INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL · Posteriormente para proponer una forma de reducción de la amplitud de vibración se colocará un sistema masa-resorte adicional a sistema masa-resorte

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

UNIDAD PROFESIONAL AZCAPOTZALCO

México, D. F. 2009

“PROTOTIPO DIDÁCTICO PARA EL ESTUDIO DEL FENÓMENO DE RESONANCIA PRODUCIDO POR DESBALANCEO

ROTATORIO”

T E S I S QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE INGENIERO MECÁNICO Y ROBÓTICA INDUSTRIAL

P R E S E N T A N:

ALBERTO LEÓN ISLAS GRACIELA MONSERRAT RUBIO MORENO

Í N D I C E

PÁG

OBJETIVO i

INTRODUCCIÓN i i

ANTECEDENTES iv

JUSTIFICACIÓN v

CAPÍTULO 1 MARCO TEÓRICO

1.1 Generalidades 02 1.1.1 Definiciones y Unidades. 04 1.2 Elementos de un Sistema Vibratorio 06 1.3 Clasificación de Vibraciones. 07 1.4 Sistema vibratorio lineal, libre no amortiguado de un grado de libertad en traslación

09

1.5 Vibración forzada excitada armónicamente 14 1.5.1 Ecuación diferencial de movimiento 14 1.5.2 Vibración forzada no amortiguada 15 1.5.3 Vibración forzada con amortiguamiento viscoso 20 1.6 Fuerza transmitida a la base 23 1.7 Sistemas de dos grados de libertad 25 1.8 Vibración libre no amortiguada 27 1.8.1 Solución en forma matricial 32 CAPÍTULO 2 DESBALANCEO ROTATORIO Y CONTROL DE VIBRACIONES

2.1 Desbalance Rotatorio 36 2.1.1 Introducción 36 2.1.2 Demostración y fundamentos teórico matemáticos 38 2.1.3 Fuerza transmitida 41 2.2 Control mecánico de vibraciones 45 2.2.1 Aislamiento de vibraciones 48 2.2.2 Control de frecuencias naturales 49 2.3 Amortiguador dinámico de vibraciones 49

CAPÍTULO 3 SISTEMA ELECTROMECÁNICO Y CONTROL ELECTRÓNICO

3.1 Microcontrolador 56 3.2 La pila 62

3.3 Software para PIC´S 66

CAPÍTULO 4 CARACTERIZACIÓN, DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA ELECTROMECÁNICO

4.1 Diseño del sistema mecánico de vibración 67 4.2 Diseño del amortiguador de vibraciones 73 CAPÍTULO 5 CARACTERIZACIÓN, DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA ELECTRÓNICO COMPUTACIONAL

5.1 Material 78 5.2 Implementación de circuitos 81 CONCLUSIONES 92

BIBLIOGRAFÍA

93

i

OBJETIVO

DISEÑAR Y CONSTRUIR UN PROTOTIPO DIDÁCTICO PARA EL

ESTUDIO DEL FENÓMENO DE RESONANCIA PRODUCIDO POR

DESBALANCEO ROTATORIO DE UN MOTOR ELÉCTRICO, MONTADO

EN UN VIGA EN VOLADIZO.

ii

INTRODUCCIÓN

Los fenómenos de vibraciones mecánicas son muy comunes, por ejemplo,

permiten la comunicación, ya que los sonidos que escuchamos son el

resultado de la vibración de al tas frecuencia de membranas que forman

nuestros oídos, estímulos que procesa el cerebro separando las diversas

frecuencias, con lo que se dist inguen las palabras y da signif icado y así se

logra la comunicación. Como ejemplos de vibraciones de baja frecuencia en

el cuerpo humano están la de los pulmones y el corazón.

Un gran cantidad de equipo y maquinaria, que requieran para su

funcionamiento movimiento rotatorios presentan una vibración, práct icamente

inevitable (pero controlable) y es debida a desbalanceo de la masa de los

componentes del sistema. Esto puede deberse a la fal ta de homogeneidad

propia de todos los materiales usados en ingeniería, así como de defectos de

manufactura normalmente inevitables dada la naturaleza propia de los

procesos. La comprensión del fenómeno de desbalanceo ayuda a la

reducción y control de esta si tuación que normalmente es indeseable, a

menos que se induzcan vibraciones intencionalmente para mejorar ciertos

procesos, pero aun en estos casos se debe tener un control del movimiento

vibratorio, para un correcto diseño mecánico que permita una vida úti l

adecuada del equipo o máquina por producir.

Visual izar y entender el fenómeno de resonancia mecánica, no es tan simple,

debido a que en desbalanceo rotatorio dicho fenómeno se presenta a una

frecuencia de excitación relat ivamente baja, en comparación con las

velocidades de operación normal de la maquinaria rotat iva; en principio se

pudiera pensar que a mayor velocidad de rotación mayor respuesta

desagradable o indeseable, pero no es así.

Una vibración por desbalanceo no controlada produce esfuerzos excesivos en

los componentes mecánicos lo que a su vez produce fal las prematuras,

iii

catastróficas e impredecibles, aparte de ser muy desagradables por la

producción de ruido y malestar f ís ico al estar expuesto a dicha si tuación.

Por todo lo antes mencionado resulta indispensable un estudio adecuado del

fenómeno de desbalanceo rotatorio; por tal motivo se propone el desarrol lo

de un disposit ivo que muestre los al tos valores de desplazamiento que se

alcanzan durante la resonancia de un sistema mecánico. Para el lo se pensó

en uno senci l lo, que consiste de un motor eléctr ico con velocidad controlada,

que aumente desde cero a valores necesarios para alcanzar y luego rebasar

los valores de giro donde se presenta la resonancia. Ese motor será

sostenido mediante una viga en voladizo que es el elemento elástico que

faci l i tará la osci lación de la masa del motor junto con su abrazadera.

Posteriormente para proponer una forma de reducción de la ampli tud de

vibración se colocará un sistema masa-resorte adicional a sistema masa-

resorte antes descrito, con lo que se observará una reducción importante en

la ampli tud de vibración para la frecuencia en donde se presenta la

resonancia.

iv

ANTECEDENTES

Desgraciadamente cuando cursamos la asignatura de vibraciones mecánicas,

tanto en la carrera de robótica como en la de mecánica, no tuvimos la

oportunidad de asist i r a un laboratorio donde pudiéramos ver el fenómeno de

resonancia mecánica, a pesar de ser una si tuación muy común en la vida

cotidiana, por ejemplo sin percatarnos nos damos cuenta que al encender un

automóvi l en su fase inicial el motor presenta una sacudida brusca

momentánea, debido precisamente a la resonancia; también cuando se

golpea fuertemente una l lanta del automóvi l se siente molestia en el volante

cuando se alcanza cierta velocidad. No siempre estamos consientes de que

es lo que sucede y mucho menos del porqué de esa si tuación. En una de la

diversas visi tas industriales durante nuestros estudios profesionales,

notamos que en cierta empresa que contaba con una grúa viajera, esta se

balanceaba l igeramente cundo soltaba el material que transportaba. Con

estos antecedentes se pensó en un sistema simple que nos indique dos de

los elementos de un sistema vibratorio que son la elasticidad y la masa, así

como del agente excitador que es debido a una pequeña masa des

balanceada. Part iendo de los novedosos controles de velocidad de los

motores eléctr icos se pensó en adaptarlo a nuestro sistema, añadiendo una

pantal la que indique las revoluciones por minuto que se alcanzan al aumentar

el voltaje suministrado al motor. Todo lo anterior montado en una base que

sostiene una pequeña viga en voladizo, empotrada en un extremo y en el otro

sosteniendo el motor de velocidad variable controlada.

v

JUSTIFICACIÓN

Este protot ipo está diseñado para la demostración y comprensión del

fenómeno de resonancia para un programa de estudios como material

didáct ico dedicado al diseño de sistemas mecánicos donde se puede

presentar este t ipo de fenómeno regularmente, y así mediante la teoría

elaborar practicas demostrat ivas que nos ayuden a anal izar y razonar el

fenómeno que se presenta en sistemas vibratorios, ya que en la actual idad

no se cuenta con este t ipo de apoyo didáctico

Considerando este prototipo un material didáctico para prácticas

demostrat ivas encaminado al programa de estudios profesionales de

Mecánica de Vibraciones podemos comprender mejor el fenómeno de

resonancia y comprobar el comportamiento mediante el marco teórico y

modelos matemáticos para su resolución donde este se presenta

cotidianamente. Tomando en cuenta que en nuestra formación profesional no

contamos con protot ipos que ayuden a visual izar este t ipo de fenómenos y

así considerar esto como una aportación para mejorar y faci l i tar un estudio

tan complejo y favorecer el desempeño del estudiante de ingeniería

mecánica.

IPN-ESIME MARCO TEÓRICO

ALBERTO LEON ISLAS MONSERRAT RUBIO MORENO

1

MMAARRCCOO TTEEÓÓRRIICCOO

Este Capítulo Trata Acerca De Los Conceptos Básicos De Vibración Mecánica Y Programación Que Nos Ayudarán Al

Desarrollo De Nuestro Prototipo.



2

1 .1 GENERALIDADES

Vibraciones Mecánicas es el estudio del movimiento repetitivo de objetos relativo a un marco

estacionario de referencia o posición nominal (usualmente la de equilibrio). Este movimiento

puede ser de manera regular y repetirse continuamente o bien de manera irregular o de

naturaleza aleatoria. Aunque el término vibración usualmente implica oscilación mecánica,

condiciones similares prevalen en otras áreas, tales como circuitos eléctricos alternantes,

ondas electromagnética y acústica. Sin embargo, sólo se tratará con vibración de sistemas

mecánicos; ejemplos típicos de estos casos son el movimiento de una cuerda de guitarra,

de un vehículo al transitar por caminos ondulados, o de edificios en un sismo.

La explicación del fenómeno de vibraciones involucra el intercambio entre energía potencial

y energía cinética. Las vibraciones inician cuando una masa (inercia) es desplazada de su

posición de equilibrio debido a una energía impartida al sistema a través de una fuente

externa. Una fuerza o momento restaurador jala a la masa a su posición de equilibrio.

Tómese por ejemplo el péndulo simple mostrado. El trabajo

mecánico, realizado sobre la esfera al desplazarla de su

posición de equilibrio, desarrolla energía potencial ( h∆ ).

Cuando la esfera es soltada la fuerza de gravedad la regresa a

su posición de equilibrio, pero la energía potencial se comienza

a convertir en energía cinética. Cuando la esfera pasa por la

posición de equilibrio la energía potencial es cero pero la

inercia de la esfera la obliga a continuar su movimiento. En

ausencia de fuerzas no conservativas (rozamiento) la

transferencia de energías es continua.

Un sistema dinámico puede describirse en el siguiente esquema:

h∆



3

Para describir los elementos anteriores, se sigue el siguiente orden respuesta, propiedades y

por último la excitación.

Todo análisis dinámico requiere un sistema de referencia, sobre el cual queden definidas las

cantidades de posición, desplazamiento, velocidad y aceleración. Una selección adecuada

facilita la aplicación de la herramienta matemática.

En vibraciones mecánicas se puede utilizar cualquier coordenada que mida el

desplazamiento (cartesiana, polar, etc.) Una coordina es una cantidad independiente que

especifica la posición de una partícula.

Un análisis adecuado de un sistema vibratorio exige una selección adecuada del sistema de

coordenadas. Por ejemplo el análisis de un péndulo simple, puede utilizarse coordenadas

cartesianas o rectangulares. Sin embargo este sistema tiene una restricción que es la

longitud de la cuerda que sostiene la masa por lo que las coordenadas rectangulares están

ligadas por la relación 222 lyx =+ , lo que tiene consecuencias importantes en el análisis del

sistema. Esta restricción limita el movimiento de la masa. Así la posición de la masa puede

ser descrita mediante la coordenada θ , ya que l es constante.

Se define como grados de libertad de un sistema vibrante el número de parámetros

independientes necesarios para definir su configuración, en cualquier instante.

INERCIA

RIGIDEZ

AMORTIGUAMIENTO

FUERZA

MOMENTO

DESPLAZAMIENTO

DESPLAZAMIENTO

VELOCIDAD

ACELERACIÓN

ESTIMULO, EXCITACIÓN O PERTURBACIÓN PROPIEDADES MECÁNICAS

RESPUESTA



4

Se denomina número de grados de l ibertad al número mínimo de coordenadas

requeridas para describir completamente el movimiento de un sistema dinámico.

El grupo de coordenadas que describen de manera generalizara y que reconocen las

restricción se llaman coordenadas general izadas .

Considérese que ahora el péndulo tiene movimiento de acuerdo a dos coordenadas

angulares, θ y φ como se muestra en la figura. El movimiento de una coordenada es

independiente de la otra. El movimiento en el que sólo una coordenada varía es llamado

modo principal del movimiento. Analíticamente, la mayoría de los problemas no requieren

el uso de coordenadas principales, pero su competo es sumamente importante. En sistemas

lineales, todos los movimientos pueden ser descritos por la superposición de modos

principales.

1 .1 .1 DEFIN IC IONES Y UNIDADES

Vibración: Una partícula experimenta una vibración mecánica cuando a

intervalos iguales, pasa por las mismas posiciones animada por la misma

velocidad. Se def ine por su desplazamiento, velocidad, aceleración y

frecuencia.

Vibración Mecánica: Movimiento periódico u osci latorio de un cuerpo, con

respecto a su posición de equi l ibr io.

Movimiento: Cambio de posición, desplazamiento, velocidad, aceleración.



5

Desplazamiento (amplitud): Es la distancia entre la posición de la partícula

que vibra y su posición de reposo. Generalmente nos refer imos a la ampli tud

máxima. Unidad: m

Velocidad: Es la velocidad que anima a la partícula. Equivale a la derivada

del desplazamiento con respecto al t iempo. Unidad: m/seg.

Aceleración: Es la variación de la velocidad por unidad de t iempo y equivale

a la segunda derivada del desplazamiento con respecto al t iempo. Unidad:

m/seg2.

Frecuencia propia del sistema: Es la frecuencia en la cual osci laría el

sistema si se sacara de su estado de equi l ibr io. Es función de la masa y de

la elast icidad de todos los sistemas que lo componen. Unidad: Hz.

Resonancia: Cuando un sistema es excitado por una fuerza armónica

externa, cuya frecuencia es igual a la frecuencia natural del sistema, la

ampli tud de la vibración crece y se dice que el sistema está en la resonancia.

Amortiguamiento: Cualquier inf luencia que extrae energía a un sistema en

vibración se conoce como amortiguamiento.

Sistema Vibratorio: Es todo cuerpo o conjunto de cuerpos, capaces de sufr i r

v ibraciones mecánicas, que en general incluyen los siguientes partes:

1) Un medio para almacenar energía potencial de deformación

(elast icidad)

2) Un medio para almacenar energía cinética ( inercia –masa o

momento de inercia)

3) Un medio para disipar energía gradualmente

(amort iguamiento).

Un Sistema vibrator io involucra la transferencia de energía potencial a

cinética, y cinética a potencial , al ternadamente. El amortiguamiento disipa en

cada ciclo energía hasta alcanzar el equi l ibrio cesa la vibración.



6

1 .2 ELEMENTOS DE UN SISTEMA VIBRATORIO.

Elasticidad: Es la propiedad de los cuerpos físicos, que les permite deformarse y

recuperar su forma y sus dimensiones originales, se mide mediante el módulo de elasticidad

o rigidez, dependiendo del tipo de carga a que se someta el cuerpo durante la vibración. El

elemento elástico de un sistema vibratorio se representa mediante un resorte con constante

elástica k. Dado que el resorte es sólo una representación de una propiedad se considera

carente de masa.

Inercia: Es la propiedad de los cuerpos rígidos en virtud e la cual ofrecen resistencia al

cambio de su estado de movimiento. Si el cuerpo se mueva en traslación se mide mediante

la masa, si el cuerpo esta rotando se mide mediante el momento de inercia respecto a su eje

de giro.

Amortiguamiento: Es el elemento disipador de energía, carece de masa y elasticidad,

transforma la energía en calor y sonido. Su efecto tiende a reducir la amplitud de vibración

con lo que se alcanza el estado de equilibrio.

Nótese que los tres elementos descritos están relacionados con los parámetros cinemáticos

de desplazamiento, aceleración y velocidad, respectivamente.



7

1.3 CLASIFICACIÓN DE VIBRACIONES.

Las vibraciones mecánicas se clasifican de acuerdo con varios criterios, tomando en cuenta

las características de los sistemas vibratorios:

Tomando en cuenta el tiempo en que la excitación es aplicada al sistema puede ser: libre o

forzada.

Libre: Se presenta si el sistema es sometido a una perturbación inicial y continúa vibrando

por si mismo

Forzada: Se presenta cuando el sistema es sometido a una perturbación sostenida.

Tomando en cuenta la disipación de energía puede ser no amortiguado o amortiguado.

No amortiguada: Se presenta cuando la pérdida de energía es despreciable.

Amortiguada: Considera la pérdida de energía en cada ciclo.

Tomando en cuenta el comportamiento de los elementos que constituyen al sistema

vibratorio:

Lineal, se presenta si se consideran que los elementos de un sistema vibratorio (masa,

elasticidad y amortiguamiento) tienen comportamiento mecánico lineal.

No Lineal, se presenta si se consideran que los elementos de un sistema vibratorio (masa,

elasticidad y amortiguamiento) tienen comportamiento mecánico no lineal.

De acuerdo con el número de grados de libertad, puede ser de un grado, de dos o de n

grados de libertad.

El método de análisis utilizado para resolver el problema matemático resultante de un

modelo matemático de un sistema vibratorio depende de un gran número de factores. Un

sistema con un número finito de grados de libertad, es un sistema discreto. La vibración de

un sistema de un grado de libertad está regida por una ecuación diferencial ordinaria en la

cual el tiempo es la variable independiente y la coordenada generalizada elegida es la



8

variable dependiente. La vibración de un sistema de varios grados de libertad está regida

por un sistema de n ecuaciones diferenciales, donde n es el número de grados de libertad.

Las variables dependientes son las coordenadas generalizadas elegidas mientras el tiempo

es la variable independiente. Las ecuaciones diferenciales para el sistema de varios grados

de libertad son sistemas generalmente acoplados.

Un sistema continúo pero la aproximación a discreto por elemento finito es usada para

resolver el problema.

Un sistema alcanza vibración libre, cuando la vibración ocurre en ausencia de una excitación

externa. Las vibraciones son iniciadas por el desarrollo de una energía cinética o potencial

en el sistema. En ausencia de fuerzas no conservativas, vibración libre sostenida por si misa

y en un movimiento periódico. Vibraciones que ocurren en la presencia de excitación

externa son llamadas vibraciones forzadas. Si la fuerza de excitación es periódica, la

excitación se dice ser armónica. Vibración forzada no periódica son llamadas vibraciones

transitorias.

Un sistema es lineal si está regido por una ecuación diferencial lineal. Un sistema es no

lineal si su movimiento está gobernado por una ecuación diferencial no lineal. Bajo ciertas

condiciones las vibraciones de sistema no lineales sometidos a excitación periódica pueden

no ser periódicos. Tales sistemas son llamados caóticos.

Si la fuerza de excitación es conocida en todo instante de tiempo, la excitación se dice ser

determinística. Si la fuerza de excitación es desconocida, pero promedios y derivaciones

normalizadas son conocidos, la excitación se dice ser aleatoria. En este caso la vibración

resultante es también aleatoria, y no puede determinarse exactamente en cualquier instante

de tiempo.



9

1.4 SISTEMA VIBRATORIO LINEAL, LIBRE NO AMORTIGUADO DE UN GRADO DE LIBERTAD EN

TRASLACIÓN

En este caso sólo se desprecia el amortiguamiento, la excitación es una fuerza o movimiento

inicial, así que sólo se considera la masa y elasticidad (Sistema Conservativo).

Análisis Estático

Análisis Dinámico

La frecuencia natural, es la frecuencia con la cual un sistema mecánico vibra por sí sólo (sin

fuerza externa), como resultado de una perturbación inicial. Es una medida de la

susceptibilidad de un sistema a vibrar.

F mxΣ = && → ( )estmg k x mxδ− + = &&

estmg k kx mxδ− − = &&

0mx kx+ =&& Ecuación de movimiento

0kx xm

+ =&& Si n

km

ω =

nω → Frecuencia Circular Natural cuyas unidades son rad

s⎡ ⎤⎣ ⎦

2 0nx xω+ =&& Oscilador armónico mx&&

( )e estF k xδ= +

mg

estδ

e estF kδ=

estδ

mg

Por Equilibrio estmg kδ=



10

Para resolver la ecuación de movimiento, se asume la solución del tipo stx Ae= , derivándola

dos veces da 2 stx As e=&& , sustituyendo en la ecuación de movimiento.

( ) ( )2 2 0t stnAs e Aeω+ =

factorizando stAe se obtiene ( )2 2 st

ns Aeω+ 0=

de donde 2 2 0ns ω+ = es la ecuación característica

∴ 2 2

ns ω= − ⇔ ns iω= ±

entonces la solución es 1 1

1 2n ni t i ts t s tx x x ax bx ax bxω ω−= + = + = +

esto es, las raíces son complejas y conjugadas. De la fórmula de Euler

cosie isenθ θ θ± = ±

( )cosni tn nax a t isen tω ω ω= +

( )cosni tn nbx b t isen tω ω ω= +

sustituyendo en x, ( )cos n nx a t isen tω ω= + + ( )cos n nb t isen tω ω+

ordenado por función trigonométrica

( ) ( )cos m nx a b t i a b sen tω ω= + + − o bien

1 2cos n nx c t c sen tω ω= + o

( )nx Xsen tω φ= + donde

2 21 2X c c= + y

1

2

1tan ccφ −=

; derivando x 2 veces

( )cosn nx X tω ω φ= +& ( )2n nx X sen tω ω φ= − +&&

Los valores máximos se presentan cuando las funciones trigonométricas son iguales a uno.



11

x X= amplitud; m nx Xω=& ; 2

m nx Xω= −&&

Análisis del Movimiento Armónico Simple: En 0t = se presenta las condiciones iníciales 0x

y 0x& , sustituyendo t y 0x , es la ec. de desplazamiento

0 1 cos 0nx c ω= 2 nc sen tω+ ⇒ 0 1x c=

en la ecuación de velocidad se tendrá

0 1 0n nx c senω ω= −& 2 cos 0n nc ω ω+ ⇒

02

n

xcω

=&

Sustituyendo 1c y 2c en la ec. de desplazamiento, se obtiene la respuesta x del oscilador

armónico:

00 cos n n

n

xx x t sen tω ωω

= +&

( )nXsen tω φ= +

Donde 2

2 00

n

xX xω⎛ ⎞

= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

&

y

1 0

0

tan nxxωφ −=&

Son tres las cantidades que definen la respuesta x, la amplitud X, en ángulo de fase f y la

frecuencia natural nω . Las dos primeras dependen de la fuerza externa, especialmente de

las condiciones iníciales, y el tercer de los factores de los parámetros del sistema, m y k. La

frecuencia natural es una característica del sistema, siempre es la misma

independientemente de las condiciones iníciales, de ahí el nombre de natural.

Periodo y frecuencias de oscilación: de acuerdo con las definiciones



12

2n

n

πτω

= 2

nnf

ωπ

=

Conservación de la Energía: Para este sistema existen dos tipos de energía mecánica

presentes, la cinética T, resultado del movimiento de la masa y la potencial V, resultado de la

deformación del resorte desde su posición de equilibrio

2 21 1

2 2; =T mx U kx= &

La energía total E, es la suma de la cinética y la energía de deformación 2 21 1

2 2 + E mx kx= &

sustituyendo ( ) ( ) y cosn n nx Xsen t x X tω φ ω ω φ= + = +&

( ) ( )( ) ( )

2 21 12 2

2 2 2 21 12 2

+ cos

= cos = n n n

n n

E m Xsen t k X t

kX sen t t kX

ω φ ω ω φ

ω φ ω φ

= + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦

Esto es la energía de sistema de libre no amortiguado de un grado de libertad es constante,

para cualquier posición x. Dado que 2nk mω=

2 2 21 1

2 2 = = = constantenE kX mXω

Por tanto el sistema es conservativo

Las gráficas de posición, velocidad y aceleración para un movimiento armónico simple que

es el un sistema de un grado de libertad no amortiguado son las siguientes:



13

2

nXω

Xω

x



14

1 .5 VIBRACIÓN FORZADA EXCITADA

ARMÓNICAMENTE

Se presenta vibración forzada en un sistema mecánico, cuando se suministra

permanentemente energía externa al sistema durante la vibración, ya sea por la aplicación

de una fuerza o la imposición de un desplazamiento, si ambas excitaciones son armónicas,

la respuesta de la masa también será armónica.

1.5.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE MOVIMIENTO.

Dado que por equilibrio el peso mg y kxest se anulan, no se han considerado en el Diagrama

de Cuerpo Libre.

Aplicando la Segunda Ley de Newton ya ordenada, queda:

( )F mx cx kx F tΣ = = − − +&& &

∴ ( )mx cx kx F t+ + =&& &

m

c

k xc& kx

xm &&

F(t)

F(t)=F0 sen ωft



15

Esta es una ecuación Diferencial Lineal Ordinaria no Homogénea de Segundo Orden, con

Coeficientes Constantes, cuya solución consta de dos partes, la función complementaria xh y

la solución particular xp, ph xxx += . La función complementaria, corresponde a la solución

de la ecuación homogénea ( ) 0=tF , la cual es llamada solución transitor ia , ya que

0hx → cuando el tiempo aumenta, por la función de decaimiento ( )nte ζω− ; que se debe a la

presencia del amortiguamiento. La solución particular, representa la respuesta del sistema a

la función fuerza F(t), y se denomina solución de estado estable , la cual ocurre de

manera continua mientras la condición forzada esté presente.

1.5.2 VIBRACIÓN FORZADA NO AMORTIGUADA.

Primero se considera el caso en que el amortiguamiento es despreciable, la fuerza de

excitación es armónica, es decir está en función del seno o del coseno, cuyo argumento

contiene una frecuencia denominada f recuencia circular forzada y de la variable tiempo

( )f tω , entonces la ecuación queda: ( ) 0 sen fmx kx F t F tω+ = =&&



16

La gráfica muestra la función F(t)=F0 sen ωf t en donde su periodo se define como 2ffπ

ωτ = .

A continuación se obtendrá la solución particular, correspondiente a la respuesta del estado

estable, la cual se obtiene suponiendo que la integral particular tiene la forma

tBtAsenx ffp ωω cos+=

Entonces la aceleración está dada por: ( )2 sen cosp f f fx A t B tω ω ω= − +&& pf x2ω−=

Sustituyendo la aceleración y la respuesta en la ecuación de movimiento, se obtiene

( ) ( ) tsenFtBtAsenktBtAsenm ffffff ωωωωωω 02 coscos =+++− ,

factorizando

( ) ( ) tsenFtBmktAsenmk fffff ωωωωω 022 cos =−+− ,

Igualando término a término

20

fmkFAω−

= y ( ) 0cos2 =− tBmk ff ωω ⇔ 0=B

sustituyendo en px se obtiene: =px tsenmkF

ff

ωω 2

0

−senf fX tω=

donde fX =2

0

fmkFω−

ampli tud de vibración forzada no amort iguada

si se multiplica el numerador y denominador de la constante A por 1k

( )1

0 02

21 1k

f

f

F XXrk m

kω

= =−−

∴ 0 02 21Ff

F XXk m rω

= =− −

→0X se denomina “desplazamiento estático”, es un desplazamiento

ficticio que sirve de referencia y equivale al desplazamiento que produce Fo al resorte.

n

frωω

= → se denomina razón de frecuencias, la forzada entre la natural.

Si 2

0

11

fXX r

β = =−

, entonces 0 senp fx X tβ ω= donde →β se denomina factor de

ampli f icación



17

Que es solución particular, la cual representa el movimiento de estado estable, si

sen 1f tω = ⇔ m fx X=

0 00 2f

m

F FX Xk m

β β βω

= = = ⇒ 2

20

11

f mX mF rω

β = =−

La variación del Factor de amplificación β está directamente ligada con la razón de

frecuencias r.

Dependiendo del valor de r, se pueden presentar tres casos:

Caso 1. Cuando 0 < r < 1, es decir nf ωω < , el denominador 21 r− es positivo, entonces se

dice que la respuesta x del sistema está en fase con la fuerza externa, como se muestran

en las gráficas. La fórmula de la respuesta no se altera.

Caso 2. Cuando r > 1, es decir nf ωω > , el denominador es negativo, se acostumbre

redefinir la respuesta x cambiando el signo del denominador, por lo que el factor de

amplificación se define como

2

11 r

β =−

. En general 21

1rβ

−= .

0 sen fF F tω=

0F

X

px aτ

t

t



18

En este caso la fuerza de excitación y la respuesta están fuera de fase como muestran las

gráficas.

Caso 3. Cuando 1=r o nf ωω = , el denominador es cero, por lo que el factor de

amplificación tiende a infinito ∞=β . Esta condición se conoce como Resonancia , la

gráfica muestra que la amplitud de la respuesta crece lineal e indefinidamente con el tiempo,

por tanto tsenXx fp ωβ0= , no define la variación del desplazamiento en el tiempo.

F

0 sen fF F tω=

0F

f tω

px aτ

f tω

X

2f tω π=

x

f tω



19

La influencia de la frecuencia forzada sobre la amplitud de vibración forzada Xf, puede

estudiarse a través de la gráfica de r↔β , que muestra el valor absoluto del factor de

amplificación como una función de la razón de frecuencias r.

El factor de amplificación 21

1 rβ

−= tiende a infinito cuando r se aproxima a 1, esto es cuando

nf ωω = .

Obsérvese que 1β = cuando r = 0 y 2r = , y sí r tiende a infinito ω, tiende a cero.

Solución Completa. Sumando la solución homogénea y particular, en la forma de

funciones armónicas se obtiene la solución completa:

( ) 0h p a n fx x x X sen t X sen tω φ β ω= + = + +

Respuesta: transitoria + estado estable

Así el movimiento es la suma de dos curvas sinodales de diferente frecuencia.

Esta ecuación contiene dos constantes arbitrarias X y φ , que pueden determinarse a partir

de las condiciones iníciales.

β

r



20

1 .5 .3 VIBRACIÓN FORZADA CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO

La ecuación diferencial para este caso es ( )mx cx kx F t+ + =&& &

Si la función forzada es ( ) tsenFtF fω0= entonces ( )tFkxxcxm =++ &&& tsenF fω0=

Cuya solución para estado estable px puede suponerse en la forma

tBtAsenx ffp ωω cos+=

derivando dos veces y sustituyendo en la ecuación de movimiento:

m ( )tBtAsen ffff222 cosωωωω −− + c ( )tBsentA fff ωωω −cos +k ( )tBtAsen ff ωω cos+ =

tsenF fω0

Ordenando y factorizando las funciones trigonométricas

( ) ( )( )2 2sen cosf f f f f fk m A c B t c A k m B tω ω ω ω ω ω⎡ ⎤⎡ ⎤− − + + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ tsenF fω0=

igualando términos se obtienen dos ecuaciones:

( ) 02 FBcAmk ff =−− ωω ; ( ) 02 =−+ BmkAc ff ωω

Para determinar el valor de las constantes A y B, se utiliza la Regla de Cramer:

=

−−−

−−

=

2

2

20

0

ff

ff

f

f

mkccmk

mkcF

A

ωωωω

ωω

( )( ) ( )222

20

ff

f

cmk

mkF

ωω

ω

+−

−;



21

=

−−−

−

=

2

2

02

0

ff

ff

f

v

mkccmk

cFmk

B

ωωωω

ωω

( )( ) ( )222

0

ff

f

cmk

cF

ωω

ω

+−

sustituyendo en xp, se obtiene

=px ( )( ) ( )

20

2 22

f

f f

F k m

k m c

ω

ω ω

−

− ++tsen fω ( )( ) ( )

02 22

f

f f

F c

k m c

ω

ω ω− +tfωcos

la cual puede escribirse como:

=px( ) ( )

02 22

f f

F

k m cω ω− +( )fsen tω ψ− , donde 2

1tanf

f

mkc

ωω

ψ−

= −

Multiplicando por 1k , considerando mk n

2ω= , f

n

rωω

= , 2 n

cm

ζω

= ⇔ nmc ωζ 2=

y sustituyendo se obtiene =px( ) ( )

02 221 2

X

r rζ− +( )ψω −tsen f

Donde 12

2tan1

rrζψ − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

ángulo de fase entre la respuesta xp y la excitación F(t).

Además sí aβ =( ) ( )2 22

1

1 2r rζ− +

La respuesta puede escribirse como 0p ax X β= ( )ψω −tsen f

La amplitud de la respuesta forzada Xf, se presenta cuando el ( )ψω −tsen f = 1, así:



22

La gráfica corresponde a la función

( ),a rβ ζ =( ) ( )2 22

1

1 2r rζ− +,

y se conoce como curvas de respuesta amplificada – razón de frecuencias, en la cual se

observa que:

- Para r = 0 aβ =1. En este caso F(t) es una constante.

- r ∞→ si aβ →0 . La amplitud de la respuesta forzada es pequeña para r grande

( ) 00p f a amáx

Fx X Xk

β β= = = o bien

ff kFX β0= ⇒

( ) ( )

2

2 220 0

1

1 2

f f na

X k X mF F r r

ωβ

ζ= = =

− +

∴0

fa

XX

β = , aβ es la relación entre amplitudes para vibración forzada amortiguada.

Para cualquier valor de r, β decrece al aumentar ζ .

El factor de amplificación es la cantidad por la que hay que multiplicar la amplitud X0

(desplazamiento estático), para obtener Xf .

1



23

Solución Completa: ( ) ( )0 sennta a a a fx X e sen t X tζω ω φ β ω ψ−= + + −

Las constantes 0X y ψ dependen de las condiciones forzadas y aX y aφ de las

condiciones iníciales.

Son de interés los sistemas vibratorios sometidos a excitación armónica, cuando son

sometidos a excitación por un periodo prolongado, como el caso de máquinas rotatorias, es

decir cuando ∞→t , por lo que la solución de la parte homogénea tiende a cero; así que

normalmente, sólo interesa la respuesta forzada permanente o de estado estable.

1.6 FUERZA TRANSMITIDA A LA BASE

Si se incrementa la rigidez k y el coeficiente de amortiguamiento c, la amplitud de vibración

decrece, sin embargo aumenta la fuerza transmitida al soporte. La fuerza transitada al

soporte en estado estable se determina a partir del Diagrama de Cuerpo Libre mostrado:

T p pF kx cx= + &

Sustituyendo los valores de x y x& en su forma compacta, se obtiene

( ) ( ) ( ) ( )220 0 0cosT f f f f f f f f TF kX sen c X t X k c sen tβ ω ψ ω β ω ψ β ω ω ψ ψ= − + − = + − +

xc&

mg

kx



24

o bien ( ) ( )220T a f fF X k c sen tβ ω ω ψ= + −

donde Tψψψ −= ; además ( )ζωψ r

kc f

T 2tantan 11 −− =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

También la Ecuación puede escribirse de la forma ( ) ( )20 1 2T a fF X k r sen tβ ζ ω ψ= + −

Puesto que kFX 0

0 = , la ecuación anterior queda como sigue:

( ) ( )20 1 2T a fF F r sen tβ ζ ω ψ= + − o bien ( )0T T fF F sen tβ ω ψ= −

donde ( )21 2T a rβ β ζ= + ( )

( ) ( )

2

2 22

1 2

1 2

r

r r

ζ

ζ

+=

− +

El coeficiente Tβ , es la relación entre la amplitud de la fuerza transmitida y la amplitud de

fuerza aplicada, es llamada Transmisibi l idad.

r

2

Tras

mis

ibili

dad

TR



25

La gráfica muestra la relación entre las cantidades rT ↔β , para diferentes valores de factor

de amortiguamiento ζ . En esta gráfica se observa que 1>Tβ para 2<r , en esta región

la amplitud de la fuerza transmitida es mayor que la fuerza aplicada. Para 2<r , la fuerza

transmitida al soporte puede reducirse aumentando el factor ζ . Para 2>r se tendrá

1<Tβ , esto es la amplitud de la fuerza transmitida es menor a la aplicada, y la amplitud de

la fuerza trasmitida se incrementa al incrementar el factor ζ .

1 .7 SISTEMAS DE DOS GRADOS DE LIBERTAD.

El número de grados de libertad, necesarios para el análisis vibratorio de un sistema

mecánico, es el número de coordenadas cinemáticamente independiente, requerido para

especificar el movimiento de cada partícula contenida en el sistema; el número de grados de

libertad se determina por:

N° G.L.= N° de masas X N° de posibles tipos de movimiento de cada masa

Así, un sistema de dos grados de l ibertad , requiere dos coordenadas cinemáticamente

independientes para definir completamente su configuración; para cada coordenada se

pueden escribir dos ecuaciones de movimiento, una para cada grado de libertad. Esas dos

ecuaciones generalmente se presentan en forma de ecuaciones diferenciales acopladas,

esto es, en cada ecuación se involucran las dos coordenadas independientes. Si se supone

soluciones armónicas para cada ecuación de movimiento, se obtendrán dos frecuencias

naturales, con lo que las amplitudes están relacionadas de una manera específica y dicha

configuración es llamada, modo normal o modo principal o modo natural de

vibración. Así un sistema de dos grados libertad tiene dos modos normales de vibración,

correspondientes a las dos frecuencias naturales. La configuración de un sistema se

especifica por un grupo de coordenadas independientes (una longitud y un ángulo, o dos

longitudes, etc.). Al grupo de coordenadas utilizado se le llama coordenadas



26

general izadas. Las ecuaciones de movimiento de un sistema de dos grados de libertad,

normalmente están acopladas, pero se podrá encontrar ecuaciones que contengan sólo una

coordenada (desacoplar), y resolverse independientemente. Al grupo de coordenadas de las

ecuaciones desacopladas se le llama coordenadas principales .

COORDENADAS PRINCIPALES PARA DOS GRADOS DE LIBERTAD En un modo principal, si el movimiento de todas las partes del sistema pueden describirse

por una coordenada simple sin referencia a cualquier otra, esta es una coordenada principal.

Para definir el movimiento de n grados de libertar con una coordenada simple parece

imposible, pero solo porque una coordenada principal es más una parámetro matemático

que una coordenada geométrica por la posición que es directamente medido. En un sistema

de tres grados de libertad, es simple expresar el movimiento en términos de dos o tres

coordenadas, por las coordenadas ortogonales x, y y z, pero es difícil físicamente aceptar

una coordenada principal que exprese todos los movimientos par las tres masas del sistema.



27

1.8 VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA

Para m1 ( )1 1 1 1 1 2 2 1F m x k x k x xΣ = = − + −&& (1)

Para 2m ( )2 2 2 2 2 1F m x k x xΣ = = − −&& (2)

Ordenando

( )1 1 2 1 1 2 2 0m x k k x k x+ + − =&& (3)

1 1 2 1 2 2 0m x k x k x− + =&& (4)

Cuyas soluciones son ( )φω += tsenXx n11 (5)

( )φω += tsenXx n22 (6)

Derivando dos veces respecto al tiempo

( )21 1n nx X sen tω ω φ= − +&& (7) ( )2

2 2n nx X sen tω ω φ= − +&& (8)

Sustituyendo 5-8 en 3 y 4 y reduciendo se obtiene:

( )21 2 1 1 2 2 0nk k m X k Xω+ − − = (9) ( )2

2 2 2 2 1 0nk m X k Xω− − = (10)

La solución no t r iv ia l se da solo sí el determinante de los coeficientes de 1X y de 2X es

igual a cero 2

1 2 1 22

2 2 2

n

n

k k m kk k mω

ω+ − −

=− −

( )( )2 2 21 2 1 2 2 2 0n nk k m k m kω ω+ − − − =



28

O bien ( )4 21 2 1 2 2 1 2 1 2 0n nm m m k m k k k kω ω− + + + =⎡ ⎤⎣ ⎦ (11)

Esta es la ecuación característica del sistema cuyas raíces son:

221

42n

b b aca

ω − + −= y

222

42n

b b aca

ω − − −=

donde 21mma = ; −=b ( )1 2 2 1 2m k m k k+ +⎡ ⎤⎣ ⎦ ; =c 21kk

Esto muestra que es posible tener dos soluciones armónicas no triviales, una para cada valor

de nω . Falta determinar los valores de 1X y 2X para 1nω y 1X y 2X para 2nω . Puesto

que las ecuaciones de movimiento son homogéneas, sólo se puede encontrar las relaciones ( )

( )11

12

1 XX

=β y ( )

( )21

22

2 XX

=β :

( )21 2 1 1 2 2 0nk k m X k Xω+ − − = ⇔ ( )2

1 2 1 1 2 2nk k m X k Xω+ − = ⇒

( )

( )

1 21 2 1 12

121

nk k mXkXω+ −

=

( )22 2 2 2 1 0nk m X k Xω− − = ⇔ ( )2

2 2 21 2 1nk m X k Xω− = ⇒ ( )

( )2

212

21

1

12

mkk

XX

nω−=

∴ ( )

( )11

12

1 XX

=β2

1 2 1 1

2

nk k mkω+ −

= =2

212

2

mkk

nω−

donde ( )11X es la amplitud de la masa 1, ( )1

2X amplitud de la masa 2, para la frecuencia

natural uno. La solución correspondiente a 1nω , es

( ) ( ) ( )1 11 1 1 1nx X sen tω φ= + ; ( ) ( ) ( )1 1

2 2 1 1nx X sen tω φ= +



29

o bien ( ) ( ) ( )111

11

1 φω += tsenXx n ; ( ) ( ) ( )111

111

2 φωβ += tsenXx n

Para la frecuencia natural 2 ( )

( )21

22

2 XX

=β2

1 2 2 1

2

nk k mkω+ −

= =2

222

2

mkk

nω−

( ) ( ) ( )12

21

21 φω += tsenXx n ; ( ) ( )12

22

22 φω += tsenXx n

o bien ( ) ( ) ( )122

12

1 φω += tsenXx n ; ( ) ( ) ( )122

112

2 φωβ += tsenXx n

Las relaciones 1β y 2β se denominan modos de vibración o modos principales de

vibración.

La solución completa, x1 y x2, pueden obtenerse mediante la suma de las dos soluciones

respectivas:

( ) ( )++=+= 1121121111 φωβ tsenXxxtx n ( )212212 φωβ +tsenX n

( ) ( )++=+= 112122212 φω tsenXxxtx n ( )21222 φω +tsenX n

Las cuatro constantes se determinan a partir de las condiciones iniciales, derivando las dos

cauciones anteriores se obtiene:

( ) ( )1 1 1 21 1 1n nx t X sen tω β ω φ= + +& ( )2122122 φωβω +tsenX nn

( ) ( )2 1 21 1 1n nx t X sen tω ω φ= + +& ( )21222 φω +tsenX n

Las condiciones iniciales se establecen de la siguiente manera:

( ) 101 0 xx = ( )1 100x x=& &



30

( ) 202 0 xx = ( )2 200x x=& &

Sustituyendo en las ecuaciones de la soluciones, quedan

2222121110 φβφβ senXsenXx +=

22212120 φφ senXsenXx +=

10 1 1 21 1 2 2 22 2n nx X sen X senω β φ ω β φ= +&

20 1 21 1 2 22 2n nx X sen X senω φ ω φ= +&

Para el caso en el que m1 y m2 sean iguales a m; y k1 y k2 sean iguales a k, se obtiene:

2ma = ; mkb 3−= 2kc = ⇒ ( )2 2 2 2

22

3 9 4

2n

mk m k m k

mω

± − ⋅ ⋅=

∴ 1534n

k km m

ω = + 0.382 km

= 2534n

k km m

ω = + 2.618 km

=

Sustituyendo en la ecuación 10 los valores de nω

( )2 2 22 2 2 2 1 2

1 2 2

nn

X kk m X k XX k m

ωω

− = ⇒ =−

2

1

(1)

(1)0.382 k

m

X kX k

=− ( )2

m

k=

k 0.146 k−1.171=

2

1

(1)

(1)2.618 k

m

X kX k

=− ( )2

m

k=

k 6.854 k−0.171= −



31

1 1.171

1 -1.171



32

1.8.1 SOLUCIÓN EN FORMA MATRICIAL.

Para sistemas vibratorios de más de un grado de libertad, es más conveniente utilizar la

notación matricial, para escribir las ecuaciones de movimiento obteniéndose el vector modal

y las frecuencias naturales como valores propios. Las ecuaciones 1 y 2 en forma matricial

queda:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

00

mm

1

2

xx⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

&&

&& + ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+

22

221

kkkkk

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

xx

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡00

o en su forma compacta [M][x] + [k][x] = [0]

donde [x] y [x] son los vectores de desplazamiento y aceleración, y [M] y [K] son las

matrices simétricas de masa y rigidez respectivamente, para un sistema de dos grados de

libertad.

La forma general de ambas matrices es:

[M]= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2221

1211

mmmm

; [K]= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2221

1211

kkkk

Los subíndices reciben los nombres de, subíndices de masa o inercia, y subíndices de

rigidez o elásticos, respectivamente. En este caso == 2112 mm 0 , por tanto la matriz es

diagonal, entonces 1x&& y 2x&& , están dinámicamente desacopladas. No así las k, por tanto 1x

y 2x están elásticamente acopladas.

Procedimiento de Solución: Para resolver la ecuación en forma matricial, se sigue un

procedimiento similar al establecido, para un sistema de un grado de libertad, se supone la

solución de la forma:

[x] = [X] ( )φω +tsen n donde [X] = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

XX



33

Derivando dos veces [ x&& ] = 2nω− [X] y sustituyendo

-ω2[M] [X] ( )φω +tsen n + [K] [X] ( )φω +tsen n = 0 cuya ecuación característica es

[K] -ω2 [M] = [0]

Esta ecuación es no trivial su el determinante de sus coeficientes es igual a cero | [K] -ω2 [M]

| = 0

[K] –ω2[M] = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2221

1211

kkkk

-ω2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2221

1211

mmmm

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−−

222

22212

21

122

12112

11

mkmkmkmk

nn

nn

ωωωω

| [K] -ω2 [M] | =

222

22212

21

122

12112

11

mkmkmkmk

nn

nn

ωωωω

−−−− ( )( )2 2

11 11 22 22 .n nk m k mω ω− − ( )( )2 212 12 12 21 0n nk m k mω ω− − =

haciendo la multiplicación y ordenando queda:

( ) ( ) 0. 2112221111222211211221122

211222112 =−+−++− kkkkkmkmkmkmmmmm nωω

Si las matrices de masa y rigidez son simétricas, estos 2112 mm = y 2112 kk = , entonces

( ) ( ) 02 2122211112222221212

22122211

4 =−+−−+− kkkkmkmkmmmm nn ωω

resolviendo para 1nω y 2nω se obtienen la solución siguiente:

[x] = [X1] ( )φω +tsen n1 + [X2] ( )φω +tsen n2

donde [X1] y [X2] son los vectores de las amplitudes dadas por [X1] = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

12

11

XX

;



34

[X2] = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

22

21

XX

Las amplitudes se relacionan entre por 21

111 X

X=β ⇒ 21111 XX β= ;

22

121 X

X=β ⇒ 22112 XX β=

Así los vectores [X1] y [X2] quedan [X1] = 211

21

211

1X

XX

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ββ y [X2] =

222

22

222

1X

XX

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ββ

Finalmente La solución queda:

[x] = =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

xx

211

1X⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡β ( )11 φω +tsen n + 222

1X⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡β ( )22 φω +tsen n = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡11

21 ββ

( )( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

2222

1121

φωφω

tsenXtsenX

n

n

Para condiciones iníciales [x] = =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

20

10

xx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡11

21 ββ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

222

121

φφ

senXsenX

IPN-ESIME DESBALANCEO ROTATORIO Y CONTROL DE VIBRACIONES


35

DDEESSBBAALLAANNCCEEOO RROOTTAATTOORRIIOO

YY CCOONNTTRROOLL DDEE VVIIBBRRAACCIIOONNEESS..

EN ESTE CAPITULO HABLARA ACERCA DE LA DEFINICIÓN DE DESBALACEO ROTATORIO, DONDE OCURRE LAS

CONSECUENCIAS Y SU COMPORTAMIENTO.



36

2 . 1 D E S B A L A N C E O R O T A T O R I O .

2 .1 .1 INTRODUCCIÓN.

Una muy común fuente problemática de vibración es la maquinaria rotatoria. Muchas máquinas

y dispositivos tienen componentes rotatorios, usualmente manipulados por motores eléctricos.

Pequeñas irregularidades en la distribución de la masa que rota pueden causar vibraciones

substanciales. A este fenómeno se le conoce como desbalance rotatorio.

El desbalance o desequilibrio es la no coincidencia del centro de gravedad con el centro de

giro, que al girar induce una fuerza centrífuga no compensada que rota a la velocidad de giro.

Cuando el sistema rotativo es esbelto el desbalance puede ser de los siguientes tipos:

1. Desbalance estático: los ejes son paralelos, de manera que el centro de gravedad no

está en el eje de giro.

2. Desbalance de par: El eje central principal intercepta con el eje de giro en el centro

de gravedad del rotor, se produce un efecto de par.

3. Desbalance cuasi-estático: El eje central principal intercepta al eje de rotación pero

no en el centro de gravedad del rotor.

4. Desbalance dinámico: Es el caso más común, combinación de los anteriores en que

los ejes no se cruzan y están en cualquier posición en el espacio.

Realizar el balanceo es añadir o remover pesos de corrección, de manera que el eje principal

de inercias se aproxime al eje de giro hasta que la vibración residual está dentro de los niveles

considerados como admisibles.

Los niveles permisibles están definidos por la norma ISO 1940 que establece categorías de

máquinas y considera para el cálculo el peso del rotor y la velocidad de giro. Además se

proporcionan especificaciones para los rotores en un estado constante (rígido) y se especifican

las tolerancias de equilibrio, el número necesario de planos de corrección, y métodos para



37

verificar el desequilibrio residual.

El balanceo dinámico puede realizarse de dos formas, en banco de pruebas (el nivel final de

vibración seguro para la máquina) o en sitio (en condiciones de servicio).

Mediante el “Análisis de Vibraciones” se determina la condición de las máquinas rotativas

definiendo no solo el grado de desbalance, sino también el desalineamiento, presencia de

holguras mecánicas, bases y cimentaciones insuficientes, desgaste de piezas internas,

interferencia de engranajes, etc.

Este Análisis requiere de toda la información de la cadena cinemática, el tipo de rodamientos,

las velocidades de giro, el número de dientes del las ruedas dentadas, el número de aspas de

los ventiladores, las condiciones de soporte, etc.



38

2 .1 .2 DEMOSTRACIÓN Y FUNDAMENTOS TEÓRICO MATEMÁTICOS.

Se muestra el modelo de una máquina rotatoria de un grado de libertad, soportada por una

base con elasticidad k y amortiguamiento c. La máquina de masa total m, tiene un rotor que

gira con respecto al centro en el punto O, con velocidad angular Rω srad ; normalmente la

masa no está distribuida uniformemente, lo que produce desbalanceo, el cual es equivalente a

una masa excéntrica m', que gira con excentricidad e, del centro de giro del rotor, la fuerza

centrífuga de la masa m' está dada por 2Rm eω′ y su componente vertical por 2

Rm eω′ Rsen tω :

La ecuación diferencial del movimiento para este caso es:

2R Rmx cx kx m e sen tω ω′+ + =&& &

Si:

=oF 2Rm eω′

Y además:

nkm

ω =

c k cx& kx

m

m’ 20 RF meω=

Rtω

x

Rω

mx&&

O

mg

e



39

La solución de la ecuación para estado estable es de la forma ( )senR Rx X tω ψ= − , derivando

esta solución dos veces, sustituyendo y desarrollando se obtienen expresiones similares al caso

de vibración forzada amortiguada:

( ) ( )

20

2 22

Rp

R R

F m exk m c

ω

ω ω

′==

− +( )Rsen tω ψ−

( ) ( )( )0

2 221 2R

X sen tr r

ω ψζ

= −− +

Donde:

12

2tan1

rrζψ −=

−

Físicamente, es el ángulo entre el brazo de excentricidad y la referencia horizontal de Rtω . Dado

que:

kFX 0

0 = ⇔ ( )0p a R

Fx sen tk

β ω ψ= −

Donde:

( ) ( )2 22

1

1 2a

r rβ

ζ=

− +

O bien: 2 2

200 2

R R

n

F m e m e m eX rk k m m

ω ωω

′ ′ ′⎛ ⎞= = = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Sustituyendo 0X en px se obtiene:

( ) ( )( )2

2 22

1

1 2p R

m ex r sen tm r r

ω ψζ

′⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ − +

( )R Rm e sen tm

β ω ψ′⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

El desplazamiento, es el de la masa total del sistema m, no la de la masa excéntrica.

Donde:

( ) ( )

2

2 221 2R

r

r rβ

ζ=

− +ar β2=



40

La amplitud de desplazamiento ( )máxpR xX = , se presenta cuando el ( ) 1Rsen tω ψ− =

por tanto:

=RX Rm em

β′

O bien:

RR

X mm e

β =′

La siguiente gráfica muestra los valores del factor de amplificación ( )ζβ ,rR contra la

razón de frecuencias r:

1. 0=Rβ si 0=r para todo valor de ζ .

2. 1≈Rβ para r grande y todos los valores de

ζ .

3. Si r = 1 y ζ = 0, se presenta resonancia.

4. Para 0 < ζ < 12

Rmβ tiene su máximo para

mr :

2

11 2

mrζ

=−

5. Para 0 < ζ < 1/ 2 el valor de Rmβ es:

2

12 1

RRm

MXme

βζ ζ

= =−

6. Para ζ > 12

Rmβ no tiene máximo, se

aproxima a 1, al crecer r.



41

2 .1 .3 FUERZA TRANSMITIDA.

Del diagrama de cuerpo se obtiene la fuerza transmita al soporte debido al desbalance de la

masa:

R p pF kx cx= + &

Sustituyendo px y px =& ( )cosR r R Rm e tm

ω β ω ψ′⎛ ⎞ −⎜ ⎟

⎝ ⎠:

( ) ( )cosR R R R R R Rm eF ksen t c tm

β ω ψ ω ω ψ′⎛ ⎞= − + −⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

La cual puede también escribirse en la forma:

( ) ( )22R R R R

m eF k k c sen tm

β ω ω ψ′⎛ ⎞= + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Si se multiplica por kk , se transforma en:

( ) ( )21 2R R Rm eF k r sen tm

β ζ ω ψ′⎛ ⎞= + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Puesto que 2n

km ω= y definiendo:

TRβ = Rβ ( )21 2rζ+ =( )

( ) ( )

22

2 22

1 2

1 2

r r

r r

ζ

ζ

+

− +

Su forma compacta queda como sigue:

( ) ( )2. . .R n T R fF me sen tω β ω ψ= −

El valor máximo de fuerza transmitida se presenta cuando:



42

( ) 1fsen tω ψ− =

Y así:

( ) TrnR meF βω 2=

O bien:

( )2TR n TRF meω β=

CABECEO DE EJES ROTATORIOS.

En el estudio previo de desbalance se considera al eje que sostiene al rotor como rígido; sin

embargo, en la práctica existe una deformación (flecha) que aumenta los efectos vibratorios,

aunado a efectos giroscópicos, al rozamiento del fluido en los rodamientos, la rigidez general,

etc. Todo lo anterior produce un giro complejo del sistema eje- masas, que sostiene (engranes,

turbinas, volantes, etc.), que se conoce como cabeceo, este se define, como la rotación del

plano entre la línea de centros de los rodamientos y la línea elástica del eje.

Asumiendo que el rotor está sometido a excitación de estado estable, debido al desbalanceo,

las fuerzas actuantes en él son: la fuerza de inercia debida a la aceleración del centro de masa,

la fuerza elástica debida a la elasticidad del eje y la fuerza de amortiguamiento externo e

interno.

( ) ( )ˆ ˆcos R RR x a t i y asen t jω ω= + + +r

( ) ( )2 2ˆ ˆcosR R R RR x a t i y a sen t jω ω ω ω= + + +r&& && &&

F mR= =∑r

&& ( ) ( )2 2ˆ ˆcosR R R Rm x a t i y a sen t jω ω ω ω⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦&& &&= ( )ˆ ˆk xi yj c− + − ( )ˆ ˆxi yj+& &



43

Ordenando:

( )2 ˆRmx ma cx kx iω− + + +&& & ( )2 ˆ 0Rmy ma cy ky jω− + + =&& &

Las ecuaciones escalares son:

2 cosR Rmx cx kx ma tω ω+ + =&& & y

2R Rmy cy ky ma sem tω ω+ + =&& &

Estas dos ecuaciones son muy similares a las de desbalance, sus soluciones son:

( ) ( )( )

2

2 22cos

1 2R

arx tr r

ω ψζ

= −− +

y ( ) ( )( )

2

2 221 2R

ary sen tr r

ω ψζ

= −− +

Estas soluciones están desfasadas 90°, además el ángulo ψ no depende de la fase de la

fuerza de excitación, sino corresponde al ángulo entre las líneas OE y EG.

( )( ) ( )tan tan

cosR

RR

sen ty tx t

ω ψψ ω ψ

ω ψ−

= = = −− si Rtθ ω ψ= − ⇔ Rθ ω=&

Con θ& la velocidad de cabeceo (vibración lateral), que es el movimiento angular de un árbol

deformado, respecto a su eje longitudinal.

La amplitud de cabeceo del movimiento del centro del árbol respecto al eje longitudinal es la

línea ˆ ˆOE xi yj= + .

( ) ( )2 2cosR ROE X sen t t Xω ψ ω ψ= − + − =

Donde:



44

( ) ( )

2

2 221 2c

arXr rζ

=− +

La Velocidad Crítica ( crω ).

La experiencia establece que para determinar la reacción de los rodamientos, primero se

determina la deflexión del centro de masa del disco R, de la figura:

22 2 2 cosR OE a OEa φ= + +

( )( ) ( )

2

2 22

1 2

1 2 2

rR a

r

ζ

ζ

+=

− +

Las reacciones se determinan a partir de la fuerza centrífuga 2Rm Rω , en la resonancia las

frecuencias son iguales por tanto F kR= .



45

2 .2 CONTROL MECÁNICO DE VIBRACIONES

Las vibraciones indeseables son aquel las que producen molestia o r iesgo a las

personas, causan daño o fal las en las estructuras, deterioran la ejecución o

funcionamiento de maquinaría y procesos; a continuación se esquematizan

algunos sistemas mecánicos cometidos a vibraciones no deseables:

Esta f igura representa una máquina alternativa montada en una cimentación

rígida, la cimentación soporta la carga estática igual a su peso más una

componente armónica debida a la inercia por desbalanceo.

Esta f igura representa una prensa para forja montada en su cimentación.

Durante su operación, el yunque es golpeado por un peso de manera súbita. El

impacto causa una fuerza impulsiva, que se transmite a la cimentación, lo que a

su vez produce vibraciones.

Bomba que suministra l íquido. La velocidad de operación de la bomba puede

ser cercana a la frecuencia natural de la l ínea de distr ibución, lo que puede

producir resonancia.

cimentación

cimentación



46

Uno de los objetivos del anál is is de vibraciones es apl icar sus resultados en la

comprensión de cómo las vibraciones indeseables pueden ser reducidas o

el iminadas, desarrol la los pr incipios de diseño para el ais lamiento de sistemas.

También puede introducirse elementos vibrator ios para contrarrestar las

vibraciones del sistema mecánico principal, protegiéndose de la transmisión de

fuerzas o movimientos indeseables.

El control de vibraciones , es el uso del anál isis de vibraciones para desarrol lar

métodos que el iminen o reduzcan vibraciones indeseables.

Para el estudio del control de vibraciones, los sistemas se ideal izan de acuerdo

con el s iguiente esquema:

La mit igación de vibraciones está relacionada con cada una de las partes

descri tas en este esquema:

1. Aislamiento.- t iende a reducir la transferencia de fuerza o movimiento

debida a la excitación de la vibración, F(t)

2. Modif icar el diseño del sistema.- consiste en modif icar o rediseñar los

Bomba

EXCITACIÓN F(t)

RESPUESTA x(t)

SISTEMA MECÁNICO S



47

parámetros del sistema vibratorio de manera que para un mismo nivel de

excitación, se obtenga una respuesta aceptable. Por tanto trata con el

s istema S .

3. Disipar.- consiste en absorber o disipar las vibraciones, ut i l izando aparatos

externos. Trata con la respuesta x(t)

Dentro de estas tres categorías, existen varios métodos para alcanzar el

objetivo de mit igación de vibraciones, los cuales involucran corregir, diseñar y

controlar los parámetros vibrator ios o incluir sistemas adicionales.

La excitación puede reducirse mediante balanceo mecánico o agregando un

aislador, el cual puede ser pasivo o act ivo. El aislador activo requiere controles

especiales para su funcionamiento. Al cambiar cualquiera de los parámetros

del sistema vibratorio (m, c, k) , la respuesta obtenida cambiará, por lo que un

rediseño del sistema pudiera corregir una respuesta inapropiada. Por úl t imo,

se puede agregar otro sistema vibrator io (amort iguador) al primario que reduzca

su respuesta, en este caso también puede ser el amortiguador pasivo o act ivo.

En la práctica es posible reducir vibraciones, pero no se pueden el iminar las

fuerzas dinámicas que las producen, para controlarlas se pueden usar varios

métodos como los siguientes:

1. Controlar las Frecuencia Naturales del sistema evitando la resonancia

debidas a excitaciones externas.

2. Prevenir la respuesta excesiva del sistema o resonancia, mediante la

introducción de mecanismos amort iguadores o disipadores de energía.

3. Reducir o la transmisión de fuerzas de excitación de una de las partes de

la máquina a otra, por el uso de aisladores de vibraciones.

4. Reducir de la respuesta del sistema, por la adición de masas auxi l iares

que neutral icen o absorban vibraciones.



48

2.2.1 AISLAMIENTO DE VIBRACIONES. Es un procedimiento que reduce los efectos indeseables de las vibraciones.

Básicamente, involucra la inserción de un miembro elástico entre la masa

vibrante y la fuente de la vibración, para reducir la respuesta dinámica del

sistema. Los aisladores pueden ser act ivos o pasivos, dependiendo de sí

requiere potencia externa o no para ejecutar su función aisladora. Un aislador

pasivo consta de un miembro elástico y una disipador de energía

(amortiguador), por ejemplo un resorte, corcho, f iel tro, resorte neumático, hule.

Un aislador activo está compuesto de un servomecanismo con un censor, un

procesador de señal y un actuador. La eficacia de un aislador es establecida

en términos de su Transmisibi l idad (Tr) , la cual se def ine como la relación entre

las ampli tudes de la fuerza transmit ida y la fuerza de excitación.

Los aisladores puede usarse en dos si tuaciones: 1° La base o cimiento de la

máquina se protege contra grandes fuerzas desbalanceadas (máquinas

alternativas o rotator ias), o fuerzas impulsivas (prensas de forja o troquelado),

en este caso la fuerza es trasmit ida a través del resorte y el amortiguador. En

un sistema de un grado de l ibertad, la fuerza transmit ida está dada por:

xckxFT &+= . Si la fuerza transmit ida varia armónicamente, como en el caso de

desbalanceo alternat ivo, el esfuerzo resultante en los torni l los de la base varía

armónicamente, lo que produce fal la por fat iga. Si no es trasmit ida

armónicamente su magnitud está l imitada a valores permisibles seguros.

El 2° t ipo, el sistema es protegido contra el movimiento de su base o cimiento

(con en el cado de la protección de instrumento o equipo del icado). Si el

instrumento es modelado como un sistema de un grado de l ibertad, la fuerza

transmit ida está dada por; donde: ( ) ( )TF mx k x y c x y≡ ≡ − + −&& & & ( )yx − y

( )x y−& &representan el desplazamiento y velocidad relat ivas del resorte y

amortiguador respectivamente.



49

2.2.2 CONTROL DE FRECUENCIAS NATURALES. La característ ica más importante de la resonancia es el gran desplazamiento

que sufre el sistema, lo que produce al tos esfuerzos, que a su vez provocan la

fal la de los miembros mecánicos. Las frecuencias de osci lación pueden ser

requerimientos funcionales; sin embargo deben ser modif icas para evitar la

resonancia, ya sea variando a conveniencia la masa o la r igidez de los

elementos del sistema. Normalmente se cambia la r igidez; por ejemplo en un

eje de transmisión se puede al terar el material o la local ización de los apoyos.

2.2.3 AMORTIGUADOR DINÁMICO DE VIBRACIONES Cuando un sistema mecánico de un grado de l ibertad, trabaja con frecuencia de

operación cercana a la natural (resonancia), la respuesta armónica será

grande; para reducir la magnitud de la respuesta se uti l iza un neutral izador de

vibraciones o un amortiguador dinámico de vibraciones. Que consiste en

agregar otro sistema masa-resorte al sistema principal; este sistema adicional

se denomina amort iguador dinámico de vibraciones. Entonces el sistema

principal, más el sistema amortiguador forman un sistema de dos grados de

l ibertad, con dos frecuencia naturales de valores dist intos al valor de la

frecuencia natural del sistema principal independiente. Los amort iguadores a

menudo son uti l izados en máquinas que trabajan a velocidad constante, tales

como máquinas al ternativas, compactadoras, rasuradoras eléctr icas, en l íneas

de transmisión, etc.

Un amort iguador de vibraciones es un sistema masa-resorte auxi l iar, que

correctamente sintonizado (ajustado en resonancia del sistema principal) y

unido a un cuerpo sometido a excitación armónica, provoca que el movimiento



50

de la masa principal cese ( )0PX = .

El esquema muestra un sistema de un grado de l ibertad, al que se le ha

agregado un amortiguador; por tanto el sistema completo es de dos grados de

l ibertad. La masa principal Pm , está unida al soporte mediante un resortes Pk ,

la frecuencia natural de este sistema principal asi lado es P P Pk mω = ; y el del

amortiguador de masa am y r igidez ak es a a ak mω = . Si el amortiguador está

correctamente diseñado, la respuesta de la masa principal debe ser cero o de

ampli tud mucho menor a la inicial .

( ) 0 sen

0P P a P P a a f

P P a P a a

m x k k x k x F t

m x k x k x

ω+ + − =

− + =

&&

&&

s i P P fx X sen tω= y a a fx X sen tω=

( )( )

20

2 0

P a f P P a a

a P a f a a

k k m X k X F

k X k m X

ω

ω

+ − − =

− + − =

20

2

0

PP

aa

fa aPP P ak

mP P P P

fa aa P ak

ma a

k k Fkk X Xk k k k

k kk X Xk k

ω

ω

⎛ ⎞÷ + − − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

÷ − + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Si

;PP

P

km

ω =

;aa

a

km

ω =

00;

P

F Xk

;fP

P

rωω

=

;fa

a

rωω

=

;P

a

q ωω

=

;a

P

mm

µ =

22

2a a a

P P P

k m qk m

ω µω

= =

entonces

( ) ( )2 2 2 201 ; 1 1 0P P a P a aq r X q X X X r Xµ µ+ − − = − + − =

Masa Principal ( mP)

AMORTIGUADOR DINÁMICO DE VIBRACIONES

ma

ak

x2

x1

2Pk

2Pk



51

Este sistema no homogéneo puede resolverse para las ampli tudes de estado

estable PX y aX , como sigue:

2 2

02 2

1101 1

P a

a P

X Xr qX q r

µµ

⎡ ⎤− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∆ − + − ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∆ es el determinante de la matriz de coef icientes dado por:

( )( )2 2 2 21 1a Pr q r qµ µ∆ = − + − −

Pero como a a

P

rf P P a a Pr r r ω

ωω ω ω= = ⇒ =

( )( ) ( )2 2 2 2 2 4 2 21 1 = 1 1 1a P a ar q r q q r q rµ µ µ⎡ ⎤− + − − − + + +⎣ ⎦

( )

2 2 20

22 4 2 2

1101 11 1 1

P P

a aa a

X Xq r qX rq r q r

µ µµ

⎡ ⎤+ − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ − −− + + + ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

∴ ( )2

2 4 2 20

11 1 1

aP

a a

rXX q r q rµ

−=

⎡ ⎤− + + +⎣ ⎦ y ( )2 4 2 20

11 1 1

a

a a

XX q r q rµ

=⎡ ⎤− + + +⎣ ⎦

Si 1ar = , esto es a fω ω= entones 0PX = ; y el denominador

( )2 4 2 21 1 1a aq r q rµ⎡ ⎤− + + +⎣ ⎦

se reduce a ( )2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1q q q q q qµ µ µ⎡ ⎤− + + + = − − − + = −⎣ ⎦ ;

0 00 02

1( ) P Pa

a P a a

F Fk kX X Xq k k k kµ

= = − = − = −−

La respuesta de estado estable de la masa del amort iguador está dada por

0a a f f

a

Fx X sen t sen tk

ω ω= = −



52

Como 0PX = , la fuerza ejercida sobre la masa principal por el resorte del

amortiguador es: ( ) 0

0r a a P a a a f fa

FF k x x k x k sen t F sen tk

ω ω⎛ ⎞

= − = = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Fr es igual a la fuerza de excitación pero en sentido contrar io, por lo que el

desplazamiento es cero.

Entonces, si se el igen valores apropiados de la constante del resorte y de la

masa del amortiguador, el movimiento de la masa principal puede hacerse cero.

Obsérvese que el sistema se convierte en uno de dos grados de l ibertad, por lo

que tendrá dos frecuencias naturales. En resumen:

PP

P

km

ω =

fP

P

rωω

=

aa

a

km

ω =

fa

a

rωω

=

Si el denominador se iguala a cero, entonces la frecuencia forzada coincide con

las frecuencias naturales del sistema de dos grados de l ibertad. De manera

que las raíces 1,2r , serán iguales a 1 1n ar ω ω= y 2 2n ar ω ω= , que se obtienen al

resolver la ecuación cuadrát ica

( ) ( ) ( )2

22 4 21,2 2 2

1 1 1 1 2 1 12 2

qr q q

q qµ

µ µ+ +

= + − − +m donde

1,2a

r ωω

=

s i se sintonizan las masas esto es 1q =

, la ecuación se reduce a 2

21,2 1

2 4r µ µµ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠m

Frecuencia natural del sistema principal

Frecuencia natural del sistema auxiliar

Razón de frecuencias entre la forzada y la del sistema principal

Razón de frecuencias entre la forzada y la del sistema auxiliar o amortiguador



53

de donde y considerando la frecuencia natural menor

41

21

1 2rr

µ += −

Para determinar las frecuencias naturales del sistema completo, es decir el de

dos grados de l ibertad:

( ) ( ) ( )22 4 21,2 1 1 1 2 1 1

2P

n q q qωω µ µ µ= + + ± + + − +

s i 1q = ( )1,2 2 4

2P

nωω µ µ µ= + −m

Analizando la ecuación de la ampli tud principal PX y considerando que se

pretende sea cero, entonces

21 0ar− = ⇒ 1 f

aa

rωω

= = ∴

af a

a

km

ω ω= =

En estas condiciones 0

aa

FXk

=

En conclusión, un amortiguador puede ut i l izarse para el iminar vibraciones de

estado estable, no deseadas, de un sistema de un grado de l ibertad, si la

frecuencia natural del amortiguador es ajustada con la frecuencia de excitación

de sistema principal. Esto t iene diversas apl icaciones, siempre y cuando se

tomen en cuenta los siguientes aspectos.

Cuando el amortiguador está sintonizado con la frecuencia de excitación, una

de las frecuencias naturales es menor que la frecuencia natural del

amortiguador mientras que la otra es mayor. Entonces durante el encendido o

apagado se pasa por la frecuencia natural menor, produciéndose una ampli tud

de vibración grande (resonancia) durante el periodo transitor io.

El estado estable de vibración de la masa principal, es el iminado sólo para una

velocidad de operación. Si el s istema opera sobre un rango de frecuencias, las



54

ampli tudes estables producidas por el amort iguador pueden ser grandes.

La f igura muestra la gráfica de kPXP/F0 como una función de r1 para q = 1 y m =

0.15 y rP = 0.25. Si rP es mucho menor que o mayor que q , la ampli tud de

estado estable de la masa principal es grande. Un rango de operación efect iva

debe ser definido para cada apl icación, mediante el l ímite de la ampli tud de la

vibración o de la fuerza transmit ida para un valor máximo aceptable.

La f igura muestra las frecuencias naturales como una función de la relación de

masa m , para q f i ja. La separación entre las dos frecuencia naturales es

pequeña para valores pequeños de q , resultando un estrecho rango de

operación. La separación de las frecuencias naturales y el rango efectivo de

operación se incrementa al crecer q . Sin embargo, un valor pequeño de µ es

usualmente deseable por razones prácticas.

Si el amort iguador está ajustado con la frecuencia de excitación y para una

razón de masas ( )µ dada, entonces el valor de la r igidez de resorte de

amortiguador es:

2

12 nmáx mk ωµ=

Y la máxima ampli tud de estado estable de la masa de amort iguador es

21

02

nmáx m

FX

ωµ=

El anál is is anterior sólo es vál ido para sistemas no amort iguados. Si está

presente cierto amortiguamiento en el amortiguador, no será posible el iminar la

vibración de estado estable en la masa principal. La ampli tud de vibración sólo

podrá reducirse.

IPN ESIME SISTEMA ELECTROMECÁNICO Y CONTROL ELECTRONICO


55

SISTEMA ELECTROMECÁNICO Y CONTROL ELECTRÓNICO.

En este capítulo se trata brevemente de los microcontroladores La fuente de energía (pila), y el paquete de cómputo, que

Se utilizarán en el desarrollo de este trabajo.



56

3.1 MICROCONTROLADOR.

Arquitectura interna.

El PIC 16C84 al igual que los demás miembros de su familia, se caracterizan por que:

• Su procesador es segmentado, "pipe-line". • Su procesador es tipo RISC • Tiene una arquitectura HARVARD • El formato de las instrucciones es ortogonal • Todas las instrucciones tienen la misma longitud (14 bits) • La arquitectura está basada en banco de registros

Procesador segmentado "pipe-line": quiere decir que aplica la técnica de segmentación que permite al procesador realizar simultáneamente la ejecución de una instrucción y la búsqueda de código de la siguiente. De esta manera, se puede ejecutar una instrucción en un ciclo. (Cada ciclo de instrucción son cuatro ciclos de reloj).

Ejemplo: Búsqueda 1

Ejecuta 1

1. MOVLW 55h

Búsqueda 2

Ejecuta2

2 .MOVWF PORTB

Búsqueda 3

Ejecuta 3

3. CALL SUB_1

Búsqueda 4

Salir

4. BSF PORTA,BIT3

Búsqueda SUB_1

Ejecuta SUB_1



57

FIGURA DE CILO DE INSTRUCCIÓN

FIGURA 3.1.1 PROCESADOR SEGMENTADO PIPELINE

Procesador tipo RISC: Las CPU´s atendiendo al tipo de instrucciones que utilizan pueden clasificarse en:

• CISC: (Complex Instruction Set Computer) Computadores de juego de instrucciones complejo, que disponen de un repertorio de instrucciones elevado (unas 80), algunas de ellas muy sofisticadas y potentes, pero que como contrapartida requieren muchos ciclos de máquina para ejecutar las instrucciones complejas.

• RISC: (Reduced Instruction Set Computer) Computadores de juego de instrucciones reducido, en los que el repertorio de instrucciones es muy reducido (en nuestro caso 35), las instrucciones son muy simples y suelen ejecutarse en un ciclo máquina. Además los RISC deben tener una estructura pipeline y ejecutar todas las instrucciones a la misma velocidad.

• SISC.(Specific Instriction Set Computer) Computadores de juego de instrucciones específico.

Arquitectura Harvard: Tradicionalmente los microprocesadores se basan en la estructura de Von Neumann, como la de la figura siguiente, que se caracteriza por disponer de una única memoria principal en la que se almacenan los datos y las instrucciones. A esta memoria se accede a través de un sistema de buses único:

• Bus de datos • Bus de direcciones



58

• Bus de control

FIGURA 3.1.2 ARQUITECTURA SEGÚN EL MODELO DE VON NEUMANN

El modelo Harvard , representado en la figura siguiente, dispone de dos memorias:

• Memoria de datos • Memoria de Programa

Además cada memoria dispone de su respectivo bus, lo que permite, que la CPU pueda acceder de forma independiente y simultánea a la memoria de datos y a la de instrucciones. Como los buses son independientes éstos pueden tener distintos contenidos en la misma dirección.

FIGURA 3.1.3 ARQUITECTURA SEGÚN EL MODELO HARVARD



59

Arquitectura Ortogonal: Cualquier instrucción puede utilizar cualquier elemento de la arquitectura como fuente o destino.

Arquitectura basada en banco de registros: Implica que todos los elementos del sistema, es decir, temporizadores, puertos de entrada/salida, posiciones de memoria, etc., están implementados físicamente como registros.

En los PIC el manejo del banco de registros, que participan activamente en la ejecución de las instrucciones, es muy interesante al ser ortogonales. En la figura siguiente se muestra como la ALU (Unidad Aritmético-Lógica) efectúa sus operaciones con dos operandos, uno que proviene del registro W (Work), que en otras CPU´s recibe el nombre de Acumulador, y el otro que se encuentra en cualquier otro registro o del propio código de instrucción.

FIGURA 3.1.4 REGISTROS QUE PUEDEN ENVIAR DATOS A LA ALU. EL RESULTADO PUEDE IR A CUALQUIER REGISTRO O AL REGISTRO W

En la Figura siguiente se representa el diagrama de bloques del PIC 16C84 del que podemos resaltar las siguientes características:

• Memoria de programa EEPROM de 1Kx14 bits • Memoria de datos dividida en 2 áreas:

o Área RAM formada por 22 registros de propósito específico (SFR) y 36 de propósito general (GPR).

o Área EEPROM formada por 64 bytes.

• ALU de 8 bits y registro de trabajo W del que normalmente recibe un operando que puede ser cualquier registro, memoria, puerto de Entrada/Salida o el propio código de instrucción.



60

• Recursos conectados al bus de datos: PortA de 5 bits <RA0:RA4> , PortB de 8 bits <RB0:RB7>, Temporizador con Preescaler TMR0, etc.

• Contador de programa de 13 bit (lo que en teoría permitiría direccionar 4 KB de memoria, aunque el 16C84 solo dispone de 1KB de memoria implementada).

• Pila de 8 niveles.

La arquitectura del PIC16C84 se mantiene para todos los microcontroladores de esta subfamilia, diferenciándose unos de otros por las siguientes características:

PIC 16F84PIC 16F84: La memoria de programa es de l K palabras de l4 bits, pero de tipo Flash. La memoria de datos RAM tiene 68 registros de tamaño byte de propósito general, en lugar de 36.

PIC16CR84: La memoria de programa es de IK palabras de 14 bits tipo ROM y la de datos tiene iguales características que el PIC16F84.: La memoria de programa es de 1K palabras de 14 bits tipo ROM y la de datos tiene iguales características que el PIC16F84.

PIC16F83PIC16F83: La memoria de programa es de 512 palabras de 14 bits y la RAM de datos tiene 36 bytes de registros de propósito general.

PIC16CR83PIC16CR83: Igual que el PIC16F83, pero la memoria de instrucciones es de tipo ROM, o sea, sólo grabable durante el proceso de fabricación y utilizada en grandes series.

El elemento diferencial más importante del PIC16C84 respecto al resto de los elementos de la familia media de los PIC, es que la su memoria de programa es del tipo EEPROM y en el caso del PIC16F84 es que su memoria es del tipo Flash, por lo demás, otros dispositivos de esta familia disponen de más memoria, tienen más periféricos, etc.

El Contador de Programas (PC)

Los microcontroladores de la gama media disponen de un Contador de Programa (PC) de 13 bits, cuyos bits de menor peso corresponden a los 8 bits del registro PCL, implementado en la posición de memoria RAM 02h (y duplicado en la posición 82h),y los cinco bit de mayor peso del PC corresponden con los 5 bits de menor peso del registro PCLATCH, implementado en la posición de memoria RAM 0Ah (y duplicado en la posición 8Ah), lo que le permite direccionar hasta 8 K x 14 bits dividido en páginas de 2 K x 14 bits. Sin embargo, el PIC16C84 dispone tan solo de 1Kx14 bits de memoria implementada, desde la posición 0000h hasta la 03FFh, los 3 bit de mayor peso del PC no los tiene en cuenta, así pues la dirección 30h, 430h, 830h, C30h,1430h, 1830 y 1C30h se considera como la misma.



61

FIGURA 3.1.5 EL CONTADOR DE PROGRAMAS (PC)

En las instrucciones CALL y GOTO los 11 <10:0> bits de menos peso corresponden al código de operación, mientras que los 2 bit de mayor peso<12:11> los suministran respectivamente los bit 4 y 3 del registro PCLATH que realmente apuntan a una de las 4 páginas del mapa de memoria que puede direccionar el PC.

Un Reset provoca que se pongan a cero todos los bits del los registros PCL y PCLATCH, forzando que la dirección de inicio sea la 0000h.

Como puede verse en la siguiente figura, el vector de reset se almacena en la dirección 0000h, mientras que el vector de interrupción está en la dirección 0004h. La memoria de programa de usuario propiamente dicha, comienza en la posición 0005h y llega hasta la 03FFh



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FIGURA 3.1.6 ESPACIO DE MEMORIA

3.2 La Pila

La pila es una zona de memoria, que se encuentra separada tanto de la memoria de programa como de la de datos. Tiene una estructura LIFO (Last In First Out), por lo que el último valor que se guarda es el primero que sale. Dispone de 8 niveles de profundidad cada uno de ellos con una longitud de 13 bits. Su funcionamiento es como el de un buffer circular, de tal forma que el valor que se obtiene al realizar nueve desplazamientos, es igual al primer desplazamiento.

La única manera de cargar la Pila es a través de la instrucción CALL (llamada a subrutina) o por una interrupción que hacen que con cada una de ellas, se cargue el contenido del PC en el



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valor superior de la Pila. Para recuperar el contenido de la Pila en el PC hay que ejecutar una instrucción RETURN, RETLW o RETFIE (vuelta del programa de atención a una subrutina o interrupción).

No se dispone de ningún flag (identificador) que indique un desbordamiento de la Pila.

Palabras de Configuración e Identificación

Los PIC de la gama media disponen de una palabra de configuración de 14 bits que se escribe durante el proceso de grabación del dispositivo y que debe hacerse de acuerdo con el sistema en el que se va a insertar. Dichos bits ocupan la posición reservada de memoria de programa 2007h. En la Tabla siguiente se muestra la estructura de la Palabra de configuración

CP PWRTE WDTE FOSC1 FOSC2

bit 13

bit12 bit11 bit 10

bit 9

bit 8

bit 7

bit 6

bit 5

bit 4

bit 3 bit 2 bit 1 bit 0

Bit 4: CP, bit de configuración protección de código

1= Protección de código desactivado

0=Protección de código activado

Bit 3: PWRTE, Activación del temporizador "Power-Up"

1= Desactivado

0= Activado

Bit 2: bit de configuración habilitación del Watchdog (WDT)

1: WDT activado

0: WDT desactivado

Bit1 y 2: FOSC<1:0>

11: Oscilador RC

10 Oscilador HS ( 8 - 20 MHz)

01 Oscilador XT ( 100 KHz- 4MHz)



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00 Oscilador LP (Bajo consumo 32- 200 Hz)

Palabra de Configuración del PIC16C84

Además dispone de cuatro posiciones de memoria de programa ubicadas en las direcciones <2000h:2003h>, reservadas para las Palabras de Identificación ID. Estas palabras que se escriben durante el proceso de grabación, sólo emplean los 4 bits de menos peso y se utilizan por el programador para indicar el código del dispositivo, el número de serie, la versión del programa, etc.

Descripción de sus pines

FIGURA 3.2.1 DESCRIPCIÓN DE SUS PINES

RA0, RA1, RA2, RA3 y RA4: son los pines del puerto A

RB0, RB1, RB2, RB3, RB4, RB5, RB6 y RB7: son los pines del puerto B.

MCLR: Pin de reseteo del pic, cuando se pone a "0" el pic se resetea.

Vdd y Vss: pines de alimentación (Vdd 5V y Vss a masa)



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OSC1/CLKIN y OSC2/CLKOUT: son para el oscilador Los tipos de osciladores más usados son el XT (cristal de cuarzo) y el RC (resistencia y condensador) el modo de conexionado es el siguiente:

Oscilador XT Oscilador RC

C1=C2=33pF

Crystal = 4MHz

C1 alrededor de 20pF

5K O = R1 = 100K O

La línea de microcontroladores PIC’s ((Programmable Interface Controller) fue originalmente desarrollada por la división de semiconductores de General Intruments Inc. Los primeros PIC’s fueron mejorando sobre los ya existentes por que estos son programables, con alta salida de corriente, control de entrada/salida, construidos a través de la arquitectura RISC (Reduced Instruction Set Code). Los primeros PIC’s trabajaron eficientemente a una instrucción por ciclo de reloj interno, y el ciclo de reloj fue derivado del oscilador y dividido en 4. Tempranamente los PIC’s pudieron trabajar con una alta frecuencia de oscilación de 20 MHz. Estos se hicieron relativamente rápidos para un microcontrolador de 8 bits, pero la principal característica fue que estos tienen una capacidad de brindar 20 mA de corriente en cada pin I/O (Input/Output). Los micros típicos estaban anunciando corrientes de I/O altas de sólo 1 miliamperio (mA). General Instruments eventualmente vendió esta división de semiconductores a Microchip Technology. Los PIC’s rápidamente se convirtieron en los principales componentes ofrecidos por esta compañía. Inicialmente la selección fue pequeña y ninguna tenia características comunes de los microcontroladores de hoy como interrupciones externas o temporalizador. A pesar de estas limitaciones los PIC’s se vendían bien y permitieron a Microchip desarrollar nuevos componentes con nuevas características incluyendo interrupciones, convertidores Analógicos/Digitales, comparadores y algunas otras cosas mas.



66

3.3 Software para PIC’s Los microcontroladores no son nada sin software. Para programar PIC’s se requiere un archivo binario de códigos de unos y ceros. Microchip ofrece un lenguaje ensamblador para PIC’s que es libre. El lenguaje ensamblador puede ser difícil para principiantes, sin embargo. Este es más sencillo para un principiante o aficionado (hobbyists) con limitado tiempo para utilizar un lenguaje de alto nivel y un compilador para convertir este lenguaje de alto nivel dentro de un programa de lenguaje ensamblador. PicBasic es un lenguaje de alto nivel que es fácil para principiantes, aficionados e incluso para profesionistas que requieran desarrollar código sencillo y rápido que genera el código ensamblador sin necesidad de utilizar otro programa. En 1995 una compañía llamada Parallax Incorporated desarrollo un pequeño modulo computador basado en un PIC que pudo ser programado en una versión modificada del lenguaje software BASIC. Parallax Inc. había estado produciendo programas y emuladores para los PIC’s de Microchip. Ellos sabían que programar en el lenguaje ensamblador era difícil decidieron desarrollar una forma de lenguaje Basic llamado PicBasic y hoy en su versión más actual el PicBasicPro.

IPN-ESIME CARACTERIZACIÓN, DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA ELECTROMECÁNICO


66

CARACTERIZACIÓN, DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL

SISTEMA ELECTROMECÁNICO.

ESTE CAPÍTULO TRATA DEL DISEÑO MECÁNICO DEL PROTOTIPO.



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4.1 DISEÑO DEL SISTEMA MECÁNICO DE VIBRACIÓN.

Se concibe un sistema mecánico, con un motor eléctrico con masa desbalanceada, controlado

por un variador de velocidad que cuente las revoluciones que da el motor.

La estructura será una viga en voladizo que se pueda sujetar como empotramiento en un

extremo. En el extremo libre se colocará el motor que servirá de excitador con la idea de al

aumentar la velocidad se produzca la resonancia, de acuerdo con el siguiente diseño:



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Cuya vista en isométrico se muestra a continuación:



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La longitud de la viga al centro giro del motor es de: 400 mm Las dimensiones de la sección transversal de la viga son: 50.8 mm (2”) X 9.5 mm (3/8”) El peso total medido en el extremo (motor, tornillos, abrazadera de aluminio) es de: 381.5 g = 3.74 N



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Por tanto la masa es: La masa de la viga se calcula tomando como densidad del aluminio 2710 kg/m3:

Frecuencia natural, considerando la masa de la viga es:

Constante elástica equivalente para una viga en voladizo es:

Donde E es módulo de elasticidad, I el momento de inercia y l la longitud de la viga

Para la determinación de la masa equivalente, se debe considerar a parte de la masa colocada en el extremo libre de la viga la masa de la viga, pero como su masa está distribuida y no concentrada se usa la ecuación:

Proporcionada en la portada interior del libro”Mechanical Vibrations” de Singiresu S. Rao, Ed. Prentice hall 4ª edición. Donde m es la masa concentrada en el extremo y mv la masa de la viga.



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Cuando entra en resonancia el sistema la revoluciones marcadas en la pantalla son de 1380, lo que arroga un error del

Esfuerzos en la viga: Análisis estático

A n á l i s i s d i n á m i c o

Esfuerzos dinámicos . - los métodos para determinar esfuerzos en elementos mecánicos en equi l ibr io estát ico se estudian en mecánica de materiales. Cuando dichos elementos vibran se desarrol lan esfuerzos adicionales que se determinan comparando la ampli tud de vibración con la deformación estát ica

/ estX δ

El esfuerzo total está dado por total est din D estKσ σ σ σ= + = donde El desplazamiento X lo determinamos tomando en cuenta la teoría de de desbalanceo (2.1.2):

R Rm eXm

β′

=

donde

( ) ( )

2

2 221 2R

r

r rβ

ζ=

− +



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El desbalanceo m e′ , medido del prototipo es: 15 g X 30 mm = 450 g-mm = 0.00045 kg-m Calculando como ejemplo el desplazamiento en la velocidad de rotación máxima obtenemos, una razón de frecuencias de:

1.196 y despreciando el amort iguamiento

2 2

2 2

1.196 3.331 1 1.196R

rr

β = = =− −

Sust i tuyendo:

-6

0.00296 9243.2 10DK ≈ =

×

4.2 DISEÑO DEL AMORTIGUADOR DE VIBRACIONES Constante elástica del resorte: Por ahorra de recursos se utiliza un resorte para troquel cromo vanadio carga extra pesada (verde), el cual fue ensayado comprensión para verificar su comportamiento mecánico y determinar el valor de su constante elástica. A continuación se muestran las fotos y gráfica obtenida:



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75

Resorte con su base para ensayo:

Inicio y final del ensayo



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Gráfica obtenida

La gráfica se puede ajustar a una recta sin error apreciable, según se muestra en la recta color negro



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El amortiguador de vibraciones es otro sistema masa-resorte, que reduzca o elimine el desplazamiento del sistema principal, que es la elasticidad de la viga y la masa de motor y abrazadera. Solo resta por determina la masa del amortiguador:

IPN-ESIME DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA ELECTRONICO COMPUTACIONAL


77

CARACTERIZACIÓN, DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA

ELECTRÓNICO COMPUTACIONAL

ESTE CAPITULO TRATA DE LA PROGRAMACIÓN DEL PROTOTIPO ASI COMO LOS COMPONENTES ELECTRÓNICOS UTILIZADOS



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5.1 MATERIAL

- Pantalla LCD

- Bus 7 líneas

- Motor de CD a 12v

- Eliminador 12v @ 1 A

- Capacitador 3300µf

- 4 Diodos de la serie 1N4000

- Switch cola de ratón

- Potenciómetros 10kΩ y 4.7kΩ

- Transistor TIP31C

- Regulador 7805

- 2 Capacitores 1µf

- Microcontrolador PIC16F876A

- Cristal de cuarzo de 4MHz

- Resistencia 220Ω

- 2 Capacitores 27pf

- Cable calibre 18

- Diodos emisor y receptor.

Descripción de material:

- Pantalla LCD

Pantalla de 16x2 líneas utilizada para mostrar el conteo de velocidad.

- Bus de 7 líneas

Utilizado para la comunicación de la pantalla LCD con el microcontrolador.

- Motor de CD a 12v

Motor de corriente directa a 12v utilizado para generar las vibraciones en el sistema.



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- Eliminador 12v @ 1 A C.A.

Eliminador de corriente alterna 12 volteos a 1 Ampere, proporcionara la energía a todo el

sistema electrónico.

- Capacitador 3300µf y 4 Diodos de la serie 1N4000

Material utilizado para convertir la corriente alterna del eliminador a corriente directa a

través de un rectificador de onda completa.

- Switch cola de ratón

Switch utilizado para el encendido del sistema electrónico.

- Transistor TIP 31C y potenciómetro de 4.7kΩ

Transistor potencia utilizado para controlar el flujo de corriente a través del motor.

- Regulador 7805

Regulador a 5 volteos, nos proporcionara el voltaje para alimentar el microcontrolador.

- Microcontrolador PIC16F876A

Microcontrolador utilizado para el control de velocidad del motor mandando los datos a

la pantalla LCD.

- Cable calibre 18

Cable para realizar las conexiones entre el sistema de control y el motor, se utilizo este

calibre por comodidad en el manejo de las corrientes suministradas.

- Diodos emisor y receptor

Se utilizan para el conteo de pulsos, los cuales nos ayudaran a llevar el control de

velocidad adecuado.

Programa realizado en MicroCode Studio para el control de velocidad

'**************************************************************** '* Name : Control de velocidad.BAS

* '* Author : [] *



80

'* Notice : Copyright (c) 2007 [Adrian Rodríguez Rodríguez] *

'* : All Rights Reserved *

'* Date : 30/05/2008 *

'* Version : 3.0 *

'* Notes : Control de velocidad regulado *

'****************************************************************

include "modedefs.bas" DEFINE LCD_DREG PORTB DEFINE LCD_DBIT 4 DEFINE LCD_RSREG PORTB DEFINE LCD_RSBIT 0 DEFINE LCD_EREG PORTB DEFINE LCD_EBIT 1 DEFINE LCD_BITS 4 DEFINE LCD_LINES 2 DEFINE LCD_COMMANDUS 2000 DEFINE LCD_DATAUS 50 DEFINE ADC_BITS 8 DEFINE ADC_CLOCK 3 DEFINE ADC_SAMPLEUS 50 define CPP1_PIN PORTC.2 VPOT VAR BYTE sal VAR word des var word VEL VAR WORD inicio: portb=0 trisa=$FF trisb=$00 adcon1=%00000010 hpwm 1,0,300 lecturapot: ADCIN 0,VPOT hpwm 1,Vpot,300

sensado: count PORTC.1,1000,sal sal=sal*60 vel=sal/16 des=sal//16 lcdout $FE, 1 lcdout $FE, 2 lcdout "LA VELOCIDAD ES:" LCDOUT $FE,$C0 lcdout #VEL lcdout "." lcdout #des lcdout " RPM" ' lcdout #sal pause 200 goto LECTURAPOT end



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5.2 IMPLEMENTACIÓN DE CIRCUITOS.

CIRCUITO PARA MEDICIÓN DE VELOCIDAD. El circuito para medir la velocidad del motor y la despliega en un LCD fue implementado en un PIC16F84. Se conecta un LCD por el puerto B del PIC, mientras por el puerto A, se recibe una señal pulsante del arreglo de un diodo emisor de luz infrarroja y un fototransistor, que es el sensor óptico, en la Figura 1 se muestran los pines de conexión del PIC16F84, en la figura 2 el sensor óptico.

Figura 5.2 1. Pines de conexión del PIC16F84 .

Figura 5.2.4 Circuito eléctrico del sensor óptico. El fotodiodo, TSAL6200 emite luz infrarroja la cual es recibida por el fototransistor PT331C, Cuando el fototransistor recibe luz infrarroja este conduce, la analogía con un switch es que si el fototransistor recibe luz infrarroja el switch se cierra y en el pin 0 del puerto A o RA0 existe 0 Volts o un cero lógico como lo muestra la figura 3.



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Figura 5.2.3 Analogía del fototransistor con un switch en este caso cuando recibe la luz infrarroja

el switch se cierra. Cuando el fototransistor no recibe luz infrarroja este no conduce, la analogía con un switch es que si el fototransistor no recibe luz infrarroja el switch se abre y en el pin 0 del puerto A o RA0 existe 5 Volts o un uno lógico como lo muestra la figura 4.

Figura 5.2.4 Analogía del fototransistor con un switch en este caso cuando no recibe la luz infrarroja

el switch se abre. Para cortar la luz del fototransistor se coloco una placa obscura ensamblada al eje del motor, que cuando el motor da una vuelta esta plaquita corta la luz y se produce una señal pulsante que se muestra en la figura 5, esta señal es obtenida por el pin RA0 del PIC y el numero de pulsos o vueltas del motor es contado por el PIC cada segundo, después de hacer la



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medición de pulsos por segundo, esta es desplegada en el LCD con una leyenda “VUELTAS POR SEG” el circuito completo es mostrado en la figura 6.

Figura 5.2.5 Señal pulsante recibida por el pin RA0 del puerto A cada pulso de 5 Volts es

una vuelta del motor Programa para PIC16F84 Se muestra el programa que se cargo al PIC16F84 el cual fue programado en el lenguaje de programación de alto nivel como lo es PicBasicPro, este se encuentra documentado lo cual significa que se explica que es lo que hace cada instrucción que se utilizo. ‘--------------------[ Descripción de Programa ]—————————————————— ‘ ‘ ‘ PIC16F84 para LCD conexiones de puerto predefinidas: ‘ ‘ PIC LCD otras conexiones ‘ ——— ———- ——————————————- ‘ RB4 LCD.11 ‘ RB5 LCD.12 ‘ RB6 LCD.13 ‘ RB7 LCD.14 ‘ RB3 LCD.4 ‘ RB0 LCD.6 ‘ OSC1 Resonator - 4 mhz ‘ OSC2 Resonator - 4 Mhz ‘ MCLR Vdd via resistencia 1k ‘ Vdd 5v ‘ Vss Gnd ‘ RA0 señal del fototransistor ‘ RA2 LED



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DEFINE LCD_DREG PORTB ;Define el puerto del PIC usado para las líneas de ;Datos del LCD DEFINE LCD_DBIT 4 ;Define first pin of portbconnected to LCD DB4 DEFINE LCD_RSREG PORTB ; Define el puerto del PIC usado para la línea RS ;del LCD DEFINE LCD_RSBIT 3 ; Define el puerto del PIC usado para la RS ;comunicación 193 DEFINE LCD_EREG PORTB ; Define el puerto del usado para la línea E ;del LCD DEFINE LCD_EBIT 0 ;Define el pin del PortB usado para la conexión E DEFINE LCD_BITS 4 ;Define el modo de comunicación de 4 bits con ;el LCD DEFINE LCD_LINES 2 ;Define el uso de la línea 2 del LCD DEFINE LCD_COMMANDUS 2000 ;Define un retardo de 2000us entre cada envió ; de comandos al LCD DEFINE LCD_DATAUS 50 ;Define un retardo de 50us entre cada envió de datos MED VAR WORD ; Configura a la variable MED como tipo WORD TRISA=%000011011 ; Configura los pines RA0, RA1, RA3 ,RA4 ; del puerto A como entrada y el pin RA2 ;como salida digital PORTA.2=1 ; Coloca el pin RA2 del puerto A en alto o también ;llamado 1 Lógico esto es para conectar un LED en ;y saber si el PIC esta ejecutando el programa ;Ciclo en el cual se realiza la medición de pulsos por segundo y se muestran en el LCD MEDICION: ; Etiqueta para repetir el ciclo COUNT PORTA.0,1000,MED ; Cuenta los pulsos cada segundo que entran el ; pin RA0 del puerto A y los guarda en la ; variable MED LCDOUT $FE, 1 ; Limpia el LCD LCDOUT $FE, 2 ; Posiciona del cursor al inicio linea 1 del LCD LCDOUT " VUELTAS POR SEG" ;Envía “VUELTAS POR SEG” a la primer ;línea del LCD LCDOUT $FE, $C0 ;Se posiciona en la segunda línea del LCD LCDOUT " ",#MED ; Envía el valor en la Variable MED a la ; segunda línea LCD



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PAUSE 300 ;Genera un retardo de 300ms para poder observar la ;informacion que se despliega en el LCD GOTO MEDICION ; Regresa a la etiqueta MEDICION y todo el ciclo se ; ejecuta de nuevo

Figura 5.2.6 Circuito eléctrico del medidor de velocidad



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CIRCUITO PARA CONTROL DE LA VELOCIDAD DEL MOTOR POR MEDIO DE SEÑAL PWM. El circuito para controlar la velocidad el motor se implemento en un PIC16F873, se conecto en el pin RA1 del puerto A un potenciómetro de 10K el cual varia el voltaje de 0 a 5 Volts, por medio del PIC se convierte el voltaje de analógico a digital con una resolución de 8 bits eso significa que si se tienen 0 Volts equivale a 0 en digital , si se tienen 2.5 Volts equivale a 128 en digital , si se tienen 5 Volts equivale a 255 en digital entonces se tendrá un rango de 0 a 255 el rango de conversión es lineal y se rige por (51.2)*Voltsen Valor digitalValor = .

Figura 5.2.7 Pines de conexión del PIC16F873

Con el valor convertido de analógico a digital se genera una onda PWM para controlar el motor, la onda PWM varia el ancho de pulso alto de una onda con una frecuencia constante, si el valor en el potenciómetro es de 0.098 Volts esto equivale a 5 en digital el ancho de pulso en alto seria muy pequeño y el ancho de pulso en bajo seria muy largo en la figura 8 se muestra como seria la señal.



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Figura 5.2.8 Señal con un ancho de pulso alto de casi 0 .

Si el valor en el potenciómetro es de 2.5 Volts esto equivale a 128 en digital el ancho de pulso en alto seria igual a el ancho de pulso en bajo en la figura 9 se muestra como seria la señal.

Figura 5.2.9 Señal con un ancho de pulso alto igual al ancho de pulso bajo

Si el valor en el potenciómetro es de 4.95 Volts esto equivale a 254 en digital el ancho de pulso en alto seria muy grande y el ancho de pulso en bajo seria muy pequeño en la figura 10 se muestra como seria la señal.



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Figura 5.2.10 Señal con un ancho de pulso alto muy grande se puede aproximar a una señal continua.

Esta señal PWM que varia el ancho de pulso alto es mandada por el pin RB5 del puerto B hacia un puente H L293D este puente H lo que hace es amplificar la señal en potencia para que el motor sea conectado a esta y pueda funcionar ya que si se conecta directamente al PIC este se quemaría en la figura 11 se muestra el puente H. El puente H y el motor son conectados a una fuente de voltaje de 15 Volts lo que en la figura 11 es Vc y Vcc1 se conecta a una fuente de voltaje de 5 Volts en la figura 12 se muestra el circuito con todos los componentes utilizados.

Figura 11. Pines del puente H y como conectar motores para su buen funcionamiento



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PROGRAMA PARA PIC16F73. Se muestra el programa que se cargo al PIC16F873 el cual fue programado en el lenguaje de programación de alto nivel como lo es PicBasicPro, este se encuentra documentado lo cual significa que se explica que es lo que hace cada instrucción que se utilizo. ‘--------------------[ Descripción de Programa ]—————————————————— ‘ ‘ ‘ PIC16F73 conexiones del puente H y potenciómetro: ‘ ‘ PIC otras conexiones ‘ ——— --——————————————- ‘ RB5 Puente H L293D.15 ‘ RB2 LED ‘ RA1 Potenciómetro 10K ‘ OSC1 Resonator - 4 Mhz ‘ OSC2 Resonator - 4 Mhz ‘ MCLR Vdd via resistencia 1k ‘ Vdd 5v ‘ Vss Gnd DEFINE ADC_BITS 8 ; Configura rango de precisión del convertidor

;analógico digital

DEFINE ACD_CLOCK 3 ;Configura el reloj interno del PIC para la conversión DEFINE ADC_SAMPLEUS 50 ;Tiempo de muestreo para el convertidor ADVAL VAR BYTE ;Define la variable ADVAL como tipo byte TRISB=%00000000 ; Configura el puerto B del PIC como salidas digitales PORTB=$00 ; Coloca todos los pines del puerto B en 0 lógico TRISA=%11111111 ; Configura el puerto A como entradas ADCON1=%00000010 ; Configura el puerto A como entradas Analógicas PORTB.0=1 ; Coloca el pin RB0 del puerto B en alto o también ;llamado 1 Lógico esto es para conectar un LED en ;y saber si el PIC esta ejecutando el programa ; Ciclo de conversión y generación de una onda PWM con rango de 0 a 255 valores CICLO: ;Etiqueta para el ciclo ADCIN 1, ADVAL ;El valor del el voltaje conectado a el pin 1 del puerto A es

;convertido de analógico a digital y guardado en la variable ADVAL



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PWM PORTB.5, ADVAL , 1 ; Con el valor convertido de analógico a digital se ;genera una onda PWM que tiene una resolución de ;0 a 255 valores y es sacada por el pin RB5 del ;puerto B GOTO CICLO ; Regresa a la etiqueta CICLO y todo el ciclo se ; ejecuta de nuevo

Figura 12. Circuito eléctrico completo del control de velocidad del motor



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DIAGRAMA DE FLUJO.

INICIO

ENCENDIDO DE LA MÁQUINA.

ENCENDIDO DEL MOTOR.

MOTOR EN FUNCIONAMIENTO

SENSADO DE RPM O DEL MOTOR

DESPLIEGUE VELOCIDAD

EN LCD

ON

FIN.

Sí

VARIACIÓN DEL PWM

POT. P/ VARIAR LA VEL.

91

CONCLUSIONES.

CON ESTE PROTOTIPO DIDÁCTICO SE PUDO MOSTRAR EL FENÓMENO DE

RESONANCIA MECÁNICA.

ESTE DISEÑO NOS PERMITE REALIZAR PRÁCTICAS DEMOSTRATIVAS DE UNA

FORMA SENCILLA EN UN LABORATORIO DE MECÁNICA, LO CUAL AYUDA A

ANALIZAR EL COMPORTAMIENTO DE UN SISTEMA MECÁNICO Y CUALES SON LOS

FENÓMENOS QUE SE PRESENTAN, COMO LO ES LA VIBRACIÓN.

EL ESTUDIO DE LAS VIBRACIONES MECÁNICAS NOS INDUCE A UN ANÁLISIS

MUCHO MÁS PROFUNDO DE LO QUE ES RESONANCIA MECÁNICA, YA QUE EN LA

INDUSTRIA DONDE SE TIENE SISTEMAS DE PRODUCCIÓN ES COMÚN QUE SE

PRESENTE ESTE FENÓMENO, EL CUAL SI NO SE ELABORA UN ESTUDIO ADECUADO

PUEDE GENERAR DAÑOS CATASTRÓFICOS A LOS COMPONENTES, ASÍ COMO

TIEMPOS MUERTOS, FRACTURAS ETC.

LA APLICACIÓN DE UN SISTEMA AMORTIGUADO A CUALQUIER SISTEMA DE

PRODUCCIÓN, NOS PERMITE REALIZAR MANTENIMIENTOS PREVENTIVOS

ADECUADOS, EL CUAL REDUCE TIEMPOS Y COSTOS EN LOS PROCESOS.

EL PROTOTIPO NOS DA LA PAUTA PARA PODER CREAR UNA MÁQUINA QUE NOS

PERMITA MEDIR Y GRAFICAR EL FENÓMENO DE VIBRACIÓN, EL CUAL NOS

PERMITIRÍA RESOLVER DE UNA MANERA INMEDIATA EL PROBLEMA.

92

BIBLIOGRAFÍA

Rao S. S. “Mechanical Vibrations” Editorial Prentice Hall, 4ª Edición 2004.

Vierck R. K. “VibrationAnalysis” Editorial Harper & Rox, Publishers, 2A edición

1979

Kelly S. B. “Fundamentals of Mechanical Vibrations” Editorial McGraw Hill, 2a

Edición 2000.

Inman D. J. “Engineering Vibration” Editorial Prentice Hall, 2a Edición2001.

Beer F. P./ Johnston R/ DeWolf J. “Mecánica de Materiales” Edicotira McGraw

Hill, 3A edición.

Documents

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL · Posteriormente para proponer una forma de reducción de la amplitud de vibración se colocará un sistema masa-resorte adicional a sistema masa-resorte