1INVESTIGACIN DE INVESTIGACIN DE OPERACIONES IIOPERACIONES II

Ing. Luis Zuloaga RottaIng. Luis Zuloaga Rotta

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UNI-FIIS 4

SISTEMASISTEMA

Conjunto de entidades u objetos relacionados entre si (conforman una estructura) con una misma finalidad, alcanzar sus objetivos.

La retroalimentacin (feedback) es una caracterstica de los sistemas para dar soporte a las actividades que les permiten alcanzar los objetivos.

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SistemaSistemaInputInputOutputOutput

RequerimientosRequerimientos

ResultadosResultados

TransformacionesTransformaciones(procesos recursos)

(inputs)

(Outputs)

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Enfoques para el anlisis de Enfoques para el anlisis de SistemasSistemas

Enfoque de la caja negra. Estudiamos el comportamiento en funcin de los

inputs y outputs. Enfoque de la transicin de estado.

Definimos un vector de estado para el sistema y estudiamos el comportamiento en funcin de cambios en las variables de estado del vector.

Enfoque de las partes componentes. Estudiamos al sistema en funcin de sus partes

componentes y de la estructura del todo.

4UNI-FIIS 7

Anlisis CATDWEAnlisis CATDWE

C : cliente A : actor D : dueo T : transformacin W : weltanshaung E : entorno

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ModeloModelo Es toda representacin de un sistema

real o abstracto, con la finalidad de comprender sus caractersticas y/o funcionalidad.

Un mdelo puede ser simblico, icnico u anlogo. Ej: un mapa, un sistema de ecuaciones, un

diagrama de flujo, un avin a escala, una formula, diagrama de procesos, etc.

5UNI-FIIS 9

Funcin de los ModelosFuncin de los Modelos

Una ayuda para el pensamiento Una ayuda para la comunicacin Para entrenamiento e instruccin Una herramienta de prediccin Una ayuda para la experimentacin.

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Cmo mejorarel sistema ?

ObjetivosRestriccionesProcesosRecursosLocacionesCostos

Sistema bajoestudio

Analista omodelador

Paradigmas

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SimulacinSimulacin Es el estudio de un sistema a travs de

un modelo ayudado de un computador, con la finalidad de comprender su comportamiento en un conjunto de escenarios y plantear propuestas alternativas de mejora.

El curso se limitar al estudio de modelos de simulacin para sistemas discretos.

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SimulacinSimulacin

... es el proceso de disear un modelo de un sistema real y realizar experimentos con l para entender el comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias para la operacin del sistema

Robert Shannon

7UNI-FIIS 13

Para qu usar la Simulacin ?Para qu usar la Simulacin ?

Para experimentar con escenarios what-if. Para comprender el impacto de la

introduccin de nuevas tecnologas. Para visualizar una representacin dinmica

del sistema. Para probar/analizar un diseo previo a la

implementacin. Para analizar la performance del sistema a

los cambios que se presenten en el tiempo.

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Para qu usar la Simulacin ?Para qu usar la Simulacin ?

Permite una experimentacin controlada. Para un anlisis sin disturbios (efecto

Hawthorne) ni interrupciones en el sistema. Por su facilidad de uso y comprensin. Visualizacin realistica y convincente. Para forzar la atencin a detalles del

diseo. Porque es muy caro experimentar

directamente sobre el sistema.

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Ventajas de la SimulacinVentajas de la Simulacin Una vez construido, el modelo puede ser modificado de manera

rpida con el fin de analizar diferentes polticas o escenarios. Generalmente es ms barato mejorar el sistema va simulacin,

que hacerlo directamente en el sistema real. Es mucho ms sencillo comprender y visualizar los mtodos de

simulacin que los mtodos puramente analticos. Los mtodos analticos se desarrollan casi siempre, para

sistemas relativamente sencillos o simplificaciones, mientras que con los modelos de simulacin es posible analizar sistemas de mayor complejidad o con mayor detalle.

En algunos de los casos, la simulacin es el nico medio para lograr una solucin.

UNI-FIIS 16

Desventajas de la SimulacinDesventajas de la Simulacin

Los modelos de simulacin en una computadora son costosos y requieren mucho tiempo para desarrollarse y validarse.

Se requiere gran cantidad de corridas computacionales para encontrar "soluciones ptimas"; esto repercute en altos costos.

Es difcil de comprobar que resultados de modelos de simulacin son adecuados. Por lo tanto es difcil que sean aceptados.

Los modelos de simulacin no dan soluciones ptimas. La solucin de un modelo de simulacin puede dar al

analista un falso sentido de seguridad.

9UNI-FIIS 17

FORMULACINDEL

PROBLEMA

DEFINICINDEL SISTEMA

ES TIL LASIMULACIN ?

FORMULACINDEL MODELO

PREPARACINDE DATOS

TRASLACINDEL MODELO

No

FIN

S

A B

S

EL MODELOES VLIDO ?

PLANEACINESTRATGICA

PLANEACINTCTICA

EXPERIMENTACIN

INTERPRETACINES TIL ?

IMPLANTACIN

DOCUMENTOPROPUESTAS

No

S

A B

EL PROCESO DE SIMULACINEL PROCESO DE SIMULACIN

UNI-FIIS 18

Validacin del ModeloValidacin del Modelo

Es el proceso de llevar a un nivel aceptable la confianza del usuario referente a que acepte cualquier inferencia acerca de un sistema que se derive de la simulacin.

No existe la prueba de validacin. En lugar de esto, el experimentador debe realizar pruebas a lo largo del proceso de desarrollo del modelo, a fin de crear confianza.

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UNI-FIIS 19

Experimentacin y anlisis de Experimentacin y anlisis de sensibilidadsensibilidad

La experimentacin con el modelo (corrida) nos permite obtener la informacin deseada.

El anlisis de sensibilidad consiste en la variacin sistemtica de los valores de los parmetros sobre algn intervalo de inters y en la observacin del efecto en la respuesta del modelo.

UNI-FIIS 20

Mtodos para validar el modeloMtodos para validar el modelo Debemos cerciorarnos de que el modelo tenga

validez de forma general. Es posible que el modelo d respuestas absurdas

s i se lleva los parmetros a valores extremos ? El segundo y tercer mtodo se basan en la

prueba de suposiciones y en la prueba de transformaciones de entrada-salida. Estas conllevan el uso de pruebas estadsticas de medias y varianzas, regresin, anlisis de factores, autocorrelacin, pruebas no paramtricas, etc.

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UNI-FIIS 21

DIAGRAMA DE FLUJO

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LAYOUTPROCESOSLAYOUT DEPROCESOS

Ruta trabajoRuta trabajo

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UNI-FIIS 23

Como comprender los Como comprender los procesos de negocioprocesos de negocio

Para comprender, estudiar y mejorar los proceso de negocio, primero tenemos que identificarlos, definirlos y descubrir tanto su estructura como sus relaciones.

Los procesos de negocio no son analizados como cajas negras.

Para lograr esto, realizamos una descomposicin funcional del negocio.

UNI-FIIS 24

Funciones y Procesos de NegocioFunciones y Procesos de Negocio

Una funcin es un grupo de actividades de alto nivel que juntas apoyan un aspecto del negocio.

Los procesos de negocio tambin son agrupamientos de actividades, pero ocurren a un nivel inferior.

La ejecucin de un proceso tiene sentido para el negocio; es una actividad que se inicia por un evento.

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UNI-FIIS 25

Cmo modelar el Sistema ?Cmo modelar el Sistema ?

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Se usan grficos (generalmente cajas y flechas) para proveer los datos acerca de la estructura del sistema, razn por la que la mayor parte de la gente piensa en modelos de procesos como representaciones pictricas.

Con el modelamiento de procesos se puede mirar el sistema de inters con profundidad, de modo que delicados matices de su organizacin puedan ser analizados, comprendidos y tal vez lo mas importante, comunicados a otros.

Cmo se modelan los procesos ?Cmo se modelan los procesos ?

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UNI-FIIS 27

ModelamientoModelamiento de Procesos de Procesos IDEFIDEF

Modelamiento de actividades IDEF o Procesos de Negocio, es una tcnica para analizar el sistema total como un conjunto de actividades o funciones interrelacionadas.

Las actividades (verbos) del sistema son analizadas independientemente del o de los objetos que los llevan a cabo.

UNI-FIIS 28

IDEF: IDEF: QueQue eses ?? Una tcnica para modelar :

funciones : actividades acciones procesos operaciones

relaciones funcionales y datos (informacion y objetos) de un sistema o empresa.

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UNI-FIIS 29

IDEF IDEF eses Lenguaje de modelamiento grfico (sintaxis y

semantica) + metodologa para desarrollarmodelos de procesos (utiliza tcnica ICOM).

Describe : que hace un sistema que controles tiene sobre que trabaja como ejecuta sus funciones que produce

En resumen IDEF = grfico + texto + glosario

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ICOMICOM InputsInputs

Items consumidos o transformados por procesos Ejemplo : materiales, informacin, capital, energa, ...

ControlesControles Restricciones o gobierno del proceso Ejemplos : lineamientos, reglas de negocio, polticas, ...

OutputsOutputs Resultados del proceso, esto es una entrada transformada Ejemplos : materiales, informacin, ...

MecanismosMecanismos Recursos utilizados para producir la salida (usada por los procesos) Ejemplos : personal, sistemas, equipos, ...

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UNI-FIIS 31

La actividad (o funcin) esrepresentada por una caja.

Inputs son representados por la flechas fluyendo hacia el ladoizquierdo de la caja.

Outputs son representados porflechas fluyendo desde el ladoderecho de la caja.

Flechas que fluyen hacia la partesuperior de la caja representanrestriccioneso controles.

Flechas fluyendo hacia el ladoinferior de la caja son losmecanismos.

IDEF

Actividada ejecutar Output

Mecanismo(Recurso)

Input

Restriccin

El Orden de las cajas no implica necesariamente una secuencia !! La descomposicin es Top Down !!

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IDEFIDEF eses unauna descomposicidescomposicinnTop DownTop Down

Mas General

Mas Detal lado

A2

2.1

2.22.3

A-0

Este diagrama es elpadre de ...este diagrama.

A04

1 2

3

A23

2.3.1

2.3.2

2.3.3

Diagrama de ContextoDiagrama de Contexto

Diagrama de Nivel CeroDiagrama de Nivel Cero

Diagrama de Primer NivelDiagrama de Primer Nivel

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UNI-FIIS 33

Combinaciones de flechas Combinaciones de flechas de de interfaceinterface

Output Input

Output Control

Output Mecanismo

Output Control feedback

Output Input feedback

UNI-FIIS 34

Bifurcaciones y UnionesBifurcaciones y Uniones Las salidas (outputs) de una

actividad pueden ser usadas por ms que una actividad.

En IDEF las flechas en general, pueden bifurcarse o unirse, renombrndose en caso sea necesario para especificar mayor detalle (dado que es un subconjunto de la flecha principal).

POLITICAS &PROCEDIMIENTOS

POLITICAS &PROCEDIMIENTOS

DE PERSONAL

POLITICAS &PROCEDIMIENTOS

DE VENTAS

Material residual

Material defectuoso

Material rechazado

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UNI-FIIS 35

Sistema BancarioOPERACINOPERACINBANCARIABANCARIA

ESPERA XESPERA XSERVICIOSERVICIO

ATENCINATENCINCLIENTECLIENTE

ARRIBO CLIENTE

PERSONALBANCO

CLIENTE CONOPERACINREALIZADA

REGLAMENTO BANCO CLIENTE

CANSADO ESPERAR

CLIENTE CON OPERACIN PENDIENTE

CLIENTE PASA A VENTANILLA

UNI-FIIS 36

Que sigue ... ?Que sigue ... ? Una vez identificados y comprendidos

los procesos u actividades, se define la situacin problema.

A continuacin se identifican las variables del vector de estado (var. aleatorias), para luego observar y registrar su comportamiento (muestra).

Se organiza la data recogida y se plotea, procediendo a plantear una hipotesis nula H0.

x1

x2 x3

x4 x5

x6xn

xi frec[a1,a2] 8

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UNI-FIIS 37

Nmeros Random ( #r ) Son nmeros reales (r) distribudos

uniformemente en el intervalo [0,1].

r = 1/2Var(r) = 1/12

0 1r0r

UNI-FIIS 38

Algoritmos para generar Algoritmos para generar #r#r Algoritmos congruenciales :

Mixto : #ri+1 = ( a + b #ri)Mod(m) Multiplicativo : #ri+1 = ( b #ri)Mod(m)

EJEMPLO: Generar 2 nmeros aleatorios de mdulo 8 con constantes a= 7 y b= 5 y una semilla r0 = 4.

ri+1= (5ri + 7)MODULO(8)

r1= 27 MODULO (8) = 3r2= 22 MODULO (8) = 6

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UNI-FIIS 39

Restricciones para los Restricciones para los parmetros de algoritmoparmetros de algoritmo

a, b, m y r0 deben ser mayores que cero (0). r0 no debe ser mltiplo de 2 ni de 5. a debe ser impar. a y m deben ser primos entre si. b = 200t z tal que :

z = 3,11,13,19,21,27,29,37,53,59,61,67,69,77,83,o 91. t = 1,2,3,4,5, ...

m = 10d y d 4 (d # de bits de una palabra del computador) Periodo mximo m/20

UNI-FIIS 40

Parmetros y VariablesParmetros y Variables

En un experimento se tiene informacin o datos de dos tipos :

PARMETROS: permanecen sin cambio durante todo el tiempo que dura el experimento.

VARIABLES: cambian durante el experimento.

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UNI-FIIS 41

Variable AleatoriaVariable Aleatoria

PROCESO ESTOCASTICO: experimento donde no es posible conocer de antemano los resultados obtenidos para cada valor de una variable. Se cumplen las propidades de la teora de probabilidad para las variables asociadas.

VARIABLE ALEATORIA: variable en un proceso estocstico.

UNI-FIIS 42

Distribucin de probabilidad

FALLAS

20

30

70

FRECUENCIA

CBA

FALLAS

1/3

1/4

7/12

PROBABILIDAD

CBA

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UNI-FIIS 43

Tipos de Distribucin Tipos de Distribucin ProbabilidadProbabilidad

CONTINUAS: los valores de las VA estn en algn rango de los nmeros reales y cubren entre todos ellos todo el rango.

DISCRETAS: los valores de las VA pertenecen a algn rango de los enteros o reales. Entre dos valores de la VA hay por lo general una infinidad de valores que no se asocian a la variable aleatoria.

UNI-FIIS 44

Funciones Generadoras de Funciones Generadoras de Valores AleatoriosValores Aleatorios

Para reproducir el comportamiento de los sistemas a travs de los modelos, es necesario reproducir el comportamiento de los objetos del sistema, a travs de la reproduccin de las actividades en las que intervienen, especialmente las relacionadas con variables aleatorias.

Recogemos una muestra de datos para cada variable identificada, realizamos el ajuste correspondiente a alguna funcin de probabilidad conocida o no.

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UNI-FIIS 45

Mtodo de la Mtodo de la Transformacin InversaTransformacin Inversa

Muchas de las Funciones de Distribucin de probabilidad acumuladas son univalentes de all que tienen inversa.

F(x) = p(X x) ~ UNIF(0,1)

tambin #r ~ UNIF(0,1)entonces #r = F(x)por lo tanto x = F-1(#r)

r0

x0

1

F(x)

0 X

UNI-FIIS 46

Uniforme Contina (UC)

a bx0x

1b-a

F(x) = (x0-a)/(b-a)

a b

F(x)

1

0

#r

x0

Dado que F tiene inversa, entonces #r = F(x), luego #r = (x-a)/(b-a) por lo tanto x = a + #r(b-a)

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UNI-FIIS 47

Exponencial Negativa (Exponencial Negativa (ExpExp)) Funcin continua con

dominio [0,+ .

f(X) = e-x ; x0

F(x) = ox0 f(x)dx

x

f(x)

0 x0 0

F(x)1

x

#r

x0

Media (x) = 1/Var (x) = 1/2

Dado que F tiene inversa, entonces #r = F(x), luego #r = 1 - e-x por lo tanto x = - (1/)ln(1-#r)

UNI-FIIS 48

Lineal (Lineal (LinLin))

a b

2 b-a

f(x) F(x)1

0x

x

#r

x0

F(x) = (x0-a)2(b-a)2

a b

f(x) = 2(x-a) dado que F tiene inversa, entonces #r = F(x)(b-a)2 entonces x = a + (b-a) #r

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UNI-FIIS 49

Normal (Normal (NormNorm)) Teorema del Lmite Central : Toda variable aleatoria con media y

varianza conocidas, que se expresa como la suma de n variables aleatorias independientes, tambin con media y varianza conocidas, para un n suficientemente grande, se puede aproximar a travs de una distribucin normal.

f(x) = 1 e -(1/2)[(x- )/ s]22p s

x

Si t = s1+s2+s3+s4+s5+s6+......+sn / med (s i) y var(s i) son conocidas, entonces para un n suficientemente grande t ~ Normal (med,var).

Si t = # r1+# r2+# r3+# r4+# r5+...+# rn = S # ri / # ri ~ RANDOMnormalizando t y x tenemos : t (n/2) = x

n/12 sTomando n = 12 encontramos que : X = + s [(S #ri) - 6]

12

UNI-FIIS 50

BernoulliBernoulli ((BernBern)) Es una distribucin discreta en la que los resultados

del experimento aleatorio slo arrojan dos valores posibles 0 o 1(fracaso o xito).

X =

0 si #r p

1 si #r < pf(x) = px(1-p)1-x / p = xito

Ej: Trompo f(x) = (1/3)x(2/3)1-x

0(R) si #r 1/31(A) si #r < 1/3X =

26

UNI-FIIS 51

BinomialBinomial ((BinBin)) Una distribucin Binomial involucra varios procesos de

Bernoulli, digamos n procesos y, se desea el nmero de xitos x que se tendr en todos los procesos tomados en conjunto. La Binomial mide la probabilidad de que x=i xitos en n pruebas:

p(x=i) =(n i)pi(1-p)n-i / med(x)=np y var(x)=np(1-p)

Entonces si x= b1+b2+b3+..bn = Sbi / bi ~ Bern(p)tenemos que x ~ Bin (n,p)

n

0 1 2 3 4

x

0.40

0.20

0.10

f(x)Bin (4,0.5)

UNI-FIIS 52

PoissonPoisson ((PoisPois))

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ....

x

f(x) = lx e- l / med(x) = lx!

f(x)

e-?

T T T T TX=4 X=2 X=1 X=5 X=0

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

x ~ Poiss(l)t ~ Exp(1/l)

Si ti ~ Exp(1/l) entonces t = - (1/l)ln(1-#r)Luego x = max {i : Sti T < Sti } ~ Poiss(l)

i i+1

0 0

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UNI-FIIS 53

Uniforme Discreta (UD)Uniforme Discreta (UD)

X =

a1 si 0 #r 1/na2 si 1/n < #r 2/na3 si 2/n < #r 3/n...an si n-1/n < #r 1

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 ... an

1/n

x

f(x)

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 ... an

1/n x

F(x)

2/n

3/n

4/n

5/n

1

#r

UNI-FIIS 54

Mtodo de RechazoMtodo de Rechazo Se tiene una Variable Aleatoria X

con funcin de densidad f(x) definida en a = x = b, adems,M= max f(x), a = x = b

Sea g(x)= [f(x) / M]luego 0 = g(x) = 1

El mtodo consiste en:a. Se generan r1 y r2, dos

nmeros aleatoriosb. Se define x= a + (b-a)r1c. Si r2 = g(x) entonces x es

observacin. En otro caso, volver al paso a.

a b

Mf(x)

x

1 g(x)

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UNI-FIIS 55

Ejemplos Ejemplo1: Sea f(x)= 2 x , 0 = x = 1

Entonces M = 2 y g(x)= 2x/2 = xa. Generar r1 y r2b. x = a + (b a) r1 = 0 + (1 - 0) r1 = r1c. Si r2 = r1 entonces x es observacin, de lo contrario volver a generar r1 y r2.

Ejemplo2: Sea f(x)= 2x/9 para 0 = x = 3, entoncesM=2/3 y g(x)= (2x/9)/(2/3)= x/3a. Generar r1 y r2b. x= a + (b - a)r1 = 0 + (3 - 0)r1 = 3r1c. Si r2 = g(x) = x/3, as r2 = 3 r1/3 = r1, o sea si r2 = r1, entonces x es observacin, de lo contrario volver a generar r1 y r2.

UNI-FIIS 56

Pruebas de Bondad de AjustePruebas de Bondad de Ajuste Estas pruebas nos permiten determinar si

la muestra de los datos recogida, respecto a una variable aleatoria de inters para el estudio, se puede aproximar a partir de una funcin de distribucin de probabilidad terica (H0).H0 : No existe diferencia significativa entre los datos observados y los que se obtendran a partir de una distribucin ............ (distribucin de probabilidad terica).

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UNI-FIIS 57

Prueba de Prueba de JiJi--CuadradoCuadrado Es recomendable para muestras cuyo tamao

es mayor que 100. Calcular :

cc2 =S (fofoi fefei)2fefei

Donde : k # intervalos de clasefo frecuencia observada

fe frecuencia esperada, tal que fe = np(x i)5n tamao de la muestrap(xi) probabilidad terica para xi

k

i=1

UNI-FIIS 58

JiJi--Cuadrado ...Cuadrado ... Luego obtener de tablas el estadstico

de Ji-Cuadrado para : ct2(1-a, #gl)Donde : (1 a ) es el nivel de significancia, y

#gl : es el nmero de grados de libertadtal que #gl = K - #parm.estimados 1

Comparamos, y aceptamos H0 si :cc2

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UNI-FIIS 59

Prueba de Prueba de KolmogorovKolmogorov -- SmirnovSmirnov Es recomendable para muestras cuyo

tamao esta comprendido entre 10 y 100. Se determinan las frecuencias relativa y

acumulada de los valores observados, y la probabilidad terica y acumulada para la distribucin terica.

El estadstico K/S calculado se determina a partir de la mxima de las diferencias absolutas entre la frecuencia y probabilidad acumuladas.

El estadstico K/S terico se obtiene de tablas dado un a (nivel significancia) y n(tamao muestra).

Se acepta H0 si se cumple que : Dc

31

UNI-FIIS 61

Ejemplo 1Ejemplo 1 Suponga que se han

generado 100 #saleatorios y deseamos comprobar su uniformidad sobre 10 intervalos equidistantes utilizando la prueba de Kolmogorov/Smirnov. Usar un a = 5%.

H0 : Los datos se pueden aproximar a travs de una distribucin Uniforme.

Int Frec FrecRel1 8 0.082 17 0.173 5 0.054 5 0.055 12 0.126 18 0.187 5 0.058 14 0.149 13 0.13

10 3 0.03100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.1 UNIF

UNI-FIIS 62

Int Frec FrecRel FrecAbs ProbTeor ProbAcum D k/s1 8 0.08 0.08 0.1 0.1 0.022 17 0.17 0.25 0.1 0.2 0.053 5 0.05 0.3 0.1 0.3 0.04 5 0.05 0.35 0.1 0.4 0.055 12 0.12 0.47 0.1 0.5 0.036 18 0.18 0.65 0.1 0.6 0.057 5 0.05 0.7 0.1 0.7 08 14 0.14 0.84 0.1 0.8 0.049 13 0.13 0.97 0.1 0.9 0.07 Max D k/s10 3 0.03 1 0.1 1 0.0

100

Tabla de Clculos Ejemplo 1

Dc = 0.07Dt (5%,100) = 1.36/ 100 = 0.136Como Dc

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UNI-FIIS 63

Ejemplo 2Ejemplo 2 La siguiente tabla muestra la

distribucin de frecuencias para la variable aleatoria tiempo entre dos arribos consecutivos a un SuperMercado.

Formule la hiptesis adecuada y haga el ajuste correspondiente a una funcin de distribucin de probabilidad terica conocida. Use un a = 5%.

FrecTiempo

118 t < 20

216 t < 18

314 t < 16

512 t < 14

810 t

33

UNI-FIIS 65

t ProbTeor (fo - Ei)2/Ei

1 50 0.3440 51.60 0.0503 33 0.2252 33.78 0.0185 22 0.1481 22.22 0.0027 15 0.0973 14.60 0.0119 11 0.0618 9.27 0.323

11 8 0.0419 6.29 0.46813 5 0.0275 4.1315 3 8 0.0181 2.72 6.84 0.19717 2 0.0119 1.7919 1 0.0078 1.17

+21 0 3 0.0164 2.46 5.42 1.077150 1.0000 150.00 2.146

Ei=npiFrec

P(0 ti < 2) = 020.21e- 0.21tdt = - e- 0.21t |0

2=0.3440

P(2 ti < 4) = 240.21e- 0.21tdt = - e- 0.21t |2

4=0.2252

...

P( ti 21) = 1 - 020

0.21e- 0.21tdt = 1 (e- 0.21t )|020

=0.0164

UNI-FIIS 66

Respuesta Ejemplo 2 ...Respuesta Ejemplo 2 ... Determinamos #gl = 8 1 1 = 6 De Tablas determinamos :

cct2 (95%,6) = 12.6 Como :

ccc2

34

UNI-FIIS 67

RecomendacionesRecomendaciones Dada una muestra de tamao n para una

variable aleatoria, se puede utilizar la Frmula de Sturges para aproximar el nmero de intervalos en los que se les puede agrupar :

K = 1 + 3.3 log n Dado que se tienen que aproximar los parmetros

de la distribucin de probabilidad terica, se pueden utilizar las siguientes relaciones :

Med(x) = (S xi.Foi) / n y Var(x) = [S xi2.Foi n.Med2(x)] / (n 1)

UNI-FIIS 68

Ejemplo 3 Construir una funcin generadora de valores

aleatorios para la siguiente funcin de distribucin de probabilidades (fdp):

f

20 a

a

x

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UNI-FIIS 69

Clculo de a: Por condicin de una fdp, el rea bajo la curva de f en su dominio debe ser 1.Entonces (1/2)(a)(a) + (1/2)(a)(2-a) = 1

(1/2)[a2 + 2a - a2] = 1 a = 1

Determinacin de la regla de correspondencia de f:

f =

F =

x si x e [0,1]

-x + 2 si x e

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UNI-FIIS 71

Ejemplo 4 Loas alumnos de la FIIS estn distribuidos entre 60% para la

especialidad de Industriales y 40% para la especialidad de Sistemas. Se desea simular la cantidad de alumnos de la especialidad de Sistemas que figuran dentro del arribo de un grupo de cuatro alumnos.

Estamos al frente de un comportamiento Binomial, el cual simulamos a travs de comportamientos Bernoulli.

e = ~ Bern (p=2/5)0 si #r > 2/51 si #r < 2/5

x = ~ Bin (n=4, p=2/5)4

1ie

s I I I

UNI-FIIS 72

Mecanismos de control de Tiempo Mecanismos de control de Tiempo de la Simulacinde la Simulacin

Dado que la ejecucin de eventos en una PC es secuencial, estos mecanismos permiten controlar la cadena de eventos presente y futura durante la ejecucin de la simulacin.

En los sistemas discretos los eventos que influyen sobre el sistema ocurren en puntos especficos en el tiempo, no en forma continua, de all que mas importante ser el mecanismo de control de tiempo variable, cuyo tiempo se incrementa en funcin de los momentos en los que se da la ocurrencia del evento.

37

UNI-FIIS 73

EjemploEjemplo Se est diseando una mquina

para inyectar lquido a envases de diferentes capacidades, y tiene una lnea de produccin. Eventualmente se derramarlquido de los envases, esto se da por la capacidad variable de los envases y/o por el error de la cantidad inyectada del lquido.

Se desea incluir un recipiente (contenedor) en la mquina para recibir el lquido derramado, y que ste no se disperse en el piso. Si se tienen producciones de hasta 10,000 envases, calcule el tamao del contenedor para la mquina inyectora.

UNI-FIIS 74

Ejemplo ...Ejemplo ... Se conocen las siguientes caractersticas del proceso y de la

mquina: La cantidad de l quido que se inyecta no siempre es exacta, se

comporta como una V. A. normal con media igual a la cantidad ideal a inyectar en el envase y desviacin estndar igual al 1% de esa cantidad ideal.

Los envases tampoco tienen una capacidad nica sino que varan por defectos de forma y de fabricacin. La capacidad de los recipientes es de 1.05 (de la cantidad ideal a inyectarle) y tienen una desviacin estndar del 5% de su capacidad total . La posibilidad m xima del defecto es de un 10% de la especificada como capacidad media.

Construya un programa en C++, Pascal o en cualquier otro lenguaje para determinar el tamao del recipiente que se requiere.

Se pueden manejar envases con capacidades de inyecccindesde 200 ml hasta 1.5 litros. Haga su clculo tomando en cuenta que llenar envases de 330 ml.

38

UNI-FIIS 75

Diagrama de Diagrama de BloquesBloques

DETERMINARREBASAMIENTO

SIMULAR LLENADOLINEA 1

SIMULAR LA CAPACIDADDE LA BOTELLA A LLENAR

SIMULAR LA CANTIDAD A INYECTAR

ENVIO DE BOTELLAS

ACUMULAR CANTIDADREBASADA

FIN

UNI-FIIS 76

PseudocPseudocdigodigo del programa para del programa para el Ejemploel Ejemplo

Se generan los valores aleatorios que se necesitan. Se genera la capacidad de la botella que llega a la lnea.

Con una variable aleatoria normal con med =1.05 (330 ml) y desv.est.= 5% de 1.05(330 ml.)

Se generan las cantidades inyectadas en la lnea . Con una variable normal con med=330 ml y desv.est.= 1%(330 ml.)

Se corrigen los valores que se aportan por las limitaciones fsicas. Para la inyeccin hasta un total de 2 litros inyectados(por falla) Para la capacidad hasta un 10% del especificado como valor medio

(1.05*330 ml.) Se calculan las cantidades rebasadas en cada caso.

Inyectado - envasado (en el cado que inyectado > envasado)

39

UNI-FIIS 77

Tiempoentre

Arribos (t)

Cola

Servicio

Poblacin

SISTEMA DE COLASSISTEMA DE COLAS

Arribos

Tiempo deServicio

Politica deservicio

UNI-FIIS 78

Premisas para el estudio de un Premisas para el estudio de un Sistema de ColasSistema de Colas

Un sistema de colas puede ser analizado en funcin de sus tasas de arribo y de servicio, variables cuyo comportamiento puede ser aleatorio.

Para nuestro estudio consideraremos que los arribos se ajustan a una distribucin de Poisson con tasa media l o tiempo entre arribos Exponenencial con tasa media 1/l.

Los tiempos de servicio son Exponenciales con tasa media .

40

UNI-FIIS 79

CONDICIONESINICIALES

LC = LC+ 1

GENERAR TA

SUMTA = SUMTA + TA

SERVICIODISPONIBLE ?

COLA =0 ? COLA =0 ?

TOT = TOT + 1 LC = LC - 1TET = TET + LC

GENERAR TS

SE OCUPASERVICIO

SI NO

NOSI

NO

SI

A

C

B

Para t=0arriba el 1er Cliente

Tiempo deArribo

Tiempo deServicio

Longitud dela Cola

Tiempo EsperaTotal

Mecanismo de Control de Mecanismo de Control de Incremento FijoIncremento Fijo

RELOJ = RELOJ +1

VERIFICARTS

TS =TS - 1 TS = TS - 1

COMPARARRELOJ::SUMTA

TS > 1 TS = 1

SEDESOCUPASERVICIO

TS = 0

A

B C

RELOJ < SUMTA RELOJ = SUMTA

UNI-FIIS 80

TS1

TS2

TS3

TS4

TO1

TE3

TE4

TE5

c1

c2

c3

c4

c5

0

TA2 TA3 TA4 TA5 TA6

TS5

TE6

SUMTA2SUMTA3

SUMTA4

c6

SUMTA1

41

UNI-FIIS 81

Mecanismo de Control de Mecanismo de Control de Incremento VariableIncremento Variable

CONDICIONESINICIALES

GENERAR TA

TA = TA - TE

GENERAR TS

TS = TA ?

TS < TA ?TE = 0

TO = 0TE = 0

TO = TA - TS

TOT = TOT + TO

TO = 0

TE = TS - TA

TET = TET + TE

SI NO

SI NO

Tiempode Arribo

Tiempo deServicio

Tiempo deEspera

TiempoOcioso

TiempoOcioso Total

Tiempo deEspera Total

Para t=0arriba el 1er Cliente

UNI-FIIS 82

TS1

TS2

TS3

TS4

TO2=TA2-TS1TE2=0 TE3

TE4

TE5

c1

c2

c3

c4

c5

0

TA2 TA3 TA4 TA5 TA6

TS5

TE6

TA2 =TA2 TE1

TA3 =TA3 TE1

TA5=TA5 TE4

c6

TE3=TS2-TA3T03=0

TA4 =TA4 TE3

TE4=TS3-TA4T04=0

TE5=TS4-TA5T05=0

42

UNI-FIIS 83

Ejemplo : Modelo SimulacinEjemplo : Modelo Simulacin Una Compaa de carga recepciona sus camiones

que llegan en forma aleatoria en una terminal para descarga. Despus de analizar los datos histricos se ha concludo que el nmero de llegadas diarias de camiones se comporta de acuerdo a una distribucin de Poisson con tasa media de 3 camiones por da. El peso de la carga de cada camin es un factor importante en lo referente al tiempo de descarga. Se ha comprobado con los registros pasados que los pesos de la carga estan distribudos normalmente con media 30 mil lbs. Y una desviacin estndar de 5 mil lbs. Para la descarga se cuenta con cuadrillas cuya capacidad de descarga en lbs por hora es variable y funcin del tipo de carga.

La frecuencia de cada tipo de carga y la velocidad de descarga de las cuadrillas se muestran en la tabla siguiente :

UNI-FIIS 84

Modelo Simulacin ....Modelo Simulacin .... Una cuadrilla consta de 3 personas: 1operador

de elevador de carga a quien se le paga 4$/Hry dos obreros a quienes se les paga 2.50 $/Hr. La poltica de la Cia. es descargar en el da todos los camiones que arribaron el da anterior sin importar los costos de tiempo extra implcitos. El contrato del sindicato demanda una bonificacin del 50% por horas extras fuera de la jornada de trabajo de 8 Hr diarias.

Con base a una simulacin de 10 das determine cuantas cuadrillas se requieren para reducir al mnimo los costos totales de descarga.

Si aplicaramos la poltica de que los camiones deben descargarse el mismo da de su llegada en lugar del da siguiente, y que la tasa media de llegadas sube a 4 Cam/Da Cuntas cuadrillas se requerirn para reducir al mnimo los costos totales de descarga.

0 51 152 223 224 175 116 57 3

100

Nro Camiones

Frec

A 40 8000B 35 7000C 25 5000

Veloc.Descarga Lb/hr x Cuadrilla

Tipo Carga Frec

43

UNI-FIIS 85

Modelo SimulacinModelo SimulacinGenerar Nro

Camiones (NCM)Arriban x Da

Generar TipoCarga x Camin

Generar PesoCarga x Camin

Calcular Costo Descarga (CD)

Asignar NroCuadrillas (NCD)

NDias=NDias + 1

Ndias=10 ?NO

TotCD=TotCD+CD

Imprimir x DaValores Generadosy Costo Descarga

Imprimir Ndias,Nro Cuadrillasy Costo Total Descarga

SI

Definir Plan Trabajo

TotCDTotCD

NCDNCD

1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6

C1C1

C2C2C3C3

C5C5

C6C6

UNI-FIIS 86

Indicadores InicialesIndicadores Iniciales Nro arribos ~ Poisson (l) o

Tpo entre arribos ~ Exponencial (1/l) Tiempo servicio ~ Exponencial (1/ ) Por lo tanto :

Tasa arribo l y tasa de servicio Factor de ocupacin del Stma. r = (l/) Probabilidad que Stma.vacio P0 = 1 (l/) Porcentaje de Tiempo Ocioso del Servicio 100P0

44

UNI-FIIS 87

Estructuras de los Sistemas de ColaEstructuras de los Sistemas de Cola 1cola/1servidor/Pobl.NoFinita

1cola/1servidor/Pobl.Finita(k)

1cola/MltiplesServ. (s)Paralelo/Pobl.NoFinita

1cola/MltiplesServ. (s)Paralelo/Pobl.Finita(k)

1cola/MltiplesServ. (s)Serie/Pobl.NoFinita

kk

s1

kk

s2

s1

s2

s1 s2

s

s

s

l

l

l

l

l

1 2 s

s1

s1

UNI-FIIS 88

Determinacin de la Probabilidad de que en Determinacin de la Probabilidad de que en el el StmaStma. existan . existan nn usuariosusuarios

Sea Pn la probabilidad de que existan n usuarios en el sistema al final del tiempo t, uno de ellos siendo atendido y los otros esperando en cola.

La probabilidad de que llegue 1usuario en el tiempo Dt es igual a lDt

La probabilidad de que 1usuario termine de ser atendido en Dt es igual a Dt

Para determinar la probabilidad de que existan n usuarios en el tiempo t+ Dt, consideramos lo siguiente: Que existan n usuarios al final del tiempo t. que no llegue ni se vaya

nadie en Dt Pn(t)[1- lDt][1- Dt] ........ (1) Que existan n usuarios al final del tiempo t, que llegue y se vaya 1 en Dt

Pn(t)[lD t][D t] ..................(2) Que existan n-1 usuarios al final del tiempo t, que llegue 1 y no se vaya

nadie en Dt Pn-1(t)[lDt][1- Dt] ...........(3) Que existan n+1 usuarios al final del tiempo t, que no llegue nadie y se

vaya 1 en Dt Pn+1(t)[1- lD t][Dt] ...........(4)

45

UNI-FIIS 89

Continuacin ....Continuacin .... Luego sumando (1)+(2)+(3)+(4) tenemos:

Pn (t+Dt) = Pn(t)[1- lDt][1- Dt] + Pn(t)[lDt][Dt] + Pn-1(t)[lDt][1- Dt] + Pn+1(t)[1- lDt][Dt]

Agrupando trminos y eliminando los factores (Dt)2, tenemos :Pn (t+Dt) - Pn (t) = lPn -1(t) (l+) Pn(t) + Pn+1(t)

Dt Pero como el tiempo transcurrido desde la ocurrencia del ltimo evento no tiene

efecto en el tiempo restante hasta que ocurre el evento siguiente (propiedad del olvido de la func. exponencial):Pn (t+Dt) - Pn (t) = 0 entonces lPn-1 (l+) Pn + Pn+1 = 0

Finalmente, agrupando trminos obtenemos :Pn+1 = (- l/)Pn -1 + [ (l+)/ ]Pn .................... ()

UNI-FIIS 90

Continuacin ....Continuacin .... Similarmente para determinar la probabilidad de que exista un us uario

en el sistema : No existen usuarios al final del tiempo t y no llega nadie en Dt

P0 (t)[lDt] Existe 1 usuario al final del tiempo t, no llega nadie y se va 1 en Dt

P1 (t)[1- lDt][Dt] Agrupando trminos, eliminando los factores (Dt)2 y aplicando la

propiedad del olvido tenemos que : lP0 + P1 = 0 entonces P1 = (l/)P0 ...... (d)

De () y (d) : para n=1 P2 = (l/)2 P0 para n=2 P3 = (l/)3 P0 Para n=3 P4 = (l/)4 P0

generalizando Pn = (l/)n P0

46

UNI-FIIS 91

Probabilidades relevantesProbabilidades relevantes Probabilidad de que en el stma. existan ms de N usuarios:

P(n>N) = PN+1+PN+2+PN+3+PN+4 ....... = (l/)N+1P0 + (l/)N+2P0 + (l /)N+3P0 + ........= P0 [(l/)N+1+ (l /)N+2+ (l/)N+3+ ........ ]= P0 [ (l /)N+1/ [1- (l /)] ] luego P(n>N) =(l/)N+1

Probabilidad de que existan n usuarios en cola :Pn Cola = Pn+1 Stma entonces Pn cola = (l/)N+1P0

Probabilidad de que la cola este vaca :P~ Cola = P0 + P1 entonces P~ Cola = 1 - (l/)2

UNI-FIIS 92

Sistema: 1 Cola/1 Servidor/Poblacin No Sistema: 1 Cola/1 Servidor/Poblacin No FinitaFinita

Nmero esperado de usuarios en el sistema (NEUS):NEUS = S i.Pi = 0P0 +1P1+ 2P2+ 3P3+ 4P4+ 5P5+ ....

s.q.

Nmero esperado de usuarios en la cola (NEUC):

NEUC = 0P0 +1P2+ 2P3+ 3P4+ 4P5+ 5P6+ ....

s.q.

NEUSl

m l=

-

2

( )N E U C

lm m l

=-

l < m

l < m

47

UNI-FIIS 93

Tiempo esperado de paso de un usuario en cola (TEPUC):TEPUC = (1/ )NEUS

Tiempo esperado de paso de un usuario en el sistema (TEPUS):TEPUS = TEPUC + Tpo.Servicio = l/(-l) + 1/

( )TEPUC

lm m l

=-

1TEPUS

m l=

-

UNI-FIIS 94

Costo de Paralizacin y de ServicioCosto de Paralizacin y de Servicio Costo Total de Paralizacin :CTP = (TasaArribo)(TpoTurno)(TpoEsperPasoUsuarioStma)(CostoParalizxUnidTpo)

CTP = ( ? ) . ( Tpo ) . ( TEPUS ) . ( CPu )(cl/ut) ( ut ) ( ut/cl ) ( $/ut )

Costo Total de Servicio :CTS = (TasaServicio) (TpoTurno)(CostoServicioxUsuario)

(cl/ut) (ut) ($/cl)CTS = (TpoTurno)(CostoServxUnidTpo)

(ut) ($/ut)

Costo Total de Atencin del SistemaCTAS = CTP + CTS

CTAS

CTS

CTP

CTCT

0

CC00

48

UNI-FIIS 95

Problema de Colas Fotografas tomadas desde 1 helicptero mostraron

que en promedio haba 80 autos circulando en el carril de alta velocidad sobre un tramo de 1 milla de una va rpida urbana. En meses recientes haban ocurrido cierto nmero de accidentes en ese tramo y que han sido atribuidos al manejo a corta distancia del auto delantero. Si para plena seguridad la distancia entre los autos recomendable debera ser de cuando menos 30 pies, en ese tramo y sobre ese carril, que % de los autos corre a una distancia demasiado corta del delantero. Considere que la cantidad de autos sobre el tramo de la va en cuestin se ajusta a una distribucin de Poisson.

UNI-FIIS 96

dd11

dd22

l = 80 autos/milla1 milla = 5280 piesddi i 30 pies

n ~ Poisson (l)d ~ Expon (1/l)P(d < 30) = 0

30(80/5280)e- (80/5280)d dd

= 1 - e- 30/66 = 0.37Ptto. el 37% de los autos van a una distancia no recomendable.

49

UNI-FIIS 97

Problema 2 El departamento para caballeros de un gran almacn tiene un sastre

para ajustar los trajes adquiridos por los clientes. Parece que el nmero de clientes que solicitan ajustes sigue una distribucin de Poisson con una tasa media de llegadas de 24 cli/hora. Los ajustes se realizan del tipo primero en llegar primero en ser atendido. Los clientes siempre desean esperar, ya que las modificaciones son gratis. Aparentemente el tiempo que se tarda en realizar un ajuste se distribuye exponencialmente con media 2 minutos entre clientes. Calcular:

Nmero promedio de clientes en la sala de ajustes. Cuanto tiempo tiene que esperar un cliente en la sala de ajustes. Porcentaje de tiempo que permanece ocioso el sastre. Cual es la probabilidad de que un cliente espere los servicios del

sastre ms de 10 minutos. Cuanto tiempo deben esperar los clientes por los servicios del sastre.

UNI-FIIS 98

Tiempo medio entre llegadas:

Tiempo medio de servicio:

Factor de utilizacin u ocupacin:

Nmero medio de clientes en la sala:

Tiempo medio de espera en el sistema:

Factor de ocio = 1 Factor de utilizacin = 0,2

21

21

== mm

min

8,054

522 ====

ml

p

44

541

51

=-

=- pp

10

52

21

11 =-

=-lm

5224 cli==

horal

50

UNI-FIIS 99

El 80 % del tiempo, el sastre est ocupado, y el 20% est ocioso.

probabilidad de que un cliente espere los servicios del sastre ms de 10 minutos.

Tiempo medio de espera en cola:

29,054

)10()

5

2

2

1(10

)(10 ===>--

-- eeptP esperalm

8

21)

541(54

)1(=

-=

- mpp

UNI-FIIS 100

Problema 3Una carnicera es atendida por el propietario de la misma. Aparentemente el patrn de llegada de los clientes durante los sbados se comporta siguiendo una distribucin de Poisson con una tasa promedio de llegadas de 10 personas por hora. A los clientes se les atiende siguiendo una poltica FIFO, y debido al prestigio de la tienda, los clientes siempre estn dispuestos a esperar su turno. Se estima que el tiempo que se invierte en atender a un cliente se distribuye exponencialmente con un tiempo de servicio medio de 4 minutos entre clientes. Obtener:

Probabilidad de que se cree una cola de espera. Longitud media de la cola. Tiempo esperado de permanencia en cola por cliente. Probabilidad de que un cliente permanezca menos de 12 minutos en

la tienda.

51

UNI-FIIS 101

Tiempo medio entre llegadas:

Tiempo medio de servicio:

Factor de utilizacin:

Existir cola cuando en el sistema haya ms de 1 cliente.

Probabilidad de 0 clientes en el sistema:

Probabilidad de 1 cliente en el sistema:

Probabilidad de ms de 1 cliente en el sistema:

61

6110

===min

personahorapersonas

l

41

41

== mm

min

)(1)1( 10 PPNP +-=>

31)1(00 =-= ppP

92

31

32

)1(11 ==-= ppP

94)

92

31(1)1( =+-=>NP

3

2

4161

===ml

p

UNI-FIIS 102

Longitud media de la cola:

Tiempo medio de espera en cola:

Probabilidad de que un cliente permanezca menos de 12 minutos en la tienda:

)12(1)12( -=< esperaespera tPtP

34

321

)32(

1

22

=-

=- pp

8

41)

321(32

)1(=

-=

- mpp

1)61

41

(12 )(12

32

32

)12( ----- === eepetP espera

lm

52

UNI-FIIS 103

Problema 04 El empleado de una ventanilla observa que de cada

100 veces que cuenta los clientes frente a el, en 64 de las veces hay dos o mas clientes. El tiempo promedio que cada cliente permanece desde que se ubica en la cola hasta que es atendido es de aproximada-mente 30 minutos. Calcular la probabilidad de que : lleguen dos (2) clientes en media hora. lleguen entre dos(2) y cinco(5) clientes en media hora. transcurra mas de una (1) hora entre el arribo de un cliente y el

siguiente.

Ventanilla

l

UNI-FIIS 104

p(n>n0) = 64/100 = (l/)/)nn0+1 +1 , entoncesp(n> 1) = 64/100 = (l/)2 , entonces

l/ = 8/10 = 4/5 . (1)

Luego TEPUS = 1/ (- l) = hora/cliente, entonces1/ (-l) = 1 media hora/cliente, entonces

-l = 1 .... (2)

Resolviendo (1) y (2) : - (8/10) = 1 , entonces = 5 cl/hor y l = 4 cl/hor

Finalmente :a. p(x=2) = (4)2e-4/2! = 8e-4

b. p(2

53

UNI-FIIS 105

Problema 5 El inventario de un almacn se agota y se vuelve

a surtir segn una distribucin de Poisson. Los tiempos medios entre vaciados y resurtidos son iguales a 1/ y 1/l respectivamente. Suponga que por cada unidad de tiempo que el inventario esta vaco se incurre en un costo de escasez (Ce), y en un costo de almacenamiento (Ca) por cada unidad de tiempo que en el almacn se mantiene un determinado inventario. Si Ce > Ca, determine: Una expresin para el costo total esperado por unidad

de tiempo El valor ptimo de r = l /

UNI-FIIS 106

tpo. surtir inventario = 1/l ~ Exptpo. agotar inventario = 1/ ~ ExpCT inventario = Costo escasez + Costo almacenamiento

= P0 * Ce + Inventario*Ca= (1- l/)(Ce) + (NEUS)(Ca)= (1-r)Ce + [l /(- l )]Ca= (1- r)Ce + [r /(1- r)]Ca= [(1- r)2Ce + r Ca]/(1- r)

dCTi = [2(1- r)(Ce)(-1)+Ca](1- r) - (-1)[(1- r)2Ce+ r Ca]dr (1- r)2

dCTi = [-2(1- r)2(Ce)+Ca(1- r) +(1- r)2Ce+ r Cadr (1- r)2

dCTi = Ca - (1- r)2Ce = Ca - Ce para determinar el r ptimo hacemos dr (1- r)2 (1- r)2

dCTi = 0 entonces Ca - Ce = 0 luego (1- r)2 = Ce/Ca r = 1 - Cadr (1-r)2 Ce

54

UNI-FIIS 107

Problema 6 En un consultorio mdico los pacientes

toman asiento en la sala de espera hasta que les corresponda su turno de atencin. En promedio llegan 4 pacientes por hora segn una distribucin de Poisson, y entre cada atencin transcurre un tiempo promedio de 12 minutos, segn una distribucin Exponencial. Cuantas sillas como mnimo sern necesarias en la sala de espera para que se tenga un 90% de probabilidad o ms de que todos los pacientes esperen sentados.

UNI-FIIS 108

Problema 7 A un cajero automtico llegan 3 tipos diferentes de

clientes. Clientes de retiro, de deposito y de consulta. Los de retiro se ha determinado llegan 12 cli/hora promedio y son atendidos a razn de 2 min/clipromedio; los clientes de deposito arriban en un tiempo promedio de 5 cli/hora y demoran 3 min/cli en realizar su operacin como tiempo promedio. Los clientes de consulta llegan en promedio 8 cli/hora y la realizan en un promedio de 1 min/cli . Si todas las llegadas se ajustan a una distribucin de Poisson y todos los tiempos entre servicios a una distribucin exponencial, hallar la probabilidad de que no existan usuarios en cola.

55

UNI-FIIS 109

Preguntas sobre elsistemas de colas