Indledende sandsynlighedsregning og kombinatorikscience-gym.dk/mat/20002010/Forberedelsesmateriale-Kombinatorik.pdf2 Kombinatorik 2.1 Valgprocesser En sammensat valgproces er når

Forberedelsesmateriale

Indledende sandsynlighedsregning og kombinatorik

Torben Rudbeck Side 2

1 Kort om sandsynlighedsregningens historie Den århusianske matematiker Jørgen Hoffmann-Jørgensen har skrevet følgende:

”Sandsynlighedsregningens opgave er at beskrive, forudsige og regelsætte tilfældige hændelser. Da tilfældige hændelser er karakteriseret ved, at de er ubeskrivelige, uforudsigelige og totalt kaotiske, kan sandsynlighedsteoriens opgave formuleres således

Beskriv det ubeskrivelige, forudsig det uforudsigelige, og find orden, hvor der ingen orden findes.1”

De første matematiske teorier for regning med sandsynligheder kan tilskrives italieneren og multikunstneren G. Cardano (1501 – 1576), der i værket ”Liber de ludo aleae” behandler hasardspil.

Fermat og Pascal fremhæves dog ofte som sandsynlighedsregningens fædre. Det kan hænge sammen med, at Cardanos værk først udgives i 1663.

Et af de eksempler på hasardspil, som Cardano kigger på, er kast med 3 terninger, hvor den ene part holder på, at der vil komme mindst en ener, den anden på, at der ingen enere vil komme. Cardanos påstand er, at sandsynlighederne er lige store.

Opgave 1:

a) Forsøg at finde frem til, hvad Cardanos argument er for at sige, at der er lige stor sandsynlighed for at få mindst én etter eller ingen ettere.

b) Opstil i et regneark de 216 muligheder, der er for at slå med 3 terninger.

c) Optæl antallet af kombinationer/muligheder, hvor der ingen ettere er.

d) Cardanos argument er forkert. Hvorfor?

Cardano er den første, der er tæt på den vigtige formel for

sandsynligheden for en hændelse = antal gunstige

antal mulige. Fermat og Pascal beskriver det senere ”som de

første”.

1 Mathilde nr. 35 september 2008


G. Galilei (1564 – 1642) har også behandlet spil med terninger. Han blev spurgt af en ven, hvorfor det var lettere at få 10 øjne end 9 øjne i et kast med 3 terninger når 10 og 9 kan opsplittes på lige mange måder som en sum af tre tal mellem 1 og 6.

Opgave 2:

a) Brug regnearket fra opgave 1 til at finde ud af, om der er størst sandsynlighed for at opnå 10 øjne eller 9 øjne.

b) Virker det rent intuitivt rigtigt?

Sandsynlighedsregningens start tilskrives dog som tidligere nævnt Pierre Fermat (1601 – 1665) og Blaise Pascal (1623 – 1662). Hasardspil var igen årsagen til, hvad der denne gang blev begyndelsen på en mere formaliseret og korrekt matematisk tilgang til sandsynlighedsregningen.

Pascals gode og noget spilleglade ven de Méré opstillede to problemstillinger, som han var stødt på i Paris’ natteliv. De to problemstillinger er efterfølgende blevet kaldt ”Chevalier de Méré’s problem” og ”Delingsproblemet”.

Chevalier de Mere's problem Det er fordelagtigt at holde på, at der i 4 slag med en terning kommer mindst en sekser. På den anden side er det ufordelagtigt at holde på, at der i 24 kast med to terninger kommer mindst en dobbeltsekser selvom 24 forholder sig til 36 (mulige udfald med to terninger) som 4 forholder sig til 6 (mulige udfald med en terning). Delingsproblemet To personer A og B spiller et spil med lige store chancer for at vinde. Det kunne eksempelvis være plat og krone. De sætter hver et bestemt beløb ind og den, der først vinder N gange vinder hele puljen. Imidlertid må de afbryde spillet i utide på det tidspunkt, hvor A har vundet a spil og B har vundet b spil. Hvordan skal puljen deles?


Opgave 3:

a) Pascal og Fermat havde kun hånlige kommentarer til overs for det første problem, som de løste ganske let. Kan du gennemskue, hvordan de løste problemet? Hvad er svaret?

b) Løs delingsproblemet, når:

• der i alt skal vindes 5 spil for at vinde, A har vundet 4 spil og B har vundet 3 spil - altså når N = 5, a = 4 og b = 3.

• N = 6, a = 4 og b = 3.

c) Prøv at gennemskue det teoretiske svar til delingsproblemet.

d) Se de første 20 min af udsendelsen om spil på dette link http://www.dr.dk/DR2/VidenOm/Programmer/Viden+Om+med+Ann+Marker/Programmerne/2007/20070430104144.htm

Fermat og Pascal udvekslede deres teorier om sandsynlighedsregningen (og meget andet) via en lang række breve i 1654. Det er i et af de breve, at Fermat formulerer det i dag almindeligt accepterede princip: ”Terningen har ingen hukommelse”.

Der har været en del vigtige personer og udgivelser i forbindelse med sandsynlighedsregningen. Følgende skal nævnes:

- Christians Huyghens (1629 – 1695) – De ratiociniis in Alea Ludo (”Hvorledes man ræssonerer i terningespil”). Middelværdibegrebet indføres.

- Jacob Bernoulli (1654 – 1705) – Ars conjectandi (”Formodningskunst”). Bl.a. ”de store tal lov” og kombinatorik.

- Pierre-Simon Laplace (1749 –1827)- Théorie Analytique des Probabilités.

- Abraham de Moivre (1667 – 1754) – Doctrines of Chances. Spilteori.

- Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855). Matematikkens fyrste. Normalfordelingen.

- Lvovich Pafnufty Chebyshev (1821 – 1884) indfører blandt mange andre ting begrebet stokastisk variabel.

Den tyske matematiker David Hilbert (1862 – 1943) beskrev i år 1900 23 uløste matematiske problemstillinger2, som skulle identificere det kommende århundredes matematiske udfordringer. Russeren Andrei Kolmogorov (1903 – 1991) løser delvist det ene af disse problemer ved at udgive værket ”Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeisrechnung” i 1933. I dette værk opstiller Kolmogorov 2 Der kan læses mere om de 23 problemstillinger på http://da.wikipedia.org/wiki/Hilberts_problemer


5 aksiomer og 2 definitioner, hvoraf samtlige af sandsynlighedsregningens sætninger i dag kan vises. Bl.a. de store tals lov, den centrale grænseværdi sætning, den iterede logaritme lov og arcussinus loven.

Du kan læse mere om nogle af Kolmogorovs aksiomer på følgende link:

http://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov_axioms

http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_statistik/Sandsynlighedsregning_og_stokastisk_proces/Sandsynlighedsregning

Af spændende historiske sandsynlighedsteoriske opgaver findes bla. :

- Monty Hall problemet - Skt. Petersborg paradokset - Fødselsdagsparadokset - Fermis paradoks

Opgave 4 (frivillig opgave):

a) Undersøg, hvad problemstillingen er for et af de ovennævnte problemer ved at søge på world wide web. Lav herefter, hvis det er muligt, forsøg i forhold til problemstillingen.

Kilde: www.denstoredanske.dk


2 Kombinatorik

2.1 Valgprocesser

En sammensat valgproces er når man må træffe en række valg, hvor hvert valg på nær det sidste stiller en over for det følgende valg. Sådanne valgprocesser kan illustreres med valgtræer. Det samlede antal muligheder som valgprocessen resulterer i efter det n’te valg, kan bestemmes som det samlede antal forgreninger i træets n’te ”trin”.

Eksempel 1:

Kurt går på restaurant. Af overtjeneren får han at vide, at han denne dag kan vælge mellem 3 forretter, 3 hovedretter og 3 desserter.

Af nedenstående valgtræ er samtlige Kurts mulige valg skitseret.

Opgave 5:

a) Optæl antallet af mulige kombinationer, hvorpå Kurt kunne have sammensat sin middag.

b) Hvordan kan man let udregne antallet af mulige valg for Kurt?

c) Hvor mange muligheder ville Kurt have haft, hvis han kunne vælge mellem 2 forretter, 5 hovedretter og 3 desserter?


Opgave 6:

Find selv på en sammensat valgproces a la Kurts restaurantsbesøg, der passer til valgtræet nedenfor.

2.2 Multiplikationsprincippet og additionsprincippet

2.2.1 Multiplikationsprincippet (både/og)

Som du gerne skulle have fundet ud af i opgave 5, kan antallet af forskellige muligheder udregnes ganske let. Metoden er formaliseret i sætning 1 nedenfor og går under navnet multiplikationsprincippet (både/og)

Eksempel 2:

I en kiosk er der et lille udvalg af is. Der er forskellige slags: nougat, chokolade, banan, fløde og vanille. Sofie vil gerne have en flødebolle på sin is. Der er 2 forskellige slags flødeboller – med eller uden kokos.

På hvor mange forskellige måder kan Sofie sammensætte sin is med de 2 forskellige flødeboller? Her bruges multiplikationsprincippet også kaldet både/og. Da Sofie både skal have en is og en flødebolle, skal de enkelte muligheder ganges med hinanden. Antal muligheder for is = 5 Antal muligheder for flødeboller = 2 5 x 2 = 10 muligheder i alt. Sofie kan sammensætte sin is på 10 forskellige måder.


Sætning 1:

Lad det første valg i en sammensat valgproces kunne træffes på 1n måder, det andet valg – uanset

udfaldet af det første valg – på 2n måder osv.

Er der i alt p valg, resulterer den sammensatte valgproces i, at der er

1 2 1..... p pn n n n−⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (1)

forskellige muligheder

Opgave 7:

Læs sætning 1 igen og overbevis dig selv om, at det der står i sætningen er korrekt.

Opgave 8:

I et lille europæisk land med få indbyggere vil man give bilerne nummerplader med 3 tegn på hver. De forskellige valgmuligheder, man kan vælge mellem, er:

- tre cifre

- et bogstav efterfulgt af 2 cifre

- ciffer-bogstav-ciffer

- to cifre efterfulgt af et bogstav

- to bogstaver efterfulgt af et ciffer

- bogstav-ciffer-bogstav

- et ciffer efterfulgt af to bogstaver

- tre bogstaver

Landet har 24 bogstaver i sit alfabet. Heruover skal det oplyses, at nummerplader ikke kan starte med cifferet 0.

Hvor mange nummerplader kan der laves af de forskellige sammensætninger af nummerpladerne?


Opgave 9:

a) Hvor mange forskellige udfald er der, hvis vi kaster med 3 terninger? (Jfr. 1.b)

b) Hvor mange nummerplader kan man danne i Danmark med det nuværende nummerpladesystem, hvis vi tager udgangspunkt i, at der kan bruges 24 bogstaver og 10 cifre, hvoraf 0 ikke kan være første ciffer? (Se på siden: http://nrpl.dk/1966-sys.php, at det er meget vanskeligere end som så!)

c) Hvor mange 8-cifrede telefonnumre kan der dannes, hvis alle telefonnumre er i spil (hvilket de ikke er i virkeligheden)?

d) Gert har 8 bluser, 5 par bukser, 7 par underbukser, 10 par strømper og 3 par sko. På hvor mange forskellige måder kan han møde påklædt i skole?

e) Et postbud har fået lige rigeligt inden for vesten, inden han en tidlig lørdag morgen skal opdele post. I en opgang med 8 lejligheder anbringer han opgangens 10 breve på må og få. Hvor mange mulige resultater kan der komme ud af dette?

2.2.2 Additionsprincippet (enten/eller)

Sætning 2: Hvis man ved et valg skal vælge enten én af 1n muligheder eller én af 2n muligheder

osv.

Er der i alt p valg, resulterer den sammensatte valgproces i, at der er

1 2 1..... p pn n n n−+ + + + (1)

forskellige muligheder

Eksempel 3:

I en kiosk er der et lille udvalg af is, bl.a. 2 forskellige slags sodavandsis og 4 forskellige slags vaffelis. Hvor mange forskellige is kan Karoline vælge i mellem, hvis hun enten vil have sodavandsis eller vaffelis?

Her bruges additionsprincippet også kaldet enten / eller.

Da Karoline enten vil have sodavandsis eller vaffelis, skal de enkelte muligheder lægges sammen. Antal muligheder for sodavandsis = 2 Antal muligheder for vaffelis = 4 2 + 4 = 6 muligheder i alt.


Eksempel 4:

Karl har 6 bluser og 2 par fløjlsbukser, herudover har han 3 T-shirts og 3 par cowboybukser. Når han skal klæde sig på, tager han enten en bluse og et par fløjlsbukser på eller en T-shirt og et par cowboybukser. Bluse og fløjlsbukser giver 6 2 12⋅ = muligheder. T-shirts og cowboybukser giver 3 3 9⋅ = muligheder. I alt har han hermed 12 + 9 måder at påklæde sig.

Opgave 10:

I en klasse går der 29 elever, hvoraf 11 er piger og 18 er drenge. Klassen skal nedsætte et udvalg på tre personer, som skal til møde med rektor om indretningen af klasselokalet. Klassen beslutter, at hvert køn skal være repræsenteret i udvalget. Hvor mange forskellige delegationer kan sendes op på rektors kontor?

Definition 1:

For et vilkårligt positivt helt tal n betyder n!

( ) ( )! 1 2 3 ..... 2 1= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅n n n n (2)

Af forskellige årsager sætter vi 0! 1=

Om !n siger man n fakultet.

Opgave 11:

a) Beregn 1!, 2!, 3!, ….., 10!3 (3-tallet er en note ☺. Se nederst på siden).

b) Undersøg, hvor stort et tal dit CAS-værktøj kan regne fakultet for.

c) På, hvor mange måder kan 11 personer placeres på banen til en fodboldkamp.

d) Udregn 5!, 9!

6! 3!⋅,

( )( )

( )1 ! 2 !

1 ! !

n n

n n

− −+

+ og ( )1 !n n⋅ −

e) I en klasse går 29 elever. Der er nøjagtig 29 pladser i klassen. Hvor mange dage skal klassen gå i skole for at have afprøvet alle mulige pladskombinationer, hvis de ikke må bytte pladser mere end en gang om dagen?

3 Se Appendix for instruktioner til dit CAS-værktøj


2.3 Stikprøver

Opgave 11 c) viser, hvor mange måder en mængde på 11 personer kan ordnes på. Ligeledes bestemmer !n , hvor mange måder en mængde med n elementer kan ordnes på.

Der findes fire forskellige slags stikprøver.

• ordnet uden tilbagelægning • ordnet med tilbagelægning • uordnet uden tilbagelægning • uordnet med tilbagelægning

Når en stikprøve er "ordnet”, er det fordi rækkefølgen er vigtig. Eksempelvis er sølv, guld, bronze ikke det samme som guld, sølv, bronze. Når stikprøven er "uordnet", er det, fordi rækkefølgen er ligegyldig. Eksempelvis er 24, 16, 13, 15, 2, 19, 33 det samme som 16, 33, 19, 2, 15, 24, 13. I en stikprøve med tilbagelægning må det samme udfald gerne forekomme flere gange. Eksempler på dette er 6, 6, 3, 2 eller 3, 5, 4, 5 osv. Uden tilbagelægning betyder, at man ikke kan bruge det samme udfald mere end én gang. Eksempelvis kan 12, 13, 6, 15, 6, 19, 33 ikke bruges. Opgave 12:

Et eksempel på en stikprøve, der er uordnet uden tilbagelægning er lottospillet.

a) Hvorfor er lottospillet uordnet uden tilbagelægning?

b) Find selv på eksempler på spil, der er:

a) ordnet uden tilbagelægning b) ordnet med tilbagelægning c) uordnet uden tilbagelægning d) uordnet med tilbagelægning

Nedenstående skema kan opstilles, og vi skal i de kommende afsnit prøve at finde frem til, hvilke ”formler”, der kan placeres i de fire rum. Uden tilbagelægning Med tilbagelægning Ordnet stikprøve a) b) Uordnet stikprøve c) d)

Permutation (med orden) = et udvalg, hvor positionen af det enkelte element er af betydning. Kombination (uden orden) = et udvalg, hvor positionen af det enkelte element er uden betydning.


2.3.1 Permutationer (med orden)

Ad a) Ordnet stikprøve med tilbagelægning.

Sætning 3:

I en ordnet stikprøve med tilbagelægning med n elementer og r udtræk er der rn mulige stikprøver. r kan være mindre end, lig med eller større end n, da der er tale om tilbagelægning i stikprøven.

Bevis:

Første element kan vælges på n forskellige måder, og da der er tale om tilbagelægning, kan

andet element også vælges på n forskellige måder,

tredie element kan vælges på n forskellige måder,

. . . . . . .

. . . . . . .

det r’te element kan vælges på n forskellige måder.

Da multiplikationsprincippet kan anvendes, får vi det samlede antal måder, stikprøven kan udtages

på til at være .

....... r

r stk

n n n n⋅ ⋅ ⋅ =��

q.e.d.

Eksempel 5:

Antag, at de udtrukne bolde i lotto straks sendes tilbage i bowlen, og at rækkefølgen

faktisk er relevant. Da bliver samtlige mulige udfald 736 78.364.164.096=

Opgave 13:

Hvor mange to, tre og fire-cifrede tal kan skrives ved brug af cifrene 1, 2, 3, 5, 7 og 8 når hvert ciffer gerne må bruges flere gange i hvert tal?


Ad b) Ordnet stikprøve uden tilbagelægning.

Sætning 4:

I en ordnet stikprøve uden tilbagelægning med n elementer og r udtræk er der ( )!

!

n

n r−mulige

stikprøver (udtræk). Dette betegnes også

( ) ( )!

,!

nP n r

n r=

− (3)

hvor P står for permutation. r n≤ (da der er tale om en stikprøve uden tilbagelægning).

Bevis:

En permutation, som i sætning 4, kan findes ved først at vælge, hvad der skal stå forrest; her er der n mulige valg. Dernæst vælges nummer to i rækken; her er der n-1 muligheder tilbage, da der ikke er tilbagelægning. Ved nummer tre i rækken er der n-2 valgmuligheder. Således kan fortsættes, og når vi foretager valg nr. r er der allerede brugt r-1 elementer fra stikprøve, dvs. at der til nummer r i

rækken er ( )( )1 1n r n r− − = − + valgmuligheder tilbage.

Dvs. at

( ) ( ) ( ) ( ) ( )r valg

, 1 2 3 ...... 1= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − +��

P n r n n n n n r

Dette kan nemt omskrives til (3):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) . .

, 1 2 3 ...... 1

1 2 3 ...... 1 1 ..... 3 2 1

1 ..... 3 2 1

!

!

= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − + =

⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

− ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=− Q E D

P n r n n n n n r

n n n n n r n r n r

n r n r

n

n r

Eksempel 6:

Ved VM i tårnspring deltog 25 udspringere. På hvor mange måder kunne guld-, sølv- og bronzemedaljerne i teorien fordeles? Der er tale om en ordnet delmængde uden tilbagelægning Overbevis dig selv om det!

Antallet af mulige kombinationer på skamlen var således: ( ) ( )25!

25,3 13800.25 3 !

P = =−


Opgave 14:

a) Sørg for, at du har forstået beviset til sætning 4. En fra gruppen skal gennemgå det for de andre.

b) Beregn uden brug af CAS P(6,3), P(7,2) og P(30,2).

c) Beregn vha. CAS P(16,8), P(29,7) og P(30,2).

Opgave 15:

På hvor mange måder kan der af klassens elever sammensættes et håndboldhold (7 spillere), hvor det er afgørende, hvilken position man får på banen (målmand, højre og venstre wing, højre og venstre back, højre og venstre center).

Opgave 16:

Overbevis dig selv om vha. (3), at det er fornuftigt at sætte 0! 1= .

2.3.2 Kombinationer (uden orden) Ad c) uordnet uden tilbagelægning

Sætning 5:

I en uordnet stikprøve uden tilbagelægning med n elementer og r udtræk er der ( )!

! !−n

r n rmulige

stikprøver. Dette betegnes også

( ) ( )!

,! !

=−

nK n r

r n r (4)

hvor K står for kombination. r n≤ da der er tale om en stikprøve uden tilbagelægning.

( ),K n r skrives også n

r


Eksempel 7:

Før vi kommer til beviset gives et lille eksempel, der gerne skulle lette forståelsen af beviset for sætning 5.

Af 5 personer (Arne, Birthe, Conrad, Dennis og Erhard) skal 3 vælges til et udvalg i den lokale badmintonklub. Der er intet hierarki i udvalget, og én person kan ikke beklæde flere poster i udvalget.

Antallet af permutationer giver P(5,3) = 60.

Disse udvalg opskrives nedenfor

ABC ACB BAC BCA CAB CBA

ABD ADB BAD BDA DAB DBA

ABE AEB BAE BEA EAB EBA

ACD ADC CAD CDA DAC DCA

ACE AEC CAE CEA EAC ECA

ADE AED DAE DEA EAD EDA

BCD BDC CBD CDB DBC DCB

BCE BEC CBE CEB EBC ECB

BDE BED DBE DEB EBD EDB

CDE CED DCE DEC ECD EDC

Det ses let, at hver række giver de samme udfald, således, at der faktisk kun er 10 forskellige muligheder (antal søjler) for udvalg, da udvalget skal sammensættes uordnet uden tilbagelægning.

Hver række består af 6 permutationer, idet tre givne personer kan opstilles i rækkefølge på 3 2 1 6⋅ ⋅ = måder.

Der er altså i alt 60

106

= forskellige udvalg når ordenen er ligegyldig.


Bevis for sætning 5:

Vi prøver at gå frem som i eksemplet, og ser på, hvordan r personer fra en gruppe på n personer kan placeres i rækkefølge.

Dette antal kan angives ved P(n,r).

Disse permutationer kan angives i et skema som anvist i eksempel 7, hvor hver række vil bestå af r! permutationer, fordi r personer kan opstilles på r! måder.

Antallet af søjler er derfor r!.

Antallet af rækker, der er antal kombinatiner, er derfor lig med P(n,r) divideret med antal søjler, som der er r! af.

Dette angives på følgende måde:

( ) ( )( ) . . .

, !,

! ! != =

− Q E D

P n r nK n r

r r n r

Alternativt bevis for sætning 5:

Vi udvælger r elementer ud af n i ordnet rækkefølge uden tilbagelægning (en permutation):

( ) ( ) ( ) ( )elementer

, 1 2 ..... 1= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − +��

r

P n r n n n n r

Dette forlænges i både tæller og nævner

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

1 ....3 2 1, 1 2 ..... 1

1 ....3 2 1

!, 0

!

− ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅ ⇔

− ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅

= ≤ ≤−

n r n rP n r n n n n r

n r n r

nP n r r n

n r


Det ses af ovenstående tegning, at man kan udtage r elementer af n i ordnet rækkefølge uden tilbagelægning på:

enten ( ),P n r måder

eller på ( ), !⋅K n r r måder,

da man enten først direkte kan sætte de udvalgte elementer i rækkefølge eller man kan udtage en mængde på r elementer og derefter sætte dem i orden. Dette medfører, at

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

,, ! , ,

!

!, 0

! !

⋅ = ⇔ = ⇔

= ≤ ≤⋅ −

P n rK n r r P n r K n r

r

nK n r r n

r n r

Eksempel 8:

Af 5 personer (Arne, Birthe, Conrad, Dennis og Erhard) skal 3 vælges til et udvalg i den lokale badmintonklub. Der er intet hierarki i udvalget, og én person kan ikke beklæde flere pladser i udvalget.

Hvor mange udvalg kan kan der laves?

( ) ( )5! 5! 5 4

5,3 10.3! 5 3 ! 3!2! 2 1

⋅= = = =− ⋅

K

Opgave 17:

Udregn ( )8,0K , ( )5,2 ,K ( )13,3 ,K( )

( ),

,

K n p

K n n p−,

40

38

Opgave 18:

En studietur til Amsterdam består af 31 personer. På vej hjem har 6 personer medbragt ulovligt tobak. Tolderen udtager tilfældigt 4 personer til kontrol.

a) Hvor mange forskellige stikprøver kan der udtages?

b) Hvor mange af disse stikprøver indeholder mindst én smugler?


Opgave 19:

En klasse på 29 elever skal stille med et tre-mands oprydningshold efter en fest. Hvor mange hold kan dannes?

Opgave 20:

En klasse består af 12 piger og 8 drenge. Ved et klassemøde skal der vælges en ordstyrer og en referent. Hvor mange muligheder er der,

• hvis der frit kan vælges mellem klassens elever?

• hvis der skal vælges 2 drenge?

• hvis der skal vælges 2 piger?

• hvis ordstyreren skal være en dreng og referenten en pige?

• hvis ordstyreren skal være en pige og referenten en dreng?

Opgave 21:

Et fodboldhold består af 11 spillere, en målmand, et vist antal forsvarsspillere, midtbanespillere og angribere. Forskellige spilsystemer fastsætter antallet af de tre sidstnævnte antal. F.eks. betyder 4-4-2, at der er 4 forsvarere, 4 midtbanespillere og 2 angribere på holdet.

Til Danmarks VM-kamp mod Malta den 17. marts havde landstræner Morten Olsen udtaget en bruttotrup på 23 spillere bestående af 3 målmænd, 6 forsvarsspillere, 8 midtbanespillere og 6 angribere (se bilag 1).

Antag at Morten Olsen ønsker at spille 4-4-2 – systemet.

• På hvor mange måder kan han udtage målmanden?

• På hvor mange måder kan han udtage forsvaret?

• På hvor mange måder kan han udtage midtbanen?

• På hvor mange måder kan han udtage angrebet?

• På hvor mange måder kan han udtage de 11 i startopstillingen?

• På hvor mange måder kan han udtage de 11 i startopstillingen, hvis han går over til sit favoritsystem 3-4-3?


Ad d) uordnet med tilbagelægning Denne stikprøve når vi ikke at beskæftige os med; men der skal alligevel angives en sætning dog uden bevis!

Sætning 6:

I en uordnet stikprøve med tilbagelægning med n elementer og r udtræk er der ( )

( )1 !

! 1 !

n r

r n

+ −−

mulige

stikprøver. Dette betegnes også

1n r

r

+ −

(5)

Eksempel 8:

Hvis rækkefølgen af lottotallene var underordnet, og de blev lagt tilbage i bowlen, ville vi

have ( )

( )36 7 1 !

26.978.3287! 36 1 !

+ −=

− mulige stikprøver.

2.3.3 Opsamling stikprøver Nedenfor er formlerne indsat i skemaet fra side 11. Uden tilbagelægning Med tilbagelægning Ordnet stikprøve

Uordnet stikprøve

( )!

! !−n

r n r ( )

( )1 !

! 1 !

n r

r n

+ −−

Det er altså vigtigt, når man skal finde frem til den korrekte formel, at man stiller sig følgende spørgsmål:

- er der tale om en ordnet eller en uordnet stikprøve?

- er der tale om tilbagelægning eller ej?


Opgave 22:

Lav et regneark, som vist nedenfor, der kan udregne antallet af de forskellige stikprøvetyper og brug det til at kontrollere facit i de tidligere opgaver ☺

Kombinatorik

Hele mængden = 5 Stikprøven = 3

antal muligheder Uden tilbagelægning Med tilbagelægning Ordnet stikprøve 60 125 Uordnet stikprøve 10 35

I Excel fremkommer fakultet ved at skrive: =fak.

Eksempel 9:

Udvælg 2 elementer blandt 3 elementer A, B og C

Uden tilbagelægning Med tilbagelægning Ordnet stikprøve AB AC

BA BC CA CB

AA AB AC BA BB BC CA CB CC

Uordnet stikprøve AB AC BC

AA AB AC BB BC

CC


Blandede opgaver:

Opgave 23:

Udfyld felterne i nedenstående skema

Spil Antal mulige udfald

Tips 12

Tips 13

Lotto

Viking-Lotto

Joker

Opgave 24:

Thorbjørn skal låne fem af Antons 14 dvd’ere. Hvor mange muligheder har han, hvis:

• der er én af pladerne, han i hvert fald vil låne?

• der er én plade, han ikke vil låne?

• der er én, han i hvert fald vil låne og én han ikke vil låne?

Opgave 25:

Blandt 8 piger og 5 drenge skal vælges et udvalg på 3 piger og 2 drenge.

Hvor mange måder kan det gøres på?


Opgave 26:

På hvor mange forskellige måder kan ti personer stille sig i en rundkreds?

Opgave 27:

Hvordan kan et resultat i kombinatorik bruges til at argumentere for, at tallet

( ) ( ) ( )1 2 3n n n n⋅ − ⋅ − ⋅ − , hvor n N∈ , altid er deleligt med 24?

Opgave 28:

25 formelsamlinger, hvoraf 12 er nyindkøbte og 13 er gamle og slidte, skal deles ud til eleverne i en klasse med 25 elever. På hvor mange måder kan det gøres?

Opgave 29:

Peter skriver tal 0 1 2, , ,...., na a a a , hvoraf 0 600a = og 1na = , efter følgende system:

ia fremkommer af 1ia − ved division med et primtal som går op i 1ia − . Hvor mange

forskellige opskrivninger 0 1 2, , ,...., na a a a kan der laves?

Pascals trekant. Kilde: http://home3.inet.tele.dk/pmh/illustrator/mill7.jpg


4 – Appendix

TI89

Beregning af fakultet.

Tast blå, 5 (math) og vælg 7 (probability)

Beregning af P(n,r)

Beregning af K(n,r)

Matchad

I mathcad skrives for de tilsvarende operationer:

5! 120=

permut 25 3, ( ) 13800=

combin 25 3, ( ) 2300=


TINspire

Indsæt grafregner. Terningeikonet anvendes.

Excel


Maple

Beregning af faktultet gøres ved at benytte det almindelige udråbstegn "!", så 5 ! = 120

Beregning af kombination:

Her byttes kommandoen "binomial(n,r)".

binomial(25, 3 )= 2300

Beregning af permutationer:

Ved beregning af antallet af permutationer skal man først "kalde" pakken "combinat". Dette gøres ved at skrive "with(combinat)" og taste "Enter":

with (combinat)

[Chi, bell, binomial,cartprod, character, choose, composition,conjpart, decodepart, encodepart, fibonacci, firstpart,graycode, inttovec, lastpart, multinomial, nextpart,numbcomb, numbcomp, numbpart, numbperm, partition,permute, powerset, prevpart, randcomb, randpart, randperm,setpartition, stirling1, stirling2,subsets, vectoint]

Antallet af permutationer kan nu beregnes på følgende to måder:

nops(permute(25, 3 ) )= 13800

Eller

numbperm(25, 3 ) = 13800

Hvis man i den første blot taster permute(25,3) vises en liste med alle permutationerne.


5 – Litteraturliste

- Andersen, Taftebjerg Jakobsen, Laage-Petersen, Lützen, Mejlbo og Nygaard – Nogle kapitler af matematikkens historie bind 2. September 1979. Matematisk institut.

- Mathilde nr. 35 – september 2008. Nyhedsbrev for Dansk Matematisk Forening.

- Hans Fich – Gymnasiematematik 3. 1. udgave. Forum 1982.

- Christian Huygens – Om regning på lykkespil. Oversat af Kersti Andersen 1986. Foreningen Videnskabshistorisk Museums Venner.

- Steen Bentzen – Sandsynlighedsregning for Gymnasiet. 2. udgave 2004 . Forlaget Bentz.

- Aksel Bertelsen – Statistik med matematik. 1. udgave 2005. Systime.

- Erik Kristensen og Ole Rindung – Sandsynlighedsregning. 2. Udgave 1969. G.E.C Gads forlag.

- Lars Bo Kristensen og Preben Blæsild – Spil matematik. 2005. Matematiklærerforeningen.

- Kirsten Rosenkilde – Opvarmingsopgaver i kombinatorik (Til Georg Mohr konkurrencen). April 2007.


6 – Bilag

Kilde: www.dbu.dk

Documents

Indledende sandsynlighedsregning og kombinatorikscience-gym.dk/mat/20002010/Forberedelsesmateriale-Kombinatorik.pdf2 Kombinatorik 2.1 Valgprocesser En sammensat valgproces er når