Upload
jon-arnold-grey
View
226
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/22/2019 HO 01 Podst Pojecia
1/20
PODSTAWOWE POJCIA
UYWANE W HYDROMECHANCE
7/22/2019 HO 01 Podst Pojecia
2/20
Ukady wsprzdnych
Wielkoci fizyczne nie mog zalee od ukadu wsprzdnych wjakim si je rozpatruje. Wszystkie rwnania ruchu i inne operatory
hydromechaniczne s wane w kadym rozpatrywanym ukadzie
wsprzdnych:
kartezjaskim, walcowym,
sferycznym,
parabolicznym, itp.Aby zapisa rwnanie w wybranym ukadziewsprzdnych naley
znale skadowe tego rwnania w rozpatrywanym ukadzie. Naley
stara si o zastosowanie najbardziej naturalnego ukadu
wsprzdnychdo rozpatrywanego zagadnienia.
7/22/2019 HO 01 Podst Pojecia
3/20
Ukady wsprzdnych
Znajdziemy teraz wyraenia do zapisania operatorw
hydromechanicznego pola i rwna ruchu pynu w dowolnychkrzywoliniowych ukadach wsprzdnych. Bdziemy stosowa
ukadyprawoskrtne.
Na kady punkt N w obszarze V moe by
wyznaczony przez promie wiodcy, ktry wkartezjaskim ukadzie wsprzdnych 0xyz
jest dany:
zkyjxir
(x, y, z) to skadowe wektora r lub wsprzdne punktu N. Punkt N
wyznaczony zostaje takeprzez przecicietrzech powierzchni z, y i z.
Wzduosi 0x, 0y i 0z skierowane swektory jednostkowe wersory:
kji
,,
S one prostopade do siebie i zachowuj swe kierunki wewszystkich punktach przestrzeni.
7/22/2019 HO 01 Podst Pojecia
4/20
Ukady wsprzdnych
Dla krzywoliniowych ukadw wsprzdnych oznaczonych przez
powierzchnie q1, q2 i q3, ktrych przecicie wyznacza punkt N. Wkierunku wzrastajcychwartociq1, q2i q3moemyskierowastyczne
do tych linii q1, q2i q3ortogonalne wektory jednostkowe:
speniajcewarunek:
321 ,, eee
- wektory bazy przewanienie sstae, ale zmieniajsi od
punktu do punktu w przestrzeni, co moemyzapisa:
ijji ee
Pomidzy kartezjaskim a ortogonalnym wkadem wsprzdnych(q1, q2, q3) istnieje jednoznaczna odpowiednio. Zatem:
321 ,, eee
321333212232111 ,,,,,,,, qqqeeqqqeeqqqee
321
321
321
,,
,,,
,,,
qqqzz
qqqyy
qqqxx
i
zyxqq
zyxqq
zyxqq
,,
,,,
,,,
33
22
11
lub
rqqqqqrr ii
i,, 321
7/22/2019 HO 01 Podst Pojecia
5/20
Ukady wsprzdnych
Dla walcowego ukadu wsprzdnych q1 = r, q2 = , q3 = z przy
czym r 0; +), 0;2, z (- , +).
- promiewiodcy,jego przyrost:
zzryrx
eeeeee zr
,sin,cos
,, 321
332211 dsedsedsedzkdyjdxird
gdzie dsi skadowe przyrostw dr wbazie ukadukrzywoliniowego3
3
2
2
1
1
333222111
dqq
rdq
q
rdq
q
r
dqHedqHedqHe
maj kierunek stycznej do linii
wsprzdnychqi.
r
33
3
22
2
11
1
,, Heq
rHe
q
rHe
q
r
7/22/2019 HO 01 Podst Pojecia
6/20
Ukady wsprzdnych
Hito wspczynnikiLamego, oglnie:
Zatem:
333222111 ,, dqHdsdqHdsdqHds
i iiii q
zkqyj
qxi
qr
czyli
zkyjxirq
rH
i
i
gdzie,
222
2
2
iiii
i q
z
q
y
q
x
Hq
r
2222
2
iiii
i
q
z
q
y
q
x
q
rH
7/22/2019 HO 01 Podst Pojecia
7/20
Element powierzchni i objtoci
332211 dSedSedSedSnSd
Element powierzchni dS w krzywoliniowym ukadzie
wsprzdnych:
Std2
3
2
2
2
1 dSdSdSSddS
3232321 dqdqHHdsdsdS
1313132 dqdqHHdsdsdS
2121213 dqdqHHdsdsdS wektor zewntrznejnormalnej:332211 nenenen
7/22/2019 HO 01 Podst Pojecia
8/20
Element powierzchni i objtoci
321321332211 dqdqdqHHHdsdSdsdSdsdSdV
Element objtocidV w krzywoliniowym ukadziewsprzdnych:
Elementy powierzchni w ukadzie walcowym, gdzie powierzchnia
boczna o promieniu r:
dzrddqdqHHdSdS
32321
11dSedSnSd
Podobnie w ukadziesferycznym:reen
1
ddHHedSedSnSd rrr
ren
7/22/2019 HO 01 Podst Pojecia
9/20
DEFINICJE w skrcie
Wektor nabla:z
iy
ix
i zyx
Wzory umoliwiajce obliczanie operacji wektorowych we
wsprzdnychkartezjaskich:
Gradient funkcji skalarnejf: fz
fi
y
fi
x
fif zyx
grad
Laplasjan funkcji skalarnejg:2
2
2
2
2
22
z
g
y
g
x
gg
7/22/2019 HO 01 Podst Pojecia
10/20
Dywergencja pola wektorowego:
A
AAdiv
zA
yA
xA zyx
Rotacja pola wektorowego:A
AArot
zyx
zyx
AAA
zyx
iii
Laplasjan pola wektorowego: A
zzyyxx AiAiAi 2222 A
DEFINICJE w skrcie
7/22/2019 HO 01 Podst Pojecia
11/20
Gradient funkcji skalarnejRniczkazupenafunkcji skalarnej :
3
3
2
2
1
1
dss
dss
dss
d
Poniewadsi=Hidqi, to:
332211
3
3
2
2
1
1 dsedsedses
es
es
e
sdgrad
33
3
22
2
11
1
qH
e
qH
e
qH
egrad
gdzie33
3
22
2
11
1
qH
e
qH
e
qH
e
7/22/2019 HO 01 Podst Pojecia
12/20
Gradient funkcji skalarnejDla kartezjaskiegoukaduwsprzdnychH1 =H2 =H3=1oraz
zvv
rvv
rvv zr
321 ,1,
Jelijest potencjaemprdkocipynu
dzdsdydsdxdskejeie 321321 ,,i,,
332211 vevevev
to
33
3
22
1
11
1
1,
1,
1
qHvqHvqHv
W walcowym ukadziewsprzdnych:
W sferycznym ukadziewsprzdnych:
sin
1
,
1
, 321 rvvrvvrvvr
7/22/2019 HO 01 Podst Pojecia
13/20
Dywergencja prdkoci i tensora napre
Dywergencja prdkoci:
z
v
y
v
x
v
vvdiv
zyx
to iloczyn skalarny operatora(nabla) i prdkociv.Dywergencja tensora napreP:
zp
yp
xpPdivP zyx
Dywergencja tensora jest wektorem o skadowychna osi x, y, x:
zpy
p
xpdivP
z
p
y
p
x
pdivP
z
p
y
p
x
pdivP
zzyzxzz
zyyyxy
y
zxyxxxx
,
,
7/22/2019 HO 01 Podst Pojecia
14/20
Dywergencja tensora napre
Stosujcpojciedywergencji tensora napre rwnanie rniczkowe
ruchu pynumonazapisa:
divPFdt
vd
1
lubPF
dt
vd
1
7/22/2019 HO 01 Podst Pojecia
15/20
Rotacja prdkociRotacja prdkociw kartezjaskimukadziewsprzdnych:
zyx vvv
zyx
kji
vvrot
Czstorot voznacza siprzez :
zyx kji
Std
y
v
x
v
vrot
x
v
z
vvrot
zv
yvvrot
xy
zz
zxyy
yzxx
7/22/2019 HO 01 Podst Pojecia
16/20
Laplasjan
Laplasjan prdkocivjest wektorem, ktry w ukadziekartezjaskim
ma posta:
zyx vkvjviv 2222
Laplasjan funkcji skalarnej(q1, q2, q3):
dla wsprzdnych walcowych, H1=1, H2=r, H3=1, q1=r, q2=, q3=z
2
2
2
2
211
zrrr
rr
dla wsprzdnychbiegunowych :
2
2
2
11
rrrrrr
dla wsprzdnychsferycznych, H1=1, H2=r, H3=r sin , q1=r, q2= , q3=
2
2
222
2
2 sin
1sin
sin
11
rrrr
rr
7/22/2019 HO 01 Podst Pojecia
17/20
Rwnanie linii prdu i linii wirowychRwnanie linii prdu:
0 sd
321
321
321
0
dsdsds
vvv
eee
sdv
std 332211 vdsvdsvds Rwnanie linii wirowych:
i3
3
2
2
1
1
dsdsds
7/22/2019 HO 01 Podst Pojecia
18/20
Przyspieszenie elementu pynu, tensor prdkoci
Obliczamy:
332211gdzie, vevevevvSdt
vd
dt
vd
Po rozpisaniu wzorw otrzymamy tensor prdkociS:
33
3
22
2
11
1qHvv
qHvv
qHvvvvvS
TvSSS
SSS
SSS
S
333231
232221
131211
7/22/2019 HO 01 Podst Pojecia
19/20
Przyspieszenie elementu pynu, tensor prdkoci
Dywergencjaprdkoci:
332211321 SSSvdiv
Rotacja prdkociprzy pomocy elementw tensora:
TSSS 21
vStv
dtvd
Przyspieszenie elementu pynu:
7/22/2019 HO 01 Podst Pojecia
20/20
Koniec wykadu.