alırıq.

Deməli, (𝜃∗ − 𝛿, 𝜃∗ + 𝛿) intervalının naməlum 𝜃 parametrini öz daxilinə almasının ehtimalı 𝛾-ya bərabərdir.

142

Bu qayda ilə təyin olunan 𝛾 ehtimalına – etibarlı ehtimal, (𝜃∗ − 𝛿, 𝜃∗ + 𝛿) intervalına isə verilmiş 𝛾 ehtimalı ilə naməlum parametri öz daxilinə alan etibarlı interval deyilir.

İndi isə etibarlı intervalların təyin edilməsi məsələlərini araşdıraq.

Fərz edək ki, müşahidələr nəticəsində 𝜃 parametri üçün 𝜃∗ statistik qiyməti hesablanmışdır. Əgər 𝜃∗ təsadüfi kəmiyyətinin paylanma qanunu məlum olarsa, etibarlı intervalı təyin etmək üçün sadəcə 𝛿 -nın elə qiymətini təyin etmək lazımdır ki, 𝛿 -nın bu qiymətində

𝑃{|𝜃 − 𝜃∗| < 𝛿} = 𝛾

bərabərsizliyi ödənilsin. Bu halda qarşıya çıxan çətinlik ondan ibarət olur ki, 𝜃∗-nun paylanma qanunu 𝑋 təsadüfi kəmiyyətinin paylanma qanunundan, beləliklə də, bu qanunun naməlum parametrlərindən asılı olur. Bu çətinliyi aradan qaldırmaq məqsədilə naməlum parametrlər statistik məlumatlar əsasında hesablanmış nöqtəvi statistik qiymətlərlə əvəz edilir (sınaqların sayı 20 ÷ 30 olduqda) və bunun nəticəsində alınan nəticələr təminedici olur.

Riyazi gözləmə üçün etibarlı interval. Məlum dispersiyalı normal paylanmanın riyazi

gözləməsinin qiymətləndirilməsi üçün etibarlı interval - Fərz edək ki, riyazi gözləməsi naməlum 𝐸(𝑋) = 𝑎 və dispersiyası məlum 𝑉𝑎𝑟(𝑋) olan 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti normal qanunla paylanmışdır. �̅� seçimi ortasına görə naməlum riyazi gözləməni – 𝑎 -nı qiymətləndirmək tələb olunur. Məsələmizi 𝛾 etibarlılığı ilə 𝑎 parametrini daxilinə alan intervalın tapılması şəklində qoyaq.

�̅� seçimi ortasına �̅� təsadüfi kəmiyyəti kimi (seçimdən asılı olaraq �̅� seçimi ortası dəyişir) və müşahidə olunmuş 𝑥1, … , 𝑥𝑛 seçimi qiymətlərinə isə eyni qanunla paylanmış asılı olmayan 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛

143

təsadüfi kəmiyyətləri kimi baxacağıq (bu ədədlər də seçimdən asılı olaraq dəyişir). Başqa sözlə, bu kəmiyyətlərin hər birinin riyazi gözləməsi 𝑎 və kvadratik orta yayınması 𝜎-dır.

Əgər 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti normal qanunla paylanmışsa, onda asılı olmayan müşahidələr əsasında tapılmış �̅� seçimi ortası da normal qanunla paylanacaqdır. �̅� təsadüfi kəmiyyətinin paylanmasının parametrləri

𝐸(�̅�) = 𝑎, 𝜎(�̅�) = 𝜎 √𝑛⁄ . Bizdən

𝑃(|�̅� − 𝑎| < 𝛿) = 𝛾

münasibətinin ödənilməsi tələb olunur, harada ki, 𝛾 – verilmiş etibarlılıq göstəricisidir.

𝑃(|𝑋 − 𝑎| < 𝛿) = 2 Φ(𝛿 𝜎⁄ ) düsturunda 𝑋-in �̅�-lə, 𝜎-nın 𝜎(�̅�) = 𝜎 √𝑛⁄ -lə əvəzləməsindən alırıq ki,

𝑃(|�̅� − 𝑎| < 𝛿) = 2Φ(𝛿√𝑛 𝜎⁄ ) = 2 Φ(𝑡), burada 𝑡 = 𝛿√𝑛 𝜎⁄ .

Sonuncu bərabərsizlikdən 𝛿 = 𝑡 𝜎 √𝑛⁄ olduğunu alırıq, onda

𝑃(|�̅� − 𝑎| < 𝑡 𝜎 √𝑛) = 2 Φ(𝑡) .⁄

𝑃 ehtimalının verildiyini və 𝛾 -ya bərabər olduğunu nəzərə alaraq yekunda (işlək düsturun alınması məqsədilə yenidən seçimi ortanı �̅�-lə işarə edəcəyik)

𝑃(�̅� − 𝑡𝜎 √𝑛 < 𝑎 < �̅� + 𝑡𝜎 √𝑛) = 2Φ(𝑡) = 𝛾⁄⁄ (8.6)

olduğunu alırıq.

144

Alınmış münasibətin mənası belədir: 𝛾 etibarlılığı ilə iddia etmək olar ki, (�̅� − 𝑡𝜎 √𝑛 , �̅� + 𝑡𝜎 √𝑛)⁄⁄ intervalı 𝑎 naməlum parametrini öz daxilinə alır; 𝛿 = 𝑡𝜎 √𝑛⁄ qiymətləndirmənin dəqiqliyidir.

Beləliklə, yuxarıda qoyulan məsələ tamamilə həll olundu. Qeyd edək ki, 𝑡 ədədi 2Φ(𝑡) = 𝛾 və ya Φ(𝑡) = 𝛾 2⁄ bərabərliyindən təyin olunur; Laplas funksiyası cədvəlindən (bax, əlavə 1) 𝑡 arqumentinin elə qiyməti seçilir ki, funksiyanın həmin arqumentdə qiyməti 𝛾 2⁄ -yə bərabər olur.

Məsələ 8.2. 𝑋 normal qanunla paylanmış təsadüfi kəmiyyətdir və

paylanmanın kvadratik orta yayınması məlumdur: 𝜎 = 3 . Əgər seçimin həcmi 𝑛 = 36 və etibarlılıq göstəricisi 𝛾 = 0,95 olarsa, �̅� seçimi ortasına görə naməlum 𝑎 riyazi gözləməsinin qiymətləndirilməsi üçün etibarlı intervalı tapın.

Həlli: Əvvəlcə 𝑡 -ni tapaq. 2Φ(𝑡) = 0,95 bərabərliyindən Φ(𝑡) =

0,475 olduğunu alırıq. Əlavə 1-dəki cədvələ əsasən 𝑡 = 1,96. İndi isə qiymətləndirmənin dəqiqliyini tapaq:

𝛿 = 𝑡 𝜎 √𝑛⁄ = (1,96 ∙ 3) √36 = 0,98 .⁄ Onda etibarlı interval (�̅� − 0,98; �̅� + 0,98) olacaqdır.

Məsələn, əgər �̅� = 4,1 olarsa, onda etibarlı interval aşağıdakı sərhədlərə malikdir: �̅� − 0,98 = 4,1 − 0,98 = 3,12 ; �̅� + 0,98 = 4,1 + 0,98 = 5,08 .

Beləliklə, verilən seçimə uyğun naməlum parametrin qiyməti 3,12 < 𝑎 < 5,08 bərabərsizliyini ödəyir.

145

Qeyd 8.1. Əgər əvvəlcədən verilmiş 𝛿 dəqiqliyinə və 𝛾 etibarlılıq ölçüsünə əsasən riyazi gözləməni qiymətləndirmək tələb olunursa, onda bu dəqiqliyi təmin edən seçimin minimal həcmi

𝑛 = 𝑡2𝜎2 𝛿2 (8.7)⁄

düsturu ilə təyin olunur.

Məsələ 8.3. Əgər 𝑋 normal qanunla paylanmış təsadüfi kəmiyyətdirsə və bu

təsadüfi kəmiyyətin kvadratik orta meyli (yayınması) məlumdursa və 𝜎 = 1,2 olarsa, etibarlılıq göstəricisi 0,975 olduqda naməlum 𝑎 riyazi gözləməsinin qiymətləndirilməsinin dəqiqliyi 𝛿 = 0,3-ə bərabərdir. Seçimin minimal həcmini tapın.

Həlli: Məsələnin şərtinə görə 𝛾 = 0,975 və ya 2Φ(𝑡) = 0,975 ;

buradan alırıq ki, Φ(𝑡) = 0,4875. Əlavə 1-dəki cədvələ əsasən 𝑡 =2,24. Məsələnin verilənlərini (8.8) düsturunda yerinə yazsaq seçimin minimal həcminin 𝑛 = 81 olduğunu alırıq.

Naməlum dispersiyalı normal paylanmanın riyazi gözləməsinin qiymətləndirilməsi üçün etibarlı interval. Fərz edək ki, 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti kvadratik orta yayınması naməlum olan normal qanunla paylanmışdır. Etibarlı intervalın köməkliyi ilə naməlum 𝑎 riyazi gözləməsini qiymətləndirmək tələb olunur. Kvadratik orta yayınma naməlum olduğundan məlum dispersiyalı normal paylanmanın riyazi gözləməsinin qiymətləndirilməsi üçün etibarlı intervaldan istifadə etmək mümkün deyil.

Məlumdur ki, verilmiş seçim əsasında yeni təsadüfi kəmiyyət qurmaq mümkündür (bu təsadüfi kəmiyyətin mümkün qiymətlərini 𝑡 ilə işarə edəcəyik):

146

𝑇 =�̅� − 𝑎

𝑆 √𝑛⁄ ,

belə ki, bu təsadüfi kəmiyyət sərbəstlik dərəcəsi sayı 𝑘 = 𝑛 − 1 olan Styudent paylanmasına malikdir, burada �̅� – seçimi orta, 𝑆 – “düzəldilmiş” orta kvadratik yayınma, 𝑛 – seçimin həcmidir.

Styudent paylanmasının sıxlığı

𝑆(𝑡, 𝑛) = 𝐵𝑛 [1 +𝑡2

𝑛 − 1]

−𝑛 2⁄

şəklində ifadə olunur, harada ki, 𝐵𝑛 =Γ(𝑛 2⁄ )

√𝜋(𝑛−1)Γ((𝑛−1) 2⁄ ) .

Göründüyü kimi Styudent paylanması 𝑛 parametri ilə, yəni seçimin həcmi ilə təyin olunur və naməlum 𝑎 və 𝜎 parametrlərindən asılı deyildir. Bu isə onun ən böyük üstünlüyüdür. 𝑆(𝑡, 𝑛) funksiyası

𝑡-yə nəzərən cüt funksiyadır, �̅�−𝑎𝑆 √𝑛⁄

< 𝛾 bərabərsizliyinin ehtimalı

𝑃 (|�̅� − 𝑎

𝑆 √𝑛⁄| < 𝑡𝛾) = 2∫ 𝑆(𝑡, 𝑛)𝑑𝑡

𝑡𝛾

0

= 𝛾 .

Mötərizə daxilindəki bərabərsizliyi onunla eynigüclü ikiqat

bərabərsizliklə əvəz etsək alarıq ki, 𝑃(�̅� − 𝑡𝛾𝑆 √𝑛⁄ < 𝑎 < �̅� + 𝑡𝛾𝑆 √𝑛⁄ ) = 𝛾 .

Beləliklə, Styudent paylanmasından istifadə edərək, 𝛾

etibarlılığı ilə naməlum 𝑎 parametrini daxilinə alan (�̅� − 𝑡𝛾𝑠 √𝑛⁄ < 𝑎 < �̅� + 𝑡𝛾𝑠 √𝑛⁄ ) intervalını tapdıq. Burada �̅� və 𝑆 təsadüfi kəmiyyətləri seçim əsasında tapılan �̅� və 𝑠 təsadüfi olmayan kəmiyyətləri ilə əvəz olundu. Əlavə 3-dəki cədvələ əsasən 𝑛 və 𝛾-nın verilmiş qiymətlərində 𝑡𝛾-nı tapmaq olar.

147

Məsələ 8.4. 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti normal qanunla paylanmışdır. Seçimin

həcmi 𝑛 = 16 və bu seçimə uyğun seçimi orta �̅� = 20,2 və “düzəldilmiş” kvadratik orta yayınma isə 𝑠 = 0,8 -dir. 0,95 etibarlılıqla naməlum riyazi gözləməni qiymətləndirin.

Həlli:

Əvvəlcə 𝑡𝛾 -nı tapaq. Əlavə 3-dəki cədvəldən istifadə edərək 𝛾 = 0,95 və 𝑛 = 16-ya əsasən 𝑡𝛾 = 2,13 olduğunu tapırıq.

İndi isə etibarlı intervalın sərhədlərini müəyyənləşdirək: �̅� − 𝑡𝛾𝑠 √𝑛 = 20,2 − 2,13 ∙ 0,8 √16 = 19,774 .⁄⁄ �̅� + 𝑡𝛾𝑠 √𝑛 = 20,2 + 2,13 ∙ 0,8 √16 = 20,626 .⁄⁄

Beləliklə, 0,95 etibarlılıqlı naməlum 𝑎 parametri üçün etibarlı

interval 19,774 < 𝑎 < 20,626-dır.

Qeyd 8.2. lim𝑛→∞

𝐵𝑛 =1

√2𝜋 , lim

𝑛→∞(1 +

𝑡2

𝑛−1)−𝑛 2⁄

= 𝑒−𝑡2 2⁄

limitlərinin varlığından alınır ki, seçimin həcmi 𝑛-in qeyri-məhdud artması zamanı Styudent paylanması normal paylanmaya yığılır. Ona görə də, praktiki olaraq, 𝑛 > 30 olduqda Styudent paylanmasının əvəzinə normal paylanma istifadə etmək olar.

Qeyd etmək lazımdır ki, daha kiçik seçimlər üçün, xüsusi halda seçimin həcmi 𝑛-in kiçik qiymətləri üçün, Styudent paylanmasının normal paylanma ilə əvəzlənməsi kobud səhvlərə, eyni zamanda qiymətləndirmənin dəqiqliyini təmin etmək üçün istifadə olunan etibarlı intervalın daralmasına gətirib çıxarır. Məsələn, əgər 𝑛 = 5 və 𝛾 = 0,99 olarsa, onda Styudent paylanmasından istifadə edərək, alırıq ki, 𝑡𝛾 = 4,6. Amma Laplas funksiyasından istifadə etsək 𝑡𝛾 = 2,58 olduğunu alırıq. Axırıncı halda etibarlı interval Styudent paylanmasına görə qurulmuş etibarlı intervaldan daha dar olur.

148

Tapşırıqlar: 8.1. Əgər 𝑋 təsadüfi kəmiyyəti normal qanunla paylanmışdırsa və

seçimin həcmi 𝑛 = 25, seçimi orta �̅� = 14 və kvadratik orta yayınma 𝜎 = 5-dirsə, 0,95 etibarlılıqla təsadüfi kəmiyyətin naməlum riyazi gözləməsi üçün etibarlı intervalı qurun.

8.2. Məlumdur ki, 𝜎 = 4, �̅� = 10,2, 𝑛 = 16. Onda 0,99 etibarlılıq ilə normal qanunla paylanmış təsadüfi kəmiyyətin naməlum riyazi gözləməsi üçün etibarlı intervalı tapın.

8.3. Elektrik lampalarından ibarət bağlamada 100 lampa var. Məlumdur ki, lampanın orta yanma müddəti 1000 saatdır. Əgər lampanın yanma müddətinin kvadratik orta yayınması məlumdursa və 𝜎 = 40 saat olarsa, 0,95 etibarlılıqla gətirilmiş bütün məhsul partiyası üzrə orta yanma müddəti 𝑎 üçün etibarlı intervalı qurun.

8.4. X təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləməsini qiymətləndirmək üçün 9 müşahidədən ibarət seçim edilmişdir. Hesab olunur ki, X normal qanunla paylanmış təsadüfi kəmiyyətdir və dispersiyası seçimin dispersiyası ilə eyni olub, 1,6-ya bərabərdir. Əgər seçimin orta qiyməti 1,5-ə bərabərdirsə, 95%-li etibarlı intervalı tapın.

8.5. Sığorta şirkətinin avtonəqliyyat vasitələrinin sığortası üzrə portfeli 10000 sığorta müqaviləsindən ibarətdir. Əvvəlki illərin statistikasına əsasən orta sığorta ödənişi 3000 AZN-dir. Əgər sığorta ödənişinin kvadratik orta yayınması məlumdursa və σ = 50 AZN olarsa, 0,99 etibarlılıqla sığorta portfeli üzrə orta sığorta ödənişi üçün etibarlı intervalı qurun.

8.6. Müəyyən bir fiziki kəmiyyəti asılı olmadan eyni dəqiqliklə 16 dəfə ölçmə nəticələrinin ədədi ortası olaraq 42,8 və düzəldilmiş orta kvadratik yayınma olaraq isə 8 tapılmışdır. Ölçülən kəmiyyətin 99,9% etibarlılığı ilə həqiqi qiymətini qiymətləndirin.

8.7. Ümumi yığımın orta kvadratik meyli 1,5-ə bərabərdirsə, 0,925 etibarlılığı ilə normal paylanmış ümumi yığımın riyazi gözləməsinin seçimi ortaya görə qiymətləndirmə dəqiqliyi 0,2-yə bərabər olduqda seçimin minimal həcmini tapın.

149

II H İ S S Ə

Maliyyə riyaziyyatı

1. Faizlər nəzəriyyəsinin əsasları

1.1. Maliyyə əməliyyatlarında faiz Faiz anlayışının müxtəlif mövzularda başqa-başqa

kontekslərdə işlənməsi səbəbi ilə maliyyə əməliyyatlarının təhlil edilməsi üçün faiz anlayışının dəqiq ifadə olunması tələb olunur.

Hər hansı bir maliyyə fonduna (məsələn bank) müəyyən məbləğdə vəsaitin investisiya edilməsi sanki həmin vəsaitin maliyyə fonduna icarəyə verilməsidir, fond isə dövrü olaraq müxtəlif üsullarla icarə haqqı hesablayır. Hər hansı şəxsə və ya təşkilata kredit şəklində (yəni hissə-hissə geri ödəmək şərti ilə) pul verən halda isə fond sanki həmin şəxsə icarəyə pul verir (hər hansı mal qarşılığında olmaqla həmin malın bir hissəsinə ekvivalent), şəxs isə müxtəlif üsullarla dövrü olaraq icarə haqqı ödəyir. Başqa sözlə, maliyyə əməliyyatlarında vahid zaman periodu üzrə faiz anlayışı – vahid məbləğdə borc götürənin dövrün sonunda ödəməli olduğu əlavə hissəni göstərir.

Məsələn, bir şəxs 100 AZN məbləğində borc alır və vahid müddətdən sonra 110 AZN ödəyirsə, borc verənin həmin müddət ərzində 100 AZN üçün gəliri 10 AZN olur, başqa sözlə həmin müddət ərzində 100 AZN üzrə haqq və ya faiz gəliri 10 AZN olur. Həmin məbləğ üzrə imkanlara baxdıqda borc verən pulunu müxtəlif istiqamətlərdəki maliyyə əməliyyatlarına investisiya edərək gəlir əldə edə bilər. Bu səbəbdən də bəzən faiz gəlirinə pulun zaman dəyəri deyilir. Faiz məsələləri əsasən 4 verilənlə xarakterizə olunur: əsas dəyər, investisiya periodunun uzunluğu, faiz dərəcəsi və yığım məbləği.

150

Maliyyə əməliyyatlarına investisiya olunmuş pul məbləği əsas dəyər olmaqla P ilə, investisiya periodu ərzində yığım məbləği A ilə işarə olunarsa, onda I = A – P ifadəsi investisiya periodu ərzində investisiya gəliri və ya faiz məbləği adlanır.

Məsələ 1.1. Firma bank hesabına 50 000 AZN depozit yerləşdirir. 1 ildən

sonra hesabında 54 000 AZN toplanır. a) Əsas dəyər nə qədərdir? b) Yığım məbləği nə qədərdir? c) İnvestisiya gəliri nə qədərdir? d) İllik faiz dərəcəsi nə qədərdir?

Həlli: a) Əsas məbləğ 50 000 AZN olmaqla depozit məbləğini göstərir. b) Yığım məbləğ 54 000 AZN olmaqla bank hesabındakı

toplanmış məbləği göstərir. c) İnvestisiya gəliri I = 54 000 AZN – 50 000 AZN = 4 000

AZN olmaqla depozit gəlirini göstərir.

d) İllik faiz dərəcəsi 4 000

50 000= 8% olmaqla depozit hesabının

gəlirlilik dərəcəsini ifadə edir.

1.2. Yığım və məbləğ funksiyası

Dövri şəkildə yalnız faiz dərəcəsindən asılı olaraq dəyişən bir fonda baxaq. Yığım məbləği istənilən zaman anı üçün əsas məbləğlə faiz məbləğinin cəminə bərabərdir.

t zaman anında investisiyanın məbləğ funksiyasını 𝐴(𝑡) ilə işarə edək, növbəti s müddəti üçün yığım məbləği

𝐴(𝑡)– 𝐴(𝑡 + 𝑠),

151

s müddəti üzrə faiz dərəcəsi

𝐴(𝑡)– 𝐴(𝑡 + 𝑠)

𝐴(𝑡) ,

bir il üzrə faiz dərəcəsi isə

𝑖 =𝐴(𝑡)– 𝐴(𝑡 + 1)

𝐴(𝑡)

olacaq. Qeyd edək ki, 𝐴(0) əsas məbləğ olan 𝑃-yə bərabərdir. Aşağıdakı kimi verilmiş funksiyaya yığım funksiyası deyilir:

𝑎(𝑡) =𝐴(𝑡)

𝐴(0) .

Məsələ 1.2.

Firma ilin əvvəlində 15 000 AZN məbləğində investisiya edir. Firmanın yığım məbləği ilin ortasında 16 300 AZN oldu. İnvestisiya edilmiş məbləğ üzrə məbləğ funksiyası 𝐴(𝑡) = 𝛼 ∙ 𝑡2 + 𝛽 olaraq götürülərsə,

a) parametrlərin qiymətini müəyyən etməklə məbləğ funksiyasını tapın.

b) yığım funksiyasını tapın. c) ilin sonuna yığım məbləğini tapın.

Həlli:

Funksiyanın 𝑡 = 0 və 𝑡 = 0,5 zaman anlarına uyğun qiymətlərini nəzərə alsaq, onda

𝐴(0) =β, 𝐴(0,5) = 𝛼 ∙ 0,52 + 𝛽

152

olar, buradan da alarıq ki,

15000 = 𝛽.

16300 = 0,25 ∙ 𝛼 + 𝛽 ⟹ 𝛼 = 5200

Nəticədə, a) 𝐴(𝑡) = 5200 ∙ 𝑡2 + 15000

b) 𝑎(𝑡) = 𝐴(𝑡)

15000= 0,347 ∙ 𝑡2 + 1

c) 𝐴(1) = 5200 ∙ 12 + 15000 = 20200 1.3. Effektiv faiz dərəcəsi

Maliyyə hesablamalarını apararkən faiz məbləğini

hesablamaq üçün əksər hallarda faiz dərəcəsindən istifadə etmək daha əlverişli olur. Faiz dərəcəsi yığım funksiyasının inkişafı kimi təyin edilərsə, belə ölçüyə effektiv faiz dərəcəsi deyilir. Effektiv faiz dərəcəsi vahid məbləğin investisiyası üzrə vahid zamanın sonunda qazanılan məbləği ifadə edir və aşağıdakı kimi təyin olunur:

𝑖 = 𝑎(1) + 𝑎(0) = 𝑎(1) − 1.

𝑎(𝑡) – yığım funksiyasıdır. i effektiv faiz dərəcəsini məbləğ funksiyası vasitəsi ilə aşağıdakı kimi yazmaq olar:

𝑖 =𝐴(1) – 𝐴(0)

𝐴(0) .

Effektiv faiz dərəcəsi 𝑛-ci period üzrə aşağıdakı kimi təyin edilir:

153

𝑖𝑛 =𝐴(𝑛) – 𝐴(𝑛 − 1)

𝐴(𝑛 − 1)=𝑎(𝑛) – 𝑎(𝑛 − 1)

𝑎(𝑛 − 1)

Yuxarıdakı bərabərlikdən istifadə etsək alarıq ki,

𝐴(𝑛) = 𝐴(𝑛 − 1) + 𝑖𝑛𝐴(𝑛 − 1) = (1 + 𝑖𝑛)𝐴(𝑛 − 1)

= (1 + 𝑖1)(1 + 𝑖2)… (1 + 𝑖𝑛)𝐴(0)

𝑎(𝑛) = (1 + 𝑖1)(1 + 𝑖2)… (1 + 𝑖𝑛)

Məsələ 1.3. Sadə faiz dərəcəsi üzrə 𝑎(𝑛) = 1 + 𝑖𝑛, 𝑛 ≥ 1 olarsa, isbat

edin ki, 𝑖𝑛 ifadəsi 𝑛-dən asılı olaraq azalan funksiyadır.

Həlli:

𝑖𝑛 =𝑎(𝑛) − 𝑎(𝑛 − 1)

𝑎(𝑛 − 1)=1 + 𝑖𝑛 − (1 + 𝑖(𝑛 − 1))

1 + 𝑖(𝑛 − 1)=

𝑖

1 + 𝑖(𝑛 − 1)

𝑖𝑛−1 − 𝑖𝑛 =𝑖

1 + 𝑖𝑛−

𝑖

1 + 𝑖(𝑛 − 1)=

𝑖2

(1 + 𝑖𝑛)(1 + 𝑖(𝑛 − 1))< 0

𝑖𝑛+1 − 𝑖𝑛 < 0 olduğundan 𝑖𝑛 𝑛-dən asılı olaraq azalan funksiyadır.

Yığım funksiyası 𝑎(𝑛) = 1 + 𝑖𝑛, 𝑛 ≥ 1 kimi verilərsə, o halda yığım məbləği sadə faiz dərəcəsinə malikdir.

Məsələ 1.4. Firma 1 000 000 AZN olmaqla aktivlərini sadə faiz dərəcəsi ilə investisiya etmişdir. Aktivlərin 300 000 AZN-i daşınmaz əmlak olmaqla 4% ilə, 700 000 AZN-i depozit hesabına qoyulmaqla 7% ilə 2 il müddətinə investisiya edilmişdir. I və II illər üzrə Firmanın cəmi aktivləri üzrə investisiya gəlirini və effektiv faiz dərəcəsini tapın.

154

Həlli: I və II illər üzrə investisiya gəliri eyni olmaqla aşağıdakı kimi

hesablanır:

𝐼 = 300000 ∙ 4%+ 700000 ∙ 7% = 61000

I il üzrə effektiv faiz dərəcəsi

𝑖1 =𝐴(1) – 𝐴(0)

𝐴(0)=

61000

1000000= 6,10%

𝑖2 =𝐴(2) – 𝐴(1)

𝐴(1)=

61000

1061000= 5,75%

Sadə faiz ilə verilən yığım funksiyasındakı zamanı ifadə edən

𝑛 dəyişəni praktikada, adətən, illərin sayı kimi verilir. İllərin sayı günlərlə ifadə olunarsa:

𝑁 =𝑖𝑘𝑖 𝑡𝑎𝑟𝑖𝑥 𝑎𝑟𝑎𝑠𝚤𝑛𝑑𝑎𝑘𝚤 𝑔ü𝑛𝑙ə𝑟𝑖𝑛 𝑠𝑎𝑦𝚤

𝑏𝑖𝑟 𝑖𝑙𝑑ə𝑘𝑖 𝑔ü𝑛𝑙ə𝑟𝑖𝑛 𝑠𝑎𝑦𝚤

kimi təyin edilir. Düsturda verilmiş günlərin sayı praktikada 3 formada təyin edilir.

1. Dəqiq sadə faiz – bir ildəki günlərin sayı və iki tarix arasındakı günlərin sayı dəqiq olaraq verilir. Yəni mövcud illər 365 və ya 366 gün, mövcud aylar 28, 30 və ya 31 gün olmaqla dəqiq olduğu kimi götürülür.

2. Adi sadə faiz – bir ildəki günlərin sayı və iki tarix arasındakı günlərin sayı bir ay 30 gün, bir il 360 gün olaraq hesablanır.

3. Bank qaydası – bir ildəki günlərin sayı 360 gün, bir aydakı günlərin sayı isə mövcud aya uyğun sayılır.

155

Məsələ 1.5(*). Firma 25.01.2012-ci il tarixində Bankdan 1 000 000 AZN

məbləğində 13.04.2012-ci il tarixədək illik 15% olan sadə faiz ilə borc götürmüşdür. Zamanın hesablanması ilə əlaqəli hər üç metoddan istifadə edərək qaytarılan borcu hesablayın.

Həlli: 1. Dəqiq sadə faiz – 25.01.2012 ilə 13.04.2012 arasındakı

günlərin sayı 79 gün, 2012-ci ilin uzunluğu isə 366 gündür.

𝐴(𝑡) = 1000000 ∙ (1 + 79

366∙ 15%) = 1032377,05.

2. Adi sadə faiz – 25.01.2012 ilə 13.04.2012 arasındakı günlərin sayı 30(𝑀2 − 𝑀1) + (𝐷2 − 𝐷1) = 30(4 − 1) + 13 – 25 = 78

𝐴(𝑡) = 1000000 ∙ (1 + 78

366∙ 15%) = 1032500,00.

3. Bank qaydaları – 25.01.2012 ilə 13.04.2012 arasındakı günlərin sayı 79 gün, ilin uzunluğu 360 gün:

𝐴(𝑡) = 1000000 ∙ (1 + 79

360∙ 15%) = 1032916,67.

Sadə faiz dərəcəsi üzrə qazanılan faiz dərəcələri yenidən investisiya olunmur. Qazanılan faiz dərəcələri yenidən investisiya olunarsa belə faiz dərəcəsi mürəkkəb faiz dərəcəsi adlanır və yığım funksiyası aşağıdakı kimi olur:

𝑎(𝑡) = (1 + 𝑖)𝑡 , 𝑡 ≥ 1

156

Mürəkkəb faiz dərəcəsi üçün effektiv faiz dərəcəsi aşağıdakı kimi olar:

𝑖𝑛 =𝑎(𝑛) − 𝑎(𝑛 − 1)

𝑎(𝑛 − 1)=(1 + 𝑖)𝑛 − (1 + 𝑖)𝑛−1

(1 + 𝑖)𝑛−1= 𝑖

Göründüyü kimi mürəkkəb faiz dərəcəsi üzrə effektiv faiz dərəcəsi bütün illər ərzində sabitdir. Mürəkkəb faiz dərəcəsi üzrə yığım funksiyası ilə sadə faiz dərəcəsi üzrə yığım funksiyası arasında aşağıdakı bərabərsizlik doğrudur:

Əgər 0<i<1 isə onda

(1 + 𝑖)𝑡 < 1 + 𝑖𝑡, 0 < 𝑡 < 1 üçü𝑛

(1 + 𝑖)𝑡 ≥ 1 + 𝑖𝑡, 𝑡 ≥ 1 üçü𝑛

Başqa sözlə, müddəti 1 ilədək olan kredit müqavilələri üzrə sadə faiz dərəcəsi, mürəkkəb faiz dərəcəsindən daha gəlirlidir. Lakin onların gəlirlilikləri arasındakı fərq böyük deyildir.

1.4. Cari dəyər (present value PV)

Bundan sonra baxılacaq mövzular üzrə faiz dərəcəsi olaraq mürəkkəb faiz dərəcəsi istifadə ediləcək. Belə ki, praktikada qarşılaşacağımız əsas məsələlərin verilənləri üzrə mürəkkəb faiz dərəcəsindən istifadə edilir. Sadə faiz dərəcəsindən isə, adətən, müddəti 1 ili aşmayan hallarda istifadə edilir. Faizlər nəzəriyyəsi üzrə maraqlı məsələlərdən biri odur ki, gələcəkdə ödəniləcək məbləğlərin faiz və inflyasiya tətbiq edilməklə cari dəyəri necə hesablanır? Belə bir məsələyə baxaq:

157

Cari tarixdə 100 AZN məbləğini 1 il müddətinə i faiz dərəcəsi ilə investisiya edirik. 1 ildən sonrakı məbləğ 100 ∗ (1 + 𝑖) olar. (1 + 𝑖) ifadəsinə yığım faktoru deyilir.

Əgər 1 ildən sonrakı investisiyanın məbləği 100 AZN götürülərsə, onda investisiyanın bu günə olan və ya cari dəyəri 100 ∗ 1

1+𝑖 olar. 𝑣 = 1

1+𝑖 ifadəsi isə diskont faktoru adlanır. Faiz

dərəcəsini diskont faktoru ilə ifadə etsək alarıq:

𝒗 =𝟏

𝟏 + 𝒊⟹ 𝑣 + 𝑣 ∙ 𝑖 = 1 ⟹ 𝒊 =

𝟏 − 𝒗

𝒗

Mürəkkəb faiz dərəcəsi üzrə yığım funksiyası

𝑎(𝑡) = (1 + 𝑖)𝑡 , 𝑡 ≥ 1 olduğundan vahid məbləğin t zaman geriyə cari dəyəri

PV = 𝒗𝒕 olur.

Məsələ 1.6. Firmanın 1 ildən sonra 100 000 AZN, 2 ildən sonra 150 000

AZN öhdəliyi var. İnvestisiya üzrə illik effektiv gəlir faizi 5% olarsa, firmanın öhdəliklərinin cari tarixə dəyəri nə qədərdir?

Həlli: Məlum öhdəliklərin cari dəyərinin tapılması üçün diskont faktoru hesablayaq:

𝑣 =1

1 + 𝑖=

1

1 + 5%= 0,9524

158

Öhdəliklərin cari dəyəri aşağıdakı kimi hesablanar: 𝑃𝑉 = 100000 ∙ 𝑣 + 150000 ∙ 𝑣2 = 231300 Məsələ 1.7.

Firma 2 ildən sonra 200 000 AZN, 4 ildən sonra 300 000 AZN

olan öhdəliyini qarşılamaq üçün 1 ildən sonra 150 000 AZN

investisiya edəcəyini planlaşdırır. İnvestisiya üzrə illik effektiv gəlir faizi 8% olarsa, firma cari tarixdə əlavə olaraq nə qədər investisiya etməli idi?

Həlli: Firmanın öhdəliklərinin və investisiya edəcəyi məbləğlərin zaman oxu üzrə aşağıdakı kimi təsvir etmək olar:

Şəkildə xətdən yuxarıda firmanın investisiya edəcəyi məbləğlər, xətdən aşağıda firmanın öhdəlikləri göstərilmişdir. Bu məsələnin həlli məqsədi ilə verilmiş investisiya faizi üzrə bütün məbləğlərin cari dəyəri tapılmalı və eyniləşdirilməlidir. Bu məqsədlə diskont faktoru hesablayaq:

𝑣 =1

1 + 𝑖=

1

1 + 8%= 0,9259

Öhdəliklərin və investisiya məbləğlərinin cari dəyərləri bir-

birlərinə bərabərləşdirilərək X tapılır. Hər bir məbləğin cari dəyərini

159

taparaq öhdəliklərlə investisiya edilmiş məbləğlərin cari dəyərlərinə bərabərləşdirsək alarıq:

𝑋 + 150000 ∙ 𝑣 = 200000 ∙ 𝑣2 + 400000 ∙ 𝑣4 ⟹

⟹ 𝑋 = 200000 ∙ 𝑣2 + 400000 ∙ 𝑣4 − 150000 ∙ 𝑣 = 326591

1.5. Effektiv diskont dərəcəsi Vahid zaman sonrakı vahid məbləğin cari dəyərinin tapılması üçün tətbiq edilən azaldıcı əmsala diskont dərəcəsi deyilir və aşağıdakı kimi təyin edilir:

𝑑 =𝑎(1) − 1

𝑎(1)

Faiz dərəcəsinin diskont dərəcəsindən əsas fərqi odur ki, faiz dərəcəsi cari zamandakı məbləğə nisbətdə müəyyən edildiyi halda, diskont dərəcəsi vahid zaman sonrakı məbləğə nisbətdə müəyyən edilir. Yəni

𝑖 =𝑎(1) – 1

𝑎(0), amma 𝑑 =

𝑎(1) – 1

𝑎(1)

Faiz və diskont dərəcələrinin arasındakı riyazi asılılıq aşağıdakı kimidir:

𝑑 =𝑎(1) − 1

𝑎(1)=1 + 𝑖 − 1

1 + 𝑖=

𝑖

1 + 𝑖 .

Diskont dərəcəsi və diskont faktoru arasında aşağıdakı asılılıqlar var:

𝑑 =𝑖

1 + 𝑖= 𝑖 ∙

1

1 + 𝑖= 𝑖 ∙ 𝑣

160

𝑑 =𝑖

1 + 𝑖= 𝑖 ∙

1

1 + 𝑖=1 − 𝑣

𝑣∙ 𝑣 = 1 − 𝑣 ⟹ 𝑣 = 1 − 𝑑 .

Diskont dərəcəsini aşağıdakı şəkildən daha aydın başa düşmək olar:

Məsələ 1.8.

Həyat sığorta şirkəti həyatın yığım sığortası üzrə illik 5% diskont dərəcəsi olmaqla sığorta polisi buraxır. Polis üzrə şirkətin 3 ildən sonrakı öhdəliyinin məbləği 15 000 AZN təşkil edir. Polisin cari dəyərini hesablayın (ölüm ehtimalı nəzərə alınmamaqla).

Həlli:

𝑃𝑉 = 15000 ∙ 𝑣𝑡 = 15000 ∙ (1 − 𝑑)𝑡 = 15000 ∙ (1 − 5%)3 = = 12860,63

1.6. Faiz və diskontun nominal dəyəri

Effektiv faizdən danışılarkən nəzərdə tutulur ki, faizlər vahid dövr ərzində bir dəfə hesablanır. Bu mövzuda faizlərin vahid dövr ərzində bir dəfədən çox olmaqla hesablanaraq, eyni interval üzrə ödəndiyi hala baxılacaq. Belə halda faiz və diskont dərəcəsi nominal adlanır.

İndi isə nominal faiz və diskont dərəcəsi ilə effektiv faiz və diskont dərəcəsi arasındakı əlaqələrə baxaq:

161

Məsələ 1.9. Firma 100 000 AZN pulu D1 və D2 depozit hesablarından birinə qoymaqla investisiya etmək niyyətindədir. D1 depozit hesabına depozitlər illik olaraq faiz dərəcəsi 8% olmaqla, D2 depozit hesabında depozitlər yarım illik olaraq faiz dərəcəsi 4% olmaqla qəbul edilir. Hesablardan hansının daha gəlirli olmasını müəyyən edin.

Həlli:

Hər hesabda bir il ərzində yığım məbləğini hesablayaraq, müqayisə edək: D1 hesabında 1 il ərzində yığım məbləği = 100 000 + 100 000 ∙ 8% = 108 000 AZN, D2 hesabında yarım il ərzində yığım məbləği = 100 000 + 100 000 ∙ 4% = 104 000 AZN, Sonra bu məbləği təkrar D2 hesabına yarım illik investisiya etdikdə yığım məbləği = 104 000 + 104 000 ∙ 4% = 108 160 AZN olar.

Yekunda D2 hesabında yığım məbləği D1 hesabından çox olduğundan D2 hesabı daha gəlirlidir.

Bu məsələdə olan D1 hesabında illik faiz dərəcəsi verilmişsə, D2 hesabında da illik faiz dərəcəsi verilib, lakin bu faiz dərəcəsi ildə iki dəfə hesablanan və ya yarım ildən bir hesablanan illik faiz dərəcəsi kimi adlanır.

Vahid dövr üzrə nominal faiz dərəcəsi i(m) ilə işarə edilir, m

vahid dövr üzrə faizlərin hesablanma sayını göstərir. m

im )(

isə vahid

dövrün 1𝑚

hissəsinə uyğun effektiv faiz dərəcəsini göstərir. Məsələ 1.10.

15 000 AZN məbləğin aylıq hesablanan illik nominal faiz dərəcəsi 18% olmaqla 3 ildən sonrakı dəyərini hesablayın.

162

Həlli:

𝑖(12) = 18% ⇒𝑖(12)

12= 1,5%, yəni aylıq faiz 1,5%-dir.

Mürəkkəb faiz dərəcəsi üçün məbləğ funksiyasına əsasən 3 ildən və ya 36 aydan sonrakı dəyər aşağıdakı kimi olacaq:

𝐴(3) = 15000 ∗ (1 + 1,5%)3∗12 = 24645,48

Məsələdən aydın olduğu kimi nominal faiz dərəcəsi üçün

yığım funksiyası 𝑎(𝑡) = (1 + 𝑖(𝑚)

𝑚)𝑚𝑡

kimi olar, həmçinin effektiv faiz üçün də yığım funksiyasını nəzərə alsaq, o zaman effektiv faiz ilə nominal faiz arasında aşağıdakı kimi asılılıq alarıq:

1 + 𝑖 = (1 +𝑖(𝑚)

𝑚)

𝑚

⟹

𝑖 = (1 +𝑖(𝑚)

𝑚)

𝑚

− 1 ⟹ 𝑖(𝑚) = 𝑚 [(1 + 𝑖)1𝑚 − 1]

Məsələ 1.11 (*).

Aylıq hesablanan illik nominal faiz dərəcəsi 18% olarsa, illik effektiv faizi hesablayın.

Həlli:

𝑖 = (1 +𝑖(𝑚)

𝑚)𝑚

− 1 = (1 +18%

12)12

− 1 =19,56%

Məsələ 1.12 (*). Aylıq hesablanan illik nominal faiz dərəcəsi 14% olarsa, rüblük hesablanan illik nominal faiz dərəcəsini hesablayın.

163

Həlli: Effektiv və nominal faiz dərəcəsi arasındakı əlaqə düsturuna

əsasən

(1 +𝑖𝑘

𝑘)

𝑘

= 1 + 𝑖 = (1 +𝑖𝑚

𝑚)

𝑚

(1 +14%

12)12

= (1 +𝑖4

4)

4

⟹ 𝑖4 = 14,16%

Eyni qayda ilə nominal diskont faiz dərəcəsinə baxaq: 𝑑(𝑚) ilə vahid dövrdə m dəfə hesablanan faiz dərəcəsini işarə

etsək, onda 𝑑(𝑚)

𝑚 vahid dövrün 1

𝑚 hissəsinə uyğun effektiv faiz

dərəcəsini göstərir.

Eyni yanaşma ilə asanlıqla müəyyən etmək olar ki,

1 − 𝑑 = (1 −𝑑(𝑚)

𝑚)

𝑚

⟹

(1 −𝑑(𝑚)

𝑚)

−𝑚

= (1 − 𝑑)−1 = 1 + 𝑖 = (1 +𝑖(𝑛)

𝑛)

𝑛

Xüsusi halda 𝑚 = 𝑛 olarsa,

1 +𝑖(𝑛)

𝑛= (1 −

𝑑(𝑛)

𝑛)−1

164

Məsələ 1.13 (*). Yarım illik hesablanan illik nominal faiz dərəcəsi 10% olarsa,

rüblük hesablanan illik nominal diskont dərəcəsini hesablayın. Həlli:

(1 −𝑑4

4)

−4

= (1 +10%

2)

2

⟹ 𝑑4 = 9,64%

1.7. Kəsilməz hesablanan (intensiv) faiz dərəcəsi

Effektiv və nominal faiz və diskont dərəcələri zamanın sayılan intervalı üzrə hesablanan faiz ölçüləridir. İndi isə zamanın istənilən anı üçün hesablanan faiz dərəcəsindən danışacağıq. Qeyd edildiyi kimi 𝑖(𝑚) dövr üzrə m dəfə hesablanan nominal faiz dərəcəsini göstərir. Əgər m sonsuz böyük olarsa, o zaman belə faiz dərəcəsinə intensiv faiz dərəcəsi deyilir. Başqa sözlə:

𝛿 = lim𝑚⟶∞

𝑖𝑚 .

İntensiv faiz dərəcəsini i effektiv faiz dərəcəsi ilə aşağıdakı

kimi ifadə etmək olar:

𝛿 = lim𝑚⟶∞

𝑖(𝑚) = lim𝑚⟶∞

𝑚 [(1 + 𝑖)1𝑚 − 1] = lim

𝑚⟶∞

[(1 + 𝑖)1𝑚 − 1]

1𝑚

Yuxarıdakı limit 0

0 kimi qeyri müəyyən limit olduğundan

Lopital qaydasını tətbiq etməklə aşağıdakı ifadəni alarıq:

165

𝛿 = lim𝑚⟶∞

𝑑

𝑑𝑚

[(1 + 𝑖)1𝑚 − 1]

1𝑚

= lim𝑚⟶∞

[(1 + 𝑖)1𝑚 ln(1 + 𝑖)]

= ln(1 + 𝑖)

Yekun olaraq 𝛿 = ln(1 + 𝑖) ⟹ 𝑖 = 𝑒𝛿 − 1. i və 𝛿-nı bir-birindən asılı olaraq Makleron sırasına ayırsaq

alarıq ki,

𝑖 = 𝑒𝛿 − 1 = 𝛿 +𝛿2

2!+ ⋯+

𝛿𝑛

𝑛!+ ⋯

𝛿 = ln(1 + 𝑖) = 𝑖 −𝑖2

2!+ ⋯+ (−1)𝑛+1

𝑖𝑛

𝑛!+ ⋯

Məsələ 1.14.

Effektiv faiz dərəcəsi 10% olarsa, intensiv faiz dərəcəsini hesablayın.

Həlli:

𝛿 = ln(1 + 𝑖) = ln(1 + 10%) = 9,53% .

Diskont dərəcəsini də nəzərə alsaq ümumi şəkildə əlaqə

düsturlarını aşağıdakı kimi ifadə etmək olar:

(1 +𝑖(𝑚)

𝑚)

𝑚

= 1 + 𝑖 = (1 − 𝑑)−1 = (1 −𝑑(𝑝)

𝑝)

−𝑝

= 𝑒𝛿

Məsələ 1.15.

Firma 100 000 AZN olmaqla illik intensiv faiz dərəcəsi 11% olan depozit hesabından 4 ildən sonra nə qədər faiz üzrə mənfəət əldə edər?

166

Həlli: 100000 ∙ ((1 + 𝑖)4 − 1) = 100000 ∙ (𝑒4∙𝛿 − 1) =

= 100000 ∙ (𝑒4∙11% − 1) = 55270

Məsələ 1.16. Firmanın illik intensiv faiz dərəcəsi 7% olan depozit hesabı üzrə 4 ildən sonrakı pulunun dəyəri 400 000 AZN olarsa, həmin pulun cari dəyərini tapın.

Həlli:

400000 ∙ (1

(1 + 7%)4) = 400000 ∙ 𝑒−4∙𝛿 = 100000 ∙ 𝑒−4∙7%

= 302313,5 . İntensiv faiz dərəcəsi sabit olmadıqda aşağıdakı kimi ifadə

edilir:

𝛿 = 𝑙𝑛(1 + 𝑖) =𝐷[(1 + 𝑖)𝑡]

(1 + 𝑖)𝑡=𝐷[𝑎(𝑡)]

𝑎(𝑡).

𝛿𝑡 =𝑎′(𝑡)

𝑎(𝑡)=𝐴′(𝑡)

𝐴(𝑡) .

Məsələ 1.17.

Sadə faiz üzrə 𝛿𝑡-ni tapın.

Həlli: a) sadə faiz üzrə

𝑎(𝑡) = 1 + 𝑖𝑡 ⟹ 𝛿𝑡 =𝑎′(𝑡)

𝑎(𝑡)=

𝑖

1 + 𝑖𝑡

167

Yığım funksiyası dəyişən intensiv faiz ilə aşağıdakı kimi ifadə olunur.

𝛿 = 𝑙𝑛(1 + 𝑖) =𝐷[𝑎(𝑡)]

𝑎(𝑡)= 𝐷(𝑙𝑛(𝑎(𝑡)) ⟹

⟹∫ 𝛿𝑥 𝑑𝑡

0

𝑥 = ∫ 𝐷(ln (𝑎(𝑡)) 𝑑𝑡

0

𝑥 ⟹ ∫ 𝛿𝑥 𝑑𝑡

0

𝑥 =

= ln(𝑎(𝑡)) − ln (𝑎(𝑜)) ⟹ 𝑎(𝑡) = 𝑒∫ 𝛿𝑥 𝑑𝑡

0𝑥 ⟹

⟹ 𝐴(𝑡) = 𝐴(0)𝑒∫ 𝛿𝑥 𝑑𝑡

0𝑥.

Məsələ 1.18.

İntensiv faiz dərəcəsi 𝛿𝑡 =1

10+0,5𝑡 kimi təyin olunarsa, a(4)-ü

hesablayın.

Həlli:

𝑎(4) = 𝑒∫

110+0,5𝑡

𝑑𝑡4

0 = 0,3646 .

1.8. Pul axını üzrə gəlirlilik Qeyd edildiyi kimi faiz məsələləri əsasən 4 verilənlə xarakterizə olunur. Əsas məbləğ, zaman uzunluğu, faiz dərəcəsi və yığım məbləği. Bunlardan 3-ü məlum olarsa, zaman üzrə bərabərlik qurulmaqla 4-cünü tapmaq olar. Belə ki, pul axını üzrə mədaxil olmuş və məxaric olmuş məbləğləri hər hansı bir zaman anına gətirməklə bərabərlik qurulur.

Məsələ 1.19. Firma gələcək aktivləri ilə öhdəliklərini təmin etmək məqsədilə bankla aşağıdakı kimi sövdələşmə edir:

Firma 9% yarım ildən bir hesablanan illik faiz dərəcəsi üzrə 10 ildən sonra banka 1200 AZN ödəniş edəcək. Bunun qarşılığında

168

bankdan cari tarixdə 200 AZN, 6 ildən sonra 400 AZN vəsait çıxarır. Həmin hesab üzrə 15 ildən sonra bankın firmaya ödəməli olduğu məbləği hesablayın. Həlli: Məsələdə verilənləri aşağıdakı şəkil üzrə təsvir etmək olar.

Bankın və Firmanın ödəməli olduqları məbləğləri diskontlaşdıraraq 𝑡 = 0 anına dəyərlərini tapmaqla bərabərliyi quraq (qeyd edək ki, bu bərabərliyi t-nin istənilən anı üçün qurduqda da məsələnin doğru cavabı tapılar).

200 + 400 ∙ (1 + 4,5%)−12 + 𝑋 ∙ (1 + 4,5%)−30 = = 1200 ∙ (1 + 4,5%)−20 ⟹ 𝑋 = 231,11 .

Məsələ 1.20:

100 AZN , 200 AZN və 500 AZN olan öhdəliklər müvafiq olaraq 2, 3, 8 ildən sonra ödənilməlidir. Bankın illik effektiv faiz dərəcəsi 5% olarsa, qeyd edilən 800 AZN vəsaiti banka nə zaman qoymaq lazımdır ki, öhdəliklərin dəyərinə ekvivalent olsun.

Həlli: Bütün zaman anlarına uyğun faiz dərəcəsi dəyişməz olduğu üçün

𝑡 =100 ∙ 2 + 200 ∙ 3 + 500 ∙ 8

100 + 200 + 500= 6 𝑖𝑙

169

Məsələ 1.21: Firma 3 ildən sonra 1000 AZN və 6 ildən sonra 2000 AZN pul gəlirlərinin cari tarixə dəyərini 2700 AZN hesablamışdır. İllik effektiv faiz dərəcəsini hesablayın. Həlli: 𝑡 = 0 anına məbləğlərin cari dəyəri üzrə bərabərlik aşağıdakı kimidir:

2000𝑣6 + 1000𝑣3 = 2700 ⟹ 𝑣3 = 0,9385 ⟹

𝑣 = 0,9791 ⟹ 𝑖 =1

0,9791− 1 = 2,13%

Faiz dərəcəsinin tapılması ilə bağlı məsələləri əksər hallarda analitik olaraq həll etmək olmur. Belə hallarda məsələ təqribi hesablamalar üsulları ilə həll edilir. Bu üsullar arasında ən geniş yayılmış üsul xətti interpolyasiya metodudur. Bu metoda əsasən həll olunacaq tənlik f(i)=0 şəklinə gətirilir, daha sonra elə i1 və i2

qiymətləri seçilir ki, f(i1)>0 və f(i2)<0 bərabərsizlikləri ödənsin.

𝑖 ≈ 𝑖1 − 𝑓(𝑖1) ∙𝑖2 − 𝑖1

𝑓(𝑖2) − 𝑓(𝑖1)

𝑖 faiz dərəcəsinə (yield rate) daxili gəlirlilik dərəcəsi də deyilir. Praktikada belə məsələlərə tez-tez rast gəlinir.

Məsələ 1.22 (*). Firma 10 000 AZN investisiya etməklə yeni filial açır. Filial üzrə 5 il ərzində aşağıdakı kimi pul axınını proqnoz edir və dövrün sonuna qeyd edilən firma üzrə aktivlərin dəyəri 22 500 AZN olacaq:

170

a) Verilənlər üzrə illik daxili gəlirlilik dərəcəsini tapın. b) Verilənlər üzrə gəlirlilik illik 5% nəzərdə tutulmuşdursa, pul

axının xalis cari dəyərini tapın.

Həlli: Verilənlər üzrə daxili gəlirlilik dərəcəsi deyildikdə hər hansı bir firmanın müəyyən zaman kəsiyi üzrə mədaxilinin həmin zaman kəsiyi üzrə olan məxaricini üstələdiyi faiz dərəcəsi başa düşülür. Riyazi cəhətdən isə elə faiz dərəcəsi tapmaq lazımdır ki, mədaxil ilə məxariclərin istənilən ana olan dəyəri (hesablamalarda, adətən, cari dəyəri (NPV netto present value) istifadə edilir) bir-birinə bərabər olsun. Və ya elə illik faiz dərəcəsi tapmaq lazımdır ki, müsbət və mənfi olmaqla pul axını məbləğlərinin cari dəyəri sıfra bərabər olsun. Zaman anlarına uyğun pul axını aşağıdakı kimi verilib:

Zaman anları Pul axını

0 8000 + 10000 = 18000 1 5000 – 5000 = 0 2 6000 – 5000 = 1000 3 6000 – 4000 = 2000 4 6000 – 4000 = 2000 5 - 22500 – 4000= - 26500

a) Aşağıdakı funksiyanın sıfır qiyməti üçün tapılmış i illik daxili

gəlirlilik dərəcəsini göstərir: 𝑓(𝑖) = 18000 + 0 ∙ 𝑣 + 1000 ∙ 𝑣2 + 2000 ∙ 𝑣3 + 2000 ∙ 𝑣4 −

−26500 ∙ 𝑣5, harada ki, 𝑣 = 1

1+𝑖 .

171

İndi isə i-yə elə iki qiymət seçək ki, birində funksiya müsbət, digərində isə mənfi qiymət alsın. 𝑓(0,03) = −309,28, 𝑓(0,04) = 631,09

𝑖 ≈ 𝑖1 − 𝑓(𝑖1) ∙𝑖2 − 𝑖1

𝑓(𝑖2) − 𝑓(𝑖1)= 0,4 − 𝑓(0,03) ∙

0,04 − 0,03

𝑓(0,04) − 𝑓(0,03)

⟹ 𝑖 = 3,32% b) 𝑣 = 1

1+𝑖=

1

1+5%= 0,95238

𝑁𝑃𝑉 = 18000 + 0 ∙ 𝑣 + 1000 ∙ 𝑣2 + 2000 ∙ 𝑣3 + 2000 ∙ 𝑣4 − −26500 ∙ 𝑣5 = 18000 + 0 + 1000 ∙ 0,952382 + 2000 ∙ 0,952383

+ 2000 ∙ 0,952384 − 26500 ∙ 0,952385 = 1516,67

1.9. Fondun faiz ölçüsü Real diskret investisiya prosesləri zamanı əksər hallarda fərqli illər üzrə fərqli faiz dərəcələri tətbiq olunur. Hər zamana uyğun olaraq effektiv faiz dərəcəsi i1, i2,... it olarsa, onda ümumi dövr üzrə effektiv faiz dərəcəsi aşağıdakı kimi olur:

𝑖 = (1 + 𝑖1) ∙ (1 + 𝑖2) ∙ … ∙ (1 + 𝑖𝑡) − 1

Göstərilən mürəkkəb faiz düsturu ilə hesablanan 𝑖 faiz

dərəcəsinə zaman çəkili faiz dərəcəsi deyilir. Burada 𝑖𝑘 (1 < 𝑘 < 𝑡 ) dövrün 𝑘 + 1 -ci zaman anına olan

yığılmış məbləğinin 𝑘 anına olan investisiya məbləğinə nisbətini göstərir. Başqa sözlə, k-cı zaman anına uyğun balans məbləğini Bk ilə, həmin zaman anında əlavə edilmiş investisiya və balansdan çıxarılan məbləğin cəmini Ck ilə işarə etsək alarıq:

𝑖𝑘 =𝐵𝑘+1𝐵𝑘 + 𝐶𝑘

172

Məsələ 1.23. Fondun investisiya fəaliyyəti üzrə göstəriciləri aşağıdakı kimi olmuşdur:

Tarix Balans İnvestisiya 01.01.2013 5 000 1 600 01.04.2013 7 000 2 500 01.07.2013 10 000 - 3 000 01.10.2013 8 000 3 000 01.01.2014 10 500

Fondun 2013-cü il ərzində investisiya fəaliyyəti üzrə zaman çəkili faiz dərəcəsini hesablayın.

Həlli:

𝑖 =7000

5000 + 1600∙

10000

7000 + 2500∙

8000

10000 − 3000∙

10500

8000 + 3000− 1

⟹ 𝑖 = 21,79% Bu məsələni investisiya edilmiş məbləğlərdən istifadə edərək

aşağıdakı kimi də həll etmək olar:

Şəkildə göründüyü kimi şirkətin il ərzində etdiyi investisiyalar

üzrə ilin sonunda 10 500 AZN balans məbləği olub. Bütün investisiyaların ilin sonuna dəyərini tapaq:

6600 ∙ (1 + 𝑖) + 2500 ∙ (1 + 𝑖)34 − 3000 ∙ (1 + 𝑖)

24 + 3000

∙ (1 + 𝑖)14 = 10500

173

Yuxarıdakı bərabərliyin dəqiq həlli qeyri-mümkün olduğundan, təqribi həll edilir. Əvvəlki mövzuda da deyildiyi kimi zaman uzunluğu bir il olarsa, sadə faiz dərəcəsi ilə mürəkkəb faiz dərəcəsinin gəlirliyi bir-birinə çox yaxın olur. Bu səbəbdən də məsələ sadə faiz üzrə həll edilir. Məsələnin sadə faiz yolu ilə tapılmış faiz dərəcəsinə məbləğ çəkili faiz dərəcəsi deyilir.

6600 ∙ (1 + 𝑖) + 2500 ∙ (1 +3

4𝑖) − 3000 ∙ (1 +

2

4𝑖) + 3000 ×

× (1 +1

4𝑖) = 10500 ⟹

⟹ 𝑖 =10500 − 6600 − 2500 + 3000 − 3000

6600 + 2500 ∙34 − 3000 ∙

24+ 3000 ∙

14

= 18,12% .

Sadə faiz üzrə bütün pul axınını (müsbət və mənfi) ilin

mərkəzində toplayaraq hesablanmış faiz dərəcəsinə müntəzəm tipli faiz dərəcəsi deyilir. Məsələ 1.22-nin verilənləri üzrə müntəzəm tipli faiz dərəcəsi aşağıdakı kimi hesablanır:

5000 ∙ (1 + 𝑖) + 4100 ∙ (1 +1

2𝑖) = 10500 ⟹ 𝑖 = 19,86% .

174

Tapşırıqlar: 1.1. Firma 12 000 AZN məbləğində investisiya edir. İnves-tisiya

üzrə bir ildən sonra yığım məbləği 12 780 AZN olmuşdur: a. İnvestisiya üzrə investisiya gəlirini hesablayın. b. İl üzrə investisiya faiz dərəcəsini hesablayın.

1.2. Məbləğ funksiyası 𝐴(𝑡) = 𝐴(0) ∙ (1 + 𝑖 ∙ 𝑡) sadə faiz düsturu ilə dəyişərsə, neçə ildən sonra 7,8% illik faiz dərəcəsi ilə 500 AZN

investisiya vəsaiti 630 AZN olar?

1.3. Məbləğ funksiyası 𝐴(𝑡) = 𝐴(0) ∙ (1 + 𝑖)𝑡 mürəkkəb faiz düsturu ilə dəyişərsə, firma nə qədər investisiya etməlidir ki, 15% illik faiz dərəcəsi ilə 5 ilin sonunda 10 000 AZN vəsait toplansın?

1.4. Firma keçmiş təcrübəsinə əsasən müəyyən edib ki, müəyyən investisiya üzrə yığım funksiyası 𝑎(𝑡) = 1 + 0,02√𝑡 kimidir. Əgər firma t = 0 anında 4 il müddətinə 100 AZN investisiya edərsə, 4-cü ildə investisiya gəlirini hesablayın.

1.5. Firmanın investisiya üzrə yığım funksiyası 𝑎(𝑡) = 𝑎𝑡2 + 4𝑏 şəklindədir. Firmanın 0-cı anda 4000 AZN vəsaiti 4-ci anda 5000 AZN olarsa, 10-cu zaman anında nə qədər olacaq?

1.6. Firmanın investisiya üzrə yığım funksiyası 𝑎(𝑡) = 0,1𝑡2 + 1 şəklindədir. Firma 0-cı anda 1000 AZN, 6-cı zaman anında əlavə olaraq X AZN investisiya edir. 8-ci zaman anına firmanın hesabında 18000 AZN toplanarsa, X-i hesablayın.

1.7. Məbləğ funksiyası 𝐴(𝑡) = 100 + 5 ∙ 𝑡 sadə faiz düsturu ilə dəyişərsə, 5-ci il üzrə effektiv faiz dərəcəsini hesablayın.

1.8. 𝐴(0) = 1500 və 𝐴(15) = 2700 olarsa, i sadə faiz dərəcəsini hesablayın.

1.9. 𝑖5 = 0,1 və A(4) = 146.41 olarsa, A(5)-i tapın. 1.10. Cari tarixdə edilmiş müəyyən məbləğdə vəsait 5,75% illik

sadə faiz dərəcəsi ilə neçə ildən sonra 2 dəfə artar? 1.11. Hazırki zaman anında investisiya üçün 2 hesab – Fond A və

Fond B açılır. Hər iki hesab üçün illik dərəcəsi r olan sadə faiz hesablanır. A Fonduna hazırki andan 3,25 il sonra 10 000 AZN

175

məbləğində yatırım edilir. B fonduna isə 3 yatırım edilir: I yatırım hazırki andan 1 il sonra 3500 AZN məbləğində edilir. II yatırım 3,5 il sonra 1000 AZN məbləğində edilir. III yatırım 4 il sonra 5000 AZN məbləğində edilir. 4 illik müddətin sonunda (B-ə 3-cü yatırımdan dərhal sonra) hər iki hesabda eyni məbləğ yığılarsa r-i hesablayın.

1.12. Bir şəxs 1 yanvar 1996-cı il tarixdə illik sadə faiz dərəcəsi 15% olmaqla 1000 AZN borc götürür. Bank qaydasından istifadə etməklə 17 yanvar 1996-cı il tarixində yığılmış borcun məbləğini hesablayın.

1.13. Firma 3 mart tarixində 2500 AZN depozit yerləşdirir və eyni ilin 3 oktyabr tarixində pulunu depozitdən çıxarır. İllik faiz dərəcəsi 5% olmaqla sadə faiz dərəcəsi ilə hesablanır. Əgər faiz dərəcəsi aşağıdakı kimi hesablanırsa, faiz gəlirini hesablayın:

a) Dəqiq sadə faiz (il 365 gün isə) b) Adi sadə faiz

c) Bank qaydaları 1.14. İnvestisiya üzrə faiz dərəcəsi 5% olmaqla illik mürəkkəb faiz

dərəcəsidir. Firmanın 1000 AZN investisiya vəsaiti neçə ildən sonra 2000 AZN olar?

1.15. Firma 2 ayrı hesaba depozit yerləşdirir. I hesaba 100 AZN, II hesaba isə 50 AZN yerləşdirir. Hər iki hesab eyni illik effektiv faiz dərəcəsi qazandırır. I hesabda 11-ci il ərzindəki faiz gəliri X olmaqla II hesabdakı 17-ci ildəki faiz gəlirinə bərabərdir. X-i hesablayın.

1.16. Firma 11% illik sadə faizlə artan bir investisiya istiqamətinə indi 10 000 AZN, 5 il sonra isə 30 000 AZN yatırım edir. 9,15% illik effektiv faizlə artan digər istiqamətə isə n il sonra 10 000 AZN, 2n il sonra isə 30 000 AZN yatırım edir. 10 ildən sonra hər iki istiqamətdə eyni qədər vəsait toplanarsa, n-i hesablayın.

1.17. Fonda ilkin olaraq 1 000 000 AZN depozit qoyulmuşdur. IV ilin sonunda fonddan 2 400 000 AZN götürülmüş, nəticədə VIII ilin sonunda fondda 1 440 000 AZN vəsait qalmışdır. 8 il ərzində fonda əlavə məbləğ qoyulmamış və götürülməmişdirsə, (1+i)4-i hesablayın.

176

1.18. Firmanın 4 il əvvəl satın aldığı əmlakın bu günkü dəyəri 93500 AZN-dir. Əmlakın dəyəri hər ilə 8% artıbsa, əmlakın satın alınma dəyəri nə qədər olub?

1.19. Firmanın K məbləğdə vəsaitinin eyni faiz dərəcəsi ilə aşağıdakı iki istiqamətdə investisiyası üzrə gəlirləri göstərilmişdir:

a) 121 AZN dərhal, 121 AZN bir ildən sonra. b) 144 AZN iki ildən sonra, 144 AZN üç ildən sonra.

K-nı hesablayın. 1.20. Əgər illik diskont faiz dərəcəsi 8% olarsa, 10 ildən sonrakı

1000 AZN olan öhdəliyin bu günə olan dəyərini hesablayın. 1.21. Bir fonda 10 il müddətinə 6% illik effektiv faiz dərəcəsi ilə X

məbləğində depozit yerləşdirilir. Eyni zamanda 10 il müddətinə d illik diskont dərəcəsi ilə başqa bir fonda X/2 məbləğində vəsait yerləşdirilir. 10 il ərzində faiz gəlirləri bərabər olarsa, d-ni hesablayın.

1.22. Əgər i(6)=15% isə yarım illik hesablanan illik nominal faiz dərəcəsini hesablayın.

1.23. Elə n tapın ki, 1 + i(n) = (1 + i(3) / 3) (1 + i(6) / 6) ödənilsin. 1.24. Firma A hesabına 1000 AZN, B hesabına 750 AZN depozit

qoyur. A hesabı üzrə gəlir 5% illik effektiv faiz dərəcəsi, B hesabı üzrə isə i(4) ilədir. 10 il sonra hər iki hesab üzrə eyni qədər məbləğ toplanarsa, i(4)-ü tapın.

1.25. Gəlirlilik dərəcəsi rüblük hesablanan illik diskont faiz dərəcəsi 5% olarsa, 10 il sonra 1000 AZN öhdəliyin bu günə dəyərini hesablayın.

1.26. Bank ildə 12 dəfə hesablanan illik 10% ilə ipoteka krediti təklif edir. d(6) və i(4) fərqini hesablayın.

1.27. X fondunun illik nominal faiz dərəcəsi 9% olmaqla rüblük hesablanır. Y fondunun illik nominal faiz dərəcəsi 9% olmaqla yarım-illik hesablanır. Bu fondların intensiv faiz dərəcələrinin fərqini tapın.

1.28. 01.01.2002 tarixində fonda 1000 AZN məbləğində depozit qoyuldu. Fonddan pul götürülməsi olmayıb. 2002-2003-cü illər ərzində illik nominal faiz dərəcəsi 8% aylıq hesablanır. 2004-2007

177

illər ərzində illik nominal diskont dərəcəsi 5% olub rüblük hesablanır. 2008-2012 illər ərzində isə illik intensiv faiz dərəcəsi 3% olmuşdur. 01.01.2013-cü il tarixində fondda toplanan depozitin yekun miqdarını tapın.

1.29. Banka 10 il müddətinə 5000 AZN depozit qoyulur. Sonra əlavə heç bir depozit qoyulmur. İlk üç ili rüblük hesablanan illik faiz dərəcəsi 5%, sonrakı 2 il üçün aylıq hesablanan illik diskont dərəcəsi 6%, qalan 5 il üçün intensiv faiz dərəcəsi 4%-dir. 10-cu ilin sonunda toplanmış balansı hesablayın.

1.30. A firması müəyyən məbləğdə vəsaiti yarım illik hesablanan 4% illik faiz dərəcəsi ilə investisiya edir. Eyni zaman anında B firması eyni məbləğdə vəsaiti 𝛿 intensiv faiz dərəcəsi ilə başqa istiqamətdə investisiya edir. 7,25 ildən sonra hər iki istiqamətdə eyni qədər vəsait toplanarsa, 𝛿 -nı hesablayın.

1.31. A firması 1000 AZN məbləğdə vəsaiti aşağıdakı intensiv faiz dərəcəsi ilə investisiya edir:

𝛿𝑡 =1

15 − 𝑡, 0 ≤ 𝑡 < 15

B firması 1000 AZN vəsaiti ilk 3 ili yarım illik hesablanan 8% illik faiz dərəcəsi ilə, növbəti dövrdə isə i illik effektiv faiz dərəcəsi ilə investisiya edir. 4 illik dövrün sonunda hər iki hesabda eyni məbləğ toplanarsa, i illik effektiv faiz dərəcəsini hesablayın.

1.32. Hesablayın:

imil

0

.

1.33. Firmanın son 4 il ərzində hər il üzrə gəlirlilik dərəcəsi aşağıdakı kimi olmuşdur:

a) I il – 𝑑 = 6% b) II il – 𝑖 = 5% c) III il – 𝑖(2) = 5% d) IV il – 𝛿 = 5%

4 il üzrə effektiv faiz dərəcəsini hesablayın.

178

1.34. Cari tarixə 100 AZN, bir il sonraya 200 AZN, 2 il sonraya 100 AZN olan öhdəliklərin bu günə dəyəri 364,46 AZN olarsa, illik effektiv faiz dərəcəsini hesablayın.

1.35. Firma cari tarixə 2000 AZN olan borcunu qarşılamaq üçün bankla razılaşır ki, 1 ildən sonra 1100 AZN, 2 il sonra isə 1200 AZN ödəsin. Bankın illik effektiv faiz dərəcəsini hesablayın.

1.36. İnvestisiya üzrə aşağıdakı pul axını verilmişdir: İl Daxil olub Ödənilib 0 100000 0 1 5000 0 2 4000 10000 3 2000 10000 4 0 20000 5 0 40000 6 0 60000 7 0 80000

a) İllik effektiv faiz dərəcəsi 15% isə xalis cari dəyəri hesablayın. b) Daxili gəlirlilik faizini hesablayın.

1.37. Aşağıdakı məlumatlar verilmişdir. Tarix Məbləğ Fondun bazar dəyəri 01.01.2013 120 000 AZN 01.04.2013 140 000 AZN 01.07.2013 110 000 AZN 01.10.2013 140 000 AZN 01.01.2014 170 000 AZN Fonda qoyuldu 03.03.2013 25 000 AZN 30.06.2013 20 000 AZN 30.09.2013 25 000 AZN 31.12.2013 35 000 AZN Fonddan götürüldü 30.06.2013 50 000 AZN 31.12.2013 25 000 AZN

179

Verilənlərə əsasən 2013-ci il üzrə illik gəlirlilik faiz dərəcəsini hesablayın.

1.38. Aşağıda fonddakı aktivlərin dəyəri verilmişdir: Tarix Məbləğ 01.01.2010 1000 AZN 01.04.2010 1500 AZN 01.10.2010 1300 AZN 31.12.2010 1400 AZN

400 AZN vəsait 31.03.2010-cu il tarixində fonda qoyulub, 300 AZN vəsait 30.06.2010-cu il tarixində fonddan götürülübsə, zaman çəkili gəlirlilik dərəcəsi hansı aralığa düşür?

1.39. 01.01.2013 tarixində fonddakı məbləğ 210000 AZN idi, 01.04.2013 tarixində fonddan 70000 AZN ödəniş edildi və sonrakı ana fondda 160000 AZN qaldı. 01.01.2014 tarixində fonddakı məbləğ 175000 AZN olarsa, aşağıdakıları hesablayın:

a) verilənlərə əsasən 2013-cü il üzrə illik gəlirlilik faizi (zaman çəkili faiz dərəcəsi).

b) verilənlərə əsasən 2013-cü il üzrə sadə faiz kimi illik gəlirlilik faizi (məbləğ çəkili faiz dərəcəsi).

c) verilənlərə əsasən 2013-cü il üzrə sadə müntəzəm paylanma kimi illik gəlirlilik faizi.

1.40. Verilir: Fondda əvvəlki depozit: 60 000 AZN 3-cü ilin sonunda fonddan götürüldü: 90 000 AZN 6-cı ilin sonunda fonddakı məbləğ: 22 000 AZN

Başqa depozit qoyuluşu və fonddan götürmə olmamışdırsa, 6 illik gəlirlilik faiz dərəcəsini hesablayın.

1.41. Firma aşağıda verilmiş gələcək öhdəliklərini qarşılamaq üçün cari tarixdə 1000 AZN investisiya edir: (1) 500 AZN 4-cü ayın sonunda, (2) 200 AZN 14-cü ayın sonunda, (3) X AZN 18-ci ayın sonunda.

180

X-i hesablayın. 1.42. Firma 1 yanvar tarixində 100 000 AZN investisiya edir. 1 may

tarixində investisiya məbləği artaraq 112 000 AZN olur və firma daha 30 000 AZN investisiya edir. 1 noyabr tarixində investisiya məbləği azalaraq 125 000 AZN olur və firma 42 000 AZN hesabdan götürür. 31 dekabr tarixində hesabdakı məbləğ 100 000 AZN olur. Aşağıdakıları hesablayın:

a) verilənlərə əsasən illik gəlirlilik faizi (zaman çəkili faiz dərəcəsi). b) verilənlərə əsasən sadə faiz kimi illik gəlirlilik faizi (məbləğ

çəkili faiz dərəcəsi). 1.43. Firma 1 yanvar tarixində 100 000 AZN investisiya edir. 11 ay

sonra firma daha 50 000 AZN hesabdan götürür, bundan sonra hesabda 57 000 AZN vəsait qalır. 31 dekabr tarixində hesabdakı məbləğ 60 000 AZN olur. Zaman çəkili faiz dərəcəsi ilə məbləğ çəkili faiz dərəcəsinin fərqini tapın.

1.44. Fondun bazar dəyəri aşağıdakı kimidir: Tarix Bazar dəyəri Daxil olmalar Fonddan ödənilənlər 01.01.2008 100 000 01.04.2008 105 000 02.04.2008 20 000 30.06.2008 30 000 01.07.2008 120 000 30.09.2008 15 000 01.10.2008 110 000 01.01.2009 115 000

a) verilənlərə əsasən 2008-ci il üzrə illik gəlirlilik faizini (zaman çəkili faiz dərəcəsini);

b) verilənlərə əsasən 2008-ci il üzrə sadə faiz kimi illik gəlirlilik faizini (məbləğ çəkili faiz dərəcəsini);

c) verilənlərə əsasən 2008-ci il üzrə sadə müntəzəm paylanma kimi illik gəlirlilik faizini tapın.

1.45. 2 müxtəlif investisiya istiqaməti üzrə aşağıdakılar verilmişdir:

181

A firmasının fəaliyyəti üzrə tarix balans əlavə edildi götürüldü 1 yanvar 100 1 iyul 125 X 1 oktyabr 110 2X 31 dekabr 125

B firmasının fəaliyyəti üzrə tarix balans əlavə edildi götürüldü 1 yanvar 100 1 iyul 125 X 31 dekabr 105,8

İl üzrə A firmasının məbləğ çəkili faiz dərəcəsi B firmasının zaman çəkili faiz dərəcəsinə bərabər olmuşdursa və i- yə bərabərdirsə, i -ni hesablayın.

182

2. Annuitetlər nəzəriyyəsinin əsasları

Bərabər zaman intervalları üzrə həyata keçirilən ödənişlər ardıcıllığına annuitet deyilir. Misal üçün kirayə haqqı, kredit ödənişləri, istiqraz üzrə ödənişlər və s.

2.1. Dövrün sonunda ödənilən sabit ödənişli annuitetlərin cari

və gələcək dəyəri Dövrün sonunda ödənilən annuitet (postnumerando) deyildikdə ilk ödənişin həmin dövrün sonuna ödənilməsi nəzərdə tutulan annuitet başa düşülür.

Əgər dövr üzrə effektiv faiz dərəcəsini i götürsək, onda vahid ödənişlərin cari dəyəri 𝑎𝑛 ilə işarə edilir və aşağıdakı kimi hesablanır:

𝑎𝑛 = 𝑣 + 𝑣2 + 𝑣3 +⋯+ 𝑣𝑛

Başqa formada, əgər həndəsi silsilənin cəmi düsturundan istifadə etsək, vahid ödənişlərin cari dəyərini aşağıdakı kimi hesablaya bilərik:

𝑎𝑛 = 𝑣 ∙𝑣𝑛 − 1

𝑣 − 1=1 − 𝑣𝑛

𝑖=1 − (1 + 𝑖)−𝑛

𝑖

183

Məsələ 2.1. İllik effektiv faiz dərəcəsi 8%, illik dövrlərin sayı 10 il olarsa,

1000 AZN illik ödənişlərin cari dəyərini hesablayın. Həlli:

1000 ∙ 𝑎𝑛 = 1000 ∙1 − 𝑣𝑛

𝑖= 1000 ∙

1 − (1 + 8%)−10

8%= 6710

Vahid ödənişlərin gələcək dəyəri aşağıdakı kimi olar: 𝑠𝑛 = (1 + 𝑖)

𝑛−1 + (1 + 𝑖)𝑛−2 + (1 + 𝑖)𝑛−3 +⋯+ (1 + 𝑖) + 1.

Başqa formada, əgər həndəsi silsilənin cəmi düsturundan istifadə etsək, vahid ödənişlərin gələcək dəyərini aşağıdakı kimi hesablaya bilərik:

𝑠𝑛 = 1 ∙(1 + 𝑖)𝑛 − 1

1 + 𝑖 − 1=(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 .

Məsələ 2.2. Məsələ 2.1 üzrə ödənişlərin gələcək dəyərini hesablayın.

Həlli:

1000 ∙ 𝑠𝑛 = 1000 ∙(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖= 1000 ∙

(1 + 8%)10 − 1

8%= 14487 .

Məsələ 2.3.

Vahid ödənişlərin cari dəyəri ilə gələcək dəyəri arasındakı asılılığı ifadə edin.

184

Həlli:

𝑠𝑛 =(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖= (1 + 𝑖)𝑛 ∙

1 − (1 + 𝑖)−𝑛

𝑖= (1 + 𝑖)𝑛 ∙ 𝑎𝑛

Məsələ 2.4(*). Bankın kredit faiz dərəcəsi 8% olmaqla illik hesablanır. 5 il

müddətinə 5000 AZN kredit üzrə aylıq kredit ödənişini hesablayın.

Həlli: İlk öncə aylıq effektiv faiz dərəcəsini hesablayaq:

1 + 𝑖 = (1 +𝑖12

12)

12

⟹ 𝑗 =𝑖12

12= (1 + 8%)

112 − 1 = 0,6434% .

Aylıq kredit ödənişinin məbləğini P ilə işarə edək, həmçinin 5 il üzrə ayların sayı 60 olar.

5000 = 𝑃 ∙1 − (1 + 𝑗)−60

𝑗⟹

𝑃 =5000 ∙ 0,6434%

1 − (1 + 0,6434%)−60= 101 .

2.2. Dövrün əvvəlində ödənilən sabit ödənişli annuitetlərin cari və gələcək dəyəri Dövrün əvvəlində ödənilən annuitet (prenumerando) deyildikdə ilk ödənişin cari tarixdə ödənilməsi nəzərdə tutulan annuitet başa düşülür.

185

Əgər dövr üzrə effektiv faiz dərəcəsini i götürsək, onda vahid ödənişlərin cari dəyəri �̈�𝑛 ilə işarə edilir və aşağıdakı kimi hesablanır:

�̈�𝑛 = 1 + 𝑣 + 𝑣2 + 𝑣3 +⋯+ 𝑣𝑛−1

Başqa formada, əgər həndəsi silsilənin cəmi düsturundan istifadə etsək, vahid ödənişlərin cari dəyərini aşağıdakı kimi hesablaya bilərik:

�̈�𝑛 = 1 ∙𝑣𝑛 − 1

𝑣 − 1=1 − 𝑣𝑛

𝑑=1 − (1 + 𝑖)−𝑛

𝑑

Məsələ 2.5(*). Məsələ 2.1-i ödənişlər dövrün əvvəlinə olan

hal üçün həll edin. Həlli:

1000 ∙ 𝑎𝑛 = 1000 ∙1 − 𝑣𝑛

𝑑= 1000 ∙

1 − (1 + 8%)−10

8%1 + 8%

= 7246,89

Vahid ödənişlərin gələcək dəyəri aşağıdakı kimi təyin edilir:

�̈�𝑛 = (1 + 𝑖)𝑛 + (1 + 𝑖)𝑛−1 + (1 + 𝑖)𝑛−2 +⋯+ (1 + 𝑖) .

Başqa formada, həndəsi silsilənin cəmi düsturundan istifadə etməklə vahid ödənişlərin gələcək dəyəri aşağıdakı kimi hesablanar:

186

�̈�𝑛 = (1 + 𝑖) ∙(1 + 𝑖)𝑛 − 1

1 + 𝑖 − 1=(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑑.

Məsələ 2.6. Məsələ 2.5-in verilənləri üzrə ödənişlərin gələcək

dəyərini hesablayın. Həlli:

1000 ∙ �̈�𝑛 = 1000 ∙(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑑= 1000 ∙

(1 + 8%)10 − 1

8%1 + 8%

=

= 15645,49 Məsələ 2.7(*). Bankın kredit faiz dərəcəsi illik 8% olmaqla illik hesablanır,

5 il müddətinə 5000 AZN kredit məbləği üzrə dövrün əvvəlində olan aylıq kredit ödənişləri nə qədər olar?

Həlli: İlk öncə aylıq effektiv faiz dərəcəsini hesablayaq:

1 + 𝑖 = (1 +𝑖12

12)

12

⟹

𝑗 =𝑖12

12= (1 + 8%)

112 − 1 = 0,6434% .

Aylıq kredit ödənişinin məbləğini P ilə işarə edək, həmçinin 5 il üzrə ayların sayı 60 olar.

5000 = 𝑃 ∙1 − (1 + 𝑗)−60

𝑗1 + 𝑗

⟹ 𝑃 =5000 ∙

0,6434%1 + 0,6434

1 − (1 + 0,6434%)−60= 101

187

Məsələ 2.8. Aşağıdakı bərabərlikləri isbat edin:

a) �̈�𝑛 = (1 + 𝑖) ∙ 𝑎𝑛 b) �̈�𝑛 = (1 + 𝑖) ∙ 𝑠𝑛 c) �̈�𝑛 = 1 + 𝑎𝑛−1

Həlli: a) və b) üzrə aşağıdakı şəklə baxaq:

Məlumdur ki, ödənişi bir period irəli aparmaq üçün (1 + 𝑖) ifadəsinə vurmaq lazımdır. Şəkildən aydın olduğu kimi 𝑎𝑛 -i ifadə edən vahidlərin cari dəyəri də �̈�𝑛 -i ifadə edən vahidlərin cari dəyərindən bir period qədər irəlidədir, yəni onların cari dəyəri bir period qədər kiçikdir. Başqa sözlə, 𝑎𝑛 ifadəsi �̈�𝑛 ifadəsindən (1 + 𝑖) dəfə kiçikdir. Eyni mülahizəyə əsasən 𝑠𝑛 ifadəsi �̈�𝑛 ifadəsindən (1 + 𝑖) dəfə kiçikdir. İndi isə riyazi şəkildə isbatına baxaq:

𝑎) 𝑑 =𝑖

1 + 𝑖 və �̈�𝑛 =

1 − (1 + 𝑖)−𝑛

𝑑⟹ �̈�𝑛 = (1 + 𝑖) ∙

1 − (1 + 𝑖)−𝑛

𝑖= (1 + 𝑖) ∙ 𝑎𝑛

𝑏) �̈�𝑛 = (1 + 𝑖) ∙ 𝑎𝑛 ⟹ �̈�𝑛 ∙ (1 + 𝑖)

𝑛 = (1 + 𝑖) ∙ 𝑎𝑛 ∙ (1 + 𝑖)𝑛 ⟹

�̈�𝑛 = (1 + 𝑖) ∙ 𝑠𝑛

188

c) üzrə aşağıdakı şəklə baxın:

Şəkildən aydın olduğu kimi, �̈�𝑛 -nin qiyməti 𝑎𝑛−1 -dən vahid qədər çoxdur. Riyazi ifadə ilə isbatı:

�̈�𝑛 =1 − (1 + 𝑖)−𝑛

𝑑=1 + 𝑖

𝑖∙ [1 − (1 + 𝑖)−𝑛]

1 − (1 + 𝑖)−𝑛+1 + 𝑖

𝑖= 1 + 𝑎𝑛−1 .

2.3. Təxirə salınmış annuitet

Mövzuya aid əvvəl baxdığımız məsələlərdə dövri ödənişlərin başlanğıc tarixi ya 0-cı, ya da 1-ci an olurdu. Lakin dövrü ödənişlərin başlanğıc tarixi istənilən zaman anı ola bilər.

Məsələ 2.9. Firma cari tarixdə etdiyi 50000 AZN investisiya üzrə 3 ildən sonra 5 il boyunca X məbləğində gəlir əldə edir. Qeyd edilmiş 8 il ərzində illik gəlirlilik dərəcəsi 8% olarsa, X-i hesablayın.

Həlli: Annuitetlər üzrə məsələləri həll edərkən məsələnin qrafiki

təsviri məsələni həll etmək üçün olduqca əhəmiyyətlidir:

189

Şəkildə də göründüyü kimi gələcək ödənişləri ilk olaraq annuitet vasitəsi ilə 3-cü zaman anına gətirmək, sonra isə 𝑣3 vuruğuna vurmaqla cari ana qiymətini hesablamaq olar. Yəni:

50000 = 𝑋 ∙ 𝑎5 ∙ 𝑣3 = 𝑋 ∙

1 − (1 + 8%)−5

8%∙ (1 + 8%)−3 ⟹

𝑋 = 15775,15 . 2.4. Sabit ödənişli sonsuz annuitet

Dövri ödənişlərin sayı sonsuz olan annuitetlər sonsuz

annuitetlərdir. Buna misal olaraq Nobel mükafatını (hesabda saxlanılmış müəyyən məbləğ qarşılığında hər il mükafatlar üzrə məbləğlər ödənilir), pensiya ödənişlərini və s. göstərmək olar.

İlk ödənişi dövrün sonuna olan sonsuz annuitet 𝑎∞ kimi işarə olunur və sonsuz azalan həndəsi silsilənin cəmi düsturundan istifadə etməklə aşağıdakı kimi hesablanır:

𝑎∞ = 𝑣 + 𝑣2 + 𝑣3 +⋯ =

𝑣

1 − 𝑣=

11 + 𝑖

1 −1

1 + 𝑖

=1

𝑖 .

Dövrün əvvəlinə sonsuz annuitet �̈�∞ kimi işarə olunur və aşağıdakı kimi hesablanır:

�̈�∞ = 1 + 𝑣 + 𝑣2 +⋯ =

1

1 − 𝑣=1

𝑑 .

190

Məsələ 2.10. Bankın pensiya planına əsasən cari tarixə qoyulan depozit üzrə dövrün əvvəlində ödənməklə 2 il ərzində hər il depozitin 10%-i, sonra isə hər il depozitin 5%-i məbləğində ödənişlər olunur. Bankın təklif etdiyi plan üzrə illik gəlirlilik faizini tapın.

Həlli:

Şəkildəki təsvirə uyğun olaraq ödənişlərin cari dəyərini depozit məbləğinə bərabərləşdirək. Bu zaman ilk iki ödənişi 0,05X ayırmaqla iki toplanan kimi baxaq.

𝑋 = (0,05𝑋 + 0,05𝑋 ∙1

1 + 𝑖) + 0,05𝑋 ∙

1

𝑑⟹ 𝑖 ≈ 5,3%

2.5. Sabit ödənişli annuitetlər üzrə müxtəlif tipli məsələlər

Bu bölmədə sabit ödənişli annuitetlər üzrə praktikada ən çox

rast gəlinən məsələlərə baxılacaq. Məsələ 2.11(*). 50000 AZN ipoteka krediti götürən şəxs üçün

aylıq hesablanan illik faiz dərəcəsi 8% olmaqla kredit 25 il müddətinə aylıq ödənilməlidir. Krediti götürən şəxs 3 ildən sonra dövri ödənişlərdən əlavə 3500 AZN borc məbləğindən ödəyir. Sonrakı dövr üzrə a) Aylıq ödənişlər sabit qalarsa, ipotekanın müddəti nə qədər azalar? b) İpotekanın müddəti sabit qalarsa, aylıq ödənişlər nə qədər azalar?

191

Həlli: İlkin olaraq ipoteka krediti üzrə aylıq ödənişlərin məbləği

tapılır. Aylıq hesablanan illik faiz dərəcəsi 8% olduğundan aylıq effektiv faiz dərəcəsi i=(8/12)%=0,6667% olacaqdır.

50000 = 𝑋 ∙ 𝑎300 = 𝑋 ∙1 − (1 + 0,6667%)−300

0,6667%⟹ 𝑋 = 385,91

Daha sonra isə ipoteka götürənin 3-cü ilin sonuna ipoteka

üzrə borc məbləği hesablanır. Bunu 2 üsulla hesablamaq olar: 1. borc alanın gələcək ödənişlərinin cari dəyəri kimi; 2. ipoteka kreditinin məbləğini 3-cü ilin sonuna gətirərək, həmin məbləğdən kredit ödənişlərinin 3-cü ilin sonuna gətirilmiş gözlənilən dəyərini çıxmaqla.

1-ci üsulla hesablamanı aparaq:

𝐵 = 385,91 ∙ 𝑎264 = 385,91 ∙1 − (1 + 0,6667%)−264

0,6667%

= 47868,85 2-ci üsulla hesablamanı aparaq:

𝐵 = 50000 ∙ (1 + i)36 − 385,91 ∙ 𝑠36 = 50000 ∗ (1 + 0,6667%)36

−385,91 ∙(1 + 0,6667%)36 − 1

0,6667%= 47868,85 .

3-cü ilin sonuna məsələyə belə baxmaq olar ki, 3500 AZN borc

məbləğindən ödənildikdən sonra ipoteka kreditinin məbləği 44368,85

AZN olar. (47868,85 − 3500 = 44368,85), a)

44368,85 = 385,91 ∙1 − (1 + 0,6667%)−𝑡

0,6667%⟹ 𝑡 = 218,9

192

İpotekanın müddətinin azalması aşağıdakı kimi hesablanar:

300 − (36 + 218,9) = 45,1 Məsələnin riyazi həlli üzrə yeni ödənişlərin sayı 218,9 oldu, lakin ödənişlərin sayı tam sayda olmalıdır. Bu məqsədlə sonuncu ödənişin tarixi 218-ci və ya 219-cu zaman anında ola bilər. 218-ci anda olarsa, 218-ci andakı sonuncu tam ödənişin üzərinə kiçik ödəniş də əlavə olunmaqla ödənilir ki, buna da şişirdilmiş (balloon) ödəniş, 219-cu anda ödənilərsə, bu ödənişə azaldılmış (drop) ödəniş deyilir. Verilən məsələ üzrə şişirdilmiş və azaldılmış ödəniş aşağıdakı kimi tapılır.

ş𝑖ş𝑖𝑟𝑑𝑖𝑙𝑚𝑖ş = 385,91 + 385,91 ∙1 − (1 + 0,6667%)−0,9

0,6667%

= 385,91 + 339,93 = 725,84

𝑎𝑧𝑎𝑙𝑑𝚤𝑙𝑚𝚤ş = 385,91 ∙(1 + 0,6667%)−0,9 − 1

0,6667%= 38,48

b) İpotekanın müddətinə 22 il və ya 264 ay kimi baxılır. Yeni

aylıq ödənişləri hesablayaq:

44368,85 = 𝑋 ∙ 𝑎264 = 𝑋 ∙1 − (1 + 0,6667%)−264

0,6667%⟹

𝑋 = 357,69 Aylıq ödənişlərin azalması 28,22 AZN olar. Məsələ 2.12.

Pensiya planı üzrə firmanın 5 ildən sonra 10 il müddətinə aylıq olaraq 300 AZN məbləğində öhdəliyi vardır. İllik inflyasiya dərəcəsi

193

3% olarsa, firmanın cari tarixə öhdəliklərinin cəmi məbləğini hesablayın.

Həlli:

İllik faiz dərəcəsi 𝑖 = 3% isə aylıq effektiv faiz dərəcəsini j ilə işarə edək və hesablayaq:

𝑗 =𝑖(12)

12= (1 + 𝑖)

112 = (1 + 3%)

112 = 0,247%

Ödənişləri aylıq effektiv faizlə 5-ci ilin sonuna, sonra isə (1 + 𝑖)−5 ifadəsi ilə illik effektiv faiz dərəcəsi üzrə cari tarixə hesablayaq:

𝑃𝑉 = 300 ∙ 𝑎120:𝑗 ∙ (1 + 𝑖)−5 = 300 ∙

1 − (1 + 0,247%)−120

0,247%∙

∙ (1 + 3%)−5 = 26846,16

2.6. Kəsilməz annuitet ödənişləri

Bu bölmədə annuitet ödənişlərinin kəsilməz olaraq ödənilməsi halı üçün ödənişlərin müəyyən bir zaman anına dəyərinin hesablanmasına baxılacaqdır. Bu hal praktikada, adətən, bir il ərzində olan ödənişlərin daha çox olması halında istifadə edilir. Misal üçün gündəlik, həftəlik və s. Bu halda annuitetin cari dəyəri 𝑎𝑛, gələcək dəyəri isə 𝑠𝑛 ilə işarə edilir və uyğun olaraq aşağıdakı kimi hesablanır:

𝑎𝑛 = ∫ 𝑣𝑡𝑑𝑡 =𝑣𝑡

ln 𝑣|0𝑛

𝑛

0

=𝑣𝑛 − 1

ln 𝑣=

𝑣𝑛 − 1

− ln(1 + 𝑖)=1 − 𝑣𝑛

𝛿=

=1 − 𝑒−𝛿∙𝑛

𝛿 ,

194

𝑠𝑛 =1 − 𝑣𝑛

𝛿∙ (1 + 𝑖)𝑛 =

(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝛿=𝑒𝛿∙𝑛 − 1

𝛿 .

Məsələ 2.13.

10000 AZN məbləğində kredit üzrə kredit ödənişləri 5 il müddətinə həftəlik ödənilir (bir ildə 52 həftə olduğu nəzərə alınır). İllik intensiv faiz dərəcəsi 8% olarsa, həftəlik kredit ödənişlərinin məbləğini hesablayın.

Həlli: 10000 = 52 ∙ 𝑋 ∙ 𝑎5⟹

𝑋 =10000

52∙1

𝑎5= 192,3 ∙

𝛿

1 − 𝑣5= 192,3 ∙

8%

1 − 𝑒−5∙8%= 46,7

Məsələ 2.14.

Hər il müntəzəm olaraq 1000 AZN məbləğində olmaqla (yəni il ərzində ödənilən 1000 AZN kiçik hissələrlə ödənilir) 5 il müddətinə qoyulmuş depozit üzrə illik effektiv faiz dərəcəsi 8%-dir. 2 il 9 aydan (2,75 ildən) sonra müqaviləyə xitam verilərsə, qaytarılmalı olan ödənişin məbləğini hesablayın.

Həlli: 𝛿 = ln(1 + 8%) = 7,7%

𝑋 = 1000 ∙ 𝑠2,75 = 1000 ∙(1 + 8%)2,75 − 1

7,7%= 3061,12 .

2.7. Sabit artan annuitet ödənişləri

Bu bölmədə baxılan məsələlər annuitet ödənişləri üzrə sabit

ədədi silsilə üzrə artım olan hallardır. Ödənişləri dövrün sonunda həyata keçirilən annuitet halı üçün ilk ödənişin məbləğini P ilə, hər növbəti artımın məbləğini Q ilə işarə edək.

195

Belə annuitet ödənişlərinin cari dəyəri 𝑃𝑉 ilə işarə edilir və aşağıdakı kimi hesablanır:

𝑃𝑉 = 𝑃 ∙ 𝑣 + (𝑃 + 𝑄) ∙ 𝑣2 + (𝑃 + 2𝑄) ∙ 𝑣3 +⋯+ +(𝑃 + (𝑛 − 1)𝑄) ∙ 𝑣𝑛

𝑃𝑉 ifadəsinin qiymətini hesablamaq məqsədi ilə bərabərliyin hər iki tərəfini (1+i) ifadəsinə vuraq və əvvəlki bərabərlik ilə P və Q vuruğu olan toplananları ayırmaqla toplayaq:

(1 + 𝑖) ∙ 𝑃𝑉 = 𝑃 + (𝑃 + 𝑄)𝑣 + (𝑃 + 2𝑄)𝑣2 +⋯+ +(𝑃 + (𝑛 − 1)𝑄)𝑣𝑛−1

𝑖 ∙ 𝑃𝑉 = 𝑃(1 − 𝑣𝑛) + (𝑣 + 𝑣2 +⋯+ 𝑣𝑛)𝑄 − 𝑛𝑣𝑛𝑄

𝑃𝑉 = 𝑃 ∙ 𝑎𝑛 + 𝑄 ∙𝑎𝑛 − 𝑛 ∙ 𝑣

𝑛

𝑖

Annuitet ödənişlərinin gələcək dəyəri 𝐹𝑉 ilə işarə edilir və

aşağıdakı kimi hesablanır:

𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 ∙ (1 + 𝑖)𝑛 = 𝑃 ∙ 𝑠𝑛 + 𝑄 ∙𝑠𝑛 − 𝑛

𝑖

Xüsusi hal üçün 𝑃 = 𝑄 = 1 olarsa, onda annuitet

ödənişlərinin cari dəyəri (𝐼𝑎)𝑛 ilə, gələcək dəyər isə (𝐼𝑠)𝑛 ilə işarə edilir və uyğun olaraq aşağıdakı kimi hesablanır:

196

(𝐼𝑎)𝑛 = 𝑎𝑛 +𝑎𝑛 − 𝑛 ∙ 𝑣

𝑛

𝑖=�̈�𝑛 − 𝑛 ∙ 𝑣

𝑛

𝑖

(𝐼𝑠)𝑛 = 𝑠𝑛 +𝑠𝑛 − 𝑛

𝑖=�̈�𝑛 − 𝑛

𝑖

Məsələ 2.15.

İnvestisiya proqramı üzrə investisiya gəlirlərinin növbəti 4 il üzrə 10000 AZN, sonrakı 10 il üzrə isə hər il əvvəlki ildən 1000 AZN daha artıq olması nəzərdə tutulmuşdur. İnvestisiya üzrə illik effektiv faiz dərəcəsi 15% olarsa, investisiya gəlirlərinin cari dəyərini hesablayın.

Həlli: Ödənişlər seriyasını aşağıdakı kimi təsvir etmək olar:

Şəkildə təsvir edilmiş ödənişlər seriyası üzrə cari dəyəri hesablayaq:

𝑃𝑉 = 10000 ∙ 𝑎14 + 1000 ∙ (𝐼𝑎)10 ∙ 𝑣4 =

= 10000 ∙ 𝑎14 + 1000 ∙ (𝑎10 +𝑎10 − 10 ∙ 𝑣

10

𝑖) ∙ 𝑣4 = 69822,32 .

197

Xüsusi hal üçün 𝑃 = 𝑛, 𝑄 = −1 olarsa, onda annuitet ödənişlərinin cari dəyəri (𝐷𝑎)𝑛, gələcək dəyər isə (𝐷𝑠)𝑛 işarə edilir və uyğun olaraq aşağıdakı kimi hesablanır:

(𝐷𝑎)𝑛 = (𝑛 + 1) ∙ 𝑎𝑛 − (𝐼𝑎)𝑛 = (𝑛 + 1) ∙ 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛 +

+𝑎𝑛 − 𝑛 ∙ 𝑣

𝑛

𝑖=�̈�𝑛 − 𝑛 ∙ 𝑣

𝑛

𝑖=𝑛 − 𝑎𝑛𝑖

,

(𝐷𝑠)𝑛 = (1 + 𝑖) ∙ (𝐷𝑎)𝑛 =𝑛 − 𝑠𝑛𝑖

.

Məsələ 2.16.

İnvestisiya proqramı üzrə investisiya gəlirlərinin növbəti 5 il üzrə 10000 AZN, sonrakı 10 il üzrə isə hər il əvvəlki ildən 1000 AZN daha az olması nəzərdə tutulmuşdur. İnvestisiya üzrə illik effektiv faiz dərəcəsi 15% isə investisiya gəlirlərinin cari dəyərini hesablayın.

Həlli: Ödənişlər seriasının təsviri:

Şəkildə təsvir edilmiş ödənişlər seriyası üzrə cari dəyəri hesablayaq:

198

𝑃𝑉 = 10000 ∙ 𝑎4 + 1000 ∙ (𝐷𝑎)10 ∙ 𝑣4 =

= 10000 ∙ 𝑎4 + 1000 ∙ (10 − 𝑎10

𝑖) ∙ 𝑣4 = 47536,68 .

Dövri ödənişlərin sayı sonsuz olan artan annuitetlərin cari

dəyəri aşağıdakı kimi hesablanır: Ödənişlər dövrün sonunda olarsa,

𝑃𝑉 = lim𝑛→∞

[𝑃𝑎𝑛 + 𝑄𝑎𝑛 − 𝑛𝑣

𝑛

𝑖] =

= 𝑃 lim𝑛→∞

𝑎𝑛 + 𝑄 lim𝑛→∞

𝑎𝑛 − 𝑛𝑣𝑛

𝑖=

= 𝑃 lim𝑛→∞

𝑎𝑛 + 𝑄lim𝑛→∞

𝑎𝑛 − lim𝑛→∞

𝑛𝑣𝑛

𝑖= 𝑃 𝑎∞ +

𝑄𝑎∞𝑖=𝑃

𝑖+𝑄

𝑖2 .

Əgər xüsusi halda, P = Q = 1 olarsa, onda

(𝐼𝑎)∞ =1

𝑖+1

𝑖2 .

Məsələ 2.17. Bankın pensiya planına əsasən cari tarixə qoyulan depozit üzrə birinci il depozitin 10%-i, hər növbəti il üzrə isə əvvəlki ildəki məbləğin 0,1%-i qədər artıq məbləğdə ödənişlər olunur. Bankın təklif etdiyi plan üzrə illik gəlirlilik faizini tapın.

199

Həlli:

Şəkildəki təsvirə uyğun olaraq ödənişlərin cari dəyərini depozit məbləğinə bərabərləşdirək:

𝑋 =0,1𝑋

𝑖+0,01𝑋

𝑖2⟹ 𝑖 = 16,18%

Ödənişləri dövrün əvvəlində olan hal üçün məsələyə analoji

baxılacaqdır.

Belə annuitet ödənişlərinin cari dəyəri aşağıdakı kimi hesablanır:

𝑃𝑉 = 𝑃 + (𝑃 + 𝑄) ∙ 𝑣 + (𝑃 + 2𝑄) ∙ 𝑣2 +⋯+ +(𝑃 + (𝑛 − 1)𝑄) ∙ 𝑣𝑛−1 + (𝑃 + 𝑛𝑄) ∙ 𝑣𝑛.

Dövrün sonunda ödənilən artan annuitetdə olduğu kimi

analoji hesablamanı aparsaq alarıq ki,

200

𝑃𝑉 = 𝑃 ∙ �̈�𝑛 + 𝑄 ∙𝑎𝑛 − 𝑛 ∙ 𝑣

𝑛

𝑑 .

Annuitet ödənişlərinin gələcək dəyəri 𝐹𝑉 ilə işarə edilir və

aşağıdakı kimi hesablanır:

𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 ∙ (1 + 𝑖)𝑛 = 𝑃 ∙ �̈�𝑛 + 𝑄 ∙𝑠𝑛 − 𝑛

𝑑 .

Xüsusi hal üçün 𝑃 = 𝑄 = 1 olarsa, onda annuitet ödənişlərinin cari dəyəri (𝐼�̈�)𝑛, gələcək dəyər isə (𝐼�̈�)𝑛 işarə edilir və uyğun olaraq aşağıdakı kimi hesablanır:

(𝐼�̈�)𝑛 =�̈�𝑛 − 𝑛 ∙ 𝑣

𝑛

𝑑; (𝐼𝑠)𝑛 =

�̈�𝑛 − 𝑛

𝑑 .

Məsələ 2.15-i dövrün əvvəlinə olan artan annuitet üzrə cari dəyərin hesablanması düsturundan istifadə edərək həll edək.

Ödənişlər seriyasını aşağıdakı kimi təsvir etmək olar:

201

Şəkildə təsvir edilmiş ödənişlər seriyası üzrə cari dəyəri hesablayaq:

𝑃𝑉 = 10000 ∙ 𝑎14 + 1000 ∗ (𝐼�̈�)10 ∙ 𝑣5 =

= 10000 ∙ 𝑎14 + 1000 ∙ (�̈�10 − 11 ∗ 𝑣

10

𝑑) ∙ 𝑣5 = 69822,32 .

Xüsusi hal üçün 𝑃 = 𝑛, 𝑄 = −1 olarsa, onda annuitet ödənişlərinin cari dəyəri (𝐷�̈�)𝑛, gələcək dəyər isə (𝐷�̈�)𝑛 işarə edilir və uyğun olaraq aşağıdakı kimi hesablanır:

(𝐷�̈�)𝑛 =𝑛 − 𝑎𝑛𝑑

,

(𝐷𝑠)𝑛 = (1 + 𝑖) ∙ (𝐷�̈�)𝑛 =𝑛 ∙ (1 + 𝑖)𝑛 − 𝑠𝑛

𝑖 .

Dövrü ödənişlərin sayı sonsuz olan artan annuitetlərin cari dəyəri aşağıdakı kimi hesablanır:

Ödənişlər dövrün sonunda olarsa:

Dövrün sonuna sonsuz artan annuitetin cari dəyəri aşağıdakı kimi hesablanır:

𝑃𝑉 =𝑃

𝑑+𝑄

𝑖 ∙ 𝑑 .

202

Əgər xüsusi halda P = Q = 1 olarsa, onda

(𝐼𝑎)∞ =1

𝑑2 .

2.8. Həndəsi silsilə ilə dəyişən annuitet ödənişləri

Həndəsi silsilə ilə dəyişən annuitet ödənişləri praktikada daha

çox inflyasiya üzrə hesablamalarda istifadə edilir. Məsələ 2.18. Bir şəxs firmadan 10000 AZN məbləği qarşılığında 10 il

müddətinə pensiya təminatı alır. Pensiya təminatı üzrə birinci ilin sonuna X məbləğində pensiya ödənişi, növbəti illər üzrə illik effektiv inflyasiya dərəcəsi 5% nəzərə alınmaqla pensiya ödənişlərinin verilməsi nəzərdə tutulmuşdur. Firmanın təklif etdiyi illik gəlirlilik dərəcəsi 8% olarsa, X-i hesablayın.

Həlli:

İllik real gəlirlilik dərəcəsini 𝑖 və illik inflyasiya dərəcəsini 𝑘 ilə işarə edək. Verilənləri aşağıdakı kimi təsvir edək:

Cari dəyər ümumi hal üzrə aşağıdakı kimi hesablanır: 𝑃𝑉 = 𝑋 ∙ 𝑣 + 𝑋 ∙ (1 + 𝑘) ∙ 𝑣2 + 𝑋 ∙ (1 + 𝑘)2 ∙ 𝑣3 +⋯

+ 𝑋 ∙ (1 + 𝑘)𝑛−1𝑣𝑛 =

203

= 𝑋 ∙1

1 + 𝑘∙ ((1 + 𝑘) ∙

1

1 + 𝑖+ (1 + 𝑘)2 ∙ (

1

1 + 𝑖)2

+ (1 + 𝑘)3 ∙ 𝑣3

+⋯+ (1 + 𝑘)𝑛 (1

1 + 𝑖)𝑛

)⟹

𝑗 =1 + 𝑖

1 + 𝑘− 1 𝑜𝑙𝑑𝑢𝑞𝑑𝑎, 𝑃𝑉 = 𝑋 ∙

1

1 + 𝑘∙ 𝑎𝑛|̅̅ ̅𝑗%

Məsələ üzrə tələb olunan X-i hesablayaq:

𝑗 =1 + 8%

1 + 5%− 1 = 2,86%,

𝑃𝑉 = 𝑋 ∙1

1 + 5%∙ 𝑎10|̅̅ ̅̅̅

2,86%⟹ 𝑋 =

5000 ∙ 1,05

𝑎10|̅̅ ̅̅̅2,86%

= 6109,82

Əgər 𝑘 < 𝑖 olarsa, sonsuz annuitet ödənişləri üçün ümumi

düstur aşağıdakı kimi olar:

𝑃𝑉 = 𝑋 ∙ lim𝑛→∞

1

1 + 𝑘∙ 𝑎𝑛|̅̅ ̅𝑗% = 𝑋 ∙ lim𝑛→∞

1

1 + 𝑘∙1 − (

1 + 𝑘1 + 𝑖 )

𝑛

(1 + 𝑖1 + 𝑘)

=

= 𝑋 ∙ lim𝑛→∞

1 − (1 + 𝑘1 + 𝑖)

𝑛

𝑖 − 𝑘=

𝑋

𝑖 − 𝑘⟹ 𝑷𝑽 =

𝑿

𝒊 − 𝒌 .

204

Tapşırıqlar: 2.1. Firma 8% yarım illik hesablanan effektiv faiz dərəcəsi üzrə 15

il müddətinə 30 000 AZN məbləğində investisiya edir. Firma hər yarım ildən bir hesabdan bərabər olaraq nə qədər çıxara bilər ki, 15 illik dövrün sonunda hesabındakı məbləğ dəyişməsin?

2.2. Əgər d = 5% isə a12 =? 2.3. an = 10, a3n = 24 olarsa, a4n =? 2.4. Əgər rüblük hesablanan illik faiz dərəcəsi 6% olarsa, 6 il

müddətinə rüblük 200 AZN məbləğində olan ödənişlərin cari dəyərini hesablayın.

2.5. A, B və C adlı şəxslərin hər biri bankdan 5000 AZN məbləğində 12% yarım illik hesablanan illik faiz dərəcəsi ilə 5 il müddətinə kredit götürür. A adlı şəxs krediti dövrün sonunda faiz məbləğləri ilə birgə tam qaytarır, B adlı şəxs yarım ildən bir faiz ödənişlərini ödəyir, dövrün sonunda əsas məbləği ödəyir, C adlı şəxs isə yarım ildən bir bərabər annuitet ödənişləri ilə krediti ödəyir. Dövr üzrə cəmi faiz ödənişlərinin məbləğini hesablayın.

2.6. Fond 15 il müddətinə aylıq hesablanan illik faiz dərəcəsi 6% olmaqla, aylıq olaraq hesabına 200 AZN depozit yerləşdirir. Fond maliyyə vəziyyəti ilə əlaqədar olaraq 6-cı il ərzində hesabına vəsait yerləşdirə bilməmiş, lakin 7-ci ildən aylıq ödənişlər bərpa edilmişdir. 15 ilin axırında fondun hesabında toplanan vəsaiti hesablayın.

2.7. 40 yaşlı şəxs 63 yaşından etibarən 12 il müddətinə təqaüd ödənişləri almaq üçün cari tarixdən təqaüd yaşınadək hər ilin əvvəlində 1000 AZN məbləğində haqq ödəyir. İllik effektiv faiz dərəcəsi 4% olarsa, aylıq bərabər ödənişli təqaüdün məbləğini hesablayın.

2.8. 30 000 AZN məbləğində olan kredit 5 il müddətinə verilmişdir. 1-ci -3-cü illər arası rüblük hesablan illik faiz dərəcəsi 4%, 4-cü və 5-ci illər rüblük hesablanan illik faiz dərəcəsi 6% olmuşdur. Ödəniş hər rübün sonunda bərabər miqdarda edilirsə, rüblük ödənişi hesablayın.

205

2.9. Banka 𝑖 faiz dərəcəsi ilə 3n il müddətinə 8000 AZN məbləğində qoyulmuş depozitin qarşılığı üzrə ilk n il ərzində 96 AZN məbləğində, növbəti 2n il ərzində 196 AZN məbləğində ödənişlər həyata keçirilmişdirsə, 𝑖 faiz dərəcəsini hesablayın.

2.10. 01.01.2013-cü il tarixində 6% aylıq hesablanan illik nominal faiz dərəcəsi ilə 5300 AZN məbləğində kredit üzrə aylıq 100 AZN məbləğində ödənişlər edilərsə, sonuncu ödəniş azaldılmış ödəniş olur.

a) Ödənişlərin sayını hesablayın. b) Sonuncu azaldılmış ödənişin məbləğini tapın.

2.11. 100000 AZN depozit məbləği üzrə 10 il müddətinə rüblük 4000 AZN investisiya gəliri əldə edilərsə, aylıq hesablanan illik nominal faiz dərəcəsini hesablayın.

2.12. Bir şəxs depozit hesabına hər 4 ildən bir 40 il müddətinə dövrün əvvəlində 100 AZN pul qoyur. Hesab üzrə illik effektiv faiz dərəcəsi 𝑖 faizdir. Hesabda 40 ilə toplanan X məbləği 20 ilə toplanan məbləğdən 5 dəfə artıq olarsa, X-i hesablayın.

2.13. 20 il ərzində 10000 AZN illik ödənişli prenumerando annuitet aylıq ödənişli sonsuz annuitetlə əvəz olunur. Yarımillik hesablanan illik faiz dərəcəsi 8% olarsa, sonsuz annuitetin aylıq ödənişini hesablayın.

2.14. Bir şəxs depozit hesabına 15 il ərzində hər ilin əvvəlində 500 AZN pul qoyur. Hesab üzrə illik intensiv faiz dərəcəsi 5% faiz olarsa, 15 ilin sonunda hesabda nə qədər məbləğ toplanar?

2.15. 10000 AZN depozit məbləği üzrə n il müddətinə illik 748 AZN investisiya gəliri əldə edilərsə, kəsilməz hesablanan illik faiz dərəcəsi 6% isə 𝑛 müddətini hesablayın.

2.16. Hesaba 1-ci il 5 AZN, 2-ci il 10 AZN, 3-cü il 15 AZN, ..., 20-ci il 100 AZN qoyulmuş məbləğlər üzrə illik 𝑖 faiz dərəcəsi hesablanarsa, 10 ildən sonra hesabda toplanan məbləği ifadə edin. 2.17. Müddətsiz annuitet haqqında aşağıdakılar verilmişdir:

Buraxılma tarixi: 01/01/1993,

206

İlk ödənişin tarixi: 31/12/1993, Ödənişlərin tezliyi: İllik, İlk ödənişin məbləği: 500 AZN,

Ödənişin məbləği hər il ilkin ödənişin məbləğinə nisbətdə 5% artır. İllik effektiv faiz dərəcəsi 8% olarsa, 01.01.1993-cü il tarixinə müddətsiz annuitetin cari dəyərini hesablayın. 2.18. Annuitet haqqında aşağıdakı məlumatlar verilmişdir:

Buraxılma tarixi: 01/01/1999, İlk ödənişin tarixi: 31/01/1999, Ödənişlərin tezliyi: Aylıq, İlk 5 il: 500 AZN aylıq, Növbəti 5 il: 650 AZN aylıq, Sonuncu əlavə ödəniş: 10 000 AZN – 01.01.2009-cu il tarixdə. Faiz dərəcəsi: 7% illik effektiv

01/01/99-ci il tarixinə annuitetin cari dəyərini hesablayın. 2.19. Firma 6% gəlirliliyi olan 20 il müddətinə etdiyi investisiya

üzrə 1-ci il 10000 AZN, hər növbəti il üzrə isə 2,5% artıq gəlir əldə edirsə, investisiya olunmuş məbləği hesablayın. 2.20. Bir şəxs illik ödənişləri 130 AZN olan sonsuz sabit ödənişli

annuitetə 3250 AZN ödəyir. Başqa bir şəxs isə eyni faiz dərəcəsi ilə eyni ilkin dəyər ilə 20 il müddətinə birinci ilin sonuna P məbləğində, hər növbəti illər isə 15 AZN artımla annuitet ödənişləri alır. P-ni hesablayın. 2.21. 10 il müddətinə annuitet ödənişləri 20 AZN, növbəti 19 il

ərzində isə hər il 1 AZN azalmışdır. İllik effektiv faiz dərəcəsi 6% olarsa, ödənişlərin cari dəyərini hesablayın. 2.22. Bir şəxs bankdan 5 il ərzində hər il X məbləğdə pul götürür,

qarşılığında isə 20 illik ödənişlər ödəyir. Onlardan birincisi 100 AZN və hər növbəti illik ödəniş əvvəlkindən 100 AZN çox olmaqla ödənilir. Əgər birinci ödəniş borcun son hissəsinin alınmasından bir il sonra ödənirsə və 𝑖 = 13,2% isə X-i tapın.

207

2.23. Müddətsiz annuitetin ilk ödənişinin tarixi 01.01.2001, illik effektiv faiz dərəcəsi 8%-dir. Ödəniş qrafiki aşağıdakı kimidir.

Tarix Məbləğ 01.01.2001 30 AZN 01.01.2002 45 AZN 01.01.2003 60 AZN 01.01.2004 75 AZN 01.01.2005 90 AZN 01.01.2006 və sonrakı illərdə 105 AZN

Müddətsiz annuitetin 01.01.2001 tarixinə ilkin dəyərini hesablayın. 2.24. İllik hesablanan faiz dərəcəsi 8%-dir. Sonsuz prenumerando

annuitet birinci il 100 AZN məbləğində olmaqla hər il 100 artır və 6-cı ildən sonrakı illər sabit qalır. Sonsuz annuitetin cari dəyərini hesablayın. 2.25. 01.01.2004-cü ildə olan 10000 AZN məbləğində kredit üzrə

yarım illik hesablanan illik faiz dərəcəsi 10% olarsa və kredit ödənişi 20 il müddətinə yarım ildən bir ödənilərsə, yarım ildən bir 2% məbləğində artan ödənişlərin ilkin məbləğini tapın.

2.26. 1000 AZN məbləğində 5 il müddətinə olan kredit üzrə I-III illər arası rüblük hesablanan illik faiz dərəcəsi 7%, IV-V illər arası rüblük hesablanan illik faiz dərəcəsi 9% olarsa, kredit üzrə rüblük bərabər ödənişləri hesablayın.

2.27. 01.01.2004-ci il tarixində 100000 AZN məbləğində artan aylıq ödənişli sonsuz annuitetli kredit alınıb. Kredit üzrə ilkin ödənişin məbləği 15AZN olmaqla 01.01.2004-ci il tarixində ödənib. Ödənişin məbləği hər ay 20 AZN məbləğində artır. İllik faiz dərəcəsi Х% (Х>0) olarsa, X-i hesablayın.

2.28. Firma 400 000 AZN məbləğində olan krediti 30 il müddətinə və ilk ödənişin məbləği 25 000 AZN olmaqla hər il 3% artım ilə ödəyirsə, bankın maksimal illik faiz dərəcəsini hesablayın.

208

3. Borcun qaytarılması üsulları (yığım fondu metodu və amortizasiya metodu)

Kredit üzrə borcların bir neçə üsulla qaytarılması metodları

vardır. Bu bölmədə yığım fondu və amortizasiya metodu ilə ödənilən borclardan bəhs ediləcəkdir.

3.1. Perspektiv və retroperspektiv metodlardan istifadə ilə

amortizasiya metodu üzrə borc balansının tapılması

Amortizasiya metodu ilə borc ödənilərkən borclunun dövrü ödənişləri üzrə borc azalır və qeyd edilmiş dövrün sonunda bitir. Alınmış borc amortizasiya (dəyərin azalması) metodu ilə geri qaytarılarkən istənilən zaman anı üçün borc və ya balans məbləği 2 üsuldan biri ilə hesablanır:

1. Perspektiv metod – istənilən zaman anı üçün borc məbləği borc üzrə gələcək ödənişlərin cari dəyəri kimi hesablanır.

2. Retroperspektiv metod – istənilən zaman anı üçün borc məbləği alınmış borc məbləğlərinin cari dəyərindən (xüsusi halda əsas məbləğdən) borc üzrə qaytarılan ödənişlərin cari dəyəri çıxılmaqla hesablanır.

Perspektiv metodla L borcun cari məbləği, P dövrü ödənişlərin məbləğini işarə etməklə dövrün sonunda olan sabit ödənişli annuitet üzrə balans məbləğini aşağıdakı kimi hesablamaq olar:

𝐵𝑡𝑝= 𝑃 ∙ 𝑎𝑛−𝑡

Retroperspektiv metodla isə

𝐵𝑡𝑝= 𝐿 ∙ (1 + 𝑖)𝑡 − 𝑃 ∙ 𝑠𝑡

kimi hesablanır. Asanlıqla isbat etmək olar ki, hər iki metodla hesablamanın nəticəsi eynidir.

209

Məsələ 3.1. Firmanın borc üzrə 25 dövr, hər dövrə 300 AZN öhdəliyi var.

Firma 10-cu ödəniş vaxtında əlavə olaraq 1000 AZN ödəyir, qalan borcu isə növbəti 10 dövrə bərabər R məbləğində olmaqla ödəyir. Əgər illik faiz dərəcəsi 8% olarsa, R-i hesablayın.

Həlli:

Balans üzrə borc məbləği perspektiv metodla asanlıqla hesablanır:

𝐵10𝑝= 300 ∙ 𝑎15 = 2567,84

və ya əgər retroperspektiv metodla hesablamaq tələb olunarsa, o zaman borc ödənişlərinin cari dəyəri ya verilməli, ya da verilənlərədən istifadə edərək tapılmalı idi, sonra isə məlum düsturla hesablanmalı idi.

10-cu zaman anına borc məbləğindən 1000 AZN ödənməsi və yeni razılaşmanın müddətinin 10 dövr olması səbəbi ilə yeni ödənişlər aşağıdakı kimi hesablanır:

1567,84 = 𝑅 ∙ 𝑎10 ⟹𝑅 =1567,84

𝑎10= 233,66 .

3.2. Amortizasiya cədvəli

Amortizasiya metodu ilə borc ödənilərkən borcun bir hissəsi

borc üzrə faiz məbləğinin ödənilməsinə, bir hissəsi isə əsas məbləğin ödənilməsinə sərf olunur. Cari bölmə üzrə sabit annuitetli dövrün sonunda olan ödənişlər üzrə borclara baxılacaqdır.

Amortizasiya cədvəlində hər bir ödənişin məbləğinin faizə sərf olunan və əsas məbləğə sərf olunan hissələri göstərilməklə ödənişdən sonrakı borc üzrə balans təsvir olunur. Əgər dövrü ödənişlərin məbləğini 1 götürsək, dövrün əvvəlinə borcun məbləği 𝑎𝑛

210

olar. I il üzrə vahid ödənişin 𝑖 ∙ 𝑎𝑛 = 1 − 𝑣𝑛 hissəsi faizə, 1 − 𝑖 ∙ 𝑎𝑛 = 1 − (1 − 𝑣

𝑛) = 𝑣𝑛 hissəsi əsas məbləğin ödənilməsinə sərf olunacaq. I ödənişdən sonra borcun məbləği 𝑎𝑛− 𝑣𝑛 = 𝑎𝑛−1 məbləğində olacaqdır. Eyni proses borcun son tarixinədək aşağıdakı kimi olacaqdır:

İstənilən k zaman anına uyğun olaraq ödənilmiş P dövrü ödəniş üzrə faiz məbləğ və əsas məbləğə sərf olanan hissəni, aşağıdakı kimi hesablamaq olar.

Məsələ 3.2. (*) Firmanın borc qarşılığında 25 dövr üzrə hər dövrə 300 AZN

öhdəliyi var. Əgər illik faiz dərəcəsi 8% olarsa, firma ilk 10 il ərzində faiz üzrə və əsas məbləğə cəmi nə qədər ödəniş etmiş olar?

211

Həlli: Məsələni 2 formada həll etmək olar:

I. 10-cu anın sonunadək faiz məbləği üzrə ödənişlər:

𝐼 = 300 ∙ (1 − 𝑣25 + 1 − 𝑣24 +⋯+ 1 − 𝑣16) = = 300 ∙ (10 − 𝑣15 ∙ 𝑎10) = 2365,41 .

10-cu anın sonunadək əsas məbləğ üzrə ödənişlər:

𝐵 = 300 ∙ (𝑣25 + 𝑣24 +⋯+ 𝑣16) = 300 ∙ 𝑣15 ∙ 𝑎10 = 634,59 . II. Alınmış borcun cari dəyəri:

𝑃𝑉 = 𝐵0𝑝= 300 ∙ 𝑎25 = 3202,43.

10-cu anın sonuna balans məbləği: 𝐵10

𝑝= 300 ∙ 𝑎15 = 2567,84

Borc alanın əsas məbləğ üzrə ödənişləri:

𝐵0𝑝− 𝐵10

𝑝= 3202,43 − 2567,84 = 634,59 .

Borc alan 10 dövr ərzində cəmi 10 ∙ 300 = 3000 AZN ödəniş edib. Əsas məbləğ üzrə 634,59 AZN ödədiyindən faiz məbləği üzrə də 3000 − 634,59 = 2365,41 AZN ödəmiş olar.

3.3. Yığım fondu metodu

Yığım fondu metodu ilə borc ödənilərkən borclu dövrü olan faiz ödəmələrini ödəməklə yanaşı başqa bir fondda o qədər pul toplayır ki, borc müqaviləsinin son tarixində borc məbləğini geri ödəyir.

212

Məsələ 3.3. Firma 4 il müddətinə illik faiz dərəcəsi 10% olmaqla 1000 AZN

məbləğində borc götürür. Firma borcu qaytarmaq məqsədi ilə başqa bir firmada illik 8% dərəcəsi olmaqla hər ilin sonunda bərabər məbləğdə pul yatırır. Yığım fondu cədvəlini qurun.

Həlli: Fonda qoyulan illik yatırım məbləği:

𝑅 =1000

𝑠4|8%= 221,92 .

Məsələ 3.4. Firma 10 il müddətinə illik faiz dərəcəsi 10% olmaqla 10000

AZN məbləğində borc götürür. Başqa bir fondda illik 14% dərəcəsi olmaqla hər ilin sonunda bərabər məbləğdə pul yatırır. Yatırım fonduna illik qoyulan pulun məbləği amortizasiya metodu ilə hesablanmış illik ödənişlə borc üzrə ödənilən illik bərabər faiz məbləğinin fərqinə bərabərdir. Dövrün sonunda borc ödənildikdən sonra yığım fondunda əlavə nə qədər məbləğ qalar?

Həlli:

Firmanın borc üzrə illik faiz ödənişləri 10000 ∗ 10% = 1000 AZN məbləğindədir. Amortizasiya formasında hesablanmış illik

213

ödənişlər isə 𝑃 = 10000

𝑎10|8%= 1627,45 AZN məbləğindədir. Məsələnin

şərtinə əsasən yığım fonduna illik ödəmələrin məbləği 1627,45 − 1000 = 627,45 AZN məbləğindədir. İllik ödəmələrin gələcək dəyəri fondda toplanan məbləği ifadə edir.

𝑃𝑉 = 627,45 ∙ 𝑠10|14% = 12133,19 AZN

Fondda toplanan məbləğdən 10000 AZN məbləğində borc

ödənildikdən sonra fondda 12133,19 − 10000 = 2133,19 AZN qalar.

214

Tapşırıqlar: 3.1. 01.01.2001-ci il tarixində illik faiz dərəcəsi 6% olan 10000

AZN məbləğində kredit 20 il müddətinə illik müxtəlif məbləğlərlə ödənilir. Borc 4 il əvvəl götürülüb və I ilin sonunda sonunda 500 AZN, II ilin sonunda 750 AZN, III ilin sonunda 1000 AZN, IV ilin sonunda 1250 AZN ödənilib. IV ödənişdən sonra borc üzrə balans məbləğini hesablayın.

3.2. 5% dərəcəsi ilə olan borc məbləği 20 bərabər ödənişlə ödənilir. 20 il ərzində hesablanmış faiz məbləği 5000 AZN olarsa, aylıq ödənişin məbləğini hesablayın.

3.3. Aşağıdakı məlumatlar verilmişdir: Kreditin tarixi 01.01.2007 Kreditin məbləği 10 000 AZN İlk ödənişin tarixi 31.01.2007 Ödənişin tezliyi aylıq Hər ödənişin məbləği bütün ödənişlər bərabər miqdarda Ödənişlərin sayı 36 Faiz dərəcəsi aylıq hesablanan illik faiz dərəcəsi 12%

01.01.2008 tarixində kredit şərtlərinə yenidən baxılır, aylıq hesablanan illik faiz dərəcəsi 9%-a salınır. Digər məlumatlar sabit saxlanılır. Yeni aylıq ödənişi hesablayın.

3.4. Aşağıdakı məlumatlar verilmişdir. Kreditin tarixi: 01.01.2007 Kreditin məbləği: 100 000 AZN İlk ödəmənin tarixi: 01.31.2007 Ödəmələrin tezliyi: aylıq Hər ödəmənin məbləği: Bərabər Kreditin müddəti: 5 il Faiz dərəcəsi: aylıq hesablanan faiz dərəcəsi 10%

a) 2007-ci il ərzində faiz ödəmələrini hesablayın. b) İlkin olaraq birdəfəlik nə qədər məbləğ ödənməlidir ki, 2008-

ci ildə faiz üçün ödənilən məbləğ 6000 AZN-dən az olsun?

215

c) Bir dəfəlik ödənilən məbləğdən sonra aylıq ödənişi hesablayın.

3.5. İpoteka haqqında aşağıdakı məlumatlar verilmişdir: İpotekanın verilmə tarixi: 01/01/96

İlk ödənişin tarixi: 31/01/96 Ödənişlərin tezliyi: aylıq Ödənişlərin sayı: 36 Aylıq hesablanan illik nominal faiz dərəcəsi: 18%

İlk iki il ərzində ödənilən faiz məbləğinin əsas borcdan ödənilən məbləğə nisbətini hesablayın.

3.6. İpoteka haqqında aşağıdakı məlumatlar verilmişdir: İpotekanın verilmə tarixi: 01/01/96

İlk ödənişin tarixi: 31/01/96 Ödənişlərin tezliyi: aylıq Ödənişlərin sayı: 36 Aylıq hesablanan illik nominal faiz dərəcəsi: 12%

1996-cı il ərzində əsas məbləğdən 3000 AZN ödənilmişdirsə, ipotekanın məbləğini hesablayın.

3.7. İllik faiz dərəcəsi 6% olan 1000 AZN məbləğində kredit 20 il müddətinə illik ödənilir. İlk 10 il ərzində bərabər olmaqla illik faiz məbləğinin 150%-i həcmində, növbəti 10 il ərzində bərabər olmaqla X məbləğində ödənişlər edilir. X-i tapın.

3.8. 8% dərəcəsi ilə alınmış borc illik bərabər ödənişlərlə geri ödənilir. Əgər 10-cu ilin sonu əsas məbləğə ödənilən hissə 100 AZN olarsa, 5-ci anda əsas məbləğə ödənilən hissəni hesablayın.

3.9. 400 AZN məbləğində borc 60 ay ərzində bərabər ödənişlərlə ödənilr. Sonuncu ödənişin əsas məbləğə ödənilən hissəsi 7,44 AZN olarsa, ümumilikdə faizə nə qədər ödənilib?

3.10. Rüblük hesablanan illik faiz dərəcəsi 16% olan 500 AZN məbləğində kredit 5 il müddətinə rüblük ödənilir. IV ödənişin əsas məbləğə hesablanan hissəsini hesablayın.

216

3.11. İllik faiz dərəcəsi 𝑖 olan L məbləğində kredit 10 il müddətinə illik ödənilir. Kredit müddətində ödənilən faiz ödənişlərinin məbləği də L olarsa, 1-ci ödənişin faizə ödənilən hissəsini hesablayın.

3.12. 01.01.2003-cü il tarixində aylıq hesablanan illik faiz dərəcəsi 8% olan 100 000 AZN məbləğində kredit üzrə aylıq ödənişlər 1300 AZN məbləğindədir. 01.01.2005-ci il tarixində kreditin şərtlərinə yenidən baxılır. Faiz dərəcəsi əvvəlki kimi qalır. Ancaq kreditin müddəti elə uzadılır ki, kredit verilmə tarixindən başlayaraq 25 il ərzində tamamilə ödənib qurtaracaq. Kreditin şərtlərinə yenidən baxılması nəticəsində aylıq ödənişin məbləği nə qədər azalar?

3.13. Bir nəfər 100 000 AZN məbləğində 25 illik aylıq ödənişli kredit götürür. Faiz dərəcəsi yarımillik hesablanan illik 7%-dir. 5 il sonra o istəyir ki, aylıq ödənişin məbləğini artıraraq qalan məbləği 10 il müddətinə ödəsin. Onun əlavə ödənişini hesablayın.

3.14. Bir nəfər 500 000 AZN məbləğində 25 illik aylıq ödənişli kredit götürür. İllik faiz dərəcəsi yarımillik hesablan 7%. 5 il sonra o istəyir ki, aylıq daha çox ödəniş etməklə qalan məbləği 10 il müddətinə ödəsin. Onun əlavə ödənişini hesablayın.

3.15. 01.01.2001-ci il tarixində illik faiz dərəcəsi 10% olan 10000 AZN məbləğində kredit 6 il müddətinə illik ödənilir. 31.12.2002-ci il tarixində krediti gecikdirdiyi üçün əlavə 300 AZN məbləğində dəbbə pulu ödəyir. Faktiki illik gəlirlilik faizi nə qədər olar?

3.16. 01.01.2003-ci il tarixində illik 8% dərəcəsi ilə alınan kredit 3 il müddətinə aylıq ödənilir. 2003-cü il ərzində kredit üzrə əsas məbləğdən 2500 AZN ödənilir. Kredit məbləği nə qədərdir?

3.17. 01.01.2003-ci il tarixində illik 8% dərəcəsi ilə alınan kredit 5 il müddətinə illik 1200 AZN olmaqla ödənilir. 01.01.2004-cü ildə illik faiz dərəcəsi artırılaraq 9% olur. Bu tarixə əsas məbləğin ödənilməmiş qalığının cari dəyərinin faiz dəyişməsi nə qədərdir?

3.18. 01.01.2001-ci il tarixində aylıq hesablanan illik faiz dərəcəsi 6% olan 10 000 AZN məbləğində kredit 30 il müddətinə aylıq

217

ödənilir. İlk iyirmi il ərzində faiz üzrə ödənişlərin məbləği nə qədər olar?

3.19. İllik faiz dərəcəsi 7% olan 10 000 AZN məbləğində kredit 10 il müddətinə verilir. Kreditin yalnız faiz məbləğləri ödənilməklə dövrün sonunda borcun qaytarılması üçün illik gəlirliliyi 6% olan bir fonda dövrü ödənişlər edilir. İllik faiz ödənişlərinin məbləği ilə fonda olan illik ödənişin fərqi nə qədərdir?

3.20. Yarımillik hesablanan illik faiz dərəcəsi 8% olan 3000 AZN məbləğində kredit 10 il müddətinə verilir. Kreditin yalnız faiz məbləğləri ödənilməklə dövrün sonunda borcun üçdə birinin qaytarılması üçün yarımillik hesablanan illik gəlirliliyi 5% olan bir fonda, dövrün sonunda borcun qalan üçdə ikisinin qaytarılması üçün yarımillik hesabalanan illik gəlirliliyi 7% olan başqa bir fonda dövrü ödənişlər edilir. Yarımillik ödənişlərin cəmi məbləğini hesablayın.

3.21. Pensiya fondu 2 A və B hesablarından ibarətdir. 01.01.2008-ci il tarixində A hesabının bazar qiyməti 100 000 AZN, A hesabı üçün faiz dərəcəsi 8% illik 31 dekabrda ödənilir. 01.01.2008-ci il tarixində B hesabının bazar qiyməti 0 AZN, B hesabı üçün faiz dərəcəsi yarımillik hesablanan illik faiz dərəcəsi 10%. A hesabından faiz məbləğləri dərhal B hesabına investisiya olunur. Fonda və ya fonddan heç bir ödəniş edilməyib. 2018-ci ilə fondun bazar qiymətini hesablayın.

3.22. 100 000 AZN məbləğində olan kreditin 20 il müddətinə qaytarılması üçün 2 seçim var:

a) Yığım fondu metodu ilə, yığım fondunun illik gəlirlilik faizi 6%, kreditin faiz dərəcəsi 8%;

b) Amortizasiya metodu ilə, illik faiz dərəcəsi k. k-nı hesablayın. 3.23. İllik faiz dərəcəsi 8% olan 8000 AZN məbləğində kredit 12 il

müddətinə verilir. Kredit üzrə hər il 800 AZN ödənilməklə dövrün sonunda qalan borcun qaytarılması üçün illik gəlirliliyi 4% olan bir

218

fonda dövrü ödənişlər edilir. Cəmi (kredit və fond) illik ödənişlərin məbləğini hesablayın.

3.24. 20000 AZN məbləğində olan kreditin 20 il müddətinə qaytarılması üçün 2 seçim var:

a) Yığım fondu metodu ilə, borc verənə hər il borcun 8%-i ödənilir, qalan borcu ödəmək üçün illik gəlirlilik faizi j olan yığım fonduna ödənişlər edilir.

b) Amortizasiya metodu ilə, illik faiz dərəcəsi 6,5% olan hər iki metodla illik bərabər ödənişlər edilir.

j-ni hesablayın.

219

4. İstiqrazlar

Bu bölmədə illik faiz dərəcəsindən, dövrü ödənişlərdən, istiqrazın geri qaytarılma şərti və məbləğindən asılı olaraq istiqrazın qiymətinin dəyişməsindən bəhs edəcəyik.

4.1. İstiqrazın növləri

İstiqraz əlavə gəlir hesablanmaqla gələcək tarixlərdə dövrü

ödənişlərin edilməsinə və qeyd edilən dövrün sonunda istiqraz dəyərinin geri ödənilməsinə söz verilmiş qiymətli kağızdır. Hər hansı şirkət və ya dövlət orqanı müəyyən müddətə, müəyyən faiz dərəcəsi ilə borc almaq niyyəti ilə istiqrazlar satır. Belə anlaşma üzrə istiqraz alan şəxs şirkətin həmsahibinə deyil, onun kreditoruna çevrilir. İstiqrazın dövrü sonlu və ya sonsuz ola bilər.

Sonlu istiqrazlar istiqrazın son tarixindən əvvəl də geri çağırıla bilər. Belə istiqrazlara geri çağırılabilən istiqrazlar deyilir.

İstiqrazın geri qaytarılma zamanınadək istiqraz satanın dövrü ödəməli olduğu məbləğin nominalına istiqrazın üz və ya nominal qiyməti deyilir.

İstiqrazın aşağıdakı növləri var: - Yığım istiqrazı – istiqrazın üz qiyməti istiqrazın satınalınma

qiyməti ilə toplanmış faizin cəminə bərabər olan hal. - Kuponlu istiqraz – istiqrazın üz qiymətindən əlavə olaraq

dövrü olaraq faizlər üzrə ödənişləri nəzərdə tutan istiqraz. Belə ödənişlər kupon ödənişləri adlanır. Əgər kupon üzrə ödəniş olmazsa, belə istiqraz sıfır kuponlu istiqraz adlanır.

- Qeydiyyatlı və qeydiyyatsız istiqraz – Qeydiyyatlı istiqrazlarda istiqraz şəhadətnaməsində istiqraz sahibinin adı qeyd edilir və kupon ödənişləri və son ödəniş yalnız ona ödənilir. Belə istiqrazlar yalnız istiqrazı satanın icazəsi ilə başqa birinə şəhadətnamənin dəyişdirilməsi şərti ilə ötürülə bilər. Qeydiyyatsız

220

istiqrazlarda isə şəhadətnamədə heç bir ad olmur. İstiqrazı alan heç bir razılıq tələb olunmadan onu başqasına sata bilər.

- Sabit əmsallı və dəyişən əmsallı istiqraz – Sabit əmsallı istiqrazlar üzrə faiz dərəcəsi sabit olur, dəyişən əmsallı istiqrazlar üzrə isə istiqraz müddəti ərzində faiz dərəcələri dəyişir.

- İpoteka və borc sənədli istiqraz – İpoteka istiqrazı daha təhlükəsiz olmaqla istiqrazın dəyərinin daşınmaz əmlak və likvid avadanlıqlara yönəldilməsi şərti ilə alınır, borc sənədli istiqrazlar isə hər hansı bir şirkətin və ya dövlət agentliyinin borcluluğu əsasında alınır.

- Mənfəət və ya tənzimləmə istiqrazları – Belə istiqrazlar daha riskli olmaqla yalnız istiqraz satanın kifayət qədər mənfəət əldə etdiyi halda kupon ödənişləri nəzərdə tutulan istiqrazlardır.

- Dönən istiqrazlar – belə istiqrazlar istiqraz sahibinin seçimi ilə şirkətin adi səhminə çevrilə bilər.

- Ardıcıl istiqrazlar – eyni vaxtda satılan, lakin müxtəlif geri ödəmə tarixi olan istiqraz yığımı.

- Xəzinə fakturalı istiqraz – belə istiqrazların müddəti 13, 26, 52 həftə müddətinə olur. Hesablama sadə faiz dərəcəsi ilə olmaqla 1 il 360 gün götürülməklə aparılır.

- Bələdiyyə istiqrazı – Bu istiqrazlar dövlət və yerli hökumətlər tərəfindən uzun müddətli dövlət layihələri (məsələn: xəstəxanalar, avtomobil yolları, məktəblər və s.) üzrə buraxılır.

- Sukuk (şəriət 1 əsaslı istiqraz) – Kirayə şəhadətnaməsi mənası verən bu istiqrazlar İslam şəriəti əsasında 4 növ olmaqla buraxılır. Bunlar İcaraya (lizinq), Muşarakaya (səhm), Mudarabaya (depozit əməliyyatlarına) və Salama (birgə malların alınması) əsaslanan sukuklardır. Texniki cəhətdən mövcudluq sənədi kimi adlandırılan sukuklar digər istiqrazlardan fərqli olaraq mütləq şəkildə mövcudluğa əsaslanmalıdır. Yəni satılan bütün şəhadətnamələrin 1 Şəriət - İslam hüquq sistemi.

221

təməlində real ticarət əlaqələri və ya gözlə görülə bilən hər hansı bir maddi varlıq olmalıdır. Başqa sözlə, sukuk bir şirkətin istifadə etdiyi varlıqlara əsaslanaraq ixrac olunan borc alətidir. Sukuklar digər istiqrazlardan əsasən aşağıdakı cəhətlərinə görə fərqlənir:

a) Sukuk ixrac edən yalnız İslami hökmlərə uyğun olan ticari fəaliyyətlər apara bilər,

b) Sukuk alan bilavasitə sukuk predmeti üzrə mülkiyyət hüququna malikdir,

c) Sukuk alanın məsləhət vermək, almaq və əlavə hüquqi haqqı var, d) Digər istiqrazın dəyəri və kupon ödənişləri əvvəlcədən müəyyən

edilmiş borc öhdəliyini ifadə etdiyi halda, sukuk aid olduğu dəyərin bazar qiymətinə əsaslanır, kupon ödənişləri isə dividend ödənişləri prinsipinə əsaslanır.

Bu aləti şirkətlər istifadə etdiyi kimi dövlət xəzinələri də istifadə edir.

4.2. İstiqrazın qiyməti İstiqrazın qiymətinin hesablanması üçün aşağıdakı

anlayışlardan istifadə edilir: P – istiqrazın satınalınma qiyməti F – istiqrazın üz və ya nominal qiyməti. Bu məbləğ istiqraz kağızının üzərində qeyd edililir və adətən, istiqrazın son tarixində geri ödənilməli olan məbləğə bərabər olur. C – istiqrazın son tarixində geri ödənilmə olan məbləğ r – istiqraz üzrə dövrü ödənilən kupon ödənişləri üzrə kupon faiz dərəcəsi Fr – istiqraz üzrə kupon ödənişlərinin məbləği i – istiqraz üzrə gəlirlilik dərəcəsi n– istiqrazın müddəti

222

İstiqrazın satınalınma qiyməti istiqraz üzrə ödəniləcək gələcək ödənişlərin cari dəyəri kimi hesablanır.

𝑃 = 𝐹 ∙ 𝑟 ∙ 𝑎𝑛|𝑖 + 𝐶 ∙ 𝑣𝑖

𝑛

Məsələ 4.1. Firma nominal qiyməti 7 000 AZN məbləğində olan istiqraz

satır. İstiqrazın 5 ildən sonra geri çağrılma qiyməti istiqrazın nominal qiymətinə bərabərdir. Kupon faiz dərəcəsi ildə 2 dəfə hesablanmaqla 6% ödənilir, illik gəlirlilik faizi ildə 2 dəfə hesablanmaqla 8% olarsa, istiqrazın qiymətini hesablayın.

Həlli: Verilən şərtləri aşağıdakı kimi göstərək.

𝐹 = 𝐶 = 7000, 𝑛 = 2 ∙ 5 = 10, 𝑖 =8%

2= 4%,

𝑣𝑖 =1

1 + 4%= 0,96154, 𝑟 =

6%

2= 3%,

𝐹 ∙ 𝑟 = 7000 ∙ 3% = 210 İstiqrazın satınalınma qiymətinin hesablanma düsturuna

əsasən alırıq ki,

𝑃 = 𝐹 ∙ 𝑟 ∙ 𝑎𝑛|𝑖 + 𝐶 ∙ 𝑣𝑖𝑛 = 210 ∗ 𝑎10|4% + 7000 ∗ 0,96154

10

= 6432,24

223

Məsələ 4.2(*). Elektronika firması aktivlərinin 5%-i dəyərində olmaqla 7 000

AZN məbləğində olan sukuk satıb. Sukuk 5 ildən sonra bazar dəyərində geri çağrılır. Sukukun kupon dərəcəsi (kirayə qiyməti) firmanın illik gəlirlilik dərəcəsinə bərabər olmaqla ildə 2 dəfə hesablanır və bazar dəyərinin 6%-i həcmində olmuşdur. Firmanın 5 illik fəaliyyəti aşağıdakı kimi olarsa, sukukun illik nominal gəlirliliyini hesablayın.

Yarımillik dövr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Sukukun aid olduğu aktivin ba-zar dəyəri

7200 7200 7400 7400 7400 7600 7600 7600 7800 7800

Həlli: Verilən şərtləri aşağıdakı kimi göstərək:

𝑛 = 2 ∙ 5 = 10, 𝑖 =10%

2= 5%, 𝑟 =

6%

2= 3%

Sukuk üzrə pul axınını aşağıdakı kimi təsvir etmək olar:

Şəkildən aydın olduğu kimi sukuk alan 7000 AZN

qarşılığında dövrü kupon ödənişləri və sukukun geri çağrılma qiymətini alır.

Aşağıdakı bərabərliyə əsasən sukukun gəlirliliyi hesablanacaq:

224

7000 = 7200 ∙ 3% ∙ 𝑣 + 7200 ∙ 3% ∙ 𝑣2 + 7400 ∙ 3% ∙ 𝑣3 + +7400 ∙ 3% ∙ 𝑣4 + 7400 ∙ 3% ∙ 𝑣5 + 7600 ∙ 3% ∙ 𝑣6 + +7600 ∙ 3% ∙ 𝑣7 + 7600 ∙ 3% ∙ 𝑣8 + 7800 ∙ 3% ∙ 𝑣9 +

+7800 ∙ 3% ∙ 𝑣10 . Qeyd edilən bərabərliyi həll etmək çətin olduğundan

məsələnin həlli maliyyə kalkulyatorunun pul axını bölməsində verilmişdir (Bax: Səh.275). Cavab: 𝑖(2) = 2 ∗ 4,15% = 9,3%

4.3.İstiqrazın cari dəyəri və amortizasiyası

İstiqraz üzrə t kupon ödənişindən sonra istiqrazın cari dəyərini

hesablamaq üçün gələcək ödənişlərin cari dəyərindən istifadə edilir. İstiqrazın cari dəyərinə istiqrazın kitab qiyməti də deyilir. İstiqrazın kitab qiyməti istiqrazın satış qiyməti ilə geri alınma qiymətinin arasında dəyişir.

𝐵𝑡 = 𝐹 ∙ 𝑟 ∙ 𝑎𝑛−𝑡|𝑖 + 𝐶 ∙ 𝑣𝑖

𝑛−𝑡

Məsələ 4.3. Məsələ 4.1. üzrə 6-cı ödənişdən dərhal sonra istiqrazın kitab

qiymətini hesablayın. Həlli:

𝑃 = 𝐹 ∙ 𝑟 ∙ 𝑎𝑛−𝑡|𝑖 + 𝐶 ∙ 𝑣𝑖𝑛−𝑡 = 210 ∙ 𝑎4| + 7000 ∙ 0,96

4 = 6746

225

Əgər istiqrazın satınalınma qiyməti istiqrazın geri ödənilmə məbləğindən kiçikdirsə (P<C), belə istiqrazlara üstün ödənişli istiqraz, əks halda endirimli istiqraz deyilir. İstiqrazın satınalınma qiyməti ilə istiqrazın geri ödənilmə məbləğinin fərqinin modulu ( |P – C| ) istiqrazın amortizasiyasını göstərir. İstiqrazın hər ödənişi üzrə amortizasiyasını isə aşağıdakı kimi göstərmək olar.

𝑃𝑖 = |𝐹𝑟 − 𝐵𝑖−1 ∙ 𝑖|.

Burada 𝐵𝑖−1 ifadəsi 𝑖 − 1 anına istiqrazın kitab qiymətini, 𝐵𝑖−1 ∙ 𝑖 istiqraz üzrə faizə hesablanan məbləği ifadə edir.

İstiqrazın kitab qiyməti üstün ödənişli istiqraz üzrə 𝐹 ∙ 𝑟 > 𝐶 ∙ 𝑖 və 𝑃 > 𝐵𝑖 > 𝐶, endirimli istiqraz üzrə 𝐹 ∙ 𝑟 < 𝐶 ∙ 𝑖 və 𝑃 < 𝐵𝑖 < 𝐶 olur.

Məsələ 4.4. Firma 01.01.2008-ci ildə 5 il müddətinə nominal qiyməti

7 000 AZN məbləğində olan istiqraz alır. İstiqrazın geri çağrılma qiyməti istiqrazın nominal qiymətinə bərabərdir. Kupon ödənişləri illik ödənilməklə faiz dərəcəsi illik 6%, gəlirlilik faizi illik 8% olarsa, amortizasiya cədvəlini qurun.

Həlli: 𝑃 = 420 ∙ 𝑎5|8% + 7000 ∙ (1 + 8%)

−5 = 6441,02

Tarix Kupon ödənişləri Faiz gəliri

Endirimli istiqrazın

amortizasiyası

İstiqrazın kitab qiyməti

2008 0,00 0 0 6441,02 2009 420,00 515,28 -95,28 6536,30 2010 420,00 522,90 -102,90 6639,21

226

2011 420,00 531,14 -111,14 6750,34 2012 420,00 540,03 -120,03 6870,37 2013 420,00 549,63 -129,63 7000,00 Cəmi 2100,00 2658,98 -558,98

4.4.Çağrılabilən istiqrazlar

Çağrılabilən istiqraz elə istiqraza deyilir ki, istiqraz buraxan

təşkilatın istiqrazı istənilən zaman anında və ya qeyd edilmiş tarixlərdə geri çağırmaq hüququ var. İstiqraz buraxan təşkilatın istiqraz üzrə əlavə hüquqlarının olması səbəbi ilə vaxtından tez çağrılan istiqrazın geri qaytarılma qiyməti onun kitab qiymətindən böyük olmalıdır (əks təqdirdə belə bir sövdələşmə alıcının maraqlarına uyğun olmaz). Başqa sözlə, istiqrazın gələcək zaman anlarında geri çağrılma qiymətlərindən asılı olaraq istiqrazın qiyməti hesablanarsa, həmin tarixlərə görə ayrı-ayrı hesablanmış qiymətlərdən ən kiçiyi istiqrazın qiymətidir.

Məsələ 4.5. Firma 01.01.2008-ci ildə 10 il müddətinə nominal qiyməti

7 000 AZN məbləğində olan istiqraz alır. İstiqrazın geri çağrılma qiyməti 01.01.2013-cü ildə 6 800 AZN, müddətin sonunda isə istiqrazın nominal qiymətinə bərabərdir. Kupon ödənişləri illik ödənilməklə faiz dərəcəsi illik 6%, gəlirlilik faizi illik 8% olarsa, istiqrazın qiymətini hesablayın.

Həlli: 𝑃10 = 420 ∙ 𝑎10|8% + 7000 ∙ (1 + 8%)

−10 = 6060,59; 𝑃5 = 420 ∙ 𝑎5|8% + 6800 ∙ (1 + 8%)

−10 = 6304,90;

𝑃 = min(𝑃5; 𝑃10) = min(6060,59; 6304,90) = 6060,59 .

227

Məsələ 4.6. Firma 01.01.2008-ci ildə 10 il müddətinə nominal qiyməti

10 000 AZN məbləğində olan və geri çağrılabilən istiqraz buraxır. İstiqrazın son tarixində geri ödəniş qiyməti 12 000 AZN

məbləğindədir. İstiqraz üzrə gəlirlilik faizi illik 8% olarsa, istiqrazın qiymətini təhlil edin. a) Kupon ödənişləri illik ödənilməklə faiz dərəcəsi illik 8%, b) Kupon ödənişləri illik ödənilməklə faiz dərəcəsi illik 11%.

Həlli: Tarixlərdən asılı olaraq istiqrazın kitab qiymətinin qrafikini

quraq:

a)

b)

10800109501110011250114001155011700118501200012150

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018

119001205012200123501250012650128001295013100

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018

228

Əgər istiqrazın müxtəlif tarixlərdə geri çağrılma qiyməti şəkildəki qaraldılmış sahədə olarsa, istiqrazın qiyməti həmin tarixə və geri çağrılma qiymətinə görə hesablanacaq, əks halda isə dövrün sonundakı qiymətə və istiqrazın müddətinə əsasən hesablanacaq.

Şəkildən göründüyü kimi, həmçinin aşağıdakı şərtlər ödənildiyi üçün a) halı üçün istiqraz üstün ödənişli, b) halı üçün isə endirimli istiqrazdır.

a) 𝐹 ∙ 𝑟 = 10000 ∙ 8% = 800 < 𝐶 ∙ 𝑖 = 12000 ∙ 8% = 960

b) 𝐹 ∙ 𝑟 = 10000 ∙ 11% = 1100 > 𝐶 ∙ 𝑖 = 12000 ∙ 8% = 960

Qeyd edilənlərə əsasən istiqrazın sabit geri çağrılma

qiymətindən asılı olaraq, cari qiymətinin hesablanması zamanı nəzərə almaq lazımdır ki, üstün ödənişli istiqraz üzrə cari dəyərin qiyməti müddət artdıqca azalır, endirimli istiqrazda isə müddət artdıqca artır.

229

Tapşırıqlar: 4.1. Nominal qiyməti 10 000 AZN məbləğində olan istiqrazın 5

ildən sonra geri çağrılma qiyməti 10 500 AZN məbləğindədir. Kupon faiz dərəcəsi ildə 2 dəfə hesablanmaqla 5%, illik gəlirlilik faizi ildə 2 dəfə hesablanmaqla 6% olarsa, istiqrazın qiymətini hesablayın.

4.2. Nominal qiyməti 1000 AZN məbləğində olan iki istiqraz t ildən sonra nominal qiymətə bərabər qiymətdə geri çağrılır. 1-ci istiqrazın kupon faiz dərəcəsi ildə 2 dəfə hesablanmaqla 5%, 2-cisində isə 2,5%-dir. İllik gəlirlilik faizi hər iki istiqrazda ildə 2 dəfə hesablanmaqla 4%-dir. 1-ci istiqrazın qiyməti 1136,78 AZN olarsa, 2-ci istiqrazın qiymətini hesablayın.

4.3. Nominal qiyməti 100 AZN məbləğində olan istiqrazın qiyməti 118,20 AZN məbləğindədir. Kupon faiz dərəcəsi ildə 2 dəfə hesablanmaqla 8%, illik gəlirlilik faizi ildə 2 dəfə hesablanmaqla 6% olarsa, 10 ildən sonra geri çağrılma qiymətini hesablayın.

4.4. 1000 AZN məbləğində istiqrazın üz qiyməti geri çağrılma qiymətinə bərabər olmaqla X manatdır. İstiqrazın müddəti 10 il olmaqla kupon ödənişləri illik ödənilir. İstiqrazın gəlirlilik faizi 8%, kupon faizi 6% olarsa, X-i hesablayın.

4.5. Nominal qiyməti 1000 AZN məbləğində olan istiqrazın qiyməti 1081,78 AZN məbləğindədir. Kupon faiz dərəcəsi ildə 2 dəfə hesablanmaqla 5% olarsa, 10 ildən sonra geri çağrılan istiqrazın ildə 2 dəfə hesablanmaqla illik gəlirlilik dərəcəsini hesablayın.

4.6. Nominal qiyməti 1000 AZN məbləğində olan iki istiqraz t ildən sonra nominal qiymətə bərabər qiymətdə geri çağrılır. 1-ci istiqrazın kupon faiz dərəcəsi ildə 2 dəfə hesablanmaqla 5%, 2-cisində isə 2,5%-dir. İllik gəlirlilik faizi hər iki istiqrazda ildə 2 dəfə hesablanmaqla 4%-dir. 1-ci istiqrazın qiyməti 1136,78 AZN olarsa, 2-ci istiqrazın qiymətini hesablayın.

4.7. 01.01.2008-ci il tarixində illik faiz dərəcəsi 9% olan 1100 AZN məbləğində nominal dəyəri olan istiqraz 31.12.2017-ci il tarixədək illik 8% kupon dərəcəsi ilə ildə bir dəfə ödənilir. İstiqrazın

230

geri çağrılma vaxtları və tarixləri aşağıdakı kimi olarsa, istiqrazın qiymətini hesablayın:

Tarix Məbləğ 31.12.2014 1150 AZN 31.12.2015 1125 AZN 31.12.2016 1110 AZN

4.8. İllik kupon faizi 8%, 20 il sonra çağrılabilən istiqrazın üz qiyməti 1000 AZN-dir. İstiqraz 15 il sonra geri çağrılarsa, qiyməti 1100 AZN olar. Gəlirlilik faizi illik 7% olarsa, istiqrazın alınma qiymətini hesablayın.

4.9. 01.01.2008-ci il tarixində illik faiz dərəcəsi 8% olan 1200 AZN məbləğində nominal dəyəri olan istiqraz 15 il müddətinə buraxılır. İstiqrazın geri çağrılma qiyməti nominal qiymətinə bərabər, ödənmə tezliyi isə illikdir. İstiqrazın qiyməti 1000 AZN məbləğində olarsa, istiqrazın kupon faiz dərəcəsini hesablayın.

4.10. 01.01.1998-ci il tarixində aylıq hesablanan illik faiz dərəcəsi 8% olan 100 000 AZN məbləğində nominal dəyəri olan istiqraz 31.12.2015-ci il tarixədək aylıq hesablanan illik 12% kupon dərəcəsi ilə aylıq ödənilir. 01.01.2004-cü il tarixinə istiqraz elə qiymətə satılır ki, alıcı üçün gəlirlilik dərəcəsi aylıq hesablanan illik 14% olur. Amortizasiya dəyərinə əsasən satıcının itkisi hansı aralığa düşür.

4.11. 01.01.2002-ci il tarixində illik faiz dərəcəsi 10% olan 1000 AZN məbləğində nominal dəyəri olan istiqraz illik 8% kupon dərəcəsi ilə ildə bir dəfə ödənilir. İstiqrazın 01.01.2008-ci il tarixə dəyəri X, 01.01.2007-ci il tarixə dəyəri X+10 olarsa, istiqrazın qiymətini hesablayın.

4.12. 01.01.2008-ci il tarixində ildə iki dəfə hesablanan illik faiz dərəcəsi 6% olan geri alış qiymətinə bərabər olmaqla 110 000 AZN məbləğində nominal dəyəri olan istiqraz 31.12.2017 -ci il tarixədək ildə iki dəfə hesablanan illik 10% kupon dərəcəsi ilə ildə iki dəfə (30 iyun və 31 dekabr) ödənilir. 31.12.2012-ci ildə

231

istiqraz geri çağrılarsa, geri alış məbləği 120 000 AZN olar. İstiqrazın qiymətini hesablayın.

4.13. 01.01.2007-ci il tarixində ildə iki dəfə hesablanan illik faiz dərəcəsi 7% olan geri alış qiymətinə bərabər olmaqla 120 000 AZN məbləğində nominal dəyəri olan istiqraz 31.12.2019-ci il tarixədək ildə iki dəfə hesablanan illik 9% kupon dərəcəsi ilə ildə iki dəfə (30 iyun və 31 dekabr) ödənilir. 01.07.2008-ci ildə istiqraz 124 000 AZN məbləğinə satılarsa, satıcının qazandığı illik effektiv gəlirlilik faiz dərəcəsini hesablayın.

4.14. İnvestor 5% illik effektiv dərəcə ilə 10 il müddətinə borc götürür və borcun əsas və faiz hissəsini dövrün sonunda ödəməyi planlaşdırır. İnvestor borcdan istifadə etməklə 1000 AZN məbləğində üz qiyməti (geri satış qiyməti üz qiymətinə bərabərdir), ildə 2 dəfə hesablanan illik 8% kupon faizi və ildə 2 dəfə hesablanan illik 6% gəlirlilik faiz dərəcəsi ilə 10 il müddətinə istiqraz alır. Bütün kupon ödənişlərini ildə 2 dəfə hesablanan illik 4% dərəcəsi ilə yenidən investisiya edir. İnvestorun borcunu ödəməsindən sonra netto illik gəlirlilik dərəcəsini hesablayın.

4.15. 01.01.2000-ci il tarixində ildə iki dəfə hesablanan illik faiz dərəcəsi 6% olan 10 000 AZN nominal dəyəri olan istiqraz 31.12.2004-cü il tarixədək ildə iki dəfə hesablanan illik 8% kupon dərəcəsi ilə ildə iki dəfə (30 iyun və 31 dekabr) ödənilir. İstiqrazın 30.09.2009-cu il tarixə amortizasiya edilmiş dəyərini hesablayın.

4.16. Nominal qiyməti X məbləğində 20 il müddətinə satılan istiqrazın qiyməti 1722,25 AZN məbləğindədir. Kupon faiz dərəcəsi ildə 2 dəfə hesablanmaqla 8%, illik gəlirlilik faizi ildə 2 dəfə hesablanmaqla 6% olarsa və istiqraz 15 ödənişdən sonra istənilən zaman nominal qiymətinə çağrıla bilərsə, X-i hesablayın.

4.17. İstiqraz haqqında aşağıdakı məlumatlar verilmişdir: İstiqrazın üz qiyməti: geri çağrılma qiymətinə bərabər olmaqla 10000 AZN İstiqrazın alınma tarixi: 01.01.1998

232

İstiqrazın son tarixi: 31.12.2017 Kupon ödənişlərinin tezliyi: illik Kupon dərəcəsi: 7% illik effektiv Faiz dərəcəsi: 12% illik effektiv

İstiqraz üzrə 31.12.2007-ci il tarixdə nominal qiymətinin 50%-i çağrılır, qalan hissəsi isə istiqrazın son tarixində çağrılır. İstiqrazın qiymətini hesablayın.

4.18. İldə iki dəfə hesablanan illik 12% gəlirliliyi olan 1000 AZN məbləğində nominal dəyəri olan istiqraz 5 il müddətinə buraxılır. İstiqrazın geri çağrılma qiyməti nominal qiymətinə bərabər, ödənmə tezliyi isə yarımillikdir. Kupon dərəcəsi ildə iki dəfə hesablanan illik 10% olarsa, istiqrazın amortizasiya cədvəlinə əsasən cəmi faizə ödənilən məbləği hesablayın.

4.19. 01.01.2000-ci il tarixində ildə iki dəfə hesablanan illik faiz dərəcəsi 8% olan 10 000 AZN məbləğində qiyməti olan istiqraz 31.12.2004-ci il tarixədək ildə iki dəfə hesablanan illik 10% kupon dərəcəsi ilə ildə iki dəfə (30 iyun və 31 dekabr) ödənilir.

a) İstiqrazın 30.09.2009-cu il tarixə amortizasiya edilmiş dəyərini hesablayın.

b) İstiqrazın 30.09.2009-cu il tarixə amortizasiyasını hesablayın.

233

5. Faiz dərəcəsinin həssaslıq ölçüsü

5.1. Dürasiya və düzəldilmiş dürasiya Maliyyə alətlərinin analizində pul axınının zaman ölçüsü

əhəmiyyətlidir. Dürasiya anlayışı bu baxımdan önəmli yer tutur. Bu məqsədlə iki növ dürasiya anlayışı veriləcəkdir: adi (effektiv) dürasiya və düzəldilmiş dürasiya. Fərz edək ki, 𝑡1, 𝑡2, … 𝑡𝑛 zaman anlarında pul axının məbləği 𝑅1, 𝑅2, …𝑅𝑛 olmuşdur. Bu halda dürasiya aşağıdakı kimi təyin olunur:

�̅� =∑ 𝑡 ∙ 𝑣𝑡 ∙ 𝑅𝑡𝑛𝑡=1

∑ 𝑣𝑡 ∙ 𝑅𝑡𝑛𝑡=1

=∑ 𝑡 ∙ 𝑃𝑉(𝑡)𝑛𝑡=1

𝑃𝑉 .

Dürasiya istiqraz (və ya başqa pul axını) üzrə elə bir zaman anını ifadə edir ki, həmin zaman anından sonrakı və əvvəlki ödəniş məbləğlərinədək olan zaman ilə ödənişlərin cari dəyəri hasilləri cəmi bir-birinə bərabərdir.

Məsələ 5.1. Üz qiyməti 100 AZN olmaqla geri qaytarılma qiymətinə

bərabər olan istiqraz üzrə ildə iki dəfə hesablanan illik kupon faizi 20%, ildə iki dəfə hesablanan illik gəlirlilik faizi 4% olan istiqraz 2 il müddətinə yarım ildən bir kupon ödənişlərinin ödənilməsi ilə alınıb. İstiqrazın dürasiyasını hesablayın.

Həlli: Dürasiya anlayışının dəqiq izahı üçün məsələni aşağıdakı kimi

həll edək:

𝐹𝑟 = 100 ∙20%

2= 10;

234

𝑃𝑉(0,5) = 10 ∙1

1 + 2%= 9,804;

𝑃𝑉(1) = 10 ∙1

(1 + 2%)2= 9,6117;

𝑃𝑉(1,5) = 10 ∙1

(1 + 2%)3= 9,4232;

𝑃𝑉(2) = (100 + 10) ∙1

(1 + 2%)4= 101,623.

�̅� =∑ 𝑡 ∙ 𝑃𝑉(𝑡)2𝑡=0,5

𝑃𝑉=

=0,5 ∙ 9,8 + 1 ∙ 9,6 + 1,5 ∙ 9,4 + 2 ∙ 101,6

9,8 + 9,6 + 9,4 + 101,6= 1,78

Şəkildən göründüyü kimi 𝑡 = 1,7775 anı elə bir zaman anıdır ki, həmin zaman anı üzrə aşağıdakı bərabərlik ödənilir:

101,623 ∙ (2 − 1,7775) = 9,4232 ∙ (1,7775 − 1,5) + +9,6117 ∙ (1,7775 − 1) + 9,804 ∙ (1,7775 − 0,5).

235

Effektiv dürasiya aşağıdakı kimi təyin olunur:

�̅� = −𝑃′(𝑖)

𝑃(𝑖)= −

𝑑

𝑑𝑖(ln𝑃(𝑖))

Burada 𝑃(𝑖) illik gəlirlilik faizindən asılı olaraq gələcək ödənişlərin cari dəyərini göstərən funksiya, 𝑃′(𝑖) isə həmin funksiyanın törəməsidir. Törəmə funksiyasının təxmini qiymətindən istifadə etdikdə effektiv dürasiyanı aşağıdakı kimi də hesablamaq olar:

�̅� = −𝑃′(𝑖)

𝑃(𝑖)≈ −

𝑃(𝑖 + ∆𝑖) − 𝑃(𝑖)∆𝑖𝑃(𝑖)

=𝑃(𝑖) − 𝑃(𝑖 + ∆𝑖)

𝑃(𝑖)∙1

∆𝑖

İstiqrazın düzəldilmiş dürasiyasını hesablayarkən, adətən, ∆𝑖 = 0,01% götürülür. Bu halda düstur aşağıdakı kimi olar:

�̅� ≈𝑃(𝑖) − 𝑃(𝑖 + 0,01%)

𝑃(𝑖)∙

1

0,01%=

=𝑃(𝑖) − 𝑃(𝑖 + 0,01%)

𝑃(𝑖)∙ 10000 .

Məsələ 5.2(*). Məsələ 4.2. üzrə düzəldilmiş dürasiyanı hesablayın. Həlli: 𝑃𝑉(2%) = 10 ∙ 𝑎4|2% + 100 ∙ 𝑣2%

4 = 130,4618 ;

𝑃𝑉(2,01%) = 10 ∙ 𝑎4|2,01% + 100 ∙ 𝑣2,01%4 = 130,4164 ;

236

�̅� ≈130,4618 − 130,4164

130,4618∙ 10000 = 3,48 .

Dürasiya 3,48 yarım ilə və ya 3,48/2=1,74 ilə bərabərdir. Dürasiya ilə effektiv dürasiya arasında aşağıdakı bərabərlik var:

�̅� =�̅�

1 + 𝑖 .

Dürasiyanın (həmçinin effektiv dürasiyanın) böyük (kiçik)

olması faiz dəyişikliyinə daha yüksək (az) həssaslığı göstərir.

Effektiv dürasiyasının əsas tətbiq sahəsi odur ki, effektiv dürasiya istiqrazın qiymətinin faiz dəyişməsinə olan həssaslığının ölçüsüdür.

Məsələ 5.3: 𝑖 faiz dərəcəsi üzrə pul axınının cari dəyəri 𝑃(𝑖) olarsa, 𝑖 + ∆𝑖

faiz dərəcəsi üzrə pul axınının aşağıdakı bərabərliklə təyin edildiyi göstərin:

𝑃(𝑖 + ∆𝑖) ≈ 𝑃(𝑖) ⋅ (1 − 𝑣 ∙ ∆𝑖). Həlli: 𝑃(𝑖) funksiyasını Makleron sırasına (Teylor sırasının a=0

olan xüsusi halı) ayrılışını yazmaqla bərabərliyin doğruluğunu göstərmək olar:

𝑃(𝑖 + ∆𝑖) = 𝑃(𝑖) +𝑃′(𝑖)

1!⋅ ∆𝑖 + ⋯ ≈ 𝑃(𝑖) ⋅ (1 +

𝑃′(𝑖)

𝑃(𝑖)) ⋅ ∆𝑖 =

= 𝑃(𝑖) ⋅ (1 − 𝑣 ∙ ∆𝑖).

237

Məsələ 5.4. İstiqrazın qiyməti 110 AZN, illik gəlirlilik dərəcəsi 7%,

effektiv dürasiyası 5 ildir. İllik gəlirlilik dərəcəsi 6%-ə enərsə, istiqrazın qiymətini hesablayın.

Həlli:

Dövr üzrə faiz dəyişməsi istiqrazın qiymətinə aşağıdakı kimi təsir edir.

−𝑣 ∙ ∆𝑖 = −5 ∗ (6%− 7%) = +5% . Nəticədə istiqrazın qiyməti aşağıdakı kimi hesablanır:

𝑃(𝑖 + ∆𝑖) ≈ 𝑃(𝑖) ⋅ (1 − 𝑣 ∙ ∆𝑖) = 110 ∙ (1 + 5%) = 115,5 .

5.2. Dürasiya qəpi

Aktivlərin effektiv dürasiyası ilə öhdəliklərin effektiv dürasiyası arasındakı əlaqə Dürasiya qəpi vasitəsi ilə təyin edilir. Bu metod əsasında bazarda faiz dəyişmələrinin kapitala təsiri müəyyən edilir.

𝐷𝑞ə𝑝 = 𝐷𝑎 −𝑃𝑉(ö)

𝑃𝑉(𝑎)𝐷ö

∆𝐾İ𝐷 = −𝐷𝑞ə𝑝 ∙ 𝑃𝑉(𝑎) ∙∆𝑖

1 + 𝑖

Dqəp – effektiv durasiya qəpi; Da – aktivlər üzrə effektiv durasiya; Dö – öhdəliklər üzrə effektiv durasiya; PV(ö) – öhdəliklərin cari və ya bazar dəyəri; PV(a) –aktivlərin cari və ya bazar dəyəri;

238

KİD – kapitalın iqtisadi dəyəri; i – aktivlərin investisiya oluna biləcəyi faiz dərəcəsi. ∆𝑖 – faiz dərəcəsinin dəyişməsi (adətən, 1% götürülür) Kapitalın iqtisadi dəyəri onu göstərir ki, faiz dərəcəsinin ∆𝑖

qədər dəyişməsi halında kapital (aktivlə öhdəliyin fərqi) KİD qədər dəyişir.

Məsələ 5.5. Kommersiya bankı 1 il müddətinə 1000 AZN və 2 il

müddətinə 2000 AZN olan depozit qəbul edir. Depozit üzrə faiz dərəcəsi 4% olmaqla illik ödənilir. Bank qəbul etdiyi depoziti gəlirlilik dərəcəsi 6% olmaqla 1 illik və 2 illik olan sıfır kupon dərəcəli 2 istiqraz alır. 1-ci istiqrazın geri çağrılma dəyəri 1100 AZN, 2-ci istiqrazın geri çağrılma dəyəri 1900 AZN olarsa, balans tənliyini qurun və dürasiya qəpini və kapitalın iqtisadi dəyərini hesablayın.

Həlli: Firma qəbul etdiyi depozit məbləğini investisiya etmişdir.

Bank cəmi 3000 AZN depozit qəbul etmiş, qəbul etdiyi depozitə 2 müxtəlif sıfır kuponlu istiqraz almışdır. Hər biri üzrə ödəniş qrafiki aşağıdakı kimi olar:

239

Şəkildən aydın olduğu kimi Bank kiçik faiz dərəcəsi ilə (4%) borc qəbul edib, daha böyük faiz dərəcəsi ilə (6%) investisiya etdiyi üçün 1 ildən və 2 ildən sonra uyğun olaraq 1120 AZN və 2080 AZN borcu olduğu halda 1166 AZN və 2134,84 AZN gəlir praqnozlaşdırır. Gəlir və öhdəliyin 6% ilə cari dəyərin hesablamaqla bankın balansı qurulur:

Aktivlər

Aktivlərin cari dəyəri

Faiz dərəcəsi il Aktivləri

n məbləği Effektiv dürasiya

I istiqraz 1100,00 6% 1 1166,00 II istiqraz 1900,00 6% 2 2134,84 Cəmi 3000,00 6% 1,541 Öhdəliklər

Öhdəliyin cari dəyəri

Faiz dərəcəsi

il Öhdəliyin məbləği

Effektiv dürasiya

I depozit 1056,61 6% 1 1120,00 II depozit 1851,19 6% 2 2080,00 Cəmi 2907,80 6% 1,578 Kapital və ya mənfəət Cəmi 3000,00 – 2907,80 = 92,20

Aktivlərin və öhdəliklərin effektiv dürasiyası uyğun olaraq

aşağıdakı kimi hesablanmışdır:

240

𝐷𝑎 =𝑃𝑎(6%) − 𝑃𝑎(6,01%)

𝑃𝑎(6%)∙ 10000 = 1,541 ;

𝐷ö =𝑃ö(4%) − 𝑃ö(4,01%)

𝑃ö(4%)∙ 10000 = 1,578 .

Dürasiya qəpi aşağıdakı kimi hesablanır:

𝐷𝑞ə𝑝 = 𝐷𝑎 −𝑃𝑉(ö)

𝑃𝑉(𝑎)𝐷ö = 1,541 −

2907,80

3000,00∙ 1,578 = 0,0115 .

Kapitalın iqtisadi dəyəri aşağıdakı kimi hesablanır:

∆𝐾İ𝐷 = −𝐷𝑞ə𝑝 ∙ 𝑃𝑉(𝑎) ∙∆𝑖

1 + 𝑖= −0,0115 ∙ 3000 ∙

1%

1 + 6%= −0,33 .

Kapitalın iqtisadi dəyərinin mənfi olması o deməkdir ki, bu

portfel üzrə (yəni depozit və istiqraz üzrə) faiz dərəcəsinin 1% artması bankın yekun kapitalının nə qədər azalmasına səbəb olacaqdır.

5.3. Portfel üzrə dürasiya

N sayda istiqrazdan ibarət olan portfel üzrə hər bir istiqrazın

qiymətini 𝑃𝑘(𝑖) ilə (1 < 𝑘 < 𝑛), düzəldilmiş dürasiyasını �̅�𝑘 ilə ifadə etsək, onda portfel üzrə dürasiya aşağıdakı kimi təyin olunar:

�̅� =𝑃1(𝑖)

𝑃(𝑖)∙ �̅�1 +

𝑃2(𝑖)

𝑃(𝑖)∙ �̅�2 +⋯+

𝑃𝑛(𝑖)

𝑃(𝑖)∙ �̅�𝑛 .

Məsələ 5.6. Firma gələcək öhdəliklərini qarşılamaq üçün 4 müxtəlif

istiqraz alır. A istiqrazının qiyməti 10 000 AZN, effektiv dürasiyası 5

241

il, B istiqrazının qiyməti 11 000 AZN və effektiv dürasiyası 6 il, C istiqrazının qiyməti 12 000 AZN, effektiv dürasiyası 5,5 il, D istiqrazının qiyməti 14 000 AZN, A effektiv dürasiyası 4 ildir. Portfel üzrə effektiv dürasiyanı tapın.

Həlli: 𝑃(𝑖) = 10000 + 11000 + 12000 + 14000 = 47000 ,

�̅� =𝑃1(𝑖)

𝑃(𝑖)∙ �̅�1 +

𝑃2(𝑖)

𝑃(𝑖)∙ �̅�2 +

𝑃3(𝑖)

𝑃(𝑖)∙ �̅�2 +

𝑃4(𝑖)

𝑃(𝑖)∙ �̅�𝑛 =

=10000

47000∙ 5 +

11000

47000∙ 6 +

12000

47000∙ 5,5 +

14000

47000∙ 4 = 5,06 .

5.4. Faiz dərəcəsinin qabarıqlıq ölçüsü

Daxili gəlirlilik dərəcəsinin dəyişməsi və pul axını üzrə

dürasiyanın dəyişməsi halında daxili gəlirlilik dərəcəsi ilə pul axınının arasında olan əlaqənin həssaslıq ölçüsüdür.

Müxtəlif zaman anları üzrə olan pul axınının qabarıqlığı aşağıdakı kimi təyin edilir:

�̅� =𝑃′′(𝑖)

𝑃(𝑖)

Bəzi ədəbiyyatlarda qeyd edilən ifadə �̅� = 𝑃′′(𝑖)

2∙𝑃(𝑖) kimi verilir.

Qeyd edilən bərəbərliyi funksiyanının 2-ci tərtib törəməsinin təqribi hesablanması ifadəsindən istifadə etməklə aşağıdakı kimi yazmaq olar:

𝑐̅ =𝑃(𝑖 + 0,01%) + 𝑃(𝑖 − 0,01%) − 2 ∙ 𝑃(𝑖)

𝑃(𝑖)∙ 108

242

Məsələ 5.7. Məsələ 5.1. üzrə düzəldilmiş dürasiyanı hesablayın. Həlli: 𝑃𝑉(2%) = 10 ∙ 𝑎4|2% + 100 ∙ 𝑣2%

4 = 130,4618

𝑃𝑉(2,01%) = 10 ∙ 𝑎4|2,01% + 100 ∙ 𝑣2,01%4 = 130,4164

𝑃𝑉(1,99%) = 10 ∙ 𝑎4|1,99% + 100 ∙ 𝑣1,99%

4 = 130,5073

𝑐̅ ≈130,4164 + 130,5073 − 2 ∙ 130,4618

130,4618∙ 108 = 16,38

Yarım ilə uyğun qabarıqlıq 16,38 və ya ilə uyğun qabarıqlıq 16,38/4=4,09-a bərabərdir. Yekun cavabın 4-ə bölünməsinin səbəbi odur ki, qabarıqlıq zamanın kvadratı ilə mütənasibdir.

Məsələ 5.8. 𝑖 faiz dərəcəsi üzrə pul axınının cari dəyəri 𝑃(𝑖) olarsa, isbat

edin ki, 𝑖 + ∆𝑖 faiz dərəcəsi üzrə pul axınının cari dəyəri aşağıdakı kimi hesablanır:

𝑃(𝑖 + ∆𝑖) ≈ 𝑃(𝑖) ⋅ (1 − 𝑣 ∙ ∆𝑖 +1

2∙ 𝑐̅ ⋅ (∆𝑖)2)

Həlli: Məsələ 5.3.-də olduğu kimi 𝑃(𝑖) funksiyasını Makleron

sırasına (Teylor sırasının 𝑎 = 0 olan xüsusi halı) ayrılışını yazaq:

243

𝑃(𝑖 + ∆𝑖) = 𝑃(𝑖) +𝑃′(𝑖)

1!⋅ ∆𝑖 +

𝑃′′(𝑖)

2!⋅ (∆𝑖)2 +⋯

≈ 𝑃(𝑖) ⋅ (1 +𝑃′(𝑖)

𝑃(𝑖)⋅ ∆𝑖 +

𝑃′′(𝑖)

2 ∙ 𝑃(𝑖)⋅ (∆𝑖)2)

= 𝑃(𝑖) ⋅ (1 − 𝑣 ∙ ∆𝑖 +1

2∙ 𝑐̅ ⋅ (∆𝑖)2)

Məsələ 5.9. Məsələ 5.4. üzrə istiqrazın qabarıqlığı 28 olarsa, faiz

dərəcəsinin 7% olması halında istiqrazın qiymətini daha dəqiq hesablayın.

Həlli:

𝑃(𝑖 + ∆𝑖) ≈ 𝑃(𝑖) ⋅ (1 − 𝑣 ∙ ∆𝑖 +1

2∙ 𝑐̅ ⋅ (∆𝑖)2) ⟹

⟹𝑃(7%) ≈ 𝑃(6%) ⋅ (1 − 𝑣 ∙ 1% +1

2∙ 𝑐̅ ⋅ (1%)2) =

= 110 ∙ (1 + 5% +1

2∙ 28 ⋅ 0,01%) = 115,654.

5.5. Dayanıqlılıq (immunization)

Maliyyə təşkilatları qəbul etdikləri öhdəlikləri elə investisiya

etməlidir ki, investisiya proqramı öhdəliklərə qarşı dayanıqlı olsun, başqa sözlə, faiz dərəcəsinin kiçik dəyişməsi nəticəsində öhdəlikləri qarşılamaqda problemlər olmasın. Bu məqsədlə hər hansı bir portfel üzrə aşağıdakı uyğunluqlar olmalıdır:

1. İnvestisiya edilmiş aktivlərin cari dəyəri öhdəliklərin cari dəyərinə bərabər olmalı,

2. Aktivlərin dürasiyası öhdəliklərin dürasiyasına bərabər olmalı,

3. Aktivlərin qabarıqlığı öhdəliklərin qabarıqlığından böyük olmalıdır.

244

Aktivlərlə öhdəliklərin fərqinin faiz dərəcəsindən asılı olaraq cari dəyərini 𝑃(𝑖) ilə işarə etsək, onda qeyd edilən hallara ekvivalent olan aşağıdakı uyğunluq olar:

1. 𝑃(𝑖) = 0 2. 𝑃′(𝑖) = 0 3. 𝑃′′(𝑖) > 0

Məsələ 5.10. Bank müştəridən 10 000 AZN məbləğində illik 8% dərəcəsi

ilə 2 il müddətinə depozit qəbul edir. Depozit müqaviləsinə görə müştəri depozitin yarısını 1 il sonra, yarısını isə müqavilənin sonunda geri alacaq. Bank gələcək öhdəliklərini qarşılamaq məqsədi ilə öhdəliklər məbləğində 1 illik və 2 illik sıfır kuponlu istiqraz alır. İstiqrazlar üzrə gəlirlilik dərəcəsi uyğun olaraq illik 9% və 10% olarsa, dayanıqlılıq əsasında istiqrazlara xərclənən cəmi məbləği hesablayın.

Həlli: Bankın 1 il sonrakı öhdəliyinin məbləği 50000 ∙ 1,08 AZN, 2

ildən sonrakı öhdəliyinin məbləği isə 50000 ∙ 1,082 AZN olar. Fərz edək ki, bankın aldığı 1-ci istiqrazın qiyməti x, 2-ci

istiqrazın qiyməti isə y-dir. Onda investisiya edilmiş aktivlərlə öhdəliklərin fərqinin faiz dərəcəsindən asılı olaraq cari dəyəri aşağıdakı kimi olar:

𝑃(𝑖) = 𝑥 ∙ 1,09 ∙ (1 + 𝑖)−1 + 𝑦 ∙ 1,102 ∙ (1 + 𝑖)−2 − 50000 ×

× 1,08 ∙ (1 + 𝑖)−1 − 50000 ∙ 1,082 ∙ (1 + 𝑖)−2.

Qeyd edilən funksiyanın 1-ci və 2-ci tərtib törəmələrini hesablayaq:

245

𝑃′(𝑖) = −𝑥 ∙ 1,09 ∙ (1 + 𝑖)−2 − 2 ∙ 𝑦 ∙ 1,102 ∙ (1 + 𝑖)−3 + +50000 ∙ 1,08 ∙ (1 + 𝑖)−2 + 2 ∙ 50000 ∙ 1,082 ∙ (1 + 𝑖)−3

𝑃′′(𝑖) = 2 ∙ 𝑥 ∙ 1,09 ∙ (1 + 𝑖)−3 + 6 ∙ 𝑦 ∙ 1,102 ∙ (1 + 𝑖)−4 − −2 ∙ 50000 ∙ 1,08 ∙ (1 + 𝑖)−2 − 6 ∙ 50000 ∙ 1,082 ∙ (1 + 𝑖)−3.

Bank üçün öhdəliklərin 8% olduğunu nəzərə alaraq 𝑃(8%) =

0, 𝑃′(8%) = 0 və 𝑃′′(8%) > 0 bərabərliklərinə əsasən x və y-in qiyməti hesablanır. Sistem tənliyi həll etməklə alarıq ki, 𝑥 =49641,28 və 𝑦 = 48198,35. Həmçinin 𝑃′′(8%) = 128773,89 > 0 olar.

5.6. Faiz dərəcəsi və gəlir əyrisinin zaman strukturu

Faiz dərəcəsinin zaman strukturu zamanın uzunluq ölçüsündən

asılı olaraq dövr üzrə faiz dərəcəsinin dəyişməsinə əsaslanır. Faiz dərəcəsinin zaman strukturuna aid misal aşağıdakı

cədvəldə verilib: İnvestisiyanın uzunluğu

İllik faiz dərəcəsi (sövdələşmə dərəcəsi)

1 4% 2 4,5% 3 5% 4 5,5%

Qeyd edilən cədvələ uyğun kəsilməz qrafiki qurduqda həmin qrafikə gəlir əyrisi deyilir. Gəlir əyrisi üzrə olan faiz dərəcələrinə sövdələşmə dərəcəsi (spot rate) deyilir. Cədvəldə olan bütün faiz dərəcələri bərabər olarsa, belə faiz dərəcəsi vahid faiz dərəcəsi (flat rate) adlanır.

Məsələ 5.11. Sövdələşmə dərəcəsi yuxarıdakı cədvəldəki kimi

verilmişdirsə, 4 il müddətinə hər ilin sonu 500 AZN olan öhdəliklərin

246

a) cari dəyərini hesablayın. b) Vahid faiz dərəcəsini hesablayın. Həlli: a)

𝑃𝑉 =500

(1 + 𝑖1)+

500

(1 + 𝑖2)2+

500

(1 + 𝑖3)3+

500

(1 + 𝑖4)4=

=500

(1 + 4%)+

500

(1 + 4,5%)2+

500

(1 + 5%)3+

500

(1 + 5,5%)4

= 1774,16 b)

𝑃𝑉 = 500 ∙ 𝑎4|𝑖% ⟹ 1774,16 = 500 ∙1 − (1 + 𝑖)−4

𝑖⟹ 𝑖 = 5%

Sövdələşmə faiz dərəcəsinin xüsusi tipi müddətli faiz dərəcəsidir. Müddətli faiz dərəcəsi sövdələşmə faiz dərəcəsinin elə bir növüdür ki, investisiya üzrə k ildən sonrakı m il müddətinə olan orta illik faiz dərəcəsini ifadə edir və 𝑓𝑘𝑘+𝑚 olaraq işarə edilməklə aşağıdakı kimi hesablanır:

(1 + 𝑖𝑘)

𝑘 ∙ (1 + 𝑓𝑘𝑘+𝑚)𝑚 = (1 + 𝑖𝑘+𝑚)

𝑘+𝑚 Düsturdakı 𝑖𝑘 və 𝑖𝑘+𝑚 uyğun olaraq k illik və k + m illik

sövdələşmə dərəcəsidir. Məsələ 5.12. Sövdələşmə dərəcəsi aşağıdakı cədvəldəki kimi verilmişdirsə:

İnvestisiyanın uzunluğu

İllik faiz dərəcəsi (sövdələşmə dərəcəsi)

1 6% 2 7% 3 8% 4 9%

247

a) 1 il sonra 1 illik müddətli faiz dərəcəsini, b) 1 il sonra 2 illik müddətli faiz dərəcəsini, c) 1 il sonra 3 illik müddətli faiz dərəcəsini, d) 2 il sonra 1 illik müddətli faiz dərəcəsini, e) 2 il sonra 2 illik müddətli faiz dərəcəsini, f) 3 il sonra 1 illik müddətli faiz dərəcəsini hesablayın.

Həlli:

a) 1 il sonra 1 illik müddətli faiz dərəcəsi

(1 + 6%)1 ∙ (1 + 𝑓1

2)1 = (1 + 7%)2 ⟹ 𝑓12 = 8,01%

b) 1 il sonra 2 illik müddətli faiz dərəcəsi

(1 + 6%)1 ∙ (1 + 𝑓1

3)2 = (1 + 8%)3 ⟹ 𝑓13 = 9,02%

c) 1 il sonra 3 illik müddətli faiz dərəcəsi

(1 + 6%)1 ∙ (1 + 𝑓1

4)3 = (1 + 9%)4⟹ 𝑓14 = 10,02%

d) 2 il sonra 1 illik müddətli faiz dərəcəsi

(1 + 7%)2 ∙ (1 + 𝑓2

1)1 = (1 + 8%)3⟹ 𝑓21 = 10,03%

e) 1 il sonra 1 illik müddətli faiz dərəcəsi

(1 + 7%)2 ∙ (1 + 𝑓2

2)2 = (1 + 9%)4⟹ 𝑓22 = 11,04%

f) 3 il sonra 1 illik müddətli faiz dərəcəsi

(1 + 8%)3 ∙ (1 + 𝑓3

1)1 = (1 + 9%)4 ⟹ 𝑓31 = 12,06%

248

Tapşırıqlar: 5.1. İstiqrazın nominal qiyməti 1100 AZN məbləğində, kupon

faizi 12%, kupon ödənişlərinin sayı 8, geri ödəniş məbləği 1200 AZN və illik gəlirlilik dərəcəsi 9% olarsa, istiqrazın dürasiyasını hesablayın.

5.2. Nominal dəyəri 1000 AZN, kupon dərəcəsi 6%, illik gəlirliliyi 9%, 30 il müddətinə olan istiqrazın effektiv dürasiyasını hesablayın.

5.3. Firmanın pul axının cari dəyəri 1100 AZN, illik gəlirlilik dərəcəsi 9%, effektiv dürasiyası 5 ildir. İllik gəlirlilik dərəcəsi 8%-ə enərsə, istiqrazın qiymətini hesablayın.

5.4. Firmanın aktivlərinin bazar dəyəri 10000 AZN olmaqla effektiv dürasiyası 3,2 il, öhdəlikləri 9000 AZN olmaqla effektiv durasiyası 3,5 ildir. Aktivlərin investisiya oluna biləcəyi faiz dərəcəsi 8% olarsa, a) dürasiya qəpini və b) kapitalın iqtisadi dəyərini hesablayın.

5.5. Firmanın portfeli aşağıdakı 3 istiqrazı almaqla formalaşdırılır. I. 980 AZN qiyməti olan A istiqrazı üzrə yarım illik kupon 4%

və effektiv dürasiyası 21,46 ildir. II. 1015 AZN qiyməti olan B istiqrazın müddəti 15 il və effektiv

dürasiyası 12,35 ildir. III. 1000 AZN qiyməti olan C istiqrazın effektiv dürasiyası 16,67

ildir. Portfelin effektiv dürasiyasını hesablayın.

5.6. İstiqrazın nominal qiyməti 1000 AZN məbləğində, kupon faizi 6%, kupon ödənişlərinin sayı 10, geri ödəniş məbləği C, illik gəlirlilik dərəcəsi 6% və istiqrazın dürasiyası 6,06 il olarsa, C-ni hesablayın.

5.7. Firma aşağıdakı kimi 3 istiqraz alır. A – istiqrazın dürasiyası 5,5 il, qiyməti 670 AZN B – istiqrazın dürasiyası 7,5 il, qiyməti 760 AZN C – istiqrazın dürasiyası 4 il, qiyməti 810 AZN

249

İstiqrazlar üzrə illik gəlirlilik dərəcəsi 5% olarsa, firmanının cəmi portfeli üzrə dürasiyanı hesablayın.

5.8. Firmanın 1-ci, 4-cü və 7-ci ilin əvvəllərində 1000 AZN olmaqla öhdəlikləri var. Firma öhdəliklərini qarşılamaq üçün illik 10 faiz olmaqla 1-ci və 6-cı il nə qədər dayanıqlı (immunization) investisiya etməlidir?

5.9. Üz qiyməti 100 AZN olmaqla geri qaytarılma qiymətinə bərabər olan istiqraz üzrə ildə iki dəfə hesablanan illik kupon faizi 20%, ildə iki dəfə hesablanan illik gəlirlilik faizi 4% olan istiqraz 2 il müddətinə yarım ildən bir kupon ödənişlərinin ödənilməsi ilə alınıb. İstiqrazın qabarıqlığını hesablayın.

5.10. Firmanın pul axının cari dəyəri 1500 AZN, illik gəlirlilik dərəcəsi 9%, effektiv dürasiyası 5, qabarıqlığı 26 olarsa, illik gəlirlilik dərəcəsi 8%-ə endiyi halda, istiqrazın qiymətini hesablayın.

5.11. Depozit müqaviləsi üzrə 1-2-ci illərdə müqavilə üzrə nöqtəvi (spot) faiz dərəcəsi 7%, 3 ildən 5 ilədək müqavilə üzrə 8%, 5 ildən artıq müddətə olan halda isə 9% olarsa, 𝐟𝟒𝟔 − 𝐟𝟏𝟑 -ü (müddətli faiz dərəcəsi) hesablayın.

5.12. Sövdələşmə (spot) faiz dərəcəsi aşağıdakı kimi verilmişdir. Zaman (il) İllik sövdələşmə (spot) dərəcəsi 1 6% 2 7% 3 8% 4 9%

Firmanın illik sabit öhdəlikləri 1000 AZN olarsa, aşağıdakıları

hesablayın. a) Öhdəliklərin cari dəyərini tapın. b) Öhdəliklərin 1-ci ödənişdən sonrakı ana dəyərini tapın

250

Cavablar:

I HİSSƏ 1.1. �̅� ={dörd detaldan heç biri defektli deyil}; �̅� ={ya bir defektli detal var, ya da defektli yoxdur}; 1.2. 𝐴 ∩ 𝐵 = {zərlərdən birində 1 xalı, digərində 4 xalı düşmüşdür} 𝐴 ∩ �̅� = {zərlərdən birində 2 xalı, digərində 3 xalı düşmüşdür}. 1.3. �̅� ∩ �̅� = {düşən xallar cəmi təkdir və heç bir zərdə 6 xalı düşməmişdir, başqa sözlə, zərlərin birində 6-dan fərqli cüt xal, digərində isə tək xal düşmüşdür}. 1.4. 𝐴\𝐵 = 𝐴 ∩ �̅� =çıxarılan iki kartdan biri tuz qara toxmaq, digəri isə qara toxmaqdır. 1.5. a) 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 ={hər iki atlet 7m-dən uzağa tullanmışdır, eyni zamanda kişi atlet qadın atletdən uzağa tullanmışdır}; c) 𝐴 ∩ �̅� ∩ 𝐶 ={hər iki atlet 7m-dən uzağa tullanmışdır, lakin kişi atlet qadın atletdən uzağa tullanmamışdır}. 1.6. a) 𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω, 𝐴 ∪ 𝐶 = {2, 4, 6}, 𝐵 ∪ 𝐶 = {1, 2, 3, 5}; b) 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ , 𝐴 ∩ 𝐶 = {2} , 𝐵 ∩ 𝐶 = ∅ ; c) 𝐴 və 𝐵 ; 𝐵 və 𝐶 hadisələri uyuşmayan hadisələrdir. 1.7. 37 1.8. a) 53%, b) 3% 1.9. 0,05.

2.1. a) Ω = {(𝑖, 𝑗), 𝑖, 𝑗 = 1, 2, 3, 4 }; b) �̅� ={düşən xallar cəmi 4-dən kiçikdir}; c) 616

; d) 416

; e) 216

2.2. a) 1425

; b) 1; c) 925

2.3. a) 418

; b) 1418

; c) 1218

251

2.4. 𝑃(𝐴) = 1 − 365∙364∙…∙346

36520

2.5. a) 10; b) 0,4 2.6. 0,5 2.7. 0,6369 2.8. 0,5 2.9. 0,48 2.10. 52% 2.11. 1

2(1 + 𝑙𝑛2)

3.1. 0,5 3.2. 0,46667 3.3. 0,173 3.4. 0,205 3.5. 2

5

3.6. 0,1584 3.7. 0,357 3.8. 0,4 3.9. 0,65 3.10. 0,33 4.1. 2

5

4.2. 0,9722 4.3. 0,267 4.4. 0,096 4.5. 0,925 4.6. a) 0,95021 b) 0,61611

4.7. 𝑃(𝑋 = 𝑘) = (4,605)𝑘 ∙ 𝑒−4,605

𝑘!, 𝑘 = 0, 1, 2, …

4.8. 0,0651 4.9. a) 0,027 b) 0,141 4.10. a) 2

36=

1

18 b) 0,0372

252

4.11. 0,0645 4.12. 0,01772 4.13. 0,07938 4.14. 0,0361 4.15. 0,1875 5.1. 760 5.2. -25 AZN 5.3. 16,67 AZN 5.4. a) 𝑃(𝑋 = 1000) = 0,15 və 𝑃(𝑋 = 0) = 0,85 b) 150 AZN 5.5. 220 AZN 5.6. 985 AZN 5.7. 35 5.8. 2 5.9. 699 5.10. 374 5.11. 0,76189 5.12. 11 5.13. 3 və √3 5.14. a) 0,267 b) 0,449 c) 1,067 5.15. 897 6.1. 0,938 6.2. 1

9

6.3. 0,578

6.4. a) 𝑓(𝑥) = {1

4, 3 ≤ 𝑥 ≤ 7

0, 𝑑𝑖𝑔ə𝑟 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎

b) 0 c) 0,5 6.5. 0,118 6.6. a) 0,7517 b) 0,8926 6.7. a) 0,3679 b) 0,2325

253

6.8. a) 𝐹(𝑥) = {1 − 𝑒−𝑥

4, 𝑥 ≥ 00, 𝑑𝑖𝑔ə𝑟 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎

b) 0,368 c) 0,6065

6.9. 0,435 6.10. 0,0948 6.11. 𝐸(𝑋) = 109,39 və 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 33,19 6.12. 1,9 6.13. 17,72 6.14. 0,139 6.15. 348 6.16. 1,707 6.17. 3 6.18. -2,15 6.19. 19 300 6.20. 8,8 6.21. 0,04 6.22. Median 1, 70-ci persentil isə 2-dir. 6.23. 0,693 6.24. 0,4472 6.25. 2,71 6.26. 3 6.27. 0,15076 7.1. 5000 7.2. 10560 7.3. 𝑒𝑡1

2+𝑡22

7.4. 19

27+

8

27𝑒𝑡

7.5. 2 7.6. 𝑒13𝑡

2+4𝑡 7.7. -38 7.8. 0,0125 7.9. 2,2425

254

8.1. (12,04; 15,96) 8.2. (7,62; 12,78) 8.3. (992,16; 1007,84) 8.4. (0,674; 2,326) 8.5. (2998,71; 3001,29) 8.6. (34,66; 50,94)

II HİSSƏ 1.1. (a) 780 AZN (b) 6,5%

1.2. 3,3 il 1.3. 4971,77 AZN

1.4. 4 AZN 1.5. 10 250 AZN 1.6. 7571,43 AZN

1.7. 4,2%

1.8. 5,33%

1.9. 161,05

1.10. 17,4 il 1.11. 14,27%

1.12. 1006,67 AZN

1.13. a) 71,58 AZN, b) 71,18 AZN, c) 72,57 AZN

1.14. 17,67 il 1.15. 38,88

1.16. 2,325

1.17. 2,897

1.18. 68 725,29 AZN

1.19. 231, 92 AZN

1.20. 434,39 AZN

1.21. 0,0905

1.22. 0,15378

1.23. 2

255

1.24. 7,83%

1.25. 604,62 AZN

1.26. -0,21%

1.27. -0,31%

1.28. 1667

1.29. 7994,94

1.30. 3,96%

1.31. 7,77%

1.32. 1

1.33. 5,49%

1.34. 10%

1.35. 6,2%

1.36. a) -7214,08 AZN, b) 13,52%

1.37. 14,5%

1.38. 26,36%

1.39. a) 19,79%, b) 22,22%, c) 20%

1.40. 193,76%

1.41. 406,92 AZN

1.42. a) 10,62%, b) 18,79

1.43. 0,0221.44. a) 21,07%, b) 20,78%, c) 20,51%

1.45. 15%

2.1. 1176,9 AZN

2.2. 8,73

2.3. 28,83 AZN

2.4. 4006,08AZN

2.5. 8747,64 AZN

2.6. 53839,83 AZN 2.7. 331,02 AZN 2.8. 1676,02 AZN 2.9. 12,25%

256

2.10. a) 62 AZN b)73,13 AZN

2.11. 10,12%

2.12. 6194,2 AZN

2.13. 688,22 AZN

2.14. 11451,58 AZN

2.15. 27

2.16. 5(Is)20

2.17. 1666,7 AZN

2.18. 54265,88 AZN 2.19. 139 734,76 AZN

2.20. 116 AZN

2.21. 220,18 AZN

2.22. 719,85 AZN

2.23. 1142,06 AZN

2.24. 6740,02 AZN

2.25. 275,32 AZN

2.26. 60,15 AZN

2.27. 15,63%

2.28. 7,53

2.29. 14268,94 AZN 3.1. 8876,56 AZN 3.2. 663,32 AZN 3.3. 322,34 AZN 3.4. a) 9269,64 AZN; b) 17378,59 AZN; c) 1683,94 AZN 3.5. 0,43257 3.6. 10189,68 AZN 3.7. 97,44 AZN 3.8. 68,06 AZN 3.9. 48,1 AZN 3.10. 18,89 AZN 3.11. 0,151

257

3.12. 336,87 AZN 3.13. 351,35 AZN 3.14. 1760,03 AZN 3.15. 10,86% 3.16. 8139 AZN 3.17. 1,71% 3.18. 9789,57 AZN 3.19. 58,68 AZN 3.20. 229,87 AZN 3.21. 229 037,87 AZN 3.22. 8,696% 3.23. 830,34 AZN 3.24. 14,18% 4.1. 9945,54 AZN 4.2. 794,83 AZN 4.3. 106 AZN 4.4. 1155 AZN 4.5. 4% 4.6. 794,83 AZN 4.7. 1029,41 AZN 4.8. 1105,94 AZN 4.9. 6,05% 4.10. 42391,48 AZN 4.11. 737,91 AZN 4.12. 136 207,39 AZN 4.13. 17,87% 4.14. 100,66 AZN 4.15. 11 128,94 AZN 4.16. 1440,01 AZN 4.17. 6720,08 AZN 4.18. 573,60 AZN

258

4.19. a) 11087,93 AZN, b) - 927 AZN 5.1. 5,83 5.2. 10,9 5.3. 1155 AZN 5.4. a) -0,15 b)13,89 AZN 5.5. 16,77 5.6. 208,35 AZN 5.7. 5,64 5.8. x1=11,88 və x6=18,17 5.9. 16,38 5.10. 1576,95 AZN 5.11. 2,25% 5.12. a) 3319,09 AZN b) 1264,10 AZN

259

Ə L A V Ə L Ə R

Əlavə 1

Φ(𝑥) =1

√2𝜋 ∫ 𝑒−

𝑧2

2 𝑑𝑧𝑥

0 funksiyasının qiymətlər cədvəli

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990

260

Əlavə 2

𝜑(𝑥) =1

√2𝜋 𝑒−

𝑥2

2 funksiyasının qiymətlər cədvəli

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,3989 0,3989 0,3989 0,3988 0,3986 0,3984 0,3982 0,3980 0,3977 0,3973 0,1 0,3970 0,3965 0,3961 0,3956 0,3951 0,3945 0,3939 0,3932 0,3925 0,3918 0,2 0,3910 0,3902 0,3894 0,3885 0,3876 0,3867 0,3857 0,3847 0,3836 0,3825 0,3 0,3814 0,3802 0,3790 0,3778 0,3765 0,3752 0,3739 0,3725 0,3712 0,3697 0,4 0,3683 0,3668 0,3653 0,3637 0,3621 0,3605 0,3589 0,3572 0,3555 0,3538 0,5 0,3521 0,3503 0,3485 0,3467 0,3448 0,3429 0,3410 0,3391 0,3372 0,3352 0,6 0,3332 0,3312 0,3292 0,3271 0,3251 0,3230 0,3209 0,3187 0,3166 0,3144 0,7 0,3123 0,3101 0,3079 0,3056 0,3034 0,3011 0,2989 0,2966 0,2943 0,2920 0,8 0,2897 0,2874 0,2850 0,2827 0,2803 0,2780 0,2756 0,2732 0,2709 0,2685 0,9 0,2661 0,2637 0,2613 0,2589 0,2565 0,2541 0,2516 0,2492 0,2468 0,2444 1,0 0,2420 0,2396 0,2371 0,2347 0,2323 0,2299 0,2275 0,2251 0,2227 0,2203 1,1 0,2179 0,2155 0,2131 0,2107 0,2083 0,2059 0,2036 0,2012 0,1989 0,1965 1,2 0,1942 0,1919 0,1895 0,1872 0,1849 0,1826 0,1804 0,1781 0,1758 0,1736 1,3 0,1714 0,1691 0,1669 0,1647 0,1626 0,1604 0,1582 0,1561 0,1539 0,1518 1,4 0,1497 0,1476 0,1456 0,1435 0,1415 0,1394 0,1374 0,1354 0,1334 0,1315 1,5 0,1295 0,1276 0,1257 0,1238 0,1219 0,1200 0,1182 0,1163 0,1145 0,1127 1,6 0,1109 0,1092 0,1074 0,1057 0,1040 0,1023 0,1006 0,0989 0,0973 0,0957 1,7 0,0940 0,0925 0,0909 0,0893 0,0878 0,0863 0,0848 0,0833 0,0818 0,0804 1,8 0,0790 0,0775 0,0761 0,0748 0,0734 0,0721 0,0707 0,0694 0,0681 0,0669 1,9 0,0656 0,0644 0,0632 0,0620 0,0608 0,0596 0,0584 0,0573 0,0562 0,0551 2,0 0,0540 0,0529 0,0519 0,0508 0,0498 0,0488 0,0478 0,0468 0,0459 0,0449 2,1 0,0440 0,0431 0,0422 0,0413 0,0404 0,0396 0,0387 0,0379 0,0371 0,0363 2,2 0,0355 0,0347 0,0339 0,0332 0,0325 0,0317 0,0310 0,0303 0,0297 0,0290 2,3 0,0283 0,0277 0,0270 0,0264 0,0258 0,0252 0,0246 0,0241 0,0235 0,0229 2,4 0,0224 0,0219 0,0213 0,0208 0,0203 0,0198 0,0194 0,0189 0,0184 0,0180 2,5 0,0175 0,0171 0,0167 0,0163 0,0158 0,0154 0,0151 0,0147 0,0143 0,0139 2,6 0,0136 0,0132 0,0129 0,0126 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 0,0107 2,7 0,0104 0,0101 0,0099 0,0096 0,0093 0,0091 0,0088 0,0086 0,0084 0,0081 2,8 0,0079 0,0077 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0067 0,0065 0,0063 0,0061 2,9 0,0060 0,0058 0,0056 0,0055 0,0053 0,0051 0,0050 0,0048 0,0047 0,0046 3,0 0,0044 0,0043 0,0042 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 0,0035 0,0034

261

Əlavə 3

𝑡𝛾 = 𝑡(𝛾, 𝑛)-nin qiymətlər cədvəli

262

Əlavə 4 – Maliyyə kalkulyatoru Maliyyə kalkulyatorları digər kalkulyatorların funksiyalarını özündə cəm etməklə yanaşı, bəzi riyazi hesablamaları, həmçinin maliyyə alətləri üzrə də əksər hesablamaları aparmağa köməklik göstərir. Bu kalkulyatorların istehsal tarixindən və növündən asılı olaraq ümumi hesablamalar və prinsiplər saxlanılmaqla imkanları müxtəlif ola bilər. Belə kalkulyatorları “smartfon” telefonlara da internet bazarlarından endirib istifadə etmək olar.

Bu kitabda haqqında danışılan Texas Instruments firmasına aid BA IIPLUS™ PROFESSIONAL kalkulyatorudur. Qeyd edək ki, burada hesablamalar üçün nəzərdə tutulan alətlər eyni adla Microsoft Office proqramı olan Exceldə də vardır. Kalkulyatorun bəzi düymələrinin funksiyaları ilə tanış olaq:

Kalkulyatorda hər bir düymə 2 funksiyanı - düymənin üzərində və arxa yuxarı tərəfində qeyd edilmiş funksiyaları həyata keçirir. Normal halda düymənin üzərindəki funksiyanı həyata keçirirsə, düyməsini (sol tərəfdə, yuxarıdan aşağıya 2-ci düymə) basdıqdan sonra basılan düymə arxa yuxarı tərəfində qeyd edilmiş funksiyaları həyata keçirir.

Kalkulyatorun ilk düyməsi olan hesablama əmri, onun altında olan isə əməliyyatlardan çıxış və ya bitirmə, isə daxil et əmridir.

Kalkulyator ilə bağlı ətraflı məlumatı aşağıdakı saytından əldə edə bilərsiz. http://www.math.binghamton.edu/arcones/346/TI-BA-II-Plus.pdf

↑ və ↓ düymələri ekranda olan funksiyaları dəyişmək üçün istifadə edilir. Kalkulyator normal halda yüzdə bir dəqiqliklə

263

hesablama nəticələrini göstərir. Dəqiqliyi dəyişmək üçün düymələr ardıcıllığı belədir: (5 rəqəm dəqiqliyə keçmək üçün). Kalkulyatorda hesablamanın nəticəsini yadda saxlamaq üçün düyməsindən, yaddaşdan çağırmaq üçün düyməsindən istifadə edilir. Yaddaşda olan ədədlər əmri vasitəsi ilə yoxlanılır. Ekranı təmizləmək üçün , yaddaşı təmizləmək üçün isə əmrindən istifadə edilir.

Kalkulyator üzrə riyazi hesablamaları aparmaq üçün aşağıdakı misala baxaq:

Misal.

3,2 + 4,9 + 2,7 ∗ 5,6 + 𝑠𝑖𝑛37° + 0,96,5

Həlli: Bu misalın kalkulyator üzrə 2 cür həllini yazacağıq. Aşağıda göstərilən düymələr ardıcıllığını basmaq lazımdır:

a. cavab 24,54

b.

c. cavab 24,54 Əlavə olaraq qeyd edək ki, hesablama dərəcə ilə deyil,

radianla (ədədlə) olarsa, o zaman düyməsi ilə radiana keçirilir. düyməsi vasitəsilə tarixlər arasındakı məsafənin

günlərlə sayı ölçülür. Kalkulyatora tarix aşağıdakı formatda daxil edilir:

Ay.günİL (ilin son 2 rəqəmi yazılır.məs: 1994 →94, 2009→09)

264

Məsələ 1.6. Firma 25.01.2012-ci il tarixində bankdan 1 000 000 AZN

məbləğində 13.04.2012-ci il tarixədək illik 15% olan sadə faiz ilə borc götürmüşdür. Zamanın hesablanması ilə bağlı olaraq hər üç metoddan istifadə edərək qaytarılan borcun məbləğini hesablayın.

Həlli: 25.01.2012 ilə 13.04.2012 arasındakı günlərin sayı

1. Dəqiq sadə faiz –

DT1

DT2

DBD cavab 79 DT1

DT2

DBD cavab 366

𝐴(𝑡) = 1000000 ∙ (1 + 79

366∗ 15%) = 1032377,05

2. Adi sadə faiz – ACT 360

DT1

DT2

DBD cavab 78 ACT 360DT1

DT2

DBD cavab 360

𝐴(𝑡) = 1000000 ∙ (1 + 78

360∗ 15%) = 1032500

265

3. Bank qaydaları – ACT

DT1

DT2

DBD cavab 79 ACT 360DT1

DT2

DBD cavab 360

𝐴(𝑡) = 1000000 ∙ (1 + 79

360∗ 15%) = 1032916,67

düyməsi nominal faiz dərəcəsinin effektiv faizə və

tərsinə keçid funksiyalarını icra edir. düyməsini basdıqda ekranda görünən EFF (effektiv faiz), NOM (nominal faiz), (bir ildə faizin hesablanma sayı) dəyişənləri vasitəsi ilə hesablama aparılır.

Məsələ 1.11. Aylıq hesablanan illik nominal faiz dərəcəsi 18% olarsa, illik effektiv faizi hesablayın.

Həlli:

NOMC/Y

EFF cavab 19,56% Məsələ 1.12.

Aylıq hesablanan illik nominal faiz dərəcəsi 14% olarsa, rüblük hesablanan illik nominal faiz dərəcəsini hesablayın.

266

Həlli:

NOMC/Y

EFF cavab 14,93%

NOMcavab 14,16% Məsələ 1.13.

Yarım illik hesablanan illik nominal faiz dərəcəsi 10% olarsa, rüblük hesablanan illik nominal diskont dərəcəsini hesablayın.

Həlli: Əvvəlcə effektiv faiz tapılır:

NOMC/Y

EFF cavab 10,43% Sonra effektiv diskont dərəcəsi tapılır:

cavab 9,44% Sonra nominal diskont dərəcəsi tapılır:

EFFC/Y

NOM cavab -9,79% Kalkulyatorda bəzi maliyyə hesablamalarını yerinə yetirmək

üçün nəzərdə tutulan yuxarıdan 2-ci sətirdə yerləşən əmrlər və dəyişənlər aşağıdakı kimidir.

267

Düymənin adı

Funksiya və ya dəyişənin

adı

Düyməyə aid dəyişənlər (

vasitəsi ilə keçid olur)

Dəyişənin adı və icrası

Pul axını (cash flow)

CF0 cari andakı pul axının cəmi məbləği (mənfi və ya müsbət)

C01 1-ci dövrdə pul axının cəmi məbləği (mənfi və ya müsbət)

F01 1-ci andakı pul axının cəmi məbləğinin sabit qaldığı dövrlərin sayı

C02, F02, ...

uyğun olaraq növbəti dövrlərdə pul axının cəmi məbləğinin sabit qaldığı dövrlərin sayı

Xalis cari dəyər (netto present value)

I dövr üzrə effektiv faiz dərəcəsi

NPV Xalis cari dəyər NFV Xalis gələcək dəyər

Daxili gəlirlilik dərəcəsi (internal rate of return) Məsələ 1.22.

Sığorta şirkəti 10000 AZN xərcləməklə yeni filial açır. Filial üzrə 5 il ərzində aşağıdakı kimi pul axınını proqnoz edir və dövrün sonuna filialın hesabında 22500 AZN qalır:

268

a) Verilənlər üzrə illik daxili gəlirlilik dərəcəsini tapın. b) Verilənlər üzrə gəlirlilik illik 5% nəzərdə tutulmuşdursa, pul

axının xalis cari dəyərini tapın.

Həlli: Zaman anlarına uyğun pul axını aşağıdakı kimi olmuşdur:

Zaman anları Pul axını

0 8000 + 10000 = 18000 1 5000 – 5000 = 0 2 6000 – 5000 = 1000 3 6000 – 4000 = 2000 4 6000 – 4000 = 2000 5 -22500 – 4000 = -26500

Zaman anlarına uyğun pul axınını kalkulyatora daxil edək:

CF0

C01

F01

C02

F02

C03 F03

C04

a) cavab 3,32% b) I cavab 1516,67

Kalkulyatorun bu imkanlarından istifadə etməklə kitabın

Məsələ 1.7, 1.19, 1.21-ci məsələlərini həll etmək mümkündür. Annuitetlər nəzəriyyəsi ilə bağlı hesablamalar kalkulyatorun

3-cü sətrində yerləşən düymələr vasitəsi ilə həyata keçirilir.

269

Düymənin adı Funksiya və ya dəyişənin adı

Düyməyə aid dəyişənlər ( vasitəsi ilə keçid

olur)

Dəyişənin adı və icrası

Dövrlərin sayı (number) İllik faiz dərəcəsi (interest year) Cari dəyər (present value) İllik ödəniş (payment) Gələcək dəyər (future value)

Faizin ödənilmə sayı (per year)

P/Y faizin ödənilmə sayı (per year)

C/Y faizin hesablanma sayı (compute year)

Amortizasiya (amortization)

P1 İlk ödənişin zamanı

P2 Son ödənişin zamanı

BAL Balans, Borc PRN Əsas məbləğ INT Faiz məbləği

ödənişlərin dövrün əvvəlində olması rejimi

Hər hansı əməliyyatlar üzrə yaddaşın təmizlənməsi (clear work)

Məsələlərin kalkulyator vasitəsi ilə həlli zamanı dəyişənləri daxil edərkən mənfi və ya müsbət daxil etmək lazım olduğuna xüsusi diqqət yetirmək lazımdır. Məsələn kredit üzrə kredit məbləği müsbət daxil edildikdə aylıq ödənişlər mütləq mənfi olmalıdır. Çünki kredit borcalana daxil olan məbləğ, kredit üzrə ödənişlər isə ondan çıxan məbləğlərdir.

270

Məsələ: Bankın kredit faiz dərəcəsi illik 8% olmaqla aylıq hesablanır, 5 il müddətinə 5000 AZN kredit məbləği üzrə aylıq kredit ödənişləri nə qədər olar?

Həlli:

cavab -101,38

Məsələ 2.4. Bankın kredit faiz dərəcəsi illik 8% olmaqla illik hesablanır, 5 il müddətinə 5000 AZN kredit məbləği üzrə aylıq kredit ödənişləri nə qədər olar?

Həlli:

P/YC/Y

cavab -100,72 Məsələ 2.7:

Bankın kredit faiz dərəcəsi illik 8% olmaqla illik hesablanır, 5 il müddətinə 5000 AZN kredit məbləği üzrə dövrün əvvəlində ödənilən aylıq kredit ödənişləri nə qədər olar?

Həlli: İlkin olaraq aşağıdakı kimi rejiminə keçmək lazımdır:

271

P/Y

C/Y

cavab -100,07 Məsələnin həllindən sonra aşağıdakı kimi yenidən adi rejimə

qayıtmaq lazımdır. Məsələni həll etdikdən sonra aşağıdakı kimi kalkulyatorun

yaddaşını təmizləyə bilərsiniz:

Məsələ 2.9. Firma cari tarixdə etdiyi 50000 AZN investisiya üzrə 3 ildən sonra 5 il boyunca X məbləğində gəlir əldə edir. Qeyd edilmiş 8 il ərzində illik gəlirlilik dərəcəsi 8% olarsa, X-i hesablayın.

Həlli:

cavab -3,99 -3,99

cavab 3,17 X=50000/3,17=15775,15 Məsələ 2.11. 50000 AZN ipoteka krediti götürən şəxs üçün

aylıq hesablanan illik faiz dərəcəsi 8% olmaqla kredit 25 il müddətinə

272

aylıq ödənilməlidir. Krediti götürən şəxs 3 ildən sonra dövrü ödəniş-lərdən əlavə 3500 AZN borc məbləğindən ödəyir. Sonrakı dövr üzrə a) Aylıq ödənişlər sabit qalarsa, ipotekanın müddəti nə qədər azalar? b) Şişirdilmiş ödənişi tapın. c) Azaldılmış ödənişi tapın. d) İpotekanın müddəti sabit qalarsa, aylıq ödənişlər nə qədər azalar?

Həlli:

İlkin olaraq ipoteka krediti üzrə aylıq ödənişlərin məbləğini tapılır:

cavab -385,91 Sonra ipoteka götürənin 3-cü ilin sonuna ipoteka üzrə borc

məbləği hesablanır:

cavab -47868,85 Yeni kreditinin məbləği 47868,85–3500 = 44368,85 olar.

a)

cavab 218,9

273

b)

cavab -339,93 ş𝑖ş𝑖𝑟𝑑𝑖𝑙𝑚𝑖ş = 385,91 + 339,93 = 725,84

c)

cavab -38,48 𝑎𝑧𝑎𝑙𝑑𝚤𝑙𝑚𝚤ş = 38,48

d) İpotekanın müddətinə 22 il və ya 264 ay kimi baxılır. Yeni aylıq ödənişləri hesablayaq:

44368,85 = 𝑋 ∗ 𝑎264 = 𝑋 ∗1 − (1 + 0,6667%)−264

0,6667%⟹

𝑋 = 357,69

cavab -357,69 Aylıq ödənişlərin azalması 28,22 AZN (385,91 − 357,69 = 28,22).

Məsələ: Bankın kredit faiz dərəcəsi illik 8% olmaqla aylıq hesablanır, 5 il müddətinə 5000 AZN kredit götürülmüşdürsə,

a) 1-ci ilin sonuna kredit borcunu tapın. b) 1-ci ilin sonunadək kredit ödənişlərinin hansı hissəsi əsas

məbləğ üzrə olmuşdur?

274

c) 1-ci ilin sonunadək kredit ödənişlərinin hansı hissəsi faiz üzrə olmuşdur?

d) 2-ci il ərzində kredit ödənişlərinin hansı hissəsi əsas məbləğ üzrə olmuşdur?

e) 2-ci il ərzində kredit ödənişlərinin hansı hissəsi faiz üzrə olmuşdur?

Həlli:

cavab -101,38 a)

P1 P2

BAL cavab 4152,81 b) PRN cavab -847,19 c) INT cavab -369,37 d)

P1 P2

PRN cavab -917,49 e) INT cavab -299,07 Məsələ 3.2. Firmanın borc üzrə 25 dövr üzrə hər dövrə 300 AZN öhdəliyi

var. Əgər illik faiz dərəcəsi 8% olarsa, firma ilk 10 il ərzində faiz üzrə və əsas məbləğə cəmi nə qədər ödəniş etmiş olar.

275

Həlli:

cavab -3202,43

P1 P2

BAL cavab 2567,84 PRN cavab 634,59

INT cavab 2365,41 Məsələ 4.2. Elektronika firması aktivlərinin 5%-i məbləğində 7 000 AZN

məbləğində olan sukuk satır. Sukuk 5 ildən sonra bazar dəyərində geri çağrılacaq. Sukukun kupon dərəcəsi (kirayə qiyməti) firmanın illik gəlirlilik dərəcəsinə bərabər olmaqla ildə 2 dəfə hesablanır və bazar dəyərinin 6%-i həcmindədir. Firmanın 5 illik fəaliyyəti aşağıdakı kimi olmuşdur. Sukukun illik nominal gəlirliliyini hesablayın.

Yarımillik dövr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Sukukun aid olduğu aktivin ba-zar dəyəri

7200 7200 7400 7400 7400 7600 7600 7600 7800 7800

Həlli: Verilən şərtləri aşağıdakı kimi göstərək:

𝑛 = 2 ∙ 5 = 10, 𝑟 =6%

2= 3%.

Sukuk üzrə pul axınını aşağıdakı kimi təsvir etmək olar:

276

Zamana uyğun pul axınını kalkulyatora daxil edək:

CF0

C01

F01

C02

F02

C03 F03

C04

F04 C04

4,15%, 𝑖(2) = 2 ∗ 4,15% = 9,3%

Məsələ 5.2. Üz qiyməti 100 AZN olmaqla geri qaytarılma qiymətinə bərabər olan istiqraz üzrə ildə iki dəfə hesablanan illik kupon faizi 20%, ildə iki dəfə hesablanan illik gəlirlilik dərəcəsi 4% olan 2 il müddətinə yarımildən bir kupon ödənişlərinin ödənilməsi ilə alınıb. İstiqrazın il üzrə dürasiyasını və düzəldilmiş dürasiyasını hesablayın.

Həlli: Məsələnin kalkulyatorun funksiyalarının imkanları ilə və

əlavə olaraq ümumi yanaşma ilə həllinə baxaq:

I. Məsələ üzrə istiqrazın başlanma və son tarixi göstərilmədiyi üçün şərti olaraq başlanğıc tarix 01.01.2012-ci il, son tarixi 01.01.2014-ci il götürək.

SDT= (müqavilənin başlanğıc tarixi) CPN=(illik kupon faizi)RDT=(müqavilənin son tarixi)

277

RV=

ACT2/YYLD(illik gəlirlilik faizi)PRI cavab 130,4618 (istiqrazın qiyməti) AI DURcavab 1,7426 (düzəldilmiş dürasiya)

II.

cavab-130,4618

cavab -130,4164 Düzəldilmiş dürasiya:

�̅�𝑠 ≈130,4618 − 130,4164

130,4618∙ 10000 = 3,48

�̅�𝑖𝑙 =∗�̅�𝑠2=3,48

2= 1,74

�̅�𝑖𝑙 = �̅�𝑖𝑙 ∙ (1 + 2%) = 1,74 ∙ 1,02 = 1,78

Kalkulyatorun başqa maraqlı funksiyası da statistik məlumatları kalkulyatora daxil etməklə statistik hesablamaların kalkulyator vasitəsi ilə hesablanmasıdır.

Məsələ: Sığorta şirkətinin ötən illər ərzində avtonəqliyyat vasitələrinin

gövdə sığortası (X) və məsuliyyət sığortası növləri üzrə (Y) hər 1000 sığorta müqaviləsində aşağıdakı kimi sığorta ödənişləri olmuşdur. Sığorta tarifinin hesablanması məqsədi ilə müxtəlif statistik alətləri (hər bir növ üzrə riyazi gözləmə və dispersiya, kovariasiya əmsalı və korrelasiya əmsalı, I və II tərtib başlanğıc momentləri və s.) hesablayın.

278

İllər gövdə sığortası (X) məsuliyyət sığortası (Y) 2010 300 000 20 000 2011 250 000 18 000 2012 330 000 22 000 2013 400 000 30 000 2014 430 000 34 000

Həlli:

X01 Y01 X02 Y02 X03 Y03 X04 Y04 X05 Y06

LIN (xətti reqressiya üzrə)n=5 (statistik dövrlərin sayı) x̅=342 000 (X üzrə orta qiymət) Sx=73 280 (X üzrə düzəliş edilmiş dispersiya) σx=65 544 (X üzrə dispersiya) y̅=24 800 (Y üzrə orta qiymət) Sy=6 870 (Y üzrə düzəliş edilmiş dispersiya) σy=6 145 (Y üzrə dispersiya) a=- 6598 (xətti reqressiya üzrə əmsal) b=0,09 (xətti reqressiya üzrə əmsal) r=0,98 (korrelyasiya əmsalı)

279

Əlavə 5 – Kitabda istifadə olunan bəzi beynəlxalq terminlər

A absolute matching – mütləq uyğunluq (zaman anlarına uyğun öhdəlikləri təmin etmək üçün aktivlərin investisiyası halı) accrued coupon or interest – hesablanmış kupon ödənişi accumulated value – yığılmış dəyər accumulation factor – yığım əmsalı accumulation bonds – yığım istiqrazları accumulation function – yığım funksiyası accumulation of discount – diskont yığımı actuarial assumption – aktuar fərziyyəsi amortization method – amortizasiya (borcun tədricən ödənilməsi) metodu amount function – məbləğ funksiyası amount of interest – faiz məbləği annuities payable monthly – aylıq ödənişli annuitet annuity-certain – müəyyən annuitet (qeyd edilmiş müddətdə zəmanətli ödənişlər seriyası) annuity-immediate or ordinary annuity – sadə annuitet (ilk ödənişin tarixi müqavilədən vahid dövr sonra olan hal) assessment – qiymətləndirmə assumption – fərziyyə, ehtimal

B banker’s rule method – bank qaydası metodu (bu qayda ilə bir il 360 gün, keçən günlərin sayı müvafiq ilə uyğun götürülür) base amount – baza məbləği benefit - qazanc bond amortization schedule – istiqrazın amortizasiya qrafiki bonds with coupons – kuponlu istiqrazlar

280

C

callable bond – çağırıla bilən istiqraz cash inflows – pul vəsaitlərinin daxilolmaları call option – alış hüququ (törəmə maliyyə aləti) common stock – adi səhmlər complete life expectation – tam ölüm yaşı compound discount – mürəkkəb diskont compound interest – mürəkkəb faiz continuously – kəsilməz convertible bond – çevrilə bilinən istiqrazlar (səhmə çevrilə bilən)convexity – qabarıqlıq coupon rate – kupon dərəcəsi

D decreasing annuity-immediate – azalan sadə annuitetlər deferred annuity – təxirə salınmış annuitet default – iflas density function – sıxlıq funksiyası derivative – törəmə qiymətli kağız discount – diskont discount rate – diskont dərəcəsi discounted cash flow – diskontlaşdırılmış pul vəsaitləri distribution functions – paylanma funksiyası dividend – dividend duration – dürasiya dollar-wighted rate of interest – məbləğ çəkili faiz dərəcəsi (artımın sadə faizlə olması nəzərdə tutulur)

E effective rate of interest – effektiv faiz dərəcəsi equation of value – dəyər tənliyi

281

enterprise - müəssisə exact simple interest – dəqiq sadə faiz

F fixed-rate and floated-rate bonds – sabit və dəyişkən dərəcəli (faizli) istiqrazlar flat price – istiqrazın alış qiyməti force of interest – intensiv faiz force of mortality – ölümün gücü, intensivliyi forward interest rate – forward tipli faiz dərəcəsi future value – gələcək dəyər

G gain - qazanc

I income – gəlir increasing annuity – sabit artan annuitetlər mthly increasing mthly payable annuities – aylıq artımlı aylıq ödənişli annuitetlər inflation – inflasiya insurance - sığorta internal rate of return – daxili gəlirlilik faizi investment – investor investment period length – investisiya periodunun uzunluğu issue - problem

J joint – birgə

L liability – öhdəlik

282

life annuity – həyat annuitetləri life expectation – ölüm yaşı linear interpolation – xətti interpolyasiya

M market price – bazar qiyməti maturity date – son ödəmə tarixi management – idarəetmə money market instruments – pul bazarı alətləri mean - orta modified coupon rate – düzəldilmiş kupon dərəcəsi modified duration – düzəldilmiş dürasiya mortgage bond – ipoteka istiqrazı

N net cash flow – xalis pul vəsaitlərinin axını net present value – xalis cari dəyər nominal rate of interest – nominal faiz dərəcəsi nominal yield – nominal gəlir

O ordinary simple interest – adi sadə faiz

P paid - ödəmə par value or face value – nominal dəyər payment period – ödəniş periodu payments varying in an Arithmetic Progression – ədədi silsilə ilə dəyişən ödənişlər payments varying in a Geometric Progression – həndəsi silsilə ilə dəyişən ödənişlər periodic rent – dövrü ödənişli icarə

283

perpetual bonds – müddətsiz istiqrazlar practical method – praktik metod premium – premiya, sığorta haqqı present value – cari dəyər present value or discounted (back) value – cari dəyər və ya diskontlanmış dəyər price – qiymət, məzənnə profit – mənfəət provide – təmin etmək probability – ehtimal put option – satış hüququ (törəmə maliyyə aləti)

Q quarter - rüb

R rate of compound interest – mürəkkəb faiz dərəcəsi rate of inflation – inflyasiya dərəcəsi rate of death – ölüm əmsalı (ehtimalı) redemption date of a bond – istiqrazın son tarixi redemption value of a bond – istiqrazın geri çağrılma dəyəri registered and unregistered bonds – qeydiyyatlı və qeydiyyatsız istqrazlar relative – nisbi report - hesabat

S salary - əmək haqqı semi-annually – yarım illik share – səhm simple discount – sadə diskont sinking fund schedule – yatırım fond cədvəli

284

solvency – ödəmə qabiliyyəti surplus – artıq short sales – hər hansı bir qiymətli kağız cari tarixdə satılır, vahid dövrdən sonra gələcək dəyərində geri alınacaq sukuk – şəhadətnamə (islami istiqrazlar) survival function – yaşam funksiyası

T term – müddət theoretical method – nəzəri metod time diagram – zaman diaqramı time-wighted rate of interest – zaman çəkili faiz dərəcəsi treasury bills – xəzinədarlıq vərəqələri

U unpaid principal – əsas vəsaitin ödənilməmiş hissəsi uniform – müntəzəm

V volatility – dəyişkənlik varying annuity-immediate – ilk ödəniş vahid dövr sonra olan dəyişən ödənişli annuitet varying annuity-due – ilk ödənişi cari tarixdə olan dəyişən ödənişli annuitet

W warrant – zəmanət vermək

Y yield – məhsul, gəlir yield curve – gəlir əyrisi

285

İstifadə olunan ədəbiyyat

1. A Probability Course for the Actuaries: A Preparation for Exam

P/1, 2013.

2. A Basic Course in the Theory of Interest and Derivatives Markets:

A Preparation for the Actuarial Exam FM/2, 2014.

3. Əhmədova H. M. Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika, 2002.

4. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая

статистика, 2003.

5. Бородин А. Н. Элементарный курс теории вероятностей и

математической статистики, 2002.

6. Dimitri P. Bertsekas and John N. Tsitsiklis, Introduction to

Probability, 2000.

7. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории

вероятностей и математической статистике, 1975.

8. Майкл М. Парментер, Теория процентов, страхования жизни

и пенсионного страхования (перевод с английского под

редакцией Уржумовой Д.С., Кныковой А.У.).