Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
SVEUČILIŠTE U RIJECI
EKONOMSKI FAKULTET
GORDANA BUGARINOVIĆ
EKONOMSKA PRIMJENA SOFTWERA WinQSB
DIPLOMSKI RAD
Rijeka, 2014.
SVEUČILIŠTE U RIJECI
EKONOMSKI FAKULTET RIJEKA
EKONOMSKA PRIMJENA SOFTWERA WinQSB
DIPLOMSKI RAD
Predmet: Teorija odlučivanja
Mentor: dr.sc. Alemka Šegota
Student: Gordana Bugarinović
Smjer: Menadžment
JMBAG: 0081124428
Rijeka, rujan 2014.
SADRŽAJ
1.UVOD.............................................................................................................................2
1.1. Problem i predmet istraživanja...................................................................................2
1.2. Svrha i cilj istraživanja...............................................................................................2
1.3. Znanstvene metode....................................................................................................3
1.4. Struktura rada.............................................................................................................3
2. RAČUNALNI PROGRAM WinQSB........................................................................4
2.1. Način korištenja WinQSB-a.......................................................................................5
2.2. „File“ izbornik............................................................................................................5
2.3. „Edit“ izbornik............................................................................................................6
2.4. „Format“ izbornik.......................................................................................................7
2.5. „Solve and analyze“ izbornik.....................................................................................8
2.6. „Utility“ izbornik........................................................................................................9
2.7. „Help“ izbornik...........................................................................................................9
2.8. Izbornik „WinQSB“..................................................................................................10
3. APLIKACIJSKI MODULI SOFTWERA WinQSB...............................................11
3.1. Modul za linearno i cjelobrojno linearno programiranje (Linear and Integer linear
programming)..................................................................................................................11
3.2. Modul za dinamično programiranje (Dynamic programming-DP)..........................16
3.3. Modul za mrežno modeliranje (Network modeling-NET).......................................19
3.4. Modul za PERT/CPM analizu (PERT/CPM)............................................................20
3.5. Modul za analizu odluke (Decision analysis)...........................................................23
4. EKONOMSKA PRIMJENA SOFTWERA WinQSB.............................................25
4.1. Primjena aplikacijskog modula za mrežno modeliranje u slučaju transportnog
problema (zatvoreni model).............................................................................................25
4.2. Primjena aplikacijskog modula za mrežno modeliranje u slučaju transportnog
problema (otvoreni model)..............................................................................................30
4.3. Primjena aplikacijskog modula za mrežno modeliranje kod zatvorenog problema
asignacije.........................................................................................................................37
4.4. Primjena aplikacijskog modula za mrežno modeliranje kod otvorenog problema
asignacije.........................................................................................................................39
4.5. Primjena aplikacijskog modula Dynamic Programming- montaža objekta/ ulaganje
u poslovne odijele............................................................................................................42
4.6. Primjena aplikacijskog modula za linearno programiranje......................................51
5. ZAKLJUČAK............................................................................................................55
POPIS LITERATURE..................................................................................................56
POPIS SLIKA................................................................................................................58
POPIS TABLICA...........................................................................................................60
2
1. UVOD
Današnja sve veća promjenjivost okoline te sve veća prisutnost tehnologije u
svakodnevnom čovjekovom radu, potiče na konstantnu uporabu računala te sve veću
razinu korištenja istih gotovo u svakom segmentu poslovanja. Današnja ulaganja u
tehnologije unutar poslovanja poduzeća su sve veća. Upravo i softver WinQSB je jedan
od onih koji se koristi kako bi se olakšalo rješavanje ekonomskih problema kao što su
linearno programiranje, problem transporta i slično. Softver WinQSB doprinjeo je
razvoju kvantitativnih metoda menadžmenta. Na temelju rezultata dobivenih ovim
softverom poduzeće može utvrditi naprimjer minimalne troškove, optimalan raspored
poslova, smanjenje troškova transporta i slično.
1.1. Problem i predmet istraživanja
Problem ovog istraživanja proizlazi iz činjenice da rješavanje poslovnih problema te
donošenje ispravnih poslovnih odluka nije jednostavan niti lak zadatak, te da zahtijeva
korištenje svega što će doprinjeti kvalitetnijem i isplativijem rješenju.
Predmet istraživanja je da se istraži i analizira softver WinQSB kroz različite
ekonomske primjere.
Iz ovog problema i predmeta istraživanja proizlazi znanstvena hipoteza- jedan od
osnovnih zadataka u poslovanju je donošenje dobrih poslovnih odluka, a objektivnim
znanjem i primjenom softvera WinQSB moguće je doći do rješenje mnogih problema.
1.2.Svrha i cilj istraživanja
Svrha ovog istraživanje je ukazati na jednostavnost primjene WinQSB-a, a cilj je da se
kroz različite primjere dokaže korisnost istog, da bi se ostvario cilj potrebno je
odgovoriti na pitanja:
1) Što je softwer WinQSB?
3
2) Koje su mogućnosti softwera?
3) Način na koji se softwer koristi?
4) Korištenje i primjena softwera u ekonomiji?
1.3.Znanstvene metode
Kako bi se dokazalo postavljeno korištene su spoznaje nekolicine autora te kako bi se
prikupljene činjenice mogle sistematizirati korišteno je nekoliko znanstvenih metoda:
metoda indukcije, povijesna metoda, metoda dokazivanja, statistička metoda.
1.4. Struktura rada
Diplomski rad sastavljen je od pet međusobno povezanih dijelova.
U prvom dijelu ovog rada UVODU navedeni su problem i predmet istraživanja, cilj,
svrha i hipoteza su postavljeni te je obrazložena strukktura rada i nevedene korištene
znanstvene metode.
RAČUNALNI PROGRAM WinQSB je naziv drugog dijela u kojem je opisan softwer
WinQSB, način na koji se koristi, te osnove softwera koje su karakteristične za svaki od
devetnaest aplikacijskih modula.
U trećem dijelu APLIKACIJSKI MODULI SOFTWERA WinQSB objašnjeno je
korištenje aplikacijskih modula (modul za linearno i cjelobrojno linearno programiranja,
modul za dinamičko programiranje, modul za mrežno modeliranje, PERT/CPM, analiza
odluke), te su detaljno prikazatne karakteristišnosti za svaki.
U četvrtom dijelu EKONOMSKA PRIMJENA SOFTWERA WinQSB se detaljno
kroz primjere pokazauje rješavanje ekonomskih problema uz korištenje softwera
WinQSB, te se promatraju dobivena rješenja.U ZAKLJUČKU je prikazan kratki osvrt
na cjelokupni rad tj. Povezano su prikazani zaključci svih poglavlja.
4
2. RAČUNALNI PROGRAM WinQSB
WinQSB (Windows based Quantitative System for Business) je kvantitativni sustav za
poslovanje namijenjen Windows sučelju. Izumitelj softvera je profesor Yin-Long Chang
kako bi doprinesao razvoju kvantitativnih metoda u menadžmentu. Softver je više puta
proglašen kao veoma kvalitetan i praktičan od strane časopisa kao što su OR/MS Today
ili Interface.Ovaj kvantitativni sustav za poslovanje nudi niz moćnih alata koji će
pomoći menadžerima u rješavanju problema na području operacijskih istraživanja.
Slika 1. Prikaz aplikacijskih modula softvera WinQSB
WinQSB sačinjen je od devetnaest aplikacijskih modula kao što su linearno
programiranje, nelinearno programiranje, analiza odlučivanja, mrežno modeliranje,
CPM/PERT i drugi. Korisnik koji je upoznat s aplikacijama može vrlo jednostavno naći
rješenje svog problema koristeći se jednim od navedenih modula koji su i prikazani
slikom 1.
5
2.1.Način korištenje WinQSB-a
Nakon pokretanja računalnog softwera WinQSB zajedničko obilježje svih devetnaest
modula je da ulaskom u bilo koji od njih dolazimo do zaslona na kojem se nalazi alatna
traka sastavljena od dvije opcije "File" (datoteka) i "Help" (pomoć) kao što je prikazano
na slici 2. . Da bi se započelo rješavanje bilo kojeg problema potrebno je kliknuti
lijevom tipkom miša na opciju "File" te "New problem" . Postupak rješavanja problema
pomoću softvera detaljnije će se objasniti u nastavku rada.
Slika 2. Prikaz alatne trake aplikacijskih modula
2.2."File" izbornik
Izbornik File sastoji se od niza naredbi što je prikazano slikom 3. Naredbe ovog
izbornika jednake su kod svih aplikacijskih modula.
Naredbe izbornika File:
· New problem (novi problem)- kako započeti novi problem
· Load problem (tekući problem) - otvoriti i učitati prethodno spremljen
problem
6
· Close problem (zatvaranje problema)-zatvaranje trenutnog proble
· Save Problem (spremiti problem)-spremanje trenutnog problema s
tranutnim nazivom datoteke
· Save Problem As (spremiti problem kao)- spremiti trenutni problem s
novim imenom
· Print Problem (printanje problema)- ispisivanje problema
· Print Font (font ispisa)- odabiranje fonta za ispis
· Print Setup (postavke ispisa)- postavljanje stranica za ispis
· Exit (izlaz)- izlaz iz programa
Slika 3. Prikaz naredbi izbornika "File"
2.3."Edit" izbornik
Nakon izbornika "File" na alatnoj traci dolazi se do izbornika "Edit" koji se također
sastoji od niza naredbi. U ovom izborniku niz naredbi karakterističan je za sve
aplikacijske module softwera dok se ostatak mijenja s obzirom na korišteni modul.
Naredbe izbornika "Edit" zajedničke svim aplikacijskim modulima
· Cut (izreži): kopiranje odabranih područja u tablici i brisanje odabranog
područja
· Copy (kopiraj): kopiranje odabranih područja iz tablice
· Paste (umetni): umetnuti sadržaj koji je prenesen na odabrano područje
7
u tablicu
· Clear (počistiti): počistiti određena odabrana područja u tablici
· Undo (vrati): poništiti jednu od gore navedenih naredbi
· Problem Name (naziv problema) : promijeniti naziv problema
Slika 4. Naredbe izbornika "Edit"
2.4."Format" izbornik
Slijedeći izbirnik na alatnoj traci je izbornik Format, također dio naredbi s kojima se
susreće u izborniku Format su zajedničke svim modulima dok se druge razlikuju s
obzirom koji se modul koristi.
Naredbe izbornika "Format" :
· Number (broj): za promjenu formata brojeva za proračunsku tablicu
· Font: za promjenu fonta proračunske tablice
· Alignment (usklađivanje): za promjenu strane odabranog stupca ili redka
proračunske tablice
· Row Height (visina retka): za promjenu visine odabranog redka
proračunske tablice
8
· Column Width (širina stupca): za promjenu širine odabranog stupca
Slika 5. Naredbe izbornika "Format"
2.5. "Solve and analyze" izbornik
Za dobivanje željenog rješenja unutar softwera WinQSB treba koristiti izbornik "Solve
and Analyze" (za rješavanje i analizu) koji se sastoji od sljedećih naredbi:
· Solve the Problem (rješavanje problema): za rješavanje problem i
prikazivanje rezultata
· Solve and Display Steps Network (rješavanje i prikazivanje koraka)- za
rješavanje i prikazivanje mogućnosti korak po korak
· Select Initial Solution Method (izbornik rezultata): uključuje opcije
prikazivanja rezultata i analize rješenja
Slika 6. Naredbe izbornika Solve and Analyze
9
2.6. "Utility" izbornik
Izbornik mogućih usluga sastoji se od sljedećih naredbi:
· Calculator (kalkulator): otvara se kalkulator Windows sustava
· Clock (sat): prikazuje se sat Windows sustava
· Graph/Chart (graf/tablica): za prikazivanje grafičkog dizajna
Slika 7. Naredbe izbornika "Utilities"
2.7."Help" izbornik
Naredbe izbornika za pomoć:
· Contents (sadržaj): Za prikaz glavne kategorije pomoći u datoteci za
pomoć
· Search for Help on (traženje pomoći): započeti potragu prema ključnoj
riječi u datoteci za pomoć
· How to Use Help (kako koristiti pomoć): za početak standardnih
Windows uputa za pomoć
Slika 8. Naredbe izbornika Help
10
2.8. Izbornik "WinQSB"
WinQSB izbornik je izbornik koji uključuje mogućnost da se prebaci u drugi
aplikacijski modul bez isključenja trenutnog WinQSB aplikacijskog modula što je
prikazano slikom 9.
Slika 9. Prikaz izbornika WinQSB
11
3. APLIKACIJSKI MODULI SOFTVERA WinQSB
Softver WinQSB sastoji se od devetnaest aplikacijskih modula:
· Modul za linearno i cjelobrojno linearno programiranje
· Modul za ciljno linearno programiranje i cjelobrojno ciljno linearno
programiranje
· Kvadratno programiranje i cjelobrojno kvadratno programiranje
· Mrežno modeliranje
· Nelinearno programiranje
· Dinamično planiranje
· Analiza redova čekanja
· Simulacija sustava čekanja
· Teorija i sustavi inventara
· Prognoziranje
· Analiza odlučivanja
· Markov proces
· Kontrolna karta
· Analiza prihvaćanje uzorkovanja
· Raspoređivanje posla
· Planiranje
· Položaj i izgled objekta
· Planiranje zahtjeva materijala
· Agregatno planiranje
3.1.Modul za linearno i cjelobrojno linearno programiranje (Linear and
Integer linear programming)
Ovaj programski modul rješava probleme linearnog i cjelobrojnog linearnog
programiranja. Linearno programiranje je grana matematike koja se bavi problemom
12
optimizacije sustava unutar zadanih ograničenja. Uveo ju je Leonid Kantorović kasnih
1930-ih godina kao metodu rješavanja planiranja proizvodnje. U SAD-u je linearno
programiranje razvijeno tijekom Drugog Svjetskog rata prvenstveno za probleme vojne
logistike, kao što je optimiziranje prijevoza vojske i opreme konvojima. (Brajdić, 2006.,
p.21)
Problem linearnog programiranja moguće je rješiti putem softvera WinQSB na način da
se nakon pokretanja WinQSB-a, otvori aplikacijski modul za linearno i cjelobrojno
linearno programiranje klikom na aplikacijski modul "Linear and Integer linear
programming" (Slika 10.)
Slika 10. Pokretanje modula za linearno i cjelobrojno linearno programiranje
Linearno programiranje koristi se kada proizvođač želi odrediti kako iskoristiti
ograničene količine sirovina uz najveći profit, poslovođa kako rasporediti zadani posao
između svojih zaposlenika tako da bude napravljen u najkraćem mogućem vremenskom
roku. Cilj ovih problema je optimizacija, maksimiziranje korisnosti ili minimiziranje
troškova uz zadana ograničenja što se rješava linearnim programiranjem.
13
Područje primjene linearnog programiranja je široko: proizvodnja, transport i
distribucija, marketing, telekomunikacije, financijsko ulaganje i planiranje, raspored
zaposlenika.
(http://matematika.fkit.hr/staro/izborna/referati/Daniela%20Petkovicek%20-
%20Linearno%20programiranje.pdf, 16.04.2014.)
Linearno programiranje je specijalan slučaj programiranja, shvaćen u matematičkom
smislu, kada se funkcija kriterija i ograničenja može izraziti linearnim matematičkim
relacijama. U vezi s tim imamo dva primjera, tzv. problem maksimuma i tzv.problem
minimuma. Kod problema linearnog programiranja se među ograničenjima umjesto
nejednakosti mogu pojaviti i jednakosti.( Kreko, 1996., p.12)
Model linearnog programiranja i cjelobrojnog linearnog programiranja sastoji se od
funkcije cilja i ograničenja. U ovim matematičkim relacijama postoje parametri i
varijable. U jednom konkretnom linearnom modelu parametri su konstante koje naravno
mogu uzeti bilo koju vrijednost, a varijable predstavljaju količine koje treba odrediti
rješavanjem modela. (Pavlović, 2005., p.139)
Da bi se započelo sa rješavanjem problema linearnog programiranja nakon pokretanja
modula "Linearno i cjelobrojno linearno programiranje" potrebno je otići na opciju
"File", zatim na "New problem" (novi problem) što je prikazano slikom 11.
Slika 11. Prikaz započinjanja rješavanja linearnog problema
14
Nakon pokrenutog aplikacijskog modula u dobivenom dijaloškom okviru (Slika 12.)
upisuju se podatci. U pravokutniku "Problem Title" upisuje se naziv problema, kod
natpisa "Number of variables" ukupan broj varijabli, a kod "Number of constrains"
broj ograničenja , ovisno o tome da li se traži minimalizacija ili maksimizacija funkcije
cilja potrebno je kliknuti na kružić pored "Minimization" ili "Maximization", a s
obzirom na tip varijabli stavlja se kružić pored jedne od ponuđenih opcija: nenegativna
stalna, nenegativna cjelobrojna, binarne varijable koje mogu poprimiti vrijednost 0 ili 1
koriste se npr.u slučaju kada treba donijeti odluku da li pokrenuti neku investiciju ili ne i
slično, te neograničena.
S obzirom na koji način želimo unijeti polazne podatke stavljamo kružić pored
"Spreadsheet Matrih Form" ukoliko polazne podatke želimo pokazati kao proširenu
tablicu ili Normal Model Form ako se žele pokazati u obliku obične tablice.
Slika 12. Dijaloški okvir za početak rješavanja problema LP-ILP modula
Nakon što su uneseni svi ulazni podatci kao što je prikazano na slici 13., potrebno je
kliknuti na OK kako bi se dobila tablica za unos koeficijenata.
15
Slika 13. Prikaz načina pokretanja rješavanja problema unutar modula LP-ILP
Slika 14. Prikaz unosa ulaznih podataka kod rješavanja pomoću modula LP-ILP
Unutar dobivene tablice pored naziva "Variable" upisane su nezavisne varijable, kod
naziva Maximize/Minimize upisuju se koeficijenti funkcije cilja tako da prvi ide uz
varijablu x1, drugi uz x2, treći uz x3 itd.
Ukoliko želimo preimenovati neku od varijabli ili dodati tj. izmjeniti neki od uvjeta to
se može klikom na opciju "Edit".Na opciji "Format" možemo prilagođavati format
brojeva, font, visinu retka, širinu stupca i sl. Za dobivanje željenog rješenja potrebno je
kliknuti na opciju "Solve and analyze" te "Solve the problem"(Slika 15.)
16
Slika 15. Prikaz načina dobivanja rješenja u modulu LP-ILP
3.2. Modul za dinamično programiranje (Dynamic programming-DP)
Dinamično programiranje (Dynamic programming) je modul koji se koristi kod
rješavanja složenih problema koji imaju određenu pravilnost u strukturi. Koristi se u
slučajevima u kojima problem ima podoptimalnu strukturu-mogućnost rastavljanja na
manje podprobleme iste vrste i neznatno razlikovanje potproblema od problema s nivoa
iznad,. Rješavanju se može pristupiti tehnikama "od vrha prema dnu" ili od "dna prema
vrhu".
Kod problema koji imaju računalnu primjenu, bitan je broj koraka implementacije
danog zadatka. Manji broj koraka omogućuje brže i učinkovitije rješavanje, zbog čega
je ocjenjivanje broja operacija važan zadatak kod odabira načina rješavanja. Najčešće
se koristi za rješavanje problema naprtnjače (ruksaka).
Problem naprtnjače (engl. The knapsnack problem) česta je tema na području
primjenjene matematike , financijske alokacije sredstava, kombinatorike i kriptografije.
Naziv problema datira iz narodne predaje: kako lopov s naprtnjačom određenog obujma
može ukrasti predmete što veće vrijednosti a da pritom obujam ukradenih predmeta ne
premaši obujam naprtnjače. Mnogi industrijski, financijski i kriptografski problemi
17
modeliraju se preko problema naprtnjače npr. Kapitalno budžetiranje, ukrcavanje
tereta,smanjivanje zaliha, izrada portfolija itd.
(http://e.math.hr/sites/default/files/br19/kovacic.pdf , 30.03.2014.)
Za pokretanje ovog aplikacijskog modula nakon što je pokrenut softver WinQSB
potrebno je kliknuti na modul "Dynamic Programming" kao što je prikazano slikom 16.
Slika 16. Pokretanje modula za dinamičko programiranje
Nakon pokretanja modula Dynamic Programming, lijevom tipkom miša klikne se na
opciju "File" i zatim se odabire opcija "New problem", time započinje rješavanje
problema. U dobivenom dijaloškom okviru (Slika 17.) kod opcije "Problem Type"
lijevom tipkom miša klikne se na kružić pored jednog od ponuđenih tipova problema.
Tipovi problema kod ovog modula su problem najkraćeg puta u grafu, problem
naprtnjače i problem proizvodnje i raspoređivanja inventara. Pored "Problem Title"
upisuje se naziv problema, a kod " Number of Nodes" upisuje se broj čvorova .
Slika 17. Dijaloški okvir za početak rješavanja problema DP modula
18
Nakon upisanih podataka da bi se nastavilo s rješavanjem problema potrebno je kliknuti
na OK. U slijedećem koraku unose se ulazni podatci što je prikazano slikom 18.
Slika 18. Prikaz unosa ulaznih podataka kod rješavanja pomoću modula DP
U stupcu "Item Identification" upisuje se naziv npr.objekata, u stupcu "Units
Available" upisuje se koliko je maksimalno objekta kojeg tipa na raspolaganju, u
stupac "Unit Capacity Required" upisuje se težinski koeficijent prema uvjetu, u
stupcu "Return Function" upisuju se komponente funkcije cilja koje odgovaraju
svakom pojedinom objektu, u posljednji redak "Capacity" upisuje se kapacitet
raspoložive opreme. Kako bi se dobilo traženo rješenje problema lijevom tipkom miša
potrebno je kliknuti na izbornik "Solve and Analyze", pa odabrati opciju "Solve the
Problem"(Slika 19.).
Slika 19. Rješavanje problema dinamičkog programiranja
Nakon klika na opciju Solve the Problem iz trećeg stupca dobivene tablice "Decision
19
Quantity (X)" očitava se optimalan plan.
3.3.Modul za mrežno modeliranje (Network modeling-NET)
Ovaj modul rješava mrežne probleme, kao što su osposobljavanje protoka mreže
(pretovara) prijevoza, minimalni raspon stabla, najkraći put, maksimalni protok,
pronalazak alternativnog rješenaj kod transportnog problema..
Model mrežnog modeliranja sastoji se od čvorova i veza. Svaki čvor ima kapacitet (u
slučaju problema s prijevozom). Postoji li veza između dva čvora, postoji mogućnost za
trošak ili dobit. Na temelju prirode problema, Network Moduling rješava optimiziranje
određene objektivne funkcije. Da bi se pokrenuo modul za mrežno modeliranje nakon
ulaska u računalni softver WinQSB potrebno je kliknuti na aplikacijski modul Network
Moduling (Slika 20.)
Slika 20. Pokretanje modula Network Moduling
20
Nakon pokretanja modula, lijevom tipkom miša ide se na opciju "File", zatim na opciju
"New Problem". Unutar dobivenog dijaloškog okvira (Slika 21.) potrebno je kliknuti
lijevom tipkom miša na jedan od ponuđenih tipova problema ( osposobljavanje protoka
mreže (pretovara) prijevoza, maksimalnog toka, minimalni raspon stabla, najkraći put,
problem asignacije), također označi se da li je funkcija cilja minimalizacija ili
maksimalizacija. S obzirom na željeni način unošenja početnih podataka stavlja se
kružić pored jedne od ponuđenih opcija. "Spreadsheet Matrih Form" ako polazne
podatke treba pokazati kao proširenu tablicu ili "Normal Model Form" u obliku
obične tablice. U pravokutniku pored naziva "Problem Title" unosi se ime problema,
dok u pravokutniku s nazivom "Number of Nodes" broj čvorova.
Slika 21. Dijaloški okvir za početak rješavanja problema NET modula
3.4.Modul za PERT/CPM analizu (PERT/CPM)
Aplikacijski modul PERT/CPM koristi se kod projektnog menadžmenta. Metoda PERT
(engl. program evaluation and review technique) metoda je mrežnog planiranja kojom
se utvrđuju trajanje i troškovi projekta. Koristi se u slučajevima kada ne možemo sa
sigurnošću reći koliko će biti trajanje, odnosno troškovi pojedinih aktivnosti u projektu.
(Batijanić, Mataija, Rakamarić Šegić, 2013., p.211) CPM (Critical Path Method) je
21
metoda kritičnog puta. Metoda CPM došla je naročito do izražaja u planiranju projekata
kod kojih je vrijeme za izvršenje pojedinih aktivnosti moglo biti normirano i precizno
određeno.
(http://www.ef.uns.ac.rs/Download/menadzment_rizikom_master/2009-12-
03_mrezno_planiranje.pdf )
Razlika između CPM i PERT metode je u tome što PERT metoda uzima u obzir
nesigurnost u procjeni vremena. Tehnika mrežnog planiranja je postala obavezno
mjerilo za analizu preuzetih obaveza pri sklapanju ugovora, kontroli izvršenih rokova,
strukturnoj analizi i analizi troškova određenog projekta. Tehnika mrežnog planiranja je
naročito efikasna kada se planiraju procesi koji se jednokratno odvijaju, tako da se
prvenstveno koristi pri planiranju istraživačkih i razvojnih projekata, osvajanju novih
proizvoda, projektiranju investicijskih objekata, investicijske opreme, građevinskih
radova, sve do organizacijskih procesa, organizacija kongresa, konferencija,
savjetovanja i drugih društvenih aktivnosti.(Peztić, 1968. p.57)
Projekt se sastoji od većeg broja aktivnosti. Pod pojmom projekt smatrat će se bilo koji
planski zadatak koji je potrebno izvesti u nekom vremenskom periodu. To može biti bilo
koji proces, posao ili izrada bilo kakva proizvoda. (Vila i Leicher 1976., p.112). U ovom
modulu se pojavljuje i gantogram.
Gantogram (još i Ganttov dijagram, Ganttov grafikon i Metoda grafičkog prikazivanja
informacija. Tip je stupčastog grafikona koji se koristi za grafički prikaz rasporeda
projekta. Gantogrami ilustriraju početni i krajnji datum nekih nepromjenjivih i sažetih
elemenata projekta. Nepromjenjivi ili terminalni elementi kao i sažeti elementi
obuhvaćaju podjelu radne strukture tj. WBS.
(http://hr.wikipedia.org/wiki/Ganttov_dijagram, 31.03.2014.)
Da bi se pokrenuo aplikacijski modul PERT/CPM nakon ulaska u softver WinQSB
treba pokrenuti lijevom tipkom miša modul PERT/CPM (Slika 22.).
22
Slika 22. Pokretanje aplikacijskog modula PERT/CPM
Nakon pokretanja modula, lijevom tipkom miša ide se na "File", te "New Problem".
Unutar dobivenog dijaloškog okvira (Slika 23.) pored "Problem Title" upisuje se ime
problema, a kod "Number of activites" broj aktivnosti. Pored "Problem type" klikne
se na jedan kružić ovisno koja analiza vremena je potrebna CPM/PERT.
Slika 23. Dijaloški okvir za početak rješavanja problema PERT/CPM modula
23
3.5.Analiza odluke (Decision analysis)
Ovaj modul rješava četiri problema odluke: Bayesian, stablo odlučivanja, tablice
isplativosti, i teorija igara sa sumom nula.
Bayesova teorija odlučivanja (engl. Bayesian decision theory, njem. Bayes-
Entscheidungsregel) je skup metoda i postupaka statističke analize, čija primjena
završava izborom jedne iz skupa mogućih akcija vezanih uz dani problem odlučivanja, a
početna analiza se vrši na osnovi subjektivnih vjerojatnosti koje se kasnije revidiraju uz
pomoć novih empirijskih informacija i Bayesova teorema o aposteriornoj vjerojatnosti,
tj. kombiniranjem subjektivnih i objektivnih uvjetnih vjerojatnosti.
(http://wmd.hr/rjecnik-pojmovi-b/web/bayesova-teorija-odluivanja, 08.04.2014.)
Stablo odlučivanja (engl. decision-tree, njem. Entscheidungsbaum), način predstavljanja
i analize situacije odlučivanja, isto kao i tablica isplativosti. Stablo odlučivanja pruža
izvrsne mogućnosti analitičarima i menedžerima da predstave kompleksne situacije
donošenja odluka. Osobito je pogodno kad postoji mogućnost da se situacija donošenja
odluke podijeli u niz manjih situacija odlučivanja, koje se u vremenskom slijedu
naslanjaju jedna na druge, tj. kad je riječ o lančano vezanim odlukama (jedna vrsta
odluka izvodi se iz donošenja druge vrste odluka). Stablom odlučivanja moguće je
prikazati anatomiju složenih odluka. Njima se odslikava cjelokupna situacija
odlučivanja: sve raspoložive inačice odluke (na više razina donošenja odluke), povezane
neizvjesnosti s mogućom provedbom svake od inačica (na svakoj promatranoj razini) i
mogući ishodi i posljedice svake od akcija koje čine inačice odluke (koji se mogu
kvantificirati). (http://www.poslovni.hr/leksikon/stablo-odlucivanja-1521#, 07.03.2014.)
Da bi se pokrenuo ovaj modul nakon ulaska u WinQSB potrebno je lijevom tipkom
miša kliknuti na ikonu Decision Analysis (slika 24.).
24
Slika 24. Pokretanje aplikacijskog modula Decision A nalysis
Nakon pokretanja ovog modula, klikom na opciju "File", pa "New problem". Unutar
dobivenog dijaloškog okvira (slika 25.) lijevom tipkom miša označi se jedan od četiri
problemska tipa kod opcije "Problem Type"., kod pravokutnika "Problem Title"
upisuje se naziv problema, te se ostalih 3 pravokutnika mijenjaju s obzirom na odabran
tip problema.
Slika 25. Dijaloški okvir za početak rješavanja problema DA modula
25
4. EKONOMSKA PRIMJENA SOFTWERA WINQSB
4.1.Primjena aplikacijskog modula za mrežno modeliranje u slučaju
transportnog problema (zatvoreni model)
Problem transporta sastoji se od homogenih proizvoda smještenih u m-ishodišta ili
centara ponude i poznata je ponuda svakog ishodišta. Označimo s ai (i=1,....m) ponudu
i-tog ishodišta. Ovu robu treba prevesti u n odredišta ili centara potražnje. Poznata je
potražnja svakog odredišta. Označimo sa bj (j=1...n) potražnju j-tog odredišta. Ako je
ukupna ponuda jednaka ukupnoj potražnji tj.ako je
å=
m
i
ia1
=å=
n
j
ib1
problem se zove zatvoreni model transporta. Poznati su također jedinični troškovi
transporta robe iz svakog ishodišta u svako odredište. Označimo s c ij (i=1,...,m),
(j=1,...,n) jedinični trošak transporta robe iz ishodišta i u odredište j. Robu prevozimo
tako da se iscrpi ponuda svakog ishodišta i zadovolji potražnja svakog odredišta i da
ukupni troškovi transporta budu minimalni. Označimo s x ij (i=1,....,m), (j=1.....,n)
količinu robe koja će se prevesti iz i-tog ishodišta u j-to odredište. Pretpostavlja se
također da se roba prevozi direktno iz ishodišta u odredište, te da su troškovi transporta
robe proporcionalni količini robe koja se prevozi. Ukupni troškovi transporta su
T(x) = åå==
n
j
m
i 11
Ograničenja za i-to ishodište (i=1,...,m) je
nx +...+ mx = å=
n
j
ijx1
= ia
odnosno količina robe koja će se izvesti iz i-tog ishodišta jednaka je ponudi i-tog
26
ishodišta.
Ograničenje za j-to ishodište (j=1,...,n) je
ijx +...+ njx = å=
m
i
ijx1
= jb
odnosno količina robe koja će se dopremiti u j-to odredište jednaka je potražnji j-tog
odredišta.
Matematički model je dakle
åå==
n
j
ij
m
i
c11
min ijx
å=
==n
j
iij miax1
).....1(,
,
1
j
m
i
ij bx =å=
(j = 1.....n)
,0³ijx (i = 1...m), (j = 1....n)
( http://web.efzg.hr/dok/EPO/fgaletic/Transport%20i%20asignacija.pdf, 02.04.2014.)
Primjer 1. Problem transporta tvrtke "Nulić"
Tvrtka "Nulić" proizvodi ulje u tri proizvodna pogona; PP1, PP2, PP3 smješteni su u
različitim gradovima i dostavlja ga u ukupno 5 trgovina trgovina ROKO, trgovina
MALINSKA, trgovina LAGUNA, trgovina SOL, trgovina UVALA. S obzirom da su
troškovi transporta veliki izdatak za tu tvrtku, menadžment je odlučio da se ti troškovi
smanje na minimalne razine.
Problem treba riješiti kao problem linearnog programiranja, te odrediti plan transporta
tako da ukupni troškovi transporta budu minimalni.
27
Tablica 1. Cijena prijevoza, ponuda i potražnja pojedinih trgovina
Trgovina
ROKO
Trgovina
MALINSKA
Trgovina
LAGUNA
Trgovina
SOL
Trgovina
UVALA
Ponuda
PP1 464 654 513 454 845 75
PP2 215 452 480 658 714 125
PP 3 512 254 840 644 236 100
Potražnja 60 55 50 58 77
RJEŠENJE
U ovom primjeru se radi o zatvorenom modelu transporta što znači da je zbroj ponude
jednak zbroju potražnje. Formulacija problema kao problema linearnog planiranja je
sljedeća
min Z =35343332312524
2322211514131211
236644840254512714658
480452215845454513654464
xxxxxxx
xxxxxxxx
++++++
++++++++
uz ograničenje
x11+x12+x13+x14=75
x21+x22+x23+x24+x25=125
x31+x32+x33+x34+x35=100
x11+x21+x31=60
x12+x22+x32=55
x13+x23+x33=50
x14+x24+x34=58
x15+x25+x35=77
xij ³ 0 (i=1,2,3), (j=1,2,3,4,5)
28
Rješavanje pomoću WinQSB
Da bi se problem transporta rješio u softveru WinQSB prvo treba pokrenuti aplikacijski
modul Network Modeling..
Nakon što je pokrenut aplikacijski modul potrebno je lijevom tipkom miša kliknuti na
izbornik "File" pa zatim na opciju "New problem", u dobivenom dijaloškom okviru
pored naslova "Problem type" potrebno je lijevom tipkom miša označiti na kružić
"Transportation Problem", kod "Objective Criterion" označuje se "Minimization"
jer treba odrediti plan transporta tako da ukupni troškovi budu minimalni. U
pravokutniku sa nazivom "Problem Title" unosi se naziv problema, na ovom primjeru
to je "Trošak transporta tvrtke "Nulić", kod "Number of sources" unosi se broj
tvornica(proizvodnih pogona) u ovom slučaju to je tri, a kod "Number of
destinations" broj mjesta na kojima su trgovine raspoređene i to je pet. Sve ove
prethodno navedene potrebne radnje prikazane su slikom 26.
Slika 26. Početak rješavanja problema transporta tvrtke "Nulić"
U dobivenom dijaloškom okviru unosimo podatke o cijenama, potražnjama i ponudama
kao što je prikazano na slici 27, a podatci koji su uneseni prikazani su Tablicom 1.
29
Slika 27. Unos ulaznih podataka o cijenama, potražnjama i ponudama tvrtke
"Nulić"
Nakon što su upisani ulazni podatci, potrebno je otić na opciju "Solve and Analyze" te
kliknut na "Solve the problem" (Slika 28.). Klikom na ovu opciju dobiva se rješenje
problema tvrtke "Nulić" što je prikazano i slikom 29.
Slika 28. Rješavanje problema tvrtke "Nulić"
Slika 29. Rješenje problema tvrtke "Nulić"
Iz slike 29. može se iščitati da su dobiveni minimalni ukupni troškovi 1022711.
30
4.2 Primjena aplikacijskog modula za mrežno modeliranje u slučaju transportnog
problema (otvoreni model)
Ako je ukupna ponuda različita ( veća ili manja) od ukupne potražnje, tj. ako je
åå==
¹n
j
j
m
i
i ba11
problem se zove otvoreni model transporta. U slučaju da je ukupna ponuda manja od
ukupne potražnje, problem se rješava tako da se uvede fiktivno ishodište s ponudom
åå==
- -=m
i
i
n
i
jm aba11
1
te s troškovima transporta iz tog ishodišta prema svim odredištima jednakim nuli:
,0, =+ jimC j= 1...n
U slučaju da je ukupna potražnja manja od ukupne ponude, problem se rješava tako da
se uvede fiktivno odredište s potražnjom
babn
j
i
m
i
n åå==
- -=11
1 j
te s troškovima transporta iz svih ishodišta prema tom odredištu jednakim nuli
ci, n+1 =0, i=1.....m
http://web.efzg.hr/dok/EPO/fgaletic/Transport%20i%20asignacija.pdf
31
Primjer 2. Problem otvorenog modela transporta tvrtke "Lopor "
Problem transporta tvrtke "Lopor" dan je sljedećom tablicom (jedinične cijene
transporta, potražnje odredišta i ponude ishodišta)
Tablica 2. jedinična cijena transporta, potražnja odredišta i ponuda ishodišta
Odredište 1 Odredište 2 Odredište 3 Odredište 4 ai
Ishodište 1 10 8 6 2 30
Ishodište 2 5 12 3 9 17
bi 17 15 20 25
1) Riješite ovaj problem pomoću WinQSB
2) Riješite ovaj problem tako da bude zadovoljena potražnja drugog odredišta
3) Riješite ovaj problem tako da bude zadovoljena potražnja drugog i trećeg
odredišta
4) Riješite ovaj problem tako da budu zadovoljene minimalne potražnje pojedinih
odredišta
Rješenje
a) Rješavanje problema pomoću WinQSB
Problem je otvoren model transporta i to je vidljivo po tome što je ukupna ponuda
30+17=47, a ukupna potražnja 17+15+20+25=77.
Da bi započelo rješavanje ovog problema putem modula mrežnog modeliranja prvo se
unose zadani podatci (Slika 30.)
32
Slika 30. Početak rješavanja problema transporta tvrtke Lopor
Nakon što su uneseni polazni podatci određen tip problema, naziv problema i sl.,
potrebno je kliknuti na OK. U dobivenom dijaloškom okviru potrebno je unijeti ulazne
podatke (Slika 31.), te nakon unosa podataka da bi se došlo do željenog rješenja
potrebno je kliknuti na opciju "Solve and Analyze", te "Solve the Problem" (Slika 32.).
Slika 31. Unos ulaznih podataka
Slika 32. Dobivanje rješenja problema
33
Slika 33. Rješenje problema
Iz slike 33. možemo iščitati da su minimalni ukupni troškovi 135, te da odredištima 1 i
2 nije zadovoljena potražnja.
b) Riješite ovaj problem tako da bude zadovoljena potražnja drugog odredišta
Da bi se zadovoljilo uvjete ovog tipa potrebno je uvesti fiktivno odredište ili ishodište.
U navedenom slučaju je ukupna ponuda za 30 manja od ukupne potražnje pa se uvodi
fiktivno ishodište s fiktivnom ponudom 30. Obzirom da su sada ukupna ponuda i
ukupna potražnja jednake to znači da će sve biti odvezeno iz ishodišta i sve dovezeno u
odredište (uključujući fiktivnu robu).
Mora se ispuniti zahtjev da potražnja drugog odredišta bude zadovoljena tj. da u
drugo odredište bude dovezeno petnaest jedinica proizvoda i to stvarnih, ne fiktivnih.
Dakle cilj je zabraniti da u drugo odredište dođe bilo što iz fiktivnog ishodišta, a za
ostala odredišta u ovom uvjetu nije bitno. To se može postići postavljanjem beskonačno
velikog jediničnog transportnog troška iz fiktivnog ishodišta u drugo odredište ( u
računalu je to maksimalan broj M). Za ostale jedinične troškove iz fiktivnog ishodišta
(one prema odredištima 1, 3 i 4) potrebno je staviti da su jednaki 0 što je prikazano
slikom 34.
34
Slika 34. Unošenje ulaznih podataka
Nakon što su uneseni podatci, kako bi se došlo do rješenja problema, potrebno je
lijevom tipkom miša kliknuti na opciju "Solve and Analyze" pa potom "Solve the
problem" (slika 34.).
Slika 35. Dobivanje rješenja
Ukupni troškovi su sada veći i iznose 201, te je u drugom odredištu dopremljeno 15
jedinica stvarnog proizvoda a ne fiktivnog iz prvog ishodišta.
c) Riješite ovaj problem tako da bude zadovoljena potražnja drugog i trećeg
odredišta
Da bi se zadovoljila i potražnja trećeg odredišta, po analogiji s dijelom b) ovog zadatka
35
potrebno je zabraniti prijevoz iz fiktivnih ishodišta u treće odredište (Slika 36.)
Slika 36. Unošenje ulaznih podataka prema uvjetu c)
Rješavanjem dobivamo (Slika 37.)
Slika 37. Rješenje problema
Vidljivo je da su se minimalni ukupni troškovi još povećali te sada iznose 213, također
je vidljivo da je zadovoljena potražnja 2. i 3. odredišta.
d) Riješite ovaj problem tako da budu zadovoljene minimalne potražnje pojedinih
odredišta
,101 =mb 152 =mb , 103 =mb , 104 =mb
Drugim riječima u 1.odredište treba dovesti barem 10, u 2 barem 15 (što znači da treba
zadovoljiti cjelokupnu potražnju drugog odredišta), te u 3. i 4.odredište barem po 10.
Prvo se promatra odredište 1, u njega treba minimalno dovesti barem 10 jedinica
proizvoda, a ukupna potražnja tog odredišta je 17 jedinica. Podjelimo li njegovu ukupnu
36
potražnju na dva dijela, prvi dio je 10 jedinica koje moraju svakako stići do njega, a
drugi je dio 7 jedinica koje se još traže ali ne nužno. Dakle umjesto 1.odredišta s
potražnjom 17 uvodimo dva nova odredišta, jedno s potražnjom 10 i nazivamo ga
odredište 1.1., i drugo s potražnjom 7 koja ne mora biti zadovoljena i nazivamo ga
Odredište 1.2.. Uvođenjem novog fiktivnog ishodišta izjednačila se ukupna ponuda
potražnji, što znači da će fiktivno sve potražnje biti zadovoljene.
Dakle ono što se želi postići je da prvi dio od 10 jedinica koje će stići u Odredište 1.1.
ne bude fiktivno (stavlja se M), a drugi dio od 7 jedinica koje stiže u Odredište 1.2.
može i nemora biti fiktivno (stavlja se 0). U odredištu 2 mora biti zadovoljena
cjelokupna potražnja, pa se ne dijeli nego kao u dijelu zadatka pod 2) stavlja se M. Za
odredište 3. i 4. postupak je kao i za odredište 1, svako od njih dijeli se na dva dijela.
Dakle, u WinQSB unose se podatci na slijedeći način
Slika 38. Unošenje ulaznih podataka
Rješavanjem je vidljivo da se postiže sve što se tražilo, a da su minimalni ukupni
troškovi pritom još dodatno povećani što se može vidjeti iz slike 40. Iz slike može se
vidjeti da troškovi sada iznose 233.
Slika 39. Rješenje problema
37
(http://web.efzg.hr/dok/EPO/fgaletic/Transport%20i%20asignacija.pdf, 03.04.2014)
4.3. Primjena aplikacijskog modula za mrežno modeliranje kod
zatvorenog problema asignacije
Zatvoreni problem asignacije javlja se kada imamo n radnika i n poslova. Za svakog
radnika zadana je njegova efikasnost na svakom od pojedinih poslova. Cilj je rasporediti
sve radnike na poslove tako da svakom radniku pripadne točno jedan posao i tako da
svaki posao obavlja točno jedan radnik. Pri tome se želi postići da ukupna efikasnost
bude maksimalna (problem maksimuma). Ako je zadano vrijeme obavljanja posla za
svakog radnika i svaki posao onda minimiziramo ukupno vrijeme (problem minimuma).
(http://web.efzg.hr/dok/EPO/fgaletic/Transport%20i%20asignacija.pdf, 05.04.2014.)
Primjer 3. Zatvoreni problema asignacije
Ivan, Marko, Luka i Nikola kandidati su za četiri sezonska posla (iznajmljivanje
ležaljki, prodaja sladoleda, prodaja turističkih izleta i posao konobar) dakle četiri
radnika treba rasporediti na četiri posla. Svaki od njih treba određeno vrijeme da obavi
posao. Vrijeme potrebno osobama da obave poslove dano je tablici. Potrebno je
rasporediti osobe na poslove tako da je ukupna efikasnost optimalna.
Tablica 3. Raspodjela sezonskih poslova
Posao 1
Iznajmljivanje
ležaljki
Posao 2
Prodaja sladoleda
Posao 3
Prodaja turističkih
izleta
Posao 4
Posao konobara
Ivan 8 5 10 9
Marko 17 18 12 12
Luka 11 4 7 13
Nikola 9 15 10 6
38
Rješenje
Ovdje se radi o zatvorenom problemu, da bi se započelo rješavanje problema nakon
pokretanja aplikacijskog modula Network modeling odabire se opcija "New
problem", u dobivenoj tablici prikazanoj na slici 40 potrebno je odabrati "Problem
Type" u ovom slučaju označuje se kružić pored naziva "Assignment Problem", kod
opcije "Objective Criterion" označava se "Maximization" jer je potrebno da ukupna
efikasnost bude optimalna.
Slika 40. Početak rješenja problema raspodjele poslova
Nakon što su uneseni početni podatci sa slike 40, klikom na OK, dobiva se dijaloški
okvir unutar kojeg se upisuju ulazni podatci što je prikazano slikom 41, ulazni podatci
vidljivi su u Tablici 2.
Slika 41. Rješavanje problema raspodjele posla
39
Nakon što su upisani podatci potrebno je kliknuti na alatnoj traci na izbornik "Solve
and Analyze" pa potom na "Solve the problem".
Slika 42. Rješenje problema raspodjele posla
Rješavanjem se dobiva maksimalna efikasnost koja iznosi 55 te se postiže kada prvi
radnik Ivan obavlja treći posao odnosno posao prodaje turističkih izleta, Marko
odnosno drugi radnik posao iznajmljivanja ležaljki, Luka četvrti posao odnosno posao
konobara, a Nikola prodaju sladoleda, ovaj rezultat može se iščitati i sa slike 42.
4.4. Primjena aplikacijskog modula za mrežno modeliranje kod
otvorenog problema asignacije
Otvoreni problem asignacije javlja se kada je broj poslova i broj radnika različiti. Sve
ostalo je jednako kao i kod zatvorenog problema.
(http://web.efzg.hr/dok/EPO/fgaletic/Transport%20i%20asignacija.pdf, 07.04.2014.)
Primjer 4. Otvoreni problema asignacije
U tiskari "Creativ" je potrebno obaviti pet poslova. Svi poslovi osim posla dva mogu se
obaviti na svakom od šest strojeva. Posao dva ne može se obaviti na stroju četiri. Kako
treba rasporediti poslove strojeva da utrošeno vrijeme rasporeda bude najmanje.
Vrijeme potrebno za obavljanje poslova na strojevima (u norma satima) dano je u
tablici 4 .
40
Tablica 4. Vrijeme potrebno za obavljanje poslova na strojevima
P1 P2 P3 P4 P5
S1 9 12 17 12 5
S2 14 10 9 11 12
S3 15 - 11 15 10
S4 12 13 8 14 9
S5 10 11 10 10 11
S6 11 14 12 9 10
Rješenje
Ovdje je riječ o otvorenom problemu asignacije jer je broj poslova manji od broja
strojeva. Poslova je pet dok je strojeva šest. Činjenica da se posao dva ne može obavljati
na stroju S4 osigurava se stavljanjem beskonačno velikog vremena obavljanja posla dva
na stroju S4 (stavlja se M), to se kod rješavanja pomoću softvera WinQSB ne mora
posebno uvoditi jer on sam prepoznaje da se radi o otvorenom problemu.
Za pokretanje rješavanja ovog primjera nakon pokretanja aplikacijskog modula
Network modeling, u dobivenoj tablici potrebno je označiti kružić pokraj "Assignment
Problem", kod "Objective Criterion" označavamo "Minimization" jer je potrebno
rasporediti poslve strojeva tako da utrošeno vrijeme rasporeda bude najmanje, sve je
prikazano i slikom 43.
41
Slika 43. Unošenje polaznih podataka problema
Nakon klika na OK, dolazi se do tablice u koju se upisuju ulazni podatci iz Tablice 3.
što je prikazano na slici 44.
Slika 44. Unošenje ulaznih podataka problema
Slika 45. Rješenje problema
42
Rješavanjem se dobiva minimalno ukupno vrijeme za obavljanje svih poslova koje
možemo vidjeti na slici 45. Zaključak ovog primjera je da je minimalno ukupno vrijeme
za obavljanje svih poslova jednako 42 sata. minimalno ukupno vrijeme za obavljanje
svih poslova postiže se ako se posao jedan obavlja na stroju pet, posao dva na stroju
dva, posao tri na stroju četiri, a posao četiri na stroju šest, posao pet na stroju jedan.
4.5. Primjena aplikacijskog modula Dynamic Programming –
montaža objekata/ ulaganje u poslovne odijele
Primjer 5. Montaža objekta tvrtke Trans-gradnja d.o.o.
Tvrtka Trans-gradnja d.o.o. Istodobno treba montirati tri tipa objekata: A1, A2 i A3. Pri
montaži svih tipova objekata koristi se posebna oprema čiji je ukupni kapacitet 39
komada. Osnovni podaci o broju potrebnih komada posebne opreme i dobiti za izradu
svakoga pojedinog tipa opreme navedeni su u Tablici 5.
Tablica 5. Montiranje objekata Trans-gradnje
Tip objekta Broj potrebnih komada opreme Neto-dobit (n.j./objekt)
A1 8 16
A2 12 24
A3 9 19
Odlukom uprave tvrtke dopuštena je istodobna montaža najviše četiri objekta tipa A2 i
pet objekata tipa A3. Dopušteno je da pojedini tip objekta ne bude montiran, te da ne
bude iskorištena sva posebna oprema. Treba napraviti optimalan plan montaže tako da
ukupna ostvarena neto-dobit bude maksimalna.
43
a) odredite matematički model promatranog problema
b) nađite optimalan plan montaže
Matematički model
Za svaki i [ ]3Î neka je xi broj objekata tipa iA koji će biti montirani. Ukupna dobit od
montaže objekta tipa A1 iznosi 16 X x1 n.j., ukupna dobit od montaže objekata tipa A2
24 X x2 n.j., a ukupna dobit od montae objekata tipa A3 19 X x3 n.j., dakle ukupna dobi
od montaže triju objekata iznosi
f(x1,x2,x3)= 16x1 + 24x2 +19x3
za montažu x1 objekata tipa A1, potrebno je ukupno 8 x1 komada, za montažu x2
objekta tipa A2 potrebno je ukupno 12 X2 komada posebne opreme, a za montažu x3
objekta tipa A3 potrebno je ukupno 9 X3 komada posebne opreme. budući da ukupan
broj potrebnih komada posebne opreme ne može premašiti ukupan kapacitet posebne
opreme, mora vrijediti nejednakost
8 x1 + 12 x2 + 9 x3 £ 39
nadalje, budući da je istodobno moguće montirati najviše četiri objekta tipa A2, i najviše
pet objekata tipa A3 moraju vrijediti nejednakosti
42 £x
53 £x
max f (x1, x2, x3) =16 x1+ 24 x2 +19 x3
Uvjeti
44
6 x X1+ 12 x X2 +9 x X3 ≤ 39
x1,x2 4£
x3 5£
Rješavanje pomoću WinQSB
Da bi se navedeni problem rješio pomoću softvera WinQSB potrebno je pokrenuti
aplikacijski modul Dynamic Programming.
Nakon pokretanja aplikacijskog modula te nakon klika lijevom tipkom miša na opciju
"New problem", u okviru "Problem Title" upisuje se naziv problema i to je u ovom
slučaju "Trans-gradnja" d.o.o., a u pravokutnik "Number of Items" upisuje se broj
objekata što je u ovom slučaju tri objekta pa se upisuje broj tri što je prikazano slikom
46.
Slika 46. Početak rješavanja problema Trans-gradnje
Nakon klika na OK pojavljuje se dijaloški okvir (Slika 50.) unutar kojeg se kod "Item
Identification" upisuje naziv objekta i to je A1, A2, A3, kod "Units Available" upisuju
se brojevi 4,4,5 (jer se može montirati najviše četiri objekta tipa A1, odnosno tipa A2 i
45
najviše 5 objekata tipa A3), "Unit capacity Required" upisuju se brojevi iz uvjeta 8,
12, 9. Ispod "Return Function (X: Item ID)" upisuje se 16*X, 24*X, 19*X i kod
"Capacity" se upisuje 39 što je prikazano i slikom 47.
Slika 47. Unošenje ulaznih podataka
Nakon što su uneseni svi podaci da bi se dobilo rješenje problema potrebno je kliknuti
na izbornik "Solve and Analyze" i onda "Solve the Problem" što je prikazano slikom
58.
Slika 48. Dobivanje rješenja problema Trans-gradnje
46
Rješavanjem problema u drugom stupcu "Decision Quantity (X)" dobijemo vrijednosti
0, 1, 3 što se može iščitati iz slike 53., pa možemo reći da treba montirati točno jedan
objekt tipa A2, i tri objekta tipa A3. Ukupna optimalna dobit od montaže svih triju
objekata iznosi 81 n.j., što je također vidljivo iz slike.
Slika 49. Rješenje problema Trans-gradnje
U ovakvim slučajevima je dobro provesti i što-ako analizu pa npr. istražiti kako će se
mijenjati optimalni plan ukoliko odlučimo neki drugi raspored gradnje. Kao primjer
stavit ćemo da smo se odlučili za točno jedan objekt tipa A1.
Kako bi se započela "što-ako" analiza potrebno je otići na izbornik "Solve and
Analyse" te kliknuti lijevom tipkom miša na "Perform What If Analysis" što je
prikazano slikom 50 . Unutar dobivenog dijaloškog okvira u stupcu "Preset Decision"
upišemo kod objekta A1 broj jedan što je prikazano slikom 51., što govori da želimo
točno jedan objekt tog tipa. Nakon toga potrebno je kliknuti na OK i iz tablice na desnoj
strani (Slika 52.) možemo vidjeti da uz navedeni dodatni uvjet, treba montirati jedan
objekt A1 tipa, jedan objekt A2 , i dva objekta A3. Dakle nakon što je postavljen dodatni
uvjet došlo je do smanjenja optimalne vrijednosti varijable X3, a varijabla X2 ostala je
nepromijenjena.
47
Slika 50. "What if" analiza
Slika 51. Dijaloški okvir za "What if" analizu
Slika 52. Prikaz postavljanja dodatnog uvjeta "What if" analize
48
Primjer 6. Ulaganje u poslovne odjele Bauhaus-a
Bauhaus želi uložiti najviše 8 n.j. u četiri svoja odjela tako da iznos svakog pojedinog
uloga bude najviše 5 n.j. dakle postoji mogućnost da se u neki odjel ne uloži ništa kao i
da se ne uloži sav predviđeni kapital. Uloži li se po 1 n.j. u svaki odjel, prvi odjel imat
će neto dobit od 4 n.j.m drugi odjel 5 n.j., a treći odjel 2 n.j., a četvrti odjel 3 n.j. .
Formirajte matematički model, pa odredite optimalan iznos ulaganja u svaki odjel tako
da ukupna neto-dobit bude maksimalna.
Matematički model:
Za svaki i označimo s xi iznos ulaganja u i-ti odjel. Ukupna neto-dobit D(x1,x2,x3)
nastala tim ulaganjem iznosi
D (x1,x2,x3)= 4 x X1+ 5 x X2 + 2 x X3 + 3 x X4
dakle treba maksimizirati D (x1,x2,x3)= 4 x X1+ 5 x X2 + 2 x X3 + 3 x X4
pod uvjetima
x1+ x2 + x3 + x4 < 8
Rješavanje pomoću WinQSB
Nakon pokretanja aplikacijskog modula Dynamic Programming odabire se tip
problema "Problem Type" u ovom slučaju to je Knapsnack Problem tj. Problem
naprtnjače (Slika 53.), nakon toga kod "Problem Title" upiše se ime problema u ovom
49
slučaju to je Bauhaus, te kod "Number of Items" upisuje se broj objekata što je kod
ovog primjera tri, nakon toga lijevom tipkom miša klikne se na OK.
Slika 53. Početak rješenja problema ulaganja u odijele Bauhausa
U slijedećem koraku unose se ulazni podatci što je prikazano slikom 54. U drugi stupac
kod "Item identification" upisuje se redom O1, O2, O3, O4. U stupcu "Units
Available" upisuje se najveći mogući iznos koji može biti uložen u svako pojedini
odjel. Ti iznosi su jednaki pet, pa se upisuje 5, 5, 5, 5. u četvrti stupac "Unit Capacity
Required" treba upisati koeficijente uz nepoznanice x1, x2, x3, x4, prema uvjetu
x1+x2+x3+x4, oni su jednaki jedan, pa u četvrti stupac upisujemo 1, 1, 1, 1. kod
jednostavne razdiobe ulaganja koeficijenti u ovom stupcu su uvijek jednaki jedan, dok
kod problema složene razdiobe ulaganja ti koeficijenti mogu biti i nenegativni realni
brojevi različiti od jedan. U petom stupcu "Return Function (X: Item ID) " upisuje se
redom svaka komponenta funkcije cilja koje se odnose na odjel iz pripadnoga retka.
Tako u prvi redak tog stupca upisuje se 4*X, u drugi 5*x, a u treći 2*x, u četvrti 3*x. U
posljednjem redku pored natpisa "Capacity" upisuje se ukupan iznos kapitala tj. 8.
Nakon što se unesu svi podatci potrebno je kliknuti lijevom tipkom miša na izbornik
"Solve and Analyze" i odabrati opciju "Solve the Problem", te se nakon toga
50
pojavljuje se izlazna tablice sa rezultatima kao što je prikazano na Slici 55.
Slika 54. rješavanje problema ulaganja u odijele Bauhausa
Slika 55. Rješenje problema Bauhausa
Iz stupca Decision Quantity (X) očitava se optimalan iznos ulaganja u svaki pojedini
odjel, u prvi O1 treba uložiti 3 n.j., O2 5 n.j., u O3 0 n.j., te u O4 0 n.j. .
Optimalna neto-dobit očitava se iz posljednjeg retka "Total Return Value" i ona
iznosi 37 n.j., što je prikazano i slikom 55. U ovom slučaju radi se o jednostavnoj
razdiobi ulaganja jer se cijelokupni kapital dijel na jednake dijelove te se prema početku
51
nema razloga preferirati bilo koji od odjela.
4.6. Primjena aplikacijskog modula za linearno programiranje
Primjer 6. Plan aktivnosti za oglašavanje nove privatne stomatološke ordinacije
"Smile"
Odjel marketinga mora napraviti plan aktivnosti za oglašavanje nove ordinacije. Od
strane upravnog odbora na raspolaganju im je 15 000 kn koje treba rasporediti na
dnevne novine, radijo, internet i TV. Cijena po oglasu je 10 20 kn u novinama, 740 kn
na radiju, 450 kn na internetu te 6200 kn na televiziji. Prema odluci upravnog odbora na
radiju moraju biti objavjenja najmanje dva oglasa, na internetu i u dnevnim novinama
ne može biti više od četiri oglasa, dok na televiziji mora biti objavljen najmanje jedan
oglas. Povrat koji se očekuje kroz povećanje prihoda od prodaje je za novine 1032,
1060 radio, 520 internet te 10 730 televizija.
Potrebno je odrediti u koliko oglasa na kojem mediju treba investirati odobrena novčana
sredstva pridržavajući se pri tome zahtjeva upravnog odbora kao i veličine odobrenog
budžeta, da bi se ostvario maksimalni porast prihoda.
Matematički model
U navedenom problemu varijable koje je potrebno izračunati odnose se na broj oglasa, u
koji je potrebno uložiti određeni dio odobrenog budžeta. Varijabla x1 definirana je kao
broj oglasa u dnevnim novinama, x2 broj oglasa na radiju, x3 broj oglasa na internetu,
te x4 broj oglasa na televiziji.
Ograničenja
1020 x1 + 740 x2 + 450 x3 + 6200 x4 ≤ 15 000
52
x1 + x3 ≤ 4
x2 ≥ 2
x4 ≥ 1
x1, 2, 3, 4 ≥ 0
Funkcija cilja
maxZ= 1032 x1 + 1060 x2 + 520 x3+ 10730 x4
Rješavanje pomoću WinQSB
Za rješavanje navedenog problema korišten je aplikacijski modul Linear and Integer
Programming, nakon pokretanja aplikacijskog modula., potrebno je upisati naziv
problema, broj varijabli i ograničenja, da li se radi o problemu minimuma ili
maksimuma, te vrstu varijabli. U ovom slučaju naziv problema je ordinacija Smile, broj
varijabli je 4, broj ograničenja 4, potrebno je kliknuti na kružić Maximization jer je
potrebno ostvariti maksimalniporast prihoda, te kod vrste varijabli Nonnegative
continous kao što je prikazano slikom 56..
Slika 56. Unos polaznih podataka ordinacije "Smile"
53
Nakon što su uneseni polazni podatci potrebno je lijevom tipkom miša kliknuti na OK.
U dobivenom dijaloškom okviru unose se ulazni podatci.Nakon što su podatci uneseni
potrebni je ići na alatnoj traci na izbornik "Solve and Analyze", te klinuti na "Solve
the problem". Iz dobivenog dijaloškog okvira prikazanog na slici 58. čita se rješenje
problema.
Slika 58. Rješenje problema ordinacije "Smile"
Pomoću softvera WinQSB došlo se do rješenja
x1 = 0
x2 = 2
x3 = 0
x4 = 2,18 =2
z = 25 518,32
Pri izradi marketing plana bilo je potrebno držati se odobrenog budžeta, te zahtjeva koje
54
je postavila uprava, maksimalna dobit od povećanja prodaje koju odjel marketinga može
ostvariti ulaganjem u promidžbu iznosi 25 518,32 kn. Da bi se ostvarila navedena dobiti
raspored novčanih sredstava treba biti dva oglasa na radiju, dva oglasa na televiziji, dok
na internetu i u dnevnim novinama nebi trebalo postavljati oglase.
55
5. ZAKLJUČAK
WinQSB (Windows based Quantitative System for Business) je kvantitativni sustav za
poslovanje namijenjen Windows sučelju. Ovaj kvantitativni sustav za poslovanje nudi
niz moćnih alata koji će pomoći menadžerima u bržem rješavanju problema i donošenju
uspješnih poslovnih odluka što je u današnjoj vrlo promjenjivoj okolini izuzetno bitno.
WinQSB sačinjen je od devetnaest aplikacijskih modula: modul za linearno i
cjelobrojno linearno programiranje, nelinearno programiranje, analiza odlučivanja,
mrežno modeliranje, CPM/PERT, dinamično planiranje, analiza redova čekanja,
kontrolna karta, raspoređivanje psola i ostale. Svih devetnaest modula obilježava
jednaka alatna traka, te je niz naredbi kod izbornika jednak u svakom od njih. Korisnik
koji je upoznat s modulima može vrlo jednostavno pomoću softvera pronaći rješenje
svog problema koristeći se jednim od navedenih, te je kao takav ovaj softver prilagođen
za korisnicike sa drukčijim ciljevima.
U primjerima je pokazano kako pokrenuti koji aplikacijski modul, kako započeti
rješavanje problema, unijeti ulazne podatke, te način na koji se dolazi do rješenja u
određenom aplikacijskom modulu.
Riješeni primjeri nastoje pokazati što detaljniji prikaz korištenja softvera u rješavanju
linearnog programiranja, problema transporta, asignacije i slično, želi se prikazati kako
utvrditi minimalne troškove, kako smanjiti vrijeme obavljanja poslova, kako donijeti
odluku za građenje objekata i slično te tako predočiti korisnicima kolika je korisnost
WinQSB-a.
56
POPIS LITERATURE
1.) KNJIGE
1. Brajdić I., Matematički modeli i metode poslovnog odlučivanja, Fakultet za
turistički i hoteljerski menadžment u Opatiji, Opatija, 2006.
2. Kreko, B., Linearno programiranje, Savremena adminstracija, Beograd,
1966.
3. Pavlović,I.; Kvantitativni modeli i metode u poslovnom odlučivanju,
Sveučilište u Dubrovniku, 2005.
4. Petrić, J., Matematičke metode planiranja i upravljanja u radnim
organizacijama, Novinsko-izdavački, štamparski i birotehnički zavod,
Zagreb, 1968.
5. Vila A., Leicher Z., Planiranje proizvodnje i kontrola rokova, Drugo
dopunjeno izdanje, Informator, Zagreb, 1976.s
2.) ČLANCI
1. Bastijanović M., Mataija M., Rakamarić Šegić M., Matematičke metode u
funkciji analize i ocjene poslovanja, Zbornik Veleučilišta u Rijeci, Vol.1 (2013),
No.1, pp. 209-223
3.) INTERNETSKI IZVORI
1. http://e.math.hr/sites/default/files/br19/kovacic.pdf , 30.03.2014.
2. http://hr.wikipedia.org/wiki/Ganttov_dijagram, 30.03.2014.
3. http://www.ef.uns.ac.rs/Download/menadzment_rizikom_master/2009-
12- 03_mrezno_planiranje.pdf , 02.04.2014.
4. http://hr.wikipedia.org/wiki/Ganttov_dijagram, 31.03.2014.
5. http://web.efzg.hr/dok/EPO/fgaletic/Transport%20i%20asignacija.pdf,
02.04.2014
6. http://matematika.fkit.hr/staro/izborna/referati/Daniela%20Petkovicek%
57
20-%20Linearno%20programiranje.pdf, 16.04.2014.
58
POPIS SLIKA
Slika 1. Prikaz aplikacijskih modula softvera WinQSB
Slika 2. Prikaz alatne trake aplikacijskih modula
Slika 3. Prikaz naredbi izbornika "File"Slika 4. Naredbe izbornika "Edit"
Slika 5. Naredbe izbornika "Format"
Slika 6. Naredbe izbornika Solve and AnalyzeSlika
Slika 7. Naredbe izbornika "Utilities"
Slika 8. Naredbe izbornika Help
Slika 9. Prikaz izbornika WinQSB
Slika 10. Pokretanje modula za linearno i cjelobrojno linearno programiranje
Slika 11. Prikaz započinjanja rješavanja linearnog problema
Slika 12. Dijaloški okvir za početak rješavanja problema LP-ILP modula
Slika 13. Prikaz načina pokretanja rješavanja problema unutar modula LP-ILP
Slika 14. Prikaz unosa ulaznih podataka kod rješavanja pomoću modula LP-ILP
Slika 15. Prikaz načina dobivanja rješenja u modulu LP-ILP
Slika 16. Pokretanje modula za dinamičko programiranje
Slika 17. Dijaloški okvir za početak rješavanja problema DP modula
Slika 18. Prikaz unosa ulaznih podataka kod rješavanja pomoću modula DP
Slika 19. Rješavanje problema dinamičkog programiranja
Slika 20. Pokretanje modula Network Moduling
Slika 21. Dijaloški okvir za početak rješavanja problema NET modula
Slika 22. Pokretanje aplikacijskog modula PERT/CPM
Slika 23. Dijaloški okvir za početak rješavanja problema PERT/CPM modula
Slika 24. Pokretanje aplikacijskog modula Decision A nalysis
Slika 25. Dijaloški okvir za početak rješavanja problema DA modula
Slika 26. Početak rješavanja problema transporta tvrtke "Nulić"
Slika 27. Unos ulaznih podataka o cijenama, potražnjama i ponudama tvrtke "Nulić"
Slika 28. Rješavanje problema tvrtke "Nulić"
Slika 29. Rješenje problema tvrtke "Nulić"
Slika 30. Početak rješavanja problema transporta tvrtke Lopor
Slika 31. Unos ulaznih podataka
59
Slika 32. Dobivanje rješenja problema
Slika 33. Rješenje problema
Slika 34. Unošenje ulaznih podataka
Slika 35.Dobivanje rješenja
Slika 36. Unošenje ulaznih podataka prema uvjetu c)
Slika 37. Rješenje problema
Slika 38. Unošenje ulaznih podataka
Slika 39. Rješenje problema
Slika 40. Rješavanje problema raspodjele posla
Slika 41. Rješenje problema raspodjele posla
Slika 42. Unošenje polaznih podataka problema
Slika 43. Unošenje ulaznih podataka problema
Slika 44. Rješavanje problema raspodjele posla
Slika 45. Rješenje problema
Slika 46. Početak rješavanja problema Trans-gradnje
Slika 47. Unošenje ulaznih podataka
Slika 48. Dobivanje rješenja problema Trans-gradnje
Slika 49. Rješenje problema Trans-gradnje
Slika 50. "What if" analiza
Slika 51. Dijaloški okvir za "What if" analizu
Slika 52. Prikaz postavljanja dodatnog uvjeta "What if" analize
Slika 53. Početak rješenja problema ulaganja u odijele Bauhausa
Slika 54. rješavanje problema ulaganja u odijele Bauhausa
Slika 55. Rješenje problema Bauhausa
Slika 56. Unos polaznih podataka ordinacije "Smile"
Slika 57. Unošenje ulaznih podataka ordinacije "Smile"
Slika 58. Rješenje problema ordinacije "Smile"
60
POPIS TABLICA
Tablica 1. Cijena prijevoza, ponuda i potražnja pojedinih trgovina
Tablica 2. Jedinična cijena transporta, potražnja odredišta i ponuda ishodišta
Tablica 3. Raspodjela sezonskih poslova
Tablica 4. Vrijeme potrebno za obavljanje poslova na strojevima
Tablica 5. Montiranje objekata Trans-gradnje