Hora 6 8 10 12 14 16 18 20Grados 7 9 12 18 21 19 15 10

Un problema de Aproximación

Evolución de la temperatura diurna

4

8

20

6 8 10

12

14

16

18

20

22

6

10

12

14

16

18

22

Hora

Gra

dos

Interpolacion

Interpolación Polinomial

Polinomios Osculadores: Interpolación de

Hermite

Interpolación Racional: Aproximaciones de

Pade

Interpolación segmentaria: Splines

Otros

Ajuste Polinomios de Taylor

Mínimos Cuadrados

Minimización de normas

Aproximación Racional

Series de Fourier

Curvas de Bezier

B-Splines

Interpolación Polinómica Segmentaria

Limitaciones de la interpolación polinómicaGrado del polinomio Carácter de la función a interpolar

Alternativa propuesta: Splines.Numéricamente estableMatrices dispersasAgradable a la vista

Interpolación Polinomica Segmentaria: Splines

Interpolación Segmentaria

Interpolación Segmentaria Lineal

Interpolación Segmentaria Cúbica

Condiciones Naturales

Condiciones sobre la derivada

Interpolación Segmentaria Lineal: Función de Runge

-1 0 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Spline lineal

-1 0 1-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Polinomio grado 4

yx

1

1 25 2

Perfil para un diseño

Polinomio interpolador

Aplicaciones

Ingeniería y Diseño (CAD/CAM, CNC’s) Geología Aeronáutica y automoción Economía Procesamiento de señales e imágenes (Reconocimiento de patrones, recuperación de imágenes) Robótica Medicina (Aparatos auditivos, mapas cerebrales) Meteorología (Mapas climáticos, detección de inundaciones,...) Mundo Virtual Distribuido Multiusuario

Interpolación Polinómica Segmentaria

D a d o s n + 1 p u n t o s ( x 0 , y 0 ) , ( x 1 , y 1 ) , . . . , ( x n , y n ) c o nx 0 < x 1 … < x n , u n a f u n c i ó n s p l i n e d e o r d e n k ( k - S p l i n e )s o b r e d i c h o s p u n t o s e s u n a f u n c i ó n S v e r i f i c a n d o : ( i ) S ( x ) = q k ( x ) p o l i n o m i o d e g r a d o k , x [ x k , x k + 1 ] ,k = 0 , 1 , . . . , n - 1 ( i i ) S ( x k ) = y k , k = 0 , 1 , . . . , n ( i i i ) 1

0 1,kS C x x

Splines Lineales

Polinomio de Lagrange

Polinomio de Newton

q xx x

x xy

x x

x xyk

k

k kk

k

k kk( )

1

1 11

q x f x f x x x x

yy y

x xx x

k k k k k

kk k

k kk

( ) [ ] [ , ]( )

( )

1

1

1

Splines Lineales

Interpolación Segmentaria Lineal: Función de Runge

-1 0 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Spline lineal

-1 0 1-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Polinomio grado 4

yx

1

1 25 2

Splines Cúbicos Spline cúbico

4n incógnitas Condiciones de interpolación

n+1 ecuaciones Condiciones de conexión

3(n-1) ecuaciones

q x a b x x c x x d x xk k k k k k k k( ) ( ) ( ) ( ) 2 3

( )k kS x y

1 1 1

' '1 1 1

'' ''1 1 1

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

k

k

k k k k

k k k

k k k

q x q x

q x q x

q x q x

ha a

ha a

kk k

kk k

1

11

3 3( ) ( )

h c h h c h ck k k k k k k

1 1 1 1

2 ( )

a f x k nk k ( ), , ,...,0 1

bh

a ah

c c k nkk

k kk

k k

1

32 0 1 11 1( ) ( ), , ,...,

d c c h k nk k k k ( ) / ( ), , ,1 3 0 1 1

h x xk k k 1

q x a b x x c x x d x xk k k k k k k k( ) ( ) ( ) ( ) 2 3

n-1 ecuaciones y n+1 incógnitas

Condiciones Naturales

Teorema 1

Sea f(x) una función definida en [x0,xn]. Entoncesexiste un único s(x) spline interpolante cúbicopara f(x) en [x0,xn] tal que

s’’(x0) = 0 y s’’(xn) = 0.

cn = s’’(xn)/2 = 0s’’(x0) = 2c0 = 0 c0 = 0.

Matriz del sistema

M

h h h

h h h h

h h h

h h h

h h h h

h h h

n n n

n n n n

n n n

2 0 0 0 0

2 0 0 0

0 2 0 0 0

0 0 0 2 0

0 0 0 2

0 0 0 0 2

0 1 1

1 1 2 2

2 2 3

4 3 3

3 3 2 2

2 2 1

( )

( )

( )

( )

( )

( )

p

ha a

ha a

ha a

ha a

nn n

nn n

3 3

3 3

12 1

01 0

11

21 2

( ) ( )

( ) ( )

Términos independientes

Ejemplo de la temperatura

5 10 15 206

8

10

12

14

16

18

20

22

Hora

Gra

dos

Spline cúbico

5 10 15 206

8

10

12

14

16

18

20

22

Hora

Gra

dos

Polinomio interpolador

Condiciones sobre la derivada

Teorema 2

Sea f(x) una función definida en [x0,xn]. Entonces existe un únicos(x) spline cúbico interpolante para f(x) en [x0,xn].tal que

s’(x0) = f’(x0) y s’(xn) = f’(xn).

23

30 0 0 10

1 0 0h c h ch

a a f x ( ) ' ( )

h c h c f xh

a an n n n nn

n n

1 1 11

12 33

' ( ) ( ).

Matriz del sistema

M

h h

h h h h

h h h h

h h h

h h h

h h h h

h h

n n n

n n n n

n n

2 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0

0 2 0 0 0

0 0 2 0 0 0

0 0 0 0 2 0

0 0 0 0 2

0 0 0 0 0 2

0 0

0 0 1 1

1 1 2 2

2 2 3

3 2 2

2 2 1 1

1 1

( )

( )

( )

( )

( )

Términos independientes

p

ha a f x

ha a

ha a

ha a

ha a

f xh

a a

nn n

nn n

nn

n n

33

3 3

3 3

33

01 0 0

12 1

01 0

11

21 2

11

( ) ' ( )

( ) ( )

( ) ( )

' ( ) ( )

Splines Cúbicos

Interpolación segmentaria con MATLAB

Interpolación segmentaria cúbica ps = spline(x,y) % Devuelve el Spline, no los

coeficientes

[x,s] = unmkpp(ps) % Devuelve los coeficientes

ps = mkpp(x,s)

syy = spline(x,y,xx) = ppval(ps,xx)

Interpolación segmentaria lineal lyy = interp1(x,y,xx)

-1 0 1

0

0.5

1 Spline Natural

-1 0 10

0.5

1 Spline Derivada

-1 0 10

0.5

1 Interpolación Lineal

-1 0 1

0

0.5

1 Spline de MATLAB