11HUKUM-HUKUM ALJABAR BOOLETujuan PercobaanAdapun tujuan percobaan yang kami lakukan adalah:Untuk membuktikan hukum-hukum aljabar Boole berdasarkan hasil pengamatan.Berlatih mewujudkan suatu persamaan aljabar Boole ke dalam bentuk rangkaian logika.Deskripsi TeoritisPikiran logika diikuti oleh rangkaian dalam computer digital, sehingga disebut logika symbol yang ditemukan oleh Boole untuk menyelesaikan soal-soal logika, dapat diterapkan dalam arah dari rangkaian-rangkaian digital. Logika ini merupakan logika berharga dua, dengan menggunakan aljabar biasa dalam semua hal. Sehingga, logika ini dinamakan aljabar Boole (Boolean algebra).Aljabar logika atau Aljabar Boole adalah suatu aljabar yang menyatakan hubungan antara variabel yang berupa pernyataan-pernyataan yang hanya memungkinkan dua keadaan atau dua harga untuk suatu peubah(vo). Dalam logika, dua keadaan ini menggambarkan benar atau salah dan dalam rangkaian, mereka menunjukkan hidup atau mati, atau keadaan jenuh atau putus suatau peralatan elektronika. Dua kemungkinana keadaan dari aljabar Boole ini biasanya dinyatakanoleh 0 atau 1".Hanya tiga operasi digunakan pada variable dalam aljabar Boole. Operasi ini adalah : (i) penambahan OR dinyatakan oleh tanda tambah (+), (ii) perkalian AND dinyatakan oleh tanda silang (x) atau titik ( . ), dan (iii) operasi NOT yang dinyatakan oleh garis di atas peubah. Operasi yang dinyatakan oleh symbol + dan ini tidak sama dengan aljabar biasa. Arti dari operasi-operasi Boolean ini akan dijelaskan sebagai berikut:Penambahan ORTanda + dalam aljabar Boole berarti penambahan OR, yakni menggambarkan ofsi gerbang OR. Atau dapat pula dikatakan, bahwa gerbang OR adalah suatu alat yang melaksanakan operasi yang dinyatakan oleh tanda +. Persamaan Y = A + B dalam aljabar Boole dibaca Y sama dengan A atau B dan berarti bahwa A dan B harus dinyatakan dengan cara yang sama dengan gerbang OR mengkombinasikan mereka. Aturan penambahan Or ini sama dengan yang telah dibuat oleh tabel kebenaran gerbang OR, yaitu: Tabel Kebenaran Gerbang ORABY000011101111Kalau A = 0, B = 0,Y = 0, maka Y = A + B = 0 + 0 = 0Kalau A = 0, B = 1, Y = 1, maka Y = A + B = 0 + 1 = 1Kalau A = 1, B = 0, Y = 1, maka Y = A + B = 1 + 0 = 1Kalau A = 1, B = 1, Y = 0, maka Y = A + B = 1 + 1 = 1ABNYSimbol standar dari gerbang ORPernyataan Boole untuk gerbang OR dengan n masukan digambaarkan oleh A,B,.,N dapat dituliskan sebagai berikut:(1)dimana Y adalah keluaran gerbang. Persamaan (1) dibaca Y sama dengan A atau B atau..N.Perkalian ANDDalam aljabar Boole tanda perkalian silang (x) atau titik ( . ) mempunyai arti lain. Dalam aljabar Boole ini persamaan Y = A x B atau Y = A . B berarti bahwa A dan B dikombinasikan dengan cara yang sama dengan gerbang AND yang mengkombinasikan mereka dan menghasilkan keluaran Y. Persamaan ini harus dibaca Y sama dengan A dan B. sehingga operasi yang digambarkan oleh symbol . atau x dinamakan perkalian AND. Aturan untuk perkalian AND dapat diperoleh dari tabel kebenaran gerbang AND yaitu:Tabel Kebenaran Gerbang ANDABY000010100111Kalau A = 0, B = 0, Y = 0, maka Y = A . B = 0 . 0 = 0Kalau A = 0, B = 1, Y = 1, maka Y = A . B = 0 . 1 = 0Kalau A = 1, B = 0, Y = 1, maka Y = A . B = 1 . 0 = 0Kalau A = 1, B = 1, Y = 0, maka Y = A . B = 1 . 1 = 1Catatan bahwa hasil perkalian AND sama dengan perkalian biasa sehingga mudah mengingatnya. Pernyataan Boole untuk gerbang AND dengan n masukkan yang dinyatakan oleh A,B,,N dapat ditulis sebagai berikut:ABNYSimbol standar dari gerbang AND..(2)dimana Y menunjukkan keluaran dari gerbang AND. Persamaan (2) dibaca Y sama dengan A,B,..,N.Operasi NOTOperasi NOT juga dikenal dengan operasi komplementasi (pembalikan), yang ditunjukkan oleh tanda garis diatas peubah yang dioperasikan dan berarti bahwa peubah tersebut harus diubah atau dikomplemenkan ke harga alternatifnya. Karena suatu peubah dalam aljabar Boole hanya mempunyai dua harga 0 dan 1, kalau A=0, maka dan kalau A = 1, maka . Alternative lain, kalau , maka A = 1 dan kalau , maka A = 0. Dalam aljabar Boole, persamaan berarti bahwa peubah A harus diubah dalam cara yang sama seperti rangkaian NOT mengubah peubah tersebut menghasilkan keluaran Y. Persamaan ini harus dibaca Y sama dengan NOT A.Pernyataan Boole untuk rangkaian NOT, yaitu:ydimana A menyatakan masukan rangkaian NOT dan Y keluarannya. Kadang-kadang tanda() aksen digunakan sebagai pengganti garis atas untuk menyatakan operasi NOT. Jadi sama dengan Y = A. Aturan untuk operasi-operasi OR, AND, dan NOT dari aljabar Boole dirangkaian dalam tabel berikut.Operasi OROperasi ANDOperasi NOT0 + 0 = 00 . 0 = 00 + 1 = 10 . 1 = 01 + 0 = 11 . 0 = 01 + 1 = 11 . 1 = 1Teorema (Hukum) De MorganTeorema 1:Komplemen dari jumlah dua peubah atau lebih sama dengan hasil kali komplemen dari peubah-peubah.Teorema 2:Komplemen dari hasil kali dua peubah atau lebih sama dengan jumlah dari komplemen peubah-peubah.Untuk dua peubah A dan B, teorema-teorema tersebut dituliskan dalam rotasi Boole sebagai berikut. dan Dua teorema tersebut dibuktikan di bawah ini:Untuk membuktikan Karena tiap peubah dapat mempunyai harga 0 atau 1 dapat terjadi empat peristiwa berikut.Kalau A = 0, B = 0, , dan sehingga Kalau A = 0, B = 1, dan sehingga Kalau A = 1, B = 0, , dan sehingga Kalau A = 1, B = 1, , dan sehingga Karena dalam setiap peristiwa di atas, ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka teorema terbukti.Untuk membuktikan ;Kalau A=0, B=0, , dan Sehingga Kalau A=0, B=1, , dan Sehingga Kalau A=1, B=0, , dan Sehingga Kalau A=1, B=1, , dan Sehingga Karena semua kemungkinan kombinasi dari A dan B terpenuhi maka teorema terbukti.Hukum-Hukum dan Teorema Tambahan dalam Aljabar BooleSeperti dalam aljabar biasa, hukum-hukum komutasi, asosiasi dan distribusi berlaku untuk aljabar Boole.Hukum Komutasi:A+B = B+AA.B = B.AHukum Asosiasi:A+(B+C) = (A+B)+C = (A+C)+B = (B+C)+ACABABCACBABC(A.B).C = (B.C).A = (A.C).B = A.B.CABCHukum Distribusi:A(B+C) = AB + ACHubungan-hubungan dasar lain berlaku untuk aljabar Boole:Hukum Komplementasi:ORANDA+0 = A A.0 = 0A+1 = 1 A.1 = AA+A = A A.A = A Dua kelompok hukum-hukum ni dapat dipikirkan dalam bentuk gerbang-gerbang OR dan AND. Juga, masing-masing identifikasi ini dapat dibuktikan dengan memasukkan dua kemungkinan hasil A, yakni 0 dan 1, di masing-masing sisi identitas. Dalam tiap peristiwa, ruas kiri akan sama dengan ruas kanan. Operasi komplemen ganda menghasilkan(Hukum Pembalik Dua Kali)Beberapa teorema lain yang bermanfaat:A+AB = AA+= A+BA(A+B) = AA(+B) = AB(A+B) (A+C) = A+BC(A+B)( +C) = AC+BTeorema-teorema ini dapat pula dibuktikan dengan memasukkan dua harga peubah, yakni 0 dan 1 pada kedua ruas dari masing-masing identitas, atau sebaliknya. Dimana teorema ini disebut Hukum Penyerapan. Hukum-hukum yang lain yaitu:Hukum Identitas:A = CA = BB = CHukum Perluasan:AAAA = A.A = A.A.AAAAA = A+AA = A+A+AAlat dan BahanAlat dan bahan yang diperlukan dalam percobaan hukum-hukum aljabar Boole adalah sebagai berikut.IC SN 7400 (NAND)(2 buah)Catu daya 5 volt(1 buah)Papan percobaan(1 buah)LED(2 buah)Kabel penghubung secukupnyaLangkah-Langkah PraktikumPercobaan 1Persamaan , dapat diwujudkan dengan NAND yaitu:AXPersamaan , dapat diwujudkan dengan NAND yaitu:AYMenguji gerbang NAND dari IC 7400.Menggunakan LED sebagai indicator . Jika LED menyala berarti nilai logic output gerbang adalah 1, dan jika LED padam berarti nilai logic output gerbang adalah nol.Menghubungkan kaki input ke Vcc atau ke kutub positif catu daya untuk memperoleh nilai input 1, sedangkan nilai input 0 diperoleh dengan menghubungkan kaki input ke GND (Ground) atau kutub negative catu daya.Catat output yang dihasilkan (X dan Y) pada masing-masing rangkaian pada tabel hasil pengamatan (tabel kebenaran) yaitu sebagai berikut. Table 1. Tabel KebenaranA0110Percobaan 2Buatlah rangkain berikut pada papan percobaan dan masukkan semua kombinasi inputnya. Pasanglah indikator LED pada titik X dan Y. ABXYKemudian catat data hasil pengamatan pada tabel kebenaran.Tabel 2. Data Hasil PengamatanABXY00011011Berdasarkan data pada hasil pengamatan diperoleh kesimpulan bahwa:........................... = ...........................= ........................... Teknik Analisis DataDalam percobaaan ini hanya membuktikan kebenaran antara teori dengan hasil praktikum sehingga analisis data yang dilakukan adalah secara kualitatif saja dengan melengkapi tabel pengamatan yang telah disediakan. Jika dilihat dari data hasil praktikum, apabila LED menyala berarti berharga 1 sedangkan apabila LED tidak menyala berarti berharga 0.Data Hasil PengamatanPercobaan 1 Tabel 1. Data Hasil PengamatanA01011001Percobaan 2 Tabel 2. Data Hasil PengamatanABXY0000011110001111Analisis DataPercobaan 1AXPersamaan , dapat diwujudkan dengan NAND yaitu: AYPersamaan , dapat diwujudkan dengan NAND yaitu:Berdasarkan kedua rangkaian tersebut diperoleh tabel kebenaran berikut ini.Tabel 1. Tabel KebenaranA01011001Berdasarkan hasil pengamatan diperoleh hasil: ( seluruhnya bernilai nol) ( seluruhnya bernilai satu)Menurut hukum-hukum aljabar boole persamaan tersebut berbunyi:Untuk disebut hukum komplementasi. Hal ini dibuktikan dengan tabel kebenaran 1.Untuk disebut hukum komplementasi. Hal ini dibuktikan dengan tabel kebenaran 1.ABXYPercobaan 2Persamaan aljabar boole untuk titik X:, sesuai dengan hukum penyerapan.Persamaan aljabar boole untuk titik Y:, , , T = A sesuai dengan hukum penyerapan.Berdasarkan rangkaian percobaan ke-2 diperoleh tabel kebenaran berikut ini.Tabel 5. Tabel KebenaranABX = AY = A0000011110001111PembahasanBerdasarkan hasil analisis data diperoleh bahwa percobaan yang dilakukan telah sesuai dengan landasan teori, dimana pada percobaan pertama persamaan aljabar boole untuk titik X dan Y sesuai dengan Hukum Komplementasi, sedangkan pada percobaan kedua persamaan aljabar boole untuk titik X dan Y sesuai dengan Hukum Penyerapan.Meskipun percobaan yang dilakukan telah sesuai dengan landasan teori, masih terdapat kesalahan serta kendala-kendala dalam melakukan percobaan yaitu sebagai berikut: Adanya keterbatasan alat dan bahan percobaan misalnya catu daya sehingga harus menunggu kelompok lain untuk mengambil data. Hal ini menghambat jalannya praktikum. Dan banyak lampu LED yg hangus karena dicoba dengan tegangan yang tidak sesuai, sehingga menghambat kerja kami.Adanya kerusakan-kerusakan pada alat percobaan seperti IC 7400. Terdapat IC 7400 yang salah satu kakinya sudah patah. IC 7400 juga sangat terbatas ketersediaannya sehingga menghambat kegiatan percobaan.SimpulanAdapun kesimpulan yang dapat diambil dari hasil percobaan adalah:Hukum-hukum aljabar boole telah dibuktikan sesuai dengan hasil pengamatan. Bukti ini berdasarkan ouput X dan Y pada tabel kebenaran 1 yaitu dan . Kedua hukum tersebut dinamakan hukum komplementasi. Berdasarkan persamaan dan percobaan 2 diperoleh hasil ouput X dan Y sperti pada table kebenaran 2 yaitu dan , kedua hukum tersebut dinamakan hukum penyerapan sehingga kesimpulan yang diperoleh Persamaan aljabar boole ke dalam bentuk rngkaian logika dapat dilihat pada percobaan 1 dan percobaan 2 dalam analisis data serta pada jawaban pertanyaa.