If you can't read please download the document
Upload
leduong
View
724
Download
174
Embed Size (px)
Citation preview
Hak Cipta dan Hak Penerbitan dilindungi Undang-undang
Cetakan pertama, Desember 2016
Penulis : 1. Rudy Hartono, SKM.,M.Kes
2. Rahmat Kamaruddin, S.Si
Pengembang Desain Instruksional : Drs. Pramono Sidi, M.Si
Desain oleh Tim P2M2 :
Kover & Ilustrasi : Sunarti
Tata Letak : Nono Suwarno
Jumlah halaman : 306
Matematika dan Statistik
iii
DAFTAR ISI
BAB I: BILANGAN 1 Topik 1. Pengantar Konsep Bilangan dan Bilangan Bulat ........................................ 2 Latihan .............................................................................. 5 Ringkasan ................................................................................... 6 Tes 1 ........................................................................................... 6 Topik 2. Pengantar Konsep Bilangan dan Bilangan Bulat ...................................................... 8 Latihan ............................................................................. 16 Ringkasan .................................................................................. 17 Tes 2 ............................................................................ 17 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................. 19 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 20 BAB II: FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA 21 Topik 1. Keterlibatan Mahasiswa ................................................................................... 22 Latihan .............................................................................. 25 Ringkasan .................................................................................. 27 Tes 1 ............................................................................ 27 Topik 2. Persamaan Fungsi Logaritma 29 Latihan ............................................................................. 37 Ringkasan .................................................................................. 38 Tes 2 ............................................................................ 38 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ 40 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................. 41 BAB III: SATUAN PENGUKURAN DAN KONSENTRASI 42 Topik 1. Disiplin Dalam Standar Pelayanan Kebidanan 43 Latihan .............................................................................. 46 Ringkasan .................................................................................. 48 Tes 1 ............................................................................ 48
Matematika dan Statistik
iv
Topik 2. Memahami Konsentrasi 50 Latihan ............................................................................. 54 Ringkasan .................................................................................. 56 Tes 2 ............................................................................ 56 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ 58 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................. 59 BAB IV: TURUNAN (DERIVATIF) 60 Topik 1. Definisi dan Rumus-Rumus Turunan ................................................................... 61 Latihan .............................................................................. 63 Ringkasan ................................................................................... 64 Tes 1 ............................................................................. 65 Topik 2. Jenis-Jenis Turunan 67 Latihan ............................................................................... 76 Ringkasan ................................................................................... 78 Tes 2 ............................................................................. 78 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ 81 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 82 BAB V: PENGGUNAAN TURUNAN 83 Topik 1. Menentukan Garis Singgung, Garis Normal serta Nilai Maksimum dan Minimum 84 Latihan .............................................................................. 91 Ringkasan ................................................................................... 93 Tes 1 ............................................................................ 93 Topik 2. Menentukan Titik Ekstrim 95 Latihan .............................................................................. 102 Ringkasan ................................................................................ 103 Tes 2 ............................................................................. 103 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ 106 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 107
Matematika Statistik
v
BAB VI: INTEGRAL 108 Topik 1. Integral Tak Tentu ............................................................................................. 110 Latihan ........................................................................ 114 Ringkasan ............................................................................. 115 Tes 1 ............................................................................ 115 Topik 2. Integral Tentu 118 Latihan ............................................................................. 121 Ringkasan .................................................................................. 122 Tes 2 ............................................................................ 122 Topik 3. Integral Parsial dan Penggunaan Integral ............................................................ 124 Latihan ............................................................................. 136 Ringkasan .................................................................................. 136 Tes 3 ............................................................................ 137 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ 139 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 140 BAB VII: STATISTIKA DESKRIPTIF 141 Topik 1. Konsep Dasar Statistik ...................................................................................... 142 Latihan .............................................................................. 158 Ringkasan .................................................................................. 159 Tes 1 ............................................................................ 160 Topik 2. Konsep Probabilitas 162 Latihan .............................................................................. 178 Ringkasan ................................................................................... 180 Tes 2 ............................................................................. 180 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ 183 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 184
BAB VIII: STATISTIKA INFERENSIAL 185 Topik 1. Konsep Dasar Statistika Inferensial .................................................................... 186
Matematika dan Statistik
vi
Latihan .............................................................................. 199 Ringkasan ................................................................................... 201 Tes 1 ............................................................................ 202 Topik 2. Statistik Parametrik 205 Latihan ............................................................................. 233 Ringkasan .................................................................................. 237 Tes 2 ............................................................................ 238 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 242 LAMPIRAN .............................................................................................. 244 BAB IX: STATISTIKA NON-PARAMETRIK 252 Topik 1. Konsep Dasar Statistika Non-Parametrik ............................................................... 253 Latihan ................................................................................ 257 Ringkasan .................................................................................. 259 Tes 1 ............................................................................ 259 Topik 2. Aplikasi Statistik Non Parametrik ....................................................................... 262 Latihan ............................................................................. 278 Ringkasan .................................................................................. 282 Tes 2 ............................................................................ 282 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................................................ 287 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 288 LAMPIRAN .............................................................................................................. 290
Matematika dan Stastistika
1
BAB I
BILANGAN
Rudy Hartono dan Rahmat Kamaruddin
PENDAHULUAN
Dalam menghitung (counting), matematikawan biasanya tidak menghitung jumlah dari
objek-objek dalam suatu koleksi pada suatu waktu, tetapi lebih mencari untuk menentukan
pola-pola dan hubungan di antara objek-objek yang memungkinkan mereka untuk
menghitung dengan cara tidak langsung. Dalam hal ini, menghitung terjadi dalam banyak
bagian dari matematika dan sering melibatkan metode-metode yang cukup canggih.
Pada Bab 1 ini disajikan beberapa topik mengenai bilangan, yang terbagi dalam
beberapa topik yang harus dipelajari sebagai dasar untuk melakukan operasi-operasi dasar
yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.
Topik 1 pada modul ini dibahas secara detail mengenai konsep bilangan, mulai dari
definisi yang paling sederhana sampai ke yang agak rumit. Pada Topik 1 ini juga dibahas
tentang bilangan bulat beserta sifat-sifat bilangan asli N mulai dari sifat tertutup, sifat
komutatif, sifat asosiatif sifat modulus, sifat distributive dan sifat invers.
Topik 2, memuat tentang bilangan pecahan dan pengembangannya serta bilangan
lainnya yang terdiri dari presentase, bilangan desimal, bilangan real, pertidaksamaan dan
nilai mutlak. Pada Topik 2 ini dilengkapi beberapa contoh soal latihan yang harus saudara
selesaikan sendiri.
Secara keseluruhan, setelah mempelajari modul ini, diharapkan anda dapat:
1. Membuktikan sifat-sifat operasi yang berlaku di antara himpunan-himpunan;
2. Mengenal/menjelaskan macam-macam bilangan dan operasinya;
3. Mengerti sifat-sifat operasi yang berlaku;
4. Mengerti sifat terurut sempurna dalam bilangan asli N ;
5. Mengerti dan dapat menggunakan prinsip pertidaksamaan;
6. Mengerti nilai mutlak dan operasinya. Sebagai bekal/bahan utama dalam memahami bilangan, pelajari bab ini seteliti
mungkin karena Bab 1 ini merupakan modul dasar untuk itu. Ikuti petunjuk, baik pada contoh, latihan maupun petunjuk jawaban soal latihan. Apabila dalam satu topik masih belum dipahami, coba ulang kembali dan begitu seterusnya.
Matematika dan Stastistika
2
Topik 1
Pengantar Konsep Bilangan
dan Bilangan Bulat
Dalam topik ini akan dibahas materi konsep bilangan dan apa yang kita sebut dengan
bilangan bulat. Untuk mempelajari topik ini, ada baiknya kita perhatikan suatu kejadian
sehari-hari yang terjadi di sekitar kita. Coba perhatikan keadaan berikut:
PENGANTAR KONSEP BILANGAN
Di toko pakaian, Anda membeli 5 barang dengan harga Rp17.000, Rp22.000, Rp18.000,
Rp23.000, dan Rp19.000. Berapa kira-kira Anda harus membayar?
Apakah Rp25.000, Rp50.000, Rp100.000, Rp200.000, atau Rp400.000?
Jika Anda melihat harga setiap barang dan kelima barang tersebut, Anda akan melihat
bahwa setiap barang berharga sekitar Rp20.000. Jadi, total harga akan berkisar Rp20.000 5
= Rpl00.000. Jika Anda dapat segera memperkirakan harga tersebut, Anda akan dapat
mendeteksi apakah Anda diminta membayar lebih atau kurang. Jika Anda sulit
memperkirakan harga tersebut, Anda dapat menjadi lebih miskin dengan cepat!
Sekarang, mari kita perhatikan contoh di bidang farmasi:
Seorang pasien dengan berat badan 61 kilogram membutuhkan dosis obat 20 miligram per
kilogram berat badan. Perkirakan berapa total obat yang harus diterima pasien? Apakah 200,
400 600, 800, atau 1200 miligram?
Berat badan pasien sekitar 60 kilogram. Jadi, pasien membutuhkan kurang lebih 20 mg
60.(Jika Anda tidak dapat langsung mengalikan 60, kalikan dulu dengan 10, lalu kalikan
dengan 6.) Jika pasien memiliki berat badan 10 kilogram,ia akan membutuhkan 20 mg 10
=200 miligram.
Dengan demikian, pasien keberatan badan 60 kilogram membutuhkan 200 mg 6 = 1200
miligram. Jadi, jawaban yang kredibel adalah 1200mg. Perkiraan yang kredibel bukanlah tebakan asal-asalan, tetapi jawaban yang masuk akal
berdasarkan informasi yang diberikan pada Anda. Dalam kasus ini, jawaban yang benar tentunya 1260 miligram Namun, kemungkinan Anda membahayakan pasien dengan estimasi banyak 5% dari jawaban yang benar lebih kecil dibandingkan jawaban dengan tingkat kesalahan 50%, 100%, atau 900%.
Anda mungkin berpikir tidak mungkin Anda memberikan jawaban dengan tingkat kesalahan 900%, tetapi dosis yang 10 kali lebih tinggi (overdose) atau 10 kali lebih rendah (underdose) memberi tingkat kesalahan sebesar itu. Kesalahan semacam ini sering kali terjadi pada mahasiswa yang sangat bergantung pada kalkulator dan menerima jawaban
kalkulator tanpa berpikir panjang. Karena itu, kami mendorong Anda untuk melatih contoh-contoh soal dalam materi pada bagian ini tanpa menggunakan kalkulator. Selanjutnya, setelah Anda yakin telah menjawab suatu pertanyaan, tanyakan pada diri anda sendiri, Apakah jawaban ini kredibel?
Matematika dan Stastistika
3
Untuk memudahkan anda menyelesaikan masalah seperti di atas, selanjutnya anda
akan mempelajari konsep serta sifat-sifat bilangan untuk membantu anda dalam
menyelesaikan beberapa masalah kefarmasian yang berkaitan dengan materi bilangan
Definisi:
Jika a dan b bilangan asli, maka ada suatu bilangan asli yang ditulis sebagai a b yang
merupakan jumlah dari dan a b .
Juga ada suatu bilangan asli a b (atau ditulis sebagai a b atau ab ) yang merupakan hasil
kali dari dan a b .
Sifat-sifat bilangan asli N :
1. Sifat tertutup
N dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, karena
jumlah/hasil kali dari setiap 2 (dua) bilangan asli juga merupakan bilangan asli.
Ditulis: Untuk setiap 1 2 1 2 1 2, , dan n n N n n N n n N . (notasi = ada).
2. Sifat komutatif
Untuk setiap 1 2,n n N berlaku:
a. 1 2 2 1n n n n (komutatif penjumlahan)
b. 1 2 2 1n n n n (komutatif perkalian)
3. Sifat asosiatif
Untuk setiap 1 2,n n N berlaku:
b. 1 2 3 1 2 3n n n n n n (asosiatif penjumlahan) b. 1 2 3 1 2 3n n n n n n (asosiatif perkalian)
4. Sifat modulus
Untuk setiap bilangan asli nN berlaku:
a. 0 0n n (modulus penjumlahan)
0 adalah bilangan kesatuan untuk penjumlahan, 0 N.
b. 1 1n n (modulus perkalian)
1 adalah bilangan kesatuan untuk perkalian, 1 N .
5. Sifat distributif
Untuk setiap bilangan asli n N berlaku:
a. 1 2 3 1 3 2 3n n n n n n n b. 1 2 3 1 2 1 3n n n n n n n
Catatan (1):
Gabungan dari himpunan bilangan asli N dan bilangan nol, yaitu: 0 0,1,2,...N disebut himpunan bilangan cacah.
Matematika dan Stastistika
4
Definisi:
Sebuah bilangan x disebut negatif (invers penjumlahan) dari bilangan asli a , apabila berlaku
0a x x a ditulis x a .
Himpunan dari semua bilangan negatif di atas, disebut himpunan bilangan bulat negatif atau
| 0, x x n n x n N
..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...I disebut himpunan bilangan bulat (integer). Semua sifat (1)
sampai dengan (5) di atas berlaku pula untuk I . Untuk I ada tambahan sifat berikut,
6. Sifat Invers
Untuk setiap a I , terdapat a I sedemikian sehingga 0a a (sifat
invers/berkebalikan dari penjumlahan. Di sini 0 0 0 , sehingga invers dari a nol
adalah nol).
Definisi:
Jika , ,a b c adalah bilangan bulat, serta berlaku ab c , maka a dan b disebut faktor-
faktor (pembagi-pembagi) dari c . sedangkan c disebut kelipatan dari a dan dari b .
Definisi:
Suatu bilangan bulat a disebut genap jika salah satu faktor dari a adalah bilangan 2,
atau 2 |x x I . Bilangan yang bukan genap disebut ganjil,atau bilangan ganjil adalah
2 1|x x I
8 2 4 ; dimana 4 I , maka 8 genap.
0 2 0 ; dimana 0 I , maka 0 genap.
15 2 7 1 ; di mana 7 I , makal 5 ganjil.
Definisi:
Suatu bilangan bulat positif disebut majemuk (composite) bila dapat
dinyatakan sebagai hasil kali dua (atau lebih) bilangan bulat positif 1 .
Definisi:
Suatu bilangan bulat positif disebut prima apabila bilangan itu bukan bilangan 1 (satu),
serta bukan bilangan majemuk. Atau dengan perkataan lain: suatu bilangan asli kecuali
1, yang hanya habis dibagi 1 dan bilangan sendiri disebut bilangan prima.
Matematika dan Stastistika
5
Latihan
1) Hasil dari 12 :3 8 5 adalah ....
a. 20
b. 44
c. 60
d. 160
2) Hasil dari 4 10:2 5 adalah ....
a. 15
b. 35
c. 29
d. 5
3) Hasil dari 10 43 4 adalah ....
a. 37
b. 57
c. 29
d. 19
4) Hasil dari 90: 3 4 adalah ....
a. 120
b. 60
c. 240
d. 160
5) Hasil dari 23 3 9 adalah ....
a. 35
b. 17
c. 29
d. 11
6) Suhu tempat A adalah o100 C di bawah nol, suhu tempat B adalah o200 C di atas nol,
dan suhu tempat C adalah tepat di antara suhu tempat A dan tempat B . Suhu tempat
C adalah
a. o100 C
b. o300 C
c. o0 C
d. o50 C
7) Dalam kompetisi Matematika, setiap jawaban benar diberi skor 3 , jawaban salah
diberi skor 1 , dan jika tidak menjawab diberi skor 0 . Dari 40 soal yang diujikan, Dedi
menjawab 31 soal, yang 28 soal di antaranya dijawab benar. Skor yang diperoleh Dedi
adalah .
Matematika dan Stastistika
6
a. 81
b. 84
c. 87
d. 93 Petunjuk Jawaban Latihan
1) Selesaikan terlebih dahulu perkalian dan pembagian, lalu selesaikan penjumlahan dan
pengurangan.
2) 4 10: 2 5 4 5 5x x
6) tempat A o100 C dibawah nol berarti o100 C
Ringkasan
Anda telah mengingat kembali definisi bilangan, pengantar konsep bilangan, mulai dari
definisi bilangan, sifat-sifat dasar bilangan bulat, dan operasi dasar pada bilangan bulat
sampai pada operasi yang lebih luas yang masih berlaku pada sebarang bilangan. Di akhir
bagian ini, diingatkan kembali mengenai gabungan penggunaan sifat-sifat dasar bilangan
bulat. Materi ini menjadi dasar/pengetahuan bagi materi berikutnya, pada topik berikutnya
maupun modul berikutnya.
Tes 1
1) Nilai n dari 8 14n adalah ....
A. 6
B. 6
C. 22
D. 22
2) Hasil dari penjumlahan bilangan 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 64 adalah...
A. 2650
B. 3200
C. 2197
D. 2.080
3) Seekor lumba-lumba melompat samapai ketinggian 3 meer di atas permukaan air laut,
kemudian turun dan menyelam sampai kedalamn 7 meter. Maka jarak puncak
lompatan dengan kedalaman penyelamatan adalah ....
A. 4 meter
B. 7 meter
Matematika dan Stastistika
7
C. 8 meter
D. 10 meter
4) Hasil kali dari bilangan 25 18 10 adalah .... A. 700
B. 700
C. 540
D. 540
5) Hasil pemabagian dari bilangan 42: 8 15 adalah .... A. 8
B. 6
C. 9
D. 7
Matematika dan Stastistika
8
Topik 2
Bilangan Pecahan dan
Bilangan-Bilangan Lainnya
Definisi:
Jika a bilangan bulat, 0a , maka terdapat suatu bilangan 1
a sedemikian sehingga
11a
a .
Bilangan 1
a disebut kebalikan (invers) dari a , ditulis juga 1
1a
a .
Definisi:
Jika dan a b bilangan bulat dan 0b , maka terdapat sebuah bilangan1a
ab b
yang disebut
hasil bagi dan a oleh b .
a disebut pembilang, b disebut penyebut. Jika a
b bukan suatu bilangan bulat, maka ia
disebut bilangan pecahan.
Definisi:
Sebagai akibat operasi perkalian, kita dapatkan operasi perpangkatan dan pengakaran.
Bilangan x disebut pangkat n dari bilangan a jika berlaku:
... x a a a
n buah
Ditulis juga nx a
Definisi :
Bilangan x disebut bilangan akar n dari bilangan a jika berlaku:
a x x x
n buah
ditulis atau n na x x a
Pecahan menyatakan proporsi dari keseluruhan bagian. Sebagai contoh,Anda memiliki disk
drive dengan kapasitas 400 GB dan Anda menyimpan file sebesar 100 GB pada disk drive
tersebut. Bagian dari kapasitas penyimpanan yang telah digunakan pada disc drive tersebut
dapat ditulis sebagai:
100
400
Bilangan di atas garis disebut pembilang, sedangkan bilangan di bawah garis disebut
penyebut. Dalam contoh ini, Anda dapat menganggap 100 sebagai proporsi dari
Matematika dan Stastistika
9
keseluruhan 400. Jika pembilang lebih besar dan penyebut, pecahan disebut pecahan
kasar (vulgar fraction). Sebagai contoh, 18
4
A. MACAM-MACAM PECAHAN
1. Pecahan Setara
Jika Anda melihat contoh sebelumnya, 100
400 perhatikan bahwa jika Anda mengalikan
(atau membagi) pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama, pecahan akan tetap
bernilai sama.
Jadi, 100 200
400 800
(karena kita mengalikan bilangan atas dan bawah dengan 2). Pecahan ini
1
4
juga ekuivalen karena sekarang kita membagi pembilang dan penyebut dengan 200. Perhatikan bahwa dalam modul ini, Anda mungkin akan menemukan pecahan yang agak
jelek, seperti 25
.0,01
Berdasarkan pengalaman, mahasiswa sering kali merasa ngeri jika
diminta mengevaluasi pecahan semacam ini. Untuk mengevaluasi pecahan ini, prinsipnya
sama dengan sebelumnya, yaitu kalikan bilangan atas dan bawah pecahan hingga diperoleh
bilangan bulat yang mudah ditangani. Perkalian 10 biasanya paling membantu.
Jadi, 25 250 2500
25000,01 0,1 1
(tiap kali kita mengalikan atas dan bawah dengan 10).
2. Menyederhanakan Pecahan
Soal pecahan biasanya lebih mudah dikerjakan apabila pembilang dan penyebut
bernilai sekecil mungkin. Nilai tersebut diperoleh dengan membagi pembilang dan penyebut
dengan bilangan yang sama berulang kali untuk memperoleh bilangan bulat yang lebih kecil
sampai proses pembagian tidak dapat diulangi lagi. Biasanya lebih mudah untuk mencoba
membagi pembilang dan penyebut dengan bilangan-bilangan kecil, seperti 2, 3, 4, 5, atau 10.
Contoh 1.2.1:
Sederhanakan 24
96 sesederhana mungkin.
Jawab :
a. Perhatikan pembilang dan penyebut,serta periksa apakah keduanya dapat langsung
dibagi.
b. Ulangi sampai diperoleh pecahan yang paling sederhana.
Karena 24 dan 96 merupakan bilangan genap, keduanya dapat dibagi 2.
Matematika dan Stastistika
10
Jadi, 24 12 6 3
96 48 24 12
Sekarang pembilang dan penyebut dapat dibagi 3 maka 3 1
12 4 . Pecahan kini berada dalam
bentuk paling sederhana.
B. PRESENTASE DAN BILANGAN DESIMAL
1. Persentase
Seperti pecahan, persentase juga menyatakan proporsi dan keseluruhan bagian.
Sebagai contoh, 90% mahasiswa lulus ujian, ini berarti 90 dari 100 mahasiswa yang ikut ujian
berhasil lulus. Perhatikan bahwa kese1uruhan di sini tidak harus 100. Jika mahasiswa yang
ikut ujian sebanyak 200 orang dan yang lulus 180 orang, persentase yang lulus juga 90%.
2. Desimal
Desimal adalah cara untuk menyatakan bilangan yang (biasanya) tidak bulat. Tanda
koma digunakan untuk memisahkan bilangan bulat dan bagian desimal yang tidak bulat.
Sebagai contoh, 1,25 gram obat berarti kita memiliki 1 gram obat, ditambah dua per sepuluh
dari 1 gram, dan ditambah 5 per seratus dari 1 gram. Perhatikan jika satu-satunya angka
sebelum koma adalah nol, kita sedang menghitung suatu nilai yang kurang dan satu. Sebagai
contoh. 0,25 gram obat berarti kurang dari 1 gram dan menyatakan dua per sepuluh dan
lima per seratus dari 1 gram seperti sebelumnya.
3. Konversi antara Pecahan dan Desimal
Setiap desimal (atau setiap bilangan bulat) dapat dikonversi menjadi pecahan hanya
dengan meletakkan bilangan desimal itu di atas penyebut 1.
Contoh 1.2.2:
Ubah 0,25 menjadi pecahan paling sederhana
Jawab:
a. Tulis 0,25 sebagai desimal.
b. Buat pecahan setara dengan mengalikan bilangan atas dan bawah dengan 10 sampai
tanda koma desimal hilang.
c. Sederhanakan pecahan tersebut dengan pembagian.
Dengan demikian, 0,25 dapat ditulis menjadi 0,25 1 . Sekarang, evaluasi pecahan ini seperti
cara yang dijelaskan sebelumnya: 0,25 1 2,5 10 25 100 = (bilangan atas dan bawah
dikali 10)
Anda tentu dapat melihat bahwa pecahan ini mudah disederhanakan: 25 100 5 10 1 4
(bilangan atas dan bawah dibagi 5)
Matematika dan Stastistika
11
Pengubahan pecahan menjadi desimal dapat dilakukan dengan membagi pembilang dengan penyebut. Pembilang mungkin perlu ditulis sebagai desimal dengan memberikan satu atau lebih angka nol setelah koma untuk dapat melakukan pembagian.
Contoh 1.2.3:
Nyatakan 2 5 dalam bentuk desimal
Jawab:
Cobalah langsung membagi pembilang dengan penyebut. Jika pembilang lebih kecil dari
penyebut, tulis pembilang sebagai desimal dengan satu atau lebih angka nol setelah tanda
koma untuk dapat melakukan pembagian.
Jadi, tulis 2,0 dan bagi dengan 5, Anda akan memperoleh 0,4. Anda juga dapat menulis
2,00 dibagi lima dan memperoleh jawaban 0,40 yang setara dengan 0,4. Pada sejumlah
kasus, Anda tidak akan mendapat jawaban yang berakhir dengan nol dan Anda dapat
menulis jawaban dalam waktu yang tidak terbatas. Sebagai contoh, jika Anda menyatakan
1/3 dalam bentuk desimal, jawabannya adalah 0,33333... dan seterusnya. Dalam modul ini,
kebanyakan jawaban akan diberikan dalam dua tempat desimal (jumlah digit setelah tanda
koma), kecuali proses pembagian dapat diselesaikan dengan sempurna tanpa hasil sisa.
Sebagai contoh, jika Anda menyatakan 1/8 dalam bentuk desimal, Anda akan memperoleh
hasil tepat 0,125.
4. Konversi Antara Pecahan dan Persentase
Konversi pecahan menjadi persentase sangat mudah dilakukan, yaitu hanya dengan
mengalikan pembilang dengan 100 dan mengevaluasi pecahan tersebut seperti
sebelumnya,lalu hasilnya diberi tanda %.
Contoh 1.2.4: Nyatakan 4 5 dalam bentuk persentase
Jawab:
a. Kalikan pembilang dengan 100.
b. Evaluasi pecahan sebagai bilangan (atau desimal).
c. Beri tanda % setelah nilai hasil.
Jadi, 4 5 menjadi 400 5 80 . Dengan demikian, hasilnya adalah 80%. Perhatikan bahwa
persentase dapat mengandung desimal. Sebagai contoh, 305 100 3,05% .
Konversi persentase menjadi pecahan juga sangat sederhana. Bagi bilangan dengan 100, lalu
nyatakan pecahan dalam bentuk paling sederhana. Contoh 1.2.5:
Nyatakan 55% dalam bentuk pecahan
Matematika dan Stastistika
12
Jawab:
a. Bagi bilangan dengan 100.
b. Sederhanakan pecahan.
Jadi, 55% menjadi 55 100 . Jika kita sederhanakan, pecahan ini menjadi 11 20 yang
tidak dapat disederhanakan lebih lanjut
5. Konversi Antara Desimal dan Persentase
Cara paling cepat untuk mengonversi desimal menjadi persentase adalah dengan
mengalikan bilangan desimal tersebut dengan 100.lalu memberikan tanda % setelah hasil.
Contoh 1.2.6:
Nyatakan 0,6 dalam bentuk persentase
Jawab:
a. Kalikan dengan 100.
b. Beri tanda %.
0,6 dikali 100 adalah 60%.
Pengubahan persentase menjadi desimal dapat dilakukan hanya dengan membalikkan
tahapan di atas.
Contoh 1.2.7:
Nyatakan 12% dalam bentuk desimal Jawab:
Bagi dengan 100.
Jadi, 12% = 12
0,12100
Dalam contoh ini, kita dapat menyederhanakan pecahan itu menjadi 3
25. Namun,
pembagian 100 lebih mudah daripada 25.
Catatan (2):
Bilangan pecahan dapat ditulis dalam bentuk desimal. Uraian desimalnya selalu berakhir
atau berulang.
Misalnya: 1 2 0,5 (artinya 5
1 2 010
).
21 50 0,42 artinya 21 50 0 4 10 2 100 .
2 7 0,285714285714.... 285714 beruan lgka ang .
Definisi:
Gabungan himpunan bilangan bulat dan himpunan bilangan pecahan disebut himpunan
bilangan rasional Q . Kita dapat mendefinisikan bilangan rasional sebagal bilangan yang
Matematika dan Stastistika
13
dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua buah bilangan bulat. Bilangan irrasional (non-
rasional) adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari 2 buah bilangan
bulat atau bilangan yang uraian desimalnya tidak pernah berulang.
Contoh 1.2.8 :
2 1,4142
3,1415
2,7182.....e (bilangan Euler yang merupakan bilangan pokok logaritma natural).
Gabungan himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional disebut himpunan
bilangan nyata (real) R , atau #R .Bilangan yang mengandung faktor satuan khayal I disebut
bilangan khayal (imajiner), di mana 1i (satuan khayal, 2 1i i i ). Bentuk umumnya #, ai a R .
Misalnya 54 , 2 , dan 2i i i .
Bilangan Real
Kita buat sebuah garis lurus. Ambil titik 0 sebagai titik awal (titik nol) yang menyatakan
bilangan nol. Kita buat peraturan bahwa titik-titik di sebelah kanan 0 menyatakan bilangan-
bilangan positif, di sebelah kiri 0 menyatakan bilangan-bilangan negatif. Kemudian kita
tentukan satuannya (unit). Garis ini disebut garis bilangan real (atau garis bilangan) yang
merupakan sistem koordinat pada garis lurus (dimensi satu) dan digambarkan sebagai
berikut:
Setiap bilangan real dapat dinyatakan oleh satu dan hanya satu titik pada garis bilangan dan
setiap titik pada garis bilangan menyatakan satu dan hanya satu bilangan. Semua sifat yang
berlaku pada himpunan bagian dari #R , juga berlaku pada #R .
Misalnya sifat ke-6 adalah:
Untuk setiap # #, terdapat , sehingga 0 ( 0, )a R a R a a a a .
Untuk setiap # #0 dan , terdapat 1 , sehingga 1 1a a R a R a a .
Pertidaksamaan Definisi:
a bilangan real, 0 positifa a ( > dibaca lebih besar)
0 negatifa a ( > dibaca lebih kecil)
( artinya jika dan hanya jika, artinya berlaku baik dibaca dari arah kiri maupun kanan. Jadi bila definisi di atas dibaca : jika 0 maka positifa a , dan jika positif, maka 0a a ).
Matematika dan Stastistika
14
Kemudian jika a dan b bilangan real, maka :
0a b a b (definisi lebih besar) serta
0a b a b (definisi lebih kecil)
a b b a
pada garis bilangan : jika a b maka a terletak di sebelah kanan b . notasi : a b artinya a
lebih kecil atau sama dengan b .
Sifat-sifat :
1) Jika ,a b R , maka salah satu dari pernyataan ini benar :
a) a b ; b) a b ; c) a b
2) Jika 0a dan 0b , maka 0a b dan 0ab .
3) Sifat transitif :
Jika a b dan b c , maka a c atau jika a b dan b c , maka a c .
4) Jika a b dan c bilangan real sebarang, maka a c b c
5) Jika a b dan c d , maka a c b d
6) 0a jika dan hanya jika 0a
0a jika dan hanya jika 0a
7) Jika 0a dan 0b , maka 0ab
0a dan 0b , maka 0ab
0a dan 0b , maka 0ab
8) Jika a b dan 0c , maka ab bc
Jika a b dan 0c , maka ab bc
Contoh 1.2.9 :
Selesaikan pertidaksamaan : 2 5 24 0x x .
Harga nol dari 2 5 24 0x x adalah 1 8x dan 2 3x .
Sebut 2 5 24x x y , maka
0 untuk 3 8
0 untuk 3 atau 8
y x
y x x
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan di atas adalah nilai-nilai x yang memenuhi
3 8x atau dapat ditulis sebagai himpunan | 3 8x x . Catatan (3):
Interval (selang):
Bilangan dan a b adalah bilangan real dan a b , maka himpunan bagian dan R# adalah:
1 |A x a x b interval buka
2 |A x a x b interval tutup-buka
3 |A x a x b interval tutup
Matematika dan Stastistika
15
4 |A x a x b
Notasi lain adalah: interval buka-tutup
1 ,A a b 2 ,A a b 3 ,A a b 4 ,A a b
Catatan (4):
Interval-interval tak hingga.
| | ,A x x a x x a a
| |a ,B x x a x x a B
| | ,C x x a x x a a
| | ,D x x a x a x a
#| | ,E x x R x x Dimana a suatu bilangan real
, , , , dan A B C D E disebut interval tak hingga.
Harga Mutlak
Harga mutlak (absolut) dan suatu hilangan real didefinisikan sebagai:
jika 0
jika 0
a aa
a a
misalnya: 3 3, karena 3 0
2 2 2, karena 2 0
3 2 3 2 2 3, karena 3 2 0
Sifat-Sifat Harga Mutlak
Jika #, a b R , maka :
1) | | 0a
2) | | | |a a
3) 2 | |a a
4) | | jika dan hanya jika , dimana 0a b b a b b
5) | | jika dan hanya jika , atau aa b a b b
6) | | | |a b b a
Matematika dan Stastistika
16
7) | | | |a b b a
8) , 0a a
bb b
9) | | || | | ||a b a b
10) | | | | | |a b a b
11) | | || | | ||a b a b
12) | | | | | |a b a b
Contoh 1.2.10 : |2 3| 7x
Berarti : 7 2 3 7 10 2 4 5 2x x x
Latihan
1) Bentuk sederhana dari 96
360 adalah ....
a. 8
15
b. 8
30
c. 16
30
d. 4
15
2) Bentuk persen dari bilangan-bilangan pecahan 8 1 8
; ; ; 0,3625 4 50
berturut-turut
adalah ...
a. 32%, 25%, 16%, 36%
b. 36%, 25%, 16%, 32%
c. 25%, 16%, 32%, 36%
d. 16%, 32%, 36%, 25%
3) Toko A memberikan potongan harga 20% setiap penjualan barang, untuk pembelian
sepasang sepatu, Raisa membayar kepada kasir sebesar Rp40.000,00. Harga sepasang
sepatu sebelum mendapat potongan harga adalah
4) Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2 6 0x x adalah ....
a. 2 3x
b. 2 atau 3x x
c. 2 atau 3x x
d. 2 3x
5) Selesaikan pertidaksamaan 2 5 | 4x x adalah ....
Matematika dan Stastistika
17
a. 1
43
x x
b. 3 4x x
c. 1
33
x x
d. 1
34
x x
6) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2 1
73
x
x
adalah ....
a. 2 4x x
b. 3 4x x
c. 1 4x x
d. 1 4x x Petunjuk Penyelesaian Soal
1) Untuk menyederhanakan, pembilang dan penyebut bagikan dengan KPK kedua
bilangan tersebut
2) Kalikan dengan 100%
Ringkasan
Sampai di sini saudara telah mengingat kembali jenis-jenis bolangan, terdiri dari aturan
bilangan pecahan, dan bilangan-bilangan lainnya, bilangan real,pertidaksamaan,dan harga
mutlak. Selain itu, presentase dan bilangan desimal juga telah dibahas, mulai dari konversi
bilangan desimal ke presentase serta konversi persentase ke bilangan desimal. Dengan bekal
ini, diharapkan topik-topik berikutnya yang memanfaatkan pengertian bilangan itu dan sifat-
sifatnya dapat teratasi dengan baik.
Tes 2
1) Bentuk pecahan dari 45 menit dari 1 jam adalah ....
A. 3
4 bagian dari 1 jam
B. 1
2 bagian dari 1 jam
C. 1
3 bagian dari 1 jam
Matematika dan Stastistika
18
D. 2
3 bagian dari 1 jam
2) Pecahan yang senilai dengan pecahan 3
14 adalah ....
A. 9
40
B. 9
38
C. 12
56
D. 12
72
3) Susunan deretan pecahan 7 11
, 1, 8 12
dalam urutan naik (dari kecil ke besar) adalah ....
A. 7 11
, 1, 8 12
B. 7 11
, , 18 12
C. 11 7
1, , 12 8
D. 11 7
, , 112 8
4) Dua per lima dari penduduk suatu kota adalah laki-laki. Jika banyak penduduk kota
tersebut 8 juta jiwa, tentukan banyak laki-laki!
A. 3.200.000 jiwa
B. 1.600.000 jiwa
C. 4.000.000 jiwa
D. 3.000.000 jiwa
5) Bentuk persen dari dari bilangan 2
15 adalah ....
A. 35 %
B. 1
%3
C. 1
13 %3
D. 13%
Matematika dan Stastistika
19
Kunci Jawaban Tes
Tes 1
1) B
2) D
3) D
4) A
5) B
Tes 2
1) A
2) C
3) B
4) A
5) C
Matematika dan Stastistika
20
Daftar Pustaka
Ayu Laraswati. 2013. Pengertian Bilangan Desimal Otal dan Biner. (online) Diakses pada
tanggal 10 Juni 2014
http://ayularasswati.wordpress.com/2013/09/16/pengertian-bilangan-desimal-oktal-
dan-biner/
Ainul Wicaskono. 2012. Tugas Matematika Bilangan Bulat dan Ganjil. (online) Diakses pada
tanggal 10 Juni 2014
http://ainulwicaksono.blogspot.com/2012/10/tugas-matematika-bilangan-bulat-
ganjil.html
Anonymous. 2010. Rumus Bilangan Ganjil dan Rumus Bilangan Genap. (online) Diakses
pada tanggal 10 Juni 2014
http://asimtot.wordpress.com/2010/07/25/rumus-bilangan-ganjil-dan-rumus-
bilangan-genap/
Anonymous. 2010. Bilangan Ganjil dan Bilangan Genap. (online) Diakses pada tanggal 10
Juni 2014
http://asimtot.wordpress.com/2010/06/09/bilangan-ganjil-dan-bilangan-genap/
http://ayularasswati.wordpress.com/2013/09/16/pengertian-bilangan-desimal-oktal-dan-biner/http://ayularasswati.wordpress.com/2013/09/16/pengertian-bilangan-desimal-oktal-dan-biner/http://ainulwicaksono.blogspot.com/2012/10/tugas-matematika-bilangan-bulat-ganjil.htmlhttp://ainulwicaksono.blogspot.com/2012/10/tugas-matematika-bilangan-bulat-ganjil.htmlhttp://asimtot.wordpress.com/2010/07/25/rumus-bilangan-ganjil-dan-rumus-bilangan-genap/http://asimtot.wordpress.com/2010/07/25/rumus-bilangan-ganjil-dan-rumus-bilangan-genap/http://asimtot.wordpress.com/2010/06/09/bilangan-ganjil-dan-bilangan-genap/
Matematika dan Stastistika
21
BAB II
FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA
Rudy Hartono dan Rahmat Kamaruddin
PENDAHULUAN
Dalam ilmu pengetahuan dan teknologi maupun kehidupan sehari-hari , fungsi
eksponen dan logaritma sering kali digunakan untuk mendeskripsikan suatu peristiwa
pertumbuhan maupun peluruhan. Misalnya uang yang diinvestasikan di sebuah bank,
peluruhan zat radioaktif, pertambahan penduduk dan lain sebagainya. Hal ini dikarenakan
logaritma merupakan invers (kebalikan) dari eksponen. Logaritma juga digunakan untuk
memecahkan masalah eksponen yang sulit dicari akar-akar atau penyelesaiannya.
Pada Bab 2 ini anda akan mempelajari sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma dalam
pemecahan masalah. Untuk mempelajari modul ini, Anda diharapkan telah memahami
pangkat/eksponen, persamaan kuadrat, penyelesaian persamaan kuadrat, menggambar
kurva suatu persamaan kuadrat, trigonometri.
Pada Topik 1 pada modul ini, dibahas mengenai definisi fungsi eksponen dan sifat-
sifatnya serta penggunaannya dalam pemecahan masalah. Pada Topik 2 diperkenalkan
fungsi logaritma, sifat-sifatnya serta operasi-operasi penggunaannya.
Setelah menyelesaikan modul ini, diharapkan Anda mampu menggunakan konsep
fungsi eksponen dan logaritma untuk menyelesaikan persoalan-persoalan matematis. Secara
sistematis, Anda diharapkan mampu :
1. Menjelaskan sifat-sifat fungsi eksponen
2. Menjelaskan sifat-sifat logaritma
3. Menjelaskan bentuk- bentuk persamaan eksponen dan logaritma beserta fungsinya
4. Menjelaskan bentuk-bentuk pertidaksamaan eksponen dan logaritma.
5. Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah.
Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada.
Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang
terkait atau jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, tanyakan
kepada tutor pendamping Anda.
Matematika dan Stastistika
22
Topik 1
Keterlibatan Mahasiswa
Dalam Topik 1 ini akan dibahas materi perpangkatan/eksponen bilangan bulat. Untuk
mempelajari bagian modul ini, ada baiknya kita ingat kembali sifat-sifat bilangan berpangkat
rasional. Bilangan berpangkat merupakan prasyarat mempelajari persamaan eksponen,
fungsi eksponen dan fungsi logaritma. Untuk mengingat kembali tentang bilangan eksponen,
perhatikan beberapa sifat berikut.
A. PENGERTIAN FUNGSI EKSPONEN
Jika a dan b bilangan real, p dan q bilangan rasional maka berlaku hubungan sebagai
berikut :
1. p q p qa a a 7. 1p
pa
a
2. :p q p qa a a 8. p
q pqa a
3. ( )p q pqa a 9. p p pab a b
4. ( ) .p p pab a b 10. p
pp
a a
b b
5. p p
p
a a
b b
11. 0 1a
6. 1
0pp
a aa
Pada modul ini akan lebih mendalami tentang perpangkatan yang pangkatnya
merupakan suatu fungsi. Bentuk perpangkatan yang pangkatnya merupakan suatu fungsi
disebut fungsi eksponen.
Fungsi eksponen banyak manfaatnya dalam kehidupan. Misalnya dalam peluruhan
radioaktif, pertumbuhan tanaman, perhitungan bunga tabungan di Bank dan sebagainya.
B. PERSAMAAN FUNGSI EKSPONEN DAN PENERAPANNYA
1. Bentuk ( ) 1f xa
Jika ( ) 1f xa dengan 0a dan 0a , maka 0f x
Seperti apakah contoh dan cara menyelesaikan persamaan fungsi eksponen berbentuk ( ) 1f xa ? Ya, perlu Anda ketahui bahwa: 1 dengan 0
f xa a , dan 0a , maka
0f x . Perhatikan contoh berikut ini!
Matematika dan Stastistika
23
Contoh 2.1.1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari: uu
5 103 1x
Jawab:
5 10
5 10 0
3 1
3 3
5 10 0
5 10
2
x
x
x
x
x
2. Bentuk ( )f x pa a
Jika ( )f x pa a dengan 0a dan 0a , maka f x p
Contoh 2.1.2 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
a. 2 15 625x
b. 2 71
232
x
Jawab :
a. 2 15 625x
2 1 35 5x
2 1 3x
2 4x , jadi 2x
b. 2 71
232
x
2 7 52 2x 2 7 5x
2 2x
1x
3. Bentuk f x g xa a
Jika f x g xa a dengan 0a dan 0a , maka f x g x
Contoh 2.1.3 :
a. 2 2 19 27x x x
b. 1225 0,2
XX
Matematika dan Stastistika
24
Jawab:
a. 2 2 19 27x x x
2 22( ) 3( 1)3 3x x x
2 22 3 3x x x
2 22 2 3 3x x x
2 2 3 0x x
3 1 0x x
3 1x x
Jadi HP = 1,3
b. 1225 0,2
xx
2 2 1 15 5x x
2 4 1
2 1 4
5
x x
x x
x
Jadi HP = 5
4. Bentuk ( ) ( )f x f xa b
Jika ( ) ( )f x f xa b dengan 0a dan 1a , 0b dan 1b , dan a b maka 0f x
Contoh 2.1.4:
3 36 9x x
Jawab:
3 36 9x x
3 0
3
x
x
Jadi HP = 3
5. Bentuk ( ) 2 ( )( ) ( ) 0f x F xA a B a C
Dengan memisalkan f xa p , maka bentuk persamaan di atas dapat diubah menjadi
persamaan kuadrat : 2 0Ap Bp C
Contoh 2.1.5 :
2 32 2 16 0x x
Jawab :
2 3
2 3
2 2 16 0
2 2 2 18 0
x x
x x
Dengan memisalkan 2x p , maka persamaan menjadi
Matematika dan Stastistika
25
2 8 16 0
4 4 0
4
p p
p p
p
Untuk 4 2 4xp
22 2
2
x
x
Jadi HP = 2
Latihan
1) Bentuk 1
1
3 3
3 3
n n
n n
dapat disederhanakan menjadi
a. 3
4
b. 3
2
c. 5
4
d.
4
3
2)
11 1
1 1
x y
x y
dalam bentuk pangkat adalah
a. yy x
y xx y
x
b. x y
x y
y x
y x
c. y x
y x
y x
y x
d. x y
x y
y x
y x
3) Jika 2 7 dan 2 7, 4a a a b ab
a. 28
b. 30
c. 32
d. 34
Matematika dan Stastistika
26
4) Jika 4 3 2
6 5 4
1 maka nilai
4
x x xx
x x x
a. 1
16
b. 1
8
c. 1
2
d. 4
5) Nyatakan bentuk berikut dalam pangkat positif dan bentuk akar, 1 1
1 1
2 2
x y
x y
a. x y
xy
b. y x
xy
c. x y
xy
d. xy y x
6) Diketahui 2 2 5x x . Nilai 2 22 2x x .
a. 23
b. 24
c. 25
d. 26
7) Jika 2 3
62 3
p q
dengan p dan q bilangan bulat, maka p q ....
a. 3
b. 2
c. -2
d. -3
8) Nilai x yang memenuhi persamaan 5 52 2 64x x adalah ....
a. -2
b. -1
c. 0
d. 1
Matematika dan Stastistika
27
Ringkasan
Pada topik ini, kita telah mempelajari persamaan eksponen dan fungsi eksponen
dengan menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dalam menyelesaikan persamaan eksponen. Fungsi eksponen f dengan bilangan pokok a ( a konstan) adalah fungsi yang
didefenisikan dengan rumus : , 0 dan 1xf x a a a
Tes 1
1) Nilai dari x agar 23 3 0x ....
A. 1
B. 1
2
C.
1
3
D.
1
4
2) Nilai x dari persamaan 5 1 33 27 0x x ....
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
3) Cari himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen 2 23 8 3 1 0x x
A. 2
B. -1
C. 0
D. -2
4) Jika 12xf x tentukan nilai dari 3 dan 3f f ....
A. 1
2
B. 0,25
C. 0,125
D. 25
5) Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut.
3 2 1
2
125
125x
x
Matematika dan Stastistika
28
A.
B. 5/2
C. 5/3
D. 5/4
Matematika dan Stastistika
29
Topik 2
Persamaan Fungsi Logaritma
Pengertian logaritma sebagai invers (kebalikan) dari perpangkatan, dapat dijelaskan
melalui pembahasan berikut ini: Contoh 2.2.1:
1. 42 2 2 2 2 16
2. 310 10 10 10 1000
Dari contoh di atas tampak bahwa apabila bilangan pokok dan pangkatnya diketahui maka
dapat ditentukan hasil perpangkatannya. Nah! Permasalahannya adalah bagaimana cara
menentukan pangkat, apabila bilangan pokok dan hasil perpangkatannya diketahui:
Misal :
1. Berapa n , jika 2 16n
2. Berapa x , jika 10 1000x
Jawaban permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan cara yang disebut logaritma.
Nilai n atau x tersebut ditentukan sebagai berikut:
1. 2 16n maka 2 2 4log16 log2 4n
2. 10 1000x maka 10 10 3log1000 log10 3x
Sekarang terlihat bahwa antara logaritma dan perpangkatan terdapat hubungan, yaitu
bahwa logaritma merupakan invers ( kebalikan) dari perpangkatan, sehingga dapat
didefinisikan sebagai berikut :
Definisi :
Logaritma suatu bilangan x dengan bilangan pokok a (ditulis loga x ) adalah eksponen
bilangan berpangkat yang menghasilkan x jika a dipangkatkan dengan eksponen itu.
Dirumuskan :
loga x n artinya nx a untuk 0; 1 dan 0a a x
a disebut bilangan pokok
x disebut bilangan logaritma atau numerus dengan 0x
n disebut hasil logaritma atau eksponen dari basis
Untuk lebih memahami konsep ini ikutilah contoh-contoh berikut ini dengan teliti agar kamu
tidak menemui hambatan di kemudian hari .
Contoh 2.2.2 :
Nyatakan dalam bentuk logaritma:
Matematika dan Stastistika
30
1. 43 81
2. 133 2 2
3. 30,001 10
Jawab:
1. 4 33 81 log81 4
2.
133 3
12 2 log 2
3
3. 3 100,001 10 log0,001 3
Nyatakan dalam bentuk pangkat
1. 5 log25 2
2. 31
log 327
3. loga b c
Jawab:
1. 5 2log25 2 25 5
2. 3 31 1
log 3 327 27
3. loga cb c b a
Tentukan nilai logaritma berikut!
1. 2 log32
2. 3 log3 3
3. 21
log 22
Jawab :
1. 2 2 5log32 log2 5
2. 323 3
3log3 3 log3
2
3. 122 2
1 1log 2 log2
2 2
A. SIFAT-SIFAT LOGARITMA
Ada 7 (tujuh) sifat pada logaritma ini yang akan membantu kamu dalam memecahkan
masalah yang berkaitan dengan logaritma yaitu:
Matematika dan Stastistika
31
Sifat 1
log log loga a ax y xy
Contoh 2.2.3:
Sederhanakanlah !
1. 2 2log4 log8
2. 3 31
log log819
3. 2 2log2 2 log4 2
Jawab :
1. 2 2 2 2log4 log8 log4 8 log32 5
2. 3 3 3 31 1
log log81 log 81 log9 29 9
3. 2 2 2 2log2 2 log4 2 log2 2 4 2 log16 4
Sifat 2
log log loga a ax
x yy
Contoh 2.2.4 :
Sederhanakanlah!
1. 2 2log16 log8
2. log1000 log100
3. 3 3log18 log6
Jawab :
1. 2 2 2 216
log16 log8 log log2 18
2. 1000
log1000 log100 log log10 1100
3. 3 3 318
log18 log6 log 16
Sifat 3
log loga n ax n x
Matematika dan Stastistika
32
Contoh 2.2.5 :
Sederhanakan! 1. 2log3 4log3
2. 2log 2loga b
Jawab:
1. 2 42log3 4log3 log3 log3
log9 log81
log9 81
log729
2. 2 22log 2log log loga b a b
2 2
2
log
log
a b
ab
Ingat :
1. 22log log log logx x x x
2log 2logx x
Jadi 2 2log logx x
2. 11
loglog
xx
11
log log logx xx
Jadi 1 1log logx x
Sifat 4
1. log
loglog
ca
c
xx
a
2. 1
loglog
g
aa
g
Contoh 2.2.6: 3 7log7 log81
Jawab :
1. 3 7log7 log81
log7 log81log3 log7
= 4log3
log3
Matematika dan Stastistika
33
= 4log3
4log3
2. 3 7 77
1log7 log81 log81
log3
= 7 4 4
7
log3 log3
log3 log3
= 3 4log3 4
Sifat 5 loga xa x
Contoh 2.2.7 :
1. 2
2 log5log5 24 2
2. 33
12
log2log2
3 3
Jawab :
1. 2
2 2 2log5log5 2 log5 24 2 2 5 25
2. 3 13
1 13 22 2
log2log2log23 3 3 3 3
Sifat 6
Perhatikan uraian berikut untuk menunjukkan sifat 6 logaritma ini :
1. log log
log loglog log
nm
p m p
n
a m a ma a a
p n p n
2. Jika m n maka diperoleh:
log .log
log loglog .log
nn
p m p
n
a n aa a
p n p
Sehingga dapat disimpulkan bahwa : Untuk p dan a bilangan real positif 1p maka:
log lognp m pma a
n
log lognp n pa a
Jika numerus dan bilangan pokok dipangkatkan dengan bilangan yang sama maka hasilnya
tetap.
Matematika dan Stastistika
34
Contoh 2.2.8 :
Hitunglah !
1. 8 log16
2. 8 log64
3. Jika 3 log5 a hitunglah 25 log27
Jawab :
1. 38 2 4 24 4 4log16 log2 log2 1
3 3 3
2. 38 2 6 26 4 6log64 log2 log2 1 2
3 3 3
3. 3 log5 a , maka :
225 5 3 5
3
3 3 1 3 1 3log27 log3 log3
2 2 log5 2 2a a
Sifat 7
Perhatikan uraian di bawah ini!
Misalkan logpn a , maka na p , oleh karena logpn a , maka logpn ap p a (karena
na p ) sehingga disimpulkan :
Untuk p dan a bilangan real 1p maka logp ap a
Contoh 2.2.9:
Sederhanakan !
1. 2log10 x
2. 3 log9 a
3. 9 log
27b
Jawab :
1. 2 10 2log log 210 10x x x
2. 23 3 2 9 2log log log 29 9 9a a a a
3. 99 99 31 3
2 42
loglog loglog3 227 3 3 3
bb bb
= 34
32
2x
= 3
9 4log9n mb m na a
= 34b sifat 7
= 34 b mengubah eksponen ke akar
Matematika dan Stastistika
35
B. MENGGUNAKAN TABEL LOGARITMA
1. Mencari hasil logaritma menggunakan daftar logaritma
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
.
.
721
log721,8 2,8530
log72,18 1,8530
log7,218 0,830
Hasil penghitungan logaritma dari satu bilangan akan diperoleh bagian desimal. Bagian
bulat di sebut karakteristik/induk yang diperoleh dari perhitungan, sedang bagian desimal
disebut matise diperoleh dari tabel logaritma. Bilangan pokok pada daftar adalah 10.
Untuk menentukan logaritma bilangan yang lebih besar dari 10 atau antara 0 dan 1
dapat dilakukan dengan cara bilangan itu diubah dalam bentuk baku : 10na , dengan
1 10a dan n bilangan bulat, sehingga :
log 10 log log10 log
n na a
n a
Contoh 2.2.10 :
1. 4log34000 log 3,4 10
4log3,4 log10 dari tabel log4,4 0,5315
0,5315 4
4,5315
2. 2log0,284 log 2,84 10
2log2,84 log10 dari tabel log2,84 0,4533
0,4533 2
Anti Logaritma
Yaitu mencari bilangan logaritma jika diketahui hasil logaritma
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
.
.
721
.8530
.8759
Matematika dan Stastistika
36
Contoh 2.2.11 :
log 0,8759 7,515x x
Misalnya, carilah nilai x dengan menggunakan daftar logaritma dari 2 10x Jawab :
log2 log10x Dari daftar
log2 log10 log2 0,3010x
log10
log2x
13,322
0,3010x
C. OPERASI PADA LOGARITMA
1. Operasi Perkalian
log loga logba b
Contoh 2.2.12:
Hitunglah 6,28 2,536
Jawab: Jika 6,28 2,536p
log log 6,28 2,536p log log6,28 log2,536 1,2021p
Jadi, antilog 1,2021 15,926p
2. Operasi Pembagian
log log loga
a bb
Contoh 2.2.13:
Hitunglah 325,6 : 48,5
Jawab: Jika 325,6: 48,5p
log log 325,6: 48,5p
Matematika dan Stastistika
37
log log325,6 log48,5p
2,5127 1,6857
0,8270
Jadi, log0,8270 6,7p anti
3. Operasi Akar dan Pangkat
log log
1log log
n
n
a n a
a an
Contoh 2.2.14 :
Dengan menggunakan tabel logaritma, tentukan nilai dari soal-soal berikut.
a. 85
b. 47,32
18,6
Jawab :
a. Jika 85p
8log log5
8log5
p
log 8 0,699 5,592p
Jadi, log 5,592 390800p anti
b. Jika 47,32
18,6p , maka
47,32
log log18,6
p
1log47,32 18,6
2
11,6750 1,1643
2
10,5107 0,2553
2
Jadi, log 0,2553 1,8001p anti
Latihan
1) Ubah bentuk pangkat pada soal-soal berikut menjadi bentuk logaritma:
a) 32 8
b) 45 625
c) 27 49
Matematika dan Stastistika
38
2) Tentukan nilai dari:
a) 2 3 5log8 log9 log125
b) 2 3 51 1 18 9 125log log log
3) Tentukan nilai dari
a) 4 27log8 log9
b) 8 27 19log4 log
4) Tentukan nilai dari:
a) 2 log8
b) 3 log27
5) Diketahui: log p A
logq B
Tentukan nilai dari 3 2log p q
Petunjuk Jawaban Latihan
1) loga ax n
2) 2 3 5log8 log9 log125
Ringkasan
Sampai di sini kita telah dikenalkan dengan persamaan dan fungsi logarimat, Logaritma
merupakan invers atau kebalikan dari perpangkatan atau eksponen. Jika 23 9 , maka kita
dapat menuliskannya dalam bentuk logaritma, yaitu 3 log9 2 atau 9log3 2 . Ingat juga
bahwa jika tidak ditulis atau jika terdapat angka di depan log seperti ini 3log berarti log itu
berbasis 10 yang bisa kita tuliskan seperti ini 10 log . Namun umumnya log basis 10 tidak
dituliskan. Sifat- sifat yang berlaku dalam logaritma inilah yang sering kita hadapi dalam
operasi penyelesaian soal-soal logaritma. Logaritma digunakan untuk menentukan besar
pangkat dari suatu bilangan pokok. Tak hanya dalam bidang studi matematika, logaritma
juga sering digunakan dalam soal perhitungan bidang studi yang lain, misalnya menentukan
orde reaksi dalam pelajaran laju reaksi kimia, menentukan koefisien serap bunyi dalam
pelajaran akustik dan lain sebagainya.
Tes 2
1) Nilai logaritma dari 2 3 5log8 log9 log125 ....
A. 6
B. 7
Matematika dan Stastistika
39
C. 8
D. 9
2) Diketahui 2 3log 3 dan log 5a b , maka 6log 15 .
A. a b
B. a b
C.
1
1
a b
a
D. 1
1
b a
b
3) Jika 3 7log 5 dan log 5m n , maka 35log 15 ....
A. 1
1
m
n
B. 1
1
n
m
C.
1
1
m n
n m
D.
1
1
n m
m n
4) Jika , , 1a b c , maka 3 3 3log log logabc abc abcab bc ac ....
A. 1
3
B. 2
3
C. 1
D. 4
3
5) Jika 2
3
log
log
xp
y dan 3
2
log
log
xq
y , 1, 1x y , maka
p
q ....
A. 2log 3
B. 3log 2
C. 4log 9
D. 2
2log 3
Matematika dan Stastistika
40
Kunci Jawaban Tes
Tes 1
1) B
2) A
3) D
4) B
5) C
Tes 2
1) B
2) C
3) D
4) A
5) C
Matematika dan Stastistika
41
Daftar Pustaka
http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2014/11/rumus-lengkap-logaritma-dan-contoh-
soal.html
http://id.wikipedia.org/wiki/Logaritma
Anonymous. 2011. Bentuk Akar Pangkat dan Logaritma. (online) Diakses pada tanggal 10
Juni 2014
http://matematikaeducation-matematika.blogspot.com/2011/01/bentuk-akar-pangkat-dan-
logaritma.html
Anonymous. 2008. Perpangakatan dan Akar Bilangan. (online) Diakses pada tanggal 10
Juni 2014
http://applikasi.wordpress.com/2008/06/06/perpangkatan-dan-akar-bilangan/
Ali Yaramadon. 2013. Tugas Pengertian dan Macam-macam Bentuk Akar. (online) Diakses
pada tanggal 10 Juni 2014
http://aliyaramadonasman1.blogspot.com/2013/07/tugas-pengertian-dan-macam-
macam_6143.html
Wilson Simangunsong, 2005. Matematika Dasar, Jakarta: Penerbit Erlangga.
http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2014/11/rumus-lengkap-logaritma-dan-contoh-soal.htmlhttp://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2014/11/rumus-lengkap-logaritma-dan-contoh-soal.htmlhttp://id.wikipedia.org/wiki/Logaritmahttp://matematikaeducation-matematika.blogspot.com/2011/01/bentuk-akar-pangkat-dan-logaritma.htmlhttp://matematikaeducation-matematika.blogspot.com/2011/01/bentuk-akar-pangkat-dan-logaritma.htmlhttp://applikasi.wordpress.com/2008/06/06/perpangkatan-dan-akar-bilangan/http://aliyaramadonasman1.blogspot.com/2013/07/tugas-pengertian-dan-macam-macam_6143.htmlhttp://aliyaramadonasman1.blogspot.com/2013/07/tugas-pengertian-dan-macam-macam_6143.html
Matematika dan Stastistika
42
BAB III
SATUAN PENGUKURAN DAN KONSENTRASI
Rudy Hartono dan Rahmat Kamaruddin
PENDAHULUAN
Sifat-sifat dari suatu benda atau kejadian yang kita ukur, misalnya panjang benda,
massa benda, lamanya waktu lari mengelilingi sebuah lapangan sering kali kita jumpai, apa
saja yang bias kita ukur dari sebuah buku? Pada sebuah buku dapat kita mengukur massa,
panjang, lebar dan tebal buku. Bagaimanakah kita menyatakan hasil pengukuran panjang
buku?
Di Inggris, system metric merupakan sistem yang kini paling lazim digunakan untuk
menyatakan jumlah (kuantitas) dalam farmasi. Untuk kuantitas tertentu, satuan dasar yang
digunakan adalah gram untuk satuan dasar massa; liter untuk satuan dasar volume; dan mol
untuk satuan dasar jumlah obat. Awalan (prefiks) digunakan untuk menyatakan kuantitas
yang lebih besar atau lebih kecil dari satuan dasar.
Kebanyakan sediaan farmasetika yang digunakan mengandung bahan aktif (obat) yang
terlarut dab terdispersi alam pelarut (solven) atau pengencer (diluen). Berbagai pernyataan
dapat digunakan untuk menjelaskan konsentrasi obat dalam sediaan. Karena itu,
pemahaman tentang pernyataan-pernyataan ini sangat penting dalam praktik farmasi. Selain
itu, pemahaman tentang pernyataan-pernyataan konsentrasi juga penting ketika memeriksa
hasil uji laboratorium klinis karena hasil uji biokimia dapat diberikan dalam berbagai bentuk.
Pada modul ini di Topik 1, kita akan membahas tentang satuan massa, satuan volume
dan satuan jumlah obat. Pada Topik 2, akan dibahas empat cara berbeda untuk menyatakan
konsentrasi, yaitu kuantitas per volume, persentase konsentrasi, bagian dan rasio.
Setelah menyelesaikan modul ini, diharapkan anda mampu menggunakan konsep
satuan pengukuran dan konsentrasi dalam pemecahan masalah dalam kehidupan sehari-
hari. Secara keseluruhan, setelah mempelajari modul ini diharapkan anda dapat :
1. Menyebutkan satuan massa, volume, dan jumlah obat yang biasa digunakan.
2. Mengkonversi satuan massa, volume, dan jumlah obat antara yang lebih besar dan
yang lebih kecil.
3. Memahami empat cara berbeda untuk menyatakan konsentrasi, yaitu kuantitas per
volume, persentase konsentrasi, yaitu kuantitas per volume, persentase konsentrasi,
rasio dan bagian.
4. Mengonversi pernyataan-pernyataan konsentrasi.
Matematika dan Stastistika
43
Topik 1
Satuan Pengukuran
A. SISTEM METRIK
Untuk profesional kesehatan saat ini, sistem metrik merupakan sistem yang kini paling
lazim digunakan untuk menyatakan jumlah (kuantitas) dalam farmasi. Untuk kuantitas
tertentu, satuan dasar yang digunakan adalah gram untuk satuan dasar massa; liter untuk
satuan dasar volume; dan mol untuk satuan dasar jumlah obat. Sistem metrik menggunakan
desimal, yang diterjemahkan menjadi power of tens. Pada sistem metrik terdapat awalan
(prefiks) yang digunakan untuk menyatakan kuantitas yang lebih besar atau lebih kecil dari
satuan dasar. Tabel 3.1 memuat daftar awalan yang paling sering digunakan dalam farmasi
dan contoh untuk setiap awalan.
Tabel 3.1 Awalan yang Digunakan Dalam Sistem Metrik
Awalan Menyatakan Contoh
Kilo Seribu kali lebih besar dan satuan dasar Kilogram
Mili Seribu kali lebih kecil dan satuan dasar Millimeter
Mikro Satu juta kali lebih kecil dan satuan dasar Mikro omo
B. SATUAN MASSA
Satuan massa yang paling lazim digunakan didaftar pada Tabel 3.2.
Tabel 3.2. Satuan Massa
Satuan Singkatan Setara dengan
1 Kilogram Kg 1000 gram
1 Gram G 1000 miligram
1 Miligram Mg 1000 mikrogram
1 Mikrogram g atau mcg
Massa yang lebih besar atau lebih kecil dari jumlah-jumlah tersebut jarang digunakan dalam
farmasi. Untuk mengubah dari satuan yang lebih kecil ke satuan yang lebih besar (contohnya
miligram ke gram,gram ke kilogram), kita perlu membagi dengan 1000. Sebaliknya, untuk
mengubah dari satuan yang lebih besar ke satuan yang lebih kecil (contohnya kilogram ke
gram,gram ke miligram), kita harus mengalikan dengan 1000 (lihat Gambar 3.1).
Matematika dan Stastistika
44
Gambar 3.1 Konversi antara Satuan-satuan Massa
Contoh 3.1.1: Jumlahkan 0,0025kg , 1750mgr , 2,5gr , dan 750.000mcgr (berikan jawaban Anda dalam
gram). Jawab:
1. Ubah setiap kuantitas menjadi gram.
2. Jumlahkan kuantitas yang telah diubah.
0,00250kg 0,00250 1000 gr 2,50gr
1750mgr 1750:1000 gr 1,75gr
2,50gr 2,50gr
750000mgr 750000:1000000 gr 0,75gr Massa total = 7,50gr
Jawaban: 7,50gr
C. SATUAN VOLUME
Satuan dasar volume adalah liter (L). Satu liter terdiri dari 10 desiliter, atau 100
sentiliter atau 1000 milliliter. Milliliter setara dengan centimeter kubik(cc) walaupun
singkatan yang lebih dipilih adalah ml. Tabel 3.1 mendaftar satuan-satuan volume yang lazim
digunakan dalam farmasi.
Tabel 3.1 Satuan yang digunakan dalam farmasi
Satuan Singkatan Setara dengan
1 Liter L 1000 mililiter
1 Mililiter mL 1000 mikroliter
Untuk mengonversi volume dari liter menjadi mililiter, kita harus mengalikan dengan 1000,
sedangkan untuk mengonversi volume dari mililiter menjadi liter, kita harus membagi
dengan 1000 (lihat Gambar 3.2)
Matematika dan Stastistika
45
Gambar 3.2 Konversi Antara Satuan-satuan Volume
Contoh, 3.1.2: Jumlahkan 3L, 1150mL dan 0,75L . Berikan volume total dalam mL
Jawab:
1. Ubah setiap kuantitas menjadi mililiter.
2. Jumlahkan kuantitas yang telah diubah.
2L 3 1000 mL 3000 mL 1150 mL 1150 mL
0,75L 0,75 1000 mL 750 mL Volume total = 4900 mL
Jawaban: 4900 mL
Contoh 3.1.3 :
Seorang pasien diberi resep 10 mL campuran untuk digunakan empat kali sehari. Berapa
banyak campuran (dalam liter) yang dibutuhkan oleh pasien selama 30 hari?
Jawab:
1. Hitung berapa banyak campuran yang digunakan oleh pasien setiap hari.
2. Hitung berapa banyak campuran yang dibutuhkan oleh pasien selama 30 hari
3. Konversi angka yang diperoleh dan mL ke L
Setiap hari pasien menggunakan 10mL 4 40mL
Selama 30 hari pasien membutuhkan 40mL 30 1200mL 1200 mL 1 0,2 L 1,2L
Jawaban: 1,2L
1. Satuan Jumlah Obat
Satuan dasar untuk jumlah obat adalah mol. Satu mol adalah jumlah bahan yang
mengandung 6,02 1023satuan formula komponennya (contohnya atom, molekul, atau ion).
Jumlah mol suatu obat dapat langsung dinyatakan sebagai massa karena satu mol suatu
berat obat, dalam gram, sama dengan massa molekul relatif (relative molecular op[]mass,
Matematika dan Stastistika
46
RMM) obat tersebut. Contohnya, 1 mol kalium kiorida (RMM =74,5) memiliki berat 74,5
gram. Tabel 3.4 menunjukkan satuan jumlah obat yang lazim digunakan dalam farmasi.
Tabel 3.4
Satuan Jumlah Obat
Satuan Singkatan Setara dengan
Mol Mol 1000 milimol
Milimol mmol 1000 mikromol
Gambar 3.3 menunjukkan konversi antara mol dan milimol, serta konversi satuan-
satuan ini ke dalam satuan massa.
Gambar 3.3 Konversi Antara Satuan-satuan Jumlah Obat
Contoh 3.1.4: Berapa milimol kalium kiorida (asumsikan 75RMM ) yang terdapat dalam 150gr obat?
Jawab:
1. Hitung jumlah mol obat.
2. Ubah hasil yang diperoleh ke dalam milimol.
75 gr adalah berat 1 mol kalium klorida
1gr adalah berat 1: 75 mol kalium klorida
150 gram adalah berat 150 : 75 mol kalium klorida = 2 mol
2 mol 2 1000 milimol = (2 1000) milimol = 2000 milimol
Jawaban: 2000 milimol
Latihan
1) Hasil jumlah dar 7 kg, 75 g, dan 750.000 mcg adalah .... g
a. 7000
b. 7500
c. 7000,75
d. 7075,75
Matematika dan Stastistika
47
2) Volume total dari 0,04 L, 20 rnL, dan 200 L adalah .... mL
a. 20
b. 60
c. 60,2
d. 80,2
3) Seorang dokter meresepkan 250mg minosiklin untuk digunakan empat kali sehari
selama 20 hari. Total minosiklin yang dibutuhkan oleh pasien adalah ....
a. 10 g
b. 20 g
c. 30 g
d. 40 g
4) Satu kapsul obat mengandung bahan Fenilpropanolamin hidrokiorida 50 mg.
Berapakah dalam gram yang dibutuhkan untuk membuat 10.000 kapsul ....
a. 50 g
b. 100 g
c. 500 g
d. 1000 g
5) Satu tompok transdermal (transdermal patch) mengandung 8 mgestradiol. Jumlah
gram estradiol yang dibutuhkan untuk membuat 50.000 tompok adalah ....
a. 100 g
b. 200 g
c. 300 g
d. 400 g 6) Suatu inhaler menghantarkan 50 mcgr salmeterol pada setiap hirupan (inhalasi).
Inhaler tersebut mengandung 200inhalasi terukur. Jumlah miligram salmeterol
terkandung dalam inhaler ini adalah ....
a. 10 mg
b. 20 mg
c. 30 mg
d. 40 mg
7) Pasien diberi resep 15mL campuran untuk digunakan dua kali sehari selama 14 hari.
Banyak campuran yang harus diberikan adalah ....
a. 210 mL
b. 400 mL
c. 420 mL
d. 460 mL 7) Setiap kapsul natrium bikarbonat berisi 600 mgr bahan tersebut. Jika pasien
menggunakan tujuh kapsul sehari, jumlah mmol natrium bikarbonat yang digunakan
pasien adalah (RMM natrium bikarbonat = 84).
a. 5 mmol
b. 50 mmol
Matematika dan Stastistika
48
c. 10 mmol
d. 100 mmol
8) Suatu infus intravena mengandung 30 mmol natrium klorida. Jumlah massa natrium
klorida (dalam gram) yang terkandung dalam infus tersebut adalah (RMMnatrium
klorida = 60).
a. 0,18 g
b. 1,8 g
c. 18 g
d. 180 g
9) Sebuah tablet efervesen untuk rehidrasi oral mengandung 120 mgnatrium klorida dan 150 mgr kalium kiorida. Jumlah mmol klorida terkandung dalam satu tablet adalah ....
(RMM natrium klorida (NaCl) = 60 dan RMM kalium klorida (KCl) = 75).
a. 1 mmol
b. 2 mmol
c. 3 mmol
d. 4 mmol
Ringkasan
Untuk kuantitas tertentu, satuan dasar yang digunakan adalah gram untuk satuan
dasar massa; liter untuk satuan dasar volume; dan mol untuk satuan dasar jumlah obat.
Sistem metrik menggunakan desimal, yang diterjemahkan menjadi power of ten.
Satuan massa yang paling lazim digunakan adalah kilogram, gram,miligram dan
mikrogram.
Satuan dasar volume adalah liter (L). Satu liter terdiri dari 10 desiliter, atau 100
sentiliter atau 1000 milliliter.
Satuan dasar untuk jumlah obat adalah mol. Satu mol adalah jumlah bahan yang
mengandung 6,02 1023 satuan formula komponennya (contohnya atom, molekul, atau ion).
Tes 1
1) Suatu inhaler menghantarkan 50 mikrogram salmeterol pada setiap hirupan (inhalasi).
Inhaler tersebut mengandung 200 inhalasi terukur. Berapa miligram salmeterol
terkandung dalam inhaler ini?
A. 100 g
B. 200 g
C. 300 g
D. 400 g
Matematika dan Stastistika
49
2) Pasien diberi resep 15 mL campuran untuk digunakan dua kali sehari selama 14 hari.
Berapa banyak campuran yang harus diberikan?
A. 0,1 mg
B. 1 mg
C. 10 mg
D. 100 mg
3) Setiap kapsul natrium bikarbonat berisi 600 mg bahan tersebut. Jika pasien
menggunakan tujuh kapsul sehari, berapa mmol natrium bikarbonat yang digunakan
pasien? (RMM natrium bikarbonat = 84).
A. 42 mmol
B. 420 mmol
C. 4,2 mmol
D. 0,42 mmol
4) Suatu infus intravena mengandung 30 mmol natrium klorida. Berapa massanatrium
klorida (dalam gram) yang terkandung dalam infus tersebut? (RMM natrium klorida =
60).
A. 5 mmol
B. 50 mmol
C. 2 mmol
D. 20 mmol
5) Satu tompok transdermal (transdermal patch) mengandung 8 mgestradiol. Berapa
gram estradiol yang dibutuhkan untuk membuat 50.000 tompok?
A. 1,8 g
B. 18 g
C. 0,9 g
D. 9 g
Matematika dan Stastistika
50
Topik 2
Memahami Konsentrasi
A. PERNYATAAN KONSENTRASI
Kebanyakan sediaan farmasetika yang digunakan mengandung bahan aktif(obat) yang
terlarut atau terdispersi dalam pelarut (solven) atau pengencer (diluen). Berbagai
pernyataan dapat digunakan untuk menjelaskan konsentrasi obat dalam sediaan. Karena itu,
pemahaman tentang pernyataan-pernyataan ini sangat penting dalam praktik farmasi. Selain
itu, pemahaman tentang pernyataan-pernyataan konsentrasi juga penting ketika memeriksa
hasil uji laboratorium klinis karena hasil uji biokimia dapat diberikan bentuk. Dalam kegiatan
ini, kita akan membahas empat cara berbeda untuk menyatakan konsentrasi:
1. kuantitas per volume
2. persentase konsentrasi
3. bagian
4. rasio
1. Kuantitas Per Volume
Pernyataan kuantitas per volume digunakan untuk menunjukkan konsentrasi obat
dalam larutan dan untuk hasil uji laboratorium klinis. Pernyataan kuantitas per volume
memberikan jumlah atau berat obat (jumlah dalam mol atau berat dalam gram) dalam volume larutan. Sebagai contoh, larutan natrium klorida 9gr/L berarti 9 gr natrium klorida
terlarut dalam 1 liter larutan; larutan natrium klorida 1 mmol/L mengandung 1 mmol/L (ekuivalen dengan 0,058 g) natrium klorida terlarut dalam1 liter larutan.
Contoh 3.2.1: Berapa berat natrium bikarbonat (dalam gram) dibutuhkan untuk membuat 200 mL larutan
6 gr/L ?
Jawab:
a. Perhatikan pernyataan konsentrasi dan hitung berapa banyak natrium bikarbonat yang terkandung dalam 1mL larutan.
b. Hitung berapa banyak natrium bikarbonat dibutuhkan untuk membuat 200mL larutan.
6 gr/L berarti 6 gr natrium bikarbonat harus dilarutkan dalam 1L (1000mL ) larutan.
Jadi, 6:1000 gr natrium bikarbonat harus dilarutkan dalam 1 mL larutan.
Jadi, 6:1000 200gr natrium bikarbonat harus dilarutkan dalam 200mL larutan. Jawaban: 1,2gr .
Matematika dan Stastistika
51
Contoh 3.2.2 : Seorang pasien memiliki kadarkaliurn serum 4 mmol/L .
a. Berapa mmol kalium terkandung dalam 20 mL sampel serum pasien?
b. Berapa miligram kalium terkandung dalam sampel ini? (RMM kalium = 40) Jawab: a)
1) Perhatikan pernyataan konsentrasi dan hitung berapa milimolkalium terkandung dalam 1 mL serum.
2) Hitung berapa milimol kalium terkandung dalam 20 mL serum.
4mmol/L berarti 4mmol kalium terkandung dalam 1L serum.
Jadi 4:1000 mmol kalium terkandung dalam 1 mL serum. Karena itu, (4 20) 1000 mmol kalium terkandung dalam 20 mL serum.
80:1000 mmol 0,08 mmol Jawaban: 0,08 mmol
Jawab: b) Konversi jumlah mmol menjadi mgr dengan mengalikan nilai tersebut dengan RMM (lihat
kegiatan 3.1). 1mmol kalium memiliki berat 40 mgr .
0,08 mmol kalium memiliki berat 0,08 40 mgr 3,2mgr .
0,08 mmol kalium terkandung dalam 20 mL serum.
Jawaban: 3,2 mgr kalium terkandung dalam 20 mL serum
2. Persentase Konsentrasi
Persentase dapat digunakan untuk menyatakan konsentrasi obat, baik dalam bentuk
sediaan cair maupun padat. Persentase konsentrasi menjelaskan jumlah bagian obat (dalam
gram atau militer) dalam 100 bagian bentuk sediaan. Ada tiga persentase konsentrasi yang
lazim digunakan. Penggunaan ketiga persentase ini bergantung pada sifat produk.
a. % b v
Persen berat-dalam-volume digunakan untuk menyatakan berat suatu padatan dalam
100 mL produk cair. Sebagai contoh, larutan natrium klorida 1% b v dalam air berarti 1gr natrium klorida terkandung dalam 100 mL larutan. Untuk membuat larutan ini, 1 gr
natrium klorida dilarutkan dalam sedikit air, kemudian larutan diencerkan hingga 100 mL
dengan air.
b. % b b
Persen berat-dalam-berat digunakan untuk menyatakan berat suatu padatan, atau
kadang-kadang cairan, dalam 100 g produk padat. Sebagai contoh, salep hidrokortison 1% b b berarti 1 gr hidrokortison terkandung dalam 100 gr salep akhir. Untuk membuat
Matematika dan Stastistika
52
produk ini, 1 gr hidrokortison dicampur dengan sedikit basis salep, kemudian produk dibuat
menjadi 100 gr dengan penambahan basis salep lebih lanjut.
b. % v v
Persen volume-dalam-volume digunakan untuk menyatakan volume suatu cairan
dalam 100 mL produk cair. Sebagai contoh, emulsi yang mengandung 50% v v parafin cair
berarti 50mL parafin cair terdapat dalam 100mL emulsi akhir.
Contoh 3.2.3:
Obat kumur mengandung 0,1% b v klorheksidin glukonat. Berapa gram klorheksidin
glukonat terkandung dalam 250 mL obat kumur?
Jawab:
1) Perhatikan pernyataan konsentrasi dan tentukan berapa banyak obat (dalam gram) terkandung dalam 1 mL produk.
2) Hitung berapa banyak obat terkandung dalam 250 mL produk.
0,1% b v berarti 100 mL obat kumur mengandung 0,1 gr klorheksidin glukonat.
Jadi, 1 mL obat kumur mengandung (0,1c 100) g klorheksidin glukonat.
Karena itu, 250mL obat kumur mengandung 0,1:100 250gr klorheksidin glukonat = 0,25gr .
Jawaban: 0,25 gr
Contoh 3.2.4: Berapa berat mikonazol yang dibutuhkan untuk membuat 40 gr krim yang mengandung
2% b b obat?
Jawab:
1) Perhatikan pernyataan konsentrasi dan tentukan berapa banyak obat terkandung dalam 1 gr produk.
2) Hitung berapa banyak obat terkandung dalam 40 gr produk.
2% b b berarti 100 gr krim harus mengandung 2 gr mikonazol.
Jadi, 1 gr krim harus mengandung 2:100 gr mikonazol.
Karena itu, 40gr krim harus mengandung 2:100 40 gr mikonazol. Jawaban: 0,8 gr
Contoh 3.2.5: Berapa banyak minyak kacang (arachis oil) yang dibutuhkan untuk membuat 300 mL emulsi
yang mengandung 30% v v minyak kacang?
Matematika dan Stastistika
53
Jawab:
1) Perhatikan pernyataan konsentrasi dan tentukan berapa banyak minyak kacang yang terkandung dalam 1 mL produk.
2) Hitung berapa banyak minyak kacang yang terkandung dalam 300 mL produk.
30% v v berarti 100 mL emulsi mengandung 30 mL minyak kacang.
Jadi, 1mL emulsi mengandung 30:100 mL minyak kacang.
Karena itu, 30 mL emulsi mengandung 30:100 300 mL minyak kacang = 90 mL . Jawaban: 90 mL
3. Rasio Konsentrasi
Rasio konsentrasi terutama digunakan untuk menyatakan konsentrasi larutan yang
sangat encer. Rasio menyatakan jumlah bagian pelarut (biasanya dalam mililiter) yang di
dalamnya terlarut atau terdispersi satu bagian obat (biasanya dalam gram). Jadi, larutan
obat 1: 5000 mengindikasikan 1 gr obat terlarut dalam 5000 mL ( 5L ) larutan.
Contoh 3.2.6: Berapa miligram adrenalin terkandung dalam 10mL larutan obat 1:10000 ?
Jawab:
1) Ubah rasio menjadi pernyataan kuantitas per volume. 2) Hitung berapa banyak adrenalin terkandung dalam 1 mL larutan.
3) Hitung berapa banyak adrenalin terkandung dalam 10mL larutan.
Larutan 1:10.000 berarti 1 g adrenalin terlarut dalam 10.000 mL larutan.
Jadi, 1mL larutan akan mengandung 1:10000 gr adrenalin.
Karena itu, 10mL larutan akan mengandung 1:10000 10gr 0,001gr 1mgr adrenalin.
Jawaban: 1 miligram
4. Bagian sebagai Pernyataan Konsentrasi
Metode pernyataan konsentrasi ini mirip dengan pernyataan rasio. Namun, dalam
pernyataan konsentrasi bagian, simbol rasio diganti dengan kata dalam. Jadi, larutan 1:1000 menjadi 1 dalam 1000, tetapi artinya tidak berubah, yaitu 1gr obat terlarut dalam
1000 mL larutan.
Contoh 3.2.7: Satu ampul 10 mL yang berisi larutan bupivakain hidroklorida 1 dalam 200.000 diberikan
pada pasien. Berapa miligram bupivakain hidroklorida yang diterima pasien? Jawab:
1) Ubah pernyataan bagian menjadi pernyataan kuantitas per volume.
Matematika dan Stastistika
54
2) Hitung berapa banyak bupivakain hidroklorida terkandung dalam 1 mL larutan.
3) Hitung berapa banyak bupivakain hidroklorida terkandung dalam 10 mL larutan.
Larutan 1dalam 200.000 berarti 1 gr bupivakain hidroklorida terlarut dalam
200000 mL larutan.
Jadi, 1 mL larutan akan mengandung 1:200000 gr bupivakain hidroklorida.
Karena itu, 10mL larutan akan mengandung 1:200000 10gr 0,00005gr 0,05mgr bupivakain hidroklorida.
Jawaban : 0,05 miligram
B. KONVERSI ANTAR PERNYATAAN KONSENTRASI
Konversi antar pernyataan konsentrasi sering kali perlu dilakukan. Untuk melakukan
hal ini, Anda harus memastikan bahwa Anda memahami makna setiap pernyataan
konsentrasi yang telah dijelaskan sebelumnya.
Contoh 3.2.8: Suatu larutan mengandung 10mgr obat dalam 5mL larutan. Nyatakan konsentrasi ini
sebagai rasio konsentrasi. Jawab:
1. Tentukan pernyataan konsentrasi yang diperlukan.
2. Karena yang dibutuhkan adalah rasio konsentrasi, tentukan berapa volume larutan yang akan mengandung 1 gr obat.
3. Nyatakan konsentrasi sebagai rasio.
10 mgr obat terkandung dalam 5mL larutan.
Jadi, 1mgr obat terkandung dalam 5:10 mL larutan.
Karena itu, 1gr terkandung dalam 5:10 1000 mL 500 mL larutan Jawaban: rasio
konsentrasi 1: 500
Latihan
1) Pasien diberi resep suspensi yang mengandung 2 mgr/mL obat. Aturan pakainya
adalah pasien menggunakan 10 mL suspensi tiga kali sehari selama satu minggu.
Jumlah miligram obat yang akan diterima pasien dalam seminggu adalah ....
a. 400 mg obat
b. 410 mg obat
c. 420 mg obat
d. 430 mg obat
Matematika dan Stastistika
55
2) Pasien melarutkan dua tablet, masing-masing mengandung 300 mgr aspirin, dalam
120 mL air. konsentrasi aspirin % b v dalam larutan adalah
a. 0,5 % b/v
b. 5 % b/v
c. 0,1 % b/v
d. 10 % b/v 3) Jumlah gram antibiotik yang dibutuhkan untuk membuat 50 mL larutan antibiotik
0,25%b v adalah ....
a. 0,125 g
b. 0,25 g
c. 0,5 g
d. 1 g
4) Obat gosok mengandung 5%v v metilsalisilat. Jumlah metil salisilat yang dibutuhkan
untuk membuat 600 mL obat gosok adalah ..
a. 10 mL
b. 20 mL
c. 30 mL
d. 40 mL
5) Banyaknya hidrokortison yang terdapat dalam 120 gr krim yang mengandung 0,5b b hidrokortison adalah
a. 0,3 g
b. 0,6 g
c. 0,9 g
d. 1 g
6) Infus natrium klorida 0,9% b v banyak digunakan untuk penggantian elektrolit.
Konsentrasi natrium klorida dalam mmol/L (Anggap RMM natrium klorida = 60) adalah
mmol/L
a. 10
b. 15
c. 20
d. 25 7) Banyaknya volume larutan adrenalin 1: 20000 yang mengandung 50 mgr obat
adalah ....
a. 1 L
b. 2 L
c. 3 L
d. 4 L
8) Konsentrasi % b v suatu larutan natrium bikarbonat 1000 mmol/L (RMM natrium
bikarbonat = 84) adalah .... % b/v
a. 0,84
Matematika dan Stastistika
56
b. 8,4
c. 0,42
d. 4,2 9) Pasien menggunakan 200 mL larutan antiseptik 1: 8000 setiap hari selama 10 hari.
Jumlah gram obat antiseptik yang telah digunakan adalah .
a. 1 g
b. 0,75 g
c. 0,5 g
d. 0,25 g
10) Anda diberi obat serbuk yang mengandung kadar air 10%b b . Berat serbuk yang Anda
butuhkan untuk membuat 5 L larutan berair yang mengandung konsentrasi obat
anhidrat 4%b v adalah ....
a. 111,1 g
b. 222,2 g
c. 121,2 g
d. 221, 2 g
Ringkasan
Sampai di sini saudara telah mempelajari dan mengenal dengan baik beberapa tentang
Konsentrasi, Memahami Konsentrasi diperkenalkan empat cara berbeda untuk
menyelesaikan konsentrasi, yaitu kuantitas per volume, presentase konsentrasi, rasio, dan
bagian. Terdapat istilah % b v , %b b , dan % v v . Pada bagian terakhir disajikan bagaimana
menginterpretasi pernyataan konsentrasi dalam bagian dan mengonvensi pernyataan-
pernyataan konsentrasi.
Tes 2
1) Berapa gram antibiotik yang dibutuhkan untuk membuat 50 mL larutan antibiotik
0,25% b v ?
A. 0,25
B. 0,5
C. 0,125
D. 0,0,2
2) Obat gosok mengandung 5% v v metil salisilat. Berapa banyak metil salisilat yang
dibutuhkan untuk membuat 600 mL obat gosok?
A. 30 mL
B. 60 mL
Matematika dan Stastistika
57
C. 90 mL
D. 120 mL
3) Berapa banyak hidrokortison yang terdapat dalam 120 g krim yang mengandung
0,5%b b hidrokortison?
A. 0,2 g
B. 0,6 g
C. 0,9 g
D. 0,12 g
4) Infus natrium klorida 0,9% b v banyak digunakan untuk penggantian elektrolit.
Nyatakan konsentrasi natrium klorida dalam mmol