Guía para el docente - guiasdocentes.az.com.arguiasdocentes.az.com.ar/descargas/Matematica1-SB-guiaD.pdf · los egipcios y mayas. Esta Guía docente intenta ser un aporte para las

SERIE BLANCA

ESB 1.ER AÑO

Guía para el docenteMatemática| Introducción al pensamiento lógico y creativo |

Irene Marchetti de De Simone

Margarita García de Turner

SERIE BLANCA

Guía para el docenteMatemática 1

00-M1-tapa-guia docente.indd 1 10/05/18 10:40


| Introducción al pensamiento lógico y creativo |

Esta obra ha sido creada en el Departamento de Ediciones de A-Z editora S.A.

Director Editorial: Diego BarrosJefa de Edición: Norma A. Sosa PereyraEdición: Soledad A. GillioDiseño de tapa e interiores: Equipo A-ZDiagramación: Equipo A-Z

La reproducción total o parcial de este libro –en forma textual o modificada, por fotocopiado,medios informáticos o cualquier otro procedimiento– sin el permiso previo por escrito de la editorial,viola derechos reservados, es ilegal y constituye delito.

Turner, Margarita Guía para el docente Matemática 1 / Margarita Turner ; Irene De Simone. - 1a ed. - Ciudad Autónoma de Buenos Aires : AZ, 2017. 36 p. ; 28 x 21 cm.

ISBN 978-987-35-0369-6

1. Guía del Docente. 2. Matemática. I. De Simone, Irene II. Título CDD 371.1

© A-Z editora S. A.Montenegro 1335 (C1427ANA)Ciudad Autónoma de Buenos Aires, ArgentinaTeléfono: (011) [email protected]

AZ.com.ar

Libro de edición argentinaHecho el depósito según la Ley 11.723Derechos reservados

01-36-M1-guia docente.indd 2 02/08/17 12:25

3Matemática 1 - Guía para el docente

¿Cómo es el libro Matemática 1? 4

Planificación anual 6

Respuestas de actividades y pasatiempos matemáticos 8

Guía para el docente Matemática 1

Índice


4 Matemática 1 - Guía para el docente

¿Cómo es el libroMatemática 1?

Desde los números naturales a los racionales,

pasando por la estadística y la probabilidad,

el libro Matemática 1 aborda todo el programa

de Matemática para alumnos de 1.er año (ESB).

Los contenidos, desarrollados a lo largo de las

nueve unidades, siguen las normativas didácticas

del área, por medio de actividades, enunciados,

tablas, gráficos, autoevaluación y desafíos

matemáticos.

Además, en algunas páginas se incluyen –sobre

el margen lateral– datos extra relacionados

con el tema estudiado, que complementan

el aprendizaje y lo hace más ameno para el

estudiante...

Por ejemplo, cuando se trabaja con los sistemas

de numeración, se proporciona información

sobre los sistemas de numeración que utilizaban

los egipcios y mayas.

Esta Guía docente intenta ser un aporte

para las tareas de planificación anual y evaluación

así como una ayuda en la resolución de tareas

diarias, a través de las respuestas de las

actividades por unidad y de los pasatiempos

matemáticos.

Enunciados teóricos

Datos complementarios



Al final del libro están:

Las Respuestas que contienen

las soluciones de las Prácticas de cierre

y de la Autoevaluación.

La Autoevaluación: para que los alumnos evalúen

su propio aprendizaje marcando la opción correcta.

Los Pasatiempos matemáticos: actividades

para poner en práctica lo aprendido en la unidad

de una forma muy didáctica. Las soluciones

se encuentran al final de esta guía.

En las páginas finales de cada unidad encontrarán:

La Práctica de cierre: actividades

integradoras con los contenidos

estudiados en cada unidad.



PLANIFICACIÓN ANUAL MATEMÁTICA 1.ER AÑO (ESB)

MES UNIDAD CONTENIDOS RECURSOS

MA

RZO Unidad 1

Números naturales

- Potenciación- Radicación - Sistemas de numeración

Operaciones con números naturales.Reconocimiento de diferentes sistemas de numeración.

AB

RIL

Unidad 2 Divisibilidad.Lenguaje algebraico

- Múltiplos y divisores- Criterios de divisibilidad- Números primos y compuestos- Cálculo del mcm y del mcd

Búsqueda de regularidades en los números.Actividades para traducir a lenguaje simbólico.

MA

YO Unidad 3

Rectas. Ángulos. Figuras planas

- Rectas- Semirrecta. Segmento- Mediatriz de un segmento - Ángulos centrales. Arcos. Cuerdas- Triángulos. Propiedades- Polígonos regulares

Análisis de posiciones relativas de rectas.Actividades para calcular medidas de ángulos.Reconocimiento de figuras planas y sus propiedades.Construcciones.

JUN

IO

Unidad 4Números racionales.Fracciones

- Fracciones equivalentes- Simplificación de fracciones- Operaciones con fracciones- Potenciación y radicación

Interpretación del concepto de fracción en diversas situaciones.Operaciones con fracciones.Interpretación de las operaciones con fracciones.

JULI

O

Unidad 5 Números racionales.Decimales

- Expresiones decimales- Aproximación por redondeo - Porcentaje

Estimación de resultados.Uso de la calculadora para investigar.Operaciones con números decimales.Cálculo de porcentajes.



MES UNIDAD CONTENIDOS RECURSOS

AG

OS

TO Unidad 6Perímetros y áreas

- Sistema métrico decimal- Unidad de medida- Perímetro de un polígono - Áreas de polígonos - Circunferencia y círculo

Actividades para afianzar los conceptos de perímetro y área.Utilización correcta del sistema métrico decimal.Cálculo de perímetros y áreas de polígonos y figuras circulares.Cálculo de áreas de figuras compuestas por otras de área conocida.Anticipación de variaciones en el perímetros y el área de una figura.

SEP

TIEM

BR

E

Unidad 7Representaciones gráficas.Proporcionalidad

- Coordenadas en el plano. - Representaciones gráficas. Funciones - Función de proporcionalidad directa - Escala - Función de proporcionalidad inversa

Lectura e interpretación de la información representada en gráficos y tablas.Construcción de gráficos.Identificación y análisis de situaciones de variación proporcional.

OC

TUB

RE Unidad 8

Cuerpos geométricos.Área y volumen

- Relación de Euler- Áreas laterales y totales. - Esfera- Sistema métrico decimal- Volumen de cuerpos geométricos- Volumen y capacidad

Análisis de las propiedades de los cuerpos geométricos.Representación de los cuerpos geométricos anticipando posibles desarrollos.Diferenciación entre longitud, área y volumen.Medición de volúmenes utilizando distintas estrategias. Desarrollo de la imaginación espacial.

NO

VIE

MB

RE

Unidad 9Estadística y probabilidad

- Población y muestra- Media, mediana y moda- Experimento aleatorio. Sucesos - Probabilidad

Construcción de tablas estadísticas que resumen la información necesaria para elaborar hipótesis.Actividades para determinar el tipo de gráfico que más se adecue a las características de los datos que interesa graficar.Actividades para trabajar con poblaciones y muestras.Establecimiento de medidas de tendencia central: moda, media, aritmética y mediana.Actividades para ponderar la probabilidad de un suceso.Establecimiento de relaciones entre la estadística y la evaluación de probabilidades.



1 Números naturales

Actividad 1

179

90 89

46 44 45

21 25 19 26

8 13 12 7 19

2 6 7 5 2 17

Actividad 2

a) 13; 17. El número indica la cantidad de triángulos y el

cuadrado pequeño que quedaron determinados.

b) 37

Actividad 3

( (12 + 10) . 3)11 ) . 7 = 42 Edad del papá

Resuelve

1 a) 8 b) 3 c) 3 d) 32 e) 9 f) 69

Actividad 4

64 partes.

Resuelve

2

a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

a3 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1.000

3 36 36

25 25

64 64

4 4

25 13

64 96

216 72

27 189

4 a) El cuadrado de un producto es igual al producto de

sus cuadrados.

b) El cuadrado de un cociente es igual al cociente de sus

cuadrados.

c) El cuadrado de una suma no es igual, en general, a la

suma de los cuadrados.

5 a) 300 b) 200 c) 141 d) 11 e) 1.171 f) 506

6 76 95 216

7 49 107 1210 99

231 69 521 168

8 5 · 5 · 5 5

= 25

6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 6 · 6 · 6 · 6 · 6

= 62

10 · 10 · 10 · 1010 · 10 · 10 · 10

= 1

9 33 99 103 50

77 113 41 1001

10 55. 55. 55. 55 = 520

34.34 = 38 69. 69 = 618

11 218 24 26 725 80 110

12 23 54

311 415: 414 = 4

(65)2 = 610 (92)2 = 94

47 46

43 112

13

Potencia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cifra de las unidades 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9

• Las potencias de exponente par terminan en 9 o en 1.

• 312 termina en 1. Es el exponente par siguiente a 10.

• Si se escriben las potencias hasta grado 16 se ve que las

potencias cuyo exponente es múltiplo de 4 terminan en 1.

Respuestas de actividades y pasatiempos matemáticos



3 36 36

25 25

64 64

4 4

25 13

64 96

216 72

27 189

4 a) El cuadrado de un producto es igual al producto de

sus cuadrados.

b) El cuadrado de un cociente es igual al cociente de sus

cuadrados.

c) El cuadrado de una suma no es igual, en general, a la

suma de los cuadrados.

5 a) 300 b) 200 c) 141 d) 11 e) 1.171 f) 506

6 76 95 216

7 49 107 1210 99

231 69 521 168

8 5 · 5 · 5 5

= 25

6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 6 · 6 · 6 · 6 · 6

= 62

10 · 10 · 10 · 1010 · 10 · 10 · 10

= 1

9 33 99 103 50

77 113 41 1001

10 55. 55. 55. 55 = 520

34.34 = 38 69. 69 = 618

11 218 24 26 725 80 110

12 23 54

311 415: 414 = 4

(65)2 = 610 (92)2 = 94

47 46

43 112

13

Potencia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cifra de las unidades 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9

• Las potencias de exponente par terminan en 9 o en 1.

• 312 termina en 1. Es el exponente par siguiente a 10.

• Si se escriben las potencias hasta grado 16 se ve que las

potencias cuyo exponente es múltiplo de 4 terminan en 1.

Actividad 5

Resuelve

14 6 3 1 2 9

10 1 4 5 2

15

a b + a + b

0 1 0 1 1 1 1

4 0 2 0 2 4 2

9 4 3 2 5 13 √13

1 9 1 3 4 10 √10

4 1 2 1 3 5 √5

La radicación no es distributiva respecto a la suma, excepto

si uno de los factores es 0.

16 √9 + 16 ≠ √9 + √16 √64 ≠ √100 – √36

√36 = √9 . √4 3√64 : 8 = 3√64 : 3√8

17 c = 6

18

a) Correcto 10 + 6 – 2 = 14 error 8 + 6 + 6 – 2 = 18

b) Correcto 35 + 2 – 4 = 33 error 45 : 5 – 4 = 9 – 4 = 5

c) Correcto 12 – 10 : 2 = 12 – 5 = 7

d) Correcto 30 – 3 – 10 = 17 error 30 – 30 = 0

19 a) a = 16 b) a = 14 c) a = 64 d) a = 4

Actividad 6 Sistema de numeración romano.

• Romano.

1 5 10 50 100 500 1.000

• I II III IV V VI VII VIII IX X

X XX XXX XL L LX LXX LXXX XC C

C CC CCC CD D DC DCC DCCC CM M

• El símbolo I colocado a la derecha de otro de igual o

mayor valor le suma este valor. Solo puede repetirse hasta

tres veces. Mientras que, colocado a la izquierda de los dos

símbolos que le siguen en valor (V, X) restan ese valor. Solo

puede colocarse una vez.

• X y C

• Se utilizan para escribir fechas históricas importantes, en

relojes, para indicar capítulos en los libros, etcétera.

Actividad 7

Sistema de numeración decimal.

• Se agrupan en unidades de 10 en 10.

•3 4 2 3

••••••••••

••••••••••

••••••••••

••••

••••••••••

••••••••••

•••

• 3 decenas (30 unidades) 3 unidades

• 6.204

Sistema de numeración binario.

Se agrupan en unidades de 2 en 2.

• •• •

• •• •

•9 = 1.0012

1 0 0 1

• •• •

• •• •

• •• • 12 = 1.1002

1 1 0 0

• 7 = 1 . 22 + 1 . 2 + 1. 20

• 12 = 1 . 23 + 1 . 22 + 0 . 21 + 0 . 20

Resuelve

20 XXV XXX XXXV XL XLV L LV

XXVII XXXIII XXXIX XLV LI LVII LXIII

21

Decimal 2.124 704 956 3.010 1.090

Romano MMCXXIV DCCIV CMLVI MMMX MXC

22 471 6.034

82.000 508.090

23 25.315 = 2 . 104 + 5 . 103 + 3 . 102 + 1 . 10 + 5

132.032 = 1 . 105 + 3 . 104 + 2 . 103 + 0 . 102 + 3 . 10 + 2

12.004 = 1 . 104 + 2. 103 + 0 . 102 + 0. 10 + 4

400.612 = 4 . 105 + 0 . 104 + 0 . 103 + 6 . 102 + 1 . 10 + 2

24 2.356 5.042

90.510 47.803

25 a) 124 b) 204 c) 234 d) 1024



Pasatiempos matemáticos ◆ 1; ● 2; ■ 4; ✿ 6; ✱ 7

5 2 4× 7 2

1 0 4 83 6 6 8

3 7 7 2 8

Hay 90 números capicúas de 4 cifras.

Si ABBA es un número capicúa de 4 cifras,

A puede ser cualquier dígito del 1 al 9 y por cada uno de

esos 9 valores que puede tomar A el dígito siguiente B

puede tomar 10 valores, del 0 al 9.

El símbolo que ocupa el lugar 43 es **. El que ocupa el lugar

1.977 es : y el que ocupa el lugar 1.000 es \\ +6 +6 +6 +6 +6 +6 +6

1 7 13 19 25 31 37 43; el símbolo que ocupa el

lugar 43 es el mismo que el que ocupa el primer lugar.

1.997 = 6 . 332 + 5; el símbolo que ocupa el lugar 1.997 es el

mismo que el que ocupa el quinto lugar.

1.000 = 6 . 166 + 4; el símbolo que ocupa el lugar 1.000 es el

mismo que el que ocupa el cuarto lugar.

El reloj da 156 campanadas en un día completo.

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12) . 2 = 156

2 Divisibilidad.Lenguaje simbólicoActividad 1a) Bianca: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40.

Sol: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50.

b) $ 20 y $ 40.

c) $ 20. Bianca: 5. Sol: 4.

Actividad 2a) 2 rosas blancas y 3 rojas; 4 blancas y 6 rojas; 6 blancas y

9 rojas.

b) • 6 floreros. • 2 rosas blancas y 3 rojas.

Resuelve

1 a) 0; 4; 8; 12; 16; 20; 24

b) 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54.

c) mcm (4; 6) = 12

2 mcm (10; 5) = 10 mcm (14; 21) = 42

mcm (8; 18) = 72

3 a) 1; 2; 4; 7; 14; 28

b) 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36

c) 4

4 2; 3; 5; 7; 11

Actividad 3a) 24 306 554 78 422

b) 175 432 84 378 111

c) 625 140 115 885 1.230

d) 180 1.730 1.200 15.000 10.040

• Un número es divisible por 2 si y solo si termina en 0 o en

número par.

• Un número es divisible por 3 si y solo la suma de sus cifras

es múltiplo de 3.

• Un número es divisible por 5 si y solo si termina en 0 o en

5.

• Un número es divisible por 10 si y solo si termina en 0.

Resuelve

5 “Es divisor de”

Número 46 128 135 180 648 330

2 x x x x x

3 x x x x

4 x x x

5 x x x

6 x x x

9 x x x

10 x x

11 x



6 0 es múltiplo de todos los números naturales.

1 es divisor de todos los números naturales.

0 es divisible por todos los números naturales, excepto por 0.

Los números naturales que al dividirlos por 2 dan resto 0 son

números pares.

Los números naturales que al dividirlos por 2 dan resto 1 son

números impares.

7 a) 30; 45; 60, ….. existen infinitos números que

tienen como divisor a 15.

b) 115; 138; 161; 184; 207

8 Si n es un número natural, 2n es par.

Si n es un número natural, 2n + 1 es impar.

La suma de dos números pares es par.

La suma de dos números impares es par.

La suma de un número par y otro impar es impar.

Actividad 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43

44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65

66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76

77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87

88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98

99 100

Resuelve

9 • los números no suprimidos ni tachados son números

primos.

• los números tachados son números compuestos.

10 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53;

59; 61; 67; 73; 79; 83; 89; 97

11 30 = 2 . 3 . 5 42 = 2 . 3 . 7

70 = 2 . 5 . 7 64 = 24

12 Divisores de 30: 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30

Divisores de 42: 1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42

Divisores de 70: 1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70

Divisores de 64: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64

13 220 = 22 . 5 . 11 378 = 2 . 32 . 7

342 = 19 . 2 . 32 460 = 22 . 5 . 23

14

2 5

10

3

90

3

9

3 5

15

33

11

990

2

3

66

15 700 15

385 10

120 1

16 20 cm

17 83 botellas; 3 litros.

18 5 de febrero.

Actividad 5

1 2 3 4 5 n n + 1

El siguiente de 2 3 4 5 6 n + 1 n + 2

El anterior de 0 1 2 3 4 n – 1 n

El doble de 2 4 6 8 10 2n 2 (n + 1)

El cuadrado de 1 4 9 16 25 n2 (n + 1)2

El cubo de 1 8 27 64 125 n3 (n + 1)3

El triple de 3 6 9 12 15 3n 3 (n + 1)

Actividad 6a) III x = edad (años)

b) IV x = peso (kg)

c) II x = cantidad ($)

d) I x = número

e) V x = distancia (km)



Actividad 737 años

p: edad del papá de Maxi

p + 16 = 53

p = 37

Actividad 8• 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

• 6; 7; 8; 9, ……….

• 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8

• 6; 7; 8; 9 ……....

• 0; 1; 2; 3; 4

• 7; 8; 9, ………….

Resuelve

19 a) x = 10

b) No existe número natural que lo verifique.

c) No existe número natural que lo verifique.

d) x = 6

20 a) x = 1 b) x = 3

c) x = 0 d) x = 198

e) x = 284 f) x = 49

g) x = 18 h) x = 5

i) x = 1 j) x = 9

21 6.885

22 Camila: 18 años; Sofía: 9 años.

23

1981 2004 2012Año de

nacimiento

Papá Pérez 15 años 38 años 46 años 1966

Mamá Pérez 9 años 32 años 40 años 1972

Hijo mayor 4 años 12 años 2000

Hija 1 año 9 años 2003

Hijo menor 2 años 10 años 2002

24 a) x › 5 : 6; 7; 8; 9; …………

b) x ‹ 5 : 0; 1; 2; 3; 4.

c) x‹ 2 : 0; 1.

d) x ≤ 32 : 0; 1; 2; 3; …………..31; 32.

e) x ≤ 3 : 0; 1; 2; 3.

25 5 + t ‹ 12 t: cantidad de gatos que tienes.

1; 2; 3; 4; 5; 6 (t ‹ 7)

m – 8 › 20 m: cantidad de libros que tengo.

29; 30; 31; ……….(m › 28)

16 + e ‹ 50 e: mi edad en años.

33; 32; 31; ……..(e ‹ 34)

26 Rosario.

Pasatiempos matemáticos

• • • •• • • •• • • •• • • •• • • •

2 2 2 2 2 2

5 5 5 5 5 5

7 7 7 7 7 72 + 5 + 7 + 2 + 5 + 5 + 7 = 33

Ana tiene 20 años y su abuela 62 años.

A: edad actual de Ana.

A – 4: edad de Ana hace 4 años.

A + A – 4 = 36

2 A = 40

A = 20

E: edad de la abuela.

E – 2 es múltiplo de 3, 4, 5 y 6 y el menor múltiplo común de

estos cuatro números es 60.

E – 2 = 60

E = 62

Laberinto

428 64 169 81 210 6

155 202 987 1.296 114 105

300 170 766 348 289 80

42 853 102 426 297 216

16 4.200 498 517 21 44

625 450 75 74 606 204

entrada



3 Rectas. Ángulos. Figuras planas

Actividad 1

A

D

E

B

C

O

1

2

3

4

5

6

7

8

9

• Tres. Solo una.

• Nueve.

• La dirección.

• Paralelas.

• Se cortan en el punto O.

• Secantes.

Actividad 2

• y son semirrectas.

es un segmento.

Las semirrectas y tienen igual dirección y tienen

distinto sentido.

y son semirrectas.

y son segmentos.

Las semirrectas y tienen distinta dirección.

•

Los puntos de intersección de los arcos determinan una

recta llamada mediatriz.

Los puntos de la mediatriz de un segmento equidistan de

los extremos del segmento.

Todos los puntos que equidistan de los extremos de un

segmento pertenecen a la mediatriz del segmento.

Resuelve

1 a) c // e b)

b

d

F

I

G

H

M

ea

c

c) a y d; a y c; a y b; a y e; e y d; e y b; c y b; c y d

e a; c a.

d) y ; y

e) y

2 y ; y

y ; y

y ; y

3 Construcción.

4 Sí, porque O equidista de A, de B y de C.

= porque O pertenece a la mediatriz de

OB = porque O pertenece a la mediatriz de , = =

son radios de la circunferencia de centro O.

Actividad 3• Disminuye su amplitud hasta llegar a cero.

• Cuatro.

Convexo.

Cóncavo.

• Perpendiculares.

Ángulos rectos.

Actividad 41. y son ángulos complementarios.

Dos ángulos y son complementarios si la suma de sus

medidas es 90º.

2. y son ángulos suplementarios.

Dos ángulos y son suplementarios si la suma de sus

medidas es 180º.

3. y son ángulos opuestos por el vértice.

Dos ángulos y son opuestos por el vértice si los lados de

uno son semirrectas opuestas de los lados del otro.

Propiedad: Los ángulos opuestos por el vértice son

congruentes.



4. y son ángulos adyacentes.

Dos ángulos y son adyacentes si tienen un lado común y

los otros dos lados son semirrectas opuestas.

Propiedad: Los ángulos adyacentes son suplementarios.

Actividad 5Paso 1: Se dibuja con compás un arco con centro en el

vértice del ángulo.

Paso 2: Con una medida mayor que la mitad de y con

centro en B se dibuja un arco.

Paso 3: Ídem paso 2 pero con centro en C.

Paso 4: Se traza la semirrecta de origen O que pasa por el

punto de intersección de los arcos.

La semirrecta es la bisectriz del ángulo.

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta interior al ángulo,

con origen en el vértice del mismo, que lo divide en dos

ángulos congruentes.

Los puntos de la bisectriz de un ángulo equidistan de los

lados del mismo.

Todos los puntos que equidistan de los lados de un ángulo

pertenecen a la bisectriz del ángulo.

Resuelve

5 x = 80º x = 55º x = 30º x = 25º

6 a) 90º 10´ b) 35º 20´ 40” c) 64º 50´ d) 290º

7 Construcción.

8 2 + = 180º entonces = 60º = 120º

9 = 35º = 145º

10 es el suplemento de , = 130º entonces = 50º;

complemento de = 40º

11 a) 60º; 120º; 60º b) 90º; 75º c) 61º; 180º

d) 40º; 110º; 40º

12 + = 180º entonces – 30º + = 180º

2 = 210º = 105º = 75º

13 a) 9x = 180º x = 20º = 60º b) 5x = 100º x = 20º

= 60º c) 16x + 2x = 180º x = 10º = 75º

14 + = 180º + 14

= 180º 5 = 4. 180º

= 144º = 36º

15 Construcción.

16 Construcción.

17 a) 35º b) 32º 30´ c) 14º

Actividad 6Es la frontera del círculo.

OA

B

C

Marcó tres puntos A, B y C. Trazó la mediatriz del

segmento y luego la mediatriz del segmento . El

punto de intersección de las mediatrices es el centro de la

circunferencia.

piolín

chincheO

AB

C

• Equidistan de un punto fijo llamado centro.

• Un círculo es la figura formada por los puntos de la

circunferencia y todos sus puntos interiores.

Todo punto de la circunferencia está a una distancia r del

centro y todo punto que está a una distancia r del centro

pertenece a la circunferencia C.

Resuelve

18

O

A

B

C

C: punto interior

B: punto exterior

A: punto de la

circunferencia

19

OR Q

P

2

3

C2

C1

20 C2C1

O1 O2



21 Infinitas soluciones.

2 1 3

22

arcos

cuerdas

23 Sector horas de estudio: 90º

Actividad 7Construcción a cargo del alumno.

• 5 piezas son cuadriláteros.

• Piezas 5 y 4 dan como resultado pieza 3.

• Pieza del tangram

1 rombo

2 triángulo

3 trapecio

4 trapecio

5 paralelogramo

6 trapecio

7 hexágono

8 triángulo

Actividad 8

•

•

•

isósceles

Los ángulos opuestos del rombo son congruentes. Sus

diagonales son perpendiculares y se cortan en el punto

medio.

•

• La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es

igual a 360º.

Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto

medio.

Las diagonales de un rombo son perpendiculares.

Resuelve

24 Un polígono es convexo si todos sus ángulos

interiores son menores que 180º.

Un polígono es cóncavo si alguno de sus ángulos interiores

es mayor que 180º.

25

Figura

Nombre: cuadrado

Paralelogramo que tiene los cuatro

lados iguales y los cuatro ángulos

rectos.

Las diagonales son perpendiculares y

se cortan en su punto medio.

Nombre: trapecio

rectángulo

Cuadrilátero con un solo par de

lados paralelos y dos ángulos

rectos.

Nombre: rombo

Paralelogramo que tiene los cuatro

lados iguales.

Las diagonales son perpendiculares y

se cortan en su punto medio.

26 = 135º

27 90º. Rectángulo. Cuadrado.

28 =130º; = 50º; = 130º

29 = 6 cm; = 23

. 6 cm = 4 cm; una solución es

6 cm, 4 cm, 4 cm

6 cm = 23

; = 9 cm; entonces otra solución es 6 cm,

9 cm, 9 cm.



Actividad 9

• Se pueden formar 9 triángulos, se pierde uno porque hay 3

puntos alineados.

• Se pueden construir cuatro triángulos.

• Se puede construir un triángulo.

• No. Porque en todo triángulo la longitud de cada lado es

menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados.

Resuelve

35 a) Si los puntos están alineados no queda

determinado un triángulo.

b) Todo triángulo equilátero tiene dos lados iguales, por lo

tanto es isósceles.

c) En todo triángulo todos sus ángulos son convexos.

d) Puede ser un triángulo rectángulo que tenga sus dos

catetos iguales.

e) Puede tener un ángulo obtuso y los otros dos ángulos ser

iguales, por lo tanto es un triángulo isósceles.

Actividad 10Construcción a cargo del alumno.

• Un ángulo de 180º.

Resuelve

36 a) = = = 60º b) = 40º

c) = = 45º d) = 120º; = = 30º

37 = 47º = 49º 19’

38 a) = 70º = 120º b) = 50º = 100º = 80º

c) = 30º = 90º = 60º = 90º

Actividad 11•

A

B

C

• Un pentágono.

•

A

C

B

• B mide 72º. La cuerda es el lado .

• Construcción a cargo del alumno.

• Un triángulo equilátero.

• Un hexágono

• Construcción a cargo del alumno.

Los lados son congruentes.

Los ángulos interiores son congruentes.

Los ángulos centrales son congruentes.

• Número

de ladosValor del

ángulo centralValor del ángulo

interior

3 120º 60º

4 90º 90º

5 72º 108º

6 60º 120º

7 51º 25’ 43’’ 128º 34’ 17’’

8 45º 135º

9 40º 140º

10 36º 144º

12 30º 150º

20 18º 162º

30 12º 168º

n 360º/n 180º - 360º/n

Resuelve

39 36.

40 No. El resultado de 360º/70 es un número decimal.

41 • La apotema de un polígono regular es el segmento

que une el centro del polígono con el punto medio de

cualquiera de sus lados.

• Su medida es igual a la mitad de la medida de un lado.

42

Se unen los

puntos dejando

uno de por medio.

Se unen los

puntos dejando

dos de por medio.



43

cuadrilátero 2 triángulos 2 . 180º

pentágono 3 triángulos 3 . 180º

hexágono 4 triángulos 4 . 180º

octógono 6 triángulos 6 . 180º

polígono de n lados

(n – 2) triángulos (n – 2) . 180º

44 a)

= = = 135º

= = 67º 30’

b)

Actividad 12• Hexágonos, triángulos, cuadrados.

• Se ha repetido la misma figura haciendo coincidir lados y

vértices sin superponerlos ni dejando espacios vacíos entre

ellos.

• Al querer unir los polígonos han quedado vacíos.

•Hexágono Triángulo

equilátero Cuadrado Pentágono Octógono

Ángulo interior 120º 60º 90º 108º 135º

• La suma de los ángulos en un vértice común debe ser igual

a 360º.

• Debe ser divisor de 360º.

• Triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares.• Por ejemplo:

triángulos

equiláteros y

hexágonos

regulares.

• Que la suma de los ángulos interiores que concurren en un

vértice sea 360º.

Resuelve

45 Construcción libre.

46 Fig.1 Se trazaron paralelas a dos lados opuestos del

cuadrado dividiéndolo en 5 partes iguales. Se trazaron las

diagonales.

Fig. 2 Se sombrearon 2 trapecios.

Fig.3 Se cortó el trapecio sombreado y se lo reubicó.

• Porque solo se han cambiado de lugar las regiones

recortadas del cuadrado.

• 135º y 90º.

47 Sí, por ejemplo si son hexágonos regulares y

triángulos equiláteros.

Otra forma es la presentada en la actividad.

48 Se necesitan 12 cuadrados enteros y 8 cortados por

la mitad.

49 Es una guarda formada por cuadrados, triángulos

equiláteros y hexágonos, todos ellos con la misma longitud

de lado.

Primera hilera: todos cuadrados.

Segunda hilera: hexágonos y triángulos.

Tercera hilera: todos cuadrados, y así sucesivamente.



Pasatiempos matemáticos 40 rectángulos.

Una estrategia para el conteo puede ser asignar un número

como se indica en la figura y considerar los rectángulos de a

dos (1 y 2, por ejemplo), de a tres (por ejemplo, 1, 4 y 7), de a

cuatro, etcétera.

• • •

• • •

• • •

S A P B T A M S E T E

E D F S O I D A R A R

L B I M R T E P H T O

E Z P A F R E O O S T

C Q U E G O R T N E C

S U U O B O P E O A E

O C A L C A N M G T S

S F C U E R D A I M H

I E D O R S A M L P A

T R I A N G U L O S F

O N O G A T N E P T P

4 Números racionales. FraccionesActividad 1

• 4

• 112

• 14

• 1248

= 14

• 248

• 3648

• 900

Actividad 2

Actividad 3• 10

• 35

• 25

Actividad 4•

• Alto: 2 15

Actividad 5

812

46

23



Resuelve

1 14

; 12

; 13

; 12

; 110

; 14

2 14

; 45

; 14

; 12

3 Para obtener la octava parte de un segmento

utilizando una regla no graduada y un compás se lo divide

sucesivamente mediante el trazado de mediatrices. Así se

obtiene primero la mitad, luego la mitad de la mitad, es decir

un cuarto y por último la mitad de un cuarto que es una

octava parte del segmento.

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

15

32

154

112

14

3 12

8

5 A = 53

; B = 16

; C = 42

; D = 23

16

; 23

; 53

; 42

6 Existen infinitas fracciones equivalentes a una fracción

dada. Las siguientes fracciones son solo algunos ejemplos:

25

= 410

= 1640

27

= 621

= 1035

72

= 288

= 7020

1510

= 32

= 96

93

= 4515

= 6321

04

= 0100

= 030

93

= 3 04

= 0

7 a) 157

b) 212

c) 310

d) 111

8 a) 74

› 98

b) 12

‹ 23

c) 75

› 43

d) 54

‹ 32

9 Algunos ejemplos: a) 1110

; 54

; 43

b) 94

; 73

; 198

c) 43

; 118

; 1712

d) 49

; 12

; 59

10 Belén.

Actividad 6

• 15

+ 310

= 510

= 12

315

• 23

– 15

= 715

Actividad 7

El cuadrado de la figura está dividido en 28 partes iguales.

La superficie de los rectángulos sombreados representa 1528

de la superficie del cuadrado.

Área sombreada = 57

. 34

a) 328

b) 414

c) 628

d) 528

Actividad 8

a) División 52

: 14

b) Multiplicación 52

. 4 (para obtener 1litro debe comprar

4 latas; para obtener 52

litros debe comprar 52

. 4 latas)

52

: 14

= 10 52

. 4 = 10

52

: 14

= 52

. 4 = 52

. 41

= 10

Actividad 9• 200 km

• 80 km

• 100 km

Punto de partida Ruinas

AguaTierra A pie20 km

Resuelve

11 a) 5930

b) 113

c) 23

d) 52

e) 59

f) 652

g) 320

h) 14

47

37

34

14

57

27

14

12



12 a) 1112

b) 710

c) 47

d) 203

13 710

14 $ 6.000

15 a) Rosario b) 3340

16 12

17 a) 120 b) 16

18 Blanco: 910

. Negro: 110

.

19 a) 35

b) 15

20 1625

1681

1100.000

127

2 2 5 2

21 a) 254

174

425

825

94

94

136

136

b) Los cálculos hechos en la tercera y cuarta fila.

22 a) 6 b) 2.04810.125

c) 869

d) 1

23 43

24 a) ( 12 )3 b) ( 23 )10

c) ( 35 )2 d) ( 73 )2

e) ( 32 )5

25 a) ( 13 )3 b) 27

26 a) A cargo del alumno.

b) ( 14 )0 1

4 ( 14 )2

( 14 )3 ( 14 )4

c) ( 14 )16

27 a) 45

b) 910

c) 611

d) 32

e) 14

f) 65

28 a) 12

b) 1113

c) 948

d) 6165

29 a) √1

4 : ( 12 + 2

3 ) = 37

b) 23

+ (3√ 827

+ 43 ) : 3 = 4

3

c) √7

4 – ( 12 + 1

4 ) + 12

= 32

d) ( 13 + 3√18

) .√ 125

– 16

= 0

30 23

y 13

Pasatiempos matemáticos 13

; 13

; 23

; 1; 53

; 83

; 133

; 7; 343

; 553

; 893

……

Cada número de la serie se obtiene sumando los dos

anteriores desde el tercero en adelante.

13

+ 13

= 23

13

+ 23

= 1 23

+ 1 = 53

……..343

+ 553

= 893

1 2 3 4 520 19 16 15 621 18 17 14 722 23 12 13 825 24 11 10 9

0 = 4 : 4 – 4 : 4

1 = 4 – 4 + 4 : 4

2 = 4 : 4 + 4 : 4

3 = (4 + 4 + 4) : 4

4 = (4 – 4) : 4 + 4

5 = (4 . 4 + 4) : 4

6 = (4 + 4) : 4 + 4

7 = 444

– 4

8 = 4 + 4+ 4 – 4

9 = 4 + 4 + 4 : 4

El número que falta es 82.

5 Números racionales. DecimalesActividad 1

• Sus denominadores son potencias de 10.

• 0,7 0,05 6,4 0,32 0,048

• Un número decimal.



• 25

74

152

83

378

325

56

3730

211

410

175100

7510

--- 4.6251.000

12100

--- --- ---

• Cuando se puede encontrar una fracción equivalente cuyo

denominador sea 10 o una potencia de 10.

• 83

= 2,666… 56

= 0,8333… 3730

= 1.233… 211

= 0,1818…

Los decimales se repiten.

• No conviene elegir potencias de 10.

Actividad 2

... ... TOTAL ($)

Gaseosas 974,40

Papas fritas 660,00

Salchichas 140,00

Hamburguesas 495,00

Pan para panchos 127,00

Pan para hamburguesas 133,00

Helado 192,00

$ 2.721,40

• Entradas vendidas: 120 · $ 50 = $ 6.000

Diferencia: $ 6.000 – $ 2.721= $ 3.278,60;

don Julián recibió: $ 327 (327,86 redondeado a entero).

• $ 2.951,16

Actividad 3Corrección a cargo del alumno.

Resuelve

1 2,8 2,25 3,65 0,83 0,29 2,3

2 a) 1,48 = 1 + 410

+ 8100

b) 3,01 = 3 + 1100

c) 1,725 = 1 + 710

+ 2100

+ 51.000

d) 2,0004 = 2 + 410.000

3 17

= 0,142857 27

= 0,285714 37

= 0,428571

47

= 0,571428 57

= 0,714285 67

= 0,857142

• Se repiten.

• 87

= 1,142857 97

= 1,285714 167

= 2,285714

• Se obtiene siempre una sucesión recurrente de 6 cifras.

4 10 veces 100 veces 1.000 veces.

5 Número original Operación Resultado

2,8 · 100 280

0,06 · 2.000 120

4,569 – 1.560 3,009

93 : 30 3,1

10,4 : 20 0,52

0,4 : 200 0,002

6 a) 18,3 b) 6,35 c) 0,006 (x . 4 . 35 = 0,84)

d) 100,98 e) 0,8

7 a) 2,352 b) 148,84 c) 0,94 d) 0,219

8 a) 15 b) 25 c) 40

Actividad 4• 0,8 décimas de minuto (0,08 = 0,8 : 10).

• No se puede determinar.

• 8 centésimas de minuto.

• No. Existen infinitos números entre 2,48 y 2,47.

• No. Existen infinitos números entre 2,54 y 2,55.

Resuelve

9

• Falsa. Está considerando solo los décimos.

• Falsa. Está considerando solo los décimos y centésimos.

• Falsa. Está considerando solo los décimos, centésimos y

milésimos.

10

0,172 3,2 1 1825 3

45

3,800195

1,720043250

11 7,009 7,02 7,199 7,2 7,235 7,29

12 a) 410

b) 265100

c) 15.0851.000

13 Por ejemplo:

3,7 3,733,683,66 3,75

3,693,673,65 3,76 3,79

14 a)

0 1 2 3

3,5

435

b)

0 1 2 3 4 5 6 7

7,2

8

72



c)

0 1

1,3

213

15 No tiene en cuenta los centésimos: 5,8 = 5,80

5,23 es menor que 5,80.

0,8 + 0,6 = 1,4

6,6 6,7 6,8 6,9

16 15; 15,6; 15,11

17 Número

Redondeado a

entero décimos centésimos

5,236 5 5,2 5,24

315,706 316 315,7 315,71

0,009 0 0 0,01

Actividad 51) •¿Qué parte de la superficie del rectángulo se ha

sombreado?

• ¿Qué porcentaje de la superficie del rectángulo se ha

sombreado?

• ¿Qué parte de la superficie del rectángulo se ha

sombreado?

• ¿Qué porcentaje de la superficie del rectángulo se ha

sombreado?

• ¿Qué parte del segmento unidad ha sido coloreado?

• ¿Qué porcentaje del segmento unidad ha sido coloreado?

• ¿Cuál es la expresión decimal correspondiente a la parte

coloreada?

2)

Fracción decimal

Fracción irreducible

Expresión decimal

Porcentaje

5510

112 5,5 550%

2510

52 2,5 250%

45100

920 0,45 45%

3) 0,625 = 58

Actividad 6a) 40%

b) 77

c) 30

d) Sí, porque el total de los inscriptos en los tres talleres

supera 110.

Actividad 7• $ 60

• Gonzalo y Felipe: 30%; Matías: 40%.

• Gonzalo y Felipe: $ 720; Matías: $ 960.

Resuelve

18 a) 1,8 b) 2.234,4 c) 0,2 d) 300 e) 5 f) 112

19 Si el 10% de x es 14, entonces x es igual a 140.

Si el 25% de x es 0,30, entonces x es igual a 1,20.

Si el 10% de x es 3,4, entonces x es igual a 32.

20 a) 0,05% b) 16% c) 8% d) 6,4%

21 35

= 3 . 205 . 20

= 60100

22 1.560

23 $ 99,17

24 20%

25 86 + 14100

. 86 = 86 (1 + 14100) = 86 . 1,14

26 35

que representa el 60% de 1 m.

27 Aspirina: 0,4 g; vitamina C: 0,8 g; excipiente: 0,8 g.

28 54%

29 98,3%

Pasatiempos matemáticos En el casillero vacío debe ir el número 8.

Hay una remera de cada color.

La polilla taladró 152 hojas.

Tomo 1: 1 hoja

Tomo 2: 150 hojas

Tomo 3: 1 hoja.



Matías dijo 31 de diciembre.

Sofía y Matías están conversando un día 1.º de enero.

Anteayer, 30 de diciembre, Sofía tenía 12 años. El 31 de

diciembre cumplió 13 años.

En el año en curso cumplirá 14, y en el próximo año cumplirá

15 años.

Última tabla I.

6 Perímetros y áreas

Actividad 1

12 10 8 14 16

• Tienen igual área.

Actividad 2• 24 U1

• El cuadrado de lado U1.

área de la figura = 20

• 48 U2

El cuadrado de lado U2.

área de la figura = 80

• 2 29

Actividad 3

R V A N M

Perímetro 16 16 16 16 16

Área 15 12 16 7 3,75

• Tienen igual perímetro pero distinta área.

• El cuadrado.

Actividad 4R V A N M

Perímetro 30 25 24 40 26

Área 36 36 36 36 36

• Tienen igual área y distinto perímetro.

• El cuadrado.

U1

U2

Resuelve

1 a) 30 U1 b) 15 U2 c) 10 U3

2 18,5

3 5; 20.

4 B y D.

Todas tienen el mismo perímetro.

5 6.400 km; 3 m; 9 km2; 600 cm2

6 a) 12 km b) 0,02350 km

c) 2.560 m d) 800 mm

e) 0,25 dam f) 2,40 dm

g) 12.000 dam2 h) 0,0250 m2

i) 3 hm2 j) 150.000 m2

k) 0,00405 dm2 l) 4.000 mm2

7 100

8 400.000 m2

9 Construcción a cargo del alumno.

10 El perímetro aumentará en 10 cm y el área en 5 . h cm.

11 p = 2 (b + h + 3); A = b (h + 3)

Actividad 5

• El área del rectángulo

es igual al área del

paralelogramo.

b

• Base del paralelogramo igual a la base del rectángulo.

Altura del paralelogramo igual a la altura del rectángulo.

• Área del paralelogramo = b . h

Actividad 6

• Base del triángulo igual a la

base del paralelogramo.

Altura del triángulo igual a la

altura del paralelogramo.

b

h

Área del triángulo = 12

Área del paralelogramo = 12

b . h



Actividad 7

h2

• Tienen igual área.

• Base del paralelogramo = suma de las bases del trapecio

Altura del paralelogramo = 12

altura del trapecio

Área del trapecio = suma de las bases . 12

. h

Actividad 8• La mitad.

• Diagonal mayor del rombo (D) = h

Diagonal menor del rombo (d) = b

• Área del rombo = 12

área del rectángulo = 12

b . h

Área del rombo = 12

D . d

• El área del romboide es igual a la mitad del área del

rectángulo d = b; D = h

• Área del romboide = 12

D . d

Actividad 9

Área del pentágono = 5 . l . a2

Triángulo equilátero

área = 3 . l . a2

Hexágono regular

área = 6 . l . a2

Octógono regular

área = 8 . l . a2

• Área de un polígono regular de n lados = n . l . a2

• El perímetro del polígono regular.

Resuelve

12 p = 24 cm; A = 32 cm2

13 36 cm2

14 12,5 cm2

15 a) 5 cm b) 12 cm2

16 p = 14 cm; A = 9 cm2




20 a) 64,95 cm2 b) 50 cm2

21 a) 14 cm2 b) 294 cm2 c) 24 cm2

Actividad 10• La longitud de la apotema se aproxima a la longitud del

radio.

El perímetro del polígono se aproxima a la longitud de la

circunferencia.

El área del polígono se aproxima al área del círculo.

• se aproxima a…

Área del círculo = longitud de la circunferencia . radio2

Resuelve

22 37,68 cm

23 16

; 3,14 cm

24 7 cm

25 50,24 cm

26 a) 13

; 34

; 19

b) 16,75 cm2; 37,68 cm2; 5,58 cm2

27 37,68 cm2; 9,42 cm2; 12,56 cm2



Pasatiempos matemáticos Los sectores 1, 2, 5, 6 y 7 son los que hay que ennegrecer

para que la superficie negra sea el doble de la blanca.

Otra solución es: 2, 3, 4, 6 y 8.

3

2

1 4

5

6 7 8

La suma de los números que se encuentran en las caras

ocultas es 41.

La suma de los números que se encuentran en las caras

opuestas de un dado es 7.

6 . 7 – 1 = 41

7 Representaciones gráficas. Proporcionalidad

Actividad 1

t

Con

sum

o • ¿Cómo varía el consumo de

electricidad de un edificio de

viviendas habitadas?

t

Altu

ra • Si suelto desde una mesa

hacia el piso una pelota que

rebota, ¿cómo varía su altura

respecto del piso?

t

Dis

tanc

ia • ¿Cómo varía la distancia

que una persona recorrió

para volver del trabajo a su

casa si antes se detuvo a

comprar en el súper?

t

Nº

de la

titas • Durante un día, ¿cómo

varió el número de latitas de

una máquina expendedora

instalada en una escuela?

Actividad 2• Días 2, 8, 12, 24

• Días donde su peso permaneció sin cambios. Días 12 a 15

y 18 a 22

• 3,400 kg

• 3,800 kg

Resuelve

1 x y

A 3 12

B 0 3,5

C 1 2

D 4,2 3

E 2 0

F 1 1

G 0 0



2 a) D = (6; 3) b) (2; 0) o (6; 0) o (4; 0)

3 Personas A B C D E

Número de hermanos

1 0 3 4 3

Los puntos no pueden unirse porque las variables solo

toman valores enteros no negativos.

4

5 a) Partieron a la misma hora y de distintos lugares.

Mayor velocidad: M1

b) M2 partió antes. Distinta velocidad.

c) Sí. Paralela a M2.

6 a) II b) II c) II d) II e) I f) II

Se tiene en cuenta el concepto de directa o inversamente

proporcional.

Actividad 31) 14 h 30 min.

2) 90 minutos.

3) Felipe: 400 m. Matías: 200 m.

4) Saliendo del club.

5) 14 h 10 min.

6) Felipe: 50 minutos. Matías no llegó a caminar 40 minutos.

7) 16 h 30 min.

Resuelve

7 a) Meses y producción. Variable independiente: meses.

Variable dependiente: producción.

b) De septiembre a enero.

c) Junio.

8

Viernes Domingo

¿Cuál fue la distancia total recorrida por Fernando? 20 km 20 km

¿Qué tiempo empleó en recorrerla? 1 h 1

2 h

¿A qué distancia del punto de partida se encontraba al cabo de 20 minutos?

8 km 16 km

¿Cuál fue la mayor distancia que logró recorrer en un intervalo de 10 minutos?

8 km 12 km

9 a) Tiempo y temperatura. Tiempo (variable

independiente).

b) Temperatura (variable dependiente).

c) Días 4 y 5. A partir del décimo día.

d) Entre el quinto y el sexto día y entre el séptimo y octavo

día.

e) Octavo día.

10 a) Gráfico a cargo del alumno.

b) P: $ 70; G: $ 24; L: $ 36

c) $ 30

11 a) Tiempo y distancia.

b) Gráfico y descripción a cargo del alumno.

Actividad 4Cantidad de casas (c) 1 2 3 6 12 c

Cantidad de fósforos ( F) 10 20 30 60 120 F = 10 . c

1. Se necesitará el doble.

2. Se suman.

3. Se obtiene el mismo resultado.

Cantidad de robots (r) 1 2 3 4 6 r

Cantidad de fósforos (F) 15 30 45 60 90 F = 15 . r

1. Si se duplica la cantidad de robots, se duplica la cantidad

de fósforos.

2. Si se suman las cantidades de robots, se suman las

cantidades de fósforos.

3. El resultado de la división de dos cantidades de la primera

columna es igual al que se obtiene dividiendo las cantidades

correspondientes de la segunda columna, en el mismo

orden.

• 8 . 15 = 120, entonces tenían 118 fósforos.



Actividad 5

1) x (cantidad de bolsas) y ($)

a) 2 10

b) 3 15

c) 4 20

d) 8 40

e) 9 45

x y = 5 . x

2) y

x

10

1 2 3 4 8 9

20

30

40

50

La cantidad de bolsas se expresa con un número natural.

1. Se duplica. Se triplica.

2. Se suma.

3) x = 2 es la cuarta parte de x = 8 entonces y = 10 es la

cuarta parte de 40.

a) yx

= 102

b) yx

= 153

c) yx

= 204

d) yx

= 408

e) yx

= 459

La razón siempre es la misma.

Resuelve

12 a) Sí b) Sí c) No d) No e) Sí f) No

13 b) y c)

14 Sí. Sí. No. Sí. k = 4; k = 0,5; k = 0,25

15 a) b = 4 . 4536

= 5 b) 83

c) 15 d) 3

16 a)

c (cantidad de camiones) 5 3 8 c

R (cantidad de ruedas) 40 24 64 R = 8 . c

b)

a (cantidad de alfajores) 2 4 10 a

P (precio en $) 9,80 19,60 49 P = 4,9 . a

17 a) $ 1.400 310

= 420x

b) 13 latitas 568

= 1x

18 El perímetro se duplica (proporcionalidad directa).

El área se cuadruplica (no existe proporcionalidad directa).

19 No.

20 3,14 . π es la constante de proporcionalidad.

Actividad 61) • Mostrando la relación entre una longitud en cm y la

distancia en km que ella representa.

• Distancia en el mapa/distancia real

• a) 300 km; distancia real: 322 km

b) 150 km; distancia real: 108 km

• Federación: 70 km

2) a) 2,40 m x 5 m (1,2 x 2,5)

b) 2,80 m x 4,80 m (1,4 x 2,4)

c) 5,80 m x 1,40 m (2,9 x 0,7)

Resuelve

21 200 km

22 25 cm

23 10,8 cm aproximadamente.

24 d = 2,5 cm d = 1 cm

25 a) 3 b) 1

2

26 0,7 . k = 3,5 entonces k = 5.

27 El de escala 1:100.

28 a) 2,5 cm60 cm

= 1x

E = 1:24

b) 2 cm66 cm

= 1x

E = 1:33

29 a) A cargo del alumno.

b) 30100

= x60

c) x100

= 2460

d) 120%

e) 120 144

30 36

55 66

40 48

25 30



Actividad 7a) 40 veces.

b) 30 veces.

c) 15 veces.

d) 120 veces.

• 7,5 l

Capacidad del recipiente en litros (x) 1 2 3 1,5 x

Cantidad de veces vertido (y) 60 30 20 40

y = 60

x

• y

x

10

1 2 3

20

30

40

60

50

• 1. Se reduce a la mitad. Se reduce a la tercera parte.

2. Se obtienen razones inversas.

Actividad 81) x (km/h) y (h)

a) 150 3,2

b) 60 8

c) 80 6

d) 50 9,6

e) 120 4

x y = 480x

2) A cargo del alumno.

3) a) 3,2 . 150 = 480 b) 8 . 60 = 480 c) 6 . 80 = 480

d) 9,6 . 50 = 480 e) 4 .120 = 480

El producto de un valor de x por el correspondiente valor de

y es constante e igual a 480.

4) a) El segundo de ellos es la mitad del primero.

b) El segundo de ellos es el triple del primero.

Resuelve

30 a) Sí b) Sí c) No d) Sí

31 x 15 30 10 20 40

y 4 2 6 3 1,5

32x

12

1 214

3

y 24 12 6 48 4

• Capacidad y cantidad de recipientes.

• Proporcionalidad inversa.

• k = 12

• 16 recipientes.

33 $ 78

34 96 km/h

35 17 días.

36 No existe proporcionalidad inversa porque

24 · 16 ≠ 22 · 18.

37 $ 32

38 14

m

Pasatiempos matemáticos El padre del hombre de la foto es Marcos.

El hombre de la foto es el hijo de Marcos.

12 – 3 – 4 + 5 – 6 + 7 + 89 = 100

Para que la balanza quede equilibrada hay que agregar

3 bolillas rojas.

2A = 10R

1A = 5R

1V = 8R

entonces 1V = 1A + 3R

La opción que continúa la serie es D.



8 Cuerpos geométricos. Área y volumen

Actividad 1• Un cubo y una pirámide.

• Un cilindro y un cono.

Construcción ...Figuras que forman

el desarrollo

Casa Caras laterales Triángulos.

Base Cuadrado

Caras laterales Cuadrados.

Bases Cuadrados

Árbol Superficie lateral Sector circular

Base Círculo.

Superficie lateral Rectángulo.

Base Círculo.

• Esferas.

• Prismas y pirámides de distintas bases.

• Los prismas son poliedros que tienen dos bases iguales y

sus caras laterales son rectángulos.

Las pirámides son poliedros que tienen una base y sus caras

laterales son triángulos.

Actividad 2• Los alumnos responden de acuerdo a lo que observan.

• Los alumnos responden según lo que observan.

• Los convexos.

• Un poliedro es convexo si todas sus caras pueden

apoyarse sobre una mesa.

• Los que no son convexos.

Actividad 3• caras del poliedro: polígonos que forman la superficie del

poliedro.

aristas del poliedro: lados de esos polígonos.

vértices del poliedro: vértices de los polígonos.

Poliedro V C A V + C – A

8 6 12 8 + 6 – 12 = 2

4 4 6 4 + 4 – 6 = 2

6 8 12 6 + 8 – 12 = 2

9 9 16 9 + 9 – 16 = 2

12 8 18 12 + 8 – 18 = 2

Resuelve

1 A y B.

2 a) 14 cubos.

b) Construcción a cargo del alumno.

c) Altura: 40 cm; dimensiones de las bases: 60 cm × 10 cm;

dimensiones de las caras laterales: 60 cm × 40 cm y 10 cm

× 40 cm.

3 a) b)

c) d)

4

Poliedro regular Caras V C A V + C – A

Tetraedrotriángulos

equiláteros4 4 6 2

Hexaedroo cubo

cuadrados 8 6 12 2

Octaedro triángulosequiláteros 6 8 12 2

Dodecaedro pentágonos regulares 20 12 30 2

Icosaedro triángulosequiláteros 12 20 30 2



Actividad 4• La longitud de la base del rectángulo es igual al perímetro

de la base del prisma.

• Perímetro de la base del prisma . h

• Área lateral del prisma = perímetro de la base . altura

• Las dos bases.

• Área total del prisma = área lateral + 2 . área base

Ap

apotema

• Área de una cara lateral = l . Ap2

Área lateral = 4. l . Ap2

Área total = área lateral + área base

Actividad 5

•

h

r

• El área lateral del cilindro es igual al área de un rectángulo

de base 2π . r y altura h

Área lateral del cilindro = 2π . r . h

Área de la base del cilindro = π . r2

Área total del cilindro = 2π . r . h + 2π . r2

•

r

g

Longitud del arco = 2π.r

Área de sector circular =

longitud del arco . g2

= 2π . r . g2

= π . r . g

Área lateral del cono = π . r . g

Área total del cono = π . r . g + π . r2

Resuelve

5 54 cm2

6 108 cm2

7 150 cm2

8 785 cm2

9 314 cm2

10 640 cm2

11 552,18 cm2

12 222,94 cm2

13 a) Dibujo a cargo del alumno.

b) Área lateral = 40 cm2; área total = 600 cm2

c) 80 cm2 d) 200 cm2 e) 80 cm2 y 200 cm2.

Actividad 6• E

• A

• B y C

• Cuerpo A B C D E

Volumen 2 U 3 U 3 U 4 U 5 U

Resuelve

14 1 m3 = 1.000.000 cm3 8.500 cm3 = 8,500 dm3

5,03 dm3 = 5.030.000 mm3 20.130 mm3 = 20,130 cm3

0,001 dam3 = 1.000 dm3 15.000 dm3 = 15 m3

10 hm3 = 10.000.000 m3 3.000 m3 = 0,003 hm3

15 a) m3 b) cm3

16 Solución a cargo del alumno.

Actividad 7• 30 cubos

• 30 cm3

• Unidad de volumen: 1 cm3

• Volumen del prisma: 30 cm3

• Área de una base del prisma: 10 cm2

• Altura del prisma: 3 cm

Volumen del prisma = 10 cm2 . 3 cm



Actividad 8• El espacio que ocupa la arena en el prisma es igual al

volumen del prisma.

• Los tres cuerpos tienen igual volumen.

Actividad 9• 3 pirámides.

• El volumen del prisma es 3 veces el volumen de la

pirámide.

• Son iguales.

• El volumen del prisma es 3 veces el volumen del cono.

Resuelve

17 315 cm2

18 44 cm3

19 Prismas de aristas 4 cm, 3 cm y 3 cm o 1,5 cm, 4 cm

y 6 cm o 3 cm, 6 cm y 2 cm son algunos de ellos.

20 a) Dibujo a cargo del alumno. b) Bianca: 1.125 cm3;

Sol: 750 cm3 c) Son iguales: 600 cm2.

21 84 cm3

22 648 cm3; 360 cm3

23 923,16 cm3

24 12,5 cm

25 a)

20 cm

22 cm

10 cm

44 cm

b) Volumen del cilindro =

6.908 cm3

Área lateral del cilindro = 1.381,6 cm2

Volumen del cilindro = 15.197,6 cm3

Área lateral del cilindro = 1.381,6 cm2

26

20 cm

15 cm

30 cm

10 cm

Volumen = 1.570 cm3

Área lateral = 566,14 cm2

Volumen = 2.355 cm3

Área lateral = 849,21 cm2

27 5.803,540 cm3

28 a) cl b) ml c) l

29 18 l 0,523 l 99 l

22 dm3 4.800 dm3 0,083 dm3

30 1 l

31 36 jarros.

Pasatiempos matemáticos Tomando cada cubo como unidad de volumen hay 36 cubos

de volumen igual a 1 y 10 cubos de volumen igual a 10.

8 . 8 . (8 + 8 + 8 : 8) – 88 = 1.000

Para numerar las 300 páginas de un libro se utilizan

61 dígitos 3.

A C G E N E R A T R I Z

U A U B V C O W D X E T

O R Y B F N P R I S M A

R A G Z O R D N I L I C

D S R C H R E A Z S E F

E E Q I U Q D E T U M A

A S P O S I I N E I R A

R F E N I T M K O L S M

T E I C O S A E D R O J

E R M A V E R T I C E B

T A O R D E I L O P S Y

Y A M E T O P A L E U Q

tetraedro - caras - esfera - pirámide - generatriz - prisma

cilindro - icosaedro - vértice - poliedro - apotema - cubo

arista - cono



9 Estadísticay probabilidad

Actividad 1

Análisis e interpretación de gráficos a cargo del alumno.

Actividad 2

1) A cargo del alumno.

2) El número de habitantes menores de 15 años.

3) Personas que puedan dar datos fidedignos.

4) Todos los que vivan en el edificio.

5) No es conveniente aunque todos tuviesen teléfono.

Resuelve

1 a) Preferencias periodísticas.

b) Pobladores de la ciudad.

c) Personas que sepan leer.

d) No conviene.

e) Eligiendo puestos de venta en lugares muy diferentes.

2 a) Población. b) Muestra. c) Muestra.

a) Muestra. b) Muestra. c) Población.

3 a) Servicio de internet por celular.

b) Sí.

c) y d) A cargo del alumno.

Actividad 3Solución a cargo del alumno.

Resuelve

4 Solución a cargo del alumno.

5 a) 490 medallas.

b) Tiene menos medallas de oro. (Están ordenados por la

cantidad de medallas de oro.) Alemania, Corea del sur.

6 a) 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3

4 5 5 6

b) Cantidad de hijos 1 2 3 4 5 6

Frecuencia 6 9 6 1 2 1

c) hijos únicos: 5; ángulo del sector: 72º

2 hijos: 10; ángulo del sector: 144º

otros: 10; ángulo del sector: 144º

7 a) Pictograma a cargo del alumno.

b) 15 personas cumplen años ese mes.

c) Agosto y noviembre. Julio.

d) Primer semestre: 39 personas; 46,4%; ángulo: 167º.

Segundo semestre: 45 personas; 53,6%; ángulo: 193º.

8 a) 840 b) 120 c) Fútbol, natación d) 180

e) varones: 500 59,2%; mujeres: 340 40,5%.

Proporcionalidad directa.

9 Respuesta abierta.

Actividad 41) 146

2) 154

3) 150 = (154 + 146)/2

4) 146 146 147 147 147 148 152 152 152 152 154

5) Estatura Frecuencia

146 2

147 3

148 1 • 152

152 4

154 1

6) 149,36

7) y 8) A cargo del alumno.

Resuelve

10 a)

T (min.) f

f

t

1

105 15 20 30

2

3

4

5 3

7 2

8 2

10 2

12 2

15 4

20 3

30 2

b) 12 5 5 5 7 7 8 8 10 10 12 12 15 15 15 15 20 20 20 30 30

Ver definición.

c) 15 Ver definición.



11 (8 + 12 + 12 + 6 + x) : 6 = 11

x = 28 es la suma de las edades de 2 personas, podría haber

un adulto 18 + 10 = 28.

12 Por ejemplo: 1 2 5 5 8 10 11

13 Por ejemplo: 4 7 7 8 9 media = mediana = moda = 7

14 • Agustín: 86 puntos en 7 partidos

Martín: 82 puntos en 6 partidos

• A: 12,28 M: 13,6

• A: 12 M: 22

• El primero.

• Opinión del alumno.

15 a = 3

16 Sí.

• Total de empleados: 38; 30 ganan menos de $ 8.500.

• Calculó el promedio.

La información más adecuada: la primera.

17

• Aprox. 143

• 160: la presión más frecuente.

• Durante el fin de semana su presión bajó.

18 1 1 8 8 8 media = 5,2.

19

1 4 6 8 9

Frecuencia 3 3 3 3 3

1 4 6 8 9

Frecuencia 1 3 2 2 3

Actividad 51) a) Dos. No. Sí.

b) Uno. Sí. Sí.

c) Dos. No. Sí.

d) Uno. Sí. Sí.

2) a) 1 2 3 4 5 6

b) (C,C) (C, S) (S, C) (S, S)

c) COPA BASTO ESPADA ORO

d) Verde y azul verde y roja roja y azul

Resuelve

20 a) y c) ver definición.

21 b) c) d) e).

22 a) 123 132 213 231 312 321

b)

1 2 3 4 5 6

Cara (cara; 1) (cara; 2) (cara; 3) (cara; 4) (cara; 5) (cara; 6)

Ceca (ceca; 1) (ceca; 2) (ceca; 3) (ceca; 4) (ceca; 5) (ceca; 6)

c) As de basto, as de copa, as de espada, as de oro, 2 de

basto, 2 de copa, 2 de espada, 2 de oro.

23 a) L V LR LAm LAz

b) VR VAm VAz RAm RAz RV AmR AmAz AmV AzR

AzAm AzV

c) Al espacio muestral de b) se agregan VV RR AmAm AzAz

Actividad 6Sacar un as.

Sacar un número mayor que 1.

Sacar 7.

Sacar un número menor que 7.

• 0; 0%

• 100; 100%

Un suceso que sabemos que nunca puede ocurrir lo

llamamos suceso imposible.

Un suceso que sabemos que va a ocurrir siempre lo

llamamos suceso seguro.

Resuelve

24 a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 b) A: 2, 4, 6, 8 B: 1, 2, 3

C: 5, 6, 7, 8 D: no existe E: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

c) mayor que 3 d) D e) E

25 7 azules, 2 verdes, 1 roja, ninguna blanca.

26 a) 6

b) los casos favorables son que salga 1, 2, 3, 4 o 5

A y C

c) Para B’ los casos favorables son que salga 1, 2, 4 o 5

Para C’ los casos favorables son que salga 4, 5 o 6

27 A cargo del alumno.



Actividad 7Respuesta abierta. Experiencia para realizar en el aula.

Actividad 81) • Ambas tienen la misma posibilidad.

• Ambos tienen la misma posibilidad de ocurrir.

• Ambas tienen la misma posibilidad de ser extraídas.

2) a) Que se repite un valor.

b) Viendo el valor que se repite.

3) En 1) todos los resultados son igualmente posibles.

4) De la primera. En la segunda caja agregar una ficha azul,

en la tercera agregar 2 fichas azules.

No.

Resuelve

28 12

12

0 58

29 51.000

101.000

; en la primera.

30 a) 414

b) 1014

c) 0 d) 1014

31 a) 1248

b) 448

c) 1248

d) 348

e) 4748

32 a) 16

26

46

b) 36

16

26

Actividad 9Diagrama arbolado que hizo Matías

Casos posibles

8

Casos favorables

3

La probabilidad de que salga dos veces cara

y una vez ceca es 38

Diagrama arbolado que hizo Felipe

Casos posibles

36

Casos

favorables 9

La probabilidad de que salgan dos números pares es

936

No es correcta.

Diagrama arbolado que hizo Gonzalo para

conocer los casos favorables

Casos posibles

16

Casos favorables

6

La probabilidad de que salgan dos fichas blancas

y dos azules es 616

Resuelve

33 12

34 4 encuentros.

35 6 formas posibles.

36 a) La primera: 46

= 23

610

= 35

23

› 35

b) Juan.

c) A: 12

B: 16

C: 36

Agustín pudo elegir entre A o C.

37 10 resultados posibles.

Pasatiempos matemáticos 12 soldados.



El autor del robo es Juan.

Si Juan dice la verdad (“Fue Carlos”) entonces también

Carlos e Ignacio dicen la verdad y ninguno miente.

Si Carlos dice la verdad (“Juan dice la verdad”) entonces

también Juan e Ignacio dicen la verdad y ninguno miente.

Si Ignacio dice la verdad (“Yo no fui”) entonces, como al

menos uno de ellos debe mentir, Juan e Ignacio mienten.

4 4 5 2 3 4 16 2 4 1 1 34 1 7 3 4 6 2

3 3 1 2 4

20 triángulos.


A-Z editora S. A. ha dado términoa la impresión de esta obra en julio de 2017.


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Guía para el docenteMatemática| Introducción al pensamiento lógico y creativo |

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