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Albert Einstein ritratto il 28dicembre 1934 durante unaconferenza presso l'AmericanAssociation for the Advance ofScience.

INTERAZIONE LUCE – MATERIA

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LA RADIAZIONE DEL CORPO NERO

Il corpo nero è un corpo che assorbe ed emette radiazioni elettromagnetiche su tutte lefrequenze. La ricerca della espressione analitica della densità spettrale di energia radiante r(n)ha consentito a Planck di scoprire la natura granulare della energia radiante (E=hn), premessaper la scoperta del fotone da parte di Einstein. La sua espressione in funzione della frequenza e per vari valori della temperatura assoluta è laseguente:

dove n è la frequenza, n l'indice di rifrazione e T la temperatura assoluta. I grafici relativi,parametrizzati con la temperatura, sono riportati di seguito.

Si vede che il valore di emissione massima aumenta con T e la frequenza di picco si spostaverso il blu (verso le alte energie).

INTERAZIONI TRA LUCE E MATERIA A LIVELLO CORPUSCOLARE

Si prenda come riferimento un solido la cui struttura a bande è composta da due soli livelli dienergia: E1 è il livello fondamentale ed E2 è il livello eccitato. N1 ed N2 siano leconcentrazioni volumetriche di elementi nei due livelli. Gli eventi di scambio di elementi tra idue livelli sono evidenziati nella figura che segue.

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1) RICOMBINAZIONE SPONTANEA NON RADIATIVAAvviene quando un elemento nello stato alto decade spontaneamente in basso in modoindiretto. Il decadimento avviene con l'ausilio di trappole o difetti nel gap. E' il tipicodecadimento che avviene nel silicio. L'energia persa nel decadimento va ad aumentarel'energia interna del solido e quindi la sua temperatura. L'equazione di bilancio temporaleè la seguente

k21 è il reciproco del tempo di vita medio non radiativo. Il tasso di transizione èproporzionale alla concentrazione di elementi in alto N2. Questo tipo di transizione èantagonista della emissione spontanea radiativa, per cui per fare in modo che siatrascurabile è necessario minimizzare i difetti nel materiale. Questa è una regolagenerale che sarà valida anche e soprattutto per i semiconduttori.

2) RICOMBINAZIONE SPONTANEA RADIATIVAAvviene quando un elemento nello stato alto decade spontaneamente in basso in mododiretto. L'energia persa dall'elemento che transisce viene restituita al sistema conl'emissione di un fotone spontaneo di energia esattamente hn=E2-E1. Di tale fotone ècerta solo l'energia (in realtà neanche quella), mentre tutte le altre caratteristiche(direzione, fase, polarizzazione) sono completamente casuali. L'equazione di bilanciotemporale è la seguente

A21 è il reciproco del tempo di vita medio radiativo. Il tasso di transizione èproporzionale alla concentrazione di elementi allo stato alto N2.

3) ASSORBIMENTOE' una transizione stimolata da un fotone. Se un fotone di energia esattamente uguale adhn collide con un elemento nello stato basso, per urto elastico cede la propria energiaall'elemento che si porta sullo stato alto. Il fotone dunque scompare. L'equazione dibilancio temporale è la seguente

B12 è un fattore probabilistico. Il tasso di transizione è proporzionale sia al numero dielementi allo stato basso sia al numero di fotoni rappresentato dalla densità spettrale dienergia radiante r(n). Si noti che questa transizione non può avvenire se a) l'energia delfotone è minore o uguale ad hn=E2-E1 o b) se nello stato alto non ci sono postidisponibili ad essere occupati.

4) EMISSIONE STIMOLATAE' anche questa una transizione stimolata da un fotone ed è in pratica duale allaprecedente. Se un fotone di energia esattamente uguale ad hn collide con un elementoallo stato alto, per urto elastico cede la propria energia all'elemento che viene forzato adecadere allo stato basso. Per la conservazione dell'energia, il fotone che ha provocato la

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transizione sopravvive e l'energia persa si traduce nell'emissione di un secondo fotone ilquale è l'esatto gemello in tutto e per tutto di quello che ha provocato la transizione.I due fotoni possiedono le quattro caratteristiche (frequenza, fase, direzione epolarizzazione) identiche. L'equazione di bilancio temporale è la seguente

B21 è un fattore probabilistico. Il tasso di transizione è proporzionale sia al numero dielementi allo stato alto sia al numero di fotoni rappresentato dalla densità spettrale dienergia radiante r(n). Si noti che anche in questo caso questa transizione non puòavvenire se a) l'energia del fotone è minore o uguale ad hn=E2-E1 o b) se nello statobasso non ci sono posti disponibili ad essere occupati.Questo tipo di transizione è alla base del meccanismo della amplificazione della luce edin ultima analisi alla elaborazione dei sistemi laser che emettono luce coerente.

CORRELAZIONE TRA I COEFFICIENTI DI EINSTEIN

I parametri A21, B12 e B21 sono detti coefficienti di Einstein.In condizioni di equilibrio termico le due popolazioni N2 ed N1 sono costanti. Per prima cosa i due coefficienti B12 e B21, che dovrebbero essere uguali perché indicano laprobabilità di due eventi sostanzialmente uno il duale dell'altro, in realtà non lo sono affatto.Infatti si ha

dove g1 e g2 sono i numeri di coordinazione legati al numero di stati presenti sul livello.Ad esempio nel sistema idrogeno il livello fondamentale per gli elettroni è il primo orbitale checontiene due posti, mentre il livello superiore è un orbitale che può contenere otto postidisponibili. E' logico quindi che la transizione di assorbimento è decisamente molto più facile(probabile) di una emissione stimolata.Ciò detto si pongano uguali i numeri di coordinazione dei due livelli (g1 = g2) ovvero B12=B21.Trascurando la ricombinazione non radiativa, si ha

Uguagliando a zero questa relazione e ricordando che all'equilibrio termico il rapporto tra ledue popolazioni, per la statistica di Maxwell-Boltzman, è dato da

si ricavi l'espressione di r(n) e la si eguagli a quella nota.

Si ottiene per confronto una relazione che lega B21 ad A21, ovvero al tempo di vita medioradiativo.

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FORMA DI RIGA (LINE SHAPE)

Nella trattazione di sopra esiste una grave incongruenza che va risolta. Infatti si è detto che letransizioni efficaci sono soltanto quelle caratterizzate da una energia del fotone strettamenteuguale ad hn =E2-E1, mentre nella relazione compare la funzione r(n) estesa su tutte lefrequenze.La realtà prevede che i livelli di energia debbano sottostare al principio di indeterminazione diHeisenberg di cui una delle formulazioni è la seguente

DE * t = h

ovvero l'incertezza sui valori di energia di un elemento presente sul livello è legata allaincertezza sul tempo di permanenza, cioè al tempo di vita medio del livello. Tanto maggiore è iltempo tanto minore è l'incertezza sull'energia e viceversa. Nella figura seguente vengonoillustrati i due livelli con sovrapposte delle funzioni densità di probabilità (che qui sisuppongono di tipo gaussiano) della occupazione di energia da parte degli elementi.

Dalla figura si vede che le transizioni possibili ora sonoanche quelle con hn>E2-E1 oppure hn<E2-E1, sebbene condiversa probabilità. L'incertezza sul valore di hn coinvoltonelle transizioni è la somma delle due incertezze sui livelli :Dhn =DE2+DE1.

Dunque la funzione distribuzione dei fotoni coinvolti nellatransizione sui due livelli, che prende nome g(n) forma diriga o line-shape, ha anch'essa una forma di tipo gaussianoma che comunque può esprimersi in modo approssimato conla relazione che segue. La sua dimensione è un tempo.

Questa forma di riga ,simmetrica rispetto a no, è detta con allargamento omogeneo,caso molto raro nella realtà pratica.

In pratica la funzione g(n) può avere due diverse definizioniper le transizioni spontanee e per quelle stimolate.

Per le spontanee la g(n) è lo spettro dei fotoniemessi per ricombinazione spontanea radiativa.

Per le stimolate la g(n) è il peso dell'efficacia dellafrequenza n nel provocare le transizioni diassorbimento o emissione stimolata.

Dunque nelle equazioni di bilancio la tradizionale r(n) estesa su tutte le frequenze va sostituitacon la funzione rCOL(n) che è una densità spettrale di energia radiante avente la stessa

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dipendenza dalla frequenza della g(n).Si consideri la densità volumetrica di energia dei fotoni su tutte le frequenze rn:

La funzione rCOL(n) si ottiene quindi con la densità volumetrica dei fotoni rn convoluta con lafunzione filtro g(n).

Inoltre, visto che per noi il parametro rappresentativo della quantità di fotoni è l'intensitàluminosa In, possiamo mettere in relazione rn con In, mediante la seguente relazione:

Quest'ultima relazione può essere compresa facendo ricorso ad una analogia tra fotoni edelettroni in un conduttore, in cui la densità di carica elettrica è equivalente alla densitàvolumetrica di fotoni rn mentre la densità di corrente elettrica è equivalente alla intensitàluminosa In.E' noto che la densità di corrente elettrica è il prodotto della densità di carica per la velocità didrift, per cui in termini fotonici è valida la relazione di sopra.

In conclusioni, possiamo aggiornare l'espressione della equazione di bilancio temporale deglielementi con la seguente che tiene conto della forma di riga.

EQUAZIONE NEL DOMINIO DELLO SPAZIO

Consideriamo ora i fenomeni dal punto di vista stazionario e nel dominio dello spazio.Consideriamo l'esperimento illustrato nella figura seguente.

Sia data una lastrina di materiale larga dx su cui incide una intensità luminosa In di frequenza n.In uscita dalla lastrina avremo un incremento (o decremento) di tale intensità In+dIn. Esso èdovuto sia al contributo delle emissioni stimolate, sia a quello dei fotoni spontanei che per laloro frequenza e direzione sono indistinguibili dal segnale ottico in ingresso. La lente

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focalizzatrice ed il filtro frequenziale servono appunto per selezionare questi fotoni spontanei.Il foto rivelatore finale serve a contare i fotoni e quindi a misurare il segnale di uscita.Proponiamoci di calcolare la quantità dIn, limitandoci ai due maggiori contributi dellaemissione stimolata ed assorbimento, trascurando quello della emissione spontanea. I varicontributi a dIn vengono riportati in forma tabellare.

Quindi per emissione stimolata ed assorbimento si ha:

da cui possiamo enucleare la seguente espressione

La relazione precedente definisce una importante funzione specifica del punto: il guadagnoottico specifico g(n) (inverso di una lunghezza). In particolare il primo membro costituisce ladefinizione di tale funzione.Il secondo membro può essere ulteriormente elaborato considerando la relazione che lega A21

con B21 formulata precedentemente. Si giunge dunque alle seguenti relazioni

La prima relazione è la definizione di guadagno ottico specifico, mentre la seconda e la terzaequazione indicano l'espressione del guadagno ottico specifico: go(n) è il guadagno calcolato inassenza di intensità luminosa in ingresso (detta condizione per piccoli segnali), mentre la terza

21 ( ) ( 2 1)n

dI h B Iv g N N dxc

n n n= × × × × × - ×

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( ) ( 2 1)dI n

h B g N NI dx c

n n nn

= × × × × -

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equazione è il guadagno ottico specifico g(n) in qualunque condizione.La quantità s(n) è detta sezione di cattura o sezione d'urto ed ha le dimensioni di un'area. Lasua espressione è rappresentata dalla quarta equazione in cui vengono conglobati tutti iparametri relativi all'ambiente, compresa la forma di riga. In particolare lo è la lunghezzad'onda corrispondente al centro del line-shape.Si noti che l'espressione del guadagno ottico specifico, che ha la stessa dipendenza dallafrequenza della forma di riga, è composta da due parti distinte: la prima s(n) rappresenta leproprietà dell'ambiente, mentre la seconda (N2-N1) rappresenta le condizioni contingenti dellainversione di popolazione.Il segno di g(n) dipende interamente dalla differenza tra le due concentrazioni:

N2-N1>0 si ha la condizione di guadagno di fotoni. Le emissioni stimolate prevalgonosugli assorbimenti. Questa condizione è anche detta inversione di popolazione. E' unacondizione innaturale per cui va sostenuta con l'apporto di una sorgente di energiadall'esterno (condizione fuori dall'equilibrio termico.

N2-N1<0 si ha la condizione di prevalenza dell'assorbimento (i fotoni diminuiscono). N2-N1=0 si ha la condizione di trasparenza attiva dove il guadagno è nullo perché gli

assorbimenti prevalgono sulle emissioni stimolate. La trasparenza è detta attiva perché ifotoni che escono sono in numero uguale a quelli che entrano ma non sono gli stessi acausa delle transizioni stimolate.

N.B. La condizione di trasparenza passiva è la condizione per cui i fotoni a causa della loroinsufficiente energia, non hanno alcuna interazione col sistema. I fotoni che escono sono quindigli stessi che entrano.Per quanto abbiamo visto, l'equazione di bilancio temporale dei portatori la possiamo riscriverenel modo seguente, in cui abbiamo trasformato in modo definitivo il contributo di emissionestimolata-assorbimento.

ESEMPIO DI CALCOLO DEL GUADAGNO OTTICO SPECIFICO(INTENSITA' DI SATURAZIONE)

Si consideri il sistema a tre livelli illustrato in figura.

Si noti il tasso di transizione R2. Esso rappresenta una sorgente esterna di energia con cuivengono trasferiti elementi dallo stato fondamentale allo stato E2. R2 è il numero di transizioni

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2 ( ) ( 2 1)dN Iv

A N N Ndt h

s nn

= - × - × - ×

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per unità di tempo per unità di volume. R2 viene detto anche tasso di pompaggio delmateriale. All'atto pratico il pompaggio può essere realizzato nei modi più vari (correnteelettrica nei gas, flusso di elettroni o neutroni ad alta energia, flusso di fotoni di opportunalunghezza d'onda, ecc.).Lo scopo dell'esercizio è quello di calcolare il transitorio della inversione di popolazioneall'accensione della pompa R2 in presenza o assenza del segnale ottico esterno (In).

Nel sistema la transizione radiativa è tra E2 ed E1 (E2 si dice livello metastabile). Persemplificare i calcoli si ponga:

t21 >0 ; t10=0 (di conseguenza N1 è sempre uguale a 0) ; t20=infinito

L'equazione di bilancio per N2 in assenza di fotoni (In=0);

che integrata produce un transitorio di N2 esponenziale crescente con costante di tempo t21.A regime stazionario il valore di regime di N2 e del guadagno ottico specifico per piccolisegnali go(n) sono:

Se invece i fotoni sono presenti (In>0), l'equazione di bilancio da integrare diventa:

L'equazione è praticamente la stessa di prima con un diverso t21. Infatti:

Dunque la presenza dei fotoni provoca una diminuzione della costante di tempo del transitorio edel guadagno ottico specifico.In particolare possiamo introdurre la grandezza Intensità di saturazione Is.

Si tenga presente che la sua espressione è sempre quella dell'equazione di sopra, comunquecomplicato sia il sistema di livelli. Cambia soltanto la costante di tempo che sarà una funzionedi tutte le altre costanti di tempo che caratterizzano il sistema fisico.L'espressione generica del guadagno g(n) diventa:

L'intensità di saturazione (che in realtà non esiste) è un valore di demarcazione che separa lacondizione per piccoli segnali, caratterizzata da go(n) (In<<Is) dalla condizione di forte

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saturazione del guadagno (In>>Is).Quindi l'intensità di saturazione può essere definita come l'intensità luminosa in grado didimezzare il tempo di andata a regime del transitorio e/o il guadagno ottico specificorispetto al valore per piccoli segnali.In realtà la Is, per come è stata definita, è una funzione di n, mentre si vorrebbe un valore benpreciso, non una funzione. Allora come intensità di saturazione si assume il valorecorrispondente a no , il centro banda del line-shape. L'espressione del guadagno diventa quindi:

avendo introdotto la funzione line-shape normalizzato g(n).

L'intensità di saturazione è di fatto un parametro importante perché, come si vedrà in seguito adesso è legata la massima potenza erogabile da un amplificatore ottico ed, in ultima analisi lamassima potenza fornita da un laser.Per concludere la discussione sull'esercizio, si vede come lo scenario indotto dalla condizionet10=0 e quindi N1=0, è oltremodo favorevole tanto da essere in pratica un sogno irrealizzabile.Infatti, non appena si accende la pompa, si raggiunge immediatamente l'inversione dipopolazione. Nella realtà se t10>0 fosse maggiore di zero, sarebbe ben più arduo ( dal punto divista dello sforzo di pompaggio) raggiungere l'inversione di popolazione. Per taluni valori di t10

sarebbe addirittura impossibile. Molti dei sistemi ottici prevedono che il livello metastabile siainvece quello intermedio E1 e quindi l'inversione di popolazione debba stabilirsi tra N1 ed N0dove N0 è la popolazione dello stato fondamentale su cui c'è la maggior parte degli elementi!

Si lascia al lettore l'incarico di calcolare l'inversione di popolazione, il guadagno otticospecifico per piccoli segnali, l'intensità di saturazione, ed il tasso di pompaggio per ottenere latrasparenza attiva nel sistema illustrato nella figura seguente in cui il livello metastabile èquello intermedio.

Si ponga per semplicità t21=0 e si utilizzi l'equazione N1+N0=NT numero totale di elementi.L'inversione di popolazione da calcolare è ora N1-N0.

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L'AMPLIFICATORE OTTICO

Fino a questo punto il il guadagno ottico usato g(n) è una funzione di punto che in generale puòdipendere dalle variabili spaziali. Ci si propone ora di estendere a solidi finiti il guadagnoottico. La figura di seguito rappresenta una barra più lunga che larga, rappresentante unamplificatore ottico.

Supponiamo che tutto il materiale sia pompato dappertutto in modo uniforme cosicché ilguadagno ottico specifico per piccoli segnali go(n) sia uniforme e indipendente da x.In ingresso viene messo un segnale ottico alla frequenza no al fine di ignorare la presenza delline-shape normalizzato.L'equazione da integrare per calcolare l'intensità di uscita è la seguente

dove si pone per comodità g(no)=1 e Is(no)= Is.

L'integrazione va effettuata a variabili separabili sotto 3 condizioni.

1) Piccoli segnali: In<<Is per ogni x. Il denominatore del secondo membro è uguale a 1.L'intensità luminosa di uscita In(L) è data da

L'amplificatore è in condizioni di guadagno lineare.

2) Forte Saturazione: In>>Is per ogni x. Nel denominatore del secondo membro è l'1 adessere trascurabile rispetto al rapporto. L'intensità luminosa di uscita In(L) è data da

L'amplificatore non si comporta in modo lineare perché l'intensità luminosa in uscita non è proporzionale a quella di ingresso, ma è uguale a quella di ingresso più una quantità fissa

Questa quantità in pratica rappresenta, in termini di intensità luminosa, il massimo contributo dell'amplificatore all'aumento di fotoni: più di quello non può fornire [almeno per quel valore di pompaggio e quindi di go(n)]. Naturalmente per la potenza massima dell'intera barra la relazione di sopra va moltiplicata per l'area della sezione. Ovvero la PMAX è proporzionale al volume della barra.

3) Situazione intermedia: le due approssimazioni di cui sopra non si possono porre.L'equazione può essere comunque ancora integrata a variabili separabili ma si ottiene un

( )( ) (0) o v LI L Iv egn ×= ×

( ) (0) ( )oI L Iv v Is Ln g= + × ×

( )o v Is Lg × ×

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risultato in forma implicita.

La figura seguente illustra il grafico del guadagno globale dell'amplificatore otticoG=In(L)/In(0) in funzione della intensità luminosa di uscita In(L).

Si vede che G è costante fino a che dura la condizione di piccoli segnali, per poi diminuireprogressivamente quando avviene la saturazione. Il “polo” del grafico corrisponde circa allaintensità di saturazione Is.

Dunque l'amplificatore ottico, al contrario di quello elettronico è un amplificatore non-lineare.Questa caratteristica, lungi dall'essere un fattore negativo, consentirà l'implementazione dimolte applicazioni utili, diverse dalla semplice e pura amplificazione dei fotoni.

( )( ) ( ) (0)log

(0)o

I L I L IL

I Is

n n n g nn

æ ö -+ = ×ç ÷

è ø