Embed Size (px)
Citation preview
3. Stabilnost konstrukcija 1
6. STABILNOST KONSTRUKCIJA
II časMarija Nefovska-Danilović
3. Stabilnost konstrukcija 2
6.2 Osnovne jednačine štapa6.2.1 Linearna teorija štapaVaže pretpostavke o geometrijskoj (1), statičkoj
(2) i fizičkoj (3) linearnosti:1) Deformacije su male ( )2) Pomeranja napadnih tačaka spoljašnjih sila
su mala u odnosu na dimenzije štapa (uslovi ravnoteže na nedeformisanom štapu)
3) Linearna veza (Hukov zakon) Linearne jednačine, jednoznačna rešenja,
važi superpozicija uticaja
3. Stabilnost konstrukcija 3
Osnovne jednačine linearneteorije štapa za t=0
.... (1)
.... (2)du dxdv dx
0 .... (3)0 .... (4)
0 .... (5)
x
y
dN p dxdT p dx
dM Tdx
0 ..... (6)
.... (7)
.... (8)
t
t
t
d M tdx EI h
N tEF
(AI)
3. Stabilnost konstrukcija 4
6.2.2 Teorija konačnih deformacija
Teorija konačnih deformacijapretpostavlja da važi Hookov zakon (pr.o fizičkoj linearnosti), a da ne važepretpostavke o malim deformacijama,(pr. o geometrijskoj linearnosti) i malimpomeranjima (pr. o statičkojlinearnosti). Reč je o GEOMETRIJSKOJNELINEARNOSTI.
3. Stabilnost konstrukcija 5
Teorija konačnih deformacija Veze deformacija i pomeranja:
3. Stabilnost konstrukcija 6
Teorija konačnih deformacija Uslovi ravnoteže elementa štapa
3. Stabilnost konstrukcija 7
Teorija konačnih deformacija
Hukov zakon. Veze između deformacija i presečnih sila, temperature:
*uticaj T-sila na deformaciju se zanemaruje
0
)sincos(1
T
tt
t
tVHEF
tEFN
ht
EIM
dxd
3. Stabilnost konstrukcija 8
Veze deformacija-pomeranja:
Uslovi ravnoteže:)2(sin)1()1(cos)1(
dxdvdxdudx
)5(0)(
)4(0)3(0
HdvdudxVdM
dxpdVdxpdH
y
x
Hukov zakon (6)
1 ( cos sin ) (7)
t
t t
d M tdx EI h
N t H V tEF EF
(A)
Teorija konačnih deformacija. Osnovne jednačine:
3. Stabilnost konstrukcija 9
Teorija konačnih deformacija
Jednačine štapa (A) po teoriji konačnih deformacija predstavljaju sistem od 7 jednačina sa 7 nepoznatih:
Jednačine su nelinearne. U njima se javljaju proizvodi nepoznatih veličina.
Složene su za rešavanje.
, , , , , ,u v M N T
3. Stabilnost konstrukcija 10
6.2.3 Teorija drugog reda Ako uvedemo pretpostavku o malim
deformacijama:
a zadržimo i dalje pretpostavku da su pomeranja velika i da se uslovi ravnoteže posmatraju na deformisanom štapu, onda se jednačine uprošćavaju, a teorija u kojoj važe dodatne pretpostavke se naziva Teorija drugog reda.
sin , cos0 11 0
3. Stabilnost konstrukcija 11
Teorija drugog reda
, ,, , ,
,M H Vu v
)7(
)6( )(1
)5(0)1(
)4(
)3(
)2(
)1(
ht
EIM
dxd
tVHEF
HVdx
dM
pdxdV
pdxdH
dxdvdxdu
t
ot
y
x
Iz jednačina (A) se dobija sistem od 7 jednačina štapa po Teoriji II reda (AII) sa 7 nepoznatih (AII)
3. Stabilnost konstrukcija 12
Teorija drugog reda Jednačine predstavljaju sistem od 7
jednačina sa sedam nepoznatih. Sistem je nelinearan, jer se u uslovu
ravnoteže (5) javlja proizvod statičkih i deformacijskih veličina.
3. Stabilnost konstrukcija 13
Teorija drugog reda
Sistem se dalje može uprostiti ako uvedemo pretpostavku da se uticaj normalnih
sila na deformaciju može zanemariti, zanemarimo dilataciju u trećem uslovu
ravnoteže, tj.Sistem se raspada na dva nezavisna sistema jednačina. Prvi sistem čine 2 jednačine za aksijalno naprezanje, a drugi 5 jednačina savijanja štapa:
0
3. Stabilnost konstrukcija 14
Teorija drugog reda. Osnovne jednačine
Aksijalno naprezanje:
)2(0
)1( 0
ottEF
Ndxdu
3. Stabilnost konstrukcija 15
Teorija drugog reda. Osnovne jednačine
Savijanje silama: Za štap sa zadatim graničnim uslovima, iz jednačine (B2) može da se direktno odredi H, tako da se sistem svodi na 4 jednačinesavijanja po Teoriji II reda. U opštem sličaju sila H zavisi od ostalih sila, tj. pomeranja i obrtanja.
(1)
(2)
(3)
0 (4)
(5)
x
y
t
dvdxdH pdxdV pdxdM V Hdx
d M tdx EI h
(B)
3. Stabilnost konstrukcija 16
6.2.4 Linearizovana teorija II reda
Jednačine (B) su i dalje nelinearne. U praksi je dovoljno tačno ako se usvoji
da je H=S, gde je S vrednost sile H određena po teoriji I reda. Na taj način sistem jednačina (B) postaje linearan, a teorija u kojoj važe načinjene pretpostavke naziva se Linearizovanateorija II reda.
3. Stabilnost konstrukcija 17
Diferencijalna jednačina štapa po linearizovanoj teoriji II reda
Diferenciranjem jednačine (B4)
uz korišćenje jednačina (B3) i (B5) dobija se:
)(/ 2
2
dxdvH
dxd
dxdV
dxMd
dxd
dxdvHV
dxdM
)1(/)()( 2
2
2
2
dxdvH
dxdp
htEI
dxvdEI
dxd
yt
3. Stabilnost konstrukcija 18
Diferencijalna jednačina štapa po linearizovanoj teoriji II reda
diferencijalna jednačina štapa po Linearizovanoj teoriji II reda:
2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) ( )y td d v d dv d tEI H p EI Cdx dx dx dx dx h
3. Stabilnost konstrukcija 19
Prav prizmatičan štap Za prizmatičan štap EI=const, py=p(x) i za
t=0 , jednačina (C) postaje:
gde je: , S=H
• gornji znak se odnosi na pritisak (-S), • donji znak se odnosi na zatezanje (S)
4 2( )2
4 2xpd v d vk
dx dx EI
Sk
EI
(C’)
3. Stabilnost konstrukcija 20
Rešenje diferencijalne jednačine Rešenje dif. jednačine (C’) je oblika:
gde je:vh(x) - rešenje homogenog dela d.j. a vp(x) - partikularni integral
)()()( xvxvxv ph
3. Stabilnost konstrukcija 21
Rešenje diferencijalne jednačine1) Homogeno rešenje za pritisnut štap, S<0
Karakteristična jednačina i rešenje:2 2 2
1,2 3,4( ) 0 0, p p k p p ik
2
3 4
( ) ( ) , ( ) ,
( ) , ( )h h
h h
I II
III IV
px px pxh
px px
v x e v x pe v x p e
v x p e v x p e
3. Stabilnost konstrukcija 22
Rešenje diferencijalne jednačine
Euler-ove formule:
Homogeno rešenje za pritisnut štap
1 2 3 4( ) sin coshv x kx kx kx
0 01 2 3 4( ) ikx ikx
hv x e kx e e e
cos sin cos sinikx ikxe kx i kx e kx i kx
3. Stabilnost konstrukcija 23
Rešenje diferencijalne jednačine
2) Homogeno rešenje za zategnut štap, S>0 Karakteristična jednačina i rešenje:
2 2 21,2 3,4( ) 0 0, p p k p p k
0 01 2 3 4( ) kx kx
hv x e kx e e e
, 2 2
kx kx kx kxe e e eshkx chkx
3. Stabilnost konstrukcija 24
Rešenje diferencijalne jednačine Homogeno rešenje - zatezanje
– integracione konstante , koje se određuju iz graničnih uslova štapa
,i i
1 2 3 4( ) hv x kx sh kx ch kx
