Gog, Magog et involution de Schützenberger · 2011-07-20 · Gog, Magog et involution de Schützenberger Hayat Cheballah LIPN-Université Paris 13 Journées ALÉA 8 avril 2011

Gog, Magog et involution de Schützenberger

Hayat Cheballah

LIPN-Université Paris 13

Journées ALÉA

8 avril 2011

Le schéma

TSSCPPs2n×2n×2n Magogn ASMsnGogn

?

Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger

Matrices à signes alternants(ASM)

Matrice carrée de 0, 1,−1, telle quedans chaque ligne et dans chaquecolonne

Les 1 et −1 apparaissentalternativement.

La somme sur chaque ligne etsur chaque colonne est égale à1.

0 1 0 0 00 0 1 0 01 −1 0 0 10 1 −1 1 00 0 1 0 0


Partitions planes(PP) : elles peuvent être vues comme unempilement de cubes dans un coin.

une PP est une 3D-partition :tableau bidimensionnel h de suitesdécroissantes d'entiers en ligne et encolonne

6654336643336643324331333332


TSSCPP

PP Totalement symétriques Auto-complémentaires (TSSCPP)

Les TSSCPPs de taille 2n× 2n× 2nsont munies de toutes les symétriesde l'hexagone.

⇒ Domaine fondamental : douzième de l'hexagone original.


Enumération et Problématique

Théorème [Zeilberger]

|ASMsn×n| =n−1∏j=0

(3j + 1)!(n+ j)!

= |TSSCPPs2n×2n×2n|


Enumération et Problématique

Théorème [Zeilberger]

|ASMsn×n| =n−1∏j=0

(3j + 1)!(n+ j)!

= |TSSCPPs2n×2n×2n|

Problème ouvert

Donner une construction bijective.


Triangles de Gelfand-Tsetlin de taille n

Arrangement triangulaire de n(n + 1)/2 éléments X =(xi,j)16j6i6n

xn,1 6 xn,2 6 xn,3 6 · · · 6 xn,n

xn−1,1 6 xn−1,2 6· · ·6 xn−1,n−1

xn−2,1 · · · xn−2,,n−2

· · · · · ·

x1,16

6

6

6

66

>

>

>

> >


Triangle Gog de taille n

arrangement triangulaire de n(n+ 1)/2 éléments ∈ [[1, n]]

xn,1 < xn,2 < xn,3 < · · · < xn,n

xn−1,1 < xn−1,2 <· · ·< xn−1,n−1

xn−2,1 · · · xn−2,n−2

· · · · · ·

x1,16

6

6

6

66

>

>

>

> >


Triangle Gog de taille n

arrangement triangulaire de n(n+ 1)/2 éléments ∈ [[1, n]]

q1 q2 q3 · · · qn

xn,1 < xn,2 < xn,3 < · · · < xn,n

xn−1,1 < xn−1,2 <· · ·< xn−1,n−1

xn−2,1 · · · xn−2,n−2

· · · · · ·

x1,16

6

6

6

66

>

>

>

> >


Statistiques

X triangle Gog de taille n.

l(X) : x1,1

r(X) : ]k tel que xk,k = n

1 2 3 4 51 3 4 5

1 4 (5)2 4

(3)

l(X) = 3 r(X) = 3

ASMj

i

1

11 −1 1

1 −11

1


Trapèzes Gog

(n, k, l)−Gog trapèze : les l dernières diagonales Est des k lignesdu bas tel que (l 6 k) d'un triangle Gog et de niveau n.• • • • •• • • n

• • •• ••

k

l (n, 4, 2)-Gog Trapèze


Prolongement canonique d'un (n, k, l)−Gog trapèze en un(n, k)−Gog trapèze en insérant à l'ouest de ce (n, k, l)−Gogtrapèze le Gog de taille k − l suivant

• n

• •• •

• •• •

• ••

l

k



1 2 3 4 · · ·1 2 · · · · · ·· · · · · · · · ·

1 21

k − l• n

• •• •

• •• •

• ••

l

k



1 2 3 4 · · ·1 2 · · · · · ·· · · · · · · · ·

1 21

• n

• •• •

• •• •

• ••

1 · · · · · · · · · n

• · · · · · · •1 2 3 4 · · · n− 1 n


Triangles Magog de taille n

Arrangement triangulaire de n(n+ 1)/2 éléments ∈ [[1, n]]

xn,1 6 xn,2 6 xn,3 6 · · ·6 xn,n 6 n

xn−1,1 6 xn−1,2 6· · ·6 xn−1,n−1 6 n− 1

xn−2,1 · · · xn−2,n−2 6 n− 2

· · · · · ·

x1,1 6 16

6

6

6

66

>

>

>

> >


Statistiques

X un triangle Magog de taille n

l(X) =(∑n

j=1 xn,j −∑n−1

j=1 xn−1,j

)r(X) : hauteur de sortie du Chemin de X

1 1 2 3 4 51 1 3 3 4

1 1 3 41 2 3

1 21


Statistiques


l(X) =(∑n

j=1 xn,j −∑n−1

j=1 xn−1,j


1 1 2 3 4 51 1 3 3 4

1 1 3 41 2 3

1 21

P16P12

l(X) = 4


Statistiques


l(X) =(∑n

j=1 xn,j −∑n−1

j=1 xn−1,j


1 1 2 3 4 51 1 3 3 4

1 1 3 41 2 3

1 21

4k = max{j/xjj = j}

xkk

l(X) = 4


Statistiques


l(X) =(∑n

j=1 xn,j −∑n−1

j=1 xn−1,j


1 1 2 3 4 51 1 3 3 4

1 1 3 41 2 3

1 21

3 4k = max{j/xjj = j}

xkk

l(X) = 4


Statistiques


l(X) =(∑n

j=1 xn,j −∑n−1

j=1 xn−1,j


1 1 2 3 4 51 1 3 3 4

1 1 3 41 2 3

1 21

3 4k = max{j/xjj = j}2

xkk

l(X) = 4


Statistiques


l(X) =(∑n

j=1 xn,j −∑n−1

j=1 xn−1,j


1 1 2 3 4 51 1 3 3 4

1 1 3 41 2 3

1 21

3 4k = max{j/xjj = j}1 2

xkk

r(X) = 3

l(X) = 4


Trapèzes Magog

(n, k, l)−Magog trapèzes : les l dernières diagonales Est d'untriangle Magog des k lignes du haut tel que (l 6 k) et de niveaun.

n = max(u1, u2 + 1, u3 + 2, · · · , uk + k − 1)

tel que ui pour 1 6 i 6 k sont les éléments de la dernièrediagonale.

• • • • u1

• • • u2

• • •• uk

•

l

k


Prolongement canonique d'un (n, k, l)−Magog trapèze en un(n, k)−Magog trapèze en insérant à l'ouest de ce(n, k, l)−Magog trapèze le Magog de taille k − l suivant

• •• •

• •• •

• •• ••

l

k



1 1 · · · · · · 11 1 · · · 1· · · · · · · · ·

1 11

k − l• •

• •• •

• •• •

• ••

l

k



1 1 · · · · · · 11 1 · · · 1· · · · · · · · ·

1 11

• •• •

• •• •

• •• ••

1

. . . 1

. . . 1

. . . 1

. . .. . .

. . .. . .

1 · · · 11 · · · 1


Conjecture sur les triangles

|Gog|n,r,l = |Magog|n,r,l

rl

1

2

3

1 2 3

0

0

0 0

1 2 31 21

1 2 31 22

1 2 31 31

1 2 32 32

1 2 31 22

1 2 31 33

1 2 32 33

triangles Gog de taille 3

rl

1

2

3

1 2 3

0

0

0 0

1 1 11 11

1 1 21 21

1 1 21 11

1 2 21 21

1 1 31 21

1 1 31 11

1 2 31 21

triangles Magog de taille 3


Exemple pour n = 7

r l 1 2 3 4 5 6 71 429 1287 2002 2002 1287 429 0

2 1287 4160 6838 7176 4849 1716 0

3 2002 6838 11908 13260 9594 3718 0

4 2002 7176 13260 15912 12714 5720 0

5 1287 4849 9594 12714 11869 7007 0

6 429 1716 3718 5720 7007 7436 0

7 0 0 0 0 0 0 7436


Conjecture sur les trapèzes

Il existe une bijection entre les triangles Gog et Magog quipréserve les statistiques r et l et les trapèzes.

Nous construisons une bijection explicite entre les (n, 3)−Gogtrapèzes et les (n, 3)−Magog trapèzes.Cette construction se base sur deux opérations

Transformation de l'Inversion ϕ.

Involution de Schützenberger S.


a b c

d e

f

(n, 3)−Gog trapèze

ϕ

a′ b′ c′

d′ e′

f ′

Gelfand-Tsetlin

a′′ b′′ c′′

d′′ e′′

f ′′

(n, 3)−Magog trapèze

S


a b c

d e

f


ϕ

a′ b′ c′

d′ e′

f ′

Gelfand-Tsetlin

a′′ b′′ c′′

d′′ e′′

f ′′


S


Inversion dans un triangle Gog

1 2 3 4 51 3 4 5

1 4 52 4

3



1 2 3 4 51 3 4 5

1 4 52 4

3



1 2 3 4 51 3 4 5

1 4 52 4

3



1 2 3 4 51 3 4 5

1 4 52 4

3



1 2 3 4 51 3 4 5

1 4 52 4

3



1 2 3 4 51 3 4 5

1 4 52 4

3



1 2 3 4 51 3 4 5

1 4 52 4

3

••

•


Inversion dans un triangle

Soit x un Gog trapèze. x contient une inversion

• • • • •

• • • •

• • •

• •

•

Les éléments sont couverts par l'inversion.


Con�gurations d'inversions dans (n, 3)−Gog trapèzes

• • •

• •

•

• • •

• •

•

• • •

• •

•

• • •

• •

•

• • •

• •

•

• • •

• •

•

• • •

• •

•

• • •

• •

•


Transformation de l'inversion (ϕ)

La transformation de l'inversion agit sur les (n, 3)−Gog trapèzeen diminuant les éléments couverts par chaque inversion de 1

• • •

• •

•

• • • − 1

• • − 1

•


Problème

1 3 4

2 3

2

ϕ�1 3 2

2 2

2


Problème

1 3 4

2 3

2

ϕ�1 3 2

2 2

2

Solution

• • •• ••

• • • − 2• • − 1•

• • − 1 • − 2• • − 1•


Problème

1 3 4

2 3

2

ϕ�1 3 2

2 2

2

Solution

• • •• ••

• • • − 2• • − 1•

• • − 1 • − 2• • − 1•

1 3 4

2 3

2

ϕ1 2 2

1 2

2


Involution de Schützenberger

Soit un trapèze de Gelfand-Tsetlin de taille n . Dé�nissons l'opéra-tion τ sur un élément d'une ligne comme suit :

• • • •

• • •

• •

•

• • • •

• • •

• •

•



Soit un Gelfand-Tsetlin trapèze de taille n . Dé�nissons l'opéra-tion τ qui agit sur un élément d'une ligne comme suit :

• • • •

• • •

• •

•

• • • •

• • •

• •

•

max min

τ (•) = max + min −•

τi agit sur tous les éléments de la ime ligne.



Soit un Gog ou Magog trapèze de taille n. On note Sn l'involutionde Schützenberger qui agit comme suit

Sn = τ1τ2 · · · τn−1τ1τ2 · · · τn−2 · · · τ1τ2τ1

Exemple :

1 6 82 8

4

τ11 6 8

2 86

τ21 6 8

5 66

τ11 6 8

5 65



Gelfand-Tsetlin


Sϕ



Gelfand-Tsetlin


Sϕ

Théorème [C, Biane]

Cet algorithme est une bijection qui préserve les statistiques l etr.


Concluons · · ·

0 0 10 1 01 0 0

1 0 00 1 00 0 1

0 0 11 0 00 1 0

1 0 00 0 10 1 0

0 1 01 0 00 0 1

0 1 00 0 11 0 0

0 1 01 −1 10 1 0


Merci


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