Il percorso della luce I. Dagli specchi ustori alla fibra ottica

Primo Brandi - Anna Salvadori

Dipartimento di Matematica e Informatica

Università degli Studi di Perugia

Introduzione. Il 2015 è stato dichiarato dall'UNESCO Anno internazionale della Luce e delle

tecnologie basate sulla Luce. Luce e la Cultura è uno dei quattro temi ufficiali, a cui vorremmo

apportare un nostro modesto contributo con l'ottica della matematica.

Immagine UNESCO

La propagazione della luce ha incuriosito ed appassionato gli uomini fin dagli albori della civiltà. La

questione, strettamente collegata alla visione, interagisce con l’anatomia e la fisiologia umana e la sua

interpretazione in termini “scientifici” ha coinvolto nei secoli illustri filosofi e scienziati.

La modellizzazione matematica, nota come ottica geometrica, gioca un ruolo fondamentale per

l’interpretazione di alcuni fenomeni quali la riflessione, la rifrazione e la riflessione totale. Permette

inoltre di comprendere come si forma l'arcobaleno, di spiegare il miraggio di terra o di mare e avere

un'idea del principio su cui si basa la fibra ottica o una lente gravitazionale. Infine si presta ad

inaspettate applicazioni quali la progettazione degli scivoli per lo skateboarding o dei tiranti di un

ponte sospeso, lo studio della forma ottimale di un proiettile o della tessitura radiale presente nel

"cerchio limite" di Escher.

In questa nota affrontiamo lo studio della propagazione di una radiazione in mezzi omogenei, ovvero in

mezzi ad indice di rifrazione costante. Esso prende l'avvio dal Principio di Erone (I secolo a.C.)

secondo cui la luce si muove lungo traiettorie di minima lunghezza (geodetiche spaziali).

Da questo postulato discende facilmente la legge della riflessione su una qualunque superficie "liscia".

Il postulato di Erone entra presto in crisi in quanto "non coerente" con il fenomeno della rifrazione

(propagazione in due mezzi omogenei come aria-acqua).

Dopo il caparbio tentativo di Cartesio (1637) di trovare "una nuova via", l'intervento risolutivo si deve

a Férmat (1662) che, ispirandosi al principio di economia della natura, propone un rivoluzionario

cambiamento del punto di vista: la luce si muove lungo traiettorie ove breviori tempore percurri

possint.

Ovviamente in un unico mezzo omogeneo le due traiettorie di minimo spazio e di minimo tempo

coincidono.

Il principio di Férmat e la conseguente evoluzione dalle geodetiche spaziali a quelle temporali, opera

una svolta significativa per gli studi futuri, anche con implicazioni filosofiche rilevanti.

Nella seconda parte introdurremo un modello di ottimizzazione generale ed astratto che inquadra in

unico assetto sia le geodetiche spaziali che quelle temporali. Basato sul Calcolo di Newton, consente

di trattare una varietà di fenomeni che vanno ben oltre l'ottica geometrica.

2

1. Il fenomeno della riflessione e gli specchi (piani e curvi)

Gli specchi ustori di Archimede. L’uso degli specchi risale alla più remota antichità; i primi specchi

erano di rame o bronzo, successivamente di una lega di rame e alluminio. Nella valle del Nilo gli

archeologi hanno rinvenuto uno specchio in perfette condizioni che risale al 1900 a.C.

La caratteristica fondamentale degli specchi doveva essere quindi ben nota agli antichi. Aristofane

(450 a.C. circa – 388 a.C. circa) nella commedia Le nuvole (424 a.C.) fa riferimento agli specchi ustori

che, concentrando i raggi riflessi del sole in uno stesso punto, erano in grado di accendere un fuoco.

E’ quindi verosimile la leggenda secondo cui Archimede (287-212 a.C.) avrebbe adottato specchi

ustori come strumento di difesa della città di Siracusa dall’assedio romano durante la seconda guerra

punica.

Dai resoconti dello storico Plinio (23-79 a.C.) risulta che anche i Romani disponessero

successivamente di specchi ustori. Resti di specchi o sfere di cristallo che dovevano servire ad

accendere il fuoco sono stati rinvenuti in scavi archeologici (fra cui quelli di Pompei).

La propagazione della luce e la dinamica della visione hanno appassionato alcuni tra i più grandi

filosofi greci come Pitagora, Platone ed Aristotele, che hanno sviluppato diverse ipotesi sulla natura

della luce. L’indagine assunse un “indirizzo scientifico” ad Alessandria per opera di Euclide (IV-III

secolo a.C.) che, abbandonate le speculazioni filosofiche, fondò una trattazione geometrica della

questione.

Nel trattato in due parti Ottica e Catottrica1, Euclide crea il modello di raggio luminoso rettilineo,

fondamento dell’ottica geometrica: Tutto ciò che si vede, si vede secondo una direzione rettilinea.

Per primo dà una spiegazione razionale della formazione delle immagini negli specchi piani e sferici,

inoltre studia alcune questioni connesse alla propagazione della luce come ombre, immagini prodotte

attraverso piccole aperture, grandezze apparenti degli oggetti e loro distanza dall’occhio. Nell’ultima

proposizione della Catottrica si legge che con gli specchi concavi opposti al sole si può riuscire ad

accendere un fuoco.

Il principio di Erone.

Un’altra opera chiave nell’ottica geometrica è un breve trattato di Erone (I secolo a.C.), giunto a noi

soltanto in una versione latina, dove l’autore enuncia la legge della riflessione: dico che di tutti i raggi

incidenti dallo stesso punto e riflessi nello stesso punto sono minimi quelli che negli specchi (piani e

sferici) si riflettono ad angoli uguali.

L’autore sottointende il seguente principio di propagazione.

Principio (o postulato) di Erone. In un mezzo omogeneo la luce si propaga seguendo percorsi di

minima2 lunghezza ovvero seguendo curve geodetiche.

Immagine Erone

A partire da questo postulato si prova il seguente risultato.

Teorema (o legge) della riflessione. In un mezzo omogeneo ed isotropo, il raggio incidente, il raggio

riflesso e la perpendicolare alla superficie riflettente nel punto di incidenza giacciono in uno stesso

1 La Catottrica è attribuita da alcuni ad un autore posteriore.

2 In realtà i percorsi sono traiettorie localmente estremali o stazionarie, ovvero la lunghezza è minima o massima

rispetto a quelle delle traiettorie “vicine”.

3

piano. L'angolo che il raggio riflesso forma con la suddetta perpendicolare, detto angolo di riflessione, è

uguale a quello che il raggio incidente forma con la stessa perpendicolare, detto angolo di incidenza.

In sintesi

(Rl) sin sini r (legge della riflessione).

Dimostrazione. Sia assegnato un sistema di riferimento Oxy con l'asse delle ascisse coincidente con la sezione della superficie riflettente.

Fig.1 Denotato con 0, SS y la sorgente e con 1, BB y l'obiettivo, il problema consiste nell'individuare (se esiste) un punto 0 0,0X x sull'asse delle ascisse tale che

0 0 minX

SX X B SX XB E' intuitivo (e si può facilmente dimostrare) che è sufficiente considerare punti ,0X x con ascissa compresa nell'intervallo 0,1 . Esistenza ed unicità della soluzione. Indicato con "B il punto simmetrico di B rispetto all'asse delle ascisse (vedi figura) risulta

"SX XB SX XB

Fig.2

Poiché il segmento rettilineo è l'unica curva piana di minima lunghezza (geodetica) che unisce due

punti assegnati,

Fig.3

4

il punto 0X (detto punto di Erone) di intersezione del segmento "SB con l'asse delle ascisse soddisfa

la condizione

0 0 0 0 " min " minX X

SX X B SX X B SX XB SX XB .

Per costruzione gli angoli 0 0 0, ' ", 'S X O B X B BX B sono congruenti, quindi i r , da cui

sin sini r .

Fig.4

Calcolo del punto di Erone. Grazie alla similitudine fra i triangoli 0SOX e 0'BB X , possiamo

facilmente determinare la coordinata 0x del punto di Erone; risulta infatti

0 0 0: : 1 SS B

S B

yy x y x x

y y

.

Un contributo fondamentale all’ottica si deve a Ibn Al Haithan, detto Alhazen (956-1039), considerato

il più grande fisico medioevale, nonché astronomo e matematico. Alhazen compie fondamentali passi

in avanti relativamente alla teoria della visione, effettuando anche interessanti esperimenti di “camera

oscura”. In particolare studia a lungo la riflessione su specchi piani, sferici, cilindrici, conici.

Immagine Alhazen Fig.5

Il problema degli specchi di Alhazen. Famoso è il problema della determinazione dei punti di

riflessione su uno specchio sferico, noto come problema di Alhazen. Esso consiste nella ricerca del

cammino di un raggio luminoso (in un mezzo omogeneo) uscente da una sorgente per raggiungere

l'obiettivo, dopo aver subito riflessione sullo specchio. Per note proprietà della riflessione, il

problema si riduce da tre a due dimensioni. La dimostrazione fornita da Alhazen si presenta però

contorta e confusa.

Anche Leonardo da Vinci (1452-1519) affronta la questione e, dopo vari tentativi falliti, adotta infine

la dimostrazione “per via d’istrumento”, cioè dà una giustificazione per via sperimentale del

fenomeno.

Approccio geometrico. Si deve attendere il 1669 per avere una semplice impostazione della questione

per via geometrica proposta da Isaac Barrow (1630-1677) in Lectiones opticae.

5

La costruzione di Barrow, che può essere riguardata come una traduzione di quella di Alhazen,

determinare i punti di Alhazen come intersezione di un luogo geometrico con lo specchio circolare.

Oggi può essere facilmente implementata mediante un software di geometria dinamica (cfr. Fig.7).

Immagine Barrow

Appena tre anni più tardi, Christian Huygens (1629-1695) nei Philosophical transactions prova che i

punti di Alhazen si ottengono come intersezione di una circonferenza con una iperbole rettangolare.

Immagine Huygens

Solo in tempi recenti (1965) è stato provato che il problema di Alhazen non è risolubile con riga e

compasso [E].

Approccio analitico. Per conoscere le coordinate dei punti di Alhazen è però indispensabile cambiare

punto di vista, passando dall'approccio geometrico a quello analitico.

La prima impostazione analitica per il calcolo di tali punti è del 1776 (un secolo dopo la costruzione di

Barrow) e si deve a A.G. Kaestner (1719-1800) [K].

Illustriamo i punti salienti di un moderno procedimento analitico, affiancato da un computer algebra

system.

Teorema di Alhazen. Fissati una circonferenza , una sorgente puntiforme S ed un punto obiettivo

B (interni alla circonferenza), esistono due o quattro raggi uscenti da S che, dopo una riflessione sulla

curva speculare , raggiungono l'obiettivo B .

Dimostrazione. Consideriamo una circonferenza di raggio unitario e fissiamo un sistema cartesiano

ortogonale di origine O coincidente con il centro della circonferenza. Sia ,S SS x y la sorgente

e ,B BB x y il punto obiettivo.

6

Fig.6 Il principio di Erone riconduce la questione posta da Alhazen ad un classico problema di ottimizzazione

vincolata bidimensionale

,min ,x y

d x y

relativo alla funzione distanza

2 2 2 2

( , ) S S B Bd x y SX XB x x y y x x y y .

Esistenza della soluzione. La funzione d ammette minimo essendo continua nel compatto .

I punti X di minimo, ossia tali che la lunghezza SX XB del percorso sia minima, sono detti punti

di Alhazen.

Individuazione dei punti di Alhazen (approccio cartesiano). Come è usuale, iniziamo determinando i

punti di che risultano stazionari per la funzione ,d x y , ovvero i punti ,X x y tali che il

vettore grad d è parallelo al raggio vettore OX . Deve quindi risultare

det 0x yd d

x y

.

Tale condizione conduce all'equazione

(1) 2 2 2 2

S S B B B B S Sy x x y x x y y y x x y x x y y

Attraverso un computer algebra system, la (1) si fattorizza nel modo seguente

, 0S B S B S B S By y x x x y x y y x f x y

ove

3 2 2 3

2 2

,

2

S B S B S B S B

S B S B S B S B S B S B

f x y y y x x x x y y y xy x x y

y x x y x y x x y y x x y y xy

Osservato che il primo fattore è l'equazione della retta SB , la questione si riduce al sistema non

lineare di VI grado fra la cubica , 0f x y (coincidente con il luogo geometrico indicato da

Barrow) e la circonferenza

(2) 2 2

, 0

1

f x y

x y

7

Fig.7 Fig.7’

Inoltre dal sistema (2) non è difficile dedurre il sistema di IV grado

(2') 2 2

, 0

1

g x y

x y

ove

2

2

, 2

0

S B B S S B S B

S B S B S B S B

g x y y x y x x x x y y xy

y x x y y y y x x x y

è l'iperbole rettangolare studiata da Huygens (per i dettagli cfr. [A], [M]).

Si può provare che la curva di Barrow passa per i punti ciclici, di conseguenza i sistemi (2) e (2') sono

equivalenti in campo reale. Poiché l'iperbole di Huygens passa per il centro della circonferenza, i

sistemi ammettono o due o quattro soluzioni reali.

Fig.8 Fig.8’

Fig.7-8 - legenda 3

, 0.42645

S

1

, 0.42645

B

Fig.7’-8’ - legenda 0.4, 0.6S 0.6, 0.7B

Conta e calcolo dei punti di Alhazen (approccio polare). Un diverso approccio al problema si ottiene

ricorrendo ad un sistema di riferimento in coordinate polari. Come vedremo il problema viene ridotto

allo studio di un'equazione polinomiale di IV grado in una variabile, con evidenti vantaggi. In

particolare oltre a discutere il numero delle soluzioni reali al variare dei parametri (conta dei punti di

minimo) sarà possibile determinarle grazie alla formula risolutiva implementata in un computer

algebra system.

Tratteremo questo argomento rielaborando una ricerca effettuata da F.Trotta [T] come

approfondimento del corso di Metodi Matematici per l'Ingegneria.

8

Adottando un sistema in coordinate polari con il polo nel centro della circonferenza, denotiamo

rispettivamente con ,S S

S , ,B B

B e ,X , le coordinate della sorgente,

dell'obiettivo e del generico punto X .

Poiché i punti di Alhazen appartengono alla circonferenza ove il raggio vettore è costante ( 1 ),

l'unica incognita è l’anomalia di tali punti.

In accordo con la legge della riflessione sullo specchio concavo circolare

i r 0 , / 2i r

ove l'angolo di incidenza e l'angolo di riflessione sono calcolati rispetto alla retta perpendicolare alla

tangente alla superficie nel punto X di riflessione (cfr. Fig.2).

Imponendo

tan tani r

Fig.9

con semplici considerazioni trigonometriche, si deduce

sin sin0 2

1 cos 1 cos

S S B B

S S B B

da cui

(3)

2

sin sin cos cos cos sin

sin 1 2cos 2 cos sin cos 0

0 2

S S B B S S B B

S B S B S B S B

g

Riportiamo la soluzione grafica dell'equazione in due casi particolari

Fig.10 - legenda 3 3

, 0.9, 0.9,10 4

S B

9

Fig.11 - legenda 3

, 0.65, 0.65,10 5

S B

La (3) è un'equazione goniometrica dipendente dai quattro parametri

0 1 0 1 0 2 0 2S B S B .

Posto

sin sinS S B BA cos cosS S B BB

sinS B S BC 2 cosS B S BD

la (3) si trasforma nell'equazione polinomiale di IV grado nella variabile cosh seguente

(4)

2 2 4 3 2 2 2 2 2

2 2

4 2 2 4

2 0 1 1

C D h AC BD h A B C D h

AC BD h C B h

.

Conta dei punti. Alla equazione algebrica polinomiale (4) possiamo applicare l'algoritmo di Sturm

(estensione del noto metodo di Tartenville per le equazioni parametriche di secondo grado) e verificare

che, al variare dei quattro parametri, i punti di Alhazen sono 2 o 4.

Tale algoritmo, implementato mediante un CAS, permette di costruire lo spettro conta soluzioni.

Fissato il punto sorgente S , coloriamo in blu [rispettivamente in rosso] i punti obiettivo B che sono

raggiungibili da S dopo due [rispettivamente quattro] riflessioni sulla circonferenza.

Fig.12a - legenda 11

, 0.9,4

S

Fig.12b - legenda 11

, 0.4,4

S

Calcolo delle coordinate dei punti. Come è noto, ogni equazione polinomiale di IV grado ammette

(nel campo complesso) una formula risolutiva per radicali.

Di conseguenza, assegnate le coordinate della sorgente e dell'obiettivo e scritte le soluzioni formali

della (4) nel campo complesso (che non riportiamo per brevità), è immediato calcolare una loro

approssimazione. Le soluzioni reali trovate costituiscono i punti di Alhazen.

10

Biliardo di Alhazen Il problema di Alhazen può essere interpretato come il problema del biliardo circolare:

determinare una direzione da cui lanciare una biglia S affinché, dopo una o più riflessioni sulla sponda, colpisca una seconda biglia posta in B. In questo contesto segnaliamo il caso particolare del comune biliardo rettangolare ove si cerca una direzione da cui lanciare una biglia S affinché, dopo una o più riflessioni sulle sponde, questa colpisca una seconda biglia posta in B.

Fig.13 Fig.14

Riflessione su ellissi. Come caso particolare ricordiamo che ponendo la sorgente S in uno dei fuochi

dell’ellisse , i raggi riflessi tramite convergono sull’altro fuoco. Questa proprietà applicata al suono, invece che alla luce, produce sotto le volte del Palazzo della Prefettura a Perugia un sorprendente effetto eco [LA]. La riflessione delle onde sonore sulla volte dei tunnel stradali, produce un forte inquinamento acustico, che viene attutito grazie all'istallazione di pannelli fono-assorbemti.

Riflessione su parabole. Ricordiamo infine che i raggi paralleli all’asse di uno specchio parabolico

convergono sul fuoco della parabola. Questa proprietà trova applicazione nelle antenne paraboliche per la ricezione di segnali o nei fanali delle auto, aventi la ricevente o la sorgente, rispettivamente, nel fuoco della sezione parabolica.

2. Il fenomeno della rifrazione e le lenti

Arcobaleno e magici effetti. Oltre alla riflessione, gli antichi si sono appassionati e incuriositi al

fenomeno della rifrazione. L’arcobaleno ha attirato l’attenzione dei primi osservatori greci,

certamente per la magnificenza e l’imponenza del fenomeno.

Seneca (3 a.C. – 65 d.C.) riferisce che un globo di vetro pieno di acqua può produrre magnifici effetti.

Alhazen studia l’ingrandimento prodotto da sfere di vetro, presentandolo come illusione ottica; egli

affronta il fenomeno della rifrazione prendendo le mosse da esperimenti meccanici del lancio dei

proiettili contro tavolette sottili. La teoria della visione di Alhazen ebbe però in occidente poca

fortuna3, forse la sua trattazione sperimentale era troppo diversa dalle comuni trattazioni filosofiche

del tempo, forse l’autorità degli antichi filosofi soffocò la voce di un autore nuovo e per giunta

“infedele”.

Maggiore successo ebbe un trattato sull’ottica scritto da Vitellione4 intorno al 1275, “saccheggiando”

altri autori, tra cui Alhazen.

In esso l’autore osserva che l’arcobaleno non può essere spiegato con la semplice riflessione della luce

sulle goccioline di pioggia, ma si deve far intervenire anche la rifrazione dei raggi solari.

Nello stesso periodo, Ruggero Bacone (1214-1292) dedica al fenomeno ben dieci capitoli del suo

trattato Opus majus, scritto per dimostrare che nulla scientia potest sciri sine mathematica. La quinta

parte del trattato, dedicata all’ottica, è basata sull’opera di Alhazen.

Lenti, occhiali e strumenti ottici. Nell’Opus majus per la prima volta uno scienziato parla di lenti:

Se un uomo guarda le lettere o altre cose minute per mezzo di un cristallo o di un vetro o di un altro

perspicuo sovrapposto alle lettere, e sia minore della sfera la parte la cui convessità è rivolta verso

l’occhio, e l’occhio sia in aria, vedrà le lettere molto meglio e gli appariranno maggiori …

3 Gli scritti di Alhazen furono probabilmente tradotti in latino nel corso del XII secolo.

4 Personaggio forse di origine polacca, di cui è dubbio anche il nome, che pare abbia soggiornato a lungo in Italia studiando a

Padova (1262-1268) e a Viterbo.

11

Bacone utilizzò lenti in molti esperimenti e ne inviò una in dono a papa Clemente IV incitandolo a

sperimentare.

Nonostante l’immenso contributo che questi dischetti rigonfi di vetro hanno dato al progresso della

fisica, non è stato possibile accertare né il luogo, né il tempo esatto in cui ebbe luogo l’invenzione

delle lenti. Ormai è accreditata la teoria di una scoperta casuale, avvenuta probabilmente negli

ambienti della lavorazione del vetro, forse a Murano. E’ certo comunque che gli occhiali dovevano

essere diffusi già alla metà del XIV secolo, in quanto in un affresco del 1325 appare un monaco con

gli occhiali5.

Johannes Kepler (1571-1630) è autore di due opere fondamentali6, dove l’ottica fisiologica medioevale

è sostituita dall’ottica geometrica moderna, che l’autore applica allo studio delle lenti, alla funzione

del cristallino nell’occhio, alla correzione della miopia e presbiopia.

Egli inoltre affronta lo studio della combinazione di più lenti e lo applica alla costruzione di un

cannocchiale convesso7, detto poi kepleriano. Il dispositivo, oggi detto teleobbiettivo, fornisce la teoria

base del cannocchiale galileiano.

Galileo Galilei (1564-1642) con il telescopio8 riuscì a vedere le lune di Giove il 7 gennaio del 1610 e

nello stesso anno gli anelli di Saturno; in seguito lo strumento si rivelò essenziale per la sua teoria

della rotazione terrestre.

Nello stesso periodo fu inventato il microscopio, probabilmente dal tedesco Zacharias Janssen (1588-

1632).

Le scoperte astronomiche di Galileo resero l’ottica argomento di grande attualità. Le due opere di

Kepler avevano sottratto la teoria della visione al dominio della filosofia, mancava però ancora una

legge fondamentale: quella della rifrazione, invano ricercata per millenni.

Crisi del modello di Erone. Da tempo il fenomeno del bastone spezzato9 aveva incuriosito gli

studiosi e messo in evidenza come il principio di Erone non fosse adeguato a spiegare il fenomeno

della rifrazione.

In questo ambiente culturale, Renè Descartes (1596-1650), eccitato dall’invenzione del cannocchiale,

col dichiarato intento di migliorarne la costruzione e forse nella speranza di emulare e superare Galileo

nelle scoperte astronomiche, inizia lo studio dell’ottica. Nel secondo “Discorso”, che tratta delle leggi

della riflessione e della rifrazione dei proiettili, è contenuto lo studio di una palla lanciata contro una

tela. Il procedimento adottato gli consente di ottenere la legge della rifrazione: il rapporto tra il seno

dell’angolo d’incidenza e il seno dell’angolo di rifrazione è costante.

L’idea chiave del procedimento cartesiano è dovuta ad Alhazen e si basa sulla scomposizione della

velocità della luce. Il procedimento cartesiano viene però criticato in quanto confuso, con lacune e

contraddizioni. Cartesio stesso è consapevole che il problema fondamentale è la teoria della luce e che

la sua regola è dedotta da un modello non coerente con le concezioni teoriche del tempo. La legge si

dimostra però subito molto feconda: Cartesio l’assoggetta a numerose verifiche sperimentali e la

utilizza per tracciare i profili delle lenti e per spiegare mirabilmente l’arcobaleno.

Vari scienziati, tra cui Leibniz e Huygens, lo accusano di plagio10

perché la legge era stata scoperta

sperimentalmente da Willebord Snell (1591-1626) che insegnava a Leida e le cui lezioni dovevano

essere note a Cartesio.

Bibliografia. [A] E.J. Atzema, Solving Alhazen’s problem: technology and history in the classroom, Proceeding

IX Annual International Conference on Technology in Collegiate Mathematics, Reno- Nevada

November 1996, Addison Wesley (1998)

[AV] AA.VV., Storia delle Scienze, (Storia della Fisica a cura di M.Ghiozzi) UTET (1962)

5 L’affresco di Tommaso da Modena è nella Chiesa di S. Niccolò a Treviso. Il monaco ritratto è Frate Ugone da Provenza.

6 Ad Vitellionem paralipomeni, quibus astroniae pars optica traditur (1604) e Diopatrice (1611) .

7 Il cannocchiale kepleriano venne realizzato da C. Scheiner nel 1630.

8 Galileo che aveva avuto notizia dell’invenzione di un artigiano olandese, si era costruito da solo un telescopio.

9 Se si immerge un bastoncino di legno in un bicchiere pieno di acqua, il bastoncino appare come piegato in corrispondenza

al pelo libero. 10

L’idea chiave di Cartesio si basa sulla scomposizione della velocità della luce, idea appresa da Alhazen, per cui la scoperta

della legge andrebbe attribuita allo scienziato arabo.

12

[BS] P.Brandi, A.Salvadori, Modelli Matematici Elementari, B.Mondadori Ed. (2004)

[E] J. M. Elkin, A Deceptively Easy Problem, Math. Teacher 58, 194-199 (1965)

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[LA] C.Donati, E.Fagioli, F.Lia, E.Minciaroni, A.Pistelli – LS Alessi PG, Tutors C.Zampolini,

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Integrate 2, (1999); http://www.carlofelicemanara.it/index.asp?idPagina=30

[T] F.Trotta, Uno studio del Problema di Alhazen, Tesina del corso di Metodi Matematici per

l'Ingegneria, Facoltà di Ingegneria - cdl Ingegneria Elettronica, Università degli Studi di

Perugia (1999)