Invest. Operac. Publicacion 2015 Cap II Okpdf

8/16/2019 Invest. Operac. Publicacion 2015 Cap II Okpdf.

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UNASAM Investigación de Operaciones I

Hever Hinostroza Encarnación Página 1

SOLUCIÓN PARA EL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEALEl modelo de programación lineal se puede resolver por dos métodos: Gráfico y analítico, pero para problemasde tamaño común que se encuentran como aplicaciones, la solución gráfica no es útil.; en cambio, la soluciónanalítica utilizando el algoritmo SIMPLEX (que se verá posteriormente) es el procedimiento normal para la

búsqueda de la solución óptima de un problema.Sin embargo, en beneficio de la claridad, conviene iniciar la exposición de cómo resolver el problema yaformulado con programación lineal mediante el método gráfico, que por su sencillez, es posible que el alumnose motive más para el estudio.

MÉTODO DE SOLUCIÓN GRÁFICA.Sin duda que plasmar un modelo y tratar de resolverlo gráficamente tiene una limitación muy grande, sólo se

pueden resolver modelos que tengan sólo dos variables (bidimensional) ya que contamos con un plano formado por X e Y que es la región en la cual vamos a trabajar, se podría tener la posibilidad de trabajar con modelosque tienen tres dimensiones pero será muy tedioso (sin embargo en la parte final de este capítulo realizaremosalgunos ejemplos para resolver estos tipos de modelos).

Vamos entonces a desarrollar modelos relativamente pequeños pero que sean provechosos para cumplir con losobjetivos que deseamos alcanzar , los cuales son familiarizarnos con una representación geométrica de un

modelo lineal y llegar a tener algunas respuestas importantes a algunas interrogantes que nos vamos a plantear através del desarrollo del tema.

Para mejor comprensión del método gráfico de solución de problemas modelados con programación lineal, se presenta el siguiente ejemplo que se detalla lo suficiente para el voluntarioso estudiante de esta técnica poderosaen su aplicación.

REGIÓN FACTIBLE. La región factible de una función objetivo es un polígono convexo finito o infinito enel que toma valores la función objetivo; es decir, son todos los puntos del plano que verifican todas lasrestricciones del enunciado del problema.

FUNCIÓN OBJETIVO. La función objetivo en un problema de programación lineal es la función lineal endos variables que se desea optimizar, se representa por: ( )

RECTAS DE NIVEL. Las rectas de nivel es una familia de rectas paralelas a si misma que pasan por los puntos de la región factible, y se generan a partir de la función objetivo; es decir: para todo kϵR.

SOLUCIÓN ÓPTIMA. La solución óptima son los puntos de la región factible donde la función objetivoalcanza el valor óptimo, es decir, el máximo o el mínimo, de acuerdo al contexto del problema.

TEOREMA. (Teorema fundamental de la optimización)Si un problema de PL tiene una solución óptima, entonces ésta debe aparecer en uno de los vértices de la regiónfactible asociado con el problema.

Si la función objetivo se optimiza en dos vértices adyacentes de la región factible, entonces se optimiza entodos los puntos del segmento de recta que une estos vértices, en cuyo caso existe una infinidad de solucionesal problema.

TEOREMA: (Existencia de una solución)Dado un problema de programación lineal con una región factible R y una función objetivo

( ) , se cumplen:i) Si R está acotado, entonces f tiene un valor máximo y un valor mínimo en R.ii) Si R no es acotado y los parámetros “a” y “b” son no negativos, entonces f tiene un valor mínimo en R, si

las restricciones que definen a R incluyen las desigualdades x≥0, y≥0.

iii)

Si R es un conjunto vacío, entonces el problema de programación lineal no tiene solución; es decir, f noalcanza valor máximo ni mínimo.


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Método de las Rectas de Nivel:Si la solución óptima es un máximo, ésta corresponde al punto o puntos en los que la recta de nivel esté en lomás alto posible. Si la solución es un mínimo, corresponde al punto o puntos en los que la recta de nivel esté lomás bajo posible.

Método de los Vértices:Para hallar la solución óptima, debe seguirse el siguiente procedimiento:

i) Se grafica la región factible.

ii) Se hallan las coordenadas de todos los vértices (esquinas) de la región factible.

iii) Se evalúa la función objetivo en cada vértice (esquina)

iv) Se halla el vértice que proporcione el máximo valor (o mínimo) de la función objetivo.

Nota:1. Si sólo existe un vértice con esta propiedad, entonces hay una única solución al problema.

2. Si la función objetivo se maximiza (minimiza) en dos vértices adyacentes de la región factible, entoncesexiste una infinidad de soluciones óptimas, y éstos están dadas por los puntos del segmento de recta

determinado por estos dos vértices.

3. Para resolver un problema de programación contextualizado, recomendamos elaborar una tabla con losdatos del problema, luego representar gráficamente la región factible y finalmente calcular los valores de lafunción objetivo en los vértices de dicha región.

PASOS PARA RESOLVER MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL MEDIANTE GRAFICASSe va a tener que llevar un orden para poder resolver un modelo, supongamos que tenemos el siguiente

problema planteado:

Ejemplo 1. Maximizar z= 4 x + 9 y

Sujeto a:5 x + 8 y ≤ 50 (I)6 x + 5 y ≤ 60 (II)8 x + 5 y ≤ 40 (III) x ≥ 0, y ≥ 0

Solución:Los pasos que tenemos que seguir son los siguientes:1° Toda restricción debe convertirse a igualdad, sea cual fuere su orientación, éstos representarán lafrontera de la región factible.Aplicando este primer paso a nuestro ejemplo, se obtiene:

5 x + 8 y = 50

6 x + 5 y = 608 x + 5 y = 40

Región factible


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2° Despejar las variables en cada una de las restricciones, colocando a una de las variables el valor decero y despejando la otra. Para la primera restricción:5 x + 8 y = 50Si x= 0, la restricción queda: 5(0) + 8 y = 50Despejando y = 50/8Entonces agrupando en par ordenado: ( x; y) = (0; 50/8)Luego si y=0, la restricción queda: 5 x + 8(0) = 50Despejando x = 50/5 =10.Entonces agrupando en pares ordenados: ( x; y) = (10; 0)

Para la segunda restricción:6 x + 5 y = 60Si x= 0. La restricción queda: 6(0) + 5 y = 60Despejando y = 60/5=12Entonces agrupando en pares ordenados: ( x; y) = (0; 12)Luego, si y=0, la restricción queda: 6 x + 5(0) = 60Despejando: x = 60/6=10

Entonces agrupando en pares ordenados: ( x; y) = (10; 0)

Para la tercera restricción:8 x + 5 y = 40Si x = 0, la restricción queda: 8(0) + 5 y = 40Despejando: y = 40/5= 8Entonces agrupando en pares ordenados: ( x; y) = (0; 8)Luego, si y=0, la restricción queda: 8 x + 5(0) = 40Despejando: x= 40/8=5Entonces agrupando en pares ordenados: ( x; y) = (5; 0)

3° Realizar el trazado de la gráfica.Teniendo los pares ordenados podemos realizar la gráfica ya que por cada restricción tenemos dos puntos, loscuales al unirse nos darán las líneas rectas que son las representaciones geométricas de las restricciones.(x; y ) = (0; 50/8), (x; y ) = (10; 0)(x; y ) = (0; 12) , (x; y ) = (10; 0)(x; y ) = (0; 8) , (x; y ) = (5; 0)

4° Orientación La parte más importante en la gráfica es la orientación, para este caso vamos a tomar en cuenta las siguientescondiciones generales de acuerdo a los tipos de restricciones que se tiene:

Restricción Orientación≤ Se acerca al origen

≥ Se aleja del origen= Se conserva la restricción como una línea

II

I

III

(0; 12)

(0; 8)

(0; 50/8)

(5; 0)

(10; 0) X

Y


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Debemos aclarar que estas orientaciones sirven para restricciones que contengan las dos variables, ladoderecho positivo y con valores numéricos diferentes de cero (casos diferentes lo trataremos posteriormente).Entonces nuestra gráfica queda:

5° Ubicación de la región factible.

Una vez dada la orientación a cada restricción es importante hallar una región donde todas las restricciones secumplan, esta región se llama REGION FACTIBLE que no viene a ser sino el lugar donde se va a encontrar lasolución a nuestro problema lineal planteado, es por eso, debemos tener mucha visión para ubicar esta región,es necesario aclarar que hay ocasiones en que no se puede hallar una región factible.Para nuestro ejemplo, la región factible está dada por la región con bordes más oscuros y limitado con las letrasA, B, C y D. Entonces nuestra gráfica queda:

Como puede apreciarse, la región factible es aquella que en sus esquinas A, B, C, D tienen las posibilidades deser el punto que solucione el modelo, a ese punto le llamaremos PUNTO OPTIMO.

6° Hallar el punto óptimoUna vez que se han identificado los puntos extremos, vamos a reemplazar las coordenadas de los puntosextremos en la Función Objetivo:

Puntos Coordenadas F.O. Max: z= 4 x + 9 y A (0 ; 0) z= 4(0) + 9(0) = 0

B (0; 6) z= 4(0) + 9(6) = 54*C (1,79488 ; 5,1282) z= 4(1.79488 ) + 9( 5.1282) =53,33332

D (5; 0) z= 4(5) + 9(0) = 20

* El punto C se halla resolviendo las ecuaciones simultáneas de las rectas que dan origen a este punto, es decirlas rectas I y III:

(I): 5 x + 8 y = 50 (-8)

(III): 8 x + 5 y = 40 (5)- 64 y + 25 y = - 400 + 200- 39 y = -200 → y = 5,1282

II

I

III

(0; 12)

(0; 8)

(0; 50/8)

(5; 0)

(10; 0) X

Y

C

A

II

I

III

(0; 12)

(0; 8)

B

D

(10; 0) X

Y


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Reemplazando en (I), se obtiene: 5 x + 8(5,1282) = 50 → x= 1,79488

Como la Función Objetivo es de maximización, entonces se comparan los resultados de reemplazar lascoordenadas de los puntos extremos en la función objetivo y se elige el mayor, para este ejemplo: 54 es elmayor valor, en consecuencia el punto B es el punto óptimo.

7° gráfica de la función objetivo

Bueno, ahora falta graficar la Función Objetivo, para ello procederemos de la siguiente manera:

Maximizar z = 4 x + 9 y Como podemos notar la función objetivo no tiene lado derecho, entonces nosotros lo vamos a crearmultiplicando sus coeficientes, entonces queda así:

4 x+ 9 y = (4) (9)Ahora podemos tratar a la Función Objetivo como lo hicimos con las restricciones:

4 x + 9 y= (4) (9)

Sí x=0 entonces: 4(0) + 9 y= (4) (9)

Despejando y= 4(9)/9 resulta: y=4 entonces se obtiene el par ordenado es: ( x; y) = (0,4)Luego:4 x+ 9 y = (4) (9)

Si y= 0, entonces 4 x+ 9(0) = (4) (9)De donde: x = 9, por lo que se obtiene el par ordenado (9; 0)La gráfica es:

8° GRAFICAR LA FUNCION OBJETIVO EN EL PUNTO ÓPTIMOAhora, lo único que nos falta es trasladar la Función Objetivo (F.O) al punto óptimo, para esto la F.O. se igualaal valor máximo, es decir 54:

4 x + 9 y = 54Despejando x:4 x + 9(0) = 54 x = 13,5, las coordenadas queda: (13,5; 0)

Despejando y:4(0) + 9 y = 54

y = 6, las coordenadas queda: (0; 6)Teniendo estos dos puntos, la gráfica final queda:

C

A

I

I

III

(0; 12)

(0; 8)

B

D

(10; 0) X

Y


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Puede apreciarse que la función objetivo se ha trasladado hacia el punto óptimo.Entonces la respuesta es: x = 0, y = 6. El valor de la función objetivo es: z = 54Como las variables son ≥ 0, entonces la gráfica queda en el primer cuadrante, pero nada impide que en algúnmomento se tenga regiones factibles en otros cuadrantes cuando se tengan variables irrestrictas (son aquellasque pueden tener valores positivos o negativos) eso va a suceder cuando experimentemos con otros ejemplos

por el momento nos limitaremos al primer cuadrante.

Ejemplo 2. En un proceso de producción de dos productos químicos: Cera automotriz y pasta pulidora, que seusan en la pintura de carrocerías de vehículos automotrices, se utilizan tres recursos como materia prima, segúnse muestra en la tabla, en la cual se observa que una tonelada de cera es una mezcla de 2/5 de tonelada delrecurso 1 y 3/5 de tonelada del 3. Por otro lado, una tonelada de pasta pulidora es la mezcla de 1/2, 1/5 y 3/10de tonelada de los recursos 1, 2 y 3, respectivamente.La producción de la cera automotriz y la pasta pulidora está restringida a la disponibilidad de los tres recursos.Para el periodo de producción anual, se tienen disponibles las cantidades siguientes de cada una de las materias

primas.

Recurso o Materia

Prima

Toneladas disponibles para la

producción1 20

2 5

3 21

Recursos disponibles para la producción.

PRODUCTO Necesidades de materia prima por tonelada

RECURSO 1 RECURSO 2 RECURSO 3

Cera automotriz 2/5 0 3/5

Pasta pulidora 1/2 1/5 3/10

El departamento de contabilidad ha analizado las cifras de producción, asignando los costos correspondientes para ambos productos, llegó a precios que resultan en una contribución a la utilidad de 400 dólares por cada

tonelada de cera automotriz y de 300 dólares por cada tonelada de pasta pulidora, producidas. Laadministración, después de analizar la demanda potencial, ha concluido que los precios establecidos aseguran laventa de toda la cera y pasta que se produzca.Solución:

1º Expresar el modelo matemático, representando el objetivo y restricciones del problema.2º Resolver en forma gráfica y determinar cuántas toneladas de cera y pasta debe producir la empresa para

maximizar la utilidad.

El o bjetivo es maximizar la contribución a la utilidad y se plantea en forma matemática como sigue:1a. Parte.- Definición de variables (variables de decisión)

Sea x = número de toneladas de cera automotriz a producirSea y = número de toneladas de pasta pulidora a producir

C

A

II

I

III

(0; 12)

(0; 8)

B

D

(10; 0) X

Y

Puntoóptimo


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2a. parte.- Función objetivo.Se gana 400 dólares por cada tonelada de cera producida, entonces se tiene $400 x si se producen x toneladas.También, se gana 300 dólares por cada tonelada de pasta producida, entonces se gana $300 y si se produceny toneladas.

La función objetivo que expresa la contribución total a la utilidad es: Maximizar z = 400x + 300y Lo que significa que se deben determinar los valores para x e y que den el valor más elevado de z .

3a. Parte.- Restricciones de materia prima. Según la información de la tabla:Cada tonelada de cera utiliza 2/5 toneladas del recurso 1, por lo que el total de toneladas del mismo utilizado enla producción de x toneladas de cera es: 2/5 x .

Cada tonelada de pasta usa 1/2 tonelada del recurso 1, como resultado, y toneladas de pasta usan 1/2y.

Entonces el consumo total de toneladas de recurso 1 para producir x toneladas de cera e y de pasta, y cuyadisponibilidad máxima es 20 toneladas, está dado por:

La tabla indica que el recurso 2 no es requerido por la cera, pero si por la pasta pues cada tonelada producida deésta requiere 1/5 tonelada de las 5 disponibles, se expresa así:

Similar, la restricción para la materia prima 3 es:

4a parte.- Condiciones de no negatividad para las variables: Esto asegura valores no negativos de las variables de decisión como solución al problema y son unacaracterística general de los problemas de programación lineal.

Modelo matemático del problemaLa formulación matemática o modelo simbólico completo del problema es:Maximizar z = 400 x + 300 ySujeto a:

Ahora sólo falta encontrar la combinación de productos cera y pasta expresadas como toneladas de x e y quesatisface todas las restricciones y resulte un valor máximo de la función objetivo, lo que significa la soluciónóptima del problema.

Solución gráfica El siguiente paso es mostrar, qué puntos corresponden a las soluciones factibles del programa lineal. Tanto x como y deben ser de valor no negativo, por lo que sólo es necesario considerar la porción de la gráfica en el

primer cuadrante.Similar a los ejemplos anteriores, determinamos los puntos de intersección de las ecuaciones restricciones conlos ejes coordenados y trazamos la frontera de la región factible.

Además de las intersecciones de L1 y L3,


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Se obtiene: B (25; 20)

También de L1 y L2, se obtiene:

x=70/4, de donde C (75/4; 25) La región sombreada de esta figura incluye todos los puntos solución que simultáneamente, satisfacen todas lasrestricciones. Estas soluciones se conocen como factibles, la parte sombreada se conoce como región factible.

Como puede apreciarse, la región factible es aquella que en sus esquinas O, A, B, C, D tienen las posibilidadesde ser el punto que solucione el modelo, a ese punto le llamaremos PUNTO OPTIMO.

Hallar el punto óptimoUna vez que se han identificado los puntos extremos, vamos a reemplazar las coordenadas de los puntosextremos en la Función Objetivo.

Puntos Coordenadas Función Objetivo: Maximizar z = 400 x + 300 yO (0; 0) z= 400(0) + 300(0) = 0

A (35; 0) z= 400(35) + 300(0) = 14 000

B (25; 20) z= 400(25 ) + 300( 20) = 16 000 Máximo

C (75/4; 25) z= 400(75/4) + 300(25) = 15 000

D (0; 25) z= 400(0) + 300(25) = 7500

Como la Función Objetivo es de maximización, entonces se comparan los resultados de reemplazar lascoordenadas de los puntos extremos en la función objetivo y se elige el mayor, para este ejemplo: 16 000 es elmayor valor, en consecuencia el punto B es el punto óptimo.

Gráfica de la función objetivo Para graficar la línea de la Función Objetivo, procederemos de la siguiente manera:Maximizar: 400x + 300 y Como podemos ver la función objetivo no tiene lado derecho, entonces nosotros lo vamos a crear multiplicandosus coeficientes, entonces queda así:

400 x+ 300 y = (40) (30)Ahora podemos tratar a la Función Objetivo como lo hicimos con las restricciones:

400 x + 300 y= 1200Sí x=0 entonces: 400(0) + 300 y= 1200Despejando y= 1200/300 resulta: y=4 entonces se obtiene el par ordenado es: ( x; y) = (0,4)Luego: 400 x+ 300 y = 1200Si y= 0, entonces 400 x+ 300(0) = 1200De donde: x = 3, por lo que se obtiene el par ordenado (3; 0)

Dibujando la línea recta por estos puntos, se identifican todas las soluciones que tienen una contribución a lautilidad. Dado que las rectas de utilidad son paralelas y de valor creciente conforme se alejan del origen, se

pueden obtener valores mayores para la función objetivo, continuando el movimiento hacia fuera del conjuntofactible pero manteniéndose adentro del mismo, hasta alcanzar el (los) último(s) punto(s) vértice antes de salir.

D (0;25)

A (35;0)

B (25;20)

70

C (75/4;25)

L1

O (0;0)

40

L2

50 X

YL3


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¿Cuál es el último punto de la región factible? Este punto debe ser vértice y corresponde a la solución óptima,vea el gráfico. Los valores óptimos para las variables de decisión son (x; y ) = (25; 20).

La localización exacta del punto de solución óptima es x =25 e y =20. Este punto identifica las cantidadesóptimas de producción en 25 toneladas de cera automotriz y 20 toneladas de pasta pulidora, con unacontribución a la utilidad de: 400(25) + 300(20) = 16 000 dólares.

Así, en un problema de programación lineal con dos variables de decisión, se puede determinar el valor exactode las variables de la solución óptima, utilizando primero el método gráfico para identificar el punto queoptimiza y después resolviendo simultáneamente las dos ecuaciones que generan el mismo.

Resumen del método de solución gráfica en dos variables. 1. Dibuje en un sistema de dos ejes cartesianos (X para la coordenada horizontal e Y para la coordenada vertical)

las líneas rectas correspondientes a cada una de las expresiones lineales del modelo de programación lineal,identificando las mismas, calcule y anote las coordenadas (valores de X e Y) para cada punto vértice.

2. Observe la dirección de las desigualdades para definir, individualmente, el conjunto de puntos de soluciónfactible de cada una de las restricciones y posteriormente, combinando todas ellas, por intersección, definir yseñalar el conjunto de puntos de solución factible para todo el sistema de restricciones del problema.

3. Con un valor arbitrario para la función Z, calcule las coordenadas de un punto perteneciente a cada uno de losdos ejes cartesianos, dando alternativamente el valor de cero a x e y de la función objetivo Z, ahora se traza unarecta que pase por dichos puntos en los ejes, la cual muestra todos los valores posibles de x e y de la misma.

4. Mueva la recta de la función objetivo Z paralelamente hacia valores mayores de la función, si el problema es demáximo, o bien, hacia valores menores, si el problema es de mínimo, hasta que coincida con un punto vértice,

antes de salir de la región factible. La recta de la función objetivo se cuantifica con los valores (x; y ) al coincidircon el vértice; su valor crecerá o bien decrecerá conforme a su traslado paralelo, según sean los signos de sustérminos.

5. Cualquier punto vértice que sea solución factible para el sistema de restricciones que coincida con la recta de lafunción objetivo que resulte con el valor mayor para un máximo o bien con el menor para un mínimo, según elcaso, es una solución óptima.

VARIABLES DE HOLGURA Además de la solución óptima y de su contribución a la utilidad asociada, la administración de la empresa deseatener información de uso de las tres materias primas. Se puede obtener esta información reemplazando losvalores óptimos de las variables (x =25, y =20) en las restricciones del programa lineal.

D (0;25)

A (35;0)

B (25;20)

70

C

L1

O (0;0)

40

L2

50 X

YL3


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RESTRICCIÓNToneladas Requeridas

para x =25, y =20 toneladasToneladasdisponibles

Toneladas noutilizadas

(Variable de Holgura)

Materia prima 1 ()

() 20 H 1 = 0

Materia prima 2 () () 5 H 2 = 1

Materia prima 3 () () 21 H 3 = 0Material consumido: solución óptima cera y pasta.

La solución completa le indica a la administración que la producción de 25 toneladas de cera automotriz y de 20toneladas de pasta pulidora requiere toda la materia prima disponible 1 y 3, pero solamente cuatro de las cincotoneladas de la materia prima 2.

La tonelada de la materia prima 2 no utilizada se conoce como holgura. En terminología de programaciónlineal, cualquier capacidad sin utilizar y ociosa para una restricción igual o menor (≤) se llama holguraasociada con la restricción, por lo que la restricción del recurso 2 tiene una holgura de una tonelada.

Con frecuencia se agregan variables, conocidas como variables de holgura Hi, o bien Xi, (según la notación preferida) a la formulación de un problema de programación lineal para representar la capacidad ociosa. Lacapacidad sin utilizar no hace ninguna contribución a la utilidad, por lo que las variables de holgura que seincluyan en la función objetivo deben tener coeficientes iguales a cero. En general, las variables de holgurarepresentan la diferencia entre los lados derecho e izquierdo de una restricción de tipo ≤.

Una vez agregadas las variables de holgura a la representación matemática correspondiente al problema, elmodelo matemático se convierte en:

Maximizar: z= 400x + 300y + 0H 1 + 0H 2 + 0H 3

Sujeta a las restricciones siguientes

Cuando todas las restricciones de un problema lineal se expresan en forma de igualdades, se dice que el modelomatemático está en forma estándar.

OBSERVACIONES Y COMENTARIOS 1. En la forma estándar de un programa lineal, los coeficientes para las variables de holgura son cero en la función

objetivo, por lo tanto, las variables de holgura que representan recursos sin utilizar, no afectan el valor de lafunción y se pueden omitir. Pero en algunas aplicaciones, algunos o todos los recursos no utilizados puedenvenderse para recuperar valores y contribuir a la utilidad. En estos casos las variables de holguracorrespondientes se convierten en variables de decisión que representan el total de recursos a vender. Para cadauna de estas variables, un coeficiente distinto de cero en la función objetivo reflejará la utilidad asociada con laventa de una unidad del recurso correspondiente.

2. Las restricciones redundantes no afectan la región factible; como consecuencia, pueden eliminarse de unmodelo de programación lineal sin afectar la solución óptima. Sin embargo, si posteriormente se debe resolverel modelo de programación lineal con algunos cambios en los datos, una restricción previamente redundante se

podría convertir en un recurso limitante, por lo que se sugiere conservar todas las restricciones del modelo de

programación lineal, aun cuando se espere que una o más de ellas sean redundantes.


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Puntos extremos y solución óptima Suponga que la contribución a la utilidad de una tonelada de pasta pulidora se incrementa de 300 a 600 dólares,en tanto que la contribución a la utilidad de una tonelada de cera automotriz y todas las demás restricciones semantienen sin modificación. La función objetivo se convierte en:

Maximizar: z= 400 x + 600 y¿Cómo afecta este cambio de la función objetivo a la solución óptima del problema?Observe que las restricciones no tienen cambio, entonces la región factible es la misma; pero se han alterado laslíneas rectas de utilidad para reflejar la nueva función objetivo.

Al mover la nueva línea recta de utilidad de manera paralela, alejándola del origen, se encuentra la nuevasolución óptima. Los valores de las variables de decisión en este punto son x =18.75 e y = 25. El aumento en lautilidad de la pasta pulidora ha creado un cambio en la solución óptima. De hecho, como quizás ya lo previó, sereduce la producción de la cera y aumenta la de pasta pulidora, porque ahora tiene una utilidad mayor.

Respecto de las soluciones gráficas se debe hacer una observación importante: La solución óptima ocurre en alguno de los vértices o intersecciones de la región factible. En terminologíade programación lineal, estos vértices se conocen como puntos extremos de la región factible, por lo que para

este problema se tienen cinco vértices, es decir, cinco puntos extremos. Ahora se puede dar la observaciónsiguiente sobre la localización de las soluciones óptimas.

Si existe la solución óptima de un problema de programación lineal, se puede encontrar en un puntoextremo de la región factible del problema. Esta propiedad significa que, si busca la solución óptima de un problema de programación lineal, debe limitarsea evaluar y comparar los puntos de solución correspondientes a los vértices de la región factible.

OTROS EJEMPLOS DE MÉTODO GRÁFICO: Se presentan algunos problemas resueltos con gráfica paraampliar la oportunidad de adquirir este conocimiento:

Ejemplo 3. Determinar el máximo y mínimo de:

Sujeta a las restricciones:

() () ()

() Solución: Graficamos la región factible

Determinamos las coordenadas de los vértices y evaluamos en la función objetivo.

L4L3

L2

L1

E

D

C

A

-2

8

2

B8 X

Y


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VERTICES Z = x+3 y

A (0; 2) Z= 6

B (3; 0) Z= 3 ← Mínimo

C (6; 0) Z= 6

D (6; 2) Z= 12

E (3; 5) Z= 18 ← Máximo

Ejemplo 4. Maximice la función: Sujeta a las restricciones: () () Solución:

Graficamos la región factible

Determinamos las coordenadas de los vértices y evaluamos en la función objetivo.

VERTICES Z = 30 x+60 y

O (0; 0) Z= 0

A (8; 0) Z= 240B (6; 2) Z= 300 ← Máximo

C (0; 5) Z= 300 ← Máximo

Vemos que la solución se alcanza en los vértices B(6;2) y C(0;5), por tanto, también se alcanza en todos los puntos del lado que une los puntos B y C, es decir, tiene infinitas soluciones.

Ejemplo 5. Minimice la función: Sujeta a las restricciones: ()

(

) Solución:

Graficamos la region factible Observamos que la región factible es vacía (Nohay intersección), es decir, no existe puntos en el

plano que verifiquen las restricciones delenunciado del problema.

Observación: Si se trata de maximizar una función objetivo en una región no acotada superiormente, entoncesel problema no tiene solución.

L1

A (8;0)

C (0;5)

O (0;0)

8

L2

B (6;2)

10 X

Y

L1

A (7;0)

C (0;4)

O (0;0)

7

L2

B (6;0)X

Y


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Ejemplo 6. Sea ( ) la función objetivo del problema P.P: Minimizar ( ) Sujeto a: ( ) . Cuyo gráfico se muestra.Si el lado CD de la región factible S que se indica es solución del problema P, determine el intervalo soluciónde “a+b”, de modo que el valor óptimo esté entre 20 y 25.

Solución:Como el lado CD de la región factible es solución del problema P, se puede tomar cualquier punto de dichosegmento y lo vamos a reemplazar en la función objetivo, así:Al evaluar C (4; 3) se obtiene:

( )

Al evaluar D (2; 5), se obtiene: ( )

Como el valor óptimo de f esta entre 20 y 25, por dato, entonces: ( ) , luego:

( ) ( ) es decir,{

Multiplicamos por 3 a la primera desigualdad y sumamos ambos, se obtiene:

{

, lo multiplicamos por 1/14 y se obtiene:

Ejemplo 7. Maximice la función: Sujeto a las restricciones: ()

() () Solución:

El gráfico de la figura adjunta muestra el conjunto de soluciones factibles, coordenadas de los vértices.

O

D (2;5)

C (4;3)

X

Y

L1

A (4;0)

D (0;6)

O (0;0)

9

L2

B (4;3)

6 X

Y

C (2;6)

L3


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En la figura se muestra el conjunto de puntos que son factibles para cada una de las tres restricciones y el primer cuadrante; la intersección de todos ellos resulta en la región factible.Calculo de las coordenadas de los vértices B y C.

3 2 18 ....(3)

2 12 ....(2)

6

x y

Para C y

y

Sustituyendo en (3), se obtiene:3 2(6) 18 2 x x

Entonces: C (2; 6)

3 2 18 ....(3)

: 4 ....(1)

3(4) 2 18 3

x y

Para B x

y y

Entonces B (4; 3)

Para valorar los puntos vértices del conjunto factible se sustituyen los valores correspondientes ( x ; y ) en laecuación z:

VERTICES z = 3x+ 5y

O (0; 0) z = 0

A (4; 0) z= 3(4) + 0 = 12

B (4; 3) z= 3 (4) + 5(3) = 27

C (2; 6) z= 3 (2) + 5(6) = 36 ← máximo

D (0; 6) z= 3 (0) + 5(6) = 30

En el punto vértice C se localiza el valor máximo buscado para la función Z.

VARIABLES DE HOLGURA:Se desea información de uso de las tres restricciones. Se puede obtener esta información reemplazando losvalores óptimos de las variables (x =2, y =6) en las restricciones del problema.

RESTRICCIÓNRequerimiento

para x = 2; y = 6disponibles Variable de Holgura

1 4 H 1 = 22 2(6) = 12 12 H 2 = 03 3(2) + 2(6) = 18 18 H 3 = 0

La capacidad sin utilizar no hace ninguna contribución a la utilidad, por lo que las variables de holgura que seincluyan en la función objetivo deben tener coeficientes iguales a cero. En general, las variables de holgurarepresentan la diferencia entre los lados derecho e izquierdo de una restricción de tipo ≤.

La forma estándar del modelo es:

Maximizar: z= 3x + 5y + 0H 1 + 0H 2 + 0H 3

Sujeta a las restricciones siguientes

() ()

()

Espacio ampliado al sumar holgurasEn la siguiente tabla se muestran los vértices dados en el gráfico del ejemplo. Estos se generan como solución

básica, pues se conjuntan 5 variables (2 de decisión más 3 holguras) del modelo en forma estándar. Se anota (x ;y ) conocidas en la solución gráfica y sustituyendo éstas en la misma forma, se valoran H 1, H2, H3, obteniendola solución básica respectiva.


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Solución Básica x y H1 H2 H3 CaracterísticasO 0 0 4 12 18 Factible, único, no degeneradoA 4 0 0 12 6 Factible, único, no degeneradoB 4 3 0 6 0 Factible, único, no degeneradoC 2 6 2 0 0 Factible, único, no degeneradoD 0 6 4 0 6 Factible, único, no degeneradoE 4 6 0 0 - 6 No factible

F 6 0 -2 12 0 No factibleG 0 9 4 - 6 0 No factibleEspacio ampliado a 5 dimensiones.

Solución básica: Se tiene con, al menos: (m + n) - m = n variables iguales a cero.

En donde: m = N° de restricciones; n = N° de variables originales o de decisión.

Para el ejemplo: m = 3; n = 2; entonces: (m + n) - m = (3 + 2) - 3 = 2 variables nulas.

En la tabla, cada renglón es una solución básica, pues 2 de las 5 variables son cero.

Un vértice o punto extremo único es el cruce de sólo 2 líneas, como es en este ejemplo.Una solución básica factible en vértice único, se denomina no degenerada. Observe que las variablesnulas pertenecen a las rectas que tocan el vértice.

Número máximo de soluciones básicas únicas.

( )

( )

Representa el número de intersecciones únicas o vértices.

Ejemplo 8. Minimice la función: Sujeto a las restricciones: ()

() ()

Solución:

Gráfica del ejemplo, resulta un conjunto factible abierto.Cálculo de las coordenadas de C

x + y = 6 ….(1) x = 2 ….(3) Sustituyendo x = 2 en (1), se obtiene y =4 , entonces C(2; 4) Tomando (1) y (2)

x + y = 6 ….(1) 2x - y = 0 ….(2)

L2

A (6;0)

D (0;6)

O (0;0)

L1

B (2;0)

X

Y

C (2;4)

L3


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Sumando (1) y (2), resulta:3 x = 6 , entonces x =2, sustituyendo en (1), se obtiene: y =4, entonces C(2; 4)

Observe el valor de la función objetivo, es mínimo en el vértice C (2,4) con Z = 14.

El conjunto de soluciones factibles de este problema, es no acotado, se obtiene sobreponiendo las regionesfactibles de las tres restricciones del modelo y la región factible del primer cuadrante, mostradas en la figura.

Un vértice formado con más de dos líneas rectas, se califica como solución no única, como son los vérticesO y C que se pueden formar con tres combinaciones de intersección según se muestra en el gráfico. En

particular, el vértice C se denomina como solución degenerada pues es factible y no único. El origen O, se califica como no factible, al igual que la infinidad de puntos restantes (sean vértices o no), queno pertenecen al conjunto factible, sombreado entre las rectas (1), (2) y eje X.

Un punto vértice de solución degenerada en la analogía geométrica bidimensional se tiene con una rectarestricción redundante en ese punto, pero tal recta no forma el conjunto factible.

La forma estándar requiere que todas las restricciones sean de igualdad, pero cuando el modelo en estudio tiene

restricciones de tipo ≥, se usa una holgura negativa Si llamada variable de superávit, la cual debe restarse acada una de esas restricciones como sigue:Forma estándar del modelo.Minimizar: Sujeto a las restricciones: ()

() ()

Concepto físico de superávit en la restricción 1.

De esta manera, el espacio de dos dimensiones, se amplía a un espacio de 5 dimensiones que no se puededibujar, pero si tratar analíticamente.La tabla siguiente muestra las coordenadas o valor para cada una de las variables en el problema ampliado a 5dimensiones (2 variables de decisión más 3 variables superávit), al pasar a la forma estándar; se conservan losvalores (x; y ) obtenidos en la solución gráfica y se sustituyen en la forma estándar para calcular el valor de S 1,S2, S3, variables restadas en el lado izquierdo de las restricciones.En la tabla, cada renglón se identifica con cada vértice de la figura, pero debido a la ampliación del espacio, seconvierten en solución básica pues tienen, por lo menos: n = (m + n) - m = (3 + 2) - 3 = 2 variables de valorcero. Pero los puntos extremos O y C, tienen más de 2 variables nulas, en este caso con 3 variables cero, seidentifican como soluciones básicas no únicas y en particular C es una solución básica degenerada.

Sustituyendo (x; y ) de los dos vértices de la región factible se obtiene el óptimo como mínimo ZC = 14:ZA= 3(6) + 2 (0) =18ZC = 3(2) + 2(4) =14Solución sin límite máximo

Solución Básica x y S1 S2 S3 CaracterísticasA 6 0 0 12 4 Factible, único, no degeneradoC 2 4 0 0 0 Factible, no único, degeneradoO 0 0 - 6 0 -2 No Factible, no únicoB 2 0 - 4 4 0 No factible único

D 0 6 0 - 6 -2 No Factible, únicoSistema ampliado a 5 dimensiones.

x + y

S 1 : Superávit

6


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Ejemplo 9. Cierto modelo de programación lineal con dos actividades tiene la región factible que se muestra:

El objetivo es maximizar la ganancia total de las dos actividades, siendo la ganancia unitaria de la actividad 1de $ 1000 y de la actividad 2 es de $ 2000. Use esta información para:a) Representar el modelo de PLb) Calcule la ganancia total para cada vértice y determine la solución óptima.

Solución: Determinaremos las ecuaciones de las rectas que representan la frontera de la región factible.

Para la recta que pasa por los puntos (8;0) y (6;4), se tiene:

( ) ()

Para la recta que pasa por los puntos (5;5) y (6;4), se tiene:

( ) ( )

() Para la recta que pasa por los puntos (5;5) y (0;20/3), se tiene:

( ) ( )

()

Finalmente el modelo de PL, queda expresado como:

Maximizar: z = 1000x + 2000ySujeto a las restricciones: ()

()

()

VERTICES z = 1000x + 2000y

(0; 0) z = 0

(8; 0) z= 1000(8) + 0 = 8 000

(6; 4) z= 1 000 (6) + 2 000 (4) = 14 000

(5; 5) z= 1 000 (5) + 2 000(5) = 15 000 ← máximo (0; 20/3) z= 1 000 (0) + 2 000(20/3) = 13 333, 333…

Nivel de actividad1

(0;20/3)

O (0;0)

(6;4)

(8; 0) X

Y

(5;5)

N i v e l d e a c t i v i d a d 2


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EJERCICIOS PROPUESTOS Y ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

Se proponen una serie de ejercicios correspondientes al capítulo, los que ayudarán a la total comprensión de lostemas tratados.Se recomienda aplicar los ejercicios aquí planteados a casos prácticos de la vida diaria como parte de lasactividades de aprendizaje del presente material.

1.

Producción de vino. Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de vino essiempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. Por otra parte, el triple de la

producción de vinagre sumado con cuatro veces la producción de vino se mantiene siempre menor o igual a 18unidades.Halla el número de unidades de cada producto que se deben producir para alcanzar un beneficio máximo,sabiendo que cada unidad de vino deja un beneficio de S/8 y cada unidad de vinagre de S/2.

2. Mezcla de tipos de petróleo crudo. Una empresa puede comprar dos tipos de petróleo crudo: ligero a un costode $25 dólares por barril y pesado a $22 dólares por barril. Cada barril de petróleo crudo ya refinado, produce lafracción de barril anotada de los tres productos de la siguiente tabla:

TIPOS DE PETROLEO Gasolina Turbosina Kerosene

Crudo Ligero 0,45 0,18 0,30Crudo Pesado 0,35 0,36 0,20

Tabla de mezcla de tipos de petróleos crudos. La refinería se ha comprometido a entregar pedidos en barriles de 1 260 000 de gasolina, 900 000 de turbosinay 300 000 de Keroseno. Formule con PL un modelo que defina todas las variables de decisión, determine los

barriles de cada tipo de petróleo crudo a comprar, minimice el costo total y satisfaga la demanda.

3. Embutidos Razzeto produce 480 piezas de jamón, 400 piezas de mortadela y 230 piezas de chorizo por día.Cada uno de estos productos puede ser vendido frescos o ahumado. El número total de jamones, mortadelas ychorizos que pueden ser ahumados en un día es 420 y se tiene la posibilidad de ahumar un adicional de 250

pero a un costo mayor. Los beneficios que se obtienen por la venta de cada producto se muestran en la siguiente

tabla.Fresco Ahumado Ahumado extra

Jamón 8 14 11

Mortadela 4 12 7

Chorizo 4 13 9a) Formular un modelo para maximizar beneficios.

b) Se produce la siguiente solución: ahumar 40 piezas de jamones en horas extras y 440 frescos; ahumar 20 piezas de chorizos en horario regular y 2310 en horas extras; ahumar 400 piezas de mortadelas en horarioregular. ¿Es óptima?

4. Mezcla de tipos de camión. Una empresa recibió un contrato para suministrar a distribuidores 800 000 galonesde gasolina por mes. La compañía tiene disponibles $500 000 dólares para iniciar una flota consistente en trestipos diferentes de camiones. En la siguiente tabla se muestra la capacidad, costo de compra, costo operativo ynúmero máximo de viajes por cada tipo de camión.

Tipo decamión

Capacidad(Galones)

Costo deCompra ($)

Costo deOperar ($/mes)

Máximo deViajes / mes

1 6 000 50 000 800 202 3 000 40 000 650 253 2 000 25 000 500 30

Tabla de mezcla de tipos de camión. Considerando el mantenimiento y la disponibilidad de conductores, la empresa desea comprar a lo más 10vehículos para su flota. Así mismo, la compañía desea asegurar la compra de al menos 3 de los camiones deltipo 3 para usarse en las rutas de trayecto corto y baja demanda. Finalmente, la empresa desea que a lo más la

mitad de la flota sea de camiones del tipo 1. Formule un modelo para determinar la composición de la flota queminimice los costos operativos mensuales y satisfaga las demandas, sin salirse del presupuesto.


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5. Transporte de barriles de petróleo. Se debe transportar 100,000 barriles de cada uno de tres campos petroleros aun tanque de almacenamiento A. El petróleo puede transportarse en camiones directamente de los campos altanque A con un costo de $0.03 por barril-milla. También pueden enviarse hasta 150,000 barriles de petróleo,desde los campos mediante ductos a un eje central B a un costo de $0.02 por barril-milla y luego transportarseal A en camiones a $1 por barril. Formule un modelo de Pl del plan de embarque de costo mínimo, dadas lassiguientes distancias en millas:

Desde campo petrolero Hacia A Hacia B1 150 502 170 653 190 80

Tabla de transporte de barriles de petróleo.

6. El señor Martínez tiene un pequeño camión con capacidad interior de 20m3 en el cual transporta mercancía. Unareconocida empresa de la ciudad le ha contratado para hacer acarreos de esta mercancía, desde la planta de

producción, hacia los puntos de distribución. La mercancía esta empacada en caja de 3 tamaños diferentes.Además la ganancia por transportar cada tipo de caja es distinta.La siguiente tabla muestra el volumen de cada tipo de caja y la ganancia que genera al ser transportada.

Capacidad m3 Ganancia ($) c/u

Caja tipo 1 1 1000

Caja tipo 2 1.2 1120

Caja tipo 3 0.8 900

¿Cómo debe llenar el señor Martínez su camión para maximizar las ganancias en cada viaje que realice, si tieneque transportar como mínimo 8 cajas tipo 1 y 5 cajas tipo 3 en cada viaje?

7. Net Computer produce dos tipos de computadoras: PC y VAX. Las computadoras se fabrican en dos lugares:Trujillo y Lima. La sucursal de Trujillo puede producir hasta 800 computadoras y la de Lima hasta 1000computadoras. Net Computer vende no más de 900 PC y 900 VAX. El beneficio de venta (sin contar la manode obra) y el tiempo de fabricación asociado a cada sucursal y a cada producto es el siguiente:

Trujillo LimaPC VAX PC VAX

Beneficios ($) 600 800 1000 1300

Tiempo (h) 2 2 3 4Un total de 4000 horas de trabajo se encuentran disponibles. La mano de obra se paga a $20 por hora. Laempresa quiere maximizar sus beneficios.a) Si hubiera disponibles 3000 horas de trabajo, ¿Cuál sería el beneficio total de Net Computer?

b) Suponga que un contratista externo ofrece aumentar la capacidad de producción de Trujillo a 850computadoras, a un costo de $800. ¿Debería Net Computer aceptar la oferta?

c) ¿Cuándo debería aumentar el beneficio de una VAX producida en Lima, para que Net Computer leconvenga producir VAX en Lima?

d)

¿Cuánto es lo máximo que Net Computer estaría dispuesto a pagar por cada hora extra de trabajo?

8. Una fábrica de carrocerías de automóviles y buses tiene dos departamentos. En el departamento A, para hacer lacarrocería de un bus, se invierten 7 días - operario, para fabricar la de un automóvil se precisan 2 días -operario. En el departamento B se invierten tres días - operario tanto en carrocerías de buses como de autos. Porlimitaciones de mano de obra y maquinaria, el departamento A dispone de 300 días - operario, y eldepartamento B de 270 días - operario. Si los beneficios que se obtienen por cada bus son de $6 000 y por cadaautomóvil $2 000 ¿cuántas unidades de cada uno se deben producir para maximizar las ganancias?Considere que para la producción se debe utilizar ambos departamentos.

9. Una entidad financiera capta depósitos y presta dinero. La captación de depósitos lleva una hora para convenceral cliente y otra de trabajo burocrático. El préstamo de dinero lleva una hora para convencer al cliente y dos

horas de trabajo burocrático. El máximo número de horas de trabajo disponibles es de 40 horas para convencer


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a los clientes y 60 horas para el trabajo burocrático. El beneficio obtenido por prestar dinero es 1/3 mayor que elde captar depósitos. ¿Cuántas operaciones de cada tipo le conviene realizar para obtener el máximo beneficio?

10. Una persona tiene S/500 000 para invertir en dos tipos de acciones A y B. El tipo A tiene bastante riesgo con uninterés anual del 10% y el tipo B es bastante seguro con un interés anual del 7%. Decide invertir como máximoS/300 000 en A y como mínimo S/100 000 en B, e invertir en A es mayor o igual como en B. ¿Cómo deberáinvertir sus S/500 000 para maximizar sus intereses anuales?

11. Una línea aérea reabastece sus aeronaves regularmente en los cuatro aeropuertos incluidos en su servicio. Laturbosina puede comprarse a tres vendedores posibles de cada aeropuerto. La tabla siguiente indica el costo deentrega (compra más embarque) de 1,000 galones de cada vendedor a cada aeropuerto; también el númerodisponible en miles de galones que cada vendedor puede proveer cada mes; por último, el requerimientomensual de turbosina en miles de galones en cada aeropuerto.

AEROPUERTOCOSTOS DE ENTREGA Turbosina requerida

Miles de galonesVendedor 1 Vendedor 2 Vendedor 31 900 800 900 1502 900 1200 1300 2503 800 1300 500 350

4 1000 1400 1000 480Provisión MáximaMiles de galones

300 600 700

Tabla de transporte de turbosina al aeropuerto. Formule un modelo de PL que determine cantidades de turbosina a comprar y enviar por parte de cadavendedor a cada aeropuerto con mínimo costo, satisfaciendo al mismo tiempo por lo menos la demandamensual a cada aeropuerto y no excediendo el suministro de cualquier vendedor.

12. Tres divisiones de una compañía fabrican un producto en el que cada unidad completa consiste en cuatrounidades del componente A y tres unidades del componente B. Los dos componentes (A y B) se fabrican a

partir de dos materias primas diferentes. Existen 100 unidades de la materia prima 1 y 200 unidades de lamateria prima 2 disponibles. Cada una de las tres divisiones usa un método diferente para fabricar los

componentes, dando como resultado distintos requerimientos de materia prima y productos. La tablamuestra los requerimientos de materia prima por corrida de producción en cada división y el número de cadacomponente producido por esa corrida.

División

Materia primaEntrada/corrida

(unidades)

ComponenteSalida / corrida

(unidades)1 2 A B

1 8 6 7 52 5 9 6 93 3 8 8 4

Tabla de producción de partes para ensamble. Por ejemplo, cada corrida de producción de la división 1 requiere 8 unidades de la materia prima 1 y 6

unidades de la materia prima 2. El producto de esta corrida es 7 unidades de A y 5 unidades de B. Formuleun modelo para determinar el número de corridas de producción para cada división que maximice el númerototal de unidades terminadas de producto.

13. Una empresa tiene 14 000 galones de una mezcla de gasolina y alcohol en el almacén 1 y 16 000 galones enel almacén 2. Desde esos almacenes, debe proveer 10 000 galones al cliente A y 20 000 galones al B. Elcosto de embarcar 1 galón desde cada almacén a cada cliente es en dólares:

DESDEHACIAA B

1 4 62 5 3

Tabla de transporte de combustible. Formule un modelo de programación lineal para determinar el plan de embarque de costo mínimo quesatisfaga las restricciones de provisión y demanda.


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14. Se tienen 50 hectáreas de tierra en la cual se desea sembrar cualquier cantidad de maíz, soya, col, algodón y brócoli. La siguiente tabla muestra la información relevante perteneciente a la producción, al costo decultivo, al precio de venta esperado y los requerimientos de agua para cada cultivo:

CULTIVOProducción

Kg / HaCosto$ / kg

Precio venta$ / Kg

Agua requeridaLts / Kg.

MAÍZ 640 1 1,70 8,75SOYA 500 0,05 1,30 5

COL 400 0,40 1 2,25ALGODÓN 300 0,25 1 4,25BRÓCOLI 350 0,60 1,30 3,50

Tabla de asignación de cultivos. Para la próxima temporada hay 100 000 litros de agua disponibles y se pueden vender al menos 5 120 Kg demaíz. Formule un modelo de programación lineal.

15. Conceptos básicos con opciones de acierto.Opciones de aciertos para diferentes conceptos.(1) Conjunto convexo, (2) Vector C, (3) Matriz A, (4) Redundante, (5) Forma estándar, (6) Desigualdad,(7) Solución básica, (8) Variable superávit, (9) Solución degenerada, (10) Programación lineal,(11) Forma canónica, (12) (m + n)! / m! n!, (13) Variable de holgura, (14) Solución factible,(15) solución no única.

Anote el número correspondiente en los paréntesis siguientes:( ) Arreglo a coeficientes de consumo en restricciones.

( ) Solución básica, no única, factible.

( ) Posible consumo adicional al recurso requerido.

( ) Número máximo de soluciones básicas únicas.

( ) Objetivo Máximo (Mínimo), restricciones ≤ (≥), variables ≥ 0

( ) Infinidad de puntos satisfaciendo toda restricción.

( ) Tiene al menos, n variables nulas.( ) Con matemática lineal abstrae problema analizado.

( ) Ubicado en: interior, frontera, o vértice del conjunto.

( ) Significa el posible exceso de recurso.

( ) Objetivo Max (Min), restricciones =, variables ≥ 0.

( ) Tiene menos de m variables positivas.

( ) Arreglo de coeficientes de la función objetivo.

( ) Restricción que no limita el conjunto factible.

( ) P = α.A + (1 - α) B; 0 ≤α ≤ 1

Nota: Un paréntesis puede tener más de un número y éstos pueden repetirse en otros.

16. Solución gráfica. Preguntas con aciertos de opción múltiple.Dado el gráfico y el modelo de PL que lo origina:

Maximice (Minimice) Sujeto a las restricciones:

() ()

() ()


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Gráfica y modelo con aciertos de opción múltiple.

Resuelva; luego elija el acierto, anotando en los paréntesis ( ) lo que crea correcto:1. La recta de restricción N°2 es: ( )

a) AO b) GACD c) FCBE d) OBD e) FAL

2. La recta de restricción N° 3 es: ( )a) OA b) FCBE c) EBCF d) DCAG e) ninguna

3. Las coordenadas de un vértice no único son: ( )a) (-2; 0) b) (2; 2) c) (0; 2) d) (2; 0) e) (0; 0)

4. El conjunto factible es el espacio: ( )a) ALG b) BCD c) OACB d) AFC e) AF

5. El número máximo de soluciones básicas únicas es: ( )a) 15 b) 18 c) 32 d) 10 e) 28

6. El número de soluciones inexistentes son: ( )a) 6 b) 4 c) 3 d) 8 e) 2 f) 1 g) ninguna

7. El número de soluciones básicas en vértice no único es: ( )a) 9 b) 6 c) 12 d) 15 e) 3

8. Hay solución degenerada en vértice(s): ( )a) OB b) CO c) EB d) A e) O f) FC

9. Hay solución no degenerada en vértice(s): ( )a) A b) CF c) E d) BC e) ninguna

10. Hay redundancia por restricción(es) N°: ( )a) 3,2 b) 2 c) 1 d) 3 e) ninguna

11. Restricción 1, 2, 3, 4, en = con: ( )a) H1, H2, H3, -S4 b) H1, H2, H3 c) -S1,-S2,-S3,-S4

12. Valor Max, min respectivo en función Z es: ( )a) -2,-8 b) 4,-2 c) -6,-12 d) 1,-5

17.

Solución gráfica, con aciertos de opción múltiple.Dado el gráfico y el modelo de PL que lo origina:

A

F

G

C

O

D

L X

Y

B

E


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Maximice (Minimice) Sujeto a las restricciones:

() ()

() ()

() ()

Gráfica y modelo con aciertos de opción múltiple. Resuelva; luego elija el acierto, anotando en los paréntesis ( ) lo que crea correcto:

1. La recta de restricción N°1 es: ( )a) BAE b) FATQ c) OACD d) GECRH

2. La recta de restricción N° 4 es: ( )

a) QRD b) FATQ c) OACD d) GECRH

3. Las coordenadas del vértice T son: ( )a) (3,3) b) (1,3) c) (0,2) d) (4,0) e) (-2,0)

4. El conjunto factible es el espacio: ( )a) AOF b) AEGF c) ACRT d) QRT

5. El número máximo de soluciones básicas únicas es: ( )a) 15 b) 32 c) 21 d) 10 e) 28

6. El número de soluciones básicas en vértice no único es: ( )a) 15 b) 6 c) 9 d) 12 e) 3

7. Hay solución degenerada en vértice(s): ( )a) AO b) CT c) EGF d) AR e) RDC

8. Hay solución no degenerada en vértice(s): ( )a) AFG b) CT c) Q d) AB e) GF

9. Hay redundancia por restricción(es) N°: ( )a) 3,4 b) 1,2 c) 5 d) 6 e) ninguna

10. Restricción en = con: ( )a) 3Si, 3Hi b) 4Si, 2Hi c) 2Si, 4Hi d) 2Si, 2Hi e) 6Si

11. Valor max, min respectivo en función Z es: ( )a) -2,-8 b) 4,-2 c) -6,-12 d) 5,-4

18. Expresar el modelo dado en las Formas Canónica y Estándar.Minimizar Z = 4x1 + 3x2 - x3 Sujeta a las restricciones2x1 - x2 + 2x3 = 14 ..... (1)

x1 + x2 + 3x3 8 ..... (2)

3x2 + 2x3

4 ..... (3)x1 libre ; x2 0 ; x3 0

H

D

T

E A

R

G

C

O

Q

F X

Y

B

U


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CAPÍTULO III

SOLUCIÓN ANALÍTICA DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEALEl alumno debe aprender la utilización del poderoso y versátil método simplex de solución en programaciónlineal; para la gran mayoría de los problemas modelados con programación lineal, el método gráfico esclaramente inútil para resolverlo, pero afortunadamente y gracias a la dedicación de varios científicos, desdemediados del siglo XX se cuenta con el eficiente método SIMPLEX, poderoso por su aplicación versátil encualquier área de la actividad humana. Debemos indicar que para el estudio del método simplex separemos eltema en dos partes: método simplex para maximizar y método simplex para minimizar.

CONCEPTOS RELACIONADOSComo antecedente a la exposición del simplex, conviene aclarar con definiciones algunos conceptosrelacionados.En programación lineal es necesario calificar la palabra solución para precisar el concepto al que se hacereferencia, como se expresa enseguida:

SOLUCIÓN.- Es un conjunto de n + m variables "x j", definidas ordenadamente como un vectorX = (x 1, x 2,..., x j,..., x n , x n+ 1,..., x n+m ) que satisface el conjunto de ecuaciones que constituyen el sistema en el

problema.

1

; 1,2,..., j n m

ij j i

j

a x b i m

En donde: m = número de restricciones; n =número de variables de decisión.

SOLUCIÓN FACTIBLE.- Es un conjunto de n + m variables "x j", definidas ordenadamente como un vectorX = (x 1, x 2,..., x j,..., x n , x n+ 1,..., x n+m ) que satisface el conjunto de ecuaciones que constituyen el sistema en el

problema.

1

; 1,2,..., j n m

ij j i

j

a x b i m

Además la condición de no negatividad, toda x j ≥ 0.

SOLUCIÓN BÁSICA.- Se obtiene, cuando en el sistema de ecuaciones se hacen “n” variables iguales a cerodel total de (n+m) variables y resolviendo las ecuaciones para las restantes "m" variables, siempre que eldeterminante de los coeficientes de estas "m" variables llamadas básicas, no sea cero.

SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE.- Es una solución básica que cumple x j ≥ 0, para toda j (j = 1, 2,..., n + m);es decir, todas las variables básicas son no negativas. En una analogía geométrica con sólo dos variables, se

puede comparar con los vértices en el área sombreada.

SOLUCIÓN NO DEGENERADA.- Es una solución básica factible, con exactamente "m" variables básicas x i ,

estrictamente positivas.

SOLUCIÓN DEGENERADA.- Es una solución básica factible, con menos de "m" variables básicasx i positivas, pues al menos, una de ellas es de valor cero.

SOLUCIÓN ÓPTIMA.- Es una solución básica factible que optimiza la función

1

j n m

j j

j

z c x

TEOREMAS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL.La PL se fundamenta en varios teoremas de los cuales se definen tres de los más importantes:

1. El conjunto de soluciones factibles de la programación lineal es convexo.


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2. La solución óptima del problema de programación lineal, si existe, es un punto extremo (vértice) delconjunto de soluciones factibles. Si dicha solución óptima se tiene para más de un punto extremo, entoncestambién optimiza en cualquier punto que sea combinación convexa lineal entre los dos vértices que optimiza(soluciones óptimas múltiples).

Por ejemplo si se desea maximizar la función: Sujeto a las restricciones:

() ()

()

El gráfico de la figura adjunta muestra el conjunto de soluciones factibles, coordenadas de los vértices.

Max zC = 6x1 + 4x2 6(2) + (6) = 36Max zB = 6(4) + 4(3) = 36Max zA = 6(0) + 4(6) = 24

Calcular P como Combinación convexa lineal entre C y B con = ¼

P = C + (1 - ) B

P = ¼ (2; 6) + (1 – ¼) (4; 3)P = (½; 3/2) + (3;9/4) = (

7/2; 15/4)

... y retomando el gráfico anterior:ZP = 6 (

7/2) + 4 (15/4) = 36 que resulta también ser el valor máximo.

3. Una condición necesaria y suficiente para que un punto X ≥ 0 en el conjunto de soluciones factibles seapunto extremo, es que X sea una solución básica factible que satisfaga el sistema: AX=b; o bien expresado

así:1

; 1,2,..., j n m

ij j i

j

a x b i m

Este teorema indica que cada punto extremo corresponde, al menos, a una solución básica y viceversa, cadasolución básica significa un punto extremo. Así se concluye que el número de puntos extremos del conjunto de

soluciones factibles, es finito y no puede exceder el de sus soluciones básicas.Entonces, El número máximo de puntos extremos (vértices) por revisar en la búsqueda de la solución óptimadel problema es finito y coincide con el número máximo de soluciones básicas únicas que se pueden determinarmediante el binomio:

!!. !

m nm n

m m n

Es de anotar, que un punto extremo puede estar definido con más de dos restricciones en cuyo caso se diceno único y tener más de una solución básica; además, si es extremo factible, se tiene degeneración en talvértice. El punto extremo factible único se dice es solución básica no degenerada. Un punto extremo (vértice)del conjunto factible se identifica porque no se puede expresar como combinación convexa de cualquier parde puntos del mismo conjunto.

L1

A (4;0)

A (0;6)

O (0;0)

9

L2

B (4;3)

6 X

Y

C (2;6)

L3

ZB= 36 max

ZC= 36 max

P


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EL MÉTODO SIMPLEX.En el año 1947 el doctor George Dantzig presentó el algoritmo que desarrolló y que denominó SIMPLEX. A

partir de este logro se pudieron resolver problemas que por más de un siglo permanecieron en calidad de estudioe investigación con modelos formulados pero no resueltos. El desarrollo paralelo de la computación digital,hizo posible su rápido desarrollo y aplicación empresarial a todo tipo de problemas.

El método simplex disminuye sistemáticamente un número infinito de soluciones hasta un número finito desoluciones básicas factibles. El algoritmo simplex utiliza el conocido procedimiento de eliminación en lasolución de ecuaciones lineales de Gauss - Jordan y, además aplica los llamados criterios del simplex con loscuales se asegura mantener la búsqueda dentro de un conjunto de soluciones factibles al problema; así valorauna función económica Z, exclusivamente en vértices FACTIBLES (posibles). También se consigue coneficiencia, debido a que se dirige la búsqueda haciendo cambios a una solución básica factible adyacente, que sedistingue al tener m-1 variables básicas iguales; es decir, dos vértices adyacentes sólo difieren en una variable

básica; seleccionando la ruta de mayor pendiente, para mejorar el valor de Z, o por lo menos conservarlo.

CRITERIOS DEL ALGORITMO SIMPLEX. El algoritmo simplex emplea los siguientes criterios para asegurar que la búsqueda de la solución óptima del

problema en estudio sea rápida, limitando el cálculo a soluciones básicas (puntos extremos) que sean factibles.

Criterio de optimalidad.- Se aplica en el simplex para determinar entre las variables no básicas, una queentre (VE) a la base, eligiendo en la columna que tenga el coeficiente más negativo en el renglón "Z" de latabla, si el problema es maximizar. Por lo contrario, si el problema es minimizar se elige para variableentrante (VE) a la base la que cumpla con el coeficiente más positivo en dicho renglón "Z".

Criterio de factibilidad.- Se aplica en el simplex para determinar entre las variables básicas, una que salga dela base (VS), eligiéndola que cumpla:

: ; 0iik

ik

x Mínimo sólo para a

a

En donde Xi es el valor de la variable básica en el renglón i ; a ik es un coeficiente en el mismo renglón i ubicadoen la columna k correspondiente a la variable entrante elegida. Esto es válido tanto para problemas de máximocomo de mínimo.

Elemento pivote: En el cruce correspondiente a columna y renglón elegidos con los dos criterios anteriores,se ubica un coeficiente denominado pivote (P) que se utiliza durante las iteraciones o etapas de cálculo delsimplex.

Resumen del método simplex:Primero se presenta el método simplex, específico para un modelo de PL en forma canónica de máximo,aplicado con la conocida tabla matricial, lo cual se resume mediante el diagrama funcional de la figurasiguiente, que muestra los fundamentos del algoritmo contenidos en niveles o bloques numerados para la

referencia en la descripción del mismo.

Nivel 1: Forma estándar.- El modelo de PL en forma canónica de máximo que se desea resolver, tiene m ecuaciones obtenidas al convertir las restricciones de desigualdad a igualdad, agregando m variables de holgura,que sumadas a las n variables de decisión, hacen un total de (m + n) incógnitas.Las m restricciones con las (m + n) variables, producen un número infinito de soluciones, entre ellas, unconjunto de factibles y también las no factibles.

Nivel 2: Calcule una primera solución básica factible.- Del total, (m + n) variables, sólo n se igualan concero (n = 0), lo cual produce (sí existen), un número finito de soluciones básicas con un límite máximo de(m + n)! / m! n!. Estas pueden ser, factibles y no factibles; se consideran sólo las primeras.

Nivel 3: Se toman en cuenta sólo las soluciones básicas factibles , esto es, las que tienen todas las variables básicas positivas; es decir, con un número de iteraciones menor a (m + n)! / m! n!, se obtienen soluciones


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básicas factibles: no degeneradas, si todas las incógnitas básicas son positivas y soluciones degeneradas, si almenos una variable básica es igual a cero. Se aplican los criterios del algoritmo en forma iterativa para evaluarla función objetivo en puntos extremos adyacentes que potencialmente puedan mejorar el valor Z.

Nivel 4: Se generan nuevas soluciones básicas factibles, tales que el valor de la función objetivo Z mejore; serepite el procedimiento (iteraciones) entre los niveles 3 y 4, hasta que ninguna solución básica factibleadyacente resulte mejor; es decir, hasta que no haya incremento de valor, si el problema es de máximo, (hastaque no haya decremento, para el problema, no tratado ahora, de mínimo).

Nivel 5: Se interpretan los resultados de la última (iteración) tabla calculada, porque se identifican lascaracterísticas de una solución óptima.

Diagrama funcional del algoritmo simplex.

Con propósitos ilustrativos, vamos a desarrollar el método simplex en forma tabular o algoritmo matricial queconsiste en hacer sucesivas operaciones elementales sobre las filas de una matriz aumentada, con el fin de irmejorando la solución básica factible.

En seguida se resume la forma tabular del método simplex, describiendo su aplicación a un ejemplo práctico.

Ejemplo 1. Resuelva el siguiente problema de programación lineal mediante el método simplex:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3

1 2 3

Maximizar: z = 2x 3x 6x

Sujeta a:

2x 3x x 10

x x 2x 8

2x 3x 6

x 0; x 0; x 0

Solución:

Paso 1: a) En la función objetivo, transponer los términos de la derecha hacia los términos de la izquierda:1 2 3z - 2x 3x 6x 0

Si No

1.- Escriba en suforma estándar(sume variables

de holgura)

3.- ¿Existe unasolución básica

factibleadyacente que

sea mejor?

2.- Calcule unaprimera soluciónbásica factible

4.- Entonces calculeel valor de la función

Z para la nuevasolución básica

factible.

5.- Entonces lasolución básica

factible actual esóptima.


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b) Sumar una variable de holgura a cada desigualdad para convertir el modelo en su forma estándar:

1 2 3 1

1 2 3 2

2 3 3

2x 3x x H = 10

x x 2x +H 8

2x 3x +H 6

Paso 2.- Así hemos obtenido un sistema de 4 ecuaciones lineales con 7 incógnitas (z, x1, x2, x3, H1, H2, H3)

1 2 3

1 2 3 1

1 2 3 2

2 3 3

z - 2x 3x 6x = 0

2x 3x x H = 10

x x 2x +H 8

2x 3x +H 6

Paso 3.- Construir la tabla del simplex: Tabla 1(con los coeficientes de las variables y los términosindependientes – matriz aumentada)

VARIABLEBÁSICA

Ecuaciónnúmero

COEFICIENTES DECONSTANTES Razón

z x1 x2 x3 H1 H2 H3 z 0 1 - 2 - 3 - 6 0 0 0 0

H1 1 0 2 3 1 1 0 0 10

H2 2 0 1 1 2 0 1 0 8H3 3 0 0 2 3 0 0 1 6

Paso 4.- En la tabla 1, hacer las operaciones elementales sobre las filas para ir mejorando la solución factible básica.Por criterio de optimalidad se determina la variable (VE) y la variable básica saliente (VS), aplicando lasiguiente regla:

1° De la fila 1elegir el “más negativo” (que es -6), se pone en un recuadro alrededor de la columna debajo de

este coeficiente y se le da el nombre de columna pivote; este se encuentra en la COLUMNA 4. (Del ejemplo VE: x3)

2° Determinar la variable básica que sale (VS) con la prueba del cociente mínimo. Para esto se efectúa ladivisión de las constantes entre los números positivos de la columna pivote (COLUMNA 4); de las razonesobtenidas se elige la fila que tiene el menor de estas razones; la variable básica en esta fila es la variable quesale (CS), entonces sustitúyala por la variable básica entrante.

En nuestro ejemplo la razón mínima es 2 (se muestra a la derecha de la tabla) y se encuentra en la FILA 4,entonces VS: H3 y será sustituida por x3.

3° Localizar el primer elemento PIVOTE intersectando la columna pivote que es la COLUMNA 4 y la fila que

tiene la menor de las razones FILA 4 encontramos el número 3 que es el elemento PIVOTE buscado.

VARIABLEBÁSICA

Ecuaciónnúmero

COEFICIENTES DE CONSTANTE(lado derecho)

Razónz x1 x2 x3 H1 H2 H3

z (0) 1 - 2 - 3 - 6 0 0 0 0 ----

H1 (1) 0 2 3 1 1 0 0 10 10/1=10

H2 (2) 0 1 1 2 0 1 0 8 8/2=4

H3 (3) 0 0 2 3 0 0 1 6 6/3 = 2

ITERACIÓN 1. El pivote 3 se encuentra en la fila 4, entonces este será la fila pivote que se multiplicará por

1/3 para convertir en 1 el pivote.

HOLGURADECISION


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Convertir en ceros los otros elementos de la columna pivote haciendo las siguientes operaciones elementales:

Multiplicar la fila 4 por 6 y se sumar a la fila 1.Multiplicar la fila 4 por (-1) y sumar a la fila 2.Multiplicar la fila 4 por (-2) y sumar a la fila 3.

Repetir el proceso anterior; determinando la variable de entrada (VE), vemos que el menor negativo de la FILA

1 es -2, se encuentra en la columna 2, entonces x1 es la variable de entrada.

Dividir las constantes entre los números positivos de la COLUMNA 2; se obtiene 4 en la FILA 2 y FILA 3.Elegir la FILA 3 por ser menor el denominador de la razón 4/1= 4. Sale la variable H2.

En la intersección de la FILA 3 con la COLUMNA 1 encontramos el elemento pivote que es el número 1.

Convertir en ceros los otros elementos de la columna pivote haciendo las siguientes operaciones elementales:

Multiplicar la fila 3 por (2) y se sumar a la fila 1.Multiplicar la fila 3 por (-2) y sumar a la fila 2.

ITERACVARIABLE

BÁSICAEcuac.número

COEFICIENTES DE CONSTANTE(lado derecho)

Razónz x1 x2 x3 H1 H2 H3

0

z (0) 1 - 2 - 3 - 6 0 0 0 0 +

H1 (1) 0 2 3 1 1 0 0 10 +

H2 (2) 0 1 1 2 0 1 0 8 +

x3 (3) 0 0 2/3 1 0 0 1/3 2Por (-2)Por (-1)Por (6)

1

z (0) 1 -2 1 0 0 0 2 12

H1 (1) 0 2 7/3 0 1 0 -1/3 8 8/2= 4

H2 (2) 0 1 -1/3 0 0 1 -2/3 4 4/1= 4x3 (3) 0 0 2/3 1 0 0 1/3 2

2

z (0) 1 0 1/3 0 0 2 2/3 20 +

H1 (1) 0 0 3 0 1 -2 1 0 +

x1 (2) 0 1 -1/3 0 0 1 -2/3 4Por(-2)Por(2)

x3 (3) 0 0 2/3 1 0 0 1/3 2

Cuando todos los elementos de la fila 1 son no negativos, termina la iteración.

Paso 5.- Se determina la solución óptima:

El valor de la variable principal de cada columna unitaria está dado por la entrada que está en la columna deconstantes en el renglón que contiene al 1.Las variables correspondientes a las columnas que no se encuentren en forma unitaria tendrán asignado el valorcero.Siendo así, se concluye que: x1=4; x2=0; x3=2; z=20

ROMPIMIENTO DE EMPATES EN EL METODO SIMPLEXQuizá el lector ya pensó en la posibilidad de empates al aplicar los criterios del simplex.

EMPATE PARA LA VARIABLE BÁSICA ENTRANTE. Con el criterio de optimalidad, al elegir lavariable de entrada (VE) entre coeficientes indicadores empatados en el mismo valor, se tiene prioridad conlas variables de decisión y entre estas, se selecciona la variable entrante a la base en forma arbitraria, puescon diferencia de más o menos iteraciones (no es predecible), se llega a los mismos resultados; es decir, no


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importa cuál de las variables empatadas se haya escogido, pues no existe un método conveniente para predecircual lleva a la solución con mayor rapidez.

EMPATE PARA LA VARIABLE BÁSICA QUE SALE. En el caso de empate al aplicar el criterio defactibilidad, se presenta la situación de degeneración (solución básica no única), que resulta en el mismo valor

para la función objetivo en dos o más iteraciones, pudiendo llegar al caso extremo de ciclar, lo cual sucede entan pocas ocasiones, que la teoría y reglas para evitarlo, ya no se tratan, además muy rara vez han ocurrido en

problemas reales. Si ocurriera un ciclo siempre se puede salir de él cambiando la elección de la variable básicaque sale. La variable artificial que se expone en los párrafos siguientes, siempre se debe intentar eliminar de la

base (al menos que en degeneración se anule como básica); en cuanto al empate entre otras variables se decidearbitrariamente la variable que debe dejar la base.

CUANDO NO EXISTE VARIABLE BÁSICA QUE SALE: Z NO ACOTADA. Esto puede ocurrir si lavariable básica entrante puede crecer indefinidamente sin que ninguna de las variables básicas actuales adquieravalores negativos. Esto significa que todos los coeficientes de la columna pivote son negativos o cero.

Entonces la interpretación geométrica de una tabla simplex en la que aparezca esta situación, es que lasrestricciones no impiden el crecimiento ilimitado de la función objetivo Z, de modo que el método simplex se

detiene con el mensaje de que Z es no acotada. Debido a que ni siquiera la programación lineal ha descubiertola manera de lograr ganancias infinitas, el mensaje real en problemas prácticos es que se ha cometido un error;tal vez el modelo esté mal formulado o pudo haber ocurrido un error en los cálculos.

Ejemplo 2. Resuelva el siguiente problema de programación lineal mediante el método simplex:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

Maximizar: z= 6,3x 10,8x 11,34x

Sujeta a:

8x 13x +15x 400

x x x 30

3x + 6x 6x 150

x 0; x 0; x 0

Solución:

La función objetivo, debe escribirse como:

1 2 3z - 6,3x 10,8x 11,34x 0

Expresar el modelo en su forma estándar, mediante la suma de variables de holgura.

1 2 3 1

1 2 3 2

1 2 3 3

8x 13x 15x H = 400

x x x +H 30

3x + 6x 6x +H 150

Construir la tabla del simplex:

VARIABLEBÁSICA

Ecuac.número

COEFICIENTES DE CONSTANTE(lado derecho) Razónz x1 x2 x3 H1 H2 H3

z (0) 1 -6,3 -10,8 -11,34 0 0 0 0 ----

H1 (1) 0 8 13 15 1 0 0 400 400/15=

H2 (2) 0 1 1 1 0 1 0 30 30/1=30

H3 (3) 0 3 6 6 0 0 1 150 150/6 = 25

Variable de entrada: x3; que sale: H3; elemento pivote: 6 , el cual debe convertirse en 1 multiplicando por 1/6 atoda la FILA 4.


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ITERACVARIABLE

BÁSICAEcuac.número

COEFICIENTES DE CONSTANTE(lado derecho) Razónz x1 x2 x3 H1 H2 H3

0

z (0) 1 -6,3 -10,8 -11,34 0 0 0 0 +

H1 (1) 0 8 13 15 1 0 0 400 +

H2 (2) 0 1 1 1 0 1 0 30 +

x3 (3) 0 1/2 1 1 0 0 1/6 25

Por (-1)

Por (-15)Por (11,34)

1

z (0) 1 -0,63 0,54 0 0 0 1,89 283,5 ---

H1 (1) 0 1/2 -2 0 1 0 -5/2 25 25x2=50

H2 (2) 0 1/2 0 0 0 1 -1/6 5 5x2=10

x3 (3) 0 1/2 1 1 0 0 1/6 25 25x2=50

2

z (0) 1 -0,63 0,54 0 0 0 1,89 283,5 +

H1 (1) 0 1/2 -2 0 1 0 -5/2 25 +

x1 (2) 0 1 0 0 0 2 -1/3 10Por(-1/2)Por(0,63)Por(-1/2)

x3 (3) 0 1/2 1 1 0 0 1/6 25

2

z (0) 1 0 0,54 0 0 1,26 1,68 289,8

H1 (1) 0 0 -2 0 1 -1 -7/3 20

x1 (2) 0 1 0 0 0 2 -1/3 10

x3 (3) 0 0 1 1 0 -1 1/3 20

Conclusión:x1=10; x2=0; x3=20; H1=20; H2=0; H3=0La solución óptima es z= 289,8

MÉTODO SIMPLEX APLICADO EN PROBLEMAS CON MODELO NO CANÓNICO.

Cuando el modelo de programación lineal que se desea resolver, ya sea de mínimo o bien de máximo, tienecualquier tipo de restricciones, que incluyan las de tipo ≥ y / o las de =, en tal caso se requiere la preparacióndel modelo utilizando una base artificial. En esta situación, se requiere aplicar alguna de las siguientes variantesdel método simplex.

Matriz unitaria "I" de base con variables artificiales.Cuando el problema de programación lineal se expresa en la forma canónica de maximizar, las variables deholgura que se suman en cada restricción de tipo ≤ para conseguir la igualdad de la forma estándar,

proporcionan un coeficiente (+1) que es útil para formar la matriz unitaria " I "; se cumple así con la necesidadde la primera solución básica factible que requiere el algoritmo simplex para su inicio.

Pero muchas veces, el modelo de programación lineal no tiene forma canónica y presenta restricciones de tipo ≥

e =, con las cuales no se usan variables de holgura para el propósito de conseguir la forma estándar. Al restar lasuperávit -1S se convierte a ecuación la restricción tipo ≥; y la restricción = ya se cumple; pero en ambos casosno se tiene la aportación del coeficiente + 1.

Los problemas de programación lineal expresados con restricciones distintas al tipo ≤ necesitan un artificiomatemático para conseguir una matriz de base artificial, lo cual es posible sumando una variable artificialWi de valor no negativo, i=1,2,..., m en cada restricción i de tipo ≥ e =, así se proporciona el coeficiente +1 indispensable para la formación de la matriz unitaria I que requiere el algoritmo simplex para ponerlo enmarcha.

Una variable artificial no tiene significado físico y sólo se utiliza para completar la primera solución básica

que requiere el simplex para iniciarse; pero en contraste, a través de las etapas de cálculo, debe procurarse


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que las artificiales salgan pronto de la base, convirtiéndolas en no básicas, o bien que, como variables básicasvalgan cero para poder lograr la solución óptima.

A continuación se exponen las variantes del algoritmo simplex que se utilizan en el caso de la presencia devariables artificiales en el modelo a resolver.

MÉTODO SIMPLEX PENAL O DE LA M GRANDE

El simplex penal es una variante del método simplex aplicable en los casos en que las variables artificiales sonnecesarias en el problema, ya sea de maximizar o también de minimizar. El nombre de simplex penal se explica

porque se penaliza con un coeficiente M, que representa un valor muy grande (mayor que cualquier otrocoeficiente del problema), a cada variable artificial Wi que se incluya en la función objetivo del problema.Para máximo se utiliza la penalización con signo menos (-M), por otro lado para mínimo se utiliza signomás (+M).

Las variables artificiales se usan para la primera solución básica del simplex, pero el valor muy grande delcoeficiente M, procura su rápida salida de la base cuando el problema tiene solución factible. Aunque algúncaso degenerado puede tener una variable artificial en la base con valor cero. Por el contrario, si no es

posible anular las variables artificiales (Wi>0), significa que no hay solución factible al problema.

El siguiente ejemplo es un problema de PL que requiere variables artificiales para intentar resolverlo.

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