Embed Size (px)
DESCRIPTION
çukurova üniversitesi ders notları
Citation preview
MATRMATRİİSS
İŞİŞLEMLERLEMLERİİ
Temel matris işlemlerinin doğrudan matematik açılımını
yapmadan önce, bir eşanlı denklem sisteminin matris
işlemleri kullanılarak nasıl daha kolay ve sistematik bir çözüm
verdiğini, basit bir piyasa modeliyle görmeye çalışalım. Bu
modeli tanımlayalım ve ilk olarak sıradan denklem çözüm
yöntemiyle (yerine koyma ya da yok etme yollarından biriyle)
sonuca ulaşalım, daha sonra da aynı modeli matris yoluyla
çözelim.
22
33
Tek mallı basit bir piyasa modeli düşünelim. Bu piyasaya ilişkin
talep ve arz denklemlerinin şöyle olduğunu varsayalım:
, 0
, 0
d
s
Q a bP a b
Q c dP c d
= − >
= − + >
d sQ Q=Piyasa Dengesi:
44ŞŞekil 2.1a. ekil 2.1a. İİki ki ÜÜrrüünlnlüü Piyasa ModeliPiyasa Modeli
Q
P0
•
*P
*Q
S
D
E
d
s
Q a bP
Q c dP
= −
= − +
a b
a
c−c d
55ŞŞekil 2.1b. ekil 2.1b. İİki ki ÜÜrrüünlnlüü Piyasa ModeliPiyasa Modeli
1
1
d
s
aP Qb b
cP Qd d
= −
= − +
P
0
•*P
*Q
S
D
E
a b
ac−
c d
Q
Buna göre piyasa dengesini sağlayan (yani piyasanın arz ve
talep miktarını eşitleyen) denge fiyatı ve denge miktarını
basitçe bulabiliriz:
*
*
*
* * * *
d s
s d
Q Q a bP c dP
a cQ Q Q
a cPb d
ad bcQb d
a bP Q a bb d
= → − = − + →
+⎛ ⎞= = = − → =
+=
+
−
⎜ ⎟⎝ ⎠
=
−
+
+
66
77
Şimdi bu çözümü, matris işlemleriyle yapalım:
1
1
d
s
Q a bP Q bP a
Q c dP Q dP c
b Q a
d P c
= − + =
= − + − = −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A
88
Cramer yöntemiyle denge fiyatı ve miktarını çözebiliriz:
( )
( )
1*
1 1
1
1
A bc ad ad bcQA b d b d
bA A b d
d
a bA A bc ad
c d
− −= = =
− + +
⎡ ⎤= → = − +⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
⎡ ⎤= → = −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
99
( )( )
( )
( )
2*
2 2
1
1
1
1
A a c a cPA b d b d
bA A b d
d
aA A a c
c
− + += = =
− + +
⎡ ⎤= → = − +⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
⎡ ⎤= → = − +⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
1010
Buna bir sayısal örnek verelim:
53 3
10 6
d
s
Q P
Q P
= −
= − +
Bu örneği ilk olarak yok etme yöntemiyle çözelim:
* *
53 3 10 6
7 , 32
d sQ Q P P
P Q
= → − = − +
= =
1111
Şimdi bu çözümü, matris işlemleriyle yapalım:
53 3 3 53
10 6 6 10
1 3 53
1 6 10
d
s
Q P Q P
Q P Q P
Q
P
= − + =
= − + − = −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A
1212
Cramer yöntemiyle denge fiyatı ve miktarını çözebiliriz:
[ ]
[ ]
1*
1 1
288 329
1 3(1)( 6) (3)(1) 9
1 6
53 3(53)( 6) (3)( 10) 288
10 6
AQ
A
A A
A A
−= = =
−
⎡ ⎤= → = − − = −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
⎡ ⎤= → = − − − = −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
1313
2*
2 2
63 79
1 39
1 6
1 5363
1 10
AP
A
A A
A A
−= = =
−
⎡ ⎤= → = −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
⎡ ⎤= → = −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
1414Yukarıda incelediğimiz tek ürüne ilişkin piyasa modelini iki
ürüne genişletelim ve piyasanın denge fiyatları ve miktarlarını
bulalım. Bu çözümlemeyi yerine koyma yöntemiyle ya da matris
yöntemiyle yapabiliriz. Bu andan itibaren matrisleri kullanarak
çözümlemeyi yapalım. Modelimiz şöyledir:
1 0 1 1 2 2
1 0 1 1 2 2
2 0 1 1 2 2
2 0 1 1 2 2
d
s
d
s
Q a a P a P
Q b b P b P
Q P P
Q P P
= + +
= + +
= α + α + α
= β + β + β
1. piyasa
2. piyasa
1515Her iki piyasada da arz ve talep eşit olduğunda, piyasa dengesi
kurulmuş olacaktır.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 0 1 1 2 2 0 1 1 2 2
1 1 1 2 2 2 0 0
2 2 0 1 1 2 2 0 1 1 2 2
1 1 1 2 2 2 0 0
d s
d s
Q Q a a P a P b b P b P
a b P a b P b a
Q Q P P P P
P P
= → + + = + +
→ − + − = −
= → α + α + α = β + β + β
→ α −β + α −β = β −α
1616
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 2 2 2 0 0
1 1 1 2 2 2 0 0
a b P a b P b a
P P
− + − = −
α −β + α −β = β −α
( ) ( )( ) ( )
( )( )
11 1 2 2 0 0
21 1 2 2 0 0
Pa b a b b a
P
⎡ ⎤⎡ ⎤− − −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥α −β α −β β −α⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Her iki piyasanın denge fiyatını, Cramer yöntemiyle bulabiliriz.
A
1717
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 21 1 2 2 2 2 1 1
1 1 2 2
0 0 2 21 0 0 2 2 2 2 0 0
0 0 2 2
1 1 0 02 1 1 0 0 0 0 1 1
1 1 0 0
a b a bA a b a b
b a a bA b a a b
a b b aA a b b a
− −= = − α −β − − α −β
α −β α −β
− −= = − α −β − − β −α
β −α α −β
− −= = − β −α − − α −β
α −β β −α
1818
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
0 0 2 2 2 2 0 011
1 1 2 2 2 2 1 1
1 1 0 0 0 0 1 122
1 1 2 2 2 2 1 1
1 0 1 1 2 2 2 0 1 1 2 2
b a a bAP
A a b a b
a b b aAP
A a b a b
Q a a P a P ve Q P P
∗
∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
− α −β − − β −α= =
− α −β − − α −β
− β −α − − α −β= =
− α −β − − α −β
= + + = α + α + α
Bu modeli çözerken, öncelikle denge fiyatlarını eşanlı olarak
(matris biçimiyle) çözdük, ardından arz-talep miktarlarını
belirledik. Modelin tümünü matris biçimde ifade ederek, tüm
denge miktar ve fiyatları aynı anda belirleyebiliriz. Bunun için
modeli Q ’ları da içerecek şekilde matris biçiminde yazalım.
1919
2020
1 1 1 2 2 2
1 0 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 0
1 0 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 0
2 0 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 0
2 0 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 0
0
0
0
0
d s d sQ Q Q ve Q Q Q
Q a a P a P Q Q a P a P a
Q b b P b P Q Q b P b P b
Q P P Q Q P P
Q P P Q Q P P
= = = =
= + + → + − − =
= + + → + − − =
= α + α + α → + − α − α = α
= β + β + β → + −β −β = β
2121
( ) ( )
01 2 1
01 2 2
01 2 1
01 2 2
1 21 2 1 2
3 2 4 21 21 2 1 2
1 21 2 1 2
1 2
1 01 00 10 1
1 01 1
1 01 1 1 1
0 10 0
0 1
aa a Qbb b Q
PP
a aa a a a
b bA b b b b+ +
− − ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ α−α −α⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥β−β −β⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− −− − − −
− −= = − − − + − − −
−α −α−β −β −α −α
−β −β
2222
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 11 2 2 1 1 2 2 1
1 1 2 11 2 2 1 1 2 2 1
2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1
1 1
1 1
A b b a a
b b a a
A a a b b
+ +
+ +
⎡ ⎤= − − β − β + − β − β +⎣ ⎦
⎡ ⎤− α − α + − α − α⎣ ⎦
= β + α − α + β + β + α − β + α
2323
( )
( )
01 2 1
01 2 2
01 2 1
01 2 2
0 1 20 1 2
3 20 1 21 0 1 2
0 1 20 1 2
0 1 2
0 1 24 2
0 1 2
0 1 2
1 01 00 10 1
00
111
1
aa a Qbb b Q
PP
a a aa a a
b b bA b b b
a a ab b b
+
+
− − ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ α−α −α⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥β−β −β⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− −− −
− −= = − − −α −α −α
β −β −ββ −β −β
− −+ − − −
α −α −α
2424
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 1 3 11 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1
1 1 2 1 3 10 1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1
1 0 1 2 2 2 1 1 0 2 2 2 1 1 1
0 1 2 2 1 0 1 2 2 1
1 1 1
1 1 1
A a b b b a a a b a b
a b b b a a a b a b
A a b b b a a
a b a b a b a b
+ + +
+ + +
⎡ ⎤=− − β − β + − β − β +β − −⎣ ⎦
⎡ ⎤+ − α − α + − α − α +α − −⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= α −β − α −β + α +β − α +β⎣ ⎦ ⎣ ⎦
+ α − +β −
2525
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 1 2 2 2 1 1 0 2 2 2 1 1 1
0 1 2 2 1 0 1 2 2 111
2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1
32 42 1 2, ,
a b b b a a
a b a b a b a bAQ
A a a b b
AA AQ P P
A A A
∗
∗ ∗ ∗
⎡ ⎤ ⎡ ⎤α −β − α −β + α +β − α +β⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ α − +β −
= =β +α − α +β + β +α − β +α
= = =
2626
ÖÖrnek 1:rnek 1:
1 1 2
1 1
2 1 2
2 2
10 2
2 3
15
1 2
d
s
d
s
Q P P
Q P
Q P P
Q P
= − +
= − +
= + −
= − +
1. piyasa
2. piyasa
2727
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
0 2 10
0 3 0 2
0 15
0 0 2 1
d s d sQ Q Q ve Q Q Q
Q Q P P
Q Q P P
Q Q P P
Q Q P P
= = = =
+ + − =
+ − + = −
+ − + =
+ + − = −
2828
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
2
1
2
3 2 4 2
3 3 1 1 2 1
1 0 2 1 101 0 3 0 20 1 1 1 150 1 0 2 1
1 0 2 11 2 1 1 2 1
1 0 3 01 1 3 0 1 1 3 0
0 1 1 10 0 2 0 1 1
0 1 0 2
1 2 3 2 1 2 1 11 43
Q
A
QPP
A + +
+ + +
− ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
−− −
−= = − − + − −
−− −
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − − − − + − − + − − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −
2929
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2 4 21
2 1 2 2
2 2 2 2
1
10 0 2 110 2 1 10 2 1
2 0 3 01 2 3 0 1 2 3 0
15 1 1 11 0 2
128
15 1 11 1 0 2
1 2 4 1 3 21
1 2 1 1 3 25
A
A + +
+ +
+ +
−− −
− −= = − − − + − − − −
−− − −
− −
⎡ ⎤= − − − − + − − −⎣ ⎦
⎡ ⎤+ − − − + − − =⎣ −⎦
3030
1
32 42 1
1
2
12814
85 26 46, ,7 7 7
647
AA
AA
Q
AQ P P
A A A∗
∗
∗ ∗
−= = =
−
= = = = = =
Yukarıda incelediğimiz piyasa modeline benzer şekilde,
Keynesyen bir basit makro model dikkate alalım ve bu modeli
her iki yöntemle de çözelim.
3131
0 0
0
Y C I G
C C cY
= + +
= +
İlk olarak yerine koyma yöntemini kullanarak denge ulusal gelir
ve denge tüketim düzeylerini belirleyelim.
3232
0 0
0
Y C I G
C C cY
= + +
= +
( )
( )
0 0 0
0 0 01
1
C C c C I G
C C c I Gc
∗
= + + +
⎡ ⎤= + +⎣ ⎦−
0 0Y C I G= + +
( )
( )
0 0 0 0 0
0 0 0
11
11
Y C c I G I Gc
Y C I Gc
∗
⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦−
= + +−
3333
Şimdi bu modeli matris işlemlerini kullanarak çözelim.
0 0
0
Y C I G
C C cY
= + +
= +
0 0
0
Y C I G
cY C C
− = +
− + =
0 0
0
1 1
1
I GY
Cc C
+− ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A
3434
Cramer yöntemiyle ulusal gelir ve tüketim denge değerlerini
belirleyelim.
( )
( )
0 0
1 0 0 0
0
0 0
2 0 0 0
0
0 0 01 20 0 0
11 11
11
1
1 1
I GA c A C I G
Cc
I GA C c I G
c C
C c I GA AC I GY C
A c A c∗ ∗
+ −−= = − = = + +−
+= = + +−
+ ++ += = = =
− −
3535
Matrisler ve VektMatrisler ve Vektöörler:rler:
Genel olarak n değişkenli, m sayıda denklemli bir doğrusal
denklem sistemini şöyle yazabiliriz:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
.....
.....
................................................
.....
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x d
a x a x a x d
a x a x a x d
+ + + =
+ + + =
+ + + =
Yukarıdaki genel doğrusal denklem sisteminin üç temel öğesi
vardır:
aij katsayıları kümesi
xj değişkenler kümesi
di sabit terimler kümesi
Bu öğeleri matris biçimde şöyle ifade edebiliriz:
3636
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn n m
a a a x d
a a a x dA x d
a a a x d
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3737Örneğin aşağıdaki doğrusal denklem sistemini, matris biçimde
ifade edelim.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2
3
6 3 22
4 2 12
4 5 10
6 3 1 22
1 4 2 12
4 1 5 10
x x x
x x x
x x x
x
x ya da Ax d
x
+ + =
+ − =
− + =
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
A x d
Bir matriste bulunan sütun ve sıra sayısı, matrisin boyutunu
belirler. Yukarıda genel olarak yazdığımız doğrusal denklem
sistemi m tane sıraya, n tane de sütuna sahiptir. Dolayısıyla bu
denklem sisteminden oluşan katsayılar matrisi (A), mxn
boyutundadır. Katsayılar matrisinde yer alan her bir elemanı, aij
ile gösteriyoruz. i satır sayısını, j sütun sayısını ifade
etmektedir. Satır ve sütun sayısının eşit olduğu matrise, kare kare
matrismatris diyoruz.
3838
3939
Yalnızca bir sütuna sahip matrise, vektvektöörr diyoruz. Örneğin x ve
d, birer vektördür. x ’in boyutu nx1, d ’nin boyutu mx1 ’dir.
1
2
1 2 ... n
n
x
xx x x x x
x
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ′= =⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
4040
Matrislerde EMatrislerde Eşşitlikitlik
İki matris ancak ve ancak aynı boyuta sahiplerse ve karşılıklı
elemanları özdeş ise eşittirler.
4 3 4 3 2 0
2 0 2 0 4 3
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ≠⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Matrislerde Toplama ve Matrislerde Toplama ve ÇÇııkarmakarma
İki matris ancak ve ancak aynı boyuta sahiplerse
toplanabilirler. Çıkarma işlemi de aynı özelliklere sahiptir.
4141
11 12 13 11 12 13 11 11 12 12 13 13
21 22 23 21 22 23 21 21 22 22 23 23
a a a b b b a b a b a b
a a a b b b a b a b a b
+ + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ija⎡ ⎤⎣ ⎦ ijb⎡ ⎤⎣ ⎦ ijc⎡ ⎤⎣ ⎦
4242ÖÖrnek 2:rnek 2:
0 5 3 1 3 6
3 1 0 7 3 6
1 4 1 2 2 2
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ÖÖrnek 3:rnek 3:
0 5 3 1 3 4
3 1 0 7 3 8
1 4 1 2 0 6
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
4343
Matrislerde Matrislerde SkalerSkaler ÇÇarparpıımmıı
Bir matrisi bir sayı (skaler) ile çarpma işlemi, bu matrisin her
bir elemanı bu skaler ile çarpılarak yapılır.
11 12 11 12
21 22 21 22
3 1 21 77 0 5 0 35
a a ka kak a a ka ka⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
4444Matrislerde Matrislerde ÇÇarpmaarpma
İki matrisin çarpımın yapılabilmesi için, ilk yazılan matrisin
sütun sayısının ikinci matrisin satır sayısına eşit olması gerekir.
11 12
11 12 13 11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 32
21 22
21 22 23 21 11 22 21 23 31 21 12 22 22 23 32
31 32
b ba a a a b a b a b a b a b a b
b ba a a a b a b a b a b a b a b
b b
⎡ ⎤⎢ ⎥ + + + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
A B C
1
1, 2, .....,1, 2, .....,
n
ij ik kjk
i mc a b
j n=
=⎛ ⎞= ⎜ ⎟=⎝ ⎠∑
4545
ÖÖrnek 4:rnek 4:
1 25 1 0 5 1 0 10 1 0 6 9
1 11 3 2 1 3 6 2 3 4 8 9
3 2
⎡ ⎤⎢ ⎥− + + − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥− = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − + + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦
ÖÖrnek 5:rnek 5:
1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
6 3 1 6 31 4 2 4 24 1 5 4 5
x x x xx x x xx x x x
+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− = + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
VektVektöörlerde rlerde ÇÇarpmaarpma
mx1 boyutlu u sütun vektörü ile 1xn boyutlu v′ satır vektörünün
çarpımı, mxn boyutlu bir matris verir.
4646
[ ]
11
2111 12 1
1
11 11 11 12 11 111
21 21 11 21 12 21 111 12 1
1 1 11 1 12 1 1
, ......
...
......... ... ... ... ...
...
3 , 1 4 52
n
m
n
nn
m m m m n
aau v b b b
a
a b a a a baa a b a b a buv b b b
a a b a b a b
u v uv
⎡ ⎤⎢ ⎥
′= = ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
′ = = ⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ′ ′= = → =⎢ ⎥⎣ ⎦3(1) 3(4) 3(5)2(1) 2(4) 2(5)
3 12 152 8 10uv
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤′ = ⎢ ⎥⎣ ⎦
Birim MatrisBirim Matris
Ana köşegen elemanlarının 1, diğer elemanlarının da 0 olduğu
kare matrise, birim matrisbirim matris diyoruz.
4747
2 3
1 0 01 0
0 1 00 1
0 0 1
I I
⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
4848
1 2 3
2 0 3
1 0 1 2 3 1 2 3
0 1 2 0 3 2 0 3
1 0 01 2 3 1 2 3
0 1 02 0 3 2 0 3
0 0 1
IA AI A
A
IA A
AI A
= =
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
4949BoBoşş MatrisMatris
Tüm elemanlarının sıfır olduğu matrise, boboşş matrismatris diyoruz.
0 0 0 0 00 0
0 0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
A A A
A ve A
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
+ = + =
= =
5050
Devrik (Devrik (TransposeTranspose) Matris) Matris
Bir matrisin satırlarının sütunlara ve sütunlarının da satırlara
dönüştüğü matrise, devrik matrisdevrik matris diyoruz.
11 21
11 12 13
12 22
21 22 23
13 23
a aa a a
A A a aa a a
a a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤
′ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ → =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
5151
Devrik Matrislerin Devrik Matrislerin ÖÖzelliklerizellikleri
( )
( )
( )
A A
A B A B
AB B A
′′ =
′ ′ ′+ = +
′ ′ ′=
5252
Ters MatrisTers Matris
Bir matris kare matris ise tersi alınabilir. Bir A matrisinin tersini
A-1 biçiminde gösteririz. Bir A kare matrisinin, tersiyle çarpımı
birim matrise eşittir.
1 1AA A A I− −= =
5353
Ters Matrislerin Ters Matrislerin ÖÖzelliklerizellikleri
( )
( )
( ) ( )
11
1 1 1
1 1
A A
AB B A
A A
−−
− − −
− −
=
=
′′ =
5454
Ters Matris ve DoTers Matris ve Doğğrusal Denklem Sisteminin rusal Denklem Sisteminin ÇöÇözzüümmüü
1 1 1
1
A x d
A A x A d Ix A d
x A d
− − −
−
=
= → =
=
5555
Bir Matrisin Tekil Olmama KoBir Matrisin Tekil Olmama Koşşullarullarıı
Bir matrisin tersinin alınabilmesi için, kare matris olmasının
yanında tekil olmama koşulunu da sağlaması gerekir. Bir kare
matrisin satırları ya da sütunları arasında bir doğrusal
bağımlılık yoksa, buna tekil olmayan kare matris diyoruz. Bu tür
bir matrisin tersi alınabilir. Aşağıdaki gibi bir A kare matrisini
dikkate alarak, tekil olmama koşuluna bakalım.
5656
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
(1x )1
...
...
... ... ... ... ...
...
0
n
n
n n nn n
n
i i ni
a a a v
a a a vA
a a a v
k v=
′⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥
′⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥′⎣ ⎦ ⎣ ⎦
′ =∑
5757ÖÖrnek 6:rnek 6:
[ ] [ ] [ ]
[ ]
1
2
3
(1x )1
1 2 3
3 4 5
0 1 2
6 8 10
0
2 0 6 8 10 0 0 0 6 8 10
0 0 0
n
i i ni
v
A v
v
k v
v v v
=
′⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥′⎢ ⎥⎢ ⎥= =
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ′⎣ ⎦ ⎣ ⎦
′ =
′ ′ ′+ − = + −
=
∑
5858
Determinant Yoluyla Tekil OlmamanDeterminant Yoluyla Tekil Olmamanıın Sn Sıınanmasnanmasıı
Bir A kare matrisinin determinantı sıfıra eşitse, o matris
tekildir. Bu durumda A matrisinin tersi belirlenemez. Bir A
matrisinin determinantının nasıl bulunacağını, basit bir 2x2
matristen başlayarak görelim.
5959
( ) ( )
( ) ( )
11 12
21 22
11 12 1 1 1 211 22 12 21 11 22 12 21
21 22
1 1
10 410 5 4 8 18
8 5
a aA
a a
a aA a a a a a a a a
a a
A
+ +
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
= = − + − = −
⎡ ⎤= = − =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 12 13
22 23 21 231 1 1 221 22 23 11 12
32 33 31 33
31 32 33
21 221 313
31 32
11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31
1 1
1
a a a
A a a a
a a a
a a aa a a a
A a a a a aa a a a
a a a
a aa
a a
A a a a a a a a a a a a a a a a
+ +
+
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
= = − + −
+ −
= − − − + −
6060
6161
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 2 1 3
2 1 3
4 5 6
7 8 9
2 1 35 6 4 6 4 5
4 5 6 1 2 1 1 1 38 9 7 9 7 8
7 8 9
2 45 48 36 42 3 32 3 95
A
A
A
+ + +
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
= = − + − + −
= − − − + − −=
6262n n x x nn matrisine genellematrisine genelleşştirme:tirme:
( ) ( ) ( )
( )
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
1 1 1 2 111 11 12 12 1 1
11 1 1 1
1 1
... ...
... ...
... ... ... ... ... ... ... ...
... ...
1 1 ..... 1
1 ,
n n
n n
n n nn n n nn
nn n
n nj
j j j jj j
a a a a a a
a a a a a aA A
a a a a a a
A a M a M a M
A a M A a C
+ + +
+
= =
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= → =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
= − + − + + −
= − =∑ ∑
6363
( ) ( ) ( )
( )
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
1 2 2 2 212 12 22 22 2 2
22 2 2 2
1 1
... ...
... ...
... ... ... ... ... ... ... ...
... ...
1 1 ..... 1
1 ,
n n
n n
n n nn n n nn
nn n
n ni
i i i ii i
a a a a a a
a a a a a aA A
a a a a a a
A a M a M a M
A a M A a C
+ + +
+
= =
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= → =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
= − + − + + −
= − =∑ ∑
6464
ÖÖrnek 8:rnek 8:
1 2 3 0 1 2 3 0
4 1 1 5 4 1 1 5
3 2 0 4 3 2 0 4
8 3 1 5 8 3 1 5
A A
− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥= → =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
6565
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 3 2 3
3 3 4 3
4 1 5 1 2 0
1 3 3 2 4 1 1 3 2 4
8 3 5 8 3 5
1 2 0 1 2 0
1 0 4 1 5 1 1 4 1 5
8 3 5 3 2 4
A + +
+ +
− −
= − + −
− −
− −
− − + − −
−
6666
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 1 3 2 3 3
1 3 2 3 3 3
1 3 2 3 3 3
1 5 4 5 4 13 1 8 1 3 1 5
2 4 3 4 3 2
3 2 1 2 1 21 0 1 4 1 5
8 3 8 3 3 2
4 1 1 2 1 21 0 1 5 1 4
3 2 3 2 4 1
A + + +
+ + +
+ + +
⎡ ⎤− −⎢ ⎥= − + − + − −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤− −⎢ ⎥− − + − + − −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤− − −⎢ ⎥− − + − + −⎢ ⎥−⎣ ⎦
6767
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 8 14 3 1 5 11 4 19 5 8
5 8 4 7
382
A
A
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − + − − − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤− − +⎣ ⎦
= −
6868ÖÖrnek 9:rnek 9:
1 2 3
1 2 3
2 3
7 3 3 7
2 4 7
2 3 2
x x x
x x x
x x
− − =
+ + =
− − =
denklem sisteminin çözümü tek midir?
Bu soruya yanıt verebilmek için, bu sistemin katsayılar
matrisinin determinantının sıfırdan farklı olup olmadığına
bakarız.
6969
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1
7 3 3
2 4 1
0 2 3
1 (7) 12 2 1 (2) 9 6 76 0
A
A + +
− −
=
− −
= − − + + − − = − ≠
A matrisinin determinantı sıfırdan farklı olduğundan, denklem
sistemindeki tüm içsel değişkenlerin tek çözümü vardır.
7070Ters Matrisin BulunmasTers Matrisin Bulunmasıı
Bir matrisin tersi bulunurken, şu işlemler yapılır.
1. Tersi bulunacak matris bir kare matris olmalıdır.
2. Kare matris tekil olmamalıdır. Yani determinantı sıfırdan
farklı olmalıdır.
3. Matrisin kofaktör matrisi bulunarak, devriği determinantına
oranlanır.
Yukarıdaki aşamaları, bir örnek A matrisle görelim. Bunun için
öncelikle kofaktör kavramını inceleyelim.
7171KofaktKofaktöörr
( )
( ) ( )
11 12 1
21 22 2
1 2
22 23 2
32 33 31 1 1 111 11
2 3
...
..., 1
... ... ... ...
...
...
...1 1
... ... ... ...
...
n
n i jij ij
n n nn
n
n
n n nn
a a a
a a aA C M
a a a
a a a
a a aC M
a a a
+
+ +
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
= − = −
7272
( ) ( )
( ) ( )
21 23 2
31 33 31 2 1 212 12
1 3
12 13 1
32 33 32 1 2 121 21
2 3
...
...1 1
... ... ... ...
...
...
...1 1
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
n
n
n n nn
a a a
a a aC M
a a a
a a a
a a aC M
a a a
+ +
+ +
= − = −
= − = −
7373
11 12 1
21 22 2
1 1
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
C C C
C C CC
C C C
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
7474ÖÖrnek 10:rnek 10:
Aşağıdaki A matrisinin, kofaktör matrisini bulalım.
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 211 11 12 12
1 3 3 313 13 33 33
1 4 3
2 0 1
3 1 5
0 1 2 11 , 1
1 5 3 5
2
1 7
20 1 4
1 , 13 1
82 0
A
C M C M
C M C M
+ +
+ +
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
− −= − = = = − = − =
−
= − = = = − = =−
−
−
7575
0 1 2 1 2 0
1 5 3 5 3 1
4 3 1 3 1 4
1 5 3 5 3 1
4 3 1 3 1 4
0 1 2 1 2 0
C
⎡ ⎤− −⎢ ⎥−⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= − −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
−⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
7676
1 7 2
17 14 13 21
4 7 8
1 17 4
7 14 7
2 13 8
C ve A
C
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= − − = −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
− −⎡ ⎤⎢ ⎥
′ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
7777
1 1
1
1 17 41 1 7 14 7
212 13 8
1 17 421 21 21
7 14 721 21 21
2 13 821 21 21
A C AA
A
− −
−
− −⎡ ⎤⎢ ⎥
′ ⎢ ⎥= → = −− ⎢ ⎥
⎢ ⎥− −⎣ ⎦
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
7878CramerCramer KuralKuralıı
1
111 21 11
212 22 22
1 2
1
...
...1
...... ... ... ......
...
n
n
nn n nnn
Ax d x A d x C dA
dC C Cx
dC C Cx
A
dC C Cx
∗ − ∗
∗
∗
∗
′= → = → =
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 11 2 21 11
1 12 2 22 22
1 1 2 2
11
1
21
...
...1
...............................................
...
1
...
n n
n n
n n n nnn
n
i ii
ii
n
d C d C d Cx
d C d C d Cx
A
d C d C d Cx
d Cx
dx
A
x
∗
∗
∗
=∗
∗
=
∗
⎡ ⎤⎡ ⎤ + + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ + + +⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ 1 11
2 221
1 1
1
1
........... .........
1
n
i ii
nn
i iii
n n
i in n i ini i
x d CA
x d CCA
d C x d CA
∗
=
∗
=
∗
= =
⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎣ ⎦
∑
∑∑
∑ ∑
7979
8080
1 1 2 21 1 1
11
11
22 22
, , ..........,
1
....................... 1, 2, .....,
n n n
i i i i i in ni i i
jj
nnn
n
d C A d C A d C A
Ax
AAx
A AA xx xA A
Aj n
AxA
xA
= = =
∗
∗
∗∗ ∗
∗
∗
= = =
=
⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ = =⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦=
∑ ∑ ∑
8181
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
... ...
... ...1
... ... ... ... ... ...
... ...
n
njj
n n n nn
a a d a
a a d aAx
A A
a a d a
∗ = =
j. sütunun yerine d vektörü geldi.
8282ÖÖrnek 11:rnek 11:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
7 0
10 2 8
6 3 2 7
x x x
x x x
x x x
− − =
− + =
+ − =
denklem sisteminin çözümünü yapalım.
8383
1
2
3
7 1 1 0
10 2 1 8
6 3 2 7
Ax d
x
x
x
=
− − ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
A x d
8484
1
2 3
7 1 1 0 1 1
10 2 1 61 8 2 1 61
6 3 2 7 3 2
7 0 1 7 1 0
10 8 1 183 10 2 8 244
6 7 2 6 3 7
A A
A A
− − − −
= − = − = − = −
− −
− −
= = − = − = −
−
8585
11
22
33
61 161
183 361
244 461
Ax
A
Ax
A
Ax
A
∗
∗
∗
−= = =
−
−= = =
−
−= = =
−
8686ISIS--LM ModeliLM Modeli
Matris işlemlerinin ekonomi uygulamasında IS-LM modelini
inceleyelim. Bu model mal piyasaları (reel kesim) ve para
piyasasından (parasal kesim) oluşmaktadır. Reel kesimde
ulusal gelir tüketim, yatırım ve kamu harcamaları tarafından
belirlenmekte; parasal kesimde para arz ve talep dengesi, bir
yandan para arzı merkez bankası tarafından dışsal olarak, diğer
yandan para talebi de işlem amaçlı ve spekülatif amaçlı olarak
içsel biçimde belirlenmektedir. Amacımız, her iki kesimi de
dengede tutacak olan ulusal gelir, tüketim, yatırım düzeylerinin
ve faiz oranının belirlenmesidir.
8787Modelin denklemleri ve kısıtlamaları şöyledir:
0 0
0
0
(1 )
, 0
0 1 , 0 1
0
Y C I G M L
C C c t Y M M
I I e r L fY gr
G G f g
c t
e
= + + =
= + − =
= − = −
= >
< < < <
>
Reel KesimReel Kesim Parasal KesimParasal Kesim
8888
Bu modelin içsel değişkenleri Y, C, I ve r ; dışsal değişkenleri C0,
I0, G0 ve M0 ’dır. Modeli bir bütün olarak oluşturduktan sonra,
matris biçime dönüştürebilmek için içsel değişkenleri eşitliğin
sol yanına, dışsal değişkenleri de sağ yanına toparlarız.
0 0
0 0
0 0
0 0
0
(1 ) (1 ) 0 0
0 0
0 0
Y C I G Y C I r G
C C c t Y c t Y C I r C
I I er Y C I er I
fY gr M fY C I gr M
= + + − − + =
= + − − − + + + =
= − + + + =
− = + + − =
8989
0
0
0
0
1 1 1 0
(1 ) 1 0 0
0 0 1
0 0
GY
Cc t C
Ie I
Mf g r
− − ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A x d
31 2 4, , ,AA A A
Y C I rA A A A
∗ ∗ ∗ ∗= = = =
9090
0
01
0
0
0
0
1
0
0
1 1 0
1 0 01
0 1
0 0
1 1 01 1 1 0
1 0 0(1 ) 1 0 0,
0 10 0 1
0 00 0
G
CAY
A A I e
M g
G
Cc tA A
I ee
M gf g
∗
− −
= =
−
− −− −
− −= =
−−
9191
( ) ( ) ( ) ( )1 3 3 3
1 1 1 0
(1 ) 1 0 0
0 0 1
0 0
(1 ) 1 0 1 1 0
1 1 0 0 1 1 (1 ) 1 0
0 0
c tA
e
f g
c t
A e c t
f g f g
+ +
− −
− −=
−
− − −
= − − + − − −
− −
9292
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]( )
1 2 3 30 1 11 1 1
(1 ) 1
1 (1 )
eA g
f g c t
A ef g c t
+ +−
= − − + − −− − −
= − + − −
9393
( ) ( ) ( ) ( )
0
0
1
0
0
0
2 1 2 21 0 0
0
1 1 0
1 0 0
0 1
0 0
1 1 0 1 0
1 0 1 1 1 1
0 0 0
G
CA
I e
M g
G
A C e I e
g M g
+ +
− −
=
−
− − −
= − + −
− −
9494
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 11 0
03 1 3 30
0
1 0 0 0 0 0 0 0 0
11 1
0
11 01 1
11
eA C
g
GM g
Ie
A gC eM g I G eM g C I G
+
+ +
= − − −−
⎛ ⎞−−⎜ ⎟+ − + − −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤= − − − + = − + + +⎣ ⎦
9595
( )[ ]( )
( )[ ]
0 0 0 01
0 0 0 0
1 (1 )
1 (1 )
eM g C I GAY
A ef g c t
eM g C I GY
ef g c t
∗
∗
⎡ ⎤− + + +⎣ ⎦= =− + − −
+ + +=
+ − −
9696ŞŞekil 2.2. ISekil 2.2. IS--LM ModeliLM Modeli
•
*Y
*r
r
Y
LM
IS
E
0
Dışsal değişkenlerde meydana gelebilecek değişmelerin, denge
gelir düzeyi (Y*), tüketim düzeyi (C*), yatırım düzeyi (I*) ve
faiz oranı (r*) üzerindeki etkilerini, karşılaştırmalı durağanlık
analiziyle görebiliriz.
Örneğin para arzını artıran bir para politikasının, ulusal gelir
denge düzeyini nasıl etkileyebileceğine bakalım. Bunun için,
matris işlemleriyle çözümünü yaptığımız ulusal gelir denge
değerinin, para arzı değişkenine (M0) göre türevini alırız.
9797
9898
( )[ ]
[ ]
0 0 0 0
0
1 (1 )
01 (1 )
eM g C I GY
ef g c t
Y eM ef g c t
∗
∗
+ + +=
+ − −
∂= >
∂ + − −
( )+
( )+ ( )+ ( )+
9999ŞŞekil 2.3. ISekil 2.3. IS--LM Modelinde Para PolitikasLM Modelinde Para Politikasıı
•
*0Y
*0r
r
Y
0LM
IS
0E
1LM
*1r
*1Y
1E•
Ya da vergi oranını azaltan bir maliye politikasının, ulusal gelir
denge düzeyini nasıl etkileyebileceğine bakabiliriz. Bunun için,
matris işlemleriyle çözümünü yaptığımız ulusal gelir denge
değerinin, ortalama gelir vergisi oranına (t ) göre türevini alırız.
100100
101101
( )[ ]
( )( ) ( )[ ]( )
0 0 0 0
0 0 0 02
1 (1 )
01 (1 )
eM g C I GY
ef g c t
eM g C I G gcYt ef g c t
∗
∗
+ + +=
+ − −
− + + +∂= <
∂ + − −
102102ŞŞekil 2.4. ISekil 2.4. IS--LM Modelinde Maliye PolitikasLM Modelinde Maliye Politikasıı
(Vergi Oran(Vergi Oranıındaki Azalndaki Azalışış))
•
*0Y
*0r
r
Y
LM0IS
0E
*1r
*1Y
1IS
1E•
103103ISIS--LM Modeli LM Modeli İİççin Sayin Sayıısal sal ÖÖrnek:rnek:
Bir ekonomi için şu bilgilere sahip olduğumuzu düşünelim:
Marjinal tüketim eğilimi, 0.75; ortalama gelir vergisi oranı,
0.30; yatırımların faize olan duyarlılık katsayısı, 60.0; işlem
amaçlı para talebi katsayısı, 0.20; spekülatif amaçlı para talebi
katsayısı, 50; kamu harcamaları, 1000; otonom tüketim
harcamaları, 600; otonom yatırım harcamaları, 1200; para arzı,
700.
Bu ekonomini denge ulusal gelir düzeyi, tüketim düzeyi, yatırım
düzeyi ve faiz oranını belirleyelim.
104104Modeli, yukarıdaki verileri dikkate alarak yeniden yazalım.
( )
0 0 0 0
0
0
0
0
0.75 , 0.30 , 60 , 0.20 , 50
1000 , 600 , 1200 , 700
1000
1 600 0.75(1 0.3)
1200 60
0.2 50 700
c t e f g
G C I M
Y C I G Y C I
C C c t Y C Y
I rI I er
Y rfY gr M
= = = = =
= = = =
= + + → = + +
= + − → = + −
→ = −= −
→ − =− =
105105
0 1000
0.525 0 0 600
0 0 60 1200
0.2 0 0 50 700
1 1 1 0 1000
0.525 1 0 0 600
0 0 1 60 1200
0.2 0 0 50 700
Y C I r
Y C I r
Y C I r
Y C I r
Y
C
I
r
− − − =
− + + + =
+ + + =
+ + − =
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
106106
1 1
1 1 1 0
0.525 1 0 035.75
0 0 1 60
0.2 0 0 50
1000 1 1 0
600 1 0 0182000
1200 0 1 60
700 0 0 50
A A
A A
− −
−= → = −
−
− −
= → = −
−
107107
1*
* * *
182000 5090.935.75
3272.7 , 818.2 , 6.36
AY
A
C I r
−= = =
−
= = =
Bu denge ulusal gelir düzeyinde yatırım-faiz esnekliği nedir?
( )*
*
6.3660 0.47818.2Ir Ir
I rr I∂
ε = = − → ε = −∂
108108Basit Bir Duopol ModeliBasit Bir Duopol Modeli
Bu uygulamada, iki firmanın yer aldığı ve homojen bir ürünün
üretildiği bir oligopol piyasa dikkate alalım. Amacımız, eşanlı
olarak her iki firmanın da kârını maksimize eden firma üretim
düzeylerinin ve dolayısıyla piyasa fiyatının belirlenmesidir.
Öncelikle her iki firma için kâr fonksiyonlarını kuralım, ikinci
aşamada kâr maksimizasyonu için birinci sıra koşulları elde
edelim ve denge üretim miktarları için çözelim.
109109
( )
( )
( )
1 2 1 2
1 1 1 1 2 1 1
2 2 2 1 2 2 2
, , , 0
, 1, 2i
P a bQ a b q q Q q q a b
TC cq i
Pq cq a b q q q cq
Pq cq a b q q q cq
= − = − + = + >
= =
⎡ ⎤π = − = − + −⎣ ⎦
⎡ ⎤π = − = − + −⎣ ⎦
Bu aşamada şöyle bir varsayım yapalım: ”Firmalar, rakibinin
üretim davranışını dikkate almadan kendi kârını maksimize
eden üretim düzeyini belirlemektedir”. Bu varsayıma, COURNOTCOURNOT
varsayımı diyoruz. Bu varsayıma dayalı duopol modeli,
COURNOT DUOPOL MODELCOURNOT DUOPOL MODELİİ olarak adlandırıl-maktadır.
Bu varsayımın matematik olarak anlamı şudur: Bir firma üretim
düzeyini değiştirirken, rakibinin üretim düzeyi kendisi için
dışsaldır (sabittir).
110110
111111
( )
11 2
1
21 2
2
1 2
2 0
2 0
a bq bq cq
a bq bq cq
P a b q q
∂π= − − − =
∂
∂π= − − − =
∂
= − +
112112
1 2
1 2
1 2
0 2
0 2
P bq bq a c
P bq bq a c
P bq bq a
+ + = −
+ + = −
+ + =
1
2
0 2
0 2
1
b b P a c
b b q a c
b b q a
−⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
113113
1
1
0 2 2
0 2 , 2
1
AP
A
b b a c b b
A b b A a c b b
b b a b b
∗ =
−
= = −
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 1 2
1 1 2 11
3 1
2 2 2 2 2 21
2 2 21
21 1 3
2
2 21 1
21
2
2 2 4
2 3 2
b bA b
b b
b b b bA a c a c
b b b b
b ba
b b
A a c b b a c b b a b b
A a c b a b a c b
+
+ +
+
= − =
= − − + − −
+ −
= − − + − − + −
= − − + = +
114114
115115
( )
( )
( )
21
2
1 2
1 2
23
2,
3 3
23D
A a c bP
A b
a c a cP q qb
a cQ q q
b
∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
+= = =
+ −= = =
−= + =
116116
Tam rekabet piyasası durumunda P fiyatı içsel değil, dışsal
(veri) olacaktır. Tam rekabetteki bir firmanın denge üretim
düzeyinde P=MC olacağını dikkate alalım ve tam rekabetçi
piyasanın toplam üreteceği miktarı belirleyelim.
C C
P MC
a ca bQ c Qb
=
−− = → =
117117
Piyasa tekel olsaydı:
22M M
MR MC
a ca bQ c Qb
=
−− = → =
Şimdi her üç piyasanın toplam üretim miktarlarını bir arada
yazalım:
( )2, ,
2 3M D C
a ca c a cQ Q Qb b b
−− −= = =
118118
Genel olarak, Cournot varsayımı altında piyasadaki firma
sayısıyla (n) toplam üretim miktarı (Q) arasındaki şu ilişkiyi
yazabiliriz:
( 1)n a cQ
n b−⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
Firma sayısı sonsuza giderse, toplam piyasa üretimi tam
rekabetçi piyasa üretimine yaklaşır:
lim lim( 1)n n
n a c a cQn b b→∞ →∞
⎡ ⎤− −⎛ ⎞= =⎢ ⎥⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎣ ⎦
L’Hospitalkuralınıuygulayarak
119119ŞŞekil 2.5. Cournot Duopol Modelinde Dengeekil 2.5. Cournot Duopol Modelinde Denge
MC
12MR a bq= −
( )1 2P a b q q= − +
••CP c=
DPMP
MQ DQ CQ
••
P
Q
AB
ME CE
Cournot varsayımı altında duopoldeki firmaların eşanlı
dengesini bir de tepki fonksiyonları adını verdiğmiz bir araçla ve
geometrik olarak görelim.
Tepki fonksiyonlarını, kâr maksimizasyonu birinci sıra
koşulundan elde ediyoruz.
11 2 1 2
1
21 2 2 1
2
12 02 2
12 02 2
a ca bq bq c q qq b
a ca bq bq c q qq b
∂π −= − − − = → = −
∂
∂π −= − − − = → = −
∂
120120120120
121121ŞŞekil 2.6. ekil 2.6. DuopoldeDuopolde CournotCournot--Nash DengesiNash Dengesi
•E
1 21
2 2a cq q
b−
= −
2 11
2 2a cq q
b−
= −
1. Firmanın tepki fonksiyonu:
2. Firmanın tepki fonksiyonu:2q∗
1q∗
2q
1q
Cournot-Nash Dengesi
122122
Cournot Duopol Modeli Cournot Duopol Modeli İİççin Bir Sayin Bir Sayıısal sal ÖÖrnek:rnek:
Şimdi yukarıdaki Cournot varsayımına dayalı duopol modeline
sayısal bir örnek yapalım. Piyasaya ve firmalara ilişkin talep ve
toplam maliyet fonksiyonları aşağıda verilmiştir. Bu
fonksiyonlardan yararlanarak, ilk olarak kâr fonksiyonlarını
oluşturalım ve birinci sıra koşulları elde edelim.
1 2100 2 , , , 0
5 , 1,2i
P Q Q q q a b
TC q i
= − = + >
= =
123123
( )
( )
( )
( )
1 1 1 1 2 1 1
1 1 2 1 1
2 2 2 1 2 2 2
2 1 2 2 2
100 2 5
100 2 5
Pq cq a b q q q cq
q q q q
Pq cq a b q q q cq
q q q q
⎡ ⎤π = − = − + −⎣ ⎦
⎡ ⎤π = − + −⎣ ⎦
⎡ ⎤π = − = − + −⎣ ⎦
⎡ ⎤π = − + −⎣ ⎦
124124
11 2
1
21 2
2
1 2
1 2
1 2
100 4 2 5 0
100 2 4 5 0
0 4 2 95
0 2 4 95
2 2 100
q qq
q qq
P q q
P q q
P q q
∂π= − − − =
∂
∂π= − − − =
∂
+ + =
+ + =
+ + =
125125
1
2
11 2
1
0 4 2 95
0 2 4 95
1 2 2 100
440 36.7 , 15.812
0 4 2 95 4 2
0 2 4 12 , 95 2 4 440
1 2 2 100 2 2
P
q
q
AP q q
A
A A
∗ ∗ ∗
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
= = = = =
= = = =
Yukarıda incelediğimiz duopol modeli Cournot varsayımına
dayanmaktaydı. Yani firmalar, rakiplerinin üretim miktarını veri
(dışsal) alarak kendi kârlarını maksimize etmeye çalışıyorlardı.
Şimdi bu varsayımı kaldıralım, yerine her bir firmanın rakibinin
üretim davranışını izlediğini ve buna tepki vererek kendi kârını
maksimize etmeye çalıştığı varsayımını getirelim.
Bu varsayım matematik olarak, kâr fonksiyonlarında kısmi
türevler alınırken, rakip firma üretim miktarını bir değişken gibi
dikkate almamızı gerektirir.
126126
127127
Yukarıdaki varsayım değişikliği dışında, modelimizin yapısı
önceki incelememizle aynıdır.
( )
( )
( )
1 2 1 2
1 1 1 1 2 1 1
2 2 2 1 2 2 2
, , , 0
, 1,2i
P a bQ a b q q Q q q a b
TC cq i
Pq cq a b q q q cq
Pq cq a b q q q cq
= − = − + = + >
= =
⎡ ⎤π = − = − + −⎣ ⎦
⎡ ⎤π = − = − + −⎣ ⎦
128128
Kâr maksimizasyonu için gereken birinci sıra koşulları
oluşturalım:
( )
( )
1 1 21 2 1
1 1 1
2 1 21 2 2
2 2 2
0
0
q qa b q q b q c
q q q
q qa b q q b q c
q q q
⎛ ⎞∂π ∂ ∂⎡ ⎤= − + − + − =⎜ ⎟⎣ ⎦∂ ∂ ∂⎝ ⎠
⎛ ⎞∂π ∂ ∂⎡ ⎤= − + − + − =⎜ ⎟⎣ ⎦∂ ∂ ∂⎝ ⎠
Amacımız, kârı maksimize eden üretim miktarları ve fiyatı aynı
anda belirlemektir. Bunu elde edebilmek için, üç bilinmeyen (q1,
q2, P) yanında üç denklem gereklidir. Denklemlerden ikisi birinci
sıra koşullardan, üçüncüsü de piyasa talep denkleminden
gelmektedir.
( )
( )
21 2 1
1
11 2 2
2
1 2
1 0
1 0
qa b q q b q c
q
qa b q q b q c
q
P a bq bq
⎛ ⎞∂⎡ ⎤− + − + − =⎜ ⎟⎣ ⎦ ∂⎝ ⎠
⎛ ⎞∂⎡ ⎤− + − + − =⎜ ⎟⎣ ⎦ ∂⎝ ⎠
= − −
129129
130130
21 2
1
11 2
2
1 2
0 2
0 2
q a cP q qq b
q a cP q qq b
aP q qb
⎛ ⎞∂ −+ + + =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
⎛ ⎞∂ −+ + + =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
+ + =
131131
2
1
11
2
2
0 2 1
0 1 2
1 1 1
q a cq bP
q a cqq b
q ab
⎡ ⎤∂ −⎡ ⎤+⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ =⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
132132
2
1
2 11
2
0 2 1
, 0 1 2
1 1 1
A qq A
A q∗
⎛ ⎞∂+⎜ ⎟∂⎝ ⎠
⎛ ⎞∂= = +⎜ ⎟∂⎝ ⎠
133133
12
2
0 1
0 2
1 1
a cb
qa cAb q
ab
−
⎛ ⎞∂−= +⎜ ⎟∂⎝ ⎠
134134
2 1 12
1 2 2
1
2 21
2 1
1 2
2 2 1 , 1
1
2 2 1
q q q a cA Aq q q b
q a cA q b
qA q q
q q
∗
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ −⎛ ⎞= + + − = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞∂ −⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠= =⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂
+ + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠
135135Şimdi üç firmalı (triopol) bir sayısal örneği yapalım. Firmaların
maliyetlerinin farklı olduğu varsayımını da ekleyelim. Piyasa
talep fonksiyonu, firmaların maliyet fonksiyonları ve
varsayımsal değişimler aşağıda verilmiştir.
1 1 2 2 3 3
3 31 1 2 2
2 3 1 3 1 2
100 2
2 , 5 , 10
1 , 0.5 , 0.8 , 0.5 , 1 , 1.2
P Q
TC q TC q TC q
q qq q q qq q q q q q
= −
= = =
∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= = = = = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
136136Kâr fonksiyonları:
( )
( )
( )
1 1 2 3 1 1
2 1 2 3 2 2
3 1 2 3 3 3
100 2 2
100 2 5
100 2 10
q q q q q
q q q q q
q q q q q
⎡ ⎤π = − + + −⎣ ⎦
⎡ ⎤π = − + + −⎣ ⎦
⎡ ⎤π = − + + −⎣ ⎦
137137
Kâr maksimizasyonu için birinci sıra koşullar:
( )
( )
( )
31 1 21 2 3 1
1 1 1 1
32 1 21 2 3 2
2 2 2 2
3 31 21 2 3 3
3 3 3 3
100 2 2 2 0
100 2 2 5 0
100 2 2 10 0
qq qq q q q
q q q q
qq qq q q q
q q q q
qq qq q q q
q q q q
⎛ ⎞∂∂π ∂ ∂⎡ ⎤= − + + − + + − =⎜ ⎟⎣ ⎦∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
⎛ ⎞∂∂π ∂ ∂⎡ ⎤= − + + − + + − =⎜ ⎟⎣ ⎦∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
⎛ ⎞∂π ∂∂ ∂⎡ ⎤= − + + − + + − =⎜ ⎟⎣ ⎦∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
138138
Varsayımsal değişim değerlerini ilgili yerlere yazalım:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 3 3
100 2 2 1 0.8 1 2 0
100 2 2 1 1 1.2 5 0
100 2 2 0.5 0.5 1 10 0
q q q q
q q q q
q q q q
⎡ ⎤− + + − + + − =⎣ ⎦
⎡ ⎤− + + − + + − =⎣ ⎦
⎡ ⎤− + + − + + − =⎣ ⎦
Talep denklemini de dikkate alarak, yukarıdaki denklemleri
düzenleyelim:
139139
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0 7.6 2 2 98
0 2 8.4 2 95
0 2 2 6 90
2 2 2 100
P q q q
P q q q
P q q q
P q q q
+ + + =
+ + + =
+ + + =
+ + + =
140140
Yukarıdaki denklemleri matris biçimde tanımlayalım:
1
2
3
0 7.6 2 2 98
0 2 8.4 2 95
0 2 2 6 90
1 2 2 2 100
P
q
q
q
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
4
0 7.6 2 2
0 2 8.4 2311.04
0 2 2 6
1 2 2 2
0 7.6 2 98
0 2 8.4 953067.2
0 2 2 90
1 2 2 100
A
A
= = −
= = −
141141
142142
43
321 2
1
3067.2 9.86311.04
8.47 , 6.94
49.4
Aq
A
AAq q
A A
AP
A
∗
∗ ∗
∗
−= = =
−
= = = =
= =
143143LeontiefLeontief GirdiGirdi--ÇÇııktktıı ModeliModeli
Wassily W. Leontief tarafından ortaya konulan girdi-çıktı
modeli, nihai talebin karşılanabilmesi için bir ekonomide yer
alan n tane sektörün her birinin ne kadar üretim yapması
gerektiğine yanıt vermektedir. sektörlerin bazıları, kendi
aralarında girdi alış-verişi yaparlar. Örneğin tekstil sektörü
mobilya, otomobil sektörleri gibi çok sayıda endüstriye girdi
sağlar. Aşağıda matris işlemlerini kullanarak bu modeli
anlatacağız. Öncelikle varsayımlarımızı belirleyelim ve bazı
kavramları tanıyalım.
144144
Varsayımlar:
Her bir sektör yalnızca bir türdeş mal üretmektedir.
Her bir sektörün çıktısını elde edebilmek için, girdiler sabit
bir oranda kullanılmaktadır.
Her bir sektör ölçeğe göre sabit getiriyle çalışmaktadır.
145145Girdi KatsayGirdi Katsayıılarlarıı Matrisi:Matrisi:
Girdi katsayıları matrisi, belirli bir ürünün bir liralık üretimi için,
diğer sektörlerden ne kadar girdi alması gerektiğini tanımlar.
aij , j. maldan bir birim üretmek için gerekeli olan i. girdi
miktarını göstermektedir.
Girdi-çıktı matrisinin her sütunu, belirli bir sektörün bir birim
üretim için ne kadar girdilere gereksinimi olduğunu gösterir.
Örneğin a23, üçüncü sektörün bir birim üretim yapabilmek için
ikinci sektörden ne kadar girdi alacağını gösterir. Kapalı model
durumunda sütun toplamı 1’e eşittir.
146146
ÇÇIKTIIKTIGGİİRDRDİİ
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
...
...
...
... ... ... ... ...
...
n
n
n
n n n nn
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ]...I II III N
...
I
II
III
N
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Bir sektör, girdi-çıktı sektörleri dışındaki bir sektörün çıktısına
da (örneğin işgücüne) gereksinim duyuyorsa, girdi-çıktı modeli
aaççıık modelek modele dönüşmüş olacaktır. Bu durumda ilgili sektörün bir
birimlik üretim için gereksindiği girdileri gösteren sütun toplamı
1’den küçük olur.
147147
11 , 1, 2, .....,
n
iji
a j n=
< =∑
148148
Şimdi her bir için toplam arz ve toplam talebi eşitleyerek
yazalım. Açık sektörün talebini de ( di ) dikkate alalım.
1 11 1 12 2 13 3 1 1
2 21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
.....
.....
...................................................................
.....
n n
n n
n n n n nn n n
x a x a x a x a x d
x a x a x a x a x d
x a x a x a x a x d
= + + + + +
= + + + + +
= + + + + +
149149Amacımız, her bir sektörün girdi gereksinimini tam olarak
karşılanması için sektörlerin denge üretim düzeylerini
belirlemektir. Yani x1, x2,…,xn için eşanlı çözüm yapacağız.
Bunun için, yukarıdaki denklemleri matris biçimine uygun
olarak düzenleyelim ve daha sonra ters matris yoluyla çözelim.
1 11 1 12 2 13 3 1 1
2 21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
.....
.....
...................................................................
.....
n n
n n
n n n n nn n n
x a x a x a x a x d
x a x a x a x a x d
x a x a x a x a x d
− − − − − =
− − − − − =
− − − − − =
150150
( )
( )
( )
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
1 .....
1 .....
.....................................................................
..... 1
n n
n n
n n n nn n n
a x a x a x a x d
a x a x a x a x d
a x a x a x a x d
− − − − − =
− + − − − − =
− − − − + − =
151151
( )
( )
( )
1 111 12 1
2 221 22 2
1 2
1 ...
1 ...
... ...... ... ... ...
... 1
n
n
n nn n nn
x da a a
x da a a
x da a a
⎡ ⎤− − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
152152
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
...1 0 0 0
...0 1 0 0
... ... ... ... ... ...0 0 1 0
...0 0 0 1
n
n
n n nn n n
a a a x d
a a a x d
a a a x d
⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠
AI x d
( )I A x d− =
153153
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 1
I
I A x d I A I A x I A d
Ix I A d x I A d
− −
− −
− = → − − = −
= − → = −
154154Leontief girdi-çıktı modeline sayısal bir örnek verelim ve
çözümü ters matris yoluyla yapalım. Ekonominin girdi-çıktı
matrisi ve nihai talep şöyledir:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
0.2 0.3 0.2
0.4 0.1 0.2
0.1 0.3 0.2
a a a
A a a a
a a a
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
1 2 110 , 5 , 6d d d= = =
155155
I II III0.2 0.3 0.2
0.4 0.1 0.2
0.1 0.3 0.2
A
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
0.7 0.7 0.60.3 0.3 0.4
156156
( ) 1x I A d−= −
( )
( )
1 0 0 0.2 0.3 0.2
0 1 0 0.4 0.1 0.2
0 0 1 0.1 0.3 0.2
0.8 0.3 0.2
0.4 0.9 0.2
0.1 0.3 0.8
I A
I A
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− = − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
157157Şimdi (I-A) matrisinin tersini bulalım.
( )( )
( )
1 1
0.8 0.3 0.2
0.4 0.9 0.2 0.384
0.1 0.3 0.8
I A CI A
I A
− ′− =−
− −
− = − − =
− −
158158
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 111 11 11
2 3 2 323 23 11
0.66 0.34 0.21 0.66 0.30 0.24
0.30 0.62 0.27 0.34 0.62 0.24
0.24 0.24 0.60 0.21 0.27 0.60
0.9 0.21 1 0.66
0.3 0.8
0.8 0.31 1 0.27
0.1 0.3
C C
C M C
C M C
+ +
+ +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥′= → =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
−= − → = − =
−
−= − → = − =
− −
159159
( )( )
( )
1
1
0.66 0.30 0.24
1 1 0.34 0.62 0.240.384
0.21 0.27 0.60
1.72 0.78 0.63
0.89 1.62 0.63
0.55 0.70 1.56
I A CI A
I A
−
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥′− = = ⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
160160
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1
2
3
1
2
1.72 0.78 0.63 10
0.89 1.62 0.63 5
0.55 0.70 1.56 6
1.72 10 0.78 5 0.63 6 24.84
0.89 10 1.62 5 0.63 6 20.68
x I A d
x
x
x
x
x
−
∗
∗
= −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
= + + =
= + + =
