SepMärz 2011

ING II

Konstruktionslehre

Festigkeitsberechnung

RFH KÖLN University of Applied Sciences

Dipl.-Ing. Antoni Stefaniak

Konstruktionslehre

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Einleitung

Johannes Keppler 1571-1630:

•Ubi materia, ubi geometria

• Wo Materie ist, ist auch Geometrie

Eines der hauptsächlichen Merkmale in der Konstruktion ist die Geometrie. Die Konstruktion sollte nach Möglichkeit einfach in der Darstellung der Geometrie sein. Elemente, die nicht definiert sind, (Spline, Freiformflächen, Nurbs, etc.) sollten vermieden werden.

Zu jeder anspruchsvollen Konstruktion gehört die Berechnung der Bauteilfestigkeit für statische und dynamische Belastungen. Bei dynamischer Belastung ist zusätzlich die Berechnung des Schwingverhaltens und der Lebensdauer der Bauteile erforderlich.

Das Skript ist nicht vollständig und ist ausschließlich für den Gebrauch in Vorlesungen und Übungen bestimmt. Für sonstigen Gebrauch sind die angegebenen Quellen heranzuziehen. Es ist vorrangig an Maschinenelemente von Roloff/Matek orientiert. Der Inhalt von diesem Skript ist aus verschiedenen Fachbüchern entnommen, (als Vorlage dienten dabei die in der Literaturliste angegebenen Quellen) und ist durch Erfahrungswerte aufgearbeitet.

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Einleitung ......................................... ..........................................................................2

1 Festigkeitsberechnung.............................. .....................................................5

1.1 Allgemeines [1]............................................................................................................ 5

1.2 Beanspruchung- und Belastungsarten1......................................................................... 6

1.3 Spannungsdefinition..................................................................................................... 9

1.4 Grundbelastungsarten (Spannungsarten): .................................................................. 10

1.5 Belastungsart: Zug - Druck ........................................................................................ 10

1.6 Belastungsart: Biegung .............................................................................................. 11

1.7 Belastungsart: Torsion ............................................................................................... 11

1.8 Belastungsart: Querkraftschub ................................................................................... 12

1.9 Kerbspannung ............................................................................................................ 13

1.10 Biegespannung σb ......................................................................................................15

1.11 Lagerungsarten ........................................................................................................... 15

1.12 Loslager...................................................................................................................... 16

1.13 Festlager ..................................................................................................................... 17

1.14 Einspannung............................................................................................................... 17

1.15 Berechnung von Auflagerreaktionen.......................................................................... 18

1.16 Das Hookesche Gesetz für Normalspannungen (einachsig) ...................................... 19

1.17 Hooke'sches Gesetz für Schubspannungen (einachsig) ............................................. 21

1.18 Werkstoffverhalten, Festigkeitskenngrößen............................................................... 22

1.19 Festigkeitsnachweis und zulässige Spannungen ........................................................ 24

1.20 Statischer Lastfall....................................................................................................... 26

1.21 Dynamischer Lastfall ................................................................................................. 27

1.22 Einfluss der konkreten Gestalt des Bauteils auf die Spannungen .............................. 28

1.23 Torsion und Biegung – Vergleichsspannung ............................................................. 31

1.24 Sicherheiten................................................................................................................ 31

1.25 Literatur...................................................................................................................... 33

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Bild 1 Leonardo da Vinci Konstruktion einer Brücke

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1 Festigkeitsberechnung

1.1 Allgemeines [1] Bei der Berechnung und Nachprüfung der Bauteilabmessungen muss gewährleistet sein, dass die Kraftwirkungen, die sich aus den äußeren Belastungen des Bauteiles ergeben, mit ausreichender Sicherheit gegen Versagen des Bauteiles aufgenommen werden können. Die im jeweiligen gefährdeten Bauteilquerschnitt auftretende größte Spannung darf den für diese Stelle maßgebenden zulässigen Wert nicht überschreiten. Diese zulässige Spannung ist im Wesentlichen abhängig vom Werkstoff, von der Beanspruchungs- und Belastungsart sowie der geometrischen Form des Bauteiles und anderer Einflüsse, wie z.B. Bauteiltemperatur, Eigenspannungen, Werkstofffehler, korrodierend wirkende Umgebungsmedien. Die Dimensionierung eines Bauteiles richtet sich vor allem nach der Art seines möglichen Versagens (das Bauteil kann seine Funktion nicht mehr erfüllen), das in den meisten Fällen hervorgerufen wird durch:

Kommen mehrere dieser Fälle für das Versagen eines Bauteiles in Frage, so sollte der Nachweis für jede dieser Möglichkeiten erfolgen. Die ungünstigsten Verhältnisse sind dann der konstruktiven Auslegung des Bauteiles zugrunde zu legen. Der reine Festigkeitsnachweis (Gewalt-, Zeit- und Dauerbruch) kann in Anlehnung an Bild 3-1 durchgeführt werden.

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1.2 Beanspruchung- und Belastungsarten 1 Während des Betriebes wirken auf das Bauteil gewollte und ungewollte Belastungen ein. Ge- wollte Belastungen sind funktionsbedingt, während die ungewollten Belastungen meistens aus unerwünschten Vorgängen (ungewollte Schwingungen, Belastungsstöße, Eigenspannungen u.a.) resultieren. Je nach Wirkung der an einem Bauteil angreifenden äußeren Kräfte werden die im Bauteilquerschnitt verursachten inneren Kraftwirkungen unterschieden in Normalkräfte FN und Schubkräfte FQ, Biegemomente M und Torsionsmomente T. Daraus resultieren die Beanspruchungsarten Zug, Druck, Abscheren (Schub), Biegung und Torsion mit den entsprechenden Nennspannungen. Nennspannungen senkrecht zum Bauteilquerschnitt werden als Normalspannung (Zug-, Druck- und Biegespannungen), in der Querschnittfläche liegend als Tangentialspannung (Scherspannung-, Torsionsspannung) bezeichnet.

Außer diesen Grundbeanspruchungsarten wird noch das Beulen und Knicken als Sonderfall der Druckbeanspruchung und die Flächenpressung als Beanspruchung der Berührungsflächen zweier aufeinander gedrückter Körper unterschieden. Treten zwei oder mehrere Beanspruchungsarten gleichzeitig auf, z.B. Zug und Biegung oder Biegung und Verdrehung, so liegt eine zusammengesetzte Beanspruchung vor. Bei gleichartigen Spannungen (nur Normal- oder Schubspannungen, s. Bild 3-2) kann aus den Einzelspannungen eine resultierende Spannung σres bzw. τres und bei ungleicher Spannungsart als Vergleichsspannung σv

2) je nach maßgebender Festigkeitshypothese für duktilen3) (zähen) oder spröden4) Werkstoff gebildet werden. Aus der Vielzahl der Festigkeitshypothesen haben sich für praktische Festigkeitsberechnungen folgende Hypothesen bewährt:

- die Normalspannungshypothese (NH) für spröde Werkstoffe (σgrenz /τgrenz =1)5 . Sie setzt voraus, dass der Bruch senkrecht zur Richtung der größten Normalspannung erfolgt. Wird der Festigkeitskennwert des Werkstoffes (Rm )überschritten, tritt der Bruch ein.

- die Gestaltänderungshypothese (GEH) für duktile Werkstoffe (σgrenz /τgrenz =1,73). Hier ist die bei Verformung eines elastischen Körperelements gespeicherte Energie das Kriterium. Überschreitet diese den werkstoffabhängigen Grenzwert, versagt das Bauteil infolge der plastischen Formänderung.

- die Schubspannungshypothese (SH) für duktile Werkstoffe mit ausgeprägter Streckgrenze (zähe Stähle, σgrenz /τgrenz =2). Nach dieser Hypothese ist das Überschreiten der Gleitfestigkeit durch die größte wirkende Schubspannung für das Werkstoffversagen maßgebend.

- 1) Eine klare Trennung der Begriffe ist nicht gegeben, jedoch sollte der Begriff Belastung auf die Beschreibung der Lasten und der Begriff Beanspruchung auf die Inanspruchnahme der Festigkeits- und Elastizitätseigenschaften unter Einschluss Spannungsbegriffes orientiert sein.

- 2) Vergleichbare Normalspannung mit gleicher Wirkung wie Normal- und Schubspannung gemeinsam..

- 3) Duktile Werkstoffe zeichnen sich neben der elastischen vor allem durch eine große plastische Verformung vor dem Bruch aus (z.B. Baustahl).

- 4) Spröde Werkstoffe verformen sich bis zum Bruch nur elastisch (z.B. Glas, Schweißnaht,Grauguss).

- 5) σgrenz Normalspannung (τgrenz Scherspannung), bei der ein Werkstoff bei einachsigem Spannungszustand (einachsigem Scherversuch) versagt; Werkstoffkennwert.

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© C

opyright Rheinische F

achhochschule

Gewalt- und Dauerbrüche

Gewaltbruch einer Keilwelle:

- rauhe, zerklüftete Bruchfläche- bei Torsionsbelastung, Winkelvon 45°

Dauerbruch einer Ritzelwelle:

- glatte Bruchfläche mit Rastlinien,- Bei Biegebeanspruchung

quer verlaufender Bruch- Rißinitierung an lokalen Kerben

Dauerbruch einer Kurbelwelle:

- glatte Bruchfläche mit Rastlinien,- Biegung- und Torsionsbean-

spruchung- Rißinitierung an lokalen Kerben

Die meisten Versagensfälle in der Praxis sind Dauerbrüche!

1) Eine klare Trennung der Begriffe ist nicht gegeben, jedoch sollte der Begriff Belastung auf die Beschreibung der Lasten und der Begriff Beanspruchung auf die Inanspruchnahme der Festigkeits- und Elastizitätseigenschaften unter Einschluss Spannungsbegriffes orientiert sein.

2) Vergleichbare Normalspannung mit gleicher Wirkung wie Normal- und Schubspannung gemeinsam..

3) Duktile Werkstoffe zeichnen sich neben der elastischen vor allem durch eine große plastische Verformung vor dem Bruch aus (z.B. Baustahl).

4) Spröde Werkstoffe verformen sich bis zum Bruch nur elastisch (z.B. Glas, Schweißnaht,Grauguss).

5) σgrenz Normalspannung (τgrenz Scherspannung), bei der ein Werkstoff bei einachsigem Spannungszustand (einachsigem Scherversuch) versagt; Werkstoffkennwert.

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1.3 Spannungsdefinition Wirkt auf eine Fläche A eine Kraft F (modelliert als Kraftvektor), so wird der Quotient aus Kraft pro Flächeneinheit als Spannung σ bezeichnet:

Zerlegt man den Kraftvektor - wie unten dargestellt - in eine Komponente Fn senkrecht zur Fläche (Normalkraft) und eine Komponente Ft in der Fläche (Tangentialkraft), so erzeugt

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1.4 Grundbelastungsarten (Spannungsarten):

• Zug / Druck

• Biegung

• Torsion (Verdrehung)

• Querkraftschub

1.5 Belastungsart: Zug - Druck Es wirke eine Kraft F senkrecht auf eine Fläche A, also:

F= Kraft

A (oder A0) = Querschnittsfläche.

Die Kraft bewirkt eine Normalspannung.

Sie wird als Zug/Druckspannung σz/d bezeichnet. Nach Definition gilt:

Vereinbarung:

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1.6 Belastungsart: Biegung

Erzeugt eine Kraft ein Biegemoment Mb , so bewirkt sie eine Biegespannung σb. Diese ist eine Normalspannung.

Das Biegemoment Mb wirkt um die z-Achse (aus der Bildebene herauszeigend).

Das maximale Biegemoment beträgt Mb max = F* l .

1.7 Belastungsart: Torsion

Das Verdrillen durch ein Torsionsmoment bewirkt eine sogenannte Torsionsspannung τt . Torsionsspannungen sind Schubspannungen , d.h. die Spannungsvektoren liegen in der Fläche A!

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1.8 Belastungsart: Querkraftschub Eine Kraft, die quer zur Einspannung wirkt, bewirkt Schubspannungen in der Querschnittsfläche. Diese sogenannten Querkraftschubspannungen τ q sind parabolisch verteilt über die Fläche A

(übliche Darstellung) (physikalisch richtige Darstellung, Spannungsvektoren liegen im Querschnitt)

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1.9 Kerbspannung Kerben sind Stellen, an denen der Kraft- bzw. Momentfluss gestört bzw. umgelenkt wird.

Dies führt zu örtlichen Spannungskonzentrationen.

Beispiele für Kerben: Absätze, Bohrungen, Freistiche, Einstiche, Lunker, Härtungsgefüge

Kerbspannungen und Kerbwirkungszahlen am Beispiel Zugstab mit Loch

Nennspannung :

Maximale Spannung : σmax=αk∗σn€ , wobei α k die sogenannte Formzahl ist.

Üblich sind Werte 2 ≤ α k ≤ 5. Allgemein gilt: α k = f( Kerbform, Bauteilgeometrie, Belastungsart ). Die Formzahlen α k sind hauptsächlich für statische Belastungen (unabhängig von der Zeit) gültig.

Für dynamische Beanspruchung werden die Kerbwirkungszahlen β k verwendet, wobei βk<αk gilt.

Genauere Ermittlung von β k (Ansatz nach Petersen):

mit

ρ* = Radius der werkstoffabhängigen Ersatzprobe H = Werkstoffhärte des Bauteils in HV ( Vickers ) oder HB ( Brinell ) .

H0 = 40 HB oder 40 HV

das auf die max. Spannung bezogene Spannungsgefälle infolge der Beanspruchungsart .

das auf die max. Spannung bezogene Spannungsgefälle infolge der Beanspruchungsart und der Kerbform .

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Beispiel für X0* bei Biegung:

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1.10 Biegespannung σσσσb

Eine Kraft F bewirke ein Biegemoment Mb (siehe Zeichnung).

Die erzeugte Biegespannung σb verläuft linear, die maximale Biegespannung beträgt

, wobei

Wb das sog. Widerstandsmoment gegen Biegung ist. Es gilt

I = axiales Flächenträgheitsmoment bezüglich der x-Achse (in [mm4] bzw. [cm4]) e = Randfaserabstand (Abstand des Querschnitts, der am weitesten von der Biegeachse entfernt ist, siehe Zeichnung).

1.11 Lagerungsarten

• Loslager

• Festlager

• Einspannung

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1.12 Loslager Ein ebenes Loslager besitzt eine Lagerreaktion, z.B. Ay in der Zeichnung:

Realisierung im Maschinenbau als Wälzlager, z.B. Zylinderrollenlager:

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1.13 Festlager Ein ebenes Festlager besitzt zwei Lagerreaktionen, z.B. Ax und Ay in der Zeichnung

Realisierung im Maschinenbau: z.B. Rillenkugellager

1.14 Einspannung

Eine ebene Einspannung besitzt drei Lagerreaktionen, z.B. Ax , Ay und Me(Einspannmoment) in der Zeichnung:

Mmax lässt sich durch den Ort der Lagerung beeinflussen:

Je näher das Lager an der Krafteinleitungsstelle ist , umso geringer ist Mmax

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1.15 Berechnung von Auflagerreaktionen

Gegeben: F , α , l , a

Gesucht: Auflagerreaktionen

Lösung:

• Zerlegen der Kräfte in x – und y-Komponenten

Einzeichnen der möglichen Auflagerreaktionen (Richtungen zunächst beliebig)

Die Gleichungen I - III sind lineare Gleichungen für die Unbekannten Größen Ay,Bx,By und bilden damit ein lineares Gleichungssystem.

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1.16 Das Hookesche Gesetz für Normalspannungen (ein achsig) Zugversuch:

Abmessungen mit Index 0 : unbelasteter Zustand; Abmessungen ohne Index: belasteter Zustand.

Verlängerung des Zugstabs :

Längsdehnung : Querdehnung :

Querdehnzahl oder Querkontraktionszahl :

Z.B.: Stahl: ν=0,3

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Spannungs-Dehnungs-Diagramm oder σ -ε -Diagramm

Bezeichnungen:

Rp = Proportionalitätsgrenze , Streckgrenze Rm = Zugfestigkeit X = Zerreißfestigkeit

_________ (durchgezogene Linie): Werkstoff mit ausgeprägter Steckgrenze

___ . ___ . ___ (Stricht-Punkt-Linie): Werkstoff ohne ausgeprägter Steckgrenze

R0,2 = Ersatzstreckgrenze oder 0,2% Dehngrenze, d.h. plastische Dehnung von 0,2% ist zugelassen

Hookesches Gesetz für Normalspannungen (für den linearen Teil der Kurve): σσσσ====E∗ε∗ε∗ε∗ε

( E=tanα ist der Proportionalitätsfaktor, genannt E-Modul; dieser ist werkstoffabhängig)

E-Module einiger Werkstoffe:

Stahl : E =

GG : E =

GGG : E = 1,4

GFK : E = (Glasfaserkunststoff)

CFK: E = (Kohlefaserkunststoff)

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1.17 Hooke'sches Gesetz für Schubspannungen (einach sig) Bezeichnungen:

τ =Schubspannung

γ =Schubwinkel, Scherwinkel

Analog zum Hooke'schen Gesetz für Normalspannungen erhält man das

Hooke'sches Gesetz für Schubspannungen (in linearen Teil der Kurve): τ=τ=τ=τ=G ∗ γ ∗ γ ∗ γ ∗ γ

Dabei wird der Proportionalitätsfaktor G als Schubmodul oder Gleitmodul bezeichnet.

Es gilt: : , wobei ν die Querkontraktionszahl ist.

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1.18 Werkstoffverhalten, Festigkeitskenngrößen Aus Zugversuchen an Probekörpern werden wesentliche Kennwerte des Werkstoffverhaltens abgeleitet. Die Zugprobe wird dabei mit einer stetig ansteigenden Kraft belastet. Trägt man die Zugspannung über die Längsdehnung auf, so erhält man das Spannungs-Dehnungs-Diagramm.

σzul zulässige Spannung

σp Spannungswert an der Proportionalitätsgrenze

(Bis zu dieser Spannung verläuft die Kurve linear)

σE Elastizitätsgrenze

(Wird diese Spannung nicht überschritten, so verbleibt nach der Entlastung keine

bleibende Verlängerung.)

Re Streckgrenze

(Bei dieser Spannung setzt ein Abgleiten der Kristallgitter und damit eine schnell

anwachsende Verformung ein.

Bei hochfesten Stählen oder bei spröden Werkstoffen ist diese Grenze nicht ausgebildet.

Rp0.2 Spannungswert, bei dem die Probe nach Entlastung eine bleibende Dehnung von 0.2%

(ε= 0.002) behält.

(Dieser Spannungswert wird z.B.bei hochfesten Stählen anstelle der nicht ausgeprägten

Streckgrenze Re verwendet.)

Rm Bruchspannung

(Oberhalb Rm schnürt sich die probe örtlich ein. Bezieht man die Kraft auf den verringerten eingeschnürten Querschnitt, so wächst die Spannung bis zum Bruch weiter an.

δ Bruchdehnung

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Das Werkstoffverhalten bei Druckspannung kann aus einem analogen Druckversuch abgeleitet werden. Der lineare Bereich setzt sich in negativer Richtung betragsmäßig mindestens bis zum Wert des positiven Bereichs fort.

Wie schon erwähnt gilt für den linearen Bereich des Spannungs-Dehnungs-Diagramm

das Hookesche Gesetz (Robert Hooke, 1635-1703):

γτεσ

⋅=⋅=

G

E

Die zweite Beziehung die das Verhältnis zwischen der Schubspannung und der Gleitung beschreibt, lässt sich aus Torsionsversuchen ableiten.

Aus dem Zugversuch folgt auch das Verhältnis aus Quer- und Längsdehnung

εε

ν q−=

Dabei sind: E [N/mm2] Elastizitätsmodul

G [N/mm2] Gleitmodul (Schubmodul)

ν [-] Querkontraktionszahl

materialabhängige Größen.

Diese drei Größen sind nicht unabhängig voneinander. Es gilt

)1(2 ν+

= EG

Der (linearer) Wärmeausdehnungskoeffizient

α [k-1 ]

ist ebenfalls materialabhängig.

Für den allgemeinen räumlichen Fall sind die Materialkennwerte für homogenes, isotropes und linear-elastisches Materialverhalten einschließlich einer zulässigen Temperaturänderung ∆T aus Tabellen zu entnehmen.

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1.19 Festigkeitsnachweis und zulässige Spannungen Beim Spannungsnachweis (Festigkeitsnachweis) oder bei der Dimensionierung von Bauteilen wird immer eine berechnete Spannung mit einer zulässigen verglichen

zulσσ ≤

Dabei ist σ die berechnete Spannung, die bei Querschnittsunstetigkeiten gegebenenfalls noch korrigiert wird. σ zul ist die zulässige Spannung, die aus dem Zugversuch oder aus Dauerfestigkeitsversuchen auch unter Berücksichtigung von Korrekturfaktoren abgeleitet wird.

Wesentlichen Einfluß auf die Ermittlung der zulässigen Spannung hat die Art der Belastung:

Unter Belastung versteht man eine äußere Kraft [N] oder ein äußeres Moment [Nm], das an einem Bauteil angreift. Es erzeugt die Beanspruchung in Form von Normal- und Schubspannungen [MPa]. 1MPa = 1 N/mm2 .

Stoßartige und stochastische Belastungen erfordern für ihre Auswertung umfassende Kenntnisse und sollen nicht weiter erläutert werden.

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Auch die Lage der Schwingspiele bezüglich der Beanspruchungs-Nulllinie ist für eine eindeutige Aussage hinsichtlich des Beanspruchungs-Zeit-Verlaufes von Bedeutung.

Da bei zusammengesetzter Beanspruchung σ und τ in unterschiedlicher Art vorliegen, kann für einfachere Berechnungen mit dem Anstrengungsverhältnis α0 gerechnet werden.

Für den häufigsten Beanspruchungsfall der gleichzeitigen Biegung und Torsion wird für Stahl

α0 ~ 0,7 bei Biegung III, Torsion I (II)

α0 ~ 1,0 bei Biegung III, Torsion III

α0 ~ 1,5 bei Biegung I (II), Torsion III

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1.20 Statischer Lastfall σzul wird aus dem Zugversuch unter Berücksichtigung eines Sicherheitsfaktors abgeleitet.

Gewaltbruch einer Keilwelle:

- rauhe, zerklüftete Bruchfläche

- bei Torsionsbelastung, Winkel

von 45°

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1.21 Dynamischer Lastfall Bei schwingender Belastung erträgt das Material nicht so große Spannungswerte wie bei statischer Belastung. Der ertragbare Spannungsausschlag σa hängt vom Mittelwert der Spannung σm ab. Unter der Voraussetzung einer langen Lebensdauer spricht man von Dauerfestigkeit. Wird nur eine begrenzte Einsatzzeit (Zeitfestigkeit) gefordert, so erträgt das Material eine höhere Beanspruchung.

Die ertragbaren Spannungen bei Dauerfestigkeit müssen materialabhängig in sehr aufwendigen Versuchsreihen ermittelt werden. Der von σm abhängige ertragbare Spannungsausschlag σa wird für wichtige Werkstoffe jeweils in einem Dauerfestigkeitsschaubild (z.B. Smith oder nach Haig) in Tabellen angegeben.

Das Dauerfestigkeitsschaubild (DFS) nach Smith kann näherungsweise aus charakteristischen Materialkennwerten konstruiert werden. Diese Werte können aus Tabellenbüchern entnommen werden.

Die erforderlichen charakteristischen Kennwerte sind:

Re Streckgrenze (bzw. Rp0.2 )

σw Wechselfestigkeit bei σm = 0

σsch Schwellfestigkeit bei σu = 0

σdf Druckfestigkeit

DFS nach Smith mit den daraus abgeleiteten maximal ertragbaren Spannungsausschlag σa für eine gegebene Mittelspannung σm

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1.22 Einfluss der konkreten Gestalt des Bauteils au f die Spannungen a. Kerbwirkung

Schroffe Querschnittsänderungen führen zu Spannungsspitzen im Material. Eine genaue Berechnung der Spannungsspitzen ist sehr aufwendig. Es werden daher nur die Nennspannugnen σn nach der einfachen Theorie und der Einfluss der schroffen Querschnittsänderung wird näherungsweise durch Einflussfaktoren berücksichtigt.

Für statische Belastung werden vom Kerbtyp abhängige Formzahlen αK > 1 , die aus Tabellen entnommen werden können, zur Korrektur herangezogen. Es gilt dann:

Bei statischer Belastung zäher Werkstoffe ist eine Berücksichtigung nicht erforderlich, da zähe Werkstoffe einmalige Spannungsspitzen schadlos abbauen können.

Bei dynamischer Beanspruchung ist der Kerbeinfluss auf die Haltbarkeit nicht so groß wie bei der statischen Beanspruchung von spröden Materialen. Hier wird die Kerbwirkungszahl βK

obebtenrgeauschlagderSpannungsertragbare

obeerglattenausschlagdrSpannungsertragbare

AK

AK Prker

Pr==σσβ

definiert. Es gilt 1 ≤ βk ≤ αk

Die Ermittlung von βk –Werten ist sehr aufwendig. Man findet nur für wenige Fälle Werte in Tabellen. Liegt für eine konkrete Kerbe kein βk –Wert vor, so liegt man mit der Annahme βk = αk auf der sicheren Seite.

b. Oberflächengüte

Bei dynamischer Beanspruchung hat die Oberfläche Einfluss auf die ertragbaren Spannungen. Dieses wird durch den Oberflächenfaktor KO erfasst. Die höchste Spannung tritt bei schwingend beanspruchten Bauteilen fast immer an der Oberfläche auf, sodass ein Dauerbruch dort seinen Anfang hat. Der Einfluss der Rauheiten nimmt mit zunehmender Festigkeit des Werkstoffes zu und ist auch in geringem Maße noch von der Beanspruchungsart und der Bauteilgeometrie abhängig.

Weitere Faktoren sind in der Literatur beschrieben.

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c. Bauteilgröße

Versuche zur Erfassung der Einflüsse werden an kleinen Proben durchgeführt. Es zeigt sich aber, dass bei Biegewechselbeanspruchung die Bauteilgröße Einfluss hat. Diese Abhängigkeit wird durch die Faktoren K t , Kg ,Kα erfasst.

K t technologischer Größeneinflussfaktor, berücksichtigt die Härtbarkeit (Vergütbarkeit) und damit der erreichbaren Festigkeitswerte mit zunehmendem Bauteildurchmesser

Kg geometrischer Größeneinflussfaktor, resultiert aus dem unterschiedlichen Spannungsverlauf bei Zug/Druck und Biegung

Kα formzahlabhängige Größeneinflussfaktor, ist werkstoffabhängig und berücksichtigt die Abhängigkeit der Kerbwirkung vom Bauteildurchmesser.

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Zulässige Spannungen bei dynamischer Beanspruchung

Im dynamischen Fall wird nicht die berechnete Nennspannung in Abhängigkeit der Kerbwirkung, der Oberflächengüte und der Bauteilgröße erhöht und dann mit einer zulässigen Spannung verglichen. Es ist vorgeschrieben, die Dauerfestigkeit σD entsprechend diesen Einflüssen zu verringern und aus σD die reduzierte Gestaltfestigkeit σGestalt zu berechnen. Aus der Gestaltfestigkeit ergibt sich mit dem Sicherheitsfaktor für Dauerfestigkeit SD die zulässige Spannung σzul .

Den für diese Rechnung erforderlichen Ausgangswert der Dauerfestigkeit σD erhält man abhängig vom Material und der vorhandenen berechneten Mittelspannung aus dem DFS.

σD entspricht dem zulässigen Spannungsausschlag σm

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1.23 Torsion und Biegung – Vergleichsspannung Torsion, Biegung und Längskraft treten häufig gekoppelt auf ( z.B. bei Getriebewellen).

Bei kombinierter Beanspruchung reduzieren sich die zulässigen Werte.

Zur Beurteilung der Materialbeanspruchung wird eine Vergleichsspannung σv berechnet, die mit der meist aus einem Zugversuch abgeleiteten zulässigen Spannung verglichen wird.

zulv σσ ≤

Somit gilt für die NH die Vergleichsspannung :

20

2 )(45.0 tbbv τασσσ ⋅++⋅= (spröde Werkstoffe)

und für die GEH die Vergleichsspannung :

20

2 )(3 tbv τασσ ⋅+= (duktile Werkstoffe)

1.24 Sicherheiten

Beim statischen und dynamischen Festigkeitsnachweis sind die im Bauteil vorhandenen Spannungen mit den ertragbaren Spannungen (Bauteilfestigkeitswerte) zu vergleichen. Die hierbei ermittelten Sicherheiten (vorhandene Sicherheiten) müssen größer oder gleich der erforderlichen Mindestsicherheiten sein.

Sicherheitszahlen ν für den Maschinenbau

Werkstoffart Zähe Werkstoffe, z.B. Stahl Spröde Werkstoffe, z.B. Gußeisen

Bealstungsfall I II III I II III

Sicherheitszahl ν 1,2….1,5 1,8….2,4 3….4 2…4 3…5 5….6

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1.25 Literatur

[1] Roloff/Matek: Maschinenelemente.16. Auflage, Wiesbaden: Springer-Verlag, 2003

[2] Dubbel, Springer-Verlag 2003

[2] Goebel, Festigkeitslehre