"DFERANSYEL HESABIN TARH STNE" BALIKLI ELYAZMASINA VEDALEMBERT YNTEMNN ZMLEMESNE EKLER.........................117"Lim it ve "Lim it Deer" Terim lerinin Belirsizlii stne..................... 119D 'alem bcrt Y ntem inin C ebirsel Yntem le K arlatrlm as.....................122D'alembert Ynteminin Baka Bir m cklc Daha zm lem esi............... 126RUSA YAYIM LAYANLARIN E K L E R ........................................................135EK - 1Marxin Bavurduu Kaynaklardaki "Limit" Kavram Konusunda 137E K -BNevvton'un M arx'a A nlan Lcm m alan stne.............................................152EK -111Leonhard Eulcr'in S frlar H esab stne......................................................157E K -IVJohn Landen'in R esid u a l A n a lysis ' i ................................................................. 162E K -VB oucharlatya G re D iferansiyel H esap ilke le ri......................................... 170E K -V IMarxin Kulland Kaynak Kitaplarda Taylor ve MacLaurinTeorem leri ve Lagrange'n zm sel Fonksiyonlar T eorisi....................... 180N O T L A R ........................................................................................................................191MARX'IN MATEMATKSEL ELYAZMALARI STNEEK G E R E L E R ........................................................................................................213E. Kolman, KARL MARX ve MATEMATK:M arx'm "M atem atiksel E lyazm alar" stne ................................................215HEGEL VE MATEMATKEm si Kol'man ve Sonya YanovskayaM arksltk B ayra A lt n d a 'd m ........................................................................ 236HEGEL, MARX ve KALKLS C. Smith1. M arx'in M a tem a tikse l Y a p t......................................................................2582. S onsuz B u n a lm .............................................................................................. 2603. I le g e l ve S o n su z ............................................................................................. 2634. Sonsuz K onusunda M arx ve E n g els ........................................................2655. M arx ve D iferansiyel ve In tegra l H esap ................................................. 2676. S o n ra k i G e lim e le r ......................................................................................... 2707. M atem atikse l B ilg i N ed ir? ..........................................................................272MARXIN BAVURDUU KAYNAKLAR DZN.......................................275K ON ULAR D Z N ................................................................................................ 277

T RK E EVRENN NOTUOkur, bu kitabn biimiyle ilgili kimi bilgileri Prof. S.A. Yanovs-

kayanm yazd nszn sonunda bulacaktr. Onlara unlar eklemekte yarar var: Ayra iindeki ngilizce szckler, terimler, vb. eksik veya yanl anlamalar nlemek iin evirence alkonmutur. Trkeye evirenin herhangi bir notunun, eklemesinin, vb. sonuna "-." konmutur. "-Trans." ngilizceye eviren, "-Ed. ngilizce yaymlayan ile ilgili noar, yorumlar, vb. gsterir.

eviride, elden geldiince, allm Trke matematik terimleri kullanld. Yalnz, eldeki matematik terimleri szlklerinde Trke karl bulunmayan veya bulunup da yadrganan birka terime karlk bulmak gerekti: increment-aim , d e c re m e n tksilim, dijferenliation-hkhfo- lrma, derivation-tretim gibi...

Bu not vesilesiyle, elinizdeki eviriyi, onu gzden geiren kzm Yosum'a armaan etliimi sylemek isterim.

[NG LZCE, -] Y AY IM LA Y A N LA R IN NO TUBu kitabn byk kesimi, Profesr S.A. Yanovskaya'nn 1968'de

Moskova'da yaymlanm Karl Marx, Mathcmaticheskie Rukopsii'nden evrildi (Anlan kitaba bu ciltte Yanovskaya, 1968 diye gndermede bulunulacak). Bu kitap, Marx'in matematiksel elyazmalarn, Rusa evirilerinin yansra, orijinal biimleriyle de ierir. (Bu clyazmalarnn Rusaya evrilmi paralan 1933'tc kt.) Diferansiyel hesap konusunda Marx'tan kalm, az veya ok bitmi elyazmalarn ve bunlarn ilk taslaklarn kapsayan Rusa yaynn Birinci Blmn aldk. Marx'in inceledii matematik kitaplaryla ilgili alntlardan ve yorumlardan oluan kinci Blm (Yanovskaya, 1968) evirmedik. 1930'dan beri bu elyazmalan zerinde alm olan Profesr Yanovskaya, bu kitap yaymlanmak zereyken ld. Birinci blme onun nsznn, alt Ekinin ve Notlarnn evirisini kattk.

Bunlardan baka unlar aldk:

a) Bu yazmalarn tartld, Engcls'in Marx'a yazd iki ve Marx' m Engcls'c > azd bir mektuptan alnllar;

b) Bu clyazmalaryla ilk kopyalarnn karlmasndan beri ilgilenmi ve 1979'da sve'te lm olan Sovyet Matctatikisi E. Kol'man'n Yanovskaya 1968 stne incelemesinin Rusadan evirisi;

c) Yanovskaya ile Kol'man'n 193 l dc Pod znamenem markzisma Dergisinde km, "Hegel ve Matematik" konulu bir makaleleri. Bu, nler dem Banner des Marxismus adl Alman dergisinde km versiyonundan evrildi;

d) Cyril Smithin bu kitap iin yazd "Hegel, Marx ve Kalkls" konulu bir deneme.

Yanovskaya 1968dcn alman gereleri ve E. Kol'man'n incelemesini C. Aronson ile M. Mco evirdi.

Marx ile Engels arasndaki mektuplar ve Yanovskaya ile Kol'man' in makalesini R. A. Archer evirdi.

VI

S. A. Y anovskaya

1968 RUSA BASIM A NSZ

Engels, Anti-Dhringin ikinci basmna nsznde, Marxutn kendisine kalan clyazmalarndan matematiksel ierikli olan kimilerine byk nem verdiini ve onlar ileride yaymlamak niyetinde olduunu aklar. Bu elyazmalannn fotokopileri (yaklak 1.000 yaprak), Sovyetler Birlii Komnist Partisi Merkez Komitesinin Marx-Lcnin Enstits arivlerinde saklanmaktadr. 1933'te, Marx'm lmnden elli yl sonra, bu Ayazmalarndan Marx'in diferansiyel hesabn temelleri stne dncelerini ieren ve 1881'de hazrlayc nitelikteki gerelerle birlikle Engels iin zetledii paralar Rusaya evrilip nce Markslk Bayra Almda Dergisinde (1933, no. 1, s. 15-37), sonra da Markslk ve Bilim dermesinde (1933, s. 5-61) yaymland. Ne var ki, matematiksel Ayazmalarnn bu paralan bile, imdiye dein kendi dillerinde yaymlanmamur.

imdiki basmla, Marx'in az veya ok bilmi karakterde olan veya diferansiyel ve integral hesap kavranlan veya br matematiksel sorunlar stne gzlemlerini ieren btn Ayazmalar, tmyle yaymlanyor.

Marx'm matematiksel Ayazmalar birka eittir; kimileri onun diferansiyel hesap, bu hesabn doas ve tarihi stne almalarn, kimileri ise kulland kitaplarn zellerini ve onlarla ilgili notlar ierir. Bu cilt, buna uygun olarak, iki blme ayrld. Marx'in zgn almalar birinci blmde yer alyor, ikinci blmde ise matematiksel ierikli, tmyle aklayc zeller ve paralar bulunuyor*. Marxin incelemelerde yer alan yazlar da, gzlemleri de, kendi dilleriyle ve Rusa evirileriyle yaymlanyor.

Marxin kendi almas, doallkla zetlerden ve bakalarnn almalarn alntlayan uzun paralardan ayrdr; bununla birlikte, Marx'm dncesini tmyle anlamak, yaznla ilgili incelemelerinden sk sk bil-

* tlinizdeki cil yalnz birinci blmn evirisini ieriyor.

VII

gilcnmcyi gerektirir. Bundan tr, Marx'in matematiksel yazlarnn ierikleri stne doru bir sunum, ancak kitabn btnnden karlabilir.

Marx, matematie ilgisini Kapital stne almas srasnda gelitirdi. Engels'e gnderdii 11 Ocak 1858 tarihli mektubunda yle yazar:

"Ekonomik ilkeleri zerken hesaplama yanllaryla yle kt engellendim ki, umutsuzluktan bir an nce cebir renmeyi tasarladm. Aritmetik bana yabanc kalyor. Ama cebirsel yol boyunca kendi ynmde yeniden hzla ilerliyorum." (K. Marx'tan F. Engels'e, Works, Vol. 29, Berlin 1963, s. 256.)

Marx'in ilk matematiksel incelemelerinin izleri, politik ekonomiyle ilgili ilk defterlerinin paragraflarna dalmtr. Kimi cebirsel yorumlamalar, ounlukla, 1846'ya tarihlenen defterlerde grlr. Ama bu, daha ge bir zamanda yazlm defterlerin dank yapraklarnda byle olm amtr demek deildir. Kimi esel geometri taslaklar ile seriler ve logaritmalar stne eitli cebirsel yorumlar, Nisan-Haziran 1858'c tarihlcnip de Politik Ekonomi Eletirisine (Critique o f Political Economy) hazrlk niteliindeki gereleri ieren defterlerde bulunabilir.

Ama, bu dnemde, Marx'in matematiksel dnceleri, dzensiz olarak, ou zaman baka herhangi bir eyle uramad srada ilerler. Nitekim 23 Kasm 1860'la Engels'e yle yazar: "Benim iin yazmak neredeyse 'olanaksz*. Gerekli 'kafa rahatln' hl bulduum tek konu matematik." (Marx-Engels, Works, Vol. 30, Berlin, 1964, s. 113) Buna karn, matematiksel dncelerini aralksz srdrr ve 6 Temmuz 1863'tc En- gcls'c unlar yazar

"Bo zamanmda diferansiyel ve integral hesapla urayorum. Bir neri! Elimde bir yn kitap var ve konuyu incelemek isterseniz birini size gndereceim. Askeri incelemeleriniz iin hemen hemen zorunlu sayyorum. Yeri gelmiken syleyeyim ki (yalnz teknikle ilgili olarak), rnein ccbirin yksek blmlerinden ok daha kolay bir matematik blm. Konik kesitler stne

VIII

genel bilgi dnda, incelemek iin allm cebir ve trigonometri bilgisinden baka hibir ey gerekli deil." (Agy., s. 362)

1865 sonundan veya 1866 bandan kalma, korunmam bir mektubun ekinde, Marx parabole izilen teet probleminden bir rnekle diferansiyel hesabn temellerini Engels'c aklar.

Bununla birlikte, hl matematiin temelleriyle nce politik ekonomiyle balantlar iinde ilgilenmektedir. Bylccc, 1869'da, kapital dolam sorunlarna ve devletleraras bonolarn rolne ilikin incelemeleri dolaysyla Marx, ticari aritmetiin genel gidii, ayrntl olarak zetledii Fcllcr ve Odcrmann stne bilgi edindi (kr. elyazmas 2388 ve 2400). Kendisini nceden yeterli bulmad kimi sorunlarla karlanca, onlar tmyle, temellerine dek renmeden etmemek, Marx'in inceleme tekniklerinin ayrc zelliiydi. Fcllcr ile Odcrmann'n matematiksel bir teknik kullandklar her kez, Marx o teknii biliyor bile olsa, bellediklerini tazelemeyi zorunlu saymtr. Ticari aritm etikle ilgili incelemelerinde - yukarda anlanlarda ve ok daha sonrakilerde, kr. elyazmas 3881,3888, 3981- ayrca, Marx'in yksek matematik alanlarna gelitirdii tmyle matematiksel ierikli ekler bulunur.

1870'lcrde, 1878'dcn balayarak, Marx'm matematik stne dnceleri daha sistemli bir karakter kazanr. Bu dnemle ilgili olarak Engels, Kapital in ikinci basmna nszde der ki:

"1870'len sonra, daha ok Marx'in arl hastalklar yznden bir duraklama oldu. Zamann ounlukla inceleme yaparak geirmek Marx'in alkanlyd; bilimsel tarm, Amerikan ve zellikle Rus toprak ilikileri, parasal pazarlar ve bankalar, son olarak da doal bilim: Yerbilim ve fizyoloji, zellikle de kendi matematiksel almas; btn bunlar, o dnemden kalma saysz defterlerin ieriklerini oluturdu." (Marx-Engcls, Works, Vol. 24, Berlin, 1963, s. 11)

IX

Ayn zamanda, matematii politik ekonomiye uygulama problemleri Marx'i ilgilendiredurdu. Nitekim 31 Mays 1873 tarihli bir mektubunda Engcls'e unlar yazd:

"Privatim [zel olarak, -.] gmrkten karlmak gerekmi bir tarihi Moore'a demin gnderdim. Ama o, bu sorunun zlmez olduunu ve hi deilse bu sorunla ilgili olgularn hl ortaya karlmas gereken birok paras bakmndan proiempore [geici olarak, -.) zlmez olduunu sanyor. Konu yle: Fiyatlarn yzde ile vb. vb. hesapland, bir yl iindeki geliimleriyle vb. ykselmelerinin ve dmelerinin zigzag izgilerle gsterildii tablolar biliyorsunuz. Bu almlarn zmlemesi iin bu "klar ve inileri" sayntsal (fictional) eriler gibi hesaplamaya birok kez altm ve bundan matematiksel olarak nemli bir bunalmlar yasas karmay dndm (yeterli deneysel gerele bunun olabileceini imdi bile dnyorum). Moorc, nceden sylediim gibi, problemi epeyce uygulanmaz sayyor. Ben de uramaktan imdilik vazgetim" (Marx-Engcls, Works, Vol. 33, Berlin, 1966, s. 82).

Dolaysyla, bellidir ki, Marx matematii politik ekonomiye uygulama olanan bilinli olarak konu ediyordu. Kitabmzn ikinci blmnde Marx'in btn matematiksel elyazrnalarnn eksiksiz metinlerinin verilmesi, Marx'i cebiri ve ticari aritmetii incelemekten diferansiyel hesaba ne srkledi sorusunu gene de tmyle yantlamaz. Gerekte, Marx'in matematiksel elyazmalar kesinlikle bu dnemde, esel matematikle yalnz diferansiyel hesab incelemesinden doan problemlerle balantl olarak ilgilendii srada balar. Trigonometri ve konik kesitler konusundaki incelemeleri, Engcls'e zorunlu olduunu bildirdii ite bu koullarla anlanr.

Ama diferansiyel hesapla, zellikle de temellerinde -zerine kurulduu yncmbilimsel tabanda- glkler vard. Engels'in Anti-D iihring' inde bu durum daha ok aydnlatlmtr:

X

"Deiken byklkler ile onlarn sonsuz ke ve sonsuz bye deikenlikleri kapsamnn ortaya konmasyla birlikle, baka bakmlardan pek ahlaksal olan matematik gzden dt; kendisine en ulu baarlarn yolunu, ama ayn zamanda yanlma yolunu am olan bilgi aacn yedi. Matematiksel olan her eyin o el dememi saltk geerlik ve sz gtrmez kesinlik durumu, sonrasza dek yitti; matematik taruma alanna girdi ve pek ok kimsenin yalnz anlad iin deil, katksz inantan lr farkllatrma ve btnleme hesab yapt bir noktaya vardk; nk inan imdiye dek hep hakl kmu." (Anti-Dhring, s. 107)

Marx, doal olarak bunu benimsemedi. Onun kendi szcklerini kullanarak diyebiliriz ki, Marx iin, "burada, her yerde olduu gibi, belirsizlik peesini kaldrp atmak bilim iin nem lidir. (Bkz. : s. 107) Bu ok nemliydi; nk esel matematikten deiken bir niceliin matematiine gemek, znde diyalektik bir karakterde olmalyd; Marx ile Engels de, kendilerini, maddeselci diyalektiin yalnz toplumsal bilimlerle deil, doal bilimlerle ve matematikle de nasl uzlatrldm gstermekle ykml saydlar. Deiken nicelikler matematiinin diyalektikle incelenmesi, ancak "amzda sonsuz k -diferansiyelleri ve eitli sralardan sonsuz kk nicelikleri- hesaplamak iin kullanlan niceliklerle evrilmi bir pee" (Marx-Engels, Works, Vol. 20, Berlin, 1962, s. 30) oluturan ey balan sona soruturularak baarlabilir. Marx kendi nne ite bu problemi koydu: Diferansiyelin deerleriyle ilem yaparak sembolik hesap diyalektiinin aydnlatlmas.

Marx matematik konusunda kendi bana dnd. Yararland tek kii, o zamanlar matematik anl epey snrl olan dostu Samuel Moore idi. Moore, Marxa nemli bir yardmda bulunamad. stelik, Marx'in t- retim ve sembolik diferansiyel hesabn anlam stne aklayc dncelerini ieren (Engcls'e gnderdii) 1881 clyazmalaryla ilgili szlerinden anlanabilccci gibi, Moore bu dnceleri dpedz anlamad. (Kr. Marx'in Engcls'e mektubu bu ciltte s. XXXV)

Marx, diyalektik hesapla ilgili ders kitaplarn inceledi. Kendisini Cambridge niversitesindeki kurslarda kullanlan kitaplarla yneltti. Bu

XI

niversitede, XVII. yzylda Ncwion'un bir yksek matematik krss vard ve Ingilizlcr bu krsnn geleneklerini Marx'in gnne dek srdrmlerdi. Gerekte, geen yzyln 20lcrinde ve 30'larnda, matematikilerin "Analytical Socicly"si evresinde toplanm gen ngiliz bilginleri ile onlara kar olup da Newton ile simgelenen dokunulmaz bir "clerical" dogmaya dndrlm yerleik ve eskimi gelenekler arasnda sert bir savam vard. kinciler, onun Fn7c//;/a'sndaki sentetik yntemleri, her problem sonradan diferansiyel ve integral hesap aygtyla zlebilen daha genel bir probleme dndrlmeksizin balangtan zlmek gerekir kouluyla uyguladlar.

Bu bakmdan, olgular yeterince ak gsteriyor ki, Marx diferansiyel hesab incelemeye, Fransz Ba Rahip Sauri'nin Leibnitz yntemlerine dayanan ve onun iaretlemesiyle yazlm Cors complet mahema- tiques (1778) adl yaplyla balayp sonradan Ncwion'un De analyse per aequationes numero termiforum infniias'mm yararlanmtr (kr. elyazmas 2753). Marx, Saurinir Leibnitz algoritmik farkllatrma yntemlerini kullanndan yle holanmm ki, bunun bir aklamasn (paraboln teeti problemine uygulanyla birlikte), mektuplarndan birine yazd zel bir ekle Engels'e gndermitir.

Ama Marx Sauri'nin Cors 'u ile yetinmedi. Yararland sonraki metin, Franszca modern (1827) bir ders kitabnn, J. -L. Boucharlal'nm Elements de calcul differential el du calcul integral' inin ngilizce eviriiydi. Bu kitap scmcei bir ruhla yazlm olup d'Alembert ile Lagrangem dncelerini biletirir. Kitap yalnz. Fransa'da sekiz kez baslm, yabanc dillere (Rusaya da) evrilmitir, ama Marxa yetmemitir. Marx, bundan sonra bir dizi monografiden ve inceleme ders kitaplarndan yararlanr. Euler'in ve (Newton'u halkllalrm olan) MacLaurin'in klasik yaptlarndan baka, Lacroix'mn, Hind'in, Hcmmingin ve bakalarnn niversite ders kitaplar vardr. Marx btn bu kitaplardan zetler ve iaretlemeler (notation) karm tr.

Bu ciltlerde, diferansiyel hesabn kendine zg glkleriyle baa kmaya, diferansiyel ve integral hesab cebirsel bir biime, yani ar bulank Newtonsal "sonsuz kk" ve "limit" kavramlarndan yola kmayan bir biime sokma yollarn bulmaya girimi olan Lagrangcn gr nok

XII

tas, Marx'i ncelikle ilgilendirdi. Ama Lagrange'm dncelerini ayrntl olarak renmek, Marx'i diferansiyel hesabn sembolik aygtyla balantl glkleri zmede bu yntemlerin yetersizliine inandrd. O zaman Marx, diferansiyel ve integral hesabn doasn aklamak amacyla kendi yntemini bulmak iin almaya balad.

Cildin ikinci yarsnda yapld gibi, Marx'in matematiksel clyaz- malarnm dzenlenmesi, onun bu yntemlere ulama yolunu aydnlatmaya olanak verebilir. rnein, Lagrange'm bakn dzeltmek abasyla balayarak, Marx'in diferansiyel hesabn cebirsel kklerinin yetkin bir unlanmasyla birlikle cebire nasl yeniden dndn gryoruz. Doal olarak, burada Marx'in ilgisi, cebirsel bir denklemin okkatl (multiple) kkleri teoremine yneliktir ki, bu teoremin bulunuu denklemlerin ardk fark- llatrlmalaryla skca balantldr. Bu sorunu Marx "Cebir I" ve "Cebir II" balklar altnda 3932, 3933 elyazmalan serisinde zellikle konu etmitir. nemli Taylor ve MacLaurin teoremlerine zel dikkat gstermitir. Bylece, zeller, zet saylmalar olana kolayca bulunmad iin tmyle verilen 3933,4000 ve 4001 sayl elyazmalarna varmtr.

zetlerdeki genel anlatmda Marx kendi iaretlemesini gittike daha ok kullanmaya balar. eitli yerlerde, fonksiyon kavram yerine zel

iaretleme ve ^ yerine ^ kullanr. Bu sembollere br elyazmalarndan 0 ax

birkann eitli yerlerinde rasanr (kr. 2763,3888,3932,4302).

Lagrange'm "katksz cebirsel" ynteminin diferansiyel hesabn dayanaklaryla ilgili glkleri zmediine inanm ve aslnda diferansiyel ve integral hesabn doas ve yntemleri stne kendi z dncelerini edinmi olan Marx, eidi farkllatrma yollar stne yeniden me- linsel gere toplamaya balar (kr. elyazmalan 4038 ve 4040). Ancak (belirli fonksiyon snflar iin) "cebirsel olarak" farkllatrma yntemleri ileri sren yorumlar okuduktan sonra, ancak temel dncelerin taslaklarn kurduktan sonra, kendi gr noktasn dile getirir. Bunlar, burada bu cildin ilk blmnde yaymlanm elyazmalarmda ve deiikliklerde gsterilmitir. imdi bu clyazmalarnn ieriklerine geiyoruz.

Marx'in matematiksel almalarndan pek ounun larihlcndii 1870'lcrde, gerek saylarn ve limitlerin ada klasik zmlemesi ve

XIII

kendine zg teorileri Avrupa Ktasnda (ounlukla Wcicrstrass, Dede- kind ve Cantor'un yaptlarnda) saptanmt.

Bu daha tam alma o zamanki ngiliz niversitelerinde bilinmiyordu. nl ngiliz Matematiki Hardy, anlaml biimde daha sonra (1917) yazlm Course o f Pure Mathematics'inz u yorumu nedensiz yapmamtr: "[bu kitap] zmleme Cambridgc'le yzst brakld srada, imdi epey gln grnen bir vurgulama ve istekle yazld. Onu imdi yeniden yazmam gerekseydi (Prof. Lililcwood'un benzetmesini kullanarak) "yamyamlara misyonerce konuma" gibi yazmamam gerekirdi", (1937 basmnn nsz). Hardy'nin zmlemeyle ilgili monografilerde "imdi [yani 1937'dc] Ingiltere'de bile hibir eksiklik yoktur olgusunu zel bir baar gibi gstermesi gerekmitir.

Bundan tr, Marx'in matematiksel almalarnda o zaman Ktada yaratlm daha ada matematiksel zmleme problemlerinden yoksun kalabilmi olmas artc deildir. Her eye karn, Marx'in sembolik diferansiyel hesabn doas stne dnceleri imdi bile ilgi uyandrmaktadr.

Diferansiyel hesap, kendi sembolleri ve terminolojisiyle, "diferansiyel" ve farkl sralardan "sonsuz kk" gibi kavramlarla, dx, dy, c fy ,

d3y... , ve bakalar gibi sembollerle tanmlanr. Ge-dx2 dx3

en yzyln ortasnda, Marx'in kulland ders kitaplarndan birou, bu kavramlar ve sembolleri, allm matematiksel saylardan ve fonksiyonlardan farkl nicelikler kurma zel yntemleriyle birletirdiler. Gerekte, matematiksel zmleme bu zel niceliklerle i grmek zorundayd. Bu, gnmzde doru deildir: ada zmlemede zel semboller yoktur; ama bu semboller ve terminoloji korunmutur ve tmyle uygun bile grnr. Nasl? Onlara karlk olan kavramlarn hibir anlam yoksa bu nasl olabilir? Karl Marxm matematiksel elyazmalar bu soruya en iyi yant verir. Gerekle yle bir yant ki, genel teorisi ancak yakn zamanlarda ada matematiksel mantkla kurulmu olan btn sembolik diferansiyel ve integral hesabn anlanmasna olanak verir.

XIV

iin can alc noktas, sembollerin diferansiyel ve integral hesaptaki ilemsel roldr. rnein, bir dizi problemin zmnde belirli bir hesaplama yntemi yinelenerek kullanlmak gerekirse, o zaman, bu yntem iin uygun biimde seilmi zel sembol, onun douunu veya Marx'm deyiiyle, onun "eylem stratejisini gsterir. Sre iin ortaya konmp sembolik gsterimden ayr olarak, srecin kendisi iin ortaya kan o sembole, Marx "gerek" der.

yleyse bunun iin uygun biimde seilmi yeni bir sembol getirmek neden? Marx'm yant, bunun bize btn ilemi her kezindc yeniden yapmama, tersine, onun daha nce eitli durumlarda yaplml olgusundan yararlanarak, daha karmak durumlardaki ilemi daha basit durumlardaki ileme indirgeme olana verdiini bildirir. Belirli yntemin dzenlilikleri bir kez iyice bilinince, bunun iin yalnzca bu indirgemeyi baarmak iin seilmi yeni sembollerle i grmenin eitli genel kurallarn gstermek gereklidir. Bu admla da, Marx'm dedii gibi, "kendi z tabannda" yeni sembollerle ileyen bir hesap elde ederiz. Ve Marx, "tersine evrilmi yntem"in diyalektii ile, sembolik hesaba bu geii tmyle aydnlatr. te yandan, diferansiyel hesap kurallar, "gerek" sreten sembolik olana gemeyip sembole karlk olan "gerek" sreci aramamza, sembol bir i grc yapmamza izin verir -yukarda anlan "eylem stratejisi".

Marx, 1881'de yazlm iki nemli almasnda btn bunu yapp Engels'e gndermitir: "Tretilmi Fonksiyon Kavram stne" (bkz. s. 3) ve "Diferansiyel stne" (s. 15). Birinci almasnda Marx, eitli fonksiyon tipleri iin, tretilmi fonksiyonlar ve diferansiyelleri bulmak amacyla, "gerek" yntemi gz nnde tutar ve ("cebirsel" yntem dedii) bu yntem iin uygun semboller sunar. kinci almasnda "tersine evrilmi yntem"i elde eder ve diferansiyel hesabn "kendi taban"na aktarr; bu amala da her eyden nce bir arpmn, arpanlarnn trevlerinin toplam olarak anlatlan, treviyle ilgili teoremi kullanr. Marx'm kendi szckleriyle "bylcce, sembolik diferansiyel katsays, gerek edeeri ilk bulunan zerk (autonomous) balang noktas olur... Ama, buna uyarak, diferansiyel hesap da imdiden kendi tabanndan (Boden) bamsz olarak

ileyen zel bir hesaplama biimi gibi grnr. nk onun ,

XV

balang noktalar, yalnz onun olan ve ona zg matematiksel niceliklerdir." (s. 21). Onlar bunun iin "ilemsel sembollere (Operationssymbo- le), "trevlerini" bulmak iin... yrtlmek gereken ilemin sembollerine dnrlvcrir. Aslnda rcv"in sembolik anlatm olarak ortaya kp bylecc nceden btnlenmi olan sembolik diferansiyel katsays, imdi henz bitirilecek farkllatrma ileminin sembollerinin roln oynar." (s. 21-22)

Marx'in retilerinde, temel matematiksel zmleme kavramlarnn ada matematie zg kat tanmlar yoktur. Bu yzden, clyazma- larnm ierikleri, ilk bakta XVIII. yzyln sonunda, szgelimi Lagran- gc'n gereklerine uygun olmayarak, modas gemi grnr. Gereklikte, Marx'in elyazmalarnn ana ilke karakteristii bugnk gnde bile nemli anlamdadr. Marx, ada kat tanmlanm gerek say, limit ve sreklilik kavramlarn tanmyordu. Ama o kavramlar bilseydi bile, besbelli onlar Marx'a yetmezdi. Marx'in trev fonksiyonu arama "gerek" yntemini, yani algoritmay, nce belirli bir fonksiyon iin bir trev var olup olmad sorusunu yantlamak, sonra da, var ise, onu bulmak iin kullanmas, kanttr. yi bilindii gibi, limit kavram algoritmik bir kavram deildir ve bundan lr byle problemler yalnz belirli fonksiyon snflar iin zlebilir. Bir fonksiyonlar snf, cebirsel fonksiyonlar snf yani, herhangi bir kuvvete ykseltilmi deikenlerden bilemi fonksiyonlar, Marx'a, "cebirsel" farkllatrma nesneleri gibi gsterilir. Gerekte, Marx yalnz bu trl fonksiyonlara deinir. Bugnlerde, yukardaki sorularn ikisi iinde yant olanakl fonksiyonlar snf nemli lde geniletilmitir ve bunlarn hepsi zerinde ada katlk ve kesinlik standartlarna uyan ilemler yaplabilir. Demek ki, Marks gr iin zsel olan udur: Limitlerin dntrlmeleri gerek ileyilerinin nda dikkate alnr; baka bir syleyile, matematiksel zmleme, burada tanmladmz algoritmalar teorisine dayanlarak kurulmaktadr.

Engels'in Doa Diyalektii'ncki u szlerini kukusuz iyi biliyoruz: "Matematikte dnm noktas, Dcscarcs'n deiken nicelikleri ortaya koymasyd. yi ki bu hareket ve onunla birlikle diyalektik matematie girdi ve iyi ki ayn zamanda doan ve genellikle ve btn olarak Newton

XVI

vc Lcibnitz'e onaya konmamsa da yetkinletirilen diferansiyel ve integral hesap abucak zorunlu oldu" (Dialectics o f Nature, s. 258).

Peki ama, bu "deiken nicelik" nedir? Genellikle, matematikte bir "deiken" nedir? nl ngiliz Filozof Bertrand Russel bu noktada der ki: "Bu, doal olarak, anlanmas en g kavramlardan biridir." Matematiki Kari Menger ise, bu kavramn tmyle farkl all anlamn sayar. Deikenler -baka bir syleyile, fonksiyonlar- kavramn ve genellikle matematikte deikenler kavramn aydnlatmak iin, Marxm matematiksel elyazmalan imdi pek nemli eyler gstermekledir. Marx, fonksiyon kavramlarnn eitli anlamlar sorununu dorudan doruya koydu: "x" fonksiyonlar ve "x 'li" fonksiyonlar; ve deikenlerin deimesiyle ilgili matematiksel ilemin nasl gsterilecei, bu deimenin ne ierdii zerinde zellikle durdu. Deikenlerin deimesinin gsterilme yolu sorununa Marx zel nem verdi; ylesine ki, ayrc nitelikte olarak, onun ortaya koyduu "cebirsel" farkllatrma ynteminden sz ediliyor.

Gerek odur ki, Marx deikenin deerinde (salt deeri) arlmn nceden hazrlanm deerlerinin artmas (veya eksilmesi) olarak herhangi bir deime gsterilmesine olanca gcyle kar kt. Bir veya baka bir niceliin deime srasnda ald biiiin deerleri kesinlikle inceleyebileceimizi ne srmek, o niceliin deerinin gerek deimesinin yeterli bir dnselletirilmesi gibi grnr. Gereklikte btn byle deerler ancak yaklak olarak bulunabildiinden, diferansiyel hesabn dayandrld varsaymlar yle olmaldr ki, belirli f(x)'cn dolay f(x ) trev fonksiyonunun eksiksiz bir anlatm iin byle herhangi bir deikenin deerleri btn stne bilgi gereksenmesin, am a/(x) anlatmnn elde bulunmas yetsin. Bunun iin yalnzca unu bilmek gerekir: Deiken x 'in deeri gereklen yle bir biimde arlar ki, deiken x'in her bir deerinin seilmi (ne denli kk olursa olsun) bir komuluu (neighbourhood) iinde (deerinin belirli bir var kmesi iinde) x 'ten farkl, ama yalnzca farkl, bir x, deeri var olur. "X]... bundan dolay, tmyle x kadar belirsiz kalr." (s. 88)

Bundan tr, x, Ax olarak gsterilen Xj - x farkn dourarak Xj 'e deiince, ortaya kan x\ 'in x + Ax'e eil olmas usa uygundur. Marx, bu noktada, bunun yalnz x deerinin X\ deerine deimesinin bir sonucu olarak ortaya ktn vc bu deimeden nce olmadn ve bu jcj'i sap

XVII

tanm x + Ac anlatm kadar bilinir gstermenin, hareketin (ve genelde her trl deimenin) gsterilmesi konusunda arptlm bir varsaym ierdiini vurgulad. arptlm; nk buradaki durum, "x + Ac 'teki Ac, bykl sz konusu olunca, belirsiz deiken x in kendisi kadar belirsizdir; Ac, x ten ayr, baka bir nicelik gibi, daha nce kendisini dourmu olan anasnn yannda bir meyve gibi durur." (s. 88)

Bununla balantl olarak; Marx, imdi x 'in jcje deimesiyle (f(x) fonksiyonundan tretilm i/'(jc) fonksiyonunu belirlemeye balar. Bu

f ix ) 'in f(x ) e deimesinin bir sonucu olarak, hem jcj -x , hem de f ix \) - f{x) farklar doar; bunlarn birincisi, x x * x olduka, belli ki sfrdan farkldr.

"Burada artm x, bymeden nceki kendisinden, yani x 'ten, x\ olarak ayrt edilir; ama x \, Ac kadar anm bir x olarak grnmez; bundan dolay, tmyle x kadar belirsiz kalr. (s. 88)

Marxa gre diferansiyel hesabn gerek gizi urada yatar: x noktasnda (trevin var olduu noktada) tretilmi fonksiyonu deerlendirmek iin yalnz noktann komuluuna, x ten farkl x\ noktasna gitmek ve

f i x ) ~ fix )f i x ) - fix ) ve jcr x farklarn, yani --------------- anlatmn biimlendir-

X \ - xmek deil, yeniden x noktasna dnmek de gereklidir, ve/fc) fonksiyonunun somut deerlendirilmesiyle ilgili zel tannilarla birlikte, sapmadan

f (x } - f ix)dnmek gereklidir, nk J J anlatmnda basite x x = x koy-

x x - x

mak, onu e yani a, veya baka bir syleyile anlam-x - x 0

szla dndrr.

Trevin deerlendirilmesinin bu karakteri -ki buna gre sfr ol

mayan x x - x fark biimlendirilir ve ardndan ( ^ orannn ku-Jfl - x

rulmasndan sonra) bu fark diyalektik olarak "ortadan kaldrlr- trevin bugnk, X \ - x farknn ortadan kaldrlmasnn X\ 'den x 'e limit geiin yardmyla olduu deerlendirilmesinde hl korunuyor.

XVIII

" 'Diferansiyel Hesabn Tarihi stne' Balkl Elyazmasna ve D'alcmbcrt Ynteminin zmlemesine Ekler adl almasnda, Marx

da, baka terimlerle belirtirse de, trevden aslnda ^ orannnX j X

deerinin limiti olarak sz eder. Gerekle, Marx'm "limitte deer kavram kolayca yanl anlanyor ve hep yanl anlanyor" gzlemiyle ilgili olarak, "limit" ve "limit deer terimlerini kuatan karklk, onu, trevin belirlenmesinde "limit" terimi yerine "salt enkk anlatm" demeye yneltti. Ama, Lacroixnm uzun Traite du calcul differentlel et d calcul integral adl -kendisini br kitaplardan daha ok doyuran- kitabnda karlat daha kesin limit kavram tanmnn ilerde gereksiz yeni terimler ortaya konmasna yol aabileceini nceden grerek, bunun zerinde durmad. Limit kavram tanm stne Marx gerekte unu yazd: "Lacroix'nin zellikle zmsel bakmdan genilettii bu kategori, ancak... "enkk anlatm" kategorisinin yerine bir geme olarak nemli olur." (Bkz. s. 69)

Bylece Marx, trevin ada matematiksel zmlemelerdeki deerlendirilmesiyle bile balantl olan diyalektiin temellerini aydnlatt. Aada gsterilecei gibi, Ncwton'un ve Leibnitz'in diferansiyel hesabnn "gizemsel" grnmesini biimsel bir eliki deil, bu diyalektik salar. Yalnz, bunu grmek iin, deikenin deerinde nceden bir deeri olan bir "artm"n toplanmas olarak her deimenin gsterilmesini Marx' in asla toptan yadsmadn anmsamak gerekir. Tersine, nceden ortaya konmu deimenin sonucunun deerlendirilmesinden sz edilirken, deikenin deerinin artmasndan (rnein, fonksiyonun artmasnn bamsz deikendeki artmaya bamllndan) da eit lde sz etmeye ynelinir ve "toplamla ilgili gr noktas" x , = x + Ax veya Marx'm adlandrd gibi, X/ = x + h, tmyle dorulanm olur. "Cebirsel" yntemden "diferansiyel" ynteme bu geie "Taylor Teoremi" ile ilgili son almasnda Marx kendisini zellikle adamtr. Bu alma ne yazk ki yarm kalm ve bu yzden elinizdeki kitapta yalnz paral olarak yinelenmitir. (Marx'in bu clyazmasmn ok ayrntl bir tantm, hemen hemen btn metinle birlikte, kitabn ikinci blmnde kar, [Yanovskaya, 1968, s. 498-562]).

XIX

Burada Marx, X\ - x 'in "cebirsel" yntemde bizim iin yalnz bir fark biimi olduunu, bir x\ - x = h gibi, dolaysyla da jq = x + h toplam gibi olmadn, oysa diferansiyel ynteme geite h 'yi (art veya eksi) bir x artm olarak grebildiimizi vurgular. Bunu yapmakta hak- lyzdr; nk x^ - x = Ax 'tir ve ayn Ax, yolumuzdan dolay, x 'lerin farklarnn, yani x\ - x 'in, sembol veya iareti, ayn zamanda ve ayn lde X\ - x denli belirlenemez (indeterminate) ve onlarn deimesiyle deimi olarak x x - x farknn nicelii gibi i grebilir.

"Bylccc X - x = Ax veya = belirlenemez h nicelii. Bundan tr x \ = x + h "dir ve f ( xx) veya yj ,f(x + h) 'ye dntrlr." (Yanovskaya, 1968, s. 522)

Bu yolla, Marx'in gr noktasn diferansiyel hesapla kullanlm btn br yntemlerin reddini gerektirir gibi sunmak haksz olmazd. Bu yntemler baarl iseler, Marx onlarn baarsnn gizini aydnlatma grevini stlenir. Ve bunu grdkten sonra, yani incelenen yntem geerliini kantladktan ve kullanm koullarn yerine getirdikten sonra, Marx bu ynteme yalnz tmyle dorulanm deil, uygun da olan bir gei dnr.

Diferansiyel hesabn z stne dncelerinin temel sonularn ieren 1881 elyazmalarnn ardndan, Marx, Engcls'e diferansiyel hesap ynteminin tarihiyle ilgili nc bir alma gndermek isledi. nce, bu tarihi trevin trelimi konusundaki teoremleri gstermenin eitli yntemlerinden somut rneklerle anlatmak istedi, ama sonra bu tasandan vazgeip diferansiyel hesap yntemlerinin tarihindeki balca dnemlerin genel ayrc zelliklerine geli.

Bu nc almay Marx tmyle biimlendirmedi. Geriye yalnz bu konuda yazmaya karar verdiinin kantlar ve clyazmasmn taslaklar kald. Marx'in bu konudaki tarihsel denemesinin plann yapp uygulamaya niyet ettiini onlardan biliyoruz. Bu kaba kopya bu kitabn birinci blmnde tmyle yaymlanyor (bkz. s. 73-104). Marx'in br elyaz- malarnn u veya bu sayfasnda bulunup da metne sokulmas gereken btn syledikleri burada tmyle izleniyor. Elyazmas, bize, Marx'in

XX

temel diferansiyel hesap yntemlerinin tarihi konusundaki gr noktasn yorumlama olanan veriyor.

1) Ncwion'un ve Leibnitz'in "gizemsel diferansiyel hesab",2) Eulcr'in ve d'Alembcrtin "ussal (rational) diferansiyel hesab",3) Lagrange'm "kauksz cebirsel hesab".Ncwton'un ve Leibnitz'in yntemlerinin ayrc tanntlan, Marx'a

gre, o yntemleri yaratanlarn diferansiyel hesabn "cebirsel" zn grmemi olmalaryla aa vuruluyor: Onlar, ilemsel formlleriyle ie balayverirler; dolaysyla o formllerin kkenleri ve anlam yanl anlalm, hatta gizemli kalr; yle ki, diferansiyel ve integral hesap, "allm cebirden farkl karakteristik bir hesap tarz (s. 85) gibi, bir bulu, tmyle zel bir matematik disiplini gibi, "allm cebirden dnyalarca uzak" (s. 111) gibi grnr, "ilemsel formller olarak diferansiyel sembollerin k noktas nasl elde edilmektedir" sorusuna Marx, "ya gizlice, ya da aka mctafiziksel varsaymlarla. Bu varsaymlarn kendileri, metafiziksek matematikd sonulara bir kez daha yol aar ve bylcce o noktada zorla rtbas etme kesinletirilir, trelim ie balatlr ve nicelikler gerekten kendilerinden karlr", yantn verir. Baka bir yerde Marx, Ncwton'un ve Leibnitzin yntemleriyle ilgili olarak unlar yazar: x x = x + Ax balangtan, x x = x + d x 'c ... deiir; burada dx mctafiziksel aklama ile varsaylr. nce var olur, sonra da aklanr. "Keyfi varsaymdan u sonu kar: ... terimler, doru sonucu elde etmek iin, el abukluu ile giderilmelidir." (s. 91)

Baka bir syleyile, diferansiyel sembollerin matemetie sokulmas aklanmam -dahas, d x , dy diferansiyelleri basite A x , Ay artmlar ile zdelctirildii iin, genellikle yanl- kaldka, onlar ortadan kaldrma yollar dorulanmam, "zora dayanan", "aldatan bir rtbas eune ile elde edilmi grnr. Belirli metafiziksek gerekten sonsuz kk, ayn anda hem allm, sfrdan-farkl (imdilerde "Arimctscl" denen) nicelikler gibi, hem de aa bir sradan (order) olan sonlu ve sonsuz kk niceliklere oranla "sfra eitlenen" (sfra dnen) nicelikler gibi (yani, "Arimctscl olmayan" nicelikler gibi) ilemden geirilmek; veya, ayn zamanda basite hem sfr hem de sfr-olmayan gibi konmak gereken nicelikler tasarlamalyz. "Bundan lr", diye yazar Marx bununla ilgili ola

XXI

rak, "ondan sonra, deikenin h artmlarnn sonsuz kk artmlar olacan kavrayp onlara rnein, 'x ? y vb. veya dx , dy [vb.] sembollerinde bu sfatla bamsz varlk tanmaktan baka hibir ey kalmaz. Ama sonsuz kk nicelikler tpk sonsuz byk olanlar gibidir (sonsuz (unendlicf) Lkk] szc, gerekte yalnz belirsiz (unbestimml) kk anlamna gelir); dolaysyla, dy . d x ... hesaplamada tpk baya cebirsel nicelikler gibi yer alr ve (y + k) - y veya k = 2xdx + dxdx denkleminde dxdx 'in var olma hakk, 2xdx 'inkinin ayndr." ... "bundan lr, onu zorla... rtbas eden usavurmaya pek zgdr." (s. 84)

Matematiksel olarak kurulmu balam ilemleriyle ortaya kon- mayp metafiziksel "aklamalar"a dayanlarak varsaylan ve "clabukluk- lan" ile ortadan kaldrlan bu gerekten kk, yani biimsel olarak eliik kalemlerin (item) varl, Marxa gre, Newion'un ve Lcibnitz'in diferansiyel ve integral hesabna, bu hesap ilem formlleriyle balayvcrdii iin birok yarar salamasna karn, "gizemsel" bir nitelik verir.

Marx, ayn zamanda, Newton'un ve Leibnilz'in yntemlerinin tarihsel nemine ok byk bir deer bier. "Bu yzden", diye yazar, "matematikiler, doru (ve zellikle geometrik uygulamada artc) sonuca, kesinlikle yanl bir matematiksel ilemle varan yeni bulunmu hesaplama aracnn gizemli karakterine gerekten gvendiler. Bu tutumla, kendileri gizemlilcmi oldular, yeni bulua daha yksek bir deer bitiler, eski ortodoks matematikiler kalabaln daha ok lkelendirdiler ve uzman olmayanlarn dnyasnda bile yanklanan ve bu yolun tutulmas iin zorunlu olan dmanlk lklarnn aulmasn saladlar." (s. 94)

Marx'a gre, diferansiyel hesap yntemlerinin geliiminde sonraki aama, d'Alcmbcr'in ve Eulcrin "ussal (rational) diferansiyel lcsab"dr. Burada, Newton ile Lcibnitz'in matematiksel bakmdan doru olmayan yntemleri dzeltilir, ama k noktas ayn kalr. "D'Alembert, dorudan doruya Newton'un ve Leibnilzin point de depart 'ndan [k noktasndan, -] ie balar: x x = x + dx. Ama kkl dzeltmeyi yapverir: x x = x + Ac, yani x ve d'Alcmbcrt'in h dedii tanmlanmam, ama prime facie [ilk bakta, -.] sonlu bir artm.* Bu h 'nin veya jc 'in dx 'e dntrlmesi...

* Marxin bavurduu yaznda, "sonlu artm"dan sfr-olmayan bir sonlu arlm anlanr. -SA . Yanovskaya.

XXII

geliimin son sonucu olarak veya en azndan kap lam kapanmadan nce bulunur; oysa diferansiyel ve integral hesabn gizemcilerinde ve balauc- larnda, k noktas olarak grnr." (s. 94) Ve Marx, unu vurgular: Diferansiyel sembollerin son sonutan bu uzaklatrlmas o zaman "doru bir matematiksel ilemle olur. Bylccc onlar, imdi elabukluuna bavurulmadan atlr." (s. 96)

Marx, bundan tr dAlembert ynteminin tarihsel anlamna yksek deer biti. "D'Alembert diferansiyel hesaptan gizemci peeyi kaldrd ve ileriye doru pek byk bir adm att", diye yazd (s. 97).

Bununla birlikte, d'Alcmbcrt'in k noktas x deikeninin x + deikeninden bamsz var olan bir enin, Ax artmnn toplam olarak gsterimi kaldka, d'Alembert doru diyalektik farkllatrma srecini bulmam demektir. Marx, d'Alembert ile ilgili u eletirel gzlemde bulunur: "D'Alembert (x + dx) ile baylar, ama anlatm (x + Ax)c, br adyla (x + h) 'ye gre dzeltir; imdi Ax 'in veya h 'nin dx 'e dntrld bir gelitirme zorunlu olur; gerekten ilerleyen btn gelitirme de budur." (s. 124)

iyi bilindii gibi, sonlu farklar oranndan sonucunu Ajc dx

elde etmek iin, d'Alembert "limit srcci"ne bavurdu. Marx'in yararland ders kitaplarnda, bu limite gei, f(x + k) anlatmnn btn h kuvvetlerine alm dolayl olarak anlatlr ki, burada birinci kuvvete ykseltilmi h katsaysnda, "nceden ie rilen " / '(x) trevi aa vurulur.

Dolaysyla problem, trevi h arpanndan ve serideki br terimlerden "kurtarmak" olur. Bu, doal olarak, deyim yerindeyse, trevi f(x + h) anlatmnn bir h kuvvetleri serisine almnda birinci kuvvete ykseltilmi h katsays olarak basite tanmlamakla yaplmla.

Gerekte, "Birinci yntem 1) 'de olduu gibi, ikinci yntem 2)'de de, aranan gerek katsay, ikitcrimli teoremi ile rctilivcrir; dizi almnn ikinci, bundan lr de h1 ile zorunlu olarak birleik olan terimde bulunu- verir. Diferansiyel ilemin btn artakalan ise, gerek 1) 'de, gerek 2) 'de, bir lkstr. Bu yzden gereksiz safralar gemiden denize atarz." (s. 98)

XXIII

Ayn eyi, diferansiyel hesabn geliimindeki ikinci aamann ustas Lagrange yapt: Marx'in dncmlcmcsindcki "katksz cebirsel" diferansiyel hesap.

Marx Lagrangc'n yntemini ilkin pek sevdi: "Diferansiyel hesaba yeni bir dayanak kazandran bir tretilmi fonksiyon teorisi". Kendisiyle birlikle ou zaman f ( x + h) 'nin bir h kuvvetleri serisine alm da elde edilen ve tarihsel bakmdan btn diferansiyel hesabn btnleyici yorumu olarak doan Taylor Teoremi, bu yntemle diferansiyel hesab kendisinden nceki matematikle dorudan doruya balantl klarak, onun k noktas oldu. Marx bu konuda unu belirtir: "Yeni ile eskinin gerek ve bundan lr en basit ilikisi, yeni son biimini alr almaz ortaya karlr ve diferansiyel hesabn bu ilikiyi Taylor ve MeLaurin teoremleriyle kazand sylenebilir*. Bundan dolay Lagrangc'n ilk dncesi, diferansiyel hesab salam bir cebirsel tabana geri dndrmek oldu." (s. 111)

Ne var ki, Marx, Lagrange'm bu kavray gstermediini anlayverdi. yi bilindii gibi, Lagrange, genel olarak konumak gerekirse", - yani, diferansiyel hesabn "uygulanamaz" olduu "birtakm zel durumlar" ayr tutulursa- f (x + h) anlatmnn

f(x) + ph + qh2 + rh3 + ... ,

serisine alabilir olduunu gstermeyi denedi. Burada h kuvvetlerine katsay olan p , q , r ,. . . , h 'den bamsz ve f(x ) 'ten "tretilebilir" yeni x fonksiyonlardr.

Ama Lagrange'm bu teoremi kantlamas -gerekte pek matematiksel anlam da yoktur- doal olarak ortaya kmad. "Allm cebirden, stelik allm cebir ile, deikenler cebirine bu srama, un fait accompli [oldubitti, -.] varsaylr; kantlanmamtr ve prima facie [grnle, -.] ... geleneksel cebirin btiin yasalarna aykrdr." (s. 115) diye yazar Marx Lagrangc'n bu kantlamas iin.

* MacLaurin Teoremi -.Marx'in yapt gibi (s. 109, 110)- Taylor Teoreminin zel bir durumu saylabilir. -Ed.

XXIV

Ve Marx, Lagrangen "balang denklem i konusunda, onun yalnz kantlanmam deil, ama "bu denklemin cebirden trelimi, bu yzden bir aldatmacaya dayana grnr" (s. 115) de olduu sonucunu kara.

Elyazmasmn sonu blmnde, Lagrange'n yntemi Newton ile Leibnitz'in balatt ve d'Alembcrt'in dzelttii yntemin btnlenmesi olarak, formller yntemi ile Taylor'a dayandrlm "cebirselletirme" olarak ortaya kar. "Tpk Fichte'nin K an', Schclling'in Fichtc'yi ve Hegcl'in Schclling'i izledii, ama Fichtenin de, Schclling'in de, Hegcl'in de Kan'n, genelde dnsclciliin (idealism), genel temelini incelemedii bir tarzda. Yoksa onu daha ok geliircmezlcrdi." (s. 116)

Grebiliyoruz ki, Marx tarihsel bir taslakta, kendi dncesine gre, matematik tarihi gibi bir bilimde diyalektik maddcsclci yntemin nasl uygulanmak gereklii konusunda bize canl bir rnek vermektedir.

Karl Marx'm Matematiksel Elyazmalar 'nm imdiki basmnn btnlenmesi, pek ok hazrlk gerektirdi. Elyazmalarnn metni tmyle evrildi; zaman srasna gre dzenlendi; alntlar ve zeller Marx'in kendi bildirimlerinden ayrld; elyazmalar, matematiksel ieriklerinin zmlenmesine dayanlarak, bir bLn gibi okunabilen birimlerde topland (gerekte, elyazmalarnn birou defterler oluturmaz, daha ok hibir dzeni olmayan ayr yapraklardr). ou durumda Marx'in alnt yapt veya zetledii kaynaklar bellidir. Orijinal yaptlarla karlatrlarak, Marxm zetlerdeki kendi yorumlarnn hepsi belirlendi; Marxm btn bamsz yapt ve notlar Rusaya evrildi.

Marx'm kiisel dncelerinin, kard zellerden ve yapt alnllardan ayrlmas ii, bir yn glklere yol at. Marx, zetlerini gereksedii gereler eli altnda bulunsun diye, kendisi iin yazmtr. Her zamanki gibi, pek eitli byk bir kaynaklar dermesinden yararlanmtr; ama ierii zel dikkate deer bulmamsa, rnein kaynak ngiltere'de ok yaygn ada bir ders kitab ise, alntlarnn kaynan gsteren eklemeleri ou zaman yapmamtr. Marx'in kulland kitaplardan ounun bugn bibliyografik bakmdan az bulunur olmas yznden, i daha da gle. Bu sorunu zmek iin, ngiltere'deki u ktphanelerde gnmze ulaan yazn varlklar ayrntl olarak incelenip soruturuldu: British Museum, Londra ve Cambridge niversiteleri, University College

X X V

London, Cambridgc'ie Trinity ve St. James Kolejleri, Londra'da the Royal SocicLy ve son olarak XIX. yzyln sekin Ingilizlcri Morgan ile Gra- vesin zel ktphaneleri. St. Catherine's College gibi baka ktphanelerde de aratrmalar yapld. Doalar gerei Alman kaynaklardan hazrlanm elyazmalar iin, Enstitnn ricas zerine, Alman Tarihi ve Matematiki Wussing, Demokratik Alman Cumhuriyetindeki bibliyografik kaynaklar soruturdu.

Elyazmalarnn eksik birtakm sayfalarnn fotokopileri, K. Marx' m matematiksel el yazmalarnn orijinallerinin sakland Amsterdam Toplumsal Tarih Enstitsnce incelik gsterilip saland.

Elyazmalar kaba taslaklar durumunda olduklar iin, kopya edilen alntlarda atlamalarla, hatta yanllarla karlalabilir. Uygun ada eklemeler ve dzeltmeler keli ayralar iinde verildi. Bu yzden, M arxm kendi keli ayralar, keli ift ayralarla gsterildi. Marxin ksaltt szckler tmyle yazld, ama metin aslnda deitirilmedi. Eskimi yazm yntemi bile alkondu.

Elyazmalarnn birincil dili Almancadr. Elyazmalarmda kaynak Franszca veya ngilizce ise, Marx yorumlarn Franszca veya ngilizce yazar. Byle durumlarda Marx'm metni yle karklar ki, hangi belirli dille yazldn sylemek gleir.

Elyazmalarnn tarihlenmesi de byk glkler yaratt. Bu glkler, elyazmalaryla ilgili katalogda ayrntlaryla bildirildi. Katalog, clyaz- masmn arivsel numarasn, belirlenmi baln, ya kaynaklarnn ya da ieriinin ayrc zelliklerinin dkmn verir. Balk veya altbalk Marx'm kendisininse, orijinal dilde ve Rusa eviride trnak iine yazlmtr. Kitabn birinci blmnde Marx'm olmayan balklar bir yldzla iaretlenmitir.

Elyazmalarnn envanteri, arivsel yapraklarn dzenlenme srasna gre veriliyor. Marx'm rakamlarla veya harflerle yapt kendi numaralandrmas, arivsel yapraklarn bildirimleriyle birlikte envanterde veriliyor. Arivsel yapraklarn nasl bulunacann gsterimi yaymlanm meme eklenmitir.

XXVI

Marx'in matematiksel elyazmalarnn dili, birok durumda, bizim allm ada dilimizden ayrlr ve Marx'in dncesini anlamak iin kulland kaynaklara bavurmak, terimlerinin anlamn aydnlatmak gereklidir. Marx'in metnini kesintilere uratmamak iin byle aklamalar kitabn sonundaki notlara koyduk. Sonu olarak, Marx'in bavurduu kaynaklarn konusu stne gerekli grlm ayrntl bilgi Ek'tc veriliyor. Btn byle notlar ve bavuraklan tmyle bilgisel niteliktedir.

Marx'in metninde, kendisi iin zel nemi olan noktalan vurgulad birok all izili yer vardr. Btn bu alt izili yerler italiklerle gsterilmitir.

Kitab M.V. Lomonosov Moskova Devlet niversitesi ProfesrS.A. Yanovskaya hazrlad. nsz, matematiksel elyazmalarnn envanteri (A Z . Rybkin'in yardmcl ile), Ekler ve Notlar da onundur. Profesr K. A. Rybnikov, baka iler arasnda, Karl Marx'in "Matematiksel Elyazma- lar" dolaysyla kulland kaynaklar aratrma iinin de byk bir blmnn gereini yerine getirerek, kitabn yaym na katld. imdiki basmn hazrlanmasnda, Akademisyen A.N. Kolmogorov ile I.G. Pct- rovskiinin yorumlar ve tleri dikkatle gz nnde tutuldu.

Nauka Basmcvi'nin fizikscl-matcmatiksel blm ba yaymcs A. Z. Rybkin ve Sovyctlcr Birlii Komnist Partisi Merkez Komitesi Markslk-Lenincilik Enstisndcn O.K. Senckina, kitab basma hazrlayarak ve dzeltmelerini yaparak, kitabn yaymn tmyle ynettiler. Kitap hem alnt ve bavuru kaynaklarnn bir dizinini, hem de bir adlar dizinini ieriyor. Marx'in metnindeki bavuru kaynaklar, dizinlerde italiklerle belirtiliyor.

XXVII

ENGELS'TEN MARX'ALondra'da

10 Austos 1SS1

Sevgili Mohr,

... Dn, matematiksel elyazmalarnz bavuru kitaplar bile olmakszn inceleme cesaretini sonunda buldum ve o kitaplar gereksemediimi grp sevindim. almanzdan tr sizi verim. nemli nokta gn gibi ak, yle ki matematikilerin onu gizemsclleirmede ayak di- reyilcrine yeterince aamayz. Ama bu, o beyefendilerin tek yanl dn

melerinden ileri geliyor. = koymak, kesinlikle ve aka, kafa- dx 0

larna girmiyor. Ama aktr ki, x ve y kuantumlarnm son izi, onlarn herhangi bir nicelik olmadan deimelerinin nce gelen srecinin an

latmn brakarak ortadan kalkt ise, ^ ancak btnlenmi bir srecin

katksz bir anlatm olabilir.

Burada herhangi bir matematikinin sizden nde olduundan korkmanza gerek yok. Bu trl farkllatrma, gerekten brlerinin hepsinden daha basittir; yle ki, birdenbire yitirdiim bir forml tretmek iin onu hemen imdi, kendim, sonradan allm yolla dorulayarak, uyguladm. Tutulan yol, zellikle aka kantland gibi, dxdy 'yi vb. bir yana brakmann allm yntemi kesinlikle yanl olduu iin, pek byk heye

can yaratmak gerekirdi. Bu yolun zel gzellii urda ki, y a ln z ^ - = 2.dx 0

ise, matematiksel ilem saltk olarak dorudur.

Koca Hegcl, farkllatrmann temel koulunun, deikenlerin

farkl kuvvetlere ve hi deilse birinin en azndan ikinci vcya |- 'nci.kuv-

XXVIII

vete ykseltilmek gerekmesi o'duunu sylediinde, oranlamas tmyle doruydu. Nedenini imdi biz de biliyoruz.

y ~f (x) 'te x v a y deikendir dersek, daha ileri gitmediimiz srece, bu savn baka sonulan yoktur ve gerekte x ile y hl, pro tempore [geici olarak, -.] sabittir (constant). Onlar, ancak gerekten deiince, yani fonksiyonun iinde, gerekten deiken olurlar ve ancak ondan sonra orijinal denklemde hl gizli duran iliki kendisini aa vurabilir -iki bykln ilikisi deil de onlarn deikenliklerinin ilikisi. Gerek

deime srasnda, yani belirli her deimede olduu gibi, ilk trev, Ax

bu ilikiyi gsterir- -2- onu genellii iinde, katksz, gsterir ve bun-

dan tr birincisi yalnz zel durumu kapsamakla birlikte, -2- 'ten herA ^'e gelebiliriz. Ne var ki, zel durumdan genel ilikiye gemek iin,Ax

zel durum bu sfatyla ortadan kaldrlmaldr (aufgehoben). Dolaysyla, fonksiyon btn sonularyla birlikte srecin araclyla * 'ten x 'ye getikten sonra, x ' yeniden x olmaya braklabilir; o artk yalnzca ad deiken olan eski x deildir, gerek deimeden gemitir ve deimenin sonucu, onu yeniden ortadan kaldrsak (aufheben) bile kalr.

Sonunda, matematikilerin, ussal (rational) temcileri, diferansiyel- blm'n orijinal, dx ve dy diferansiyellerinin ise tretilmi olduunu gremeden, uzun zamandr neyi savladklarn aka grebiliyoruz: Formllerin trelimi, irrasyonel denen her iki arpan denklemin bir yannda ayn zamanda bulunsun ister ve sizin yapabildiiniz gibi, ancak denklemi kendi

ilk & = f (x) biimine sokarsanz, irrasyonellerden kurtulup onlarn

yerine rasyonel anlatmlarn elde edersiniz.

nemli nokta beni yle sard ki, btn gn kafamdan kmyor; geen hafta dmde farkllatrmas iin gmlek dmelerimi bir ocua verdim; dmeleri alp kat.

SizinF.E.

XXI X

ENGELS'T EN MARX'AVentnor'da

Londra, 21 Kasim 1882

Sevgili Mohr,

... Moore'm matematiksel bir denemesi iliiktir. "Cebirsel yntem yalnzca gizlenmi diferansiyel yntemdir" sonucu, doal olarak yalnzca onun kendi geometrik izim yntemine gndermedir ve orada epeyce de dorudur. Sizin geometrik izimde eyin gsterildii yola deer vermediinizi, eri denklemlerine uygulamann her ynyle yeterli olduunu ona yazdm. Bundan baka, sizin ynteminizle eskisi arasndaki kkl fark, sizin x 'i x 'ye deitirmeniz, bylece onu gerekten deitirmeniz, oysa brlerinin her zaman yalnzca iki bykln toplam olan, ama asla bir bykln deimesi olmayan x + h 'den yola kmalardr. Sizin x'iniz, bundan lr, x ' 'nden geip yeniden eski x olunca bile, hl olduundan bakadr; oysa, x 'e nce h kaulp sonra yeniden geri alnrsa, x hep sabit kalr. Bununla birlikte, deimenin her grafik gsterimi, zorunlu olarak btnlenmi srecin, sonucun gsterimidir, dolaysyla sabit olan bir niceliin, x dorusunun gsterimidir; onun btnlenmesi x + h olarak, bir dorunun iki paras olarak gsterilir. Bundan da anlald gibi, x nn ve onun yeniden x olmasnn grafik gsterimi olanakszdr...

XXX

M ARX'TAN ENG ELS'E Londra'da

22 Kasm 1882

1, St Boniface GardensVentnor

Sevgili Fred,

Anlayverdiiniz gibi, Sam, uyguladm zmsel yntemi hemen bir yana atarak eletiriyor, karlk olarak da, hi szn etmediim geometrik uygulama ile urayor. Ayn biimde, kendine zg szde diferansiyel yntemi -Newton ile Leibnitz'in gizemsel ynteminden balayp, d'Alembert ile Eulcr'in ussalc (rationalistic) ynteminden geip, Lagran- gem lam anlamyla cebirsel yntemi (ki her zaman Newton-Lcibnilz gibi ayn orijinal temel gr noktasndan balar) ile bitirerek- bamdan sayabilirdim; diferansiyel hesabn geometrik uygulamasnda, yani geometrik gsterimde, pratik olarak nemli hibir eyin deimediini syleyerek, zmlemenin btn bu tarihsel geliimini bamdan savabilirdim.

Gne imdi prl prl; dolaysyla yrye kma zaman; dolaysyla matematik stne pro nunc [imdilik, -.] bunlar yeter; ama bundan sonra farkl yntemleri arada bir ayrntl olarak ele alacam...

XXXI

DFERANSYEL HESAP STNE

K ELYAZMASI

"TRETLM FONKSYON KAVRAMI STNE" 1

I

I

x bamsz deikeni x\ 'e artsn; o zaman y baml deikeni y\ 'eartar.2

Burada, I)'de, x 'in yalnz birinci kuvvetiyle grnd en basit durumu gz nnde tutuyoruz.

1) y = a x ; x , X \ ' e artnca,

= axx ve y - y = a ( x x -x) .

imdi diferansiyel ilem yaplsn, yani, x j , x deerini alsn. yleyse;

X = x ; x\ - x = 0 ,

bylcce,

a(x\ - x) = a . 0 = 0.

Bundan baka, x , x x e artndan, y yalnz y x olaca iin, ayn zamanda unu elde ederiz:

y = y ; y - y = o.

Onun iin,

y\ - y = a (xx - x)

u duruma gelir: 0 = 0.

nce farkllatrmak, sonra da onu ortadan kaldrmak, bundan lr, gerekten hibir eye yol amaz. Diferansiyel ilemi anlamada btn glk, kesinlikle {yadsmann yadsnmas 'ndaki gibi), onun byle basit

3

bir ilemden ne denli farkl olduunu, dolaysyla da gerek sonulara yol atn grmededir.

a(x - x) 'i ve ona karlk olan denklemin sol yann x x - x arpanna blersek,

X x- X

elde ederiz.

y baml deiken olduundan, bamsz hibir hareketi olamaz; bundan tr, nce x x , x '& eit olmadan, y x , y 'ye eil ve y x - y = 0 olamaz.

te yandan, grdk ki, a(x - x) fonksiyonunda, x x o fonksiyonu sfra eitlemeden x 'e eit olamaz. Onun iin, denklemin iki yam x x - x arpanna blndnde, x x - x zorunlu olarak sonlu bir farktr?

y - yx x~x

oram kurulduu anda, x x - x bundan dolay her zaman sonlu bir farktr. Sonu olarak,

y - yx x- x

bir sonlu farklar orandr ve buna karlk olarak,

y - y = Ayx x- x Ax

Bundan tr;y - y 4 Ay- veya =*- = a x x- x Ar

ki, burada a sabiti, deikenlerin sonlu farklarnn orannn limit deerini (Grenzwert) gsterir.5

a bir sabit olduu iin, onda hibir deime olamaz; dolaysyla a 'ya indirgenen denklemin sa yannda hibir ey olmaz. Byle koullarda diferansiyel ilem sol yanda yer alr.

4

y \ - y Ay veya ,jc i-jc Ax

ve bu, ax gibi basit fonksiyonlar iin ayrc zelliktedir.Bu orann paydasndaki j t , x e yaklaacak biimde azalrsa; x xpc

olur olmaz, azalmann limitine de ulalr. Bulada fark, x x - x x = x - x = 0 dolaysyla &a y x- y = y - y = 0 olur. Biz de bylece,

0elde ederiz.

anlatmnda, kkeninin ve anlamnn btn izleri ortadan kalk- dy

t iin, onun yerine koyarz k, burada; x x - x veya Ax ve y x - y

veya Ay sonlu farklar, ksaltlm veya sfra eitlenmi farklar olarak

detirilmi j

Onun iin,

sembolletirilmi grnr veya 'e deiir.Ax dx

dyzL = a dx

Rasyonelletiren kimi matematikilerin kat inanc, dy ve dx 'in,

nicel bakmdan yalnz jj- 'a yaklaarak, gerekten yalnzca sonsuz kk

olduu, II) altnda daha aka greceimiz gibi, bir kuruntudur.Yukarda sz konusu edilen karakteristie gelince, sonlu farklarn

limit deeri, bundan dolay, diferansiyellerin de limit deeridir.2) Ayn durumun ikinci bir rnei udur:

y = x; y , - y = x x- x ;

y \ = *

veya ^ = ] ; yeya = , x j - x Ax 0 dx

5

IIy = f(x) 'te, x fonksiyonu denklemin sa yannda kendi gelimi

cebirsel anlatm6 ile grnnce, bu anlatma, x 'in orijinal fonksiyonu, onun ilk "tretilmi" x fonksiyonunun farkllatrlmas ile elde edilmi birinci deiiklii (m odification) ve onun "tretilmi" x fonksiyonunu farkllatrnu ilemiyle elde edilmi son biimi diyoruz.7

1) y = ax3 + bx2 + cx - ex , X ' e anarsa, o zaman

3 2y = ast! + b x + c x x - e,

y - y = a ( x 3 - x 3) + b ( x \ - x 2) + c ( x t - x )

= a ( x - * ) (jcj + X \ X + x )

+ b ( x \ - x ) (x + x ) + cO tj-Jt)

Bundan dolay,

veya = a ( x \ + x \ x + x 2) + b ( x + x) + c ; X \ - x Ax

ve ilk "trev"

2 2 a (x + jc jc + x ) + b (x + x) + c

[ve] burada, sonlu farklarn oranlarnn limit deeridir. (Grenzwert); yani,

bu farklar ne denli kk olursa olsun, deeri bu "trev" ile belirle-Ax

nir. Ama bu, diferansiyellerin oranlarnn limit deerleriyle I) altndaki ayn durum deildir.*

(*) Bu almann bir taslanda (4146, Yer 4) u grlr: " le yandan, farkllatrma ilemi (Differenliatprozess) ilk "tretilmi" x fonksiyonunda (sa yanda) yer alr; oysa ayn ilemin herhangi bir yrlm sol yanda zorunlu olarak yasaklanmtr. -Ed.

6

2 2 a ( x + x xx + x ) + b ( x + x ) + c

fonksiyonunda jq deikeni azalmasnn limitine varana dein azalnca

yani, x i l e a y n olunca, x , x 2 ile, X \ X , x 2 ile, x \ + x d e2 x ile deitirilir ve " tretilm i" x fo n k s iy o n u elde edilir:

3ax2 + 2 b x + c

Burada unlar arpc bir biimde gsteriliyor:

Birincisi, "lrcv"i elde etmek iin x t x 'e eilenmelidir; bundan tr, yalnzca sonsuz [ok] yaklama bahanesi olmakszn, tam matematiksel anlatnda, X \- x = 0 'dr.

k in c is i , X\ = x dolaysyla da X\ - x = 0 koymamza karn, "trev"de sembolik hibir ey ortaya kamaz.* jq nicelii, aslnda x deiiminden elde edilmise de, ortadan kalkmaz; yalnzca x 'e eit olan en kk limit deerine indirgenir, orijinal x fonksiyonunda, ksmen kendisi ile, ksmen de orijinal fonksiyonun x 'i ile kombinezonlar araclyla getirilmi yeni bir e (e le m e n t) olarak kalr, sonunda "trev"i, yani en k k sa l (m u tla k ) n ic e li in e in d irg e n m i i lk t re v i verir.

Birinci (ilk) "tretilmi" fonksiyonda jq in x e indirgenmesi, sol

yam ^ [ten] jj- 'a veya ^ 'e deitirir; bylece:

veya = 3a x 2 + 2b x + c ,0 dx

t rev , diferansiyellerin oranmn l im it d e e r i olarak ortaya kar.

Yalnz sol yanda grnen akn ( tra n s c e n d e n ta l) veya sembolik yanllk, belki artk korkun olmaktan kar; nk imdi, gerek ierii-

(*) Taslakla aadaki nerme vardr: "Orijinal x fonksiyonundan liircvi- bulmak yle bir larzda ilerler ki, nce bir sonlu farkllama (endtiche Oifferentialion)elde ederiz; bu, limit deeri (Greniwerl) olan bir ilk 'liirev' salar. Ondan sonra izlediimiz farklftalrma ilemi (Differentialprozess), bu limit deeri salt (mutlak) cn kiik (minimum) niceliine (Minimalgrsse) indirger. Birinci farkllatrmaya sokulan x t nicelii ortadan kalkmaz... -Ed.

7

ni denklemin sa yannda saptayan bir ilemin yalnzca anlatm olarak grnr.

3co? + 2bx + c "trcvi"nde, x deikeni, x 'in orijinal fonksiyonundakinden (yani, ax3 + bx2 + c x - e dekinden) tmyle farkl bir koulda var olur. Bundan tr [bu trevin] kendisi, srayla orijinal bir fonksiyon gibi ilem grebilir ve yinelenmi farkllarma ilemiyle baka bir "trev"in anas olabilir. Bu, x deikeni sonunda "tiirevler"in birinden kaldrlmad srece yinelenebilir; dolaysyla, yalnz sonsuz serilerde gsterilebilen x fonksiyonlarnda sonsuz olarak srer, ki pek ok durumda byle [dir].

d2 d3 , vb sembolleri, yalnzca belirli orijinal x fonksiyo-2 3

dx dxnuna gre "trevler"in soybilimsel (genealogical) ktn gsterir. Onlar, yalnzca ar arda tretilmi xfonksiyonlarnn anlatmlar gibi deil de, altrmann balang noktas gibi alndklar srece gizemlidirler (mysterious). nk, sfra eitlenmi bir nicelikler orannn, yeni daha yksek bir yitimden (disappearance) gemek gerekmesi, gerekten mucize grnr; oysa, rnein, 3x2 'nin, anas x3 gibi, farkllatrma ileminden geebilmesi olgusunda (fact) alacak hibir ey yoktur. Orijinal x fonksiyonu ile olduu gibi, 3x2 ile de ie balanabilirdi.

Ama nota bene [iyi dikkat ediniz, -.]. Farkllatrma ileminin

balang noktas, [yukarda] I)'deki gibi denklemlerde gerekten tir

ki, o denklemlerde x yalnz birinci kuvvetiyle grnr. Bununla birlikte, o zaman, I)'de gsterildii gibi, sonu u [dur];

AyDolaysyla, gerekte burada, in getii farkllatrma ile

minden lr yeni hibir limit deere eriilmez; ancak ilk "trev" x dei

8

kenini ierdii srece, dolaysyla da ^ gerek b ir ilemin sembol ola-dx

rak kald srece olanakl kalan [bir sonu].*

Kukusuz, diferansiyel hesapta, & , , vb. sembollerinin ve* dx2

kombinezonlarnn, denklemin sa yannda ortaya kmas da, hibir anlamda bir engel deildir. nk, byle tmyle sembolik denklemlerin, yalnzca, gerek deiken fonksiyonlarna sonradan uygulanmak gereken ilemleri gsterdii bilinir.

2) y = ax*

x , x \ olurken, y = ax\ ve

y , - y = o ( * 7 - x " )

= a ( x \ - x ) (z**1 + x ? 2x + x 3x 2 + vb.

x ! x lenm m e ddk).

Bundan lr,

y i - y Ay r m'l -2 m-3 2 veya *- = a ( z + X\ x + x \ x + ...x \ - x Az

m-m - l x+ z , z ).

Farkllatrma ilemini imdi bu "ilk trev" uyguluyoruz; yleki

x = x veya x \ - z = 0

ve

(*) Taslakta (Yer 7) 5u tmce vardr: "Bu, yalnz ilk 'tretilmi' fonksiyon x deikenini ierdiinde olur, ki onun hareketiyle, bundan tr gereklen yeni baka

bir deer gelitirilebilir, yle ki gerek bir ilemin semboldr." -Ed.

9

sonunda,

m -1 m -1 .x x , X e ;

m-2 m-1 m-2+1 m-1x x x , x x = x = x e ;

m-3 2 m-3 2 m-3+2 m-1,x x x , x x = x = x ' e ;

m-m m-1 m-m m-1 _ 0+m-l _ m -1 ,X] x , x x - x - x c

deiir.Bylcce xf"' 1 fonksiyonunu m kez elde ederiz; bundan dolay da

"lrev" max?1 ' 1 'dir.

"lk trevdeki x x = x eitliinden tr,* sol yanda , Ax 0

veya -2- ile deitirilir; onun iin; dx

= M X - 1dx

Btn diferansiyel hesap ilemleri bu tarzda yaplabilirdi; ama bu, can skc yararsz bir ayrntlar yn olurdu. Bununla birlikte, x x - x fark x fonksiyonunda imdiye dek yalnz bir kez grndnden, dolaysyla da

y - y Ay veyax x - x Ax

biimlenmesi araclyla sa yanda ortadan kalku iin, burada bir rnek daha verelim.

Aadaki durum bu deil [dir]:

3 )y = ax ;

x , x x olsun. yleyse

y, = a*;

* Yani sa yanda. -Ed.

10

Bundan tr,

y \ - y =

imdi = x ve bylece x x - x = 0 olduundan, "trev" iin unu elde ederiz;

o* | ( a -1 ) - ! ( - 1)2 + I ( a - 1 ) 3 - vb.

Bylece

& = a | (a -1 ) - i ( a - l ) 2 + I ( a - 1 ) 3 - vb .J

Ayra iindeki sabitlerin toplamu, A ile gsterirsek,

= A a .dx

ama bu A = a saysnn Napier logaritmas*; yle ki:

^ veya y yerine deerini koyduumuzda: = log a .

y = V a2 + x 2 ,

2y = f l + J t ! .

2 2

yle ki:

Ay _ _______ * + * ________

* 4 7 7 7 ] + 4 7 7 7

imdi,jci = x veya x \ - x - O olunca,

dy _ 2x _ x

* 2 4 7 7 7 4 7 7 7 7

Bylece,

dy veya d V a 2+ = x

DFERANSYEL STNE13

I

1) f(x ) veya y = uz farkllatrlacak bir fonksiyon olsun; gerek u, gerek z, x bamsz deikenine baml fonksiyonlardr. Onlar, kendilerine ve dolaysyla x 'e baml olan y fonksiyonuna gre bamsz deikenlerdir.

y = * .

y \ - y = 1*1 - Z = Z(t t -K) + u (z -z ) ,

y \ - y Av - K z - r zA t u Az ^l i L veya =2- = z j + u = _ + fL i . *X - x Ax x x- x x x- x Ax Ax

imdi sa yanda xx = x, demek ki * - x = 0, bunun gibi ux - u = 0,

2X - z = 0 olsun; bylece 2j u ~ u 'teki zx arpan da z olur; sonunda,x x- x

sol yanda y x - y = 0. Bundan tr:

A) L = z L + u * - .dx dx dx

Bu denklem, btn terimleri ortak payda olan dx 'e blnrse, yle olur:

B) dy veya d(uz) = zd u + u d z . 14

2) imdilik, birinci denklem A) zerinde duralm:

^ = z + u * . dx dx dx

* Grnle, denklemin son paras Engels'e eklenmitir. -Ed.

15

x 'e baml yalnz bir deikeni olan denklemlerde, kesin sonu her zaman

dxve/ '(x),f(x)'\n ilk tretilmi fonksiyonu,* btn sembolik anlatmlardan bamszdr,15 rnein, jc* bamsz deiken x in orijinal fonksiyonu iken mxrt , .f(x ) 'in f '(x ) 'e dnmek iin gemesi gereken farkllatrma ileminin dorudan bir sonucu olarak, glge grnts (Doppelgaenger)

^ veya ^ - , f (x)e kart sol yanda, sembolik edeer, gerek diferan-0siyel katsays olarak grnd16. veya ^ , srayla, / ' (x) te gerek

edeerini buldu. ^

A) denkleminde i s e , / ' (x), uznin ilk trevi, sembolik diferansiyel katsaylarn kendisi ierir, dolaysyla bu katsaylar her iki yanda bulunur, oysa iki yanda da gerek bir deer yoktur. Bununla birlikte, uz x 'in nceki fonksiyonlar gibi yalnz bir bamsz deikenle ele alnd iin, bu kartlk aka balang fonksiyonunun, yani uz 'nin zel karakterinin bir sonucudur. Bu, 3) altnda daha tam ele alnmur.

u anda A) denklemi trevi 'nde herhangi bir dn (twist) olup olmadn grmek kalyor.

Sa yanda

u - u Au 2 - z Az veya ve -------- veya x \ - x Ax jci-jc Ax

jj- , jj- olur, nk x\ eit jc oldu, demek ki x x - x = 0. , ~ yerine

, koyuveririz. Bir bamsz deikenli durumlarda, bir tek sem- dx dx . .

bolik diferansiyel katsaysnn veya ^ } sabit l'den baka hibir ar-\0 dx I

* "Trev" ile anlamda;. -Ed.

16

pan yokken, bu jj- '1ar, burada anldktan sra ile, u ve z deikenlerinin

arpardan gibi grndkleri iin, byle yapabilir miyiz?

it J c 'in problcmatik biimini sa yana koyarsak yle olur:

z jj- + u jj-. Sonra z 'yi ve u 'yu yanlarnda bulunan 'm paylaryla ar

parsak ^ -+ 5 - elde ederiz; kendi trevleri gibi z ve u deikenlerinin ken

dileri = 0 olduklar iin,17 sonunda

Z *L + UA deil, = 0dx dx 0

[elde ederiz].

N e var ki, bu ilem matematiksel olarak yanltr.

u rnei ele alalm:

- _ A .X \ - x Ax

nce pay = 0 elde edilmez; nk onunla baland ve ux - u 0'a eitlendi; ama tersine, pay yalnzca 0 veya mj - u = 0 olur; nk payda, bamsz x deiken niceliklerinin fark, yani x x -x , 0'a eit oldu.

Bundan tr, u ve z deikenlerinin karsnda 0 deil, bu biim

de pay paydasndan ayrlamaz olan ortaya kar. Dolaysyla, bir ar

pan olarak 5. t katsaylarn ancak

= 00

olunca ve olduka hileyebilir (nullify).

17

m OBir P . arpmnn P . biimini ald durumda, onun O'a n 0

eit olmas gerektiine karar verivermek, bu arpm burada her zaman O'a eilenebilirse de, allm cebirde bile yanl olur; nk hilemeye (nullification) keyfi olarak pay veya payda ile balayabiliriz.18

2 2rnein, P . x ' a . x 2a2 'ye eitlensin; nk [x = a]; demek

x - a

ki X? - a? = 0; yleyse/3 . j | = jj- elde ederiz ve son [terim] O'a eitlenebi

lir; nk jj-, 0 olmaya herhangi bir say kadar hazrdr.

Buna kart olarak, jc2 r o2 'yi arpanlarna ayralm, bylece

P . . (x + ) = P (x + d) ve madem ki x = a ,19 = 2Pa.x - a

Birbirini izleyen farkllatrmalar -rnein, x deikeni nc trevde t

kenip yerini bir sabit ald iin jj- 'm ancak drdnc trevde O'a eil ol

duu x 3 'nkiler- jj- 'n ancak tmyle tanmlanm koullarda O'a eil

olduunu kantlar.

Ama, , 'n kkeninin, anldklar srayla , 'in dife- 0 0 A i t

ransiyel anlatm olduu bilinen bizim rneimizde, ikisi yukardaki gibi,

"birbiim" (die Uniform) , 'e hak kazanr.dx dx

3) Daha nce ele alnan y = x?1, y = a* , vb. gibi denklemlerde, orijinal bir x fonksiyonu, kendisine "baml" bir y 'nin karsnda bulunur.

y = uz 'de, iki yanda "bamsz [deikenler] ierir. Burada y dorudan doruya u 'ya ve z 'ye baml iken, u ve z de srayla x 'e [bamldr], Orijinal fonksiyon uz 'nin bu zgl karakteri onun "revleri"ni de zorunlu olarak damgalar.

18

'nun bir x fonksiyonu olduu, z 'nin de baka bir x fonksiyonuolduu

u = A x ) , u x- u = f i x \ ) - f { x ) ,

vez = (p(x)\ z l - z =

, 'in -yani, genelde sembolik katsaylarn- doas, trevin dx dx

kendisinde ortaya ktklarnda hibir biimde deimez; diferansiyel denklemin sa yannda da byle olmakla birlikte, rolleri ve denklemin karakteri bundan tr deiir.

uz orijinal fonksiyonunu f(x ) ile kombinezon iinde ve onlarn birinci "trevini" f ' ( x ) ile, gsterelim:

L = Z L + U .dx dx dx

sonra yle olur:

^ = f ' ( x ) . dx

Bu ok genel biimi, yalnz bir baml deikeni olan denklemler

iin elde etlik. L 'in balang biimleri, iki durumda da, f(x ) 'i f ' ( x ) 'e dx

dntren trev alma srecinden (Ableitungsprozesse) kar. Dolaysyla,

f ( x ) , f (x) olur olmaz, 2 - kendi sembolik anlatm gibi, glge grnts dxLdx

(Doppelgaenger) veya sembolik edeeri g ib i , / ' W in karsnda bulunur.

Bundan tr, iki durumda da, ayn rol oynar.dx

~ , ile baka trldr. br/ '(x) eleriyle (element) birlik- dx dit

te, ^ tc sembolik anlatmlar veya sembolik edeerleriyle buluurlar, dx

ama kendileri srayla sembolik glge grntleri olacaktan f '( x ) ,

lcyen zel bir hesaplama biimi gibi grnr. nk onun _ , _dx dx

balang nokalan, yalnz onun olan ve ona zg matemaliksel niceliklerdir. Yntemin bu ters dnmesi (inversion) de, uz cebirsel farkllamasnn bir sonucu olarak ortaya kar. Bundan tr, cebirsel yntem, kendisini tam kartna, diferansiyel ynteme, tersine dntrr.*

imdi, , sembolik diferansiyel katsaylarnn yerlerini turf* dx

tan "trevler" nelerdir? Balang denklemi y = uz, bu sorunun zm iin hibir veri salamaz. Keyfi x orijinal fonksiyonlar u ve z fonksiyonlar yerine konursa, bu son [soru] gene de yantlanabilir. rnein,

4 3 2u = x ; z = x + ax

N e var ki, bylelikle, , sembolik diferansiyel katsaylar, dx dx

ilemsel sembollere (Operationssymbole), "revleri"ni bulmak iin x* v e x 3 + ax2 ile yrtlmek gereken ilemin sembollerine dntrl ve- rir. Aslnda "rev"in sembolik anlatm olarak ortaya kp bylcce nce

* "Diferansiyel stne" adl almann taslanda (4148, Yer 16-17) u paragraf vardr:

n/i {jy M , ten vazgeilir. Onlar, trevin iinde domu olarak, gene onun arar ek

lakalan eleri (element) ile birlikte, kendi sembolik anlatmlar CQ- 'te, dolaysyladx

kendi sembolik edeerlerinde buluurlar. Ama kendileri, edeer, gerek diferansiyel katsaylar olmakszn, yani srayla sembolik anlatm olduklar f '(x ) ,

den btnlenmi olan sembolik diferansiyel katsays, imdi henz bitirilecek farkllatrma ileminin sembollerinin roln oynar.

Ayn zamanda, sembolsz bir yan olmad iin, balangtan beri tmyle sembolik olan

denklemi, genel bir sembolik ilemsel denkleme dntrlmtr.

Ayrca diyorum ki,* XVIII. yzyln ilk yansndan ta bugne dein, diferansiyel hesabn genel grevi yle formlletirilmitir: Sembolik diferansiyel katsaysnn gerek edeerini bulmak.

Bu, besbelli A) denkleminin en basit anlatm deildir; nk btn terimlerinde ortak dx paydas vardr. Bu, ksaltlsn; o zaman:

B) d(uz) veya dy = zdu + udz.B) 'de A) 'daki kkeninin her izi ortadan kalkt. Bundan tr, x ile

hibir iliki olmakszn, u ve z x 'e bamlyken olduu denli, yalnzca birbirine karlkl bamlyken de geerlidir.2- O, balangtan beri sembolik bir ilemsel denklemdi ve balangtan beri sembolik bir ilemsel denklem gibi i gerebildi. imdiki durumda,

iken, yani keyfi herhangi bir sayda deikenlerin birbirlcriyle arpmna =, yleyse dy = her birinde arpanlardan birinin bir deiken, oysa brlerinin sabitler olarak, vb. ilem grd bir arpmlar toplam.

Amacmz, yani genelde y diferansiyelinin biraz daha incelenmesi bakmndan, B) biimi gene de yetmeyecektir. Bundan tr

alalm. Demek ki, daha nce bir tek baml deikeni olan denklemler iin kantland gibi,

* atma taslanda u yer almtr: "Ancak bir ka istisna iin" -Ed.

dy _ d dx dx

4)

y = zu vb.

22

du = 4x? d x , dz = (3>c2 + 2ax) dx.

Bu du ve dz deerleri A) denklemine konuyor; yle ki,

A) = (x3+ ax2) ^dx dx

, ^ 4(3at2+ 2ax) dx . + x - ,dx

ve yleyse,

& = Cx3+ a x 2) 4 x z+ x 4Q x 2+ 2 a x )\dx

dolaysyla

Ayralar iindeki anlatm, birinci uz trevidir, bununla birlikte, uz = f(x ) olduu iin, trevi = f ' ( x ) ; imdi kinciyi cebirsel fonksiyonun yerine koyalm; bylece:

Ayn sonucu, nceden yalnz bir deikenli keyfi bir denklemden elde ettik. rnein,

Genelde unu elde ederiz: y = f(x) ise, bu x fonksiyonu imdi x 'te bir orijinal fonksiyonda olsa, baml bir deikende ierse, her zaman dy = df(x) ve df(x) = f ' ( x ) dx ve bylece:

B) dy = f (x) dx, y diferansiyelinin en genel geerli biimidir. Belirli f(x ) ,f(x , z) olsayd, yani karlkl bamsz iki deikenli bir fo n ksiyon olsayd, bu gene gsleriliverirdi. Ne var ki bu, amacmz bakmndan gereksiz olurdu.

d y = f (x)dx.

dx

dy = f ' (x) dx,

23

II

1) dy = f ' ( x ) dxdiferansiyeli, kendisinden tredii

dxdiferansiyel katsaysndan daha kukulu grnverir.

^ = jj-'da, pay ve payda ayrlmaz olarak baldr; dy = f ( x ) d x 'te

ise aka ayrlmtr; yle ki, insan onun zerinde "yaplacak hibir ey olmayan" ("nix zu wolle")

0 = f ( x ) . 0 veya 0 = 0 iin yalnzca gizli bir anlatm olduu sonucuna varmaya zorlanr.

XIX. yzyln ilk te birinde, bir Fransz matematiki, [sence] iyi bilinen "za rif Franszdan22 aka tmyle farkl bir tarzda, diferansiyel yntem ile Lagrangc'n cebirsel yntemi arasnda bir balant ortaya kard: Boucharlat der ki:

rnein, ^ = 3x2 ise, o zaman ^ , br adyla , veya daha dx dx 0 dy

dorusu, onun deeri 3x3 , y fonksiyonunun diferansiyel katsaysdr. ^

bylcce 3x2 deerim gsteren sembol olduu iin, dr her zaman dy nin altnda kalmak (stehen)* gerekir, ama cebirsel ilemi kolaylatrmak iin

& 'i baya bir kesir ve & = 3 x 2 'yi baya b ir denklem gibi ilemden dx dx

geiririz. Payda denklemden uzaklatrlarak, y diferansiyeli denendy = 3x3 dx

sonucu elde edilir."23

Bylecc, "cebirsel ilemi kolaylatrmak iin", kendisine "diferansiyel ad verilen, yanll gsterilebilir bir forml ortaya konur.

* Taslakta "kalmak" (sehen bleiben) yazldr. -Ed.

24

Gerekte durum bylesine kt deildir.

O * 'da pay paydadan ayrlmazdr, ama neden? nk, ikisi de, bir

birinden ayrlm deilse, salt (mutlak) enkne (minimum) indirgenen u olan24 gibi bir ey (dans l'espece) anlaur:

y - y _ Ax)-A*) .X - X JC ] - JC

burada, pay O olur; nk payda yle olmutur. Ayr iseler, ikisi de O'dr; sembolik anlamn, gerekesini yitirmitir.

Bununla birlikte, x l - x = 0 ,d x te, x bam sz deikeninde sfra eitlenen fark gibi deiiklik geirmeden gsterilen b ir biim kazanr kazanmaz, ki dy de x fonksiyonunda veya baml [deiken] y 'de sfra eitlenmi bir farktr, paydann paydan ayrlmas tmyle ho grlebilir bir ilem olur. imdi dx 'in bulunduu yerde, byle bir konum deimesi, dy 'nin dx 'c oranma dokunmaz. Bylcce dy = f ' ( x ) d x karunza

^ = f ' ( x ) 'in dx

bir seenek (alternative) biimi olarak kar ve kincisinin yerini her zaman alabilir.^

2) dy = f ' ( x ) d x diferansiyeli, A) 'dan, dolaysz bir cebirsel tretme ile kt (Bkz: 1 ,4); oysa A) denkleminin cebirsel tretimi nceden gsterdi ki, aslnda cebirsel olarak yaplm farkllatrma ileminin tmyle sembolik anlatm gibi bir ey (dans lespice) olan diferansiyel sembol, zorunlu olarak, bamsz bir balang noktasna, henz yaplacak bir ilemin bir sembolne, ilemsel bir sembole, tersine dner; byle- ce cebirsel yol boyunca ortaya kan sembolik denklemlerde sembolik ilemsel denklemlere (Operationsgleichungen) tersine dner.

Bunun iin, 3? = f '( x )d x diferansiyelini sembolik bir ilemsel denklem gibi ele alrken iki kal doruyuzdur. Bylcce a priori biliyoruz ki,

* taslak'la: " j. biiminde"- -lid .

2 5

y = f(x) ise, dy = df(x),

df(x) 'in gsterdii farkllatrma ilemi f(x ) 'te yaplrsa, sonu dy = f '( x )d x 'tir ve sonunda, bu sonulardan,

3T = f ' (x) ' dx

Gene ilk andan beri biliyoruz ki, hesabn balang noktas, cebirsel farkllatrma ynteminin tersine dnmesi olarak, diferansiyel fonksiyonlar yetkindir, diferansiyel hesabn kendisi de, bundan dolay, deiken niceliklerle hesap yapmann esiz, zel bir yntemi olarak grnr.

Bunu daha belirginletirmek iin, yalnzca f{x) 'i x 'te saptanm bir cebirsel ilemin yerine koyarak, kullandm btn cebirsel yntemleri birletirivereceim; "ilk trev"de (birinci elyazmasna bkz.*), onu son (kesin) "t rev " /'(x ) ten ayrt etmek iin f x(x) olarak gsterilecek. yleyse,

fU ) = y , / f a ) = y ,

[onun iin]

f ( x ) - f(x ) = y, - y veya Ay,

f l (x) ( x \ - x ) = y y - y veya Ay.

lk trev, x } ve x arpanlarn, tpk (x\ - x) arpan gibi, bir tek ayra (istisna) ile iermek gerekir** O d,f(x) in birinci kuvvete gre orijinal bir fonksiyon olmasdr:

JCl-JC Az

imdi f x(x) e

x \ - x olduundanx \ - x = 0

* Bkz: "Tretilmi Fonksiyon Kavram Osne", yukarda s. 3. -Ed.** Taslakta: "Mr kural olarak gerekir". -Ed.

2 6

koyup unu elde ederiz:

f ' ( x ) = j - veya ^0 dx

sonunda da

f '( x )d x = dy veya dy = f '(x )d x .

y diferansiyeli, bundan tr, cebirsel bir gelimenin sonucudur; kendi z tabannda ileyen diferansiyel hesap iin balang noktas olur. dy, y diferansiyeli26 (tek bana, yani [gerek] edeeri olmakszn gz nnde tutuluyor), burada, cebirsel yntemde Ay nin oynad ayn rol oynayverir;x diferansiyeli ekede, Ax'inkini.

^ = / ' ( * ) ' i Ax

paydadan kurtarrsak,

I) Ay = / ' (x) Ax olur. te yandan, ayr eksiksiz bir hesaplama eidi olarak diferansiyel

hesapla balayp (bu balang noktasnn kendisi de cebirsel olarak karlmtr) I) diferansiyel anlatmndan, yani

II) dy = f '( x )d x ] ten yola kveririz.3) Sembolik diferansiyel denklem (Gleichung des Differentials) bir

tek bamsz deikenli esel (elementary) fonksiyonlarn cebirsel ilemden geirilmesiyle basite ortaya kt iin, yntemin tersine dnmesi (Umschlag in der Methode), aka anlalyor ki,

y = uz

rneinde olduundan ok daha basit bir tarzda gelitirilebilirdi.

Birinci dereceden en esel fonksiyonlar unlardr

a) y = x; bu, & = 1 diferansiyel katsaysna varr, yle ki diferan-dx

siyel dy = dx tir.b) y = x ab; bu, ^ - = \ diferansiyel katsaysna varr, yle ki di-

dxferansiyel gene dy = dx 'tir.

2 7

c) y = ax; bu, = a diferansiyel katsaysna varr, yle ki dife- dx

ransiyel dy - adx 'tir.

imdi, hepsinin en basiti olan (a)'daki durumu ele alalm:

y =x , y = * :

y - y veya Ay = x x- x veya Ax.

I) ~>' 1 veya - 1. Bylecede Ay = Ax . 'te x x im d i X \ - x Ax Ax

x'e eitlenir veya - x = 0; bylece:

D) veya & = 1 ; yle ki dy = dx.0 dx

Ta balangta, I) OL = 1 elde eder etmez, ilemi sol yanda iler- Ax

letmek zorunda kalnz; nk sa yan 1 sabitidir. Ve orada, inisiyatifi sa yandan sol yana geiren yntemin tersine dndrlmesi, ilk ve son olarak, cebirsel yntemin kendisinin ilk sz olduunu gerekten kantlar.

imdi soruna daha yakndan bakalm:Gerek sonu uydu:

D l= Ax

D) 0 veya *L = l 0 dx

Gerek I), gerek II) ayn sonuca vard iin, ikisinden birini yeleyebiliriz. X\ - x = 0 klnmas, herhangi bir durumda gereksiz, dolaysyla da keyfi bir ilem gibi grnr. Ayrca, buradan sonra II)'de sol yanda ilem yaparz; nk sa yanda ilem "olanakszdr"; bylelikle de unu elde ederiz:

28

A = o .

0

Kesin sonu, = 0 olurdu; demek ki elde edilmesine varan 0 0

yntem yanltr, ilk kullanlnda* yeni hibir eye varmaz, kincisindeyse kesinlikle hibir eye varmaz..27

Sonunda, cebirden biliyoruz ki, iki denklemin ikinci yanlan zdese, birinci yanlar da yle olmak gerekir. Dolaysyla u sonu kar:

dy _ Ay dx Ax

Ne var ki, gerek x, gerek x 'e baml deiken y, deiken niceliklerdir. Ax sonlu bir fark olarak kalmakla birlikte, sonsuz olarak ksaltla- bilir; baka bir syleyile, O'a islendiinde yaklaabilir, yle ki sonsuz kk olur; dolaysyla, ona baml Ay de yle olur. Bundan baka,

dy Ay dv 0 - olduu iin, ondan u sonu kar: -- , arsn (extra

vagant) deil, tersine, bir sonsuz kk farklar oran gibi, dolaysyla Ax

da allm fark hesabndan farkl olarak grev yapar yapmaz, onun pazar giysisini (Sonntagsuniform) gerekten belirtir.

Kendi payna dy = dx diferansiyelinin anlam yoktur veya daha do

rusu, ^ - 'in zmlemesinde (analysis) her iki diferansiyel iin ortaya - dx

kardmz lde anlam vardr. Biraz nce verilen yorumu28 benimsemek zorunda olsaydk, rnein paraboln teet almn (subtangent) belirlenmesinde adx 'in roln gstererek -ki bu, dx 'in ve dy 'nin doasnn anlanmasn! hi gerektirmez- mucize gibi ilemler yapabilirdik.

* Aslnda "coup", Franszca "darbe", "vuru". -Trans.

29

4) Diferansiyel hesabn tarihsel geliim yolunu pek youn biimde kabataslak tanmlayan III. blme gemeden, burada nceden uygulanan cebirsel ynteme bir rnek daha veriyorum. Yazsal olarak fgraphically) ayrt etmek amacyla, hep soldan saa yazdmz iin, verilen fonksiyonu sol yana inisiyatifin her zaman bulunaca yana koyacam; yle ki, genel denklem

jc + P xT "1 + vb. + T x + U = 0 'dr,

ve

0 = x r + Px ' 1 + vb. + Tx + U

deildir.

y fonksiyonu ve x bamsz deikeni, birincisi y 'yi ve u deikeninin bir fonksiyonu olarak anlatan, oysa te yandan, kincisi U 'yu bir x fonksiyonu olarak anlatan iki denkleme blnrse, kombinezonda sembolik iki diferansiyel katsays da bulunmak gerekir.29 Varsayalm ki:

1) 3u2 = y , 3u f = y , ,

yleyse

-n 3 2 3 24) x + ax = u ; x + ax = u .

imdilik 1) denklemiyle ilgileniyoruz:

3u \ - 3u2 = y x- y ,

3 (u* - u2) = ,

3 (u i - u) (u + u) = y - y ,

3 (u + u) = - 1^ veya .u ] - u A u

imdi, sol yanda u, , u'ya eitleniyor, demek ki u\ - u = 0, yleyse

30

3 ( + u) = & , du

3 ( 2 u) = ,du

imdi u yerine deerini, x* + ax2 'yi koyuyoruz, yle ki:

3) 6(x3+ a r 2) =du

imdi 2) denklemini ele alyoruz:

3 2 3 2X\ + ax * x - ax = u t - u ,

(x3 - x 3) + a(xj - x 2) = K ^K ,

2 2 (x -x ) ( X j + X ] X + x ) + (x j-x ) (x + x) = U\ - u ,

. 2 / s - K Ali(xi + x j x + x ) + a(X] + x) = -------- veya .X j - x Ax

Sol yanda Xj = x koyuyoruz, demek ki xj - x = 0. Bundan tr

2 2 sA(x + X X + X ) + a(x + x ) = .

dx

4 ) 3 x 2 + 2ax = 4 .dx

i m d i 3 ) v e 4 ) d e n k l e m l e r i n i a r p y o r u z :

5 ) 6 ( x 3 + a r 2 ) ( 3 x 2 + 2 a x ) = = & 30du dx dx

31

Bylcce, ara sra iki bamsz deikenli denklemlere de uygulanabilen

dy _ dy dudx du dx

ilemsel forml bulunur.

Yukardaki rnek gsteriyor ki, belirli fonksiyonlardan tr kantlanm bir gelimeyi tmyle genel bir biime dntrmek byclk dedir. Diyelim ki:

1 ) y = f(u), y = f (U ), y - y = f (u x ) -f(u ).

yle ki dolaysyla

2 ) u =

2)'deki farktan u kan

u ^ u _

"DFERANSYEL STNE 33

ADLI ALIMAYLA LGL

TASLAKLAR VE EKLER

BRNCl TASLAK34

Gerek u, gerek z deikenlerinin x fonksiyonu olduu f(u , z) [= uz] farkllatrmasna varr varmaz -yalnz bir tek baml deikeni (yani, y) olan bundan nceki durumlarn tersine- iki yanda da aadaki diferansiyel anlatmlar elde ederiz:

Birinci rnekle

ki, sonuncunun da bir baml deikeni olan biimdekinden, rnein dy = max ' 1 d x ' tekinden farkl bir biimi vardr; nk burada, dy = zdu + udz'de kesinlikle byle olmayan durumu, f ( x ) = maxm ' 1 dife-

olan denklemler, durumunda, tretilmi x ['li fonksiyonlarn] fonk- siyonlannn gerek farkllaurma yoluyla [farklar olarak] nasl elde edildiini ve onlarn sonraki ksaltmalarn ve ayn zamanda tretilmi fonk-

dy_ _ z du_ dx dx

kincide, indirgenmi biimi

dy = zdu + udz

ransiyel sembollerinden 'i veriverir. Bir baml deikenidx

syon m

ilk ve son kez gsterdi. = X hep 0 = 0 . ^ 'a vardndan, ilkel (wal-

dursprnglichen) biiminde 2 . = herhangi bir nicelik olduu iin, burada

= ^ kullanm valnz verinde dcil. zorunlu bile ernr. Bununla bir-

eit, = mxm grnr; 2 .'m kendisi de bu deerin, xm 'den tretildii

37

ilemin sembolik sonucudur; L 'le byle bir sonu gibi anlatlr. Nite-dx

kim ^ (= I , kkeninden, L sembolnn araclyla elde edilmi dx \ 0 / dx

f ' ( x ) ' in deil, tersine nceden tretilmi f ' ( x ) 'in sembolik deeri veya diferansiyel anlaum olarak saptanm biimdir.

Ne var ki, ayn zamanda, bu sonuca ular ve bundan tr diferansiyel hesap tabannda (Boden) ilem yapar olduumuzda, [sreci] tersine evirebiliriz; rnein,

* = f(x) = y

farkllatnlacaksa,

dy = m xf 1 dx

veya

L = m x " '1 dx

olduunu teden beri (von vornherein) biliyoruz.Nitekim burada sembolle balarz; o artk x fonksiyonundan bir t

revin sonucu gibi grnmez; tersine, imdiden, L 'jn , yani f ' ( x ) ' m ger-dx

ek deerini elde etmek iin/fxj zerinde hangi ilemler yaplacan gsteren bir sembolik anlatm35 gibi grnr. Birinci durumda/ 'W i n sem

bolik edeeri olarak veya L elde edilir; bu da, L kkenini aa 0 dx dx

dyvurmak iin zorunlu balangtr; ikinci durumda ^ sembolnn gerek

deeri o la rak /' (x) elde edilir. Ama sonra, L , ^ L sembollerinin dife-* dx2

ransiyel hesap ilem formlleri (Operationsformelnft6 olduklar durumda, en basil rnek d y - f ( x ) d x te nceden olduu gibi, denklemin sa yannda

38

da byle formller olarak ortaya kabilirler. Byle bir denklem, son bii

minde, bu durumda olduu gibi, bize - f (x), vb. verivermezse, odx

zaman bu, tanmlanm (bestimmten) denklemlere uygulamada hangi ilemler yaplacan basite anlatan bir denklem olduunun kantdr.

u ve z, ikisi de, ayn nc deikenin, yani x 'in fonksiyonlar iken deiken de olduklar yerde, d(uz) 'deki durum -ve olanakl en basil durum- da budur.37

u ve z, ikisi de, x 'e baml deikenler durumunda iken, farkllatrlacak f(x ) veya y = uz verilmi, yleyse,

ve

Bylece:

veya

Ama

y = i 2

y - y = U Z\ uz.

y \ - y * uzX \ - X X\ - X X - J C

Ay = UjZ j -uz Ax X i - x

u, z, - uz = Z] (u - u) + u(z\ - z);

39

nk bu ununla edeer

Z\ U\ - Z\ U + UZ\ - UZ = Z - uz.

Bundan dolay:U\Z\ - UZ U\-U Z - z- i !--------- = Z j + u -

X \ - X X ^ - X X \ - X

imdi her iki yanda X\ - x = 0, veya X\ = x olursa, Uj - u = 0, demek ki Uj = u ve zt - z = 0 , demek ki zj = z olur; bundan tr

& = z ^ + u *dx dx dx

dolaysyla da

rffuzj veya dy = zdu + udz

elde ederiz.

Bu noktada, bu uz farkllamasnda, yalnz bir baml deikeni olan daha nceki durumlardan ayn olarak, burada denklemin her iki yannda diferansiyel semboller buluverdiimiz gze arpabilir. yle ki:

Birinci rnekle

dx dx dx

kincide

d(uz) veya dy = zdu + udz

ki, bunun da bir bamsz deikeni olan biimden, rnein dy = f '(x )d x ' ten farkl bir biimi vardr; nk burada dx 'e blme, herhangi bir x, f ( x ) fonksiyonundan tretilmi sembolik katsaylardan kurtulmu zel

deeri (Spezialwert) ieren ^ - = f ' (x)dx 'i veriverir: dy - zdu + udzdx

durumunda ise hibir anlamda byle deildir.

Yalnz bir bamsz deikenli fonksiyonlarda, bir x fonksiyonundan, rnein f (x) = z^ 'den , ikinci bir x fonksiyonu f ' ( x ) 'in veya verilen

40

durumda mx ' 1 'in, yalnz gerek farkllatrm a ve sonraki ksaltma ile nasl karlabildii ve ayn zamanda, bu ilemden denklemin sol yannda,

tretilmi fonksiyon iin = L sembolik edeerinin nasl kt0 dx

gsterildi.

Bundan baka, = L konmas burada yalnz yerinde deil, ma- 0 dx

tematiksel olarak zorunlu idi. jj- kendi ilkel biiminde asla her bykl

alamadndan, jj- = X hep 0 = 0 verir. Bununla birlikte, burada jj- ,

yukardaki rnein nvin ' 1 gibi, tmyle tanmlanm bir gerek deerin sembolik edeeri olarak grnr ve kendisi bu deerin x 'den tretilme-

sini salayan ilemlerin sonucudur; byle bir sonu olarak, L biimindedx

kesinlikle saptanmtr (festgehalten).

Bundan lr, burada L |= 2 . J >n kendi kkeninde saptand

yerde, L sembol kullanlarak f ' ( x ) asla bulunmaz; tersine L di- dx dx

feransiyel anlatm, nceden tretilmi x fonksiyonunun sembolik edeeri olarak [ortaya kar].

Ne var ki, bu sonucu bir kez elde edince, tersine ilerleyebiliriz. Farkllatrlacak birf(x), rnein jc"\ verilmise, o zaman nce dy deeri-

dy m~ ni arar ve dy = mx 1 dx. bylccc de - f- = m x buluruz. Sembolik an-

dx

lam burada k noktas olarak grnr (fgurier). Bylece (so) diferan-

dysiyel hesap tabannda ilem yapyoruzdur; yani, vb. x fonksiyonuna

bilinen hangi ilemler uygulanacam gsteren form ller gibi grev yap-

dy I 0 \yorlar. Birinci durumda 1- I , f ' ( x )'in sembolik edeeri olarak elde

41

edildi, k incide/'(x) arand ve t , vb. sembollerin gerek deeridx ^ 2

olarak elde edildi.

Bu semboller nceden diferansiyel hesap ilemsel formlleri (Ope- rationformeln) gibi i grmekteydiler, yleyse en basit durumda, dy = / ' (x)'\c, nceden olduu gibi, denklemin sa yannda da onaya kabilirler.

Byle bir denklem, son biiminde, anlan durumda olduu g ib i,^ - = / (x)dx

'e, yani bir gerek deere dorudan doruya indirgenebilir deilse, o zaman bu, onun tanmlanm fonksiyonlar tanmlanmam [sembollerinin] yerine ele alnr alnmaz hangi ilemlerin kullanlacan yalnzca sembolik olarak anlatan bir denklem olduunun kantdr.

Bunun vard en basit durum, u ve z ikisi de deiken, ama ayn zamanda ayn 3'nc deikenin, rnein x 'in fonksiyonlar olduu d(uz) durumudur.

Burada farkllatrma ilemi (Differenzierungsprozess) ile

dy d dz'L = x + u dx dx dx

elde etliysek (Bunun balangc iin I. Blme baknz; bu blmn 10.sayfasnda* yinelenmitir.) o zaman unutmamalyz ki burada u ve z ikisi de x 'e baml deikendir; bundan tr y, u 'ya ve z 'ye baml olduu iin, yalnz x 'e bamldr. Bir baml deikeni olan durumda sembolik yandayd, imdi iki deiken, u ve z, sa yandadr, ikisi dey 'ye gre bamsz, ama ikisi de x 'e bamldr ve x 'e baml deikenler [olarak]

du dzonlarn karakteri, her biri