PROFIL AKTIVITAS MAHASISWI CALON GURU MA TEMATIKA DALAM … · bilangan real sehingga diperoleh pengertian dan sifat-sifat secara tepat, menyeluruh, dan mendalam. Barisan bilangan

ISSN 2442-3041Math Didactic: Jurnal Pendidikan Matematika

Vol. 1, No. 3, September - Desember 2015© STKIP PGRI Banjarmasin

140

PROFIL AKTIVITAS MAHASISWI CALON GURU MATEMATIKADALAM MEMAHAMI DEFINISI FORMAL BARISAN KONVERGEN

DENGAN VISUALISASI

DarmadiFP MIPA IKIP PGRI Madiun

E-mail: [email protected]

Abstrak: Beberapa mahasiswi kesulitan memahami definisi formal barisan konvergen. Merekatidak mengetahui apa yang harus dilakukan untuk memahami. Pada makalah ini, dibahas kegiatan-kegiatan yang dilakukan mahasiswi calon guru matematika dalam memahami definisi formalbarisan konvergen dengan menggunakan visualisasi. Kegiatan-kegiatan ini memberikan gambarantahap-tahap memahami definisi dengan visualisasi. Kegiatan-kegiatan tersebut diperolehberdasarkan hasil penelitian deskriptif-eksploratif dengan pendekatan kualitatif. Untukmendapatkan data, dipilih satu mahasiswi sebagai subjek penelitian. Untuk mendapatkan data yangalami, digunakan metode wawancara berbasis tugas dengan format semi-terstruktur dalammengumpulkan data. Untuk memvalidasi data, digunakan triangulasi waktu. Untuk menganalisisdata, digunakan reduksi, kategorisasi, sintesisasi, dan penarikan kesimpulan. Hasil penelitianmenunjukkan bahwa untuk memahami definisi formal barisan konvergen, mahasiswi: mengenali,membayangkan, memperlihatkan gambaran barisan konvergen, memperlihatkan gambaran atributdefinisi, dan menyimpulkan.

Kata kunci: mahasiswi calon guru matematika, memahami, definisi formal, barisan konvergen,visualisasi.

Salah satu kritik terhadap dunia pendidikansetelah dibandingkan dengan pendidikan dinegara lain yang lebih maju adalah kurangnyapemahaman. Sehingga, salah satu dan yangpertama dari tujuan pelajaran matematikamenurut Permendiknas No. 22 (Depdiknas,2006) tentang standar isi adalah memahamikonsep matematika, menjelaskan keterkaitanantar konsep dan mengaplikasikan konsep

atau algoritma, secara luwes, akurat, efisien,dan tepat, dalam pemecahan masalah.Salah satu cara memahami definisi adalahdengan visualisasi. Menurut Darmadi(2012b), barisan-barisan bilangan real dapatdivisualisasikan dalam bentuk gambar/grafik.Barisan konvergen dapat didefinisikansebagai barisan yang ‘menuju’ ke suatubilangan real. Definisi tersebut, belum atautidak bisa disebut sebagai definisi formal.

141 Darmadi

Math Didactic: Jurnal Pendidikan Matematika, Vol. 1, No. 3, September - Desember 2015

Istilah ‘menuju’ perlu dijelaskan secaramatematis. Definisi formal barisan bilanganreal konvergen adalah sebagai berikut.

“Barisan { } dikatakankonvergen jika dan hanya jika terdapat ∈sehingga untuk setiap > 0 terdapat ( ) ∈

sehingga untuk ≥ ( ) berlaku | −| < ”Beberapa buku panduan untuk analisis

real mempunyai cara penyajian, notasi,simbol, dan istilah berbeda. Memahamikonsep atau definisi formal barisan konvergenpenting untuk memahami konsep atau definisibarisan Cauchy dan barisan menyusut. Selainitu, dapat dikembangkan menjadi limitbarisan, dapat memperdalam pemahamantentang fungsi, barisan bilangan real, barisanterbatas di atas, terbatas di bawah, terbatas,divergen ke −∞, dan divergen ke ∞.

Hasil tes kemampuan memahamidefinisi formal dan mengsketsa grafik yangdilakukan Darmadi (2011b) menunjukkanbahwa kekayaan imajeri mahasiswa masihkurang. Menurut Tall (2005), hasil penelitianmenunjukkan bahwa pelajar yang pandaicenderung lebih fokus pada penggunaansimbol-simbol daripada visualisasi, sepertimatematikawan yang lebih mengutamakanpenggunaan simbol dalam pekerjaannya dankurang memberi perhatian pada penggunaanvisual. Schunk (2012) menjelaskan bahwaanak-anak menggunakan pencitraan ataupembayangan ketika dibebaskan untukmelakukan cara lain, tetapi orang dewasalebih lambat dalam merespon untukmelakukan pencitraan dan tidak secaraeksplisit berusaha untuk mempertajampencitraan mereka. Darmadi (2012a)menjelaskan perlunya membangunpembelajaran matematika yangmenyenangkan dengan visualisasi. Suatualternatif untuk memahami definisi yaitu

dengan memvisualisasikannya (Darmadi,2012b).

Visualisasi penting dalam belajarmatematika. Nemirovsky R dan Noblemany(1997) mengatakan bahwa beberapapenelitian menunjukkan pentingnyavisualisasi untuk belajar matematika. Tall(1991) menjelaskan bahwa penggunaanvisualisasi dapat membantu dalampembuktian matematika. Tall (1994a)menjelaskan bahwa matematikawanmenggunakan pembayangan konsep ataupencitraan untuk menuntun mereka. Tall(2002) menjelaskan kembali bahwa dalammenganalisis pada umumnya bayangankonsep dapat mendukung pembuktian formal.Hasil beberapa penelitian lokal, seperti: FitriRositasari (2006), Suhartini (2007), danDarmadi (2008) menunjukkan bahwapenggunaan gambar visual dapatmeningkatkan hasil belajar matematika.

Ide memahami dengan menggunakanvisualisasi bukan hal baru. Hartono (2010)menceritakan bahwa Plato menganalogikaningatan sebagai sebuah blok lilin, dimanapersepsi dan pikiran membentuk cetakandiatasnya. Aristoteles menjelaskan bahwacetakan tersebut berupa ‘gambar’ yangmemperkenalkan konsep pembayanganmental. Sampai, Hume & Decartesmengidentifikasi ‘ide’ sebagai ‘gambaranmental’.

Salah suatu mata kuliah wajib bagimahasiswa program studi pendidikanmatematika di IKIP PGRI Madiun adalahanalisis real. Analisis real perlu dipelajari olehmahasiswa untuk meningkatkan kemampuanmenganalisis. Salah satu materi analisis realadalah barisan bilangan real. Beberapapermasalahan muncul dalam pembelajarananalisis real; seperti: 1) Hasil belajar analisisreal kurang memuaskan (Darmadi, 2008a), 2)Mahasiswa kesulitan belajar analisis real sulit

Profil Aktivitas Mahasiswi Calon Guru Matematika dalam Memahami Definisi Formal Barisan Konvergendengan Visualisasi 142


sejak awal (Darmadi, 2008b), 3) Pemahamanmahasiswa terhadap definisi formal padakalkulus kurang (Darmadi, 2009a); 4)Mahasiswa kesulitan belajar analisis real(Darmadi, 2009b). Beberapa metode danmodel pembelajaran dengan aneka mediapembelajaran yang dianggap sesuai telahdicoba; seperti: pengembangan modelpembelajaran analisis real berbasis teoriDavid Tall (Darmadi, 2009b) dan penggunaanLesson Study dalam pembelajaran analisisreal (Darmadi, 2010). Meskipun demikian,kemampuan berpikir analitis, kreatif, kritis,dan inovatif masih perlu untuk selaluditingkatkan (Darmadi, 2011a).

Beberapa penelitian menunjukkanbahwa perempuan tidak lebih baik dalambidang visual spasial, perempuan tidak lebihbaik dalam bidang akademik matematika.Berdasarkan uraian di atas, diperolehkesimpulan perlunya mendapatkan gambaranatau deskripsi kegiatan-kegiatan mahasiswicalon guru matematika dalam memahamidefinisi formal barisan konvergen denganvisualisasi.

A. Memahami definisi formal barisankonvergen dengan visualisasi

Suatu definisi mengandung konsepdan suatu konsep sering dinyatakan dalambentuk definisi. Definisi sering diidentikkandengan konsep. Menurut Solso, Maclin, &Maclin (2007), konsep adalah ide abstrakyang merepresentasikan kategori-kategoriinformasi atau unit-unit pengetahuan.Menurut Sternberg (2008), konsep adalahsebuah ide atau pemikiran atau gagasantentang sesuatu. Suatu konsep dapat berkaitandengan konsep lain sehingga membentukkonsep baru yang disebut kategori. Kategoriadalah sebuah konsep yang berfungsi untukmengorganisasikan atau menunjukkanekuivalensinya dengan aspek-aspek konsep

lain berdasarkan ciri-ciri umum ataukemiripan. Konsep lebih mengacu pada ide,sedangkan definisi lebih mengacu padapernyataan. Dalam kamus besar bahasaIndonesia, definisi diartikan sebagai batasan.Definisi merupakan pernyataan yangmembatasi dengan jelas suatu konsep ataukategori.

Poincaré (dalam Tall, 1988)mengatakan bahwa bagi ahli filsafat atauilmuwan, definisi yang baik adalah definisiyang mencakup semua objek yangdidefinisikan dan hanya mencakup objek-objek itu sendiri sesuai aturan logis. Namundalam dunia pendidikan, definisi yang baikadalah definisi yang dapat dipahami olehsiswa. Menurut Polya (1973), kata-kata yangdigunakan pada definisi-definisi di kamustidak jauh berbeda dengan definisi-definisipada matematika namun definisi-definisitersebut ditulis dengan spirit yang berbeda.Definisi pada matematika menggunakansimbol-simbol atau pernyataan-pernyataanmatematis.

Suharnan (2005) menjelaskan bahwadefinisi formal diperoleh ketika individumencapai taraf formal; yaitu: dapat memberinama suatu konsep baik nama intrinsiknyamaupun atribut-atribut yang dapat diterima,secara tepat dapat memberi contoh-contohmana objek yang memiliki atribut-atributtersebut, dan dapat menyatakan alasan yangmenjadi dasar pendefinisian. Istilah definisiformal sering digunakan Tall untukmembedakan dengan definisi yang tidakmatematis. Definisi formal adalah definisiyang unsur intrinsik maupun unsur atribut-atribut dinyatakan dalam bentuk simbol-simbol matematis.

Konsep atau definisi barisankonvergen terdapat pada mata kuliah analisisreal. Menganalisis bilangan real berartimenguraikan bagian-bagian himpunan

143 Darmadi


bilangan real atau suatu bilangan real untukmengetahui hubungan antarbagian ataubilangan real sehingga diperoleh pengertiandan sifat-sifat secara tepat, menyeluruh, danmendalam. Barisan bilangan realdidefinisikan sebagai suatu fungsi daribilangan asli ke bilangan real. Misalkanadalah fungsi yang membentuk barisanbilangan real, maka barisan bilangan realtersebut disajikan dalam bentuk { } olehGoldberg (1976), ( ) oleh Bartle & Sherbet(1982), dan ⟨ ⟩ oleh Wasan & Prakash. Padapembahasan ini, barisan bilangan realdinotasikan dengan { } . Untukmempersingkat istilah, barisan bilangan realselanjutnya disebut barisan.

Tiap definisi mempunyai jenis atautingkat kesulitan untuk dipahami. MenurutDarmadi (2013a), tingkat kesulitanmemahami definisi formal dengan visualisasidapat dikategorikan dalam tiga tingkatan.Tingkatan pertama adalah memvisualisasikanbarisan bilangan real berdasarkankedudukannya, yaitu: barisan monoton naik,barisan monoton turun, barisan naik tegas,barisan turun tegas, dan barisan konstan, ataukombinasinya. Tingkatan kedua adalahmemvisualisasikan barisan bilangan realberdasarkan eksistensi batasannya, yaitu:barisan terbatas di atas, barisan terbatas dibawah, dan barisan terbatas, ataukombinasinya. Tingkatan ketiga adalahmemvisualisasikan barisan bilangan realberdasarkan arah kecenderungannya, yaitu:barisan divergen ke ∞, barisan divergen ke−∞, dan barisan konvergen, atau yang sejenisseperti barisan Cauchy dan barisan menyusut.

Proses memahami sering disebutpemahaman. Suparman (2012) menyebutpemahaman meliputi perilakumenerjemahkan, menafsirkan, danmenyimpulkan konsep dengan menggunakankata-kata atau simbol-simbol yang dipilihnya

sendiri. Menurut Solso dan Maclin (2007),memahami adalah memaknai sesuatu secaraterkoordinasi melalui serangkaian tahapan,yang meliputi proses pengidentifikasian fitur-fitur, penyandian, penggunaan kosakata,pembagian peran kasus, dan seterusnya.Menurut Peaget (dalam Solso dan Maclin,2007), memahami adalah proses adaptasiintelektual di mana pengalaman dan ide-idebaru diinteraksikan dengan apa yang sudahdiketahui oleh seseorang yang sedang belajaruntuk membentuk struktur pengertian yangbaru. Skemp (dalam Solso dan Maclin, 2007)mengatakan “to understand something meansto assimilate it into an appropriate schema”.Menurut Anderson & Krathwohl (2007),memahami bearti mengkonstruksi makna daripesan-pesan pembelajaran, baik secara lisan,tulisan atau grafis. Siswa memahami ketikamenghubungkan pengetahuan “baru” danpengetahuan lama mereka. Lebih tepatnya,pengetahuan yang baru masuk dipadukandengan skema-skema dan kerangka-kerangkakognitif yang telah ada.

Memahami melibatkan beberapaproses-proses kognitif. Menurut Anderson &Krathwohl (2007), proses-proses kognitifdalam kategori memahami meliputimenafsirkan, mencontohkan,mengklasifikasikan, merangkum,menyimpulkan, membadingkan danmenjelaskan.

Hasil penelitian Pinto dan Tall (1999)menunjukkan bahwa terdapat dua cara dalammemahami definisi, yaitu: pemberian makna(giving meaning) ke definisi-definisi danakibat teori dengan membangun dari awalbayangan konsep awal, dan mengambilmakna (extracting meaning) dari definisiformal melalui deduksi formal. Menurut Solsodan Maclin (2007), untuk memahami sesuatudapat dilakukan secara bottom-up atau top-down. Untuk memahami, diperlukan aktivitas



membaca. Menurut Schunk (2012), pembacayang bagus maupun yang buruk mencarimateri-materi yang penting danmemerhatikannya. Informasi-informasi yangdiperoleh dari aktivitas membaca selanjutnyadigunakan untuk mempersepsi. MenurutSuharnan (2005), persepsi adalah prosesmendeteksi dan menginterpretasi stimulusyang diterima oleh alat-alat indera manusia,dengan melibatkan penggunaan pengetahuanyang telah disimpan dalam ingatan. Untukbeberapa kasus, kadang diperlukan perhatianlebih untuk dapat memahami. MenurutSuharnan (2005), perhatian adalah pemusatanpikiran terhadap suatu objek atau tugastertentu dan pada saat yang samamengabaikan objek atau tugas yang lain.Menurut Schunk (2012), perhatian diperlukanpada banyak fase dalam membaca:memproses fitur-fitur ortografis, menarikmakna-makna, menilai penting tidaknyainformasi, dan memfokuskan perhatian padainformasi yang penting.

Setelah mendapatkan input-inputvisual, tahap berikutnya adalahmembayangkan. Menurut Suharnan (2005),pembayangan adalah proses membayangkankembali di dalam pikiran mengenai objek-objek yang pernah dipersepsi. Untukmembayangkan, perlu mengingat untukmengenali pola. Menurut Suharnan (2005),ingatan adalah penyimpanan pengetahuan didalam sistem pikiran. Menurut Suharnan(2005), pengenalan pola adalah proses awalmengenali stimulus yang tersusun secarakompleks melalui sistem alat-alat inderamanusia seperti penglihatan dan pendengaran.Membayangkan bearti mencari ataumembentuk prototipe. Solso, Maclin &Maclin (2007) menjelaskan teori-teoripembentukan prototipe, yaitu: teori tendensisentral dan teori frekuensi atribut. Menurutteori tendensi sentral, sebuah prototipe

dikonseptualisasikan mewakili nilai rata-ratasuatu set eksemplar. Menurut teori frekuensiatribut, sebuah prototipe mewakili model ataukombinasi atribut-atribut yang paling seringdialami seseorang. Salah satu bentuk prototipeadalah gambaran mental.

Setelah mendapatkan pembayanganmental, tahap selanjutnya adalahmerepresentasikan atau memperlihatkan.Suharnan (2005) menjelaskan bahwarepresentasi mental mengenai suatu masalahmerupakan sesuatu yang sangat penting danmenentukan untuk memahami masalah.Selain menggunakan gambar/grafik, untukmerepresentasikan gambaran mental yangdiperoleh, dapat dilakukan dengan bahasalisan atau tulisan. Menurut Suharnan (2005),bahasa adalah kata-kata yang ditulis ataudiucapkan melalui lisan.

Tahap akhir dalam memahami adalahmenarik kesimpulan. Untuk menarikkesimpulan diperlukan penalaran. MenurutSuharnan (2005), penalaran adalah penarikankesimpulan menurut aturan logika. Untukmenentukan kesimpulan, diperlukanpembuatan keputusan. Menurut Suharnan(2005), pembuatan keputusan adalah suatuproses memilih, menaksir atau memprediksiberdasarkan informasi. Menyimpulkan sepertimembentuk konsep. Menurut Sternberg(2008), pembentukan konsep adalahpengelompokan atau pengklasifikasiansejumlah objek atau ide menurut sifat-sifatatau atribut-atribut tertentu. Menurut Hulsedkk., (1981), terdapat beberapa teoripembentukan konsep/definisi, yaitu: teoriasosiasi, teori mediasi, pengujian hipotesis,dan teori pemrosesan informasi. Teori asosiasimenerangkan bahwa pembentukan konsepmerupakan suatu proses asosiasi respons yangmuncul selama belajar dengan contoh-contoh.Teori mediasi berpandangan bahwa konsepdibentuk karena respons mediasi terhadap

145 Darmadi


stimulus dan respons terhadap contoh. Teoripengujian hipotesis menyatakan bahwapembentukan konsep didasarkan padapengujian berbagai hipotesis. Teoripemrosesan informasi menyatakan bahwapembentukan konsep berdasarkan dari hasilpemrosesan informasi dengan penalaran logis.Berdasarkan teori pesmrosesan informasi,suatu definisi dapat dibentuk berdasarkan darihasil pemrosesan informasi.

Memahami menjadi banyak perhatian.Suparman (2012) dan Anderson & Krathwohl(2007) menuliskan bahwa pemahaman palingbanyak digunakan pada jenjang perguruantinggi maupun jenjang dibawahnya karenajenjang pemahaman merupakan dasar yangsangat menentukan untuk mempelajari danmenguasai jenjang-jenjang taksonomidiatasnya seperti penerapan, analisis, sistesis,dan evaluasi atau bentuk yang lebihteerintegrasi seperti pemecahan masalah.Olah karena itu, dibutuhkan cara-cara yangefisien untuk memahami. Kebutuhan dapatmenjadi salah satu faktor yang dapatmempengaruhi cara individu dalammemahami.

Memahami merupakan suatu aktivitasatau kegiatan yang tidak sederhana. Suharnan(2005) menjelaskan tiga ganjalan mental yangdapat menghalangi dalam memahami definisi;yaitu keterpakuan fungsional, keajeganmental, dan penambahan bingkai perseptual.Keterpakuan fungsional merupakankecenderungan untuk beranggapan bahwafungsi dan kegunaan definisi adalah tetapsesuai rancangan dan keinginan pembuat.Keajegan mental menunjukkan padakecenderungan untuk mempertahankanaktivitas mental secara berulang-ulang.Penambahan bingkai perseptual terjadi ketikaindividu seolah-olah melihat bingkai tersamarsehingga membatasi gerak-langkah dalammemahami definisi formal. Menurut

Suharnan (2005), definisi, individu, daninteraksi dapat mempengaruhi individu dalammemahami. Perkembangan kognitif jugadapat mempengaruhi pengaktifan informasi.Tall (1995) menjelaskan bahwaperkembangan kognitif untuk memahamimatematika tingkat formal dari tahapenaktive, dapat dibangun melalui visual-platonik maupun numerik-simbolik sepertiyang kemudian lebih dikembangkan dandijelaskan oleh Tall (2005) bahwa berpikirmatematis melibatkan tiga dunia pemikiranmatematika yang terhubung, yaitu: 1)berdasarkan objek konsep yang mengikutiyang didasarkan pada makna hasilpengamatan, pendeskripsian, pendefinisian,dan penurunan sifat-sifat secara deduktif yangdibangun dari pengalaman berpikir kepembuktian Euclide (berkaitan dengangambar/visual); 2) berdasarkan aksipenggunaan simbol-simbol yang diperolehdari skema-aksi menjadi terpikirkan operasikonsep gabungan proses dan konsep; dan 3)berdasarkan sifat formal dan aksiomatik yanglebih fokus pada pengembangan sistemaksiomatik berdasarkan pada definisi formaldan pembuktian himpunan-teoritis.

B. Mahasiswa calon guru matematika

Menurut Uno (2007), matematikamerupakan alat pikir, alat komunikasi, alatuntuk memecahkan berbagai persoalanpraktis, dengan unsur-unsurnya meliputilogika dan intuisi, analisis dan konstruksi,generalitas dan individualitas. Menurut Diene(1971), belajar matematika berarti memahamihubungan antara simbol dan hubungandiantaranya untuk memperoleh konsep.Menurut Soedjadi dan Moesono (dalamSutiarso, 2000), belajar matematika bertujuanmenata nalar, membentuk sikap, danmenumbuhkan kemampuan matematika.



Mahasiswa calon guru matematikadituntut mempunyai kemampuanmengkomunikasikan matematika. Alfeld(2000) menjelaskan tentang kemampuankomunikasi matematika; yaitu: kemampuankomunikasi matematika meliputi kemampuanmenjelaskan konsep-konsep dan fakta-faktamatematika dalam bentuk sederhana,mempermudah hubungan logika antara fakta-fakta dan konsep-konsep yang berbeda,memperjelas hubungan antara segala sesuatuyang baru yang dekat dengan pemahamanmatematika, dan mengindentifikasi prinsip-prinsip yang diberikan matematika yangmembuat semua bekerja.

Mahasiswa adalah individu yangbelajar di jenjang pendidikan tinggi. Kemp(1994) memberi ciri-ciri mahasiswa yaitumemasuki program dengan kesiapan belajaryang tinggi, membawa banyak pengalaman kekelas, kurang luwes dalam berinteraksi, ingindiperlakukan sesuai dengan kedewasaannya,dan mempunyai inisiatif serta mandiri.Malcom (dalam Lieb, 1991) mencirikan enamperilaku belajar mahasiswa, yaitu:menentukan sendiri arah dan tujuanbelajarnya, memiliki seperangkat pengalamanhidup, berorientasi kepada tujuan danrelevansi, cenderung bersifat praktis, sertamembutuhkan penghargaan. Kolh (1984)membagi tahap belajar mahasiswa dalamempat fase yaitu berangkat dari pengalaman,menggunakan pengalaman itu untuk observasidan refleksi, asimilasi observasi itu ke dalamkerangkan konseptual atau dihubungkandengan konsep dari pengetahuan terdahulu,diuji dan diterapkan dalam situasi yangberbeda. Umumnya, seseorang yang belajar ditingkat perguruan tinggi dibedakan dalammahasiswa laki-laki yang biasa disebutmahasiswa dan mahasiswa perempuan yangbiasa disebut mahasiswi.

Studi Darmadi (2013b) tentang “ProfilBerpikir Visual Mahasiswa Laki-Laki CalonGuru Matematika Dalam Memahami DefinisiFormal Pada Barisan Bilangan Real”menunjukkan bahwa subjek memahamidefinisi formal melalui tiga kegiatan yaitumengenali, memvisualisasi, danmenyimpulkan. Studi Darmadi (2013b)tentang “Profil Berpikir Visual MahasiswaPerempuan Calon Guru Matematika DalamMemahami Definisi Formal Pada BarisanBilangan Real” menunjukkan bahwa: subjekmemahami definisi formal melalui tigakegiatan yaitu mengenali, memvisualisasi,dan menyimpulkan.

Pada penelitian-penelitian di atasdidesain tiga tahapan pengumpulan data.Tahap pertama untuk mengetahui profilberpikir visual dalam memahami satu definisidengan sembilan topik dan empat tipe (total36 tugas). Tahap kedua untuk mengetahuiprofil berpikir visual dalam memahamisekelompok definisi setipe beda topik (total12 tugas). Tahap ketiga untuk mengetahuiprofil berpikir visual dalam memamahmisekelompok definisi dengan sembilan tipesatu topik (total 9 tugas). Cakupan penelitianini dinilai terlalu luas, kurang tajam, dankurang valid. Sehingga perlu lebih fokusuntuk mendapatkan profil pemahamanmahasiswa calon guru matematika dalammemahami definisi formal barisan konvergen.

Metode Penelitian

Pada penelitian ini digunakanpenelitian deskriptif-eksploratif denganpendekatan kualitatif. Untuk mendapatkankedalaman informasi, dipilih satu mahasiswaperempuan sebagai subjek penelitian.Mahasiswa diambil dari program studipendidikan matematika FP MIPA IKIP PGRIMadiun semester genap tahun akademik

147 Darmadi


2012/2013 dengan kriteria: 1) barumengambil matakuliah analisis real, 2)mempunyai IPK di atas 2,75, 3) nilai kalkulusdan pengantar dasar matematika minimal B,4) komunikatif, jujur, dan bersedia menjadisubjek penelitian.

Instrumen utama pada penelitian iniadalah peneliti sendiri. Peneliti dituntut untuk:1) memiliki sifat responsif, adaptif, danholistik; 2) sadar pada konteks tak terkatakan;dan 3) mampu segera memproses,mengklarifikasi, meringkas, menjelajahi danmemahami jawaban. Instrumen pendukungpenelitian ini adalah pedoaman wawancaraberbasis tugas. Wawancara ditujukan untukmengetahui profil berpikir visual subjekdalam memahami definisi formal barisankonvergen dalam tugas. Tugas diberikandengan menggunakan lembar tugas. Lembartugas berisi sejumlah definisi formal barisankonvergen yang telah divalidasi oleh pakar.

Pengumpulan data dilakukan secaraalami dengan wawancara berbasis tugas.Wawancara dilakukan secara mendalamdengan format semi-terstruktur. Format inidipilih untuk mengetahui kejujuran danketerbukaan subjek dalam menyampaikaninformasi. Subjek yang sedang diwawancaraidiberi kebebasan untuk mengikutikecenderungan pikiran mereka sendiritermasuk dalam menentukan arah topikperbicangan sehingga membentuk fokuspembicaraan. Semua aktivitas wawancaradirekam dengan handycam untuk penyusunantranskrip data.

Data-data hasil wawancaraselanjutnya ditriangulasi dan divalidasisehingga diperoleh data yang sah dan valid.Keabsahan data pada penelitian ini lebihditekankan pada uji validitas internal atau ujikredibilitas yang diperoleh darimemperpanjang pengamatan, meningkatkanketekunan, triangulasi, analisis kasus negatif,

dan membercheck. Sementara uji validitaseksternal atau uji transferabiliti, uji reliabilitasatau uji kebergantungan, dan uji objektivitasatau uji konfirmabilitas dinilai oleh validator.Jika data belum valid, maka perlu dilakukanwawancara kembali dan data-data yang adaselanjutnya ditriangulasi dan divalidasikembali. Demikian, sampai diperoleh datayang benar-benar sah dan valid. Langkah-langkah analisis data meliputi: reduksi,kategorisasi, sintesisasi, dan penarikankesimpulan.

Hasil dan Pembahasan

Terlepas dari benar atau salah jawabansubjek, adanya perbedaan pemahamansebelum dan sesudah mengerjakan tugas danwawancara, menunjukkan bahwa aktivitas-aktivitas yang telah dilakukan subjek dapatmenunjukkan tahap-tahap dalam memahami.

A. Hasil1. Aktivitas subjek

Setelah membaca definisi, subjekmembuat rangkuman dengan cara:memperhatikan definisi, menyajikan dalambentuk yang lebih sederhana atau bentukmatematis, dan menyajikan dalam bentukrangkuman definisi sebagai berikut.

Setelah membuat rangkuman, subjekmenentukan kata kunci dengan cara:memperhatikan rangkuman atau bagiannya,pertimbangkan ‘ke-kompleks-an’, memilihkata kunci sebagai berikut.

Setelah menentukan kata kunci, subjekmenjabarkan kata kunci dengan cara:memperhatikan kata kunci, mengingat sifatharga mutlak, dan menjumlahkan ketiga ruas



dengan sehingga diperoleh hasil sebagaiberikut.

Setelah menjabarkan kata kunci, subjekmengingat tentang konvergen dengan cara:memperhatikan istilah konvergen padarangkuman definisi, membayangkan grafikyang memusat, dan merepresentasikan dalambentuk catatan bahwa konvergen itu memusatseperti berikut.

Setelah mengingat tentang konvergen, subjekmembuat sumbu koordinat dengan cara:memperhatikan bayangan tentang konvergen,mencoba memunculkan gambaran untukcontoh dengan menggambarkan sumbu-sumbu koordinat seperti berikut.

Setelah membuat sumbu koordinat, subjekmembuat contoh barisan dengan cara:membayangkan beberapa grafik besertafungsinya, memilih pembayangan mentalyang sesuai dengan bayangan barisankonvergen, dan merepresentasikan rumusbarisan sebagai berikut.

Setelah membuat contoh barisan, subjekmendaftar anggota barisannya dengan cara:memperhatikan rumus contoh barisan {1/} , mensubstitusikan tiap anggota domain= 1, 2, 3, 4, … secara berurutan pada rumus

contoh barisan {1/ } , sehingga diperolehdaftar anggota barisannya sebagai berikut.

Setelah mendaftar anggota barisan, kemudiansubjek mengeplot anggota barisan dengancara: memperhatikan daftar anggota barisan,menyajikan dalam bentuk plot, melanjutkanplot titik-titik secara berurutan sesuaipasangan sebagai berikut.

Setelah mengeplot anggota barisan, subjekmenentukan nilai dan . Untuk menentukannilai , subjek memperhatikan atribut padarangkuman/definisi dan gambar/grafik,mempertimbangkan nilai ε yang berada di‘tengah-tengah’ 1 = dan 0 = ,menentukan nilai = 1/2. Untukmenentukan nilai , subjek memperhatikanplot barisan pada gambar/grafik,membayangkan plot lanjutan padagambar/grafik, sehingga dapat menemukannilai = 1 sebagai berikut.

Setelah menentukan nilai ε dan , subjekmenjabarkannya dengan cara: memperhatikannilai dan , mensubstitusikan nilai danpada hasil penjabaran kata kunci, sehinggadiperoleh hasil penjabaran sebagai berikut.

Setelah menjabarkan nilai dan , subjekmemberi garis ± pada gambar dengancara: memperhatikan nilai − , + , sertagambar/grafik, merepresentasikan dalambentuk garis horisontal sebagai berikut.

149 Darmadi


Setelah memberi garis ± , subjekmenentukan nilai ( ) dengan cara:memperhatikan garis ± padagambar/grafik dan juga memperhatikanatribut ( ) pada rangkuman/definisi,mempertimbangkan yang paling ‘dekat’.menentukan nilai ( ). sebagai berikut.

Setelah menentukan nilai ( ), subjekmemberi garis ( ) dengan cara:memperhatikan nilai ( ), membayangkannilai-nilai ( ) yang bisa diambil untukmenentukan nilai ( ), danmerepresentasikan garis ( ) sebagaiberikut.

Setelah memberi garis ( ), subjekmenyimpulkan. Untuk membuat simpulanpertama, subjek memperhatikan catatan padarangkuman bahwa konvergen itu memusat,mencocokkan dengan pemahaman visualnya,dan merepresentasikan dalam bentuk tulisansebagai berikut.

Untuk membuat simpulan kedua, subjekmemperhatikan rumus barisan umumdanhasil penjabaran kata kunci, mencocokkandengan pemahaman, dan menyajikan dalambentuk tulisan sebagai berikut.

Untuk membuat simpulan ketiga, subjekmemperhatikan contoh barisan yang telah

dibuat {1/n} , mencocokkan denganpemahamannya, dan merepresentasikandalam bentuk tulisan sebagai berikut.

Berdasarkan uraian di atas, makaaktivitas-aktivitas subjek dalam memahamidefinisi formal barisan konvergen adalahsebagai berikut: merangkum, menentukankata kunci, menjabarkan kata kunci,mengingat tentang konvergen, membuatsumbu koordinat, menentukan contoh barisan,mendaftar anggota barisan, mengeplotanggota barisan, menentukan nilai ε,menentukan nilai , menjabarkan nilai ε dan

, menggambar garis ± ε, menentukan nilain (ε), menggambar garis ( ), membuatsimpulan pertama, kedua, dan ketiga. Skemaberpikir visual subjek dalam memahamidefinisi formal barisan konvergen sebagaiberikut.

2. Kegiatan-kegiatan subjek

Suatu aktivitas akan diperpertahankanjika aktivitas tersebut berguna atau dianggappenting dengan tujuan tertentu. Oleh karenaitu, perlu dilakukan analisis pentingnyaaktivitas berdasarkan pada respon dankegunaannya sehingga dapat digunakan untukmengkategorikan berdasarkan tujuannya.Data yang digunakan untuk analisis adalahdata yang berkaitan dengan tujuan danpentingnya aktivitas.



Aktivitas merangkum dinilai pentingsekali oleh subjek untuk mempermudah danmenghemat waktu supaya tidak membacaberulang-ulang. Rangkuman merupakanbentuk ringkas dari definisi. Aktivitas inicenderung dipertahankan untuk mengenalidefinisi.

Aktivitas menentukan kata kuncidinilai penting sekali oleh subjek untuk lebihmemfokuskan perhatian ketika harusmemperhatikan definisi atau rangkuman.Rangkuman memuat beberapa bagianinformasi seperti { } konvergen (ke ),∀ > 0, ∃ ∈ , ( ) ∈ , ≥ ( ), dan| − | < . Dengan memperhatikan katakunci, akan mempermudah. Aktivitas inicenderung dipertahankan untuk lebihmengenali definisi.

Aktivitas menjabarkan kata kuncidinilai penting sekali oleh subjek untukmemudahkan memberi makna kata kunci.Dengan demikian, jika diperlukan, subjektidak perlu berpikir ulang untuk memahamibentuk | − | < . Aktivitas ini cenderungdipertahankan untuk lebih mengenali definisi.

Aktivitas mengingat tentangkonvergen dinilai sangat penting oleh subjeksupaya dapat melanjutkan ke tahapberikutnya. Jika aktivitas ini tidak dilakukan,subjek mengalami kesulitan menggambarkanatau bahkan akan berhenti sampai penjabarankata kunci. Aktivitas ini cenderungdipertahankan untuk membayangkangambaran definisi.

Aktivitas membuat sumbu koordinatdinilai berguna oleh subjek untuk merangsangpemikiran. Aktivitas ini merupakan carasubjek untuk memberi motivasi pada dirisendiri sehingga dapat memunculkanpembayangan mental yang sudah ada.Aktivitas ini cenderung dipertahankan untukmembayangkan gambaran definisi.

Aktivitas memberikan contoh barisandinilai penting sekali oleh subjek untukmengambil , , ( ). Jika subjek tidakmemberikan contoh barisan, maka subjektidak akan dapat memvisualisasikan simbol-simbol yang lain seperti , , ( ). Aktivitasini cenderung dipertahankan untukmemperlihatkan gambaran definisi.

Aktivitas mendaftar anggota barisandinilai tidak penting karena bisa hanyadipikirkan saja oleh subjek, namun dapataktivitas ini mempermudah mengeplotkan.Jika subjek tidak melakukan aktivitas ini,maka subjek akan kesulitan untukmengeplotkan anggota barisan padagambar/grafik. Aktivitas ini cenderungdipertahankan untuk memperlihatkangambaran definisi.

Aktivitas mengeplotkan dinilai sangatpenting oleh subjek untuk mengetahuigambar/grafik dari barisan yang telah dibuatsehingga dapat menerapkan nilai-nilai , ,dan ( ) yang ada di rangkuman ataudefinisi. Aktivitas ini cenderungdipertahankan untuk memperlihatkangambaran definisi.

Aktivitas menentukan nilai ε dan adinilai penting sekali oleh subjek untukmemahami definisi. Notasi ε dan a terdapatpada definisi. Setelah mengetahui adanyanotasi ε dan a pada definisi, subjekmengaplikasikan dengan memberi nilai ε dan

. Aktivitas ini cenderung dipertahankanuntuk memperlihatkan gambaran definisi.

Aktivitas menjabarkan nilai ε dan adinilai berguna oleh subjek untuk menemukannilai − = −1/2 dan + = 1/2. Jikasubjek tidak menjabarkan nilai ε dan , makauntuk aktivitas berikutnya subjek harusmenjabarkan nilai ε dan a kembali. Aktivitasini cenderung dipertahankan untukmemperlihatkan gambaran definisi.

151 Darmadi


Aktivitas menggambarkan garis ±dinilai penting sekali oleh subjek untukmengetahui visualisasi − dan + padagambar/grafik. Jika aktivitas ini tidakdilakukan, maka tidak akan diperolehvisualisasi dari garis − dan + .Aktivitas ini cenderung dipertahankan untukmemperlihatkan gambaran − dan + .

Aktivitas menentukan nilai n (ε)dinilai berguna oleh subjek untuk memahamisalah satu atribut definisi yaitu n (ε).Memahami yang dimaksud adalahmemperlihatkan gambaran padagambar/grafik. Atribut n (ε) berhubungandengan atribut-atribut yang lain sepertin (ε) ∈ N dan n ≥ n (ε). Dalam definisi,atribut tersebut saling berhubungan denganatribut-atribut yang lain sehingga membentukkonsep kekonvergenan. Aktivitas inicenderung dipertahankan untukmemperlihatkan gambaran n (ε).

Aktivitas mengambarkan garis ( )dinilai penting sekali oleh subjek agar tahuhubungan antara n (ε) dengan − dan +. Gambaran − dan + adalah garis

horisontal sejajar sumbu X. Gambaran ( )adalah garis vertikal sejajar sumbu Y.Hubungan yang diperoleh adalah ( ) harusdiambil sehingga plot-plot barisan yangberada di antara garis − dan + .Aktivitas ini cenderung dipertahankan untukmemperlihatkan gambaran definisi.

Aktivitas menyimpulkan dinilaiberguna oleh subjek untuk memperjelaskembali terhadap apa yang sudah dilakukan.Aktivitas ini dilakukan untuk mengambilpelajaran dari yang sudah dikerjakan.Sehingga, aktivitas ini cenderungdipertahankan untuk menyatakanpemahaman.

Aktivitas merangkum, menentukankata kunci, dan menjabarkan kata kunci,merupakan aktivitas-aktivitas yang bertujuan

untuk mengenali definisi. Aktivitasmerangkum merupakan usaha untukmengumpulkan informasi dari definisi yangdiberikan. Aktivitas menentukan kata kuncidan menjabarkan merupakan usahamengeksplorasi informasi. Pada aktivitas-aktivitas ini, subjek belum menggunakanpembayangan mental. Oleh karena itu, tigaaktivitas pertama ini dapat dikategorikandalam satu kegiatan yaitu mengenali.

Aktivitas mengingat tentangkonvergen dan menggambarkan sumbukoordinat, merupakan aktivitas-aktivitas yangbertujuan memanggil dan mengembangkanpembayangan mental. Subjek mengingattentang konvergen pada aktivitas mengingatkata kunci. Subjek memotivasi diri untukmemperjelas ingatan tersebut denganmenggambarkan sumbu koordinat. Subjekmengingat gambaran tentang konvergen danmemperjelas hanya dalam pikiran (tidakdirepresentasikan). Subjek hanyamerepresentasikan sumbu-sumbu koordinatsaja. Dua aktivitas ini dapat dikategorikandalam satu kegitan yaitu membayangkan.

Aktivitas-aktivitas berikutnya, yaitu:menentukan contoh barisan, mendaftaranggota barisan, mengeplot anggota barisan,menentukan nilai ε dan a, menjabarkan nilai εdan a, menggambar garis ± , menentukannilai ( ), dan menggambar garis ( ),merupakan aktivitas-aktivitas yang bertujuanuntuk memperlihatkan gambaran barisankonvergen dengan atribut-atribut yang adapada definisi. Atribut-atribut yang terdapatdefinisi antara lain: , , , dan ( ). Untukmengetahui hubungan dari semua atributsecara visual, maka atribut-atribut tersebutperlu untuk digambarkan. Atribut { }digambarkan melalui aktivitas menentukancontoh barisan, mendaftar anggota barisan,mengeplot angggota barisannya. Atribut ε dana digambarkan melalui aktivitas menentukan



nilai ε dan a, menjabarkan nilai ε dan a,menggambar garis a±ε. Atribut n (ε)digambarkan melalui aktivitas menentukannilai ( ) dan menggambar garis n (ε).Sembilan aktivitas ini dapat dikategorikandalam satu kegiatan yaitu memperlihatkan.

Aktivitas membuat simpulan yangterdiri dari tiga sub aktivitas yaitu membuatsimpulan pertama, membuat simpulan kedua,dan membuat simpulan ketiga, merupakanaktivitas-aktivitas yang bertujuan untukmengambil pelajaran dari yang sudahdikerjakan. Ketika subjek memperhatikanatau tertarik pada istilah konvergen danpemahaman subjek bahwa konvergen itumemusat, maka subjek membuat simpulanbahwa barisan konvergen memusat. Ketikasubjek memperhatikan atau tertarik padaistilah konvergen dan hasil pejabaran katakunci, maka subjek memberi simpulan bahwabarisan konvergen itu memenuhi hasilpenjabaran kata kunci. Ketika subjekmemperhatikan atau tertarik pada contohbarisan yang diberikan dan pemahamantentang barisan konvergen, maka subjekmemberi simpulan bahwa contoh barisanyang diberikan merupakan barisan konvergen.Subjek menyimpulkan berdasarkan informasiyang menarik untuk diperhatikan dandicocokkan dengan pemahamannya. Tigaaktivitas terakhir ini dapat dikategorikandalam satu kegiatan yaitu menyimpulkan.

Berdasarkan uraian di atas, makaaktivitas-aktivitas memahami dapatdikategorikan dalam empat kegiatan, sebagaiberikut: mengenali, membayangkan,memperlihatkan gambaran barisan,memperlihatkan gambaran atribut-atributpada definisi, dan menyimpulkan.

B. Pembahasan

1. Kegiatan/tahap mengenali

Tahap pertama untuk memahamidefinisi formal barisan konvergen adalahmengenali dengan merangkum definisi.Subjek merangkum dengan memperhatikanbagian-bagian definisi. Informasi sebagaiinput pada aktivitas merangkum diperolehdari membaca definisi. Definisi, petunjuk,atau tugas yang diberikan pada subjekmerupakan bentuk stimulus eksternal.Membaca merupakan suatu usaha untukmenjaring atau menerima informasi daridefinisi (stimulus eksternal) melalui mata(sensor memori). Fakta ini sesuai penjelasanAtkinson & Shiffrin (1968) bahwa stimuluseksternal diterima oleh sensor memori sebagaisuatu informasi.

Subjek merangkum definisi denganmerepresentasikan informasi yang diperolehdalam bentuk yang lebih sederhana atausecara matematika. Jika informasi dari hasilmemperhatikan bagian-bagian definisi adalahinformasi awal, maka penyajian, penulisan,atau merepresentasikan dalam bentuk yanglebih sederhana atau matematis adalahrepresentasi hasil pengolahan informasi.Subjek adalah mahasiswa matematika, dalammemori subjek dominan adalah simbol-simbol atau pernyataan matematis. Fakta inisesuai penjelasan Atkinson & Shiffrin (1968)bahwa informasi yang diterima selanjutnyadisesuaikan dengan informasi yang ada padamemori untuk diproses melalui elaborasi danpengkodeaan.

Setelah merangkum, subjekmenentukan kata kunci. Terdapat prosespencarian kata kunci atau bagian yang bisadijabarkan dari rangkuman. Fakta inimenunjukkan bahwa terjadi prosespemindaian informasi dari memori sesuaidengan penjelasan Sternberg (2008) bahwaorang menarik informasi dari memori yangaktif dengan melakukan pemindaian terhadapitem-item secara berurutan.

153 Darmadi


Subjek menentukan kata kunci denganmempertimbangkan ‘ke-kompleks-an’. Jikarangkuman merupakan informasi awal, makabagian yang perlu dijabarkan atau kata kuncimerupakan hasil pengolahan informasi.Tujuan kedua langkah ini adalahmendapatkan informasi yang perlu untukdijabarkan. Hal ini sesuai dengan penjelasanSternberg (2008) bahwa pengolahan, keluar,dan masuknya informasi dalam WM/STMdiarahkan oleh kontrol pemrosesan informasiatau tujuan tertentu.

Setelah menentukan danmemperhatikan kata kunci, subjek mengingatsifat harga mutlak dan mengoperasikansehingga diperoleh hasil penjabaran katakunci. Subjek menjabarkan untukmendapatkan informasi yang lebih bermakna.Jika bagian ringkasan yang belum jelas ataukata kunci adalah informasi awal, maka hasilpenjabaran atau pengoperasian adalah hasilpengolahan informasi. Hal ini menunjukkanterjadinya proses elaborasi untukmendapatkan informasi, sesuai penjelasanSuharnan (2005) bahwa elaborasi melibatkanproses pemerkayaan (penambahan) maknainformasi.

Untuk menjarbarkan kata kunci yaitu| − | < menjadi + < < − ,subjek mengingat sifat harga mutlak. Subjekperlu mengingat sifat harga mutlak untukmenjabarkan. Hal ini menunjukkan bahwaterjadi pemanggilan informasi dari memori,sesuai penjelasan Atkinson & Shiffrin (1968)bahwa pada pemrosesan informasi kadangdiperlukan memanggil informasi dari lembartugas.

Setelah memperoleh hasil penjabarankata kunci, subjek juga tidak langsungmenggunakan hasil penjabaran untuk prosesselanjutnya. Subjek langsung membayangkangambaran definisi dengan memperhatikanistilah konvergen yang ada pada rangkuman.

Hal ini menunjukkan bahwa informasi hasilmembayangkan disimpan terlebih dahulupada memori, sesuai penjelasan Atkinson &Shiffrin (1968) bahwa beberapa informasikadang perlu disimpan dalam lembar tugas.

Tahap mengenali sangat penting untukmendapatkan input-input visual. Jika dalammemahami tidak ada tahap mengenali, makatidak akan diperoleh input-input visual untukpembayangan mental. Hal ini sesuai pendapatRoam (2011) bahwa mengenali adalah tahapmemilih informasi untuk diperiksa secararinci berdasarkan pola-pola yang diketahui.

Untuk dapat mengenali definisidengan baik, kadang perlu usaha yang keras.Beberapa mahuasiswa dapat menyerah atauputus karena tidak mampu mengenali denganbaik. Kasus seperti ini peneliti temukan dalampemilihan subjek. Beberapa calon subjekmenyerah atau putus asa memahami definisiformal pada barisan bilangan real denganmenggunakan gambar/grafik. Hal ini sesuaipendapat Rose & Nicholl (2006) bahwa kitaharus menggali informasi sebanyak-banyaknya untuk memahami pesan yangbenar.

Input tahap ini adalah informasi daridefinisi, tugas, atau petunjuk yang diberikan.Output tahap ini adalah input-input visual.Pada tahap ini terjadi pemindaian,transformasi, dan manipulasi informasi.Pemindaian informasi dilakukan untukmenjaring informasi-informasi yang pentingdari definisi, tugas, atau petunjuk yangdiberikan. Pemindaian informasi dapatdilakukan secara berulang-ulang sesuaikemampuan. Manipulasi informasi dilakukanuntuk mendapatkan informasi yang lebihbermakna. Untuk memanipulasi informasidiperlukan usaha mengingat informasi lain.Transformasi informasi dilakukan untukmenyimpan informasi-informasi yangdiperoleh sehingga perlu direpresentasikan



dalam bentuk tulisan. Pemrosesan informasipada tahap ini bersifat serial sesuai urutan-urutan tertentu.

2. Kegiatan/tahap membayangkan

Setelah mengenali, subjekmembayangkan. Untuk membayangkan,subjek memperhatikan dan mengingatkonvergen. Istilah konvergen padarangkuman merupakan suatu input visualsebagai stimulus eksternal. Jika rumus umumdan istilah konvergen adalah informasi awal,maka pembayangan mental yang diperolehadalah hasilnya. Hal sesuai penjelasanAtkinson dan Shiffrin (1968) bahwa stimuluseksternal diterima oleh memori sensor sebagaisuatu informasi.

Untuk membayangkan diperlukaninput-input visual. Untuk mengingat tentangkonvergen, subjek membayangkan banyakgrafik fungsi yang berupa garis sambungmelengkung dalam pikiran. Gambar/grafikyang berada dipikiran merupakanpembayangan mental dari barisan konvergenHal ini menunjukkan bahwa terdapatpenyandian visual dalam pikiran.Pembayangan mental merupakan bentukinformasi visual. Fakta ini sesuai teoripenyandian-ganda (dalam Sternberg (2008))yang menyatakan bahwa suatu informasidapat direpresentasikan dalam dua bentuksandi yaitu visual dan verbal.

Setelah mengingat ataumembayangkan banyak grafik fungsi yangberupa garis sambung melengkung, subjekmengelompokkan gambaran fungsi-fungsiyang menuju ke suatu bilangan tertentu.Proses pengorganisasian informasi yangterjadi pada tahap membayangkan sesuaipenjelasan Suharnan (2005) bahwa menurutteori Gestalt secara alamiah manusiamengorganisasikan objek-objek perseptual.

Setelah mengelompokkan gambaranfungsi-fungsi yang menuju ke suatu bilangantertentu, subjek memilih salah satu grafikfungsi. Hal ini menunjukkan terjadinya prosesmempertahankan informasi dalam kondisiaktif karena sifat WM/STM. Hal ini sesuaipenjelasan Atkinson dan Shiffrin (1968)bahwa sebagian informasi akan dilupakanatau hilang selama pemrosesan informasi. Halini juga sesuai penjelasan Schunk (2012)bahwa WM/STM terbatas kapasitas dandurasinya, yaitu: terbatas dan jika tidak segeradiproses, maka informasi akan menghilang.Pemilihan informasi lebih pada prinsipkemiripan/keserupaan pada teori Gestalt(dalam Suharnan, 2005) mengatakan bahwaobjek-objek visual yang memiliki struktursama atau mirip cenderung dipersepsi ataudilihat sebagai satu kesatuan kelompok.

Subjek tidak merepresentasikanpembayangan mental tentang konvergensecara eksplisit kecuali hanya sumbukoordinatnya. Sumbu koordinat yangdigambarkan subjek ternyata juga akandigunakan untuk memperlihatkan. Perbedaanrepresentasi proses pada tahapmembayangkan adalah wajar danmenunjukkan kealamian data. Hal ini sesuaipendapat Moleong (2012) bahwa data padapenelitian kulitatif adalah alami apa adanya.

Subjek membayangkan setelahmengenali. Pemrosesan informasi untukmembayangkan dapat tidak linear. Hal inisesuai penjelasan Roam (2011) bahwa prosesberpikir visual dapat tidak linear karenaproses berpikir visual dipengaruhi olehbanyak faktor dari materi, dari individu,maupun interaksi.

Tahap membayangkan sangat pentinguntuk mendapatkan gambaran ataupembayangan umum atau kasar tentangdefinisi yang dapat menjadi dasar dalampembuatan contoh barisan konvergen. Jika

155 Darmadi


tidak ada tahap membayangkan, maka subjektidak akan mendapatkan pembayangan mentalsehingga gambaran definisi juga tidak akandapat diperoleh. Akibatnya, proses atau tahapmemahami dapat terhenti sampai tahap ini.Hal ini sesuai pendapat Roam (2011) bahwamembayangkan adalah tahapan mengolahinput-input visual yang telah dikumpulkandan dipilih sehingga mendapatkan keputusan.

Input tahap ini adalah input visualyang diperoleh dari tahap mengenali. Outputtahap ini adalah pembayangan mental yangdapat direpresentasikan dalam bentukgambar/grafik atau bagiannya. Pada tahap ini,terjadi penjaringan dan transformasiinformasi. Penjaringan informasi dilakukanuntuk mendapatkan input visual, yaitu lebihmemperhatikan istilah konvergen daripadainformasi-informasi lain yang ada padarangkuman definisi. Transformasi informasidari input visual menjadi pembayanganmental dilakukan untuk mendapatkanpembayangan mental barisan konvergen.Transformasi informasi dari pembayanganmental menjadi gambar/grafik atau bagiannyadilakukan untuk memperjelas ataumemperlihatkan pembayangan mental.Pemrosesan informasi pada tahap ini bersifatserial sesuai urutan tertentu.

3. Kegiatan/tahap memperlihatkangambaran definisi

Setelah membayangkan, subjekmemperlihatkan contoh gambaran barisankonvergen. Untuk memperlihatkan gambarandefinisi, subjek menentukan contoh barisan,mendaftar anggotanya, dan mengeplotkan.Subjek memberikan satu contoh. Jikapembayangan mental hasil membayangkanadalah informasi awal, maka plot barisan yangdiberikan adalah hasil pemrosesan informasi.Terjadi proses memunculkan dan menentukanpembayangan mental. Alasan pemilihan

contoh rumus barisan konvergen adalah yangsesuai dengan pembayangan sebelumnya danlebih mudah untuk diperlihatkan. Hal inisesuai tulisan Anderson & Krathwohl (2007)bahwa mencontohkan adalahmengidentifikasi ciri-ciri pokok dari konsepdan menggunakan ciri-ciri ini untuk memilih.

Untuk menentukan contoh barisan,subjek memperhatikan sumbu koordinat,memunculkan bayangan barisan, kemudianada yang melengkung dengan fungsinya,memilih pembayangan mental yang sesuaiingatan tentang konvergen, dan menentukanrumus contohnya. Hal ini sesuai pendapatSternberg (2008) bahwa orang menarikinformasi dari memori yang aktif denganmelakukan pemindaian terhadap item-itemsecara berurutan.

Selain ditugaskan menjelaskanpemahaman dengan gambar/grafik, untukmenentukan contoh barisan, subjekmenggunakan pembayangan mental. Hal inisesuai dengan teori penyandian-ganda (dalamSuharnan, 2005) yang menyatakan bahwasuatu informasi dapat direpresentasikan dalamdua bentuk sandi yaitu visual dan verbal.Sandi visual adalah sandi atau informasi yangdapat disajikan dalam bentuk gambar.

Setelah membuat atau menentukanrumus contoh barisan konvergen, subjekmendaftar anggota barisan. Subjekmengatakan tidak perlu membuat tabel bantuuntuk menggambarkan. Hal ini menunjukkanbahwa kebiasaan dapat mempengaruhi prosesmemahami. Hal ini sesuai pendapat Suharnan(2005) bahwa individu dan interaksi dapatmempengaruhi individu dalam memahami.

Untuk mendaftar anggota barisan,subjek memperhatikan rumus contoh barisan,mensubstitusikan tiap anggota domain secaraberurutan pada rumus contoh barisan, danmembentuk daftar anggota barisan. Hal inimenunjukkan adanya kontrol dalam



pemrosesan informasi. Sesuai pendapatSternberg (2008) bahwa pengolahan, keluar,dan masuknya informasi dalam WM/STMdiarahkan oleh pemrosesan informasi kontrolyang diarahkan oleh tujuan.

Subjek menyajikan daftar anggotaberisan sesuai urutan. Daftar anggota sesuaiurutannya yang diberikan subjek sesuaidengan urutan nilai fungsi pada tabel bantu.Perbedaan proses yang ada lebih padaperbedaan penyajian. Hal ini sesuai analogiRose & Nicholl (2006) bahwa otak dapatdipandang sebagai hutan raya tempat puluhanribu pohon dengan ratusan ribu cabang besar,jutaan dahan, dan miliaran ranting.

Subjek mengeplotkan anggota barisandengan cara melihat daftar anggota barisan,menyajikan dalam bentuk plot titik-titiksecara berurutan sesuai pasangan padagambar. Subjek mengeplotkan barisankonvergen berdasarkan tabel bantu atau daftaranggota contoh barisan. Hal ini menunjukkanadanya proses transformasi informasi dariangka (informasi verbal) menjadi gambar(informasi visual). Sesuai pendapat Anderson& Krathwohl (2007) bahwa salah satu proseskognitif dalam kategori memahami adalahmenafsirkan, yaitu mengubah informasi darisatu bentuk ke bentuk lain seperti angka jadikata-kata dan kata-kata jadi gambar.

Pembayangan mental barisankonvergen yang diperoleh dari tahapmembayangkan, pada umumnya, masihmerupakan bentuk prototipe. Subjekmerepresentasi gambaran barisan konvergendengan plot barisan di atas sumbu koordinat.Gambar/grafik barisan tersebut diharapkandapat mewakili gambaran-gambaran barisanlain yang ada dalam pikiran. Terjadinyapembentukan prototipe tendensi sentral untukpembayangan mental. Solso, Maclin &Maclin (2007) menjelaskan teori-teoripembentukan prototipe sesuai teori tendensi

sentral yaitu sebuah prototipedikonseptualisasikan mewakili prototipe-prototipe yang lain.

Tahap memperlihatkan gambaranbarisan konvergen sangat penting dalammemahami definisi formal barisan konvergen.Tahap ini selain untuk memperlihatkanpembayangan mental yang diperoleh,memperjelas pembayangan mental dalambentuk gambar/grafik, memperingan kinerjapikiran untuk mengingat gambaran kasar yangdiperoleh. Jika dalam memahami tidak adatahap memperlihatkan gambaran barisan,maka pembayangan mental dari definisi akancepat hilang atau tidak diperoleh. Akibatnya,kebermaknaan definisi dari memahami tidakdiperoleh. Hal ini sesuai pendapat Roam(2011) bahwa memperlihatkan yaitumenggambarkan dan merepresentasikan idesecara visual.

Pada tahap ini terjadi pemindaian dantransformasi informasi. Pemindaian informasidilakukan untuk mendapatkan input visual.Transformasi informasi dari input visualmenjadi pembayangan mental dilakukanuntuk mendapatkan pembayangan mental.Transformasi informasi dari pembayanganmental menjadi informasi non visualdilakukan untuk mendapatkan informasi yangdibutuhkan. Input pemrosesan informasi padatahap ini adalah pembayangan mental hasiltahap membayangkan. Hasil tahap ini adalahgambaran kasar. Pemrosesan informasi padatahap ini bersifat serial sesuai urutan tertentu.

4. Kegiatan/tahap memperlihatkanatribut definisi

Setelah memperlihatkan gambaranbarisan konvergen, subjek memperlihatkangambaran atribut-atribut definisi. Untukmemperlihatkan atribut-atribut definisi,subjek menentukan nilai , menentukan nilai

, menggambarkan garis ± , menentukan

157 Darmadi


nilai ( ), dan menggambarkan garis ( ).Perbedaan urutan proses tersebutmenunjukkan kealamian data. Hal ini sesuaianalogi Rose & Nicholl (2006) bahwapemrosesan informasi dalam otak sangatkompleks.

Setelah menentukan nilai ε dan a,subjek mengatakan bahwa menjabarkan nilaiε dan a. Subjek mengatakan sebagai prosestersendiri. Perbedaan ungkapan tersebutmenuntut peneliti untuk lebih hati-hati. Hal inisesuai pendapat Guba dan Lincoln (dalamNoeng Muhadjir, 2002) bahwa penelitidituntut memiliki sifat responsif, adaptif,sadar pada konteks tak terkatakan,mengklarifikasi, dan memahami jawabansecara lebih dalam.

Untuk menentukan nilai ( ), subjekmenggunakan pembayangan mental karenajuga memperhatikan gambar/grafik yang ada.Urutan proses juga menunjukkan bahwasubjek menggunakan pembayangan mental.Subjek menentukan nilai ( ) setelahmenggambarkan garis ± . Hal inimenunjukkan kealamian data. MenurutSuharnan (2005), definisi, individu, daninteraksi dapat mempengaruhi individu dalammemahami.

Sebelum menentukan nilai , , dan( ), subjek memperhatikan atribut , , dan( ) pada rangkuman definisi. Atribut , ,dan ( ) merupakan input-input visual yangdiperoleh dari scanning atau pemindaianinformasi pada rangkuman definisi. Hal inisesuai dengan penjelasan Sternberg (2008)bahwa orang menarik informasi dari memoriyang aktif dengan melakukan pemindaianterhadap item-item secara berurutan.

Untuk mendapatkan hubungan antaradan , subjek perlu mengoperasikan nilai

dan sehingga diperoleh − < < +. Hal ini sesuai pendapat Solso, Maclin &

Maclin (2007) bahwa pemrosesan informasi

melibatkan manipulasi informasi yangdiindera dan transformasi informasi-informasitersebut menjadi unit-unit yang bermakna.

Garis ± dan ( ) diberikansubjek untuk memperlihatkan hubungan , ,dan ( ). Hal ini sesuai pendapat Solso,Maclin & Maclin (2007) bahwa pemrosesaninformasi melibatkan manipulasi informasiyang diindera dan transformasi informasi-informasi tersebut menjadi unit-unit yangbermakna.

Untuk mendapatkan hubungan antara, , dan ( ), subjek merepresentasikan

atau menggambarkan garis ± dan ( ).Pada tahap ini terjadi pemrosesan informasiuntuk mendapatkan kebermaknaan hubunganantar atribut-atribut pada definisi. Hal inisesuai pendapat Solso, Maclin & Maclin(2007), pemrosesan informasi adalah prosesyang melibatkan penginderaan, manipulasi,dan transformasi informasi menjadi unit-unityang bermakna.

Tahap ini sangat penting untukmemperlihatkan dan mendapatkan hubunganantar atribut-atribut yang ada pada definisiformal barisan konvergen. Memperlihatkanatribut definisi bearti menggambarkan danmerepresentasikan ide secara visual. Hal inisesuai pendapat Roam (2011) bahwamemperlihatkan yaitu menggambarkan danmerepresentasikan ide secara visual.

Input pemrosesan informasi padatahap ini adalah input-input visual, yaitu: , ,dan ( ) yang diperoleh dari rangkumandefinisi (hasil tahap mengenali) dan gambarancontoh barisan konvergen (hasil tahapsebelumnya). Output pemrosesan informasipada tahap ini adalah visualisasi ataugambaran atribut-atribut dan hubungan antarantribut-atribut definisi formal barisankonvergen. Pada tahap ini terjadi pemindaian,manipulasi, dan transformasi informasi.Pemindaian dilakukan untuk mendapatkan



input-input visual, yaitu: , , dan ( ).Manipulasi informasi dilakukan untukmendapatkan informasi yang lebih bermakna,seperti: menentukan nilai , , danmengoperasikannya untuk mendapatkan nilai± dan ( ). Transformasi informasi nonvisual menjadi visual dilakukan untukmendapatkan pembayangan mental, seperti:nilai , , dan ( ) ditransformasi menjadigaris ± dan ( ). Transformasiinformasi visual menjadi non visual dilakukanuntuk mendapatkan informasi yangdibutuhkan, seperti: untuk menentukan nilaidari gambar/grafik atau pembayangan mentalplot barisan. Pemrosesan informasi yangterjadi bersifat serial sesuai urutan-urutantertentu.

5. Kegiatan/tahap menyimpulkan

Tahap terakhir untuk memahamiadalah menyimpulkan. Subjek memberikantiga kesimpulan. Subjek merepresentasikankesimpulannya dalam bentuk tulisan. Subjekmembuat simpulan pertama, simpulan kedua,dan simpulan ketiga.

Untuk membuat simpulan pertama,kedua, dan ketiga, subjek memperhatikanistilah konvergen yang telah diberi keteranganmemusat pada ringkasan, memperhatikanhasil penjabaran kata kunci, danmemperhatikan rumus contoh barisan danhasil pekerjaan memahami. Jika hasilpekerjaan sebelumnya adalah informasi awal,maka informasi-informasi yang menarikperhatian subjek adalah hasil scanning ataupemindaian informasi awal. Hal ini sesuaidengan penjelasan Sternberg (2008) bahwaorang menarik informasi dari memori yangaktif dengan melakukan pemindaian terhadapitem-item secara berurutan.

Setelah memperhatikan bagiantertentu dari coretannya, subjek mencocokkandengan hasil memahami. Jika informasi yang

diperhatikan adalah informasi awal, makahasil mencocokkan adalah hasil pemrosesaninformasi pada proses mencocokkan. Hal inimenunjukkan adanya proses akomodasi danasimilasi. Jika hasil mencocokkan sesuaidengan pengertiannya, maka informasi yangdiperhatikan akan disampaikan sebagaikesimpulan. Hal ini sesuai dengan pendapatSkemp (dalam Solso & Maclin, 2007) bahwauntuk memahami sesuatu diperlukanterjadinya asimilasi informasi baru denganskema yang telah dimiliki. Jika hasilmencocokkan tidak sesuai denganpengertiannya, maka akan dilakukanpencarian kesalahan dan memperbaikinya.Hal ini juga sesuai dengan pendapat Peaget(dalam Solso & Maclin, 2007) bahwamemahami adalah proses adaptasi intelektualdi mana pengalaman dan ide-ide barudiinteraksikan dengan apa yang sudahdiketahui oleh seseorang yang sedang belajaruntuk membentuk struktur pengertian yangbaru.

Setelah mencocokkan bagian yangmenarik perhatian dengan pengetahuannya,subjek menyimpulkan. Jika cocok strukturatau fungsinya, maka dinyatakan sebagaikesimpulan. Jika tidak cocok struktur ataufungsinya, maka cenderung tidak akandinyatakan sebagai kesimpulan. Hal inimenunjukkan adanya pengkategorian objekyang memiliki kemiripan dalam struktur ataufungsinya. Kesimpulan merupakanrepresentasi dari konsep yang baru terbentuk.Hal ini sesuai pendapat Suharnan (2005)bahwa pembentukan konsep adalahpenggunaan aturan-aturan tertentu untukmengkategorikan objek-objek yang memilikikemiripan di dalam struktur atau fungsinya.Jika informasi dari bagian yang menarikperhatian subjek adalah informasi awal, makakesimpulan adalah representasi hasil

159 Darmadi


pengolahan informasi pada prosesmenyimpulkan.

Tahap menyimpulkan merupakantahap akhir dari serangkaian tahap tahap untukmemahami definisi formal barisan konvergen.Menyimpulkan bearti mengabstraksikansebuah konsep atau prinsip yangmenerangkan dengan mencermati ciri-cirinyadengan menarik hubungan di antara ciri-ciritersebut. Tahap ini yang sangat pentingsebagai bentuk representasi hasil segalaproses atau tahap memahami. Jika tidakmenyimpulkan, maka tidak akan diketahuihasil dari pemrosesan informasi atau tahap-tahap memahami. Hal ini sesuai pendapatAnderson & Krathwohl (2007) bahwamenyimpulkan bearti mengabstraksikansebuah konsep atau prinsip yangmenerangkan contoh-contoh tersebut denganmencermati ciri-cirinya dengan menarikhubungan di antara ciri-ciri tersebut.

Subjek merepresentasikan tigakesimpulan sebagai hasil kegiatanmenyimpulkan dalam bentuk tulisan. Hal inisesuai analogi Rose & Nicholl (2006) bahwaotak dapat dipandang sebagai hutan rayatempat puluhan ribu pohon dengan ratusanribu cabang besar, jutaan dahan, dan miliaranranting.

Input tahap ini adalah pengetahuanatau pengalaman yang diperoleh untukmemahami. Hasil tahap ini adalah kesimpulanyang dapat direpresentasikan dalam bentuklisan atau tulisan. Pada tahap ini terjadipemindaian, asimilasi, akomodasi, dantransformasi informasi. Pemindaian informasidilakukan untuk mendapatkan informasi yangmenarik perhatian. Asimilasi dan akomodasidilakukan untuk mencocokkan informasi yangmenarik perhatian dengan pengetahuan yangsudah dimiliki, yaitu: informasi yang menarikperhatian akan ditarik sebagai kesimpulan jikacocok atau sesuai dengan pengetahuan

sebelumnya, informasi yang menarikperhatian tidak akan ditarik sebagaikesimpulan atau bahkan perlu dicek kembalijika tidak cocok atau tidak sesuai denganpengetahuan sebelumnya. Transformasiinformasi dari pengetahuan yang diperolehdalam bentuk respon dilakukan untukmemperjelas kesimpulan, seperti: menyatakankesimpulannya secara lisan atau tulisan.Pemrosesan informasi pada tahap ini bersifatserial sesuai urutan-urutan tertentu.

Kesimpulan

Hasil penelitian menunjukkan bahwauntuk memahami definisi formal barisankonvergen, mahasiswi calon gurumatematika: mengenali, membayangkan,memperlihatkan gambaran barisan konvergendan memperlihatkan gambaran atributdefinisi, dan menyimpulkan.

Daftar Pustaka

Alfeld, P. 2000. Understanding Mathematicsa Study Guide. Department ofMathematics. College of Science.University of Ultah. Download 5Januari 2007.

Anderson & Krathwohl. 2007. KerangkaLandasan Untuk Pembelajaran,Pengajaran, dan Asesmen.

Atkinson & Shiffrin. 1968.http://chiron.valdosta.edu/whuitt/edpsyint.html. diakses tanggal 5 Juni2012.

Bartle, R.G. & Sherbert D.R. 1982.Introduction to Real Analisis.University of Illinois: Urbana-Champaign. Illinois. John Wiley &Sons. Inc.



Darmadi. 2008a. Analisis Real MenurutMahasiswa. Laporan PenelitianTahun 2008. IKIP PGRI Madiun.Penelitian tidak dipublikasikan.

Darmadi. 2008b. “Spektrum Hasil BelajarAnalisis Real Mahasiswa ProgramStudi Pendidikan Matematika IKIPPGRI Madiun Tahun Akademik2008/2009”. Makalah disajikan padaSeminar Nasional UNY, Jogjakarta,5 Desember 2009.

Darmadi. 2008c. “Pengaruh PemanfaatanPowerpoint dalam PembelajaranTerhadap Prestasi BelajarMatematika Tingkat Sekolah DasarDitinjau dari Gaya Belajar Siswa”.Tesis Program Studi PendidikanMatematika, Universitas SebelasMaret.

Darmadi. 2009a. “Pengembangan ModelPembelajaran Analisis Real BerbasisTeori David Tall”. Makalahdisajikan pada Seminar NasionalUNESA, Surabya, 8 Agustus 2009.

Darmadi. 2009b. Persiapan MahasiswaSebelum Kuliah. Laporan PenelitianTahun 2009. IKIP PGRI Madiun.

Darmadi. 2009c. “Spektrum Hasil BelajarKalkulus Mahasiswa Program StudiPendidikan Matematika IKIP PGRIMadiun Tahun Akademik2008/2009”. Makalah disajikan padaSeminar Nasional UNNES,Semarang, 24 Oktober 2009.

Darmadi. 2010. “Perbaikan KualitasPerkuliahan Analisis Real MelaluiLesson Study”. Makalah disajikanpada Seminar Hasil Lesson Study FPMIPA IKIP PGRI Madiun.

Darmadi. 2011a. “Berpikir Analitis, Kreatif,Kritis, dan Inovatif dalamPembelajaran Analisis Real Ditinjaudari Taksonomi Bloom”. Makalah

disajikan pada Seminar NasionalUNESA, Surabaya, 22 Oktober2011.

Darmadi. 2011b. “Imajeri Mahasiswa DalamPembelajaran Analisis Real (StudiKasus Di IKIP PGRI MADIUN)”.Makalah disajikan pada SeminarNasional UNY, Jogjakarta, 3Desember 2011.

Darmadi. 2012a. “Membangun PembelajaranMatematika yang Menyenangkandengan Visualisasi”. Makalahdisajikan pada Seminar NasionalUNY, Jogjakarta, 24 Maret 2012.

Darmadi. 2012b. “Visualisasi Definisi-Definisi Formal pada BarisanBilangan Real”. Makalah disajikanpada Seminar Nasional UNNES,Semarang, 26 Mei 2012.

Darmadi. 2013a. “Analisis Kesulitan BerpikirVisual Dalam Memahami DefinisiFormal Pada Barisan BilanganReal”. Makalah disajikan padaSeminar Nasional UNY, Jogjakarta,9 Nopember 2013.

Darmadi. 2013b. “Profil Berpikir VisualMahasiswa Laki-Laki Calon GuruMatematika Dalam MemahamiDefinisi Formal Pada BarisanBilangan Real”. Makalah disajikanpada Seminar Nasional UNS,Surakarta, 20 Nopember 2013.

Darmadi. 2013c. “Profil Berpikir VisualMahasiswa Perempuan Calon GuruMatematika Dalam MemahamiDefinisi Formal Pada BarisanBilangan Real”. Makalah disajikanpada Seminar Nasional UNS,Surakarta, 20 Nopember 2013.

Depdiknas, 2006. Kurikulum Tingkat SatuanPendidikan (KTSP). Jakarta:Departemen Pendidikan Nasional.

161 Darmadi


Diene, Z. P. 1971. Building up Mathematics:Diene on the Learning ofMathematics. 4th edition. London:Hutchinson Education Ltd. Ch. 2 pp:18-40.

Fitri Rositasari. 2006. “EfektifitasPemanfaatan PowerPoint UntukMeningkatkan Prestasi BelajarPenyajian dan Pengumpulan Data diSDN Banjarejo Tahun Akademik2005/2006”. Skripsi, IKIP PGRIMadiun.

Goldberg, R.R. 1976. Methods of RealAnalysis. The University of Lowa.United State of America. John Wiley& Sons, Inc.

Hamzah B.U. 2007. Model Pembelajaran.Jakarta: Bumi Aksara.

Hartono, S. 2010. Mental Imagery: Tinjauandari Segi Filsafat, Ilmu-IlmuKognitif dan Neurologis. Surabaya:UNESA University Press.

Hulse, dkk. 1981. The Psychology of Learning(International student edition). NewYork: McGraw-Hill InternationalBook Company.

Jensen, E. 2008. Brain-Based Learning: TheNew Science of Teaching & Training(Pembelajaran BerbasisKemampuan Otak: Cara Baru dalamPengajaran dan Pelatihan). EdisiRevisi. Terjemahan Narulita Yusron.Yogyakarta: Pustaka Pelajar.

Kemp. J.E. 1994. Proses PerancanganPengajaran. (Terjemahan olehMarjohan Asril). Bandung: ITBPress.

Kolh, D.A. 1984. Experiential Learning.New York: Prentice-Hall.

Lieb, S. 1991. Principles of Adult Learning.Senior Technical Writer and Planner,

Arizona Department of HealthServices and part-time Instructor,South Mountain CommunityCollege.

Masruri, Y. 2013. Pembayangan Mental(Mental Image). Posting: 02 Dec2013. Alamat web:http://m.kompasiana.com/post/read/615840/2/ pembayangan-mental-mental-imagey.html. Diakses: 6 Juli2014.

Nemirovsky, R. & Noblemany, T. 1997. OnMathematical Visualization and ThePlace Where We Live. EducationalStudies in Mathematics 33: 99–131,1997. © 1997 Kluwer AcademicPublishers. Printed in TheNetherlands.

Pinto, M.M.F. & Tall, D. 1999. StudentConstructions of Formal Theory:Giving and Extracting Meaning.Published in Proceedings of the 23rdConference of PME, Haifa, Israel,(1999), 3, 281–288.

Polya G. 1973. A New Aspect of MatematicalMethod. Second edition. Princeton,New Jersey: Princeton UniversityPress.

Roam D. 2011. The Magic of Picture.Diterjemahkan dari The Back ofNapkin. Jakarta selatan: Ufuk Press,PT. Ufuk Publishing House.

Rose, C. & Nicholl, M.J. 2006. AcceleratedLearning for the 21th Century.Penterjemah: Dedy Ahimsa.Bandung. Penerbit Nuansa.

Santrock, J.W. 2009. Psikologi Pendidikan.Educational Psychology. Edisi 3.Buku 1. Jakarta: Salemba.

Schunk. 2012. Learning Theories anEdycational Perspective. Teori-Teori Pembelajaran: Perspektif



Pendidikan. Edisi keenam.Penerjemah: Eva Hamdiah, RahmatFajar. Yogyakarta: Pustaka Pelajar.

Solso, R.L., Maclin O.H., Maclin M.K. 2007.Psikologi Kognitif. 8ed. Alih BahasaMikael Rahardanto dan KristiantoBatuadji. Editor: Wibi Hardani.Jakarta: Penerbit Erlangga.

Sternberg, R.J. 2008. Psikologi Kognitif..Judul Asli: Cognitif Psychology.Penerjemah: Yudi Santoso.Penyuting: Saiful Zuhri Qudsy.Yogyakarta: Pustaka Pelajar.

Suharnan. 2005. Psikologi Kognitif.Surabaya: Srikandi.

Suhartini. 2007. “Peningkatan Keaktifan danPrestasi Belajar Matematika denganVCD Pembelajaran pada PokokBahasan Fungsi Siswa Kelas VIIASMP Negeri 2 Mejayan KabupatenMadiun Tahun Pelajaran2007/2008”. Skripsi, IKIP PGRIMadiun

Suparman. 2012. Panduan Para Pengajar &Inovator: Pendidikan DesainInstruksional Mpdern. Jakarta:Erlangga.

Sutiarso, S. 2000. Problem Posing: StrategiEfektif Meningkatkan Aktivitas Siswadalam Pembelajaran Matematika.Prosiding Konperensi NasionalMatematika X. ITB, 17-20 Juli 2000.

Tall. 1988. “Concept Image and ConceptDefinition”. Senior SecondaryMathematics Education, (ed. Jan deLange, Michiel Doorman), OW&OCUtrecht, 37–41.

Tall. 1991. “Intuition And Rigour : The Roleof Visualization in The Calculus”.Visualization in Mathematics (ed.Zimmermann & Cunningham),M.A.A., Notes No. 19, 105–119

Tall. 1994a. “A Versatile Theory ofVisualisation and Symbolisation inMathematics”. Plenary Presentationat the Commission Internationalepour l’Étude et l’Amélioration del’Ensignement des Mathématiques,Toulouse, France, July 1994

Tall. 1994b. “The Psychologyof AdvancedMathematical Thinking: BiologicalBrain and Mathematical Mind”.Prepared for the Working Group onAdvanced Mathematical Thinking, atthe Conference of the InternationalGroup for the Psychology ofMathematics Education, Lisbon,July 1994.

Tall. 1995. “Cognitive Development,Representations and Proof”. Thispaper was prepared for theConference on Justifying andProving in School. Mathematics,Institute of Education, London,December 1995, pp. 27–38.

Tall. 2005a. “A Theory of MathematicalGrowth through Embodiment,Symbolism and Proof”. Written forthe International Colloquium onMathematical Learning from EarlyChildhood to Adulthood, organisedby the Centre de Recherche surl’Enseignement des Mathématiques,Nivelles, Belgium, 5-7 July 2005.

Tall. 2005b. “The Transition from EmbodiedThought Experiment and SymbolicManipulation to Formal Proof”. Thisarticle is written for the DeltaConference, on Frazer Island,Australia, November 2005.

Siswono, T.Y.E. 2011. “PembelajaranMatematika Berbasis Pengajuan danPemecahan Masalah (JUCAMA)untuk Meningkatkan KemampuanBerpikir Kreatif Siswa”. Makalahdisajikan pada Seminar NasionalUNESA, Surabaya, 22 Oktober 2011

163 Darmadi


Wasan, S.K. & Prakash, R. Ramjas College:Real Analysis. University of Delhi;Rajdhani College. University ofDelhi. New Delhi: Tata McGraw-Hill Publising Company Limited.

Documents

PROFIL AKTIVITAS MAHASISWI CALON GURU MA TEMATIKA DALAM … · bilangan real sehingga diperoleh pengertian dan sifat-sifat secara tepat, menyeluruh, dan mendalam. Barisan bilangan