Grafovi u Programu Winplot 2-Dim

Grafovi u programu Winplot

Udruga Normala

1

Grafovi u programu Winplot 2-dim

Leonardo Volpi [email protected]

Na hrvatski preveo, preradio i prilagodio:

Vjenceslav Bakovi ć [email protected]


Udruga Normala

2

Uvod Winplot je odličan, besplatan (freeware) i snažan program za crtanje grafova u 2D i 3D. Program je dio programskog paketa Peanut Software koji je oblikovao i ljubazno nam ustupio kolega Richard Parris. .Ovaj tekst je pokušaj objašnjenja crtanja grafova te manipulacije grafovima. Snaga ovog programa se može osjetiti tek dugotrajnom primjenom na različite probleme. Tada dolazi do izražaja interakcija izmeñu programa i operatera. Operater brže i lakše svladava matematičke pojmove i usput pronalazi nove načine za upotrebu programa. Kad sam preveo tekstne datoteke ovog programa na Hrvatski, počeo sam misliti i o pisanju nekog priručnika. Bilo je raznih pokušaja koje nisam dovršio jer mi se na kraju ne bi svidio način na koji sam započeo. Usput sam pretraživao i literaturu dostupnu na Internetu. Talijanski priručnik Leonarda Volpia mi se posebno svidio. Za razumijevanje ovog priručnika je potrebno predznanje, ne samo iz matematike (na primjer, kolega Volpi u 2.7 ne spominje da u primjeru opisuje vodoravan hitac.) Matematiku je potrebno poznavati na razini prve godine tehničkih fakulteta. Naravno, da nisam mogao odoljeti da nešto ne dopišem ili ispustim. Usput, moram napisati da Winplot nije jedini program za crtanje grafova dostupan na Internetu. Postoje i drugi programi koji su u nekim značajkama bolji i moderniji od Winplota. Čitateljima preporučam da isprobaju više takvih programa i od svakog odaberu ono za što je najbolji. Postoje mjesta na kojima se mogu naći adrese mnogih takvih programa, recimo http://www.gregosetroianos.mat.br/softwares.asp. Ovo malo portugalskom neće smetati. Toplo preporučujem program http://geogebra.element.hr/ koji može mnogo toga što Winplot ne može.


Udruga Normala

3

..................................................................................................................................................................1 Uvod ........................................................................................................................................................2

1 Grafovi u Winplotu....................................................................................................................................5 1.1 Fontovi i decimale.........................................................................................................................6 1.2 Osi i mreža....................................................................................................................................7 1.3 Goniometrijska skala...................................................................................................................12 1.4 Postavke skale.............................................................................................................................13 1.5 Zoom i Miči ................................................................................................................................14

2 Osnovni grafovi ..................................................................................................................................14 2.1 Točke..........................................................................................................................................15 2.2 Animacija ...................................................................................................................................16

2.2.1 Animacija jedne točke .........................................................................................................18 2.3 Tekst i naljepnice ........................................................................................................................19 2.4 Dinamički tekst ...........................................................................................................................21 2.5 Kliži (translatiraj)........................................................................................................................23

...................................................................................................................................................................23 2.6 Refleksija i rotacija (Zrcaljenje i vrtnja) ......................................................................................24 2.7 Kolekcije točaka .........................................................................................................................27 2.8 Dužine ........................................................................................................................................32 2.9 Pravci..........................................................................................................................................33

2.9.1 Korištenje meñuspremnika za označavanje grafa .................................................................37 2.10 Linearne nejednadžbe..................................................................................................................38

3 Jednadžbe i njihovi grafovi .................................................................................................................41 3.1 Eksplicitna jednadžba..................................................................................................................41

3.1.1 Nultočke..............................................................................................................................45 3.1.2 Ekstremi..............................................................................................................................47 3.1.3 Infleksije (točke izravnanja) ................................................................................................49 3.1.4 Odreñeni integral.................................................................................................................52 3.1.5 Neodreñeni integral (primitivna funkcija) ............................................................................54 3.1.6 Inverzna funkcija.................................................................................................................56 3.1.7 Derivacija............................................................................................................................63 3.1.8 Familija funkcija .................................................................................................................64 3.1.9 Tkivo (Web Diagram) .........................................................................................................64 3.1.10 Presjeci krivulja...................................................................................................................68 3.1.11 Pridruži točku......................................................................................................................69 3.1.12 Površina izmeñu dviju krivulja ............................................................................................70 3.1.13 Volumen rotacijskog tijela...................................................................................................71

3.2 Parametarske jednadžbe ..............................................................................................................73 3.2.1 Šiljci....................................................................................................................................77 3.2.2 Tangenta na krivulju............................................................................................................78

3.3 Regularne krivulje.......................................................................................................................79 3.3.1 Lissajousove krivulje...........................................................................................................83 3.3.2 Descartesov list ...................................................................................................................85

3.4 Poligonalne krivulje ....................................................................................................................86 3.4.1 Rjeñe upotrebljavane funkcije .............................................................................................86 3.4.2 Kvadrat u parametarskim jednadžbama ...............................................................................89 3.4.3 Mrežaste figure....................................................................................................................90


Udruga Normala

4

3.5 Ornamentske figure.....................................................................................................................91 3.6 Implicitne jednadžbe ...................................................................................................................92

3.6.1 Poligonalne krivulje ..........................................Pogreška! Knjižna oznaka nije definirana. 3.6.2 Familije krivulja ..................................................................................................................92

3.7 Krivulje jednake razine (fazne krivulje, slojnice).........................................................................96 3.8 Nelinearni sustavi......................................................................................................................103

4 Polarne jednadžbe.............................................................................................................................108 4.1 Elipsa u polarnim koordinatama................................................................................................114

5 Diferencijalne jednadžbe...................................................................................................................115 5.1 Polje smjerova ..........................................................................................................................115 5.2 Problem početne vrijednosti ......................................................................................................117

5.2.1 Familija rješenja ................................................................................................................118 5.3 Integriranje po intervalima ........................................................................................................127 5.4 Sustavi diferencijalnih jednadžbi...............................................................................................128 5.5 Jednadžbe drugog reda..............................................................................................................133

5.5.1 Prigušeno titranje...............................................................................................................133 5.5.2 Problem lovac-lovina.........................................................................................................137

6 Planeti ..............................................................................................................................................139 6.1 Orbite s perturbacijama .............................................................................................................144 6.2 Blizanci.....................................................................................................................................145 6.3 Sustav Sunce-Zemlja-Mjesec ....................................................................................................147

7 Interpolacijski polinom .....................................................................................................................148 8 Posebni grafovi .................................................................................................................................151

8.1 Slika na grafu............................................................................................................................151 8.2 Slika na podlozi ........................................................................................................................152

8.2.1 Van der Waalsovi dijagrami ..............................................................................................154 8.2.2 Dijagrami rezonancije .......................................................................................................158

9 Appendix ..........................................................................................................................................161 9.1 Mapa fontova............................................................................................................................161 9.2 Funkcije i konstante ..................................................................................................................163

9.2.1 Operatori ...........................................................................................................................163 9.2.2 Konstante ..........................................................................................................................163 9.2.3 Standardne funkcije...........................................................................................................163 9.2.4 Nekonvencionalne funkcije ...............................................................................................164

9.3 Korisnički definirane funkcije ...................................................................................................167 9.4 Nedostaci ..................................................................................................................................168


Udruga Normala

5

1 Grafovi u Winplotu Winplot je program koji se preuzima s adrese

http://math.exeter.edu/rparris/peanut/wphr32z.exe .

Poslije preuzimanja nisu potrebne nikakve predradnje. Dovoljno je dvaput kliknuti na ikonu i započeti raditi. Počnimo.

Zatvorivši prozor s natuknicama koje apsolutnom početniku samo škode,

kliknimo na . Pojavi se padajući izbornik:

.

Stavke su razdvojene u skupine. U prvoj skupini su stavke kojima se otvaraju dva glavna prozora: i . Otvaraju se na uobičajen Windowsov način: lijevim klikom na stavku ili pritiskom na predloženu tipku

(F2 odnosno F3). U trećoj skupini su stavke čijim potvrñivanjem odreñujemo što će biti u otvorenom prozoru.

Autor programa je potvrdio stavku (postavke). Naime, radeći na grafu, operater mijenja predložene boje podloge, boje i debljine koordinatnih osi, veličine i oblik slova itd itd. U slijedećem primjeru te postavke mogu zbunjivati pa je najbolje posao započeti s izvorno predloženim postavkama. Potvrdom stavke

, na prozoru se pojavi posljednja datoteka u obliku u kojem je bila spremljena. To je dobro za poslove koji dulje traju. Otvorimo dakle prozor 2-dim:


Udruga Normala

6

Kliknemo li lijevom tipkom na bilo koju točku prozora, pojavi se:

. To su koordinate piksla na kojem je pokazivač miša. Koordinate su naravno odreñene prema odabranom koordinatnom sustavu. Kliknemo li desnom tipkom, odabrani piksel se premješta u središte prozora. Dimenzije prozora se mijenjaju na način uobičajen u Windowsima. .

1.1 Fontovi i decimale Izvorno predložen font za prikaz decimala je „Courier“. Taj font ima čitka slova, ali prevelik razmak meñu znakovima i prevelik broj prikazanih decimala mogu smetati kod pregleda dijagrama. Evo primjera kako to promijeniti. Cijeli postupak neću ponoviti jer pretpostavljam da čitatelj ima nešto iskustva s

Windowsima. Dakle, nazovimo našu datoteku „Predložak 1“ pa je pod tim imenom spremimo u \

. Sad promijenimo font prateći put \ \

Odaberimo „Tahoma“. Kako je za većinu poslova dovoljno vidjeti tri decimale, promijenimo i to prateći put

\


Udruga Normala

7

Učinit ćemo dakle ovo:

Koordinate sad izgledaju ovako:

1.2 Osi i mreža Postavke za prikazivanje osi i crta mreže se mogu mijenjati. Postupak je ponešto složen pa ga moram opisati.

Primijetit ću da je vidljivost koordinatnih osi neovisna o postavkama mreže. Vidljivost koordinatnih osi se najlakše mijenja pritiskom na tipke Ctrl+A, ili na izborniku:


Udruga Normala

8

Važno je znati da se oznake na osima mogu mijenjati. Evo primjera za kinematiku:

Postavke koordinatnih osi se mijenjaju na dijaloškom okviru

zvanom mreža do kojeg se doñe prateći put: \

, ili što je lakše pritiskom na Ctrl+G. Ploča s prozorčićima za ureñivanje izvorno izgleda ovako: Na ploči postoje prozorčići triju vrsta:

• to su prozorčići za potvrde. Ako se želi potvrditi neka želja, klikne se lijevom tipkom na prozorčić da se upiše potvrdna kvačica ( ). Istovremeno može biti potvrñeno ili nepotvrñeno više mogućnosti;

• to su prozorčići nazvani opcijske tipke. U literaturi se često spominje američki izraz radio button. Ako se uključi jedna opcija, ostale u istom redu se automatski isključuju.

• to su prozorčići za upisivanje brojeva. Dok se vježba dobro je mijenjati različite vrijednosti u predviñena mjesta.


Udruga Normala

9

Na slijedećoj slici ću pokazati što znače neke oznake.

Značenje ostalih polja u promatranom redu:

• broj decimala koje se vide na zastoru (0 znači da se vide cijeli brojevi);

• učestalost, frekvencija pokazanih brojeva na skali (1 označava da se vidi svaki).

• ukoliko se potvrdi, razmaci se prikažu kao dijelovi broja π. Dakle, ako potvrdimo , na

dijagramu se umjesto brojeva 1, 2, 3, … vidi . Značenje ostalih stavki ću objasniti malo po malo.

Potvrdom stavke odreñuješ da li će se vidjeti obje ( ) Descartesove osi ili samo odabrana:

. Naravno, možeš odabrati i polarnu os: .


Udruga Normala

10

Ovako izgleda dijagram sa skalom na :

,

a ovako sa skalom na :

. Ukoliko

potvrdiš , dobit ćeš ovo:

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

Kad potvrdiš \ , dobiješ ovo:


Udruga Normala

11

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

, a ako želiš da ima , dobit ćeš ovo:

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

. Nitko ti ne brani potvrditi obje mogućnosti:

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

. Možeš odabrati i samo neke kvadrante:


Udruga Normala

12

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

. To su naravno .

1.3 Goniometrijska skala Već smo vidjeli da se skala može brojiti i višekratnicima racionalnog dijela broja π. Pokušajmo ovako:

� . Čim klikneš na , dogodi se ovo.

, a dijagram izgleda ovako:

Neka sad bude ovo: razmak meñu podijelnicima 4

π, ali zbog preglednosti želimo vidjeti svaku drugu

oznaku. Radi ovo: � �


Udruga Normala

13

1.4 Postavke skale Skale na objema osima su izvorno izometričke, iz čega slijedi i da su vezane. Kad se otvori nov prozor 2-dim s izvorno predloženim postavkama vidi se koordinatni sustav s ishodištem u središtu prozora koji je otvoren u rasponu 5 5 te 4,7 4,7x y− ≤ ≤ − ≤ ≤ . Poželiš li drugo mjesto postaviti u središte prozora, klikni desnom tipkom na to mjesto. Ukoliko treba fino podesiti središte prozora, bolje je učiniti ovo:

Naravno, za mnoge potrebe izometričke skale su samo smetnja. Evo kako se „razvežu“ skale:

Tu upiši željene brojeve.


Udruga Normala

14

1.5 Zoom i Mi či

Raspon vidljivog dijela koordinatnog sustava se može mijenjati slijedeći put

odnosno .

Očito je lakše pritisnuti na tipke Page Up odnosno Page Down. Veličina se mijenja u skladu s faktorom koji se može mijenjati upisom u

. Stavka Kvadrat je aktivna samo kad su osi „razvezane“. Klikom na nju se dobiju izometričke skale, odnosno povezani jedinični razmaci. Ako se želimo micati po koordinatnom sustavu, treba učiniti ovo:

. I micanje je lakše upotrebom tipki sa strelicama ←, ↑, →, ↓ . Pomak je definiran veličinom zastora (ekrana) i može se mijenjati (ne preporučujem).

2 Osnovni grafovi Naučimo prvo kako se crtaju grafovi osnovnih geometrijskih objekata: točaka, dužina i pravaca.


Udruga Normala

15

2.1 Točke

Točka se nacrta pozivanjem na \ . Moguće je zadati pojedinačnu točku u kartezijanskim koordinatama (x,y) ili u polarnim koordinatama (r,t) te kolekciju točaka kojima su koordinate zadane u Popisu. Primjedba: u Winplot se ne mogu upisivati grčka slova pa se polarni kut označava slovom t umjesto slovom θ. Kao primjer nacrtajmo točku A(2,1). Grafička oznaka koja prezentira točku se zove „zrno“. Neka zrno bude ispunjeno i plavo, a neka mu je veličina 4. Poslije toga mijenjaj načine prikaza.

Dakle, poslije klika na se pojavi ureñivačka ploča (dijaloški okvir) u koju upiši ovo:

Pa klikni na .. Pojavit će se ureñivačka ploča (dijaloški okvir) s matricom boja:

Odaberi pa u prvom ureñivačkom prozoru klikni na . Dobit ćeš ovakvu sliku:

a uz nju će se pojaviti nov prozor:

Svaki put kad zaželiš preurediti

dijagram, klikni na ili dva put klikni na .

Evo par primjera preureñenih slika:


Udruga Normala

16

Dakle, potvrdiš li , nacrtat će se spojnice od točke do njezinih projekcija. Te spojnice možemo shvatiti kao sidrene lance, a mjesta projekcija kao sidrišta točke. Nacrtajmo sad točku P(2, π/4) u polarnom koordinatnom sustavu. Broj 2 je radijvektor, a π/4 je polarni kut.

Slijedi put: \ \ pa na ureñivačkoj ploči potvrdi opciju: . Dobit ćeš ovo:

2.2 Animacija Jedna od najvažnijih mogućnosti Winplota je animacija grafa. Učinci animacije su nemjerljivi, kako u istraživanju tako i u poduci. Može se zadati 23 neovisna parametra za animaciju označenih slovima A, B, C, …, V, W.. Svaki od njih ima svoju ploču (dijaloški okvir) , a postoji i jedna zajednička. Slijedi put: \ :


Udruga Normala

17


Udruga Normala

18

2.2.1 Animacija jedne to čke Neka je zadana točka P(2,A) u polarnom koordinatnom sustavu i neka je π20 ≤< A . Želiš li nacrtati točku

slijedi put: : \ \ :

Primjedba: Winplot ne razlikuje velika i mala slova.


Udruga Normala

19

Prvi dijagram:

Variranjem parametra A dobijemo ovo:

2.3 Tekst i naljepnice U prethodnom poglavlju točka je označena slovom „P“. Bilo bi lijepo da se to vidi na dijagramu. Da se to postigne, treba slijediti put:

tako da stavka ostane potvrñena: .


Udruga Normala

20

Klikom na bilo koji piksel pojavit će se ureñivački okvir:

Upiši dakle:

pa klikni na . Pojavit će se ploča:

Odabereš li što je istaknuto na slici poslije klika na , dobit ćeš ovo:.

E sada, promijeniš li parametar polarnog kuta, dobije se ovakav rezultat:

.

Vrati se u i odaberi . Dobit ćeš:

Ovdje piši!


Udruga Normala

21

Sad ti se sigurno ne sviña što je slovo uvijek napisano preko zrna. Jednostavno, klikni na slovo, zadrži tipku

i povuci naljepnicu sa slovom gdje ti se sviña .

Ako želiš možeš odabrati i pa se može dogoditi ovo .

2.4 Dinami čki tekst Postoji još jedna mogućnost koja se zove „dinamički tekst“. Vratimo se u našu datoteku s točkom zadanom polarnim koordinatama. Neka nam Winplot pokaže njene kartezijanske koordinate i polarni kut.

Prati put. \ . Na desni klik na točku, pojavit će se nova ureñivačka ploča (dijaloški okvir). Popuni je ovako Poslije klika na , dobit ćeš ovakvu sliku:

Još označimo i kut. Prvo u radijanima pa u stupnjevima. Klikni desnom tipkom na mjesto blizu ishodišta. Kad se pojavi ureñivačka ploča, popuni je ovako:


Udruga Normala

22

Dobit ćeš ovakvu sliku

Kutovi se ne označavaju latinicom. Zbog toga idi u pa odaberi .Evo nove slike:

Još bi trebalo izraziti kut u stupnjevima. Vrati se u :


Udruga Normala

23

Dijagram se sad mijenja

ovako:

2.5 Kliži (translatiraj) Translacija je izometrija ravnine koja geometrijsko mjesto točaka pomiče za zadani vektor. Podsjeća na micanje tijela po tračnici. Zato sam naredbu i preveo s „kliži“. Bilo koji graf se može klizati (translatirati) za vektor s početkom u ishodištu zadan koordinatama krajnje točke. Objasnit ću na grafu točke. Neka je zadana točka T(-2,3) koju treba pomaknuti za vektor [1,-1].

slijedi put: \ . Pojavit će se ureñivačka ploča (dijaloški okvir):

Kad klikneš na , dobit ćeš i translatiranu točku:

Translatirana točka je, naravno, dobila i svoju stavku u popisu:


Udruga Normala

24

2.6 Refleksija i rotacija (Zrcaljenje i vrtnja) Moguće su refleksije i rotacije bilo kojeg grafa, ali ih je najbolje objasniti na najjednostavnijem, grafu točke. Refleksija (zrcaljenje) ili osna simetrija je izometrija ravnine kojoj su sve točke nekog pravca fiksne. Taj pravac se zove os simetrije (zrcalo).

Rotacija (vrtnja) je izometrija ravnine s jednom fiksnom točkom koja se zove središte (centar).

Za primjer refleksije odaberimo točku T(2,1) u kartezijanskom koordinatnom sustavu1. Zrcalimo je prvo preko osi x. Prati put \ . Pojavit će se ureñivački prozor.

1 Zadana transformacija se ponaša čudno ako je točka zadana u polarnom koordinatnom sustavu. Stoga to ne pokušavaj iako je stavka Zrcali aktivna u izborniku.


Udruga Normala

25

Rezultat je očekivan:

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

T

T'

Pogledavši u , vidimo da se pojavila nova stavka:

. Piše: ime transformacije Izvorni graf: I os refleksije (zrcalo): . Evo kako izgledaju slike za ostale ponuñene mogućnosti:

Komentar [k1]:


Udruga Normala

26

Uvijek se može potvrditi opcija .

Pokušajmo sad rotirati (zakrenuti) zadanu točku. Izvorno je predloženo da se točka zakrene

oko ishodišta ( , ), što je centralna simetrija.

Može se odabrati i bilo koji kut i bilo koje središte:


Udruga Normala

27

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

T

T'

2.7 Kolekcije to čaka Vrlo upotrebljiva mogućnost je crtanje kolekcija izoliranih točaka. Kao primjer nacrtajmo kolekciju zadanu

( )2

, , 1 , 1,2, ,1010 100n n n n

n nK x y x y n

= = = − =

K .

Slijedi put \ \ pa u ureñivački prozor upiši ovo: .

Svaka od nacrtanih točaka je dobila svoje mjesto u popisu:


Udruga Normala

28

Nitko nam ne brani zadati kolekciju točaka u polarnim koordinatama. Evo primjera:

( ), , , 1,2,3, ,4040 10n n n n

n nK x y x y n

π = = = =

K

Nad dijagramom se pojavio prozor s porukom: , a u … je upisana i posljednja moguća stavka:

. Dakle, moguće je nacrtati najviše 36 točaka. Popis se može proširiti po volji. Idi u \

. U ureñivački prozor upiši: Preuredi :

. Evo nove slike:


Udruga Normala

29

. U Winplot se može uvesti popis ureñenih parova (x,y) iz bilo kojeg Windows programa. Evo primjera uvoza iz Excela. Neka su zadane točke:

( ), 1, 1, 0,1,...8, 0,1...84 4n n i n

i jK x y x y i j = = − = − = =

Da bi podaci iz Excela bili čitljivi u Winplotu, treba ići u

\ \ . Postavi ovako:

Napravi ovakvu tablicu:


Udruga Normala

30

Odaberi . Odabrani dio kopiraj, najlakše s Ctrl+C. idi u

\ \ . Na dijaloškom okviru je automatski potvrñena opcija:

. Evo dijagrama:


Udruga Normala

31

Mogući su i jednostavni grafički efekti. Evo male igre sa sidrima:

Ista kolekcija u polarnim koordinatama:


Udruga Normala

32

2.8 Dužine Dužine se definiraju koordinatama krajeva, kako u pravokutnom, tako i u polarnom koordinatnom sustavu. Do

ureñivačkog prozora se doñe slijedeći put: \ \ .

Primjer: Nacrtaj u polarnom koordinatnom sustavu dužine kojima su zadane koordinate rubova:

( ) ( )

( )

( )

( )ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

π

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

π

2,13

5,1

3

5,1

3

4,1

3

4,1,1

,13

2,1

3

2,1

3,1

3,1,1

3

6,1

3

5,1

3

5,1

3

4,1

3

4,1

3

3,1

3

3,1

3

2,1

3

2,1

3,1

3,1,1

+

+

+

+

++

+

+

+

+

+

⇒

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

adoa

adoa

adoa

adoa

adoa

adoa

adoa

adoa

adoa

adoa

adoa

adoa


Udruga Normala

33

Evo i slike

:

2.9 Pravci Pravci se mogu crtati ako su zadani jednadžbom. Ako je jednadžba zadana u implicitnom obliku, slijedi se put \ . Evo slike pravca zadanog jednadžbom x + 2 y= 3:

Ista jednadžba ima i eksplicitni oblik:2

3

2

1 +−= xy . Za crtanje slijedi put: \ ili

pritisni F1.


Udruga Normala

34

Evo slike:

Vodoravne i uspravne pravce je lakše prikazati u implicitnom obliku.

Moguće je i riješiti sustav od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice. Na primjer:

1

32

=+=−

yx

yx Točno rješenje je :

5 2,

3 3x y= = − .


Udruga Normala

35

Počnimo:

Za orijentaciju je dovoljno postaviti miš tamo gdje ti se čini da je rješenje pa kliknuti lijevom tipkom. Dobit ćeš ovo:

Točnost ovakvog načina ovisi o spretnosti

operatera, a dizajner programa to baš i nije htio. Zato slijedi put: \ .


Udruga Normala

36

Pogledajmo bolje dijaloški okvir.


Udruga Normala

37

Ova stavka je važna jer se podatak s maksimalnom točnošću može spremiti u (emnik) i koristiti za druge potrebe.

2.9.1 Korištenje me ñuspremnika za ozna čavanje grafa Vratimo se na jednadžbu x + y = 1.Kako se ona prenese u dijagram? Evo ovako:


Udruga Normala

38

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

(1)x + (1)y =

1

2.10 Linearne nejednadžbe Riješimo sustav nejednadžbi:

Prati put \ Pa upiši � � pa

� � .

+−<−>

2

22

xy

xy


Udruga Normala

39

Dobit ćeš sliku:

O bojama grafova ne vodi računa. Winplot sam novom grafu pridružuje novu boju.

Slijedi put: \ . Pojavit će se ureñivački prozor:


Udruga Normala

40

Radi ovako: prva nejednadžba glasi y > 2x – 2. Znači da treba sjenčiti područje grafa zadanog

jednadžbom . Druga nejednadžba glasi y < -x+2. Treba sjenčiti područje grafa zadanog

jednadžbom . Rješenje sustava se jasno ocrtava. Zaključujemo da je to . Činom potvrde ( ) na slici se vidi samo rješenje sustava.

Može se riješiti i veći sustav s ograñenim rješenjem Na primjer:

>+−<−>

0

2

22

x

xy

xy

Prvo treba narediti winplotu da crta samo točke s pozitivnom apscisom Kako je Winplot u biti numerički program, mora se zadati i gornja granica intervala u kojem će tražiti rješenje. Neka to bude rub prozora, x=5. Ograničenje 50 ≤≤ x se upisuje ovako:

Niz slika koje dovode do rješenja izgleda ovako:


Udruga Normala

41

3 Jednadžbe i njihovi grafovi Ovo su vrste jednadžbi čiji se grafovi mogu crtati u Winplotu.

1. Eksplicitne; su sve jednadžbe koje se mogu opisati formulom oblika y = f(x). Njima pripadaju grafovi koje paralela s osi y može presjeći najviše jednom. Kaže se da su pripadne krivulje grafovi funkcija.

2. Parametarske; Su parovi od dvije različite funkcije parametra „t“:

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }tgtftgytfx ==≡==≡ θργγ ,odnosno, za polarne koordinate gdje γ reprezentira krivulju u ravnini.

3. Implicitne; Su jednadžbe koje se mogu prikazati općom jednadžbom oblika f(x,y) = 0.

4. Polarne; Su eksplicitne jednadžbe oblika ( )θρ f= zadane za polarne koordinate2. Dijaloški okviri se pozivaju prateći gore opisani put, odnosno jednostavno tipkanjem tipki F1 do F4.

3.1 Eksplicitna jednadžba Kao primjer ću zadati funkciju ( ) 2xxf = . Nacrtaj njen graf:

a) u izvorno zadanom intervalu; b) u intervalu 5.11 ≤<− x . Neka se na dijagramu vidi da je funkcija zadana na poluotvorenom

intervalu; c) kao periodičnu u intervalu 5.11 ≤<− x .

2 Winplotov parser ne čita grčka slova . Zato se umjesto „ρ“ piše „r“, a umjesto „θ“ se piše „t“.


Udruga Normala

42

a)

b)


Udruga Normala

43

Sada ću odabrati primjer na kojem se mogu proučiti mogućnosti programa. Primjer: Nacrtaj graf funkcije zadane jednadžbom:

( ) xexxxy −−−= 23 32 I površan poznavatelj analize će shvatiti zašto baš ovaj primjer. Iz formule je očito da je funkcija definirana na cijelom realnom području, da ima tri realne nultočke (jednu racionalnu i dvije algebarske), jednu vodoravnu asimptotu te prema tome i tri točke infleksije. Ne zaboravi i da Winplot ima posebnu sintaksu. Transkribiraj desnu stranu formule:

( ) ( )2 ^ 3 3 ^ 2 expx x x x− − ∗ −

^


Udruga Normala

44

Idi sada u \ . To je naredba za biranje parametara koji bi omogućuju da se sustav više grafova prikaže na najbolji način. Ovdje gledatelju omogućuju da vidi graf u cijelom području definicije. U Pomoći piše da rezultati nisu predvidljivi. Pogledajmo:

Slika izgleda kao nekakav apsurd, nesporazum. Zapravo, kad x i y→ −∞ → −∞ , debljina osi je veća od pruge u kojoj je graf. Kako-tako je potvrñena pretpostavka da je funkcija definirana, ako ništa, barem na velikom razmaku. Pritisni tipki Home na tipkovnici. Kao nekom čarolijom vratila se stara slika. Naslućuje se da postoji vodoravna asimptota i još jedna točka infleksije. Pritisni Page Down i makni ishodište na lijevo.

Izgleda da je sve bitno za analizu unutar intervala -2 <

-2<y < 2. Razveži osi: \ :

Nova slika:

Sada su bitne značajke grafa vidljive (učenici bi rekli:“I ćoravom!“). Da se bolje orijentiraš uredi crtaću plohu:


Udruga Normala

45

Sad se može govoriti i o numeričkim vrijednostima:

Umjesto da procjenjuješ položaje i vrijednosti nultočaka, ekstrema itd, zaposli Winplot. Svaku od značajki grafa ću obraditi u posebnom poglavlju.

3.1.1 Nulto čke Slijedi put: \ . Pojavi se ploča:

a na dijagramu se pojavi pokazivač u obliku strelice (↓): .

te na sivoj plohi prozora njegova apscisa . Klikni na

i dobiješ i te

i . Svrha oblikovanja kompjuterskih programa nije prepisivanje podataka sa zastora monitora. Vjerojatno

misliš upotrijebiti dobivene podatke. Dakle: . U svim slijedećim računima umjesto brojčane vrijednosti tipkaj slovo A . Pripazi! Ovo je jedino mjesto na kojem Winplot prepoznaje velika


Udruga Normala

46

slova! Ako želiš bolje istaknuti nultočke, a i njihove podatke spremiti tako da omogućiš izvoz u bilo koji

Windows dokument, klikni na . Malo po malo ćeš dobiti ovo:

Što ako je graf funkcije suviše strm?Evo primjera: Nañi nultočke funkcije ( ) ( ) 10ln3 −−= xxxf .

Poslije malo pripreme dobijemo situaciju:

. Iz analize znamo da je:


Udruga Normala

47

( ) ( )( )( ) ( )( ) +∞=−−=

+∞=−−=

+∞→+∞→

→→ ++

10ln

10ln

3

3

00

limlim

limlimxxxf

xxxf

xx

xx

Kako je f(1) = -9, a funkcija neprekinuta, mora postojati mjesto izmeñu 0 i 1 na kojem se mijenja predznak. Winplot ga ne pronalazi. Suviše je blizu nuli. Pokušaj ovo:

Ne vidi se ništa. Razmak na osi x je još prevelik. Poslije nešto posla, doñeš do ovoga:

Pa je slijedeća nultočka:

Može se zadati i zločestiji primjer: ( ) ( ) 10log3 −−= xxxf . Kad ti se učini da je Winplot nemoćan, prilikom

crtanja se krivulje poveća . Sada su moguća veća uvećanja .

3.1.2 Ekstremi Vratimo se na funkciju


Udruga Normala

48

. Vidljiva su tri ekstrema. Bolje je prepustiti Winplotu da ih nañe:

Naravno da se ove vrijednosti ne prepisuju. Mogu se pronaći u \ \ . Tu su spremljeni kao tekst i mogu se kopirati u bilo koji Windows dokument.

. U slijedećim radnjama umjesto brojčanih podataka upisuj odgovarajuće slovne oznake. Svaki

od ureñenih parova koji odgovaraju ekstremima klikom na dobije trajnu grafičku oznaku na dijagramu te stavku u popisu. Pažnja: Ova memorija je osjetljiva na velika slova!


Udruga Normala

49

Koordinate u popisu su zapisane s najvećom mogućom točnošću.

3.1.3 Infleksije (to čke izravnanja) Točka infleksije (točka izravnanja) je mjesto na kojem zakrivljenost krivulje mijenja predznak

Može se reći da je točka infleksije mjesto na kojem se tangenta nalazi s obje strane krivulje . Winplot nema posebnu naredbu za traženje točaka infleksije, ali postoji odličan alat kojim se ona nalazi

posredno. Slijedi put: \ . Uz dijagram se otvori ploča:


Udruga Normala

50

A na grafu se pokaže pokazivač u obliku križa (+). Koordinate pokazivača se vide na ploči nazvanoj

. Položaj pokazivača se može mijenjati upisivanjem broja u bijelo polje iza x = ili lijevim klikom i

držanjem na „trn“ klizača. Potvrdom stavke , na dijagramu se pojavi tangenta na pokazanoj točki. Pomicanjem se može naći približno mjesto točke infleksije:

Zbog prirode tangente, područje u kojem nam se čini da nalazimo infleksiju je dosta široko. Pogledaš li bolje vidjet ćeš i da se vidi nagib tangente u pokazanoj točki te polumjer zakrivljenosti u istoj točki

Zakrivljenost je pozitivna, što znači da položaj točke izravnanja nije pogoñen. Miči trn klizača dok ne ugledaš

negativan predznak. S malo pomicanja lijevo-desno, lako se doñe do mjesta koje je najbliže točki izravnanja:

Želiš li vidjeti i kružnice oskulacije u pokazanim točkama, idi na

: Čitatelj valjda zna zašto je slika kružnice istegnuta.


Udruga Normala

51

Primjedba: Taylorov polinom se ne može mijenjati u „realnom vremenu“ povlačeći trn. Njegov graf se pojavi tek kad se uradi slijedeće:


Udruga Normala

52

3.1.4 Odreñeni integral

Odreñeni integral funkcije f(x), dakle ( )∫b

a

dxxf se računa numerički na više načina i pokazuje na dijagramu.

Prati put \ \ , ili što je brže, pritisni F7.

Za primjer nañimo odreñeni integral funkcije koju već istražujemo i to od nultočke A (čije smo podatke već spremili) do broja 20. Meñu ponuñenim metodama odaberimo paraboličku (u literaturi je poznata kao

Simpsonova ili Cavalierieva metoda). Neka razmak bude podijeljen na predloženih podintervala.

Naredimo . To znači da će se podintervali vidjeti na dijagramu.


Udruga Normala

53

Evo vrijednosti izračunatih svim predloženim metodama:

Za školske svrhe je zanimljivo smanjiti broj podintervala pa mijenjati metode. Evo rezultata za razne metode s 20 podintervala:


Udruga Normala

54

Može se odabrati jedna metoda pa mijenjati broj podintervala:

3.1.5 Neodreñeni integral (primitivna funkcija) Sjetimo se veze odreñenog i neodreñenog integrala:

( ) ( ) ( )∫ ∫ +== .CdxxfdxxfxFx

a

Aditivna konstanta C je ovisna o donjoj meñi a. (Izvorno predložena donja meña je 0) Zbog toga se u opisu neodreñenog integrala u popisu pojavljuje donja meña iza znaka @. Winplot koristi numeričke metode za računanje neodreñenog integrala pa ne može napisati njegova analitički izraz. Evo primjera:


Udruga Normala

55

Svaka promjena zadane funkcije mijena i primitivnu funkciju. Neka je na primjer zadano : ( ) ( ) xemxxf −+= 1 gdje je m realan parametar zadan u razmaku -1 < m < 1. Evo slika:


Udruga Normala

56

3.1.6 Inverzna funkcija

U izborniku postoji stavka koja se aktivira samo ako je već nacrtan graf funkcije zadane u eksplicitnom obliku, i to bez obzira na vrstu koordinatnog sustava. Postoje slijedeće mogućnosti za pravljenje novih funkcija:

Značenje prvih pet mogućnosti je jasno po sebi, dok posljednja , označava kompoziciju funkcija f i g. Zanimaju nas zapravo, samo one funkcije čija je kompozicija identiteta, f(x)=x, čiji je graf bisektrisa prvog i trećeg kvadranta, y = x, dakle inverzne funkcije f i f -1. Evo primjera: f (x) =2x+6, f -1(x)=0.5x-3. Nacrtajmo grafove:

Pa primijenimo \

Dogodi se ovo:

Jasno se vidi bisektrisa. Pitamo se je li moguće u Winplotu napraviti inverznu funkciju, ako je osnovna naravno, zadana kao monotona. Moguće je posredno. Naime, u postoji stavka i na ureñivačkoj ploči mogućnost biranja „zrcala“ (osi simetrije).

Izaberimo . Dogodi se ovo.


Udruga Normala

57

Zadamo li funkciju koja nije monotona, na primjer Gaussovu ( ) 2xexf −= :

uvijek se može napraviti monotona restrikcija smanjivanjem područja definicije. Na primjer: f(x) = exp(-x^2), 0<x<1.7. [ zapisano u Winplot sintaksi].

Znak odgovara općeprihvaćenom znaku ≤. Winplot svaki razmak shvaća kao zatvoren! Zašto?


Udruga Normala

58

Evo slike. Reflektiran graf je nacrtan crvenom bojom

3.1.6.1 Numeričke vrijednosti grafa inverzne funkcije Još jednom ističem da Winplot sve vrijednosti za crtanje grafova odreñuje numerički pa izvedenim funkcijama ne može pisati analitičke izraze. Ukoliko nam trebaju podaci za rekonstrukciju tog grafa ili bilo kakvu manipulaciju u nekom drugom Windowsovom dokumentu, Winplot omogućuje upotrebu tablice s numeričkim vrijednostima funkcije. Evo tablice za funkciju zrcaljenje{y = exp(-x^2); 0.000000 <= x

<= 1.700000} / os y = x iz našeg primjera. Idi u … \ :


Udruga Normala

59

Winplot konstruira zrcalnu sliku grafa u parametarskom obliku. Tako je i tablica te funkcije zadana u tri stupca. Parametar t ima stalan korak. Korak se može mijenjati pozivanjem ureñivačke ploče postupkom opisanim na slici. Moram upozoriti da se neposrednim kopiranjem (Ctrl+C �Ctrl+V) tablica prenosi kao jedan stupac. Evo primjera:

Ovo je isječak tablice prenesen u Word. Ako se naredi Ctrl+A \ Tablica\ Umetni\ Tablica, dobije se ovo:

Ukoliko će ona poslužiti samo za čitanja, to nije nikakav problem. Ako želiš manipulirati elementima te

tablice, vrati se u Winplotovu tablicu. Slijedi put \ pa na novoj ureñivačkoj ploči potvrdi opciju:


Udruga Normala

60

Winplotova tablica sad izgleda ovako:

A prenesena u Word, ovako:

Tablica u takvom obliku se može prenijeti u proračunske tablice. Primjer izvoza tablice u Excel: Kako sam već upozoravao, prije izvoza Windowse treba namjestiti na američke odrednice. Postupak je opisan u 2.7. pravilno formatirana tablica se kopira standardnim postupkom Ctrl+A � Ctrl+C pa se zalijepi u unaprijed otvoren Excelov radni list:

Želiš li nacrtati graf, klikom na , će se otvoriti . Graf inverzne funkcije (zapravo refleksije) je nacrtan parametarski pa pripadna tablica ima tri stupca. U Excelovom žargonu

parametarski zadani grafovi su „raspršeni“. Zbog toga dva puta klikni na pa odaberi neku od opcija. Ukoliko su označena sva tri stupca, dogodi se ovo.


Udruga Normala

61

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

x

y

Ne razumijemo sliku. Nismo toliki majstori! Zbog toga postupi ovako:

Poslije malo dorañivanja, dijagram izgleda ovako:


Udruga Normala

62

y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

y


Udruga Normala

63

3.1.7 Derivacija Za svaku funkciju zadanu eksplicitno se može naći graf derivacije. Nañi prvu, drugu i treću derivaciju funkcije .23 23 xxxy +−= Uoči da je stavka posljednje derivacije aktivna. To znači da se ponavljanjem klika na

postupak može ponavljati dok se ne ispuni memorija. Ako deriviramo polinom, svaka slijedeća poslije n-te se poklapa s prethodnom.


Udruga Normala

64

3.1.8 Familija funkcija U Winplotu se može vizualizirati familija krivulja ukoliko se u formulu (ne nužno eksplicitnu) upiše vrijednost nekog od predloženih parametara (od A do W; x, y i z ne mogu biti parametri). Za primjer odabirem funkciju drugog stupnja y = ax2. Nacrtaj familiju krivulja koja nastaje kad se parametar a mijenja od 0 do 1. neka u zadanom razmaku bude 20 krivulja.

Počni standardno � . Izgleda da na zastoru nema promjena. Kad se bolje pogleda,

vidi se promjena boje na osi x: . Sjeti se da je izvorno predložena vrijednost parametra a

jednaka 0. Nacrtan je pravac koji pripada jednadžbi y=0. Pronañi na popisu tipku . Pokazat će se ploča:

Klikneš li na , pojavi se ovo: Dakle, nacrtane su krivulje 2xay i= , gdje je i = 0,

1,2, …, 21, ,0; 01 =∆+= − aaaa ii a

.05,020

1 ==∆a

3.1.9 Tkivo (Web Diagram) U Winplotu se može nacrtati dijagram iterativnog postupka koji se u angloameričkoj literaturi zove Web-diagram . Riječ Web se može prevesti kao

paučina, a može i kao tkivo. Obje riječi su metafore. „Biološka“ metafora, paučina, ishodi iz slike pauka koji


Udruga Normala

65

vuče svoju nit od osnovnih niti grafa funkcije i bisektrise prvog i trećeg kvadranta. „Tehnološka“ metafora ishodi iz slike tkača koji vuče čunak s niti potke preko niti osnove. Osnovu takoñer predstavljaju graf funkcije i bisektrisa prvog i trećeg kvadranta. Dakle, zadana je jednadžba x=f(x). Umjesto x se napiše proizvoljan broj x0 (ovdje se taj broj zove zametak) pa s računa f(x0). Dobivena vrijednost x1=f(x0) se opet unese u formulu. Dobije se tako niz xn+1= f(xn). Ukoliko se dogodi da je nn xxxxxx −>>−>− +11201 K kaže se da postoji kontrakcija pa niz

nxxxx ,,,, 210 K teži nekom broju x (fiksnoj točki). Niz je tada konvergentan. Bolje je reći da je ε<− nxx ,

gdje je ε proizvoljan broj. Najčešće se kaže „po volji malen broj“. Dakle, nizom točaka odreñenih ureñenim parovima (xn-1, xn) � (xn, xn) � (xn,xn+1)se zasniva putanja koja zorno opisuje gornji postupak. Najbolje je

pokazati primjer. Neka je zadana funkcija ( ) 2xexf −= , (u Winplot notaciji exp(-x^2)), standardna Gaussova funkcija. Iz statistike je poznato i rješenje jednadžbe x = f(x). to je x ≈ 0,6529. Dakle:

Evo slika:


Udruga Normala

66

Evo primjera u kojem proces u početku divergira pa oscilira izmeñu dvije ekstremne vrijednosti. Može se vidjeti i da izbor početne vrijednosti utječe na proces.

Evo i primjera u kojem se vidi da postoje rješenja jednadžbe koja se ne mogu naći postupkom iteracije:


Udruga Normala

67

−1 1 2 3 4 5 6

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y

y = exp(x/3)-1 tkivo[vrijednost zametka 5.000; 10 koraci]

Postoje dva rješenja. Postupak teži rješenju x=0.

Ne može se postići iteracija prema rješenju

u okolini broja 5.

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

x

Zametak je s desne strane rješenja.

Proces divergira.

y = exp(x/3)-1 tkivo[vrijednost zametka 6.000; 10 koraci]

. Evo i primjera u kojem konvergencija procesa ne ovisi o početnoj vrijednosti:

1 2

1

2

x

y

y = (1+x)/(2+exp(-x))

1 2

1

2

x

y

y = (1+x)/(2+exp(-x))

(x,y) = (0.65904606840740,0.65904606840740) Evo još dvaju zanimljivih primjera


Udruga Normala

68

3.1.10 Presjeci krivulja Analogno rješavanju sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice, rješavaju se i nelinearni sustavi. Evo primjera:

(x,y) = (1.73205080756906,0.74999999999988) (x,y) = (-1.73205080756906,0.74999999999988):

4

1

3

2

2

xy

xy

=

+=


Udruga Normala

69

3.1.11 Pridruži to čku Odabrane točke grafa se može istaknuti i one ostanu istaknute i kad se promijeni izvorni graf. Čemu to služi? Evo primjera:

Izvorno predloženom primjeru eksplicitne jednadžbe sam dodao aditivni parametar a. Naredio sam da se istaknu točke s apscisama -1, -1, 0, 1, 2. Promjenom parametra a, dogodi se ovo:

Točke nisu dobile odvojene stavke u popisu. U popisu piše da su vezane za graf: točke {y = x sin(x)+a @ -2 -1 0 1 2}.


Udruga Normala

70

3.1.12 Površina izme ñu dviju krivulja Izračunaj površinu omeñenu krivuljama zadanim jednadžbama: Primjer je već obrañen i njegove nultočke su sačuvane u memoriji kao A i B.

Treba izračunati intrgral ( ) ( )[ ]∫ −=B

A

dxxgxfS .

4)(

1

3)(

2

2

xxg

xxf

=

+=


Udruga Normala

71

3.1.13 Volumen rotacijskog tijela Kolik je volumen rotacijskog tijela odreñenog rotacijom (vrtnjom) oko osi y plohe zadane uvjetima:

−2 −1 1 2

1

2

3

x

y

A B

Tijelo se može nacrtati u \ :


Udruga Normala

72

Ovako se dobije njegov volumen:


Udruga Normala

73

3.2 Parametarske jednadžbe Krivulje u ravnini su općenito opisane dvjema jednadžbama ovisnima o istom parametru, obično označenom slovom „t“, čija vrijednost varira u razmaku tmin ≤ t ≤ tmax :

( )( )

( )( )

==

==

.tg

tf

tgy

tfx

θρ

Prvi oblik opisuje krivulju u pravokutnom koordinatnom sustavu, a onaj drugi u u polarnom koordinatnom sustavu. Svojstva parametarski zadanih krivulja se najlakše proučavaju na krivuljama zadanim jednadžbama prvog stupnja:

[ ] ( )[ ] ( )iikoordinatepolarnetkt

ikoordinatepravokutneytmyxtmx yx

,,

,,

00

00

ωωθρρ +=+=

+=+=

Jednostavnost oblika jednadžbe povlači jednostavnost krivulje: Primjer : Nacrtaj vektor duljine 2 s hvatištem u točki A(2, 1) . Vektor je paralelan s jediničnim vektorom kojem je hvatište u ishodištu. Prvo treba uočiti da nije zadan smjer jediničnog vektora. Zaključujemo da je proizvoljan, pa ga zadajemo parametrom 0 ≤ a ≤ 2π. Nacrtajmo polarnu dužinu:

Primjedba: Da bi se slovna oznaka mogla vezati na vrh vektora. Nacrtaj i polarnu točku na njegovom vrhu. Da bi točka što manje smetala preglednosti slike, odaberi joj veličinu 1. Jednadžbe traženog vektora:


Udruga Normala

74

( )( )

20

1

2

2

1

≤≤+=+=

t

tmtg

tmtf

Kako postići da kut izmeñu vektora i pozitivnog dijela osi x bude jednak kutu A? Sjeti se da je nagib pravca jednak tan(A), te da vrijedi:

. Dakle:


Udruga Normala

75

Evo jednostavnog primjera u polarnim koordinatama: Nacrtaj krivulju: ( ) ( ) ππ ≤≤= ttttr 0;2,, Te polarnu dužinu od (0,0) do (a, 2πa); 0≤ a≤ 2π.

Sjetimo se parametarskih jednadžbi elipse sa središtem u ishodištu, a s tjemenima na koordinatnim osima: ( ) ( )[ ] π20sin,cos ≤≤== ttbytax


Udruga Normala

76

Što će biti s elipsom ako dodamo aditivnu konstantu u prvu od jednadžbi? Recimo ovako: ( ) ( )[ ] ππ 20;20sin3,cos2 ≤≤≤≤=+= attyatx .

Evo i cijele familije:

Čitatelj može sam animirati sliku korištenjem tipke .

Evo još jedan zanimljiv primjer: Točka na kružnici se vrti oko osi kutnom brzinom ω i giba u smjeru kotrljanja brzinom v. Jednadžbe gibanja točke na kružnici su:

( ) ( )[ ]tryvttrx ωω cos,sin =+= Odaberimo r =1 i ω =1. Nacrtaj grafove slijedećih gibanja:

• v=1 • v=0.6 • v=0.8 • v=1.5 • v=2


Udruga Normala

77

3.2.1 Šiljci Još od Descartesovih vremena parametarske jednadžbe služe za prikazivanje krivulja sa šiljcima


Udruga Normala

78

Evo, na primjer familije superastroida:

Pogledajmo kako izgledaju derivacije ovih krivulja:

Može se provjeriti i analitički.

3.2.2 Tangenta na krivulju I parametarski zadanoj krivulji se može konstruirati tangenta u točki Sjetimo se da je geometrijsko značenje derivacije u točki nagib tangente u toj točki, a mehaničko značenje derivacije u točki je trenutna brzina točke. U fizici se parametarske jednadžbe zadaju da se opiše složeno gibanje. Dakle, da bi se opisala brzina složenog gibanja treba reći brzinu svakog od jednostavnih gibanja na koje se ono može razložiti. Zbog toga je derivacija parametarski zadane funkcije vektor.


Udruga Normala

79

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

1

2

3

x

y

T = [ f ' ( t) , g ' ( t) ]

T1

P

Taj vektor se zove tangencijalna brzina. Winplot pokazuje njegove parametre. Sama tangenta je zapravo vektor tangencijalne brzine translatiran za vektor P = [f(t), g(t)].

3.3 Regularne krivulje Dogaña li se poništenje prve derivacije parametarski zadane krivulje u pojedinoj točki? Odgovor je da to naizgled proturječi definiciji regularnosti:“Krivulja zadana parametarski [f(t), g(t)] je regularna ako u svakoje točki područja definicije vrijedi [f'(t), g'(t)] ≠ 0. Sama koncepcija „regularnosti“ potječe iz fizike: tangencijalna brzina se ne može poništiti ni u jednoj točki putanje.


Udruga Normala

80

1.Primjer: Ispitajmo krivulju zadanu parametarski:

( )( )

π202

12cos

sin

≤≤

+=

=

t

ty

tx

Dalje je jasno. Pretpostavimo li da je krivulja putanja točke, znači da točka titra lijevo-desno u razmaku [0,

2π] te da mijenja smjer u za vrijednosti parametra 2

3

2

ππ == tit . Kad t postigne vrijednosti s rubova

intervala, t je na tjemenu putanje. Lako je analitički potvrditi ono što smo vidjeli na slici: d/dt [sin(t) , (cos (2t)+1)/2)] = [cos(t), sin(2t)] [cos(π/2) , - sin(2 π/2)] = [0, 0] i [cos(3π/ ), sin(2 3π/2)] = [0, 0] 2. primjer Ispitaj parametarski zadanu krivulju.

Rješenje je krivulja koja sliči na zatvorenu vitičastu zagradu:


Udruga Normala

81

Potvrdimo analitički: d/dt [cos(2t) 3 , sin(t) 3 ] = [-3cos(2t)·sin(4t), 3sin(t) 2 ·cos(t)] [-3cos(0)·sin(0), 3sin(0) 2 ·cos(0)] = [0, 0] [-3cos(π/2)·sin(4 π/2), 3sin(π/2) 2 ·cos(π/2)] = [0, 0] [-3cos(2π)·sin(4π), 3sin(π) 2 ·cos(π)] = [0, 0] [-3cos(2 3π/2)·sin(4 3π/2), 3sin(3π/2) 2 ·cos(3π/2)] = [0, 0] 3. primjer (Deltoid, troroga hipocikloida) Ispitaj krivulju zadanu polarnim jednadžbama.

Evo i analitičke potvrde:

Evo još zanimljivih primjera:

4. Primjer (Epicikloida)

d/dt [2cos(t) + cos(2t), 2sin(t) - sin(2t)] = [-2sin(2t) - 2sin(t), 2cos(t) - 2cos(2t)] [-2sin(0) - 2sin(0), 2cos(0) - 2cos(0)] = [0, 0] [-2sin(2 2π/3) - 2sin(2π/3), 2cos(2π/3) - 2cos(2 2π/3)]= [0, 0] [-2sin(2 4π/3) - 2sin(4π/3), 2cos(4π/3) - 2cos(2 4π/3)]= [0, 0]


Udruga Normala

82

5. Primjer (Hipocikloida)

6. Primjer (Epitrohoida)

7. Primjer (Hipotrohoida)


Udruga Normala

83

U svim primjerima čitatelj može varirati brojčane koeficijente.

3.3.1 Lissajousove krivulje Meñu svim parametarski zadanim krivuljama vjerojatno su najpoznatije Lissajousove krivulje. U fizici se definiraju kao kompozicije dvaju periodičnih gibanja. Mogu se definirati kao [sin(nt + a), sin(mt)] za 0 ≤ t ≤ 2π . U tim jednadžbama su „n“ i „m“ cijeli brojevi dok je a realan broj iz razmaka -2π ≤ a ≤ 2π. Evo nekoliko primjera:


Udruga Normala

84


Udruga Normala

85

3.3.2 Descartesov list Descartesov list je zadan parametarskim jednadžbama.

1,,1

3,

1

33

2

3−≠+∞≤≤∞−

+=

+= tt

t

ty

t

tx

Gledajući jednadžbe vidimo da će biti problema. Pogledajmo kako se ponašaju osnovne funkcije x=f(t) i y=g(t):

Obje funkcije imaju polove za t= -1 i obje funkcije imaju vodoravne asimptote za x=0, odnosno y=0. Znači da će se za velike promjene parametra t točka (f(t), g(t)) neznatno pomicati u okolini ishodišta, dok će se za neznatne promjene parametra t u okolini broja -1 točka (f(t), g(t)) naglo micati pa kad parametar preskoči broj -1, skokovito vratiti na drugu stranu. Evo poznate slike:

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

Na slici se ne vidi da krivulja ima prekid u (0, 0) što se može zaključiti gledajući asimptote grafova t-x i t-y. Početnik može lako doći u napast da graf gleda kao krivulju koja sama sebe presijeca. Da se izbjegnu zabune, dobro je graf nacrtati po dijelovima:


Udruga Normala

86

3.4 Poligonalne krivulje

3.4.1 Rjeñe upotrebljavane funkcije Winplotov analizator baze podataka, kako je čitatelj očito primijetio, sadrži sve standardne matematičke funkcije i konstante, te mnoge nestandardne. Cijeli popis je u 9.2. sada ću opisati par standardnih funkcija koje se rjeñe susreću.

3.4.1.1 abs

( ) xxabs = ( )

<−≥

=0,

0,

xx

xxxabs


Udruga Normala

87

3.4.1.2 floor ( ) ( )floor x prvi veci cijeli broj x=

3.4.1.3 ceil ( )y prvi manji cijeli broj x=

3.4.1.4 max(a,b,c, …)


Udruga Normala

88

3.4.1.5 min(a,b,c, …)

3.4.1.6 sgn

( )

≥<−

==0,1

0,1sgn

x

xxy

Vidi se da ove funkcije lome, režu i izravnavaju poznate krivulje. Poslije malo vježbe se može ustanoviti kako praviti zatvorene krivulje u obliku mnogokuta.


Udruga Normala

89

3.4.2 Kvadrat u parametarskim jednadžbama

3.4.2.1 Dijagonale usporedne s koordinatnim osima

Gledajući dijagram, čitatelj će shvatiti da je trebalo puno vježbe, pokušaja, pogrešaka i malo krañe da se ovo nacrta. Zašto parametarski, a ne implicitno, kako bi to učinio onaj tko je učio po zbirci Pavković – Veljan? Poigrajmo se s parametrom t:

3.4.2.2 stranice usporedne s koordinatnim osima


Udruga Normala

90

3.4.3 Mrežaste figure Kvadrat iz 3.4.2.1 je topološki kružnica pa se mogu napraviti mreže koje podsjećaju na Lissajousove figure. Evo jednog primjera gradnje takvih figura:

...3,2,1...;,3,2,1

,,0,0

32

14

32

14

==⋅=<<<<

−

+−

++−=

−

−

+−=

mn

mnTjegdjeTaTt

m

at

m

atfloorabsy

n

t

n

tfloorabsx


Udruga Normala

91

3.5 Ornamentske figure Sjetimo se kako smo napravili cikloidu i izvedene krivulje. Dodavanjem parametra t u bilo koju od definicijskih funkcija dobijemo krivulje koje sliče na vez:

(x,y) = (2cos(t)+cos(2t),2sin(t)-sin(2t))

(x,y) = (2cos(t)+cos(2t),2sin(t)-sin(2t))

(x,y) = (sin(2t),sin(3t)) (x,y) = (sin(2t)+ta,sin(3t))

a=0,36


Udruga Normala

92


a=0,5


a=0,84

Svi grafovi izvedeni iz funkcije floor se mogu rastezati i povećavati po volji.

3.6 Implicitne jednadžbe Jednadžbe zadane u kartezijanskom koordinatnom sustavu u implicitnom obliku f(x, y) na domeni D≡{ xmin≤ x≤ xmax , ymin ≤ y ≤ ymax } unatoč prividno jednostavnoj formi je vrlo teško prevesti u grafički format. Za razliku od eksplicitnih i parametarskih jednadžbi, implicitne jednadžbe nemaju efikasne algoritme za crtanje. Za nalaženje svake od točaka (xi, yi) pripadne krivulje program upotrebljava iterativni postupak. Program bira nasumce broj xi pa ga uvrštava u formulu f(xi, y) te računa yi i smjer tangente u točki (xi, yi). Tako se izbjegava nasumičnost u traženju druge točke. Postupak se može jako odužiti, posebno ako se krivulja sastoji od nepovezanih dijelova. Zbog toga je ponuñena mogućnost prekida predugog postupka pritiskom na tipku „Q“. Na sreću, za jednadžbe prvog stupnja (pravac) i jednadžbe drugog stupnja (presjeke stošca, konike) postupak je toliko brz da se trajanje ne može primijetiti.

3.6.1 Familije krivulja Presjeci stošca su možda najčešće ispitivane krivulje u kursevima matematičke analize. Zahvaljujući mogućnosti animacije i tvorbe familija krivulja, Winplot je vrijedan i snažan alat za istraživanja.

1. primjer

Zadane su jednadžbe dviju kružnica: ( ) 012 22 =−+− yx te ( ) 011 22 =−++ yx . Što je

( )[ ] ( )[ ] 01112 2222 =−++−−+− yxkyx ? Što zaključuješ?


Udruga Normala

93

Jednadžbom ( )[ ] ( )[ ] 01112 2222 =−++−−+− yxkyx je definirana familija kružnica. Za k≤1 one

obavijaju kružnicu ( ) 012 22 =−+− yx , a za k > 1 obavijaju kružnicu ( ) 011 22 =−++ yx . Kad k → ∞, obvijajuće kružnice su sve bliže zelenoj kružnici. Zbog toga izgleda da je polje koje odreñuje familija gušće oko zelene kružnice. 2. primjer

Za iste kružnice ( ) 012 22 =−+− yx i ( ) 011 22 =−++ yx ispitaj

( ) ( )[ ] ( )[ ] 011121 2222 =−++−−+−− yxkyxk pa ( ) ( )[ ] ( )[ ] 011121 2222 =−+++−+−− yxkyxk Što sada zaključuješ?

3. primjer


Udruga Normala

94

4. primjer Kružnice se dodiruju izvana.

5. primjer Kružnice se dodiruju iznutra:

6. primjer Kružnica i parabola.


Udruga Normala

95


Udruga Normala

96

3.7 Krivulje jednake razine (fazne krivulje, slojni ce) Jedna od posebno važnih primjena implicitnih jednadžbi je crtanje takozvanih krivulja jednake razine za funkcije z = f(x,y) u 3D. Winplot ima prozor za crtanje grafova u 3d i krivulje jednake razine su njegov potprogram. Krivulje jednake razine se u literaturi često zovu fazne krivulje, a u geografskoj literaturi se zovu slojnice. Prevodeći izraz „Level curve“, odlučio sam se za „slojnica“. Dakle, slojnice se crtaju na slijedeći način: odabere se vrijednost na uspravnoj osi z=m1. ta vrijednost predstavlja horizontalnu ravninu udaljenu od ravnine x-y za m1. Presjek s plohom z=f(x,y) se prikazuje implicitnom jednadžbo. f(x, y) = m1. toj jednadžbi pripada krivulja γ1. postupak se nastavlja odabran broj puta. Rezultat je familija krivulja. Krivulje jednake razine služe za razumijevanje funkcija dviju varijabli kao alternativa aksonometriji i perspektivi (skoro sve geografske karte su tako nacrtane). One su i odlično sredstvo za istraživanje ekstremnih točaka i prijevoja funkcija dviju varijabli.

1. primjer Neka je zadana funkcija ( ) 502,36 22222 -y+x-)+y(xx,yf = . Nacrtajmo krivulje jednakog razmaka od -50 do 10 s korakom 1. Dakle, treba nacrtati familiju implicitnih funkcija:

.,...,,,,m,=m-y+x-)+y(x 10¸9484950502,36 22222 −−−=


Udruga Normala

97

Jasno se vide tri ekstrema E1 i E2, dvije sedlaste točke S1 i S2. Naravno, ne može se vidjeti gdje je maksimum, a gdje minimum. Umjesto varijable y u formulu funkcije uvrsti parametar t. Napravi eksplicitnu jednadžbu: ( ) ( ) .30,,502,36 22222 ≤≤== tzxf-t+x-)+t(xxf Otvori nov prozor pa napravi ovo:

Sad je očito da su E1 i E2 minimumi, a da je E3 lokalni maksimum.


Udruga Normala

98

.

.

.

. 2. primjer Slijedi još jedan detaljno riješen primjer. Zadan je funkcija ( ) 3 2 3 2, 4 2 2 2f x y x x x y y y= − + + − + + + . Nacrtaj krivulje jednake razine od z=0 do

z=22 s korakom 1. Zadatak se svodi na crtanje familije implicitno zadanih krivulja:

3 2 3 24 2 2 2 , 1,2, ,22x x x y y y m m− + + − + + + = = K

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

A

B

C

D

m=0

m=22

Opet se jasno vide dvije ekstremne točke A i B te dvije sedlaste točke C i D. Nañimo analitički njihove koordinate:

( )

( )

2 2

1,2 1,2

, 3 8 1, 3 4 2

4 19 2 10, 0 ,

3 3 3 3

f x y x x y y

f x y x y

∇ = − + + − + +

∇ = ⇒ = ± = ±

Koordinate točaka odredimo približno na dvije decimale: A(2.78,1.72), B(-0.12,-0.38), C(-0.12,1.72) i D(2.78, - 0.38). Da odredimo vrstu ekstrema, uvrstimo u zadanu formulu umjesto varijable y parametar t: ( ) 3 2 3 24 2 2 2f x x x x t y y= − + + − + + + ,

Otvorimo nov 2-dim prozor pa napravimo ovo. 3.primjer

f(x,y) = 1/(x 4 +y 4 -2x 2 -2y 2 +3) ,m(x 4 +y 4 -2x 2 -2y 2 +3) = 1, 0 ≤ m ≤ 1 , koraka: 20


Udruga Normala

99

−2 −1 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

3. primjer f(x,y) = sin(x+y)+xy/10, sin(x+y)+xy/10=m, -2 ≤ m ≤ 2 , koraka: 40

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

4. primjer

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 200,12,12, 222222 ≤≤=−+−−+−= mmxxyxxyyxf koraka: 20


Udruga Normala

100

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

5. primjer f(x,y) = 1/ (x+y-xy-x-y +1) m*sqr(xx+yy-xy-x-y+1) = 1, 1 ≤ m ≤ 10 , koraka: 40

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y


Udruga Normala

101

6. primjer f(x,y) = sin(x)cos(y) sin(x)cos(y) = m, -1 ≤ m ≤ 1 ,koraka: 40

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

7. primjer f(x,y) = x sin(y) x sin(y)= m, -2 ≤ m ≤ 2 , koraka: 40

−3 −2 −1 1 2 3

−2

−1

1

2

x

y


Udruga Normala

102


Udruga Normala

103

3.8 Nelinearni sustavi Grafovima odreñenima jednadžbama u implicitnom obliku se ne može manipulirati kao onima zadanima

eksplicitnim i li polarnim jednadžbama. Mnoge stavke u i ostaju neaktivne. Na sreću, aktivna je jedna : .

Znači da se mogu riješiti sustavi

nelinearnih jednadžbi

( )( ) 0,

0,

==

yxg

yxf

Sustavi će biti riješeni naravno numerički. Evo nekoliko primjera kakvi se u školskoj praksi izbjegavaju zbog dugotrajnosti postupka: 1. primjer

024

0442

22

=−−+−

=−−−

yxyx

xyyx


Udruga Normala

104

Podaci za svako rješenje sustava su u i zapisani su kao tekst. Znači da ih se može prenositi u druge Windows dokumente standardnim načinom Ctrl+C i Ctrl+V. Vidi se i da su koordinate zapisane na 14 decimala, dakle, s pogreškom manjom od 15105 −× što je više nego dovoljno za većinu praktičnih potreba. 2. primjer

042

01422

22

=−+

=−−−

yx

xyyx

xx+4yy-xy-4=0 sqr(x-yy+4)-2x-y=0 (x,y) = (0.39753725178146,1.03099758485694) (x,y) = (1.40701672804246,-0.55624908179052)


Udruga Normala

105

3. primjer

( ) ( ) ( )02

012sinsin1cos22 =−+

=−+−

yx

yyx

x^2-4y^2-xy-1=0 x^2+2y^2-4=0 (x,y) = (-1.82980819601536,-0.57087706630983) (x,y) = (1.59578702788043,-0.85248462518155) (x,y) = (1.82980940933491,0.57087765216724) (x,y) = (-1.59578802144689,0.85248539431846)


Udruga Normala

106

−3 −2 −1 1 2 3

−2

−1

1

2

x

y

Kompleksna rješenja jednadžbe f(z) =0 se mogu naći supstitucijom z = x+ iy te separacijom realne i imaginarne komponente tako da se dobije funkcija oblika f(x+iy) = g(x)+ih(y). Rješenje kompleksne jednadžbe je ekvivalentno rješenju, općenito nelinearnog sustava [g(x) = 0, h(x) =0]

4.primjer

cos(x-1)+sin(y)sin(2y)-1=0 xx+yy-2=0 (x,y) = (1.39972148728374,0.20195146622071) (x,y) = (0.17225201939249,1.40368560013356) (x,y) = (1.39972153165069,-0.20195148912266) (x,y) = (0.17225293510304,-1.40368597301525)


Udruga Normala

107

Nañi sva rješenja jednadžbe: 01824 =+−− zzz . Odnosno ekvivalentnog sustava:

( ) 0422

018632

222244

=++−

=+−+−−+

xxxyy

xyxyxyx

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

x^4+y^4-6x^2y^2-x^2+y^2-8x+1=0 y(2xy^2-2x^3+x+4)=0 (x,y) = (-1.12644691995994,1.59508814444700) (x,y) = (0.12313351583886,-0.00034365062309) (x,y) = (-1.12645102493644,-1.59506879581600) (x,y) = (2.12975133991753,-0.00000432145035)


Udruga Normala

108

4 Polarne jednadžbe Polarna jednadžba u eksplicitnom obliku ρ =f(θ) odreñuje vezu izmeñu radijvektora ρ (udaljenost točka – pol) i polarnog kuta θ. Polarni kut se mjeri od polarne osi (pozitivnog dijela osi x) do radijvektora.

Očito je da funkcija zadana istim izrazom ima različite grafove u pravokutnom i polarnom koordinatnom sustavu. Evo najlakšeg primjera, konstante

1=ρ


Udruga Normala

109

Najvažnija upotreba polarnog koordinatnog sustava je opisivanje valnih pojava. Dakle onoga što izvire iz jedne točke i radijalno se širi. Upotrebom polarnog sustava se postiže veliko povećavanje razumijevanja

pojave. Neka je , na primjer zadana jednadžba ( )1 2cos 2ρ θ= + . To je jednadžba kojom se prikazuje

širenje zračenja iz antene u prostor. Prikažimo graf u oba koordinatna sustava:

Gledajući polarni dijagram je očito da je zračenje najjače u smjerovima 0° i 180°, dok je beznačajno u smjeru 60° i njegovim višekratnicima.

Izgled polarnog dijagrama se može prilagoditi na poznatoj ploči do koje se doñe slijedeći put \


Udruga Normala

110

U prozorčić za ureñivanje se ne unosi znak apsolutne vrijednosti, jer program ne čita znak minus. Ukoliko želiš da program čita samo pozitivne vrijednosti od ρ (u Winplotovoj

sintaksi r), potvrdi pa će graf izgledati ovako:

1 2 3 4 5

Naravno, da se može proučavati i cijela familija krivulja iste vrste:


Udruga Normala

111

U literaturi se može pronaći mnogo polarno zadanih krivulja. Mnoge su i atraktivne, a ne samo teorijski važne. Evo nekih:

1 2 3 4 5 6

Arhimedova spirala

r = t; 0.000000 <= t <= 6.283190

1 2 3 4 5 6

Logaritamska spirala

r = ln(t); 0.000000 <= t <= 6.283190

1 2 3 4 5

Fermatova spirala

r = sqr(t); 0<= t <= 2pi

r = -sqr(t); 0<= t <= 2pi

1

Bernoullieva lemniskata

r = sqr(cos(2t)); 0 <= t <= 2pi


Udruga Normala

112

1 2 3

Solarna krivulja

r = abs(cos(4t))̂ (-1/2); 0<= t <= 2pi

1 2 3

Kardioida

r = 1+cos(t); 0<= t <= 2pi

Posebnu skupinu čine ciklično – harmonične krivulje ili ružine konhoide, ponekad botaničke krivulje. Njihova polarna jednadžba je:

( ) .0,cos1 >+= nnea θρ

Svaka od krivulja opisanih formulom se sastoji od latica koje rotiraju oko pola. Pojedinačna latica je definirana na

razmaku nn

πθπ ≤≤− .

Izgled latice za e>1Izgled latice za e=1

Svaka slijedeća se dobije rotacijom za kut n

π2.

Evo nekoliko primjera:


Udruga Normala

113

e < 1

n=1

n=2

n=3

n=6

n=1/2

n=3/2

n=5/2

n=7/2

n=1/3

n=2/3

n=4/3

n=5/3

n=1/4

n=3/4

n=5/4

n=9/4

n=1/5

n=2/5

n=3/5

n=6/5

Čitatelju nije teško napraviti slične tablice za e=1 te e>1.


Udruga Normala

114

4.1 Elipsa u polarnim koordinatama Poznato je da presjeci stošca u polarnim koordinatama imaju jednadžbu:

πθθ

ρ 20,0,cos1

≤≤>+

= pe

p

Gdje je p poluparametar presjeka stošca, a e linearni ekscentritet. Taj poluparametar je radijvektor za

.2

πθ = Kad je 1<e , krivulja je elipsa.

1 2 3 4 5

k=1; e=-2/3

1 2 3 4 5

k=1; e=2/3

1 2 3 4 5

k=1; e=0

1 2 3 4 5

k=1; e=0


Udruga Normala

115

5 Diferencijalne jednadžbe U Winplotu postoje vrlo djelotvorni instrumenti za analizu i računanje problema početne vrijednosti (u literaturi se sreće i naziv Cauchyev problem). Praktično se mogu proučavati slijedeći problemi prvog reda, jedne i dviju varijabli:

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )

0 0

0 01 2

0 0

, , , , D

, ,, , , D ,

, ,

y f x y y x y x y

x f t x z x t xx y t t t

y g t x y y t y

′ = = ∈

′ = = ∈ < < ′ = =

Gdje je D pravokutna domena. Upotrebom prikladne transformacije moguće je rješavati i probleme dugog reda jedne varijable jer ih se tim transformacijama svodi na opisane probleme prvog reda s dvije varijable. Razmatranje Cauchyeva problema uključuje i neke podprobleme: ispitivanje postojanja i jedinstvenosti rješenja; ispitivanje neprekinutosti rješenja; partikularna rješenja; postojanje asimptota; postojanje i ponašanje ekstrema itd. Numerički pristup, kakav nam nudi Winplot, je vrijedna pomoć razumijevanja problema.

5.1 Polje smjerova Diferencijalna jednadžba definira „polje smjerova“. Sjetimo se da je opće rješenje jednadžbe ( )xfy =′

funkcija ( ) CxFy += . Vidi se da C ne ovisi o x. Zbog toga bi bili bolje reći da je opće rješenje jednadžbe

( )xfy =′ familija funkcija ( ) ∞<<∞−+= CCxFy , . Odaberemo li neki C0 iz zadanog razmaka, kaže

se da smo odabrali partikularno rješenje jednadžbe ( )xfy =′ . Kako je derivacija funkcije u točki nagib tangente, to se može zamisliti da je svakoj točki domene diferencijalne jednadžbe pridružena jedna tangenta, dakle smjer. Winplot računa vrijednosti derivacije u čvorovima jedne pravokutne mreže koju razapinje preko područja definicije. Razmak meñu čvorovima mreže bira korisnik. U svakom čvoru se crta komadić tangente, koja je prva aproksimacija rješenja u toj točki:

Tako korisnik može vidjeti kako približno izgleda polje.

1. primjer y'=x

Prati put: \ \ . Otvorit će se ploča:


Udruga Normala

116

Vidjet će se ovo:

Može se zamisliti familija parabola otvorenih prema gore i simetričnih na os y. Gledanjem kvadrata odreñenog jedinicama na osima, može se zaključiti i da je koeficijent jednadžbi tih parabola ½.


Udruga Normala

117

5.2 Problem po četne vrijednosti Ako se zada točka ( ) Dyx ∈0,0 tada ona odreñuje jedno parcijalno rješenje jednadžbe ( )yxfy ,=′ . Koliko

znamo, ( )000 , yxfy =′ je nagib tangente krivulje parcijalnog rješenja u točki ( )0,0 yx . Znači da jednadžba

( )( )0000 , xxyxfyy −=− aproksimira parcijalno rješenje jednadžbe ( )yxfy ,=′ u okolini te točke. Uz

malo spretnosti se može definirati red koji odgovara tom rješenju. Kroz stoljeća se ustalilo nekoliko načina

za odreñivanje približne trajektorije rješenja. Evo što nudi Winplot. Slijedi put: \

Čitatelj koji je došao do ovog poglavlja valjda zna zbog čega se pojavljuje pogreška. Pogreška se može smanjiti biranjem druge metode.


Udruga Normala

118

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

yklikklik

klikklik

Ili smanjenjem koraka:

5.2.1 Familija rješenja Winplot daje mogućnost crtanja cijele familije partikularnih rješenja. Pogledajmo stari primjer. Klikom na bilo koju točku polja se nacrta novo partikularno rješenje. Ova mogućnost je važnija u primjerima sa singularitetima.


Udruga Normala

119

Ukoliko iz didaktičkih razloga treba manipulirati partikularnim rješenjem bolje upisati analitički izraz u odgovarajući dijaloški okvir. Za naš primjer znamo napamet da je opće rješenje

21'

2y dx xdx x C= = +∫ ∫ . Na već dobro poznat način nacrtaj:

2. Primjer 21 yy −=′

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y


Udruga Normala

120

Gledajući reprezentante familije uočavamo da se trajektorije zgušnjavaju u blizini dvaju pravaca 1±=y .

Što to znači? Cauchyev teorem vrijedi samo ako funkcija ( )yxf , ima neprekinutu parcijalnu derivaciju

yf ∂∂ / u točki.. Pogledajmo što je s parcijalnom derivacijom naše funkcije ( ) 21, yyxf −= po y.

Vrijednost te parcijalne derivacije ( )( )3/22 2/ 1 1f y y y y∂ ∂ = − − za 1±=y je 0. Znači da rješenje

naše jednadžbe ne postoji za ( ), 1x ± .

Evo još zanimljivih primjera:

3. primjer neka je zadana implicitna jednadžba ovisna o aditivnom parametru:

2 2x y C+ =

To je jednadžba familije kružnica u središnjem položaju: Derivirajmo tu jednadžbu:

−2 −1 1 2

−2

−1

1

x

y


Udruga Normala

121

2 2

2 2 0 : 2

0

x y C

x yy

x yy

xy

y

+ =′+ =

′+ =

′ = −

Nacrtajmo polje smjerova koje je definirano dobivenom diferencijalnom jednadžbom, koja očito nije definiran za 0y = , što je cijela os x:

Poljem smjerova su očito opisane kružnice pa se može reći da je jednadžba x

yy

′ = − ili za tradicionaliste

0xdx ydy+ = , diferencijalna jednadžba kružnica u središnjem položaju. Pokušajmo crtati trajektorije parcijalnih rješenja. U prvi mah povjerujemo da će to biti približne polukružnice. Da vidimo: Odaberi početne uvjete:

−2 −1 1 2

−2

−1

1

x

y


Udruga Normala

122

2

0

x

y

= −=

Program ne crta trajektoriju. Odabrana je ordinata za koju derivacija nije definirana. Odaberimo sada:

0

2

. 0,1

. 1

x

y

I korak

II korak

Eulerova metoda

==

== −

Rezultat je apsurdan. Pokušajmo promijeniti metodu:


Udruga Normala

123

0

2

. 0,1

. 1

x

y

I korak

II korak

Metoda Runge Kutta

==

== −

−

Konačno, nešto što sliči na polukružnicu. I to je očekivano: točnija metoda� bolji rezultat. Samo što sad i na hladno pušeš. Promijeni početne uvjete:

0,1

0,9

0,1

x

y

korak

Metoda Runge Kutta

==

=−

Rezultat je kaotičan. Može li se što učiniti? Pokušajmo smanjiti korak.


Udruga Normala

124

Kakvo takvo poboljšanje. Jedini je način smanjiti korak do krajnje granice i puuuno usporiti crtanje. Kad se trajektorija približi osi x, narediti nasilni prekid rada, pritiskom na Q. Čitatelj pretpostavlja da postoje komercijalni programi s ugrañenim subrutinama za izbjegavanje ovakvih situacija. Primjer nas zapravo uči da se nikad, baš nikad ne smije pouzdavati u numeričke račune. U svakom i najboljem numeričkom postupku, krivulja se zamjenjuje pravcem, a točka područjem! Primjeri grafički zanimljivih polja smjerova:

0,1

0,9

0,0001

x

y

korak

Metoda Runge Kutta

==

=−


Udruga Normala

125

Čitatelj je vjerojatno primijetio da je prikazivanje crtica polja neovisno o točnosti prikazane trajektorije. Naime, crtice polja se vide u točkama definiranima širinom zastora i nagibi su izračunati za svaku posebno. Kad se počne crtati trajektorija, svaka njena točka se odreñuje iz prethodne. Ona druga po redu je izračunata s pogreškom. Bez obzira na metodu, pogreška se akumulira.

Primjer Neka je zadana jednadžba .022 =+−′ yxyy Istražimo njeno rješenje za ( ) 33,5,00 <<−= xy . Jednadžbu prepoznajemo kao Bernoullievu. Želimo li je riješiti numerički po y', treba je napisati u eksplicitnom obliku: y' = y – x2y2. Zadajmo polje smjerova koje ne moramo pokazati pa upišimo:

Dakle, prvo se nacrta trajektorija za korak pa za korak .

Nastavimo crtati trajektorije od -1, -0.8. -0.6, …, 0.2, 0.4, … pazeći da za svaku odaberemo pozitivan i negativan


Udruga Normala

126

−2 −1 1 2 3

−2

−1

1

2

x

y

korak

Što vidimo? Trajektorije sijeku polje smjerova. Pokušajmo još jednom s deset puta manjim korakom.

Primjećuje se poboljšanje. Nije baš značajno. Očito je da u području s veoma strmim tangentama treba tražiti neku drugu metodu.


Udruga Normala

127

5.3 Integriranje po intervalima 1. Primjer: riješi jednadžbu:

( )( )

( )

>≤≤

<=

==+′

4,1

41.0

1,1

00

x

x

x

xg

y

xgyy

Funkciju g prvo napiši u Winplotovoj sintaksi: ( ) )1,40,11(joinxxg = Jednadžbu upiši u eksplicitnom

obliku.

2. Primjer

( )( )

( )

>≤≤<

=

==+′

4,0

40,1

0,0

0

00

x

x

x

g

y

xgyy

Napišimo prvo funkciju g u Winplot notaciji: g(x) = joinx(1|4, 0)


Udruga Normala

128

5.4 Sustavi diferencijalnih jednadžbi

Pronañi rješenje sustava:

7

15 5

x x y

y x y

′ = − +′ = −

sa ( )( )

==

00

100

y

x sa t ≥ 0

Rješenja su dvije funkcije x(t) i y(t) ovisne o parametru t. Winplot će pokazati jednu parametarski zadanu

krivulju. Slijedi put \ \ . Dijaloški okvir popuni ovako Sada nas ne zanima polje smjerova. Poslije klika na

, pojavit će se samo već poznat prozor s popisom i u njemu stavka . Potraži

\ . Popuni dijaloški okvir

Crtanje trajektorije naredi klikom na . Crtanje će biti usporeno. Pokazat ću strip:


Udruga Normala

129

Strip se nacrta koristeći ograničenje rasta parametra . Neka se čitatelj malo sam poigra. Kad se isključi ograničenje rasta parametra t, vidi se da se trajektorija [x(t), y(t)] ipak staje. Općenito trajektorija staje kad: 1) točka stigne do ruba prozora; 2) pritisnemo Q zbog nasilnog prekida; 3) se vektor smjera [x', y'] izjednači s nulom; 4) se točka vrati na početak. Čitatelju je jasno da je u numeričkoj analizi nula područje, raspon, a ne mjesto koje odgovara Dedekindovom rezu. Veličinu područja koje smatramo nulom, odnosno sudarom se odreñuje u \

\ ( ). Što smo vidjeli? Putanja rješenja se crta s desna na lijevo. Malo je teže shvatiti vezu izmeñu varijabli x i y. Winplot opet pomaže. Klikni na . Tablica će se pojaviti:


Udruga Normala

130

Tablica parametarski zadane funkcije sadrži, naravno tri stupca. Da bi se vidjeli posebni grafovi funkcija varijable x odnosno y, tablicu treba preurediti kako je opisano u 3.1.6.1 Pa je prebaciti u Excel. Graf u Excelu izgleda ovako:

0

2

4

6

8

10

12

1 19 37 55 73 91 109 127 145 163 181 199 217 235 253 271 289 307 325 343 361 379

x

y

Opaska: funkcije x(t) i y(t) predstavljaju napon i jakost struje u električnom provodniku. Primjer je možda suviše akademski. Sad ću pokazati još jedan koji se može dobro upotrijebiti u nastavi. Autor mu je Carlos César de Araújo i izvornik se može naći na http://www.gregosetroianos.mat.br/. Zadatak glasi: Nacrtaj polje koje odreñuju dva jednaka točkasta električna naboja (električni dipol) kojima se može mijenjati udaljenost. Zbog olakšanja zapisivanja dozvolimo samo vodoravan pomak. Električni potencijal točkastog naboja iz točke P je razmjeran količini naboja q (realan broj, skalar), i obrnuto razmjeran udaljenosti r od točke P. Izražava se formulom:

( ) ,q

V r kr

= ⋅

Gdje je k > 0, konstanta ovisna o upotrijebljenom sustavu mjernih jedinica. U MKSA sustavu je jednaka 9 2 2

0

18,99 10 /

4k N m C

πε= = × ⋅ . Za naše potrebe ćemo odabrati k = 1. (Takva konstanta postoji u CGS

sustavu. Jedinica naboja u tom sustavu se zove statkulon.)


Udruga Normala

131

Zbog pojednostavljenja odaberimo samo dvije vrijednosti za q. Neka to bude 1q = ± . Položaje točaka odredimo s (a, 0) i (-a, 0). U Descartesovom koordinatnom sustavu potencijal točke (x,y) u odnosu na naboj u točki (a,0) će biti:

( )( )2 2

, ,q

V x yx a y

=− +

A potencijal sustava dviju točaka:

( )( ) ( )2 22 2

,q q

V x yx a y x a y

= −− + + +

.

Uoči da je pretpostavljeno da su naboji različitih predznaka. Valjda čitatelj već zna da je a promjenjiv

parametar koji se može mijenjati načinima odreñenima u \ . Za razliku od potencijala, električno polje je vektor. Prikazuju ga u ekstremno sažetoj formi E V= −∇ . Simbol ∇ (čita se „nabla“) je gradijent [Podsjetnik: Gradijent skalarnog polja je vektorsko polje. Svakoj točki skalarnog polja je pridružen vektor u smjeru najvećeg prirasta skalarnog polja čija je veličina jednaka najvećoj promjeni skalarnog polja.] Morat ćemo naći parcijalne derivacije funkcije V(x,y) po x i po y. trebalo bi se sjetiti i pravila o derivaciji složene funkcije:

( ) ( )

( ) ( )

3/2 3/22 22 2

3/2 3/22 22 2

V x a x a

x x a y x a y

V y y

y x a y x a y

∂ − +− = −∂ − + + +

∂− = −∂ − + − +

Sada bi trebalo desne strane ovih jednakosti prepisati u Winplotove proreze. Čitatelj vjerojatno ne gori od želje. Postoji mogućnost pojednostavljenja. Naime, polarna udaljenost točke (x,y) se može pisati kao

2 2x y+ , a može i kao ( ),abs x y . Formule u Winplotovoj sintaksi će izgledati:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )' / , ^ 3 / , ^ 3

' / , ^ 3 / , ^ 3

x x a abs x a y x a abs x a y

y y abs x a y y abs x a y

= − − − + +

= − − +

Konačno možemo vidjeti sliku polja:


Udruga Normala

132

Ako ne ugledaš promjenu na zastoru prozora, sjeti se da nema polja ako su naboji na istom mjestu. Napravi, na primjer ovo.

Da bi slika bila jasnija, dobro je pokazati i mjesta naboja:

Za didaktičke potrebe je dobro nacrtati neku familiju silnica. Ekonomičnije je upisati jednadžbu familije trajektorija u obliku 1/abs(x-a,y)-1/abs(x+a,y)=-b (Winplot može crtati familije krivulja samo do parametra Q) nego crtati trajektorije. Slijedi primjer slike kakvu je pokazao autor:


Udruga Normala

133

5.5 Jednadžbe drugog reda Winplot nema poseban dijaloški okvir za diferencijalne jednadžbe drugog reda, ali ih se može svesti na sustav dviju diferencijalnih jednadžbi prvog reda

5.5.1 Prigušeno titranje Neka je zadan sustav koji se sastoji od tijela mase m, opruge s linearnom karakteristikom koeficijenta elastičnosti k > 0 prigušnice s konstantom prigušenja c . Promatrat ćemo situaciju bez vanjske sile koja djeluje na sustav. Dakle, sustav je pomaknut iz ravnoteže i prepušten je sam sebi. Na sustav djeluju slijedeće sile:

• Sila jednaka umnošku mase i ubrzanja, koja je po drugom Newtonovom zakonu gibanja:

Veličina x je pomak od ravnotežnog položaja (elongacija);

• Sila gušenja razmjerna brzini,

• Sila elastičnosti opruge koja je po Hookeovom zakonu razmjerna udaljenosti od ravnotežnog

položaja,

2

2

d xm

dt

dxc

dt

kx


Udruga Normala

134

Sve tri sile djeluju duž osi x pa ih zbrajamo algebarski:

,

2

20

d x dxm c kx

dt dt+ + =

Što je diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima. Sustav se obično prikazuje u koordinatnom sustavu u kojem je os x okrenuta prema dnu stranice: Čitatelj koji je svladao diferencijalne jednadžbe drugog reda ova transpozicija ne predstavlja problem. Zadatak glasi: nañi krivulje ovisnosti elongacije o vremenu x(t) i brzine o vremenu v(t). Početni uvjeti su

( ) 00x x= i ( )0 0v = . Drugi uvjet slijedi iz definicije ( ) ( ) ( )' ' 0 0x t v t x= ⇒ = .

Dobili smo Cauchyev problem drugog reda. Drukčije se kaže da imamo problem početne vrijednosti (PPV).

( ) ( )

2

2

0

0

0 , ' 0 0

d x dxm c kx

dt dtx x x

+ + =

= =

Riješimo jednadžbu po nepoznanici 2

2

d x

dt:

2

2

d x c dx kx

dt m dt m = − −

Sad se još treba sjetiti da je brzina derivacija puta po vremenu, a ubrzanje derivacija brzine po vremenu:

2

,dx d x dv

vdt dt dt

= = .

Jednadžba je konačno svedena na sustav dvije linearne jednadžbe prvog reda s konstantnim koeficijentima:

( )( )

0' 0

' 0 0

x v x xzak c

v x v vm m

= = = − − =

Ili u matričnom obliku:

( ) ( )0

0

0 1'

/ /' 0t

x x x xza

k m c my v v =

= = − −

.


Udruga Normala

135

Još bi bilo dobro odrediti brojeve umjesto koeficijenata jednadžbe: x0 = 0,1 cm, k = 10 N/m, m=2.5 kg, a za konstantu amortizacije odaberimo tri vrijednosti: c= [ 2, 4, 7] Ns/m. Matrična jednadžba sad izgleda ovako:

( )'' 0 1

' 4 / 2.5' 4 / 2.5

x vx xili

v x c vy c v

= = = − −− −

Jasno je da Winplotu ne možemo narediti da izraz v' shvati kao varijablu pa sustav treba prevesti u Winplotovu sintaksu: [x' = y , y' = . 4x (c/2.5)y ]. Koordinatne osi možemo imenovati po volji: Postupak u Winplotu je već usvojen? Rezultat: C=2

C=4


Udruga Normala

136

C=7


Udruga Normala

137

5.5.2 Problem lovac-lovina Postoji vrlo često obrañivan jednostavan model dinamike ekološkog sustava poznat kao problem odnosa lovac-lovina (predator- prey) odnosno problem Lotka – Volterra. Neka je zadana neka životinjska vrsta, recimo zečevi. Ako broj zečeva označimo slovom x, njihov broj bi u

otvorenom sustavu bez neprijatelja rastao u skladu s populacijskom jednadžbom: , 0dx

ax adt

= > .

Neka bude zadana druga životinjska vrsta, recimo vukovi. Ako broj vukova označimo slovom y, njihov broj

u otvorenom sustavu bez zečeva će opadati, opet u skladu s populacijskom jednadžbom: , 0dy

bx bdt

= − > .

Naselimo sad obje vrste u isti otvoren sustav. Jasno je da će vukovi usporavati prirast zečeva, a zečevi će prouzrokovati promjenu trenda kod vukova. Njihov broj će početi rasti. Vukovi traže zečeve, a zečevi bježe od vukova. Kako modelirati mogućnost susreta? Najjednostavniji model je cxy.

Znači da će prirast zečeva biti korigiran: dx

ax cxydt

= − . Prirast vukova će biti korigiran drukčije:

dybx cxy

dt= − + . Obje jednadžbe čine poznati sustav:

'

'

dxax cxy

x ax cxydtdy y bx cxy

bx cxydt

= − = −⇒ = − + = − +

.

Problem je dobio ime po dvama istraživačima koji su neovisno problem riješili na sličan način. I to Alfred J. Lotka 1925 i Vito Volterra 1926.

Ispitaj sustav u kojem je početni broj vukova zadan brojem 5, mogućnost susreta se korigira koeficijentom 2, a broj zečeva neka varira a=[1, 2, 3, 4]. Neka su zadani početni uvjeti ( ) ( )0 1, 0 1x y= = :

( )( )0 1' 2

0 1' 5 2

xx ax xy

yy y xy

== − == − +


Udruga Normala

138

Petlje s dijagrama se zovu ekološki ciklusi . Prenesimo podatke u Excel da usporedimo krivulje prirasta za svaku vrstu posebno:

0

1

2

3

4

5

6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x

y

a=1


Udruga Normala

139

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

x

y

a=4

6 Planeti Posebno zanimljiva primjena numeričkog rješavanja diferencijalnih jednadžbi je simulacija putanja planeta. U Winplotu postoji poseban prozor u kojem se u 2D mogu pokazati putanje sustava tijela koja se privlače silom koja opada s kvadratom udaljenosti 2/F k r= − . Svako tijelo je u interakciji s drugim tijelom. Ta interakcije se manifestira kao sila razmjerna njihovim masama i obrnuto razmjerna kvadratu njihove udaljenosti. Neka su zadana tri tijela 1, 2, i 3 masa m1, m2 i m3.

Odredimo neki referentni sustav, zbog jednostavnosti najbolje polarni. Svako od tijela odreñuje radijalni

vektor irr

, a udaljenosti meñu tijelima su respektivno jij id r r= −ur r

. Izmeñu svaka dva tijela tada postoji sila

1 2ij

ij

m mF k

d= −

Treba primijetiti da je prema trećem Newtonovom zakonu ij jiF F= .


Udruga Normala

140

Znamo i da električne sile „opadaju s kvadratom udaljenosti“. Dakle, ako umjesto mase „m“ upišemo

količinu naboja „q“ i umjesto gravitacijske konstante „k“ upišemo električnu konstantu 4

επ

, možemo

proučavati i orbite električnih čestica (malo frizirane).

Otvorimo opet glavni prozor pa . U novom prozoru se pojavljuju orbite izvorno predloženih triju tijela.

Ponekad crtanje traje predugo pa treba postupiti po uputi . Slika je fantastično zbunjujuća. Na sreću, pojavila se poznata ploča s popisom i u njoj redak

. Već uobičajenim postupkom se dobije nova ureñivačka ploča.


Udruga Normala

141

Kako vidimo, predložen je sustav triju tijela nazvanih tijelo 0, tijelo 1 i tijelo 2. oni definiraju zajedničko središte gravitacije. Svako tijelo je zadano slijedećim parametrima:

Imenom koje se može mijenjati upisom u ;

položajem odreñenim dvjema koordinatama koje se takoñer mogu mijenjati: ;

brzinom zadanom komponentama:

i masom: . Broj tijela se može povećavati klikom na , a smanjivati klikom na . Jasno je da sustav mora imati najmanje dva tijela. Svaki sustav automatski generira središte gravitacije. Čitatelj može vježbajući ispitati značenja tipki . Kako izvorno predloženi model sa slučajno odabranim parametrima djeluje zbrkano, napravimo

jednostavniji sustav od dva tijela. Prvo izbrišimo jedno tijelo i očistimo sliku klikom na . Dobit ćemo ovakav sustav:

Neka tijelo 1 bude Zvijezda jedinične mase M=1. Središte tijela neka bude u ishodištu (x = 0, y = 0), a njegova brzina (x' = 0, y' =0). Drugo tijelo nazovimo „Planet“ i neka mu masa bude m<<1, recimo m=1E-6. dobit ćemo sliku koja podsjeća na sustav bez značajnih perturbacija, kao što su Sunce-Zemlja, Zemlja-


Udruga Normala

142

Satelit ili proton-elektron. Neka planet ima početne koordinate (x = 1, y = 0) i brzini (x' = 0, y' = 1). Počinjemo dakle, od ove slike:

Konstanta gravitacije neka isto bude 1. Ostavimo parametre računanja u izvorno zadanim veličinama:

.

Za ovaj sustav su dobri, a značenje ću objasniti kasnije. Pritisni na . Bilo bi lijepo dodati polarnu i pravokutnu mrežu te nacrtati vektor početne brzine. (Za sve ostale manipulacije ovaj prozor se ponaša kao standardna 2-dim datoteka) Evo slike: Sada bi bilo mudro imenovati i spremiti datoteku pa mijenjati parametre brzine. Nazovimo Datoteku Dvatijela0, spremimo pa varirajmo parametre:

Vidljivo je da za v = 1, orbita sliči na kružnicu, a da se s povećanjem brzine ekscentritet povećava. Za v=1,3 Program je nacrtao samo luk elipse zbog toga što je potvrñena opcija pa crtanje prestaje kad se taj

rub dohvati. Povećajmo sad brzinu na

v=1,41 ( 2v ≈ ). Što se dogodilo? Stigli smo do takozvane „druge kozmičke brine“ ili „brzine

odvajanja“2

2O

kMv

r

= =

. Putanja

tijela je postala parabola. Za Ov v> , putanja je hiperbola.


Udruga Normala

143

Kad već spominjem hiperbolične putanje, pokazat ću i sliku putanje koju astronomi zovu „hitac iz praćke“. To je učinak koji nastaje ako se tijelo dovoljno velike brzine približi tijelu dovoljno velike mase. Gravitacijska energija tada malom tijelu daje žestoko ubrzanje kojim se naglo mijenja njegova putanja. Neka u našem primjeru „Planet“ ima početni položaj (-2,0.5) i početnu brzinu (1,0). Dogaña se ovo:

Evo i slike za v<1:

Prije prelaska na novo poglavlje bih trebao objasniti i što znače izrazi ,

i . Winplot počinje računati s dvama osnovnim ulaznim podacima. To su „interval“ to jest razmak izmeñu dva čvora na putanji i „položaji“, to jest broj čvorova

putanje. Duljina putanje je L= × . Kad bi ti podaci bili jedini, nacrtana putanja bi značajno odstupala od teorijske. Zbog toga se izmeñu dvaju unaprijed zadanih čvorova zadaju novi i to podatkom „kalkulacije“. Program automatski odreñuje taj broj izmeñu 10 i 100. rezultat koji predlaže program je kompromis izmeñu točnosti i brzine. Korisnik može sam mijenjati te podatke ako mu se ne svidi izvorno predloženo rješenje.


Udruga Normala

144

6.1 Orbite s perturbacijama Dodamo li u sustav dvaju tijela i treće tijelo moguće je vidjeti i perturbacije putanje. Imali smo sustav : Zvijezda (zeleno tijelo): položaj (0,0), brzina (0,0), masa =1; Planet (plavo tijelo) : položaj (0,0), brzina (0, 0.9) . Dodajmo novo tijelo klikom na i zadajmo mu slijedeće parametre: Planet 1 (crveno tijelo): položaj (-1,0), brzina (0,1), masa 1E-6. Efekti perturbacije su očiti na tijelu manje mase. Zanimljivo je i proučiti sustav dvaju tijela u kojem je masa manjeg tijela oko 1% većeg tijela. Neka je veće tijelo „Planet“ , a manje „Satelit“. Otvorimo nov prozor pa izbrišimo tijelo 2. Zadaj ovo: Planet (crveno tijelo): položaj (0,0), brzina (0,0), masa = 1; Satelit (zeleno tijelo): položaj (1,0), brzina (0,1), masa =0,01. b) ispitaj kako se sustav vidi iz središta koordinatnog sustava: b) ispitaj kako se putanja satelita vidi s planeta. Rad:

a) poslije upisivanja ulaznih podataka klikni na

pa tek onda na . Dobit ćeš ovakvu sliku:

b) Sada se vrati u \

pa klikni na . Sad će se vidjeti kako orbita izgleda promatraču s planeta:


Udruga Normala

145

6.2 Blizanci U astronomiji se blizancima nazivaju parovi zvijezda skoro jednake mase i relativno malene meñusobne udaljenosti. Proučimo nekoliko primjera, njihovog apsolutnog i relativnog gibanja. 1. primjer Orbitalni sustav: Tijelo 1: položaj (-1,0), brzina (0.-0.5), masa = 1; Tijelo 2: položaj (1,0) ,brzina (0, 0.5), masa=1.

Kako smo očekivali, sustav dvaju simetričnih tijela rotira stalnom brzinom po stabilnoj putanji. Lako je uočiti da je središte gravitacije nepomično i ne ovisi o položaju promatrača.

2. primjer Orbitalni sustav: Tijelo 0: položaj (-1,0), brzina (0,0.2), masa = 1; Tijelo 1: položaj (1,0), brzina (0,±0.5), masa = 1.


Udruga Normala

146

Bilo bi dobro pregledati i relativne putanje. Postavimo prvo tijelo 0 u ishodište. Pokazat ću slike za oba slučaja:


Udruga Normala

147

Postavi sad središte gravitacije u ishodište:

6.3 Sustav Sunce-Zemlja-Mjesec Ovaj primjer dugujem autoru programa Richardu Parrisu. Orbitalni sustav: Sunce (crveno tijelo) : položaj (0,0), brzina (0,0) masa=50, neka se nalazi u ishodištu (na ureñivačkoj ploči će biti označeno zvjezdicom); Zemlja (zeleno tijelo): položaj (1,0), brzina (0,1), masa =1; Mjesec: (plavo tijelo) : položaj (1.03, 0), (0,0.03), masa = 0.03; Konstanta gravitacije: 0.03; Interval: 0.001. Zbog smanjenog intervala slika će se crtati vrlo sporo.


Udruga Normala

148

7 Interpolacijski polinom Problem interpolacije se sastoji od traženja polinoma n-tog stupnja koji prolazi kroz n+1 točku. Winplot nalazi, poput mnogih računalnih programa, ovaj polinom iterativnim postupkom. Pogledajmo kako.

Kad napravimo ovo: \ , otvori

se prozor:


Udruga Normala

149

Vidi se parabola (graf polinoma drugog stupnja) koja prolazi kroz tri točke. U popisu nema analitičkog izraza i klikom na se pojavi poruka .

Valjda je trebalo pogledati naslovnu traku. Ne piše bez razloga:

. Primjer Odredi polinom čiji graf prolazi točkama A(4,0), B(3,1), C(0,-2) i D(-4,0). Da upotrijebimo Lagrangeovu formulu:

( ) ( )( ) ( ) ( )?,

1

,1

1

1∏∑

+

≠=

+

=−=

=

N

ijjii

N

i ii

iiN xxx

x

xyxP π

ππ

Kako smo već navikli, Winplot to radi umjesto nas. Vrati se na

Točke iz zadatka se mogu postaviti vučenjem miša, što je dobro samo za prvi pogled na krivulju. Bolje je učiniti ovo:

\ Kad se pojavi ovakva ploča:


Udruga Normala

150

upišati brojeve iz jednog od ureñenih parova. Gotov dijagram izgleda ovako:

Pažljivim smještanjem pokazivača miša, preureñuju se podaci izvorno zadanih točaka. Kad se miš postavi bilo gdje, pokazat će se točka na povezanoj paraboli sve višeg reda. Ako se skine potvrda ( ) sa stavke , desnim klikom na točku se snižava red krivulje do najmanje prvog. Da se onemogući namjerno ili slučajno mijenjanje grafa, najlakše je prekinuti očekivanja programa s Ctrl+Q. Sada je naša datoteka opet najobičnija .wp2 datoteka. Graf se može preureñivati na do sada naučene načine, ali analitičkog izraza nema. Četiri zadane točke odreñuju kubnu parabolu, odnosno polinom trećeg stupnja. Winplot je izračunao njegove koeficijente po slijedećem redu:

( ) .33

2210 xaxaxaaxP +++= Njih se može

vidjeti u

\ \

Izgledaju ovako:

Pogreška je manja od 14105 −× . Podaci su zapisani kao tekst i s njima se može manipulirati na načine uobičajene u Windowsima.


Udruga Normala

151

8 Posebni grafovi Dijagram se može grafički obogatiti i nenumeričkim postupcima- Može se uvoziti grafika (kao bitmap) iz drugih Windows dokumenata

8.1 Slika na grafu

Ponekad su grafičke mogućnosti opcije \ nedovoljne za opisivanje grafa. Zapravo, današnjem korisniku te mogućnosti djeluju baš jadno. U tom slučaju se može uvesti grafika iz drugog dokumenta. Evo primjera: Nacrtaj graf funkcije:

1

1

−+=

x

xy

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

y = (x+1)/(x-1)

Želiš li na dijagramu vidjeti algebarsku razlomačku crtu, kopiraj s Ctrl+C formulu iz Worda (napisanu s

Microsoft Equation Editor 3.0 i prenesi je u dijagram. Prije lijepljenja aktiviraj \ . Sada dijagram izgleda ovako:

Možda ti se ne sviña odabrano mjesto ili izgled formule. Postavi pokazivač miša na formulu i klikni desnom tipkom. Pojavit će se ploča za ureñivanje:

Preuredi je po volji.


Udruga Normala

152

8.2 Slika na podlozi Mnogo grafova je neupotrebljivo bez mreže na podlozi. Mreža koju generira Winplot nije baš svaki put najbolji izbor. Program dozvoljava da se napravi bilo kakva podloga za dijagram. Važno je da bude u

formatu „bitmap“. Do podloge se doñe slijedeći put: \ \ \ . Evo primjera koji nema veze s matematikom:


Udruga Normala

153

Važno je primijetiti da se na podlogu ne može utjecati niti jednom Winplotovom radnjom, a ona se ne može kopirati. Evo kopiranog dijagrama:

−15 −14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y


Udruga Normala

154

8.2.1 Van der Waalsovi dijagrami

Za dovršenje ovog uratka će nam trebati Microsoft Paint. Pripremi bitmap datoteku koja se sastoji od 6×6 kvadrata s milimetarskom podjelom. Najlakše je „skinuti“ kakav unaprijed pripremljen papir pa ga doraditi. Evo primjera stranice s koje se to može uzeti. http://www.intmath.com/downloads/Graph-paper.php ostatak posla se napravi u Paintu, a kako, nije moja briga. Ovo nije priručnik za crtanje. Evo primjera dovršene bitmap datoteke:

Sada slijedi put \ \ \ . Otvori pripremljenu sliku.


Udruga Normala

155

Sada uradi ovo:


Udruga Normala

156

Nova slika izgleda ovako:


Udruga Normala

157

Nacrtat ćemo familiju grafova poopćene Van der Waalsove jednadžbe: ( )( )23 / 3 1 8p v v t+ − = gdje je

normaliziran tlak / Cp P P= , / Cv V V= i / Ct T T= . Eksplicitno:

3

8 3, 0 3, 0,6 2.

3 1

tp v t

v v= − < < < <

−

Naravno, Winplot ne razumije oznake iz termodinamike. Čitatelj koji je stigao do ovog poglavlja će ostatak napraviti sam. Ovako izgleda rješenje:


Udruga Normala

158

1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

x

y

k=0

k=4

8.2.2 Dijagrami rezonancije Neka je zadana funkcija rezonancije

( )20

2 20 02

F ss k s

ωω ω

=+ +

.

Ova formula se skoro nikad ne u udžbenicima ne prikazuje u ovom obliku. Obično se nañe takozvani faktor uvećanja, što je omjer amplitude X i statičkog pomaka:

22 2

0 0

1

1 2st

XM

x

kω ωω ω

= = − +

i fazni pomak zaostajanja vibracije za

impulsom: 02

0

2

arctan

1

kωωϕ

ωω

= −

. Kako bi formule bile upotrebljive u Winplotu, treba naravno napraviti

supstituciju 0/ xω ω = : Pa se pokažu dijagrami:

1 2

1

2

3

4

5

6

7

y

k=0

k=1

Obično se kaže da bi amplituda u sustavu bez prigušenja bila beskonačna, a ako je prigušenje veliko, da se maksimalne amplitude javljaju pri sve manjim omjerima 0/ω ω . Vidljivo je i da je za mala prigušenja mreža

grafova vrlo rijetka, a da zbog velikih strmina praktična mjerenja zapravo nisu moguća. Zato se napravi nova supstitucija: 10xx⇒ , a formula se logaritmira:

( ) ( )( ) ( )2 22

2 22

1log .5log 1 10 2 10

1 10 2 10

x x

x x

y kk

= = − − + − +

ili u Winplot sintaksi:

y = -.5log((1-10^(2x))^2+(2k10^x)^2), -1< x <1 , 0 < k < 1. dobije se graf:


Udruga Normala

159

Linearna mreža koju bi napravio Winplot je neupotrebljiva.

Pripremi u jednu linearno – logaritamsku mrežu s dvije logaritamske dekade i s jednom linearnom dekadom:

Ja sam mrežu nacrtao tako da sam zadao atribute slike:

Pa crte nacrtao po osjećaju za dekadske logaritme držeći prst na tipki „shift“ dok sam vukao crte mišem. Sitne netočnosti ne

smetaju. Mrežu bi trebalo spremiti recimo kao pa je uvesti u dijagram prateći put \ \ \ . Slika se uredi povlačenjem rubova prozora.


Udruga Normala

160


Udruga Normala

161

9 Appendix

9.1 Mapa fontova Svaki tekst koji pripada Winplotovom dijagramu se može prilagoñavati po tipu, stilu i veličini. Naredbe za ureñivanje su rasute po raznim izbornicima. Pokušat ću pokazati gdje ih se sve može naći

Opis: Fontovi za 1 se mogu naći u:

\ : Fontovi za 2 se mogu naći u:

\ \ ; Fontovi za 3 se mogu naći u :

\ �


Udruga Normala

162

Fontovi za 4 se mogu naći u:

\ \ ; Izvorno predloženi font sa popis, koji izgleda ovako:

, Se takoñer može mijenjati:

\ \ . Evo popisa s promijenjenim tipom slova:

To je ; stil: ; veličina: .


Udruga Normala

163

9.2 Funkcije i konstante Winplot ima bogatu biblioteku funkcija i konstanti koje se mogu pregledati u \ . Funkcije se upotrebljavaju gotovo standardno i ne treba gubiti vrijeme za poseban trening. Sve posebnosti ću posebno istaknuti.

9.2.1 Operatori 1. + znak za zbrajanje. Standardna upotreba; 2. – znak za oduzimanje ili negativan predznak. Standardna upotreba; 3. / znak dijeljenja. Standardna upotreba. Ne razdvaja algebarske izraze. Ukoliko ih želiš razdvojiti, upotrijebi zagrade. Dakle: 2+3/4+5 ≠(2+3)/(4+5). Program ne prepoznaje znakove : niti ÷.

5. * znak množenja. Standardna upotreba. Program ne raspoznaje znakove × niti •. Znak množenja se često smije izostaviti. Dakle ax=a*x.

6. ^ znak potencije. U prozorčiće za ureñivanje se ne mogu upisati gornji ni donji indeksi. Ako je eksponent dovoljno malen, potenciranje se može zamijeniti množenjem. Dakle, lakše je pisati xx nego x^2.

7. Zagrade se pišu na standardan način. Program trpi pogreške tipa [x+2), ali izostavljanje zagrade ne trpi. Svaku takvu pogrešku javi porukom i dok se pogreška ne popravi, raditi se ne može.

8. program ignorira razmake. Dakle 2+3 i 2 + 3 su jednako valjani izrazi. To može pomoći kod pisanja većih formula.

9.2.2 Konstante 1. pi = 3.14159265358979. Znak π je samo znak. S njim se ne može računati niti se može upisivati u prozorčiće za ureñivanje formula. 2. deg = 0.0174532925199433 (π/180). Znak stupnja ° program ne prepoznaje. 3. e = 2.718281828459045. Vrijednost parametra E u \ \ je izvorno

namještena na tu vrijednost. 4. Konstante ninf i pinf predstavljaju negativnu i pozitivnu beskonačnost. Jasno je da numerički

program mora imati konačne granice. Zato je zapravo ninf = -1.74E+18,a pinf =1.74E+18. Analizator baze podataka (the parser) konstante može prepoznavati samo ako su odijeljene znakovima za operacije. Prevoñenje počinje s lijeva na desno. Tako zpi znaci z*pi, a piz znaci p*i*z.

Svaki niz slova i brojeva će se shvatiti kao umnožak konstanti i varijabli, osim ako nije nañen u imeniku funkcija. Recimo da piše ovo:a3b. Program to čita kao a*3*b. slova a i b su varijable i njihove vrijednosti su izvorno zadane u rasponu -10 ≤ a ≤10 te -10 ≤ b ≤ 10. Taj se raspon može mijenjati po volji u \

\ A … W. slova x, y i z ne mogu biti varijable. Dakle, nikakvo računanje sa simbolima (neodreñenicama) nije moguće.

9.2.3 Standardne funkcije


Udruga Normala

164

ln , log , exp , sin , cos , tan , csc , sec , cot , sinh , cosh , tanh , coth , sech , csch , arcsin , arccos , arctan , arccot , arcsec , arccsc , argsinh , argcosh , argtanh , argcoth , argsech , argcsch , floor , ceil , int [ int(-2.3) = -2.0 ] , sqr = sqrt [ = square root ] , ! [factorial], abs(x) = |x| . Argument se mora pisati u zagradama. Dakle piše se sin(x), a nikako sinx. Eksponencijalna funkcija se smije pisati kao exp(x) ili kao e^x. Program ne razlikuje velika i mala slova. Dakle sin(x) = SIN(X) = sIn(x) = itd. Konstanta deg stavljena za pi/180, kao y = sin(x deg) pravi graf funkcije sinus (sin) s kutovima zadanim u stupnjevima.

9.2.4 Nekonvencionalne funkcije root(n,x) = n-ti korijen od x , power(n,x) = n-ta potencija od x , iter(n,f(x)) = n-ta iteracija od f(x) , abs(x,y) = sqrt(x*x+y*y) , abs(x,y,z) = sqrt(x*x+y*y+z*z) , arg(x,y) = polarni kut t, za svaki -pi < t <= pi, x = abs(x,y)cos(t), i y = abs(x,y)sin(t) , max(a,b,..) i min(a,b,..) , mod(x,y) = x - |y|*floor(x/|y|) , sgn(x) = x/abs(x) , frac(x) = x-int(x) , hvs(x) = Heavisideova funkcija (1+sgn(x))/2 , erf(x) = funkcija standardne pogreške , binom(n,r) = n!/r!/(n-r)! , sum(f(n,x),n,a,b) = suma (zbroj) od f(n,x) za n=a to n=b , prod(f(n,x),n,a,b) = produkt (umnožak od f(n,x) za n=a to n=b , rnd(x) = slučajna vrijednost izmeñu -x i x , log(b,x) = ln(x)/ln(b) , gauss(x) = exp(-0.5x*x)/sqrt(2*pi) , gamma(x). Treba se sjetiti da se x^n računa preko logaritama kao exp(n*ln(x)), što znači da x mora biti pozitivno. Potrebno je pretpostaviti da je baza pozitivna i u izrazima tipa x^n.Ta se konvencija može izbjeći upotrebom power(n,x). Tu je n uvijek cijeli broj (zaokruži ako treba). Postoji još i chi(a,b,x) = karakteristična funkcija intervala (razmaka) [a,b], gdje je 1 za x izmeñu a i b, te inače 0 .


Udruga Normala

165

9.2.5 Po dijelovima zadane funkcije U Winplotu postoje konstruktori funkcija koje su na različitim intervalima zadane različitim analitičkim izrazima. U američkoj literaturi se kaže spliced functions, a u talijanskoj i funzioni a pezzi.. Nisam pronašao adekvatan izraz na hrvatskom pa sam preveo „po dijelovima zadane funkcije“. Po sebi je jasno da se ti razmaci ne smiju preklapati. Funkcije se označavaju izrazima :joina, joinb, joinc, ..., and joinz. 1. primjer joinx(f|c,g|d,...,h) je

( )

≤<

≤

=

inačnh

dxcgcxf

hdgcfjoinx

,

,,

,,M

K

2. primjer Pokušaj konstruirati y = joinx(x+1|0,1-xx|2,-1).

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

y = joinx(x+1|0, 1-xx| 2, -1)


Udruga Normala

166

Na sličan način su definirane funkcije koje ovise o parametru m. Vrijednost funkcije joinm(f(m)|c,g(m)|d,...,h(m)) je f(m) if m <= c, g(m) if c < m <= d, ..., ili h(m) inače. Sintaksa ovakvih funkcija nije baš uobičajena pa je treba vježbati. . Mogu se dodati nove funkcije u imenik. svaki unos treba prvo imenovati pa definirati kao funkciju od x, odnosno kao funkciju od x i y. Potvrdi odgovarajućom radijskom tipkom prije tipkanja "Enter". Program provjerava je li uneseno ime novo te ima li formula smisla pa pa je dodaje na popis. Decimale se odjeljuju točkom. Zarez odjeljuje razmake (intervale) u definiciji po dijelovima zadanih funkcija.


Udruga Normala

167

9.3 Korisni čki definirane funkcije Može se dogoditi da sve zadane, standardne i nestandardne funkcije nisu dovoljne. Tada definiraj ime (samo slovima) nove funkcije pa je unesi u imenik. Kad god se sjetiš, funkciju iz imenika smiješ preurediti.: Primjer:

Pretpostavimo da će ti češće trebati funkcija ( )2siny x= .

Učini ovo: \

Izmisli joj ime. Recimo „prva“. Napravi ovo:


Udruga Normala

168

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

9.4 Nedostaci Program Winplot se može i kritizirati. Evo nekoliko primjedbi:

• Korisnik mora biti vješt u korištenju tipkovnice. Miš je slabo aktivan; • Program se dosta često ruši. Evo nekoliko uputa za povećavanje sigurnosti rada: 1. Imenuj datoteku odmah nakon otvaranja. Otvori i mapu u koju ćeš je spremiti. Prvo je spremi

naredbom \ .

2. Poslije svakog stupnja rješavanja, spremi promjene naredbom \ . 3. Dobro je vježbati te radnje, ne samo zbog Winplota. Koristi prečice Ctrl+Shift+S, odnosno Ctrl+S. 4. Ako se program ipak sruši, pošaljite mi kopiju datoteke kako je izgledala prije rušenja i kratak opis

radnje koja je rušenje programa izazvala. • Kod lijepljenja tablica u druge Windows dokumente, treba paziti da područje vrijednosti ne obuhvati

pol. Vrijednosti funkcije u polovima su nedefinirane. Program piše riječ u ćeliju tablice što dovodi do zbrke.

Documents

Grafovi u Programu Winplot 2-Dim