Hệ phương trình trong các đề thi

HÖ ph¬ng tr×nh trong çc ®Ò thi ®¹i häc Bµi 1) Giải hệ phương trình : ( x - y ) ( x2 - y2 ) = 3

( x + y ) ( x 2 + y2 ) = 15 G¶i Hệ viết lại: ( x + y ) ( x - y )2 = 3 ( x + y ) [ ( x + y )2 - 4xy] = 3 ( x + y ) [ (x + y )2 - 2xy ] = 15 ( x + y)3 - 2xy ( x + y ) = 15

( x + y )3 - 4xy (x + y) = 3 2xy (x + y) = 12 (x + y )3 - 2xy (x + y) = 15 (x + y)3 - 2xy(x + y) = 15 2xy (x + y) = 12 x + y = 3

(x + y)3 = 27 xy = 2 x, y là nghiệm của phương trình : t2 - 3t + 2 = 0 t = 1 t = 2 Vậy nghiệm của hệ: x = 1 ; y = 2 và x = 2 ; y = 1Bài 2 . Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : .Giải* HÖ ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi

§Æt * Thay vµo hÖ ph¬ng tr×nh ta cã:

hoÆc

thÕ vµo çch ®Æt ta ®îc çc nghiÖm cña hÖ lµ : ;; ;

bài4 Giải hệ phương trình:

Giải: (1) y 0

Hệ

Đặt a = 2x; b = . Ta có hệ:

Hệ đã cho có 2 nghiệm

Bài 5:Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau:

Ciải

HD1: Khi y=0, hÖ V« nghiÖm

Khi y 0. hÖ . ®Æt HÖ:

Bài 6 Giải hệ phương trình: (x, y ) Giải

Hệ đã cho tương đương với :

Bài 7 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

Gải§iÒu kiÖn:

HÖ ph¬ng tr×nh

Gi¶i ra vµ kÕt hîp ®iÒu kiÖn ®îc nghiÖm (2; 1)

Bài 8 . Giải hệ phương trình: .

Gải 2.

…

Hệ có nghiệm: .

Bài 9 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có 2 nghiệm

phân biệt:

2

33 3

22 ( 2 5)

log ( 1) log ( 1) log 4

log ( 2 5) log 2 5x x

x x

x x m

Giải

TXĐ: x>1, giải (3) đc: 1 <x <3

Đặt Từ Bảng biến thiên của suy ra

;

(4) 2 5t t m , xét hàm, lập BBT được 25

; 64

m

Bài 10 Giải hệ phương trình:

Giải Đặt:

Hệ phương trình viết lại:

Khi v = 2 u = 6, ta có hệ phương trình:

Khi , ta có hệ phương trình:


Gải Hệ Đặt a = 2x; b = . Ta có hệ:

ĐS: Hệ đã cho có 2 nghiệm

Bài 12 Giải hệ phương trình: (x, y ) Giải

Đặt x y = t, xy = u ta có hệ

(t = 0; u = 0), (t = 1; u = 2).

x = y = 0 (x = 1 ; y = 2), (x = 2 ; y = 1)

Bài 13) Giải hệ phương trình:

Ciải

Đặt . Ta có hệ:

Vậy hệ

Bài 15. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh , víi Èn .

Gải

ĐK x ≠ 1; y ≠ -1. Quy ®ång ®a vÒ hÖ

(rót ®îc y

= 3 - x)

; VËy nghiÖm cña hÖ lµ

Bài 16 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

Bài 17Giải hệ phương trình

Gải 2. Điều kiện: x ≥ 2 và y ≥ 2 : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:

x = y (trong ngoặc luôn dương và x và y đều lớn hơn 2)

Vậy từ hệ trên ta có:

x = 3

Vậy nghiệm của hệ x = y = 3


Giải 1. Điều kiện:

Từ (1) x = 4y Nghiệm của hệ (2; )

Bài 18 . Giaûi phöông trình:

Bài 19 Giải hệ phương trình

Giải

Thay (2) vào (1)

x(x3 + 12x2 + 48x + 64) = 0 x = 0 hay x = 4

x = 0 (1) : vô nghiệm; x = 4 y =

Vậy hệ (x = 4; y = )

Bài 20 Giải hệ phương trình :

Bài 21 Giải hệ phương trình: .

Giải

Điều kiện:

Phương trình đầu của hệ thành:

Với t = 0 suy ra x = y

Với x= y thay vào phương trình thứ 2 của hệ ta được:

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm(x ; y) như trên


Bài giải

ĐK: ; .

.

Khi x=2y ; (loại) .


Giải 2.

y = 0 hệ vô nghiệm y 0 hệ

Đặt a = ; b =

Ta có hệ là

hay . Vậy hay

hay (VN) hay

Bài 25 . Giải hệ phương trình: Đặt u = x 1, v = y 1

(I) thành

Xét hàm f(x)

f ´(x)

Vậy f đồng biến nghiêm cách trên R. Nếu u > v f(u) > f(v) v > u ( vô lý ) Tương tự nếu v > u cũng dẫn đến vô lý

Do đó hệ (II)

Đặt: g(u)

Vậy g(u) đồng biến nghiêm cách trên R.Ta có g(0) = 1. Vậy u = 0 là nghiệm duy nhất của (1)

Nên (II) u = 0 = v Vậy (I) x = y = 1.

Bài 26 . Giải hệ phương trình

Bài giải y = 0 hệ vô nghiệm

y 0 hệ

Đặt a = ; b =

Ta có hệ là

hay . Vậy hay

hay (VN) hay

Bài 27 . Giải hệ phương trình :

( Đáp số : (2;1) ; (2; -1) ;


Giải . Hệ phương trình . Đặt : 2u x y

v xy

.

2

2 22

5u 1 v u 0u uv v u uv u 0

4(I) 5 55 u v u vu v 4 44


Bài 30 Giải hệ phương trình: (x, y R)

Giải

ĐK: x + y 0 , x - y 0, y 0

PT(1) Từ PT(4)

y = 0 v 5y = 4x Với y = 0 thế vào PT(2) ta có x = 9 (Không thỏa mãn đk (3))Với 5y = 4x thế vào PT(2) ta có

KL: HPT có 1 nghiệm

Bài 31 Giải hệ phương trình sau : .

Giải * ĐK : y > 0 Phương trình ẩn y có 2 nghiệm là: y = -2x (loại) và y = 2x+1 Với y = 2x+1 thay vào pt (1) có: giải pt thì x = -1 và x = 4Với x = -1 thì y = 1, Nghiệm (x; y) là: (-1;1) Với x = 4 thì y = 32, Nghiệm (x;y) là: (4;32)

Bài 32 Giaûi heä phöông trình:

Bài 33Giải hệ phương trình

Bài34 . Giải hệ phương trình:

Giải

Đặt u = x 1, v = y 1 (I) thành

Xét hàm f(x) f ´(x)

Vậy f đồng biến nghiêm cách trên R. Nếu u > v f(u) > f(v) v > u ( vô lý ) Tương tự nếu v > u cũng dẫn đến vô lý

Do đó hệ (II)

Đặt: g(u)

Vậy g(u) đồng biến nghiêm cách trên

R.Ta có g(0) = 1. Vậy u = 0 là nghiệm duy nhất của (1) Nên (II) u = 0 = vVậy (I) x = y = 1.


VËy hÖ ®· cho cã 2 nghiÖm lµ : ( 3 ; 2) vµ ( -2 ; -3 )

LÊy (2’) - (1’) ta ®îc : x2 y– xy2 = 6 (3)KÕt hîp víi (1) ta cã :

. §Æt y = - z ta cã :

®Æt S = x +z vµ P = xz ta cã :

Ta cã : . HÖ nµy cã nghiÖm hoÆc

Bài 36 . gi¶i hÖ PT :

Bµi 37 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

Ci¶i §iÒu kiÖn: x -1, y 1Céng vÕ theo vÕ råi trõ vÕ theo vÕ ta cã hÖ

§Æt u= , v = . Ta cã hÖ

lµ nghiÖm cña hÖ

Bµi 39 . Giải hệ phương trình:

Gi¶i 1. Điều kiện:

Từ (1) x = 4y

Nghiệm của hệ (2; )

Bµi 40

Giải hệ phương trình .

Ta có: .

Khi thì hệ VN.

Khi , chia 2 vế cho .

Đặt , ta có : .

Khi ,ta có : HPT .

Bµi 41Giải hệ phương trình: .

Dễ thấy , ta có:

Đặt ta có hệ:

+) Với ta có hệ: .

+) Với ta có hệ: , hệ này vô

nghiệm.

KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: Bµi 42

Giải hệ phương trình: .

Điều kiện: x+y>0, x-y>0

Đặt: ta có hệ:

. Thế (1) vào (2) ta có:

.

Kết hợp (1) ta có: (vì u>v). Từ đó ta có: x =2; y =2.(T/m)

KL: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2).

Bµi 43Giải hệ phương trình .

ĐK: x>0 , y>0 : (1) log3xy = 1 xy = 3y=

(2) log4(4x2+4y2) = log4(2x2 +6xy) x2+ 2y2 = 9

Kết hợp (1), (2) ta được nghiệm của hệ: ( ; ) hoặc ( ; )

Bµi 44Giải hệ phương trình:

1. Điều kiện: Từ (1) x

= 4y

Nghiệm của hệ (2; )

Bµi 45 Giải hệ phương trình .

Ta có: .

Khi thì hệ VN.

Khi , chia 2 vế cho .

Đặt , ta có : .

Khi ,ta có : HPT .

Bµi 46 Giải hệ phương trình: .

ĐK: x>0 , y>0 : (1) log3xy = 1 xy = 3y=

(2) log4(4x2+4y2) = log4(2x2 +6xy) x2+ 2y2 = 9

ĐK: x>0 , y>0 : (1) log3xy = 1 xy = 3y=

(2) log4(4x2+4y2) = log4(2x2 +6xy) x2+ 2y2 = 9


Đặt ta có hệ:



nghiệm.KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:

3.Giải hệ phương trình

+ Điều kiện: .

+ Ta có:

+ Đặt thì (1) trở thành:

Với ta có: Thế vào (2) ta có:

. Suy ra: .

+ Kiểm tra thấy chỉ có thoả mãn điều kiện trên.Vậy hệ có nghiệm duy nhất .

Bµi 46 Giải hệ phương trình sau : .

* ĐK : y > 0 Phương trình ẩn y có 2 nghiệm là: y = -2x (loại) và y = 2x+1

* Với y = 2x+1 thay vào pt (1) có: giải pt thì x = -1 và x = 4* Với x = -1 thì y = 1, Nghiệm (x; y) là: (-1;1) Với x = 4 thì y = 32, Nghiệm (x;y) là: (4;32)

Bµi 47 Giải hệ phương trình: .




.



Bµi 48 Tìm m để hệ phương trình: có nghiệm

thực

2/.

Điều kiện:

Đặt t = x + 1 t[0; 2]; ta có (1) t3 3t2 = y3 3y2.

Hàm số f(u) = u3 3u2 nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên:

(1) t = y y = x + 1 (2)

Đặt v[0; 1] (2) v2 + 2v 1 = m.

Hàm số g(v) = v2 + 2v 1 đạt

Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 m 2

Bµi 49 Giải hệ phương trình

ĐK :

hệ đưa hệ về dạng

Từ đó ta có nghiệm của hệ

(-1 ;-1),(1 ;1), ( ), ( )

Bµi 49 Giải hệ phương trình:

Dễ thấy (4) vô nghiệm vì x+y>0 Thế (3) vào (2) ta được

Giải hệ ……

Bµi 50: . Giải hệ phương trình:

Gi¶i

Bµi 51: Giải hệ phương trình

Gi¶iĐK :

hệ đưa hệ về dạng

Từ đó ta có nghiệm của hệ

(-1 ;-1),(1 ;1), ( ), ( )

Bµi 52 . Giải hệ phương trình

Gi¶i

ĐK:

Hệ phương trình

(do )

Giải (1):

Với x = 0 thay vao (2) ta được y = 0

Với thay vao (2) ta được y =

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là ,y =

Bµi 54 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh , víi Èn .

Gi¶i

§K x ≠ 1; y ≠ -1. Quy ®ång ®a vÒ hÖ

(rót ®îc y = 3 - x)

; VËy nghiÖm cña hÖ lµ

Bµi 55: Giải hệ phương trình sau:

Gi¶i ĐK: x + y 0

Ta có hệ

Đặt u = x + y + ( ) ; v = x – y ta được hệ :

Giải hệ ta được u = 2, v = 1 do ( )

Từ đó giải hệ

Bµi 56: Giải hệ phương trình: ( )

Gi¶i

Bµi 57: Giải hệ phương trình :

+) ĐK:

+)

+) Đặt

+) Với x = y, kết hợp (1) ta được x = y = 1 (loại) và x = y = 3 (nhận).+) Với x = y-2, kết hợp với (1) ta được y2 = 1 (loại), y = - 4 (loại)Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x = y =3.

Bµi 58: Cho hệ phương trình :

Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt (x1;y1);(x2;y2);(x3;y3) sao cho x1;x2;x3 lập thành cấp số cộng .Đồng thời có hai số xi thỏa mãn > 1Gi¶i

Trước hết phải có 2 nghiệm pbiệt x1 ; x2

Có thể xảy ra ba trường hợp sau đây theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

+Trường hợp 1 : ; x1 ; x2

+Trường hợp 2 : x1 ; x2 ;

+Trường hợp 3 : x1 ; ; x2

Xét thấy Trường hợp 1 ;2 không thỏa mãn. Trường hợp 3 ta có

đúng với mọi m >

Đồng thời có hai số xi thỏa mãn > 1 ta cần có thêm điều kiện sau

Đáp số : m > 3

Bµi 58 Giải hệ phương trình.

Đặt : t = x + y ; ĐK: t

Giải PT:

Hệ đã cho trở thành

Vậy hệ dã cho có một nghiệm

Bµi 59: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:

Bµi 60: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

Gi¶i

61 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

Gi¶i §K:

ThÕ (2) vµo (1) ta cã:

Bµi 63: Giải hệ phương trình:

Dễ thấy (4) vô nghiệm vì x+y>0 Thế (3) vào (2) ta được

Giải hệ ……

Bµi66:

Giải hệ phương trình

ĐK:

Hệ phương trình

(do )

Giải (1):

Với x = 0 thay vao (2) ta được y = 0

Với thay vao (2) ta được y =

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là ,y =

Bµi 68: Tìm m để hệ phương trình: có nghiệm

thực.

2/.

Điều kiện:

Đặt t = x + 1 t[0; 2]; ta có (1) t3 3t2 = y3 3y2.

Hàm số f(u) = u3 3u2 nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên:

(1) y = y y = x + 1 (2)

Đặt v[0; 1] (2) v2 + 2v 1 = m.

Hàm số g(v) = v2 + 2v 1 đạt

Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 m 2

Bµi69: Giải hệ phương trình: .




.



Bµi 70:Giải hệ phương trình:

Bµi 71:) Giải hệ phương trình: .


Đặt ta có hệ:



nghiệm.KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:

Bµi 72Giải hệ phương trình

+ Điều kiện: .

+ Ta có:

+ Đặt thì (1) trở thành:

Với ta có: Thế vào (2) ta có:

. Suy ra: .

+ Kiểm tra thấy chỉ có thoả mãn điều kiện trên.Vậy hệ có nghiệm duy nhất .

Bµi 73 Giải hệ phương trình .

Giải.

Hệ phương trình xác định khi .

Đặt . Khi đó phương trình thứ nhất trở thành

.

Từ cách đặt ta có .

Khi đó phương trình thứ hai trở thành

, do nên .

.

Bµi 74:Giải hệ phương trình : (x, y R).

(1) hay (loại) 2x + y = 1 y = 1 – 2x (3)Thay (3) vào (2) ta có: x2 – 2x(1 – 2x) – (1 – 2x)2 = 2

x2 + 2x – 3 = 0 x = 1 hay x = -3Khi x = 1 thì y = -1; khi x = -3 thì y = 7

Vậy nghiệm của hệ phương trình là hay

Documents

Hệ phương trình trong các đề thi