iktisatta matematiksel yontemler: Çozumlu Problemler (gözden geçirimiş baskı)

IKT ISATTA MATEMAT IKSELYÖNTEMLERE G IR IS

J. Colin Glass

ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER

Mehmet BalcılarMurat Çokgezen

Istanbul, 2002

© COPYRIGHTMEHMET BALCILAR & MURAT ÇOKGEZEN

2002Tüm Hakları Saklıdır

Içindekiler

Önsöz ix

3 3-8Ilave Problemler 1








v

Sekiller Listesi

3.1 Çözüm 3-16 nın Arz ve Talep Fonksiyonlarının Grafigi . . . . . . . . 43.2 Çözüm 3-18 in Arz ve Talep Fonksiyonlarının Grafigi . . . . . . . . . 53.3 Çözüm 3-23 için Tasarruf ve Yatırım Fonksiyonlarının Grafigi . . . . 8

7.1 Çözüm 7-10 un için Talep Fonksiyonlarının Grafigi . . . . . . . . . . 207.2 Çözüm 7-11 için Arz Fonksiyonunun Grafigi . . . . . . . . . . . . . 217.3 Çözüm 7-12(a)(i) için Arz Fonksiyonlarının Grafigi . . . . . . . . . . 227.4 Çözüm 7-12(a)(ii) için Arz Fonksiyonlarının Grafigi . . . . . . . . . 227.5 Çözüm 7-12(a)(iii) için Arz Fonksiyonlarının Grafigi . . . . . . . . . 237.6 Çözüm 7-13 için Tüketim Fonksiyonunun Grafigi . . . . . . . . . . . 237.7 Çözüm 7-16 için Talep Fonksiyonunun Grafigi . . . . . . . . . . . . 27

9.1 Çözüm 9-34(a) için Kar Maksimizasyonun Birinci Derece KosulununGrafik Gösterimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

9.2 Çözüm 9-34(b) nin Grafik Gösterimi . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

13.1 Çözüm 13-18 için Harcama Minimizasyonunun Grafik Gösterimi . . .6213.2 Çözüm 13-21 için Çıktı Maksimizasyonunun Grafik Gösterimi . . . .65

14.1 Çözüm 14-24 için Tüketici ve Üretici Artıklarının Grafik Gösterimi .73

vii

Önsöz

Bu kitabın yazılma fikri her iki yazarındaIktisat ve Ekonometri bölümlerinde verdik-leri matematikve matematiksel iktisatderslerinde karsılastıkları ortak bir sorundankaynaklandı: Ögrencilerimiz sürekli olarak daha fazla örnek çözülmesini talep edi-yorlardı. Ancak, verdigimiz derslerin içerikleri ve derslerin kredi kısıtları çok sayıdaörnek çözmemize olanak vermiyordu. Bu sorun bizi çözümlü problemlerin toplandıgıkısa bir kitap yazmaya yönlendiren en önemli neden oldu.

Ortaya çıkacak kitabın ders materyallerimiz ile entegre olmasını ve problemlerinekonomik içeriklerinin daha yüksek olmasını istiyorduk. Der yayınları tarafından ya-yınlanan Colin Glass’ınIktisatta Matematiksel Yöntemlerbaslıklı kitabıIktisat ve Eko-nometri bölümlerinde matematik ve matematiksel iktisat derslerinde kullanılmak üzereyazılmıs en iyi Türkçe kaynaklardan biriydi ve kitapta çözümsüz olarak yer alan prob-lemler tam istedigimiz türdendi. Glass’ın kitabında yer alan problemler matematikselkuralların mekanik olarak uygulanmasından çok ögrenciyi kendi matematiksel model-lerini kurmaya, sonra da çözmeye yönlendirmektedir. Alısılmısın dısındaki bu tür prob-lemler ögrenciler çözümünde en çok zorlandıkları problemlerdir. Bu nedenle, Glass’ınkitabında yer alan problemlerin çözümlerini bir arada sunmak iyi bir çözüm olarakgöründü.

Bu kitapta Glass’ın kitabında çözümü bulunmayan problemler çözülüp kitabın ög-renciye yardımcı olunması hedeflenmistir. Kitap sadece Glass’ın kitabı ile birlikte kul-lanılacak bir yardımcı kitap olarak degerlendirilmemelidir. Sadece cevapları degil, so-ruları da içerdigi için iktisattaki matematiksel uygulamalarla ilgilenen herkes tarafındankullanılabilir.

Okuyucuya faydalı olması dilegiyle.Mehmet Balcılar ve Murat Çokgezen

ix

Bölüm 3

3-8 Ilave Problemler

3-13 FormülQd = f (P) = 36− 13P bir malın piyasa talep fonksiyonudur

(a) malın fiyatı (i) 3, (ii) 9, (iii) 99 oldugunda talep edilen miktarı;

(b) talep edilen miktar (i) 27, (ii) 20, (iii) 2 oldugunda malın fiyatını;

(c) mal bedava oldugunda talep edilen miktarı;

(d) ödenebilecek en yüksek fiyatı;

(e) fonksiyonun iktisadi anlam tasıyan tanım ve deger kümelerini;

(f) malın fiyatı bir birim degistiginde talep edilen miktardaki degismeyi bulunuz.

ÇÖZÜM

(a) (i) Qd = f (3) = 36− 13(3) = 35, (ii) Qd = f (9) = 36− 1

3(9) = 33, (iii) Qd =f (99) = 36− 1

3(99) = 3

(b) (i) 27= f (P) = 36− 13P, 1

3P = 36−27, 13P = 9, P = 27

(ii) 20= f (P) = 36− 13P, 1

3P = 36−20, 13P = 16, P = 48

(iii) 2 = f (P) = 36− 13P =⇒ 1

3P = 36−2, 13P = 34, P = 102

(c) Mal bedava ikenP = 0 =⇒Qd = f (0) = 36− 13(0), Qd = 36

(d) Ödenebilecek en yüksek miktar malın talebinin sıfır oldugu durumu ifade eder(talep egrisininP eksenini kestigi nokta) bu fiyatın hemen altındaki bir noktadansözkonusu mal talep edilmeye baslar:

Q = 0 =⇒Qd = f (P) = 36− 13

P = 0,13

P = 36,P = 108

2 MatematikselIktisatta Temel Yöntemler

(e) Tanım Kümesi:0≤ P≤ 108, Deger Kümesi:0≤Q≤ 36

(f) Degisimden önceQd1 = 36− 13P1 dir. Fiyat degistikten sonra ise talepQd2 =

36− 13P2 olur. Ikisi arasındaki fark

Qd1−Qd2 = (36− 13

P1)− (36− 13

P2) =⇒Qd1−Qd2 =−13(P1−P2)

olur. Buradan,

Qd1−Qd2

P1−P2=−1

3

buluruz. Sonuç: Fiyattaki bir birim degisiklik talep edilen miktarı ters yönde1/3oranında etkiler.

3-14 Qs = g(P) =−10+7P bir malın piyasa arz fonksiyonudur.

(a) malın fiyatı (i) 2, (ii) 5, (iii) 13 oldugunda arz edilen miktarı;

(b) arz edilen miktar (i) 2, (ii) 11, (iii) 88 oldugunda malın fiyatını;

(c) malın arz edilecegi fiyat kümesini;

(d) fonksiyonun iktisadi anlam tasıyan tanım ve deger kümesini;

(e) malın fiyatı bir birim degistiginde arz edilen miktardaki degismeyi bulunuz.

ÇÖZÜM

(a) (i) Qs = g(2) =−10+7(2), Qs= 4, (ii) Qs = g(5) =−10+7(5), Qs = 25 (iii)Qs = g(13) =−10+7(13), Qs = 81

(b) (i) 2 =−10+7P, P = 7/12, (ii) 11=−10+7P, P = 3(iii) 88=−10+7P, P = 14

(c) Q = 0 esitligini saglayanP düzeyinden itibaren mal arz edilir. Bu esitligi sagla-yanP degeri: 0=−10+7P, 7P= 10, P= 10

7 dir. Dolayısıyla, malın az edilecegifiyat kümesiP≥ 10

7 dir

(d) Tanım Kümesi:107 ≤ P, Deger Kümesi:0≤Q

(e) Degisimden önceQs1 = −10+ 7P1 dir. Fiyat degistikten sonraQs2 = g(P) =−10+7P2 olur. Ikisi arasındaki fark

Qs1−Qs2 = (−10+7P1)− (−10+7P2)Qs1−Qs2 = 7(P1−P2)

3-8 Ilave Problemler 3

olur. Buradan

Qs1−Qs2

P1−P2= 7

buluruz. Sonuç: Fiyat bir birim degisirse arz edilen miktar da aynı yönde 7 birimdegisiyor.

3-15 Qd = g(P) = a− bP,a,b > 0 bir malın talep fonksiyonudur. Miktar libre (lb)cinsinden ölçülmektedir. Eger miktar kilograma (kg) çevrilirse, bu çevirmenina ve bparemetreleri üzerindeki etkisi nedir?

ÇÖZÜM 1 kg= 2.2046lb dir. Dolayısıyla,Qd lb = 12.2046Qd kgolur. Dolayısıyla, talep

denkleminin sag tarafını 2.2046 ile bölersek sol taraftaki miktarkgcinsinden ölçülmüsolur:

Qs =a

2.2046− b

2.2046P

Qs = a∗−b∗P, a∗ =a

2.2046, b∗ =

b2.2046

Sonuç olarak, arz fonksiyonun hem sabiti hemde egimi azalmaktadır.

3-16 Asagıdaki modellerin herbiri içinP ve Q degerlerini bulunuz.

(a) Qd = Qs (b) Qd = Qs

Qd = 34−P Qd = 9−2PQs =−2+2P Qs =−9+P

ÇÖZÜM

(a) 34−P =−2+2P (b) 9−P =−9+P36= 3P 18= 3PP = 12 P = 6Q =−2+2(12) = 22 Q = 9−2(6) =−3

Her iki çözümde grafiksel olarak Sekil 3.1 de gösterilmistir. (b) çözümü ekonomikolarak anlamsızdır. Çünkü denge miktarı negatif olamaz.

3-17 Problem 3-16a daki piyasa modelinde asagıdaki sıklar için asırı talebi bulunuz.

(a) P = 14 (b) P = 2

ÇÖZÜM

(a) P = 14 için Qd = 34−14= 20, Qs =−2+2(14) = 26, asırı talep= Qd−Qs =20−26=−6. Piyasada 6 birim arz fazlası var.


12

QdQ

Qs

(a)

Qs

Q

-3

6

PP

(b)

22

-9

9 Qd

-2

Sekil 3.1: Çözüm 3-16 nın Arz ve Talep Fonksiyonlarının Grafigi

(b) P = 2 için Qd = 34− 2 = 32, Qs = −2+ 2(2) = 2, asırı talep= Qd −Qs =32−2 = 30. Piyasada 30 birim talep fazlası var.

3-18 Asagıdaki piyasa modelleri içinP ve Q degerlerini bulunuz.P,Q > 0 oldugunugarantilemek için hangi varsayımların gerekli oldugunu da belirtiniz.


Qd = a+bP (a,b) > 0 Qd = a−bP (a,b) > 0Qs =−c+dP (c,d) > 0 Qs = c+dP (c,d) > 0

Sonuçlarının grafigini çiziniz. (a) sıkkındaki talep (b) sıkkındaki arz fonksiyonununekonomik anlamlılıgı hakkında yorumda bulununuz.

ÇÖZÜM

(a) Qd = Qs denkligindena+bP=−c+dP, (d−b)P= a+c elde ederiz. Buradan,denge fiyatı

P =a+cd−b

dir. Bunu arz yada talep denklemlerinden birinde yerine koyarsak denge miktarı

Q = a+b

(a+cd−b

)=

ad−ab+ab+bcd−b

=ad+bcd−b

olarak bulunur. DengeP ve Q noktalarının iktisaden anlamlı olabilmesi (herikisinin de pozitif olması) için sorudaki kısıtlara ek olarak(d− b) nin pozitif


olması, bunun için ded > bolması gerekir. Bu modeldeki talep egrisinin özelligi,talebin fiyat ile dogru yönlü bir iliski içinde olmasıdır. Yani, talep edenler fiyatarttıkça taleplerini arttırmakta, azaldıkça taleplerini azaltmaktadırlar. Gösterisamacıyla tüketilen mallar ve Giffen malları bu tip bir talep fonksiyonuyla ifadeedilebilir.

(b) Qd = Qs denkligindena−bP= c+dPdir. Buradan, denge fiyatı

P =a−cd+b

dir. Denge miktarı ise denge fiyatının talep yada arz denklemlerinden birindeyerine konularak bulunabilir. Bu durumda denge miktarı

Q = a−b

(a−cd+b

)=

ad+ab−ab+bcd+b

=ad+bcd+b

olur. Bu denge noktalarının iktisaden anlamlı olabilmesi için sorudaki kısıtlarailavetena > c kısıtı gereklidir. Bu modeldeki arz fonksiyonuna göre üreticilerfiyat sıfır iken bile mal arz etmektedirler. Sonuçların grafigi Sekil 3.2 de veril-mistir.

Q

(a)

Q

PP

(b)

a+cd−b

Qd

Qs

ad+bcd−b

Qs

Qdc

a

−c

a

a−cd+b

ad+bcd+b

Sekil 3.2: Çözüm 3-18 in Arz ve Talep Fonksiyonlarının Grafigi

3-19 Problem 3-16a da verilen piyasa modeli içint = 3 kadar bir tüketim vergisininP ve Q üzerindeki etkilerini bulunuz. Bu tüketim vergisinden kaynaklanan fiyat artısıt = 3 ten azmıdır?


ÇÖZÜM t = 3 kadar bir tüketim vergisi konuldugunda arz fonksiyonuQs =−2+2PT ,PT = P−3, olur. Bunu düzenleyerek

Qs =−2+2(P−3) =−8+2P

elde ederiz. Bu durumda denge fiyatı34−P = −8+ 2P ifadesindenP = 14 buluruz.Bunu arz fonksiyonunda yerine koyarakQ = −8+ 2(14) = 20 buluruz. Fiyat artısı∆P = 14−13= 1 olmustur. Dolayısıyla, fiyat artısıt = 3 ten daha azdır.

3-20 Problem 3-16a ve 3-19 un sonuçlarını kullanarak (a) tüketiciler ve (b) üretici-ler tarafından yüklenilen vergi oranını bulunuz. [Ipucu: (a) için tüketicilerin vergidenönce ve sonra ödedikleri birim basına fiyatı mukayase ediniz; (b) için üreticilerin ver-giden önce elde ettikleri fiyat ile vergiden sonra elde ettikleri birim fiyatı (eksi develeteödenen birim basına fiyatı) kasılastırınız.]

ÇÖZÜM (a) Vergi konmadan önce tüketicinin ödedigi fiyat 12 idi. Vergiden sonra14 oldu. Bu durumda 3 birimlik verginin 2 birimi tüketiciye yansıtılmıs, kalan birbirimi ise üretici tarafından yüklenilmistir. (b) Üreticiler vergi öncesi birim basına eldeettikleri fiyat 14 eksi devlete ödedikleri vergi farkı 11 dir. Vergiden önce birim basınaelde ettikleri fiyat 12 idi. Dolayısıyla, üreticilerin yüklendigi vergi payı12−11= 1dir.

3-21 Asagıdaki milli gelir modelleri için (a) sıkkındaY veC, (b) sıkkı içinY, C ve Tdegerlerini bulunuz.

(a) Y = C+ I +G (b) Y = C+ I +GC = α +βY (α > 0; 0< β < 1) C = β (Y−T) (0 < β < 1)

T = γ + tY (γ > 0; 0< t < 1)

ÇÖZÜM

(a) Tüketim fonksiyonunu milli gelir denkleminde yerine koyarsak

Y = α +βY + I +G =α + I +G

1−β

denge gelir seviyesini ve

C = α +β(

α + I +G1−β

)=

α−αβ +αβ +β I +βG1−β

=α +β (I +G)

1−β

denge tüketim seviyesini elde ederiz.

(b) denge gelir seviyesini bulmak için ikinci ve üçüncü denklemleri birincide yerinekoyalım:

Y = β (Y− (γ + tY))+ I +G

Y(1−β +β t) =−βγ + I +G


Y =−βγ + I +G1−β +β t

dengeY degerini elde ederiz. DengeT degeri ise

T = γ + t

(−βγ + I +G1−β +β t

)=

γ−βγ +βγt−βγt + tI + tG1−β +β t

=γ(1−β )+ t(I +G)

1−β +β t

olarak bulunur. DengeC degeri ise,

C = β(−βγ + I +G− γ +βγ− It −Gt

1−β +β t

)=

β [(1− t)(I +G)− γ]1−β +β t

olarak bulunur.

3-22 Asagıdaki piyasa modellerinin her biri için iktisaden anlamlı dengeleri bulunuz.


Qd = 16−3P2 Qd = 11−4P2

Qs =−4+2P2 Qs =−1+8P2

ÇÖZÜM

(a) 16−3P2 =−4+2P2 (b) 11−4P2 =−1+8P5P2 = 50 4P2 +8P−12= 0P2 = 4 P2 +2P−3 = 0P =±2 (P−1)(P+3) = 0

P = {1,−3}(a) çüzümünde sadeceP = 2 iktisaden anlamlıdır. Çünkü fiyat negatif olamaz.P = 2iken denge miktarıQ = 16−3(22) = 4 olarak bulunur. (b) çözümünde sadeceP = 1iktisadi olarak anlamlıdır.P= 1 için denge miktarıQ =−1+8(1) = 7 olarak bulunur.

3-23 Eger tasarruf (S) milli gelirin (Y) tüketime (C) girmeyen kısmı olaak tarif edilirselineer bir tasarruf fonksiyonu asagıdaki gibi yazılabilir:

S= Y−C = Y− (α +βY) =−α +(1−β )Y (α > 0; 0< β < 1)

Yatırım harcamalarının dıssal olarak belirlendigini ve I sabiti ile gösterilidigini varsa-yarak lineer tasarruf fonksiyonunu ve sabit yatırım harcamalarının grafigini çiziniz. (Sve I degiskenlerini dikey eksene,Y degiskenini yatay eksene koyunuz). Çizdiginiz gra-figi Sekil 3-9 daki grafik ile karsılastırınız ve Sekil 3-9 daki denge gelir seviyesinin,Y,niye yeni grafikteI = Soldugundaki gelir seviyesi ile özdes oldugunu açıklayınız.

ÇÖZÜM Ilgili grafik Sekil 3.3 de verilmistir. Sekil 3-9 daki denge gelir seviyesi plan-lanan toplam çıktı (Y =C+ I ) ile toplam harcamaların (E =C+ I ) birbirine esit oldugu


S=−α +(1−β )Y

0 Y Y

−α

I = S

I ,S

I I

Sekil 3.3: Çözüm 3-23 için Tasarruf ve Yatırım Fonksiyonlarının Grafigi

(E = Y) noktada yer almaktadır. Tanım geregi toplam çıktının tüketilmeyen kısmı ta-sarrufa gider, yaniS= Y−C dir. BunuY = C+S seklinde yazabiliriz. Buradan,

E = Y

C+ I = C+S

I = S

elde edilir. Dolayısıyla, çıktı gelir denkliginin (denge) saglandıgı durumdaI = Solmakzorundadır.

Bölüm 5


5-11 Kısmi denge piyasa modeli asagıdaki gibi verildiginde,

Qd = Qs

Qd = m−nP (m,n > 0)

Qs =−r +sPT (r,s> 0)

PT = P− t (t > 0)

bu denklem sisteminiAx = b matris formatında ve degiskenleriQd, Qs, P, PT sıra-sında takip edecek sekilde düzenleyerek yeniden yazınız. Daha sonra Cramer kuralınıkullanarak bu degiskenlerin çözüm degerlerini bulunuz.

ÇÖZÜM Denklem sistemini matris formatında ifade edersek:

1 −1 0 01 0 n 00 1 0 −s0 0 −1 1

Qd

Qs

PPT

=

0m−r−t

sistemini elde ederiz. Çözümü için öncelikle|A| nın buluması grekir:

|A|=

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −1 0 01 0 n 00 1 0 −s0 0 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= (1)

∣∣∣∣∣∣

0 n 01 0 −s0 −1 1

∣∣∣∣∣∣− (−1)

∣∣∣∣∣∣

1 n 00 0 −s0 −1 1

∣∣∣∣∣∣

=−∣∣∣∣

n 0−1 1

∣∣∣∣+∣∣∣∣

0 −s−1 1

∣∣∣∣ =−(n+s) < 0

|A| 6= 0 olduguna göre denklem sisteminin herbir degisken için tek bir çözümü vardır.


Cramer kuralıyla çözersek

Qd =

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 −1 0 0m 0 n 0−r 1 0 −s−t 0 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣|A| =

∣∣∣∣∣∣

m n 0−r 0 −s−t −1 1

∣∣∣∣∣∣|A|

=m

∣∣∣∣0 −s

−1 1

∣∣∣∣−n

∣∣∣∣−r −s−t 1

∣∣∣∣|A| =

− [ms+n(−r−st)]−(n+s)

=[ms−n(r +st)]

(n+s)

Qs =

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 0 01 m n 00 −r 0 −s0 −t −1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣|A| =

∣∣∣∣∣∣

m n 0−r 0 −s−t −1 1

∣∣∣∣∣∣|A|

=m

∣∣∣∣0 −s

−1 1

∣∣∣∣−n

∣∣∣∣−r −s−t 1

∣∣∣∣|A|

=− [ms+n(−r−st)]

−(n+s)=

[ms−n(r +st)](n+s)

P =

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −1 0 01 0 m 00 1 −r −s0 0 −t 1

∣∣∣∣∣∣∣∣|A| =

∣∣∣∣∣∣

0 m 01 −r −s0 −t 1

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣

1 m 00 −r −s0 −t 1

∣∣∣∣∣∣|A|

=−

∣∣∣∣m 0−t 1

∣∣∣∣+∣∣∣∣−r −s−t 1

∣∣∣∣−(n+s)

=−(m+ r +st)−(n+s)

=m+ r +st

n+s

PT =

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −1 0 01 0 n m0 1 0 −r0 0 −1 −t

∣∣∣∣∣∣∣∣|A| =

∣∣∣∣∣∣

0 n m1 0 −r0 −1 −t

∣∣∣∣∣∣− (−1)

∣∣∣∣∣∣

1 n m0 0 −r0 −1 −t

∣∣∣∣∣∣|A|

=−

∣∣∣∣n m

−1 −t

∣∣∣∣+∣∣∣∣

0 −r−1 −t

∣∣∣∣|A| =

m+ r−ntn+s


çözümlerini elde ederiz.

5-12 Iki mallı piyasa modeli asagıdaki gibi verilmistir:

(1) Qd1 = Qs1 (4) Qd1 = Qs1

(2) Qd1 = 20−8P1 +P2 (5) Qd2 = 19+2P1−4P2

(3) Qs2 =−7+3P1 (6) Qs2 =−11+2P2

Bu modeli, ikinci ve üçüncü denklemleri birincinin içine, besinci ve altıncı denklem-leri de altıncının içine ikame etmek suretiyle iki degiskenden,P1 ve P2 den olusan ikidenkleme indirgeyiniz. Daha sonra ortaya çıkan bu iki denklemiP1 ve P2 için çözmeküzere Cramer kuralını kullanınınz. Keza ikame yoluylaQd1 = Qs1 ve Qd2 = Qs2 yielde ediniz.

ÇÖZÜM Talep ve arz denklemlerini piyasa denge kosullarında yerine koyarak:

20−8P1 +P2 =−7+3P1 11P1−P2 = 27 (1)19+2P1−4P2 =−11+2P2 −2P1 +6P2= 30 (2)

denklem sistemini elde ederiz. Her iki piyasada dengeyi saglayacakP1 ve P2 degerleri-nin bulunması (1) ve (2) nolu denklemlerin esanlı olarak çözülmesini gerektirir. Bu ikidenklemi matris formunda yazarsak

[11 −1−2 6

][P1

P2

]=

[2730

]

Ax = b sistemini elde ederiz. Bu sistemin çözümü için öncelikle|A| nın bulunmasıgerekir:

|A|=∣∣∣∣

11 −1−2 6

∣∣∣∣ = 64 6= 0 (dolayısıyla tek bir çözüm vardır)

Cramer kuralı ile

P1 =

∣∣∣∣27 −130 6

∣∣∣∣|A| =

19264

= 3

P2 =

∣∣∣∣11 27−2 30

∣∣∣∣|A| =

38464

= 6

çözümlerini elde ederiz. Buradan birinci piyasadaki denge miktarıQd1 = Qs1 =−7+3(3) = 2 olur. Ikinci piyasadaki denge miktarı iseQd2 = Qs2 =−11+2(6) = 1 olarakbulunur.

5-13 Asagıdaki milli gelir modelini çözmek için Cramer kuralını kullanınız.

Y = C+ I +G


C = α +β (Y−T) (α > 0; 0< β < 1)I = γ +δY (γ > 0; 0< δ < 1)

T = tY (0 < t < 1)

Y, C, I ve T içsel degiskenlerdir.G ise dıssal olarak tanımlanmıstır.Y, C, I ve T ninhepsinin pozitif olmasını garanti etmek için parametreler üzerinde ne gibi (sayet varsa)ilave tahditler koymak gerektigini belirleyiniz.

ÇÖZÜM Öncelikle sistemi matris formatında yazarak

1 −1 −1 0−β 1 0 β−δ 0 1 0−t 0 0 1

YCIT

=

Gαγ0

Ax= b seklinde bir denklem sistemi elde ederiz. Öncelikle|A| nın bulunması gerekir.

|A|=

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −1 −1 0−β 1 0 β−δ 0 1 0−t 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣=−(−t)

∣∣∣∣∣∣

−1 −1 01 0 β0 1 0

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣

1 −1 −1−β 1 0−δ 0 1

∣∣∣∣∣∣

=−t

∣∣∣∣−1 0

1 β

∣∣∣∣+(−δ )∣∣∣∣−1 −1

1 0

∣∣∣∣+∣∣∣∣

1 −1−β 1

∣∣∣∣= tβ −δ +1−β = 1− (1− t)β −δ 6= 0

Buna göre her bir degisken için tek bir çözüm vardır. Bu çözümler Cramer kuralınıkullanarak asagıdaki sekilde bulunur.

Y =

∣∣∣∣∣∣∣∣

G −1 −1 0α 1 0 βγ 0 1 00 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣|A| =

∣∣∣∣∣∣

G −1 −1α 1 0γ 0 1

∣∣∣∣∣∣|A|

=γ∣∣∣∣−1 −1

1 0

∣∣∣∣+∣∣∣∣

G −1α 1

∣∣∣∣|A| =

G+α + γ1− (1− t)β −δ

C =

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 G −1 0−β α 0 β−δ γ 1 0−t 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣|A| =

t

∣∣∣∣∣∣

G −1 0α 0 βγ 1 0

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣

1 G −1−β α 0−δ γ 1

∣∣∣∣∣∣|A|

=t

(G

∣∣∣∣0 β1 0

∣∣∣∣+∣∣∣∣

α βγ 0

∣∣∣∣)

+β∣∣∣∣

G −1γ 1

∣∣∣∣+α∣∣∣∣

1 −1−δ 1

∣∣∣∣|A|


=β [(1− t)(G+ γ)]+α(1−δ )

1− (1− t)β −δ

I =

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −1 G 0−β 1 α β−δ 0 γ 0−t 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣|A| =

t

∣∣∣∣∣∣

−1 G 01 α β0 γ 0

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣

1 −1 G−β 1 α−δ 0 γ

∣∣∣∣∣∣|A|

=−tγ

∣∣∣∣−1 0

1 β

∣∣∣∣−δ∣∣∣∣−1 G

1 α

∣∣∣∣+ γ∣∣∣∣

1 −1−β 1

∣∣∣∣|A|

=δ (G+α)+ γ[1− (1− t)β ]

1− (1− t)β −δ

T =

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −1 −1 G−β 1 0 α−δ 0 1 γ−t 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣|A| =

t

∣∣∣∣∣∣

1 −1 G1 0 α0 1 γ

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣

1 −1 −1−β 1 0−δ 0 1

∣∣∣∣∣∣|A|

=t

((−1)

∣∣∣∣1 G1 α

∣∣∣∣+∣∣∣∣

1 00 1

∣∣∣∣)−δ

∣∣∣∣−1 −1

1 0

∣∣∣∣+∣∣∣∣

1 −1−β 1

∣∣∣∣|A|

=t(G+α + γ)

1− (1− t)β −δ

Y, C, I ve T çözümlerinin tümümümün pozitif olmasını saglamaya yeterli bir kosul(1− t)β +δ < 1 dir.

5-14 Asagıdaki milli gelir modelini çözmek için Cramer kuralını kullanınız.

Y = C+ I +G+X−M

C = α +βY (α > 0; 0< β < 1)M = n+mY (n < 0; 0< m< 1)

Y, C ve M içsel degiskenlerdir.I , G ve X ise dıssal olarak tanımlanmıstır.Y, veM ninhepsinin pozitif olmasını garanti etmek için parametreler üzerinde ne gibi (sayet varsa)ilave tahditler koymak gerektigini belirleyiniz.

ÇÖZÜM Bu modeli matris formatında yazarsak,

1 −1 1−β 1 0−m 0 1

YCM

=

G+ I +Xαn


Ax= b denklem sistemini elde ederiz. Çözümün varlıgnı kontrol etmek için öncelikle|A| yı belirlememiz gerekir:

|A|=∣∣∣∣∣∣

1 −1 1−β 1 0−m 0 1

∣∣∣∣∣∣=−m

∣∣∣∣−1 0

0 1

∣∣∣∣+∣∣∣∣

1 −1−β 1

∣∣∣∣ = 1−β +m> 0

|A| 6= 0 olduguna göre her bir degisken için tek bir çözüm var demektir. Cramer kuralınıkullanarak bu çözümler asagıdaki sekilde elde edilir:

Y =

∣∣∣∣∣∣

G+ I +X −1 1α 1 0n 0 1

∣∣∣∣∣∣|A| =

n

∣∣∣∣−1 1

1 0

∣∣∣∣+∣∣∣∣

G+ I +X −1α 1

∣∣∣∣|A|

=G+ I +X +α−n

1−β +m

C =

∣∣∣∣∣∣

1 G+ I +X 1−β α 0−m n 1

∣∣∣∣∣∣|A| =

β∣∣∣∣

G+ I +X 1n 1

∣∣∣∣+α∣∣∣∣

1 1−m 1

∣∣∣∣|A|

=β (G+ I +X−n)+α(1+m)

1−β +m

M =

∣∣∣∣∣∣

1 −1 G+ I +X−β 1 α−m 0 n

∣∣∣∣∣∣|A| =

−m

∣∣∣∣−1 G+ I +X

1 α

∣∣∣∣+n

∣∣∣∣1 −1−β 1

∣∣∣∣|A|

=m(G+ I +X +α)+n(1−β )

1−β +m

Y ve C nin pozitif olması için ilave kısıta gerek yoktur.M nin pozitif olması içinm(G+ I +X +α) >−n(1−β ) olması gerekir.

5-15 Ticaret yapan iki ülkenin milli gelir modeli asagıda verilmistir.

Y1 = C1 + I1 +X1−M1 Y2 = C2 + I2 +X2−M2

C1 = c1Y1 (0 < c1 < 1) C2 = c2Y2 (0 < c2 < 1)M1 = m1Y1 (0 < m1 < 1) M2 = m2Y2 (0 < m2 < 1)X1 = M2 X2 = M1

Alt notasyon 1 ve 2 sırasıyla ülke 1 ve ülke 2 yi belirtmektedir.I1 ve I2 nin dıssalolarak belirlendigini düsünerek, bu modeli, (5-8) deki gibiy = By+e seklinde, matris


formunda yeniden yazınız, ve daha sonra her ülkenin denge gelir degerlerini (Y1 veY2

olarak gösterilmektedir) elde ediniz.Y1 veY2 nin her ikiside pozitif midir, bulunuz.

ÇÖZÜM ÖncelikleC1 M1 ve X1 i Y1 ile ilgili denklemde;C2 M2 ve X2 i deY2 ile ilgilidenklemde yerine koyarak asagıdaki iki denklemi elde ederiz

Y1 = c1Y1 + I1 +m2Y2−m1Y1, Y1 = (c1−m1)Y1 +m2Y2 + I1Y2 = c2Y2 + I2 +m1Y1−m2Y2, Y2 = m1Y1 +(c2−m2)Y2 + I2

Bu denklemleri matris formunday = By+e sekline getirirsek[

Y1

Y2

]=

[(c1−m1) m2

m1 (c2−m2)

][Y1

Y2

]+

[I1I2

]

elde ederiz. Buradany =[Y1

Y2

]degerleri asagıdaki gibi bulunabilir.

y = (I −B)−1e

(I −B) =[

(1−c1 +m1) −m2

−m1 (1−c2 +m2)

]

|I −B|= (1−c1 +m1)(1−c2 +m2)−m1m2

Adj(I −B) =[

(1−c2 +m2) m2

m1 (1−c1 +m1)

]

(I −B)−1 =1

|I −B|Adj(I −B)[

Y1

Y2

]=

1|I −B|Adj(I −B)

[I1I2

]

Y1 =(1−c2 +m2)I1 +m2I2

(1−c1 +m1)(1−c2 +m2)−m1m2

Y2 =(1−c1 +m1)I2 +m1I1

(1−c1 +m1)(1−c2 +m2)−m1m2

Y1 ve Y2 nin pozitif olması için(1−c1 +m1)(1−c2 +m2) > m1m2 kosulunun saglan-ması gerekir.

5-16 Bir mal piyasası ve bir para piyasası olan ekonominin modeli asagıda verilmistir:

Y = C+ I +G Md = Ms

C = α +βY (α > 0; 0< β < 1) Md = σ +λY + µr (σ ,λ > 0; µ < 0)I = γ +δ r (γ > 0; δ < 0) Ms = M0

Y, C, I ve r içsel degiskenlerdir,G ve M0 dıssal olarak belirlenmistir. Yukarıdakimodeli, (5-5) te oldugu gibi matris formunda yeniden yazınız ve daha sonraY ve r nindenge degerlerini bulmak için Cramer kuralını kullanarak çözünüz.


ÇÖZÜM Denklemleri asagıdaki gibi yeniden yazabiliriz:

Mal Piyasası Para Piyasası

Y = α +βY + γ +δ r +G σ + γY + µr = M0

(1−β )Y−δ r = α + γ +G (1) λY + µr = M0−σ (2)

(1) ve (2) nolu denklemleri esanlı olarak çözenY ve r degerlerini bulmak için bu denk-lemleri matris formunda yazalım.

[(1−β ) −δ

λ µ

][Yr

]=

[α + γ +GM0−σ

]

Bu denklem siteminiAx= d seklinde gösterirsek|A|

|A|=∣∣∣∣

(1−β ) −δλ µ

∣∣∣∣ = µ(1−β )+δλ

olur. Buradan ilgili çözümler

Y =

∣∣∣∣α + γ +G −δM0−σ µ

∣∣∣∣|A| =

µ(α + γ +G)+δ (M0−σ)µ(1−β )+δλ

r =

∣∣∣∣(1−β ) α + γ +G

λ M0−σ

∣∣∣∣|A| =

(1−β )(M0−σ)−λ (α + γ +G)µ(1−β )+δλ

olur.

5-17 Bir ülkenin girdi-çıktı tablosu asagıdaki gibidir.

Alan Sektör\ Veren SektörSektörlerarası Talep Nihai

TalepToplamÇıktıTarım Imalat Hizmetler

Tarım 1 4 2 1 8Imalat 4 2 2 4 12Hizmetler 2 2 2 2 8Isgücü 1 4 2Toplam Girdi 8 12 8 28

Girdi katsayılarının sabit kaldıgını varsayarsak, nihai talep; tarım çıktısı için 3 birim,imalat çıktısı için 6 birim ve hizmetler çıktısı için de 3 birim olarak degistirildigindeher sektörün çıktı düzeyi ne olacaktır?

ÇÖZÜM Tablonun genellestirilmis ifadesi asagıdadaki gibidir.

18

13

14

12

16

14

14

16

14

x1

x2

x3

+

d1

d2

d3

=

x1

x2

x3


Ax+d = x

x = (I −A)−1d

(I −A) =

1 0 00 1 00 0 1

−

18

13

14

12

16

14

14

16

14

=

78 −1

3 −14

−12

56 −1

4−1

4 −16

34

C =

∣∣∣∣56 −1

4−1

634

∣∣∣∣ −∣∣∣∣−1

2 −14

−14

34

∣∣∣∣∣∣∣∣−1

256

−14 −1

6

∣∣∣∣

−∣∣∣∣−1

3 −14

−16

34

∣∣∣∣∣∣∣∣

78 −1

4−1

434

∣∣∣∣ −∣∣∣∣

78 −1

3−1

4 −16

∣∣∣∣∣∣∣∣−1

3 −14

56 −1

4

∣∣∣∣ −∣∣∣∣

78 −1

4−1

2 −14

∣∣∣∣∣∣∣∣

78 −1

3−1

256

∣∣∣∣

C =

712 − 7

16724

− 724

932 −11

48724 −11

32916

CT =

712 − 7

24724

− 716

932 −11

32724 −11

48916

|I −A|=∣∣∣∣∣∣

78 −1

3 −14

−12

56 −1

4−1

4 −16

34

∣∣∣∣∣∣

=(

78

)∣∣∣∣56 −1

4−1

634

∣∣∣∣−(−1

3

)∣∣∣∣−1

2 −14

−14

34

∣∣∣∣+(−1

4

)∣∣∣∣−1

256

−14 −1

6

∣∣∣∣

=(

78

)(1524− 1

24

)+

(13

)(−3

8− 1

16

)−

(14

)(112

+524

)

=724

(I −A)−1 =1

|I −A|CT =

2 1 132 2 7

61 7

9 2

x = (I −A)−1

363

=

15814272

Sonuç olarak tarım sektörünün çıktı düzeyi 15, imalatınki 81/4, hizmetlerinki 27/2olmalıdır.

Bölüm 7


7-10

(a) Talep fonksiyonuQd = f (P) = 16/P2 nin genel sekliniP > 0 için çiziniz.

(b) P = 5 için bu talep fonksiyonunun fiyat esnekligini bulunuz.

(c) Talep fonksiyonunuP= h(Q) sekline getiriniz veQ> 0 için genel seklini çiziniz.

ÇÖZÜM

(a) limP→0Q→ ∞ ve limQ→0P→ ∞ sonuçlarını elde ederiz. Buradan, degiskenler-den biri sıfıra yaklasırken digerinin sonsuza gittigini, dolayısıyla da iki ekseninde egriler tarafından kesilmedigini söyleyebiliriz. dQ

dP =− 32P3 birinci türeviP> 0

için her zaman negatiftir. Bu nedenle talep egrisinin egimi negatiftir. d2QdP2 = 96

P4

ikinci türev P > 0 için her zaman pozitiftir. Bunun anlamı negatif egimin azal-makta oldugudur. Buna göre, talep fonksiyonuQd = f (P) = 16/P2 nin grafigiSekil 7.1(a) da çizilmistir.

(b) Ed =−−32P3

P16P−2 = 2

oldugundan, her fiyat seviyesi için esnekligin degeri 2 ye esittir.

(c) Talep fonksiyonuP = h(Q) = 4/√

Q olur. Bunun grafigi Sekil 7.1(b) de çizil-mistir.

7-11

(a) Arz fonksiyonuQs = g(P) =−27+6P+P2 nin P≥ 0 için genel seklini çiziniz.

(b) P = 3 için bu arz fonksiyonunun fiyat esnekligini bulunuz.


1

(a)

Qd = 16/P2

P41 16

4

1

P

Q

(b)

P = 4/√

Q

1

16

Q

Sekil 7.1: Çözüm 7-10 un için Talep Fonksiyonlarının Grafigi

ÇÖZÜM

(a) limP→∞ Q→ ∞ ve Qs(0) = −27 sonuçlarını elde ederiz. Dolayısıyla, fonksiyo-nun sabiti -27 olup,P sonsuza giderkenQ da sonsuza gidecektir. AyrıcaP = 0iken Q = 3 oldugundan fonksiyon yatay ekseniQ = 3 noktasında kesecektir.dQdP = 6+2P birinci türeviP> 0 için her zaman pozitiftir. Bu nedenle talep egri-

sinin egimi pozitiftir. d2QdP2 = 2 ikinci türevP> 0 için her zaman pozitiftir. Bunun

anlamı pozitif egimin artmakta oldugudur. Buna göre, arz fonksiyonunun grafigiSekil 7.2 de çizilmistir.

(b) Es =dQdP

PQ

= 6+2(3)3

−27+6(3)+(3)2 =360

= ∞

7-12

(a) Asagıdaki arz fonksiyonlarının fiyat esnekliklerini bulunuz.(i) Qs = a, (ii) Qs = bP, (iii) P = c. Buradaa, b vec pozitif sabitlerdir.

(b) (a) da verilen arz fonksiyonlarının grafigini, dikey eksene önceQs i daha sonraP yi koymak suretiyle çiziniz.

ÇÖZÜM

(a) (i), (ii) ve (iii) için arz esneklikleri, sırasıyla

(i) Es =dQdP

PQ

= 0Pa

= 0


0 P3

Q =−27+6P+P2

-27

Q

Sekil 7.2: Çözüm 7-11 için Arz Fonksiyonunun Grafigi

(ii) Es =dQdP

PQ

= bPbP

= 1

(iii) Es =dQdP

PQ

= ∞PQ

= ∞

olarak bulunur.

(b) (i), (ii) ve (iii) için arz fonksiyonlarının grafikleri sırasıyla, Sekil 7.3, Sekil 7.4ve Sekil 7.5 de çizilmistir.

7-13

(a) Tüketim fonksiyonuC = C(Y) = 1200−7200/(9+Y) nin genel sekliniY ≥ 0için çiziniz.

(b) Y = 91 için marjinal tüketim egilimini (MPC) bulunuz.

(c) Y = 91 için marjinal tasarruf egilimini (MPS) bulunuz.


(a) (b)

Q

P

Qs = aa

P

Qa

Qs = a

Sekil 7.3: Çözüm 7-12(a)(i) için Arz Fonksiyonlarının Grafigi

(a) (b)

Q

P a

Q

P

Qs = bP

P = Qs/b

Sekil 7.4: Çözüm 7-12(a)(ii) için Arz Fonksiyonlarının Grafigi

(d) MPC veMPSnin Y ile aynı yönde degisip degismedigini belirleyiniz.

ÇÖZÜM

(a) Tüketim fonksiyonunun grafigi Sekil 7.6 da çizilmistir.

(b) MPC=dCdY

=−0· (9+Y)−1.7200(9+Y)2 =

7200(9+Y)2


(a) (b)

P

P

Q

Q

c

c

P = c

P = c

Sekil 7.5: Çözüm 7-12(a)(iii) için Arz Fonksiyonlarının Grafigi

C

C = 1200−7200/(9+Y)

400

Y

1200

Sekil 7.6: Çözüm 7-13 için Tüketim Fonksiyonunun Grafigi

oldugundan

MPC(91) =7200

(9+91)2 =720010000

= 0.72


buluruz.

(c) MPS= 1−MPC= 1− dCdY

= 1− 7200(9+Y)2

oldugundan

MPS(91) = 1− 7200(9+91)2 = 1− 7200

10000= 1−0.72= 0.28

buluruz.

(d)dMPC

dY=− 14400

(9+Y)3 < 0, ∀Y > 0

oldugundan,MPCY ile ters yönde deismektedir. Ancak,

dMPSdY

=14400

(9+Y)3 > 0, ∀Y > 0

oldugundan,MPSY ile aynı yönde degismektedir.

7-14 Talep fonksiyonuQd = f (P) ve f ′(P) < 0 verildigindedTR/dP = Q(1−Ed)oldugunu gösteriniz.

ÇÖZÜM TR= QP= f (P)P oldugundan

dTRdP

= f (P)+ f ′(P)P = Q+ f ′(P)P

elde ederiz. Bu esitligin sag tarafınıQ/Q ile çarparsak veEd =− f ′(P)(P/Q) ifadesiniyerine koyarsak

dTRdP

= Q

(QQ

+ f ′(P)PQ

)= Q(1−Ed)

sonucunu elde ederiz.

7-15 Bir firma lineer bir AR fonksiyonu,P = h(Q) ile karsı karsıyadır ve buradah′(Q) < 0 dır. Buna göre:

(a) MRnin Q nun lineer bir fonksiyonu oldugunu,

(b) MR dogrusunun egiminin mutlak degerinin AR dogrusununkinin iki katı oldu-gunu,

(c) ARdogrusununQ eksenini kesim noktasınınMR dogrusununQ eksenini kestiginoktanın iki katı oldugunu gösteriniz.


ÇÖZÜM

(a) AR= P = h(Q) iseTR= PQ= h(Q)Q seklinde ifade edilir. Bu ifadeden,

MR=dTRdQ

= h′(Q)Q+h(Q)

buluruz.h(Q) lineer iseh′(Q) bir sabittir,h′(Q)= c. Bu durumdaMR= h′(Q)Q=cQ egimi h′(Q) = c olan bir lineer fonksiyondur. Bu ifadenin yine bir lineerfonksiyon olanh(Q) ile toplamıh′(Q)Q+h(Q) da bir lineer fonksiyondur.

(b) ARnin egimi

dARdQ

= h′(Q)

dur. MRnin egimi ise,

dMRdQ

= h′′(Q)Q+h′(Q)+h′(Q) = 2h′(Q)

dur. Çünküh′′(Q) sıfıra esittir (h′(Q) nun bir sabit oldugunu hatırlayalım). So-nuç olarakMRnin egimi (2h′(Q)), ARnin egiminin (h′(Q)) nun iki katıdır.

(c) Sorudan ve cevabın (a) sıkkındanARveMR nin lineer olduklarını ve (b) sıkkın-danARve MR nin egimlerini biliyoruz. BuradanARve MR nin genellestirilmissekli

AR= h′(Q)Q+k

MR= 2h′(Q)Q+k

seklinde yazılabilir. Buradak > 0 bir sabittir.ARveMRnin Q ekseninini kestiginoktalarıARveMRyi sıfıra esitleyerek bulabiliriz:

AR= h′(Q)Q+k = 0 Q|AR=0 =k

h′(Q)

MR= 2h′(Q)Q+k = 0 Q|MR=0 =12

kh′(Q)

buradanARnin Q eksenini kestigi nokta olan kh′(Q) nin MRnin Q eksenini kestigi

nokta olan12

kh′(Q) nun iki katı oldugu görülür.

7-16 Firmanın karsılastıgı talep fonksiyonuP= h(Q) = a/Q dur vea,Q> 0 dır. Bunagöre:

(a) fiyat degisirken firmanın toplam gelirinin nasıl degistigini belirleyiniz.


(b) bu talep fonksiyonu için fiyat esnekligini bulunuz

(c) (a) da elde edilen sonucu açıklamak için (b) de elde edilen sonucu kullanınız vetalep fonksiyonunun genel seklini çiziniz.

ÇÖZÜM

(a) Buradan Toplam gelir fonksiyonuTR= PQ= (a/Q)Q = a seklinde yazılabilir.Fiyattaki degismenin toplam gelir üzerindeki etkisinidTR/dPgösterir. BuradakiTR fonksiyonu içindTR

dP = 0 dır. Yani, fiyattaki degismeler geliri etkilemez.

(b) Talep fonksiyonunuQ = f (P) = a/P seklinde yazabiliriz. Bu talep fonksiyonuiçin fiyat esnekligi Ed =−dQ

dPPQ söyle hesaplanabilir:

dQdP

=− aP2

dir. Bu ifadeyi

PQ

=P

a/P=

P2

a

ifadesiyle çarparsakEd =−(− a

P2P2

a

)= 1 buluruz.

(c) Eger talep esnekliginin degeri 1 ise fiyattaki degismeler geliri etkilemez, çünküfiyattaki yüzde degisme talepte ters yönde esit bir degismeye neden olur. Dolayı-sıyla, (b) elde edilen sonuç (a) daki sonucu açıklamaktadır. Talep fonksiyonunugrafigi Sekil 7.7 de çizilmistir.

7-17 Tüketicinin fayda fonksiyonuU = U(Q) = αQβ seklinde verilmistir. Burada,α > 0, 0 < β < 1 ve Q≥ 0 olduguna göre bu fayda fonksiyonu azalan marjinal faydaözelligini tasımakta mıdır?

ÇÖZÜM Marjinal fayda (MU)

MU =dUdQ

= αβQβ−1

olarak bulunur.MUnun azalan bir fonksiyon (azalan marjinal fayda) olması için birincitürevinin (dMU

dQ ) negatif olması gerekir.

dMUdQ

= αβ (β −1)Qβ−2 < 0

buluruz. dMUdQ < 0 dır, çünkü(β −1) ifadesi negatif diger terimler pozitif oldugu için

sonuç negatif çıkar. Bu nedenle bu fayda fonksiyonu azalan marjinal fayda özelligigösterir.

7-18 Bir firmanın üretim ve ortalama gelir fonksiyonları sırasıyla,Q = g(L) = 4L1/2

veP = h(Q) = 120−2Q olarak verilmistir. Buna göre,


P = a/Q

Q

P

Sekil 7.7: Çözüm 7-16 için Talep Fonksiyonunun Grafigi

(a) L = 16 için isgücünün marjinal verimini,

(b) marjinal gelirin sıfır oldugu noktadaki fiyatı,

(c) marjinal gelir sıfır oldugunda talebin fiyat esnekligini bulunuz.

ÇÖZÜM

(a) MPPL =dQdL

= 2L−1/2 =⇒MPPL(16) = 2(16)−1/2 =12

(b) AR= P = 120−2Q oldugundanTR= PQ= 120Q−2Q2 buluruz. Buradan

MR=dTRdQ

= 120−4Q

bulunur.MR= 120−4Q= 0 ifadesiQ için çözüldügünde,Q|MR=0 = 30buluruz.

(c) (b) sıkkındaMR= 0 oldugundaQ = 30 bulmustuk. BuradanQ = 30 oldugundaP = 120−2(30) = 60buluruz. Fiyat esnekligi

Ed =−dQdP

PQ

=− 1dPdQ

PQ


dır. − dPdQ = 2 elde ederiz. Bu degerleri yerine koyarsakEd = 1

26030 = 1 olarak

bulunur. Bu sonuç iktisat kitaplarındaki “MRnin Q eksenini kestigi noktadakitalep esnekligi 1 e esittir” ifadesini de dogrulamaktadır.

7-19 Bir firma Q = g(L) = −23L3 + 10L2 seklinde bir üretim fonksiyonuna sahiptir.

Bu üretim fonksiyonu isgücünün azalan marjinal verimi özelligini tasımakta mıdır, bu-lunuz.

ÇÖZÜM Isgücünün marjinal verimi

MPPL =dQdL

=−2L2 +20L

olarak Bunun egimi ise dMPPLdL = −4L + 20 dır. L > 5 için dMPPL

dL her zaman nega-tiftir. Dolayısıyla, L > 5 için bu üretim fonksiyonu isgücünün azalan marjinal verimözelligini tasır.

7-20 Asagıdaki toplam maliyet fonksiyonları için marjinal maliyetin üretim miktarınınartan veya azalan bir fonksiyonu olup olmadıgını bulunuz.

(a) C = C(Q) = 4Q3−240Q2 +800Q+50

(b) C = C(Q) = 10Q2 +3Q+9

ÇÖZÜM

(a) Marjinal maliyet MC = dCdQ = 12Q2− 480Q+ 800 olarak bulunur. Buradan

dMCdQ = 24Q−480buluruz. Dolayısıyla,

Q > 20 içindMCdQ

> 0 =⇒MCnin egimi pozitif

Q < 20 içindMCdQ

< 0 =⇒MCnin egimi negatif

dır. DolayısıylaQ > 20 için MC üretim miktarıQ nun artan bir fonksiyonu,Q < 20 için ise azalan bir fonksiyonudur.

(b) MC = 20Q+3 ve dMCdQ = 20> 0 buluruz. Dolayısıyla,MCnin egimi tüm Q de-

gerleri için pozitiftir. YaniMC üretim miktarının sürekli artan bir fonksiyonudur.

7-21 Bölüm 3 teki denklem (3-25) verilmisken,t deki küçük bir degisimden kaynakla-nanP deki degisimin hem yönü, hem de büyüklügünü belirlemek içindP/dt i bulunuz.


ÇÖZÜM Bölüm 3 teki denklem (3-25)

P =a+cd+b

+d

d+bt

seklindedir. Buradan

dPdt

=d

d+b, 0 <

dd+b

< 1

buluruz. dd+b nin pozitif olmasının anlamı vergilerdeki degisme ile fiyatlar arasında

dogru yönlü bir iliski olmasıdır. Bu degerin sıfır ile bir arasında olması ise, vergilerdekibir degismenin fiyatlarda kendisinden daha küçük bir degisiklige yol açacagı anlamınagelir.

7-22 Bölüm 3 teki tüketim fonksiyonu (3-27) verildiginde, marjinal tüketim egiliminibulunuz. Keza, Bölüm 3 teki denklem (3-30) veri iken,I daki küçük bir degisimdenkaynaklananY deki degismenin yönü ve büyüklügünü belirlemek için yatırım çarpanıdY/dI yı bulunuz.

ÇÖZÜM Bölüm 3 teki (3-27) de verilen tüketim fonksiyonu

C = α +βY, (α > 0, 0 < β < 1)

seklindedir. Buradan marjinal tüketim egilimi

MPC=dCdY

= β

olarak bulunur. Bölüm 3 teki denklem (3-30)

Y =α + I1−β

seklindedir. Buradan, yatırım çarpanı

dYdI

=1−β

(1−β )2 =1

1−β

olarak bulunur. 11−β ifadesi pozitiftir. Bunun anlamı yatırımlardaki degismenin ge-

liri aynı yönde degistirecegidir. Ayrıca ifadenin degeri 1 den büyüktür. Bu gelirdekidegismenin yatırımlardaki degismeden daha büyük olacagı anlamına gelir.

Bölüm 9


9-26 Bir isadamı yoldan geçen deve kervanlarına su satmak üzere Sahra’da bir kuyuaçmaya karar verir. Tek maliyeti baslangıçtaki kazma maliyetidir. Bu isadamıEd = 1olan fiyatı uygulamaya koymaktadır. Maksimun kar için ikinci derece kosulun saglan-dıgını varsayarak isadamının karını maksimize ettigini gösteriniz.

ÇÖZÜM Tek maliyet sabit maliyet ise toplam maliyetC(Q) = F , (F > 0), seklindeyazılabilir. F sabit maliyeti göstermektedir.R(Q) = P(Q)Q ifadesi de toplam gelirfonksiyonunu göstermektedir. Bu durumda kar foksiyonunu

π(Q) = R(Q)−C(Q) = P(Q)Q−F

seklinde yazılabilir. Karı maksimize edenQ seviyesini bulmak için birinci derece kosulπ ′ nin sıfıra esit olmasıdır (ikinci derece kosulun saglandıgı varsayılmıstı). Birinciderece kosulu olan

π ′(Q) = P′(Q)Q+P(Q) = 0

esitliginin sol tarafını

1/Ed =− dPdQ

QP

=−P′(Q)QP

oldugunu dikkate alarakP(Q) parantezine aldıgımızda yukarıdaki ifade

π ′(Q) = P(Q)[1+P′(Q)

QP

]= P(Q)

[1− 1

Ed

]= 0

seklinde yazılabilir. Bu esitlikte sadeceEd = 1 için saglanabilir. DolayısıylaEd = 1olan fiyat karı maksimize etmektedir. Not: Bu durumun maliyetlerin tamamının sabitmaliyetlerden olustugu özel durumda geçerli oldugunu gözden kaçırmayınız.

9-27 Araba motorları üreten bir tekelci lineer bir ortalama gelir fonksiyonu ile karsıkarsıyadır. Baslangıçta her hafta tanesini 2500 pounddan sattıgı 200 araba üretmekte-dir. Bu fiyatta talep esnekligi 5 tir. Tekelci üretimini araba basına her hafta£(1800+


40000/Q) ortalama toplam maliyetiyle arttırabilmektedir. Tekelcinin karını maksimumkılan çıktı seviyesi nedir? Ayrıca maksimum karı ve karı maksimize eden çıktının sa-tıldıgı araba basına fiyatı bulunuz.

ÇÖZÜM P = 2500ikenQ = 200ve bu noktada talep esnekligi 5 ise

Ed =− 1dP/dQ

PQ

=− 1dP/dQ

2500200

= 5

olur. Buradan dadP/dQ=−5/2 sonucunu elde ederiz. Bu aynı zamandaP = a−bQseklindeki dogrusal talep fonksiyonunun egimini (−b) ifade eder. Ayrıca

2500= a− 52

200

ifadesindena = 3000buluruz. Sonuç olarak

P = AR= 3000− 52

Q

talep fonksiyonu olarak bulunur. Buradan toplam gelir fonksiyonu

TR= AR·Q = 3000Q− 52

Q2

olarak, toplam maliyet fonksiyonu ise

TC= AC·Q = (1800+40000/Q)Q = 40000+1800Q

olarak elde edilir. Toplam kar

π(Q) = 3000Q− 52

Q2−1800Q−40000=−52

Q2 +1200Q−4000

seklinde ifade edilebilir. Karı maksimum yapan üretim düzeyini bulmak için birincitürevi sıfıra esitleyenQ degeri

π ′(Q) =−5Q+1200= 0 =⇒ Q = 240

olarak bulunur. BuldugumuzQ degerinin karı maksimize eden deger olup olmadıgınısınamak için ikinci türevin isaretine bakarız.π ′′(Q) = −5 < 0 oldugu için bulunanQdegeri bir maksimumu ifade eder. Maksimum kar

π(240) =−52(240)2 +1200(240)−4000= 104000

karı maksimize eden çıktının satıldıgı fiyat

P(240) = 3000− 52(240) = 2400

olarak bulunur.

9-28 Kar maksimize eden bir tekelci çıktının (Q≥0) monotonik olarak artan bir fonk-siyonu olan bir toplam maliyet fonksiyonuna sahiptir. Talebin esnek olmadıgı durumda


çıktıyı niye üretmeyecegini gösteriniz. (Ikinci derece kosulunun gerçeklestigini varsa-yınız.)

ÇÖZÜM C = C(Q) maliyet fonksiyonunu gösterirse monotonik artan maliyet fonk-siyonuC′(Q) > 0 ile gösterilebilir. Bu durumda maksimizasyon için birinci derecekosul

π(Q) = P(Q)Q−C(Q)

kar fonksiyonunun birinci türevinin sıfıra esitlenmesi ile bulunur.

π ′(Q) = P′(Q)Q+P(Q)−C′(Q) = 0

Buradan

P(Q)[1− 1

Ed

]= C′(Q)

elde edilir. C′(Q) nun pozitif oldugunu biliyoruz. Bu esitlik sadeceEd > 1 olmasıdurumunda saglanır. Talebin esnek olmadıgı durumlarda ise birinci derece kosul sag-lanmamaktadır.

9-29

(i) Bir monopolcünün toplam gelir fonksiyonuR(Q) = 20Q−3Q2 ve toplam mali-yet fonksiyonuC(Q) = 2Q2 +2 dir. (a) Karı maksimize eden çıktı düzeyini, (b)maksimum karı, (c) bu çıktının satıldıgı fiyatı bulunuz.

(ii) Eger hükümet tekelcinin fiyatı marjinal maliyete esitlemesini isterse bu durumtekelcinin fiyatını ve karını nasıl etkileyecektir?

ÇÖZÜM

(i) Verilen toplam gelir ve toplam maliyet fonksiyonlarından kar fonksiyonu

π(Q) =−5Q2 +20Q−2

olarak elde edilir.

(a) Kar fonksiyonun birinci türevini sıfıra esitleyerek,

π ′(Q) =−10Q+20= 0

karı maksimize eden eden çıktı düzeyiQ = 2 olur. π ′′(Q) =−10oldugun-dan, ikinci derece kosul da saglanmaktedır.

(b) πmax(2) =−5(2)22+20(2)−2 = 18

(c) P = RQ = 20−3Q = 20−3(2) = 14


(ii) P = MC kosulunu kullanarak

20−3Q = 4Q

Q =207

elde edilir. Bu degeriP = ARdenkleminde yerine koyarak

P(20

7

)= 20−3

207

=207

bulunur. Bu degeri kullanarak

π(20

7

)=−5

(207

)2+20(

207

)−2 =70249

elde edilir.

π(2) > π(20

7

)

oldugundan, tekelcinin karı azalmakta uyguladıgı fiyat ise 14 ten207 ye azalmak-

tadır.

9-30 Bir tüketicinin faydasının (U) gelir (Y) ve bos zamana (L) baglı ve fayda fonk-siyonunU = ALαYβ (α,β > 0) oldugunu varsayınız. Ayrıca tüketicinin sahip olduguzaman (H) çalısmak (W) veya bos zaman için kullanabilecegini varsayınız. Saat basınaücret oranır ise ve tüketici faydasını maksimize ediyorsa hergün kaç saat çalısacaktır?Ayrıca t oranında bir gelir vergisi konmasının cevabınızda yol açacagı düzeltmeleri be-lirtiniz (0 < t < 1). Sonucumuzun ekonomik gerçekligi üzerinde yorumda bulununuz.(U ′′(W) < 0,U ′(W) = 0 oldugunu varsayınız.)

ÇÖZÜM Tüketicinin geliriY = rW seklinde yazılabilir. Toplam çalısma zamanıHsaat oldugu için tüketicinin bos zamanı iseL = H −W seklinde ifade edilir. Bunlarıfayda fonksiyonunda yerine koyarsak

U = A(H−W)α(rW)β

elde ederiz. Fayda fonksiyonununW ya göre birinci türevini sıfıra esitlersek

dUdW

=−αA(H−W)α−1(rW)β +β rA(rW)β−1(H−W)α = 0

elde edilir. BuradanW yu

W =βH

α +β

olarak elde ederiz.Ikinci derece kosulunun da saglandıgını varsaydıgımız için bu tü-keticinin faydasını maksimize eden çalısma saatini göstermektedir. Egert oranında bir


gelir vergisi konursa tüketicinin gelirinY = rW danY = rW − trW = (1− t)rW yadüsecektir. Bu durumda fayda fonksiyonu

U = A(H−W)α((1− t)rW)β

olur. Optimal çalısma süresini bulmak için bu fonksiyonunW ya göre birinci türevinisıfıra esitlersek

dUdW

=−αA(H−W)α−1((1− t)rW)β

+((1− t)r

)βA

((1− t)rW

)β−1(H−W)α = 0

BuradanW yine

W =βH

α +β

olarak elde edilir. Buradan çıkan sonuç gelir vergisi konmasının tüketicinin çalısmasaatini degistirmedigidir. Bu modelde kullanılan fayda fonksiyonunun özel sekliW yur ve t den bagımsız yapmaktadır. Ancak bos zamanın fırsat maliyeti kaybedilen ücretgeliri oldugundan ekonomik olarakW nunr nin bir fonksiyonu olması gerekir. Dolayı-sıyla, bu model ekonomik gerçek ile tutarsızdır. Özel bir durum olarakt = 1 alalım. Budurumda tüketicinin tüm gelirini devlet vergi olarak almaktadır. Buna ragmen tüketicihalaβH/(α + β ) çalısmakta, hiç birsey kazanmamakta ve pozitif fayda elde etmek-tedir. Böyle bir durumda faydayı maksimize edecek seçimW = 0 dır. Bu da tekrargöstermektedir ki, model ekonomik gerçek ile tutarsızdır.

9-31 Bir tüketici 30 poundluk kozmetik bütçesinin hepsini fiyatları sırasıyla 2 ve 3pound olanx vey kozmetiklerine harcamaktadır. Eger fayda fonksiyonuU = 2x1/2y1/3

ise faydasını maksimize etmek için ne miktarlardax vey satın almalıdır? (Ikinci derecekosulunun saglanıgını vasayınız.)

ÇÖZÜM Bütçe kısıtı2x+ 3y = 30 seklinde yazılabilir. Bunuy için çözerseky =10− (2/3)x bulunur. Bunu fayda fonksiyonunda yerine koyarak

U(x,y) = 2x1/2(10− 23

x)1/3

elde edilir. Bu fonksiyonun birinci türevini sıfıra esitlerx için çözersek

U ′(x,y) = x−1/2(10− 23

x)1/3 +13(10− 2

3x)−2/3(−2

3)2x1/2 = 0

= x−1/2(10− 23

x)1/3− 49(10− 2

3x)−2/3x1/2 = 0

=(10− 2

3x)1/3

x1/2− 4

9x1/2

(10− 23x)2/3

= 0

=9(10− 2

3x)−4x

x12 9(10− 2x

3 )23

= 0


sonucunu elde ederiz. En son ifadex için çözülürsex = 9 bulunur. Buldugumuzxdegerini bütçe kısıtı denkleminde yerine koyarsaky = 4 sonucunu buluruz.

9-32 Tam rekabetle çalısan bir firma tek degisken girdi emek (L) ile üretim yapmak-tadır. Üretim fonksiyonuQ = g(L) dir. Emegin saglandıgı piyasa eksik rekabet pi-yasasıdır.W = W(L) emak arzı fonksiyonudur veW ücret oranıdır. Eger emegin arzesnekligi sabit veθ ya esitse:

(a) maksimum kar için birinci derece kosulunu (yaniπ ′(L) = 0) bulunuz ve ekono-mik olarak bu sartı yorumlayınız.

(b) ikinci derece kosulunu bulunuz veg′′(L) nin isaretinin bu sartla olan ilgisiniaçıklayınız.

ÇÖZÜM

(a) Bu firmanın kar fonksiyonu

π(L) = TR−TC= PQ−WL= Pg(L)−W(L)L

olur. Kar maksimizasyonu için birinci derece kosul

π ′(L) = PdQdL

− dWdL

L−W = Pg′(L)−W′(L)L−W(L) = 0

seklinde yazılabilir. Bu ifadeyi

Pg′(L) = W(L)+W′(L)L

seklinde yeniden yazalım. Tam rekabet kosulları altındaPg′(L) = MR·MP =MRP(buradaMP emegin marjinal ürünü,MRPise emegin marjinal ürün gelirinigöstermektedir) oldugundan sol taraf emegin marjinal ürün geliridir. Emegin arzesnekligi θ = (dL/dW)(W/L) olduguna göre sag taraf

W(L)+W′(L)L = W(

1+W′(L)LW

)= W

(1+

1θ

)

seklinde yazılabilir. Buradan

MRP= W(

1+1θ

)

sonucunu elde ederiz. Bu, dengede firmanın emek kullanımını emegin marjinalürünüW(1+ 1/θ) ya esit oluncaya kadar artırdıgı anlamına gelir. Eger emekpiyasasında tam rekabet olsaydı(1/θ) = 0 olurdu. Dolayısıyla, eksik rekabettendolayı firma tam rekabet kosullarına göre daha az emek kullanmaktadır. Çünkümal piyasasında tam rekabet oldugundan daha yüksek birMRP ancak daha azemek kullanarak (MP daha yüksek olacaktır) saglanabilir.


(b) Ikinci derece kosulu için kar fonksiyonunun ikinci türevi

π ′′(L) = Pg′′(L)−W′′(L)L−2W′(L)

olarak bulunur. Emek arzı fonksiyonu içinW′(L) veW′′(L) pozitif oldugundan,g′′(L) nin negatif olması ikinci derece kosulun saglanması için yeterli bir kosulolur.

9-33 Bir tekelcinin toplam gelir ve toplam maliyet fonksiyonları söyledir:R(Q) =43Q−4Q2 veC(Q) = Q3−9Q2 +46Q+4.

(a) AVCnin minimum oldugu üretim seviyesini

(b) karı maksimize eden çıktıyı ve bu seviyedeki karı bulunuz. (b) sıkkındaki üretimseviyesi (a) dakinden daha düsük ise tekelcinin niye bu düsük seviyede üretimyapacagını açıklayınız.

ÇÖZÜM

(a) Verilen maliyet fonksiyonundanAVCfonksiyonuAVC(Q) = [C(Q)−C(0)]/Q=[C(Q)−4]/Q = Q2−9Q+46olarak bulunur.AVCnin minimum oldugu üretimseviyesidAVC(Q)/dQ= 0 ın Q için çözümüdür. Bu çözüm

AVC′(Q) = 2Q−9 = 0 =⇒ Q =92

olarak elde edilir.AVC′′(Q) = 2 > 0 oldugundan bu çözümAVC nin minimumoldugu çözümdür.

(b) Kar fonksiyonu

π(Q) = 43Q−4Q2−Q3 +9Q2−46Q−4 =−Q3 +5Q2−3Q−4

olarak elde edilir. Bunun birinci türevini sıfıra esitlersekQ için çözersek

π ′(Q) =−3Q2 +10Q−3 = 0

elde ederiz. BunuQ için çözersek

Q1,2 =−10±√64

−6=

{3,

26

}

π ′′(3) =−6(3)+10< 0 oldugundanQ= 3 maksimizasyon kosulunu saglar. Budurumda kar

π(3) = 5 > π(9

2

)=−59

8


Diger çözümπ ′′(2/6) = −6(2/6) + 10 > 0 oldugundan bir minimum çözümüolup kar maksimizasyonu için ikinci derece kosulunu saglamaz. (b) de elde edi-len ve karı maksimize eden üretim seviyesiQ = 3 (a) daki çözümQ = 9/2 dendaha azdır. Tekelci daha az olan bu üretim seviyesini tercih eder çünkü bu üretimseviyesinde kar daha yüksek (maksimum).

9-34

(a) Bir firma R(Q) toplam gelir veC(Q) toplam maliyet fonksiyonlarına sahiptir.Maksimum kar için birinci ve ikinci derece kosullarını türetiniz ve sonuçlarınıekonomik olarak yorumlayınız.MR ve MC egrilerini çizerek cevabınızı tamrekabet ve monopol için gösteriniz.

(b) Bir firmanın toplam gelir fonksiyonuR(Q) = Q ve toplam maliyet fonksiyonuC(Q) = 4+Q2/3 tür. Firma karını maksimize etmek isterse ne olur? Bu örneginekonomik gerçekligini degerlendiriniz ve cevabınızıR, C, MRveMC grafiklerinikullanarak açıklayınız. [Dikkat:π(8) = 0].

ÇÖZÜM

(a) Toplam kar fonksiyonu

π(Q) = R(Q)−C(Q)

olur. Birinci derece kosulu

π ′(Q) = R′(Q)−C′(Q) = 0 =⇒ R′(Q) = C′(Q)

olur. MR= R′(Q) ve MC = C′(Q) oldugundan kar maksimizasyonunun birinciderece kosulu karın maksimize oldugu üretim seviyesindeMR= MC olmasınıgerektirir. Ayrıca tam rekabet kosulları altındaP= MRoldugundan, tam rekabetpiyasalarında karın maksimum oldugu noktadaP = MC olacaktır. Bu durumSekil 9.1(a) da tam rekabet piyasası için (b) de monopol piyasası için grafikolarak gösterilmistir.

(b) Firmanın kar fonksiyonu

π(Q) = R(Q)−C(Q) = Q−Q2/3−4

olur. Birinci derece kosulu

π ′(Q) = 1− 23

Q−1/3 = 0

Q için çözüldügündeQ = 8/27elde edilir.Ikinci derece kosul

π ′′(Q) =29

Q−4/3


(a) (b)

P P

Q

P = MR

MC

Q

MR

MC

QQ

P

Sekil 9.1: Çözüm 9-34(a) için Kar Maksimizasyonun Birinci Derece Kosulunun GrafikGösterimi

Q = 8/27 de pozitif (π ′′(8/27) = (2/9)(27/8)4/3 > 0) oldugundan, bu çözümkar fonksiyonunun maksimumu degil minimumudur. Bu durum Sekil 9.2 degösterilmistir. Çözüm ekonomik olarak anlamlı degildir, çünkü firma için tu-tartlı çözüm karın maksimize olmasıdır. FirmaQ > 8 oldugu sürece pozitif karelde etmektedir. Dolayısıyla firmanın üretebildigi maksimum miktarı üretmesigerekir. Burada sonsuz üretim karı sonsuz yaptıgından ekonomik gerçekle tutarlıolmayan bir durum vardır.

(a) (b)

P

Q

Q8

4

-4 πmin

C(Q)R(Q)

π(Q)

MR1

MC

8

Sekil 9.2: Çözüm 9-34(b) nin Grafik Gösterimi


9-35

(a) Q = g(L) bir firmanın üretim fonksiyonudur.AP maksimum oldugundaAP =MP oldugunu gösteriniz.

(b) Marjinal maliyet ve ortalama maliyet (ortalama toplam maliyet veya ortalamadegisir maliyet seklinde) arasındaki farkın niye her zaman ortalama maliyet eg-risinin egimi ile aynı isarete sahip oldugunu gösteriniz.

(c) Karı maksimize eden bir tekelci için(P−MC)/P = 1/Ed oldugunu gösteriniz.(Ikinci derece kosulunun saglandıgını varsayınız.)

ÇÖZÜM

(a) AP= g(L)/L olduguna güreAPyi maksimum yapan birinci derece kosul

dAPdL

= g′(L)L− g(L)L2 = 0

olur. Buradan

g′(L) =g(L)

L=⇒MP = AP

elde edilir.

(b) Marjinal maliyet fonksiyonu

MC =d(AC·Q)

dQ=

dACdQ

Q+AC

seklinde yazılabilir. Buradan marjinal maliyet ve ortalama maliyet arasındakifark

MC−AC=dACdQ

Q

olarak bulunur. Dolayısıyla, bu farkın isaretiAC nin egimi ile aynı isarete sa-hiptir. Baska bir deyisle bu durum, marjinal ortalamanın altında oldugu süreceortalamanın azalmasının ve marjinal ortalamanın üstünde oldugu sürece ortala-manın artmasını bir sonucudur. Yani,

MC < AC=⇒ dACdQ

< 0

MC > AC=⇒ dACdQ

> 0

MC = AC=⇒ dACdQ

= 0

olmak zorundadır.


(c) Tekelcinin kar fonksiyonuπ(Q) = P(Q)Q−C(Q) dır. Bunun maksimumu içinbirinci derece kosulu

π ′(Q) = P′(Q)Q+P(Q)−C′(Q) = 0

dır. Bunu

P(Q)[P′(Q)

QP

+1]

= C′(Q)

seklinde yazabiliriz.C′(Q) = MC ve−P′(Q)(Q/P) = 1/Ed oldugundan, yuka-rıdaki ifadeden

P−MCP

=1

Ed

elde edilir.

9-36 Qd = 20− 2P ve Qs = 3P tam rekabette talep ve arz fonksiyonlarıdır. Egerhükümet satılan çıktı basınat oranında bir vergi koyarsa:

(a) hükümetin gelirini maksimize edecek vergi oranını

(b) t deki degisikligin (vergiden sonra) denge fiyat ve miktarı üzerindeki etkisinibulunuz.

ÇÖZÜM

(a) Hükümet satılan çıktı basınat oranında bir vergi koyarsa arz fonksiyonuQs =3(P− t) olur. Qd = Qs denklemi (yani20−2P = 3(P− t)) P için çözülürse vesonuç arz ve talep denklemlerinden birinde yerine konursaP ve Q

P = 4+35

t Q = 12− 65

t

olarak elde edilir. Hükümetin vergi geliri (T)

T = tQ = 12t− 65

t2

seklinde yazılabilir. Bunun birinci türevi sıfıra esitlenir vet için çözülürse

dTdt

= 12− 125

t = 0 =⇒ t = 5

çözümü elde edilir.d2T/dt2 = −12/5 < 0 olduguna göre vergi gelirini maksi-mize eden vergi oranıt = 5 tir.

(b) t deki degisikligin denge miktar ve fiyatı üzerindeki etkisi sırasıyla

dQdt

=−65

< 0 vedPdt

=35

> 0

olarak bulunur.

Bölüm 11

11-5Ilave Problemler

11-10 (3-25) ve (3-26) daki denge fiyat ve miktarları için∂ P/∂b, ∂ Q/∂b, ∂ P/∂cve ∂ Q/∂c kısmi türevlerini bulunuz. Her bir kısmi türevin anlamını açıklayınız veisaretini bulunuz.

ÇÖZÜM (3-25) ve (3-26) daP ve Q sırasıyla

P =a+c+dt

b+da,b,c,d > 0, 0 < t < 1

Q =ad−bc−bdt

b+dad > bc+bdt

olarak verilmistir.Istenen türevler bu ifadelerden asagıdaki sekilde elde edilir:

∂ P∂b

=(0)(b+d)− (1)(a+c+dt)

[b+d]2=−a+c+dt

[b+d]2< 0

∂ Q∂b

=−(c+dt)(b+d)− (1)(ad−bc−bdt)

[b+d]2

=−d(a+c+dt)[b+d]2

< 0

b talep fonksiyonun egimini belirler. b deki bir artıs talep fonksiyonun egiminin azal-ması (dikey ekseni kestigi nokta sabit iken) anlamına gelir, buP > 0 için her fiyat se-viyesinde talebin daha az olması demektir. Talepteki azalma denge miktar ve fiyatınındüsmesini gerektirir.

∂ P∂c

=(1)(b+d)− (0)(a+c+dt)

[b+d]2=

1b+d

> 0

∂ Q∂c

=(−b)(b+d)− (0)(ad−bc−bdt)

[b+d]2=− b

b+d< 0


c arz fonksiyonunun sabitini belirler.c deki bir artıs arzın azalması anlamına gelir.Arzın azalması denge fiyatın artmasını ve denge miktarının azalmasını gerektirir.

11-11 (11-4) tekiC ve T için ∂C/∂G, ∂ T/∂G, ∂C/∂ t ve ∂ T/∂ t kısmi türevlerinibulunuz. Her bir kısmi türevin anlamını açıklayınız ve isaretini bulunuz.

ÇÖZÜM (11-4) deC ve T

C =α +β (1− t)(I +G)

1−β (1− t)

T =t(α + I +G)1−β (1− t)

seklinde verilmistir.Istenen kısmi türevler asagıdaki gibidir:

∂C∂G

=[β (1− t)][1−β (1− t)]− (0)[α +β (1− t)(I +G)]

[1−β (1− t)]2

=β (1− t)

1−β (1− t)> 0

Devlet harcamalarındaki bir artıs çogaltan yoluyla denge gelir seviyesini, gelir artısın-dan dolayıda tüketim harcamalarını artırır. Dolayısıyla bu türevin isareti pozitiftir.

∂C∂ t

=−β (I +G)[1−β (1− t)]−β [α +β (1− t)(I +G)]

[1−β (1− t)]2

=− β (α + I +G)[1−β (1− t)]2

< 0

Buradat gelir vergisi oranıdır. Gelir vergisi oranındaki bir artıs kullanabilir geliri azalt-mak suretiyle tüketim harcamalarını azaltır. Ayrıca tüketim harcamalarındaki azalmaçogaltan yoluyla denge gelir seviyesini azaltır. Bu tüketimde daha fazla bir azalıs an-lamına gelir. Bundan dolayı bu türevin isareti negatiftir.

∂ T∂G

=t[1−β (1− t)]− (0)[t(α + I +G)]

[1−β (1− t)]2

=t

1−β (1− t)> 0

Devlet harcamalarındaki bir artıs çogaltan yoluyla denge gelir seviyesini artırır. Dengegelir seviyesindeki artıs devletin daha fazla vergi geliri elde etmesi anlamına gelir.Dolayısıyla bu türevin isareti pozitiftir.

∂ T∂ t

=(α + I +G)[1−β (1− t)]−β [t(α + I +G)]

[1−β (1− t)]2

=(1−β )(α + I +G)

[1−β (1− t)]2> 0

11-5Ilave Problemler 45

Gelir vergisi oranındaki bir artıs denge gelir seviyesini azaltmakla birlikte, devletinvergi gelirini artırmaktadır. Bundan dolayı bu türevin isareti pozitiftir.

11-12 Altbölüm 5-6 da Problem 5-14 teY nin denge degeri

Y =α−n+ I +G+X

1−β +m

için ∂Y/∂m kısmi türevini bulunuz. Bu kısmi türevin anlamını açıklayınız ve isaretinibulunuz.

ÇÖZÜM

∂Y∂m

=(0)(1−β +m)− (1)(α−n+ I +G+X)

[1−β +m]2

=− (α−n+ I +G+X)[1−β +m]2

< 0

Buradam marjinal ithalat egilimidir. Marjinal ithalat egiliminin artması harcama akı-mından daha büyük bir sızıntı (yurt dısına) anlamına gelir. Bu da denge gelir seviyesiniazaltır.

11-13 Altbölüm 5-6 da Problem 5-16 dakiY ve r nin denge degerleri:

Y =(α + γ +G)µ +δ (M0−σ)

(1−β )µ +λδve r =

(1−β )(M0−σ)−λ (α + γ +G)(1−β )µ +λδ

için ∂Y/∂G, ∂ r/∂G, ∂Y/∂M0 ve ∂ r/∂M0 kısmi türevlerini bulunuz. Bu kısmi türev-lerin politika bakımından anlamlılıgını açıklayıp isaretlerini bulunuz.

ÇÖZÜM

∂Y∂G

=[(1−β )µ +λδ ]µ[(1−β )µ +λδ ]2

=µ

(1−β )µ +λδ> 0

∂Y∂M0

=[(1−β )µ +λδ ]δ[(1−β )µ +λδ ]2

=δ

(1−β )µ +λδ> 0

∂ r∂G

=(−λ )[(1−β )µ +λδ ]

[(1−λ )µ +λδ ]2=− λ

(1−β )µ +λδ> 0

∂ r∂M0

=(1−β )[(1−β )µ +λδ ]

[(1−β )µ +λδ ]2=

1−β(1−β )µ +λδ

< 0

Bu isaretlerα,γ,λ ,σ > 0, δ ,µ < 0 ve0< β < 1 olmasının bir sonucudur. Devlet har-camaları ile gelir ve faiz dogru orantılı, para arzı ile faiz oranları ters orantılı, para arzıile gelir ise dogru orantılıdır. Devlet harcamları çogaltan yoluyla denge gelir seviyesiniartırır, gelirdeki artıs ise para talebini artıracagından faiz oranları da yükselir. Dola-yısıyla, ilk iki türevin isareti politika bakımından anlamlıdır. Para arzındaki artıs faiz


oranlarını azaltır, faiz oranlardaki artıs yatırımları artırmak yoluyla çogaltan etkisiyledenge gelir seviyesini artırır. Dolayısıyla son iki türevin isareti de politika bakımındananlamlıdır.

11-14 U =U(Q1,Q2,Q3), Q2 = g(Q1), Q3 = h(Q1) verildigindeQ1 deki degisikliktenkaynaklanan faydadaki degisikligi bulunuz (yanidU/dQ1 i bulunuz).

ÇÖZÜM

dUdQ1

=∂U∂Q1

dQ1

dQ1+

∂U∂Q2

dQ2

dQ1

dQ1

dQ1+

∂U∂Q3

dQ3

dQ1

dQ1

dQ1

dUdQ1

=∂U∂Q1

+∂U∂Q2

dQ2

dQ1+

∂U∂Q3

dQ3

dQ1

11-15 F(Q1,P1,P2,P3,Y) = 6P1Q1 + 3Q1− 2P2 + 4P3− 5Y = 0 denklemininQ1 =Q1(P1,P2,P3,Y) örtük talep fonksiyonunu ifade ettigini varsayarak ve örtük fonksiyonkuralını kullanarak(Q1,P1,P2,P3,Y) = (4,2,2,1,12) noktasındaki

(a) talebin kendi fiyat esnekligini, E11

(b) talebin çapraz fiyat esnekligini, E12 veE13

(c) talebin gelir esnekligini, E1Y

bulunuz.

ÇÖZÜM

(a) Örtük fonksiyon kuralını kullanarak

E11 =−∂Q1

∂P1

P1

Q1=

FP1

FQ1

P1

Q1

yazabiliriz.

FP1

FQ1

=6Q1

6P1 +3

oldugundan

E11 =6Q1

6P1 +3P1

Q1=

2P1

2P1 +1=

2(2)2(2)+1

=45

elde edilir.


(b) Örtük fonksiyon kuralını kullanarakE12 veE13 sırasıyla

E12 =∂Q1

∂P2

P2

Q1=− FP2

FQ1

P2

Q1

ve

E13 =∂Q1

∂P3

P3

Q1=− FP3

FQ1

P3

Q1

seklinde yazılabilir.Ilgili türevler

− FP2

FQ1

=2

6P1 +3

ve

− FP3

FQ1

=− 46P1 +3

oldugundan, bu elastikiyetler

E12 =2

6P1 +3P2

Q1=

26(2)+3

24

=115

E13 =− 46P1 +3

P3

Q1=− 4

6(2)+314

=− 115

olarak bulunur.

(c) Talebin gelir esnekligi örtük fonksiyon kuralını kullanarak

E1Y =∂Q1

∂YYQ1

=− FY

FQ1

YQ1

seklinde yazılabilir.

− FY

FQ1

=5

6P1 +3

oldugundan, bu elastikiyet

E1Y =5

6P1 +3YQ1

=5

6(2)+3124

= 1

olur.


11-16 Q = 18K2/5L1/2 üretim fonksiyonu verildiginde logaritma kullanarak

(a) çıktının sermaye girdisine göre kısmi esnekligini

(b) çıktının emek girdisine göre kısmi esnekligini

bulunuz.

ÇÖZÜM Logaritmik üretim fonksiyonu

lnQ = ln18+25

lnK +12

lnL

olur. Buradan,

(a) EQK = d lnQd lnK = 2

5

(b) EQL = d lnQd lnL = 1

2

elde edilir.

11-17 Q = F(K,L,R) = AKαLβ Rγ üretim fonksiyonu verildigindeR hammadde gir-disi, A pozitif sabit veα, β ve γ parametreleri pozitif oranlar ise

(a) α +β + γ < 1 in ölçege göre azalan getiriyi ifade ettigini

(b) α +β + γ = 1 in ölçege göre sabit getiriyi ifade ettigini

(c) α +β + γ > 1 in ölçege göre artan getiriyi ifade ettigini

(d) α, β ve γ nın sırasıyla çıktının sermayeye, emege ve hammadde girdisine görekısmi esnekligi ifade ettigini

gösteriniz.

ÇÖZÜM Öncelikle bu üretim fonksiyonun homojenlik derecesini bulalım:

F(λK,λL,λR) = A(λK)α(λL)β (λR)γ

= λ α+β+γAKαLβ Rγ

= λ α+β+γF(K,L,R)

oldugundan, bu üretim fonksiyonun homojenlik derecesiα +β + γ dır.

(a) α +β +γ < 1 oldugunda, üretim faktörlerinin tümüλ kadar artırıldıgında üretimbundan daha az artar. Bu da ölçege göre azalan getiri anlamına gelir.

(b) α +β +γ = 1 oldugunda, üretim faktörlerinin tümüλ kadar artırıldıgında üretimdeλ kadar artar. Bu da ölçege göre sabit getiri anlamına gelir.

(c) α +β +γ > 1 oldugunda, üretim faktörlerinin tümüλ kadar artırıldıgında üretimbundan daha fazla artar. Bu da ölçege göre artan getiri anlamına gelir.


(d) Sermaye, emek ve hammadde girdisine göre kısmi esneklikler sırasıyla

EQK =∂Q∂K

KQ

, EQL =∂Q∂L

LQ

, ve EQR =∂Q∂R

RQ

dır. Bu esneklikler, ilgili türevler hesaplanarak

EQK =(

αAKα−1Lβ Rγ)(

KQ

)=

αAKαLβ Rγ

Q= α

QQ

= α

EQL =(

βAKαLβ−1Rγ)(

LQ

)=

βAKαLβ Rγ

Q= β

QQ

= β

EQR =(

γAKαLβ Rγ−1)(

RQ

)=

γAKαLβ Rγ

Q= γ

QQ

= γ

olarak bulunur.

11-18 Q = f (K,L) = (αK−ρ +βL−ρ)−1/ρ üretim fonksiyonu verildigindeα, β ve ρsabitken çıktının ölçege göre sabit getiriye tabii oldugunu gösteriniz.

ÇÖZÜM Ölçege göre sabit getiri

f (λK,λL) = λ f (K,L)

olarak ifade edildigine göre, bu üretim fonksiyonunun bu kosulu sagladıgını göstermekyeterlidir:

f (λK,λL) =[α(λK)−ρ +β (λL)−ρ

]−1/ρ

=[λ−ρ(

αK−ρ +βL−ρ)]−1/ρ

= λ[αK−ρ +βL−ρ

]−1/ρ

= λ f (K,L)

oldugundan, bu üretim fonksiyonu ölçege göre sabit getiri kosulunu saglar.

11-19 Bir üretim fonksiyonunun

(a) sermaye (emek) girdisi belirli bir seviyede sabit tutuldugunda emek (sermaye)girdisi arttıkça azalan emek (sermaye) marjinal ürün özelligine

(b) ölçege göre artan getiri özelligine sahip oldugu söylenir. (a) ve (b) birbirinezıt deyislermidir? Cobb-Douglas üretim fonksiyonunu dikkate alarak cevabınızıaçıklayınız.


ÇÖZÜM Cobb-Douglas üretim fonksiyonu

Q = AKαLβ

olsun.

(a) Sermayenin marjinal ürünü

MPK =∂Q∂K

= αAKα−1Lβ

olur. Marjinal ürünün sermaye arttıkça nasıl degistigini bulmak için∂MPK/∂Kkısmi türevi bulunur.

MPKK =∂MPK

∂K=

∂ 2Q∂K2 = α(α−1)AKα−2Lβ

MPKK < 0 olması için yeterli kosulα < 1 olmasıdır. Bu durumda sermayeninazalan marjinal ürün özelliginden sözedilir. Benzer sekilde emek girdisi içinmarjinal ürün ve bunun emege göre degisimi sırasıyla

MPL =∂Q∂L

= βAKαLβ−1

ve

MPLL =∂MPL

∂L=

∂ 2Q∂L2 = β (β −1)AKαLβ−2

MPLL < 0 olması için yeterli kosulβ < 1 olmasıdır. Bu durumda emegin azalanmarjinal ürünü özelliginden söz edilir.

(b) Bu üretim fonksiyonunun homojenlik derecesi

F(λK,λL) = A(λK)α (λL)β = λ α+β AKαLβ = λ α+β Q

ifadesindenα + β olarak bulunur. Ölçege göre artan getirinin olabilmesi içinα + β > 1 olması gerekir. Bu kosulα < 1 ve β < 1 olsa bile saglanabilir. Buda (a) sıkkındaki kosullarla çeliskili degildir. Yani (a) ve (b) sıkları birbirine zıtdeyisler degildir.

Bölüm 12


Problem 12-19-12-25 için kar maksimizasyonu için ikinci derece kosulun saglandıgınıvarsayınız.

12-19 Tam rekabetçi bir firmanın toplam gelir ve toplam maliyet fonksiyonları söyle-dir: R(Q1,Q2) = 36Q1 +86Q2 veC(Q1,Q2) = Q2

1 +4Q1Q2 +5Q22 +23. Firmanın her

ürün için karını maksimize eden çıktı düzeyini ve maksimum karını bulun.

ÇÖZÜM Firmanın kar fonksiyonu

π = R−C = 36Q1 +86Q2−Q21−4Q1Q2−5Q2

2−23

seklinde yazılabilir. Maksimizasyon için birinci derece kosul kar fonksiyonunQ1 veQ2 ye göre birinci türevlerinin alınıp sıfıra esitlenmesidir:

π1 = 36−2Q1−4Q2 = 0

π2 = 86−4Q1−10Q2 = 0

Bu iki denklemi

2Q1 +4Q2 = 36

4Q1 +10Q2 = 86

seklinde tekrar düzenleyelim. Bu denklem sistemini çözdügümüzdeQ1 = 4 veQ2 = 7degerlerini buluruz.Ikinci derece kosulunun saglandıgı varsayımı altında bu degerlerkarı maksimize eden çıktı degerlerini verir. Maksimum karı bulmak için bu degerlerikar fonksiyonunda yerlerine koyarız:

π = 36(4)+86(7)− (4)2−4(4)(7)−5(7)2−23= 350

12-20 Bir tekelcinin iki ürünü için talep fonksiyonları sırasıylaQ1 = 20−5P1+3P2 veQ2 = 10+3P1−2P2 dir. Toplam maliyet fonksiyonu iseC(Q1,Q2) = 2Q2

1−2Q1Q2 +


Q22 +37.5 dir. Her ürün için karı maksimize eden çıktı düzeylerini ve maksimum karı

bulun.

ÇÖZÜM Problemde verilen talep fonksiyonları önce asagıdaki sekilde yazılır ve bura-danQ1 veQ2 cinsinden yeni talep fonksiyonları elde edilir.

−5P1 +3P2 = Q1−20

3P1−2P2 = Q2−10

Bu iki denklemP1 veP2 için çözülürse

P1 =−2Q1−3Q2 +70

P2 =−3Q1−5Q2 +110

elde edilir. Yeni talep fonksiyonlarınıQ1 veQ2 ile çarparak toplam gelir fonksiyonunuelde ederiz:

R= P1Q1 +P2Q2 = (−2Q1−3Q2 +70)Q1 +(−3Q1−5Q2 +110)Q2

=−2Q21−6Q1Q2−5Q2

2 +70Q1 +110Q2

Toplam gelir foksiyonundan toplam maliyet fonksiyonunu çıkarttıgımızda toplam karfonksiyonunu elde etmis oluruz:

π = R−C =−2Q21−6Q1Q2−5Q2

2 +70Q1 +110Q2

−2Q21 +2Q1Q2−Q2

2−37.5

=−4Q21−4Q1Q2−6Q2

2 +70Q1 +110Q2−37.5

Kar maksimizasyonu çin birinci derece kosul kar fonksiyonunun birinci derece türev-lerinin sıfıra esitlenmesidir. Bunlar

π1 =−8Q1−4Q2 +70= 0

π2 =−4Q1−12Q2 +110= 0

olarak elde deilir. BuradanQ1 = 5 ve Q2 = 7.5 karı maksimize eden çıktı seviyeleriolarak bulunur (ikinci derece kosulların saglandıgı varsayılmıstı). Bu degerleri yerinekoydugumuzda maksimum kar

π =−4(5)2−4(5)(7.5)−6(7.5)2 +70(5)+110(7.5)−37.5 = 550

olarak bulunur.

12-21 Bir üretici fotokopi makinesinin iki türünde tekele sahiptir. Ürünlerin talepfonksiyonları sırasıylaQ1 = 1700− 1

6P1 veQ2 = 153313− 1

3P2 = 46003 − 1

3P2 dir. Toplammaliyet fonksiyonuC(Q1,Q2) = 3Q2

1 + 6Q1Q2 + Q22 + 10000dir. Her ürün için karı

maksimize eden çıktı düzeyini, maksimum karı ve her ürünün satıs fiyatını bulun.


ÇÖZÜM Bu soruda ilk is olarak talep foksiyonlarını asagıdaki sekle getirmek gerekir:

P1 =−6Q1 +10200

P2 =−3Q2 +4600

Buradan toplam gelir fonksiyonu da söyle elde edilir:

R= P1Q1 +P2Q2 = (−6Q1 +10200)Q1 +(−3Q2 +4600)Q2

=−6Q21 +10200Q1−3Q2

2 +4600Q2

Buradan kar fonksiyonu

π = R−C =−6Q21 +10200Q1−3Q2

2 +4600Q2−3Q21−6Q1Q2−Q2−10000

=−9Q21 +10200Q1−4Q2

2 +4600Q2−6Q1Q2−10000

Karı maksimize eden çıktı düzeylerini bulmak çin kar fonksiyonunun her bir çıktıyagöre kısmi türevlerini sıfıra esitleriz:

π1 =−18Q1 +10200−6Q2 = 0

π2 =−8Q2 +4600−6Q1 = 0

buradan karı maksimize eden çıktı düzeyleriQ1 = 500 ve Q2 = 200 olarak bulunur(ikinci derece kosulların saglandıgı varsayılmıstı). Bu degerleri yerine koydugumuzdamaksimum kar

π =−9(500)2 +10200(500)−4(200)2 +4600(200)−6(500)(200)−10000

= 3000000

olur.

12-22 Bir tekelcinin AR fonksiyonuP = 4Q−1/2 dir. Üretim fonksiyonu iseQ =36K1/2L1/2 ve input fiyatlarır = 3/4 vew = 12dir. Tekelcinin karını maksimize edengirdi düzeylerini, çıktı düzeyini ve maksimum karını bulun.

ÇÖZÜM ARfonksiyonunuQ ile çarptıgımızda toplam gelir fonksiyonunu elde ederiz:

R= PQ= 4Q−1/2Q = 4Q1/2

Toplam gelir fonksiyonunu üretim faktörleri cinsinden yazarsak

R= 4(36K1/2L1/2)1/2 = 24K1/4L1/4

elde ederiz. Toplam maliyet fonksiyonu da

C = rK +wL =34

K +12L

olur. Buradan kar fonksiyonunu

π = 24K1/4L1/4− 34

K−12L


olarak yazılır. Karı maksimize edenK veL düzeylerini bulmak için kar fonksiyonununher iki degiskene göre kısmi türevlerini sıfıra esitleriz:

πK = 6K−3/4L1/4− 34

= 0

πL = 6K1/4L−3/4−12= 0

Bu iki denklemi birbirine oranladıgımızdaK = 16L sonucunu elde ederiz. Bunu dayukarıdaki denklemlerden herhangi birinde yerine koydugumuzdaL = 1 ve K = 16sonuçlarını elde ederiz. Bu degerleri üretim fonksiyonunda yerine koyarsak karı mak-simize eden üretim miktarı

Q = 36(16)1/2(1)1/2 = 144

ve maksimum kar

π = 24(16)1/4(1)1/4− 34(16)−12(1) = 24

olarak hesaplanır.

12-23 Bir tekelcinin talep fonksiyonuQ= Q(P,A) dır (P=fiyat veA=cari reklam harca-malar). Üretim maliyetiC =C(Q) ve reklam maliyetiA toplam maliyetlerini olusturur.A/PQreklam maliyetinin satıs gelirlerine oranı veηA/ηP talebin reklam elastikiyetinintalebin fiyat elastikiyetine oranı iken

APQ

=[∂Q

∂AAQ

]/[−∂Q

∂PPQ

]=

ηA

ηP

esitligini ispatlamak için kar maksimizasyonunun birinci derece kosulunu kullanınız.

ÇÖZÜM Verilenleri kullanarak kar fonksiyonu

π = PQ(P,A)−C(Q(P,A))−A

seklinde yazılabilir. Kar maksimizasyonu için birinci derece kosullar

πP = Q+P∂Q∂P

− dCdQ

∂Q∂P

= 0

πA = P∂Q∂A

− dCdQ

∂Q∂A

−1 = 0

Ikinci denklemdC/dQ için çözüldügünde

dCdQ

= P− 1∂Q/∂A

elde edilir. Bu son ifadeyi birinci derece kosullarının ilk denkleminde yerine koyarsak

Q =−∂Q/∂P∂Q/∂A


elde edilir. Bu ifadeyi

1Q

=[∂Q

∂A

]/[−∂Q

∂P

]

seklinde yazabiliriz. Bu denklemin her iki tarafınıA/P ile çarpar ve sag tarafının hembölen hem de bölünen kısmınıQ ile bölersek

APQ

=[∂Q

∂AAQ

]/[−∂Q

∂PPQ

]=

ηA

ηP

sonucu elde edilir

12-24 Bir tekelci aynı ürünü iki ayrı yerde üretmektedir.Q = Q1 + Q2 iken talepfonksiyonuQ = 30− (1/4)P dir. Maliyet fonksiyonları iseC1 = 2Q2

1 + 16Q1 + 18veC2 = Q2

2 + 32Q2 + 70 dir. Tekelcinin karını maksimize eden çıktıyı, her iki tesisteüretilecek miktarları, ürün fiyatını va maksimum karı bulun.

ÇÖZÜM Problemdeki talep fonksiyonunuQ cinsinden

P = 120−4(Q1 +Q2)

seklinde yazabiliriz. Buradan toplam gelir fonksiyonu

R= PQ= (120−4Q1−4Q2)(Q1 +Q2)

= 120Q1−4Q21−8Q1Q2 +120Q2−4Q2

2

seklinde kar fonksiyonu da

π = R− (C1 +C2) = 120Q1−4Q21−8Q1Q2 +120Q2−4Q2

2

−2Q21−16Q1−18−Q2

2−32Q2−70

= 104Q1−6Q21−8Q1Q2−5Q2

2 +88Q2−88

olarak yazılır. Karı maksimize eden çıktı düzeylerini bulmak için kar fonksiyonununher bir çıktıya göre kısmi türevini alıp sıfıra esitleriz:

π1 = 104−12Q1−8Q2 = 0

π2 =−8Q1−10Q2 +88= 0

Bu denklemleri çözersekQ1 = 6 veQ2 = 4 elde ederiz. Buna göre satıs fiyatı

P = 120−4(6+4) = 80

ve maksimum kar

π = 104(6)−6(6)2−8(6)(4)−5(4)2 +88(4)−88= 400

olarak hesaplanır.


12-25 Bir tekelci ürününü hem sanayiye hem de hane halklarına satmaktadır. Bu ikiayrı piyasadaki talep fonksiyonları sırasıylaQ1 = 103− (1/6)P1 veQ2 = 55− (1/2)P1

dir. Toplam maliyet fonksiyonuQ = Q1 + Q2 iken C = 18Q+ 750 dir. Tekelcininher piyasadaki karını maksimize eden çıktıyı, her piyasadaki fiyatı, toplam karı ve herpiyasadaki talep esnekligini bulunuz.

ÇÖZÜM Tekelcinin toplam gelir fonksiyonu

R= P1Q1 +P2Q2 = (−6Q1 +618)Q1 +(110−2Q2)Q2

=−6Q21 +618Q1 +110Q2−2Q2

2

seklinde, toplam maliyet fonksiyonu ise

C = 18(Q1 +Q2)+750= 18Q1 +18Q2 +750

seklinde yazılabilir. Buradan kar fonksiyonu

π =−6Q21 +618Q1 +110Q2−2Q2

2−18Q1−18Q2−750

=−6Q21 +600Q1 +92Q2−2Q2

2−750

olarak elde edilir. Karı maksimize eden çıktı düzeylerini bulmak için kar fonksiyonu-nun birinci türevleri sıfıra esitlenir:

π1 =−12Q1 +600= 0

π2 = 92−4Q2 = 0

Buradan karı maksimize edenQ1 düzeyi 50,Q2 düzeyi 23 birimdir. Buradan birincipiyasadaki fiyat

P1 =−6(50)+618= 318

ikinci piyasadaki fiyat

P2 = 110−2(23) = 64

birimdir. Maksimum kar:

π =−6(50)2 +600(50)+92(23)−2(23)2−750= 15308

birimdir. Her bir piyasa için esneklik düzeyleri

E1 =−dQ1

dP1

P1

Q1=−

(−1

631850

)=

318300

E2 =−dQ2

dP2

P2

Q2=−

(−1

26423

)=

6446

olarak elde edilir.


12-26 Bir amaç fonksiyonu

S= S(α, β ) =T

∑t=1

e2t

olarak verilsin. Burada

e2t = yt − α− βxt , y =

T

∑t=1

yt/T x =T

∑t=1

xt/T

olarak tanımlansın. BirSminimumu için birinci derece kosulunu kullanarakS i mini-mize edenα ve β denklemlerini ispatlayın:

α = y− β x

β =

T

∑t=1

xtyt −Tyx

T

∑t=1

x2t −Tx2

=

T

∑t=1

(yt − y)(xt − x)

T

∑t=1

(xt − x)2

ÇÖZÜM Minimize edilecek amaç fonksiyonu

S= S(α, β ) =T

∑t=1

(yt − α− βxt)2

seklinde yazılabilir. Minimum için birinci derece kosullar

∂S∂ α

=−2T

∑t=1

(yt − α− βxt) = 0

∂S

∂ β=−2

T

∑t=1

(yt − α− βxt)xt = 0

olur. Bu denklemlerden ilki tekrar düzenlenirse

T

∑t=1

yt −T

∑t=1

α− βT

∑t=1

xt = 0

elde edilir.∑Tt=1 α = Tα ifadesini kullanarak bu son ifadeden

Tα =T

∑t=1

yt − βT

∑t=1

xt

α =

T

∑t=1

yt

T− β

T

∑t=1

xt

T


α = y− β x

sonucu elde dilir. Bu sonuç verilen ilk denklemi ispatlar. Birinci derece kosullarınınikinci denklemindeα için elde edilen yukarıdaki ifade yerine konulursa

T

∑t=1

(yt − y+ β x− βxt)xt = 0

T

∑t=1

(yt − y)xt − βT

∑t=1

(xt − x)xt = 0

sonucu elde edilir. Elde edilen son denklemiβ için çözersek

β =

T

∑t=1

(yt − y)xt

T

∑t=1

(xt − x)xt

=

T

∑t=1

ytxt − yT

∑t=1

xt

T

∑t=1

x2t − x

T

∑t=1

xt

elde edilir.

Ty =T

∑t=1

yt(*)

Tx =T

∑t=1

xt(**)

oldugundan, bu son ifade

β =

T

∑t=1

ytxt −Tyx

T

∑t=1

x2t −Tx2

seklinde yazılabilir. Bu verilen ikinci denklemin birinci kısmını ispatlar.Ikinci kısmınıispatlamak için (*) ve (**) denklemlerini kullanarak

T

∑t=1

(yt − y)(xt − x) =T

∑t=1

ytxt − xT

∑t=1

yt − yT

∑t=1

xt +T

∑t=1

yx

=T

∑t=1

ytxt −Tyx−Tyx+Tyx

=T

∑t=1

ytxt −2Tyx+Tyx

=T

∑t=1

ytxt −Tyx


ve

T

∑t=1

(xt − x)2 =T

∑t=1

x2t +

T

∑t=1

x2−2xT

∑t=1

xt

=T

∑t=1

x2t +Tx2−2Tx2

=T

∑t=1

x2t −Tx2

oldugunu göstermemiz yeterlidir. Böylece

β =

T

∑t=1

xtyt −Tyx

T

∑t=1

x2t −Tx2

=

T

∑t=1

(yt − y)(xt − x)

T

∑t=1

(xt − x)2

denklemi de ispatlanmıs oldu.

Bölüm 13


13-18 Bir tüketicinin fayda fonksiyonuU = U(x,y) harcamaları isM = pxx+ pyyile verilsin. Veri fayda düzeyiU = U1 e karsıx ve y ye yaptıgı harcamaları azalt-mak istedigi varsayımı ile (i) kısıtlı fayda maksimizasyonu için elde edildigi gibi, kı-sıtlı harcama minimizasyonunun birinci derece kosulununMRS= px/py gerektirdiginiLagranj çarpanı olarakµ yü kullanarak bulunuz, (ii)µ nün ekonomik yorumunu ve-rin ve denklem (13-24) le ilgili elde edilenλ = ∂U/∂M ile karsılastırın ve (iii) kısıtlıharcama minimumu için ikinci derece kosulunun gerçeklestigi varsayımı ile kısıtlı har-cama minimizasyonunu sekille gösterin.

ÇÖZÜM

(i) Bu problem için Lagranj fonksiyonu

L(µ,x,y) = pxx+ pyy+ µ [U1−U(x,y)]

dir. Buradan birinci derece kosullar

∂L∂x

= px−µ∂U∂x

= 0

∂L∂y

= py−µ∂U∂y

= 0

∂L∂ µ

= U1−U(x,y) = 0

olarak elde edilir.Ilk iki denklemi birbirine oranlarsak

px

py=

∂U/∂x∂U/∂y

elde edilir. Burada,(∂U/∂x)/(∂U/∂y) = MRSoldugundan birinci derece ko-sullarıMRS= px/py olmasını gerektirir.


(ii) Lagranj fonksiyonundan∂M/∂U = µ elde edilir. Ekonomik olarakµ faydadameydana gelen bir degisikligin bütçede (harcamada) meydana getirdigi degisik-li gi ölçer. Bu anlamdaλ nın tersi olarak yorumlanabilir. Yanifaydanın marjinalmaliyetidenebilir.

(iii) Bu harcama minimizasyonu grafik olarak Sekil 13.1 de gösterilmistir.

y

x

M0 M1M2

y

Ex

U1

Sekil 13.1: Çözüm 13-18 için Harcama Minimizasyonunun Grafik Gösterimi

13-19 (i) U1 = x1x2 = 8 olduguna göreM = p1x1+ p2x2 = 6x1+3x2 yi minimize edin,(ii) M = p1x1+ p2x2 = 6x1+3x2 = 24oldguna göreU1 = x1x2 yi maksimize edin, (iii)(i) ve (ii) nin sonuçları arasındaki iliskiyi açıklayın.

ÇÖZÜM

(i) Bu maksimizasyon ile ilgili Lagranj fonksiyonu

L(λ ,x1,x2) = M +λ [8−U(x1,x2)] = 6x1 +3x2 +λ [8−x1x2]

dir. Birinci derece kosulları

∂L∂x1

= 6−λx2 = 0


∂L∂x2

= 3−λx1 = 0

∂L∂λ

= 8−x1x2 = 0

olarak elde edilir. ilk iki denklemi birbirine oranlarsak

63

=λx2

λx1=⇒ x1 =

12

x2

elde edilir. Bunux1x2 = 8 denkleminde yerine koyarak

x2

2x2 = 8 =⇒ x2 = 4 vex1 = 2

çözümlerini elde ederiz.

(ii) Bu maksimizasyon için Lagranj fonksiyonu

L(λ ,x1,x2) = x1x2 +λ [24−6x1−3x2]

olur. Maksimum için birinci deree kosulları asagıdaki gibidir:

∂L∂x1

= x2−λ6 = 0

∂L∂x2

= x1−λ3 = 0

∂L∂λ

= 24−6x1−3x2

Ilk iki denklemi birbirine oranlayarak

x2

x1=

λ6λ3

=⇒ x2 = 2x1

elde ederiz. Bunu üçüncü denklemde yerine koyarsak

24−6x1−3(2x1) = 0

24−12x1 = 0 =⇒ x1 = 2, x2 = 2(2) = 4

elde edilir. Bu degerleri fayda fonksiyonunda yerine koydugumuzda maksimumfaydaU = (2)(4) = 8 olur.

(iii) (i) ve (ii) ikiz problemlerdir. (i) in kısıtı (ii) nin amaç fonksiyonu, (ii) nin kısıtı(i) in amaç fonksiyonudur. (i) de elde edilen minimum harcamaM = 24 (ii) dekısıt olduguna göre, bu iki çözüm aynı sonucu verir.


13-20 U(x1,x2) = 2lnx1 + lnx2 = ln432olduguna göreM = p1x1 + p2x2 = 2x1 +4x2

yi minimize edin. Sonucu Altbölüm 13-3 de Örnek 13-5 ile karsılastırın.

ÇÖZÜM Öncelikle Lagranj fonksiyonu

L(λ ,x1,x2) = 2x1 +4x2 +λ [ln432−2lnx1− lnx2]

olur. Birinci derece kosulları ise

∂L∂x1

= 2−λ2x1

= 0

∂L∂x2

= 4−λ1x2

= 0

∂L∂λ

= ln432−2lnx1− lnx2 = 0

olacaktır. Buradan, ilk iki denklemi birbirine oranlarsak

24

=2/x1

1/x2=

2x2

x1

olur. Buradan da,x1 = 4x2 sonucunu elde ederiz. Bu sonucu üçüncü denklemde ye-rine koyarsakln432− 2ln4x2− lnx2 = 0 sonucunu elde ederiz. Buradanln432=ln16x2

2 + lnx2 ve logaritmik çarpım kuralındanln432= ln16x32 sonucu elde edilir.

432= 16x32 ise x2 = 3 ve x1 = 12 bulunur. Burada çözülen harcama minimizasyonu

Altbölüm 13-3 de Örnek 13-5 de çözülen fayda maksimizasyonu probleminin ikizidir.Yani orada verilen harcama miktarı ile maksimize edilen fayda, burada amaç olmaktave aynı faydayı elde etmek için harcamanın minimum yapılması istenmektedir. Bekle-necegi gibi iki çözüm aynı sonucu verir.

13-21 Bir üreticinin üretim fonksiyonuQ = f (K,L) dir. K veL ye yapılan harcamalarC = rK + wL ile verilsin. Veri bir maliyet düzeyine (C = C1) karsı çıktısını maksi-mize etmek istedigini varsayarak (i) maliyet kısıtına tabi çıktı maksimizasyonunda bi-rinci derece kosulunun çıktı kısıtına tabi maliyet minimizasyonunda elde edildigi gibiMRTS= w/r gerektirdigini µ yü Lagranj çarpanı olarak kullanarak gösteriniz, (ii)µyü ekonomik olarak yorumlayın ve Denklem 13-29 da elde edilenλ = ∂C/∂Q1 ilekarsılastırın, (iii) kısıtlı çıktı maksimumu için ikinci derece kosulunun gerçeklestigivarsayımı ile kısıtlı çıktı maksimizasyonunu sekille gösterin.

ÇÖZÜM

(i) Çıktı maksimizasyonu ile ilgili Lagranj fonksiyonu

Z(µ ,K,L) = Q+ µ[C1−C] = f (K,L)+ µ[C− rK −wL]

olur. Çıktı maksimizasyonu için birinci derece kosullar

∂Z∂K

=∂Q∂K

−µr = 0


∂Z∂L

=∂Q∂L

−µw = 0

∂Z∂ µ

= C1− rK −wL = 0

dir. Ilk iki denklemi birbirine oranlayarak

∂Q/∂L∂Q/∂K

=−µw−µr

elde ederiz. Buradan da

MRTS=wr

sonucu elde edilir.

(ii) Lagranj fonksiyonundan∂Q/∂C1 = µ elde edilir. Ekonomik olarakµ mali-yetlerde meydana gelen bir degisikligin üretimde meydana getirdigi degisikligiölçer. Bu anlamdaλ nın tersi olarak yorumlanabilir. Yaniharcamanın marjinalürünüdenebilir.

(iii) Bu çıktı maksimizasyonu grafik olarak Sekil 13.2 de gösterilmistir.

E

L

K

L

K

C1

Q1

Q0

Q2

Sekil 13.2: Çözüm 13-21 için Çıktı Maksimizasyonunun Grafik Gösterimi


13-22 C = rK +wL = 2K +8L = 64 olduguna göreQ = f (K,L) = 4K1/2L1/2 i mak-simize edin. Sonuçlarınızı Altbölüm 13-3 de Örnek 13-7 ile karsılastırın.

ÇÖZÜM Bu maksimizasyon için Lagranj fonksiyonu

Z(λ ,K,L) = 4K1/2L1/2 +λ [64−2K−8L]

olur. Birinci derece kosullar ise

∂Z∂K

= 2K−1/2L1/2−λ2 = 0

∂Z∂L

= 2K1/2L−1/2−λ8 = 0

∂Z∂λ

= 64−2K−8L = 0

olur. Ilk iki denklem birbirine oranlanırsa

2K−1/2L1/2

2K1/2L−1/2=

λ2λ8

LK

=28

L =28

K

elde edilir. Bu sonuç üçüncü denklemde yerine konulursa

64−2K−8(2

8

)K = 0

64−4K = 0

K =644

= 16

L =(2

8

)16=

328

= 4

sonuçları elde edilir. Maksimum üretim düzeyi ise

Q = 4(16)1/2(4)1/2 = 4(4)(2) = 32

olur. Altbölüm 13-3 de Örnek 13-7 de çözülen maliyet minimizasyonu problemi bu-rada çözülen çıktı maksimizasyonu probleminin ikizidir. OradaQ= 32için elde edilenminimum maliyetM = 24 burada kısıt olarak kullanıldıgından her iki çözüm aynı so-nucu verir.

13-23 Tüketicinin fayda fonksiyonuU = (x1,x2) = Axα1 x1−α

2 ve bütçe kısıtıM =P1x1 + P2x2 olsun. KısıtlıU maksimumu için ikinci derece kosulunun gerçeklestiginivarsayarak, tüketicininx1 ve x2 için talep fonksiyonlarını bulun. Talep fonksiyonlarıiçin,


(a) fiyat esnekligini,

(b) çapraz fiyat esnekligini,

(c) gelir esnekliklerini bulun,

Yukarıda elde edilen talep fonksiyonlarının gerçeklesmeleri ile ilgili yorum yapın.

ÇÖZÜM Fayda maksimizasyonu için Lagranj fonksiyonu

L(λ ,x1,x2) = Axα1 x1−α

2 +λ [M−P1x1−P2x2]

olur. Bu maksimizasyon için birinci derece kosullar

∂L∂x1

= αAxα−11 x1−α

2 −λP1 = 0

∂L∂x1

= (1−α)Axα1 x−α

2 −λP2 = 0

∂L∂λ

= M−P1x1−P2x2 = 0

olarak elde edilir.Ilk iki denklemi birbirine oranlayarak

αAxα−11 x1−α

2

(1−α)Axα1 x−α

2

=λP1

λP2

α1−α

x2

x1=

P1

P2

x2 =(

1−αα

)(P1

P2

)x1

ifadesini elde ederiz. Bunu birinci derece kosullarının üçüncü denkleninde yerine ko-yarsak

M−P1x1−P2

(1−α

α

)(P1

P2

)x1 = 0

M−P1

(1+

1−αα

)x1 = 0

M− P1

αx1 = 0

sonucu elde edilir. Buradanx1 için talep fonksiyonunun

x1 =αMP1

oldugu açıktır. Bu sonuç kullanılarakx2 için talep fonksiyonu

x2 =(

1−αα

)(P1

P2

)(αMP1

)=

(1−α)MP2

olur.


(a) x1 vex2 için fiyat esneklikleri sırasıyla

E11 =−dx1

dP1

P1

x1=−

(−αM

P21

)(P1

x1

)=

αMP1x1

E22 =−dx2

dP2

P2

x2=−

(− (1−α)M

P22

)(P2

x2

)=

(1−α)MP2x1

olur.

(b) Çapraz fiyat esneklikleri ise

E12 =−dx1

dP2

P2

x1=−(0)

(P2

x1

)= 0

E21 =−dx2

dP1

P1

x2=−(0)

(P1

x2

)= 0

olarak elde dilir.

(c) Son olarakx1 vex2 için gelir esneklikleri sırasıyla

E1M =dx1

dMMx1

=(

αP1

)(Mx1

)=

αMP1x1

E2M =dx2

dMMx2

=(

(1−α)P2

)(Mx2

)=

(1−α)MP2x2

olarak elde edilir.

Bu talep fonksiyonları ile ilgili olarak fiyat esnekligi ile gelir esnekliginin aynı olma-sının ilginçligi dısında, tek önemli özellik çapraz fiyat esnekliklerinin sıfır olusudur.Birbirleri ile ne tamamlayıcı ne ikame olan ürünler bu özelligi tasırlar. Örnegin kaset-çalar ve domates birbirlerini ne tamamlar ne de ikame eder. Dolayısıyla gerçek hayattabu tür talep fonksiyonları olasıdır.

13-24 Asagıdaki üretim fonksiyonları için

σ =(K/L) de nisbi degismeMRTSde nisbi degisme

=d(K/L)/(K/L)

d(MRTS)/MRTS=

d(K/L)dMRTS

MRTS(K/L)

olarak tanımlanan ikame esnekligini (σ ) bulun.

(i) Q = AKαLβ

(ii) Q = γ[δK−α +(1−δ )L−α ]−ν/α

[Ipucu: d(K/L)/d(MRTS) = 1/{d(MRTS)/d(K/L)} ]

ÇÖZÜM Her iki üretim fonksiyonu içinMRTSin asagıdaki tanımından faydalanaca-gız:

MRTS=∂Q/∂L∂Q/∂K


(i) ÖncelikleMRTSi bulalım

MRTS=∂Q/∂L∂Q/∂K

=βAKαLβ−1

αAKα−1Lβ =(

βα

)(KL

)

Buradan

d(K/L)d(MRTS)

=1

{d(MRTS)/d(K/L)} =1

β/α=

αβ

elde edilir. Bu son ifadeden, ikame esnekligi

σ =d(K/L)dMRTS

MRTS(K/L)

=αβ

(β/α)(K/L)(K/L)

= 1

olur.

(ii) Bu üretim fonksiyonu içinMRTS

MRTS=(1−δ )νγL−α−1[δK−α +(1−δ )L−α ]−(ν/α)−1

δνγK−α−1[δK−α +(1−δ )L−α ]−(ν/α)−1

=(

1−δδ

)(KL

)1+α

olarak elde edilir. Bu ifadeden

d(K/L)d(MRTS)

=1

{d(MRTS)/d(K/L)}=

1[(1+α)(1−δ )/δ ](K/L)α

=(

δ(1+α)(1−δ )

)(KL

)−α

elde edilir. Bu son ifade kullanılarak ikame esnekligi

σ =d(K/L)dMRTS

MRTS(K/L)

=(

δ(1+α)(1−δ )

)(KL

)−α(1−δ

δ

)(KL

)1+α(KL

)−1

=1

1+α

olarak bulunur.

Bölüm 14


14-19 Eger firmanın marjinal maliyet fonksiyonuC′(Q) = 3Q2−18Q+33ve toplammaliyeti çıktı 3 iken 55 ise toplam maliyet fonksiyonunu bulun.

ÇÖZÜM

C(Q) =∫

C′(Q)dQ=∫

(3Q2−18Q+33)dQ= Q3−9Q2 +33Q+c

C(3) = 33−9(3)2 +33(3)+c = 55 =⇒ c = 10

C(Q) = Q3−9Q2 +33Q+10

14-20 Firmanın marjinal gelir fonksiyonuR′(Q) = 65(3+ Q)−2 ise, satılan çıktı 2birimden 10 birime çıktıgında toplam gelirdeki artıs ne kadardır?

ÇÖZÜM

∫ 10

265(3+Q)−2dQ=

[ −65(3+Q)

]10

2=

−653+10

− −653+2

=−325

65+

84565

=52065

= 8

Toplam gelirdeki artıs 8 birimdir.

14-21 Bir ülkenin marjinal ithal meyliM′(Y) = 0.13 ve gelir 0 oldugundaM = 26 iseithalat fonksiyonuM(Y) yi bulun.

ÇÖZÜM

M(Y) =∫

M′(Y)dY =∫

0.13dY = 0.13Y +c

M(0) = 0.13(0)+c = 26 =⇒ c = 26


M(Y) = 0.13Y +26

14-22 Bir ülkenin marjinal tüketim meyliC′(Y) = 4800(2+Y)−3 ve toplam tüketimharcaması gelir 0 oldugunda 400 ise, tüketim fonksiyonuC(Y) yi bulunuz?

ÇÖZÜM

C(Y) =∫

C′(Y)dY =∫

4800(2+Y)−3dY =−2400(2+Y)−2 +c

C(0) =−2400(2+0)−2 +c = 400 =⇒ c = 1000

C(Y) =−2400(2+Y)−2 +1000

14-23 Tanım geregi net yatırım oranı (I ), kapital olusum oranınaK′(t) = dK/dt öz-destir. Burada,K kapital stoku vet zamandır. Bu tanım veri ve netI oranının daI(t) = 10t1/5 ile verildigini varsayarak,t = 0 ile t = 32 arasındaki dönemde kapitalolusumunu bulun.

ÇÖZÜM

∫ 32

010t1/5dt =

[506

t6/5]32

0=

506

(32)6/5− 506

(0)6/5 =1600

3

14-24 Belirli bir mal için piyasa talep ve arz fonksiyonlarıP = 75(1+ Q)−2 ve P =2+Q2/16 dır. Birim piyasa fiyatı 3 ise, tüketici ve üretici artıklarını hesaplayıp, sekilüstünde gösterin.

ÇÖZÜM Talep fonksiyonuP = 75(1+ Q)−2 iken denge fiyatı 3 oldugunda dengemiktarı

75(1+Q)−2 = 3

(1+Q)2 = 25

Q = 4 (pozitif çözümü alarak, diger çözümQ =−6 dır)

olur. Tüketicinin ödedigi toplam bedelPQ= (3)(4) = 12 birimdir. Buradan tüketiciartıgı (CS)

CS=∫ 4

075(1+Q)−2dQ−12=

[−75(1+Q)−1]40−12

=[−75(1+4)−1 +75(1+0)−1

]−12= 48


olarak bulunur. Arz fonksiyonuP = 2+ Q2/16 iken denge fiyatı 3 oldugunda dengemiktarı

2+Q2/16= 3

Q2 = 16

Q = 4

olur. Üreticinin elde ettigi toplam bedelPQ= (3)(4) = 12 birimdir. Buradan üreticiartıgı (PS)

PS= 12−∫ 4

0

[2+

Q2

16

]dQ= 12−

[2Q+

Q3

48

]4

0

= 12−[(

2(4)+(4)3

48

)−

(2(0)+

(0)3

48

)]=

83

olarak bulunur. Tüketici ve üretici artıkları grafik olarak Sekil 14.1 de gösterilmistir.

P

Q

CS= 48

PS= 8/3P = 2+Q2/16

P = 75(1+Q)−2

4

75

32

Sekil 14.1: Çözüm 14-24 için Tüketici ve Üretici Artıklarının Grafik Gösterimi

14-25 Eger emek gücü yıllık %4 ile sürekli artıyorsa, emek gücünün kaç yılda ikiyekatlanacagını bulun. (ln2 = 0.6931)


ÇÖZÜM t yılındaki emek gücüLt = L0ert seklinde yazılabilir. Buradar = 0.04 oldu-gundan2L0 = L0e0.04t ifadesinin her iki tarafınıL0 a böler dogal logaritmasını alırsak,emek gücünün ikiye katlanması için gerekli yıl sayısı

ln2 = 0.04t lne

0.6931= 0.04t

t ∼= 17.33yıl

olarak hesaplanır.

14-26 Eger 10 yıldır sürekli %10 oranında asınan makina stokunun degeri £100000ise, makina stokunun ilk degeri nedir?

ÇÖZÜM Makine stokununt yılındaki degeri %10 asıma oranındaKt = K0e−0.1t ilegösterilebilir, bugünkü degeri £100000 olan makinenin ilk degerini

100000= K0e−0.1(10) = K0e−1

K0 = e(100000)∼= 271828.18

olarak bulunur.

14-27 100 yıllık sürede toplam £148410 elde edilecekse, %5 ile iskonto edilen butoplamın simdiki degeri nedir? (e5 = 148.41)

ÇÖZÜM Degerleri sürekli indirgeme formülünde yerine koyarsak

148410= Ke0.05(100) = Ke5

K =148410

e5 =148410148.41

= 1000

elde edilir.

14-28 Sürekli olmayan bilesik faiz formülüVt = V0(1+ i)t nin nasılVt = V0ewt yedönüstügünü anlatın.

ÇÖZÜM Faiz oranının yıldan kez hesaplandıgını varsayarakVt = V0(1+ i)t ifadesi

Vt = V0

(1+

in

)tn

seklinde yazılabilir.m= n/i tanımını kullanarak yukarıdaki ifade

Vt = V0

[(1+

in

)n/i]it

= V0

[(1+

1m

)m]it


seklinde yazılabilir.

limm→∞

(1+

1m

)m= e

oldugundan, faiz oranının hesaplandıgı sıklıgı sonsuza gönderirsek (n→ ∞) m de son-suza gider (m→ ∞), m→ ∞ iken

Vt = V0ewt

elde edilir. Buradaw= i olarak alınmıstır, ancak artıkw nin sürekli faiz oranı oldugunuunutmamak gerekir. Bu nedenle sürekli faiz oranınıi yerinew ile göstermek daha dogruolur.

14-29 Firmanın marjinal maliyet fonksiyonuC′(Q) = 7.5e0.15Q ve sabit maliyeti 80ise, toplam maliyet fonksiyonuC(Q) yu bulun.

ÇÖZÜM

C(Q) =∫

C′(Q)dQ=∫

7.5e0.15QdQ=∫

7.5eu du0.15

= 50∫

eudu= 50e0.15Q +c

Buradau = 0.15Q nun dQ = du/0.15 ifadesini vermesinden yararlanılmıstır. Sabitmaliyetlerin 80 olması üretim miktarı sıfır iken maliyetlerin 80 birim olması anlamınagelir. Q = 0 ikenC = 80 ise

C(0) = 50e0.15(0) +c = 80

c = 30

bulunur. Buradan, toplam maliyet fonksiyonu

C(Q) = 50e0.15Q +30

olarak bulunur.

14-30 Marjinal tüketim meyli gelirin fonksiyonu (C′(Y) = 125e−0.5Y) ise ve gelir 0oldugunda toplam tüketim harcaması 50 ise,C(Y) fonksiyonunu bulunuz.

ÇÖZÜM

C(Y) =∫

C′(Y)dY =∫

125e−0.5YdY =∫−125eu du

0.5

=−250∫

eudu

=−250e−0.5Y +c

Buradau = −0.5Y ifadesinindY = −du/0.5 anlamına gelmesinden yararlanılmıstır.Gelir sıfır oldugunda tüketim harcaması 50 ise,C(0) =−250e−0.5(0) +c= 50ifadesin-denc = 300bulunur ve toplam tüketim fonksiyonu

C(Y) =−250e−0.5Y +300

olarak elde edilir.

Documents

iktisatta matematiksel yontemler: Çozumlu Problemler (gözden geçirimiş baskı)