Upload
tasnadi-balint
View
186
Download
21
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Something
Citation preview
2013.01.23.
Az informatika logikai é s algébrai alapjai
Készítette: Gaál Péter
Marosvölgyi Gergely
1
Halmazelmélet: Alaphalmazok:
ℕ természetes számok halmaza (1, 2, 3, … )
ℕ0 nemnegatív egész számok halmaza (0, 1, 2, … )
ℤ egész számok halmaza (- … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 … )
ℚ racionális számok halmaza (felírhatók két egész szám hányadosaként, pl. 1/2, -3/4 stb.)
ℚ* irracionális számok halmaza (nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, pl. √ )
ℝ valós számok halmaza (ℝ = ℚ ∪ ℚ* diszjunkt halmazok, tehát nincsen metszetük)
ℂ komplex számok halmaza (ℝ végső kiterjesztése)
Reláció: ℕ ⊂ ℕ0 ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ ℚ* ⊂ ℝ ⊂ ℂ
/Legyen U egy rögzített univerzum, A és B tetszőleges halmazok./
Az üres halmaznak nincsen eleme (de minden más halmaznak eleme). Jelölése: vagy { }
Két halmaz egyenlő, ha elemeik megegyeznek.
B részhalmaza A halmaznak, ha B minden eleme benne van A halmazban is. Jelölése: B ⊆ A
B halmaz valódi részhalmaza A halmaznak, ha B-nek van olyan eleme, mely A-nak nem eleme,
tehát B ⊆ A és A ≠ B. Jelölése: B ⊂ A
A halmaz összes részhalmazainak halmazát A hatványhalmazainak nevezzük. Jelölése: (A)
Cantor-tétel: Bármely halmaz számossága kisebb, mint hatványhalmazainak számossága: |A|<| (A)|
A és B halmaz metszete azon elemek halmaza, amelyek megtalálhatóak A és B halmazban is. Jelölése: A B
A és B halmaz uniója azon elemek halmaza, amelyek legalább az egyikben megtalálhatóak. Jelölése: A ∪ B
A és B halmaz különbsége azon elemek halmaza, amelyek megtalálhatóak A-ban, de B-ben nem. Jelölése: A \ B
A és B halmaz szimmetrikus különbsége azon elemek halmaza, amelyek csak az egyik halmazban találhatóak
meg. Jelölése: A Δ B [mely felírható így: (A \ B) U (B \ A) vagy így: (A U B) \ (A B) ]
Az U \ A különbséghalmazt, A komplementerének nevezzük. Jelölése: ̅
Halmazműveletek tulajdonságai:
A ∪ A = A A A = A idempotencia*
A ∪ B = B ∪ A A B = B A kommutativitás (felcserélhetőség)
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A (B C) = (A B) C asszociativitás (csoportosíthatóság)
A ∪ (B C) = (A ∪ B) (A ∪ C) A (B ∪ C) = (A B) ∪ (A C) disztributivitás (szétbonthatóság)
A ∪ (A B) = A A (A ∪ B) = A abszorptivitás (elnyelődés)
¬(A ∪ B) = (¬A) (¬B) ¬(A B) = (¬A) ∪ (¬B) De-Morgan azonosságok
*Ha egy kétváltozós (bináris) műveletet elvégzünk egy operanduson (itt: A), és eredményként az eredeti
operandust kapjuk, akkor a műveletet idempotensnek nevezzük.
Azon logikai/halmazelméleti kifejezéseket, melyeknél az unió és a metszet (logikában a VAGY és az ÉS) műveleti
jelek felcserélésével az állítások igazságtartalma továbbra is megmarad, egymás duálisainak nevezzük (dualitás).
(A fentebbieknél a két oszlopbeli kifejezések soronként egymás duálisai.)
(a, b) rendezett elempár, ahol a-t az első, b-t a második komponensnek nevezzük.
Azon (a,b) rendezetett elempárok halmazát, ahol a ∈ A és b ∈ B is teljesül, A és B halmazok Descartes-szorzatának
nevezzük. Jelölése: A x B [ejtsd: A kereszt B]
2
A x A esetén gyakran A2-et írunk, amit Descartes-négyzetnek hívunk.
Megfeleltetés: /Legyenek A és B tetszőleges halmazok./ Az A x B halmaz részhalmazait az A halmaz B halmazba történő megfeleltetésnek nevezzük, ahol A az indulási halmaz, B pedig az érkezési halmaz. Jelölése: ρ: A→B
Értelmezési tartomány azon A halmaz elemeinek halmaza, amelyekhez legalább egy B halmazbeli elem hozzá van rendelve.
Értékkészlet azon B halmaz elemeinek halmaza, amelyek hozzárendelhetőek valamilyen A halmazbeli elemhez.
Identikus megfeleltetésnek nevezzük A→A történő megfeleltetést.
Megfeleltetés inverze a B→A történő megfeleltetés.
/Legyen ρ: AB történő megfeleltetés és σ: B→C történő megfeleltetés./
Megfeleltetések szorzata ρ és σ szorzata, vagyis az A→C történő megfeleltetés.
Leképezés: /Legyenek A és B tetszőleges halmazok és ρ: A→B történő megfeleltetés./
A halmazt B halmazba képező parciális leképezésnek nevezzük, ha minden A halmazbeli elemhez legfeljebb egy
B halmazbeli elem van hozzárendelve, azaz (a,b) ∈ ρ.
Ekkor az A halmaz elemei a leképezés ősei, B halmaz elemei a leképezés képei.
A halmaz B halmazba történő megfeleltetését leképezésnek nevezzük, ha bármely A-beli elemnek pontosan egy
képe van.
/Legyen ρ: A→B történő leképezés./ ρ szürjektív leképezés, ha minden
B halmazbeli elemnek létezik őse.
ρ injektív leképezés, ha minden B
halmazbeli elemnek legfeljebb egy
őse van.
ρ bijektív leképezés, ha az
szürjektív és injektív leképezés.
3
Permutáció: Permutációnak nevezzük az önmagába mutató bijektív leképezést.
/Ha például A egy csomag kártya, a kártyák összekeverésével A egy permutációját állítjuk elő./ /Legyen π∈Sn tetszőleges permutáció./ Vegyük észre, hogy 1σ = 6, 5σ = 5, 6 σ = 6, míg xσ = x, ha x = 2,3,4,7. Ezt úgy is kifejezhetjük, hogy σ permutáció mozgatja az i ∈ {1, …, n} elemet, ha iπ ≠ i. Tetszőleges π ∈ Sn permutáció esetén a π által mozgatott elemek halmazát Mπ-vel jelöljük. /Legyen π ∈ Sn tetszőleges permutáció, továbbá |Mπ| = k > 1 a mozgatott elemek halmazának hossza./ Ha léteznek olyan a1, …, ak ∈ {1, …, n} elemek, hogy Mπ = {a1, …, ak} és a1π = a2, a2π = a3, …, ak-1π = ak, akπ = a1, akkor azt mondjuk, hogy π ciklikus permutáció, vagy röviden ciklus. Ez esetben a π-t így jelöljük: (a1, …, ak), a k számot pedig a ciklus hosszának nevezzük. A 2 hosszúságú ciklusokat transzpozíciónak nevezzük.
Reláció: /Legyenek A és B tetszőleges halmazok./ A reláció olyan megfeleltetés, ahol az indulási és az érkezési halmaz azonos. Jelölése: ρ ⊆ A x A
Ha adott egy reláció A halmazon, akkor A halmazt és a relációt együtt irányított
gráfnak nevezzük. Az A halmaz elemeit az irányított gráf pontjainak, a reláció
elempárjait pedig az irányított gráf éleinek nevezzük. Ha (a,b) a gráf éle, akkor
a-t az él kezdőpontjának, b-t pedig az él végpontjának hívjuk.
A séta olyan csúcspontok sorozata, melyek egymás után relációban állnak
egymással. Zárt sétáról akkor beszélünk, ha a kezdő és a végpont megegyezik
(a0 = an), ellenkező esetben nyílt sétáról beszélünk. Egy séta ismétlődhet.
Az út olyan séta, ahol a csúcspontok páronként különbözőek. Egy út nem ismétlődhet.
Relációk tulajdonságai:
reflexív: ha A minden eleme relációban áll önmagával (Pl.: egyenesek párhuzamossága, mert minden egyenes párhuzamos önmagával)
nem reflexív: ha létezik olyan A-beli elem, amelyik nem áll relációban önmagával (Pl.: nemnegatív számoknál az oszthatóság, ahol a 0 az egyetlen elem, mely nem osztható önmagával)
irreflexív / antireflexív: ha A egyik eleme sem áll relációban önmagával (Pl.: bármely halmazon az egyenlőtlenségi reláció, hiszen egyik szám sem kisebb/nagyobb önmagánál)
szimmetrikus: ha A minden eleme között kölcsönös reláció áll fenn (Pl.: halmazoknál az ekvivalenciareláció, ugyanis ha A egyenlő B-vel, akkor B is egyenlő A-val)
nem szimmetrikus: ha létezik olyan elempár, melyre nem teljesül a reláció kölcsönösen (Pl.: rész-egész példák: minden bogár rovar, de nem minden rovar bogár)
antiszimmetrikus: ha egy reláció kölcsönös teljesüléből következik, hogy a = b (Pl.: valós számoknál a ≤ (vagy a ≥) reláció: ha a ≤ b és b ≤ a, akkor a = b)
aszimmetrikus: ha egy reláció sosem teljesül kölcsönösen (Pl.: valós számoknál a < (vagy a >) reláció: nincs két olyan szám, melyre a < b és b < a egyidejűleg teljesülne)
dichotóm: ha egy reláció legalább az egyik irányban teljesül
tranzitív: ha a és b, valamint b és c relációban áll egymással, akkor a és c is relációban áll egymással (Pl.: ha a < b és b < c, akkor a < c) Megjegyzés: a tranzitivitás akárhány elemre öröklődik, tehát pl.: a1 < a2 < … < an a1 < an
A ̂ = ρ U ρ1 U ρ2 U … U ρn relációt ρ tranzitív lezártjának nevezzük (ρ = ρ0).
/Pl.: ρ = {(1,2), (2,3), (3,4), (5,2)} �̂� = {(1,2), (2,3), (3,4), (5,2), (1,3), (1,4), (2,4), (5,3), (5,4)}
Tehát az összes lehetséges utat fel kell sorolni./
4
Részbenrendezés: Részbenrendezett halmaznak (vagy más néven parciálisan rendezett halmaznak) nevezünk egy halmazt, ha
definiálva van a halmaz elemein egy részbenrendezés (vagy más néven parciális rendezés), azaz egy reflexív,
tranzitív, antiszimmetrikus reláció. Jelölése: ≤
/Legyen(A, ≤) részbenrendezett halmaz, x egy A halmazbeli elem./ Az x elemet minimális elemnek hívjuk, ha A halmazban minden elem nagyobb vagy egyenlő (≥) nála. Az x elemet maximális elemnek hívjuk, ha A halmazban minden elem kisebb vagy egyenlő (≤) nála . Az x elemet legkisebb elemnek hívjuk, ha A halmazban minden elem nagyobb (>) nála Az x elemet legnagyobb elemnek hívjuk, ha A halmazban minden elem kisebb (<) nála. Részbenrendezett halmaz rendezett részhalmazát láncnak nevezzük.
Ekvivalenciareláció: Egy homogén kétváltozós relációt akkor nevezünk tranzitív relációnak, ha az elempárok azon tulajdonsága, hogy
egymással relációban állnak, „láncszerűen” tovább adódik.
/Pl.: a testmagasság esetében a „magasabbnak lenni” relációnál: ha én magasabb vagyok az apámnál, az apám
pedig magasabb az anyámnál, akkor én magasabb vagyok az anyámnál. /
A reflexív, szimmetrikus és tranzitív relációkat ekvivalenciarelációnak nevezzük.
/Legyen A tetszőleges halmaz, ρ reflexív, szimmetrikus, tranzitív reláció ./ Az A halmazon értelmezett ρ ekvivalenciareláció esetén, valamely A halmazbeli elemmel relációban álló elemek halmazát ekvivalenciaosztálynak nevezzük. Jelölése: A(x) A halmazon értelmezett ρ ekvivalenciareláció esetén, ρ blokkjainak halmazát ρ-hoz tartozó faktorhalmaznak nevezzük. Jelölése: A | ρ
Azt a leképezést, ami az A alaphalmazon
definiált, és értékeit a faktorhalmazból
veszi fel, természetes relációnak
nevezzük. Ez egy szürjektív leképezés és a
leképezés magja egyenlő a relációval.
5
Számosság: Minden halmazhoz rendelünk egy számosságot oly módon, hogy az ekvivalens halmazok számossága egyenlő, a
nem ekvivalens halmazok számossága pedig különbözik. Jelölése: |A|
Két halmaz egyenlő számosságú halmaz, azaz ekvivalens halmaz, ha elemeik között bijekció létesíthető.
Véges halmaz: Ha létezik az ℕ A (= {0, 1, 2, 3 … n} { , a1, a2, a3 … an} ) injekció.
(Pl.: {0, 1, 2}, {3, 4}; véges halmazok halmaza: { {0, 1, 2}, {3, 4}, {5, 6, 7, 8} } )
Véges halmaz tulajdonságai:
A halmaz véges számosságú
A halmaz nem ekvivalens egyik valódi részhalmazával sem
Nem írható fel páronként különböző A elemeiből álló sorozat
Végtelen halmaz:
Egy halmaz megszámlálhatóan végtelen, ha létezik ℕ A (= {0, 1, 2, 3 … n} { , a1, a2, a3 … an} ) injekció.
(Pl.: ℕ, ℤ ℚ)
Egy halmaz megszámlálhatatlanul végtelen, ha nem létezik ℕ A injekció.
(Pl.: ℚ*, ℝ)
Végtelen halmaz tulajdonságai:
A halmaz végtelen számosságú
A halmaz ekvivalens valamely valódi részhalmazával
Felírható páronként különböző A elemeiből álló sorozat.
Egy halmaz kontinuum számosságú, ha számossága megegyezik a valós számok (ℝ) halmazával.
Cantor-Bernstein-Schröder tétel: Ha |A| ≤ |B| és |A| ≥ |B|, akkor |A| = |B|.
/Ha létezik ρ: A→B és σ: B→C injektív leképezések, akkor létezik ψ:A→B bijekció is. Azaz, ha létezik olyan ρ
leképezés, ami az A halmaz elemeihez a B halmaz különböző elemeit rendeli, és egy σ leképezés,
ami B elemeihez A különböző elemeit rendeli, akkor létezik olyan ψ leképezés is, mely A és B elemei között bijekciót
létesít./
Logika: Az ítélet olyan állítás, ami lehet igaz vagy hamis. Ha egy ítélet igaz vagy hamis, akkor azt mondjuk, hogy az ítélet
igazságértéke igaz vagy hamis. Negáció: ¬A (nem A)
/Legyen A és B ítélet. Ekkor:/
A ∧ B (A és B) konjukció
A ∨ B (A vagy B) diszjunkció
A B (ha A, akkor B; „A implikálja B-t”) implikáció
A⇔B (A akkor és csak akkor, ha B; valójában A B ∧ A B rövidebb alakja) ekvivalencia (Jele: ≡)
A B A ∧ B A ∨ B A B A⇔B
igaz igaz igaz igaz igaz igaz
igaz hamis hamis igaz hamis hamis
hamis igaz hamis igaz igaz hamis
hamis hamis hamis hamis igaz igaz
Formula: Logikai változó.
Egy formula részformulája a benne előforduló olyan összefüggő jelsorozat, amely maga is ítéletlogikai formula.
/Legyen F(A1, …, An) és H(A1, …, An) logikai formula./
6
F és H logikai formulák logikailag ekvivalensek, ha mindkét formula ugyanattól a változóktól függ és kiértékelésük
során a két (F és H) logikai értéke azonos lesz. Jelölése: F ≡ H
Két formula logikailag ekvivalens, ha egyforma az igazságtáblázatuk.
A ¬A B A B (¬A) ∨ B
igaz hamis igaz igaz igaz
igaz hamis hamis hamis hamis
hamis igaz igaz igaz igaz
hamis igaz hamis igaz igaz
Legfontosabb ekvivalencia tulajdonságok:
A ∧ B ≡ B ∧ A A ∨ B ≡ B ∨ A Kommutativitás
(A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C) (A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C) Asszociativitás
(A ∨ B) ∧ A ≡ A (A ∧ B) ∨ A ≡ A Abszorptivitás
(A ∨ B) ∧ C ≡ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C) (A ∧ B) ∨ C ≡ (A ∨ C) ∧ (B ∨ C) Disztributivitás
A ∧ A ≡ A A ∨ A ≡ A Idempotencia
¬(¬A) ≡ A
¬(A ∨ B) ≡¬ A ∧¬ B ¬(A ∧ B) ≡¬A ∨¬B De-Morgan azonosság
¬A ∧ A ≡¬ B ∧ B ¬A ∨ A ≡¬ B ∨ B
(¬A ∧ A) ∨ B ≡ B (¬A ∨ A) ¬B ≡ B
Teljes diszjunktív normálforma (TDNF): konjunkciók diszjunkciója (azaz: ÉS-eket VAGY-oljuk)
minden ki formula logikai változó
nincs két azonos diszjunktív tag
minden diszjunktív tag tartalmazza állítva (ponálva) vagy tagadva (negálva) az összes változót
Pl.: ∧ ̅ ∧ ∨ ̅ ∧ ∧ ∨ ̅ ∧ ∧ ̅
NEM TDNF: ∧ ∨ ̅ ∨ ̅ ∧ ∧ ̅
Teljes konjunktív normálforma (TKNF): diszjunkciók konjunkciója (azaz: VAGY-okat ÉS-eljük)
minden ki formula logikai változó
nincs két azonos konjunktív tag
minden konjunktív tag tartalmazza állítva (ponálva) vagy tagadva (negálva) az összes változót
Pl.: ∨ ∨ ∧ ∨ ∨ ∧ ( ∨ ∨ )
NEM TKNF: ∨ ∧ ∧ ∨ ∨
7
Tautológia: A tautológia olyan formula, amelynek bármely kiértékelése (azonosan) igaz lesz. Jele: ⊨
Ha egy tautológia változóit tetszőleges formulákkal helyettesítjük, ismét tautológiát kapunk.
Ha egy tautológia valamely részformulája helyébe vele logikailag ekvivalens formulát írunk, ismét
tautológiát kapunk.
/Legyen F1, …, Fn és G tetszőleges formulák. F1, …, Fn |= G /
G logikai következménye F1, …, Fn formuláknak, ha minden olyan esetben, amikor F1, …, Fn formulák igazak, akkor
a G formula is igaz lesz. Ekkor F1, …, Fn-t premisszáknak, G-t pedig konklúziónak nevezzük.
Kontrapozícióval történő bizonyításról akkor beszélünk, ha egy állításról úgy mutatjuk meg, hogy a premisszákból
következik, hogy az állítás tagadását vesszük fel premisszaként egy meglevő premissza helyébe, s belátjuk,hogy
ezekből következik az elhagyott premissza tagadása (pl. matematikában az indirekt bizonyítás).
Komplex számok: A komplex szám kanonikus alakja: , ahol a komplex szám normál alakja, a valós része,
pedig a képzetes (imaginárius) része. (Könnyű belátni, hogy esetén megkapjuk a valós számokat.)
A komplex szám trigonometrikus alakja:
A komplex szám exponenciális alakja:
z konjugáltja: ̅
z additív inverze:
Komplex szám hossza (abszolút értéke): √
Komplex számok:
Összeadása:
Valós számokhoz hasonlóan, pl.:
Kivonása:
Valós számokhoz hasonlóan, pl.:
Szorzása:
Valós számokhoz hasonlóan, pl.: – (mert )
Osztása:
Trükk: bővítsünk a nevező konjugáltjával, pl.:
=
=
=
Hatványa:
Inverze: ̅
Komplex szám n-edik gyöke:
egy n-edik gyök komplex számnak n darab különböző gyöke van:
√
√
gyökei az egységgyökök. ek = ,
n-edik egységgyökök felírhatóak az e1
hatványaiként: 1, e1,
, azaz k helyébe be kell helyettesíteni n darab egymást követő egész számot
(tetszőlegesen behelyettesíthetünk, de számolási szempontból célszerű a {0, 1, 2, … n}-t választani).
A – (valós-képzetes) koordinátasíkon a gyökök valójában egy n-oldalú szabályos sokszög csúcspontjait adják ki.
Pl.: √ √
√ (√ )
( ( (
√
)
) (
(√
)
)) √
( (
)
(
)) √
( (
) (
)) √
( (
) (
))
8
Most írjunk be k helyébe 3 darab egymást követő egész számot, pl.: a 0-t, az 1-et és a 2 –t; ekkor:
√
( (
) (
)) √
( (
) (
))
√
( (
) (
)) √
( (
) (
))
√
( (
) (
)) √
( (
) (
))
Ezek a csúcspontok egy origó középpontú, √
sugarú körvonalon helyezkednek el, szabályos háromszöget
alkotva. Más k értékekre csupán önmagába forgatnánk ezt a háromszöget, de az eredmény nem változna.
A szög kiszámolása:
Mivel a, b és r egy derékszögű háromszöget alkot, így a szöget egy számunkra kényelmes szögfüggvény inverzével
könnyedén kiszámíthatjuk. Általában a tangens a legkézenfekvőbb (
), mert ahhoz elég a két megadott
együttható, így a -t megkapjuk a következőképpen: (
)
Megjegyzés: Amikor a valós rész (a) nulla, akkor a tangens nem létezik (révén, hogy 0-val nem lehet osztani), ezért
ilyenkor célszerűbb a szinusz-függvényt használni, mert az a koszinusszal ellentétben (ami csak 0 lenne) már
árulkodik a szög nagyságáról:
√
Tehát -ből már tudni fogjuk, hogy
, -ből pedig, hogy
, az ábra felrajzolása nélkül.
Euler-formula:
9
Absztrakt algebra: Az (A,F) párt, ahol A egy nem üres halmaz, F pedig A halmazon értelmezett műveletek egy halmaza, algebrai
struktúrának, azaz algebrának nevezzük.
/Legyen A tetszőleges halmaz, ⊕ A halmazon egy művelet. /
Az a∈A elemen értelmezett ⊕ asszociatív művelet, ha (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)
Az a∈A elemen értelmezett ⊕ kommutatív művelet, ha a ⊕ b = b ⊕ a
Az egy alapműveletű, kétváltozós algebrákat grupoidoknak nevezzük.
A félcsoport olyan gruppoid, ahol egy művelet asszociatív.
Az egységelemes félcsoportokat monoidnak hívjuk. Monoidban minden elemnek legfeljebb egy inverze van.
(A, ⊕) algebrai struktúra csoport, ha a ⊕ művelet:
félcsoport
minden elemének létezik inverze.
Ha egy csoportban a művelet kommutatív, akkor kommutatív csoportnak hívjuk, vagy más néven Abel-
csoportnak.
[H] részcsoport, ha:
zárt a ⊕ műveletre
1 = a a-1 a, a-1∈H
invertálható
Az egy elem által generált csoportokat ciklikus csoportnak nevezzük, ha vagy végtelen vagy véges sok elemből áll.
Jelölése: [a]
(A, ⊕, +) algebrai struktúra gyűrű, ha:
(A, +) algebrai struktúra Abel-csoport
(A, ⊕) algebrai struktúra félcsoport
Disztributív a szorzásra nézve
Testnek nevezzük az olyan kommutatív gyűrűt, amelyben nullától különböző elemek a szorzásra nézve csoportot
alkotnak. Ez a test multiplikatív csoportja.
σ(a) az a elem rendje: a legkisebb olyan pozitív k egész szám, melyre ak = 1 vagy ha nincs ilyen pozitív szám, akkor
végtelennek definiáljuk.
/Legyen |G| (G elemszáma) G rendje. [G:H] H részcsoport G-re vonatkozó indexe egyenlő a H által meghatározott
mellékosztályok számával. /
Lagrange-tétel: |G| = [G : H] |H|
Lagrange-tétel következményei:
Részcsoport rendje osztója a csoport rendjének.
a elem rendje osztója a csoport rendjének. σ(a) | |G|
Két algebra azonos típusú, ha ugyanannyi művelet van definiálva mindkét halmazon: (A, ⊕), (B, +)
Ha egy leképezés művelettartó (a1 a2) φ = (a1φ) (a2φ), homomorfizmusnak nevezzük. A bijektív
homomorfizmust izomorfizmusnak hívjuk.
(B , ) részalgebrája (A ,◦), ha B⊆A és B zárt ◦ műveletre.
10
/Legyen A tetszőleges halmaz. /
[H] = {azon elemek halmaza, amelyek A halmazbeli elemekből kiindulva az adott művelet véges sok lépésben
alkalmazva kapható}. ([H], ) a legszűkebb részalgebra, amely tartalmazza az összes A halmazbeli elemet. [H] A
halmaz által generált részalgebra, azaz A halmaz generátorrendszere.
Az e elem A egységeleme, ha a ⊕ e = e ⊕ a = a minden a∈A elemre.
Az i elem A zéruseleme, ha a ⊕ i = i ⊕ a = a minden a∈A elemre.
Invertálás tulajdonságai:
Ha (A, ⊕) félcsoportban egy a∈A elemnek létezik inverze, akkor az egyértelmű. (a-1)
Ha (A, ⊕) félcsoportban egy a∈A elemnek létezik inverze, akkor (a-1)-1 = a
Ha (A, ⊕) félcsoportban a1 és a2 elemnek létezik inverze, akkor a1 ⊕ a2 nek is létezik inverze.
(a1⊕a2)-1 = a2
-1•a1-1
Ha (A, ⊕) félcsoportban a1, …, ak elemek létezik inverze, akkor (a1⊕ … ⊕a2) -1=ak-1⊕ … ⊕a1
-1
multiplikatív additív
Csoport, félcsoport (A, ⊕) (A, +)
Egységelem 1 0
a∈A inverze a-1 -a
Inverz inverze (a-1)-1=a -(-a)
Szorzat inverze (a b)-1 = b-1 a-1 -(a+b) = -b + -a
a∈A n-edik hatványa (n∈ℕ) an = a … a n a = a+…+a
a∈A 0-adik hatványa a0=1 0 a = 0
a∈A –n-edik hatványa (n∈ℕ) a-n = (a-1)n = (an)-1 (-n) = n (-a) = -(a n)
Hatványozás azonosságai an am = an+m (an)m = an m
(a b)n = an bn, ha a b = b a
m a + n a = (m+n) a n (m a) = (n m) a
n (a+b) = n a+n b, ha a+b = b+a