Grundlagen Mathematik - 7. Lineare Algebra - TU Dresdenmatthies/Material/WiSe15/Kapitel7.pdf · Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische

Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik

GRUNDLAGEN MATHEMATIK

7. Lineare Algebra

Prof. Dr. Gunar Matthies

Wintersemester 2015/16

Motivation I

zu Beginn des Semesters:R2 und R3 als Menge der Vektoren in der Ebene bzw. im Raum

Rechenoperationen und Eigenschaften• Vektor-Addition: kommutativ und assoziativ• Nullvektor

#»0 mit #»v +

#»0 = #»v

• negativer Vektor − #»v mit − #»v + #»v =#»0

• Skalarmultiplikation λ #»v , λ ∈ R: distributiv• Neutralität der Eins: 1 #»v = #»v

ähnlich fürVektoren mit n reellen EinträgenVektoren mit n komplexen Einträgen und komplexen Skalaren

G. Matthies Grundlagen Mathematik 2/97

Motivation II

Menge der stetigen Funktionen auf dem Intervall [a, b] ⊂ R

Rechenoperationen und Eigenschaften• Addition: kommutativ und assoziativ• Nullfunktion 0 mit f + 0 = f

• negative Funktion −f mit −f + f = 0• Skalarmultiplikation λf , λ ∈ R: distributiv• Neutralität der Eins: 1f = f

ähnlich fürPolynome vom Grad kleiner oder gleich k und Nullpolynom


Verallgemeinerung

K: reelle Zahlen R oder komplexe Zahlen C

nicht-leere Menge V

Addition auf Vdefiniere für alle u, v ∈ V das Ergebnis u ⊕ v ∈ V

Skalar-Multiplikationdefiniere für alle λ ∈ K und alle v ∈ V das Ergebnis λ� v ∈ V


Vektorraum

Definition

Wir nennen V einen K-Vektorraum, wenn die Bedingungen(V1) u ⊕ (v ⊕ w) = (u ⊕ v)⊕ w (Assoziativität)(V2) u ⊕ v = v ⊕ u (Kommutativität)(V3) Es gibt ein neutrales Element 0∈V mit v ⊕ 0=v .(V4) Zu jedem Element v ∈V gibt es ein inverses Element

−v ∈ V mit v ⊕ (−v) = 0.

(S1) (λµ)v = λ(µv)

(S2) 1v = v (Neutralität der Eins)(S3) λ(u ⊕ v) = (λu)⊕ (λv)

(S4) (λ+ µ)v = (λv)⊕ (µv)

für alle u, v ,w ∈ V und alle λ, µ ∈ K erfüllt sind.


Beispiele

Menge aller Vektoren mit n reellen Komponenten, n ∈ N

Rn :=

v1

...vn

: v1, . . . , vn ∈ R

• R-Vektorräume• keine C-Vektorräume, da ie1 6∈ Rn

Menge aller Vektoren mit n komplexen Komponenten, n ∈ N

Cn :=

z1

...zn

: z1, . . . , zn ∈ C

• C-Vektorräume• auch R-Vektorräume


Linearkombination, lineare Unabhängigkeit

Definition

Seien V ein K-Vektorraum, r ∈N, v1, . . . , vr ∈V , λ1, . . . , λr ∈K.1. Der Ausdruck

r∑i=1

λivi = λ1v1 + · · ·+ λrvr

heißt Linearkombination von v1, . . . , vr mit den Koeffizientenλ1, . . . , λr .

2. Die Elemente v1, . . . , vr heißen linear unabhängig, wenn dieGleichung

r∑i=1

λivi = 0

nur durch λ1 = · · · = λr = 0 erfüllt werden kann. Anderen-falls nennen wir die Elemente linear abhängig.


Bemerkungen

• Die Elemente v1, . . . , vr sind genau dann linear unabhängig,wenn sich das Nullelement nur durch die (triviale) Linearkom-bination mit λ1 = · · · = λr = 0 ergibt.

• Ist eines der Elemente v1, . . . , vr das Nullelement des Vek-torrraumes V , dann sind die Vektoren linear abhängig.

• Die Elemente v1, . . . , vr sind genau dann linear abhängig,wenn sich mindestens ein Element aus v1, . . . , vr als Line-arkombination der übrigen Elemente darstellen lässt.

• Zwei Vektoren des R2 sind genau dann linear abhängig, wennsie kollinear sind.

• Drei Vektoren des R3 sind genau dann linear abhängig, wennsie komplanar sind.


Beispiele

Gegeben: v1, v2, v3, v4 ∈ R3 mit

v1 =

100

, v2 =

110

, v3 =

011

, v4 =

120

• Die Vektoren v1, v2, v3, v4 sind linear abhängig, da

v1 − 2v2 + 0v3 + v4 = 0erfüllt ist und hierbei nicht alle Koeffizienten 0 sind.

• Die Vektoren v1, v2, v3 sind linear unabhängig, da ausλ1v1 + λ2v2 + λ3v3 = 0

folgt, dassλ1 = λ2 = λ3 = 0

erfüllt sein muss.


Unterraum

Definition

Eine nicht-leere Teilmenge U ⊂ V eines K-Vektorraumes V heißtUnterraum, wenn jede (endliche) Linearkombination von Elemen-ten aus U wieder zu U gehört.

Satz (Unterraum-Kriterium)

Die Menge U ⊂ V mit U 6= ∅ ist genau dann ein Unterraum vonV , wenn für alle a1, a2 ∈ U und alle λ ∈ K das Element a1 + λa2zu U gehört.

Folgerung

• Jeder Unterraum enthält das Nullelement.• Der „kleinste“ Unterraum ist {0}, der „größte“ ist V selbst.


Erzeugendensystem, Basis

Definition

Gegeben seien m Elemente a1, . . . , am ∈ V .• Die Menge aller Linearkombinationen von a1, . . . , am gemäß

Span(a1, . . . , am) :=

{x ∈ V : x =

m∑i=1

λiai , λi ∈ K

}heißt Span der Elemente a1, . . . , am.

• Gilt Span(a1, . . . , am)=V, dann wird die Menge {a1, . . . , am}Erzeugendensystem von V genannt.

• Ein Erzeugendensystem, dessen Elemente linear unabhängigsind, nennen wir Basis.

Satz

Span(a1, . . . , am) ist ein Unterraum von V .


Eigenschaften, Dimension

Satz

Alle Basen eines Vektorraumes V haben die gleiche Anzahl vonElementen.

Definition

Die Anzahl der Elemente einer Basis des Vektorraumes V wird alsDimension von V bezeichnet, kurz: dimV .

Beispiel

dimRn = n, dimCn = n

Bemerkung

Es gibt auch Vektorräume, die kein endliches Erzeugendensystembesitzen. Diese werden dann unendlich dimensional genannt.Beispiel: Menge der stetigen Funktionen auf [a, b]


Koordinatendarstellung eines Vektorraum-Elements

Satz

Seien V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und {v1, . . . , vn} eineBasis von V . Dann existieren für jeden Vektor a ∈ V eindeutigbestimmte Zahlen α1, . . . , αn ∈ K derart, dass

a =n∑

i=1

αivi

erfüllt ist. Die Zahlen α1, . . . , αn heißen Koordinaten des Elementsa bezüglich des Basis {v1, . . . , vn}.

Bemerkung

Wird im Rn oder im Cn jeweils die kanonische Basis {e1, . . . , en}der Einheitsvektoren verwendet, dann entsprechen die Koordinateneines Vektors genau seinen Komponenten.


Illustration zur Koordinatendarstellung I

0.5 1 1.5 2

0.5

1

e1

e2 a

a =

(21

)= 2

(10

)+ 1

(01

)= 2e1 + 1e2


Illustration zur Koordinatendarstellung II

1 2 3 4

1

2

3

4

5

v1

v2

a

a =

(45

)= 1

(21

)+ 2

(12

)= 1v1 + 2v2


Tensorprodukt von Vektorräumen

Definition

Seien V ,W zwei K-Vektorräume. Das TensorproduktV ×W =

{(v ,w) : v ∈ V , w ∈W

}ist die Menge aller geordneten Paare, wobei der erste Eintrag ausV und der zweite Eintrag aus W stammen.

Satz

Sind V ,W zwei endlich dimensionale K-Vektorräume. Dann gilt:dim(V ×W ) = dimV + dimW .

Definition

Sei V ein K-Vektorraum. Dann beschreibt V n=V × V × · · · × V︸︷︷︸n−mal

das n-fache Tensorprodukt von V mit sich selbst. Die Elemente inV n sind geordnete n-Tupel.


Matrizen

Definition

Seien m, n ∈ N. Die Anordnung von m · n Zahlen aus K in einrechteckiges Schema ausm Zeilen und n Spalten nennen wirm×n-Matrix über K. Die Menge aller m× n-Matrizen über K wird mitKm×n bezeichnet.

Zur Bezeichnung von Matrizen werden meist Großbuchstaben ver-wendet. Die Komponenten oder Einträge der Matrix werden mitdem zugehörigen doppelt indizierten Kleinbuchstaben bezeichnet:

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

Der erste Index entspricht stets der Zeile, der zweite Index derSpalte. Zur Vermeidung von Missverständnissen kann ein Kommazwischen Zeilen- und Spaltenindex gesetzt werden.G. Matthies Grundlagen Mathematik 17/97

Gleichheit von Matrizen

Ist A ∈ Rm×n, so sprechen wir von einer reellen Matrix. Im FallB ∈ Cm×n liegt eine komplexe Matrix vor. Jede reelle Matrix kannauch als komplexe Matrix aufgefasst werden.

Definition

Zwei Matrizen A ∈ Km×n und B ∈ Kr×s sind genau dann gleich,wenn ihre Formate übereinstimmen und korrespondierende Einträ-ge gleich sind, d. h., wenn die Bedingungen1. m = r , n = s,2. aij = bij für i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n,

erfüllt sind.


Quadratische Matrizen

Definition

Eine Matrix vom Format n × n heißt quadratische Matrix.

Definition

Sei A eine quadratische n × n-Matrix.• Die Einträge a11, a22, . . . , ann bilden die Hauptdiagonale derMatrix A.

• Sind nur die Hauptdiagonalelemente der Matrix A ungleich 0,dann heißt A Diagonalmatrix.

• Sind die Einträge von A rechts oberhalb der Hauptdiagonalesämtlich 0, dann heißt A (linke) untere Dreiecksmatrix.

• Sind die Einträge von A links unterhalb der Hauptdiagonalesämtlich 0, dann heißt A (rechte) obere Dreiecksmatrix.


Addition und Skalarmultiplikation von Matrizen

Definition

Seien A,B zwei m × n-Matrizen über K und λ ∈ K ein Skalar.Dann setzen wir

A+ B =

a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1na21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n

......

. . ....

am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn

∈ Km×n

als Summe der Matrizen A und B sowie

λA =

λa11 λa12 . . . λa1nλa21 λa22 . . . λa2n...

.... . .

...λam1 λam2 . . . λamn

∈ Km×n

als Produkt von λ mit A.


Matrizen als Vektorraum

Satz

Die Menge der m×n-Matrizen über K bildet mit der Addition undder Skalarmultiplikation einen Vektorraum der Dimension m · n.

Die Bedingungen an einen Vektorraum lassen sich nachrechnen.Das neutrale Element ist die Nullmatrix

0 0 . . . 00 0 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 0

Die Menge {E kl : k = 1, . . . ,m, l = 1, . . . , n} mit E kl ∈ Km×n

und

eklij =

{1, k = i und l = j ,

0, sonst,i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n

bildet eine Basis von Km×n.G. Matthies Grundlagen Mathematik 21/97

Spalten- und Zeilenvektoren von Matrizen

Definition

Eine Matrix von Format m × 1 heißt Spaltenvektor, eine Matrixvom Format 1× n wird Zeilenvektor genannt.

Die m × n-Matrix A besteht in natürlicher Weise aus n Spalten-vektoren mit je m Komponenten

A =(a1 a2 . . . an

), aj =

a1ja2j...

amj

, j = 1, . . . , n

und aus m Zeilenvektoren mit je n Komponenten

A =

a∗1a∗2...a∗m

, a∗i =(ai1 ai2 . . . ain

), i = 1, . . . ,m.


Rang von Matrizen

Definition

Die maximale Anzahl von linear unabhängigen Spaltenvektoreneiner Matrix A heißt Rang der Matrix A, kurz RangA.

Satz

Die maximale Anzahl von linear unabhängigen Zeilenvektoren derMatrix A entspricht genau RangA.

Satz

Sei A ∈ Km×n. Dann giltRangA ≤ min(m, n).


Produkt von Zeilen- und Spaltenvektoren

Definition

Seien u ∈ K1×n ein Zeilenvektor und v ∈ Kn×1 ein Spaltenvektormit jeweils n Komponenten, d. h.,

u =(u1 u2 . . . un

), v =

v1v2...vn

.

Dann wird das Produkt uv gemäß

uv =n∑

i=1

uivi

definiert.


Multiplikation von Matrizen

Definition

Seien A ∈ Km×n eine Matrix mit den Zeilenvektoren a∗1, . . . , a∗m

und B ∈ Kn×p eine Matrix mit den Spaltenvektoren b1, . . . , bp.Dann setzen wir

AB = C =

c11 c12 . . . c1pc21 c22 . . . c2p...

.... . .

...cm1 cm2 . . . cmp

∈ Km×p

mitcij = a∗i bj , i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , p,

als das Produkt der Matrizen A und B .


Falk-Schema zur Matrix-Multiplikation

c11 · · · c1j · · · c1p... · · ·

... · · ·...

ci1 · · · cij · · · cip... · · ·

... · · ·...

cm1 · · · cmj · · · cmp

b11 · · · b1j · · · b1p... · · ·

... · · ·...

bn1 · · · bnj · · · bnp

a11 · · · a1n... · · ·

...ai1 · · · ain... · · ·

...am1 · · · amn

cij =n∑

k=1

aikbkj , i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , p


Bemerkungen zur Matrix-Multiplikation

• Das Produkt AB der Matrizen A und B ist nur dann definiert,wenn die Spaltenanzahl von A mit der Zeilenanzahl von Bübereinstimmt.

• Die Zeilenanzahl im Produkt AB entspricht der Zeilenanzahlvon A, die Spaltenanzahl im Produkt ist gleich der Spalten-anzahl in B .

• Auch wenn die Produkte AB und BA definiert sind, müssendie Produkte nicht gleich sein. Die Matrixmultiplikation istnicht kommutativ.


Rechengesetze für die Matrix-Multiplikation

Satz

Die Matrix-Multiplikation ist assoziativ: Sind für Matrizen A,B,Cdie Produkte AB und BC definiert, dann sind auch (AB)C undA(BC ) definiert und es gilt: (AB)C = A(BC ).

Satz

Es gelten die DistributivgesetzeA(B + C ) = AB + AC und (A+ B)C = AC + BC ,

vorausgesetzt, dass alle auftretenden Produkte und Summen defi-niert sind.


Produkt von Matrix und Vektor

Folgerung

Seien A ∈ Km×n eine Matrix über K mit den Spaltenvektorena1, . . . , an ∈ Km und v ∈ Kn ein Vektor. Dann ist

Av =n∑

j=1

ajvj ∈ Km

die Linearkombination der Spaltenvektoren a1, . . . , an von A mitden Koeffizienten v1, . . . , vn aus dem Vektor v .


Einheitsmatrizen

Definition

Die Matrix En ∈ Kn×n mit

eij =

{1, für i = j ,

0, sonst,i , j = 1, . . . , n,

heißt Einheitsmatrix der Dimension n. Ist die Dimension n klar,wird meist statt En nur kurz E geschrieben.

Satz

Für alle x ∈ Kn und alle A ∈ Kn×n gelten:1. Enx = x ,2. AEn = EnA = A.


Transponieren

Definition

Beim Transponieren einer m × n-Matrix A entsteht eine n × m-Matrix durch das Vertauschen der Rollen von Zeilen und Spalten inA. Die erste Zeile der transponierten Matrix entspricht der erstenSpalte der Matrix A, die zweite Zeile der zweiten Spalte und soweiter. Die transponierte Matrix zu A wird mit AT bezeichnet.

A =

a11 a12 . . . a1n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

, AT =

a11 . . . am1a12 . . . am2...

. . ....

a1n . . . amn

Anschaulich entsteht die transponierte Matrix durch Spiegelungder Ausgangsmatrix an Diagonale a11, . . . , akk mit k = min(m, n).Die Koeffizienten von AT werden durch die Koeffizienten von Abeschrieben.


Eigenschaften von transponierten Matrizen

Satz

1. Für jede Matrix A gilt: (AT )T = A.2. Seien A,B zwei Matrizen, für die AB definiert ist. Dann ist

auch BTAT definiert und es gilt (AB)T = BTAT .3. Eine Diagonalmatrix stimmt mit ihrer transponierten Matrix

überein.4. Die transponierte Matrix einer rechten oberen Dreiecksmatrix

ist eine linke untere Dreiecksmatrix und umgekehrt.

Definition

Die n × n-Matrix A heißt symmetrisch, wenn AT = A gilt.


Lineare Gleichungssysteme

Definition

Ein lineares Gleichungsystem (LGS) mit m Gleichungen und n Un-bekannten hat die Form

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1,

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2,

...... =

...am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

mit den Koeffizienten aij und den Absolutgliedern bi .

Kommt eine Unbekannte in einer Gleichung nicht vor, hat sie dortden Koeffizienten 0.


Matrix-Vektor-Schreibweise

Für ein LGS kann aucha11 . . . a1n...

. . ....

am1 . . . amn

x1

...xn

=

b1...bm

oder kurz

Ax = bgeschrieben werden.

Dabei sind• A die Koeffizientenmatrix mit den Koeffizienten aij ,i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n,

• x der Vektor mit den Unbekannten xj , j = 1, . . . , n,• b der Rechte-Seite-Vektor mit den Absolutgliedern bi ,i = 1, . . . ,m.


Lösungsbegriff

Definition

Ein LGS heißt homogen, wenn b = 0 ist. Sonst nennen wir dasLGS inhomogen.

Definition

Ein Vektor y mit n Komponenten heißt Lösung des LGS, wennAy = b erfüllt ist.

Bemerkung

Ein homogenes LGS besitzt stets mindestens eine Lösung, näm-lich den Nullvektor. Diese Lösung bezeichnet man auch als trivialeLösung.


Lineare Gleichungssysteme mit 2 oder 3 Unbekannten

LGS mit 2 Unbekannten x und y

• jede Gleichung entspricht einer Geraden in der x-y -Ebene• mögliche Lösungsmenge

1. Gerade schneiden sich: eindeutige Lösung2. Geraden sind parallel, aber nicht identisch: keine Lösung3. Geraden sind identisch: unendlich viele Lösungen

LGS mit 3 Unbekannten x , y und z

• jede Gleichung entspricht einer Ebene im Raum• mögliche Lösungsmenge

1. die Ebenen schneiden sich in einem Punkt2. die Ebenen schneiden sich in einer Geraden3. die Ebenen sind identisch4. es gibt keinen Punkt, der zu allen Ebenen gehört:

parallele Ebenen oder je zwei Ebenen schneiden sich,wobei die Normalenvektoren linear abhängig sind


Lösungsstruktur

Satz

Für ein lineares Gleichungssystem tritt stets genau einer der fol-genden drei Fälle auf:• Das LGS besitzt keine Lösung.• Das LGS besitzt genau eine Lösung.• Das LGS besitzt unendlich viele Lösungen.

Definition

Die Matrix, die durch das Zusammenfassen der Koeffizientenma-trix A und des Rechte-Seite-Vektors b entsteht, wird als erweiterteKoeffizientenmatrix (A|b) bezeichnet, wobei b als (n+1)-te Spalteauftritt.


Gaußsches Eliminationsverfahren

Grundoperatoren des Gaußschen Eliminationsverfahrens• Addition/Subtraktion eines Vielfachen einer Zeile von (A|b)zu/von einer anderen Zeile

• Multiplikation einer Zeile von (A|b) mit einer von 0 verschie-denen Zahl

• Vertauschen zweier Zeilen von (A|b)• Vertauschen zweier Spalten von A, wobei die entsprechendenKomponenten von x umnummeriert werden

Die Grundoperationen ändern die Lösungsmenge des LGS nicht,d. h., es entstehen keine neue Lösungen, noch gehen Lösungenverloren.

Zur Vermeidung von neuen Bezeichnungen wird die geänderte er-weiterte Koeffizientenmatrix wieder mit (A|b) bezeichnet.


Eliminationsteil

1. Setze i = 1 und r = m.2. Pivotsuche:

2.1 Gilt aii 6= 0, gehe zu Schritt 3.2.2 Gibt es einen Index k mit i < k ≤ m und aki 6= 0, so

vertausche die Zeilen i und k von (A|b) und gehe zu 3.2.3 Gibt es Indizes k und ` mit i ≤ k ≤ m, i < ` ≤ n

und ak` 6= 0, dann vertausche die Zeilen i und k von(A|b), vertausche die Spalten i und ` von A und merkedie entsprechende Umnummerierung der Komponentendes Lösungsvektors. Gibt es solche Indizes k und ` nicht,setze r = i − 1 und gehe zum Lösbarkeitstest.

3. Elimination: subtrahiere für k = i + 1, . . . ,m jeweils dasakiaii

-

fache der i-ten Zeile von (A|b) von der k-ten Zeile von (A|b).4. Falls i < m, erhöhe i um 1 und gehe zu Schritt 2.


Struktur nach Eliminationsteil

• ∗ ∗ . . . . . . . . . . . . ∗ ∗0 • ∗ . . . . . . . . . . . . ∗ ∗0 0 • . . . . . . . . . . . . ∗ ∗...

.... . .

......

......

......

... • ∗ ∗... ∗

0 0 . . . 0 ∗...

......

... ∗0 0 . . . 0 ∗

r

r

m − r

n

Bedeutung der Symbole:•: von 0 verschiedene Zahl∗: beliebige Zahl


Lösbarkeitstest und Rücklöseteil

LösbarkeitstestFalls r < m und mindestens eine der transformiertenZahlen br+1, . . . , bm von 0 verschieden ist, dann besitztdas LGS keine Lösung.

Rücklöseteil1. Falls r < n, setze für die Unbekannten xr+1, . . . , xn die frei

wählbaren Parameter t1, . . . , tn−r ein2. für i = r , . . . , 1

bestimme xi aus der i-ten Gleichung des LGS

xi =1aii

bi −n∑

j=i+1

aijxj


Rangkriterium

Satz

Sei Ax = b ein lineares Gleichungssystem. Dann gelten1. Ist RangA = Rang(A|b), dann hat das lineare Gleichungssys-

tem (mindestens) eine Lösung.2. Ist RangA < Rang(A|b), dann ist das lineare Gleichungssys-

tem nicht lösbar.3. Sei A nun eine n × n-Matrix mit RangA = n. Dann ist das

lineare Gleichungssystem Ax = b für jeden Vektor b ∈ Kn

eindeutig lösbar.


Reguläre und inverse Matrizen

Definition

Sei A ∈ Kn×n.1. Die Matrix A heißt regulär, wenn sie den maximalen Rang n

hat. Sonst nennen wir A singulär.2. Die Matrix A heißt invertierbar, wenn eine Matrix B ∈ Kn×n

mit AB = E existiert. Die Matrix B heißt inverse Matrix zuA und wird mit A−1 bezeichnet.

Bemerkung

Gilt AA−1 = E , dann ist auch A−1A = E erfüllt, d. h., die inverseMatrix der inversen Matrix ist wieder die Ausgangsmatrix A.


Eigenschaften regulärer Matrizen

Satz

Eine quadratische Matrix A ist genau dann regulär, wenn sie in-vertierbar ist.

Satz

Die Inverse A−1 einer regulären Matrix A ist eindeutig bestimmt.

Satz

Seien A,B ∈ Kn×n zwei quadratische Matrizen. Das Produkt ABist genau dann regulär, wenn A und B regulär sind. Weiterhin giltin diesem Fall: (AB)−1 = B−1A−1.


Lineare Gleichungssysteme und inverse Matrizen

Satz

Seien A ∈ Kn×n regulär, B ∈ Kn×n beliebig und b ∈ Kn. Danngelten:1. Das lineare Gleichungsystem Ax = b hat die eindeutig be-

stimmte Lösung x = A−1b.2. Die Matrixgleichungen AX = B und YA = B haben die

eindeutig bestimmten Lösungen X = A−1B und Y = BA−1.Ist B zudem regulär, dann sind auch X und Y regulär.


Skalarprodukt und Betrag im Rn

Definition

Auf dem Vektorraum Rn werden durch

〈x , y〉 = x · y := xT y =n∑

i=1

xiyi

das Skalarprodukt der Vektoren x , y ∈ Rn und durch

|x | =√〈x , x〉 =

√√√√ n∑i=1

x2i

der Betrag des Vektors x ∈ Rn definiert. Ein Vektor x ∈ Rn mit|x | = 1 heißt Einheitsvektor.

Bemerkung

Der Betrag eines Vektors entspricht seiner euklidischen Länge.


Skalarprodukt und Betrag im Cn

Definition

Auf dem Vektorraum Cn werden durch

〈x , y〉 = x · y := xT y =n∑

i=1

x iyi , x =

x1...xn

,

das Skalarprodukt der Vektoren x , y ∈ Cn und durch

|x | =√〈x , x〉 =

√√√√ n∑i=1

x ixi =

√√√√ n∑i=1

|xi |2

der Betrag des Vektors x ∈ Cn definiert. Ein Vektor x ∈ Cn mit|x | = 1 heißt Einheitsvektor.


Cauchy–Schwarz-Ungleichung

Satz

Für das reelle und das komplexe Skalarprodukt gilt zusammen mitdem zugehörigen Betrag die Cauchy–Schwarz-Ungleichung

|〈u, v〉| ≤ |u| |v |für alle u, v ∈ Rn bzw. u, v ∈ Cn.

Beispiel

Für x , y ∈ Rn führt die Cauchy–Schwarz-Ungleichung auf∣∣∣∣∣n∑

i=1

xiyi

∣∣∣∣∣ ≤(

n∑i=1

x2i

)1/2( n∑i=1

y2i

)1/2

.


Winkel zwischen reellen Vektoren

Verallgemeinerung von R2 und R3 auf Rn

Definition

Für beliebige x , y ∈ Rn \ {0} ist der Winkel ^(x , y) zwischen xund y durch

^(x , y) = arccos〈x , y〉|x | |y |

= arccosxT y

|x | |y |definiert.

Nach der Cauchy–Schwarz-Ungleichung gilt:〈x , y〉|x | |y |

∈ [−1, 1].

Da arccos von [−1, 1] nach [0, π] abbildet, gilt ^(x , y) ∈ [0, π].


Orthogonal- und Orthonormalsysteme

Definition

Zwei Vektoren x , y ∈ Rn heißen orthogonal, wenn x · y = xT y =0 gilt. In diesem Fall sagen wir auch, dass x und y senkrechtaufeinander stehen.

Definition

Die k Vektoren v1, . . . , vk ∈ Rn\{0} bilden ein Orthogonalsystem,wenn sie paarweise orthogonal sind, d. h., wenn

vi · vj = vTi vj = 0 für i 6= j

gilt. Gilt zusätzlich|vi | = 1, i = 1, . . . , k ,

dann sprechen wir von einem Orthonormalsystem.


Orthogonalisierungsverfahren

benannt nach Jørgen Pedersen Gram und Erhard Schmidt

Gegeben: Rn oder Cn mit Skalarprodukt 〈·, ·〉 und Betrag | · |k linear unabhängige Vektoren v1, . . . , vn

Algorithmus:

1. setze e1 =v1

|v1|2. für r = 2, . . . , k setze

er = vr −r−1∑i=1

〈vr , ei 〉ei

und normiereer =

er|er |


Eigenschaften des Orthogonalisierungsverfahrens

Satz

Die Vektoren e1, . . . , ek , die sich aus dem Orthogonalisierungsver-fahren ergeben, bilden ein Orthonormalsystem. Weiterhin gilt

Span(v1, . . . , vk) = Span(e1, . . . , ek).

Bemerkung

Wird das Orthogonalisierungsverfahren auf k linear abhängige Vek-toren angewendet, dann ergibt sich er = 0 für ein r und der Vektorvr ist als Linearkombination der Vektoren v1, . . . , vr−1 darstellbar.Lässt man alle Vektoren vi weg, bei denen sich ei = 0 ergibt, dannbilden die s entstehenden Vektoren w1, . . . ,ws eine Orthogonal-system mit

Span(v1, . . . , vk) = Span(w1, . . . ,ws).


Spezielle Matrizen

Definition

Eine reelle Matrix A ∈ Rn×n mit ATA = En heißt orthogonal.

Satz

Seien Q eine orthogonale n× n-Matrix und x , y ∈ Rn. Dann gilt:1. Q−1 = QT .2. Je zwei verschiedene Spalten von Q sind orthogonal.3. Der Betrag jedes Spaltenvektors von Q ist 1.4. |Qx | = |x | (Längentreue)5. ^(Qx ,Qy) = ^(x , y) (Winkeltreue)


Affine Abbildung

Definition

Seien A ∈ Rn×n eine Matrix und b ∈ Rn ein Vektor. Die AbbildungF : Rn → Rn, x 7→ Ax + b

wird affine Abbildung auf Rn genannt. Ist b = 0, dann heißt dieAbbildung F linear.

Bemerkung

Ist die Matrix A einer affinen Abbildung F invertierbar, dann exis-tiert die Umkehrabbildung F−1 : Rn → Rn. Die Abbildungsvor-schrift ist durch

F−1(x) = A−1(x − b) = A−1x − A−1b

gegeben. Somit ist auch die Umkehrabbildung affin. Im Falle einerlinearen Abbildung, ist auch die Umkehrabbildung linear.


Anwendung von affinen Abbildungen

Voraussetzung: A ∈ Rn×n ist regulärFolgerung: Spalten von A bilden eine Basis des Rn

Abbildung F rechnet die Koordinaten x bezüglich der Spaltenvek-toren von A im Koordinatensystem mit Ursprung b in die Koordi-naten a bezüglich der kanonischen Basis e1, . . . , en um

2 4

2

4

6

b

v1

v2

a

x =

(12

), b =

(11

)A =

(v1 v2

)a = F (x)

= Ax + b

=(v1 v2

)(12

)+

(11

)G. Matthies Grundlagen Mathematik 55/97

Drehmatrizen

Definition

Sei ϕ ∈ R ein Winkel. Dann heißt die Matrix

Dϕ =

(cos(ϕ) − sin(ϕ)sin(ϕ) cos(ϕ)

)Drehmatrix mit Drehwinkel ϕ.

Eigenschaften• Die Spalten von Dϕ sind orthogonal.• Es gilt D−1

ϕ = D−ϕ.


Determinante I

ZielOrdne jeder quadratischen Matrix A ∈ Kn×n so eineZahl aus K zu, dass sich genau dann 0 ergibt, wenn dieMatrix nicht regulär ist.

Definition

Sei A ∈ K2×2 eine Matrix. Dann definieren wir

detA =

∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

als Determinante von A.

Bemerkung

Ist A ∈ K2×2 nicht regulär, dann ist eine Spalte von A das Vielfa-che der anderen. Somit ergibt sich detA = 0.


Determinante II

Definition

Sei A ∈ K3×3. Dann setzen wir

detA =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = [a1, a2, a3]

als die Determinante von A, wobei[a1, a2, a3] = (a1 × a2) · a3

das Spatprodukt der Spaltenvektoren a1, a2 und a3 von A ist.


Regel von Sarrus

Bemerkung

Die Determinante von A ∈ K3×3 kann mittels

detA =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

−(a31a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12

)berechnet werden.

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32


Entwicklungssatz

Satz

Sei A ∈ K3×3. Dann gilt

detA =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a11 det

(a22 a23a32 a33

)− a21 det

(a12 a13a32 a33

)+ a31 det

(a12 a13a22 a23

)


Streichungsmatrix

Definition

Sei A ∈ Kn×n eine n×n-Matrix. Die Matrix vom Format (n−1)×(n − 1), die durch das Streichen der i-ten Zeile und der j-Spaltevon A entsteht, wird als Streichungsmatrix Aij bezeichnet.

a11 · · · a1j · · · a1n... · · ·

... · · ·...

ai1 · · · aij · · · ain... · · ·

... · · ·...

an1 · · · anj · · · ann

Aij =


Determinante III

Definition

Sei A ∈ Kn×n, n ≥ 2, eine quadratische Matrix. Dann wird durch

detA =n∑

i=1

(−1)i+1ai1 detAi1

und die Definitionen für 2×2- und 3×3-Matrizen die Determinantevon A erklärt.

Bemerkung

Die obige Berechnungsvorschrift wird Entwickeln nach der erstenSpalte genannt.


Entwicklungssatz nach Laplace

Satz

Sei A eine n × n-Matrix. Dann liefern• die Entwicklung nach der k-Spalte gemäß

n∑i=1

(−1)i+kaik detAik

• die Entwicklung nach der `-ten Zeile gemäßn∑

j=1

(−1)`+ja`j detA`j

jeweils die Determinante von A.


Eigenschaften von Determinanten

Satz

Für jede quadratische Matrix A istdetAT = detA

erfüllt.

Satz

Die Determinanten von oberen und unteren Dreiecksmatrizen er-geben sich als Produkt der Hauptdiagonalelemente.


Rechenregeln für Determinanten

Seien A ∈ Kn×n mit den Spaltenvektoren a1, . . . , an und λ ∈ Kgegeben. Dann gelten

• Ausklammern eines Skalarsdet(a1 · · ·λak · · · an

)= λ det

(a1 · · · ak · · · an

)• Nullspalte

det(a1 · · · ai−1 0 ai+1 · · · an

)= 0

• 2 gleiche Spaltendet(· · · a · · · a · · ·

)= 0

• Vertauschen von Spaltendet(a1 · · · ak · · · a` · · · an

)= − det

(a1 · · · a` · · · ak · · · an

)• Addition/Subtraktion von Vielfachen

det(· · · ak · · · a` + λak · · ·

)det(· · · ak · · · a` · · ·

)Analoge Rechenregeln gelten für Zeilen.


Weitere Eigenschaften von Determinanten

Satz

Sei A eine n × n-Matrix. Dann gelten:• Alle n Spalten von A sind genau dann linear unabhängig, wenndetA 6= 0 gilt.

• Die Matrix A ist genau dann regulär, wenn detA 6= 0 erfülltist.

Satz

Seien A,B zwei n × n-Matrizen. Dann gilt:det(AB) = detA detB.

Ist A regulär, dann ist

detA−1 =1

detAerfüllt.


Berechnung von inversen Matrizen I

Satz

Sei A eine reguläre n×n-Matrix. Dann lässt sich die inverse MatrixA−1 von A in der Form

A−1 =1

detA

(−1)1+1 detA11 · · · (−1)1+n detA1n

.... . .

...

(−1)n+1 detAn1 · · · (−1)n+n detAnn

T

darstellen, was aber nur für kleine n praktikabel ist.

Folgerung

Für eine reguläre 2× 2-Matrix ergibt sich

A−1=1

detA

(a22 −a12−a21 a11

)=

1a11a22 − a12a21

(a22 −a12−a21 a11

).


Berechnung von inversen Matrizen II

gegeben: reguläre Matrix A ∈ Rn×n

Gesucht: inverse Matrix A−1

Idee:• Bestimme die Lösungen der linearen Gleichungssysteme

Axi = ei , i = 1, . . . , n,mit den kanonischen Einheitsvektoren e1, . . . , en ∈ Rn.

• Die Matrix, die aus Spaltenvektoren x1, . . . , xn gebildet wird,ist die gesuchte inverse Matrix zu A.

Praxis:• Wende die Grundoperationen des Gaußschen Eliminationsver-fahrens auf die erweiterte Matrix (A|E ) so an, dass (E |X )entsteht, wobei E die n × n-Einheitsmatrix ist.

• Die Matrix X ist dann gerade A−1.


Motivation

lineare Abbildung F : Rn → Rn mit F (x) = Ax

Welche Vektoren x ∈ Rn werden auf Vielfache von sich angebildet,d. h., für welche Vektoren x ∈ Rn gibt es ein λ ∈ R derart, dass

Ax = λx

gilt?

offensichtlich: F (0) = A0 = λ0 für alle λ ∈ R

Für die Matrix

A =

(0 −11 0

)gibt es außer dem Nullvektor keinen weiteren Vektor, der Ax = λxmit λ ∈ R erfüllt.


Eigenwert

Definition

Sei A ∈ Kn×n eine reelle oder komplexe Matrix. Eine komplexeZahl λ heißt Eigenwert der Matrix A, wenn es einen reellen oderkomplexen Vektor x 6= 0 mit

Ax = λx

gibt. In diesem Fall wird x Eigenvektor von A zum Eigenwert λgenannt.

Satz

Sei A eine n×n-Matrix. Die Zahl λ ∈ C ist genau dann Eigenwertvon A, wenn

det(A− λEn) = 0gilt.


Charakteristisches Polynom

Definition

Sei A ∈ Kn×n. Die Funktion χA : K→ K mitχA(λ) = det(A− λEn)

heißt charakteristisches Polynom von A.

Satz

Das charakteristische Polynom χA der Matrix A ∈ Kn×n besitztstets den Grad n.

Bemerkung

Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms χA sind die Eigen-werte von A.


Vielfachheit von Eigenwerten

Bemerkung

Da reelle Polynome auch komplexe Nullstellen haben können, be-trachten wir ab jetzt K = C.

Definition

Die Vielfachheit der Nullstelle wird als algebraische Vielfachheitdes Eigenwerts bezeichnet.Die maximale Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren für einenEigenwert nennen wir geometrische Vielfachheit des Eigenwerts.

Satz

Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts ist immer größeroder gleich der geometrischen Vielfachheit.


Eigenschaften

Bemerkung

Unter Berücksichtigung der algebraischen Vielfachheit hat jede re-ellen oder komplexe n × n-Matrix genau n komplexe Eigenwerte.

Satz

Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind stets linear un-abhängig.

Satz

Die Matrix A ist genau dann singulär, wenn λ = 0 Eigenwert vonA ist.


Eigenschaften der Eigenwerte

Definition

Sei A eine n × n-Matrix. Die Summe der Hauptdiagonalelementewird Spur der Matrix A genannt. Wir schreiben kurz

SpurA =n∑

k=1

akk

Satz

Sei A eine n × n-Matrix. Die Summe alle Eigenwerte unter Be-rücksichtigung der algebraischen Vielfachheit ist gleich der Spurder Matrix A.Das Produkt aller Eigenwerte unter Berücksichtigung der algebrai-schen Vielfachheit entspricht der Determinante von A.


Eigenwerte spezieller Matrizen

• Bei Dreiecksmatrizen entsprechen die Hauptdiagonalelementeden Eigenwerten.

• Ist λ ein Eigenwert von A mit der algebraischen Vielfachheitm, so ist λ+µ ein Eigenwert von A+µE mit der algebraischenVielfachheit m, wobei E die Einheitsmatrix ist.

• Ist λ Eigenwert von A, so ist λm Eigenwert von Am, wobeiAm = A · · ·A︸︷︷︸

m-malist.

• Die Matrizen A und AT besitzen das gleiche charakteristischePolynom und damit gleiche Eigenwerte.

• Seien A eine reguläre Matrix und λ ein Eigenwert von A. Dannist 1/λ Eigenwert von A−1.


Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren

Gegeben: n × n-Matrix A

1. charakteristisches Polynom χ aufstellen

2. Nullstellen von χ bestimmen

3. algebraische Vielfachheit der Eigenwerte ablesen

4. Eigenvektoren zum Eigenwert λ als Lösung von(A− λE )x = 0

ermitteln

5. geometrische Vielfachheit ablesen


Ähnlichkeit

Definition

Seien A ∈ Kn×n eine beliebige Matrix und C ∈ Kn×n eine reguläreMatrix. Dann heißen die Matrizen C−1AC und A zueinander ähn-lich oder durch eine Ähnlichkeitstransformation auseinander her-vorgegangen. Eine Matrix heißt diagonalisierbar, wenn sie zu einerDiagonalmatrix ähnlich ist.

Satz

Seien A und B = C−1AC zwei zueinander ähnliche Matrizen.Dann stimmen die charakteristischen Polynome χA und χB über-ein. Ist v Eigenvektor von A zum Eigenwert λ, dann ist C−1vEigenvektor von B = C−1AC zum Eigenwert λ.


Eigenschaften symmetrischer Matrizen

reelle symmetrische Matrix A ∈ Rn×n

• A hat nur reelle Eigenwerte.• Für jeden Eigenwert stimmen algebraische und geometrischeVielfachheit überein.

• Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.• Es gibt eine orthogonale Matrix Q mit

QTAQ = diag(λ1, . . . , λn),

wobei λ1, . . . , λn die Eigenwerte von A sind und die i-te Spal-te von Q einem normierten Eigenvektor zu λi entspricht. Da-mit ist jede reelle symmetrische Matrix diagonalisierbar.


Definitheit von symmetrischen Matrizen

Definition

Die reelle symmetrische n × n-Matrix A heißt• positiv definit, wenn alle Eigenwerte positiv sind,• positiv semidefinit, wenn alle Eigenwerte positiv oder 0 sind,• negativ definit, wenn alle Eigenwerte negativ sind,• negativ semidefinit, wenn alle Eigenwerte negativ oder 0 sind,• indefinit, wenn A positive und negative Eigenwerte hat.


Kegelschnitte

gegeben: Doppelkegel z2 = x2 + y2

Ebene ax + by + cz = d

Gesucht: Schnittkurve von Doppelkegel und Ebene


Ellipse als Kegelschnitt


Parabel als Kegelschnitt


Hyperbel als Kegelschnitt


Ellipse

Definition

Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P der Ebene, für die dieSumme der Abstände zu zwei gegebenen Brennpunkten F1 und F2konstant ist.

P

F1 F2


Parabel

Definition

Eine Parabel ist die Menge aller Punkte P der Ebene, deren Ab-stand zum Brennpunkt F gleich dem Abstand zur Leitlinie g ist.

F

g


Hyperbel

Definition

Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte P der Ebene, für die derBetrag der Differenz der Abstände zu den Brennpunkten F1 undF2 konstant ist.

F2F1

P


Normalformen der Kegelschnitte

Ellipsex2

a2 +y2

b2 = 1

Parabelx2 = 2py oder y2 = 2px

Hyperbelx2

a2 −y2

b2 = 1 odery2

b2 −x2

a2 = 1


Quadratische Form

Definition

Ein Ausdruck der Form

q(x) =n∑

i ,j=1

αijxixj

mit x ∈ Rn und αij ∈ R, i , j = 1, . . . , n, heißt quadratische Form.

Bemerkung

Wenn die Matrix A = (aij) gemäß

aij =αij + αji

2, i , j = 1, . . . , n,

definiert wird, dann lässt sich die quadratische Form alsq(x) = xTAx

schreiben, wobei A symmetrisch ist.


Hauptachsentransformation

Seien A ∈ Rn×n eine symmetrische Matrix undq(x) = xTAx

die zugehörige quadratische Form.

Da A reell und symmetrisch ist, gibt es eine orthogonale Matrix Qmit

QTAQ = D = diag(λ1, . . . , λn),wobei λ1, . . . , λn die Eigenwerte von A sind und die i-te Spaltevon Q aus dem normierten Eigenvektor von A zum Eigenwert λibesteht.

Mit der Substitution x = Qy lässt sich eine neue quadratischeForm q durch

q(y)=q(Qy)=(Qy)TA(Qy)=yTQTAQy=yTDy=n∑i=1

λiy2i

definieren.


Hauptachsen

Definition

Seien A eine reelle symmetrische Matrix und Q eine orthogonaleMatrix mit QTAQ = diag(λ1, . . . , λn). Die orthonormalen Spaltenvon Q werden als Hauptachsen der quadratischen Form q(x) =xTAx bezeichnet.

Bemerkung

Die Hauptachsentransformation transformiert die kanonischen Ein-heitsvektoren e1, . . . , en auf die Hauptachsen der quadratischenForm.

Bemerkung

Bis auf Reihenfolge und Orientierung sind die Hauptachsen einerquadratischen Form eindeutig bestimmt.


Quadrik

Definition

Seien A ∈ Rn×n eine reelle symmetrische Matrix, b ∈ Rn einreeller Vektor und c ∈ R eine reelle Zahl. Dann wird{

x ∈ Rn : q(x) = xTAx + bT x + c = 0}

als Quadrik im Rn bezeichnet.

Die Normalformen der Kegelschnitte lassen sich als Quadriken imR2 auffassen. Für die Ellipse

x2

a2 +y2

b2 = 1

gilt

(x y

) 1a2 0

01b2

(xy

)+(0 0

)(xy

)+ (−1) = 0.


Transformation einer Quadrik auf Normalform I

1. Hauptachsentransformation• Bestimme eine orthogonale Matrix Q mit

QTAQ = D = diag(λ1, . . . , λn).

• Setze Substitution x = Qy in die Quadrik q ein. Es entstehtdie neue Quadrik

q(y) = q(Qy) = yTDy + dT y + c = 0mit

d = QTb oder dT = bTQ.

Im Folgenden seien die Eigenwerte von A stets so nummeriert,dass λ1, . . . , λr von 0 verschieden sind und λr+1 = · · · = λn = 0gilt. Dann hat q die ausführliche Form

q(y) =r∑

i=1

λiy2i +

n∑i=1

diyi + c


Transformation einer Quadrik auf Normalform II

2. Quadratische Ergänzung• neue Variablen z1, . . . , zn gemäß

zj =

yj , falls λj = 0,

yj +dj2λj

, falls λj 6= 0,j = 1, . . . , n,

festlegen.• Einsetzen in Quadrik q liefert

r∑i=1

λiz2i +

n∑i=r+1

dizi + e = 0, e = c −r∑

i=1

d2i

4λi


Transformation einer Quadrik auf Normalform III

3. Behandlung des Absolutterms• Ist einer der Koeffizienten dr+1, . . . , dn von 0 verschieden,sagen wir ds , dann führt die Substitution

ws = zs +e

ds, wj = zj , j 6= s

auf die Formr∑

i=1

λiw2i +

n∑i=r+1

diwi = 0

• Gilt dr+1 = · · · = dn = 0, dann verbleibtr∑

i=1

λiz2i + e = 0

Bemerkung

Die Transformation einer Quadrik auf Normalform entspricht eineraffinen Koordinatentransformation von x auf z bzw w .G. Matthies Grundlagen Mathematik 94/97

Quadriken im R2: Normalformen I

beide Eigenwerte λ1, λ2 von A sind von 0 verschieden:

λ1, λ2 haben gleiches Vorzeichen• Ellipse mit den Halbachsen a und b

x2

a2 +y2

b2 − 1 = 0

• leere Mengex2

a2 +y2

b2 + 1 = 0

• Punkt (0, 0)x2 + a2y2 = 0


Quadriken im R2: Normalformen II

beide Eigenwerte λ1, λ2 von A sind von 0 verschieden:

λ1, λ2 haben unterschiedliches Vorzeichen• Hyperbel

x2

a2 −y2

b2 − 1 = 0

• Geradenpaar y = ±x

ax2 − a2y2 = 0


Quadriken im R2: Normalformen III

ein Eigenwert von A ist ungleich 0, der andere ist 0• Parabel

x2 − 2py = 0, p 6= 0,• Paar paralleler Geraden x = ±a

x2 − a2 = 0, a 6= 0,• leere Menge

x2 + a2 = 0, a 6= 0,• Gerade x = 0

x2 = 0


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Grundlagen Mathematik - 7. Lineare Algebra - TU Dresdenmatthies/Material/WiSe15/Kapitel7.pdf · Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische